UNIVERZITET U NI ŠUELEKTRONSKI FAKULTET

DIGITALNA OBRADA SIGNALA

Zbirka zadataka

NI Š, 2020.

2

Sadržaj

1 Z Transformacija 5

1.1 Z Transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 5

1.1.1 Definicija i sprecijalne forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Osobine i teoremeZ Transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Z Transformacija elementarnih vremenski diskretnih funkcija . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Veza izmed-u s i zdomena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Konvolucija diskretnih signala 19

3 Inverzna Z transformacija 25

3.1 Razvoj u parcijalne razlomke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 25

3.2 Definicioni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 26

3.3 Beskonǎcno deljenje polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 28

4 Prenosna funkcija diskretnih sistema 33

5 Diskretna Furijeova transformacija 43

5.1 Diskretna Furijeova transformacija i konvolucija . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6 Kontinualno-diskretne transformacije 65

7 Zadaci 91

8 Hardverska realizacija prenosne funkcije diskretnog sistema 105

8.1 Direktna realizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 107

8.2 Direktna kanonična realizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.3 Kaskadna realizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 111

8.4 Paralelna realizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 113

Literatura 126

Indeks pojmova 127

3

4 Sadržaj

1

Z Transformacija

1.1 Z Transformacija

Ovo poglavlje je posvéceno vremenski diskretnim sistemima. Uvodi se terminZ Transformacije i defini-cija, teoreme i osobine su iznete u nastavku. Definisana je diskretna funkcija prenosa i dato je par primeraza prikaz njene primene. InverznaZ Transformacija i metode za njeno pronalaženje su takod-e razmatrane unastavku.

1.1.1 Definicija i sprecijalne forme

Z Transformacija predstavlja osnovno matematičko sredstvo u klasičnim metodama analize i sinteze digi-talnih sistema.Z Transformacija vřsi transformaciju iz domena vremenski diskretnih signala udrugi domenkoji se nazivazdomen. Primenjuje se za vremenski diskretne signale, na isti način kao Laplaceova i Furijeovatransformacija za vremenski kontinualne signale.Z Transformacija daje opis frekvencijskog domena vremen-ski diskretnih signala i predstavlja osnovu za sintezu digitalnih sistema, kao npr. digitalnih filtara. Po uzoru naLaplaceovu Transformaciju, postoje jednostrana i dvostranaZ Transformacija. Mícemo ogranǐciti diskusijuna jednostranuZ TransformacijuF(z), vremenski diskretne funkcijef [n], definisane na sledeći nǎcin

F(z) =∞

∑n=0

f [n]z−n (1.1)

InverznaZ Transformacija se definiše kao

f [n] =1

j2π

∮

F(z)zn−1dz (1.2)

Vremenski diskretan talasni oblik signala možemo dobiti iz analognog (kontinualnog signala ili signalasa ogranǐcenim brojem prekida) signala, množenjem povorkom Dirakovih impulsa. Vremenski kontinualnisignal se oznǎcava saf (t) dok se povorka odbiraka označava

∆[n] =∞

∑n=0

δ [t −nT] (1.3)

Množenjem signalaf (t), povorkom odbiraka∆[n], generǐse se signalg(t) definisan kao

g(t) = f (t) ·∆[n] = f (t)∞

∑n=0

δ [t −nT] (1.4)

5

6 1. Z Transformacija

Ovi signali su prikazani na slici 1.1 i 1.2.

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

a

0 2 4 6 8 10 12

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

b

t

n

f(t)

∆[n]

Sl. 1.1: Kontinualni signal (a) i povorka Dirakovih impulsa (b).

Razmak izmed-u dva susedna Dirakova impulsa (δ [k] i δ [k−1]) je uvek isti i jednak periodu odmeravanjaT = 1/Fs. Iako su nax osi u slǔcaju signala∆[n] prikazani redni brojevi odbiraka (n) oba signala (u pored-enjusa f (t)) pokrivaju isti deo vremenske ose. Da bi nax osi bilo vreme u sekundama potrebno je pomnožiti n saTs.

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t

g(t)

Sl. 1.2: Diskretna funkcija dobijena od analogne postupkomodabiranja (mnǒzenjem povorkom Di-rakovih funkcija)

Naravno, posle mnǒzenja sa∆[n], jedine vrednosti signalaf (t) različite od nule, su za slučaj kada jet = nT

1.1.Z Transformacija 7

i tada, jednǎcina 1.4 mǒze se predstaviti kao

g(t) = f [nT]∞

∑n=0

δ [t −nT] =∞

∑n=0

f [nT]δ [t −nT] (1.5)

Laplasova transformacija Dirakove funkcije ima vrednost

L {δ (t)} = 1

dok za vremenski zakašnjen Dirakov impuls vǎzi

L {δ (t −T)} = e−sT

Stoga, nalazéci Laplaceovu transformaciju obeju strana jednačine 1.5 i uvodéci oznaku f [nT] = f [n] zbogjednostavnosti, sledi da je

G(s) = L

{

f [n]∞

∑n=0

δ [t −nT]}

= f [n]∞

∑n=0

e−nsT =∞

∑n=0

f [n]e−nsT (1.6)

Jednǎcina 1.6, uvodéci smenuz = esT, postaje identǐcna jednǎcini 1.1, i z kao s postaje kompleksnapromenljiva.

Z i inverznaZ Transformacija se označavaju

F(z) = Z { f [n]} (1.7)

f [n] = Z −1{F(z)} (1.8)

FunkcijaF(z), definisana jednǎcinom 1.1, je niz kompleksnih brojeva i konvergira ka jediničnom krugu tj.približava se granici stabilnosti za|z|> R. U teoriji kompleksnih brojeva, vektorRpredstavlja radius apsolutnekonvergencije.

Oblast konvergenicje je setz za koje amplituda funkcijeF(z) ima konǎcne vrednosti. Oblast divergencijeje setz za koje amplituda funkcijeF(z) ima beskonǎcnu vrednost.

1.1.2 Osobine i teoremeZ Transformacije

Osobine i teoremeZ Transformacije su slične osobinama i teoremama Laplaceove Transformacije. Uovom delu bíce iznete i dokazane najčěsće korǐsćene osobine i teoremeZ Transformacije.

1. Linearnost

a f1[n]+b f2[n]+c f3[n]+ · · · ⇔ aF1(z)+bF2(z)+cF3(z)+ . . . (1.9)

gde sua,b,c. . . proizvoljne realne ili kompleksne konstante aFi(z) = Z { fi [n]} , i = 1,2, . . . .

2. Pomeranje f [n]u0[n] u vremenski diskretnom domenu

f [n−m]u0[n−m] ⇔ z−mF(z) (1.10)

8 1. Z Transformacija

3. Pomeranje ulevo u vremenski diskretnom domenu

f [n+m] ⇔ zmF(z)+−1∑

n=−mf [n+m]z−n (1.11)

Ukoliko je f [n] vremenski diskretan signal impozitivan ceo broj, tadam-ti pomeraj ulevo funkcijef [n]je f [n+m].

4. Množenje saan u vremenski diskretnom domenu

an f [n] ⇔ F( z

a

)

(1.12)

Dokaz:

Z {an f [n]} =∞

∑k=0

an f [n]z−n =∞

∑k=0

1a−n

f [n]z−n =∞

∑k=0

f [n]( z

a

)−n= F

( za

)

5. Množenje sae−naT u vremenski diskretnom domenu

e−naT f [n] ⇔ F(

eaTz)

(1.13)

Dokaz:

Z{

e−naT f [n]}

=∞

∑k=0

e−naT f [n]z−n =∞

∑k=0

f [n](

eaTz)−n

= F(

eaTz)

6. Sumiranje u vremenski diskretnom domenu

n

∑m=0

f [m] ⇔(

zz−1

)

F(z) (1.14)

Z Transformacija sume vrednosti signala je jednakaz/(z−1) što mnǒzi Z Transformaciju signala.Ova osobina je ekvivalentna vremenskoj integraciji u vremensko kontinualnom domenu dok je inte-gracija u vremenski diskretnom domenu jednaka sumiranju.z/(z−1) takod-e predstavljaZ Trans-formaciju diskretne jedinične odskǒcne funkcijeu0[n] što je objǎsnjeno u sledécem delu. Na osnovusledécih relacija

u0(t) ⇔1s

∫ t

0f (τ)dτ ⇔ F(s)

s

sličnost Laplaceove iZ Transformacije postaje očigledna.

Dokaz:

Ukoliko jednǎcinu

y[n] ⇔n

∑m=0

x[m] (1.15)

predstavimo na sledeći nǎcin

1.1.Z Transformacija 9

y[n] ⇔n−1∑

m=0x[m]+x[n] (1.16)

Dok je znakom za sumiranje u jednačini 1.15 predstavljen signaly[n] , tada znak za sumiranje u jednačini1.16 predstavljay[n−1], pa jednǎcinu 1.16 mǒzemo zapisati na sledeći nǎcin

y[n] = y[n−1]+x[n] (1.17)

Ukoliko primenimoZ Transformaciju na obe strane jednačine 1.17 i korǐsćenjem osobine

x[n−m]u0[n−m] ⇔ z−mX(z)

sledi da je

Y(z) = z−1Y(z)+X(z)

ili

Y(z) =1

1−z−1 X(z) =z

z−1X(z)

i ova relacija je identǐcna jednǎcini 1.17.

7. Konvolucija u vremenski diskretnom domenu

Impulsni odziv vremenski diskretnog sistema označava se sah[n], pri čemu je na ulaz doveden nizδ [n]. Slično, ukoliko se na ulaz sistema dovede zakašnjeni implulsni nizδ [n−m], odziv sistema jeh[n−m] itd. Stoga, bilo koji diskretni ulazni signal predstavlja povorku impulsa, prǐcemu svaki im-puls ima tězinu koja odgovara uzorkovanoj vrednosti signala. Tako da,za razlǐcite vrednosti ulazax[0],x[1],x[2], . . . ,x[m] važi

x[0]δ [0] → x[0]h[n]x[1]δ [n−1] → x[1]h[n−1]x[2]δ [n−2] → x[2]h[n−2]

. . .

x[m]δ [n−m] → x[m]h[n−m]

Odziv sistema za proizvoljnu vrednostm, se izrǎcunava sumiranjem svih komponenti koje su se pojaviledo te tǎcke (do tog trenutka), tako da, ako jey[n] izlaz sistema, dok je ulazx[m] pomnǒzen sah[n], tadaje

y[n] =n

∑m=0

x[m]h[n−m] (1.18)

ili

y[n] =n

∑m=0

h[n−m]x[m] (1.19)

Ovo pokazuje da konvolucija u vremenski diskretnom domenu odgovara mnǒzenju uzdomenu i to je

f1[n]∗ f2[n] ⇔ F1(z) ·F2(z) (1.20)

10 1. Z Transformacija

Dokaz:

PrimenomZ Transformacije na obe strane jednačine 1.18 sledi

Y(z) = Z

{

∞

∑m=0

x[m]h[n−m]}

=∞

∑n=0

[

∞

∑m=0

x[m]h[n−m]]

z−n

i menjajúci redosled sumiranja, dobija je jednačina

Y(z) =∞

∑m=0

[

∞

∑n=0

x[m]h[n−m]z−n]

=∞

∑m=0

x[m]∞

∑n=0

h[n−m]z−n

Dalje, ukoliko jek = n−m tadan = k+m tako da sledi da je

Y(z) =∞

∑m=0

x[m]∞

∑n=0

h[k]z−(k+m) =∞

∑m=0

x[m]z−m∞

∑n=0

h[k]z−k

ili

Y(z) = X(z) ·H(z) (1.21)

8. Konvolucija u frekvencijsko diskretnom domenu

Ukoliko su f1[n] i f2[n] nizovi, čije suZ TransformacijeF1(z) i F2(z), respektivno, tada

f1[n] · f2[n] ⇔1

2 jπ

∮

xF1(v)F2(z

v

)

v−1dv (1.22)

gde jev věstǎcka promenljiva a∮

zatvorena kontura unutar preklapajućih delova konvergencije zaX1(v)i X2(z/v)

9. Prva granična teorema (o pǒcetnoj vrednosti)

f [0] = limz→∞

F(z) (1.23)

Dokaz:

Za sve vrednostin≥ 1, kadaz→ ∞

z−n =1zn

→ 0

i pod ovim uslovima takod-e vǎzi f [n]zn → 0. Postavljajúci granicuz→ ∞ u jednǎcini

F(z) =∞

∑n=0

f [n]z−n

primécujemo da je jedina vrednost različita od nule u sumi za slučajn = 0. Tada

∞

∑n=0

f [n]z−n = f [0]z−0 = f [0]

Sledi

limz→∞

F(z) = f [0]

1.1.Z Transformacija 11

10. Druga granična teorema (o krajnjoj vrednosti)

Ova teorema formuliše izrǎcunavanje vrednostif [n] u slǔcaju kadan → ∞. Može se náci granica,ukoliko postoji, takǒsto seZ Transformacija funkcijef [n] pomnǒzi sa(z−1) i ukoliko se za granicuproizvoda uzmez→ 1. Tada je

limn→∞

f [n] = limz→1

(z−1)F(z) (1.24)

1.1.3 Z Transformacija elementarnih vremenski diskretnih funkci ja

U ovom delu bíce navedeno nekoliko primera, nalaženjaZ Transformacije nekih vremenski diskretnihfunkcija.

