Captulo 1

Aneis e Modulos

1.1 Aneis, subaneis e ideais

Definicao 1.1.1 Sejam R um conjunto nao vazio e + e operacoes em R. Dizemos quea terna (R,+, ) e um anel se:i) + e associativa e comutativa, ou seja, se (a + b) + c = a + (b + c) e a + b = b + a para

quaisquer a, b, c R;ii) + possui elemento neutro, ou seja, se existe 0 R tal que x + 0 = 0 + x = x para todox R;iii) Para cada x R existe x R tal que x+ (x) = (x) + x = 0;iv) e associativa, ou seja, (a b) c = a (b c) para quaisquer a, b, c R.v) e distributiva em relacao a + , ou seja, se a (b + c) = (a b) + (a c) e(a+ b) c = (a c) + (b c) para quaisquer a, b, c R .

Sendo (R,+, ) um anel, chamamos a operacao + de soma ou adicao, e a operacao de produto ou multiplicacao. Costumamos denotar o anel (R,+, ) simplesmente por R, ficandoas operacoes subentendidas. Para a, b R, costumamos denotar a b simplesmente por ab.

E simples mostrar que o elemento neutro de + e unico, sendo normalmente chamado de

zero do anel R. Tambem e simples mostrar que para cada x R existe um unico x R talque x + (x) = (x) + x = 0. Diante disto, podemos definir a subtracao em R como sendo aoperacao

: RR R(a, b) 7 a b = a+ (b) .

O elemento x e normalmente chamado de oposto aditivo de x. Observe que (R,+) e um grupoabeliano, chamado de grupo aditivo do anel R.

Dizemos que o anel R e comutativo se ab = ba para quaisquer a, b R. Dizemos que R eum anel com unidade se existe 1 R tal que x1 = 1x = x para todo x R, ou seja, se existe

1

em R elemento neutro para a multiplicacao. Neste caso, e simples provar que R possui um

unico elemento neutro multiplicativo, o qual e chamado de unidade de R.

De agora em diante o termo anel vai sempre significar anel com unidade. Se R e um anel

onde a unidade coincide com o zero, nao e difcil ver que R = {0}. Assim, a menos de mencaoem contrario, nos aneis considerados teremos sempre 1 6= 0.

Definicao 1.1.2 Sejam R um anel e x R. Dizemos que:a) x e inversvel a` direita (resp. inversvel a` esquerda) se existe y R tal que xy = 1 (resp.yx = 1). Neste caso, dizemos que y e um a` direita (resp. inverso a` esquerda) de x em R.

b) x e inversvel se existe y R tal que xy = yx = 1. Neste caso, dizemos que y e um inversode x em R.

Nao e difcil mostrar que se x R e inversvel, entao x possui um unico inverso em R, o quale normalmente denotado por x1. Ja inversos unilaterais nao precisam ser unicos, conforme

veremos num exemplo abaixo.

Sendo R um anel, considere o conjunto U(R) = {x R | x e inversvel}. Temos que U(R)e nao vazio e e multiplicativamente fechado, ou seja, xy U(R) para quaisquer x, y R(observe que (xy)1 = y1x1). Logo, o produto e uma operacao bem definida em U(R).

Ademais, U(R), munido do produto, e um grupo, chamado de grupo multiplicativo de anel R.

Dizemos que R e um anel com divisao se U(R) = R {0}, e dizemos que R e um corpo se R eum anel com divisao comutativo.

Definicao 1.1.3 Sejam R um anel e x R. Dizemos que:a) x e idempotente se x2 = x.

b) x e um divisor de zero se x 6= 0 e se existe y R {0} tal que xy = 0 ou yx = 0.c) x e nilpotente se existe n 1 tal que xn = 0.

E imediato que o unico elemento de R que e idempotente e inversvel (a` direita ou a` esquerda)

e a unidade. Tambem e imediato que se x U(R), entao x nao pode ser um divisor de zero.Sendo x R um elemento nilpotente, definimos o ndice de nilpotencia de x como sendo o

menor n N tal que xn = 0. Observe que todo elemento nilpotente nao nulo tem ndice denilpotencia maior ou igual a 2 e portanto e um divisor de zero.

Exemplo 1.1.4 Os conjuntos numericos Z, Q, IR e C, munidos de suas operacoes usuais desoma e multiplicacao, sao aneis comutativos. Observe que Q, IR e C sao corpos.

Exemplo 1.1.5 Sejam G um grupo abeliano (com notacao aditiva) e End G o conjunto de

todos os endomorfismos de G. Dados , End G, consideremos + : G G definida

2

por (+)(g) = (g)+(g), para g G. Observe que +, End G e assim podemosdefinir as operacoes de soma e multiplicacao em End G:

+ : End G End G End G(, ) 7 + e

: End G End G End G(, ) 7 = .

Temos que End G, munidos destas operacoes, e um anel, chamado de anel dos endomorfismos

do grupo G. O zero deste anel e o endomorfismo nulo (endomorfismo com imagem {0G})e a unidade e o endomorfismo identidade. Observe que U(End G) = Aut G, o grupo dos

automorfismos do grupo G.

Exemplo 1.1.6 Sejam R um anel e n N. Denotamos por Mn(R) o conjunto de todas asmatrizes n n com entradas em R. Para

A =

a11 a1n... . . . ...an1 ann

em Mn(R) tambem usamos a notacao (aij)nn. Para A = (aij)nn, B = (bij)nn Mn(R),definimos

A+B = (cij)nn e AB = (dij)nn , onde cij = aij + bij e dij =nk1

aikbkj .

Munido destas operacoes, que sao a soma e o produto canonicos de matrizes, Mn(R) e um

anel, chamado de anel das matrizes n n sobre R. Observe que o zero de Mn(R) e a matriznula (matriz com todas as entradas iguais ao zero de R) e que a unidade de Mn(R) e a matriz

identidade (matrizes com todas as entradas da diagonal iguais a` unidade de R e as demais

iguais ao zero de R).

Se n 2, temos que Mn(R) e nao comutativo. Ademais, Mn(R) so e comutativo se R ecomutativo e n = 1.

Exemplo 1.1.7 Sejam V um espaco vetorial (nao trivial) e L(V ) o conjunto de todos osoperadores lineares sobre V . Em L(V ) tomamos a soma usual de transformacoes lineares e oproduto, que e exatamente a composicao (observe que se S, T L(V ), entao ST = S T L(V )). Nao e difcil mostrar que estas operacoes satisfazem todas as condicoes da definicao(1.1.1) e assim temos o anel L(V ) dos operadores lineares sobre o espaco vetorial V . Observeque o zero deste anel e o operador nulo e a unidade e o operador identidade.

Nao e difcil provar (exerccio para o leitor) que o anel L(V ) e comutativo se, e somente se,dimV = 1.

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Exemplo 1.1.8 Seja I um conjunto nao vazio e F = {Ri | i I} uma famlia de aneis.Considere o conjunto

iI

Ri =

{f : I

iI

Ri

f(i) Ri, i I}

e as seguintes operacoes de soma e produto

(f + g)(i) = f(i) + g(i) e (fg)(i) = f(i)g(i)

para i I e f , g iI Ri. Temos que iI Ri, munido destas operacoes, e um anel, chamadode produto direto da famlia F .

No caso em que F = {R1, R2, . . . , Rn}, tomamosn

i=1Ri como sendo o produto cartesiano

R1 R2 . . .Rn e as operacoes de soma e produto sao definidas da seguinte forma

(x1, . . . , xn)+(y1, . . . , yn) = (x1+y1, . . . , xn+yn) e (x1, . . . , xn) (y1, . . . , yn) = (x1y1, . . . , xnyn)

para (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn) R1 . . .Rn.

Exemplo 1.1.9 Seja R um anel. Definimos um polinomio sobre R na variavel x como sendo

uma soma formal

f(x) =kN0

akxk = a0 + a1x+ a2x

2 + . . .+ akxk + . . .

onde ak R, para a qual existe n N0 tal que ak = 0 para todo k > n. Costumamos escreversimplesmente f(x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . . + anxn, uma vez que ak = 0 para k > n. Dizemos

que dois polinomios

akxk e

bkxk sao iguais se ak = bk para todo k N0. Denotamos por

R[x] o conjunto de todos os polinomios sobre R na variavel x.

Dados f(x) =

akxk, g(x) =

bkx

k R[x], definimos f(x)+g(x) = ckxk e f(x)g(x) =dkx

k, onde

ck = ak + bk e dk =ki=0

aibki =i+j=k

aibj

para todo k N0. Atraves de calculos elementares prova-se que f(x)+ g(x), f(x)g(x) R[x] etambem que R[x], munido destas operacoes, e um anel, chamado de anel dos polinomios sobre

R na variavel x.

Exemplo 1.1.10 Sejam V um espaco vetorial com base = {v1, v2, v3, . . . , vn, . . .}. Considereo anel L(V ) e T L(V ) definido por T (vi) = vi+1 para todo i N. Observando que Im T 6= V ,conclumos que nao existe S L(V ) tal que TS = IdV e assim T nao possui inverso a` direitaem L(V ). Por outro lado, todo operador linear F L(V ) tal que F (vi) = vi1 para todo i 2satisfaz FT = TdV . Logo, T possui uma infinidade de inversos a` esquerda em L(V ).

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Proposicao 1.1.11 Sejam R um anel e a, b, c R. Entao valem:a) 0a = a0 = 0.

b) (a) = a.c) (a)b = a(b) = ab e (a)(b) = ab. Particularmente, (1)b = b(1) = b e(1)(1) = 1.d) a(b c) = ab ac e (a b)c = ac bc.

Demonstracao. Exerccio para o leitor.

Definicao 1.1.12 Sejam R um anel e S um subconjunto nao vazio de R. Dizemos que S e

um subanel de R se:

i) S e um subgrupo aditivo de R, ou seja, x+ y, x S para quaisquer x, y S.ii) 1 S e xy S para quaisquer x, y S.

Sendo S um subanel de R, observe que S e por si um anel, cujas operacoes sao as mesmas

de R. Observe tambem que R e S tem o mesmo zero e a mesma unidade.

Exemplo 1.1.13 Considerando os aneis classicos Z, Q, IR e C, temos que Z e um subanel deQ, que e um subanel de IR, que por sua vez e um subanel de C .

Exemplo 1.1.14 Considere R um anel e Mn(R) o anel das matrizes n n com entradas emR. O subconjunto Un(R) de todas as matrizes triangulares superiores de Mn(R) e um subanel

de Mn(R). Outro exemplo de subanel de Mn(R) e Mn(S), onde S e um subanel de R.

Exemplo 1.1.15 Sejam V um espaco vetorial e considere o anel L(V ). SendoW um subespacode V , temos que o conjunto de todos os operadores lineares T L(V ) tais que T (W ) W eum subanel de L(V ).

SendoK o corpo dos escalares de V e a K, consideremos a o operador linear aI : V V ,definido por (aI)(v) = av. Sendo R um subanel de K, entao o conjunto {aI | a R} e umsubanel de L(V ).

Exemplo 1.1.16 Sendo R um anel e S um subconjunto nao vazio de R, o conjunto CR(S) =

{x R | xs = sx, s S} e um subanel de R, chamado de centralizador de S em R. No casoem que S = {s}, denotamos CR(S) simplesmente por CR(s).

Um exemplo particular e muito importante de subanel deste tipo e o centro de R, que e

definido como sendo

Z(R) = CR(R) = {x R | xa = ax, a R} .

Observe que Z(R) e comutativo e que Z(R) = R se, e somente se, R e comutativo.

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Definicao 1.1.17 Sejam R um anel e I um subgrupo aditivo de R. Dizemos que I e:

a) Um ideal a` direita de R se ax I para quaisquer a I e x R.b) Um ideal a` esquerda de R se xa I para quaisquer a I e x R.c) Um ideal (bilateral) de R se I e um ideal a` direita e a` esquerda de R ao mesmo tempo, ou

seja, se xa, ax I para quaisquer a I e x R.

Sendo R um anel e I um ideal a` direita ou a` esquerda de R contendo a unidade, e facil ver

que I = R. Da, se I e um ideal a` direita (resp. a` esquerda) de R e I possui algum elemento

inversvel a` direita (resp. a` esquerda), entao I = R.

Exemplo 1.1.18 Se R e um anel e a R, entao Ra = {xa | x R} e um ideal a` esquerdae aR = {ax | x R} e um ideal a` direita de R. Claramente, aR e Ra sao ideais bilateraisquando Ra = aR. Observe que isto acontece se a Z(R).

E imediato que Ra = R (resp. aR = R) se, e somente se, a e inversvel a` esquerda (resp. a`

direita) em R.

Exemplo 1.1.19 Seja R um anel. Se I e J sao ideais a` direita (resp. a` esquerda) de R, entao

I + J = {x + y | x I, y J} e I J sao tambem ideais a` direita (resp. a` esquerda) deR. Mais geralmente, se {Ij | j } e uma famlia de ideais a` direita (resp. a` esquerda) de R,entao

jIj = {x1 + . . .+ xk | k N, xi jIj} e

j

Ij

sao ideais a` direita (resp. a` esquerda) de R.

