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8/3/2019 Nima Arkani-Hamed et al- Stabilization of Sub-Millimeter Dimensions: The New Guise of the Hierarchy Problem
1/30
h e p - t h
/ 9 8 0 9 1 2 4 v
2
7 O c t 1 9 9 8
S L A C - P U B - 7 9 4 9
C E R N - T H 9 8 - 2 9 7
S U - I T P - 9 8 5 4
S t a b i l i z a t i o n o f S u b - M i l l i m e t e r D i m e n s i o n s :
T h e N e w G u i s e o f t h e H i e r a r c h y P r o b l e m
N i m a A r k a n i - H a m e d
a
, S a v a s D i m o p o u l o s
b
a n d J o h n M a r c h - R u s s e l l
c
a
S L A C , S t a n f o r d U n i v e r s i t y , S t a n f o r d C A 9 4 3 0 9 , U S A
b
P h y s i c s D e p a r t m e n t , S t a n f o r d U n i v e r s i t y , S t a n f o r d C A 9 4 3 0 5 , U S A
c
T h e o r y D i v i s i o n , C E R N , C H - 1 2 1 1 , G e n e v a 2 3 , S w i t z e r l a n d
A b s t r a c t
A n e w f r a m e w o r k f o r s o l v i n g t h e h i e r a r c h y p r o b l e m w a s r e c e n t l y p r o p o s e d w h i c h d o e s
n o t r e l y o n l o w e n e r g y s u p e r s y m m e t r y o r t e c h n i c o l o r . T h e f u n d a m e n t a l P l a n c k m a s s
i s a t a T e V a n d t h e o b s e r v e d w e a k n e s s o f g r a v i t y a t l o n g d i s t a n c e s i s d u e t h e e x i s t e n c e
o f n e w s u b - m i l l i m e t e r s p a t i a l d i m e n s i o n s . I n t h i s p i c t u r e t h e s t a n d a r d m o d e l e l d s a r e
l o c a l i z e d t o a 3 + 1 - d i m e n s i o n a l w a l l o r 3 - b r a n e " . T h e h i e r a r c h y p r o b l e m b e c o m e s
i s o m o r p h i c t o t h e p r o b l e m o f t h e l a r g e n e s s o f t h e e x t r a d i m e n s i o n s . T h i s i s i n t u r n
i n e x t r i c a b l y l i n k e d t o t h e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t p r o b l e m , s u g g e s t i n g t h e p o s s i b i l i t y o f
a c o m m o n s o l u t i o n . T h e r a d i i o f t h e e x t r a d i m e n s i o n s m u s t b e p r e v e n t e d f r o m b o t h
e x p a n d i n g t o t o o g r e a t a s i z e , a n d c o l l a p s i n g t o t h e f u n d a m e n t a l P l a n c k l e n g t h T e V
, 1
.
I n t h i s p a p e r w e p r o p o s e a n u m b e r o f m e c h a n i s m s a d d r e s s i n g t h i s q u e s t i o n . W e a r g u e
t h a t a p o s i t i v e b u l k c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t
c a n s t a b i l i z e t h e i n t e r n a l m a n i f o l d a g a i n s t
e x p a n s i o n , a n d t h a t t h e v a l u e o f
i s n o t u n s t a b l e t o r a d i a t i v e c o r r e c t i o n s p r o v i d e d
t h a t t h e s u p e r s y m m e t r i e s o f s t r i n g t h e o r y a r e b r o k e n b y d y n a m i c s o n o u r 3 - b r a n e .
W e f u r t h e r a r g u e t h a t t h e e x t r a d i m e n s i o n s c a n b e s t a b i l i z e d a g a i n s t c o l l a p s e i n a
p h e n o m e n o l o g i c a l l y s u c c e s s f u l w a y b y e i t h e r o f t w o m e t h o d s : 1 L a r g e , t o p o l o g i c a l l y
c o n s e r v e d q u a n t u m n u m b e r s a s s o c i a t e d w i t h h i g h e r - f o r m b u l k U 1 g a u g e e l d s , s u c h
a s t h e n a t u r a l l y o c c u r r i n g R a m o n d - R a m o n d g a u g e e l d s , o r t h e w i n d i n g n u m b e r o f b u l k
s c a l a r e l d s . 2 T h e b r a n e - l a t t i c e - c r y s t a l l i z a t i o n o f a l a r g e n u m b e r o f 3 - b r a n e s i n t h e
b u l k . T h e s e m e c h a n i s m s a r e c o n s i s t e n t w i t h t h e o r e t i c a l , l a b o r a t o r y , a n d c o s m o l o g i c a l
c o n s i d e r a t i o n s s u c h a s t h e a b s e n c e o f l a r g e t i m e v a r i a t i o n s i n N e w t o n ' s c o n s t a n t d u r i n g
a n d a f t e r p r i m o r d i a l n u c l e o s y n t h e s i s , a n d m i l l i m e t e r - s c a l e t e s t s o f g r a v i t y .
8/3/2019 Nima Arkani-Hamed et al- Stabilization of Sub-Millimeter Dimensions: The New Guise of the Hierarchy Problem
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1 N e w G u i s e o f t h e H i e r a r c h y P r o b l e m
A n e w p r o p o s a l f o r s o l v i n g t h e h i e r a r c h y p r o b l e m w a s r e c e n t l y i n t r o d u c e d 1 , 2 , 3
w h i c h c i r c u m v e n t s t h e n e e d f o r s u p e r s y m m e t r y o r t e c h n i c o l o r . I n s t e a d t h e h i e r a r c h y
p r o b l e m f o r t h e s t a n d a r d m o d e l S M i s s o l v e d b y b r i n g i n g t h e f u n d a m e n t a l P l a n c k
s c a l e d o w n t o t h e T e V s c a l e . G r a v i t y b e c o m e s c o m p a r a b l e i n s t r e n g t h t o t h e o t h e r
i n t e r a c t i o n s a t t h i s s c a l e , a n d t h e o b s e r v e d w e a k n e s s o f g r a v i t y a t l o n g d i s t a n c e s i s
t h e n e x p l a i n e d b y t h e p r e s e n c e o f n n e w l a r g e " s p a t i a l d i m e n s i o n s .
G a u s s ' L a w r e l a t e s t h e P l a n c k s c a l e s o f t h e 4 + n - d i m e n s i o n a l t h e o r y , M
, a n d t h e
l o n g - d i s t a n c e 4 - d i m e n s i o n a l t h e o r y , M
p l
,
M
2
p l
r
n
n
M
n + 2
1
w h e r e r
n
i s t h e s i z e o f t h e e x t r a d i m e n s i o n s . P u t t i n g M
1 T e V t h e n y i e l d s
r
n
1 0
, 1 7 +
3 0
n
c m 2
F o r n = 1 , r
1
1 0
1 3
c m , s o t h i s c a s e i s e x c l u d e d s i n c e i t w o u l d m o d i f y N e w t o n i a n
g r a v i t y a t s o l a r - s y s t e m d i s t a n c e s . A l r e a d y f o r n = 2 , h o w e v e r , r
2
1 m m , w h i c h
h a p p e n s t o b e t h e d i s t a n c e w h e r e o u r p r e s e n t e x p e r i m e n t a l k n o w l e d g e o f g r a v i t a t i o n a l
s t r e n g t h f o r c e s e n d s . F o r l a r g e r n , 1 = r
n
s l o w l y a p p r o a c h e s t h e f u n d a m e n t a l P l a n c k
s c a l e M
.
W h i l e t h e g r a v i t a t i o n a l f o r c e h a s n o t b e e n m e a s u r e d b e n e a t h a m i l l i m e t e r , t h e s u c c e s s
o f t h e S M u p t o 1 0 0 G e V i m p l i e s t h a t t h e S M e l d s c a n n o t f e e l t h e s e e x t r a l a r g e
d i m e n s i o n s ; t h a t i s , t h e y m u s t b e s t u c k o n a 3 - d i m e n s i o n a l w a l l , o r 3 - b r a n e " , i n t h e
h i g h e r d i m e n s i o n a l s p a c e . T h u s , i n t h i s f r a m e w o r k t h e u n i v e r s e i s 4 + n - d i m e n s i o n a l
w i t h f u n d a m e n t a l P l a n c k s c a l e n e a r t h e w e a k s c a l e , w i t h n 2 n e w s u b - m m s i z e d
d i m e n s i o n s w h e r e g r a v i t y , a n d p e r h a p s o t h e r e l d s , c a n f r e e l y p r o p a g a t e , b u t w h e r e
t h e S M p a r t i c l e s a r e l o c a l i s e d o n a 3 - b r a n e i n t h e h i g h e r - d i m e n s i o n a l s p a c e . T h e m o s t
a t t r a c t i v e p o s s i b i l i t y f o r l o c a l i z i n g t h e S M e l d s t o t h e b r a n e i s t o e m p l o y t h e D - b r a n e s
t h a t n a t u r a l l y o c c u r i n t y p e I o r t y p e I I s t r i n g t h e o r y 4 , 2 . G a u g e a n d o t h e r d e g r e e s
o f f r e e d o m a r e n a t u r a l l y c o n n e d t o s u c h D - b r a n e s 4 , a n d f u r t h e r m o r e t h i s a p p r o a c h
h a s t h e o b v i o u s a d v a n t a g e o f b e i n g f o r m u l a t e d w i t h i n a c o n s i s t e n t t h e o r y o f g r a v i t y .
H o w e v e r , f r o m a p r a c t i c a l p o i n t o f v i e w , t h e m o s t i m p o r t a n t q u e s t i o n i s w h e t h e r t h i s
f r a m e w o r k i s e x p e r i m e n t a l l y e x c l u d e d . T h i s w a s t h e s u b j e c t o f 3 w h e r e l a b o r a t o r y ,
a s t r o p h y s i c a l , a n d c o s m o l o g i c a l c o n s t r a i n t s w e r e s t u d i e d a n d f o u n d n o t t o e x c l u d e t h e s e
i d e a s .
1
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T h e r e a r e a l s o a n u m b e r o f o t h e r i m p o r t a n t p a p e r s d i s c u s s i n g r e l a t e d s u g g e s t i o n s .
R e f s . 5 e x a m i n e t h e i d e a o f l o w e r i n g t h e G U T s c a l e b y u t i l i z i n g h i g h e r d i m e n s i o n s .
F u r t h e r p a p e r s c o n c e r n t h e m s e l v e s w i t h t h e c o n s t r u c t i o n o f s t r i n g m o d e l s w i t h e x t r a
d i m e n s i o n s l a r g e r t h a n t h e s t r i n g s c a l e 6 , 7 , 8 , a n d g a u g e c o u p l i n g u n i c a t i o n i n h i g h e r
d i m e n s i o n s w i t h o u t l o w e r i n g t h e u n i c a t i o n s c a l e 9 . T h e r e a r e a l s o t w o i m p o r t a n t
p a p e r s b y S u n d r u m . T h e r s t d e a l s w i t h t h e e e c t i v e t h e o r y o f t h e l o w e n e r g y d e g r e e s
o f f r e e d o m i n r e a l i z a t i o n s o f o u r w o r l d a s a b r a n e 1 0 , w h i l e t h e s e c o n d i s c o n c e r n e d
w i t h t h e t o p i c o f r a d i u s s t a b i l i z a t i o n 1 1 , a n d w i t h w h i c h o u r a n a l y s i s h a s m u c h i n
c o m m o n .
