Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni preddiplomski studij matematike

Nikolina Mihic

Numericke karakteristike slucajnevarijable

Zavrsni rad

Osijek, 2014.

Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni preddiplomski studij matematike

Nikolina Mihic

Numericke karakteristike slucajnevarijable

Zavrsni rad

Mentor:

doc.dr.sc. Dragana Jankov Masirevic

Osijek, 2014.

Sazetak

U ovom radu cemo se ukratko upoznati s pojmom slucajne varijable te njenim osnovnim

numerickim karakteristikama. Slucajna varijabla moze biti diskretna i neprekidna. Po-

sebno cemo se posvetiti matematickom ocekivanju i varijanci, odnosno prvom momentu i

drugom centralnom momentu. U radu cemo navesti i primjere kojima cemo poblize objas-

niti diskretne i neprekidne slucajne varijable te cemo definirati i izvesti njihove numericke

karakteristike.

Kljucne rijeci

Slucajna varijabla, diskretna slucajna varijabla, neprekidna slucajna varijabla, matematicko

ocekivanje, momenti, varijanca

Abstract

The main subject of this paper is random variables and it’s basic numerical characteristics.

Random variables could be discrete and continuous. Particularly, we are going to focus on

mathematical expectation (also called first moment) and variance (i.e. second central mo-

ment). Also several examples of discrete and continuous random variables and definitions of

their numerical characteristics will be given.

Key words

Random variable, discrete random variable, continuous random variable, mathematical expec-

tation, moments, variance

Sadrzaj

1 Uvod 1

2 Slucajna varijabla 2

2.1 Diskretna slucajna varijabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Neprekidna slucajna varijabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Numericke karakteristike 6

3.1 Diskretna slucajna varijabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1.1 Matematicko ocekivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1.2 Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.3 Varijanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.4 Primjeri nekih diskretnih slucajnih varijabli i njihove numericke ka-

rakteristike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Neprekidna slucajna varijabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1 Matematicko ocekivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.2 Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.3 Varijanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.4 Primjeri nekih neprekidnih slucajnih varijabli i njihove numericke ka-

rakteristike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Literatura 19

1 Uvod

Osnovni pojam u teoriji vjerojatnosti je vjerojatnosni prostor (Ω,F ,P). Vjerojat-

nosni prostor nam sluzi kao matematicki model pomocu kojeg proucavamo slucajne pokuse.

Cilj nam je svakom rezultatu slucajnog pokusa pridruziti nekakav realan broj, odnosno ne-

kakvu vrijednost. U tome ce nam pomoci realne funkcije na Ω koje cemo zvati slucajne

varijable.

Neka je R skup realnih brojeva. Sa BR oznacimo σ-algebru generiranu familijom svih

otvorenih skupova na R. Elemente σ-algebre BR cemo zvati Borelovi skupovi. Borelovi

skupovi su svi otvoreni skupovi, zatvoreni skupovi, intervali oblika⟨a, b

],[a, b

⟩, jednoclani

skupovi, prebrojivi podskupovi od R...Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor i X realna funkcija na Ω. Sa ω ∈ Ω cemo

oznaciti dogadaj. Tada je X(ω) realan broj pridruzen tom dogadaju. Mi zelimo izracunati

Pω ∈ Ω : X(ω) ∈ B

= P

X ∈ B

= P(X−1(B))

gdje je B ∈ BR. Da bi to bilo moguce, mora biti X−1(B) ∈ F , za svaki B ∈ BR.

Definicija 1. Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Funkcija X : Ω → R je slucajna

varijabla ako je X−1(B) ∈ F za proizvoljno B ∈ BR, tj. X−1(BR) ⊂ F .

Skup vrijednosti koje slucajna varijabla X moze poprimiti zove se slika slucajne varijable

i oznacava s R(X). S obzirom na sliku, slucajne varijable dijelimo na diskretne slucajne

varijable kojima je slika diskretan skup, tj. konacan ili prebrojiv skup i na neprekidne

slucajne varijable kojima slika nije diskretan nego neprebrojiv skup, npr. interval realnih

brojeva, unija disjunktnih intervala realnih brojeva, cijeli R, . . .Definiramo funkciju PX : BR →

[0, 1

]. Za neki B ∈ BR vrijedi

PX(B) = P (X−1(B)) = Pω ∈ Ω : X(ω) ∈ B

= P (X ∈ B).

PX zovemo vjerojatnost inducirana sa X, a (R,BR, PX) zovemo vjerojatnosni prostor indu-

ciran sa X.

Klasifikacija slucajnih varijabli provodi se i na osnovu oblika njihovih funkcija dis-

tribucija, takoder na diskretne i neprekidne. Takoder, funkcijom distribucije su opisana

vjerojatnosna svojstva slucajnih varijabli.

Definicija 2. Neka je X slucajna varijabla na Ω. Funkcija distribucije od X jest funkcija

FX : R →[0, 1

]definirana sa

FX(x) = Pω ∈ Ω : X(ω) ≤ x

= P

X ≤ x

, x ∈ R.

