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Las otras geometrıas
Pascual Lucas
Conferencia impartida el 17/02/99 en el curso“La Historia de las Matematicas
y su aplicacion a la docencia en Ensenanza Secundaria”
Indice General
1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 LA GEOMETRIA DE EUCLIDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 EL METODO AXIOMATICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 LOS PRIMEROS CUATRO POSTULADOS DE EUCLIDES . . . . . . . . . 10
2.3 EL POSTULADO DE LAS PARALELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 INTENTOS DE DEMOSTRACION DEL QUINTO POSTULADO . . . . . . . 16
2.5 CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 LA GEOMETRIA HIPERBOLICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1 BOLYAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 GAUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 LOBACHEVSKI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 ALGUNOS RESULTADOS HIPERBOLICOS . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 LA CONSISTENCIA DE LA GEOMETRIA HIPERBOLICA: MODELOS . . . . . 34
4.1 EL MODELO DE BELTRAMI-KLEIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1
4.2 UN MODELO DE POINCARE EN EL DISCO . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 UN MODELO DE POINCARE EN EL SEMIPLANO . . . . . . . . . . . . 39
4.4 EQUIVALENCIA DE LOS MODELOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2
1. INTRODUCCION
Mucha gente desconoce que hace alrededor de un siglo y medio, aproximada-
mente, tuvo lugar una revolucion en el campo de la geometrıa que fue cientıfica-
mente tan profunda como la revolucion de Copernico en astronomıa y, en su
impacto, tan filosoficamente importante como la teorıa de la evolucion de Dar-
win. En palabras del gran geometra canadiense H.S.M. Coxeter:
El efecto del descubrimiento de la geometrıa hiperbolica sobre nuestras ideas
de verdad y realidad ha sido tan profundo que difıcilmente podemos imagi-
nar lo traumatico que fue descubrir en que una geometrıa distinta de la
euclıdea era posible.
Antes de esto se pensaba que habıa, y que de hecho realmente existıa, solo
una geometrıa posible, y que cualquier descripcion del espacio contraria a la
exposicion euclidiana debıa ser necesariamente incompatible y contradictoria.
Sin embargo, en nuestros dıas casi todo el mundo ha oıdo hablar, gracias a
la teorıa de la relatividad de Albert Einstein, de la geometrıa de los espacios
tiempo.
La geometrıa se libero y, desde entonces, los postulados geometricos se con-
virtieron, para los matematicos, en simples axiomas, de cuya verdad o falsedad
fısicas no habıa que preocuparse. Solo habıa que tener cuidado de elegir los
axiomas de forma que no se obtuviera contradiccion alguna, no importa lo ale-
jados que estuvieron estos postulados de nuestra percepcion o creencia.
En consecuencia, el espacio fısico era un concepto empırico deducido de ex-
periencias exteriores y anteriores, y los postulados o axiomas geometricos se
habıan ideado con el objetivo de describir esta apariencia. Este punto de vista
contrastaba enormemente con la teorıa kantiana que dominaba la filosofıa de
la epoca, segun la cual el espacio es un sistema de referencia que ya existıa en
la mente humana, que los axiomas y postulados de la geometrıa euclidiana son
juicios a priori impuestos en la mente, sin los cuales no es posible hacer ningun
razonamiento compatible acerca del espacio.
Ası pues, la invencion de geometrıas no euclıdeas invalidaban la filosofıa kan-
tiana imperante, una creencia tradicional y habito de pensar durante muchos
siglos. Hasta ese momento, las matematicas se justificaban como un intento de
modelizar y explicar el mundo que nos rodeaba; a partir de esta epoca, la geome-
trıa y las matematicas, como un todo, emergieron como una creacion arbitraria
de la mente humana, y no como una imposicion de nuestro mundo.
3
La geometrıa euclıdea es la geometrıa que todos hemos estudiado en el colegio
y en el instituto, la geometrıa que la mayorıa de nosotros utilizamos para visua-
lizar o modelizar nuestro universo fısico. Su origen hay que buscarlo en una
obra escrita por el matematico griego Euclides, los Elementos, escritos alrededor
del ano 300 A.C. La descripcion del universo fısico utilizando esta geometrıa fue
extensamente utilizada por Isaac Newton en el siglo XVII.
Las geometrıas que difieren de la euclıdea han surgido de un estudio mas
profundo de la nocion de paralelismo. Consideremos el siguiente diagrama que
muestra dos rayos perpendiculares a un segmento PQ:
-
-
P
Q
En geometrıa euclıdea, la distancia perpendicular entre los rayos permanece
igual y constante a la distancia de P a Q, por mucho que nos alejemos de dichos
puntos. Sin embargo, a comienzos del siglo XVIII se “imaginaron” dos nuevas
geometrıas. En la geometrıa hiperbolica (del griego hyperballein, “exceder”) la
distancia entre los rayos se incrementa conforme nos alejamos. Por el contrario,
en la geometrıa elıptica (del griego elleipen, “acortar”) la distancia decrece y even-
tualmente los rayos pueden llegar a encontrarse. Estas geometrıas no euclıdeas
fueron posteriormente incorporadas a una teorıa mucho mas general iniciada
por C.F. Gauss y desarrollada por G.F.B. Riemann. Esta teorıa mas general fue
la que permitio a Einstein dar el soporte matematico necesario para sustentar
su teorıa fısica. En realidad, la teorıa de la relatividad especial de Einstein se
basa en la geometrıa del espacio-tiempo de H. Minkowski.
En esta charla me voy a centrar en la geometrıa euclıdea y en la geometrıa
hiperbolica, ya que esta puede entenderse perfectamente a partir de aquella,
pues solo es necesario realizar un pequeno cambio en los axiomas de Eucli-
des. Por el contrario, la geometrıa elıptica necesita del concepto topologico de
la no-orientabilidad (ya que en el plano elıptico, todos los puntos que no estan
sobre una lınea, estan situados del mismo lado de esa lınea). Ası mismo, la geo-
metrıa riemanniana requiere un conocimiento profundo del calculo diferencial
e integral, no solo en espacios euclıdeos, sino tambien en espacios abstractos
mas generales (las llamadas variedades diferenciables) y, por tanto, exceden el
tiempo permitido de exposicion y los objetivos que se persiguen.
4
2. LA GEOMETRIA DE EUCLIDES
La palabra “geometrıa” proviene del griego geometrein (de geo:tierra, y metrein:
medir); originalmente pues la geometrıa fue la ciencia que se ocupo de medir la
tierra. El historiador griego Herodoto (alrededor del siglo V A.C.) propone a los
egipcios como los creadores de la geometrıa, sin embargo otras civilizaciones an-
tiguas (como los babilonios, los hindus o los chinos) ya poseıan un conocimiento
geometrico importante.
La geometrıa antigua consistıa en un conjunto de reglas y procedimientos ob-
tenidos por experimentacion, observacion de analogıas, adivinacion y momentos
de intuicion. Es decir, era una geometrıa practica o cientıfica, ıntimamente rela-
cionada con la medicion practica. Algunos ejemplos que justifican esta opinion
son los siguientes. Los babilonios de 2000 a 1600 A.C. consideraban que la
circunferencia era igual a tres veces su diametro (lo que equivale a decir que
π = 3), valor que es tambien encontrado en diversos escritos romanos y chinos.
Los judıos lo consideraban un numero sagrado, pues aparece en la Biblia, en el
libro de los Reyes I, 7:23
Y construyo [Salomon] un mar fundido, de forma circular, que medıa diez codos
de orilla a orilla y cinco codos de alto: y una lınea de treinta codos lo rodeaba
por completo.
El mismo verso puede encontrarse en Cronicas II, 4:2. Aparece en un listado de
especificaciones para la construccion del gran templo de Salomon, construido
alrededor del ano 950 A.C. No es un valor muy ajustado, ya que los egipcios y los
mesopotamios ya utilizaban los valores 25/8=3.125 y√
10 = 3.162. Los egipcios
tambien utilizaban una aproximacion adecuada ya que, segun el papiro Rhind,
datado alrededor del ano 1800 A.C., utilizaban la aproximacion π ∼ (16/9)2 ∼3.1604.
Los babilonios estaban familiarizados con las reglas generales para calcular
el area de un rectangulo, las areas de triangulos rectangulos e isosceles, el volu-
men de un paralelepıpedo rectangular, el volumen de un prisma recto, etc. Sin
embargo, no siempre utilizaban formulas adecuadas. Por ejemplo, hay evidencia
suficiente para pensar que los babilonios antiguos utilizaban la formula
A =(a + c)(b + d)
4
para el area de un cuadrilatero cuyos lados consecutivos son a, b, c y d. Sin
embargo, conocıan el teorema de Pitagoras alrededor del ano 2000 A.C., mucho
antes de que el propio Pitagoras naciese.
5
La principal aportacion de los griegos, desde Tales de Mileto, fue el inte-
res por demostrar deductivamente las formulas y resultados, rechazando los
metodos de ensayo y error. Tales conocıa los computos realizados por egipcios
y babilonios (unos correctos y otros erroneos) y, tratando de determinar cuales
eran correctos y cuales no, desarrollo la primera geometrıa logica conocida. Los
griegos insistieron en que debıan obtenerse conclusiones geometricas a traves de
demostraciones logicas, de demostraciones, transformando la antigua geometrıa
empırica en una geometrıa axiomatica o matematica.
Nuestra fuente principal de informacion acerca de la geometrıa griega es la
obra Sumario de Eudemo, de Proclo. Este libro contiene unas cuantas paginas
del libro I, Comentarios sobre Euclides, y es un esbozo muy breve del desarrollo
de la geometrıa griega desde los tiempos primitivos hasta Euclides.
Euclides escribio numerosas obras, pero su reputacion se debe a sus Ele-
mentos. Evidentemente, este extraordinario tratado supero completamente y de
forma inmediata a todos los ‘Elementos’ anteriores, y desde la aparicion de los
trece libros y durante los siglos que nos separan, su influencia se dejo sentir
a traves de miles de ediciones. El tratado es una recopilacion y ordenacion
sistematica de los trabajos anteriores, en una sucesion logica de 465 proposi-
ciones, acompanadas de axiomas, postulados y definiciones. Como prototipo del
metodo matematico moderno, su impacto e influencia sobre el desarrollo de las
matematicas ha sido enorme.
El metodo axiomatico utilizado por Euclides es, sin ninguna duda, el origen
de las “matematicas puras”. El metodo es “puro” en el sentido de “pensamiento
puro”: no se necesitan experimentos fısicos para verificar que los enunciados
son correctos, unicamente es necesario el razonamiento en las demostraciones.
Los Elementos de Euclides son tambien “puros” en el sentido de que el tratado
no incluye aplicaciones practicas, a pesar de que la geometrıa de Euclides tiene
un numero enorme de aplicaciones en fısica e ingenierıa. Segun la leyenda,
un estudiante que comenzaba a estudiar geometrıa pregunto a Euclides: “¿Que
ganare aprendiendo estas cosas?”, Euclides llamo a su esclavo y le dijo “Dale
una moneda, porque debe obtener un beneficio de lo que aprende”.