I n o u r f r a m e w o r k t h e h i e r a r c h y p r o b l e m b e c o m e s t h e p r o b l e m o f e x p l a i n i n g t h e s i z e
a n d s t a b i l i t y o f t h e l a r g e e x t r a d i m e n s i o n s . T h e m a i n p u r p o s e o f t h i s p a p e r i s t o e x h i b i t
m e c h a n i s m s w h i c h a c c o m p l i s h t h e s e o b j e c t i v e s , a n d e x a m i n e s o m e a s p e c t s o f t h e i r
p h e n o m e n o l o g y . S i n c e a r a t h e r w i d e c o l l e c t i o n o f p o s s i b l e s t a b i l i z a t i o n m e c h a n i s m s
a r e d i s c u s s e d i n t h i s p a p e r , o n l y s o m e o f w h i c h w e b e l i e v e t o b e s u c c e s s f u l , w e t h i n k i t
u s e f u l t o p r o v i d e t h e r e a d e r w i t h a g u i d e t o o u r m a i n r e s u l t s : I n S e c t i o n 1 . 1 w e d i s c u s s a
v e r y g e n e r a l c o n s i s t e n c y c o n s t r a i n t o n t h e b u l k c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t ; a n d i n S e c t i o n 2
w e d e s c r i b e s o m e b a s i c k i n e m a t i c s p e r t a i n i n g t o t h e r a d i a l o s c i l l a t i o n e l d , w h o s e m a s s
w i l l t u r n o u t t o p r o v i d e s i g n i c a n t c o n s t r a i n t s o n s t a b i l i z a t i o n s c e n a r i o s . I n p a r t i c u l a r
t h i s i s t h e c o n s t r a i n t t h a t w i l l s o m e t i m e s f o r c e u s t o h a v e a l a r g e c o n s e r v e d i n t e g e r
p a r a m e t e r i n o u r m o d e l s . I n S e c t i o n 3 w e s h o w t h a t t h e p r o p e r t i e s a n d l i m i t s o n s u c h
l i g h t r a d i a l o s c i l l a t i o n e l d s c a n b e d i s c u s s e d i n a w a y t h a t i s i n d e p e n d e n t o f t h e d e t a i l s
o f t h e p r e c i s e r a d i u s - s t a b i l i z a t i o n m e c h a n i s m . W e a l s o b r i e y d e s c r i b e t h e r e a s o n s f o r
t h e c o s m o l o g i c a l s a f e t y o f t h i s s c e n a r i o . T h e m o s t i m p o r t a n t r e s u l t s o f t h i s p a p e r a r e
c o n t a i n e d i n S e c t i o n 4 w h e r e w e d i s c u s s l o n g - d i s t a n c e I R a n d , p a r t i c u l a r l y , s h o r t -
d i s t a n c e U V s t a b i l i z a t i o n m e c h a n i s m s , a n d p u t t h e s e t o g e t h e r t o o b t a i n a v a r i e t y
o f c o m p l e t e s t a b i l i z a t i o n m o d e l s . W e n d t h a t t w o m e t h o d s o f U V s t a b i l i z a t i o n a r e
p a r t i c u l a r l y a t t r a c t i v e : b r a n e - l a t t i c e - c r y s t a l l i z a t i o n " d i s c u s s e d i n S e c t i o n 4 . 2 ; a n d
t o p o l o g i c a l s t a b i l i z a t i o n " d i s c u s s e d i n S e c t i o n 4 . 3 . F i n a l l y i n S e c t i o n 5 w e p r e s e n t a
s u m m a r y o f o u r r e s u l t s .
1 . 1 T h e H i e r a r c h y a n d t h e B u l k C o s m o l o g i c a l C o n s t a n t .
L e t u s b e g i n w i t h s o m e n e c e s s a r y c o n d i t i o n s t h a t m u s t b e s a t i s e d t o e n s u r e t h e e x -
i s t e n c e o f l a r g e r a d i i . A s w e k n o w f r o m e x p e r i e n c e w i t h o u r 4 - d i m e n s i o n a l w o r l d , t o
e n s u r e t h a t o u r t h r e e o r d i n a r y s p a t i a l d i m e n s i o n s a r e v e r y l a r g e t h e r a d i u s o f c u r v a t u r e
o f t h e u n i v e r s e m u s t b e n o l e s s t h a n t h e p r e s e n t h o r i z o n s i z e . T h i s l e a d s t o t h e r e q u i r e -
2
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m e n t t h a t t h e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t o f t h e u n i v e r s e i s l e s s t h a n t h e c r i t i c a l d e n s i t y .
A n i d e n t i c a l l i n e o f r e a s o n i n g f o r t h e c a s e o f n - e x t r a d i m e n s i o n s a l s o l e a d s t o a n u p p e r
l i m i t o n t h e b u l k c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t a s w e n o w e x p l a i n 1 2 .
T h e c u r v a t u r e r a d i u s L
c u r v
o f t h e b u l k s p a c e i n t h e p r e s e n c e o f e n e r g y d e n s i t y o r a n
e e c t i v e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t ,
, i n t h e b u l k , i s
L
c u r v
M
n + 2
!
1 = 2
: 3
T h i s c u r v a t u r e r a d i u s m u s t b e l a r g e r t h a n t h e p h y s i c a l s i z e o f t h e t r a n s v e r s e d i m e n s i o n s
r
n
i n o r d e r t o i n s u r e t h a t t h e b u l k s p a c e d o e s n o t s p l i t o " i n t o s e p a r a t e i n a t i n g
u n i v e r s e s s e p a r a t e d b y h o r i z o n s o f s i z e L
c u r v
, o r c o l l a p s e i n t o b l a c k h o l e s . T h i s g i v e s
a n u p p e r b o u n d o n
1 2 :
M
4 + n
M
M
p l
!
4 = n
4
T h i s c o n s t r a i n t w i l l p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n w h a t f o l l o w s . I t a l r e a d y i m p l i e s t h a t
t h e m a g n i t u d e
m u s t b e s m a l l e r t h a n t h e f u n d a m e n t a l s c a l e o f M
. T h i s w a s t o b e
e x p e c t e d s i n c e i n t h i s c a s e t h e r e i s o n e s c a l e i n t h e p r o b l e m a n d t h e b u l k w o u l d s p l i t i n t o
a c o l l e c t i o n o f n o n - c o m m u n i c a t i n g 1 = T e V s i z e r e g i o n s , o u t s i d e o f e a c h o t h e r s ' p a r t i c l e
h o r i z o n s . A n i m p o r t a n t c o r o l l a r y o f t h i s i s t h a t o n e c a n n o t u s e t h e S c h e r k - S c h w a r z
m e c h a n i s m t o b r e a k s u p e r s y m m e t r y a t M
s i n c e t h i s w o u l d i n d u c e a b u l k c o s m o l o g i c a l
c o n s t a n t o f t h e o r d e r o f M
4 + n
, w h i c h e x c e e d s t h e l i m i t E q . 4 .
O f c o u r s e t h e e e c t i v e 4 - d i m e n s i o n a l c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t m e a s u r e d a t l o n g d i s -
t a n c e s g r e a t e r t h a n t h e s i z e o f t h e e x t r a d i m e n s i o n s m u s t t o a v e r y h i g h d e g r e e o f
a c c u r a c y v a n i s h . T h i s c a n b e a c h i e v e d b y c a n c e l l i n g t h e w a l l a n d b u l k c o n t r i b u t i o n s
a g a i n s t o n a n o t h e r :
0 = f
4
+ r
n
n
5
W e s e e t h a t i f t h e b u l k e n e r g y i s n e g a t i v e , a p o s i t i v e f
4
w i l l c a n c e l t h e 4 - d i m e n s i o n a l
c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t , w h i l e i f t h e b u l k e n e r g y i s p o s i t i v e , w e n e e d a n e g a t i v e f
4
.
C l e a r l y a p o s i t i v e f
4
i s r e a s o n a b l e ; i f t h e w a l l c a n u c t u a t e i n t h e e x t r a d i m e n s i o n s ,
f
4
i s j u s t t h e t e n s i o n o f t h e w a l l , a n d p r o v i d e s t h e c o r r e c t s i g n k i n e t i c t e r m f o r t h e
N a m b u - G o l d s t o n e s o f s p o n t a n e o u s l y b r o k e n 4 + n - d i m e n s i o n a l P o i n c a r e i n v a r i a n c e
w h i c h l i v e o n t h e w a l l . T h i s r e a s o n i n g s e e m s t o e x c l u d e t h e p o s s i b i l i t y o f a n e g a t i v e
f
4
, s i n c e t h i s g i v e s t h e w r o n g s i g n k i n e t i c t e r m t o t h e N a m b u - G o l d s t o n e s . T h i s i s
h o w e v e r o n l y a p r o b l e m i f t h e N a m b u - G o l d s t o n e e l d s a r e i n d e e d p r e s e n t , t h a t i s , i f
t h e 4 + n - d i m e n s i o n a l P o i n c a r e i n v a r i a n c e i s s p o n t a n e o u s l y b r o k e n . O n t h e o t h e r
h a n d , s u p p o s e t h a t t h e w a l l i s s t u c k " a n d c a n n o t u c t u a t e i n t h e e x t r a d i m e n s i o n s ,
3
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d u e t o e x p l i c i t b r e a k i n g o f 4 + n - d i m e n s i o n a l P o i n c a r e i n v a r i a n c e . A s a n e x a m p l e , w e
c a n c o n s i d e r t w i s t e d s e c t o r e l d s l i v i n g a t a n o r b i f o l d x e d p o i n t . I n t h e l a n g u a g e o f
s t r i n g t h e o r y t h e w a l l c o u l d b e a n o r i e n t i f o l d r a t h e r t h a n a D - b r a n e . I n t h i s c a s e , f
4
i s j u s t t h e w a l l e n e r g y d e n s i t y a c t i n g a s a s o u r c e f o r g r a v i t y , b u t t h e r e a r e n o N a m b u -
G o l d s t o n e s o n t h e w a l l t o r e c e i v e a w r o n g - s i g n k i n e t i c t e r m . A n o t h e r w a y o f s a y i n g
t h i s i s a s f o l l o w s . T h e w a l l c a n h a v e a n e n e r g y d e n s i t y a s a s o u r c e f o r g r a v i t y f
4
g r a v
,
a n d a t e n s i o n u n d e r b e n d i n g " f
4
b e n d
. I t i s f
4
g r a v
w h i c h s h o u l d a p p e a r i n E q . 5 . I f t h e
4 + n - d i m e n s i o n a l P o i n c a r e i n v a r i a n c e i s o n l y s p o n t a n e o u s l y b r o k e n , i t s n o n - l i n e a r
r e a l i z a t i o n f o r c e s f
4
g r a v
= f
4
b e n d
, a s t h e y b o t h c o m e f r o m e x p a n d i n g t h e t e r m i n t h e
a c t i o n
,
Z
d
4
p
, g
i n d
f
4
; 6
w h e r e g
i n d
i s t h e i n d u c e d m e t r i c o n t h e w a l l . S i n c e f
4
b e n d
0 , w e h a v e f
4
g r a v
0 . O n t h e
o t h e r h a n d , i f t h e 4 + n - d i m e n s i o n a l P o i n c a r e i n v a r i a n c e i s e x p l i c i t l y b r o k e n , t h e r e
n e e d n o t b e a n y r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t w o . I n d e e d , i f t h e w a l l c a n n o t u c t u a t e ,
e e c t i v e l y f
4
b e n d
= 1 , w h i l e f
4
g r a v
c a n b e n i t e a n d o f a n y s i g n .
W e w i l l t h e r e f o r e a l l o w t h e p o s s i b i l i t y t h a t a b r a n e c a n m a k e a n e t n e g a t i v e c o n t r i -
b u t i o n t o t h e 4 - d i m e n s i o n a l c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t , w h i c h p r o v i d e s u s w i t h t h e f r e e d o m
t o c o n s i d e r s t a b i l i z a t i o n m e c h a n i s m s t h a t g i v e e i t h e r p o s i t i v e o r n e g a t i v e b u l k e n e r g y
d e n s i t i e s .
