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Texto: Neiva ManziniFormatação: Claudio G de Paula
Quando um corpo rígido gira suas partículas descrevem trajetórias circulares, em torno de um eixo.
Eixox
y
z
0
r P.
A figura representa a trajetória circular de uma partícula P, de um corpo rígido, que gira em torno do eixo Z.
Qual a equação matemática que determina a freqüência e o período do ponto P?
A relação entre a posição angular θ e o arco s é:
Δθ= θf - θi deslocamento angular
Sentido da Rotação
0
rP
S
x
y
Atenção: Δθ deslocamentos angulares não infinitesimais não são vetores porque não se somam como vetores (a soma não é comutativa).
No entanto, um deslocamento angular infinitesimal – d - pode ser considerado uma grandeza vetorial.
θ posição angular
s = θ.r
Saiba maisθ
ttt
12
12
Velocidade angular instantânea
É a velocidade com que o raio r varre um ângulo θ, num intervalo de tempo.
Direção e sentido de ω
Velocidade angular média
ω
Direção: eixo de rotação
Sentido:”regra da mão direita”
Saiba mais
dtdt /t0lim
Observe que as poltronas giram com a mesma velocidade angular, inclusive um ponto da estrutura que se encontre próximo do eixo de rotação. Assim, a velocidade angular de um corpo rígido em rotação pura é a mesma para todas as partículas do corpo.
Agora responda: a aceleração angular é a mesma para todas as partículas de um corpo rígido em rotação pura, em torno de um eixo fixo?
CLIQUE para ver um vídeo
1) Numa centrífuga com raio igual a 15 m, a posição angular varia de acordo com a equação θ (t) = 1,5 t2
(unidades SI). Para t = 5 s, calcular:
Estude os conteúdos referentes a cinemática da rotação no livro texto,
refaça os exercícios resolvidos em sala de aula e
resolva os exercícios das páginas seguintes.
E agora, vamos
trabalhar!
No final do caderno você encontra um resumo sobre conteúdos da rotação de corpos rígidos.
a) a aceleração tangencial;
b) a aceleração normal;
c) a aceleração linear total;
d) o ângulo que o vetor aceleração linear total faz com o raio.
θ (t) = 2t3 – 4t2 – 9 (unidades do SI).
Para este movimento, determine:
2) Um corpo rígido em rotação obedece à seguinte equação de movimento: c) a velocidade angular
instantânea em t = 6s;
a) o deslocamento angular nos primeiros 12s;
b) a velocidade angular média nos primeiros 10s;
d) a aceleração angular média, nos primeiros 10s;
e) a aceleração angular instantânea, em t= 7s.
3) Uma roda parte do repouso e gira com aceleração angular constante de 2 rad/s2. Num intervalo de tempo igual a 8s ela gira 160 rad.
b) Qual era a velocidade angular da roda no início do intervalo de 8s?
a) Quanto tempo a roda esteve girando antes do início do intervalo de 8s?
4) Uma roda gigante com 12m de raio dá uma volta em 27s. Determine:
b) a aceleração centrípeta do ocupante.
a) a velocidade linear de um ocupante da roda;
5) Uma roda parte do repouso e gira com aceleração angular constante de 2 rad/s2. Num intervalo de tempo igual a 5s ela gira 150 rad.
Clique na figura abaixo e descreva o movimento das esferas do carrocel que você irá observar:
a) Quanto tempo a roda esteve girando antes do início do intervalo de 5s?
b) Qual era a velocidade angular da roda no início do intervalo de 5s?
6) O motor de um pequeno aeroplano é especificado como capaz de gerar um torque de 60N.m. O motor faz girar uma hélice com pás de 2m de comprimento e massa de 40kg. Na partida, quanto tempo leva para a hélice atingir 200 rpm?
2m
7) Uma lata de 3 kg é presa a um barbante que é enrolado ao redor de um cilindro oco de 2 kg e 4 cm de diâmetro, que pode girar livremente. A lata é liberada 1 m acima do chão.
a) Use a 2ª lei de Newton para determinar o valor da velocidade da lata ao tocar o chão.
b) Use a conservação da energia para determinar o valor da velocidade da lata ao tocar o chão.Ic = MR2
8) Um disco uniforme tem massa de 120kg e raio de 1,4m. Sabe-se que uma força tangencial, de módulo igual a 10N constante é aplicada na borda do disco, quando sua velocidade angular inicial é de 1100 rev/min. Determine:
FFF
F
a) o torque da força , sobre o disco;
b) a aceleração angular do disco;
c) a velocidade tangencial, de um ponto da borda do disco, 2s após a aplicação da força.
9) Luís usa uma chave de “boca” com 20 cm de comprimento para girar uma porca. Sabe-se que a chave está inclinada em 30º com a horizontal, e que Luís a empurra verticalmente para baixo, exercendo uma força de 100N na extremidade. Qual o torque da força (que Luís exerce) sobre a porca?
FFF
F
F=100N
30o
10- Um disco fino de 100 g de massa e 9,0 cm de diâmetro gira em torno de um eixo que passa por seu centro com 0,15 J de energia cinética. Qual é o módulo da velocidade de um ponto da borda do disco?