Sorprendentemente, como veremos mas tarde, las matematicas puras tienen
a menudo aplicaciones que sus creadores nunca imaginaron, de forma que las
inutiles matematicas puras terminan siendo muy utiles a la sociedad. En todo
caso, las investigaciones matematicas no aplicables siguen siendo valorables por
la sociedad, como la musica o el arte o como contribuciones al desarrollo de la
conciencia y el conocimiento humanos.
6
2.1. EL METODO AXIOMATICO
Los matematicos podemos utilizar cualquier metodo o tecnica para encontrar
y descubrir teoremas: ensayo y error, estudio de casos especiales, adivinacion,
etc. El metodo axiomatico es el metodo que nos permite probar que tales resul-
tados son realmente correctos. Algunos de los resultados matematicos mas im-
portantes fueron enunciados originalmente con una demostracion incompleta,
teniendo que esperar anos, algunas veces, cientos de anos, para poder encontrar
una prueba correcta.
Por tanto, las demostraciones nos garantizan que los resultados son correc-
tos. A veces, incluso, nos proporcionan resultados mas generales. Por ejemplo,
los egipcios e hindues sabıan que si los lados de un triangulo tienen longitudes
3, 4 y 5, entonces se trata de un triangulo rectangulo. Los griegos demostraron
que si las longitudes a, b y c de un triangulo satisfacen la ecuacion a2 + b2 = c2,
entonces el triangulo es rectangulo.
¿Que es el metodo axiomatico? Si yo deseara persuadirte mediante razona-
miento de que te creas el enunciado E1, podrıa mostrarte que el enunciado E1 es
una consecuencia logica de otro enunciado E2 que tu ya aceptas. Sin embargo,
si no aceptas este enunciado, entonces deberıa probarte que es consecuencia
logica de otro enunciado E3 que sı aceptas como verdadero. Podrıa tener que
repetir el razonamiento varias veces, hasta llegar a un enunciado ya aceptado
y que no requiriese una demostracion. Dicho enunciado jugarıa el papel de un
axioma (o postulado). Sin embargo, si en mi razonamiento no encontrase un
enunciado que aceptases, entrarıa en un proceso de “regresion infinita”, pro-
porcionando una demostracion tras otra sin un final. Por tanto, existen dos
condiciones o requerimientos que debemos aceptar para poder decidir si una
demostracion es correcta:
CONDICION 1. La aceptacion de ciertos enunciados denominados “axiomas” o
“postulados”, que no requieren demostracion.
CONDICION 2. El acuerdo sobre como y cuando un enunciado “es consecuencia
logica” de otro, es decir, acuerdo sobre ciertas reglas de razona-
miento.
El monumental logro de Euclides fue proponer unos pocos y simples postu-
lados, enunciados que fueron aceptados sin ninguna justificacion, y deducir de
ellos 465 proposiciones, muchas de ellas complicadas y para nada intuitivas,
que significan todo el conocimiento geometrico de la epoca. Una de las razones
por la que los Elementos de Euclides es un trabajo tan bonito y maravilloso es
7
la gran cantidad de resultados que han sido obtenidos a partir de unas pocas
premisas.
Antes de avanzar en nuestro planteamiento, no nos podemos olvidar de una
condicion basica y principal:
CONDICION 0. Entendimiento del significado que damos a las palabras y a los
sımbolos, es decir, acuerdo sobre el lenguaje que utilizamos.
No hay ningun problema si todos usamos terminos familiares (para todos)
y los utilizamos de manera consistente. Sin embargo, si yo utilizo un termino
desconocido, o no habitual, estais en vuestro derecho (es mas, en vuestra sana
obligacion) de solicitar una definicion de este termino. Las definiciones no se
pueden proporcionar de forma arbitraria: deben estar sujetas a las reglas de
razonamiento a las que se refiere la Condicion 2. Por ejemplo, no podemos
definir el angulo recto como aquel que tiene 90o y entonces definir el angulo
de 90o como el angulo recto, ya que estamos violando la regla que impide el
razonamiento circular.
Por otra parte, es evidente que no podemos definir todos los terminos que
utilicemos, ya que para definir un termino utilizamos a su vez otros terminos,
los cuales deben tambien ser definidos. Podemos ver que corremos el peligro de
caer en un proceso de regresion infinita.
Euclides intento definir todos los terminos geometricos que utilizo. Ası, de-
finio una “lınea (recta)” como “aquella que tiene todos sus puntos en la misma
direccion”. Esta definicion no es muy acertada, ya que para entenderla hay
que tener previamente la imagen de una lınea. Es mas conveniente considerar
“lınea” como un termino indefinido. De manera similar, Euclides definio el “pun-
to” como “lo que no tiene parte o dimension”, que tampoco es una definicion muy
informativa o util; como antes, parece adecuado considerar el “punto” como un
termino indefinido.
En , David Hilbert publico un tratado colosal, Grundlagen der Geometrie
(Fundamentos de la Geometrıa), que intentaba clarificar y completar las definicio-
nes y conceptos de Euclides, ası como solventar algunos errores detectados en
las demostraciones de Euclides. Esta obra, en sus diversas revisiones mejora-
das, es en la actualidad clasica en su campo; ha hecho mas que cualquier otro
trabajo desde el descubrimiento de la geometrıa no euclıdea para promover el
metodo moderno y para dar forma al caracter de gran parte de las matematicas
actuales. Hilbert proponıa cinco terminos primitivos o indefinidos:
• punto
8
• lınea
• sobre (como en “dos puntos distintos estan sobre una unica recta”)
• entre (como en “el punto C esta entre los puntos A y B”)
• congruente (como en “todos los angulos rectos son congruentes”)
Para una mejor comprension, nos vamos a limitar a la geometrıa plana, de forma
que para nosotros, el plano es el conjunto de todos los puntos y lıneas, los cuales
estan sobre el plano.
En el lenguaje cotidiano existen los sinonimos, es decir, distintas palabras
que utilizamos para referirnos al mismo concepto. Aquı tambien podemos utili-
zarlos. Por ejemplo, en lugar de decir que “el punto P esta sobre la lınea l” puede
decirse que “la lınea l pasa por el punto P ”. Si un punto P esta sobre dos lıneas
l y m, entonces decimos que “las lıneas l y m tienen el punto P en comun”, o que
“las lıneas l y m intersecan (o se cortan) en el punto P ”. El segundo termino,
“lınea”, es sinonimo de “recta” o “lınea recta”.
Existen otros terminos matematicos que usaremos y que deberan ser anadi-
dos a la lista anterior, ya que no desearemos definirlos; ahora los he omitido
porque no son terminos especıficamente geometricos, sino lo que Euclides de-
nominaba “nociones comunes”.
La palabra “conjunto” es fundamental en todas las matematicas actuales, se
utiliza habitualmente en las escuelas y, sin ningun genero de dudas, todo el
mundo tiene una idea acerca de lo que es un conjunto. Podemos pensar en una
“coleccion de objetos”. En relacion con los conjuntos, debemos entender lo que
significa “pertenecer a” o “ser un elemento de” un conjunto; podemos utilizarlos
como en nuestra convencion de que todos los puntos y rectas pertenecen al
plano. Si todos los elementos de un conjunto S son tambien elementos de otro
conjunto T , diremos que S “esta contenido en” o “es un subconjunto de” T .
Otro termino crucial en la teorıa de conjuntos es la igualdad de conjuntos.
Decimos que los conjuntos S y T son iguales si todo elemento de S es tambien
elemento de T y viceversa. Por ejemplo, el conjunto de todos los autores del libro
El Quijote es igual al conjunto cuyo unico elemento es “Miguel de Cervantes”.
La palabra “igual” significa, o es sinonima de, identica. Sin embargo, Euclides
utilizaba la palabra igual en un sentido diferente, como cuando dice que “los
angulos base de un triangulo isosceles son iguales”. Realmente, Euclides querıa
decir que tenıan igual numero de grados, no que fueran angulos identicos. Para
evitar la confusion, utilizaremos el termino primitivo congruente, de forma que
podemos decir que “los angulos base de un triangulo isosceles son congruentes”.
9
Utilizaremos el termino congruente en un sentido mas amplio que el habitual:
sera usado tanto para angulos como para segmentos.
2.2. LOS PRIMEROS CUATRO POSTULADOS DE EUCLIDES
Euclides baso su geometrıa en cinco hipotesis fundamentales, que el denomino
axiomas o postulados.
POSTULADO I. Para todo punto P y para todo punto Q distinto (no igual) de P ,
existe una unica lınea l que pasa por P y Q.
Informalmente, este enunciado es usualmente expresado diciendo que hay
una y solo una lınea que pasa por dos puntos distintos dados. Denotaremos
esta lınea por←→PQ.
Para enunciar el segundo postulado necesitamos una definicion.
DEFINICION. Sean A y B dos puntos. El segmento AB es el conjunto formado por
los puntos A y B y por todos los puntos que estan sobre la lınea←→AB y que estan entre A y B. Los dos puntos A y B se denominan
los extremos del segmento AB.
� -
A
A
C B
C B
Segmento AB
Lınea AB
POSTULADO II. Para todo segmento AB y para todo segmento CD, existe un
unico punto E tal que B esta entre A y E y el segmento CD
es congruente con el segmento BE.
A B E
C D
10
Este postulado se expresa informalmente diciendo que “cualquier segmento
AB puede extenderse mediante un segmento BE congruente con un segmento
CD dado”. Como es habitual, escribiremos CD ∼= BE para expresar el hecho que
los segmentos CD y BE son congruentes.
Para enunciar el tercer postulado necesitamos introducir otra definicion.
DEFINICION. Sean dos puntos O y A. El conjunto de todos los puntos P tales
que el segmento OP es congruente con el segmento OA se llama
la circunferencia con centro O, y cada uno de los segmentos OP se
llama un radio de la circunferencia.
POSTULADO III. Para todo punto O y para todo punto A distinto de O, existe una
circunferencia de centro O y radio OA.
OA
P
Cırculo con centro O y radio OA
Realmente, y puesto que estamos utilizando el lenguaje de la teorıa de conjun-
tos, este postulado es innecesario; como consecuencia de la teorıa de conjuntos,
el conjunto de los puntos P tales que OP ∼= OA existe. Sin embargo, Euclides
tenıa en mente, al proponer este postulado, dibujar dicha circunferencia, por
lo que el postulado nos esta diciendo que es posible construir dicha circunfe-
rencia (por ejemplo con un compas). De manera similar, en el postulado II se
nos dice que es posible extender el segmento AB, por ejemplo utilizando una
regla. No obstante, la presentacion que estamos haciendo es mas “pura” que la
de Euclides, en el sentido de que se elimina toda referencia a los dibujos.
Sin embargo, es un problema matematico fascinante determinar que cons-
trucciones geometricas son posible utilizando unicamente regla y compas. No
fue hasta el siglo XIX en que pudo probarse que ciertas construcciones clasicas
(como la triseccion de un angulo arbitrario, la cuadratura del cırculo o la du-
plicacion del cubo) eran imposibles utilizando solo la regla y el compas. Pierre
Wantzel demostro lo anterior trasladando el problema geometrico a un problema
algebraico: probo que las construcciones con regla y compas correspondıan con
las soluciones de ciertas ecuaciones algebraicas obtenidas unicamente median-
11
te suma, diferencia, multiplicacion, division y extraccion de raıces cuadradas.