1
G i v e n E q . 4 w e l e a r n t h a t i f o u r w a l l i s t h e o n l y b r a n e , t h e n i t s e e c t i v e w a l l -
l o c a l i z e d c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t , f
4
, i s b o u n d e d a b o v e b y
f
M
M
p l
M
n , 2 = 2 n
7
T h i s i s n o t t o o s e v e r e a c o n s t r a i n t t h o u g h , v a r y i n g b e t w e e n 1 0 T e V f o r n = 2 , t o
1 0
8
G e V f o r n = 6 . O f c o u r s e , t h e r e l a t i o n , E q . 5 , c a n b e t u r n e d a r o u n d t o d e t e r m i n e
t h e e e c t i v e b u l k c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t ,
, g i v e n f . A n a t u r a l a s s u m p t i o n f o r t h e w a l l -
l o c a l i z e d c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t , g i v e n o u r s t a t e o f k n o w l e d g e o f t h e s t a n d a r d m o d e l
i n t e r a c t i o n s o n t h e w a l l , i s f
4
= 1 T e V
4
M
4
. T h u s i n t h i s c a s e
= M
4 + n
M
M
p l
!
2
8
i s t h e v a l u e o f t h e b u l k c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t n e c e s s a r y t o c a n c e l t h e t o t a l l o n g - d i s t a n c e
c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t i n o u r w o r l d . N o t e t h a t t h i s v a l u e i s i n d e e d a l w a y s l e s s t h a n t h e
u p p e r b o u n d E q . 4 a r i s i n g f r o m t h e b u l k c u r v a t u r e c o n s t r a i n t .
1
W e t h a n k E v a S i l v e r s t e i n f o r d i s c u s s i o n s a b o u t t h i s p o i n t .
4
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L a t e r i n S e c t i o n 4 . 2 w e w i l l c o n s i d e r s t a b i l i z a t i o n m e c h a n i s m s t h a t u t i l i z e m a n y
b r a n e s p o p u l a t i n g t h e b u l k . I n t h i s c a s e t h e b o u n d s E q s . 4 a n d 7 a r e m o d i e d b y
t h e t o t a l b r a n e n u m b e r N
w a l l
.
A d i e r e n c e w i t h t h e p r e v i o u s c a s e i s t h a t t h e c u r v a t u r e r a d i u s m u s t n o w o n l y b e
g r e a t e r t h a n t h e i n t e r - b r a n e s e p a r a t i o n r
n
= N
w a l l
1 = n
. W e a r e a s s u m i n g t h e b e s t c a s e
s i t u a t i o n o f e q u a l l y s p a c e d b r a n e s w h i c h l e a d s t o t h e w e a k e s t b o u n d . T h e r e a s o n f o r
t h i s i s t h a t t h e b r a n e s t h e m s e l v e s a r e l o c a l i z e d s o u r c e s o f c u r v a t u r e o f t h e o p p o s i t e
s i g n , s o t h a t a t l o n g d i s t a n c e s c o m p a r e d t o t h e i n t e r - b r a n e s e p a r a t i o n , t h e c u r v a t u r e o f
t h e b u l k a v e r a g e s o u t t o z e r o . F r o m t h i s f o l l o w s t h e g e n e r a l i z e d c u r v a t u r e c o n s t r a i n t
N
w a l l
M
4 + n
M
M
p l
!
4 = n
: 9
T h e I R c a n c e l l a t i o n o f t h e e e c t i v e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t i n 4 - d i m e n s i o n s i s e x p r e s s e d
b y
0 = N
w a l l
f
4
+ r
n
n
: 1 0
I m p o s i n g t h i s l e a d s t o t h e f o l l o w i n g b o u n d o n t h e w a l l - l o c a l i z e d c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t
f
4
M
4
1
N
n , 2 = n
w a l l
M
p l
M
2 n , 4 = n
: 1 1
T h e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t i s b o u n d e d f r o m b e l o w f r o m a n o t h e r c o n s i d e r a t i o n . A s
w e w i l l s e e l a t e r i n S e c t i o n 3 , t h e r e a r e l i g h t g r a v i t a t i o n a l l y c o u p l e d p a r t i c l e s i n t h e
s p e c t r u m w h o s e m a s s
2
i s p r o p o r t i o n a l t o
s e e E q . 3 6 . T h e r e q u i r e m e n t t h a t
t h e s e p a r t i c l e s d o n o t c o n i c t w i t h m e a s u r e m e n t s o f g r a v i t y i m p l y t h a t t h e y w e i g h
m o r e t h a n a m e V a n d c o n s e q u e n t l y p u t a l o w e r l i m i t o n
. T h i s i n t u r n i m p l i e s t h a t
t h e l a r g e s i z e o f t h e n e w d i m e n s i o n s i n m o s t , b u t n o t a l l c a s e s s t u d i e d h e r e , c a n n o t b e
s o l e l y d u e t o t h e s m a l l n e s s o f
. A d d i t i o n a l d y n a m i c s t o b o o s t t h e s i z e o f t h e e x t r a
d i m e n s i o n s a r e n e c e s s a r y . T h i s c a n e a s i l y c o m e a b o u t i f t h e r e i s a c o n s e r v e d c h a r g e i n
t h e s y s t e m , a n a l o g o u s t o b a r y o n n u m b e r . J u s t a s h u m a n s a r e l a r g e b e c a u s e t h e y c a r r y
l a r g e b a r y o n n u m b e r , t h e e x t r a d i m e n s i o n s c a n b e l a r g e b e c a u s e t h e y c a r r y s o m e l a r g e
c h a r g e Q . I n s o m e o f o u r e x a m p l e s , t h i s c h a r g e c o r r e s p o n d s t o a l a r g e n u m b e r o f w a l l s
Q N
w a l l
1 . I n o t h e r s , i t i s a t o p o l o g i c a l c h a r g e k . N o t e h o w e v e r t h a t i n s o m e
s p e c i a l c a s e s , i t i s n o t n e c e s s a r y t o u s e a l a r g e c o n s e r v e d c h a r g e . F o r e x a m p l e , a s w e
d i s c u s s i n S e c t i o n 4 . 3 i f t h e f u n d a m e n t a l s c a l e M
i s p u s h e d t o 1 0 T e V w h i l e t h e w a l l
c o n t r i b u t i o n t o t h e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t f
4
i s k e p t a t 1 T e V
4
, t h e n t o p o l o g i c a l
c h a r g e s k 1 a r e a d e q u a t e . T h i s i s n o t t o o u n n a t u r a l a s i t u a t i o n , e s p e c i a l l y c o n s i d e r i n g
t h a t a l o o p f a c t o r c o u l d e a s i l y s u p p l y s u c h a s u p p r e s s i o n t o f
4
.
5
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1 . 2 S t a b l e a n d C a l c u l a b l e H i e r a r c h y
I n t h i s p a p e r w e w i l l n o t s e a r c h f o r d y n a m i c a l m e c h a n i s m s w h e r e t h e h i e r a r c h y b e -
t w e e n t h e s i z e o f t h e e x t r a d i m e n s i o n s a n d t h e f u n d a m e n t a l s c a l e i s c a l c u l a b l e . W e w i l l
i n s t e a d b e c o n t e n t t o e n f o r c e t h i s h i e r a r c h y b y c h o o s i n g t h e b u l k c o s m o l o g i c a l c o n -
s t a n t t o b e s m a l l a n d o r t h e a b o v e - m e n t i o n e d t o p o l o g i c a l o r o t h e r c h a r g e t o b e l a r g e .
T h i s i s a n a l o g o u s t o t h e e a r l y d a y s o f t h e m i n i m a l s u p e r s y m m e t r i c s t a n d a r d m o d e l
M S S M 1 3 w h e r e t h e s o f t s u p e r s y m m e t r y b r e a k i n g t e r m s w e r e p o s t u l a t e d w i t h o u t
a n y r e f e r e n c e t o a d y n a m i c a l m e c h a n i s m w h i c h g e n e r a t e s t h e m . T h e i d e a t h e r e w a s
t h a t s i n c e t h e p r o b l e m o f s u p e r s y m m e t r y b r e a k i n g i s c o n n e c t e d w i t h t h e c o s m o l o g i c a l
c o n s t a n t p r o b l e m i t s e e m e d p r e m a t u r e t o a d o p t a s p e c i c S U S Y - b r e a k i n g m e c h a n i s m
a n d i t s e e m e d m o r e p r u d e n t t o s t u d y c o n s e q u e n c e s t h a t w e r e i n d e p e n d e n t o f t h e d e t a i l s
o f t h e S U S Y - b r e a k i n g m e c h a n i c s . S i m i l a r l y , i n o u r n e w f r a m e w o r k t h e h i e r a r c h y a n d
c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t p r o b l e m s a r e e v e n m o r e c l o s e l y i n t e r t w i n e d s o w e w i l l a d o p t a
s i m i l a r p h i l o s o p h y o f n o t i n s i s t i n g o n a d e t a i l e d d y n a m i c a l m e c h a n i s m f o r a c a l c u l a b l e
h i e r a r c h y a n d w i l l b e c o n t e n t t o i n s t e a d p a r a m e t r i z e o u r i g n o r a n c e b y a c h o i c e o f
a n d a n i n t e g e r Q N
w a l l
o r k .
T h e s e c o n d a s p e c t o f t h e h i e r a r c h y p r o b l e m i s i t s s t a b i l i t y a g a i n s t r a d i a t i v e c o r r e c -
t i o n s . I n t h e M S S M t h i s i s g u a r a n t e e d b y l o w e n e r g y s u p e r s y m m e t r y , w h i c h p r o t e c t s
t h e H i g g s m a s s a g a i n s t l a r g e r a d i a t i v e c o r r e c t i o n s . P r e s u m a b l y , t h e a n a l o g o u s q u e s -
t i o n i n o u r f r a m e w o r k i s t h e b e h a v i o u r o f t h e p a i r o f p a r a m e t e r s
; Q u n d e r r a d i a t i v e
c o r r e c t i o n s . T h e i n t e g e r Q i s a u t o m a t i c a l l y p r o t e c t e d s i n c e i t r e f e r s t o c h a r g e o f a
c o n g u r a t i o n . S i n c e
i s a b u l k c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t o n e c a n i m a g i n e t w o p o s s i b i l i -
t i e s . O n e i s t h a t w h a t e v e r s o l v e s t h e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t p r o b l e m w i l l a l s o p r e v e n t
f r o m b e c o m i n g a s l a r g e a s t h e c u t o M
. T h e s e c o n d m o r e e x p l i c i t a n d p e r h a p s
m o r e s a t i s f a c t o r y v i e w p o i n t i s t o i n v o k e b u l k - s u p e r s y m m e t r y t o p r o t e c t
f r o m l a r g e
r a d i a t i v e c o r r e c t i o n s . I n d e e d , a s p o i n t e d o u t i n r e f e r e n c e 2 , i f s u p e r s y m m e t r y i s b r o -
k e n s o l e l y o n o u r 3 - b r a n e b y a n a m o u n t M
1 T e V , t h e F e r m i - B o s e s p l i t t i n g s t h a t
t h i s i n d u c e s i n t h e b u l k a r e m i n i s c u l e T e V
2
= M
p l
1 0
, 3
e V a n d t h e r e f o r e t h e b u l k
c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t
i s p r o t e c t e d b y t h e a p p r o x i m a t e b u l k - s u p e r s y m m e t r y .
I t s h o u l d b e e m p h a s i z e d t h a t s t a b i l i z i n g l a r g e d i m e n s i o n s i s i n h e r e n t l y e a s i e r t h a n
s t a b i l i z i n g P l a n c k - s c a l e d i m e n s i o n s . I n t h e l a t t e r c a s e , q u a n t u m g r a v i t a t i o n a l e e c t s
a r e n e c e s s a r i l y i m p o r t a n t a n d c a n n o t b e i g n o r e d . H o w e v e r , p r e c i s e l y b e c a u s e w e a r e
i n t e r e s t e d i n l a r g e r a d i i , t h e d e t a i l s o f s h o r t d i s t a n c e p h y s i c s a r e l a r g e l y i r r e l e v a n t a n d
a c l a s s i c a l o r s e m i - c l a s s i c a l a n a l y s i s s u c e s . W e w i l l c o n s i d e r t h i s p o i n t m o r e e x p l i c i t l y
i n S e c t i o n 4 .