To je funkcija koja realnom broju x pridruzuje vjerojatnost da dana slucajna varijabla po-

primi realizaciju manju ili jednaku tom broju.

1

2 Slucajna varijabla

Kao sto smo i naveli u uvodnom poglavlju, postoje dva osnovna tipa slucajnih vari-

jabli, diskretne i neprekidne slucajne varijable. Nas zanima vjerojatnost nekog dogadaja, a

nacin na koji cemo racunati tu vjerojatnosti ovisi o tipu slucajne varijable. U nastavku cemo

definirati osnovna svojstva diskretne i neprekidne slucajne varijable, te navesti primjere.

2.1 Diskretna slucajna varijabla

Definicija 3. Slucajna varijabla X na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,P) je diskretna ako

postoji diskretan skup D ⊂ R takav da je PX ∈ D

=1.

Ako je skup svih vrijednosti od X diskretan, onda je X diskretna slucajna varijabla.

Diskretne slucajne varijable zadajemo tako da zadamo skup R(X) =x1, x2, . . .

i pripadne

vjerojatnosti pi = P (X = xi), i ∈ I, I ⊆ N sto zapisujemo

X =

(x1 x2 · · · xn · · ·p1 p2 · · · pn · · ·

).

Tu tablicu zovemo tablica distribucije, distribucija ili zakon razdiobe slucajne varijable X.

Napomena 1. Za niz realnih brojeva (pi, i ∈ I), I ⊆ N vrijedi:

1. 0 ≤ pi ≤ 1 , ∀ i ∈ I

2.∑i∈I

pi = 1

Takoder mora biti zadovoljeno:

3. xi = xj, ∀i, j ∈ I, i = j.

Dokaz.

X je slucajna varijabla sa slikom R(X)

1. P(

ω ∈ Ω : X(ω)∈ R(X)

) = P (Ω) = 1

0 ≤ pi = P (X = xi) ≤ 1,∀i ∈ I

2.∑i∈I

pi =∑i∈I

P (X = xi) =∑i∈I

P (ω ∈ Ω : X(ω) = xi

)

*= P (∪i∈I

ω ∈ Ω : X(ω) = xi

) = P (X ∈ R(X)) = P (Ω) = 1.

* = prema svojstvu σ - aditivnosti

2

Definicija 4. Neka je dana diskretna slucajna varijabla

X =

(x1 x2 · · · xn · · ·p1 p2 · · · pn · · ·

)tj. R(X) =

xi, i ∈ I

, I ⊆ N je dani skup vrijednosti slucajne varijable, a (pi, i ∈ I) niz

pripadnih vjerojatnosti. Tada za svaki x ∈ R vrijedi

F (x) = P (X ≤ x) =∑xi≤x

pi .

Funkcija distribucije diskretne slucajne varijable je stepenasta funkcija. Ona ima skokove u

tockama xi ∈ R(X), a na intervalima izmedu dva susjedna elementa je konstantna.

Definicija 5. Gustoca diskretne slucajne varijable X je funkcija fX : R → R definirana

formulom

fX(X) =

pi, x = xi

0, x = xi

, ∀i ∈ I, I ⊆ N.

Primjer 2.1. U kokosinjcu se nalaze 3 koke nesilice koje nezavisno jedna o drugoj dnevno

snesu po jedno jaje ili nijedno. Definirajte slucajnu varijablu koja kao realizacije poprima

broj snesenih jaja u jednom danu, te izracunajte vjerojatnost da je u jednom danu sneseno

barem 2 jaja.

Rjesenje primjera: Oznacimo s 1 dogadaj da je odredena koka snijela jaje i s 0 da nije.

Nadalje, X : Ω → R je slucajna varijabla gdje je skup elementarnih dogadaja

Ω =(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)

.

Kardinalni broj od Ω jednak je k(Ω) = 8. Slika od X je skup R(X) =0, 1, 2, 3

.

P (X = 0) = P ((0, 0, 0)

) = 1

8

P (X = 1) = P ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

) = 3

8

P (X = 2) = P ((1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)

) = 3

8

P (X = 3) = P ((1, 1, 1)

) = 1

8

A =sneseno je barem 2 jaja

=

snesena su 2 jaja ili snesena su 3 jaja

P (A) = P (X ≥ 2) = P (X = 2) + P (X = 3) = 3

8+ 1

8= 4

8= 1

2.

3

2.2 Neprekidna slucajna varijabla

Definicija 6. Neka je dan vjerojatnosni prostor (Ω,F ,P) i funkcija X : Ω → R za koju

vrijedi

1.ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x

=

X ≤ x

∈ F , ∀x ∈ R

2. postoji nenegativna realna funkcija realne varijable, f, tako da vrijedi

Pω ∈ Ω : X(ω) ≤ x

= P

X ≤ x

=

∫ x

−∞ f(t)dt.

Funkciju X zovemo neprekidna slucajna varijabla, a f : R → R je funkcija gustoce slucajne

varijable X.