Sendo I um ideal a` esquerda e J um ideal a` direita de R, e a R, definimos

Ia = {xa | x I} e aJ = {ay | y J} .

Temos que Ia e um ideal a` esquerda e aJ e um ideal a` direita de R. Mais geralmente, se S e

um subconjunto nao vazio de R, definimos IS = {x1s1 + . . .+ xksk | k N, xi I, si S} eSJ = {s1x1 + . . .+ skxk | k N, xi J, si S}. Nao e difcil ver que

IS =sS

Is e SJ =sS

sJ

e que IJ e um ideal (bilateral) de R. Ademais, quando I e J sao ideais bilaterais temos IS I,SJ J e, particularmente, IJ I J .

Sendo I um ideal (a` direita ou a` esquerda), definimos I1 = I, I2 = II, I3 = I2I, . . . ,

In+1 = InI. Observe que In+1 In para todo n N.

Definicao 1.1.20 Sejam R um anel e I um ideal a` direita (resp. a` esquerda) de R. Dizemos

que I e:

6

a) Um ideal minimal a` direita (resp. a` esquerda) se I 6= {0} e se nao existe ideal a` direita(resp. a` esquerda) J1 de R tal que {0} 6= J1 ( I.b) Um ideal maximal a` direita (resp. a` esquerda) se I 6= R e se nao existe ideal a` direita (resp.a` esquerda) J2 de R tal que I ( J2 6= R.

Proposicao 1.1.21 Sejam R um anel e I um ideal a` direita (resp. a` esquerda) de R, com

I 6= R. Entao existe algum ideal maximal a` direita (resp. a` esquerda) de R contendo I.

Demonstracao. Consideremos o conjunto

SI = {I ideal a` direita de R | J 6= R, I J}

ordenado pela relacao de inclusao de conjuntos. Um ideal maximal a` direita de R contendo I e

exatamente um elemento maximal do conjunto ordenado SI . Mostremos entao a existencia dealgum elemento maximal em SI .

Seja C = {Jk | k } uma cadeia em SI e tomemos Q =

k Jk. Claramente I Q.Ademais Q e ideal a` direita de R (observe que para k1, k2 , entao Jk1 Jk2 ou Jk2 Jk1) e1 / Q, uma vez que Jk 6= R e da 1 / Jk para todo k . Temos entao Q SI . Como Jk Qpara todo k , temos que Q e uma cota superior para C em SI . Pelo Lema de Zorn, SI devepossuir algum elemento maximal, o que conclui a demonstracao.

Proposicao 1.1.22 Sejam R um anel e I um ideal a` esquerda (resp. a` direita) de R. Entao

valem:

a) I e maximal a` esquerda (resp. a` direita) se, e somente se, I + Ra = R (resp. I + aR = R)

para todo a R I.b) I e minimal a` esquerda (resp. a` direita) se, e somente se, Ra = I (resp. aR = I) para todo

a I {0}.

Demonstracao. Exerccio para o leitor.

Lema 1.1.23 (Brauer) Se I e um ideal minimal a` direita (ou a` esquerda) de R, entao I2 = 0

ou existe algum elemento idempotente nao nulo em I.

Demonstracao. Supondo I2 6= 0, temos que existe a I tal que aI 6= 0. Como aI e um ideala` direita de R e aI I, devemos ter I = aI e assim deve existir e I tal que ae = a, dondee 6= 0. Ademais, ae2 = ae e portanto a(e2 e) = 0.

Considere agora I1 = {x I | ax = 0}. Temos que I1 e ideal a` direita de R e que I1 I.Logo, pela minimalidade de I, devemos ter I1 = 0 e assim e

2 e = 0, ou seja, e2 = e.

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1.2 Aneis quocientes e homomorfismos de aneis

Sejam R um anel e I um ideal de R. Consideremos em R a relacao de congruencia modulo I,

definida da seguinte forma

a b (mod I) se a b I.Nao e difcil ver que esta relacao e de equivalencia. Ademais, denotando por a a classe de

equivalencia de um elemento a R com respeito a esta relacao, temos a = {a + x | x I}.Este conjunto, tambem denotado por a+ I, e chamado de classe lateral de I contendo a. Segue

das propriedades das relacoes de equivalencia que:

aR(a+ I) = R; Se a, b R e (a+ I) 6= (b+ I), entao (a+ I) (b+ I) = ; Para a, b R, valem: a+ I = b+ I a b (mod I) a b+ I b a+ I.

Vamos denotar por R/I o conjunto quociente da relacao de congruencia modulo I, ou seja,

R/I = {a+ I | a R. Usando a notacao a para a+ I definimos:

+ : R/I R/I R/I(a, b) 7 a+ b = a+ b e

: R/I R/I R/I(a, b) 7 a b = ab .

Supondo a, a1, b, b1 R tais que a = a1 e b = b1, temos que existem x, y I tais quea = a1 + x e b = b1 + y, e da a+ b = (a1 + b1) + (x+ y) e ab = a1b1 + (a1y + xb1 + xy). Segue

da hipotese de I ser ideal de R que x + y I e a1y + xb1 + xy I. Logo, a + b a1 + b1(mod I) e ab a1b1 (mod I), o que significa a+ b = a1 + b1 e ab = a1b1. Assim, estasoperacoes de soma e produto em R/I sao bem definidas. Alem disso, R/I, munido delas, e um

anel, chamado de anel quociente da R por I. Observe que 0 e o zero e 1 e a unidade de R/I.

E imediato que se R e comutativo, entao R/I tambem e. No entanto, a recproca desta

afirmacao e falsa, confrome veremos num exemplo abaixo.

Exemplo 1.2.1 Se R e um anel, temos R/R = {0}. Se I um ideal proprio de R, entao R/I enao trivial, pois se a R I, entao a 6= 0 em R/I.

Sendo S um subanel de R, com I S, temos que I e um ideal de R e o quociente S/I ={s | s S} e um subanel de R/I. Tomando agora J um ideal de R, com I J , nao e difcilver que o conjunto J/I = {x = x+ I | x J} e um ideal de R/I.

Exemplo 1.2.2 Anel Zn.

Exemplo 1.2.3 Seja R um anel e considere o anel U2(R) das matrizes 22 triangulares supe-riores sobre R. Observe que U2(R) e nao comutativo. Tomando I =

{(0 x

0 y

) x, y R},

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temos que I e um ideal de U2(R) e U2(R)/I = {E11(a) | a R}. De fato, dada X =(

a b

0 c

)temos

X = E11(a) +

(0 b

0 c

) E11(a)

e assim X = E11(a). Como E11(a)E11b = E11(ab) para quaisquer a, b R, temos que se R ecomutativo, entao U2(R)/I e comutativo.

Definicao 1.2.4 Sejam R e A aneis e f : A R uma aplicacao. Dizemos que f e umhomomorfismo de aneis se valem:

i) f(x+ y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y) para quaisquer x, y R;ii) f(1R) = 1A.

Sejam R e A aneis. Se f : R A e um homomorfismo de aneis, entao particularmente fe um homomorfismo entre os grupos aditivos (R,+) e (A,+). E importante observar que nem

todo homomorfismo entre os grupos aditivos de dois aneis e um homomorfismo de aneis.

Sendo f : R A um homomorfismo de aneis, definimos o nucleo e a imagem de f ,denotados por ker f e Im f , respectivamente, como sendo

ker f = {x R | f(x) = 0A} e Im f = {f(x) | x R} .

Um homomorfismo injetivo e chamado de monomorfismo (ou imersao) e um homomorfismo

sobrejetivo e chamado de epimorfismo.

Um isomorfismo e definido como sendo um homomorfismo bijetivo. Sendo R e A aneis, se

existe um isomorfismo f : R R dizemos que A e R sao isomorfos, e denotamos R ' A. Alemdisso, a aplicacao f1 : A R e tambem um isomorfismo. De fato, claramente f1(1A) = 1R.Ademais, se a1, a2 A, existem x1, x2 R tais que f(x1) = a1 e f(x2) = a2, e da

f1(a1 + a2) = f1(f(x1) + f(x2)) = f1(f(x1 + x2)) = x1 + x2 = f1(a1) + f1(a2)

e tambem

f1(a1a2) = f1(f(x1)f(x2)) = f1(f(x1x2)) = x1x2 = f1(a1)f1(a2) .

Definimos um endomorfismo de um anel R como sendo um homomorfismo de R em R, e

um automorfismo de R como sendo um endomorfismo bijetivo de R. Denotamos por End R o

conjunto dos endomorfismo de R, e por Aut R o conjunto dos automorfismos de R.

Proposicao 1.2.5 Sejam R e A aneis e f : R A um homomorfismo. Entao valem:a) f(0R) = 0A.

b) f(x) = f(x) e f(x y) = f(x) f(y) para quaisquer x, y R.

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c) Se S e um subanel de R, entao f(S) e um subanel e A. Particularmente, Im f e um subanel

de A.

d) Se I e ideal de R e f e sobrejetivo entao f(I) e ideal de A.

e) Se B e subanel de A, entao f1(B) e subanel de R. Se J e ideal de A, entao f1(J) e ideal

de R. Particularmente, ker f e um ideal de R.

f) Para x, y R: f(x) = f(y) x y (mod ker f). Da, f e injetivo se, e somente se,ker f = {0R}.

Demonstracao. Exerccio para o leitor.

Exemplo 1.2.6 Sejam R um anel e I um ideal de R. A aplicacao

: R R/Ix 7 (x) = x

e um homomorfismo sobrejetivo de aneis, chamado de projecao canonica.

Exemplo 1.2.7 Sendo A um anel. Como o grupo aditivo de A e abeliano, podemos considerar

o seu anel de endomorfismos, End(A,+) (veja o Exemplo 1.1.5). Fixado a A, arbitrario, aaplicacao fa : A A, definida por fa(x) = ax, e um endomorfismo do grupo aditivo de A.Considerando agora

: A End(A,+)a 7 (a) = fa

temos que esta aplicacao e um homomorfismo injetivo de aneis. Quando e tambem sobrejetivo,

dizemos que A e canonicamente isomorfo ao anel de endomorfismos do seu grupo aditivo. O

anel dos inteiros, os aneis Zn e o corpo dos racionais sao exemplos de aneis onde isto acontece(a verificacao e deixada como exerccio para o leitor). Mais adiante, nos exerccios, veremos

exemplos de aneis para os quais nao e sobrejetivo.

Sejam R, A e A1 aneis. Se f : R A e g : A A1 sao homomorfismos, entaog f : R A1 tambem e um homomorfismo (a verificacao deste fato e simples e e deixadapara o leitor). Particularmente, tomamdo R = A = A1, conclumos que os conjuntos End R

e Aut R sao fechados em relacao a` composicao de funcoes. Alem disso, nao e difcil ver que

Aut R, munido da composicao, e um grupo chamado de grupo dos automorfismos do anel R.

Considerando agora a U(R), temos que a aplicacao

a : R Rx 7 a(x) = axa1

e um automorfismo de R, chamado de automorfismo interno de R associado ao elemento a. E

deixada para o leitor a verificacao de que o conjunto {a | a U(R)} e um subgrupo de Aut R.

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Teorema 1.2.8 (Teorema Fundamental dos Homomorfismos) Sejam R e A aneis e

f : R A um homomorfismo de aneis. Entao, o anel quociente R/ ker f e isomorfo aIm f .

Demonstracao. Considere a aplicacao

f : R/ ker f Im fx 7 f (x) = f(x)

A boa definicao e a injetividade desta aplicacao sao consequencia de (1.4.2.f). Ademais, e

imediato que ela e sobrejetora.

Tomando agora x1, x2 R/ ker f , temos que

f (x1 + x2) = f (x1 + x2) = f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) = f (x1) + f (x2)

e tambem

f (x1 x2) = f (x1x2) = f(x1x2) = f(x1)f(x2) = f (x1)f (x2) .Temos entao que f e um isomorfismo e da temos o resultado.

Este resultado, tambem chamado de 1o Teorema de Isomorfismo, tem varias consequencias

importantes, entre as quais destacamos os 2o e 3o Teoremas de Isomorfismo. Estes resultados

aparecem a seguir e suas demonstracoes estao entre os exerccios propostos.

Corolario 1.2.9 (2o Teorema de Isomorfismo) Se R e um anel, S e um subanel de R e I

e um ideal de R, entao S + I e um subanel de R e

S + I

I' S

S I .

Corolario 1.2.10 (3o Teorema de Isomorfismo) Sejam R um anel e I e J ideais de R,

com I J . EntaoA/I

J/I' A

J.

Complementando o que foi visto do Exemplo 1.2.1, veremos agora a caracterizacao de todos

os subaneis e ideais de um anel quociente. Esta caracterizacao e dada pelo Teorema da Corre-

spondencia, que estabelece uma correspondencia biunvoca entre os subaneis (resp. ideais) de

um anel quociente R/I e os subaneis (resp. ideais) e R que contem I.