1. Primer:

Pronáci Z Transformaciju geometrijske sekvence definisane na sledeći nǎcin:

f [n] =

{

0 n = −1,−2,−3, . . .an n = 0,1,2,3, . . .

(1.25)

Rěsenje:

Po definicijiZ Transformacije je

F(z) =∞

∑n=0

f [n]z−n =∞

∑n=0

anz−n =∞

∑n=0

(

az−1)n

(1.26)

Da bi odredili ovu beskonǎcnu sumu, formira se skraćena verzija funkcijeF(z) koja sadřzi samo prvihk članova niza. Skrácenu verziju funkcijeF(z) oznǎcavamo saFk(z). Tada,

Fk(z) =k−1∑n=0

anz−n = 1+az−1 +a2z−2 + · · ·+ak−1z−(k−1) (1.27)

i uočavamo da zak→ ∞, jednǎcina 1.27 je identǐcna jednǎcini 1.26.Za predstavljanje jednačine 1.27 u zatvorenoj formi, obe strane jednačine se mnǒze saaz−1. Sledi,

az−1Fk(z) = az−1 +a2z−2 +a3z−3 + · · ·+akz−k (1.28)

Oduzimajúci jednǎcinu 1.28 od jednǎcine 1.27, dobija se

Fk(z)−az−1Fk(z) = 1−akz−k

ili

Fk(z) =1−akz−k1−az−1 =

1−(

az−1)k

1−az−1 (1.29)

zaaz−1 6= 1.Za odred-ivanje funkcije F(z) na osnovu poznateFk(z), prati se ponǎsanje člana az−1 u brojiocu

jednǎcine 1.29.Članoviaz−1 i (az−1)k

se mogu zapisati na sledeći nǎcin: az−1 = |az−1|ejθ i

(

az−1)k

=∣

∣az−1∣

∣

kejkθ (1.30)

12 1. Z Transformacija

Tab. 1.1: Osobine i teoremeZ Transformacije

Osobina/Teorema Vremenski domen Z Transformacija

Linearnost a f1[n]+b f2[n]+ . . . aF1(z)+bF2(z)+ . . .Pomeranjef [n]u0[n] f [n−m]u0[n−m] z−mF(z)Pomeranje udesno f [n−m] z−mF(z)+∑m−1n=0 f [n−m]z−nPomeranje ulevo f [n+m] zmF(z)+∑−1n=−m f [n+m]z−nMnoženje saan an f [n] F( za)

Množenje sae−naT e−naT f [n] F(eaTz)Množenje san n f [n] −z ddzF(z)Množenje san2 n2 f [n] z ddzF(z)+z

2 d2

dz2F(z)

Sumiranje u vremenu ∑nm=0 f [m](

zz−1)

F(z)Vremenska konvolucija f1[n]∗ f2[n] F1(z) ·F2(z)

Frekvencijska konvolucija f1[n] · f2[n] 12 jπ∮

xF1(v)F2(

zv

)

v−1dvPrva granǐcna teorema f [0] = limz→∞ F(z)

Druga granǐcna teorema limn→∞ f [n] = limz→1(z−1)F(z)

Iz jednǎcine 1.30 uǒcava se da vrednosti promenljivezza koje vǎzi |az−1| < 1, amplituda kompleksnogbroja(az−1)

k → 0 kadak→ ∞ i iz toga sledi

F(z) = limk→∞

Fk(z) =1

1−az−1 =z

z−a (1.31)

za|az−1| < 1.Za vrednosti promemljivez za koje vǎzi |az−1| > 1, amplituda kompleksnog broja(az−1)k težibeskonǎcnosti kao ik→ ∞, stoga funkcijaF(z) = limk→∞ Fk(z) je neodred-ena za|az−1| > 1.Ukratko,

F(z) =∞

∑n=0

(

az−1)n

konvergira ka kompleksnom brojuz/(z−a) za|az−1| < 1 i divergira za|az−1| > 1. Takod-e, kako je

∣

∣az−1∣

∣=

∣

∣

∣

∣

az

∣

∣

∣

∣

=|a||z|

tada, iz|az−1| < 1 sledi da je|z| > |a|, dok iz |az−1| > 1 sledi da je|z| < |a| i prema tome

Z {anu0[n]} =∞

∑n=0

anz−n =

{

zz−a za|z| > |a|Neodred-eno za|z| < |a|

(1.32)

Oblasti konvergencije i divergencije za jednačinu 1.32 su prikazane na slici. Da bi utvrdili da li granicejediničnog kruga, za|z|= |a|, leže u okviru oblasti konvergencije ili divergencije, izračunava se vrednostfunkcijeFk(z) zaz= a. Tada,

Fk(z) =k−1∑n=0

anz−n = 1+az−1 +a2z−2 + · · ·+ak−1z−(k−1)∣

∣

∣

z=a

= 1+1+1+ · · ·+1 = k(1.33)

1.1.Z Transformacija 13

Uočava se da vrednost funkcije postaje neodred-ena zak → ∞ i stoga, granice jediničnog kruga su uoblasti divergencije.

2. Primer:

Pronáci Z Transformaciju diskretne jedinif̌unkcijeu0[n] definisane na sledeći nǎcin:

u0[n] =

{

0 n < 0

1 n≥ 0

Rěsenje:

Po definicijiZ Transformacije

F(z) =∞

∑n=0

f [n]z−n =∞

∑n=0

[1]z−n (1.34)

Kao u prethodnom primeru, za odred-ivanje beskonǎcne sume, formira se skraćena verzija funkcijeF(z)koja sadřzi samo prvihk članova niza. Skrácenu verziju funkcije oznǎcamoFk(z).

Fk(z) =k−1∑n=0

z−n = 1+z−1 +z−2 + · · ·+z−(k−1) (1.35)

Uočava se da za slučaj k → ∞, jednǎcina 1.35 je identǐcna jednǎcini 1.34. Za predstavljanje jednačine1.35 u zatvorenoj formi, obe strane jednačine se pomnǒze saz−1 i dobija se

z−1Fk(z) = z−1 +z−2 +z−3 + · · ·+z−k (1.36)

Oduzimanjem jednǎcine 1.36 od jednǎcine 1.35 dobija se

Fk(z)−z−1Fk(z) = 1−z−k

ili

Fk(z) =1−z−k1−z−1 =

1− (z−1)k

1−z−1

zaz−1 = 1.(z−1)

k= |z−1|kejkθ zak→ ∞ (z−1)k → 0. Sledi

F(z) = limk→∞

Fk(z) =1

1−z−1 =z

z−1 (1.37)

za|z| > 1 i oblast konvergencije lězi van jedinǐcnog kruga.Alternativno rěsenje:

Za diskretnu jedinǐcnu funkciju u0[n], specijalni slǔcaj sekvencean je a = 1, 1n = 1, zamenom ujednǎcini 1.32 dobija se

Z {u0[n]} =∞

∑n=0

[1]z−n =

{

zz−a za|z| > |1|Neodred-eno za|z| < |1|

(1.38)

14 1. Z Transformacija

3. Primer:

Pronáci Z Transformaciju diskretne eksponencijalne funkcijef [n] = e−naT

Rěsenje:

F(z) =∞

∑n=0

e−naTz−n = 1+e−aTz−1 +e−2aTz−2 +e−3aTz−3 + . . .

i ovo je geometrijska progresija koja se može predstaviti u zatvorenoj formi na sledeći nǎcin

Z[

e−naT]

=1

1−e−aTz−1 =z

z−e−aT (1.39)

za|e−aTz−1| < 1.

4. Primer:

Pronáci Z Transformaciju diskretne vremenske funkcijef1[n] = cosnaT i f2[n] = sinnaT

Rěsenje:

Na osnovu prethodnog primera i jednačine 1.39

e−naT ⇔ zz−e−aT

smenom−naT sa jnaT dobija se

Z [ejnaT] = Z [cosnaT+ j sinnaT] =z

z−ejaT

= Z [cosnaT]+ jZ [sinnaT] =z

z−ejaT ·z−e− jaTz−e− jaT

= Z [cosnaT]+ jZ [sinnaT] =z2−zcosaT + j sinaT

z2−2zcosaT +1Izjednǎcavanjem realnog i imaginarnog dela, sledi

cosnaT⇔ z2−zcosaT

z2−2zcosaT +1 (1.40)

i

sinnaT⇔ zcosaTz2−2zcosaT +1 (1.41)

Za definisanje oblasti konvergencije i divergencije, imenilac jednǎcine 1.40 ili 1.41 se zapisuje usledécem obliku

(z−ejaT) · (z−e− jaT) (1.42)

1.2. Veza izmed-u s i z domena 15

Tab. 1.2: Z-Transformacija standardnih diskretnih vremenskih funkcija

f [n] F(z)

δ [n] 1δ [n−m] z−manu0[n] zz−a |z| > au0[n] zz−1 |z| > 1

e−naTu0[n] zz−e−aT∣

∣e−aTz−1∣

∣< 1

cos[naT]u0[n]z2−zcos(aT)

z2−2zcos(aT)+1 |z| > 1sin[naT]u0[n]

zsin(aT)z2−2zcos(aT)+1 |z| > 1

ancos[naT]u0[n]z2−azcos(aT)

z2−2azcos(aT)+a2 |z| > aansin[naT]u0[n]

azsin(aT)z2−2azcos(aT)+a2 |z| > a

u0[n]−u0[n−m] zm−1

zm−1(z−1)nu0[n] z

(z−1)2

n2u0[n]z(z+1)(z−1)3

[n+1]u0[n] z2

(z−1)2

annu0[n] az(z−a)2

ann2u0[n]az(z+a)

(z−a)3

ann[n+1]u0[n] 2az2

(z−a)3

1.2 Veza izmed-u s i z domena

Pokazano je da je funkciju kompleksne promenljive moguće promeniti iz jednog domena u drugi pres-likavanjem. U ovom poglavlju, biće prikazano preslikavanje funkcije iz jednog u drugi domenkompleksnepromenljive.Razmotrícemo jednǎcine 1.6 i 1.1 koje su ponovljene u nastavku.

G(s) =∞

∑n=0

f [n]e−nsT (1.43)

i

F(z) =∞

∑n=0

f [n]z−n (1.44)

Pored-enjem jednǎcine 1.43 sa jednačinom 1.44 dobija se veza

G(s) = F(z)|z=esT (1.45)

Dakle, veza izmed-u promenljivihs i z je

z= esT (1.46)

i

16 1. Z Transformacija

s=1T

lnz (1.47)

Stoga,

F(z) = G(s)|s= 1T lnz (1.48)

Pǒsto sus i z obe kompleksne promenljive, relacija data jednačinom 1.48 omogúcava preslikavanje izjednog u drugi domen. Transformaciju pronalazimo podsećanjem da jes= σ + jω i na osnovu toga, kom-pleksna promenljivazpreko modula i faze mǒze se zapisati na sledeći nǎcin

z= |z|∠θ = |z|ejθ = eσTejωT (1.49)

gde je moduo

|z| = eσT (1.50)

i faza

θ = ωT (1.51)

Pǒsto vǎzi

T = 1/ fs

periodaT definǐse frekvenciju uzorkovanjafs. Tada jeωs = 2π fs ili fs = ωs/2π i

T = (2π)/ωs

Ukoliko jednǎcinu 1.51 zapǐsemo kao

θ = ω2πωs

= 2πωωs

(1.52)

i zamenom jednǎcina 1.50 i 1.52 u jednǎcinu 1.49, dobija se

z= eσTej2π(ω/ωs) (1.53)

Članej2π(ω/ωs) u jednǎcini 1.53 definǐse jedinǐcni krug. U nastavku je razmotreno ponašanje kompleksnepromenljivez, za razlǐcite vrednostiσ .

I Slučaj: σ < 0Kada je vrednost promenljiveσ , iz jednǎcine 1.50 negativna, tada sledi da je|z| < 1, u tom slǔcaju levapolovinas ravni se preslikava unutar jediničnog kruga. Za različite negativne vrednosti promenljiveσ ,dobijaju se koncentrične krǔznicečiji je prečnik manji od prěcnika jedinǐcnog kruga.

II Slučaj: σ > 0Kada je vrednost promenljiveσ , iz jednǎcine 1.50 pozitivna, tada sledi da je|z|> 1, u tom slǔcaju desnapolovinas ravni se preslikava van jediničnog kruga. Za različite pozitivne vrednosti promenljiveσ ,dobijaju se koncentrične krǔznicečiji je prečnik véci od prěcnika jedinǐcnog kruga.

1.2. Veza izmed-u s i z domena 17

III Slučaj: σ = 0Kada je vrednost promenljiveσ , iz jednǎcine 1.53 jednaka nuli, vrednost promenljivez= ej2π(ω/ωs) zasve vrednostiω se preslikava po obodu jediničnog kruga. Ilustrativno, za nekoliko različitih primerarazlomljene vrednosti frekvenicje uzorkovanjaωs, u tabeli 1.3 prikazano je preslikavanje izsu zdomen.

Tab. 1.3: Preslikavanje issu z domen

ω |z| θ0 1 0

ωs/8 1 π/4ωs/4 1 π/23ωs/8 1 3π/4ωs/2 1 π5ωs/8 1 5π/43ωs/4 1 3π/27ωs/8 1 7π/4

ωs 1 π

Iz tabele 1.3, vidimo da se interval 0≤ ω ≥ ωs sa jω ose izs domena, preslikava po obodu jediničnogkruga uz ravni, kao sto je prikano slikom.

