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2011年度 2学期 数学基礎考究 No.1
シラバス（の少し詳しい説明）日時・場所：水曜日２限・Ｅ２１５
クラス：Ｓ４
担当：川口周
はじめに
数学基礎考究の目標
• 演習を通じて，線形代数，線形代数続論の内容の理解を深める．具体的には，ベクトル空間と線形写像，行列・行列式・連立一次方程式，一次変換（固有値と固有ベクトル，ジョルダン標準形），商ベクトル空
間，双対空間，計量ベクトル空間などの内容の理解を深める．
• 抽象的な概念や数学的推論に慣れる．特に，ベクトル空間の公理的な扱いや，証明の仕方に慣れる．
数学基礎考究の進め方
• 事前に配布した演習問題を解いて黒板の前で発表する．なお，問題 B は問題 A よりも難しいと思わ
れる．
• 発表は，聞いている人に分かりやすいように心掛ける．教員は質問やコメントをする．•（授業の進み具合によっては，レポートや小テスト？）
単位の基準
• 黒板発表の問題数と内容，解いた問題の難易度．•（レポートや小テストがあればその結果も．）
1
今日は，線形代数の復習として次の 4問を解く．
問 A.1. t ∈ Rとする．ベクトル
1
0
1
,
0
1
1
,
2
t
t2
∈ R3 はいつ一次独立になるか．
問 A.2. (1) 行列の行に関する基本変形とはどのような操作か．
(2) 具体的に一次連立方程式が与えられたときに，行列の行の基本変形を用いて解を求める方法（掃き出
し法）を，次の問題を解くことで説明せよ：
a ∈ Rとする．R上の連立一次方程式 x + 3y − z = 52x + y + 3z = 03x + 2y + 4z = a
が解をもつための aのみたすべき必要十分条件を求め，さらに解をもつときに，解をすべて求めよ．
問 A.3. 3次の複素正方行列 A =
3 −1 0
2 0 0
2 −1 0
を考える．(1) Aの固有多項式を求めよ．また，Aの固有値と対応する固有空間の基底を一組求めよ．
(2) P−1AP が対角行列となるような正則行列 P をひとつ求め，そのときの P−1AP を求めよ．
(3) B = P−1AP とおく．B の k 乗を求めよ（k = 1, 2, . . .）．
(4) P−1 を求めよ．さらに，Aを B と P, P−1 で表すことにより，Aの k 乗を求めよ（k = 1, 2, . . .）．
問 B.4. R3 には標準内積が入っているとする．
(1) R3 の部分空間W =
x
y
z
∈ R3
∣∣∣∣∣∣∣∣ x + y + z = 0
の正規直交基底を一組求めよ．(2) R3 のW への直交射影 π : R3 → W を求めよ．
(3) R3 の中で，
0
0
1
,
1
0
0
,
0
1
0
,
−1
0
0
,
0
−1
0
,
0
0
−1
を頂点とする正八面体 P を考える．π(P )
はどのような図形か．
注意. (3) π(P )は，R3 の直線
8
>
<
>
:
t
0
B
@
1
1
1
1
C
A
: t ∈ R
9
>
=
>
;
の遠くから，正八面体 P を眺めた図形と考えられる．
2
2011年度 2学期 数学基礎考究 No.2
ベクトル空間と線形写像
行列やベクトルの成分は，断りのない限り，ある固定された体 K の元とする．体に慣れていない人は，K
は R（実数全体）または C（複素数全体）と思っても構わない．
基本的な概念
ベクトル空間と線形写像に関する基本的な定義をまとめる．
定義 1 (ベクトル空間). K を体とする．V がK 上のベクトル空間であるとは，集合 V に以下で述べる加法と
スカラー倍が定まっているときにいう．V の元をベクトル，K の元をスカラーとよぶ．
(I)（和）任意の二つのベクトル v, w ∈ V に対して，ベクトル v + w ∈ V が一つ定まる．
(II)（スカラー倍）任意のベクトル v ∈ V と，任意のスカラー a ∈ K に対して，ベクトル a v ∈ V が一つ
定まる．
さらに，加法とスカラー倍は次の 8つの条件を満たす．ただし，u, v, w ∈ V は任意のベクトル，a, b ∈ K は
任意のスカラーを表す．
(i) (u + v) + w = u + (v + w)．（和の結合法則）
(ii) v + w = w + v．（和の交換法則）
(iii) 零ベクトルとよばれる元 0 ∈ V が存在して，v + 0 = 0 + v = v．（零ベクトルの存在）
(iv) 各ベクトル v ∈ V に対して，v + w = w + v = 0となるベクトル w ∈ V が存在する．この w を −v
と書く．（逆ベクトルの存在）
(v) (ab) v = a(b v)．
(vi) (a + b) v = a v + b v．
(vii) a (v + w) = a v + aw．
(viii) 1 v = v．
定義 2 (一次独立,一次従属,一次結合). V をK 上のベクトル空間とし，v1, v2, . . . , vk ∈ V をとる．
(1) a1, a2, . . . , ak ∈ K に対して，
a1v1 + a2v2 + · · · + akvk = 0 =⇒ a1 = a2 = · · · = ak = 0
が成り立つとき，v1, v2, . . . , vk は一次独立であるという．
(2) v1, v2, . . . , vk は一次独立でないとき，これらは一次従属であるという．
(3) a1v1 + a2v2 + · · · + akvk（a1, a2, . . . , ak ∈ K）の形で得られるベクトルを v1, v2, . . . , vk の一次結合
という．
定義 3 (基底). V をK 上のベクトル空間とする．V の部分集合 U が次の二つの条件を満たすとき，U は V の
3
基底であるという．
(i) U に属する互いに異なる有限個のベクトルは一次独立である．(ii) V に属する任意のベクトルは，U に属する適当な有限個のベクトルの一次結合として表される．
注意. U は無限集合の場合もある（そのとき，V は無限次元ベクトル空間という）．U が有限集合の場合（そのとき，V は
有限次元ベクトル空間という），U = {u1, . . . , un}が V の基底であるとは，（上の (i)(ii)を言い換えて）次が成り立つことである．
(i) u1, . . . , un は一次独立である
(ii) V に属する任意のベクトルは，u1, . . . , un の一次結合として表される．
定義 4 (次元). U = {u1, . . . , un}が V の基底になっているとき，nを V の次元といい，dimV で表す．（この
とき，V を n次元ベクトル空間という．）
注意. 線形代数または線形代数続論の講義で習ったように，任意のベクトル空間 V には基底が存在する．また，V の次元
は V の基底の選び方によらずに，V から一意に定まる．
定義 5 (線形写像). V , W を K 上のベクトル空間とする．写像 f : V → W が次の二つの条件をみたすとき，
線形写像であるという．
(i) 任意の v, v′ ∈ V に対し，f(v + v′) = f(v) + f(v′).
(ii) 任意の a ∈ K と v ∈ V に対し，f(av) = af(v).
定義 6 (行列表示，表現行列). V , W をK 上の有限次元ベクトル空間とする．写像 f : V → W を線形写像と
する．{v1, . . . , vn}を V の基底，{w1, . . . , wm}をW の基底とする．
f(vj) =m∑
i=1
aijwi (j = 1, . . . , n)
で aij ∈ K を定める．このとき，aij を (i, j)成分にもつ m × n行列 A = (aij) ∈ M(m,n;K)を V の基底
{v1, . . . , vn}とW の基底 {w1, . . . , wm}に関する f の行列表示という（表現行列ともいう）．
定義 7 (部分空間). V をK 上のベクトル空間とする．V の空でない部分集合W が次の二つの条件をみたすと
き，W は V の部分空間であるという．
(i) 任意の w,w′ ∈ W に対し，w + w′ ∈ W .
(ii) 任意の a ∈ K と w ∈ W に対し，aw ∈ W .
