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Noções sobre Regressão
Nos interessa estudar como uma variável varia em função de outra. Por exemplo, considere a questão de demanda e preço de bens.
Quando se estuda a variação de uma variável Y em função de uma variável X, diz-se que Y é a variável dependente e que X é a variável explanatória. No caso do exemplo, sabe-se que a quantia demandada varia em função do preço. Então a quantidade é a variável dependente e o preço é a variável explanatória.
Gráfico de Linhas
É possível observar a variação de uma variável em função de outra, através do gráfico de linhas.
Reta de Regressão
A idéia de regressão fica bem entendida através de um
exemplo. Observe os dados apresentados na Tabela 8.2. É
fácil ver que a quantidade demandada (Y) de determinado
bem varia em função do preço (X).
Os dados da Tabela 8.2 estão apresentados em diagrama de
dispersão na Figura 8.2.
Tabela 8.2: Quantidade demanda (Y) de um
bem em função do preço (X).
Fonte: Elaboração do Autor
Observ. Y X
1 130 50
2 115 60
3 125 60
4 80 70
5 75 70
6 60 90
7 50 100
8 40 110
9 30 120
10 10 130
0
20
40
60
80
100
120
140
0 20 40 60 80 100 120 140
Qu
an
tid
ad
e D
em
an
da
Preço
Quantidade demanda (Y) de um bem em função do preço (X).
• Note que os pontos estão praticamente sobre uma reta. Logo, a variação da quantidade demandada do bem em função do preço pode ser descrita através de uma reta que, em estatística, recebe o nome de reta de regressão.
• Y = α + βX
• Para ajustar uma regressão linear simples (isto é, a equação de uma reta) aos dados apresentados na Tabela 8.2, é preciso obter os coeficientes linear e angular da reta.
O coeficiente angular – que dá a inclinação da reta – é representado por β e é obtido através da fórmula:
Coeficiente linear – que é a ordenada do ponto em que a reta corta os eixos das ordenadas – é representado por α e é obtido através da fórmula:
Onde y e x são as médias de Y e X, respectivamente.
• Caso não tenhamos as médias:
• Usando as Medianas Y e X:
... ...x e y
x y xy x²
130 50
115 60
125 60
80 70
75 70
60 90
50 100
40 110
∑
Tabela 8.3: Cálculos intermediários para a
obtenção de α e de β.
Reveja, agora, os dados apresentados na Tabela 8.2 e
faça os cálculos intermediários apresentados na Tabela
8.3.
Verificação dos Parâmetros α e β
• A verdadeira reta:
• A reta estimada:
• O erro ou resíduos:
• Elevando-se ambos os lados ao quadrado e aplicando o somatório nas variáveis vêm:
• Que consiste no êi sem restrição de .
• Teste de : Onde n é o tamanho da mostra
e k o grau de liberdade.
• O índice serve para selecionar modelos; quanto mais próximos de 1 melhor o modelo. (Teste de Significância)
ˆˆi i iY X e
i iY X
ˆˆ ˆi i ie Y Y Yi X
ˆˆ( )² ( )²i ie Y X
2
2
i
sig
i
enT
en k
Testes dos Parâmetros α e β
•
• Calcula-se
• Tomando-se a Hipótese nula: e
• Calcula-se e compara-se ao valor tabelado da distribuição de
Student unicaudal ao nível de significância que se deseja e com n – k graus de liberdade.
• Representação gráfica;
• O intervalo de confiança será:
0 0H
2
ˆ 2
2
2
²ˆ( ) ,...
1 ˆ... ² .
... ²
i
i
i
ss Var onde
x
s y xyn k
eou s
n k
ˆ
ˆˆ ˆ
tab tabt ts
ˆ
ˆ
cts
2
ˆ ˆ... ...s e s
1 0H
Exercício – Ache a reta de regressão.
Aplicação do Modelo Linear Simples
1. Com os dados da tabela a seguir, solicita-se o seguinte:
a. O Coeficiente de Correlação de Pearson;
b. Estimar a equação demanda por energia elétrica (modelo linear);
c. Calcular e interpretar a elasticidade-tarifa (ou preço) para os valores médios das variáveis.
d. Calcular os valores estimados do índice da quantidade demandada Q.
e. Calcular e interpretar os resíduos ou erros.
Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Q 69 76 81 90 94 100 103 108 113 115
T 143 134 117 111 109 100 137 122 85 90
Estimação de Equação Logarítmica e Cálculo da Elasticidade
1. Com os dados da tabela anterior, solicita-se o seguinte:
a. Estimar a equação demanda por energia elétrica na forma logarítmica;
b. Calcular e interpretar a elasticidade-tarifa (ou preço) no ponto médio.
• A forma logarítmica implica:
• A regressão é sobre as variáveis transformadas:
• Calculo da elasticidade tarifa:
. ln( ) ( ). ( ),...
( ),... ( ),... ( )
bQ AT Q Ln A bLn T e
Y Ln Q X Ln T a Ln A
Y a BX u
Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Y Ln(Q)
X Ln(T)
b
t
(b-1)
b
d(Q) T d(A.T ) TE = . = .
d(T) Q d(T) Q
T= (b.A.T ). = b
A.T
Estimação de Equação Semilogarítmica I e Cálculo da Elasticidade
1. Com os dados da tabela anterior, solicita-se o seguinte:
a. Estimar a equação demanda por energia elétrica na forma semilogarítmica;
b. Calcular e interpretar a elasticidade-tarifa (ou preço) no ponto médio.
- A forma semilogarítmica I (Exponencial) implica:
- A regressão é de Ln(Q) sobre T
- Calculo da elasticidade tarifa:
. ln( ) ( ). ( ),...
( ),... ( ),... ( )
.
TQ Ab Q Ln A TLn b e
Y Ln Q c Ln b a Ln A
Y a cT
Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Y Ln(Q)
X T 143 134 117 111 109 100 137 122 85 90
.ln( ln( ). ... ...
T
t
T
T
d(Q) T d(A.b ) TE = . = .
d(T) Q d(T) Q
T= A.b b). = b T onde T T
A.b
Estimação de Equação Semilogarítmica II e Cálculo da Elasticidade
• A forma semilogarítmica II implica:
• A regressão é de Q sobre Ln(T)
• Calculo da elasticidade tarifa
. .ln( ) ( ). . ( ),...
( ),... ( )
.
Q be AT Q e Ln A b Ln T e
a Ln A X Ln T
Q a b X
Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Y Q 69 76 81 90 94 100 103 108 113 115
X Ln(T)
( ) . ( )
. ... ...
t
d(Q) T d(Ln A b Ln T ) TE = . = .
d(T) Q d(T) Q
b T b= = onde Q Q
T Q Q
Estimação de Equação Recíprocas e Cálculo da Elasticidade
1. Com os dados da tabela anterior, solicita-se:
- A forma recíproca implica:
- A regressão é sobre as variáveis transformadas
- Cálculo da Elasticidade:
1. ,... ... ,
1. ,... ... .
Q a b ou Q a bWT
a bT ou Z a bTQ
Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
W 1/T
Z 1/Q
2. ... ... ... ...
.
t
d(Q) T d(a b T ) TE = . = .
d(T) Q d(T) Q
b T b= = onde Q Q e T T
T Q T Q
2
1 ( . )
. ... ... ... ...( . )
t
d(Q) T d( a bT ) TE = . = .
d(T) Q d(T) Q
b T= onde Q Q e T T
a bT Q