Inverzno preslikavanje, izzu snema jedinstveno rešenje, kaǒsto se da videti iz relacije da jes= 1t lnz i

lnz= lnz+ j2nπ (1.54)

18 1. Z Transformacija

2

Konvolucija diskretnih signala

Konvolucija kontinualnih signalaxa(t) i ha(t) se dobija na osnovu izraza

ya(t) = xa(t)∗ha(t) =∫ t

0xa(τ)ha(t − τ)dτ (2.1)

Ako se izvřsi odabiranje ovih signala sa periodom odabiranjaT, dobijaju se diskretni predstavnicix[n] =xa(nT) i h[n] = ha(nT), n = 0,1,2, . . . . Ako uzmemo da jet = mT i τ = kT izraz(2.1) postaje

y[m] = x∗h =m

∑k=0

x[k]h[m−k] (2.2)

Ako x[n] predstavlja odbirke ulaznog signala diskretnog sistema ah[n] impulsni odziv linearnog vremenskiinvarijantnog sistema, izrazom (2.2) se izračunavaju odbirci izlaznog signala. Kaošto se da primetiti koristese samo operacije sabiranja i množenja tako da je implementacija diskretnog sistema uz pomoć procesoraprili čno jednostavna.

Zadatak 2.1. Odrediti linearnu konvoluciju signala{x[n]} = {1,2,4,0,5,3} (ulazni signal) i{h[n]} ={2,0,−1,3,−1} (impulsni odziv sistema).

Rěsenje:

Kako je dǔzina signalax jednakaN = 6 a signalay iznosiM = 5, konvolucijay ima dǔzinuL = M+N−1=10. Upotrebom izraza (2.2) odredićemo jedan po jedan izlazni odbirak. Zam= 0 se dobija

y[0] =0

∑k=0

x[k]h[m−k] = x[0]h[0] = 1·2 = 2 (2.3)

Zam= 1

y[1] =1

∑k=0

x[k]h[m−k] = x[0]h[1]+x[1]h[0] = 1·0+2·2 = 4 (2.4)

Zam= 2

y[2] =2

∑k=0

x[k]h[m−k] = x[0]h[2]+x[1]h[1]+x[2]h[0] = 1· (−1)+2·0+4·2 = 7 (2.5)

19

20 2. Konvolucija diskretnih signala

Zam= 3

y[3] =3

∑k=0

x[k]h[m−k] = x[0]h[3]+x[1]h[2]+x[2]h[1]+x[3]h[0]

= 1·3+2· (−1)+4·0+0·2 = 1(2.6)

Zam= 4

y[4] =4

∑k=0

x[k]h[m−k] = x[0]h[4]+x[1]h[3]+x[2]h[2]+x[3]h[1]+x[4]h[0]

= 1· (−1)+2·3+4· (−1)+0·0+5·2 = 11(2.7)

Zam= 5

y[5] =5

∑k=0

x[k]h[m−k] = x[0]h[5]+x[1]h[4]+x[2]h[3]+x[3]h[2]+x[4]h[1]+x[5]h[0]

= 1·0+2· (−1)+4·3+0· (−1)+5·0+3·2 = 16(2.8)

Zam= 6

y[6] =6

∑k=0

x[k]h[m−k] = x[0]h[6]+x[1]h[5]+x[2]h[4]+x[3]h[3]+x[4]h[2]+x[5]h[1]+x[6]h[0]

= 1·0+2·0+4· (−1)+0·3+5· (−1)+3·0+0·2 = −9(2.9)

Zam= 7

y[7] =7

∑k=0

x[k]h[m−k] = x[0]h[7]+x[1]h[6]+x[2]h[5]+x[3]h[4]+x[4]h[3]+x[5]h[2]+x[6]h[1]+x[7]h[0]

= 1·0+2·0+4·0+0· (−1)+5·3+3· (−1)+0·0+0·2 = 12(2.10)

Zam= 8

y[8] =8

∑k=0

x[k]h[m−k]

= x[0]h[8]+x[1]h[7]+x[2]h[6]+x[3]h[5]+x[4]h[4]+x[5]h[3]+x[6]h[2]+x[7]h[1]+x[8]h[0]

= 1·0+2·0+4·0+0·0+5· (−1)+3·3+0· (−1)+0·0+0·2 = 4

(2.11)

Zam= 9

y[9] =9

∑k=0

x[k]h[m−k]

= x[0]h[9]+x[1]h[8]+x[2]h[7]+x[3]h[6]+x[4]h[5]+x[5]h[4]+x[6]h[3]+x[7]h[2]+x[8]h[1]+x[9]h[0]

= 1·0+2·0+4·0+0·0+5·0+3· (−1)+0·3+0· (−1)+0·0+0·2= −3(2.12)

Konvolucija ima dǔzinu 10 a vrednosti su{y[n]} = {2,4,7,1,11,16,−9,12,4,−3}. Pri izrǎcunavanju smokoristili osobinu (dati nizovi su konǎcne dǔzine) da sux[k] = 0 zak≥ 6 i h[k] = 0 zak≥ 5.

Do istog rěsenja se mǒze dóci i alternativnim pristupkom. Odziv sistema kada je na ulazu jedinǐcni impulsje poznat i iznosih[n]. Kako je sistem linearan i vremenski invarijantan ako je na ulazuAδ [n−3] na izlazuće se dobitiAh[n−3]. Na slici 2.1 su prikazana tri izlazna signala sistema za slučaj kada su na ulazu prisutnaprva tri odbirka.

21

−2 0 2 4 6 8 10 12−4

−2

0

2

4

6

8

10

12

abc

n

Sl. 2.1: Odziv sistema

U trenutkun= 0 (na vremenskoj skali u trenutkut = nT = 0) na ulazu je prisutna vrednostx[0] = 1= δ [n]tako da ako bi ovo bio jedini ulaz na izlazu bi se pojavio signal h[n] koji je na slici 2.1 prikazan kao signal (a),koji kreće od trenutkan = 0 jer se tada pojavio ulaz. Un = 1 na ulazu jex[1] = 2 koji će prouzrokovati izlazoznǎcen sa (b)i ima vrednostx[1]h[n−] = 2h[n−1]. U odnosu na signal (a) ima dvostruko veću amplitudu izakǎsnje je za jedan odbiraka. Zan = 2 na ulazu jex[2] = 4 što daje izlazni signal 4h[n−2], četvorostrukoveći od impulsnog odziva i zakašnjen.za dva odbirka, tj. kreće od trenutka kada se pojavila pobuda. Zbogpreklednosti, odziv sistema na naredna tri ulazna odbirka je dat na posebnoj slici, 2.2. Signal (d) je odziv nax[n− 3] = 0 zbogčega su svi elementi jednaki nuli. Signal (e) je odziv nax[4] = 5, tako da ima vrednost5h[n−4], dok je signal (f) odziv nax[5] = 3 i iznosi 3h[n−5]. Praktǐcno smo koristili princip superpozicije iposmatrali odzive na svaki ulazni impuls posebno a rezultujući odziv sistema jednak je sumi svih parcijalnihodziva. Suma sviȟsest parcijalnih odziva, prikazanih na slikama 2.1 i 2.2, prikazana je na slici 2.3.

Umesto eksplicitnog pisanja definicionog izraza i postupnog izrǎcunavanja, kako je dato izrazima (2.3) -(2.12), jednostavni zapis je priložen u tabeli 2.1. U prvoj vrsti, kao boldirane vrednosti, prikazani su odbirciulaznog signalax. Signalixi h su konǎcnog trajanja,tako da pre i posle datih odbiraka svi ostali odbirci imajunultu vrednost i nemaju uticaj na izračunavanje konvolucije. U svim vrstama tabele poznati odbirci signalah koji se preklapaju sa odgovarajućim odbircima signalax (i tako imaju uticaj na vrednost konvolucije) sutakod-e boldirani. Ako se analizira izraz(2.2), u prvoj vrsti tabele je dat signalx[k]. Signalh[m− k], gde jemindeks prisutan na apscisi se dobija od signalah[k] rotacijom oko tǎcke k = 0 (oko ordinate) i pomerajem udesno zam pozicija.

22 2. Konvolucija diskretnih signala

−2 0 2 4 6 8 10 12−5

0

5

10

15

def

n

Sl. 2.2: Odziv sistema

Tab. 2.1: Odziv sistema

m x → 1 2 4 0 5 3 y[m]0 -1 3 -1 0 2 0 0 0 0 0 y[0] = 21 0 -1 3 -1 0 2 0 0 0 0 y[1] = 42 0 0 -1 3 -1 0 2 0 0 0 y[2] = 73 0 0 0 -1 3 -1 0 2 0 0 y[3] = 14 0 0 0 0 -1 3 -1 0 2 0 y[4] = 115 0 0 0 0 0 -1 3 -1 0 2 y[5] = 166 0 0 0 0 0 0 -1 3 -1 0 y[6] = −97 0 0 0 0 0 0 0 -1 3 -1 y[7] = 128 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 3 y[8] = 49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 y[9] = −3

23

−2 0 2 4 6 8 10 12−10

−5

0

5

10

15

20

n

y[n]

Sl. 2.3: Odziv sistemǎciji je impulsni odzivh, na signalx

24 2. Konvolucija diskretnih signala

3

Inverzna Z transformacija

InverznaZ transformacija omogúcava da se odredi signalf [n] krenuv̌si od njegoveZ transformacijeF(z). Na raspolaganju su tri metode kojima se mogu odrediti odbirci signalaf [n].

I Razvoj u parcijalne razlomke

II Definicioni integral

III Beskonǎcno deljenje polinoma

3.1 Razvoj u parcijalne razlomke

U nastavku bíce razmotrena metoda razvoja prenosne funkcije na parcijalne razlomke.

Ova metoda je veoma slična metodi rastavljanja u parcijalne razlomke koju koristimo kod inverzneLaplaceove transformacije, takošto funkcijuF(z) predstavljamo kao sumǔclanovačije su inverzne transfo-rmacije poznate. Tǐclanovi su oblika

k,r1z

z− p1,

r2z

(z− p1)2,

r3zz− p2

, . . . (3.1)

gde jek konstanta,r i i pi predstavljaju rezidijume i polove respektivno, koji mogu biti realni ili kompleksni.

Pre negǒsto rastavimo funkcijuF(z) na parcijalne razlomke, moramo da je predstavimo u odgovarajućemracionalnom obliku. Ovo se postiže takoštoF(z) podeli saz, i tadaF(z)/z ima sledéci oblik

F(z)z

=k2

+r1

z− p1+

r2z− p2

+ . . . (3.2)

Rezidijumi se pronalaze na sledeći nǎcin

rk = lims→pk

(z− pk)F(z)

z= (z− pk)

F(z)z

∣

∣

∣

∣

s=pk

(3.3)

i iz jednǎcine 3.2 funkcijaF(z) dobija oblik

F(z) = k+r1z

z− p1+

r2zz− p2

+ . . . (3.4)

25

26 3. Inverzna Z transformacija

3.2 Definicioni integral

Odbirci signala u vremenskom domenuf [n] se dobijaju konturnim integralom

f [n] =1

j2π

∮

CF(z)zn−1dz (3.5)

gdeC predstavlja zatvorenu konturu koja obuhvata sve polove podintegralne funkcije. Korǐsćenjem Kǒsijeveteoreme o ostacima izračunavanje integrala se svodi na sumiranje ostataka u polovima podintegralne funkcijetj.

f [n] = ∑k

Res[

F(z)zn−1]∣

∣

z=pk(3.6)

gde su sapk obelězeni polovi podintegralne funkcijeF(z)zn−1 a Res[

F(z)zn−1]

predstavljaju ostatke upolovimaz= pk.

Zadatak 3.1. Upotrebom definicionog integrala odrediti inverznuZ transformaciju izraza

F(z) =1+2z−1 +z−3

(1−z−1)(1−0.75z−1) (3.7)

Rěsenje:

Množenjem brojioca i imenioca izraza (3.7) saz3 dobija se

F(z) =z3 +2z2 +1

z(z−1)(z−0.75) (3.8)

Primenom izraza (3.6) se dobija

f [n] = ∑k

Res[ (z3 +2z2 +1)zn−1

z(z−1)(z−0.75)]∣

∣

z=pk= ∑

k

Res[ (z3 +2z2 +1)zn−2

(z−1)(z−0.75)]∣

∣

z=pk(3.9)

Zanima nas da odredimo vrednosti svih odbiraka signlaf [n], tj. vrednosti f [0], f [1], f [2], . . . , odnosnovrednosti zan = 0,1,2, . . . .