Proposicao 1.2.11 Sejam R e A aneis e f : R A um homomorfismo sobrejetivo. Entaovalem:

a) Se B e um subanel de A, entao existe algum subanel S de R, com ker f S, tal que

11

f(S) = B. Ademais, se S1 e S2 sao subaneis de R, ambos contendo ker f , e f(S1) = f(S2),

entao S1 = S2.

b) Se J e um ideal de A, entao existe algum ideal I de R, com ker f I, tal que f(I) = J .Ademais, se I1 e I2 sao ideais de R, ambos contendo ker f , e f(I1) = f(I2), entao I1 = I2.

Demonstracao. a) Como f e sobrejetora, temos f(f1(B)) = B. Tomemos entao S = f1(B).

Observe que S e subanel de R e ker f S, uma vez f(ker f) = {0A} B.Supondo agora x S1, temos f(x) = f(y) para algum y S2. Logo, x y ker f e da

x y S2. Segue entao que x S2 e portanto S1 S2. Analogamente, S2 S1.b) Demonstracao inteiramente analoga a` do tem (a).

Corolario 1.2.12 (Teorema da Correspondencia) Sejam R um anel e I um ideal de R.

Entao valem:

a) Todo subanel de R/I e da forma S/I = {s | s S}, onde S e um subanel de R contendoI. Ademais, se S1 e S2 sao subaneis de R, ambos contendo I, tais que S1/I = S2/I, entao

S1 = S2.

b) Todo ideal de R/I e da forma J/I = {x = x+ I | x J}, onde J e um ideal de R contendoI. Ademais, se J1 e J2 sao ideais de R, ambos contendo I, tais que J1/I = J2/I, entao J1 = J2.

Demonstracao. Basta aplicar a proposicao anterior a` projecao canonica : R R/I (Exem-plo 1.2.6).

1.3 Modulos e submodulos

Definicao 1.3.1 Seja R um anel. Definimos um R-modulo (a` esquerda) como sendo um grupo

abeliano M (com notacao aditiva) munido de um produto

: RM M(r,m) 7 r m

que satisfaz:

i) r1 (r2 m) = (r1r2) m e (r1 + r2) m = (r1 m) + (r2 m) para quaisquer r1, r2 R em M ;ii) r (m1 +m2) = (r m1) + (r m2) para quaisquer r R e m1, m2 M ;iii) 1 m = m para todo m M

Seja M um R-modulo (tambem chamado de modulo sobre R). O elemento neutro aditivo

de M , tambem chamado de zero de M , e normalmente dentotado por 0M (ou simplesmente

12

0). Para m M , o oposto aditivo de m em M e normalmente denotado por m. Definimos asubtracao em M como sendo a operacao

: M M M(m1,m2) 7 m1 m2 = m1 + (m2)

.

O produto : R M M da definicao acima e normalmente chamado de produto porescalar. Para r R e m M , costumamos denotar r m simplesmente por rm.

Observacao 1.3.2 Definimos R-modulo a` direita de modo analogo, sendo que o produto por

escalar e definido como sendo uma aplicacao

: M R M(m, r) 7 m r

e as condicoes (i), (ii) e (iii) da definicao 1.3.1 passam a ser:

i) (m r1) r2 = m (r1r2) e m (r1 + r2) = (m r1) + (m r2);ii) (m1 +m2) r = (m1 r) + (m2 r);iii) m 1 = m;para quaisquer m, m1, m2 M e r, r1, r2 R.

E importante observar que a diferenca entre R-modulo a` direita e a` esquerda e algo bem

menos inocente do que simplesmente mudar o escalar de um lado para o outro. Observe que

as condicoes (r1r2) m = r1 (r2 m) (para R-modulos a` esquerda) e m (r1r2) = (m r1) r2 (paraR-modulos a` direita) apresentam uma real diferenca, que vai alem de uma simples mudanca de

lado dos escalares.

No caso de R ser comutativo, e facil ver que as ideias de R-modulo a` direita e a` esquerda

se confundem.

Exemplo 1.3.3 Seja R um anel e considere o seu grupo aditivo (R,+). Tomando a multi-

plicacao de R

: R (R,+) (R,+)(r, a) 7 ra

como produto por escalar, temos que (R,+) e um R-modulo a` esquerda, o qual denotamos por

RR. Observe no produto ra em RR o elemento r e visto como escalar, enquanto a e visto como

um elemento do modulo.

Considerando agora

: (R,+)R (R,+)(a, r) 7 ar

(novamente a multiplicacao do anel R), temos tambem um R-modulo a` direita em (R,+), o

qual e denotado por RR. Observe no produto ar em RR o elemento r e visto como escalar,

enquanto a e visto como um elemento do modulo.

13

Exemplo 1.3.4

Exemplo 1.3.5

Definicao 1.3.6 Sejam R um anel e M um R-modulo a` esquerda. Dizemos que um subcon-

junto N de M e um submodulo de M se satisfaz:

i) N e um subgrupo aditivo de M ;

ii) rn N para quaisquer r R e n N .

Segue imediatamente da condicao (i) desta definicao que se N e um submodulo deM , entao

0M N e n1 + n2, n1 n2, n1 N para quaisquer n1, n2 N . Observe que N e por si umR-modulo.

Definimos submodulo de um R-modulo a` esquerda de modo analogo.

Sendo M um R-modulo, e facil verificar que {0M} e M sao submodulos de M . Dizemos queM e um R-modulo irredutvel (ou simples) se estes sao os unicos submodulos de M .

Exemplo 1.3.7 Seja G um grupo abeliano (com notacao aditiva). Para n Z e g G,definimos:

ng =

0G , se n = 0

g + . . .+ g (n termos) , se n > 0

(|n|g) , se n < 0.

Temos que G, munido do produto

: ZG G(n, g) 7 ng

e um Z-modulo. Assim, todo grupo abeliano tem uma estrutura natural de Z-modulo. Observeque os submodulos de G sao exatamente os seus subgrupos.

Exemplo 1.3.8 Sendo R um anel, os submodulos de RR sao exatamente os ideais a` esquerda

de R, e os submodulos de RR sao exatamente os ideais a` direita de R.

Exemplo 1.3.9 Sejam M um R-modulo (a` esquerda) e m M . Se J e um ideal a` esquerdade R, temos que o conjunto Jm = {xm | x J} e um submodulo de M . Particularmente,Rm = {rm | r R} e um submodulo de M . Observe entao que M e irredutvel se, e somentese, Rm =M para todo m M {0}.

Sendo N um submodulo de M , definimos

JN = {x1n1 + . . .+ xknk | k N, xi J, ni N} .

nao e difcil verificar que JN e um submodulo de M .

14

Exemplo 1.3.10 Seja M um R-modulo. Sendo N1 e N2 submodulos de M , entao N1 +N2 =

{n1 + n2 | n1 N1, n2 N2} e N1 N2 sao tambem submodulos de M . Mais geralmente, se{Ni | i } e uma famlia de submodulos de M , entao

iNi = {n1 + . . .+ nk | k N, nj iNi} e

i

Ni

sao submodulos de M .

Sendo S um subconjunto de M , definimos o submodulo de M gerado por S, denotado por

S, como sendo a intersecao de todos os submodulos deM que contem S. Claramente, S Se S N para todo submodulo N de M que contem S. Temos que, sendo S nao vazio, S =

mS Rm. Particularmente, se S = {m1,m2, . . . ,mk}, entao S = Rm1 +Rm2 + . . .+Rmk.Se N e um submodulo de M e N = S, dizemos que S e um conjunto gerador para N ou

que S gera N . Quando N possui algum conjunto gerador finito, dizemos que N e finitamente

gerado.

Definicao 1.3.11 Sejam M um R-modulo e N um submodulo de M . Dizemos que:

a) N e maximal se N 6=M e se nao existe submodulo N1 de M tal que N ( N1 (M .b) N e minimal se N 6= 0 e se nao existe submodulo N2 de M tal que 0 6= N2 ( N .

E interessante observar que N e maximal se, e somente se, M/N e irredutvel, e tambem

que N e minimal se, e somente se, N e irredutvel.

Exemplo 1.3.12 Os subespacos maximais de um espaco vetorial sao os hiperplanos (nucleos

de funcionais lineares). Os subespacos minimais sao os de dimensao 1.

Exemplo 1.3.13 Seja R um anel. Os submodulos maximais de RR sao os ideais maximais a`

direita e os minimais sao os ideais minimais a` direita. Os submodulos maximais de RR sao os

ideais maximais a` esquerda e os minimais sao os ideais minimais a` esquerda. A existencia de

ideais maximais a` esquerda e a` direita e garantida pela Proposicao 1.1.21. Ja ideais minimais

a` direita e a` esquerda nao precisam existir.

Exemplo 1.3.14 No anelMn(K), comK corpo, temos que I = {A Mn(K) | A tem primeiralinha nula} e um ideal maximal a` direita. Para 1 i, j n, EijMn(K) e um ideal minimal a`direita.

Exemplo 1.3.15 O Z-modulo Z nao possui submodulos minimais, mas possui uma infinidadede submodulos maximais.

15

1.4 Modulos quocientes e homomorfismos de modulos

A ideia de modulo quociente e bem parecida com a de anel quociente. Sejam R um anel,

M um R-modulo (a` esquerda) e N um submodulo de M . Consideremos em M a relacao de

congruencia modulo N, definida da seguinte forma

m1 m2 (mod N) se m1 m2 N.

Nao e difcil ver que esta relacao e de equivalencia. Ademais, denotando por m0 a classe de

equivalencia de um elementom0 M com respeito a esta relacao, temosm0 = {m0+n | n N}.Este conjunto, tambem denotado por m0 +N , e chamado de classe lateral de N contendo m0.

Assim como as classes laterais de um ideal, as classes laterais de um submodulo satisfazem:

mM(m+N) =M ; Se m1, m2 M e (m1 +N) 6= (m2 +N), entao (m1 +N) (m2 +N) = ; Para m1, m2 M , valem: m1 + N = m2 + N m1 m2 (mod N) m1 m2 +N m2 m1 +N .

Denotando por M/N o conjunto quociente da relacao de congruencia modulo N (M/N =

{m+N | m M}), e usando a notacao m para m+N , definimos:

+ : M/N M/N M/N(m1,m2) 7 m1 +m2 = m1 +m2

e : RM/N M/N

(r,m) 7 r m = rm .

De modo inteiramente analogo ao que foi feito para aneis quocientes mostra-se que a soma

acima e bem definida. Quanto ao produto por escalar, supondo m1, m2 R tais que m1 = m2,temos que existe n N tal que m1 = m2 + n. Dado r R, temos entao rm1 = rm2 + rn e darm1 = rm2, uma vez que rn N . Assim, o produto por escalar acima e bem definido.

Nao e difcil ver que M/N , munido da soma, e um grupo abeliano (deixamos a verificacao

como exerccio para o leitor). Alem disso, o produto por escalar definido em M/N satisfaz as

condicoes da Definicao 1.3.1 (a verificacao tambem e deixada como exerccio). Assim, M/N ,

munido destas operacoes, e um R-modulo (a` esquerda), chamado de modulo quociente de M

por N . Observe que 0M e o zero de M/N .

Definicao 1.4.1 Sejam R um anel e M1 e M2 R-modulos (a` esquerda) e f :M1 M2 umaaplicacao. Dizemos que f e um homomorfismo de modulos se valem:

i) f(m1 +m2) = f(m1) + f(m2) para quaisquer m1, m2 M1;ii) f(rm) = rf(m) para quaisquer m M e r R.

Definimos homomorfismo de R-modulos a` direita de modo inteiramente analogo (neste caso

a condicao (ii) se torna f(mr) = f(m)r para quaisquer m M e r R).

16

Sendo M1 e M2 modulos e f :M1 M2 um homomorfismo de modulos, entao particular-mente f e um homomorfismo entre os grupos aditivos (M1,+) e (M2,+). E importante observar

que nem todo homomorfismo entre os grupos aditivos de dois modulos e um homomorfismo de

modulos.

Sendo f : M1 M2 um homomorfismo de modulos, definimos o nucleo e a imagem de f ,denotados por ker f e Im f , respectivamente, como sendo

ker f = {m M1 | f(m) = 02} e Im f = {f(m) | x M1} .Assim como no caso de aneis, definimos monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo de

modulos como sendo, respectivamente, homomorfismo injetivo, homomorfismo sobrejetivo e

homomorfismo bijetivo. Sendo M1 e M2 R-modulos, dizemos que M1 e M2 sao isomorfos, e

denotamos por M1 ' M2, se existe um isomorfismo f : M1 M2. Neste caso, a aplicacaof1 : M2 M1 e tambem um isomorfismo. De fato, dados n1, n2 M2, mostra-se quef1(n1+n2) = f1(n1)+f1(n2) de modo inteiramente analogo ao que se faz para isomorfismos

de aneis. Quanto a` outra condicao, dado n M1, existe m M1 tal que f(m) = n e daf1(rn) = f1(rf(m)) = f1(f(rm)) = rm = rf1(n)

para todo r R. O procedimento e inteiramente analogo para R-modulos a` direita.Definimos um endomorfismo de um R-modulo M como sendo um homomorfismo de M em

M , e um automorfismo de M como sendo um endomorfismo bijetivo de M . Denotamos por

EndRM (ou simplesmente End M) o conjunto dos endomorfismo de R, e por AutRM (ou

simplesmente Aut M) o conjunto dos automorfismos de R.