このとき，W 自身がK 上のベクトル空間となる．
定義 8 (直和). V をK 上のベクトル空間，W1,W2 を V の部分空間とする．
V = W1 + W2, W1 ∩ W2 = {0}
であるとき，V はW1 とW2 の直和（内部直和ともいう）であるといい，V = W1
⊕W2 で表す．
定義 9 (核と像). V , W をK 上のベクトル空間とする．写像 f : V → W を線形写像とする．
(1) Kerf := {v ∈ V | f(v) = 0}を f の核（kernel）という．Kerf は V の部分空間である．
(2) Im f := {f(v) ∈ W | v ∈ V }を f の像（image）という．Im f はW の部分空間である．
4
定義 10 (階数). m × n 行列 A = (aij) に対し，fA(v) = Av（v ∈ Kn）とおくことにより，線形写像
fA : Kn → Km を定める．Im fA の次元を，行列 Aの階数といい，rankAで表す．
問題
問 A.5. 定義 1–定義 5を説明する適当な例をそれぞれ挙げよ．
問 A.6. 定義 6–定義 10を説明する適当な例をそれぞれ挙げよ．
問 A.7. (1) Cは自然に R上のベクトル空間となることを示せ．Cを R上のベクトル空間とみたときの基底を一組挙げよ．特に Cの R上のベクトル空間とみたときの次元はなにか．
(2) C を C 上のベクトル空間としての基底を一組挙げよ．C の C 上のベクトル空間としての次元はなにか．
問 A.8. K の元を成分とする n次正方行列全体Mn(K)は，自然に K 上のベクトル空間となることを示せ．
Mn(K)の K 上のベクトル空間としての基底を一組挙げよ．特に，Mn(K)の K 上のベクトル空間としての
次元はなにか．
問 A.9. V , W をK 上のベクトル空間，f : V → W を線形写像とする．
(1) f(v1), . . . , f(vk)がW が一次独立なベクトルのとき，v1, . . . , vk は V の一次独立なベクトルであるこ
とを示せ．
(2) f は単射と仮定する．v1, . . . , vk が V の一次独立なベクトルのとき，f(v1), . . . , f(vk)はW の一次独
立なベクトルであることを示せ．
問 A.10. 問題 A.8 のように，2 次正方行列全体 M2(K) を K 上のベクトル空間とみなす．A =
(a b
c d
)∈
M2(K)とする．f : M2(K) → M2(K)を，X ∈ M2(K)に AX ∈ M2(K)を対応させる写像とする．
(1) f は線形写像であることを示せ．
(2) Eij ∈ M2(K)で，(i, j)成分が 1で他の成分はすべて 0の行列を表す（Eij は行列単位とよばれる）．
M2(K)の基底 {E11, E12, E21, E22}に関する f の行列表示を求めよ．
問 A.11. (1) 漸化式 an+2 = an+1 +an（ n = 1, 2, . . .）をみたすK の元を要素とする数列 (a1, a2, a3, . . .)
の全体からなる集合
V = {(a1, a2, a3, . . .) | an ∈ K, an+2 = an+1 + an, n = 1, 2, . . .}
は成分ごとの演算によりK 上のベクトル空間になることを示せ．V の基底を一組求めよ．特に，V の次
元は何か．
(2) (a1, a2, a3, . . .) ∈ V のとき，(a2, a3, a4, . . .) ∈ V を示せ．(a1, a2, a3, . . .) ∈ V に (a2, a3, a4, . . .) ∈ V
を対応させる写像 f : V → V は，線形写像であることを示せ．さらに，(1)の基底に関する f の行列表
示を求めよ．（最後の答えは，(1)の基底の取り方によっていろいろ変わる．）
問 B.12. (1) a1, . . . , am を実数とする. Cm(R) で，R 上に定義された m 回連続微分可能な関数全体を
5
表す．V =
{f(t) ∈ Cm(R)
∣∣∣ f (m)(t) + a1f(m−1)(t) + · · · + am−1f
′(t) + amf(t) = 0}
とおく (要するに, V は定数係数の斉次線形常微分方程式の解空間である). V は R上のベクトル空間になることを示せ．
(2) t0 を実数とする．関数 f に対して，関数 ϕ(f) を ϕ(f)(t) = f(t + t0) で定める．f ∈ V ならば
ϕ(f) ∈ V を示せ．対応 f 7→ ϕ(f)は，線形写像 ϕ : V → V を導くことを示せ．
(3) m = 2, a1 = 0, a2 = 1とおく．このとき，V は 2次元で，V の基底として {sin t, cos t}がとれる（証明不要）．t0 = π とおく．この基底に関する ϕの行列表示を求めよ．
問 A.13. V をK 上のベクトル空間，W1,W2 を V の部分空間とする．和W1 + W2,共通部分W1 ∩ W2 がま
た V の部分空間であることを示せ．（これらの説明に適した例も挙げよ．）W1 ∪ W2 は一般には部分空間でな
いことを具体的な例を用いて示せ．
問 A.14. V , W をK 上の有限次元ベクトル空間，f : V → W をK 上の線形写像とする．次元公式
dim Im f = dim V − dim Kerf
が成り立つことを証明せよ．
問 A.15. V をK 上のベクトル空間，W1,W2 を V の部分空間とする．
dim(W1 + W2) = dim W1 + dimW2 − dim(W1 ∩ W2)
が成り立つことを証明せよ．
問 A.16. V , W を K 上の有限次元ベクトル空間とする．dimV = nとし，{v1, . . . , vn}を V の基底とする．
また，w1, . . . , wn ∈ W とする．このとき，線形写像 f : V → W で，f(vi) = wi（i = 1, . . . , n）をみたすも
のが唯一存在することを示せ．
問 A.17. V , W を K 上の有限次元ベクトル空間，V1 を V の部分空間，f1 : V1 → W を線形写像とする．こ
のとき，線形写像 f : V → W で，f |V1 = f1 となるものが存在することを示せ．
問 B.18. K 上の有限次元ベクトル空間 V の部分空間 W1,W2, . . . ,Wm が与えられているとする．V =
W1 + W2 + · · · + Wm とするとき，次の３つの条件は互いに同値であることを示せ．
(i) Wk ∩ (W1 + · · ·Wk−1 + Wk+1 + · · · + Wm) = {0}（k = 1, . . . ,m）
(ii) dimV = dimW1 + dimW2 + · · · + dimWm
(iii) 任意の v ∈ V は，v = w1 + w2 + · · ·+ wm（wk ∈ Wk）の形に表される．さらに，そのような表し方
は一意である．
V = W1 + W2 + · · ·+ Wm で，上の条件を満たすとき V はW1,W2, . . . ,Wm の直和（内部直和ともいう）で
あるといい，V = W1
⊕W2
⊕· · ·
⊕Wm と書く．
注意. m = 2のときは，V = W1
L
W2 であるのは，条件 (i)より，V = W1 + W2 かつW1 ∩ W2 = {0}である．これは，定義 8と合っている．
6
問 A.19. Aを A2 = En をみたす n次複素正方行列とする（ただし En は単位行列）．
V = {x ∈ Cn | Ax = x}, W = {x ∈ Cn | Ax = −x}
とおく．このとき，V , W は Cn の部分空間で，Cn = V⊕
W となることを示せ．
ヒント. (i) V + W = Cn と (ii) V ∩W = {0}を示せばよい．(i)について，任意の x ∈ Cn について，x = y + z（y ∈ V ,z ∈ W）と表せるとすると，Axを考えると，y, z について何が言えるか．(ii)について，x ∈ V ∩ W のとき，Axを考
える．
注意. 体を知っている人へのコメント：体K の標数が 2でなければ，CのかわりにK で考えても同じ結果を得る．
問 A.20. 問題 A.8のように，n次正方行列全体Mn(C)を C上のベクトル空間とみなす．
Symn(C) := {X ∈ Mn(C) | tX = X} （複素対称行列全体のなす集合）
Altn(C) := {X ∈ Mn(C) | tX = −X} （複素交代行列全体のなす集合）
とおく．このとき， Symn(C), Altn(C)はMn(C)の部分空間で，Mn(C) = Symn(C)⊕
Altn(C)となるこ
とを示せ．
注意. 体を知っている人へのコメント：問 A.19と同様に，体K の標数が 2でなければ，CのかわりにK で考えても同じ
結果を得る．
注意. 問 A.19, A.20を統一的に解答することもできる．V を C上のベクトル空間で，f : V → V を f ◦ f = id（恒等写
像）をみたす線形写像とする．このとき，W1 := {v ∈ V | f(v) = v}, W2 := {v ∈ V | f(v) = −v}とおけば，W1, W2
は V の部分空間で，V = W1
L
W2 となる．問 A.19は，V = Cn で f は Aから定まる線形写像の場合である．問 A.20は，V = Mn(C)で，f : Mn(C) → Mn(C)はX ∈ Mn(C)に tX ∈ Mn(C)を対応させる線形写像のときである．
問 A.21. f : V → W をK 上のベクトル空間の線形写像とする．V の基底とW の基底を適当に選べば，これ
らの基底に関する f の行列表示は， (Er OO O
)という形にできることを示せ．
問 A.22. m× n行列の階数の定義と同値な言い換えを二つ（以上）挙げ，同値であることを示せ．また，階数
の説明に適した例を挙げよ．
問 A.23. m × n行列 Aの階数は 1とする．このとき，零行列でない m × 1行列 B と，零行列でない 1 × n
行列 C が存在して，A = BC と表せることを示せ．
問 B.24. m×n行列Aの階数は rとする．このとき，A = A1 + · · ·+Ar となる r個のm×n行列A1, . . . , Ar
で，任意の i = 1, . . . , r について Ai の階数が 1であるようなものが存在することを示せ．
ヒント. P をm次の正則行列, Qを n次の正則行列とし，D = PAQとおく．P, Qをうまく選ぶと，D はどのような簡
単な形になるか（問題 A.21参照）．さらに，このDについて，D = D1 + · · · + Dr かつ rank Di = 1（i = 1, . . . , r）と
なるD1, . . . , Dr の存在をまず考えてみよ．
問 B.25. V をK 上のベクトル空間，W1,W2 を V の部分空間とする．V = W1 ∪ W2 ならば，V = W1 また
は V = W2 が成り立つことを示せ．
問 B.26. A ∈ Mn(K)とする．
7
(1) ある自然数 m に対して, rankAm = rankAm+1 ならば m より大きい自然数 l に対して, rankAl =
rankAm を示せ.