Ası por ejemplo, la triseccion de un angulo arbitrario es imposible porque en su
resolucion aparecen raıces cubicas.
DEFINICION. El rayo−→AB es el siguiente conjunto de puntos sobre la lınea
←→AB:
aquellos puntos que pertenecen al segmento AB y todos los puntos
C tales que B esta entre A y C. Se dice que el rayo−→AB emana de A
y es parte de la lınea←→AB.
1
AB
C
Rayo−→AB
DEFINICION. Los rayos−→AB y
−→AC son opuestos si son distintos, emanan del mis-
mo punto A y son parte de la misma lınea←→AB=
←→AC.
-�AB C
Rayos opuestos
DEFINICION. Un angulo con vertice A es un punto A junto con dos rayos no
opuestos−→AB y
−→AC (llamados las caras del angulo) que emanan del
punto A.
q
*
A
B
C
Angulo con vertice A
Este angulo sera denotado por ^A, ^BAC o ^CAB.
12
DEFINICION. Si dos angulo ^BAD y ^CAD tienen una cara comun−→AD, y las
otras dos caras−→AB y
−→AC son rayos opuestos, se dice que los angulos
son suplementarios.
-�AB C
�
D
Angulos suplementarios
DEFINICION. Un angulo ^BAD se dice que es un angulo recto si tiene un angulo
suplementario con el que es congruente.
-�
AB C
6
D
Angulos rectos
Observemos como ha sido posible definir el concepto de angulo recto sin hacer
referencia a los “grados”, utilizando solamente el termino primitivo de congruen-
cia de angulos. Posteriormente veremos como se puede introducir el concepto de
grado, aunque seguramente lo consideremos innecesario, ya que todos tenemos
una idea bastante precisa.
POSTULADO IV. Todos los angulos rectos son congruentes entre sı.
Este postulado expresa una cierta clase de homogeneidad: por muy alejados
y separados que esten dos angulos rectos, siempre tendran el “mismo tamano”.
El postulado proporciona, por tanto, un metodo estandar para medir angulos.
Por el contrario, no existe una forma estandar de medir longitudes en la geome-
trıa euclıdea. Las unidades de longitud (un codo, un pie, un metro, etc.) son
elegidas arbitrariamente. Una de las propiedades mas destacables de la geo-
metrıa hiperbolica, que describiremos mas adelante, es que admite una manera
estandar de medir, es decir, existe una unidad de longitud natural.
13
2.3. EL POSTULADO DE LAS PARALELAS
Los primeros cuatro postulados de Euclides siempre fueron aceptados por los
matematicos. El quinto postulado, o postulado de las paralelas, fue desde el
principio fuente de controversias, que se extendieron en el tiempo hasta el siglo
XIX. De hecho, los intentos por proponer nuevos postulados alternativos fueron
el germen del nacimiento de las nuevas geometrıas.
Enunciaremos el quinto postulado en una formulacion distinta de la original,
tal y como fue expuesto por Euclides en sus Elementos. La razon es que el
enunciado es mucho mas simple y comprensible a primera vista, aunque es
equivalente. La version que presentamos es quizas la mas popular, y se debe al
fısico y matematico escoces John Playfair (–), aunque esta alternativa
ya habıa sido avanzada por Proclo en el siglo V. Una de las definiciones mas
importantes de nuestro acercamiento a la geometrıa euclıdea es la siguiente.
DEFINICION. Dos lınea l y m son paralelas si no se cortan, es decir, si no existe
ningun punto que este sobre las dos lınea. Denotaremos este hecho
por l||m.
Observemos que no se ha dicho que las lıneas son equidistantes, es decir, que
la distancia entre las lıneas es siempre la misma. Seguramente, si hiciesemos
un dibujo de dos lıneas paralelas obtendrıamos esa impresion; por eso es con-
veniente evitar en lo posible la realizacion de dibujos para las demostraciones
rigurosas, ya que nos pueden inducir a utilizar propiedades que no han sido
previamente deducidas, y que no estan en las definiciones establecidas. Por otra
parte, y como consecuencia de este razonamiento, tampoco serıa conveniente
que ahora pensase que las lıneas paralelas no son equidistantes. Debemos limi-
tarnos a utilizar lo definido y lo demostrado, y evitar los juicios de valor.
POSTULADO V. Para toda lınea l y para todo punto P que no esta sobre l, existe
una unica lınea m a traves de P que es paralela a l.
� -
� -P
l
m
Las lıneas l y m son paralelas
Existen otros muchos enunciados equivalentes al postulado anterior. Algu-
14
nas otras alternativas que han sido propuestas o tacitamente utilizadas durante
anos son las siguientes:
(1) Existe un par de rectas en que todos los puntos de una se encuentran a la
misma distancia de la otra.
(2) Existe un par de triangulos no congruentes semejantes.
(3) Si en un cuadrilatero un par de lados opuestos son iguales y los angulos
adyacentes al tercer lado son rectos, entonces los otros dos angulos tam-
bien son rectos.
(4) Si en un cuadrilatero tres angulos son rectos, entonces el cuarto tambien
es recto.
(5) Existe al menos un triangulo en el que la suma de sus tres angulos es igual
a dos rectos.
(6) Por un punto situado dentro de un angulo menor que 60o puede siempre
trazarse una recta que corte a ambos lados del angulo.
(7) Una circunferencia puede hacerse pasar por tres puntos no colineales cua-
lesquiera.
(8) No hay lımite superior al area de un triangulo.
¿Por que debe ser el quinto postulado tan controvertido? Puede parecer un
enunciado “obvio”, quizas porque estamos habituados a pensar en terminos eu-
clıdeos. Sin embargo, si consideramos los axiomas de la geometrıa como abs-
tracciones, podemos encontrar diferencia entre este postulado y los demas. Los
dos primeros postulados son abstracciones de nuestra experiencia dibujando
con una regla, mientras que nuestra experiencia con el compas motiva el tercer
postulado. El cuarto postulado, quizas mas extrano, tambien surge de nuestra
experiencia con el transportador de angulos (donde la suma de angulos suple-
mentarios es 180o).
El quinto postulado es diferente porque no puede ser comprobado empırica-
mente, ya que solo podemos dibujar segmentos (lıneas finitas) y no las lıneas
en su totalidad. Si prolongamos dos lıneas y se cortan, podemos afirmar que no
son paralelas; sin embargo, si los segmentos no se cortan, podemos prolongarlos
mas y mas, pero si no encontramos un punto de corte, nunca estaremos seguros
de que dicho punto de corte no existe. El unico recurso es demostrar el parale-
lismo utilizando un razonamiento indirecto, por medio de criterios distintos de
la propia definicion.
15
2.4. INTENTOS DE DEMOSTRACION DEL QUINTO POSTULADO
Los intentos por deducir el postulado de las paralelas como un teorema a partir
de los restantes, tuvo ocupados a los geometras por mas de dos mil anos, culmi-
nando, como veremos, en algunos de los desarrollos de mas largo alcance de las
matematicas modernas. Muchas “demostraciones” del postulado fueron ofreci-
das, pero con la misma velocidad, mas o menos tarde, se descubrıa que cada
una de ellas se basaba en una suposicion tacita equivalente al propio postulado,
violando la regla logica que impide el razonamiento circular. Veamos algunos
intentos, fallidos naturalmente.
2.4.1. PROCLO
Uno de los intentos conocidos mas antiguos se debe a Proclo. Su razonamiento
fue el siguiente.
� -
� -Y
j
P
Q
X
l
m
Y
Z
n
Sean dos lıneas paralelas l y m y supongamos que la lınea n corta a m en P .
Vamos a demostrar que n corta tambien a l. Sea Q el punto de corte de l con la
perpendicular que pasa por P . Si n coincide con←→PQ entonces n corta a l en Q.
En otro caso, existe un rayo−→PY de n entre
−→PQ y una rayo
−→PX de m. Tomemos X
como el punto de interseccion entre la recta m y su perpendicular por el punto
Y . Conforme el punto Y se va alejando de P , el segmento XY va aumentando
indefinidamente de longitud, de forma que eventualmente serıa mas grande que
el segmento PQ. Por tanto, Y debe quedar en la otra cara de l, y por tanto n
corta a l.
En el parrafo anterior esta la clave del razonamiento de Proclo, ya que en-
vuelve los conceptos de movimiento y continuidad. Todos los pasos de la de-
mostracion son correctos, pero la conclusion no es cierta. La respuesta es que
una sucesion estrictamente creciente de terminos positivos puede estar acotada
superiormente. Por ejemplo, an = n/(n + 1).
16
El error puede entenderse mejor si analizamos el paso previo a la conclusion.
Podemos decir que (1) los puntos X, Y y Z son colineales, y (2) los segmentos
XZ y PQ son congruentes. Por tanto, cuando XZ sea mas grande que PQ,
entonces XY sera tambien mas grande que XZ, por lo que el punto Y estara en
el otro lado de l. La conclusion se sigue de (1) y (2). El gran problema es que las
afirmaciones (1) y (2) no se han justificado adecuadamente.
Este analisis de la demostracion de la prueba de Proclo ilustra la necesidad
de tener sumo cuidado cuando pensamos en lıneas paralelas. Probablemente,
cuando hablamos de lıneas paralelas nos imaginamos los railes de una vıa, con
las traviesas perpendiculares a ambos railes y todas ellas de igual longitud. Sin
embargo, sin el postulado de las paralelas solo podemos decir, usando la defini-
cion, que dos lıneas paralelas no tienen ningun punto en comun. No podemos
afirmar que son siempre equidistantes ni siquiera que tienen una perpendicular
comun.
2.4.2. SACCHERI
No fue hasta cuando la primera investigacion cientıfica del postulado de las
paralelas fue publicada. En dicho ano, Girolamo Saccheri (-) publico
una pequena obra titulada Euclides ab omni noevo vindicatus (Euclides liberado
de toda falla). Saccheri demostro facilmente, como lo puede hacer un alumno
aventajado de secundaria, que si en un cuadrilatero ABCD, los angulos A y
B son rectos, y los lados AD y BC son iguales, entonces los lados D y C son
iguales.
A B
CD
= =
Cuadrilatero de Saccheri
En consecuencia tenemos tres posibilidades: los angulos D y C son iguales y
agudos, iguales y rectos, o iguales y obtusos. Estas tres hipotesis fueron deno-
minadas por Saccheri la hipotesis del angulo agudo, la hipotesis del angulo recto
y la hipotesis del angulo obtuso. Su objetivo era utilizar el metodo de reduccion
17
al absurdo para descartar las hipotesis de los angulos agudo y obtuso. Sacche-
ri elimino facilmente la hipotesis del angulo obtuso, pero no pudo destruir la
hipotesis del angulo agudo. Despues de obtener concienzudamente muchos de
los teoremas hoy clasicos de la geometrıa no euclıdea, Saccheri obtuvo incorrec-
tamente una contradiccion no convincente. En palabras de Saccheri:
La hipotesis del angulo agudo es absolutamente falsa, ya que es repugnante
a la naturaleza de la lınea recta.
