ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM THẾ ANH

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học Mã số: 62 46 01 06

(Dự thảo) TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội- 2014

Công trình được hoàn thành tại: ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN-ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đặng Hùng Thắng

Phản biện : .....................................................

Phản biện : .....................................................

Phản biện : .....................................................

Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng cấp ĐHQG chấm luận án tiến sĩ họp tại trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội

vào hồi ……..giờ……….ngày…….tháng……..năm ……….

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Trung tâm Thông tin-Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội

MỞ ĐẦU

Lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên, điểm bất động ngẫu nhiên đượcnghiên cứu từ những năm 1950 ở trường Prague bởi O. Hans, A. Spacekvà trong các công trình của A. T. Bharucha-Reid năm 1972, 1976. Mở rộngcủa bài toán điểm bất động ngẫu nhiên là bài toán điểm trùng nhau ngẫunhiên, được nghiên cứu đối với các toán tử đa trị, giữa cặp toán tử đơn trịvà đa trị.

Mở rộng các kết quả trên, ta xây dựng toán tử hoàn toàn ngẫu nhiênΦ từ LX0 (Ω) vào LX0 (Ω) mà hạn chế của Φ trên X trùng với toán tử ngẫunhiên f .

Nội dung của luận án bao gồm định lý về sự thác triển toán tử ngẫunhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, các kết quả nghiên cứu về điểmbất động, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Từ đóáp dụng để giải nghiệm phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Luậnán gồm 3 chương.

Chương 1 trình bày một cách tổng quan về các khái niệm và kết quả liênquan đến định lý điểm bất động và điểm trùng nhau ngẫu nhiên của cáctoán tử ngẫu nhiên. Các kết của chương này được trích dẫn và không cóchứng minh chi tiết.

Chương 2 trình bày khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, định lý tháctriển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, tính liên tụctheo xác suất của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Tiếp theo, chương nàytrình bày các kết quả nghiên cứu về điểm bất động của một số dạng toántử hoàn toàn ngẫu nhiên. Cuối cùng, một số kết quả về điểm trùng nhaucủa các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên được đề cập đến. Nội dung chính củachương này các định lý về sự tồn tại điểm bất động và điểm trùng nhau củatoán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.

Chương 3 trình bày kết quả nghiên cứu về ứng dụng các định lý điểmbất động, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Các ứngdụng đó là chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử hoàntoàn ngẫu nhiên và sử dụng định lý điểm trùng nhau ngẫu nhiên để chứngminh sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên. Nội dung chính của chương nàylà các định lý về sự tồn tại nghiệm phương trình toán tử hoàn toàn ngẫunhiên.

1

CHƯƠNG1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ TỔNG QUAN

1.1 Các khái niệm cơ bản

1.1.1 Định nghĩa. Ánh xạ f : Ω × X → Y được gọi là toán tử ngẫunhiên từ X vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ X ánh xạ ω 7→ f(ω, x) là mộtbiến ngẫu nhiên Y -giá trị xác định trên X. Toán tử ngẫu nhiên từ X vàoX được gọi là toán tử ngẫu nhiên trên X. Toán tử ngẫu nhiên từ X vàoR được gọi là phiếm hàm ngẫu nhiên.

1.1.2 Định nghĩa. Cho f, g : Ω×X → Y là hai toán tử ngẫu nhiên. Toántử ngẫu nhiên f được gọi là một bản sao của toán tử ngẫu nhiên g nếu vớimọi x ∈ X

f(ω, x) = g(ω, x) h.c.c., (1.1)

trong đó tập các ω mà f(ω, x) 6= g(ω, x) nói chung phụ thuộc vào x.

1.1.3 Định nghĩa. 1) Toán tử ngẫu nhiên f : Ω ×X → Y được gọi làđo được nếu ánh xạ f : Ω×X → Y là F × B(X)-đo được.

2) Toán tử ngẫu nhiên f : Ω×X → Y được gọi là liên tục nếu với mỗi ωquỹ đạo f(ω, .) của f là toán tử liên tục từ X vào Y .

3) Toán tử ngẫu nhiên f : Ω×X → Y được gọi là Lipschitz nếu với mỗiω quỹ đạo f(ω, .) là toán tử Lipschitz, nghĩa là tồn tại số thực k(ω) saocho với mọi x, y ∈ X

d(f(ω, x), f(ω, y)) ≤ k(ω)d(x, y). (1.2)

4) Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là co nếu f là toán tửLipschitz với k(ω) ∈ [0; 1),∀ω ∈ Ω.

1.1.4 Định lý. ([29]) Cho X, Y là các không gian Polish và f : Ω×X →Y là toán tử ngẫu nhiên liên tục. Khi đó f là toán tử ngẫu nhiên đo được.Hơn nữa nếu ξ : Ω→ X là biến ngẫu nhiên thì ánh xạ ω 7→ f(ω, ξ(ω)) làmột biến ngẫu nhiên Y -giá trị.