Napomena 2. Za funkciju gustoce neprekidne slucajne varijable mora vrijediti:

1. f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R

2.∫ +∞−∞ f(x)dx = 1.

Dokaz.

1. Slijedi iz definicije

2.∫ +∞−∞ f(x)dx = limn→∞

∫ n

−∞ f(x)dx = limn→∞ P (X ≤ n)

= limn→∞ P (X ∈⟨−∞, n

])

*= PX(∪n∈N

⟨−∞, n])

= PX(R) = P (X ∈ R) = P (ω ∈ Ω : X(ω) ∈ R

) = P (Ω) = 1.

* = neprekidnost obzirom na rastucu familiju skupova

Definicija 7. Neka je X neprekidna slucajna varijabla s funkcijom gustoce f(x). Funkcija

distribucije slucajne varijable X je definirana s

F (x) := PX ≤ x

=

∫ x

−∞ f(t)dt, x ∈ R.

Funkcija distribucije neprekidne slucajne varijable je neprekidna.

4

Primjer 2.2. Provjerite je li funkcija f : R → R definirana izrazom

f(x) :=

cos x, x ∈

[−π

6, π6

]0, x /∈

[−π

6, π6

]funkcija gustoce neke neprekidne slucajne varijable.

Rjesenje primjera:

1. funkcija je nenegativna po definiciji

2. funkcija je normirana∞∫

−∞f(x)dx =

−π6∫

−∞f(x)dx+

π6∫

−π6

f(x)dx+∞∫π6

f(x)dx

=

π6∫

−π6

cosxdx = sin x|π6

−π6= 1

2− (−1

2) = 1.

5

3 Numericke karakteristike

Kako bismo olaksali racunanje vjerojatnosti elementarnog dogadaja nekog pokusa

definirali smo pojam slucajne varijable. Slucajnu varijablu zadajemo distribucijom koja

u pojedinim slucajevima moze biti komplicirana. Zbog toga zadajemo nekoliko karakte-

risticnih brojeva koji ce nam dodatno pomoci u opisivanju slucajne varijable. Takve brojeve

zovemo numericke karakteristike slucajne varijable. U ovom poglavlju cemo posebno opisati

numericke karakteristike za diskretnu slucajnu varijablu i neprekidnu slucajnu varijablu.

3.1 Diskretna slucajna varijabla

3.1.1 Matematicko ocekivanje

Primjer 3.1. (Pogadanje pikada)

Neka su m1,m2, . . . ,mn brojevi koje mozemo pogoditi prilikom gadanja pikada. Koji smo

broj pogodili, toliko smo bodova dobili.

Ω =m1, . . . ,mn

je nas skup elementarnih dogadaja

Neka je k broj pogadanja pikada. Sa ki oznacimo broj pojavljivanja broja mi u k pogodaka,

i = 1, . . . , n (k1 + . . .+ kn = k).

Ukupan osvojen iznos je k1m1 + . . .+ knmn, a prosjecan k1m1+...+knmn

k.

ki = frekvencija pojavljivanja broja mi, i=1,. . .,nkik= relativna frekvencija pojavljivanja iznosa mi

Ako pikado gadamo jako puno puta, prema statistickoj definiciji vjerojatnosti slijedikik≈ P (X = mi) = pi, i = 1, . . . , n.

Ocekivani broj bodova iznosi m1p1 + . . .+mnpn =n∑

i=0

mipi i taj broj zovemo matematicko

ocekivanje slucajne varijable X.

Neka je (Ω,P(Ω), P ) diskretan vjerojatnosni prostor, Ω =ω1, ω2, . . .

i X : Ω → R

slucajna varijabla na Ω.

Definicija 8. Ako red∑ω∈Ω

X(ω)P (ω) apsolutno konvergira onda njegovu sumu zovemo

matematicko ocekivanje ili ocekivanje slucajne varijable X i oznacavamo sa

E[X] =∑ω∈Ω

X(ω)P (ω).

Napomena 3. Ako je skup elementarnih dogadaja slucajne varijable konacan skup, onda

matematicko ocekivanje postoji.

Ako red∑ω∈Ω

X(ω)P (ω) divergira onda slucajna varijabla nema matematicko ocekivanje.

6

Za bolje razumijevanje sljedeceg teorema potreban nam je pojam particije skupa, pa

cemo ga prvo definirati.

Definicija 9. Neka je S dani skup. Svaki podskup P od P(S)\∅zovemo particijom skupa

S ako su ispunjena ova dva uvjeta:

1. unija svih elemenata iz P jednaka je skupu S

2. ako su A i B razliciti elementi iz P, tada je A ∩B = ∅.

Teorem 3.1. Neka je (Ω,P(Ω), P ) diskretan vjerojatnosni prostor i

X =

(x1 x2 · · · xn · · ·p1 p2 · · · pn · · ·

)slucajna varijabla na njemu. Redovi

∑ω∈Ω

X(ω)P (ω) i

∑i∈I

xipi , I ⊆ N istovremeno ili

apsolutno konvergiraju ili apsolutno divergiraju. U slucaju apsolutne konvergencije sume su

im jednake, tj. vrijedi

E[X] =∑ω∈Ω

X(ω)P (ω) =

∑i∈I

xipi.