(2) rankAn = rankAn+1 を示せ．
(3) 線型写像 fA : Kn → Kn を v 7→ Av で定めれば
Kn = KerfnA
⊕Im fn
A
が成り立つことを示せ．ただし fnA は fA を n回合成した写像 fA ◦ · · · ◦ fA を表わす．
8
2011年度 2学期 数学基礎考究 No.3
行列，行列式，連立一次方程式
行列やベクトルの成分は，断りのない限り，ある固定された体 K の元とする．体に慣れていない人は，K
は R（実数全体）または C（複素数全体）と思って解答しても構わない．
問 A.27. (1) A, B が上半三角行列ならば，AB も上半三角行列であることを示せ．
(2) Aを正則な上半三角行列とする．このとき，A−1 も上半三角行列であることを示せ．
問 A.28. x, y ∈ K に対し，行列 A(x, y)を以下で定める．
A(x, y) =
x 0 0 y0 x y 00 y x 0y 0 0 x
(1) A(x1, y1)A(x2, y2) = A(x1x2 + y1y2, x1y2 + x2y1)を示せ．
(2) A(x, y)の行列式を求めよ．
(3) x 6= y,−y とする．このとき，A(x, y)は正則行列で，その逆行列は1
(x + y)(x − y)A(x,−y)で与え
られることを示せ．
問 A.29. A,B を n次正方行列とする．このとき，
det(
A BB A
)= det(A − B) det(A + B)
が成り立つことを示せ．
ヒント. 例えば，
A B
B A
!
を行と列の基本変形で，
A + B O
B A − B
!
（あるいは，
A + B B
O A − B
!
）にもってい
けることを示す．
問 A.30. n次正方行列 Aについて，次は同値であることを示せ．
(i) rankA = n
(ii) Aは正則行列（すなわち，逆行列をもつ）である．
(iii) x ∈ Kn が Ax = 0をみたせば，x = 0である．
問 B.31. {1, 2, · · · , n}上の置換全体からなる集合を Sn とおく．σ ∈ Sn に対して，n次正方行列 Aσ = (aij)
を
aij =
{1 (i = σ(j)のとき)0 (i 6= σ(j)のとき)
で定める（Aσ は置換行列とよばれる）．このとき σ, τ ∈ Sn に対して
AσAτ = Aστ , det Aσ = sgn σ
が成り立つことを示せ．
9
ヒント. 前半： “AσAτ の (i, j)成分” =Pn
k=1 “Aσ の (i, k)成分” × “Aτ の (k, j)成分”．後半：例えば，まず，σ が互
換 (i, j)のときに，det Aσ = −1を示す．次に，一般の σ について前半部分を用いる．
問 A.32. (1) J2 = −En となる n次実正方行列 J が存在するならば，nは偶数であることを示せ．
(2) 逆に，各偶数 nについて，J2 = −En となる n次実正方行列 J を一つ求めよ．
ヒント. (1) J2 = −En の両辺の行列式を考え，J が実数を成分とする正方行列であることを使う．(2)すぐに見つからなければ，まず n = 2を考えるとよいかもしれない．
問 A.33 (三重対角行列の行列式). 数列 {an}, {bn}, {cn} が与えられたとき，n 次三重対角行列 An を次で定
める．
An =
an bn−1 0 · · · 0 0cn−1 an−1 bn−2 · · · 0 0
0 cn−2 an−2 · · · 0 0...
.... . . . . .
......
0 0 0 · · · a2 b1
0 0 0 · · · c1 a1
つまり，An は対角線に an, an−1, · · · , a1 が並び，対角線より一つ上に斜めに bn−1, bn−2, · · · , b1 が並び，対
角線より一つ下に斜めに cn−1, cn−2, · · · , c1 が並んでいて，残りはすべて 0 というものである．この問題で
は，An の行列式 |An|について考える（この問題では、記号 detAn のかわりに |An|を使う）．
(1) 行列式の第 1行についての展開公式を簡単に説明し（証明する必要はない），An の行列式 |An|について次の等式を示せ．
|An| = an
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
an−1 bn−1 · · · 0 0cn−1 an−2 · · · 0 0
.... . . . . .
......
0 0 · · · a2 b1
0 0 · · · c1 a1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣− bn−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
cn−1 bn−2 · · · 0 00 an−2 · · · 0 0...
. . . . . ....
...0 0 · · · a2 b1
0 0 · · · c1 a1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.
(2) 上の等式の右辺第 2項を，第 1列について展開することによって，次の式を示せ．
|An| = an|An−1| − bn−1cn−1|An−2| (n ≥ 3)
(3) 次の n次正方行列の行列式を求めよ．an = 4, bn = 1, cn = 3 (n = 1, 2, · · · )のときである．
4 1 0 · · · 0 03 4 1 · · · 0 00 3 4 · · · 0 0...
.... . . . . .
......
0 0 0 · · · 4 10 0 0 · · · 3 4
問 A.34 (連立一次方程式の解空間の構造). Aをm × n行列, b ∈ Km に対して,連立一次方程式
(∗) Ax = b, x ∈ Kn
を考える．A = (A b)とおく（Aはm× (n + 1)行列である）．また，fA : Kn → Km を fA(x) = Axで定ま
る線形写像とする．
10
(1) b ∈ Im(fA)であることと，rank A = rankAであることが同値であることを示せ．
(2) (*)が解をもつための必要十分条件は，rank A = rankAであることを示せ．
(3) (*)の解をもつとする．x0 を (*)の解（の一つ）とする．このとき，
{x ∈ Kn | Ax = b} = {x0 + v | v ∈ KerfA}
であることを示せ．
(4) (*)が解をもつとする．このとき，(*)の解がただ一つしかないことと，rankA = nであることが同値
であることを示せ．
問 A.35 (Vandermondeの行列式). 次の等式を示せ．∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 · · · 1x1 x2 x3 · · · xn
......
.... . .
...xn−2
1 xn−22 xn−2
3 · · · xn−2n
xn−11 xn−1
2 xn−13 · · · xn−1
n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∏1≤j<i≤n
(xi − xj).
問 A.36. a1, a2, . . . , an を相異なるK の元，b1, b2, . . . , bn をK の元とする．このとき，K の元を係数とする
(n − 1)次以下の多項式 P (X) = c1 + c2X + · · · + cnXn−1（c1, c2, . . . , cn ∈ K）で，
P (ai) = bi (i = 1, 2, . . . , n)
となるものが唯一つ存在することを示せ．（Vandermondeの行列式を用いよ．）
問 B.37. X を (n, n + 1)行列，Y を (n + 1, n)行列とする．各 i = 1, 2, · · · , n + 1に対し，X から i列目を
取り除いた n次正方行列を Xi とする．また，Y から i行目を取り除いた n次正方行列を Yi とする．このと
き，次の等式を示せ．
(1) det(XY ) =∑n+1
i=1 det(Xi) det(Yi).
(2) det(Y X) = 0.
11
2011年度 2学期 数学基礎考究 No.4
一次変換
行列やベクトルの成分は，断りのない限り，ある固定された体 K の元とする．しかし，対角化やジョルダ
ン標準形を考えるときは，K = C（複素数全体）とすることが多い．K = Cと仮定するのは，C上の多項式は必ず複素数の範囲で根を持つので，n次複素正方行列は，複素数の範囲で重複度も込めて必ず n個の固有値
を持つなど，扱いやすいからである．No.4では，K は Cと思って問題を解いても構わない.