2

1.1.5 Định nghĩa (Điểm bất động ngẫu nhiên). Biến ngẫu nhiên ξ : Ω→X gọi là điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên f : Ω×X → Xnếu

f(ω, ξ(ω)) = ξ(ω) h.c.c. (1.3)

Ta nhận thấy nếu f : Ω ×X → X có điểm bất động ngẫu nhiên thì vớimỗi ω ∈ Ω, f(ω, .) có điểm bất động trong X. Ngược lại không đúng.

1.1.6 Định nghĩa. Phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị là phươngtrình có dạng

f(ω, x) = g(ω, x) (1.4)

với f, g : Ω×X → Y là các toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y .

1.1.7 Định nghĩa. 1) Phương trình (1.4) được gọi là có nghiệm tấtđịnh với hầu hết Ω nếu tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗiΩ ∈ D tồn tại phần tử u(ω) ∈ X sao cho

f(ω, u(ω)) = g(ω, u(ω)). (1.5)

Khi đó u(ω) gọi là nghiệm tất định của phương trình (1.4).

2) Phương trình (1.4) được gọi là có nghiệm ngẫu nhiên nếu tồn tại biếnngẫu nhiên ξ : Ω→ X sao cho

f(ω, ξ(ω)) = g(ω, ξ(ω)) h.c.c. (1.6)

Khi đó ξ gọi là nghiệm ngẫu nhiên của phương trình (1.4).

Một trong các công cụ quan trọng để chứng minh sự tồn tại nghiệm củaphương trình toán tử ngẫu nhiên hay sự tồn tại điểm bất động của toán tửngẫu nhiên đó là các định lý về sự tồn tại hàm chọn đo được của một ánhxạ đa trị.

Cho (Ω,F) là không gian đo được và X là không gian metric. Ánh xạ đatrị F : Ω→ 2X gọi là F-đo được nếu

F−1(B) = ω ∈ Ω|F (ω) ∩B 6= ∅ ∈ F (1.7)

với mọi B là tập con đóng của X. Trong một số tài liệu, tính đo được củaF còn được gọi là đo được yếu . Đồ thị của ánh xạ F là một tập con củaΩ×X xác định bởi

Gr(F ) = (ω, x)|ω ∈ Ω, x ∈ F (ω). (1.8)

Ánh xạ u : Ω → X gọi là hàm chọn của ánh xạ đa trị F : Ω → 2X nếuu(ω) ∈ F (ω) với mọi ω ∈ Ω.

Khi đó định lý sau đây được sử dụng như là công cụ để chứng minh sựtồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên.

3

1.1.8 Định lý. ([29]) Cho (Ω,F , P ) là không gian xác suất, X là khônggian Polish và F : Ω→ 2X là ánh xạ đa trị. Nếu Gr(F ) là tập F×B(X)-đođược thì tồn tại biến ngẫu nhiên X-giá trị ξ : Ω→ X sao cho ξ(ω) ∈ F (ω)h.c.c.

Định lý 1.1.8 còn được gọi là định lý hàm chọn. Sự tồn tại của hàm chọnchỉ ra sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên.

1.1.9 Định nghĩa. Ánh xạ F : Ω×X → 2Y được gọi là toán tử ngẫu nhiênđa trị từ X vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ X ánh xạ đa trị ω 7→ F (ω, x)

là F-đo được.

1.1.10 Định nghĩa (Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đa trị). ChoX là không gian Banach và toán tử ngẫu nhiên đa trị F : Ω×X → 2X . Biếnngẫu nhiên ξ(ω) ∈ LX0 gọi là điểm bất động của F nếu ξ(ω) ∈ F (ω, ξ(ω))

với mọi ω ∈ Ω.

1.2 Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên

Đối với điểm bất động ngẫu nhiên, năm 1957 trong bài báo của mình Hansbước đầu đã đưa ra các điều kiện đảm bảo một ánh xạ ngẫu nhiên có điểmbất động ngẫu nhiên dưới dạng xấp xỉ đến nghiệm của phương trình ngẫunhiên.

Cùng với sự phát triển của các định lý điểm bất động trong trường hợptất định, các định lý điểm bất động ngẫu nhiên cũng đã bắt đầu được nghiêncứu nhiều sau bài báo của Hans. Năm 1976 trong bài báo tổng quan củamình, tác giả Bharucha Reid đã chứng minh định lý điểm bất động cho toántử co ngẫu nhiên.