Saccheri se comporto como el hombre que descubre un diamante extraordina-
rio y, incapaz de creerselo, anuncia que es cristal. Aunque el no lo reconocio,
Saccheri descubrio la geometrıa no euclıdea.
2.4.3. LAMBERT
El matematico aleman Johann Heinrich Lambert (–) escribio, treinta
anos despues de la publicacion de Saccheri, una investigacion semejante titu-
lada Die Theorie der Parallellinien (La teorıa de las paralelas) que, inexplicable-
mente, no se publico hasta once anos despues de su muerte. Lambert eligio un
cuadrilatero que contenıa tres angulos rectos (la mitad de un cuadrilatero de
Saccheri) como su figura, y considero las tres posibles hipotesis para el cuarto
angulo: agudo, recto u obtuso.
A B
CD
Cuadrilatero de Lambert
Como Saccheri, Lambert dedujo numerosos resultados de geometrıa no eu-
clıdea a partir de la hipotesis del angulo agudo, pero a diferencia de Sacche-
ri, nunca dijo que habıa encontrado una contradiccion. Demostro que en las
tres hipotesis, la suma de los angulos de un triangulo es menor, igual o mayor
que dos angulos rectos, respectivamente, y que el defecto o exceso (segun la
hipotesis) es proporcional al area del triangulo. Elimino la hipotesis del angulo
obtuvo de la misma forma que Saccheri, pero sus conclusiones sobre la hipotesis
18
del angulo agudo fueron indefinidas e insatisfactorias, lo que fue el motivo de
que este trabajo no fuera publicado en vida del autor.
2.4.4. LEGENDRE
El frances Adrien Marie Legendre (–) fue uno de los mejores matemati-
cos de su epoca, contribuyendo con importantes descubrimientos en muchas
ramas de las matematicas. Tan obsesionado estuvo intentando encontrar una
demostracion, que durante 29 anos estuvo publicando una demostracion tras
otra en las diferentes ediciones de su libro Elements de Geometrie (Elementos de
geometrıa). No obstante, Legendre es mejor conocido por el metodo de mınimos
cuadrados en estadıstica, la ley de reciprocidad en teorıa de numeros y los po-
linomios de Legendre en las ecuaciones diferenciales. El estilo simple y directo
de sus demostraciones, que se difundio mucho debido a su aparicion en sus
Elementos, y su enorme prestigio en el mundo de las matematicas, genero un
entusiasta interes popular en el problema del postulado de las paralelas. Anali-
cemos uno de sus intentos.
� -
� -
I
l
m
n
A Q
B
R
P
R′
Sea P un punto que no esta sobre la lınea l. Tracemos la perpendicular PQ
de P a l, y sea m la recta perpendicular a PQ que pasa por P . Entonces m es
paralela a l, ya que tienen una perpendicular comun. Sea n cualquier otra recta
que pasa por P , distinta de m y de PQ. Debemos probar que n corta a l. Sea−→PR un rayo de n entre
−→PQ y un rayo de m emanando de P . Existe un punto R′
en la cara opuesta de−→PQ donde esta R tal que ^QPR′ ∼= ^QPR. Entonces el
punto Q esta en el interior de ^RPR′. Como la lınea l pasa a traves del punto
Q, interior a ^RPR′, l debe cortar una de las caras del angulo. Si l corta la cara−→PR, entonces l corta a n. Supongamos que l corta la cara
−→PR′ en el punto A. Sea
B el unico punto en la cara−→PR tal que PA ∼= PB. Entonces M PQA ∼=M PQB; en
consecuencia, ^PQB es un angulo recto, de forma que B esta en l (y en n).
19
¿Como comprobar que la demostracion es correcta? Habrıa que justificar
cada paso, definiendo todos los terminos con sumo cuidado. Por ejemplo, ha-
brıa que definir que se entiende por lıneas perpendiculares, pues si no, ¿como
se puede justificar que l y m son paralelas unicamente porque tienen una per-
pendicular comun? Quizas habrıa que demostrar esto como un resultado in-
dependiente. Tendrıamos que justificar el criterio de congruencia de triangulos
utilizado al final. Habrıa que definir que se entiende por el interior de un angulo,
y probar que una lınea a traves del interior de un angulo debe cortar a una de
sus caras. En todos estos pasos habrıa que estar seguros, ademas, de que solo
se usan los primero cuatro postulados, y no el quinto o alguna de las formula-
ciones equivalentes.
2.5. CONCLUSIONES
No nos debe extranar que no se pudiese obtener una contradiccion de la hipote-
sis del angulo agudo, ya que como veremos a continuacion, posteriormente se
demostro que la geometrıa desarrollada con esta hipotesis es tan consistente y
compatible como la euclıdea; es mas, si la geometrıa hiperbolica (que es como se
denomina a la geometrıa obtenida con la hipotesis mencionada) tuviese alguna
contradiccion y fuese inconsistente, tambien lo serıa la geometrıa euclıdea. En
consecuencia, el postulado de las paralelas es independiente del resto de los
postulados y, por tanto, no puede deducirse de ellos.
Los primeros en sospechar esta posibilidad fueron los matematicos Karl Frie-
drich Gauss (-), Janos Bolyai (-) y Nicolai Ivanovitch Lo-
bachevski (-). El planteamiento del problema que hicieron estos ma-
tematicos iba en la lınea de John Playfair, considerando tres posibilidades: por
un punto que no este en una recta pueden trazarse mas de una, o unicamente
una, o ninguna paralela a otra dada, hipotesis que son equivalentes a las hipote-
sis de los angulos agudo, recto y obtuso, respectivamente. El desarrollo de la
primera hipotesis condujo a estos matematicos al descubrimiento de la geome-
trıa no euclıdea.
20
3. LA GEOMETRIA HIPERBOLICA
¿Que es la geometrıa no euclıdea? Tecnicamente hablando, podemos decir que
cualquier geometrıa distinta de la geometrıa de Euclides, y ciertamente pueden
ponerse muchos ejemplos de tales geometrıas. Sin embargo, nosotros vamos a
restringirnos a la geometrıa descubierta por Gauss, Bolyai y Lobachevski, de-
nominada geometrıa hiperbolica. Esta es, por definicion, la geometrıa que se
obtiene al reemplazar, en la geometrıa euclıdea, el quinto postulado por su ne-
gacion, que denominaremos el “axioma hiperbolico”.
AXIOMA HIPERBOLICO. Existe una lınea l y un punto P , que no esta sobre l, tales
que hay al menos dos rectas distintas que pasan por P y
son paralelas a l.
3.1. BOLYAI
Janos Bolyai (-) fue educado para el ejercito, llegando a ser oficial del
cuerpo de ingenieros militares del ejercito hungaro. Su padre Wolfgang paso
una gran parte de su vida tratando de demostrar el postulado de las paralelas,
y sabiendo que su hijo Janos estaba tambien preocupado por ese problema,
intento en vano disuadirle:
Por amor de Dios, te ruego que abandones. Temele mas que a las pasiones
sensuales, porque el tambien ocupara todo tu tiempo, y te privara de la salud,
de la paz mental, y de la felicidad en la vida.
Janos continuo trabajando y en llego a la conclusion que habıa llegado
Lobachevski unos pocos anos antes. Cuando anuncio privadamente sus descu-
brimientos en geometrıa no euclıdea, su padre le escribio:
Me parece aconsejable, si has obtenido una solucion al problema, que, por dos
razones, su publicacion debe ser acelerada: en primer lugar, porque las ideas
pasan facilmente de uno a otro, que las puede publicar; en segundo lugar, por-
que parece ser que muchas cosas tienen una epoca en la cual son descubiertas
en muchos lugares simultaneamente, igual que las violetas surgen por todas
partes en primavera.
Janos Bolyai publico sus descubrimientos en un apendice de 26 paginas en un
libro de su padre, Tentamen (). Su padre envio una copia del libro a su
amigo Gauss, indiscutiblemente el matematico mas famoso de la epoca. Wolf-
gang fue amigo ıntimo de Gauss durante 35anos, desde cuando ambos eran
21
estudiantes en Gotinga. Despues del regreso a Hungrıa de Wolfgang, mantuvo
con Gauss una correspondencia ıntima, y cuando el propio Wolfgang envio a
Gauss su propio intento de probar el postulado de las paralelas, Gauss le indico
delicadamente el fatal error.
Figura 1: Retrato de Bolyai que aparece en un sello del Servicio de Correos
Hungaro en el centenario de su muerte.
Janos tenıa trece anos cuando ya dominaba el calculo diferencial e integral.
Su padre le escribio a Gauss dandole cuenta de los prodigios de su hijo e in-
tentando que Gauss lo acogiese en su casa como aprendiz de matematicas. Sin
embargo, Gauss nunca le contesto, quizas porque ya tenıa suficientes proble-
mas con su propio hijo Eugene, que se habıa marchado de casa. Quince anos
despues, cuando Wolfgang le envio el Tentamen, Janos esperaba que Gauss hi-
ciera publico este descubrimiento. Por tanto, se puede imaginar la decepcion
que Janos tuvo que sentir cuando leyo la siguiente carta de Gauss a su padre:
Si comienzo diciendo que nunca alabare el trabajo, te quedaras sorprendido
de momento; pero no puedo hacer otra cosa. Alabar el trabajo serıa alabarme
a mı mismo, ya que el contenido del trabajo, el camino que tu hijo ha seguido,
los resultados que ha obtenido, coinciden casi exactamente con mis propias
meditaciones, que han ocupado mi mente en los ultimos treinta anos. Me
encuentro sorprendido en extremo.
Mi intencion era, en relacion con mi propio trabajo, del cual se ha publicado
muy poco, no hacerlo publico durante mi vida. La mayorıa no tiene la lucidez
para entender nuestras conclusiones y solo he encontrado unos pocos que han
recibido con interes lo que les he contado. Para comprender estas cosas, uno
debe tener una percepcion entusiasta de lo que es necesario, y en este punto la
mayorıa estan bastante confundidos. Por otra parte, tenıa intencion de escribir
un artıculo,de forma que las ideas no se perdiesen conmigo.
De modo que estoy gratamente sorprendido de no hacer este esfuerzo, y estoy
encantado de que sea el hijo de mi viejo amigo quien me haya suplantado de
22
un modo tan sorprendente.
A pesar de la ultima frase de Gauss, Janos quedo totalmente decepcionado y
desilusionado con la respuesta del gran matematico; incluso imagino que su
padre habıa informado secretamente a Gauss de sus resultados y que Gauss
trataba ahora de apropiarse de ellos. Como hombre de temperamento fuerte,
que habıa participado y vencido en trece duelos consecutivos, Janos cayo en
una profunda depresion mental y nunca mas volvio a publicar sus resultados.
En , escribe:
En mi opinion, y como estoy persuadido, en la opinion de los que juzguen sin
prejuicios, todas las razones esgrimidas por Gauss para explicar por que nun-
ca publico nada en su vida sobre este tema son insuficientes; porque en la
ciencia, como en la vida diaria, es necesario clarificar las cosas de interes ge-
neral que todavıa estan ambiguas, ası como despertar, acrecentar y promover
el sentido perdido de la verdad. ¡Ay!, para gran detrimento de la humanidad,
solo unos pocos tienen aptitudes para las matematicas; por tal motivo Gauss,
para ser coherente, deberıa haber mantenido una gran parte de su gran tra-
bajo para sı mismo. Es un hecho que,entre los matematicos,e incluso entre
personas celebres, existen, desafortunadamente, mucha gente superficial, pe-
ro esto no es una razon para que un hombre sensible escriba solamente cosas
superficiales y mediocres, dejando que la ciencia entre en un estado letargico.