6
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2 K i n e m a t i c s o f R a d i u s S t a b i l i z a t i o n
S u p p o s e t h a t w e h a v e a n N - b r a n e e m b e d d e d i n a s p a c e w i t h N l a r g e s p a t i a l d i m e n s i o n s
a n d n s m a l l d i m e n s i o n s w e w i s h t o s t a b i l i z e . T h e t o t a l a c t i o n i s c o m p r i s e d o f a b u l k
p a r t ,
S
b u l k
= ,
Z
d
1 + N + n
x
q
, d e t G
1 + N + n
M
n + N , 1
R + , L
m a t t e r
+ : : :
; 1 2
a n d a b r a n e p a r t ,
S
b r a n e
= ,
Z
d
1 + N
x
q
, d e t g
i n d u c e d
1 + N
f
N + 1
+ : : :
; 1 3
w h e r e L
m a t t e r
i s t h e L a g r a n g i a n o f b u l k g a u g e o r s c a l a r e l d s , a n d t h e e l l i p s e s d e n o t e
h i g h e r - d e r i v a t i v e t e r m s t h a t c a n b e i g n o r e d i n t h e r e g i m e o f i n t e r e s t a s w e w i l l d e m o n -
s t r a t e b e l o w . T a k e t h e b a c k g r o u n d m e t r i c f o r t h e 1 + N + n - d i m e n s i o n a l s p a c e t i m e
t o b e o f t h e f o r m
g
=
0
B
@
1
, R t
2
g
I J
, r t
2
g
i j
1
C
A
; 1 4
w h e r e R i s t h e s c a l e f a c t o r o f t h e N - d i m e n s i o n a l s p a c e , a n d r i s t h e s c a l e f a c t o r o f t h e
i n t e r n a l n - d i m e n s i o n a l s p a c e , w i t h g e o m e t r y s e t b y g
i j
w h e r e d e t g
i j
= 1 .
W i t h t h i s m e t r i c t h e R i c c i s c a l a r i s
, R = 2 N
R
R
+ N N , 1
_
R
R
!
2
+ 2 n
r
r
+ n n , 1
_ r
r
2
+ 2 N n
_ r
_
R
r R
!
+
n n , 1
r
2
; 1 5
w h e r e t h e i n t e r n a l c u r v a t u r e t e r m i s p r e s e n t f o r n - s p h e r e s = 1 , b u t v a n i s h e s f o r
t o r i = 0 , a n d w e h a v e i g n o r e d a s i m i l a r c u r v a t u r e t e r m f o r t h e l a r g e d i m e n s i o n s .
A f t e r i n t e g r a t i n g o v e r a l l s p a t i a l c o o r d i n a t e s w e o b t a i n ,
S =
Z
d t L
K E
_
R ; _ r , R
N
V
t o t
r ; 1 6
w h e r e t h e t o t a l p o t e n t i a l i s g i v e n b y
V
t o t
r = V
b u l k
+ V
w a l l
V
w a l l
= f
N + 1
V
b u l k
= r
n
, n n , 1 M
n + N , 1
r
n , 2
+ V
m a t t e r
r 1 7
w h e r e ,
V
m a t t e r
r = ,
Z
d
n
x r
n
L
m a t t e r
: 1 8
7
8/3/2019 Nima Arkani-Hamed et al- Stabilization of Sub-Millimeter Dimensions: The New Guise of the Hierarchy Problem
9/30
A f t e r i n t e g r a t i n g t h e
R a n d r t e r m s b y p a r t s , t h e k i n e t i c p a r t o f t h e a c t i o n f o r t h e
r a d i i , R a n d r , b e c o m e s
S = , M
N + n , 1
Z
d t R
N
r
n
0
@
N N , 1
_
R
R
!
2
+ n n , 1
_ r
r
2
+ 2 N n
_ r
_
R
r R
!
1
A
: 1 9
N o t e t h e o v e r a l l n e g a t i v e s i g n o f t h e s e k i n e t i c t e r m s . T h i s i s c o n n e c t e d t o t h e w e l l -
k n o w n p h e n o m e n o n t h a t t h e c o n f o r m a l m o d e o f g r a v i t y h a s t h e o p p o s i t e s i g n k i n e t i c
t e r m t o t h e t r a n s v e r s e g r a v i t o n k i n e t i c t e r m a n d w h i c h b e d e v i l s a t t e m p t s a t d e n i n g
q u a n t u m g r a v i t y v i a t h e E u c l i d e a n f u n c t i o n a l i n t e g r a l .
I n a n y c a s e t h e r e i s c l e a r l y a n e x t r e m u m o f t h e a c t i o n w i t h
_
R = _ r = 0 , w h e n t h e
c o n d i t i o n @
R
R
N
V
t o t
r j
R = R
0
; r = r
0
= 0 , a n d s i m i l a r w i t h @
R
! @
r
i s m e t . T h e s e i m p l y
f o r R
0
6= 0
V
t o t
r
0
= 0 ; a n d
V
0
t o t
r
0
= 0 : 2 0
T h i s i s a s o n e w o u l d h a v e n a i v e l y e x p e c t e d . H o w e v e r , b e c a u s e o f t h e n e g a t i v e s i g n
f o r t h e k i n e t i c t e r m f o r t h e r a d i a l d e g r e e s o f f r e e d o m , t h e s t a b i l i t y a n a l y s i s f o r s u c h
s t a t i c s o l u t i o n s h a s t o b e t r e a t e d w i t h c a r e . T h e a n a l y s i s s t a r t s b y e x p a n d i n g t h e
a c t i o n , E q . 1 9 , i n s m a l l u c t u a t i o n s a r o u n d t h e e x t r e m u m : R t = R
0
+ R t , a n d
r t = r
0
+ r t . T h e n t o q u a d r a t i c o r d e r , a n d d e n i n g R = R
0
a n d r = r
0
,
t h e e x p a n s i o n g i v e s t h e c o u p l e d e q u a t i o n s o f m o t i o n
N N , 1 N n
N n n n , 1
!
!
=
0 0
0 !
2
!
!
; 2 1
w h e r e
!
2
=
1
2
r
0
2
V
0 0
t o t
r
0
M
N + n , 1
r
0
n
=
1
2
r
0
2
V
0 0
t o t
r
0
M
N , 1
N + 1
: 2 2
H e r e M
N + 1
i s t o b e u n d e r s t o o d a s t h e e e c t i v e P l a n c k m a s s i n t h e l a r g e N + 1 -
d i m e n s i o n a l s p a c e t i m e M
4
M
p l
. W e n o w s e a r c h f o r o s c i l l a t i n g s o l u t i o n s , ; =
e x p i t
0
;
0
o f t h e s t a b i l i t y e q u a t i o n s . F r o m E q . 2 1 ,
2
i s t h u s g i v e n b y t h e
e i g e n v a l u e s o f t h e m a t r i x
+
!
2
n N N + n , 1
0 , N n
0 N N , 1
!
; 2 3
n a m e l y ,
2
= 0 , a n d
2
=
N , 1
n N + n , 1
!
2
: 2 4
8
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10/30
T h e z e r o e i g e n v a l u e j u s t c o r r e s p o n d s t o t h e f a c t t h a t R
0
i s a a t d i r e c t i o n s i n c e , b y
a s s u m p t i o n , t h e r e i s n o p o t e n t i a l f o r R . T h e c r u c i a l e x p r e s s i o n i s E q . 2 4 , w h i c h g i v e s
u s t h e c o n d i t i o n f o r s t a b i l i t y o f o u r s t a t i c s o l u t i o n . S t a b i l i t y r e q u i r e s
2
0 , w h i c h
f o r N 1 i m p l i e s
!
2
0 V
0 0
t o t
r
0
0 : 2 5
T h i s i s t h e m a i n r e s u l t o f t h i s S e c t i o n . E v e n t h o u g h i t s e e m s t r i v i a l t h a t s t a b i l i t y i s
e q u i v a l e n t t o r e q u i r i n g t h e s e c o n d d e r i v a t i v e o f t h e p o t e n t i a l a r o u n d t h e e x t r e m u m t o
b e p o s i t i v e , t h i s c o n d i t i o n i s a p r i o r i n o t a t a l l o b v i o u s g i v e n t h e n e g a t i v e k i n e t i c t e r m s
f o r t h e r a d i i e l d s . A s a n e x a m p l e o f t h i s c o n s i d e r t h e c a s e N = 0 , w h i c h c o r r e s p o n d s
t o r b e i n g t h o u g h t o f a s t h e r a d i u s o f a F r i e d m a n - R o b e r t s o n - W a l k e r u n i v e r s e . I n t h i s
c a s e s t a b i l i t y r e q u i r e s !
2
0 , o r e q u i v a l e n t l y V
0 0
t o t
r
0
0 . T h i s a c c o r d s w i t h o u r u s u a l
u n d e r s t a n d i n g : f o r e x a m p l e t a k e t h e o n l y t e r m i n V t o b e a p o s i t i v e c o s m o l o g i c a l
t e r m V
t o t
r = r
n
. T h e n a r o u n d t h e m i n i m u m a t r = 0 t h e s o l u t i o n i s u n s t a b l e t o
i n a t i o n a r y g r o w t h a s w e e x p e c t .
T h e e n d r e s u l t o f t h i s a n a l y s i s i s s i m p l y t h a t w e c a n t h i n k i n t e r m s o f a t o t a l p o t e n t i a l
V r t h a t o n e c a n m i n i m i z e t o n d t h e s t a b l e s t a t i c s o l u t i o n s f o r t h e s i z e o f t h e i n t e r n a l
d i m e n s i o n s . A l s o n o t e t h a t f r o m E q s . 2 4 a n d 2 2 w e c a n e x t r a c t t h e m a s s o f t h e
c a n o n i c a l l y n o r m a l i z e d r a d i a l o s c i l l a t i o n e l d w e w i l l r e f e r t o a s t h e r a d i o n " i n
t h e c a s e o f i n t e r e s t , N = 3 , n a r b i t r a r y :
m
2
r a d i a l
=
1
n n + 2
r
0
2
V
0 0
t o t
r
0
M
2
p l
2 6
N o t i c e t h a t a s a c o n s e q u e n c e , t h e m a g n i t u d e o f i s r e l a t e d t o t h e d e v i a t i o n r f r o m
t h e e q u i l i b r i u m r a d i u s r = r
0
+ r v i a
r
r
0
M
p l
: 2 7
3 M o d e l - i n d e p e n d e n t l i m i t s o n l i g h t r a d i o n s
B e f o r e w e m o v e o n t o t h e v e r y i m p o r t a n t i s s u e o f t h e e x p l i c i t n a t u r e o f p o s s i b l e r a d i u s
s t a b i l i z a t i o n m e c h a n i s m s a s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 4 , i t w i l l b e u s e f u l f o r u s t o e x a m i n e
s o m e m o d e l - i n d e p e n d e n t f e a t u r e s o f a l l t h e s e m e c h a n i s m s . T h e s e i n c l u d e t h e e x i s t e n c e
o f a l i g h t r a d i a l o s c i l l a t i o n e l d , w i t h k n o w n c o u p l i n g s t o s t a n d a r d m o d e l e l d s .
A l t h o u g h s u c h a e l d s e e m s t o b e d a n g e r o u s , w e w i l l a r g u e b e l o w t h a t i t s a t i s e s t h e
v a r i o u s l i m i t s .