Zan = 0 izraz (3.9) postaje

f [0] = ∑k

Res[ (z3 +2z2 +1)z2(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=pk= Res

[ (z3 +2z2 +1)z2(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=0

+Res[ (z3 +2z2 +1)z2(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=1 +Res[(z3 +2z2 +1)

z2(z−1)(z−0.75) ]∣

∣

z=0.75

(3.10)

Napomena: kada je pol dvostruk, kaošto je sada slǔcaj sa polom u koordinatnom početku (z= 0) razvojemu parcijalne razlomke javljaju se dvačlana oblika

r1z2

+r2z

Ostatak u polu koji treba izračunati za izraz (3.10) je vrednostr2. Ostatak u polur1 računa se na osnovu izraza

r1 = limz→0

(z3 +2z2 +1)(z−1)(z−0.75) (3.11)

3.2. Definicioni integral 27

Ovu vrednost nije neophodno izračunavati ali nam je ovaj izraz potreban za odred-ivanjer2 tj.

r2 = limz→0

ddz

{ (z3 +2z2 +1)(z−1)(z−0.75)

}

= limz→0

(3z2 +4z)(z−1)(z−0.75)− (z3 +2z2 +1)[1· (z−0.75)+(z−1) ·1](z−1)2(z−0.75)2

=0(−1)(−0.75)− (0+0+1)[1· (−0.75)+(0−1) ·1]

(−1)2(−0.75)2 =289

(3.12)tako da prvi odbirak signalaf [n] ima vrednost

f [0] = r2 + limz→1

(z3 +2z2 +1)z2(z−0.75) + limz→0.75

(z3 +2z2 +1)z2(z−1)

=289

+4

0.25+

0.753 +2·0.752 +10.752 · (−0.25) = 1

(3.13)

Zan = 1 izraz (3.9) postaje

f [1] = ∑k

Res[ (z3 +2z2 +1)z(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=pk= Res

[ (z3 +2z2 +1)z(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=0

+Res[ (z3 +2z2 +1)z(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=1 +Res[(z3 +2z2 +1)

z(z−1)(z−0.75) ]∣

∣

z=0.75

=[ (z3 +2z2 +1)(z−1)(z−0.75)

]∣

∣

z=0 +[ (z3 +2z2 +1)

z(z−0.75)]∣

∣

z=1 +[ (z3 +2z2 +1)

z(z−1)]∣

∣

z=0.75

=1

(−1)(−0.75) +4

0.25+

0.753 +2·0.752 +10.75(−0.25) =

43

+16− 16312

=154

(3.14)

Za n≥ 2 podintegralna funkcija ne poseduje pol uz= 0 tako da preostaju samo polovi uz= 1 i z= 0.75.Sada se odbirci signalaf [n] računaju na osnovu izraza

f [n] = ∑k

Res[ (z3 +2z2 +1)zn−2

(z−1)(z−0.75)]∣

∣

z=pk

= Res[ (z3 +2z2 +1)zn−2

(z−1)(z−0.75)]∣

∣

z=1 +Res[ (z3 +2z2 +1)zn−2

(z−1)(z−0.75)]∣

∣

z=0.75

= limz→1

[ (z3 +2z2 +1)zn−2

(z−0.75)]

+ limz→0.75

[ (z3 +2z2 +1)zn−2

(z−1)]

=4·1n−2(0.25)

+(0.753 +2·0.752 +1)0.75n−2

−0.25 = 16+(163/64)0.75n

(−0.25)0.752 = 16−1639

0.75n

(3.15)

Na ovaj nǎcin odred-eni su svi elementi signalaf [n] tj.

f [n] =

1 za n = 0

154

za n = 1

16− 1639

0.75n za n≥ 2

(3.16)

U nastavkúcemo samo pokǔsati da dobijeni rezultat damo u kompaktnijem obliku. Vrednost izraza 16−1639 0.75

n zan = 0 je 16− 1639 = 16·9−1639 = 144−1639 = −199 . Zan = 0 odbirak signalaf [n] ima vrednost 1= 99,tako da je izraz 16− 1639 0.75n zan = 0 potrebno korigovati (1= −199 +korekci ja1) za vrednost289 .

28 3. Inverzna Z transformacija

Za n = 1 izraz 16− 1639 0.75n (koji važi samo zan ≥ 2) ima vrednost 16− 1639 34 = 2912 a odbirak signalaf [n] iznosi 154 , tako da vrednost izraza (3.18) treba korigovati za vrednost

43 (dobijena iz jednǎcine

154 =

2912 +korekci ja2).

Ovo nam omogúcava da signalf [n] zapǐsemo u obliku

f [n] =289

δ [n]+43

δ [n−1]+16− 1639

0.75n za n = 0,1,2, . . . (3.17)

Ovako dobijen rezultat mǒzemo lako proveriti korǐsćenjem MATLABR©

-a.

syms z nFz=(zˆ3+2*zˆ2+1)/(z*(z-1)*(z-0.75))fn=iztrans(Fz)

na osnovǔcega se dobija

fn =(4*kroneckerDelta(n - 1, 0))/3 - (163*(3/4)ˆn)/9 +(28*kroneckerDelta(n, 0))/9 + 16

Na slici 3.1 je prikazano prvih 25 odbiraka signalaf [n].

0 5 10 15 20 250

2

4

6

8

10

12

14

16

f[n]

n

Sl. 3.1: Signalf [n], prvih 25 odbiraka

3.3 Beskonǎcno deljenje polinoma

Zadatak 3.2. Metodom beskonačnog deljenja polinoma odrediti prva 4̌clana signala f[n] čija Z trans-formacija ima vrednost

F(z) =1+z−1 +2z−2 +3z−3

(1−0.25z−1)(1−0.5z−1)(1−0.75z−1) (3.18)

3.3. Beskonǎcno deljenje polinoma 29

Rěsenje:

Pre nego se pristupi deljenju polinoma neophodno je pomnožiti brojilac i imenilac saz3, čime se dobija

F(z) =z3 +z2 +2z+3

(z−0.25)(z−0.5)(z−0.75) (3.19)

a potom srediti imenilac kako bi se dobili polinomi po promenljivoj z sa elementima koji su pored-ani uopadajúcem redosledu stepena. U tu svrhu možemo iskoristiti MATLAB

R©koristéci naredbe

syms zImenilac=collect((z-0.25)*(z-0.5)*(z-0.75))

što kao rezultat daje

Imenilac =

zˆ3 - (3*zˆ2)/2 + (11*z)/16 - 3/32

a na osnovǔcega izraz (3.19) postaje

F(z) =z3 +z2 +2z+3

z3− 32z2 + 1116z− 332(3.20)

a čijim se deljenjem dobija prvǐclan signalaf [n].

(z3+z2 +2z+3) : (z3− 32

z2 +1116

z+332

) = 1+52z

2 + 2116z+9932

z3− 32z2 + 1116z+ 332−z3 + 3

2z2− 11

16z+

332

52

z2 +2116

z+9932

(3.21)

Za deljenje polinoma mǒze biti iskorǐsćen MATLABR©

. Polinomi se unose kao vektori, tj. nizovi brojevakoji odgovaraju koeficijentima polinoma gde se podrazumevada sučlanovi uneseni po opadajućoj vrednostistepena. U konkretnom slučaju

brojilac=[1 1 2 3 ]imenilac=[1 -3/2 11/16 -3/32]

Polinome delmo naredbomdeconv i kao rezultat se dobija količnik r i ostatak deljenjaq

[r,q]=deconv(brojilac, imenilac)

što kao rezutat daje

r =

1

30 3. Inverzna Z transformacija

q =

0 2.5000 1.3125 3.0938

U nastavku delimo brojilac i imenilac iz izraza (3.21)

(52

z2 +2116

z+9932

) : (z3− 32

z2 +1116

z+332

) =52

z−1 +8116z+

4432 +

1564z

−1

z3− 32z2 + 1116z+ 332−5

2z2 +

154

z− 5532

+1564

z−1

8116

z+4432

+1564

z−1

(3.22)

U narednom koraku delimo brojilac i imenilac iz izraza (3.22)

(8116

z+4432

+1564

z−1) : (z3− 32

z2 +1116

z+332

) =8116

z−2 +28732 − 831256z−1 + 243512z−2

z3− 32z2 + 1116z+ 332−81

16z+

24332

− 891256

z−1 +243512

z−2

28732

− 831256

z−1 +243512

z−2

(3.23)

S obzirom na opisanu proceduru ičinjenice da deljenje izvodimo saz3 u narednom koraku bi se dobiokoličnik 28732 z

−3. Uzev̌si u obzir sve prethodne izraze zaključujemo da je

F(z) = 1+52

z−1 +8116

z−2 +28732

z−3 +Naredniostatakdel jen ja

z3− 32z2 + 1116z+ 332(3.24)

Na osnovu izraza (3.24) zaključujemo da je

f [0] = 1, f [1] =52, f [2] =

8116

, f [3] =28732

, . . .

s obzirom daz−1 ima fizički smisao i odgovara kašnjenju signala za jedan period odabiranja. Slično, članBz−2 predstavlja odbirak amplitudeB koji kasni za dva perioda odabiranja (taktna intervala) u odnosu naprvi odbirak koji je obelězen kao f [0]. Uostalom, do istog zakljǔcka se dolazi i krenuv̌si od definicijeZtransformacije

F(z) =∞

∑n=0

f [n]z−n = f [0]+ f [1]z−1 + f [2]z−2 + . . .

Upored-ivanjem ovog izraza sa izrazom (3.24) lako se uočavaju vrednosti odbirakaf [0], f [1], . . .

Signal f [n] u MATLABR©

-u mǒze biti odred-en i naredbomdimpulse, čiji su ulazni argumenti koeficijentipolinoma iz brojioca i imenioca kao i dužina signala. Prvih 20 odbiraka signalaf [n] biće odred-eni naredbama

brojilac=[1 1 2 3]imenilac=[1 -3/2 11/16 -3/32]

3.3. Beskonǎcno deljenje polinoma 31

fn=dimpulse(brojilac,imenilac,20)dimpulse(brojilac,imenilac,20)

Ovako odred-en signalf [n] prikazan je na slici 3.2. (Naredbadimpulse služi za odred-ivanje prvihn članovaipulsnog odziva sistemǎcija je prenosna funkcija data preko polinoma.)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

2

4

6

8

10

12

Impulse Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

Sl. 3.2: Signalf [n], prvih 20 odbiraka

Ova metoda, za razliku od opisane prethodne dve nije praktična odnosno pogodna za odred-ivanje vre-dnosti signala u vremenskom domenu na osnovu poznateZ transformacije jer je za odred-ivanjen-tog člananeophodno odrediti svihn−1 prethodnih a svi se dobijaju deljenjem dva polinoma.

Najvǎznije osobine tri opisane metode date su u tabeli 3.1.

Tab. 3.1: Osobine metoda za izračunavanje inverzneZ transformacije

Metod Prednosti Mane

Razvoj na ♥ Dobro poznata z Neophodno je daF(z) budeparcijalne razlomke ♥ Može se koristiti MATLAB R© racionalna funkcija

naredbaresidueDefinicioni ♥ Može se koristiti z Zahteva poznavanje

integral i kadaF(z) nije racionalna funkcija teoreme o ostacimaBeskonǎcno deljenje ♥ Korisna kada se trǎzi z F(z) mora da bude

polinoma mali broj odbiraka racionalna funkcija♥ Korisna kada inverznaZ transformacija z Deljenje mǒze biti beskonǎcno

nema rěsenje u zatvorenom obliku♥ Može se koristiti MATLAB R©

naredbadimpulse

32 3. Inverzna Z transformacija

4

Prenosna funkcija diskretnih sistema

Diskretni sistem prikazan na slici 4.1

x[n] y[n]H(z)

Sl. 4.1: Blok dijagram diskretnog sistema

može biti opisandiferencnomjednǎcinom

y[n]+b1y[n−1]+b2y[n−2]+b3y[n−3] · · ·+bky[n−k]= a0x[n]+a1x[n−1]+a2x[n−2]+a3x[n−3]+ · · ·+akx[n−k]

(4.1)

gdeai i bi predstavljaju konstantne koeficijente. Prethodni izraz može biti dat u kompaktnijoj formi ako izraz(4.1) napǐsemo u obliku

y[n] = a0x[n]+a1x[n−1]+a2x[n−2]+a3x[n−3]+ · · ·+akx[n−k]−(

b1y[n−1]+b2y[n−2]+b3y[n−3] · · ·+bky[n−k]) (4.2)

odnosno

y[n] =k

∑i=0

aix[n− i]−k

∑i=1

biy[n− i] (4.3)

Dakle, u op̌stem slǔcajun-ti odbirak izlaznog signalay[n[ (koji se pojavljuje u trenutkunT, gde jeT periododmeravanja ulaznog signala, na vremenskoj osi na kojoj smonultim trenutkom proglasili poziciju kada sepojavio prvi odbirak ulaznog signala) zavisi od vrednosti prisutne na ulazu tj. odx[n] ali i od k vrednosti kojesu bile prisutne kako na ulazu sistema (x[n−1], . . . ,x[n−k]) tako i na izlazu sistema (y[n−1], . . . ,y[n−k]). Ovoukazuje nǎcinjenicu da je i kod softverske i kod hardverske realizacije diskretnog sistem neophodno nekakosǎcuvatik poslednjih odbiraka ulaznog i izlaznog signala. Kod softverske realizacijéce biti neophodno da serezervǐse memorija dǔzine 2k za ove potrebe a kad je u pitanju hardverska realizacija za toće biti iskorǐsćenadva pomerǎcka n-tobitna (eng. shift) registra dǔzine k, gden ukazuje na broj bitova koji je predvid-en zapredstavljanje koeficijenataai i bi . Na osnovu izraza (4.3) uočavamo da se najnoviji izlazni odbirak označensay[n] dobija samo na osnovu operacija množenja i sabiranja nad odbircima ulaznog i izlaznog signala.