Proposicao 1.4.2 Sejam R um anel, M1 e M2 R-modulos (denote por 01 e 02 os zeros de M1

e M2, respectivamente) e f :M1 M2 um homomorfismo. Entao valem:a) f(01) = 02.

b) f(m) = f(m) e f(m1 m2) = f(m1) f(m2) para quaisquer m, m1, m2 M1.c) Se N1 e um submodulo M1, entao f(N1) e um submodulo de M2. Particularmente, Im f e

um submodulo de M2.

d) Se N2 e um submodulo de M2, entao f1(N2) e um submodulo de M1. Particularmente,

ker f e um submodulo de M1.

f) Para m1, m2 M1: f(m1) = f(m2) m1 m2 (mod ker f). Da, f e injetivo se, esomente se, ker f = {01}.Demonstracao. Exerccio para o leitor.

Exemplo 1.4.3 Sejam R um anel, M um R-modulo e N um submodulo de M . A aplicacao

: M M/Nx 7 (m) = m

e um homomorfismo sobrejetivo de aneis, chamado de projecao canonica.

17

Exemplo 1.4.4

Sejam M , M1 e M1 modulos. Se f : M M1 e g : M1 M1 sao homomorfismos demodulos, entao g f : M M1 tambem e um homomorfismo de modulos (a verificacao edeixada para o leitor). Particularmente, tomando M =M1 =M2, conclumos que os conjuntos

EndRM e AutRM sao fechados em relacao a` composicao de funcoes. Alem disso, nao e difcil

ver que AutRM , munido da composicao, e um grupo chamado de grupo dos automorfismos do

R-modulo M .

Considere agora o grupo aditivo (M,+) e o seu anel de endomorfismos, End(M,+) (veja

o Exemplo 1.1.5). Observe que o conjunto EndRM dos endomorfismos do R-modulo M e um

subconjunto nao vazio de End(M,+) (claramente o zero e a unidade de End(M,+) pertencem

a EndRM . Alem disso, se f , g EndRM , entao

(f + g)(rm) = f(rm) + g(rm) = rf(m) + rg(m) = r(f + g)(m)

para quaisquer r R e m M , donde segue que f+g EndRM . Logo, EndRM e um subanelde End(M,+), uma vez que tambem e fechado em relacao a` composicao de funcoes. EndRM

e chamado de anel dos endomorfismo do R-modulo M).

Teorema 1.4.5 (Teorema Fundamental dos Homomorfismos) Sejam R um anel, M1 e

M2 R-modulos e f : M1 M2 um homomorfismo de modulos. Entao, o anel quocienteM1/ ker f e isomorfo a Im f .

Demonstracao. A aplicacao

f : M1/ ker f Im fm 7 f (m) = f(m)

e bem definida e e um isomorfismo de modulos (veja a demonstracao do Teorema 1.2.8).

Assim como no caso de aneis, este resultado e tambem chamado de 1o Teorema de Isomor-

fismo e tem varias consequencias importantes. Dados M um R-modulo e N1 e N2 submodulos

de M , temosM +N1N2

' N1N1 N2 (2

o Teorema de Isomorfismo).

Se N1 N2, temos tambemM/N1N2/N1

' MN2

(3o Teorema de Isomorfismo).

As demonstracoes destes fatos sao deixadas para o leitor.

18

1.5 Aneis primitivos

Definicao 1.5.1 Seja M um R-modulo. Definimos a anulador de M, denotado por AnnRM

(ou simplesmente Ann M) como sendo

AnnRM = {x R | xM = 0} = {x R | xm = 0, m M} .

Dizemos que M e um modulo fiel se AnnRM = 0.

Observemos que AnnRM e um ideal (bilateral) de R. Ademais, sendo M um R-modulo a`

esquerda, AnnRM e exatamente o nucleo do homomorfismo f : R End(M,+) induzidopela estrutura de R-modulo de M .

Tomando J = AnnMR, consideremos o anel quociente R/J e o produto

: R/J M M(r,m) 7 r m = rm .

Este produto e bem definido e faz de M um R/J-modulo a` esquerda. Observe que M e um

R/J-modulo fiel. Ademais, os R/J-submodulos de M sao exatamante os R-sunbmodulos de

M .

Exemplo 1.5.2 Seja G um grupo abeliano e considere-o como Z-modulo. Entao, Ann G 6= 0se, e somente se, G tem expoente finito (isto e, existe n inteiro positivo tal que ng = 0 para

todo g G).

Exemplo 1.5.3 O unico espaco vetorial com anulador diferente de {0} e o espaco nulo. Assim,todo espaco vetorial nao nulo e um modulo fiel. Ademais, todo espaco vetorial nao nulo e

tambem fiel como modulo sobre o seu anel de operadores lineares.

Definicao 1.5.4 Seja R um anel. Dezemos que R e primitivo a` esquerda (resp. a` direita) se

possui algum modulo a` esquerda (resp. a` direita) fiel e irredutvel.

Exemplo 1.5.5 Se V e um espaco vetorial (nao nulo), entao o anel L(V ) e primitivo a` esquerda,pois V , como L(V )-modulo a` esquerda e fiel e irredutvel. Particularmente, se K e um corpo,entao Mn(K) e um anel primitivo a` esquerda.

Exemplo 1.5.6 Sendo R um anel com divisao, temos que os R-modulos RR e RR sao fieis e

irredutveis, donde segue que R e primitivo a` direita e a` esquerda.

Exemplo 1.5.7 O anel Z dos inteiros nao e primitivo. De fato, sabemos que se M e umZ-modulo irredutvel, entao M e finito e deve ter ordem prima. Sendo entao p a ordem de M ,temos que p Ann M e assim M nao pode ser fiel.

19

Exemplo 1.5.8 Se M e um R-modulo irredutvel e J = AnnRM , entao R/J e um anel

primitivo. Observe que M , como (R/J)-modulo, e fiel e irredutvel.

Exemplo 1.5.9 Se R1 e R2 sao aneis (nao nulos), entao o produto direto R = R1 R2 naopode ser primitivo. De fato, sejam e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) em R e suponhamos um R-modulo

M fiel e iredutvel (a` esquerda). Como e2 Z(R), temos que e2M = {e2m | m M} e umsubmodulo deM e assim, comoM e fiel e irredutvel, devemos ter e2M =M . Da mesma forma

temos e1M = M e da M = e1M = e1e2M = 0, o que e um absurdo. Assim, R nao pode ser

primitivo.

Exemplo 1.5.10 O anel R = U2(K) de todas as matrizes 2 2 triangulares superiorescom entradas no corpo K nao e primitivo. De fato, observemos primeiramente que I ={(

0 b

0 0

) c K}

e um ideal bilateral de R e que I2 = 0. Suponhamos agora M um

R-modulo (a` esquerda) irredutvel. Entao, IM = xm | x I, m M = IM ou IM = 0. SeIM = M , entao M = IM = I(IM) = I2M = 0, contradicao. Logo, devemos ter IM = 0 e

portanto M nao e fiel.

Exemplo 1.5.11 Se R e um anel primitivo (a` esquerda) entao Mn(R) tambem e. Para ver

isto, tomemos um R-modulo (a` esquerda) M fiel e irredutvel. Considerando agora o grupo

aditivo Mn =M . . .M , definamos : Mn(R)Mn Mn

(A,m) 7 A mda seginte forma: 11 1n... . . . ...

n1 nn

m1...

mn

= 11(m1) + . . .+ 1n(mn)...

n1(m1) + . . .+ nn(mn)

.Munido deste produto por escalar Mn e um Mn(R)-modulo fiel e irredutvel.

Seja M um R-modulo irredutvel. Entao, dado m M nao nulo, temos M = Rm. Segueentao que o homomorfismo de R-modulos

: RR Mx 7 (x) = xm

e sobrejetivo e assim m = ker e um ideal maximal a` esquerda de R. Ademais,

AnnRM = {x R | xM = 0} = {x R | xrm = 0, r R} =

20

= {x R | xR m} = AnnR(

RR

m

).

Se M e fiel, entao xR m vale somente se x = 0.

Definicao 1.5.12 Sejam R um anel e I um ideal (bilateral) de R. Dizemos que I e:

a) Um ideal primitivo a` esquerda se I = {x R | xR m} para algum ideal maximal a`esquerda m de R.

b) Um ideal primitivo a` direita se I = {x R | Rx m1} para algum ideal maximal a` direitam1 de R.

Segue imediatamente desta definicao e do que foi exposto anteriormente que R e um anel

primitivo a` esquerda (resp. a` direita) se, e somente se, o ideal {0} e primitivo a` esquerda (resp.a` direita).

Proposicao 1.5.13 Sejam R um anel e J um ideal bilateral de R. Entao sao equivalentes:

i) J e primitivo a` esquerda.

ii) Existe m ideal maximal a` esquerda de R tal que J = AnnR(RRm

).

iii) J = AnnRM para algum R-modulo a` esquerda irredutvel.

iv) R/J e um anel primitivo a` esquerda.

Demonstracao. i) = ii) = iii) = i) sao imediatos.iii) = iv) Defina

: R/J M M(r,m) 7 r m = rm .

Este produto e bem definido e faz de M um R/J-modulo a` esquerda. Ademais, M e fiel e

irredutvel como R/J-modulo, donde temos (iv).

iv) = iii) Seja M um R/J-modulo a` esquerda fiel e irredutvel. Defina

: RM M(r,m) 7 r m = rm .

Este produto faz de M um R-modulo a` esquerda irredutvel. Ademais, J = AnnRM .

Observacao 1.5.14 Este resultado continua valendo se trocarmos esquerda por direita e RR

por RR.

1.6 O radical de Jacobson

Definicao 1.6.1 Definimos o radical de Jacobson de um anel R, denotado por J(R), como

sendo a intersecao de todos os ideais maximais a` esquerda de R

21

De acordo com esta definicao, temos que J(R) e um ideal a` esquerda de R. Vamos ver agora

que J(R) e, na verdade, um ideal bilateral de R.

Lema 1.6.2 Sejam R um anel e a R. Sao equivalentes:i) a J(R).ii) 1 xa e inversvel a` esquerda para todo x R.iii) a AnnRM para todo R-modulo a` esquerda irredutvel M .

Demonstracao. i) = ii) Se a J(R) e x R, entao xa J(R). Logo, xa m e da 1xa 6 mpara todo ideal maximal a` esquerda m de R. Logo, R(1 xa) = R e assim 1 xa e inversvela` esquerda.

ii) = iii) Suponha (ii) e suponha, por contradicao, que existe algum R-modulo a` esquerdairredutvel M tal que aM 6= 0. Sendo m M um elemento tal que am 6= 0, temos R(am) =Me da existe x R tal que x(am) = m. Assim, (1 xa)m = 0 e portanto m = 0 (1 xa einversvel a` esquerda), o que e uma contradicao. Logo, aM = 0 para todo R-modulo a` esquerda

irredutvel M .

iii) = i) Seja m um ideal maximal a` esquerda de R arbitrario. Como RR/m e um R-modulo a`esquerda irredutvel, temos a AnnR(RR/m). Assim, a = a1 = 0 e da a m. Logo, a J(R).

Corolario 1.6.3 J(R) e um ideal bilateral de R.

Exemplo 1.6.4 Sendo Z o anel dos inteiros, temos J(R) = 0.

Exemplo 1.6.5 Todo anel primitivo a` esquerda ou a` direita tem radical de Jacobson nulo.

Particularmente, J(Mn(K)) = 0.

Exemplo 1.6.6 Sendo Un(K) o anel das matrizes n n triangulares superiores sobre K eN = {A Mn(K) | A tem diagonal nula}, temos J(Un(K)) = N .

Teorema 1.6.7 Sejam R um anel e a R. Entao:a) a J(R) 1 xay U(R) para quaisquer x, y R.b) J(R) e a intersecao de todos os ideais maximais a` direita de R.

Demonstracao. a) Suponha a J(R). Para x, y R, temos ay J(R) e da 1 x(ay) einversvel a` esquerda. Existe entao u R tal que u(1 xay) = 1, donde u = 1 ux(ay).Como ay J(R), temos que existe u1 R tal que u1u = 1. Logo, u1 = 1 xay e assim1 xay U(R). A recproca segue imediatamente do lema anterior.

b) Vamos denotar por J a intersecao de todos os ideais maximais a` direita de R. Clara-

mente J e um ideal a` direita de R. Mostremos primeiramente que se a J , entao 1 ax e

22

inversvel a` direita para todo x R. De fato, como ax J , temos 1 ax m para todo idealmaximal a` direita m de R e portanto 1 ax deve ser inversvel a` direita.