1.2.1 Định lý. ([16]) Cho T (ω) là toán tử ngẫu nhiên liên tục từ khônggian Banach khả ly X vào X, k(ω) là biến ngẫu nhiên không âm nhậngiá trị thực sao cho k(ω) < 1 h.c.c. và

‖T (ω, x)− T (ω, y)‖ ≤ k (ω) ‖x− y‖

với mọi x, y ∈ X. Khi đó tồn tại biến ngẫu nhiên X-giá trị ξ(ω) sao choξ(ω) là điểm bất động ngẫu nhiên duy nhất của T .

Cũng trong bài báo ([16]), tác giả Bharucha Reid đã xét đến phươngtrình giá trị riêng ngẫu nhiên dạng (T (ω)− λ)x = y(ω) và đưa ra điều kiệnđể phương trình có nghiệm.

1.2.2 Định lý. ([16]) Cho T (ω) là toán tử co ngẫu nhiên từ không gianBanach khả ly X vào chính nó, k(ω) là biến ngẫu nhiên không âm nhận

4

giá trị thực bị chặn h.c.c. Khi đó với mỗi số thực λ 6= 0 sao cho k(ω) < |λ|h.c.c đều tồn tại toán tử ngẫu nhiên S(ω) là nghịch đảo của T (ω)− λI,với I là toán tử đồng nhất trên X.

Ngoài ra, trong bài báo ([16]) tác giả Bharucha Reid chứng minh dạngngẫu nhiên của định lý điểm bất động Schauder, tức là đưa ra điều kiện đểmột toán tử ngẫu nhiên liên tục có điểm bất động ngẫu nhiên.

1.2.3 Định lý. ([16]) Cho E là tập con compact, lồi của không gianBanach khả ly X và T (ω) là toán tử ngẫu nhiên liên tục trên E. Khi đótồn tại biến ngẫu nhiên E-giá trị ξ(ω) là điểm bất động ngẫu nhiên củaT .

Năm 1977 trong bài báo ([30]), bằng phương pháp hàm chọn tác giả Itohđã chứng minh định lý điểm bất động ngẫu nhiên cho toán tử co ngẫu nhiênđa trị.

1.2.4 Định lý. ([30]) Cho (Ω,F) là không gian đo, X là không gianBanach khả ly. Gọi T : Ω × X → CB(X) là ánh xạ thỏa mãn với mỗiω ∈ Ω, T (ω, .) là k(t)-co với k : Ω → [0; 1) là hàm đo được. Khi đó tồntại ánh xạ đo được ξ : Ω→ X sao cho với mỗi ω ∈ Ω, ξ(ω) ∈ T (ω, ξ(ω)).

Năm 1979 trong bài báo ([31]), tác giả Itoh đã chứng minh hệ quả vềđiểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên compact.

1.2.5 Hệ quả. ([31]) Cho X là tập con compact (hoặc khả ly và đóng)của không gian Banach, T : Ω×X → X là toán tử ngẫu nhiên compact.Khi đó T có điểm bất động ngẫu nhiên.

Đến năm 1993 trong bài báo ([54]), các tác giả Tan và Yuan đã có nhữngchứng minh đầu tiên về mối liên hệ giữa điểm bất động tất định và điểmbất động ngẫu nhiên. Không gian Suslin là không gian tôpô Hausdorff vàlà ảnh liên tục của không gian Polish. Tập con Suslin của không gian tôpôlà không gian con của không gian tôpô và cũng là không gian Suslin. Kýhiệu I và J là tập các dãy con vô hạn và hữu hạn của tập số nguyên dương.Gọi G là họ các tập hợp nào đó và F : J → G là một ánh xạ. Với mỗi

σ = (σi)∞i=1 ∈ I và n ∈ N, ta ký hiệu (σ1, ..., σn) bởi σ/n, thì

⋃σ∈J

∞⋂n=1

F (σ/n)

được gọi là nhận được từ G bằng toán tử Suslin. Bây giờ nếu mọi tập connhận được từ G theo cách như trên cũng thuộc G, thì G gọi là họ Suslin.

1.2.6 Định lý. ([54]) Cho (Ω,Σ) là không gian đo, Σ là họ Suslin, X làkhông gian tôpô và X0 là tập con Suslin của X. Giả sử T : Ω×X0 → 2X

có đồ thị GraphT ∈ Σ × B(X0 × X). Khi đó T có điểm bất động ngẫunhiên khi và chỉ khi T có điểm bất động tất định, tức là T (ω, .) có điểmbất động trong X0 với mỗi ω ∈ Ω.

5

1.2.7 Định lý. ([54]) Cho (Ω,Σ) là không gian đo, Σ là họ Suslin và X0 làtập con Suslin của không gian metric khả ly X. Giả sử T : Ω×X0 → C(X)

là toán tử ngẫu nhiên liên tục. Khi đó T có điểm bất động ngẫu nhiênkhi và chỉ khi T có điểm bất động tất định, tức là với mỗi ω ∈ Ω, T (ω, .)

có điểm bất động trong X0.