Dokaz.

R(X) =x1, . . . , xn, . . .

je slika slucajne varijable.

X = xi

=

ω ∈ Ω : X(ω) = xi

X = xi

, i ∈ I

ta familija je jedna particija skupa Ω

∑ω∈Ω

X(ω)P (ω) =

∑i∈I

∑X(ω)=xi

X(ω)P (ω)

=∑i∈I

∑X(ω)=xi

xiP (ω) =

∑i∈I

xi

∑X(ω)=xi

P (ω) =

∑i∈I

xipi.

Teorem 3.2. Neka je (Ω,P(Ω), P ) diskretan vjerojatnosni prostor,

X =

(x1 x2 · · · xn · · ·p1 p2 · · · pn · · ·

)slucajna varijabla na njemu i g : R(X) → R funkcija takva da postoji E[g(X)], tj. da red∑ω∈Ω

g(X(ω))P (ω) apsolutno konvergira. Tada vrijedi da je E[g(X)] =

∑i∈I

g(xi)pi, I ⊆ N.

Dokaz.

E[g(X)] =∑ω∈Ω

g(X(ω))P (ω) =

∑i∈I

∑X(ω)=xi

g(X(ω))P (ω)=

∑i∈I

∑X(ω)=xi

g(xi)P (ω)

=∑i∈I

g(xi)∑

X(ω)=xi

P (ω) =

∑i∈I

g(xi)pi.

7

Napomena 4. Ako znamo distribuciju slucajne varijable X pomocu nje mozemo pronaci

ocekivanje slucajne varijable g(X).

E[g(X)] =∑x∈R

g(x)fX(x).

Svojstva matematickog ocekivanja

Neka je X slucajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω,P(Ω), P ). Tada vrijedi:

1. pozitivnost matematickog ocekivanja

Ako vrijedi X(ω) ≥ 0, ∀ω ∈ Ω slijedi E[X] ≥ 0

Dokaz.

E[X]*=

∑ω∈Ω

X(ω)P (ω) ≥ 0.

2. monotonost

Neka su X i Y slucajne varijable na istom vjerojatnosom prostoru (Ω,P(Ω), P ) td. je

X(ω) ≤ Y (ω),∀ω ∈ Ω. Tada je E[X] ≤ E[Y ].

Dokaz.

E[X]*=

∑ω∈Ω

X(ω)P (ω) ≤

∑ω∈Ω

Y (ω)P (ω)

*= E[Y ].

3. E[aX + b] = aE[X] + b, a, b ∈ R.Dokaz.

g : R → R, g(t) = at+ b, tj. g(X) = aX + b.

E[aX + b] = E[g(X)] =∑i∈I

g(xi)pi =∑i∈I

(axi + b)pi = a∑i∈I

xipi + b∑i∈I

pi = aE[X] + b · 1

= aE[X] + b.

4. E[c] = c, c ∈ R.Dokaz.

Proizvoljnu konstantu mozemo smatrati slucajnom varijablom, koja vrijednost poprima

s vjerojatnoscu 1, pa je tvrdnja ocita.

*= iz definicije

8

Teorem 3.3. Neka su X i Y slucajne varijable na vjerojatnosnom prostoru (Ω,P(Ω), P ) td.

postoje E[X] i E[Y ]. Tada, za svaki α, β ∈ R postoji ocekivanje slucajne varijable αX +βY

i vrijedi E[αX + βY ] = αE[X] + βE[Y ].

Dokaz.

E[X] i E[Y ] postoje, pa redovi∑ω∈Ω

X(ω)P (ω) i

∑ω∈Ω

Y (ω)P (ω) apsolutno konvergiraju.

E[αX + βY ]*=

∑ω∈Ω

(αX(ω) + βY (ω))P (ω) = α

∑ω∈Ω

X(ω)P (ω) + β

∑ω∈Ω

Y (ω)P (ω)

= αE[X] + βE[Y ].*= iz definicije

3.1.2 Momenti

Definicija 10. Neka je X slucajna varijabla na diskretnom vjerojatnosnom prostoru (Ω,P(Ω), P )

dana tablicom distribucije

X =

(x1 x2 · · · xn · · ·p1 p2 · · · pn · · ·

), r ∈ R, r > 0.

r-ti moment αr od X definira se sa αr = E[Xr] ako ocekivanje E[Xr] postoji. Tada je

αr =∑i∈I

xripi, I ⊆ N.

r-ti apsolutni moment βr od X se definira sa βr = E[|X|r] ako postoji E[|X|r]. Tada

je βr =∑i∈I

|ai|rpi, I ⊆ N.

r-ti centralni moment slucajne varijable X je broj E[(X − E[X])r] ako postoje E[X] i

E[(X − E[X])r].

Napomena 5. Ocekivanje slucajne varijable je njen prvi moment.

Napomena 6. X ima r-ti moment ako i samo ako X ima r-ti apsolutni moment.