Tomemos agora x, y R, arbitrarios, e suponhamos a J . Como ay J , deve existiru R tal que (1 ayx)u = 1 e da

(1 xay)(1 + xuay) = 1 + xuay xay xayxuay = 1 + xuay x(1 + ayxu)ay = 1.

Por outro lado, ayxu J e da existe v R tal que (1 + ayxu)v = 1. Logo,

(1+ xuay)(1 xuvay) = 1+ xuay xuvay xuayxuvay = 1 xuvay+ xu(1 ayxuv)ay = 1.

Temos entao que 1 xay U(R) e assim a J(R).Suponhamos agora a J(R). Se a 6 m para algum ideal maximal a` direita m de R, entao

m+aR = R e portanto existem m m e x R tais que m+ax = 1. Logo, m = 1ax e assim,por (a), m U(R), o que e um absurdo, uma vez que m 6= R. Desta forma, a deve pertencer atodos os ideais maximais a` direita de R, ou seja, a deve pertencer a J .

Definicao 1.6.8 Seja I um ideal (uni ou bilateral) de um anel R. Dizemos que:

a) I e nil se todo x I e nilpotente.b) I e nilpotente se existe n 1 tal que In = 0.

Dizer que In = 0 significa dizer que x1x2 . . . xn = 0 para quaisquer x1, x2, . . . , xn I.Particularmente, se In = 0 e x I, entao xn = 0. Observe entao que se I e nilpotente, entao enil de ndice limitado.

Exemplo 1.6.9 Se R e um anel comutativo, entao o conjunto dos seus elementos nilpotentes

e um ideal, chamado de nilradical de R. Claramente, o nilradical de R e um ideal nil.

Exemplo 1.6.10 N ={(

0 a

0 0

) a K}

e um ideal nilpotente do anel M2(K). Observe

que N 2 = 0.

Exemplo 1.6.11 Seja K um corpo e considere o anel de polinomios R = K[x1, x2, x3, . . .].

Sendo I = x2i | i N e J = xi | i N, temos que o ideal J/I de R/I e nil, mas nao enilpotente. De fato, para todo n N, x1x2 . . . xn 6= 0 em R/I e todos os elementos de J/I saonilpotentes.

Lema 1.6.12 Se I e um ideal (uni ou bilateral) nil de um anel R, entao I J(R).

Demonstracao. Dados a I e x R, temos xa I ou ax I. Logo, ax ou xa e nilpotente eassim 1 ax U(R) ou 1 xa U(R). Em qualquer caso temos a J(R).

23

Teorema 1.6.13 Sejam R um anel tal que J(R) = 0 e e R um elemento idempotente naonulo. Entao:

a) Se I e um ideal minimal a` direita (resp. a` esquerda) de R, entao existe e1 I idempotentetal que I = e1R (resp. I = Re1).

b) eR e ideal minimal a` direita se, e somente se, eRe e um anel com divisao.

c) Re e ideal minimal a` esquerda se, e somente se, eRe e um anel com divisao.

d) Re e um ideal minimal a` esquerda se, e somente se, eR e um ideal minimal a` direita.

Demonstracao. a) Consequencia do lema anterior de do Lema de Brauer (Lema 1.1.23).

b) Suponha que eR e ideal minimal a` direita. omando x = ere 6= 0 em eRe, temos x eR eportanto xR = eR. Segue da que existe y R tal que xy = e. Como e2 = e, temos xeye = ee assim x e inversvel a` direita em eRe (observe que e e a unidade de eRe).

Suponha agora que eRe e um anel com divisao. Tomando a = er eR, com a 6= 0, temosque existe y R tal que aya 6= 0, pois no caso contrario teramos o ideal aR nil, o que seria,pelo lema anterior, uma contradcao com J(R) = 0. Assim, erye 6= 0 e portanto existe r1 Rtal que (erye)(er1e) = e. Logo, e aR e da aR = eR.c) Analogo a (b).

d) Consequencia imediata de (b) e (c).

1.7 Modulos e aneis semi-simples

Definicao 1.7.1 Seja M um R-modulo. Definimos:

a) O radical de M , denotado por J(M), como sendo a intersecao de todos os submodulos

maximais de M . Caso M nao possua submoduos maximais, definimos J(M) como sendo M .

b) O socle de M , denotado por Soc(M), como sendo a soma de todos os submodulos minimais

de M . Caso M nao possua submodulos minimais, definimos Soc(M) como sendo {0}.

E imediato que J(M) e Soc(M) sao submodulos de M . Dizemos que M e um modulo

semi-simples (ou completamente redutvel) se Soc(M) =M .

Exemplo 1.7.2 Todo espaco vetorial e semi-simples e tem radical nulo. Da mesma forma,

todo modulo irredutvel e semi-simples e tem radical nulo.

Exemplo 1.7.3 Seja G um grupo abeliano. Vendo G como um Z-modulo, temos que seussubmodulos minimais sao os subgrupos de ordem prima (se existirem). Desta forma, Soc(G) =

g G | o(g) e prima.

Lema 1.7.4 (Lei Modular) Sejam M um modulo e N1, N2 e N3 submodulos de M , com

N1 N3. Entao, (N1 +N2) N3 = N1 + (N2 N3).

24

Demonstracao. De N1 N3 segue imediatamente que N1 (N1 + N2) N3. Alem disso,N2 N3 (N1 +N2) N3. Logo, N1 + (N2 N3) (N1 +N2) N3.

Suponha agora que n N3 com n = n1 + n2, onde n1 N1 e n2 N2. Entao, n2 N3,uma vez que n1 N3, e assim n N1 + (N2 N3).

Lema 1.7.5 Sejam M um modulo, N um submodulo de M e 0 6= m M . Entao:a) Existe submodulo de M que e maximal no conjunto Sm = {X submodulo de M | m 6 X}.b) Existe submodulo de M que e maximal no conjunto BN = {X submodulo de M | XN = 0}.c) Se N1 e maximal em BN , entao (N1 +N) Q 6= 0 para todo submodulo Q nao nulo de M .

Demonstracao. a) Observe primeiramente que Sm e nao vazio. Considerando agora Sm ordenadopela inclusao de conjuntos, tomemos C = {Xi | i } uma cadeia de lementos de Sm. Tomandoagora X =

iXi, temos que X Sm e que X e uma cota superior para C em Sm. Assim,

pelo Lema de Zorn Sm possui elemento maximal.b) Observe primeiramente que BN e nao vazio. Considerando agora BN ordenado pela inclusaode conjuntos, tomemos C1 = {Yi | i } uma cadeia de elementos de BN . Assim, Y =

i Yi

e um submodulo de M e Y N = i YiN = 0 (pois YiN = 0), donde Y BN . Ademais,Y e uma cota superior para C1 em BN e portanto o Lema de Zorn garante a existencia deelemento maximal em BN .c) Suponhamos Q submodulo de M tal que (N + N1) Q = 0. Tomando n N (N1 + Q),temos que existem n1 n1 e x Q tais que n = n1 + x e da x = n n1 (N + N1) Q.Logo, x = 0 e consequentemente n = n1, o que nos da n = n1 = 0, uma vez que N1 N = 0.Mostramos entao que N (N1 + Q) = 0 e assim N1 + Q BN . Pela maximalidade de N1devemos ter N1 +Q = N1 e da Q N1. Logo, Q = Q (N +N1) e portanto Q = 0.

Definicao 1.7.6 Sejam M um modulo e N um submodulo de M . Definimos um complemento

de N em M como sendo um submodulo N de M tal que

N N = 0 e N +N =M .

E importante observar um submodulo N nestas condicoes nao precisa necessariamente

existir. No caso de existencia de um complemento N de N em M , temos M = N N e assimdizemos que N e um somando direto de M .

Exemplo 1.7.7 Se V e um espaco vetorial e W e um subespaco de V , tomemos uma base

de W e uma base de V que contem . Sendo W1 o subespaco de V gerado por , temosque V = W W1, ou seja, W1 e um complemento de W em V .

Exemplo 1.7.8 Se G e um grupo abeliano finito e H e um subgrupo de G tal que |H| e |G : H|sao relativamente primos, entao H possui complemento em G.

25

Exemplo 1.7.9 No grupo Z8 os unicos subgrupos que possuem complemento sao {0} e Z8.

Lema 1.7.10 Seja M um modulo e suponha que todo submodulo possui complemento em M .

Entao, J(M) = 0.

Demonstracao. Seja m M {0}, arbitrario, e considere N um submodulo de M maximal noconjunto {X submodulo de M | m 6 X}. Vamos mostrar que N e submodulo maximal de M .De fato, sejam N1 um submodulo de M tal que N ( N1 e N 1 um complemento de N1 em M .Devemos ter m N1. Pela lei modular temos

N = N + (N1 N1) = (N +N 1) N1 .

Como m N1 e m 6 N , temos m 6 N + N 1 e assim N + N 1 = N . Logo, N 1 N e daN 1 N1. Segue entao que N 1 = 0 e assim N1 =M .

Observando agora que m 6 N e que J(M) N , conclumos que J(M) = 0.

Proposicao 1.7.11 Sendo M um modulo, sao equivalentes:

i) M e semi-simples.

ii) Todo submodulo de M possui complemento em M .

Demonstracao. i) = ii) Suponhamos (i) e tomemos um submodulo N qualquer de M . Deacordo com o Lema 3.5.8 existe N1 submodulo de M tal que N1 N = 0 e (N1 +N) Q 6= 0para todo submodulo Q 6= 0 de M . Assim, sendo D um submodulo minimal de M , devemoster (N1 +N) D = D e da D N +N1. Logo, como M e semi-simples, N +N1 =M .ii) = i) Seja N um complemeto de soc(M) em M e suponhamos que N 6= 0. Tomemos N1um submodulo qualquer de N . Entao existe complemento de N1 em M , ou seja, existe algum

submodulo N de M tal que

M = N1 +N e N1 N = 0 .

Logo, N1 (N N) = 0 e, pela lei modular,

N =M N = (N1 +N ) N = N1 + (N N) .

Assim, N1 possui complemento em N , donde J(N) = 0, pelo lema anterior. Segue entao que

para n N {0} deve existir algum submodulo maximal N2 de N tal que n 6 N2. Sendo N3um complemento de N2 em N , devemos ter N3 minimal e da N3 Soc(M), o que nos da umacontradicao. Assim, N deve ser nulo e portanto Soc(M) =M .

Corolario 1.7.12 Se M e um modulo semi-simples, entao J(M) = 0.

26

Corolario 1.7.13 Se M e um modulo semi-simples e N e um submodulos de M , entao N e

M/N sao modulos semi-simples.

Demonstracao. Seja N1 um submodulo de N . Entao existe algum submodulo N1 de M tal que

N1 + N1 = M e N1 N 1 = 0. Da, N1 (N 1 N) = 0 e, pela lei modular, N1 + (N 1 N) =

(N1 +N1) N = N . Logo, N e semi-simples.

Tomemos agora N2 submodulo de deM , com N N2. ComoM e semi-simples, deve existirN 2 submodulo de M tal que N2 + N

2 = M e N2 N 2 = 0. Da, (N + N 2) + N2 = M e, pela

lei modular, (N +N 2) N2 = N + (N 2 N2) = N . Logo, (N 2 +N)/N e um complemento deN2/N em M/N e portanto e semi-simples.

Observacao 1.7.14 As recprocas dos dois corolarios anteriores nao sao validas. Considerando

Z como Z-modulo, observamos que J(Z) = 0, mas Z nao e semi-simples, uma vez que nao possuisubmodulos minimais.

Quanto ao outro corolario, basta tomar M como sendo o Z-modulo Z4. Sendo N = {0, 2},temos que N e M/N sao semi-simples, mas M nao e.

Vamos agora tratar de aneis semi-simples. Sendo R o anel, temos que Soc(RR) e Soc(RR)

sao submodulos de RR e RR, respectivamente, e da conclumos que Soc(RR) e um ideal a`

direita e que Soc(RR) e um ideal a` esquerda de R. Veremos que, na verdade, ambos sao ideais

bilaterais de R. Ate o final desta secao, R denotara um anel.

Lema 1.7.15 Soc(RR) e Soc(RR) sao ideais bilaterais de R.

Demonstracao. Suponhamos Soc(RR) 6= 0 e tomemos I um ideal minimal a` direita de R. Dadoa R arbitrario, temos que aI = {ax | x I} e um ideal a` direita de R e que

: I aIx 7 (x) = ax

e um homomorfismo sobrejetivo de R-modulos a` direita. Como I e irredutvel, temos aI = 0

ou aI irredutvel, donde conclumos que aI Soc(RR).Sendo x um elemento de Soc(RR), existem x1 I1, x2 I2, . . . , xn In, onde I1, I2, . . . ,

In sao ideais minimais a` direita de R, tais que x = x1 + x2 + . . . + xn. Pelo que vimos acima,

dados a R, temos ax1, ax2, . . . , axn Soc(RR) e portanto ax Soc(RR).De modo interamente analogo se mostra que Soc(RR) e um ideal bilateral de R.