Tal suposicion no es natural, por lo que considero ciertamente incorrecto que
Gauss, en lugar de reconocer honesta y definitivamente el gran trabajo del
Apendice y del Tentamen, y en lugar de expresar su gran alegrıa e interes
y tratar de preparar una apropiada recepcion para la buena causa, evitando
todo esto, el descansa contento con piadosos deseos y quejas acerca de la
ausencia de una civilizacion adecuada. Ciertamente, no es esta la actitud que
llamamos vida, trabajo y merito.
Bolyai estaba frecuentemente aquejado de fiebres, lo que le impedıa trabajar,
y en comenzo a recibir una pension del ejercito. Aunque nunca publico
mas que las escasas paginas del Apendice del Tentamen de su padre, dejo es-
critas mas de 20.000 paginas de manuscritos de trabajos matematicos. Estos
manuscritos se encuentran en la biblioteca Bolyai-Teleki en Tirgu-Mures.
3.2. GAUSS
Karl-Friedrich Gauss (-) nacio en Gotinga el 30 de abril. Sin ayuda de
ningun tipo, Gauss aprendio a calcular antes de hablar. A los tres anos corrigio
un error en la paga de los obreros de su padre, y por sı solo estudio y profun-
dizo la aritmetica. A los ocho anos mostro un genio precoz con ocasion de un
23
problema propuesto por su profesor de la escuela elemental: encontrar la suma
de los cien primeros numeros naturales. Gauss sumo casi instantaneamente
los enteros al darse cuenta que eran 50 parejas de numeros que sumaban 101.
El profesor tuvo la sabidurıa de procurarle libros de aritmetica para que Gauss
prosiguiera su aprendizaje.
A los once anos Gauss conocio a Martin Bartels, entonces profesor ayudante
de la escuela y mas tarde profesor de Lovachevski. Bartels hablo de el al duque
de Brunswick, quien lo llevo a estudiar a sus expensas al Brunswick Collegium
Carolinum. En la academia Gauss descubrio la ley de Bode, el teorema del bino-
mio y la media aritmetico-geometrica, ası como la ley de reciprocidad cuadratica
y el teorema de los numeros primos. En Gauss dejo Brunswick y se marcho
a la Universidad de Gotinga. El profesor de Gauss era Kaestner, a quien Gauss
ridiculizaba frecuentemente. Su unico amigo conocido entre los estudiantes fue
Farkas Bolyai, a quien conocio en y con quien mantuvo correspondencia
durante muchos anos.
En marzo de obtiene la construccion del polıgono de 17 lados por me-
dio de la regla y el compas, y desde ese dıa consigna la primera anotacion en
su celebre diario matematico en el que durante dieciocho anos inscribira 146
enunciados matematicos breves de los resultados de sus trabajos. Este diario
no fue encontrado hasta , y su contenido fue publicado por primera vez por
Felix Klein en .
En , Gauss vuelve a Brunswick para continuar allı sus trabajos en so-
litario. Al ano siguiente obtiene el doctorado por la Universidad de Helmsted
bajo la direccion de Johann Friedrich Pfaff. Su tesis de doctorado contiene
una demostracion del teorema fundamental del algebra, es decir, que toda ecua-
cion polinomica p(x) = 0 con coeficientes reales o imaginarios posee al menos
una raız. En , Gauss escribe y publica su gran tratado titulado Disquisitio-
nes aritmeticae, en el que presenta un resumen de los trabajos aislados de sus
predecesores, da soluciones a las cuestiones mas difıciles, formula conceptos y
cuestiones que indicaran, al menos durante un siglo, las lıneas maestras de la
investigacion en teorıa de numeros.
En junio de , Zach, un astronomo a quien Gauss habıa conocido dos o
tres anos antes, publica las posiciones orbitales de Ceres, un nuevo “pequeno
planeta” que habıa sido descubierto por el observador italiano Giuseppe Piazzi
en enero. Desafortunadamente, Piazzi solo pudo observar nueve grados de su
orbita antes de que desapareciera detras del Sol. Zach publico diversas predic-
ciones de su posicion, incluyendo una de Gauss que diferıa bastante del resto.
Cuando Ceres fue redescubierto por Zach en diciembre, estaba exactamente
24
Figura 2: Gauss en
donde Gauss habıa predicho. Aunque Gauss no descubrio sus metodos en esa
epoca, utilizo una teorıa orbital de los planetas fundamentada en la elipse y
recurrio a metodos numericos basados en el metodo de mınimos cuadrados. Es-
ta hazano coincide con el comienzo de sus investigaciones astronomicas, que
absorveran una buena parte de sus energıas durante casi veinte anos.
En Gauss es nombrado profesor de astronomıa y director del observa-
torio de Gotinga, donde permanecio el resto de su vida. Sus trabajos de astro-
nomıa le lleva´ron a publicar su Theoria motus corporum coelestium in sectionibus
conicis solem ambientium (), en el cual Gauss desarrolla sistematicamente
su metodo del calculo orbital. En nace su tercer hijo, que sobrevive corto
tiempo, y de las secuelas de este nacimiento muere su mujer, con la que se habıa
casado en . Estos dos acontecimientos sumieron a Gauss en una profunda
soledad que nunca fue capaz de superar.
Durante los primeros anos en Gotinga, Gauss realiza estudios y lleva a cabo
investigaciones en diversos frentes, a la vez que redacta numerosas memorias:
Disquisitiones generales circa seriem infinitam, un primer estudio riguroso de
las series y la introduccion de las funciones hipergeometricas (); Methodus
nova integralium valores per approximationem inveniendi, una contribucion im-
portante a la aproximacion de las integrales y Bestimmung der Genauigkeit der
Beobachtungen, uno de los primeros analisis de los estimadores estadısticos
(); trabajos en astronomıa, inspirados por su estudio del planeta Palas y
una memoria notable sobre la determinacion de la atraccion de un planeta a su
orbita, Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum
methodus nova tractata.
En Gauss gano el Premio de la Universidad de Copenhagen con su Theo-
25
Figura 3: Gauss en
ria attractionis..., junto con la idea de aplicar una superficie en otra de tal forma
que ambas sean similar localmente. Este trabajo fue publicado en y dio ori-
gen a su publicacion Untersuchungen uber Gegenstande der Hoheren Geodasie
( y ). El trabajo Theoria combinationis observationum erroribus minimis
obnoxiae (), junto con su suplemento de , se dedico a la estadıstica ma-
tematica, en particular al metodo de los mınimos cuadrados.
La publicacion, en , de su Disquisitiones circa generales superficies curvas
supone una contribucion definitiva de la geometrıa diferencial de superficies en
el espacio de tres dimensiones, constituyendo esencialmente la primera etapa
en el desarrollo de la geometrıa de Riemann. Gauss emprende un estudio de las
superficies, demostrando, en particular, que si dos superficies son isometricas
el producto de los dos radios de curvatura principales es el mismo en dos puntos
correspondientes (teorema egregium).
En su memoria de , Gauss trata tambien el problema de determinar las
geodesicas sobre las superficies. Gauss consigue demostrar un celebre teorema
sobre la curvatura de un triangulo cuyos lados son geodesicas. Determina que
la curvatura total de un triangulo geodesico de lados abc viene dada por∫ ∫
Kds = a + b + c − π
Sus trabajos en geometrıa diferencial demuestran que el estudio de la geometrıa
de una superficie puede hacerse concentrandonos esencialmente en la superficie
misma. Ası, las “lıneas rectas” sobre la superficie son las geodesicas y, por
consiguiente, la geometrıa de la superficie es no euclıdea.
Durante los primeros anos Gotinga, Gauss habıa estudiado la posibilidad
de la existencia de una geometrıa no euclıdea. Convencido de la ineficacia de
26
las diversas tentativas anteriores para demostrar el postulado de las paralelas,
Gauss acepta cada vez mas la idea de que debe abandonar los caminos trillados y
elaborar una nueva geometrıa. A partir de desarrolla esta nueva geometrıa,
llamada sucesivamente antieuclıdea, geometrıa astral y, por fin, geometrıa no
euclıdea. En escribe un ensayo sobre las lıneas paralelas, y en una carta
dirigida a H.K. Schumaker le dice:
Despues de haber meditado durante casi cuarenta anos sin escribir nada dors
me he tomado la molestia al menos de poner por escrito algunas de mis ideas,
con el fin de que no desaparezcan conmigo.
Este mismo, Gauss conoce los trabajos de Janos Bolyai, a traves de un libro
que le envıa su padre, y en una carta dirigida a este, le comunica sus propios
trabajos sobre el tema y reivindica la propiedad de sus descubrimientos:
Si digo que soy incapaz de elogiar este estudio, quizas le extrane. Pero no
puede ser de otra manera, porque ello equivaldrıa a alabar mis propios tra-
bajos. En efecto, el enfoque preconizado por vuestro hijo y los resultados que
ha obtenido coinciden casi enteramente con las ideas que han ocupado mi
espıritu desde hace 30 o 35 anos. No tengo la intencion de publicar estas
meditaciones durante mi vida, pero he decidido escribirlas para que puedan
conservarse. Es, en consecuencia, una sorpresa agradable para mı ahorrarme
este trabajo, y me llena de alegrıa el pensamiento de que es precisamente el
hijo de mi amigo de siempre el que me ha suplantado de forma tan notable. . .
En , Wilhelm Weber llega a Gotinga como profesor de fısica, ocupando
el puesto de Tobias Mayer. Gauss habıa conocido a Weber en y apoyo este
nombramiento. Gauss habıa trabajado en fısica antes de , publicando Uber
ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik y Principia generalia theoriae
figurae fluidorum in statu aequilibrii which discussed forces of attraction. Estos
trabajos estaban basados en la teorıa del potencial de Gauss, de gran importan-
cia en sus investigaciones en fısica. Gauss pensaba que su teorıa del potencial
y su metodo de los mınimos cuadrados proporcionaban una relacion vital entre
la ciencia y la naturaleza.
En , Gauss y Weber comenzaron a estudiar la teorıa del magtesimo te-
rrestre, despues de que Alexander von Humboldt intentase obtener la ayuda
de Gauss para construir una red de puntos de observacion magneticos alrededor
de la Tierra. Gauss se intereso por este tema, y publico tres importantes traba-
jos: Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata (),
Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus () y Allgemeine Lehrsatze in Bezie-
hung auf die im verkehrten Verhaltnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden
Anziehungs- und Abstossungskrafte ().
27
Figura 4: Gauss en
En , Weber fue forzado a abandonar Gontinga cuando se vio envuelto en
una disputa polıtica, y desde entonces la actividad de Gauss decrecio. Aunque
parece ser que siguio trabajando con asiduidad, no se animaba a publicar los
resultados que obtenıa. Algunas veces se sintio muy complacido por los avances
realizados por otros matematicos, especialmente por Eisenstein y Lovachevs-
ky.