基本的な概念
定義 11 (一次変換，線形変換). ベクトル空間 V からそれ自身への線形写像 f : V → V を一次変換または線形
変換（linear transformation）という．
定義 12 (固有値，固有ベクトル，固有空間). K 上のベクトル空間 V の一次変換 f : V → V において，
f(x) = αx, x ∈ V, x 6= 0, α ∈ K
をみたす αを f の固有値（eigenvalue）, xを固有値 αに属する固有ベクトル（eigenvector）という．このとき，
Wα = {x ∈ V | f(x) = αx}
は V の {0}でない部分空間になる．Wα を f の固有値 αに属する固有空間（eigenspace）という．
注意. x = 0は，αが何であっても f(x) = αxをみたすので，αに関して情報を与えない．固有値の定義では，固有ベク
トル xは x 6= 0としていることに注意する．固有値 αは 0であってもよい．
定義 13. A を n 次正方行列とすると，A は Kn の一次変換 fA : Kn → Kn, x 7→ Ax を定める．fA の固有
値，固有ベクトル，固有空間をそれぞれ，Aの固有値，固有ベクトル，固有空間という．
定義 14 (固有多項式). A を n 次正方行列とする．n 次多項式 FA(t) = det(tEn − A) を，A の固有多項式
（characteristic polynomial）という．
注意. α ∈ K とする．線形代数で習ったように，αが Aの固有値であるための必要十分条件は，FA(α) = 0である．
定義 15 (対角化). n次正方行列 Aが対角化可能（diagonaizable）であるとは，ある正則な n次正方行列 P が
存在して，P−1AP が対角行列になるときにいう．
定義 16 (ジョルダン細胞，ジョルダン行列). m ≥ 1とする．m次正方行列
J(α,m) :=
α 1 0
α 1. . . . . .
α 10 α
12
をジョルダン細胞（Jordan cell）という．（ただし，J(α, 1)は，αが 1個からなる 1次正方行列 (α)を表す．）
そして，対角線に沿ってジョルダン細胞が並んだ形の行列J(α1,m1) 0
J(α1,m2). . .
0 J(αs,ms)
をジョルダン行列（Jordan matrix）という．
定理 17 (ジョルダン標準形の存在). Aを n次複素正方行列とする．このとき，ある正則な n次複素正方行列
P が存在して，P−1AP はジョルダン行列になる．P−1AP を Aのジョルダン標準形（Jordan canonical form）
という．
定理 18 (ケーリー–ハミルトン（Cayley–Hamilton）の定理). Aを n次正方行列，FA(t) = tn +c1tn−1+ · · ·+cn
を Aの固有多項式とする．このとき，FA(A) = An + c1An−1 + · · · + cnEn = O が成り立つ．
定義 19 (最小多項式). K の元を係数とする多項式 f(t)で，f(A) = O であるもの全体を IA で表す：
IA = {f(t) ∈ K[t] | f(A) = O}.
IA に属する 0でない多項式で，次数が最小で最高次の係数が 1であるもの ϕA(t)を，Aの最小多項式という．
問題
問 A.38. 次の複素正方行列の固有値を求めよ．また，それぞれの固有値に対する固有空間を求めよ．
(1)
4 −3 02 −1 01 −1 −1
(2)
0 1 −1−2 3 −1−1 1 1
問 A.39. A は n 次複素正方行列とする．α を A の固有値とし，x 6= 0 ∈ Cn を α に属する固有ベクトルと
する．
(1) f(t)を Cの元を係数とする任意の多項式とするとき，f(A)x = f(α)xを示せ．
(2) ϕA(t)を Aの最小多項式とするとき，ϕA(α) = 0を示せ．
注意. FA(t)を Aの固有多項式とする．α ∈ Cについて，αが Aの固有値であることと，FA(α) = 0は同値であった．
従って，問 A.39より，FA(α) = 0と ϕA(α) = 0は同値である．
問 A.40. Aは n次複素正方行列とする．定義 19のように，複素数係数の多項式 f(t)で，f(A) = Oであるも
の全体を IA で表す：IA = {f(t) ∈ C[t] | f(A) = O}．このとき，IA に属する任意の多項式 f(t)は，ϕA(t)
で割り切れることを示せ．
注意. Cayley–Hamiltonの定理は，Aの固有多項式 FA(t)について，FA(t) ∈ IA を示している．従って，問 A.40より，FA(t)は，ϕA(t)で割り切れる．問 A.39と問 A.40より，FA(t) =
Qsi=1(x − αi)
ei（α1, . . . , αs は相異なる複素数）の
とき，整数 1 ≤ mi ≤ ei が存在して，ϕA(t) =Qs
i=1(x − αi)mi と書ける．
問 A.41. 問 A.38の行列の最小多項式を求めよ．
13
ヒント. 問 A.40の下の注意より，3次複素正方行列 Aの最小多項式については次が成り立つ．以下 α, β, γ は相異なる複
素数とする．Aの固有多項式が (t − α)3 のときは，Aの最小多項式は (t − α), (t − α)2, (t − α)3 のいずれかである．A
の固有多項式が (t−α)2(t− β)のときは，Aの最小多項式は (t−α)(t− β), (t−α)2(t− β),のいずれかである．Aの固
有多項式が (t − α)(t − β)(t − γ)のときは，Aの最小多項式も (t − α)(t − β)(t − γ)である．
問 A.42. 問 A.38の行列のジョルダン標準形を求めよ．
問 A.43. n次複素正方行列 Aの相異なる固有値を α1, . . . , αs とし，各固有値 αi に属する固有ベクトル xi を
とる．このとき，x1, . . . , xs は一次独立であることを示せ．
問 A.44. n次複素正方行列 Aについて，Aの相異なる固有値を α1, . . . , αs とし，各固有値 αi に属する固有
空間をWi とする．このとき，次は同値であることを示せ．
(i) Aは対角化可能である．
(ii)∑s
i=1 dimWi = n
注意. Wi の基底 xi1, . . . , xini をとる．問 A.43より，x11, . . . , x1n1 , . . . , xs1, . . . , xsns は一次独立である．条件 (ii)が成り立つとき，これらのベクトルは，Cn の基底であり，Cn = W1 + · · ·+ Ws が成り立つ．すると，問 B.18(ii)より，条件(ii)は Cn = W1
L
· · ·L
Ws とも同値である．
問 B.45. n次複素正方行列 Aについて，次は同値であることを示せ．
(i) Aは対角化可能である．
(ii) Aの最小多項式は重根を持たない．
ヒント. 解き方はいろいろあると思うが，例えば，ジョルダン標準形の存在定理（定理 17）を認めて解いてもよい．
問 A.46. A2 = E をみたす n次複素正方行列 Aは対角化可能であることを示せ．このとき，Aを対角化した
行列はどのような形をしているか．
ヒント. 一つの解き方は，Aの Jordan行列を考え，A2 = E のとき，Aの Jordan行列がどのような形になるかをみる．別の解き方としては，問題 B.45を用いて，A2 = E のとき，Aの最小多項式としてどのようなものあるか考える．他にも，
いろいろ解き方が考えられると思う．
問 A.47. (1) ジョルダン細胞 J(0, n) =
0 1 00 1
. . . . . .
0 1
0 0
を考える．k = 1, 2, . . .について，k 乗
J(0, n)k を求めよ．
(2) E を n次単位行列，N を n次正方行列とするとき，二項展開より，(aE + N)k =∑k
i=0
(ki
)ak−iN i
である．このことと (1)を用いて，ジョルダン細胞 J(a, n) =
a 1 0a 1
. . . . . .
