toanth.net

Võ Tiến Trình 1

Bài Hình Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Tỉnh Bắc Giang

Năm 2011 - 2012

Cho đường tròn tâm O, bán kính R và dây cung BC cố định có độ dài 3BC R . A là một điểm thay đổi trên cung lớn BC. Gọi E là điểm đối xứng với B qua AC và F là điểm đối xứng của C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K K A .

a) Chứng minh K luôn thuộc một đường tròn cố định. b) Xác định vị trí điểm K để tam giác KBC có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn

nhất đó theo R. c) Gọi H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng tam giác ABH đồng dạng với

tam giác AKC và đường thẳng AK luôn đi qua một điểm cố định.

Giải.

toanth.net

Võ Tiến Trình 2

a) Chứng minh K luôn thuộc một đường tròn cố định.

Vì 03 0 120BC R B C và 060BAC

Vì E đối xứng với B qua AC nên ta có BAE cân tại A và 02 120BAE BAC

030ABE AEB

Vì F đối xứng với C qua AB nên ta có CAF cân tại A và 02 120CAF BAC

030ACF AFC

Ta có tứ giác ABKE nội tiếp 030BKA BEA

Tứ giác ACKF nội tiếp 030AKC AFC

060BKC BKA AKC

Tứ giác BOCK có 0180BOC BKC tứ giác BOCK nội tiếp K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cố định.

b) Xác định vị trí K để diện tích tam giác KBC lớn nhất và tìm diện tích lớn nhất đó

Từ O vẽ đườn thẳng vuông góc với BC cắt BC tại M, cắt (O) tại N (N thuộc cung nhỏ BC) , cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác BOCK tại D.

Ta có : 060NOC ONC đều OC ON NC R và 2ROM

Vì N là điểm chinh giữa cung nhỏ BC NB NC NO R

N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BOCK và bán kính của đường tròn này là NO R

2OD R là đường kính của đường tròn (N) và 32

2 2R RND ON OM R

OD là đường kính và OD BC D là điểm chính giữa của cung lớn BC của (N)

Gọi K’ là chân đường cao hạ từ K xuông BC của tam giác KBC

toanth.net

Võ Tiến Trình 3

Ta có: 1 3'. . '2 2KBC

RS KK BC KK

Ta chứng minh: 3'2RKK MD

Ta có: 'KMK vuông tại M 'KK KM

Tam giác NKD cân tại N NDK NKD

Vì tia KN nằm giữa hai tia KD, KM NKD MKD

NDK MKD MK MD

Do đó 23 3 3 3 3. .

2 2 2 4KBCR R R RS KD

Vậy KBCS lớn nhất 23 3

4KBCRS K D hay K là điểm chính giữa cung lớn

BC của đường tròn (N).

c) Chứng minh rằng tam giác ABH đồng dạng với tam giác AKC và đường thẳng AK luôn đi qua một điểm cố định

Ta có : 060BKC

Tứ giác FACK nội tiếp 0 0 0 0180 180 120 60FKC FAC

, ,BKC KFC F B K thẳng hàng (vì KB, KF nằm cùng phía với KC)

Vì C, F đối xứng nhau qua AB ACB AFB

Ta có H là trực tâm tam giác ABC 0180ACB AHB

Tứ giác FACK nội tiếp 0180AFB ACK

AHB ACK

Xét tam giác AHB và tam giác ACK ta có:

toanth.net

Võ Tiến Trình 4

030ABH AKC và AHB ACK

Do đó tam giác AHB đồng dạng tam giác ACK.

BAH CAK

Ta có: 0 0

0 180 2 180902 2

ABC AOCCAK BAH ABC CAO

Vì AO, AK nằm cùng phía với AC nên suy ra A, O, K thẳng hàng hay AK luôn đi qua điểm cố định O.

Ta có thể chứng minh A, O, K thẳng hàng không cần thông qua tam giác tam AHB đồng dạng tam giác ACK như sau:

Ta có: 2FBC ABC AOC

Vì , ,F B K thẳng hàng 0180FBC CBK

Mà CBK COK (tứ giác BOCK nội tiếp)

0180 , ,AOC COK A O K thẳng hàng.