Năm 1995, tác giả Choudhury trong ([18]) đã sử dụng dãy lặp Ishikawađể chỉ ra sự tồn tại điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên nếu dãy lặp hộitụ trong không gian Hilbert.

1.2.8 Định lý. ([18]) Cho X là không gian Hilbert khả ly, T : Ω×X → X

là toán tử ngẫu nhiên liên tục sao cho tồn tại ánh xạ u : Ω→ X (khôngyêu cầu đo được) thỏa mãn ||T (ω, x)−u(ω)|| ≤ ||x−u(ω)|| với mọi ω ∈ Ω

và x ∈ X. Khi đó với mọi biến ngẫu nhiên ξ0 : Ω→ X và dãy biến ngẫunhiên (ξn(ω)) xác định bởi dãy lặp Ishikawa nếu hội tụ thì hội tụ tới tớiđiểm bất động của F , trong đó

ξn+1 (ω) = αnT (ω, ηn (ω)) + (1− αn) ξn (ω) ,

ηn (ω) = βnT (ω, ξn (ω)) + (1− βn) ξn (ω)

và các dãy số thực (αn), (βn) thỏa mãn

0 < αn, βn < 1, lim supn

βn = M < 1,∑

nαnβn = +∞.

Năm 1998, các tác giả Xu và Beg ([63]) đã chứng minh định lý co chotrường hợp toán tử ngẫu nhiên đa trị.

1.2.9 Định lý. ([63]) Giả sử (X, d) là không gian metric khả ly, (Ω,Σ)

là không gian đo và T : Ω × X → CB(X) là co ngẫu nhiên, tức là vớimỗi x ∈ X, T (., x) là đo được và với mỗi ω ∈ Ω, tồn tại số k(ω) ∈ [0; 1)sao cho

H(T (ω, x), T (ω, y)) ≤ k(ω)d(x, y). (1.9)

với H(A,B) là khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp đóng A,B. Khiđó hàm T có điểm bất động ngẫu nhiên.

Trong bài báo ([12]) năm 2006, các tác giả Beg và Abbas sử dụng phươngpháp lặp để chứng minh sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của toán tửngẫu nhiên co yếu.

1.2.10 Định lý. ([12]) Cho F là tập con lồi, đóng của không gian metrickhả ly đầy đủ X, và T : Ω × F → F là toán tử ngẫu nhiên co yếu theonghĩa với bất kỳ x, y ∈ F

‖T (ω, x)− T (ω, y)‖ ≤ ‖x− y‖ − f (‖x− y‖) ∀ω ∈ Ω (1.10)

6

trong đó f : [0; +∞)→ [0; +∞) là hàm liên tục, không giảm, f(t) = 0 khivà chỉ khi t = 0, limt→+∞ f(t) = +∞. Khi đó T có điểm bất động ngẫunhiên.

Cũng trong bài báo ([12]), các tác giả Beg và Abbas còn chứng minh haiđịnh lý về các quá trình lặp đến điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên coyếu.

1.2.11 Định lý. ([12]) Cho F là tập con lồi, đóng của không gian metrickhả ly đầy đủ X, và T : Ω × F → F là toán tử ngẫu nhiên co yếu. Giảsử dãy biến ngẫu nhiên (ξn(ω)) từ Ω vào F , được gọi là dãy lặp Mann(xem ([38])), xác định bởi công thức

ξn+1 (ω) = (1− αn) ξn (ω) + αnT (ω, ξn (ω)) với mỗi ω ∈ Ω, (1.11)

n = 0, 1, 2, ..., trong đó 0 ≤ αn ≤ 1,∑

n αn = +∞, ξ0(ω) : Ω → F là biếnngẫu nhiên bất kỳ. Khi đó dãy lặp (ξn(ω)) hội tụ về điểm bất động củaT .

Năm 2010 trong bài báo ([55]), các tác giả Thắng và Ánh bằng phươngpháp hàm chọn của ánh xạ đa trị đã chứng minh kết quả sau đối với phươngtrình toán tử ngẫu nhiên.

1.2.12 Định lý. ([55]) Cho X, Y là các không gian Polish và f, g : Ω ×X → Y là các toán tử ngẫu nhiên đo được. Khi đó phương trình ngẫunhiên f(ω, x) = g(ω, x) có nghiệm ngẫu nhiên khi và chỉ khi phương trìnhcó nghiệm tất định với hầu hết ω ∈ Ω.

Hơn nữa nếu với hầu hết ω ∈ Ω phương trình f(ω, .) = g(ω, .) có duynhất nghiệm tất định, thì phương trình f(ω, x) = g(ω, x) có duy nhấtnghiệm ngẫu nhiên.