9
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11/30
T o s e e t h a t i n d e p e n d e n t o f t h e d e t a i l s o f t h e s t a b i l i z i n g p o t e n t i a l t h e r e i s a n u p p e r
b o u n d o n t h e m a s s o f t h e r a d i a l e x c i t a t i o n e l d i t i s u s e f u l t o c o n s i d e r a g e n e r a l f o r m f o r
t h e b u l k s t a b i l i z i n g p o t e n t i a l V
b u l k
r . A r o u n d t h e e q u i l i b r i u m p o s i t i o n t h i s p o t e n t i a l
c a n b e w e l l a p p r o x i m a t e d b y t h e s u m o f j u s t t w o p o w e r s o f r :
2
V
b u l k
r = M
4
A x
a
+ B x
b
: 2 8
H e r e w e h a v e i n t r o d u c e d t h e d i m e n s i o n l e s s r a d i u s v a r i a b l e x r M
. I n p a r t i c u l a r ,
f o l l o w i n g o n f r o m t h e d i s c u s s i o n i n S e c t i o n 2 , f o r a s t a b l e m i n i m u m w e s t u d y p o t e n t i a l s
o f t h e f o r m
V
b u l k
r = M
4
x
+
N
x
; ; 0 ; 2 9
o r
V
b u l k
r = M
4
x
, x
; 0 : 3 0
A s w e d i s c u s s i n S e c t i o n 4 t h e d i m e n s i o n l e s s p a r a m e t e r i s a m e a s u r e o f t h e s i z e o f t h e
e e c t i v e b u l k c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t , a n d a c t s t o p r e v e n t t h e r a d i u s f r o m e x p a n d i n g
t o i n n i t y . I n c o n t r a s t , t h e N o r t e r m s p r e v e n t c o l l a p s e t o t h e U V , a n d a r i s e f r o m
e i t h e r i n t e r - b r a n e i n t e r a c t i o n s , o r f r o m t h e k i n e t i c e n e r g y o f t o p o l o g i c a l l y q u a n t i z e d
b u l k g a u g e o r s c a l a r e l d s . A s w e w i l l s o o n s e e , t o g e t a l a r g e r a d i u s r e q u i r e s a s m a l l
, a n d o r a l a r g e N o r .
R e q u i r i n g t h e c a n c e l l a t i o n o f t h e e e c t i v e 4 - d i m e n s i o n a l c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t a t
t h e m i n i m u m o f t h e s e p o t e n t i a l s l e a d s t o t h e e q u a t i o n s
V
0
b u l k
r
0
= 0 ;
V
b u l k
r
0
+ N
w a l l
f
4
= 0 : 3 1
H e r e w e h a v e a l l o w e d f o r t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e r e i s m o r e t h a n o n e w a l l o r b r a n e i n
t h e b u l k , N
w a l l
1 . T h e s e p r o v i d e l o c a l i z e d s o u r c e s o f c u r v a t u r e i n p r i n c i p l e o f e i t h e r
s i g n a s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 1 . 1 . H o w e v e r , f o r s i m p l i c i t y , w e h a v e a s s u m e d t h a t a l l t h e
b r a n e s h a v e b r o a d l y s i m i l a r s u c h e n e r g y d e n s i t i e s f
4
g r a v ; i
'
f
4
, a n d o f t h e s a m e s i g n .
M o r e g e n e r a l p o s s i b i l i t i e s c a n a l s o b e a n a l y z e d .
I n a n y c a s e , t h e e q u a t i o n s 3 1 c a n b e u s e d t o d e t e r m i n e r
0
a n d t h e r e q u i r e d v a l u e
o f N
w a l l
f
4
i n t e r m s o f t h e b a s i c m o d e l - d e p e n d e n t p a r a m e t e r s o f t h e p o t e n t i a l , ; ; ,
e t c . A l t e r n a t e l y , w e c a n n d t h e v a l u e s o f t h e s e p a r a m e t e r s n e c e s s a r y t o p r o d u c e a
2
I n t h i s p a p e r w e w i l l n o t e x p l i c i t l y c o n s i d e r p o t e n t i a l s o f t h e f o r m V
b u l k
r r
f l o g r , f o r s o m e
f u n c t i o n f , w i t h o n l y a s i n g l e s u c h t e r m d o m i n a n t l y c o n t r i b u t i n g t o t h e p o t e n t i a l e n e r g y n e a r t h e
e q u i l i b r i u m p o s i t i o n . S e e R e f . 3 f o r a d i s c u s s i o n o f s u c h p o t e n t i a l s .
1 0
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12/30
d e s i r e d i n t e r n a l r a d i u s x
0
= r
0
M
i n s t r i n g u n i t s . D e n i n g t h e u s e f u l d i m e n s i o n l e s s
c o m b i n a t i o n
N
w a l l
f
4
M
4
3 2
t h e s t a b i l i z i n g p a r a m e t e r s a n d N a r e d e t e r m i n e d t o b e :
= ,
+
1
x
0
N = ,
+
x
0
9
=
;
g i v e n
f
4
0 : 3 3
I n t h e c a s e o f t h e p o t e n t i a l E q . 3 0 ,
=
,
1
x
0
;
=
,
1
x
0
;
9
=
;
g i v e n
f
4
0 : 3 4
N o w , b y e q u i p a r t i t i o n , t h e s e c o n d d e r i v a t i v e o f t h e g e n e r a l p o t e n t i a l V r
b u l k
o f
E q s . 2 9 a n d 3 0 a r o u n d t h e m i n i m u m i s g i v e n b y V
0 0
V r
0
b u l k
= r
0
2
. I n a d d i t i o n
t h e m e a n b u l k v a l u e o f t h e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t i s d e n e d b y
V r
0
r
0
n
: 3 5
T h u s u s i n g t h e d e n i t i o n o f t h e c a n o n i c a l l y n o r m a l i z e d r a d i a l e x c i t a t i o n , E q . 2 6 , i t
i s e a s y t o s e e t h a t p h y s i c a l m a s s o f t h e r a d i a l e x c i t a t i o n s i s
m
2
r a d i a l
M
2 + n
: 3 6
B u t n o w w e c a n a p p l y t h e c u r v a t u r e r a d i u s b o u n d o n
, E q . 4 , t o n d
m
2
r a d i a l
M
2
M
M
p l
!
4 = n
N
w a l l
N
w a l l
r
2
n
3 7
i n d e p e n d e n t u p t o t h e O 1 c o e c i e n t s w e h a v e d r o p p e d o f a n y d e t a i l s o f t h e s t a b i l i z -
i n g p o t e n t i a l o r m e c h a n i s m . E v a l u a t i n g t h i s f o r t h e m o s t c o n s e r v a t i v e c a s e o f N
w a l l
= 1
a n d f o r t h e d e s i r e d v a l u e s o f M
l e a d s t o a m a s s f o r t h e r a d i a l e l d t h a t v a r i e s b e t w e e n
1 0
, 2
e V o r l e s s f o r n = 2 , t o 2 0 M e V o r l e s s f o r n = 6 . N o t e t h a t t h e r e a s o n w h y t h e
r a d i o n m a s s i s m u c h s m a l l e r t h a n M
i s t h a t
m u s t b e r e l a t i v e l y s m a l l t o a l l o w l a r g e
e x t r a d i m e n s i o n s .
S o , i n a l l t h e m o d e l s f o r r a d i u s s t a b i l i z a t i o n t h a t w e c o n s i d e r , t h e r a d i o n e l d w i l l
b e v e r y l i g h t w i t h m
2
r
, 2
n
, a t m o s t 2 0 M e V f o r n = 6 . T h u s i t i s n e c e s s a r y t o
1 1
8/3/2019 Nima Arkani-Hamed et al- Stabilization of Sub-Millimeter Dimensions: The New Guise of the Hierarchy Problem
13/30
s t u d y t h e m o d e l - i n d e p e n d e n t l i m i t s o n s u c h l i g h t r a d i o n s t o m a k e s u r e t h a t t h e e n t i r e
s c e n a r i o i s n o t e x c l u d e d . T o d o t h i s , w e h a v e t o d e t e r m i n e t h e c o u p l i n g o f r a d i o n s t o
S M e l d s o n o u r w a l l . A t r s t , i t s e e m s t h a t t h e r e i s n o d i r e c t c o u p l i n g o f t h e r a d i o n
e l d t o S M e l d s . T h e r e a s o n i s t h a t t h e c o u p l i n g s o f S M e l d s t o g r a v i t y a l l c o m e
f r o m t h e i n d u c e d m e t r i c o n o u r w a l l , w h i c h , i f t h e p o s s i b l e N a m b u - G o l d s t o n e s o n t h e
w a l l a r e t u r n e d o s o t h e w a l l i s a t i n t h e e x t r a d i m e n s i o n s , d e p e n d s o n g
b u t
n o t t h e r a d i o n e l d s g
m n
. H o w e v e r , t h i s a r g u m e n t i s n o t c o r r e c t a n d t h e r a d i o n e l d
d o e s i n d e e d c o u p l e t o S M e l d s a s w e n o w s h o w .
3
L e t u s g o t o t h e e e c t i v e t h e o r y a t
d i s t a n c e s l a r g e c o m p a r e d t o t h e s i z e o f t h e e x t r a d i m e n s i o n s . T h e e e c t i v e a c t i o n i s
Z
d
4
x
q
, d e t g
, M
2
p l
1 +
n
M
p l
+
R + g
@
@
, m
2
2
+ L
S M
; g
!
;
3 8
w h e r e a r e t h e S M e l d s . N o t i c e t h a t s i n c e t h e e e c t i v e 4 - d i m e n s i o n a l P l a n c k s c a l e
d e p e n d s o n t h e s i z e o f t h e e x t r a d i m e n s i o n s , t h e r e i s d e p e n d e n c e i n t h e c o e c i e n t o f
R , a n d t h a t t h e r e i s n o e x p l i c i t d e p e n d e n c e o n i n t h e S M p a r t o f t h e L a g r a n g i a n a s
e x p e c t e d . H o w e v e r , t h e r e i s k i n e t i c m i x i n g b e t w e e n o r d i n a r y g r a v i t y a n d t h e e l d ,
s p e c i c a l l y i f w e e x p a n d a r o u n d a a t m e t r i c g
=
+ h
, t h e r e i s a m i x i n g o f t h e
f o r m @
2
h
. T h u s , e v e n t h o u g h t h e r e i s n o d i r e c t c o u p l i n g o f t h e S M e l d s t o , o n e i s
i n d u c e d t h r o u g h t h i s m i x i n g . T h i s c a n b e s e e n m o r e c l e a r l y i f w e r s t p e r f o r m a W e y l
r e s c a l i n g t o r e m o v e t h e d e p e n d e n c e i n f r o n t o f t h e u s u a l g r a v i t o n k i n e t i c t e r m . T h e
c o u p l i n g t o S M e l d s t h e n c o m e s f r o m t h e s c a l e - i n v a r i a n c e v i o l a t i n g p a r t o f t h e S M
l a g r a n g i a n ; t h e l e a d i n g i n t e r a c t i o n i s
L
S M ,
=
M
p l
T
S M
: 3 9
N o t e t h a t i n t e r a c t i o n s a r e s u p p r e s s e d f o r r e l a t i v i s t i c p a r t i c l e s , w h i l e i t h a s c o m p a r a b l e
s t r e n g t h t o g r a v i t y f o r n o n - r e l a t i v i s t i c p a r t i c l e s . S u p p o s e t h a t i s m a s s l e s s . A s f a r a s
t h e l o n g - r a n g e f o r c e b e t w e e n n o n - r e l a t i v i s t i c p a r t i c l e s i s c o n c e r n e d , t h i s j u s t a m o u n t s
t o a r e d e n i t i o n o f N e w t o n ' s c o n s t a n t G
N
! G
N ; n o n , r e l :
, w h i l e t h e N e w t o n c o n s t a n t
g o v e r n i n g t h e i n t e r a c t i o n o f g r a v i t y w i t h l i g h t G
N ; r e l :
r e t a i n s t h e s t a n d a r d v a l u e G
N ; r e l :
=
G
N
. H o w e v e r , t h e s u c c e s s f u l p r e d i c t i o n s f o r t h e g r a v i t a t i o n a l d e e c t i o n o f l i g h t a s
w e l l a s B i g - B a n g N u c l e o s y n t h e s i s a s s u m e G
N ; n o n , r e l :
= G
N ; r e l :
a t l e a s t t o w i t h i n a
f e w p e r c e n t . M o r e o v e r , s i n c e t h e l o n g r a n g e f o r c e b e t w e e n n o n - r e l a t i v i s t i c m a s s e s h a s
b e e n m e a s u r e d d o w n t o 1 m m w i t h o u t r e v e a l i n g a n y d e v i a t i o n f r o m N e w t o n i a n
g r a v i t y , t h e m a s s o f m u s t b e p u s h e d u p a b o v e 1 m m
, 1
1 0
, 3
e V . T h i s m o d e l -
3
W e t h a n k R a m a n S u n d r u m a n d R i c c a r d o R a t t a z z i f o r s e t t i n g u s s t r a i g h t o n t h i s p o i n t .