a 1
0 a
の k乗を求めよ．
14
問 A.48. n次複素正方行列 N について，以下は同値であることを示せ．
(i) N はべき零行列である．すなわち，ある正の整数 k が存在して，Nk = Oとなる．
(ii) N の固有値は 0のみである．
(iii) Nn = O である．
問 B.49 (ジョルダン分解). Aは n次複素正方行列とする．
(1) 次の条件をみたす n次複素正方行列 S と N が存在することを示せ．
(i) A = S + N
(ii) SN = NS
(iii) S は対角化可能である．N はべき零行列である．
(2) (1) の条件 (i), (ii), (iii) をみたす n 次複素正方行列 S と N は A から唯一に定まることを示せ．分解
A = S + N をジョルダン分解という．
ヒント. (1)ジョルダン標準形の存在定理（定理 17）は認めて解いてよい．Aが一つのジョルダン細胞 J(α, n)のときは，
S = αE, N = J(0, n)ととればよいことをまず示す．
注意. (2) A が対角可能な行列のときは，S = A, N = O が，A のジョルダン分解である．A がべき零行列のときは，
S = O, N = Aが，Aのジョルダン分解である．
問 A.50. 複素正方行列 A =
2 1 1 1 1
0 2 0 0 1
0 0 2 0 1
0 0 0 2 1
0 0 0 0 2
を考える．
(1) Aの固有多項式と最小多項式を求めよ．
(2) 各 k ≥ 1に対して，W(k)2 = {x ∈ C5 | (A − 2E)kx = 0}の次元を求めよ．
(3) Aのジョルダン標準形を求めよ．
注意. W(1)2 は，固有値 2 に対する固有空間W2 に他ならない．各 k ≥ 1 に対してW
(k)2 は C5 の空間であり，W
(1)2 ⊆
W(2)2 ⊆ W
(3)2 ⊆ · · · なので，あるm ≥ 1が存在してW
(m)2 = W
(m+1)2 = · · · となる．この部分空間をfW2 (= W
(m)2 =
W(m+1)2 = · · · )とおき，固有値 2に対する広義の固有空間という．
問 A.51. a, b, c ∈ Cとする．
1 a b
0 1 c
0 0 2
のジョルダン標準形を求めよ．（a, b, cの値によって場合分けせよ．）
問 A.52. (1) n次複素正方行列 Aが対角化可能であれば，X2 = Aとなる n次複素正方行列 X が存在す
ることを示せ．
(2) A =
(0 1
0 0
)について，X2 = Aとなる 2次の複素正方行列 X は存在しないことを示せ．
問 B.53. V を有限次元ベクトル空間，f : V → V を線形写像とする．V の部分空間 W は，f(W ) ⊆ W
をみたすと仮定する．V のある基底に関する f : V → V の行列表示を A とし，W のある基底に関する
f |W : W → W の行列表示を B とする．このとき，A が対角化可能ならば，B も対角化可能であることを
15
示せ．
問 B.54. Aを正則な複素正方行列とする．次は同値であることを示せ．
(i) 任意の正の整数 k に対して，Aと Ak は同じジョルダン標準形をもつ．
(ii) A − E はべき零行列である．
問 B.55. A,B を対角化可能な複素正方行列とするとき，次の二条件は同値であることを示せ．
(i) AB = BA．
(ii) A,B は同時対角化可能，すなわち，ある正則行列 P が存在して P−1AP,P−1BP はともに対角行列
となる．
16
2011年度 2学期 数学基礎考究 No.5
商ベクトル空間
行列やベクトルの成分は，断りのない限り，ある固定された体 K の元とする．体に慣れていない人は，K
は R（実数全体）または C（複素数全体）と思って解答しても構わない．
基本的な概念
定義 20 (関係). 集合 S における関係（relation）（∼で表すことにする）とは，S の任意の二つの元 x, y に対
して，x ∼ y である（xと y が関係がある）か，x ∼ y でない（xと y は関係がない）かいずれか一方が確定
しているものである．いいかえれば，S における関係とは，集合の直積 S × S = {(x, y) | x, y ∈ S}の部分集合 Rである．x, y ∈ S が x ∼ y であるとは，(x, y) ∈ R ⊂ S × S のときに定める．
定義 21 (同値関係). 集合 S の関係 ∼が，任意の x, y, z ∈ S に対して，
x ∼ x(反射律 (reflexive law))
x ∼ y =⇒ y ∼ x(対称律 (symmetric law))
x ∼ y, y ∼ z =⇒ x ∼ z(推移律 (transitive law))
をみたすとき，関係 ∼は同値関係 (equivalence relation)であるという．
定義 22 (同値類，代表元，完全代表系，商集合). ∼は集合 S の同値関係とする．x ∈ S に対し，xと同値な元
全体のなす集合をC(x) := {y ∈ S | x ∼ y}
とおく．C(x)を xの同値類という．対称律，推移律，反射律から次が分かる．x ∈ C(x)であり，二つの同値
類 C(x)と C(y)はまったく同じであるか，または共通部分を持たない．
これより，S は同値類 C(x) の互いに共通部分をもたない和集合で書ける．同値類 C(x) から一つ元
xλ ∈ C(x)をえらぶ．xλ を同値類 C(x)の代表元という．このとき，C(x) = C(xλ)であり，
S =∪λ∈Λ
C(xλ) (λ 6= µならば，C(xλ) ∩ C(xµ) = ∅)
と表せる．(xλ)λ∈Λ を S の ∼に関する完全代表系という．さらに，同値類全体のなす集合 {C(x)}を S/ ∼と書き，S の ∼に関する商集合という．
問題
問 A.56. V をK 上のベクトル空間，W を V の部分空間とする．V の関係 ∼を，
x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ W
で定める．∼は V の同値関係を定めることを示せ．
17
問 A.57. 上の同値関係に関する商集合 V/ ∼を，V/W で表す．また，x ∈ V の ∼に関する同値類 C(x) =
{y ∈ V | x − y ∈ W}を，[x]で表す．このとき，商集合の要素 [x], [y] ∈ V/W に対して，次のようにして，
和とスカラー倍が定まることを示せ．つまり，同値類の代表元の取り方によらずに，和とスカラー倍が定まる
（well-definedという）ことを確かめよ．
[x] + [y] := [x + y], a[x] := [a x] (a ∈ K)
問 A.58. V/W は上の和とスカラー倍に関して，K 上のベクトル空間になる．ここでは，ベクトル空間の条件
の一つa([x] + [y]) = a[x] + a[y] ([x], [y] ∈ V/W, a ∈ K)
を確かめよ．V/W を商ベクトル空間という．
問 A.59. V は K 上の n 次元ベクトル空間，W を V の次元 mの部分空間とする．V の基底 v1, . . . , vn を，
v1, . . . , vm がW の基底になるようにとる．
(1) [vm+1], . . . , [vn]は，商ベクトル空間 V/W の基底になることを示せ
(2) dim(V/W ) = dim V − dimW を示せ．
問 A.60. V は K 上のベクトル空間，W を V の部分空間とする．f : V → V は線形写像で，f(W ) ⊆ W を
みたすとする．このとき，商ベクトル空間 V/W からそれ自身への写像 f : V/W → V/W が，[x] ∈ V/W に
f([x]) = [f(x)] ∈ V/W を対応させる写像として定まることを示せ（つまり，f([x])が，[x]の同値類の代表
元の取り方によらずに定まることを示せ）．さらに，f は線形写像であることを示せ．
問 B.61. (1) V を K 上のベクトル空間とし，W を V の部分空間とする．V から商ベクトル空間 V/W
への写像 π : V → V/W を π(x) = [x]により定めるとき，π は線形写像であることを示せ．
(2) f : V → V ′をK上のベクトル空間 V から，ベクトル空間 V ′への線形写像とする．π : V → V/Ker f
を (1)で（W = Ker f とおいて）定めた V から V/Ker f への線形写像とし，ι : Im f → V ′ を Im f か
ら V ′ への包含写像とする．このとき，V/Ker f から Im f への同型写像 f が存在して，f = ι ◦ f ◦ π と
なることを示せ.
問 A.62. 閉区間 [0, 1] 区間上の実数値連続関数全体のなす実ベクトル空間を V とおき，その部分空間
{f ∈ V | f(1) = 0}をW とおく．このとき商ベクトル空間 V/W が Rと同型であることを示せ．
問 A.63. V = K[X] を K を係数とする多項式全体のなすベクトル空間とする．f(X) = X` + a1X`−1 +
· · · + a` ∈ V を `次多項式とする．W = {f(X)m(X) | m(X) ∈ K[X]}を f(X)で割り切れる多項式全体か
らなる V の部分空間とする．
(1) {[1], [X], . . . , [X`−1]}は V/W の基底をなすことを示せ．
(2) X をかけるという線形写像ϕ : V → V , h(X) 7→ Xh(X)は，ϕ(W ) ⊆ W をみたすから，商ベクトル空
間の線形写像 ϕ : V/W → V/W を定める（問A.60参照）．このとき，V/W の基底 {[1], [X], . . . , [X`−1]}
18
に関する ϕの行列表示は，
C =
0 0 · · · 0 −a`
1 0 · · · 0 −a`−1
0 1 · · · 0 −a`−2
......
. . ....
...0 0 · · · 1 −a1
で与えられることを示せ．
注意. C は f(X)の同伴行列（companion matrix）とよばれる．
問 B.64. 問 A.63の C の最小多項式は f(X)であることを示せ．
問 B.65. n × n行列 Aについて，次は同値であることを示せ．
(i) Aの最小多項式の次数は nである．
(ii) 正則行列 P と，c1, . . . , cn ∈ K が存在して，
P−1AP =
0 0 · · · 0 cn
1 0 · · · 0 cn−1
0 1 · · · 0 cn−2
......
. . ....