3.1.3 Varijanca

Definicija 11. Neka je X slucajna varijabla i neka E[X] postoji. Varijanca od X definira

se sa V arX = E[(X − E[X])2] ako ocekivanje E[(X − E[X])2] postoji.

Napomena 7. Varijanca slucajne varijable je njen drugi centralni moment.

Definicija 12. Neka slucajna varijabla X ima varijancu. Standardna devijacija σX od X je

kvadratni korijen iz varijance, tj. σX =√V arX > 0.

9

Propozicija 3.4. Neka je r > 0 i neka je E[|X|r] < ∞. Tada je E[|X|s] < ∞ za svaki

s ∈ R td. 0 < s < r.

Dokaz.

Ocigledno je |x|s ≤ 1 + |x|r, za svaki x ∈ R, pa je i |X|s ≤ 1 + |X|r. Zbog monotonosti i

linearnosti matematickog ocekivanja slijedi

|X|s ≤ 1 + |X|r

E[|X|s] ≤ E[1 + |X|r]E[|X|s] ≤ 1 + E[|X|r] < ∞.

Svojstva varijance

Neka je X slucajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω,P(Ω), P ) koja ima varijancu.

Tada vrijedi:

1. V arX = E[X2]− (E[X])2.

Dokaz.

V arX = E[(X−E[X])2] = E[X2−2XE[X]+(E[X])2] = E[X2]−2E[X]E[X]+(E[X])2

= E[X2]− 2(E[X])2 + (E[X])2 = E[X2]− (E[X])2.

2. Neka su a, b ∈ R. Tada je V ar(aX + b) = a2V arX.

Dokaz.

V ar(aX + b) = E[((aX + b)− E[aX + b])2] = E[(aX + b− aE[X]− b)2]

= E[a2(X − E[X])2] = a2E[(X − E[X])2] = a2V arX.

Teorem 3.5. Varijanca slucajne varijable X jednaka je nuli ako i samo ako je X = c, c ∈ Rs vjerojatnoscu 1, tj. X = c gotovo sigurno.

Dokaz.

⇐=

X =

(c1

), tj. X = c gotovo sigurno

E[X] = c · 1 = c

X2 =

(c2

1

), E[X2] = c2 · 1 = c2

V arX = E[X2]− (E[X])2 = c2 − c2 = 0

=⇒V arX = 0, tj.

E[(X − E[X])2] = 0 i (X − E[X])2 ≥ 0, pa je

(X − E[X])2 = 0 gotovo sigurno

X − E[X] = 0 gotovo sigurno

X = E[X] = c gotovo sigurno.

10

Radi lakseg razumijevanja iduceg teorema, prvo cemo definirati sto je to nezavisnost

slucajnih varijabli.

Definicija 13. Neka su X1, . . . , Xn slucajne varijable na istom vjerojatnosnom prostoru

(Ω,F , P ). Kazemo da su X1, . . . , Xn nezavisne ako za proizvoljne Bi ∈ F , i = 1, . . . , n

vrijedi

PX1 ∈ B1, . . . , Xn ∈ Bn

= P (

n∩i=1

Xi ∈ Bi

) =

n∏i=1

PXi ∈ Bi

.

Teorem 3.6. Neka su X1, . . . , Xn nezavisne slucajne varijable i neka postoji V arXi,

i = 1, . . . , n. Tada je V ar(n∑

i=1

Xi) =n∑

i=1

V arXi.

Dokaz.

V ar(n∑

i=1

Xi) = E[(n∑

i=1

Xi −n∑

i=1

E[Xi])2]

= E[n∑

i=1

(Xi − E[Xi])2] = E[

n∑i,j=1

(Xi − E[Xi])(Xj − E[Xj])]

Za i = j zbog nezavisnosti vrijedi E[(Xi − E[Xi])(Xj − E[Xj])] = 0 pa imamo

V ar(n∑

i=1

Xi) =n∑

i=1

E[(Xi − E[Xi])2] =

n∑i=1

V arXi.

3.1.4 Primjeri nekih diskretnih slucajnih varijabli i njihove numericke karakte-ristike

Primjer 3.2. (Bernoullijeva slucajna varijabla)

Neka je X slucajna varijabla koja moze poprimiti samo 2 vrijednosti, odnosno slika slucajne

varijable je R(X) =0, 1

. Takvu slucajnu varijablu koristimo kada zelimo modelirati

dogadaje koji imaju samo 2 moguca ishoda kao sto su uspjeh/neuspjeh, dobitak/gubitak,

prolaz/pad, . . . . Za uspjeh koristimo oznaku 1, a za neuspjeh je oznaka 0. Njena tablica

distribucije ima oblik

X =

(0 1q p

), p ∈ (0, 1), q = 1− p.

Izracunajmo matematicko ocekivanje i varijancu.

E[X] = 0 · q + 1 · p = p

X2 =

(0 1q p

), E[X2] = p

V arX = E[X2]− (E[X])2 = p− p2 = p(1− p)

Napomena 8. X i X2 su jednako distribuirane slucajne varijable.