Despues de , el estado de su corazon se deterioro rapidamente y debio re-
ducir considerablemente sus actividades. En Gauss aprobo la tesis doctoral
de Riemann sobre los fundamentos del analisis complejo y en asiste feliz a
la leccion inaugural de Riemann en Gotinga. Su salud se deterioro lentamente y
murio en la cama el 23 de febrero de .
Figura 5: Gauss en su madurez
Dos de los ultimos estudiantes de doctorado de Gauss fueron Moritz Cantor
y Dedekind, que describio a su tutor con las siguientes palabras:
28
. . . usualmente se sentaba en una actitud confortable, con la mirada baja, lige-
ramente inmovil y con las manos sobre su regazo. Hablaba bastante libremen-
te, con mucha claridad, de forma simple y llana: pero cuando querıa destacar
un nuevo punto de vista. . . entonces levantaba su cabeza, se volvıa hacia al-
guien de los que estaban sentados a su lado y lo miraba fijamente, con ojos
penetrantes, mientras duraba su alocucion. Si procedıa a realizar una expli-
cacion acerca de los principios de desarrollo de unas formulas matematicas,
entonces se levantaba y, con una postura muy erguida, escribıa en una piza-
rra detras de el con su particular y esmerada escritura: siempre procuraba
escribir ordenadamente para utilizar el menor espacio.
3.3. LOBACHEVSKI
Nicolai Ivanovich Lobachevski (-), fue hijo de un gobernador oficial
que murio cuando Lobachevski solo tenıa 7 anos. Alumno de Johann Martin
Bertels (-), fue amigo y correspondiente de Gauss, y llego a ser profesor
de la Universidad de Kazan a la edad de veintiun anos. De a fue rector
de esa universidad, donde permanecio, como profesor y administrador, hasta el
final de sus dıas, a pesar del hecho de que la escasa apreciacion de su trabajo le
entristecio en sus ultimos anos. Lobachevski recibio una gran formacion en las
ideas geometricas, donde las fronteras y las direcciones de investigacion eran
controvertidas.
Los revolucionarios puntos de vistas de Lobachevski no son fruto de una re-
pentina inspiracion. En un esbozo de geometrıa que elaboro en , probable-
mente para usar en clase, Lobachevski decıa en relacion con el postulado de la
paralelas que “no se habıa descubierto ninguna demostracion rigurosas de esta
verdad”. Aparentemente, por esa epoca Lobachevski no excluıa la posibilidad de
que una prueba pudiera todavıa ser descubierta.
En sometio a juicio de sus colegas un primer resumen de su nueva
geometrıa, que el llamaba “geometrıa imaginaria”, cuyo fundamento reposaba
en el rechazo del postulado de las paralelas y en la hipotesis de que la suma
de los angulos de un triangulo es menor que dos rectos. Lobachevski establecio
los principios de esta nueva geometrıa en dos memorias publicadas en la revista
cientıfica de Kazan y en una tercera publicacion en el Journal fur Mathematik
entre y . Su trabajo de atrajo poco la atencion cuando aparecio,
fundamentalmente porque aparecio en ruso, y los rusos que lo leyeron fueron
muy crıticos con el.
Lobacheski cambio abiertamente la doctrina kantiana de que el espacio es
una intuicion subjetiva. En escribıa:
29
Figura 6: Grabado de Lobachevski (alrededor de )
El poco exito de los intentos realizados desde Euclides me han hecho sospe-
char que la verdad no esta contenida solo en los datos, y que para estable-
cerla es necesario la ayuda de experimentos, por ejemplo, las observaciones
astronomicas, como se realiza en otras leyes de la naturaleza.
Deseoso de dar a conocer mejor su geometrıa y difundirla entre los geometras
occidentales, escribio Geometrie imaginaire (Geometrıa imaginaria), que aparecio
en la revista de Crelle en , y la otra en aleman, cuyo tıtulo es Geometrische
Untersuchungen sur Theorie der Parallelinien (Investigaciones geometricas sobre
la teorıa de las paralelas), publicada en . Gauss comprendio y aprecio la
nueva geometrıa de Lobachevski pero, una vez mas, no le dio publicamente su
aprobacion. Estas es una de las razones por las que la nueva geometrıa se fue
conociendo muy lentamente. Lobachevski intento de nuevo dar a conocer sus
investigaciones geometricas publicando una nueva exposicion de su geometrıa
con el tıtulo Pangeometrie, o compendio de geometrıa fundada en un teorıa ge-
neral de las paralelas (), cuando estaba completamente ciego.
Gauss, Bolyai y Lobachevski se dieron cuenta de que el postulado de las pa-
ralelas no podıa ser demostrado a partir de los axiomas de la geometrıa euclıdea,
y que era pues logicamente concebible adoptar una proposicion contradictoria y
desarrollar una nueva geometrıa consecuente y coherente naturalmente a partir
de esos axiomas. El contenido tecnico presentado por los co-inventores de esta
nueva geometrıa es practicamente el mismo, y esta perfectamente desarrollado
en la memoria de Lobachevski del ano .
Despues de haber hecho una breve exposicion de sus investigaciones ante-
riores, Lobachevski establece una lista de 15 teoremas de geometrıa cuya com-
prension juzga esencial antes de abordar la hipotesis que rechaza el postulado
30
de las paralelas de Euclides. A continuacion afirma que todas las rectas del
plano que salen de un mismo punto pueden dividirse, con respecto a una rec-
ta dada BC, del mismo plano, en dos clases: las rectas que cortan a BC y las
que no la cortan. En esta segunda clase existen dos rectas que constituyen la
frontera entre las dos clases, y que se llaman “rectas paralelas”. Lobachevski
muestra que una recta conserva la caracterıstica de paralelismo para todos sus
puntos y que la suma de los tres angulos de un triangulo no puede exceder dos
rectos. Despues anade otros teoremas, entre los que se puede citar el siguiente:
“Para todo angulo dado α existe una recta p tal que π(p) = α”.
Lobachevski pasa a continuacion a la geometrıa esferica, demostrando diver-
sos teoremas relativos a los triangulos esfericos, a su superficie, e introduce en
particular la nocion de lınea frontera como un cırculo de radio infinito.
Figura 7: Grabado de Lobachevski (alrededor de )
Lobachevski ha sido denominado “el gran emancipador” por E.T. Bell, segun
el cual el nombre de Lobachevski deberıa ser tan familiar a cualquierescolar
como lo son Miguel Angel o Napoleon. Desafortunadamente, Lobachevski no
fue muy apreciado en vida, hasta el punto que en fue expulsado de la
Universidad de Kazan.
No serıa hasta la muerte de Gauss en , cuando su correspondencia fue
publicada, que la comunidad matematica comenzara a considerar seriamente
las ideas no euclıdeas. Incluso en Lewis Carroll hacıa chistes sobre la
geometrıa no euclıdea. Algunos de los mejores matematicos (Beltrami, Rie-
mann, Klein, Poincare) extendieron y clarificaron las ideas de Lobachevski,
aplicandolas a otras ramas de las matematicas. En , el matematico italia-
no Beltrami resolvio definitivamente el problema del axioma de las paralelas,
al probar que no era posible ninguna demostracion del mismo. Demostro que
la geometrıa no euclıdea era tan consistente como la geometrıa euclıdea, de tal
31
forma que una de ellas no podıa existir sin la otra.
3.4. ALGUNOS RESULTADOS HIPERBOLICOS
En esta seccion vamos a enunciar algunos resultados que pueden probarse en
la geometrıa hiperbolica, aunque nosotros no vamos a proporcionar ninguna
demostracion.
PROPOSICION. Existe un triangulo cuyos angulos suman menos de 180o
TEOREMA. No existen los rectangulos y en todos los triangulos se satisface que
la suma de sus angulos es menor que 180o.
COROLARIO. En todos los cuadrilateros se satisface que la suma de sus angulos
es menor que 360o.
TEOREMA. Si dos triangulos son similares entonces son congruentes.
En otras palabras, el resultado anterior no dice que en la geometrıa hi-
perbolica es imposible escalar un triangulo (haciendolo mas grande o mas pe-
queno) sin deformarlo. En consecuencia, no pueden existir las maquinas foto-
graficas en un mundo hiperbolico.
TEOREMA. Si l y l′ son dos lıneas paralelas distintas, entonces cualquier conjun-
to de puntos de l equidistantes de l′ tiene a lo mas dos elementos.
El teorema nos dice que no puede haber mas de dos puntos en l que si-
multaneamente sean equidistantes de l′. Se puede presentar una de las dos
situaciones siguientes:
� - � -9
:�I
A
A
C
B
D
B
C ′ A′ B′ D′ A′ B′ l′
l
l′
l
TEOREMA. Si l y l′ son lıneas paralelas para las cuales existe un par de puntos
A y B sobre l equidistantes de l′, entonces l y l′ tienen un segmento
perpendicular comun, que ademas es el segmento mas corto entre l
32
y l′.
TEOREMA. Si dos lıneas l y l′ tienen un segmento perpendicular comun MM ′,entonces dichas lıneas son paralelas, y el segmento MM′ es unico.
Ademas, si A y B son puntos en l tales que M es el punto medio del
segmento AB, entonces A y B equidistan de l′.
TEOREMA. Para toda lınea l y todo punto P que no esta sobre l, sea Q el punto
sobre l tal que PQ es el segmento perpendicular a l. Entonces exis-
ten dos unicos rayos−→PX y
−→PX ′, situados en caras opuestas de la
lınea←→PQ, que no cortan a l y tienen la propiedad siguiente: un rayo
emanando de P corta a l si y solo si esta entre−→PX y
−→PX ′. Ademas,
estos rayos lımite estan situados simetricamente alrededor de←→PQ, en
el sentido que ^XPQ ∼= ^X ′PQ.
� -
= ~
P
X X ′
Ql
Hemos visto que en la geometrıa hiperbolica existen dos tipos de lıneas para-
lelas a una lınea l. El primer tipo consiste en lıneas paralelas m que tienen una
perpendicular comun: m diverge de l en ambas lados de la perpendicular comun.
El segundo tipo consiste en paralelas m que se aproximan asintoticamente a l
segun una direccion (y, por tanto, contiene un rayo paralelo lımite) y que diver-
gen segun la direccion contraria. En este segundo caso, las lıneas paralelas l y
m no tienen una perpendicular comun.
TEOREMA. Sea m una lınea paralela a l que no contiene un rayo lımite paralelo
(en ninguna de las dos direcciones). Entonces existe una perpendicu-
lar comun a m y l (que ademas es unica).
Los resultados que acabamos de presentar no pretenden ser una coleccion
exhaustiva de teoremas de la geometrıa hiperbolica, si no solo poner de mani-
fiesto el “extrano universo” que se genera con dicha geometrıa. No obstante, no
debemos pensar que la geometrıa hiperbolica esta muy lejos de ser cierta o ver-
dadera; en la proxima seccion veremos que con una adecuada definicion de los
terminos primitivos, la geometrıa hiperbolica puede ser considerada una parte
de la geometrıa euclıdea.