Từ định lý này, các tác giả đã thu được kết quả sau chỉ ra mối liên hệgiữa sự tồn tại điểm bất động tất định và điểm bất động ngẫu nhiên.

1.2.13 Định lý. ([55]) Cho X là các không gian Polish, f : Ω× C → X

là toán tử ngẫu nhiên đo được. Khi đó f có điểm bất động ngẫu nhiênkhi và chỉ khi với hầu hết ω ∈ Ω, ánh xạ f(ω, .) có điểm bất động tấtđịnh.

Định lý 1.2.13 cho thấy đối với trường hợp toán tử ngẫu nhiên đo được,vấn đề tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên tương đương với sự tồn tại điểmbất động tất định cho hầu hết ω. Mặt khác vấn đề điểm bất động tất địnhđã được nghiên cứu gần như đầy đủ với số lượng rất lớn các công trình đãđược nghiên cứu. Như vậy trước khi có bài báo ([55]), việc chứng minh sựtồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên đo được mà sử

7

dụng kết quả trong trường hợp tất định kết hợp với định lý hàm chọn đếnđây không còn nhận được nhiều sự quan tâm nữa. Vì thế, để đưa ra các kếtquả về điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên đo được, các tác giả thườngchứng minh trực tiếp thông qua phương pháp dãy lặp mà không sử dụngcách chứng minh dựa trên định lý hàm chọn như trước. Đến bây giờ nhiềudạng dãy lặp đã được sử dụng, điển hình là các dãy lặp Picard, dãy lặpMann, dãy lặp Ishikawa, dãy lặp ba bước, dãy lặp ẩn, ... Sử dụng phươngpháp lặp, số các kết quả về điểm bất động ngẫu nhiên được chứng minhphong phú hơn rất nhiều so với sử dụng phương pháp hàm chọn.

1.3 Điểm trùng nhau của các toán tử ngẫu nhiên

Tiếp theo sự xuất hiện bài toán điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên vàtoán tử ngẫu nhiên đa trị, bài toán điểm trùng nhau của các toán tử ngẫunhiên cũng đã được quan tâm đến. Lần lượt nhiều công trình đã đưa ra cáckết quả quan trọng về điểm trùng nhau của các toán tử ngẫu nhiên.

1.3.1 Định nghĩa (Điểm trùng nhau ngẫu nhiên). Cho T1, T2, ..., Tn :

Ω ×X → X là các toán tử ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → X gọi làđiểm trùng nhau ngẫu nhiên của các toán tử ngẫu nhiên T1, T2, ..., Tn nếu

T1(ω, ξ(ω)) = T2(ω, ξ(ω)) = ... = Tn(ω, ξ(ω)) h.c.c. (1.12)

1.3.2 Định nghĩa. Ánh xạ đo được ξ : Ω→ X được gọi là điểm trùng nhaungẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên f : Ω×X → X và toán tử ngẫu nhiênđa trị T : Ω×X → CB(X) nếu với mọi ω ∈ Ω ta có f(ω, ξ(ω)) ∈ T (ω, ξ(ω)).

Cho ánh xạ ξ0 : Ω→ X. Nếu tồn tại dãy (ξn(ω)) sao cho f(ω, ξ2n+1(ω)) ∈S(ω, ξ2n(ω)), f(ω, ξ2n+2(ω)) ∈ T (ω, ξ2n+1(ω)), n = 0, 1, 2, ..., thì Of (ξ0(ω)) =

f(ω, ξn(ω)) : n = 1, 2, 3, ... với mỗi ω ∈ Ω gọi là quỹ đạo của (S, T, f) tạiξ0(ω). Nếu Of (ξ0(ω)) hội tụ trong X thì X gọi là (S, T, f, ξ0(ω))-quỹ đạo đủ(xem ([40])).

1.3.3 Định lý. ([40]) Cho S, T : Ω × X → CB(X) là hai toán tử ngẫunhiên đa trị liên tục, f : Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên sao choS(ω,X)∪T (ω,X) ⊆ f(ω,X). Giả sử với mỗi ánh xạ đo được ξ0 : Ω→ X,f(ω,X) là (S, T, f, ξ0(ω))-quỹ đạo đủ với mọi ω và

H (S (ω, x) , T (ω, x)) ≤ α (ω) max d (f (ω, x) , f (ω, y)) ,d (f (ω, x) , S (ω, x)) , d (f (ω, y) , S (ω, y)) ,[d (f (ω, x) , T (ω, y)) + d (f (ω, y) , T (ω, x))] /2

(1.13)với mọi x, y ∈ X, mọi ω ∈ Ω và α : Ω→ (0; 1) là ánh xạ đo được. Khi đótồn tại duy nhất điểm trùng nhau ngẫu nhiên của S, T và f .