11

Na primjer, ovu distribuciju koristimo kada zelimo izracunati vjerojatnost da je pri bacanju

nepravilnog novcica pala glava.

1 - pala je glava

0 - palo je pismo

P (X = 1) = 23, P (X = 0) = 1

3

X=

(0 113

23

), E[X] = 0 · 1

3+ 1 · 2

3= 2

3.

Primjer 3.3. (Binomna distribucija)

Binomnu distribuciju koristimo kada imamo nezavisno ponavljanje nekog dogadaja n puta,

n ∈ N. Nas zanima broj uspjeha u tih n ponavljanja. Svako ponavljanje pokusa cemo

modelirati Bernoullijevom slucajnom varijablom P (X = uspjeh) = p, P (X = neuspjeh) =

q. Ako takav pokus ponovimo nezavisno n puta, n ∈ N, a zanima nas samo broj uspjeha

(broj uspjeha je iz skupa0, . . . , n

) onda cemo to modelirati Binomnom distribucijom.

Definicija 14. Neka je n ∈ N i p ∈ (0, 1). Za slucajnu varijablu X koja prima vrijednosti u

skupu R(X) =0, . . . , n

s vjerojatnostima

pi = P (X = i) =(ni

)pi(1− p)n−i

kazemo da ima binomnu distribuciju s parametrima n i p i pisemo X ∼ B(n, p). p oznacava

vjerojatnost uspjeha u jednom izvodenju pokusa, a n broj nezavisnih ponavljanja pokusa.

Provjerimo je li na ovaj nacin dobro definirana distribucija.

(pi, i ∈ I), I =0, . . . , n

1. pi ≥ 0,∀i ∈ I

2.n∑

i=0

pi =n∑

i=0

(ni

)pi(1− p)n−i =

n∑i=0

(ni

)piqn−i *

= (p+ q)n = 1n = 1.

*= binomna formula

Izracunajmo matematicko ocekivanje i varijancu binomne distribucije.

X =n∑

i=0

Yi, gdje su Yi nezavisne i Yi =

(0 1q p

), i = 0, . . . , n, q = 1− p.

Tada je E[Yi] = p, pa je E[X] =n∑

i=0

E[Yi] = np.

Posto su Yi i Y2i jednako distribuirane vrijedi da je E[Yi] = E[Y 2

i ] = p

V arYi = p− p2 = p(1− p)

V arX =n∑

i=0

V arYi = np(1− p) = npq.

12

Na primjer, ovu distribuciju cemo koristiti kada zelimo izracunati koliko ce se puta u 4

bacanja pravilne igrace kockice pojaviti jedinice.

X ∼ B(4, 16)

E[X] = np = 4 · 16= 2

3.

Primjer 3.4. (Diskretna uniformna distribucija ili empirijska distribucija)

Za slucajnu varijablu X cija je slika R(X) =x1, . . . , xn

⊂ R, a pripadni niz vjerojatnosti

je definiran kao pi = P (X = xi) = 1n, i = 1, . . . , n kazemo da ima diskretnu uniformnu

distribuciju.

Tablica distribucije diskretne uniformne slucajne varijable je X=

(x1 . . . xn1n

. . . 1n

).

Primjerice, ovom distribucijom se koristimo kada zelimo izracunati vjerojatnost da cemo pri

nasumicnom izvlacenju karte iz spila od 32 karte (pik, tref, herc, karo) izvuci pik.

X=

(p t h k14

14

14

14

)Izracunajmo matematicko ocekivanje i varijancu diskretne uniformne distribucije.

E[X] =n∑

i=1

xipi =n∑

i=1

xi1n= 1

n

n∑i=1

xi = xn, odnosno matematicko ocekivanje je aritmeticka

sredina elemenata iz slike slucajne varijable.

V arX = E[(X − E[X])2] =n∑

i=1

(xi − xn)2pi =

1n

n∑i=1

(xi − xn)2.

Napomena 9. Specijalno, ako je slucajna varijabla zadana s X =

(1 2 . . . n1n

1n

. . . 1n

), onda

vrijedi

E[X] =n∑

i=1

i 1n= n+1

2

V arX =n∑

i=1

i2 1n− (n+1

2)2 = n(n+1)(2n+1)

6n− (n+1

2)2 = n2−1

12.

Primjer 3.5. (Hipergeometrijska distribucija)

Neka skup koji promatramo ima N elemenata te unutar tog skupa imamo M elemenata tipa

1, te (N-M) elemenata tipa 2. Iz tog skupa izabiremo na slucajan nacin n < N elemenata,

bez vracanja prethodno izvucenih elemenata. Nas zanima broj izvucenih elemenata tipa 1.

Definicija 15. Diskretna slucajna varijabla X ima hipergeometrijsku distribuciju s parame-

trima N, M i n, N , M , n ∈ N ako prima vrijednosti iz skupa

R(X) =k ∈ N : max(0, n−N +M) ≤ k ≤ min(n, M)

s vjerojatnostima

pk = PX = k

=

(Mk )(N−Mn−k )

(Nn).