Observacao 1.7.16 E interessante observar que nem sempre temos Soc(RR) = Soc(RR).

Sendo K um corpo e R = U2(K), o anel das matrizes 2 2 triangulares superiores sobreK, temos

Soc(RR) =

{(0 x

0 y

) x, y K}

e Soc(RR) =

{(x y

0 0

) b, c K}

.

27

Proposicao 1.7.17 Sao equivalentes:

i) RR e semi-simples.

ii) RR e semi-simples.

Demonstracao. i) = ii) Sendo RR semi-simples, temos que Soc(RR) = R e J(R) = J(RR) = 0.Seja I um ideal minimal a` direita arbitrario de R. Pelo Teorema 1.6.13 existe um idempotente

nao nulo e I tal que I = eR e assim Re e um ideal minimal a` esquerda de R. Segue entao quee Soc(RR) e assim I = eR Soc(RR), pelo lema anterior. Desta forma, Soc(RR) Soc(RR)e portanto Soc(RR) = R.

ii) = i) Analogo.

Definicao 1.7.18 Dizemos que R e um anel semi-simples (ou completamente redutvel) se RR

(e portanto RR) e semi-simples.

Exemplo 1.7.19 Todo anel com divisao e semi-simples. Particularmente, todo corpo e um

anel semi-simples.

Exemplo 1.7.20 Se K e um corpo, entao Mn(K) e um anel semi-simples.

Exemplo 1.7.21 Z nao e um anel semi-simples.

Proposicao 1.7.22 Se R e um anel semi-simples, entao todos os R-modulos, a` direita e a`

esquerda, sao semi-simples.

Demonstracao. Sejam M um R-modulo a` esquerda e {Ij | j } uma famlia de ideaisminimais a` esquerda tal que R =

j Ij. Tomando m M {0M} e j , temos que

: Ij Ijmr 7 (r) = rm

e um homomorfismo sobrejetivo de R-modulos a` esquerda. Como Ij e irredutvel, temos Ijm =

{0M} ou Ijm e um submodulo minimal de M . Observando agora que

Rm =j

Ijm enM

Rn

conclumos que M e semi-simples.

Analogo para os R-modulos a` direita.

Lema 1.7.23 Se M e um modulo e {Nj | j } e uma famlia de submodulos minimais deM , entao existe 1 tal que

jNj =

j1 Nj.

28

Demonstracao. Considere o conjunto D = {J | iJ Nj e soma direta}, o qual e naovazio, uma vez que os subconjuntos unitarios de pertencem e D. Mostremos que D possuielemento maximal com respeito a` inclusao de conjuntos. De fato, tomemos C = {Ji | i K}uma cadeia de elementos de D e J = iK Ji. Sendo j1, j2, . . . , jm elementos arbitrarios deJ , deve existir i K tal que i1, i2, . . . , im Ji. Logo, a soma Nj1 +Nj2 + . . . +Njm e diretae portanto J D. Segue entao que J e uma cota superior para C em D e da, pelo Lema deZorn, D possui elemento maximal.

Sendo 1 maximal em D, mostremos que

jNj =

j1 Nj. De fato, se Nj0 *

j1 Nj

para algum j0 , entaoNj0(

j1 Nj)= {0M}, uma vez queNj0 e um submodulo minimal.

Assim, 1{j0} D, o que contradiz a maximalidade de 1 em D. Logo,

jNj =

j1 Nj.

Proposicao 1.7.24 Se R e um anel semi-simples, entao existem ideais minimais a` direita I1,

. . . , In e ideais minimais a` esquerda J1, . . . , Jm tais que R = I1 . . . In = J1 . . . Jm.

Demonstracao. Como R e semi-simples, existem I1, I2, . . . , In1 ideais minimais a` direita

de R e x1 I1, . . . , xn1 In1 tais que 1 = x1 + . . . + xn1 . Assim, para todo x R, temosx = x1x+ . . .+xn1x, donde conclumos que R = I1+I2+ . . .+In1 . De modo analogo mostramos

que existem J1, J2, . . . , Jm1 ideais minimais a` esquerda de R tais que R = J1 + J2 + . . .+ Jm1 .

Aplicando agora o lema anterior, temos o resultado.

1.8 Modulos e aneis noetherianos e artinianos

Definicao 1.8.1 Seja M um modulo. Dizemos que M e:

a) Noetheriano se M satisfaz a condicao de cadeia ascendente (CCA) para submodulos, ou

seja, se para cada cadeia ascendente

N1 N2 N3 . . . Nk . . .

de submodulos de M existe k0 N tal que Nk = Nk0 para todo k k0.b) Artiniano se M satisfaz a condicao de cadeia descendente (CCD) para submodulos, ou seja,

se para cada cadeia descendente

N1 N2 N3 . . . Nk . . .

de submodulos de M existe k0 N tal que Nk = Nk0 para todo k k0.

Proposicao 1.8.2 Sendo M um modulo, sao equivalentes:

i) M e noetheriano.

ii) M satisfaz a condicao maximal para submodulos, ou seja, todo conjunto nao vazio de

29

submodulos de M possui elemento maximal.

iii) Todo submodulo de M e finitamente gerado.

Demonstracao. i) = ii) Suponhamos, por contradicao, que existe um conjunto nao vazio C desubmodulos deM sem elemento maximal. Assim, se N1 C, deve existir N2 C com N1 ( N2.Como N2 nao e maximal em C, existe N3 C tal que N2 ( N3. Como nao existe elementomaximal em C, este processo pode continuar indefinidamente e assim temos

N1 ( N2 ( N3 ( . . . ( Nk ( . . .

o que contradiz (i). Assim, a implicacao e valida.

ii) = iii) Seja N um submodulo nao nulo qualquer de M e tomemosFGN = {X submodulo de N | X e finitamente gerado} .

Claramente FGN e nao vazio e assim deve existir algum elemento maximal em FGN . Sendo

N1 um tal elemento, tomemos n N arbitrario. Entao N1 + n e finitamente gerado e esubmodulo de N . Logo, devemos ter N1 + n = N1 e da segue que N = N1.iii) = i) Sendo

N1 N2 N3 . . . Nk . . .uma cadeia ascendente de submodulos de M , temos que N =

k=1Nk e um submodulo de

M . Por hipotese N = m1, . . . ,mn. Tomando agora k1, k2, . . . , kn N tais que m1 Nk1 ,m2 Nk2 , . . . , mn Nkn , e k0 = max{k1, k2, . . . , kn}, temos que m1, . . . , mn Nk0 econsequentemente N Nk0 . Segue entao que Nk0 = Nk0+1 = Nk0+2 = . . . = N e assim M enoetheriano.

Proposicao 1.8.3 Sendo M um modulo, sao equivalentes:

i) M e artiniano.

ii) M satisfaz a condicao minimal para submodulos, ou seja, todo conjunto nao vazio de

submodulos de M possui elemento minimal.

Demonstracao. i) = ii) Suponhamos, por contradicao, que existe um conjunto nao vazio C desubmodulos de M sem elemento minimal. Assim, se N1 C, deve existir N2 C com N1 ) N2.Como N2 nao e minimal em C, existe N3 C tal que N2 ) N3. Como nao existe elementominimal em C, este processo pode continuar indefinidamente e assim temos

N1 ) N2 ) N3 ) . . . ) Nk ) . . .

o que contradiz (i). Assim, a implicacao e valida.

ii) = i) SendoN1 N2 N3 . . . Nk . . .

uma cadeia descendente de submodulos de M , consideremos o conjunto {Nk | k N}. Sendok0 minimal neste conjunto, devemos ter Nk0 = Nk0+1 = Nk0+2 = . . . e assim M e artiniano.

30

Definicao 1.8.4 Seja R um anel. Dizemos que R e:

a) Noetheriano a` direita (resp. a` esquerda se RR (resp. RR) e um modulo noetheriano, ou

seja, de R satisfaz CCA para ideais a` direita (resp a` esquerda).

b) Artiniano a` direita (resp. a` esquerda se RR (resp. RR) e um modulo artiniano, ou seja, de

R satisfaz CCD para ideais a` direita (resp a` esquerda).

Exemplo 1.8.5 Todo modulo finito e todo espaco vetorial de dimensao finita e noetheriano e

artiniano. Por outro lado, um espaco vetorial de dimensao infinita nao e noetheriano e nem

artiniano.

Exemplo 1.8.6 O Z-modulo Z e noetheriano, mas nao e artiniano.

Exemplo 1.8.7 Considere o grupo multiplicativo C = {z C | |z| = 1} e seja p um inteiroprimo positivo. Para cada n N, considere o subgrupo Cpn = {z C | zpn = 1} de C. Temosclaramente que

Cp ( Cp2 ( Cp3 ( . . . ( Cpn ( . . .

e assim

n=1Cpn e um subgrupo de C que vamos denotar por Cp . Como Z-modulo vemosclaramente que Cp nao e noetheriano.

Seja H um subgrupo de Cp . Se para algum n N temos H Cpn , entao H = Cpk paraalgum k {0, 1, . . . , n}. Suponhamos agora que H * Cpn para todo n N. Entao, dado n N,existe x H Cpn e da o(x) = pm, com m > n. Logo, Cpm = x H e assim Cpn H.Desta forma, H = Cp .

Mostramos entao que os unicos subgrupos de Cp sao {1}, Cp e Cpn para n N. Comisso conclumos que Cp , como Z-modulo, e artiniano.

Exemplo 1.8.8 O anel (Z Q0 Q

)=

{(a b

0 c

) a Z, b, c Q}

e noetheriano a` direita, mas nao e noetheriano a` esquerda.

Exemplo 1.8.9 O anel(Q IR0 IR

)=

{(a b

0 c

) a Q, b, c IR}

e artiniano a` direita, mas nao e artiniano a` esquerda.

Proposicao 1.8.10 Sejam M um modulo e N um submodulo de M . Entao:

a) M e noetheriano se, e somente se, N e M/N sao noetherianos.

b) M e artiniano se, e somente se, N e M/N sao artinianos.

c) Se M e semi-simples e artiniano, entao M = N1 . . . Nn, com N1, . . . , Nn submodulosminimais de M .

31

Demonstracao. a) Se M e noetheriano, e imediato que N e M/N sao noetherianos.

Suponhamos que N e M/N sao noetherianos e consideremos uma cadeia ascendente N1 N2 N3 . . . Nk . . . de submodulos de M . Temos entao

N1 N N2 N N3 N . . . Nk N . . .

eN1 +N

N N2 +N

N N3 +N

N . . . Nk +N

N . . .

e assim existe k0 N tal que Nk + N = Nk0 e Nk N = Nk0 N para todo k k0. Dadok N, com k k0, tomemos n Nk. Existem n0 Nk0 e x N tais que n = n0 + x. Logo,x = n n0 Nk e assim x Nk N . Segue entao que x Nk0 e portanto n Nk0 . Da,Nk = Nk0 e assim M e noetheriano.

b) Se M e artiniano, e imediato que N e M/N sao artinianos.

Suponhamos que N e M/N sao artinianos e consideremos uma cadeia descendente N1 N2 N3 . . . Nk . . . de submodulos de M . Temos entao

N1 N N2 N N3 N . . . Nk N . . .

eN1 +N

N N2 +N

N N3 +N

N . . . Nk +N

N . . .

e assim existe k0 N tal que Nk + N = Nk0 e Nk N = Nk0 N para todo k k0. Dadok k0, temos

Nk0 = (Nk0 +N) Nk0 = (Nk +N) Nk0 = Nk + (N Nk0) = Nk + (N Nk) = Nk

sendo a terceira igualdade acima consequencia da Lei modular. Logo, M e artiniano.

c) Sendo M semi-simples, existe uma famlia F = {Nj | j J} de submodulos minimais deM tais que M =

jJ Nj. Supondo J infinito, podemos tomar uma subfamlia {Nji | i N}

enumeravel de F e considerar Mk =

i=k para cada k N. Temos entao

M1 )M2 )M3 ) . . . )Mk . . .

o que contradiz a hipotese deM ser artiniano. Assim, J deve ser finito, o que nos da o resultado.

Corolario 1.8.11 Se M1, M2, . . . , Mk sao modulos noetherianos (resp. artinianos), entao

M1 M2 . . .Mk e noetheriano (resp. artiniano).

Demonstracao. Para k = 2, tomemos M = M1 M2. Temos que M1 ' M1 {0} e queM2 'M/(M1 {0}). Logo, M e noetheriano. Para o caso geral basta usar inducao em k.

Para M1, M2, . . . , Mk artinianos a demonstracao e exatamente a mesma.

32

Proposicao 1.8.12 Se M e um modulo artiniano tal que J(M) = {0M}, entao M e semi-simples.