33
4. LA CONSISTENCIA DE LA GEOMETRIA HIPERBOLICA: MO-
DELOS
En la seccion precedente hemos introducido la geometrıa hiperbolica y hemos
presentado, sin demostracion, algunos de los resultados o teoremas de esta
nueva geometrıa, que deben sonar ‘extranos” para alguien acostumbrado a la
geometrıa euclıdea (presumiblemente, todos nosotros). Incluso aunque las de-
mostraciones que pueden hacerse sean rigurosas, siempre nos quedara la duda
o la sospecha de que, en el fondo, esta geometrıa es falsa. Pero, pensemos
en las consecuencias que tendrıa la falsedad o inconsistencia de la geometrıa
hiperbolica.
Supongamos que supongo que cuando tiro una piedra, esta cae “hacia arri-
ba”. Entonces puede tirar muchas piedras y, salvo un imposible, descubriremos
que nuestra hipotesis es falsa. Ahora bien, ¿que tipo de experimento podemos
realizar para comprobar que la geometrıa hiperbolica es inconsistente? En otras
palabras, ¿hay alguna manera de probar que el postulado hiperbolico es falso?
O por el contrario, ¿puedo comprobar, de alguna forma, que es verdadero?
El primer paso que debemos dar es aclarar completamente los terminos que
estamos utilizando. ¿Que significan los “puntos”, las “lıneas”, las lıneas “pa-
ralelas”, etc.? Podrıamos pensar, en un primer momento, en los puntos y las
lıneas rectas que todos podemos dibujar con un lapiz y una regla. Pero, ¿tra-
ta la geometrıa de los puntos y las lıneas que podemos pintar? La geometrıa
aplicada (ingenierıa), posiblemente sı; pero la geometrıa pura trata con puntos
y lıneas ideales, es decir, con conceptos, y no con objetos. De manera que los
unicos experimentos que podemos realizar con estos conceptos, son experimen-
tos en nuestra pensamiento. En consecuencia, la pregunta debe plantearse en
los siguientes terminos: ¿puedo imaginar una geometrıa no euclıdea? Los me-
tafısicos, que ası se llamaban los seguidores de Immanuel Kant, el filosofo mas
importante del siglo XVIII, decıan que no, que el espacio euclıdeo es inherente a
la estructura de nuestra mente, y en consecuencia cualquier geometrıa no eu-
clıdea es inconcebible. En este sentido, Gauss, Bolyai y Lobachevski crearon
un “nuevo y extrano universo”.
Los matematicos rechazamos muchas ideas por varios motivos, bien porque
conduzcan a contradicciones, bien porque no conduzcan a resultados brillantes
y de interes. ¿Conduce la geometrıa hiperbolica a alguna contradiccion? Sac-
cheri pensaba que sı, y trato de probarlo, aunque sin exito. Pero aun ası nos
puede asaltar una duda, ¿es posible que Saccheri no fuera lo suficientemente
inteligente para encontrar la contradiccion, y que un buen dıa, alguien brillante
34
y genial encuentre el fallo?
Por otro lado, ¿como sabemos que la geometrıa euclıdea es consistente? Es-
ta pregunta nunca tuvo interes antes del descubrimiento de las geometrıas no
euclıdeas, ya que se pensaba que la unica geometrıa posible era la euclıdea, y
que esta era consistente. Sorprendentemente, si nosotros hacemos explıcita la
suposicion de que la geometrıa euclıdea es consistente, entonces es posible dar
una demostracion de la consistencia de la geometrıa euclıdea. Consideremos el
siguiente resultado
METATEOREMA 1. Si la geometrıa euclıdea es consistentes, entonces tambien lo
es la geometrıa hiperbolica.
A partir del MetaTeorema anterior, es posible deducir la siguiente consecuen-
cia.
COROLARIO. Si la geometrıa euclıdea es consistente, entonces no se puede en-
contrar una demostracion ni de la verdad ni de la falsedad del pos-
tulado de las paralelas a partir del resto de los postulados; es decir,
el postulado de las paralelas es independiente del resto de postula-
dos.
Supongamos que existe una demostracion del postulado de las paralelas. En-
tonces la geometrıa hiperbolica serıa inconsistente, ya que contradice un resul-
tado verdadero. Pero por el MetaTeorema 1, la geometrıa euclıdea debe ser in-
consistente. Por tanto, no podemos encontrar una demostracion. Por otra parte,
la consistencia de la geometrıa de Euclides garantiza que lo contrario tampoco
puede ser cierto, lo que finaliza la demostracion del corolario.
Por tanto, los 2000 anos que los matematicos se pasaron intentando demos-
trar el postulado de las paralelas fueron en vano. Era una tarea imposible, como
trisecar un angulo arbitrario o cuadrar el cırculo con la unica ayuda de la regla
y el compas. Naturalmente, estas afirmaciones son consecuencia de nuestra
suposicion de que la geometrıa euclıdea es consistente. Saccheri, Legendre, Bol-
yai, y tantos otros, intentaron demostrar el quinto postulado a partir del resto,
con el loable objetivo de fortalecer y engrandecer la geometrıa euclıdea, y no se
dieron cuenta de que en su intento estaban destruyendola.
Para probar el MetaTeorema 1, debemos preguntarnos que entendemos por
“lınea” en la geometrıa hiperbolica, o por el plano hiperbolico. Una respuesta
honrada serıa reconocer que no sabemos la respuesta, ya que se trata de una
entelequia, de una abstraccion. En realidad, una lınea hiperbolica es un con-
cepto abstracto e indefinido que nos recuerda a las lıneas euclıdeas, excepto
35
en que no cumplen el quinto postulado. Por tanto, ¿como podemos visualizar
la geometrıa hiperbolica, cuando nuestra vision y nuestra educacion (nuestros
sentidos) es euclıdea?
La cuestion de “visualizar” la geometrıa hiperbolica debe pues entenderse
como encontrar objetos euclıdeos que representen objetos hiperbolicos, es de-
cir, que debemos encontrar un modelo euclıdeo que represente la geometrıa
euclıdea.
4.1. EL MODELO DE BELTRAMI-KLEIN
Consideremos una circunferencia γ en el plano, de centro un punto O y de radio
OR. Entonces el interior de γ es el conjunto de puntos X tales que OX < OR.
γ
OX
R
Los puntos del interior de γ representan, en este modelo, los puntos del plano
hiperbolico.
Una cuerda de γ es un segmento AB uniendo dos puntos A y B que estan
en γ. Definimos la cuerda abierta, y la denotamos por A)(B,como la cuerda
AB sin los puntos extremos A y B. En el modelo de Beltrami-Klein, abreviada-
mente, modelo de Klein, las cuerdas abiertas representan las lıneas del plano
hiperbolico. La relacion “esta sobre” tiene la misma interpretacion que en la
geometrıa euclıdea: un punto P esta en la lınea hiperbolica A)(B si, y solo si,
esta en la lınea←→AB y se encuentra entre A y B. La relacion hiperbolica “en-
tre” tambien se interpreta como la misma relacion en la geometrıa euclıdea. La
interpretacion de la “congruencia” requiere un poco mas de trabajo y esfuerzo.
La siguiente figura justifica inmediatamente que el axioma hiperbolico se sa-
tisface:
P
m
n
l
36
Observamos que las dos cuerdas m y n pasan por el punto P y ambas son pa-
ralelas a la cuerda l, pues no tienen puntos en comun (recordemos que el plano
hiperbolico se circunscribe al interior de la circunferencia). El hecho de que los
segmentos, cuando se prolongan en el plano euclıdeo se cortan, es irrelevante.
Una vez que todos los terminos primitivos han sido rigurosamente interpretados
(a nosotros nos falta la congruencia), entonces debemos interpretar los axiomas
de la geometrıa. Por ejemplo, el primer axioma de incidencia de Klein:
AXIOMA I1. Dados dos puntos distintos en el interior de la circunferencia γ, exis-
te una unica cuerda abierta l de γ tal que A y B estan sobre l.
Este axioma es un teorema de la geometrıa euclıdea. Una vez que todos
los axiomas de la geometrıa hiperbolica han sido interpretados como resultados
y teoremas de la geometrıa euclıdea, cualquier prueba de contradiccion en la
geometrıa hiperbolica se podrıa trasladar inmediatamente a una contradiccion
en la geometrıa euclıdea. De nuestro convencimiento en la consistencia de la
geometrıa euclıdea, se deduce que tal prueba de contradiccion no puede existir.
En consecuencia, si la geometrıa euclıdea es consistente, entonces tambien lo
es la geometrıa hiperbolica.
4.2. UN MODELO DE POINCARE EN EL DISCO
El modelo de Henri Poincare del disco tambien representa los puntos del plano
hiperbolico como los puntos del interior de una circunferencia γ, pero las lıneas
se presentan de forma bien distinta.
Todas las cuerdas que pasan por el centro O de la circunferencia (es decir, los
diametros abiertos de γ) representan lıneas. Las otras lıneas son arcos abiertos
de circunferencias que intersecan ortogonalmente a γ, en el sentido euclıdeo del
termino ortogonal.
Ol
γ
mδ
Para ser mas precisos, sea δ una circunferencia ortogonal a γ. Entonces la
37
interseccion de δ con el interior de γ define un arco abierto m, que por definicion
representa una lınea en el modelo de Poincare. En consecuencia, una lınea de
Poincare, una P-lınea, es o bien un diametro abierto o bien un arco abierto m
ortogonal a γ, como se indica en la figura anterior.
¿Como se interpretan las otras relaciones indefinidas de la geometrıa? Un
punto interior a γ “esta sobre” una P-lınea si esta sobre ella en el sentido eu-
clıdeo. De manera analoga, la relacion “entre” tiene el mismo significado que en
el caso euclıdeo.
La interpretacion de la “congruencia” tiene dos partes diferenciadas: la difıcil
(la relativa a la congruencia de segmentos) y la facil (la que se refiere a la con-
gruencia de angulos). Esta ultima tiene el mismo significado que en el caso
euclıdeo, lo que supone la principal ventaja de este modelo respecto del modelo
de Klein.
De manera totalmente analoga a como se ha hecho con el modelo de Klein,
es posible trasladar, a traves de este modelo, todos los axiomas de la geometrıa
hiperbolica a teorema de la geometrıa euclıdea. En consecuencia, el modelo
de Poincare nos proporciona una nueva demostracion de que si la geometrıa
euclıdea es consistente, entonces tambien lo es la geometrıa hiperbolica.
Veamos a continuacion algunas figuras que ilustran algunos de los resultados
mas caracterısticos de la geometrıa hiperbolica, que presentamos en la seccion
anterior.
O lA B
γP
La figura anterior ilustra los rayos lımite paralelos. Como lınea l hemos es-
cogido el diametro abierto A)(B; los rayos son los arcos circulares que cortan
la recta←→AB en A y B y son tangentes a dicha lınea en esos puntos. Puede ob-
servarse que estos rayos se aproximan asintoticamente a l conforme nos vamos
acercando a los puntos A y B.
La siguiente figura ilustra dos P-lıneas con una perpendicular comun. El
dibujo muestra que m diverge de l por ambos lados de la perpendicular comun.
38
O l
P m
Finalmente, la siguiente figura ilustra un cuadrilatero de Lambert, donde
puede comprobarse que el cuarto angulo es agudo.