8

Dựa trên phương pháp lặp, năm 1994 các tác giả Beg, Shahzad đã chứngminh định lý về điểm trùng nhau của một toán tử ngẫu nhiên và một toántử ngẫu nhiên đa trị.

Cho (X, d) là không gian Polish. Ánh xạ T : X → CB(X) và f : X → X

gọi là tương thích nếu với bất kỳ dãy (xn) thuộc X thỏa mãn limn fxn ∈limn Txn (nếu các giới hạn tồn tại) thì limnH(fTxn, T fxn) = 0. Toán tửngẫu nhiên f : Ω×X → X và T : Ω×X → CB(X) gọi là tương thích nếuf(ω, .) và T (ω, .) là tương thích với mọi ω ∈ Ω (xem ([8]), ([9])).

1.3.4 Định lý. ([11]) Cho T : Ω×X → CB(X) là toán tử ngẫu nhiên đatrị và f : Ω×X → X là toán tử ngẫu nhiên liên tục sao cho T (Ω, X) ⊆f(ω,X) với mọi ω ∈ Ω. Nếu f , T là tương thích và với mọi x, y ∈ X,ω ∈ Ω,

H (T (ω, x) , T (ω, y)) ≤ λ (ω) d (f (ω, x) , f (ω, y)) (1.14)

với λ : Ω → (0; 1) là ánh xạ đo được thì tồn tại duy nhất điểm trùngnhau ngẫu nhiên của f và T .

Kết luận: Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách tóm lượccác khái niệm cơ bản và các phương pháp đã được sử dụng để chứng minhsự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên và điểm trùng nhau ngẫu nhiên. Ngoàira, chúng tôi cũng đã trình bày một cách tổng quan các kết quả đã nhậnđược trong quá trình hình thành và phát triển của bài toán điểm bất độngngẫu nhiên và điểm trùng nhau ngẫu nhiên.

9

CHƯƠNG2

ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA CÁC

TOÁN TỬ HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN

Chương này trình bày kết quả về sự thác triển toán tử ngẫu nhiên thànhtoán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Tiếp theo các kết quả về điểm bất động vàđiểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên được xét đến. Chú ýrằng định lý điểm bất động và điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toànngẫu nhiên không được suy ra một cách trực tiếp từ các định lý tương ứngtrong trường hợp tất định, hay trong trường hợp ngẫu nhiên.

2.1 Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

Cho f : Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên liên tục với X là không gianBanach khả ly và (Ω, F, P ) là không gian xác suất đầy đủ. Theo Định lý1.1.4, nếu f là toán tử ngẫu nhiên liên tục thì với mọi biến ngẫu nhiênu : Ω→ X thì ánh xạ ω 7→ f(ω, u(ω)) đo được và cũng là biến ngẫu nhiên.Do đó ta có thể xét

Φ : LX0 (Ω)→ LX0 (Ω) (2.1)

xác định bởi Φu(ω) = f(ω, u(ω)) với mọi u ∈ LX0 (ω). Khi đó có thể coi Xlà tập con các biến ngẫu nhiên suy biến (biến ngẫu nhiên nhận giá trị cụthể với xác suất 1) của tập các biến ngẫu nhiên LX0 (Ω). Hơn nữa, hạn chếcủa Φ trên X trùng với toán tử ngẫu nhiên f . Từ đó, ta nhận được Φ là sựmở rộng của f lên toàn bộ LX0 (Ω) và ta gọi Φ : LX0 (Ω)→ LX0 (ω) là toán tửhoàn toàn ngẫu nhiên. Không gian LX0 (ω) các biến ngẫu nhiên nhận giá trịtrong X với tô pô hội tụ theo xác suất là không gian đầy đủ theo nghĩa mỗidãy (un) trong LX0 (ω) hội tụ đến phần tử u ∈ LX0 (ω) khi và chỉ khi dãy đólà cơ bản theo xác suất. Không gian LX0 (Ω) cũng là không gian metric hóađược với nhiều metric khác nhau (sự hội tụ theo các metric đó tương đươngvới sự hội tụ theo xác suất). Khi đó ta có thể coi Φ như là một ánh xạ giữahai không gian metric. Tuy nhiên ở đây chúng ta xét đến góc độ xác suấtcủa toán tử Φ, với các giả thiết dựa trên các biểu thức xác suất chứ khôngdựa trên các metric của LX0 (Ω).

10

Sau đây ta xét đến định nghĩa toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.

2.1.1 Định nghĩa. ([1]) Cho X, Y là các không gian Banach khả ly.

1) Ánh xạ Φ : LX0 (Ω) → LY0 (Ω) được gọi là toán tử hoàn toàn ngẫunhiên.

2) Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ được gọi là liên tục nếu với mỗi dãy(un) thuộc LX0 (Ω) thỏa mãn limn un = u h.c.c., ta có limn Φun = Φuh.c.c.

3) Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ được gọi là liên tục theo xác suấtnếu với mỗi dãy (un) trong LX0 (Ω) thỏa mãn limn un = u theo xác suất,ta có limn Φun = Φu theo xác suất.

2.1.2 Định nghĩa. Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ : LX0 (Ω) → LY0 (Ω)

được gọi là mở rộng của toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y nếu với mỗix ∈ X

Φx(ω) = f(ω, x) h.c.c. (2.2)

trong đó với mỗi x ∈ X, x ký hiệu biến ngẫu nhiên u ∈ LX0 (Ω) cho bởiu(ω) = x h.c.c.

2.1.3 Định lý. Cho f : Ω × X → Y là toán tử ngẫu nhiên có bảnsao liên tục. Khi đó tồn tại toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên liên tụcΦ : LX0 (Ω)→ LY0 (Ω) sao cho Φ là mở rộng của f .

2.1.4 Định nghĩa. ([1]) Cho Φ : LX0 (Ω) → LY0 (Ω) là toán tử hoàn toànngẫu nhiên.

1) Φ được gọi là k(ω)-Lipschitz nếu tồn tại biến ngẫu nhiên nhận giá trịdương k(ω) sao cho với mỗi cặp u, v ∈ LX0 (Ω)

‖Φu(ω)− Φv(ω)‖ ≤ k(ω)‖u(ω)− v(ω)‖ h.c.c. (2.3)

Chú ý rằng tập bỏ được phụ thuộc vào u, v.

2) Φ được gọi là k(ω)-Lipschitz xác suất nếu tồn tại biến ngẫu nhiênnhận giá trị thực k(ω) sao cho với mỗi cặp u, v ∈ LX0 (Ω) và t > 0

P (‖Φu(ω)− Φv(ω)‖ > t) ≤ P (k(ω)‖u(ω)− v(ω)‖ > t). (2.4)

3) Φ được gọi là k(ω)-co (k(ω)-co xác suất) nếu Φ là k(ω)-Lipschitz (k(ω)-Lipschitz xác suất) với k(ω) < 1, ∀ω ∈ Ω.

4) Φ được gọi là không giãn (không giãn xác suất) nếu Φ là 1-Lipschitz(1-Lipschitz xác suất).

11

2.1.5 Mệnh đề. Cho Φ : LX0 (Ω) → LY0 (Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫunhiên. Khi đó tính liên tục của Φ suy ra tính liên tục theo xác suất Φ.

2.1.6 Mệnh đề. 1) Nếu Φ : LX0 (Ω) → LY0 (Ω) là toán tử hoàn toànngẫu nhiên k(ω)-Lipschitz thì Φ liên tục.

2) Nếu Φ : LX0 (Ω) → LY0 (Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên k(ω)-Lipschitz xác suất thì Φ liên tục theo xác suất.

2.2 Điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

2.2.1 Định nghĩa (Điểm bất động). ([1]) Cho Φ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) làtoán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên X-giá trị ξ ∈ LX0 (Ω) đượcgọi là điểm bất động của Φ nếu

Φξ = ξ h.c.c. (2.5)

Định lý sau trình bày về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫunhiên co yếu. Định lý điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên coyếu là mở rộng của định lý về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫunhiên co.

2.2.2 Định nghĩa. Cho f : Ω× [0; +∞)→ [0; +∞) là ánh xạ sao cho vớimỗi ω ∈ Ω, f(ω, t) = 0 khi và chỉ khi t = 0.

1) Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ : LX0 (Ω)→ LX0 (Ω) được gọi là f(ω, t)-co yếu nếu với mỗi cặp u, v ∈ LX0 (Ω)

‖Φu(ω)−Φv(ω)‖ 6 ‖u(ω)−v(ω)‖−f (ω, ‖u(ω)− v(ω)‖) h.c.c. (2.6)

2) Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ : LX0 (Ω)→ LX0 (Ω) được gọi là f(ω, t)-co yếu xác suất nếu với mỗi cặp u, v ∈ LX0 (Ω) và t > 0

P (‖Φu(ω)− Φv(ω)‖ > t)

6 P (‖u(ω)− v(ω)‖ − f (ω, ‖u(ω)− v(ω)‖) > t) .(2.7)

2.2.3 Định lý. Cho Φ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫunhiên f(ω, t)-co yếu với mỗi ω ∈ Ω, hàm t 7→ f(ω, t) là không giảm. Khiđó Φ có duy nhất điểm bất động.