...0 0 · · · 1 c1
の形にできる．
19
2011年度 2学期 数学基礎考究 No.6
双対空間
行列やベクトルの成分は，断りのない限り，ある固定された体 K の元とする．体に慣れていない人は，K
は R（実数全体）または C（複素数全体）と思っても構わない．
基本的な概念
定義 23 (双対空間). V は K 上のベクトル空間とする．V から K への線形写像全体を V の双対空間（dual
space）といい，V ∗ で表す．
定義 24 (双対基底). V は K 上の n次元ベクトル空間とする．V の基底 v1, . . . , vn をとる．このとき，V ∗ の
元 f1, . . . , fn で，
fi(vj) =
{1 (i = j のとき)0 (i 6= j のとき)
をみたすものが唯一つ存在し，f1, . . . , fn は V ∗ の基底となる．f1, . . . , fn を，基底 v1, . . . , vn の双対基底
（dual basis）という．
定義 25 (双対写像). V , W は K 上のベクトル空間，ϕ : V → W は線形写像とする．V ∗, W ∗ をそれぞれ V ,
W の双対空間とする．g ∈ W ∗ に g ◦ ϕ ∈ V ∗ を対応させる写像を ϕ∗ : W ∗ → V ∗ で表す．ϕ∗ は線形写像に
なる．ϕ∗ を双対写像（dual mapping）または転置写像（transposed mapping）という．
定義 26 (零化空間). V はK 上のベクトル空間，W は V の部分空間とする．双対空間 V ∗ の部分集合W⊥ を
次のように定める．W⊥ := {f ∈ V ∗ |任意の w ∈ W に対して，f(w) = 0}
このとき，W⊥ は V ∗ の部分空間になる．W⊥ をW の零化空間（annihilator）という．
問題
問 A.66. f, g ∈ V ∗，a ∈ K とする．任意の v ∈ V に対して，
(f + g)(v) := f(v) + g(v), (af)(v) := af(v)
で，V ∗ の元の和 f + g，スカラー倍 af を定める．このとき，確かに，f + g, af ∈ V ∗ であることを確かめよ
（すなわち，これらが線形写像であることを確かめよ）．
問 A.67. V ∗ は上の和とスカラー倍に関して，K 上のベクトル空間になる．ここでは，ベクトル空間の条件の
一つa(f + g) = af + ag (f, g ∈ V ∗, a ∈ K)
を確かめよ．
20
問 A.68. V は K 上の 2 次元ベクトル空間とする． v1, v2 を V の基底とし，f1, f2 をその双対基底とする．
v′1 := 3v1 +4v2, v′2 := 2v1 +3v2 は V の基底である．このとき，v′
1, v′2 ∈ V の双対基底 f ′
1, f′2 ∈ V ∗ を，f1, f2
の線形結合で表せ．
問 A.69. v ∈ V とする．ιv : V ∗ → K を，
ιv(f) := f(v) (f ∈ V ∗)
で定める．
(1) ιv は (V ∗)∗ の元であることを示せ（すならち，ιv が線形写像であることを確かめよ）．
(2) 対応 v 7→ ιv により，写像 ι : V → (V ∗)∗ が得られる．ιは単射な線形写像であることを示せ．
(3) V が有限次元ベクトル空間のとき，ιは同型写像であることを示せ．（ιによって，V と (V ∗)∗ を同一
視することが多い．）
問 B.70. V が無限次元ベクトル空間のときは，上の ι : V → (V ∗)∗ は同型写像ではないことを示せ．
問 A.71. 定義 25において，ϕ∗ は線形写像になっていることを確かめよ．
問 A.72. V , W はそれぞれ n次元，m次元のK 上のベクトル空間とし，V の基底 {v1, . . . , vn}とW の基底
{w1, . . . , wm}をとる．V ∗, W ∗ でそれぞれ V，W の双対空間を表し，{v∗1 , . . . , v∗n}, {w∗
1 , . . . , w∗m}はそれぞ
れ V ∗, W ∗ の双対基底とする．ϕ : V → W は線形写像とし，ϕ∗ : W ∗ → V ∗ を双対写像とする（定義 25参
照）．このとき，ϕ の {v1, . . . , vn} と {w1, . . . , wm} に関する行列表示を P ∈ M(m,n;K) とすれば，ϕ∗ の
{w∗1 , . . . , w∗
m}と {v∗1 , . . . , v∗
n}に関する行列表示は転置行列 tP ∈ M(n, m;K)で与えられることを示せ．
問 B.73. 記号は定義 25の通りとする．
(1) ϕが単射ならば，ϕ∗ は全射であることを示せ．
(2) ϕが全射ならば，ϕ∗ は単射であることを示せ．
問 A.74. 定義 26において，W⊥ は V ∗ の部分空間になっていることを確かめよ．さらに，V が有限次元ベク
トル空間のとき，dimW⊥ = dimV − dimW を示せ．
問 B.75. V は K 上のベクトル空間，W は V の部分空間とする．V ∗ を V の双対空間，W⊥ をW の零化空
間とする．
(1) f ∈ V ∗ とする．f : V → K の定義域をW に制限して得られる写像 f |W : W → K は，W ∗ の元を
定めることを示せ．
(2) 対応 f 7→ f |W により，写像 π : V ∗ → W ∗ が得られる．π は全射な線形写像であることを示せ．
(3) Ker π = W⊥ を示せ．さらに π によって，商空間 V ∗/W⊥ とW ∗ の同型が得られることを示せ．
21
2011年度 2学期 数学基礎考究 No.7
計量ベクトル空間
No.7では，R上のベクトル空間，または C上のベクトル空間を考える．
基本的な概念
定義 27 (実ベクトル空間の内積). V を R 上のベクトル空間とする．V の任意の二つの元 v, w に対し，実数
(v, w) ∈ Rが定まって，次の３つの条件をみたすとき，(v, w)を v と wの内積（inner product）という．
(i) 任意の v, v′, w ∈ V , c, c′ ∈ Rに対して，(cv + c′v′, w) = c(v, w) + c′(v′, w)．
(ii) 任意の v, w ∈ V に対して，(w, v) = (v, w)．
(iii) 任意の v ∈ V に対して，(v, v) ≥ 0である．さらに，(v, v) = 0 ⇐⇒ v = 0が成り立つ．
注意. 性質 (i)は，内積が第一変数について線形であることを述べている．性質 (ii)は対称性，性質 (iii)は正定値性とよばれる．性質 (i)(ii)より，内積は第二変数についても線形であること，すなわち
任意の v, w, w′ ∈ V , c, c′ ∈ Rに対して，(v, cw + c′w′) = c(v, w) + c′(v, w′)
が分かる．
注意. Rn のベクトル v =
0
B
B
@
x1
...xn
1
C
C
A
, w =
0
B
B
@
y1
...yn
1
C
C
A
に対して，
(v, w) = x1y1 + · · · + xnyn ∈ R
と定めると，( , )は Rn の内積となる．この内積を Rn の標準的内積という．
定義 28 (複素ベクトル空間の内積). V を C上のベクトル空間とする．V の任意の二つの元 v, wに対し，複素
数 (v, w) ∈ Cが定まって，次の３つの条件をみたすとき，(v, w)を v と wの内積（inner product）という．
(i) 任意の v, v′, w ∈ V , c, c′ ∈ Cに対して，(cv + c′v′, w) = c(v, w) + c′(v′, w)．
(ii) 任意の v, w ∈ V に対して，(w, v) = (v, w)．特に，(v, v)は実数となる．
(iii) 任意の v ∈ V に対して，(v, v) ≥ 0である．さらに，(v, v) = 0 ⇐⇒ v = 0が成り立つ．
注意. 性質 (i)は，内積が第一変数について線形であることを述べている．性質 (ii)はエルミート（Hermite）性，性質 (iii)は正定値性とよばれる．性質 (i)(ii)より，内積は第二変数について
任意の v, w, w′ ∈ V , c, c′ ∈ Rに対して，(v, cw + c′w′) = c(v, w) + c′(v, w′)
が成り立つことが分かる．この性質を，内積は第二変数について共役線形（sesqui-linear）であるという．
注意. Cn のベクトル v =
0
B
B
@
x1
...xn
1
C
C
A
, w =
0
B
B
@
y1
...yn
1
C
C
A
に対して，
(v, w) = x1y1 + · · · + xnyn ∈ R
と定めると，( , )は Cn の内積となる．この内積を Cn の標準的内積という．
22
定義 29 (計量ベクトル空間). V は R上のベクトル空間，または C上のベクトル空間とする．V に一つの内積
( , )が指定されているとき，V を計量ベクトル空間（metric vector space）という．
定義 30 (ベクトルの長さ). 複素（または実）計量ベクトル空間 V のベクトル v に対して，
‖v‖ =√
(v, v)
を v の長さという．
定義 31 (直交系，正規直交系). 複素（または実）計量ベクトル空間の 0でないベクトル v1, . . . , vk が
i 6= j ならば， (vi, vj) = 0
をみたすとき，v1, . . . , vk は直交系（orthogonal system）であるという．さらに，
各 iについて，(vi, vi) = 1
をみたすとき，v1, . . . , vk は正規直交系（orthonormal system）であるという．
定義 32 (正規直交基底). 複素（または実）計量ベクトル空間 V の正規直交系 v1, . . . , vk が，V の基底になっ
ているとき，v1, . . . , vk を V の正規直交基底（orthonormal basis, ONB）という．
定義 33 (直交補空間). V を複素（または実）計量ベクトル空間とする．W を V の部分空間とするとき，
W⊥ = {v ∈ V |任意の w ∈ W に対して，(v, w) = 0}
とおく．W⊥ は V の部分空間になる．W⊥ をW の直交補空間（orthogonal complement）という．
定義 34 (直交行列). n 次実正方行列 T は tTT = En をみたすとき，直交行列（orthogonal matrix）という．
直交行列全体のなす集合を O(n)で表す：
O(n) = {T ∈ Mn(R) | tTT = En}.