1 2
8/3/2019 Nima Arkani-Hamed et al- Stabilization of Sub-Millimeter Dimensions: The New Guise of the Hierarchy Problem
14/30
i n d e p e n d e n t c o n s t r a i n t , w h i c h w a s a l s o d i s c u s s e d i n 1 1 , i s t h e m o s t i m p o r t a n t l i m i t
o n l i g h t r a d i o n s .
W e n o w m o v e o n t o c o n s i d e r o t h e r p o s s i b l e l i m i t s o n l i g h t r a d i o n s c o m i n g f r o m
c o s m o l o g y a n d a s t r o p h y s i c s . T h e r e a r e t w o c l a s s e s o f w o r r i e s . T h e r s t i s t h a t n o t
o n l y t h e r a d i o n b u t a l l o f i t s K a l u z a - K l e i n e x c i t a t i o n s c a n b e p r o d u c e d i n t h e e a r l y
u n i v e r s e a n d i n s t a r s , l e a d i n g t o s u c h w e l l - k n o w n p r o b l e m s a s t h e o v e r - e c i e n t c o o l i n g
o f s u p e r n o v a e . T h i s c o n c e r n i s i d e n t i c a l t o t h e p r o b l e m o f b u l k g r a v i t o n o v e r p r o d u c t i o n
w h i c h w a s s t u d i e d i n 3 , a n d f o u n d t o i n s o m e c a s e s n a m e l y n = 2 e x t r a d i m e n s i o n s
t o c o n s t r a i n b u t n o t r u l e o u t o u r s c e n a r i o . T h e s e c o n d c o n c e r n s o s c i l l a t i o n s o f t h e
r a d i o n e l d i t s e l f a r o u n d i t s m i n i m u m . T h e s e m a y o v e r c l o s e t h e u n i v e r s e , a n d f u r t h e r ,
s i n c e t h e s e o s c i l l a t i o n s c o r r e s p o n d t o c h a n g i n g t h e s i z e o f t h e e x t r a d i m e n s i o n s , t h e y
a l s o l e a d t o a n o s c i l l a t i n g 4 - d i m e n s i o n a l N e w t o n ' s c o n s t a n t , w h i c h c a n b e p r o b l e m a t i c .
4
T h e r e f o r e w e n o w b r i e y d i s c u s s s o m e a s p e c t s o f t h e c o s m o l o g y o f r a d i o n e l d s . W e
w i l l a d o p t h e r e t h e s a m e a t t i t u d e t a k e n i n 3 . T h e r e , l i m i t s w e r e p u t o n t h e h i g h e s t
t e m p e r a t u r e T
u p t o w h i c h t h e u n i v e r s e c o u l d b e c o n s i d e r e d n o r m a l " , t h a t i s , w i t h
t h e e x t r a d i m e n s i o n s s t a b i l i z e d a n d e n e r g y d e n s i t y d o m i n a t e d b y t h e r a d i a t i o n o n o u r
w a l l . S i n c e o n - t h e - w a l l i n t e r a c t i o n s c a n p r o d u c e g r a v i t o n s w h i c h e s c a p e i n t o t h e b u l k
a n d w h i c h i n t u r n c a n v a r i o u s l y a e c t t h e e x p a n s i o n r a t e o f t h e u n i v e r s e d u r i n g n u -
c l e o s y n t h e s i s , o v e r c l o s e t h e u n i v e r s e , a n d u n a c c e p t a b l y d i s t o r t t h e b a c k g r o u n d p h o t o n
s p e c t r u m w h e n t h e y d e c a y , t h e n o r m a l c y t e m p e r a t u r e T
w a s l i m i t e d t o f e w M e V t o
1 G e V f o r n = 2 , 6 . F o r t u n a t e l y , T
1 M e V i n a l l c a s e s w i t h n = 2 m a r g i n a l ,
s o t h a t t h e s u c c e s s f u l p r e d i c t i o n s o f p r i m o r d i a l n u c l e o s y n t h e s i s c a n s t i l l h o l d i n o u r
s c e n a r i o . I n o u r p r e s e n t a n a l y s i s o f r a d i o n c o s m o l o g y , w e w i l l b e c o n t e n t t o s h o w t h e
c o s m o l o g i c a l s a f e t y o f t h e s c e n a r i o a t t e m p e r a t u r e s
T
. N a m e l y , w e w i l l a s s u m e t h a t
t h e e a r l y u n i v e r s e a t t e m p e r a t u r e s
T
e v o l v e d i n t o a s t a t e w i t h t h e r a d i o n s t a b i l i z e d ,
w i t h t h e e n e r g y d e n s i t y s t o r e d i n r a d i o n o s c i l l a t i o n s s m a l l e n o u g h t o n e v e r o v e r c l o s e
t h e u n i v e r s e . W e w i l l s h o w t h a t t h i s i s e n o u g h t o g u a r a n t e e n e g l i g i b l e v a r i a t i o n s i n
G
N
, a n d t h a t s u b s e q u e n t i n t e r a c t i o n s w i t h S M e l d s o n t h e w a l l w i l l n o t s i g n i c a n t l y
e x c i t e t h e r a d i o n a w a y f r o m i t s m i n i m u m .
5
F i r s t , n o t e t h a t s i n c e T
T e V , t h e H u b b l e e x p a n s i o n r a t e a t a l l t i m e s o f i n t e r e s t
s a t i s e s H T
2
= M
p l
1 m m
, 1
, s o t h a t t h e e x p a n s i o n a r y f r i c t i o n " t e r m c a n n o t
4
W e r e m a r k t h a t h i g h - f r e q u e n c y o s c i l l a t i o n s o f G
N
o f s u c i e n t l y s m a l l a m p l i t u d e a r o u n d a m e a n
v a l u e e q u a l t o t h e s t a n d a r d v a l u e o f G
N
c a n b e a c c o m m o d a t e d , d e s p i t e t h e f a c t t h a t i n s u c h a c a s e
d G
N
= d t c a n b e s i g n i c a n t l y l a r g e r t h a n t h e u s u a l l y q u o t e d b o u n d s .
5
A f u l l d i s c u s s i o n o f t h e v e r y e a r l y u n i v e r s e c o s m o l o g y i n o u r s c e n a r i o , i n p a r t i c u l a r t h e w o r r y t h a t
a n e a r l y p e r i o d o f i n a t i o n c o u l d l e a d t o a f o r m o f t h e P o l o n y i p r o b l e m i n v o l v i n g w i l l a p p e a r i n
R e f . 1 6 .
1 3
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s t o p f r o m o s c i l l a t i n g . F u r t h e r , s i n c e i s s o l i g h t a n d g r a v i t a t i o n a l l y c o u p l e d , i t
i s e s s e n t i a l l y s t a b l e c o s m o l o g i c a l l y . T h e e n e r g y d e n s i t y
s t o r e d i n i t s o s c i l l a t i o n s
r e d s h i f t s a w a y a s 1 = R
3
, s o t h a t = T
3
i s i n v a r i a n t . I t i s e a s y t o s e e t h a t i n o r d e r f o r
t o n e v e r d o m i n a t e t h e e n e r g y d e n s i t y o f t h e u n i v e r s e , w e m u s t h a v e
T
3
c r i t : n o w
T
3
n o w
3 1 0
, 9
G e V : 4 0
U s i n g
m
2
2
, t h i s i s e n o u g h t o s h o w t h a t t h e v a r i a t i o n s i n G
N
a r e m i n i s c u l e a t a l l
e p o c h s T T
:
G
N
G
N
= n
r
r
0
M
p l
p
m
M
p l
1 0
, 1 2
: 4 1
F u r t h e r m o r e , i n t e r a c t i o n s w i t h t h e S M e l d s c a n n o t s i g n i c a n t l y e x c i t e t h e r a d i o n
i n t o o s c i l l a t i o n . N o t e t h a t i t i s o n l y t h e e x c i t a t i o n s o f a n d n o t i t s a s s o c i a t e d K K
m o d e s w h i c h w o u l d c o r r e s p o n d t o c h a n g i n g t h e r a d i u s o f t h e e x t r a d i m e n s i o n s a n d
h e n c e v a r y i n g G
N
o n c o s m o l o g i c a l s c a l e s . T h i s s i n g l e m o d e h a s c o u p l i n g s s u p p r e s s e d
b y t h e o r d i n a r y 4 - d i m e n s i o n a l P l a n c k s c a l e M
p l
, a n d i t i s t h e r e f o r e v e r y d i c u l t t o
e x c i t e . Q u a n t i t a t i v e l y , t h e r a t e a t w h i c h c o l l i s i o n s o f S M p a r t i c l e s d u m p e n e r g y i n t o
i s
_
T
7
M
2
p l
: 4 2
T h e t o t a l a m o u n t o f e n e r g y d u m p e d i n t o d u r i n g a H u b b l e t i m e i s t h e n
T
5
M
p l
; 4 3
l e a d i n g t o a n u n o b s e r v a b l y s m a l l v a r i a t i o n i n G
N
G
N
G
N
q
m
M
p l
T
5
1 T e V
4
M
p l
!
1 = 2
1 0
, 1 8
: 4 4
O f c o u r s e , t h i s i s h a r d l y s u r p r i s i n g . R e c a l l t h a t a t t e m p e r a t u r e s b e l o w T
, t h e e n e r g y
d u m p e d i n t o t h e b u l k g r a v i t o n s a n d t o g e t h e r w i t h a l l o f t h e i r K K e x c i t a t i o n s n e v e r
o v e r c l o s e t h e u n i v e r s e . E v e n i f a l l o f t h i s e n e r g y w a s s o m e h o w t r a n s f e r r e d i n t o m o v i n g
t h e s i n g l e m o d e , w e a l r e a d y f o u n d t h a t a s l o n g a s t h e e n e r g y d i d n o t o v e r c l o s e t h e
u n i v e r s e , t h e v a r i a t i o n s i n G
N
a r e n e g l i g i b l e .
S i m i l a r c o m m e n t s a p p l y t o r a d i o n e x c i t a t i o n i n s t a r s : t h e e n e r g y l o s t t o t h e p r o -
d u c t i o n o f t o g e t h e r w i t h a l l i t s K K e x c i t a t i o n s a r e s a f e f o r t h e s a m e r e a s o n a s b u l k
g r a v i t o n p r o d u c t i o n i s s a f e s e e R e f . 3 , w h i l e t h e s i n g l e m o d e i s t o o w e a k l y c o u p l e d
t o b e p e r t u r b e d e n o u g h f o r s i g n i c a n t v a r i a t i o n s o f G
N
t o b e o b s e r v a b l e . F o r i n s t a n c e ,
1 4
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16/30
i n t h e c o l l a p s e o f S N 1 9 8 7 A o v e r a t i m e t
S N
1 s , t h e v a r i a t i o n i n G
N
c a n b e e s t i m a t e d
a s a b o v e , y i e l d i n g
G
N
G
N
S N
= n
r
r
0
T
n + 7
S N
t
S N
M
n + 2
m
2
M
2
p l
!