9 cm
Alguma dúvida?
fale conosco!
11- Uma porta maciça de 25 kg tem 220 cm de altura e 91 cm de largura. Qual é o momento de inércia da porta para rotações:
(b) em torno de um eixo vertical dentro da porta, a 15 cm de um dos lados da mesma?
(a) em torno das dobradiças
Aceleração angular média
ttt
12
12
Aceleração angular instantânea
Aceleração angular
Qual a grandeza física responsável pela variação da velocidade linear (movimento de translação) de um corpo que desliza sobre um plano horizontal?
Qual a grandeza física responsável pela variação da velocidade angular (movimento de rotação) de um corpo em torno de um eixo?
Uma colinha!
dt
dwtt
0lim
Relações entre grandezas lineares e angulares
Sabemos que S= θ.r2.r
Então:
a velocidade linear é
A aceleração linear é
ds/dt =(dθ/dt)r, ou v= ω.r.
ac = v2/r = (ω2.r2/)r , ou ac=ω2.r
dv/dt = (dω/dt)r, ou a = α.r
A aceleração centrípeta é
Energia Cinética na Rotação
Um corpo rígido pode ser considerado como um conjunto de partículas. Assim, a energia do corpo rígido é igual a soma das energias cinéticas de todas as partículas desse corpo.
n
iiinn vmvmvmvmK
1
22222
211 2
1
2
1...
2
1
2
1
A velocidade linear ou tangencial de cada partícula que constitui o corpo são iguais?
2
2.
ii
ii
rm
rm
E a velocidade angular de cada partícula do corpo rígido são iguais?
ALGUMAS RESPOSTAS
1) a) 45 m/s2
b) 3375 m/s2
c) 3375,3 m/s2
d) 0,76o
2) a) 2881 rad
b) 160 rad/s
c) 168 rad/s
d) 52 rad/s2
e) 76 rad/s2
3) a) 6 s
b) 12 rad/s
4) a) 0,23rad/s
b) 2,8 m/s
c) 0,65 m/s2
5) a) 12,5s
b) 25rad/s
6) 4,65s
7) a) 3,46m/s
b) 3,46m/s
8) a) 14N.m
b) 0,12 rad/s2
c) 161,62 m/s
9) 17,32 N.m
10) 2,45m/s
11) a) 6,8kg.m2
b) 3,9kg.m2
222 ..2
1).(
2
1iiii rmrmK
Veja que o momento de inércia (I) é:I α m e I α r2. Então: O momento de inércia (I) depende da massa do corpo, da sua distribuição em torno do eixo de rotação e do eixo de rotação. E quanto mais afastada estiver a massa do eixo, maior será o valor do momento de inércia I.
Unidade (S.I): kg.m2.
2. ii rm
2..2
1 IKROT
Energia cinética rotacional
Como v = ω.r, podemos escrever a equação da energia cinética de rotação do corpo como:
Então:
A energia cinética de translação de uma partícula de um corpo rígido em rotação pura, em torno de um eixo fixo é:
K =2
2mv
Onde é a inércia rotacional (I), ou momento de inércia.
Consideremos um corpo rígido que pode girar livremente em torno de um eixo que passa pelo ponto O:
TORQUE
r
F
EIXO
OP
A força atua sobre o corpo rígido, no ponto P e forma
um ângulo com a direção do
vetor posição de P.
F
r
Define-se torque ou momento de uma
força como: .
Lembre que o produto vetorial entre dois vetores resulta em outro vetor, de módulo
igual a : , onde o
ângulo é o ângulo formado entre o
vetor posição e a força .
Fr
)sen(..||
Fr
F
r
Podemos decompor em duas componentes:
F
P
TF
RF
F
Observe que somente (cuja direção é tangente à trajetória) contribui para o movimento de rotação. Enquanto
é paralela ao vetor .
TF
RF
r
Direção: perpendicular ao plano que contém
e .
Sentido: regra da mão direita (coloque os 4 dedos da mão direita na direção e sentido do
vetor e gire os mesmos na direção do
vetor ). O polegar indicará o sentido do torque.
Unidade SI: N.m
r
F
P
O
x
r F
Fr
SEGUNDA LEI DE NEWTON NA ROTAÇÃO
r
FT
Fr
F
m
X
y
Eixo de rotação = Z
α
r
F
aTT mF .
A componente da força resultante na direção tangente à trajetória, comunica a aceleração tangencial de uma partícula P do corpo. Então:
z
y
z
TT amrFr ...
O módulo do torque da força pode ser escrito como r.FT .
ou r.m.aT.
F
²..... rmrrm .I
Assim, conforme a 2ª lei de Newton:
IEntão:
TRABALHO, POTÊNCIA E O TEOREMA DO TRABALHO-ENERGIA
O trabalho realizado durante um deslocamento angular finito de um θi até θf será:
f
i
dW .
Na translação:
xf
xi
dxFW .
wf
wi
f
i
f
i
f
i
f
i
dwwIdwdt
dId
dt
dwIdIdW .......
2
².
2
².
2
²...
if wI
wI
wIdwwIW
wf
wi
wf
wi
ROTiROTf KKWROTKW
Teorema trabalho-energia cinética da rotação