Demonstracao. Seja N um submodulo arbitrario de M e considere o conjunto IN ={Q submodulo de M | Q + N = M}. Claramente IN 6= . Tomando Q0 minimal em IN ,mostremos que Q0 N = {0M}. Supondo, por contradicao, que Q0 N 6= {0M}, temos queexiste algum submodulo maximal M1 de M tal que Q0 N * M1. Da, M1 + (Q0 N) = Me portanto Q0 = ((Q0 N) +M1) Q0. Pela Lei modular, Q0 = (Q0 N) + (M1 Q0) eda N + Q0 = N + (M1 Q0). Como Q0 IN , devemos ter N + (M1 Q0) = M e portantoM1 Q0 IN . Segue entao da minimalidade de Q0 em IN que Q0 M1 = Q0 e da Q0 M1,o que e uma contradicao, uma vez que Q0 N * M1. Devemos ter entao Q0 N = {0M} eassim Q0 e um complemento de N em M . Conclumos entao que M e semi-simples.

Corolario 1.8.13 Se R e um anel, sao equivalentes:

i) R e semi-simples.

ii) R e artiniano a` direita e J(R) = 0.

iii) R e artiniano a` esquerda e J(R) = 0.

Corolario 1.8.14 Se R e um anelsimples e artiniano (a` esquerda ou a` direita), entao R e

semi-simples.

Teorema 1.8.15 Se R e um anel artiniano a` esquerda (ou a` direita), entao J(R) e um ideal

nilpotente.

Demonstracao. Como J(R) J(R)2 J(R)3 . . . J(R)n . . . , deve existir n0 N talque J(R)n = J(R)n0 para todo n n0. Chamando J(R)n0 de B, provemos que B = 0. Defato, supondo, por contradicao, que B 6= 0, consideremos o conjunto

C = {I ideal a` esquerda de R | BI 6= 0} .

Como B2 = B = 0, temos que C e nao vazio. Tomando I0 minimal em C, fixemos x I0 tal queBx 6= 0. Claramente, Bx e um ideal a` esquerda de R e Bx I0. Ademais, B(Bx) = B2x =Bx 6= 0, donde Bx C. Pela minimalidade de I0 em C, devemos ter Bx = I0 e assim existeb B tal que bx = x. Logo, (1 b)x = 0 e da, como b B J(R), segue que x = 0, o que euma contradicao. Desta forma devemos ter J(R)n0 = B = 0.

Teorema 1.8.16 Se R e um anel artiniano a` esquerda (resp. a` direita), entao R e noetheriano

a` esquerda (resp. a` direita.)

33

Demonstracao. Comecemos denotando o anel quociente R/J(R) por R e observando que

J(R) = 0. Sendo RR artiniano, temos que R e artiniano como R-modulo a` esquerda. Como

os submodulos de RR sao exatamente os submodulos de R como R-modulo, temos que RR e

artiniano. Logo, R e um anel semi-simples.

Sabemos que existe n N tal que J(R)n = 0. Para cada k {0, 1, . . . , n1}, consideremos oquocienteMk = J(R)

k/J(R)k+1, que e um R-modulo a` esquerda. Fixemos k {0, 1, . . . , n1},arbitrario, e mostremos que Mk e noetheriano. De fato, como J(R) AnnR(Mk), temos queMk tem uma estrutura de R-modulo a` esquerda. Ademais, Mk e um R-modulo semi-simples,

uma vez que R e um anel semi-simples. Como os R-submodulos de Mk sao exatamente os

seus R-submodulos, segue que Mk e tambem semi-simples como R-modulo. Observando agora

que Mk e artiniano como R-modulo, temos que Mk e a soma direta de um numero finito

de R-submodulos minimais e assim Mk e noetheriano como R-modulo. Desta forma, R/J(R),

J(R)/J(R)2, . . . , J(R)n1/0 (' J(R)n1) sao todos R-modulos a` esquerda noetherianos, dondesegue que RR e noetheriano.

34

Captulo 2

Algebras

2.1 Definicao e propriedades basicas

Seja K um corpo.

Definicao 2.1.1 Uma K-algebra e um par (A, ), onde A e um K-espaco vetorial e euma operacao em A que e bilinear, ou seja, : A A A satisfaz:i) a (b+ c) = (a b) + (a c)ii) (a+ b) c = (a c) + (b c)iii) (a) b = a (b) = (a b)para quaisquer a, b, c A e K.

Na definicao acima, e chamada de produto ou multiplicacao. Para simplificar a notacao,vamos denotar a K-algebra (A, ) por A, ficando o produto subentendido, e ab, para a, b A,vamos denotar simplesmente por ab. Tambem por simplicidade, vamos usar a expressao algebra

ao inves de K-algebra. Definimos a1a2a3 como sendo (a1a2)a3 e, indutivamente, a1a2 . . . anan+1

como sendo (a1a2 . . . an)an+1 para ai A. Dizemos que um subconjunto e uma base daalgebra A se e uma base de A como espaco vetorial e definimos a dimensao de A como sendo

a dimensao de A como espaco vetorial.

Definicao 2.1.2 Dizemos que uma algebra A e:

a) Associativa se o produto de A e associativo, ou seja, se (ab)c = a(bc) para quaisquer a, b,

c A.b) Comutativa se o produto de A e comutativo, ou seja, se ab = ba para quaisquer a, b A.c) Unitaria (ou com unidade) se o produto de A possui elemento neutro, ou seja, se existe 1 Atal que 1a = a1 = a para todo a A.

Observacao 2.1.3 Se A e uma algebra com unidade, identificamos naturalmente o elemento

1 de A com , para K, e o conjunto {1 | K} com K. Se A e uma algebra

35

associativa, observe que (A,+, ), onde + e sao a soma e a multiplicacao da algebra A,respectivamente, e um anel. Se a algebra A tambem possui unidade, entao (A,+, ) e um anelcom unidade.

Exemplo 2.1.4 Para n N, o espaco vetorial Mn(K) de todas as matrizes n n com en-tradas em K, munido do produto usual de matrizes, e uma algebra associativa com unidade de

dimensao n2. Nesta algebra e importante destacar as matrizes unitarias Eij, para 1 i, j n,onde Eij e a matriz cuja unica entrada nao nula e 1 na i-esima linha e j-esima coluna. E facil

ver que elas formam uma base para Mn(K).

Mais geralmente, se A e uma algebra, consideremos o espaco vetorial Mn(A) de todas as

matrizes n n com entradas em A. O produto de matrizes em Mn(A) e analogo ao produtode matrizes com entradas em K. Temos entao uma estrutura de algebra em Mn(A).

Exemplo 2.1.5 Seja V um espaco vetorial com base {e1, e2, e3, . . .}. Definimos a algebra deGrassmann (ou algebra exterior) de V , denotada por E(V ) (ou simplesmente por E), como

sendo a algebra associativa e unitaria com base

{1, ei1ei2 . . . eik | i1 < i2 < . . . < ik, k 1}

e cujo produto e definido pelas relacoes e2i = 0 e eiej = ejei para quaisquer i, j N.Destacamos em E os subespacos vetoriais E0, gerado pelo conjunto {1, ei1ei2 . . . eim | m par},e E1, gerado pelo conjunto {ei1ei2 . . . eik | k mpar}. Claramente, E = E0 E1 como espacovetorial. De eiej = ejei segue que (ei1 . . . eim)(ej1 . . . ejk) = (1)mk(ej1 . . . ejk)(ei1 . . . eim) paraquaisquer m, k N, e assim podemos concluir que ax = xa para quaisquer a E0 e x E, ebc = cb para quaisquer b, c E1. Observamos facilmente que se charK = 2, entao E e umaalgebra comutativa.

Tomando agora E como sendo a algebra com base {ei1ei2 . . . eik | i1 < i2 < . . . < ik,k 1}, temos que E nao tem unidade e e chamada de algebra exterior sem unidade.

Exemplo 2.1.6 Sejam V um espaco vetorial e L(V ) o espaco vetorial dos operadores linearessobre V . Temos que L(V ), munido da composicao de funcoes, e uma algebra associativa comunidade, chamada de algebra dos operadores lineares sobre V . Se T, S L(V ), vamos denotarT S simplesmente por TS.

Exemplo 2.1.7 Se L e uma extensao do corpo K, temos que L e naturalmente um K-espaco

vetorial. E facil ver que L e uma K-algebra associativa, comutativa e com unidade, onde o

produto e exatamente o produto do corpo L.

Exemplo 2.1.8 Considere o espaco vetorialK[x] dos polinomios na variavel x com coeficientes

em K. Munido do produto usual de polinomios, K[x] e uma algebra associativa, comutativa e

com unidade.

36

Mais geralmente, podemos definir a algebra K[X] dos polinomios em varias variaveis. Aqui

X = {xi | i I} e um conjunto de variaveis. Se X = {x1, . . . , xn}, denotamos K[X] porK[x1, . . . , xn].

Exemplo 2.1.9 Se R e um anel (com unidade) simples, temos que Z(R), o centro de R, e

um corpo e assim R tem uma estrutura natural de espaco vetorial sobre Z(R). Este espaco

vetorial, munido do produto do anel R, e entao uma Z(R)-algebra.

Exemplo 2.1.10 Dizemos que uma algebra A e uma algebra de Lie se valem:

i) x2 = xx = 0 (anti-comutatividade)

ii) (xy)z + (yz)x+ (zx)y = 0 (identidade de Jacobi)

Para quaisquer x, y, z A. Observe que (i) implica em xy = yx para quaisquer x, y A.Dizemos que uma algebra de Lie e abeliana se xy = 0 para quaisquer x, y A.

Exemplo 2.1.11 Considere o espaco vetorial real IR3. Sendo o produto vetorial em IR3,temos que (IR3,) e uma algebra de Lie.

Seja Sln(K) = {X Mn(K) | tr X = 0}. Temos que Sln(K) e um subespaco de dimensaon2 1 de Mn(K). Considerando agora o produto

[, ] : Sln(K) Sln(K) Sln(K)(X, Y ) 7 [X,Y ] = XY Y X

temos que (Sln(K), [, ]) e uma algebra de Lie.

Exemplo 2.1.12 Seja A uma algebra e consideremos o espaco vetorial

K A = {(, a) | K, a A}.

Definindo em K A o produto (1, a1)(2, a2) = (12, 1a2 + 2a1 + a1a2), temos que K Ae uma algebra com unidade (que e o elemento (1, 0)). Observe que K A e associativa se, esomente se, A e associativa. Observe tambem que K A e comutativa se, e somente se, A ecomutativa. Esta construcao e chamada de adjuncao formal da unidade a A.

Exemplo 2.1.13 Sejam A1 e A2 duas algebras. O produto direto de A1 por A2 e definido

como sendo a algebra A1A2, cujas operacoes de soma, produto por escalar e multiplicacao saodefinidas coordenada a coordenada. Este conceito generaliza-se facilmente para uma quantidade

qualquer de fatores.

Proposicao 2.1.14 Sejam A uma algebra, a, b, c A e 1, 2 K. Entao:a) 0a = a0 = 0.

b) (1a)(2b) = 12ab.

37

c) (a)b = a(b) = ab e (a)(b) = ab.d) a(b c) = ab ac e (a b)c = ac bc.e) Se A possui unidade, entao (1)a = a(1) = a e (1)(a) = a.f) Se A 6= 0 e A possui unidade, entao 1 6= 0.

Demonstracao. Exerccio para o leitor.

Seja A e uma algebra. Se V e W sao subespacos vetoriais de A, definimos o produto VW

como sendo o subespaco vetorial de A gerado pelo conjunto {xy | x V , y W}. Sea A{0}, dizemos que a e um divisor de zero em A se existe algum elemento nao nulo b Atal que ab = 0 ou ba = 0. Dizemos que um elemento x A e idempotente se x2 = x. Observeque se A possui unidade e x A {0, 1} e um elemento idempotente, entao x e um divisor dezero em A.

Nao e difcil ver (exerccio para o leitor) que A nao possui divisores de zeros se, e somente

se, para a, x, y A, com a 6= 0, valem as seguintes implicacoes (leis do cancelamento):

ax = ay = x = y e xa = ya = x = y.

Sendo A associativa e a, b A, definimos o comutador [a, b] e o produto de Jordan a bcomo sendo

[a, b] = ab ba e a b = 12(ab+ ba) .

Observe qua a definicao de a b e valida se charK 6= 2. Definimos tambem o comutador decomprimento n como sendo [a1, . . . , an1, an] = [[a1, . . . , an1], an] para ai A. Atraves de umcalculo simples, podemos mostrar que para quaisquer a, b, c A vale

[ab, c] = a[b, c] + [a, c]b . (2.1)

Ademais, usando inducao e (2.1), e possvel mostrar que

[a1a2 . . . an, c] =ni=1

a1 . . . ai1[ai, c]ai+1 . . . an . (2.2)

Definimos o comutador de A, denotado por [A,A], com sendo o subespaco vetorial de A

gerado pelo conjunto {[x, y] | x, y A}. Observe que A e uma algebra comutativa se, esomente se, [A,A] = 0.

Definicao 2.1.15 Seja A uma algebra associativa. Dizemos que:

a) Um elemento a A e nilpotente se existe n N tal que an = 0. O menor n que satisfazan = 0 e chamado de ndice de nilpotencia de a.

b) A e uma algebra nil se todo elemento de A e nilpotente.