1 = 2
1 ; 4 5
e v e n i n t h e w o r s t c a s e T
S N
1 0 0 M e V , n = 2 . T h u s t h e l o c a l v a r i a t i o n o f G
N
i s
h a r m l e s s f o r a n y n u m b e r o f e x t r a d i m e n s i o n s n = 2 , 6 .
4 R a d i u s S t a b i l i z a t i o n M e c h a n i s m s
W e n o w t u r n t o s o m e e x p l i c i t m e c h a n i s m s b y w h i c h i n t e r n a l d i m e n s i o n s m a y b e s t a -
b i l i z e d a t a r a d i u s m u c h g r e a t e r t h a n t h e f u n d a m e n t a l P l a n c k l e n g t h M
, 1
. T w o
i s s u e s m u s t b e d i s t i n g u i s h e d i n d i s c u s s i n g r a d i u s s t a b i l i z a t i o n : t h e m e c h a n i s m b y w h i c h
t h e i n t e r n a l d i m e n s i o n s a r e p r e v e n t e d f r o m c o l l a p s i n g t o 1 = M
, a n d t h e m e c h a n i s m b y
w h i c h t h e y a r e p r e v e n t e d f r o m e x p a n d i n g t o a s i z e m u c h l a r g e r t h a n a m i l l i m e t e r o r
f e r m i .
4 . 1 G e n e r a l i t i e s
T h e m o s t o b v i o u s i d e a f o r l i m i t i n g t h e e x p a n s i o n o f t h e i n t e r n a l d i m e n s i o n s i s t o
e m p l o y a c o m p o n e n t o f t h e p o t e n t i a l e n e r g y t h a t s c a l e s l i k e t h e v o l u m e o f t h e i n t e r n a l
s p a c e : V r
n
. S u c h a n e e c t i v e p o t e n t i a l e n e r g y d e n s i t y r e s u l t s f r o m a p o s i t i v e
b u l k c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t , w h i c h g i v e s V r r
n
a s s h o w n i n S e c t i o n 2 . A s
w e h a v e a l r e a d y d i s c u s s e d t h e s i z e o f t h i s b u l k c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t m u s t b e s m a l l .
H o w e v e r , w h i l e w e h a v e n o c o m p e l l i n g e x p l a n a t i o n f o r t h e s i z e o f t h i s b u l k c o s m o l o g i c a l
c o n s t a n t , i t i s i n t e r e s t i n g t h a t i t s s m a l l n e s s c a n a t l e a s t b e s t a b l e u n d e r r a d i a t i v e
c o r r e c t i o n s . S u p p o s e t h a t t h e s h o r t - d i s t a n c e t h e o r y o f g r a v i t y p e r h a p s s t r i n g t h e o r y
i s s u p e r s y m m e t r i c , w i t h t h e s u p e r s y m m e t r i e s b r o k e n o n l y o n t h e w a l l s a t a s c a l e
M
j
f j 1 T e V . I t i s e a s y t o s e e t h a t t h e B o s e - F e r m i s p l i t t i n g s i n d u c e d i n t h e b u l k
s u p e r g r a v i t y m u l t i p l e t a r e t h e n 2
j m
2
b o s e
, m
2
f e r m i
j
b u l k
N
w a l l
M
4
M
2
p l
4 6
s o t h a t t h e q u a n t u m c o r r e c t i o n s t o t h e b u l k c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t w o u l d b e o f o r d e r
j
q u a n t
j
j m
2
b o s e
, m
2
f e r m i
j
b u l k
4 + n = 2
: 4 7
1 5
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17/30
T h e r a t i o o f t h e q u a n t u m c o r r e c t i o n t o t h e t r e e v a l u e i s b o u n d e d a b o v e o n c e t h e
c u r v a t u r e c o n s t r a i n t i s u s e d , a n d w e n d
q u a n t
t r e e
M
M
p l
!
2 n + 4 = n
1 : 4 8
T h e r e f o r e , t h e s m a l l v a l u e o f t h e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t c a n b e t e c h n i c a l l y n a t u r a l .
W e n o w t u r n t o t h e w a y s i n w h i c h t h e r a d i i o f t h e e x t r a d i m e n s i o n s c a n b e s t o p p e d
f r o m c o l l a p s i n g t o s m a l l v a l u e s . W e w i l l s e e t h a t a w i d e r a n g e o f m e c h a n i s m s a r e i n
p r i n c i p l e p o s s i b l e , l e a d i n g t o a v a r i e t y o f p o w e r - l a w p o t e n t i a l s o f t h e f o r m 1 = r
`
f o r
v a r i o u s ` . O n e m i n i m a l p o s s i b i l i t y i s i f t h e c o m p a c t m a n i f o l d h a s p o s i t i v e c u r v a t u r e ,
i n w h i c h c a s e
V
b u l k
r r
n
, M
n + 2
r
n , 2
4 9
A s c a n r e a d i l y b e s e e n f r o m E q . 3 4 , t h i s w i l l r e q u i r e a l a r g e p o s i t i v e v a l u e f o r t h e
r a t i o = N
w a l l
f
4
= M
4
, w h i c h c a n a r i s e i f w e h a v e a c o n g u r a t i o n o f a l a r g e n u m b e r
N
w a l l
1 o f b r a n e s . T h i s p o s s i b l e b r a n e l a t t i c e c r y s t a l l i z a t i o n " , t o g e t h e r w i t h v a r i o u s
g e n e r a l i s a t i o n s , w i l l b e d i s c u s s e d i n t h e n e x t s u b s e c t i o n . A l t e r n a t e l y , i f w e w i s h t o
c o m p a c t i f y o n m a n i f o l d s w i t h n o c u r v a t u r e t o r i , t h e u l t r a v i o l e t s t a b i l i z a t i o n c a n b e
p r o v i d e d b y d y n a m i c s c o n s e r v i n g a t o p o l o g i c a l n u m b e r k , w h i c h w e w i l l e x p l o r e i n
S e c t i o n 4 . 3 .
4 . 2 R a d i u s S t a b i l i z a t i o n f r o m B r a n e L a t t i c e C r y s t a l l i z a t i o n
T h e l a r g e n e s s o f t h e i n t e r n a l d i m e n s i o n s c o m p a r e d t o 1 T e V
, 1
c a n a r i s e f r o m t h e
e x i s t e n c e o f a l a r g e c o n s e r v e d n u m b e r o f b r a n e s p o p u l a t i n g t h e b u l k . T h e r e c a n e x i s t
i n t e r - b r a n e f o r c e s w h i c h a c t l i k e t h e V a n d e r W a l l s a n d h a r d - c o r e f o r c e s b e t w e e n a t o m s
i n a c r y s t a l . T h e i n t e r - b r a n e d i s t a n c e i s s e t b y t h e s e f o r c e s , a n d m i g h t b e q u i t e s m a l l ,
b u t t h e s i z e o f t h e w h o l e i n t e r n a l s p a c e i s s e t b y t h e t o t a l n u m b e r o f b r a n e s , j u s t a s t h e
t o t a l e x t e n t o f a c r y s t a l i s s e t b y t h e n u m b e r o f a t o m s , r a t h e r t h a n j u s t t h e i n t e r - a t o m
d i s t a n c e w h i c h i s m u c h s m a l l e r .
I M i n i m a l s c e n a r i o .
W e w i l l m o t i v a t e s t a b i l i z i n g t h e e x t r a d i m e n s i o n s w i t h l a r g e b r a n e n u m b e r s b y
c o n s i d e r i n g t h e m i n i m a l e x a m p l e o f c o m p a c t m a n i f o l d s w i t h p o s i t i v e c u r v a t u r e ,
w h i c h t o g e t h e r w i t h a p o s i t i v e b u l k c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t g i v e a b u l k p o t e n t i a l
o f t h e f o r m
V
b u l k
= r
n
, M
n + 2
r
n , 2
5 0
1 6
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F o r n = 2 , t h e c u r v a t u r e c o n t r i b u t i o n t o t h e p o t e n t i a l i s c o n s t a n t a n d d o e s n o t
p l a y a n y r o l e i n r a d i u s s t a b i l i z a t i o n a l t h o u g h i t d o e s c o n t r i b u t e a n e x t r a t e r m
t o t h e e e c t i v e 4 - d c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t . F o r n 2 , h o w e v e r , t h i s p o t e n t i a l
h a s a s t a b l e m i n i m u m . F r o m E q . 3 4 , w e n d t h a t a l a r g e v a l u e f o r i s n e e d e d ,
M
r
0
n , 2
. F o r s i m p l i c i t y , w e w i l l a s s u m e t h a t a l l t h e b r a n e s a r e b r o a d l y
s i m i l a r w i t h
f
4
M
4
. T h e n , w e m u s t h a v e a l a r g e n u m b e r o f b r a n e s
N
w a l l
M
r
0
n , 2
M
p l
M
2 n , 2 = n
: 5 1
N u m e r i c a l l y t h i s v a r i e s f r o m N
w a l l
1 0
1 0
f o r n = 3 t o N
w a l l
1 0
2 0
f o r n = 6 .
A l t h o u g h t h i s i s a l a r g e n u m b e r i t i s n o t s o l a r g e a s t o l e a d t o p r o b l e m s . S p e c i f -
i c a l l y , w e n o t e t h a t t h e r e i s a c o n s t r a i n t o n t h e t o t a l n u m b e r o f b r a n e s t h a t c a n
p o p u l a t e t h e i n t e r n a l d i m e n s i o n s . I f t h e t r a n s v e r s e i n t e r - b r a n e s e p a r a t i o n b e -
c o m e s c o m p a r a b l e t o 1 = M
, t h e n t h e r e w i l l b e n e w l i g h t o p e n s t r i n g m o d e s t h a t
a r i s e f r o m s t r i n g s s t a r t i n g o n o n e b r a n e a n d e n d i n g o n a n e i g h b o r . T h u s t h e
m a x i m u m n u m b e r o f b r a n e s t h a t c a n o c c u p y t h e e x t r a d i m e n s i o n s i s
N
w a l l ; m a x
r
0
n
M
n
M
p l
M
2
1 0
3 2
; 5 2
w h i c h i s c o n s i d e r a b l y g r e a t e r t h a n t h e n e c e s s a r y n u m b e r E q . 5 1 .
H o w e v e r , w i t h s u c h a l a r g e n u m b e r o f b r a n e s , i t i s o b v i o u s l y i m p o r t a n t t o e n s u r e
t h a t s o m e d y n a m i c s f o r c e s t h e m t o s p r e a d o u t i n t h e b u l k a n d n o t s i t o n t o p o f
e a c h o t h e r . T h i s c a n e a s i l y b e a r r a n g e d . W e k n o w t h a t t h e r e i s a g r a v i t a t i o n a l
f o r c e b e t w e e n t h e b r a n e s , a n d i f t h e y c a r r y a n y s o r t o f l i k e s i g n g a u g e c h a r g e
t h e r e w i l l a l s o b e a n o p p o s i t e g a u g e f o r c e b e t w e e n t h e m w i t h e x a c t l y t h e s a m e
d e p e n d e n c e o n i n t e r - b r a n e s e p a r a t i o n . I n f a c t , w h e n t h e c h a r g e d e n s i t y i s
e q u a l t o t h e t e n s i o n T , t h e r e c a n b e a n e x a c t c a n c e l l a t i o n o f t h e i n t e r - b r a n e
f o r c e s . T h i s i s w h a t h a p p e n s i n t h e c a s e o f s u p e r s y m m e t r i c D - b r a n e s . P o l c h i n s k i ' s
n o w c l a s s i c c a l c u l a t i o n o f t h e f o r c e s b e t w e e n D - b r a n e s d e m o n s t r a t e d t h a t t h e
f o r c e s d u e t o R a m o n d - R a m o n d g a u g e e l d s p r e c i s e l y c a n c e l l e d t h e g r a v i t a t i o n a l
f o r c e s i n t h e s u p e r s y m m e t r i c l i m i t , a s t h e y m u s t f o r a p a i r o f B P S s t a t e s , w h i c h
s a t i s f y T = . I f t h e r e i s a m i s m a t c h b e t w e e n t h e c h a r g e a n d t e n s i o n o f t h e
b r a n e s , t h e n e t f o r c e b e t w e e n a p a i r o f b r a n e s c a n b e m a d e r e p u l s i v e , f o r c i n g
t h e m t o s p r e a d o u t u n i f o r m l y i n t h e b u l k . O f c o u r s e , w e m u s t n o w t a k e t h e
i n t e r - b r a n e p o t e n t i a l e n e r g y i n t o a c c o u n t i n t h e e n e r g e t i c s , b u t i n t e r e s t i n g l y , t h i s
e e c t i s p a r a m e t r i c a l l y o f t h e s a m e o r d e r a s t h e t e r m s i n t h e p o t e n t i a l w e a l r e a d y
1 7
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h a v e . B y G a u s s ' l a w , t h e p o t e n t i a l b e t w e e n b r a n e s f a l l s o w i t h t h e i n t e r - b r a n e
s e p a r a t i o n r a c c o r d i n g t o t h e c o u l o m b p o t e n t i a l i n t h e t r a n s v e r s e n d i m e n s i o n s
V
i n t :
r
2
= r
n , 2
.