Provjerimo je li na ovaj nacin dobro definirana distribucija.

1) pk ≥ 0, k = 0, . . . , n

13

2)n∑

k=0

pk =n∑

k=0

(Mk )(N−Mn−k )

(Nn)= 1

(Nn)

n∑k=0

(Mk

)(N−Mn−k

)=

(Nn)(Nn)

= 1.

Izracunajmo matematicko ocekivanje i varijancu hipergeometrijske distribucije.

E[X] =n∑

k=0

k(Mk )(

N−Mn−k )

(Nn)= nM

N

n∑k=1

(M−1k−1 )(

N−Mn−k )

(N−1n−1)

= nMN

n−1∑j=0

(M−1j )(N−M

n−1−j)(N−1n−1)

= nMN

Koristili smo se jednakoscup∑

j=0

(aj

)(b

p−j

)=

(a+bp

), a, b ∈ N.

V arX = E[X2]− (E[X])2 = E[X(X − 1)] + E[X]− (E[X])2

E[X(X − 1)] =n∑

k=0

k(k − 1)(Mk )(

N−Mn−k )

(Nn)= n(n− 1)M(M−1)

N(N−1)

n∑k=2

(M−2k−2 )(

N−Mn−k )

(N−2n−2)

= n(n− 1)M(M−1)N(N−1)

n−2∑j=0

(M−2j )(N−M

n−2−j)(N−2n−2)

= n(n− 1)M(M−1)N(N−1)

V arX = n(n− 1)M(M−1)N(N−1)

+ nMN

− (nMN)2 = nM(N−M)(N−n)

N2(N−1).

Navedimo slucaj kada koristimo hipergeometrijsku distribuciju.

Imamo kutiju sa 10 kuglica, od kojih su 4 bijele. Na slucajan nacin izvlacimo 5 kuglica.

Slucajna varijabla X koja modelira broj bijelih kuglica od 5 izvucenih kuglica ima hiperge-

ometrijsku distribuciju s parametrima N=10, M=4 i n=5. Slika slucajne varijable X je skup

R(X) =0, 1, 2, 3, 4

. Izracunajmo matematicko ocekivanje ove slucajne varijable.

E[X] = n · MN

= 5 · 410

= 2.

14

3.2 Neprekidna slucajna varijabla

3.2.1 Matematicko ocekivanje

Definicija 16. Neka je X neprekidna slucajna varijabla s funkcijom gustoce f. Ako je∞∫

−∞|x|f(x)dx < ∞, onda kazemo da slucajna varijabla X ima matematicko ocekivanje i

broj

E[X] =∞∫

−∞xf(x)dx

zovemo matematicko ocekivanje ili ocekivanje slucajne varijable X.

Napomena 10. Svojstva spomenuta kod matematickog ocekivanja diskretne slucajne vari-

jable vrijede i kod matematickog ocekivanja neprekidne slucajne varijable.

3.2.2 Momenti

Definicija 17. Za r > 0 definiramo r − ti moment slucajne varijable X

µα = E[Xr

]=

∞∫−∞

xrf(x)dx

ukoliko E[X]postoji.

Definicija 18. Za r > 0 definiramo r − ti centralni moment

mr = E[(X − E[X])r

]=

∞∫−∞

(X − E[X])rf(x)dx

ako je integral konacan.

3.2.3 Varijanca

Definicija 19. Neka je X slucajna varijabla i neka E[X] postoji. Varijanca od X definira

se sa

V arX =∞∫

−∞(X − E[X])2f(x)dx.

Napomena 11. Svojstva varijance spomenuta kod diskretne slucajne varijable vrijede i kod

neprekidnih slucajnih varijabli.

15

3.2.4 Primjeri nekih neprekidnih slucajnih varijabli i njihove numericke karak-teristike

Primjer 3.6. (Uniformna distribucija)

Neprekidna slucajna varijabla ima uniformnu distribuciju na intervalu (a, b) i pisemo

X ∼ U(a, b) ako joj je funkcija gustoce dana izrazom

f(x) =

1

b−a, x ∈ (a, b)

0 , x /∈ (a, b).

Odredit cemo funkciju distribucije, matematicko ocekivanje i varijancu slucaje varijable X.

F (X) =

x∫−∞

f(t)dt =

0 , x ≤ ax∫a

1b−a

dt , a < x < b

b∫a

1b−a

dt , x ≥ b

=

0 , x ≤ ax−ab−a

, a < x < b

1 , x ≥ b.

E[X] =∞∫

−∞xf(x)dx =

b∫a

xb−a

dx = 1b−a

· x2

2|ba = 1

2(b−a)(b2 − a2) = 1

2(b−a)· (b− a)(b+ a) = a+b

2

E[X2] =∞∫

−∞x2f(x)dx =

b∫a

x2

b−adx = 1

b−a· x3

3|ba = a2+ab+b2

3

V arX = E[X2]− (E[X])2 = a2+ab+b2

3−(a+b2

)2= (a−b)

12

2

Primjer 3.7. (Eksponencijalna distribucija)

Za slucajnu varijablu koja modelira vrijeme do pojave nekog dogadaja kazemo da ima eks-

ponencijalnu distribuciju. Pretpostavljamo da je vjerojatnost pojavljivanja dogadaja u tom

intervalu proporcionalna duljini tog intervala.