33

34 4. Prenosna funkcija diskretnih sistema

Dakle za hardversku realzicaiju bilo kog diskretnog sistema dovoljno je iskoristiti sabirǎce, mnǒzǎce imemorijske elemente (pomerački registarće praktǐcno igrati ulogu elementa za kašnjenje jer on u sebǐcuvauvekk poslednjih odbiraka signala, koji se pomeraju za jedno mesto pri pojavi svakog taktnog impulsa ačiji jerazmak upravo jednak periodi odabiranja signala, tj. ceo sistem radi na frekvencijiFs (frekvencija odabiranja,eng.Sampling frequency)).

Ako pretpostavimo da su svi početni uslovi jednaki nuli, tj. da jex[i] = 0 i y[i] = 0 zai < 0, izrǎcunavanjemZ transformacije leve i desne strane izraza (4.3), uzimajući u obzir osobinuZ transformacije

f [n−m] ⇔ z−mF(z)dobija se

Y(z)+b1z−1Y(z)+b2z

−2Y(z)+b3z−3Y(z) · · ·+bkz−kY(z)

= a0X(z)+a1z−1X(z)+a2z

−2X(z)+a3z−3X(z)+ · · ·+akz−kX(z)

(4.4)

Izvlačenjem ispred zagradaX(z) i Y(z)

Y(z)[

1+b1z−1 +b2z

−2 +b3z−3 · · ·+bkz−k

]

= X(z)[

a0 +a1z−1 +a2z

−2 +a3z−3 + · · ·+akz−k

](4.5)

dolazimo do veze izmed-u Z transformacija izlaznog i ulaznog signala sistema

Y(z) =a0 +a1z−1 +a2z−2 +a3z−3 + · · ·+akz−k

1+b1z−1 +b2z−2 +b3z−3 · · ·+bkz−kX(z) (4.6)

U prethodnom izrazu racionalna funkcija dva polinoma po promenljivoj z predstavlja prenosnu funkciju si-stema

H(z) =N(z)D(z)

=a0 +a1z−1 +a2z−2 +a3z−3 + · · ·+akz−k

1+b1z−1 +b2z−2 +b3z−3 · · ·+bkz−k(4.7)

odnosno dolazimo do očekivane veze

Y(z) = H(z)X(z) (4.8)

Dakle,Z transformacija izlaznog signala se dobija množenjem prenosne funkcije sistema iZ transformacijeulaznog signala. Vrednost izlaznog signala u vremenskom domenuy[n] dobijamo inverznomZ transforma-cijom nadY(z).

Impulsni odziv diskretnog sistemah[n] se dobija na izlazu sistema ako je na njegovom ulazu prisutanjedinični impuls (Dirakov impuls)x[n] = δ [n]. Kako je

Z {δ [n]} =∞

∑n=0

δ [n]z−n = 1 (4.9)

na osnovu izraza (4.8) je

Y(z) = H(z)X(z) = H(z) ·1 = H(z) (4.10)odnosno, impulsni odziv diskretnog sistema se može dobiti inverznomZ transformacijom prenosne funkcijesistema

y[n] = h[n] = Z −1{

H(z)}

(4.11)

35

Zadatak 4.1. Diferencna jednǎcina koja daje vezu izmed-u odbiraka ulaznog i izlaznog signala diskretnogsistema, data je izrazom

y[n]−0.5y[n−1]+0.125y[n−2] = x[n]+x[n−1] (4.12)

Izračunati

a) Prenosnu funkciju sistema H(z)

b) Diskretni impulsni odziv sistema h[n]

c) Odziv ovog sistema ako se na njegovom ulazu nalazi jedinična funkcija (Hevisajdova funkcija) u0[n]

Rěsenje:

a) NalǎzenjemZ transformacije leve i desne strane izraza (4.12)

Y(z)−0.5z−1Y(z)+0.125z−2Y(z) = X(z)+z−1X(z) (4.13)odnosno

Y(z)[

1−0.5z−1 +0.125z−2]

= X(z)[

1+z−1]

(4.14)

dolazi se do prenosne funkcije diskretnog sistema

H(z) =Y(z)X(z)

=1+z−1

1−0.5z−1 +0.125z−2 =z2 +z

z2−0.5z+0.125 (4.15)

b) Da bi se odredio impulsni odziv sistemah[n[ potrebno je izrǎcunati inverznuZ transformaciju izraza(4.15). Koristícemo postupak razvoja u parcijalne razlomke kod kog se ne razvija sama funkcijaH(z) već

H(z)z

=Y(z)X(z)

=z+1

z2−0.5z+0.125 (4.16)

Kako je polinom u brojiocu nǐzeg reda od polinoma u imeniocu, može se odmah pristupiti razvoju ove funkcije.Polinom u imeniocu ima nule (što su polovi prenosne funkcije)

z1,2 =0.5±

√0.52−4·0.125

2=

0.5±√

0.25−0.52

=0.5± j0.5

2= 0.25± j0.25

pa mǒzemo pisati

H(z)z

=r1

z−z1+

r2z−z2

=r1

z− (0.25+ j0.25) +r2

z− (0.25− j0.25)

Ostaci u polovima imaju vrednost

r1 = limz→0.25+ j0.25

z+1z− (0.25− j0.25) =

0.25+ j0.25+10.25+ j0.25− (0.25− j0.25) =

1.25+ j0.25j0.5

= 0.5− j2.5

dok ser2 izračunava iz izraza

r2 = limz→0.25− j0.25

z+1z− (0.25+ j0.25)

36 4. Prenosna funkcija diskretnih sistema

koji nije neophodno dovesti do kraja s obzirom da konjugovano kompleksni polovi imaju konjugovano kom-pleksne ostatke, tj.r2 = r∗1 = 0.5+ j2.5, čime smo dǒsli do identiteta

H(z)z

=0.5− j2.5

z−0.25− j0.25+0.5+ j2.5

z−0.25+ j0.25

Uzev̌si u obzir da stepena funkcija imaZ transformaciju

anu0[n] ⇔z

z−aza|z| > a, inverznaZ transformacija nas dovodi do vrednosti impulsnog odziva

h[n] = (0.5− j2.5)(0.25+ j0.25)n +(0.5+ j2.5)(0.25− j0.25)n

= (0.5− j2.5)(0.25√

2ejπ/4)n +(0.5+ j2.5)(0.25√

2e− jπ/4)n

= 0.5[(0.25√

2)nejnπ/4]+0.5[(0.25√

2)ne− jnπ/4]

− j2.5[(0.25√

2)nejnπ/4]+ j2.5[(0.25√

2)ne− jnπ/4]

= 0.5[(0.25√

2)n(ejnπ/4 +e− jnπ/4)]− j2.5[(0.25√

2)n(ejnπ/4−e− jnπ/4)]

(4.17)

koji ima vrednost

h[n] =(

√2

4

)n(cos(nπ/4)+5sin(nπ/4)) (4.18)

Dakle zan = 0 dobija se prvi odbirak

h[0] =(

√2

4

)0(cos(0)+5sin(0))) = 1

zan = 1

h[1] =(

√2

4

)1(cos(π/4)+5sin(π/4))) =

√2

4(

√2

2+5

√2

2) =

32

i tako dalje. Vrednosti nizah[n] lako se odred-uju i prikazuju uz pomóc MATLABR©

-a

n=0:19;hn=(sqrt(2)/4).ˆn.*(cos(n*pi/4)+5*sin(n*pi/4))

što daje

hn =

Columns 1 through 7

1.0000 1.5000 0.6250 0.1250 -0.0156 -0.0234 -0.0098

Columns 8 through 14

-0.0020 0.0002 0.0004 0.0002 0.0000 -0.0000 -0.0000

Columns 15 through 20

-0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

37

Napomena: U MATLABR©

-u sa∗ i ˆ su obelězene operacije množenja i stepenovanja, respektivno. Oveoperacije su predvid-ene za rad sa matricama, dok su promenljive specijalan slučaj matrice dimezija 1× 1.Ukoliko nije rěc o matrǐcnom mnǒzenju, véc želimo da pomnǒzimo svakičlan vektoraa = [a(1),a(2),a(3)]odgovarajúcim članom vektorab = [b(1),b(2),b(3)] (koji moraju biti iste dǔzine), kao rezultat se dobija novivektor iste dǔzine čiji su elementia. ∗ b = [a(1) ∗ b(1),a(2) ∗ b(2),a(3) ∗ b(3)]. U sva tri slǔcaja rěc je ovektorima, koji su specijalni slǔcaj matrice koja poseduje samo jednu vrstu i dužinu 3. Da je u izrazimakorišćen znak ; umesto zareza, elemnti sva tri vektora bi imali identične vrednosti ali bi predstavljali specijalnislučaj matrice koja poseduje samo jednu kolonu.

Impulsni odzivh[n] je prikazan na slici 4.2.

0 5 10 15 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

n

h[n]

Impulsni odziv

Sl. 4.2: Impulsni odziv diskretnog sistema

Treba uǒciti da prenosna funkcija sistema poseduje i brojilac i imenilac, dakle rěc je o rekurzivnom filtru(eng.Infinite Impulse Response-IIR), odnosno impulsni odziv sistema (izlaz kada je na ulazu Dirakov impuls)je beskonǎcno dug. Sa slike 4.2 se može pogrěsno zakljǔciti da je impulsni odziv sistema jednak nuli već zan = 10 a u stvari njegova vrednost jeh[10] = 3.6621e−04.

Da bi bolje shvatili ǒcemu je rěc, prikazácemo vrednosti zadnjih 9 odbiraka (h[11] doh[19]).

>> hn(11:19)

ans =

1.0e-03 *

Columns 1 through 7

0.1526 0.0305 -0.0038 -0.0057 -0.0024 -0.0005 0.0001

Columns 8 through 9

0.0001 0.0000

I odavde se mǒze pogrěsno zakljǔciti da jeh[19] jednak nuli a u stvari njegova vrednost jeh[19] =3.7253e-08.

Problem odred-ivanja ostataka u polovima može lako biti rěsen upotrebom naredberesidue u MATLABR©

-u

brojilac=[0 1 1];

38 4. Prenosna funkcija diskretnih sistema

imenilac=[1 -0.5 0.125];[r,p]=residue(brojilac,imenilac)

što daje kao rezultat polove smeštene u vektorp i odgovarajúce ostatke u vektorur

r =

0.5000 - 2.5000i0.5000 + 2.5000i

p =

0.2500 + 0.2500i0.2500 - 0.2500i

c) S obzirom na vezuY(z) = H(z)X(z), uz poznavanje inverzneZ transformacije jedinǐcne funkcijeu0[n]

u0[n] ⇔z

z−1zaključujemo da je

Y(z) =z2 +z

z2−0.5z+0.125 ·z

z−1 =z(z2 +z)

(z2−0.5z+0.125)(z−1)tj.

Y(z)z

=z2 +z

(z2−0.5z+0.125)(z−1) (4.19)

Izlaz sistemácemo odrediti uz pomóc MATLABR©

-a, tj. naredberesidue, za koju su nam potrebni koeficijentipolinoma u brojiocu i imeniocu. Koeficijenti imeniocaće biti takod-e odred-eni u MATLAB

R©-u korišćenjem

paketa za simboličku analizu.

syms zBrojilac=(zˆ2-0.5*z+0.125)*(z-1)collect(Brojilac)

daje kao rezultat

zˆ3 - (3*zˆ2)/2 + (5*z)/8 - 1/8

odnosno

Y(z)z

=z2 +z

z3− (3/2)z2 +(5/8)z−1/8 (4.20)

Sada odred-ujemo polove i ostake u polovima

num=[0 1 1 0]den=[1 -3/2 5/8 -1/8][r,p]=residue(num,den)

i oni iznose

39

r =

3.2000 + 0.0000i-1.1000 + 0.3000i-1.1000 - 0.3000i

p =

1.0000 + 0.0000i0.2500 + 0.2500i0.2500 - 0.2500i

Dakle, mǒze se pisati

Y(z)z

=z2 +z

z3− (3/2)z2 +(5/8)z−1/8 =3.2

z−1 +−1.1+ j0.3

z−0.25− j0.25+−1.1− j0.3

z−0.25+ j0.25 (4.21)

što daje

Y(z) =3.2zz−1 +

(−1.1+ j0.3)zz−0.25− j0.25+

(−1.1− j0.3)zz−0.25+ j0.25

=3.2zz−1 +

(−1.1+ j0.3)zz−0.25

√2ejπ/4

+(−1.1− j0.3)z

z−0.25√

2e− jπ/4

(4.22)

S obzirom na vezu

anu0[n] ⇔z

z−aza|z| > a za odziv sistema kada je na ulazu Hevisajdova funkcija, dobija se

y[n] = 3.2+(−1.1+ j0.3)(0.25√

2ejπ/4)n +(−1.1− j0.3)(0.25√

2e− jπ/4)n

= 3.2−1.1[(0.25√

2)n(ejnπ/4 +e− jnπ/4)]+ j0.3[(0.25√

2)n(ejnπ/4−e− jnπ/4)]odnosno

y[n] = 3.2−2.2(

√2

4

)ncos(nπ/4)−0.6

(

√2

4

)nsin(nπ/4)

= 3.2−(

√2

4

)n(2.2cos(nπ/4)+0.6sin(nπ/4))

(4.23)