38

c) A e uma algebra nilpotente se existe n N tal que An+1 = 0, ou seja, x1x2 . . . xn+1 = 0para quaisquer x1, x2, . . . , xn+1 A. O menor n que satisfaz An+1 = 0 e chamado de ndicede nilpotencia de A.

Quando existe n N tal que an = 0 para todo a A, dizemos que A e nil de ndice limitado.Observe entao que se A e uma algebra nilpotente, entao e nil de ndice limitado. Claramente,

uma algebra nil nao pode ter unidade.

Exemplo 2.1.16 Considere a K-algebra

N3(K) =

0 a b0 0 c

0 0 0

a, b, c K .

Nao e difcil ver que esta algebra e nilpotente de ndice 2. Mais geralmente, a algebra Nm(K)de todas as matrizes m m triangulares superiores com diagonal nula e nilpotente de ndicem.

Exemplo 2.1.17 Considere a algebra exterior sem unidade E . Dado n N, temos quee1e2 . . . en 6= 0 e assim E nao e nilpotente. Mostremos agora que E e nil. Dado a E , sejamx0 E0 e x1 E1 tais que a = x0 + x1. Como x0 e x1 sao nilpotentes (exerccio para o leitor)e comutam, temos que a e nilpotente.

Seja A uma algebra associativa com unidade. Dizemos que a A e inversvel se possuiinverso multiplicativo, ou seja, se existe a1 A tal que aa1 = a1a = 1. E facil ver que seA e inversvel, entao seu inverso e unico e que o conjunto U(A) = {a A | a e inversvel} emultiplicativamente fechado. Ademais, U(A), munido do produto de A, e um grupo, chamado

de grupo multiplicativo de A. E facil ver que se a U(A) e K {0}, entao a U(A).Exemplo 2.1.18 Seja V um K-espaco vetorial de dimensao qualquer. Temos que U(L(V )) ={T L(V ) | T e inversvel}. Este grupo, que e normalmente denotado por GL(V ), e chamadode grupo linear sobre V .

Sendo n N, temos U(Mn(K)) = {X Mn(K) | detX 6= 0}. Este grupo, que e normal-mente denotado por GLn(K), e chamado de grupo linear de grau n sobre K.

Definicao 2.1.19 Seja A uma algebra associativa com unidade. Dizemos que A e uma algebra

com divisao se U(A) = A {0}.Proposicao 2.1.20 Sejam A uma algebra e S um subconjunto gerador de A (como espaco

vetorial). Entao:

a) A e associativa se, e somente se, (uv)w = u(vw) para quaisquer u, v, w S.b) A e comutativa se, e somente se, uv = vu para quaisquer u, v S.c) A possui unidade se, e somente se, existe 1 A tal que 1v = v1 = v para todo v S.

39

Demonstracao. Dados a, b, c A, temos que a = uS uu, b = vS vv e c = wS ww,onde u, v, w K e os conjuntos {u S | u 6= 0}, {v S | v 6= 0} e {w S | w 6= 0} saofinitos.

a) Supondo (uv)w = u(vw) para quaisquer u, v, w S, temos

(ab)c =

(u,vS

(uv)uv

)wS

ww =

u,v,wS(uvw)(uv)w =

u,v,wS

(uvw)u(vw) =

(uS

uu

)(v,wS

(vw)vw

)= a(bc) .

Logo, A e associativa. A recproca e imediata.

b) Supondo uv = vu para quaisquer u, v S, temos

ab =u,vS

(uv)uv =u,vS

(vu)vu = ba .

Logo, A e comutativa. A recproca e imediata.

c) Supondo que existe 1 A tal que 1v = v1 = v para todo v S, temos que

1a =uS

u(1u) =uS

uu = a e a1 =uS

u(u1) =uS

uu = a.

Logo, 1 e unidade de A. A recproca e imediata.

Exemplo 2.1.21 Toda algebra de dimensao 2 com unidade e comutativa e associativa. Para

verificar isto, basta tomar a A K e, observando que {1, a} e uma base de A, e aplicar oresultado anterior.

Proposicao 2.1.22 Sejam A um espaco vetorial e uma base de A. Entao, dada uma funcao

f : A, existe uma unica aplicacao bilinear : A A A estendento f , ou seja,satisfazendo u1 u2 = f(u1, u2) para quaisquer u1, u2 .

Demonstracao. Numa expressao da forma

v vv, com v K, vamos sempre considerar{v | v 6= 0} finito. Defina : A A A da seguinte forma: sendo a =

u uu e

b =

v vv, com u, v K,

a b =u,v

uvf(u, v) .

Observe que esta bem definida, uma vez que se v vv = v vv, com v, v K,entao v =

v para todo v . Tomando agora K e a =

u uu, a1 =

u

uu,

b =

v vv elementos de A, temos

(a+ a1) b =u

(u + u)u

v

vv =u,v

(u + u)vf(u, v) =

40

u,v

uvf(u, v) +u,v

uvf(u, v) = (a b) + (a1 b)

e

(a b) =u,v

uvf(u, v) =u

(u)u v

vv = (a) b .

De modo analogo se mostra que (a b) = a (b) e que a (b1 + b2) = (a b1) + (a b2) paraquaisquer b1, b2 A. Logo, e bilinear. Ademais, se u1, u2 , entao u1 =

u uu,

com u1 = 1 e u = 0 para u 6= u1, e u2 =

v vv, com u2 = 1 e v = 0 para v 6= u2. Logo,u1 u2 = f(u1, u2). A demonstracao da unicidade fica como exerccio para o leitor. Exemplo 2.1.23 Seja S um conjunto nao vazio. Consideremos o conjunto KS de todas as

somas formais

sS ss, onde s K e {s S | s 6= 0} e finito. Aqui ss e um smboloformal. Vamos dizer que

sS ss =

sS ss em KS se s = s para todo s S. Defina

agora em KS a soma sS

ss+sS

ss =sS

(s + s)s

e o produto por escalar

sS

ss =sS

(s)s para K.

Temos que KS, munidos destas operacoes, e um K-espaco vetorial, chamado de K-espaco ve-

torial com base S. Identificando s0 S com o elemento

sS ss, onde s =

{1 , se s = s0

0 , se s 6= s0,

temos que S e realmente uma base de KS.

Se e uma operacao em S, de acordo com o resultado anterior se estende a uma unicaoperacao bilinear em KS, a qual vamos denotar tambem por . Temos entao que (KS, ) euma K-algebra. Segue da Proposicao 2.1.20 que se a operacao em S e associativa (resp.comutativa), entao a algebra (KS, ) e associativa (resp. comutativa). Observamos tambemque se a operacao possui elemento neutro em S, entao este elemento funciona como unidadena algebra (KS, ).

Um caso particular e importante de construcao deste tipo aparece quando temos um grupo

G. Adotando a notacao multiplicativa em G e considerando no espaco vetorial KG o produto

induzido pela operacao de G, temos que KG e uma algebra, chamada de algebra de grupo.

Observe que KG e uma algebra associativa com unidade e que KG e comutativa se, e somente

se, G e abeliano.

Exemplo 2.1.24 Considere o espaco vetorial real Q com base {1, i, j, k}. Cada elemento deQ possui uma unica expressao na forma 01+1i+2j+3k, com 0, 1, 2, 3 IR. Vamosdenotar 01 simplesmente por 0. Tomemos em Q o produto definido por:

12 = 1 , i1 = 1i = i , 1j = j1 = j , 1k = k1 = k , (2.3)

i2 = j2 = k2 = 1 , ij = ji = k , jk = kj = i , ki = ik = j .

41

Observe que Q munido deste produto e uma algebra com unidade (o elemento 1). Como

(xy)z = x(yz) para quaisquer x, y, z {1, i, j, k}, temos que Q e uma algebra associativa.Tomando agora a = 01 + 1i + 2j + 3k, definimos o cojugado de A em Q como sendo o

elemento a = 011i2j3k. Definimos tambem a norma de a: N(a) = 20+21+22+23.Atraves de um calculo simples podemos mostrar que aa = aa = N(a). Supondo agora a 6= 0,temos N(a) 6= 0 e

a

(1

N(a)a

)=

(1

N(a)a

)a = 1

ou seja, a e inversvel e a1 = 1N(a)

a. Logo, Q e uma algebra com divisao, chamada de algebra

dos quaternios reais.

2.2 Subalgebras, ideais e quocientes

Definicao 2.2.1 Seja A uma algebra. Dizemos que:

a) Um subespaco vetorial B de A e uma subalgebra A se B e multiplicativamente fechado, ou

seja, se b1b2 B para quaisquer b1, b2 B.b) Um subespaco vetorial I de A e um ideal (bilateral) de A se ax, xa I para quaisquer x Ie a A.

Observacao 2.2.2 1) Sendo A uma algebra, temos que uma subalgebra B de A e por si uma

algebra, cuja multiplicacao e a restricao da multiplicacao de A a B.

2) Assim como fazemos para aneis, podemos definir para algebras ideais unilaterais. Vamos

dizer que um subespaco I de A e um ideal a` direita (resp. a` esquerda) de A se xa I (resp.ax I) para quaisquer x I e a A.3) Sendo A uma algebra com unidade, considere I um subgrupo aditivo de A tal que ax, xa Ipara quaisquer x I e a A. Dado K e a I temos a = (1a) = (1)a I e assim I eum ideal de A.

4) Definimos ideal nil e ideal nilpotente da mesma forma que definimos algebra nil e algebra

nilpotente (veja 2.1.15).

Exemplo 2.2.3 Considere a algebra exterior E (Exemplo 2.1.5). Dado n N, tomemos osubespaco En de E gerado pelo conjunto {1, ei1ei2 . . . eik | i1 < i2 < . . . < ik n}. Temos queEn e uma subalgebra de E de dimensao 2

n e e a algebra exterior do espaco vetorial com base

{e1, e2, . . . , en}.

Exemplo 2.2.4 Centro de uma algebra. Sendo A uma algebra, o conjunto

Z(A) = {a A | ax = xa para todo x A}

42

e chamado de centro de A. Observe que Z(A) e um subespaco vetorial de A. No caso de A

ser associativa temos que Z(A) e uma subalgebra de A. E um fato bem conhecido que para

todo n N vale Z(Mn(K)) = {Inn | K} (matrizes escalares). Quanto a` algebra deGrassmann, observando o Exemplo 2.1.5 podemos concluir que Z(E) = E0 (charK 6= 2).

Observacao 2.2.5 E interessante observar que no caso de A nao ser associativa Z(A) nao

precisa ser uma subalgebra de A. Considere o conjunto S = {a, b, c, d} com a operacao definida por

a b c da a d c c

b d b a b

c c a a c

d c b a d

Considere o K-espaco vetorial KS e a K-algebra (KS, ), onde e a operacao bilineardefinida por esta tabela (veja o Exemplo 2.1.23). Observe que a, b Z(KS) e no entantod = a b 6 Z(KS), pois d c 6= c d.

Exemplo 2.2.6 Considere A como sendo a subalgebra de IR[x] constituda dos polinomios com

termo constante nulo e

J = {a1x+ a2x2 + . . .+ anxn A | n N , a1 Z}

temos que J e um subgrupo aditivo de A e que au, ua J para quaisquer u J e a A, masJ nao e fechado em relacao ao produto por escalar. Este exemplo mostra que o fato colocado

na Observacao 2.2.2, tem (3), nao e valido sem a hipotese de existencia de unidade na algebra.

Proposicao 2.2.7 Sejam A uma algebra, W um subespaco, B uma subalgebra e I e J ideais de

A. Suponha S e X subconjuntos geradores de A e W (como espacos vetoriais), respectivamente.

Entao:

a) W e uma subalgebra de A se e somente se, x1x2 W para quaisquer x1, x2 X.b) W e um ideal de A se, e somente se, sx, xs W para quaisquer x X e s S.c) I + J = {u+ y | u I, y J} e I J sao ideais de A.d) I +B = {u+ b | u I, b B} e uma subalgebra de A.e) Se A e associativa, entao IJ = uy | u I, y J e um ideal de A.

Demonstracao. Exerccio para o leitor.

Nao e difcil mostrar (deixamos como exerccio para o leitor) que a intersecao de uma famlia

qualquer de subalgebras (resp. ideais) de uma algebra A ainda e uma subalgebra (resp. ideal)

de A. Com base nesse fato, temos a seguinte definicao.

43

Definicao 2.2.8 Sejam A uma algebra com unidade e S um subconjunto de A. Definimos:

a) A subalgebra de A gerada por S, denotada por KS, como sendo a intersecao de todas assubalgebras de A que contem S {1}.b) O ideal de A gerado por S como sendo a intersecao de todos os ideais de A que contem S.

E imediato desta definicao que KS contem o subespaco de A gerado por S e e a menorsubalgebra de A que contem S {1}. De modo analogo temos que o ideal de A gerado por Se o menor ideal de A que contem S. Tambem e imediato desta definicao que se S1 S2 A,entao KS1 KS2 e o ideal gerado por S1 esta contido no ideal gerado por S2.

Dizemos que