I f w e r s t i m a g i n e j u s t t w o 3 - b r a n e s p o p u l a t i n g t h e i n t e r n a l s p a c e t h e p o t e n t i a l
e n e r g y v a r i e s a s
V r M
4
1
r M
n , 2
: 5 3
H e r e w e h a v e t a k e n t h e e e c t i v e n e t c h a r g e d e n s i t y o n t h e w a l l t o b e M
4
, a s
w e w o u l d e x p e c t i f s u p e r s y m m e t r y i s b r o k e n a t a s c a l e j f j M
. T h e i n t e r -
b r a n e d i s t a n c e c a n b e e s t i m a t e d f r o m b a l a n c i n g t h i s r e p u l s i v e f o r c e a g a i n s t a
b u l k c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t t e r m V r
r
n
. I m p o s i n g t h e c a n c e l l a t i o n o f t h e
4 - d i m e n s i o n a l c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t E q . 5 , l e a d s t o a n i n t e r - b r a n e s e p a r a t i o n
r
I
r
I
n , 2
M
4
M
n + 2
1 T e V
2 , n
: 5 4
W h a t h a p p e n s w h e n N
w a l l
b r a n e s o c c u p y t h e i n t e r n a l s p a c e ? O n e m a y t h i n k t h a t
t h e s i z e o f t h e i n t e r n a l v o l u m e w i l l j u s t b e N
w a l l
t i m e s l a r g e r t h a n r
I
n
c a l c u l a t e d
a b o v e . H o w e v e r t h i s i s i n c o r r e c t . T h e r e a s o n s f o r t h i s a r e t w o - f o l d . T h e r s t i s
t h a t , u n l i k e i n a n o r m a l c r y s t a l , t h e r e i s n o n e c e s s i t y t h a t t h e i n t e r - b r a n e f o r c e s
a r e s c r e e n e d . T h u s t h e t o t a l p o t e n t i a l e n e r g y d e n s i t y d u e t o t h e i n t e r - b r a n e
f o r c e s i n c r e a s e s a s N
2
w a l l
, j u s t a s t h e g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l i n a s t a r , a n d t h e U V
s t a b i l i z i n g p a r t o f t h e p o t e n t i a l h a s t h e f o r m
V M
4
N
2
w a l l
1
r M
n , 2
; 5 5
w h e r e r i s n o w r o u g h l y t h e t o t a l e x t e n t o f t h e s y s t e m . T h e s e c o n d r e a s o n w h y
t h e t w o b r a n e c a l c u l a t i o n i s m o d i e d i s t h a t t h e e q u a t i o n f o r t h e c a n c e l l a t i o n
o f t h e e e c t i v e 4 - d i m e n s i o n a l I R c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t i s m o d i e d t o E q . 1 0 .
P u t t i n g a l l p a r t s o f t h e p o t e n t i a l t o g e t h e r , w e h a v e
V r
t o t
M
4
N
2
w a l l
1
r M
n , 2
+
r
n
+ N
w a l l
f
4
: 5 6
S o l v i n g f o r t h e s i z e o f t h e s y s t e m g i v e s ,
r
0
N
2
w a l l
M
n , 6
!
1 = 2 n , 1
: 5 7
1 8
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H o w e v e r
c a n b e e l i m i n a t e d b y i m p o s i n g E q . 1 0 , w i t h j f j M
l e a d i n g t o
M
n + 4
N
2 = n , 2
w a l l
; 5 8
a n d t h u s t h e n a l e x p r e s s i o n f o r r
0
r
0
N
1 = n , 2
w a l l
M
: 5 9
U t i l i z i n g t h e f o r m u l a f o r t h e r e q u i r e d s i z e o f t h e e x t r a d i m e n s i o n s , r
0
n
M
n + 2
=
M
2
p l
, w e c a n s o l v e f o r t h e n e c e s s a r y b r a n e - n u m b e r
N
w a l l
M
p l
M
2 n , 2 = n
; 6 0
e x a c t l y t h e e x p r e s s i o n E q . 5 1 .
N o t i c e t h a t i f o n e s u b s t i t u t e s t h i s v a l u e b a c k i n t o t h e e q u a t i o n f o r
, E q . 5 8 ,
t h e n o n e n d s
M
n + 4
M
M
p l
!
4 = n
; 6 1
w h i c h i s s m a l l e r t h a n t h e n a i v e v a l u e M
n + 4
, s h o w i n g t h a t i n d e e d o n e c o m p o n e n t
o f t h e h i e r a r c h y p r o b l e m i n t h i s f r a m e w o r k i s t h e b u l k c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t
p r o b l e m .
A s d i s c u s s e d a b o v e , t h e r e i s o n e o t h e r r e q u i r e m e n t t h a t n e e d s t o b e s a t i s e d .
T h e m e a n c u r v a t u r e r a d i u s o n s c a l e s s m a l l e r t h a n t h e i n t e r - b r a n e s e p a r a t i o n
n e e d s t o b e l a r g e r t h a n t h e i n t e r - b r a n e s e p a r a t i o n i t s e l f . T h e a v e r a g e i n t e r - b r a n e
t r a n s v e r s e s e p a r a t i o n i s n o w
r
I
r
0
n
N
w a l l
!
1 = n
1
M
M
p l
M
4 = n
2
; 6 2
w h i l s t t h e c u r v a t u r e r a d i u s r e s u l t i n g f r o m o u r p o t e n t i a l i s
L
c u r v
1
M
M
p l
M
2 = n
: 6 3
F o r t h e c a s e o f n 2 w h e r e t h e a b o v e a n a l y s i s a p p l i e s , o n e a l w a y s h a s L
c u r v
r
I
a s r e q u i r e d .
I n a d d i t i o n i f t h e s u p e r s y m m e t r i e s o f s t r i n g t h e o r y a r e b r o k e n o n l y b y o n - t h e - w a l l
d y n a m i c s a t a s c a l e M
1 T e V , t h e n t h e m a s s s p l i t t i n g s s o i n d u c e d a m o n g
1 9
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21/30
t h e b u l k s u p e r g r a v i t y m u l t i p l e t a r e M
2
= M
p l
p
N
w a l l
, a n d a b u l k c o s m o l o g i c a l
c o n s t a n t o f o r d e r M
2
= M
p l
p
N
w a l l
4 + n
a r i s e s . T h e n t h e r a t i o o f t h i s n e w
t e r m t o t h e
t e r m i s
q u a n t :
t r e e
M
M
p l
!
2 n + 4 = n
1 : 6 4
T h e r e f o r e t h e v a l u e o f t h e b u l k c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t c a n s t i l l b e t e c h n i c a l l y
n a t u r a l i n t h e c a s e o f a l a r g e n u m b e r , N
w a l l
, o f b r a n e s .
I n s u m m a r y , w e h a v e m a d e a n u m b e r o f s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n s w h i c h c a n b e
q u e s t i o n e d a n d m o d i e d . T h e s e i n c l u d e t h e s i m p l i c a t i o n t h a t a l l 3 - b r a n e s a r e
b r o a d l y s i m i l a r a n d h a v e t e n s i o n s a n d c h a r g e d e n s i t i e s 1 T e V
4
w i t h a m i s -
m a t c h t h a t i s a l s o o f o r d e r 1 T e V
4
. N e v e r t h e l e s s , i t i s e n c o u r a g i n g t h a t t h e
l a r g e - b r a n e - n u m b e r s c e n a r i o f o r s t a b i l i z i n g t h e v o l u m e o f t h e i n t e r n a l d i m e n s i o n s
a t l a r g e v a l u e s p a s s e s t h e r s t t e s t s .
I I N o n - e x t e n s i v e B u l k C o s m o l o g i c a l C o n s t a n t .
T h e r e i s a n o t h e r i n t e r e s t i n g p o s s i b i l i t y w h e r e t h e s i z e o f t h e e x t r a d i m e n s i o n s i s
c o m p l e t e l y e x p l a i n e d b y a l a r g e b r a n e n u m b e r w i t h o u t n e e d i n g t o i n v o k e a n o t h e r
s m a l l p a r a m e t e r t h e s m a l l b u l k c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t i n t h e a b o v e a n a l y s i s .
S u p p o s e t h a t t h e t h e I R p o t e n t i a l i s r
a
, f o r a n w i t h t h e n o r m a l r
n
t e r m
b e i n g s u b - d o m i n a n t . T h e b u l k p o t e n t i a l t h e n r e a d s
V r
b u l k
N
2
w a l l
M
n , 6
r
n , 2
+ r
a
6 5
W i t h t h i s p o t e n t i a l w e s t i l l n e e d t h e s a m e l a r g e b r a n e n u m b e r N
w a l l
M
r
0
n , 2
.
T h e s i z e o f i s t o b e
M
4 + a
M
M
p l
!
2 a + 2 , n = n
: 6 6
F o r a = n , 2 , t h e r e q u i r e d v a l u e f o r a g r e e s w i t h t h e n a t u r a l v a l u e M
4 + a
.
T h i s i s i n t r i g u i n g , s i n c e a = n , 2 i s p r e c i s e l y t h e p o w e r a s s o c i a t e d w i t h c u r -
v a t u r e t e r m s ! O f c o u r s e , a c o m p a c t m a n i f o l d w i t h p o s i t i v e c u r v a t u r e m a k e s t h e
w r o n g - s i g n c o n t r i b u t i o n t o t h e p o t e n t i a l , b u t w e c a n c h o o s e t h e c o m p a c t m a n -
i f o l d t o h a v e n e g a t i v e c u r v a t u r e . F o r i n s t a n c e , g e n u s g 1 R i e m a n n s u r f a c e s
h a v e n e g a t i v e E u l e r c h a r a c t e r i s t i c a n d h e n c e n e g a t i v e a v e r a g e c u r v a t u r e b y t h e
G a u s s - B o n n e t t h e o r e m . I n o r d e r t o s t a b i l i z e m o r e t h a n t w o d i m e n s i o n s i n t h i s
w a y , w e c a n c o m p a c t i f y o n d i r e c t p r o d u c t s o f s u c h R i e m a n n s u r f a c e s , w h i c h w i l l
t h e n g i v e t h e c o r r e c t e x p o n e n t a n d t h e c o r r e c t s i g n i n t h e p o t e n t i a l o f E q . 6 5 .
2 0
8/3/2019 Nima Arkani-Hamed et al- Stabilization of Sub-Millimeter Dimensions: The New Guise of the Hierarchy Problem
22/30
I I I C a s i m i r f o r c e s b e t w e e n b r a n e s .
6
A n o t h e r p o t e n t i a l l y a t t r a c t i v e i d e a f o r U V s t a b i l i z a t i o n a t t h e q u a n t u m l e v e l i s
t o u s e t h e C a s i m i r f o r c e t o m a i n t a i n t h e s i z e o