Odziv sistemay[n] prikazan je na slici 4.3

Na slici 4.4 dati su ulazni (Dirakov signalδ [n] i jedinična funkcijau0[n] i izlazni signali (Impulsni odzivh[n] i odziv y[n]). Naredbomsubplot(abc), koja ima tri argumentaa, b i c, se bira gde sězeljeni signalprikazuje. Parametara ukazuje na to na koliko se delova slika deli po vertikali,b ukazuje na koliko se delovaslika deli po horizontali, dokc govori o tome na kojoj oda∗b podslikaće biti prikazan signal.

brojilac=[ 1 1 0];imenilac=[1 -0.5 0.125];dirak=[1 zeros(1,19)];hevisajd=ones(1,20); n=[0:19];imp_odz=filter(brojilac,imenilac,dirak);odziv=filter(brojilac,imenilac,hevisajd);

40 4. Prenosna funkcija diskretnih sistema

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

n

y[n]

Odziv sistema

Sl. 4.3: Odziv diskretnog sistema na jediničnu funkcijuu0[n[

figure subplot(221)stem(n,dirak,’r’)gridylabel(’\delta [n]’)subplot(223)stem(n,imp_odz,’k’)gridylabel(’h[n]’)xlabel(’n’)subplot(222)stem(n,hevisajd,’g’)gridylabel(’u_0[n]’)subplot(224)stem(n,odziv,’b’)gridxlabel(’n’)ylabel(’y[n]’)

Naredbazeros(a,b) formira matricu saa vrsta i b kolona ispunjenu nulama. Naredba je iskorišćenaza formiranje Dirakovog impulsa, gde je samo prvičlan jednak jedinici. Slǐcan je efekat naredbeones(a,b)samǒsto se matrica popunjava jedinicama tako da je ova naredba pogodna za formiranje Hevisajdove funkcije.Naredbom filter(a,b,ul) se odred-uje izlaz sistemǎcija je prenosna funkcija data koli’v cnikom polinomaa i b,kada je na ulazu sistema prisutan signal smešten u vektoruul. Dužina izlaznog signala jednaka je dužiniulaznog signala. Kako je cilj bio odrediti prvih 20 odbirakaizlaznog signala, formirali smo ulazni signal istedužine.

41

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

δ [n

]

0 5 10 15 20−0.5

0

0.5

1

1.5

h[n]

n

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1u 0

[n]

0 5 10 15 200

1

2

3

4

n

y[n]

Sl. 4.4: Odziv diskretnog sistema na jedinični impulsδ [n] i jediničnu funkcijuu0[n[

42 4. Prenosna funkcija diskretnih sistema

5

Diskretna Furijeova transformacija

Na slici 5.1 prikazana je funkcijay(t) = t2−4t +4.

−4 −2 0 2 4 6 80

5

10

15

20

25

t

y(t)

Sl. 5.1: Signaly(t) = t2−4t +4

−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

x(t)

Sl. 5.2: Signalx(t)

Posmatrajmo periodični signalxp(t), osnovne periodeT = 4, koji je nastao periodičnim ponavljanjemodsěcka paraboley(t) na intervalu[0,4] a koji je prikazan na slici 5.2, definisan sa

xp(t +kT) = t2−4t +4 za 0< t < 4 i k∈ Z

Periodǐcna funkcija mǒze biti data preko Furijeovog reda

xp(t) =+∞

∑k=−∞

Ckejkω0t (5.1)

gde je

ω0 = 2π f0 =2πT

=2π4

=π2

[rads

]

KoeficijenteCk izračunavamo na osnovu izraza

Ck =1T

∫ T

0x(t)e− jkω0t =

14

∫ 4

0(t2−3t +4)e− jk π2 t (5.2)

43

44 5. Diskretna Furijeova transformacija

Na slici 5.2 su prikazani amplitudski fazni spektar signalaza −30 < k < 30. Nac osi je k redni brojharmonika. Slǔcajuk = 0 odgovara koeficijentC0 = 1.333,što je ujedno srednja vrednost signalaxp(t). Kakoperioda signala iznosiT = 4 sekunde, osnovni harmonik ima frekvencijuf0 = 1/4 = 0.25 Hz, što odgovarakružnoj ǔcestanosti odω0 = 2π f0 ≈ 1.7rad/s i na grafiku njemu odgovarak = 1. Četvrtom harmonikuk = 4odgovara frekvencijak f0 = 1 Hz. Jednakost periodične analogne funkcije bez prekida (data funkcijax(t) jeneprekidna) i njenog Furijeovog reda važi samo za slǔcaj kadak→ ∞.

−30 −20 −10 0 10 20 300

0.5

1

1.5

k

Am

plitu

dski

spe

ktar

−30 −20 −10 0 10 20 30−1

−0.5

0

0.5

1

k

Faz

ni s

pekt

ar

|Ck|

ϕ{Ck}

Sl. 5.3: Amplitudski i fazni spektar signalaxp(t)

Furijeov red se sastoji od sume sinusnih i kosinusnih funkcija (predstavljenih preko kompleksne eksponen-cijalne funkcije) koje su i same neprekidne, tako da ako je funkcijaxp(t) periodǐcna ali sa prisutnim prekidima,čak i zak→ ∞ Furijeov red néce biti identǐcan saxp(t). U ovakvim slǔcajevima je prisutan Gibsov fenomen.

−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

x(t)Furijeov red

Sl. 5.4: Signalxp(t) dat na osnovnoj periodi i njegova aproksi-macija xa30(t) dobijena skrácivanjem Furijeovog redazadřzavanjem prvih 30 harmonika

Kod prikazivanja spektra nax osi je frekvencija, nezavisno od toga da li na konkretnom grafiku stoji indeksk, sama frekvencijaf data u hercima ili krǔzna ǔcestanostω0 data u radijanima u sekundi. Spektar analognogperiodǐcnog signala je diskretan (poseduje komponente samo na frekvencijama harmonika) sa komponentamana frekvencijamaf = 0 (DC komponenta),f = f0, f = 2 f0, f = 3 f0, itd. sve do beskonačnosti. Spektarneprekidnog periodičnog signala je bogatiji na niskim frekvencijama (komponente koje se znǎcajno razlikujuod nule su na niskim frekvencijama) i u konkretnom slučaju uǒcavamo da (slika 5.3) su komponente spektraCk zak≥ 10 zanemarljive.

Dakle, jǒs jednom da naglasimo, tek beskonačno dug Furijeov red je identičan samoj periodičnoj neprekid-

45

noj funkciji xp(t). Odsecanjem reda na konačnu dǔzinu N dobija se nova funkcijaxaN(t) koja manje ili vǐseuspěsno aproksimira polaznu funkcijuxp(t) zavisno od vrednostiN tj. da li su izostavljene komponente spektra(Furijeovog reda) znǎcajno razlǐcite od nule.

Sa slike (5.4) se uǒcava dobro poklapanje funkcijexp(t), koja je na slici prikazana samo na osnovnojperiodi a naravno da se periodično ponavlja na intervalu[−∞,+∞] , sa funkcijomxa30. Bez izvod-enja dokazanavěsćemočinjenicu da jexaN najbolja srednjekvadratna aproksimacija funkcijexp(t) za datoN.

Na slici 5.5 prikazane su aproksimacione funkcijexaN, za razlǐcite dǔzine Furijeovog reda.

−2 0 2 4 6 8 10−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

N=3N=6N=9

t

x aN

Sl. 5.5: Aproksimacione funkcijexaN(t) zaN = 3,6 i 9.

Na slici 5.6 je prikazano odstupanje aproksimacione funkcije dobijene skrácivanjem Furijeovog reda od”idealne” funkcijexp(t).

−2 0 2 4 6 8 10−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

N=3N=6N=9

t

x p(t

)−

x aN

Sl. 5.6: Grěska aproksimacije funkcijexp(t) zaN = 3,6 i 9.

Da bi grafik grěske bio uǒcljiviji na slici 5.7 je prikaza grěska na osnovnoj periodi signala. Sa grafika seuočava znǎcajno smanjivanje greške aproksimacije za malo povećanje dǔzine Furijeovog reda. ZaN > 10 ovajefekat bi bio znǎcajno manji jer su na tom delu spektra komponente već bliske nuli. U konkretnom primeruvidimo da se umesto beskonačne sume prostoperiodičnih funkcija (koja je identǐcna posmatranom signalu)signal uspěsno mo ze predstaviti i sumom samo prvih desetak harmonika.

U praksi signale najčěsće prikupljamo na nekom senzoru. Neka je začetiri sekunde pristigao signal oblikakao na slici 5.8.

Pre merenjat < 0) i po zavřsenom merenjut > 4) ne posedujemo informaciju o signalu (neka je reč o

46 5. Diskretna Furijeova transformacija

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

N=3N=6N=9

t

x p(t

)−

x aN

Sl. 5.7: Grěska aproksimacije funkcijexp(t) zaN = 3,6 i 9.

−2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

x(t)

Sl. 5.8: Signalx(t) - neperiodǐcan

pojavi koja je neponovljiva, npr. neka je u pitanju signal zemljotresa zabelězen na seizmografu). Da bi videlispektar ovog signala koristili bi već opisani matematički aparat i dobili bi identǐcni rezultat kao i sa signalomxp(t). U ovom slǔcaju na osnovnoj periodi 0≤ t ≤ 4, imali bi poklapanje Furijeovog reda i funkcijex(t) zak→ ∞. Med-utim zat < 0 i t > 4 signalx(t) ima vrednost jednaku nuli dok Furijeov red daje funkciju koja seperiodǐcno ponavlja, kaǒsto je prikazano na slici 5.9.

KoeficijentiCk u opisanom primeru su odred-eni programom koji je prilǒzen u nastavku. Pomoću njega sunacrtane i slike 5.3 i 5.4 zaN = 30. Iza znaka procenat u MATLAB

R©-u sledi komentar.

t=sym(’t’)%definise simbolicku promenljivu tN=3; %duzina Furijeovog redaT=4;%periodak=[-N:N]’;% vektor indeksa koeficijenata C_k. ’ na kraju go vori% o transponovanju vektora tj. k je vektor kolonapom=-j*2*pi/T;%pomocna promenljiva da ubrza izracunavan je ...C_ksym=(1/T)*int((tˆ2-4*t+4)*exp(-pom*k*t),t,0,T);% Paket za simbolickuanalizu omogucava izracunavanje integrala.Prvi argument je%funkcija koja se integrali ,integrali se po promenljivoj t -drugi%argument, integral je odredjeni sa granicama integraljen ja 0 i T.C_k=double(C_ksym);% Simbolicke vrednosti smestene u vek tor C_sym se%pretvaraju u brojne vrednosti u formatu double precision

47

−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

x(t)xaN(t)

Sl. 5.9: Signalx(t) - neperiodǐcan

C_k=C_k’;% U formuli za C_ksym figurise vektor k koji je kolo na, tako%da je i vektor C_ksym kolona. Ovde ga transponujemo da posta ne vektor%vrstafigure %crtanje spektra

subplot(211)stem(k,abs(C_k))gridxlabel(’k’,’Fontsize’,13);ylabel(’Amplitudski spektar’,’Fontsize’,13);legend(’Ckf’)subplot(212)stem(k,angle(C_k))legend(’Ckf’) gridxlabel(’k’,’Fontsize’,13);

ylabel(’Fazni spektar’,’Fontsize’,13);t=[-1:0.01:9]; %vreme, na ovom opsegu cemo crtati signalematrica=exp(-pom*k*t);%pomocna matrica za crtanje signa laf_apr=C_k*mat;% aproksimacija funkcije konacnim Furijeo vim redom duzine% N za svaku vrednost t, izracunava f_apr(t)figure % crtanje signala i njegove aproksimacije

plot(t2,yt2,’r’,’LineWidth’,4)hold on % zadrzava istu sliku da bi naredna naredba crtanja (p lot) novi%signal prikazala na istoj slici.Aktivna je dok se ne pojavi hold offplot(t,f_apr,’k’,’LineWidth’,2)gridlegend(’x(t)’,’Furijeov red’)

xlabel(’t’,’Fontsize’,13);axis([-1 9 -0.1 4.3]);%Matlab sam bira granice za x i y osu osi m ako se%ne zahteva naredbom axis drugacije.Slika ce prikazati sig nale od -1 do% 9 po x osi, na opsegu od -0.1 do 4.3 po y osi

Kao dodatak komentarima priloženim u samom programu navešćemo vrednosti korišćenih promenljivihza slǔcaj N = 3. Vektork je matrica kolona

k =

48 5. Diskretna Furijeova transformacija

-3-2-1

0123

Na pǒcetku programa se odred-uju koeficijentiCk kao simbolǐcke vrednosti. Kako u izrǎcuanavanju figuriševektork i ovaj će biti matrica kolona

C_ksym =

8/(9*piˆ2)2/piˆ28/piˆ2

4/38/piˆ22/piˆ2

8/(9*piˆ2)

U op̌stem slǔcaju koeficijentiCk su kompleksni brojevi ali konkretno slučaju rěc je očisto realnim vredno-stimašto ukazuje na prisutnost samo kosinusnog reda jer je posmatrana funkcija parna (sinusni red je prisutankadaCk poseduje i imaginarni deo).