Definicija 20. Neprekidna slucajna varijabla X ima eksponencijalnu distribcuiju s parame-

trom λ > 0 ako je njena funkcija gustoce dana izrazom

f(x) =

0 , x < 0λe−λx , x ≥ 0.

16

Odredimo funkciju distribucije, matematicko ocekivanje i varijancu.

F (X) =x∫

−∞f(t)dt = (∗)

1. x < 0

(∗) =x∫

−∞0dx = 0

2. x ≥ 0

(∗) =x∫0

λe−λtdt = −e−λt|x0 = 1− e−λx

pa je

F (X) =

0 , x < 01− e−λx , x ≥ 0.

E[X] =∞∫

−∞xf(x)dx =

∞∫0

xe−λxdx = −xe−λx|∞0 +∞∫0

e−λxdx = 0 + e−λx

−λ|∞0 = 1

λ

E[X2

]=

∞∫−∞

x2f(x)dx =∞∫0

x2λe−λxdx = · · · = 2λ2

V arX = E[X2

]−

(E[X]

)2= 2

λ2 − 1λ2 = 1

λ2 .

Primjer 3.8. (Normalna distribucija)

Slucajna varijabla sa normalnom distribucijom se koristi u slucaju kada imamo pokus ciji su

ishodi posljedica sume mnogo medusobno nezavisnih i jednako distribuiranih utjecaja.

Definicija 21. Za neprekidnu slucajnu varijablu kazemo da ima normalnu distribuciju s

parametrima µ i σ2 ako je njena funkcija gustoce dana izrazom

f(x) = 1σ√2πe

−(x−µ)2

2σ2 , x ∈ R

gdje su parametri µ ∈ R i σ ∈⟨0,+∞

⟩. Takvu distribuciju zovemo jos i Gaussova distribu-

cija i pisemo X ∼ N (µ, σ2).

Funkcija distribucije normalne slucajne varijable definirana je izrazom:

F (x) = 1σ√2π

x∫−∞

e−(t−µ)2

2σ2 dt, x ∈ R.

17

Odredimo matematicko ocekivanje i varijancu.

E[X] = 1σ√2π

∞∫−∞

xe−(x−µ)2

2σ2 dx primjenjujemo supstituciju t = x−µσ

= 1√2π

∞∫−∞

(σt+ µ)e−t2

2 dt = 1√2π

∞∫−∞

σte−t2

2 dt+ µ 1√2π

∞∫−∞

e−t2

2 dt*= µ

*= 1. funkcija g(x) = x 1√

2πe

−x2

2 je neparna pa vrijedi∞∫

−∞g(x)dx = 0

2.∞∫

−∞

1√2πe

−x2

2 dx = 1.

E[X2] = 1√2π

∞∫−∞

x2e−(x−µ)2

2σ2 dx = 1√2π

∞∫−∞

(σt+ µ)2e−t2

2 dt

= σ2√2π

∞∑−∞

t2e−t2

2 dt+ 2σµ√2π

∞∫−∞

te−t2

2 dt+ µ2√2π

∞∫−∞

e−t2

2 dt

= σ2√2π

∞∫−∞

t2e−t2

2 dt+ µ2

V arX = E[X2]− (E[X])2 = σ2√2π

∞∫−∞

t2e−t2

2 dt+ µ2 − µ2 = σ2√2π

∞∫−∞

t2e−t2

2 dt.

Taj integral cemo rijesiti parcijalnom integracijom:σ2√2π

∫t2e

−t2

2 dt = σ2√2π(te

−t2

2 +∫e

−t2

2 dt)

V arX = σ2√2π

∞∫−∞

t2e−t2

2 dt = 0 + σ2√2π

∞∫−∞

e−t2

2 dt = σ2.

Napomena 12. Normalna slucajna varijabla s parametrima µ = 0 i σ2 = 1 se zove jedinicna

normalna slucajna varijabla i oznacava se X ∼ N (0, 1). Njena funkcija gustoce je

f(x) = 1√2πe

−x2

2 , x ∈ R.Funkcija distribucije jedinicne normalne slucajne varijable definirana je izrazom:

F (x) = 1√2π

x∫−∞

e−t2

2 dt, x ∈ R.

Ocito je E[X] = 0 i V arX = 1.

18

4 Literatura

[1] M. Bensic, N. Suvak: Uvod u vjerojatnost i statistiku, Sveuciliste J.J. Strossmayera u

Osijeku, Odjel za matematiku, Osijek, 2012.

[2] N. Sarapa: Teorija vjerojatnosti, Skolska knjiga, Zagreb, 2002.

[3] http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/uvis/dodatni.html

[4] http://www.mathos.unios.hr/uvis/materijali.html

19