定義 35 (行列の随伴行列). n次複素正方行列 Aに対し，A∗ = t(A)（各成分を共役複素数にして，転置行列を
つくる）とおく．t(A) = tAだから，単に A∗ = tAと書く．A∗ を Aの随伴行列（adjoint matrix）という．
定義 36 (ユニタリー行列). n次複素正方行列 U は U∗U = Enをみたすとき，ユニタリー行列（unitary matrix）
という．直交行列全体のなす集合を U(n)で表す：
U(n) = {U ∈ Mn(C) | U∗U = En}.
定義 37 (正規行列，エルミート行列). (1) n 次複素正方行列 A は A∗A = AA∗ をみたすとき，正規行列
（normal matrix）という．
(2) n 次複素正方行列 H は H∗ = H をみたすとき，エルミート行列（Hermitian matrix）という．エル
ミート行列は正規行列である．
(3) n次複素正方行列 H は H∗ = −H をみたすとき，歪エルミート行列（skew-Hermitian matrix）とい
う．歪エルミート行列は正規行列である．
定理 38 (対称行列の直交行列による対角化). n次実正方行列 A ∈ Mn(R)は対称行列とする．このとき，ある
直交行列 T ∈ O(n)が存在して，T−1AT は対角行列になる．
23
定理 39 (正規行列のユニタリー行列による対角化). n次複素正方行列 A ∈ Mn(C)は正規行列とする．このと
き，あるユニタリー行列 U ∈ U(n)が存在して，U−1AU は対角行列になる．
問題
特に断りのない限り，Rn と Cn は標準内積 ( , )の入った計量ベクトル空間とみなす．また，計量ベクトル
空間は有限次元と仮定する．
問 A.76. (1) C2 の基底
(1
i
),
(i
1 + i
)をシュミット（Schmidt）の直交化法により直交化せよ．
(2) R3 の基底
1
1
0
,
−1
0
1
,
0
2
1
をシュミットの直交化法により直交化せよ．
問 A.77. aを実数とする．R2 の二つのベクトル x =
(x1
x2
), y =
(y1
y2
)に対して，
(x, y)a = x1y1 + x1y2 + x2y1 + a x2y2
とおく．どのような aに対して，( , )a は R2 の内積を定めるか．
問 A.78. 複素（または実）計量ベクトル空間 V の元 v1, v2, . . . , vr に対して，Gを (i, j)成分が (vi, vj)で与
えられる r × r の複素（または実）行列とする．このとき，次は同値であることを示せ．
(i) v1, v2, . . . , vr は一次独立である．
(ii) Gは正則行列である．
ヒント. Gはグラム（Gram）行列とよばれる．内積の正値性より，c1v1 + · · · + crvr = 0であるための必要十分条件は，
(c1v1 + · · · + crvr, c1v1 + · · · + crvr) = 0である．後者を Gを用いて言い換える．
問 B.79. V を n次以下の実数係数多項式からなる実ベクトル空間とする．V の元 f, g に対して
(f, g) =∫ 1
−1
f(x)g(x)dx
とおく．
(1) ( , )は V の内積を定めることを示せ．
(2) P0(x) =√
12 , Pk(x) =
√k +
12
12kk!
dk
dxk(x2－ 1)k (k = 1, 2, . . . , n) とおく．このとき，
{P0(x), P1(x), . . . , Pn(x)}は，V の正規直交基底になることを示せ．
注意. Pk(x)を Legendreの多項式という．
問 A.80. V を複素（または実）計量ベクトル空間とする．u1, · · · , ur を V の正規直交系とする．このとき，
任意の v ∈ V に対して次の不等式（ベッセル（Bessel）の不等式という）が成り立つことを証明せよ.
‖v‖2 ≥r∑
k=1
|(v, uk)|2.
24
さらに，ここで全ての v ∈ V について等号が成立するための必要十分条件は，r = dimV であること，すな
わち u1, · · · , ur が V の正規直交基底であることを示せ．これをパーセバル（Perseval）の等式という．
問 A.81. V を複素（または実）計量ベクトル空間とする．W を V の部分空間とする．このとき，定義 32の
直交補空間W⊥ は，V の部分空間になっていることを確かめよ．さらに，V = W ⊕ W⊥ を示せ．
問 A.82. V , W を 複素（または実）計量ベクトル空間とし, f : V → W を線形写像とする．任意の
v ∈ V,w ∈ W に対し，(f(v), w) = (v, f∗(w))を満たす写像 f∗ : W → V がただ一つ存在することを示し，
f∗ は線形写像であることを確かめよ．（f の随伴写像という．）
問 A.83. (1) Aをm × nの複素行列とし，f : Cn → Cm を x ∈ Cn に Ax ∈ Cm を対応させる線形写像
とする．このとき，f の随伴写像 f∗ : Cm → Cn は，y ∈ Cn に A∗y ∈ Cm を対応させる線形写像である
ことを示せ．ただし，ここで，A∗ は Aの随伴行列である（定義 35参照）．
(2) R2 には，問 A.77で a = 2としたときの内積 ( , )2 を入れる（内積になっていることの証明は不要）．
B を 2 × 2の実行列とし，g : R2 → R2 を v ∈ R2 に Bv ∈ R2 を対応させる線形写像とする．このとき，
g の内積 ( , )2 に関する随伴写像 g∗ : R2 → R2 の（R2 の標準基底に関する）行列表示を求めよ．
問 A.84. Aを n次複素正方行列とする．
(1) 任意の x, y ∈ Cn に対して，(x,Ay) = (A∗x, y)が成り立つことを示せ．
(2) x ∈ Cn は A∗Ax = 0をみたすとする．このとき，(A∗Ax, x) = 0であることを用いて，Ax = 0であ
ることを示せ．
(3) rankA∗A = rankAを示せ．
問 A.85. T を n次実正方行列とする．T の第 j 列の列ベクトルを tj ∈ Rn で表す：T = (t1t2 · · · tn)．また，
( , )を Rn の標準内積とする．このとき，以下の条件は同値であることを示せ．
(i) T は直交行列である．すなわち，tTT = En が成り立つ．
(ii) T tT = En が成り立つ．
(iii) t1, . . . , tn は Rn の正規直交基底である．
(iv) T は内積を保つ．すなわち，任意のベクトル v, w ∈ Rn に対して，(Tv, Tw) = (v, w)が成り立つ．
(v) T は長さを保つ．すなわち，任意のベクトル v ∈ Rn に対して，‖Tv‖ = ‖v‖が成り立つ．
ヒント. (i)から，T−1 = tT が分かる．これから，(ii)が成り立つ．
注意. 複素正方行列については，直交行列 T = (t1t2 · · · tn)をユニタリー行列 U = (u1u2 · · ·un)に，転置行列 tT を随
伴行列 U∗ に，Rn の標準内積を Cn の標準内積にかえると，同様のことが成り立つ．
問 A.86. (1) n次実正方行列 T は直交行列とする．このとき，det(T ) = ±1を示せ．
(2) 2次の直交行列の形を調べる．T =
(a b
c d
)∈ M2(R)とおく．tTT = E2 は次の条件と同値である
ことを示せ．a2 + c2 = 1 かつ ab + cd = 0 かつ b2 + d2 = 1
このことを用いて，det(T ) = 1のときは，ある実数 θ が存在して T =
(cos θ − sin θ
sin θ cos θ
)と表せること，
25
det(T ) = −1のときは T =
(cos θ sin θ
sin θ − cos θ
)と表せることを示せ．
問 A.87. 3次実正方行列 T は直交行列で，det(T ) = 1をみたすとする．この問題では，T の形を調べる．
(1) T の固有多項式は 1を根にもつことを示せ．
(2) T の固有値 1に対する固有ベクトルの一つを t 6= 0 ∈ R3 とする．W = {v ∈ R3 | (v, t) = 0}とおく．このとき，v ∈ W に対して，Tv ∈ W を示せ．さらに，W の正規直交基底に関する f : W → W, v 7→ Tv
の行列表示は，2次の直交行列であることを示せ．
(3) T は R3 内の原点を通る直線 {ct | c ∈ R}に関する回転を表す一次変換であることを示せ．
注意. T を 3次の直交行列とする．問 A.86(1)より，det(T ) = ±1である．det(T ) = 1ならば，T は上の形をしている．
det(T ) = −1ならば，−T は det(−T ) = 1をみたす直交行列なので，−T が上の形をしている．
問 A.88. (1) 実対称行列 A =
0 1 1
1 0 1
1 1 0
を直交行列 T によって対角化せよ．（T−1AT が対角行列にな
る直交行列 T をひとつ求め，そのときの T−1AT を答えよ．）
(2) 複素行列 B =
0 i 1
−i 0 i
1 −i 0