O l
Cuadrilatero de Lambert
Anadiendole su imagen reflejada en un espejo puede obtenerse un cuadrila-
tero de Saccheri.
O
Cuadrilatero de Saccheri
4.3. UN MODELO DE POINCARE EN EL SEMIPLANO
Poincare fue capaz de disenar otro modelo para la geometrıa hiperbolica, donde
el plano hiperbolico se identifica con los puntos de un semiplano determinado
por una lınea euclıdea fija. Para fijar las ideas, y si utilizamos coordenadas
cartesianas, es usual considerar con plano hiperbolico el siguiente conjunto:
H = {(x, y) : y > 0}
39
Las lıneas hiperbolicas, en este modelo, pueden ser de dos tipos:
(1) rayos emanando de puntos situados sobre el eje x y perpendiculares a dicho
eje;
(2) semicircunferencias en el semiplano superior con centro un punto en el eje
x,
Las relaciones de incidencia y “entre” tienen la misma interpretacion que en
la geometrıa euclıdea. En este modelo, los angulos se miden de la misma manera
que en el caso euclıdeo, lo cual se indica diciendo que este modelo es conforme
al euclıdeo, o bien que ambos modelos son conformes.
4.4. EQUIVALENCIA DE LOS MODELOS
Ya hemos descrito, aunque sea muy brevemente, tres modelos distintos para la
geometrıa hiperbolica. Quizas estemos sorprendidos, ya que no solo hemos sido
capaces de encontrar “mundos” donde la geometrıa es hiperbolica, y no euclıdea,
sino que hemos propuesto tres modelos. Uno puede sentir que dichos modelos
son distintos, por las diferencias entre las definiciones de lıneas, incidencia, y
demas terminos y relaciones primitivas. Pero, realmente, ¿son diferentes los
modelos?
Vamos a “demostrar” (quizas serıa mas adecuado decir, “insinuar” o “esbozar”)
que los tres modelos son isomorfos, en el sentido matematico de que existe una
correspondencia biyectiva entre cada dos modelos que preserva los terminos y
relaciones primitivas (puntos, lıneas, “sobre”, “entre” y “congruente”).
4.4.1. EQUIVALENCIA ENTRE LOS MODELOS DE KLEIN Y EL DISCO DE POINCARE
Consideremos el plano como el plano XY dentro del espacio euclıdeo tridimen-
sional y sea una esfera, del mismo radio que el disco de Klein, que sea tangente
al plano en el origen.
40
Proyectamos ortogonalmente el modelo de Klein en el hemisferio sur de la es-
fera. Mediante esta proyeccion, las cuerdas del disco se transforman en arcos de
circunferencias ortogonales al ecuador de la esfera. A continuacion proyectamos
estereograficamente desde el polo norte de la esfera en el plano original. Tras la
proyeccion, el ecuador de la esfera se transforma en una circunferencia de radio
mayor que la circunferencia original del modelo de Klein, y el hemisferio sur se
transforma en el interior de dicha circunferencia. Si el disco original represen-
ta el modelo de Klein, entonces el disco resultante de las dos transformaciones
anteriores representa el modelo de Poincare.
4.4.2. EQUIVALENCIA ENTRE LOS MODELOS DE POINCARE
Para poder visualizar una transformacion de un modelo en otro, debemos identi-
ficar el plano euclıdeo con el plano complejo, de forma que un punto del plano es
un numero complejo z = a+ib. Podemos definir la siguiente aplicacion ϕ : D → H
dada por
ϕ(z) = −iz + i
z − i
Entonces dicha correspondencia transforma los terminos y relaciones primiti-
vas del modelo de Poincare en el disco en los correspondientes del modelo del
semiplano de Poincare.
4.4.3. CONCLUSION
En realidad, puede probarse que todos los posibles modelos de la geometrıa hi-
perbolica (es decir, los que hemos expuesto y cualquier otro que nosotros u otros
puedan concebir) son isomorfos entre sı, es decir, los axiomas de la geometrıa
hiperbolica son categoricos.
La afirmacion anterior tambien es cierta para la geometrıa euclıdea, y puede
41
probarse introduciendo coordenadas cartesianas en el plano. Del mismo modo,
la naturaleza categorica de la geometrıa hiperbolica puede probarse introdu-
ciendo las coordenadas de Beltrami en el plano hiperbolico (y para ello debemos
introducir primeramente la trigonometrıa hiperbolica).
42
5. CONCLUSIONES
Hemos visto en la seccion precedente que si la geometrıa euclıdea es consis-
tentes, tambien lo es la geometrıa hiperbolica. Recıprocamente, puede probar-
se que si la geometrıa hiperbolica es consistentes, entonces le ocurre lo mis-
mo a la geometrıa euclıdea. Ası pues, logicamente hablando, o si se quiere,
matematicamente hablando, ambas geometrıas deben ser consideradas al mis-
mo nivel. Sin embargo, es evidente que todos “sentimos” que la geometrıa hi-
perbolica es una creacion de la mente humana, mientras que la geometrıa eu-
clıdea representa acertadamente nuestro mundo. Y aquı es donde nos debemos
plantear una pregunta de implicaciones filosoficas tremendas: ¿Cual es la geo-
metrıa del espacio fısico?, ¿Que leyes geometricas rigen nuestro mundo?
Cuando se aplican varias teorıas matematicas para explicar un fenomeno
o situacion fısica, nos interesa la teorıa que explique mejor o que concuerde
mas con los hechos fısicos observados, y que resista adecuadamente la clase de
pruebas que habitualmente se hacen sobre las hipotesis en cualquier campo de
la investigacion cientıfica.
No es difıcil darse cuenta que las geometrıas descritas se adaptan significa-
tivamente bien a nuestro espacio fısico pequeno, y en consecuencia podemos
vernos tentados a proporcionar una respuesta vaga e indeterminada. Por ejem-
plo, en distancias pequenas, como las que se utilizan en la arquitectura y en
la ingenierıa, como las que usamos diariamente todos, hay evidencia mas que
suficiente para considerar a la geometrıa euclıdea como la que mejor se adapta
a nuestras necesidades. Sin embargo, cuando las distancias son enormes, como
las consideradas en astronomıa, el ajuste de la geometrıa euclıdea ya no es tan
bueno.
Consideremos las lıneas como las trayectorias de los rayos de luz. ¿Como
podrıamos verificar la clase de geometrıa en que vivimos? Pues parece razonable
intentar medir los angulos de un triangulo y ver si nos encontramos con un de-
fecto o con un exceso de 180o. Una prueba de esta naturaleza fue imaginada y
realizada por el genial matematico Gauss, utilizando un triangulo cuyos vertices
eran los picos de tres montanas. Los resultados del experimento, sin embargo,
no fueron concluyentes. ¿Por que? Por que cualquier experimento fısico invo-
lucra un error experimental, debido a la falta de exactitud del aparato medidor,
a la falta de condiciones para realizar el experimento, a errores de medicion por
nuestra falta de pericia, etc. Gauss no encontro ninguna desviacion de 180o,
mas alla del error probable de la medicion.
Debido a los posibles errores experimentales de medicion, no existen experi-
43
mentos fısicos que nos permitan concluir si el mundo en que vivimos es euclıdeo
o hiperbolico. Es decir, es imposible determinar si la geometrıa de nuestro es-
pacio fısico es euclıdea o no euclıdea. Como todas las mediciones comprenden
suposiciones, tanto de caracter fısico como de tipo geometrico, un resultado ob-
servado puede explicarse de muchas maneras. Imaginemos una discrepancia
observada en la suma de los angulos de un triangulo: podrıamos explicarla con-
servando la geometrıa euclıdea pero cambiando alguna ley de la optica. Imagine-
mos, por el contrario, que nunca encontrasemos una discrepancia; podrıamos
explicarla con una geometrıa no euclıdea con algunos ajustes en nuestra con-
cepcion de la materia.
Esta ultima afirmacion es, de hecho, la actitud cientıfica actual. Segun los
“descubrimientos” de Einstein, el espacio y el tiempo son inseparables, y la geo-
metrıa del espacio-tiempo se ve afectada por la materia, de tal forma que incluso
los rayos de luz estan curvados por los efectos gravitacionales. Es decir, el espa-
cio no es un ente absoluto que no se ve afectado por lo que contiene; el problema
es mucho mas complicado que lo que Euclides o Lobachevski pudieron imaginar,
pues de hecho ninguna de sus geometrıas es adecuada para describir nuestra
concepcion actual del espacio.
La respuesta de Poincare a la pregunta que nos planteabamos al principio es
la siguiente:
Si la geometrıa fuese una ciencia experimental, entonces no serıa una ciencia
exacta y estarıa sometida a una revision continua.. . . Por tanto, los axiomas
geometricos no son ni intuiciones sinteticas a priori ni hechos experimentales.
Son, simplemente, convenciones. Nuestra eleccion, entre todas las posibles
convenciones, esta determinada por hechos experimentales; pero permanece
libre y solo esta limitada por la necesidad de no obtener ninguna contradic-
cion. Por tanto, los postulados permanecen rigurosamente verdaderos incluso
cuando las leyes experimentales que los motivaron son solo aproximaciones a
la realidad. En otras palabras, los axiomas de la geometrıa no solo definicio-
nes. En consecuencia, que debemos pensar ante la pregunta: ¿Es verdadera
la geometrıa euclıdea? No tiene sentido. Podrıamos pensar tambien si el sis-
tema metrico es verdadero y los viejos pesos y medidas son falsos; si las
coordenadas cartesianas son verdaderas y las coordenadas polares son fal-
sas. Una geometrıa no puede ser mas verdadera que otra: solo puede ser mas
conveniente.
Para la topologıa terrestre, para la construccion de los edificios y puentes, pa-
ra el diseno de automoviles y aviones, en general para nuestra vida ordinaria, la
geometrıa euclıdea es la mas conveniente, porque es la mas sencilla de manejar
y nos proporciona una descripcion de la realidad muy acertada.
44
Sin embargo, en otras situaciones existen otras geometrıas mas aceptables.
Por ejemplo, Einstein encontro que para dar soporte a sus teorıa fısica de la
relatividad ninguna de las geometrıas clasicas eran adecuadas, y adopto la geo-
metrıa riemanniana como el modelo matematico que describıa acertadamente el
mundo fısico que su teorıa proponıa.
Estudios de mediados de siglo acerca del espacio visual (el espacio psicologi-
camente observado por personas de vision normal) han llegado a la conclusion
que puede ser descrito de la forma mas conveniente a traves de la geometrıa
hiperbolica.
Como resumen y conclusion, podemos afirmar que no existe una geome-
trıa (mas) verdadera, sino una geometrıa (mas) conveniente, y esta conve-
niencia depende de la aplicacion en la que vaya a ser utilizada.
45
![3 ISKY.DEPO No.2 No.a No.4 No.5 No.6 No.7 No.8 No.9 No. 10 ... · 3 ISKY.DEPO No.2 No.a No.4 No.5 No.6 No.7 No.8 No.9 No. 10 No. 11 No. 12 No. 13 No. 14 Y276-0004 Baa c] : 00) TEL](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5f9d923ad67aba75cc50432e/3-iskydepo-no2-noa-no4-no5-no6-no7-no8-no9-no-10-3-iskydepo-no2.jpg)