U narednom koraku se ove simboliǩe vrednosti pretvaraju u brojne (izračunaju se prikazani izrazi) isměsatju u vektorCk, koji posle transponovanja (postaje matrica vrsta) ima vrednost

C_k =

0.0901 0.2026 0.8106 1.3333 0.8106 0.2026 0.0901

Prva 3člana odgovaraju koeficijentimaCk zak = −3,−2,−1, centralnǐclan vrednosti 1.3333 jeC0, uvekrealne vrednosti i odgovara srednjoj vednosti signala a poslednja 3člana su koeficijentiCk zak = 1,2,3. Danapomenemo da važi da jeCk = C∗−k, tj. med

-usobno su konjugovano kompleksni. U datom primeru su svikoeficijent realni pa suCk i C−k med-usobno identǐcni.

Da bi nacrtali aproksimacionu funkciju neophodno je izračunati vrednost Furijeovog reda za svaku vred-nostt. U datom primeru vektort je vrsta sa 1001̌clanom jer su granice -1 i 9 a korak 0.01. Praktično za svakuvrednostt treba odrediti vrednost

xa(t) =N

∑k=−N

Ckejkω0t (5.3)

Vidimo da za izrǎcunavanje jedne vrednosti signalaxa(t) treba sumirati proizvod odgovarajućih članova 2vektora,Ck i Bk = ejkω0t = Bk,t , konkretno na osnovu (5.3) je

xa(t1) = C−3B−3,t1 +C−2B−2,t1 +C−1B−1,t1 + · · ·+C3B3,t1xa(t2) = C−3B−3,t2 +C−2B−2,t2 +C−1B−1,t2 + · · ·+C3B3,t2

. . .

xa(ti) = C−3B−3,ti +C−2B−2,ti +C−1B−1,ti + · · ·+C3B3,ti. . .

xa(t1001) = C−3B−3,t1001+C−2B−2,t1001+C−1B−1,t1001+ · · ·+C3B3,t1001

(5.4)

49

Cilj je izbeći upotrebufor petlji što u slǔcaju MATLABR©

-a znǎcajno ubrzava izvřsavanje programa iiskoristiti njegovu mogúnost lake manipulacije nad matricama.

Proizvod matrice vrste i matrice kolone je konstanta tj.

[C1 C2 C3] ·

B1B2B3

= C1B1 +C2B2 +C3B3 (5.5)

Koeficijenti Ck se koriste pri izrǎcunavanju svake vrednosti signalaxa(t) (za svakot). Da bi dobili vrednostfunkcije xa za sve vrednosti vektorat, vektor vrstuCk pomnǒzićemo matricom̌cija se svaka kolona odnosi najednu vrednostti . Praktǐcno mnǒzimo 2 matrice

C(1×N) ∗Matrica(N×1001) = x(1×1001)Na osnovu izraza (5.3) računa se

[

C−N C−N+1 . . . CN−1 CN]

·

ej(−N)ω0t1 ej(−N)ω0t2 . . . ej(−N)ω0t1001

ej(−N+1)ω0t1 ej(−N+1)ω0t2 . . . ej(−N+1)ω0t1001

ej(−N+2)ω0t1 ej(−N+2)ω0t2 . . . ej(−N+2)ω0t1001...

......

ej(N−1)ω0t1 ej(N−1)ω0t2 . . . ej(N−1)ω0t1001

ej(N)ω0t1 ej(N)ω0t2 . . . ej(N)ω0t1001

(5.6)

Matrica iz izraza (5.6) odgovara promenljivoj Matrica u priloženom kodu MATLABR©

programa. Dakle, kaorezultat ovog mnǒzenja dobija se vektor (matrica vrsta) dužine 1001, u programu obeležen saf apr a kojiodgovara aproksimacionoj funkcijixa(t),

Kako je formirana matricaMatrica ? Najjednostavniji pristup, primenjen u programu, svodi senamnǒzenje matrice kolone (vektork u programu) matricom vrstom (vektort) tj.

k · t =

−N−N+1

...N−1

N

2N+1×1

·[

t1 t2 . . . t1000 t1001]

1×1001 (5.7)

Rezultat ovog matričnog mnǒzenja je matrica

(−N)t1 (−N)t2 . . . (−N)t1001(−N+1)t1 (−N+1)t2 . . . (−N+1)t1001(−N+2)t1 (−N+2)t2 . . . (−N+2)t1001

......

...(N−1)t1 (N−1)t2 . . . (N−1)t1001

(N)t1 (N)t2 . . . (N)t1001

2N+1×1001

(5.8)

koja pomnǒzena sajω0 predstavlja argument eksponencijalne funkcije i omogućava formiranje matrice izizraza (5.6).

Pretpostavimo sada da je analogni signal prikazan na slici 5.8 odabran frekvencijomFs. Odbirici se navremenskoj osi nalaze na med-usobnom rastojanjuTs = 1/Fs i ima ih ukupnoN, kaošto je dato na slici 5.10.

Važi da jexd[k] = x((k−1)Ts) za vektore date u MATLAB R© -u. U MATLAB R© -u vektori imaju indeks kojikreće od jedinice (nizx imačlanovex[1],x[2], . . . ,x[N]) a prvi trenutak kada se kreće analiza signala je obelžen

50 5. Diskretna Furijeova transformacija

0 1 2 3 4

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 Ts 2Ts 3Ts 5Ts NTs

ab

t

Sl. 5.10: Analogni signalx(t) a) i diskretni signalxd[n] dobijen nje-govim odabiranjem b)

kao nulti. U izrazimácemo za odbirke signalax koristiti oznakex[0],x[1], . . . ,x[N−1] (ima ih ukupnoN) aoni će u programima biti dati kaox(1),x(2), . . . ,x(N). Pri analizi spektra analognog signala koristili smo izraz5.2

Ck =1T

∫ T

0x(t)e− jkω0t (5.9)

Sada kada posedujemo odbirke signalax(t) iskoristícemo izraz 5.9 uz malo prilagod-avanje istog. Podsetimosečinjenice dáce odgovarajúcu Furijeov red dati periodičnu funkciju koja se poklapa sa polaznom funkcijomna osnovnoj periodi. Za takav pristup je osnovna periodaT = 4s a na ovom intervalu je smešteno ukupnoNodbiraka, odnosno može se réci da jeT = NTs. Kako je dobijen diskretni signal u izrazu (5.9) integralće bitizamenjen sumom tako da se dobija

1NTs

N−1∑i=0

xd[i]e− jkω0(iTs) =

1NTs

N−1∑i=0

xd[i]e− jk 2πNTs (iTs) (5.10)

uzev̌si u obzir da je diskretizovana vremenska osa pa je sadt zamenjeno saiTs, gde jei ceo broj. KoeficijentimaCk koji odgovaraju analognom signalu odgovaraju koeficijentick

ck =1N

N−1∑i=0

xd[i]e− jki 2πN (5.11)

Izraz je nastao na osnovu (5.10) eliminacijomTs ispred sume jer je perioda (T u sekundama, kod analognogsignala) diskretnog signala data celim brojemN posle koga se signal ponavlja. Dakle možemo réci da na nekinǎcin koeficijentick ukazuju na spektralni sadržaj signalaxd.

Po definiciji koeficijenti diskretne Furijeove transformacije signalax dobijaju se iz izraza

Xm =N−1∑n=0

x[n]e− jmn2πN ,m= 0,1,2, . . . ,N−1 (5.12)

i vidimo da odgovaraju skaliranim vrednostima koeficijenata ck pomnǒzenim saN - dužinom sekvence. In-verzna diskretna Furijeova transformacija omogućava rekonstrukciju signala iz frekvencijskog domena

x[n] =1N

N−1∑

m=0x[m]ejmn

2πN ,n = 0,1,2, . . . ,N−1 (5.13)

51

Treba primetiti dǎclan e− jmn2πN (ovo je formula koja predstavlja kompleksne brojeve koji senalaze na je-

diničnom krugu, jer je moduo uvek jednak jedinici a pod uglom 2πmn/N u odnosu na pozitivni deox ose) sesvodi na cos(mn2πN )+ j sin(mn

2πN ), gde sum,n i N celi brojevi. Sinusna i kosinusna funkcija su periodične sa

periodom 2π. Najmanji korak je 2π/N tako da na jedinǐcnom krugu (ugao se kreće od 0 do 2π) postoji tǎcnoNekvidistantnih razlǐcitih vredosti. Analizom preslikavanjas ravni uz ravan videli smo da se frekvencijska osa( jω osa) preslikava tǎcno na jedinǐcni krug. Tǎcnije odsěcak jω ose koji odgovara frekvencijama[−Fs/2,Fs/2]se preslikava na ceo jedinični krug. Uobǐcajeno je da se analogni signal najpre filtrira niskofrekventnim fil-trom kako bi se ograničio spektar signala. U narednom koraku se radi analogno digitalna konverzija prǐcemufrekvencija odabiranja treba da bude bar dvostruko veća od maksimalne frekvencije u spektru signala. Uzravni, tǎcki ω = 0 iz s ravni odgovara tǎcka z = ej0 = 1, dok se tǎcka ωs/2 = 2π fs/2 = π fs preslikava uz= ejπ =−1. Diskretna Furijeova transformacija se u MATLAB R© -u izrǎcunava naredbomfft. Naziv je nastaood izrazaFastFourier Transformtj. reče je o brzoj Furijeovoj transformaciji. Brza Furijeova transformacijanije neka nova transformacija, već je rěc o brzom algoritmu za izrǎcunavanje diskretne Furijeove transforma-cije. Izrǎcunavanje se svodi na upotrebu množenja i sabiranja te lako može biti implementirano na bilo komprocesoru.

Zadatak 5.1. Izračunati diskretnu Furijeovu transformaciju signala x= {1,2,3,−2,0,4,1} i nacrtatiamplitudski i fazni spektar.

Rěsenje:

Signalx ima dǔzinuN = 7, gde jex[0] = 1,x[1] = 2, . . . ,x[6] = 1. Na osnovu izraza (5.12) zam= 0 dobijasečlanX0

X0 =N−1∑n=0

x[n]e− jmn2πN =

6

∑n=0

x[n]e− j0 = x[0]+x[1]+x[2]+ · · ·+x[6]

= 1+2+3+(−2)+0+4+1 = 9(5.14)

Bez obzira na dǔzinuN i vrednostičlanova nizax, X0 se uvek dobija kao prosta suma svihčlanova nizax, takoda je uvek rěc o realnoj vrednosti a koja je srazmerna vrednosti DC komponente signalax.

Zam= 1 se dobija

X1 =6

∑n=0

x[n]e− jn2π7 = x[0]e− j0 +x[1]e− j

2π7 +x[2]e− j2

2π7 + · · ·+x[6]e− j62π7

= 1+2(cos(2π7

− j sin(2π7

))+3(cos(4π7

)− j sin(4π7

))

−2(cos(6π7

)− j sin(6π7

))+4(cos(10π

7− j sin(10π

7))+(cos(

12π7

)− j sin(12π7

))

= 1+2(0.6235− j0.7818)+3(−0.2225− j0.9749)−2(−0.9010− j0.4339)+4(−0.2225+ j0.9749)+(0.6235+ j0.7818)= 3.1148+ j1.0609

(5.15)

Zam= 2

X2 =6

∑n=0

x[n]e− j2n2π7 = x[0]e− j0 +x[1]e− j

4π7 +x[2]e− j

8π7 + · · ·+x[6]e− j 24π7

= 1+2(−0.2225− j0.9749)+3(−0.9010+ j0.4339)−2(0.6235+ j0.7818)+4(−0.9010− j0.4339)+(−0.2225+ j0.9749)= −7.2213− j2.9725

(5.16)

Zam= 3

52 5. Diskretna Furijeova transformacija

X3 =6

∑n=0

x[n]e− j3n2π7 = e− j0 +2e− j

6π7 +3e− j

12π7

+(−2)e− j 18π7 +4e− j 30π7 +e− j 36π7= 1+2(−0.9010− j0.4339)+3(0.6235+ j0.7818)−2(−0.2225− j0.9749)+4(0.6235− j0.7818)+(−0.9010+ j0.4339)= 3.1066+ j0.7341

(5.17)

Zam= 4

X4 =6

∑n=0

x[n]e− j4n2π7 = e− j0 +2e− j

8π7 +3e− j

16π7

+(−2)e− j 24π7 +4e− j 40π7 +e− j 48π7= 1+2(−0.9010+ j0.4339)+3(0.6235− j0.7818)−2(−0.2225+ j0.9749)+4(0.6235+ j0.7818)+(−0.9010− j0.4339)= 3.1066− j0.7341

(5.18)

Zam= 5

X5 =6

∑n=0

x[n]e− j5n2π7 = e− j0 +2e− j

10π7 +3e− j

20π7

+(−2)e− j 30π7 +4e− j 50π7 +e− j 60π7= 1+2(−0.2225+ j0.9749)+3(−0.9010− j0.4339)−2(0.6235− j0.7818)+4(−0.9010+ j0.4339)+(−0.2225− j0.9749)= 3.1066− j0.7341

(5.19)

Poslednjičlan zam= 6 ima vrednost

X6 =6

∑n=0

x[n]e− j6n2π7 = e− j0 +2e− j

12π7 +3e− j

24π7

+(−2)e− j 36π7 +4e− j 60π7 +e− j 72π7= 1+2(0.6235+ j0.7818)+3(−0.2225+ j0.9749)−2(−0.9010+ j0.4339)+4(−0.2225− j0.9749)+(0.6235− j0.7818)= 3.1148− j1.0609

(5.20)

Svi koeficijenti diskretne Furijeove transformacije su dati u tabeli5.1.