が正規行列であることを確かめよ．さらに，B をユニタリー行列 U
によって対角化せよ．（U−1BU が対角行列になる直交行列 U をひとつ求め，そのときの U−1BU を答
えよ．）
問 A.89. n次実正方行列 Aは対称行列とする．（Aを複素行列とみて複素数の範囲で考えても）Aの固有値は
すべて実数であることを示せ．
注意. 実対称行列はエルミート行列である．問 A.94(1)で，一般に，エルミート行列について固有値はすべて実数であることを示す．
問 A.90. n次実正方行列 Aは対称行列とする．問 A.89より，Aの固有値はすべて実数であることに注意す
る．Aの固有値の中で最小のものを λmin，最大のものを λmax とおく．また，( , )を Rn の標準内積とする．
(1) λmin = minx∈Rn,x6=0
(x,Ax)(x, x)
が成り立つことを示せ．さらに，等号を成り立たせる xの条件は，xが固
有値 λmin に対する固有ベクトルであることを示せ．
(2) λmax = maxx∈Rn,x6=0
(x,Ax)(x, x)
が成り立つことを示せ．さらに，等号を成り立たせる xの条件は，xが固
有値 λmax に対する固有ベクトルであることを示せ．
問 B.91. n次実正方行列 A,A′ は対称行列とする．問 A.89より，A,A′ の固有値はすべて実数であることに
注意する．Aの固有値を（重複度も込めて）小さい方から順に α1 ≤ α2 ≤ · · · ≤ αn と並べる．また，A′ の固
有値を（重複度も込めて）小さい方から順に α′1 ≤ α′
2 ≤ · · · ≤ α′n と並べる．( , )を Rn の標準内積として，
任意の x ∈ Rn に対して，(x, Ax) ≥ (x, A′x)が成り立つと仮定する．このとき，αi ≥ α′i（i = 1, 2, . . . , n）を
示せ．
26
問 B.92. R3 の二次曲面 Qを
Q =
x
yz
∈ R3
∣∣∣∣∣∣ 2xy + 2yz + 2zx = 1
で定める．この問題では Qがどんな形をしているかを調べる．
(1) A =
0 1 1
1 0 1
1 1 0
とおく．任意の v =
x
y
z
∈ R3に対して，2xy +2yz +2zx = (v,Av)を確かめよ．
(2) 直交行列 T を T−1AT が対角行列になるものとしてとる（問 A.88参照）．XYZ
= T−1
xyz
同じことだがx
yz
= T
XYZ
とおく．方程式 2xy + 2yz + 2zx = 1は，X,Y, Z で書き直すとどういう方程式になるか．
(3) (2)で求めた方程式を p(X,Y, Z) = 1とし，
Q′ =
X
YZ
∈ R3
∣∣∣∣∣∣ p(X,Y, Z) = 1
とおく．Q′ を XY Z-座標空間の中で図示せよ．
(4) Qを xyz-座標平面の中で図示せよ．（大雑把な形でよい．）
ヒント. (2) w =
0
B
@
X
Y
Z
1
C
A
とおくと，(v, Av) = (Tw, ATw) = (w, tTATw) = (w, T−1ATw)．(4) T がどのような変換を
表すかは，問 A.87とその後の注意を参照．
問 A.93. n 次複素正方行列 U はユニタリー行列とする．このとき，U は正規行列であることを示せ．また，
U の固有値はすべて絶対値が 1であることを示せ．
問 A.94. (1) n次複素正方行列H はエルミート行列とする．このとき，H は正規行列であることを示せ．
また，H の固有値はすべて実数であることを示せ．
(2) n次複素正方行列 S はエルミート行列とする．このとき，S は正規行列であることを示せ．また，H
の固有値はすべて純虚数であることを示せ．
問 B.95. n次複素正方行列 A,B は正規行列とする．このとき，次の二条件は同値であることを示せ．
(i) AB = BA．
(ii) A,B はユニタリー行列によって同時対角化可能，すなわち，あるユニタリー行列 U が存在して
U−1AU,U−1BU はともに対角行列となる．
問 B.96 (岩澤分解). X を正則な n次実正方行列とする．
(1) 直交行列K と，対角成分がすべて正の実数からなる上半三角行列 Y が存在して，X = KY と表され
ることを示せ．
27
(2) 直交行列 K と，対角成分がすべて正の実数からなる対角行列 Aと，対角成分がすべて 1の上半三角
行列 N が存在して，X = KAN と表されることを示せ．
(3) 上の分解 X = KAN は一意的であることを示せ．
ヒント. X = (x1 . . . xn)とする．x1, . . . , xn ∈ Rn からシュミットの直交化法を用いて作った正規直交基底を t1 . . . tn と
する．このとき，K = (t1 . . . tn)となる．
問 B.97 (極分解). Aを正則な n複素正方行列とする．このとき，ユニタリー行列 U と固有値がすべて正のエ
ルミート行列 H が存在して，A = UH と表せることを示せ．さらに，このような性質をもつ U,H は Aから
ただひと通りに定まることを示せ．
注意. n = 1 とする．A = (a) とする．ここで，a は 0 でない複素数である．1 次のユニタリー行列は実数 θ を用いて
(eiθ)と書け，固有値がすべて正の 1次のエルミート行列は (r)（rは正の実数）と書ける．このとき，上の問は，0でない
複素数 aが a = eiθr（θ ∈ R, r > 0）と一意的に書けること（極分解）をいっている．
ヒント. 分解の存在について：A∗A はエルミート行列であることを確かめる．さらに，任意の x ∈ Cn に対して
(A∗Ax, x) = (Ax, Ax) ≥ 0 だから，A∗A の固有値はすべて正である．ユニタリー行列 V を V −1A∗AV が対角行列
diag(α1, . . . , αn)になるようにとる．αi はすべて正の実数なので，H = V −1diag(√
α1, . . . ,√
αn)V とおけば，H は固
有値がすべて正のエルミート行列で P 2 = A∗Aとなる．U = AH−1 とおく．U∗U = H−1∗A∗AH−1 = E となり，U
はユニタリー行列である．
28
2011年度 2学期 数学基礎考究
小テスト次の問に解答せよ．解答は議論の筋道が追いやすいように分かりやすく書くこと．
問 1. Aを A2 = Aをみたす n次複素正方行列とする．
V = {x ∈ Cn | Ax = x}, W = {x ∈ Cn | Ax = 0}
とおく．このとき，V , W は Cn の部分空間で，Cn = V⊕
W となることを示せ．
問 2. 2次以下の複素係数多項式全体
V = {f(x) = c0 + c1x + c2x2 | c0, c1, c2 ∈ C}
を C上のベクトル空間とみなす．
(1) D : V → V を，f(x) ∈ V にd
dxf(x) ∈ V を対応させる線形写像とする．V の基底 {1, x, x2}に関す
る Dの行列表示を求めよ．
(2) a ∈ Cとする．Ta : V → V を，f(x) ∈ V に f(x + a) ∈ V を対応させる線形写像とする．V の基底
{1, x, x2}に関する Ta の行列表示を求めよ．
(3) (1)で求めた行列を N , (2)で求めた行列を Aとおく．このとき，
A = E + aN +a2
2N2
が成り立つことを示せ．ただし，E は 3次単位行列を表す．
問 3. (1) 4次複素正方行列 N はべき零行列とする（すなわち，ある正の整数 mが存在して Nm = O と
する）．N の Jordan標準形として考えられるものをすべて挙げよ．（答えのみでよい．）
(2) (1)で答えた N の Jordan標準形 J ごとに，Jk（k = 1, 2, . . .）の Jordan標準形が何であるかを求め
よ．（簡単な説明でよい．）
(3) k は正の整数とする．Xk =
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
をみたす 4次複素正方行列 X が存在するという．この
とき，k として取りうる値をすべて求めよ．（証明も与えること．）
問 4. V は 体 K 上の有限次元ベクトル空間，W は V の部分空間とする．このとき，dim(V/W ) =
dimV －dimW を示せ．ただし，V/W は商ベクトル空間を表す．
問 1～問 4が解けた人は次の問題を解答せよ．
問 5. V は体 K 上の n次元ベクトル空間とする．f1, f2, . . . , fn を双対空間 V ∗ の元とする．このとき，次の
二つの条件は同値であることを示せ．
(i) f1, f2, . . . , fn は一次独立である．
(ii) Ker(f1) ∩ Ker(f2) ∩ · · · ∩ Ker(fn) = {0}である．
29
![シラバスを参照したい科目をクリックしてください。—‹.pdfシラバス一覧 LcSessionID=pfP9SVLV21JbLyHQ2LLQQz0xkB1gFb!-455363110[2013/11/27 10:31:58] ラバス](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5ece928691303b002c0de532/ffcccfff-pdf.jpg)