Amplitudski i fazni spektar prikazani su na slikama 5.11 i 5.12, respektivno.

Da objasnimo dobijeni rezultat. Poznato je da je spektar periodičnog analognog signala diskretan. Nagrafiku spektra nax osi se nalazi frekvencija (predstavljena rednim brojem harmonika). Razmak izmed-u dvesusedne komponente diskretnog spektra iznosiω0 = 2π f0 = 2π/T, gdeT predstavlja periodu signala. Spektarje diskretan ali poseduje beskonačno puno harmonika tj. na grafiku se frekvecijska osa prostire od 0 do∞,nezavisno od togǎsto je spektar bogatiji nan niskim frekvencijama tj. iznad neke frekvencije komponentespektra (harmonici) imaju vrednost blisku nuli. Aperiodični analogni signal mǒze da se posmatra kao speci-jalni slučaj periodǐcnog signalǎcija periodaT → ∞. U tom slǔcaju razmak izmed-u dva harmonikaω0 = 2π/Tteži nuli tako da aperiodični signal ima kontinualni spektar.

Kada je u pitanju diskretni signal, posmatranjem izraza za diskretnu Furijeovu transformaciju (5.12),vidimo da je spektar diskretan jer se na frekvencijskoj osi (koja je se sada nalazi na jediničnom krugu) ko-

53

Tab. 5.1: Koeficijenti diskretne Furijeove transformacijeXk

k Xk |Xk| ]{Xk}[rad]0 9+j0 9 01 3.1148 + j1.0609 3.2905 0.32832 -7.2213 - j2.9725 7.8092 -2.75113 3.1066 + j0.7341 3.1921 0.23214 3.1066 - 0.7341 3.1921 -0.23215 -7.2213 + 2.9725 7.8092 2.75116 3.1148 - 1.0609 3.2905 -0.3283

−3 −2 −1 0 1 2 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

k

|X|

Sl. 5.11: Amplitudski spektar signalax

−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

k

]{X}

[ra

d]

Sl. 5.12: Fazni spektar signalax

riste samo tǎcke koje su pod uglom koji je celobrojni umnožak vrednosti 2π/N gdeN predstvalja dǔzinu nizax, kako je prikazano na slici 5.13.

54 5. Diskretna Furijeova transformacija

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

W10

W11

W12

W13

W14

W15

W16

Sl. 5.13:

Zato je najbolje pre izrǎcunavanja diskretne Furijeove transformacije nizax dužineN, izrǎcunati sve vre-dnostiWi j (ima ihN). U konkretnom slǔcaju one iznose

W10 = 1+ j0W11 = 0.6235− j0.7818W12 = −0.2225− j0.9749W13 = −0.9010− j0.4339W14 = −0.9010+ j0.4339W15 = −0.2225+ j0.9749W16 = 0.6235+ j0.7818

(5.21)

i pored-ane su na jediničnom krugu u smeru kazaljke načasovniku (negativni smer) jer je argument eksponen-cijalne funkcije negativan. Izraz (5.12) napisaćemo u funkciji promenljiveWi j kao

Xm =N−1∑n=0

x[n]e− jmn2πN =

N−1∑n=0

x[n]Wmn ,m= 0,1,2, . . . ,N−1 (5.22)

tako da se zam= 1 dobija

X1 =N−1∑n=0

x[n]Wmn = x[0]W10+x[1]W11+x[2]W12+x[3]W13+x[4]W14+x[5]W15+x[6]W16 (5.23)

gde je ugao izmed-u dva susedna parametraW vrednosti 2π/7, kao na slici 5.13.

X2 se odred-uje na osnovu sledećeg izraza

X2 =N−1∑n=0

x[n]Wmn = x[0]W20+x[1]W21+x[2]W22+x[3]W23+x[4]W24+x[5]W25+x[6]W26 (5.24)

a vrednostiW parametara su prikazane na slici 5.14. Dakle opet koristimoistih 7 vrednosti samo je ugaoizmed-u dve susedne vrednosti sada 4π/7.

Slično je

X3 =N−1∑n=0

x[n]Wmn = x[0]W30+x[1]W31+x[2]W32+x[3]W33+x[4]W34+x[5]W35+x[6]W36 (5.25)

55

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

W20

W24

W21

W25

W22

W26

W23

Sl. 5.14:

a slika 5.15 pokazuje pozicijuW parametara

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

W30

W35

W33

W31

W36

W34

W32

Sl. 5.15:

Gornja polovina jedinǐcnog kruga odgovara pozitivnim frekvencijama a donja polovina negativnim. Kadaje dǔzina niza kao u ovom primeru neparan brojN, s obzirom da je prva tačka uvek na lokazijiz = 1 , štoodgovara frekvenciji 0, ostaje po(N− 1)/2 tǎcaka na pozitivnim tj na negativnim frekvencijama. Realninizovi imaju amplitudski spektar koji je parna funkcijašto je posledicǎcinjenice da suX1 = X∗6 , X2 = X

∗5 i

X3 = X∗4 komponenete na frekvencijama suprotnog znaka med-usobno konjugovano kompleksne. Dakle, treba

izračunatiX0 koji opisuje DC komponentu i jǒs (N−1)/2 komponenti koje opisuju pozitivne frekvencije akomponente na negativnim frekvencijama imaju konjugovanokompleksne vrednosti.

Dakle, diskretni signal ima diskretni spektar odred-en brzom Furijeovom transformacijom. Za razliku odspektra periodǐcnog analognog signala koji ima beskonačnom komponenti spektar diskretnog signala duzžineN ima tǎcno (N + 1)/2 komponneti (ukljǔcujući i DC komponentu). Sa slika 5.13, 5.14 i 5.15 vidimo da

56 5. Diskretna Furijeova transformacija

ne posedujemo informaciju (kada je nizx neparne dǔzine) o komponenti signala na frekvencijiFs/2 jer njojodgovara ugaoπ, tj. u z ravni se nalazi na lokacijiz= −1 a nijednaWi j tačka se ne nalazi na toj lokaciji.

Drugim rěcima, spektar diskretnog signala ima komponente na frekvencijama iz opsega[0,Fs/2]. Brojkomponenti na ovom opsegu je fiksiran na(N + 1)/2. Dakle frekvencijska rezolucija (razmak izmed-u dvesusedne komponente) zavisi od dužine nizaN. Za véce N treba izrǎcunati vǐse komponentiXk, što zahtevaizračunavanje vǐse mnǒzenja i sabiranja ali sa druge strane dobijamo bolju informaciju o spektru signala (naviše frekvencija znamo kakav je sadržaj tj. povécali smo frekvencijsku rezoluciju). U praksi se dešava da signalkoji prikupljamo sa senzora ima ograničeno trajanje (npr. zemljotres) a samim tim za fiksiranu frekvencijuodabiranja posedujemo ograničen broj odbiraka a taj broj definiše frekvencijsku rezoluciju. Jedini način dapovécamo frekvencijsku rezoluciju je da nizx prǒsirimo naželjenu dǔzinu nulama (ili odbircima samog signalax) i da za tu prǒsirenu verziju niza izrǎcunamo diskretnu Furijeovu transformaciju.

Zadatak 5.2. Izračunati diskretnu Furijeovu transformaciju i nacrtati amplitudski i fazni spektar signalay = {1,2,3,−1,−2,−3,0,−2}.

Rěsenje:

Signaly ima dǔzinu N = 8. U frekvencijskom domenu je na osnovu izraza (5.12) predstvaljen sa

Ym =N−1∑n=0

y[n]e− jmn2πN =

7

∑n=0

y[n]e− jmnπ4 ,m= 0,1,2, . . . ,7 (5.26)

Kako sum i n iz skupa celih brojeva susedne komponente na jediničnom krugue− jmnπ4 su med-usobno udaljene

za ugaoπ/4, kako je prikazano na slici 5.16.

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

W10

W11

W12

W13

W14

W15

W16

W17

π /4

Sl. 5.16:

Na osnovu izraza (5.26) zam= 0 dobija sěclanY0

Y0 =N−1∑n=0

y[n]e− jmn2πN =

7

∑n=0

y[n]e− j0 = y[0]+y[1]+y[2]+ · · ·+y[7]

= 1+2+3+(−1)+(−2)+(−3)+0+(−2) = −2(5.27)

koji ukazuje na DC komponentu signalay.

Zam= 1 se dobija

57

Y1 =7

∑n=0

y[n]e− jn2π8 = y[0]e− j0 +y[1]e− j

2π8 +y[2]e− j2

2π8 + · · ·+y[7]e− j72π8

= 1+2(

√2

2− j

√2

2)+3(− j)+(−1)(−

√2

2− j

√2

2)+(−2)(−1)

+(−3)(−√

22

+ j

√2

2)+0( j)+(−2)(

√2

2+ j

√2

2)

= 5.8284− j7.2426

(5.28)

U prethodnom primeru smo videli da izraz (5.28) može biti dat u obliku

Y1 =N−1∑n=0

y[n]Wmn = y[0]W10+y[1]W11+y[2]W12+ · · ·+y[6]W16+y[7]W17 (5.29)

gde parametriW1n prikazani na slici 5.16 a razmak izmed-u dva susednǎclana iznosiπ/4 i imaju vrednost

W10 = 1+ j0

W11 = 0.7071− j0.7071=√

22 − j

√2

2W12 = 0− j = − jW13 = −0.7071− j0.7071= −

√2

2 − j√

22

W14 = −1+ j0 = −1W15 = −0.7071+ j0.7071= −

√2

2 + j√

22

W16 = 0+ j = j

W17 = 0.7071+ j0.7071=√

22 + j

√2

2

(5.30)

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

W20

=W24

W21

=W25

W22

=W26

W23

=W27

π /2

Sl. 5.17:

Zam= 2 izrǎcunavamo

Y2 =7

∑n=0

y[n]e− j2n2π8 = y[0]e− j0 +y[1]e− j2

2π8 +y[2]e− j4

2π8 + · · ·+y[7]e− j142π8

y[0]W20+y[1]W21+y[2]W22+ · · ·+y[6]W26+y[7]W27= 1+2(− j)+3(−1)+(−1)( j)+(−2)(1)+(−3)(− j)+0(−1)+(−2)( j)= −4− j2

(5.31)

58 5. Diskretna Furijeova transformacija

pri čemu se susedne komponente nizaW2n nalaze pod uglom odπ/2 radijana, kako je pokazano na slici 5.17.

Zam= 3 se dobija

Y3 =7

∑n=0

y[n]e− j3n2π8 = y[0]e− j0 +y[1]e− j3

2π8 +y[2]e− j6

2π8 + · · ·+y[7]e− j212π8

y[0]W30+y[1]W31+y[2]W32+ · · ·+y[6]W36+y[7]W37

= 1+2(−√

22

− j√

22

)+3( j)+(−1)(√

22

− j√

22

)+(−2)(−1)

+(−3)(√

22

+ j

√2

2)+0(− j)+(−2)(−

√2

2+ j

√2

2)

= 0.1716− j1.2426

(5.32)

pri čemu se susedne komponente nizaW3n nalaze pod uglom od 3π/4 radijana, kako je pokazano na slici 5.18.

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

W30

W33

W36

W31

W34

W37

W32

W35

3π /4

Sl. 5.18:

Zam= 4 rǎcunamo poslednji koeficijent koji se mora odrediti po definiciji kao

Y4 =7

∑n=0

y[n]e− j4n2π8 = y[0]e− j0 +y[1]e− j4

2π8 +y[2]e− j8

2π8 + · · ·+y[7]e− j282π8

y[0]W40+y[1]W41+y[2]W42+ · · ·+y[6]W46+y[7]W47= 1+2(−1)+3(1)+(−1)(−1)+(−2)(1)+(−3)(−1)+0(1)+(−2)(−1)= 6+ j0 = 6

(5.33)

pri čemu se susedne komponente nizaW4n nalaze pod uglom odπ radijana, kako je pokazano na slici 5.19.

Za koeficijente koji odgovaraju negativnim frekvencijama važi

Y5 = Y∗3 = 0.1716+ j1.2426

Y6 = Y∗2 = −4+ j2

Y7 = Y∗1 = 5.8284+ j7.2426

(5.34)

Svi članovi diskretne Furijeove transformacije prikazani su utabeli 5.2

Amplitudski i fazni spektar prikazani su na slikama 5.20 i 5.21, respektivno.

59

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

W40

=W42

=W44

=W46

W41

=W43

=W45

=W47

π

Sl. 5.19:

Tab. 5.2: Koeficijenti diskretne Furijeove transformacijeYk

k Yk |Yk| ]{Yk}[rad]0 -2+j0 2 3.14161 5.8284 - j7.2426 9.2966 -0.89322 -4.0000 - j2 4.4721 -2.67793 0.1716 - j1.2426 1.2544 -1.43364 6+j0 6 05 0.1716 + j1.2426 1.2544 1.43366 -4+j2 4.4721 2.67797 5.8284 + j7.2426 9.2966 0.8932

−3 −2 −1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Amplitudski spektar

k

|Y|

Sl. 5.20: Amplitudski spektar signalay

60 5. Diskretna Furijeova transformacija

−3 −2 −1 0 1 2 3 4

−3

−2