Đối với toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, các điều kiện co yếu và điều kiệnco yếu xác suất không phải là mở rộng hiển nhiên của nhau. Sau đây địnhlý về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co yếu xác suất đượcxét đến.

12

2.2.4 Định lý. Cho Φ là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên f(t)-co yếu xácsuất với hàm f(ω, t) = f(t) < t, ∀t > 0. Với mỗi t > 0, xét hàm f(t) xácđịnh bởi công thức

h(t) = infs≥t

f(s)

s. (2.8)

Giả sử rằng h(t) > 0,∀t > 0. Khi đó

1) Φ có điểm bất động khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω)

và p > 0 sao choE‖Φu0 − u0‖p < +∞. (2.9)

Trong trường hợp này, Φ có duy nhất điểm bất động.

2) Gọi (un) là dãy biến ngẫu nhiên thuộc LX0 (Ω) xác định bởi

un+1 = Φun, n = 0, 1, ... (2.10)

và ξ là điểm bất động của Φ. Khi đó ta có ước lượng sau

P (‖un − ξ‖ > t) ≤ M

(1− qp

1+p )1+p

(qp)n

tp(2.11)

với M = E‖Φu0 − u0‖p, q = 1− h(t).

Trong phần này, một dạng mở rộng khác của định lý điểm bất động củatoán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co xác suất được xét đến, đó là định lý điểmbất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên (f, q)-co xác suất.

2.2.5 Định nghĩa. Cho f : [0; +∞)→ [0; +∞) là hàm liên tục, tăng thỏamãn f(0) = 0, limt→+∞ f(t) = +∞ và q là số thực dương.

1) Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ : LX0 (Ω)→ LX0 (Ω) được gọi là (f, q)-Lipschitz xác suất nếu với mỗi cặp u, v ∈ LX0 (Ω)

P (‖Φu(ω)− Φv(ω)‖ > f(t)) 6 P (‖u(ω)− v(ω)‖ > f(t/q)) . (2.12)

2) Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ : LX0 (Ω)→ LX0 (Ω) được gọi là (f, q)-coxác suất nếu Φ là (f, q)-Lipschitz xác suất với q < 1.

2.2.6 Mệnh đề. Nếu Φ : LX0 (Ω) → LY0 (Ω) là (f, q)-Lipschitz xác suấtthì Φ liên tục theo xác suất.

2.2.7 Định lý. Cho Φ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫunhiên (f, q)-co xác suất.

13

1) Nếu Φ có điểm bất động thì nó có duy nhất điểm bất động. Hơnnữa, tồn tại biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) và p > 0 sao cho

M = supt>0

tpP (‖Φu0 − u0‖ > f(t)) < +∞. (2.13)

2) Giả sử tồn tại c ∈ (q; 1) sao cho

∞∑n=1

f(cn) < +∞. (2.14)

Khi đó (2.13) là điều kiện đủ để Φ có duy nhất điểm bất động.

3) Giả sử với mỗi t, s > 0

f(t+ s) ≥ f(t) + f(s). (2.15)

Khi đó (2.13) là điều kiện đủ để Φ có duy nhất điểm bất động.

Ngoài việc xét đến các điều kiện phía bên trong biểu thức xác suất, trongphần này các điều kiện về hàm được xét đến. Khi đó ta nhận được các địnhlý điểm bất động cho toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên f -tựa co, f -tiệm cận coxác suất.

2.2.8 Định nghĩa. ([39])Hàm không giảm f : [0; +∞) → [0; +∞) đượcgọi là hàm so sánh nếu

• f(t) = 0 khi và chỉ khi t = 0;

• limn fn (t) = 0 với mọi t > 0 với fn (t) = f (f (...f (t) ...))︸ ︷︷ ︸

n lần

.

2.2.9 Bổ đề. ([39]) Nếu f : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm so sánh thìf (t) < t với mọi t > 0.

2.2.10 Định lý. Cho X là không gian Banach khả ly và Φ : LX0 (Ω) →LX0 (Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên liên tục theo xác suất và f :

[0; +∞)→ [0; +∞) là hàm so sánh. Giả sử toán tử Φ là (f, k)-tựa co theonghĩa

P(∥∥Φku− Φkv

∥∥ > t)≤ f (C (Φ, u, v, t)) (2.16)

với mọi u, v ∈ LX0 (Ω), t > 0 với

C (Φ, u, v, t) = max0≤p,q≤k,(p,q) 6=(k,k)

P (‖Φpu− Φqv‖ > t) , (2.17)

14

và hàm so sánh f thỏa mãn

∞∑i=1

f i (1) < +∞. (2.18)

Khi đó Φ có điểm bất động duy nhất thuộc LX0 (Ω) và dãy lặp (Φnu0) hộitụ theo xác suất đến điểm bất động của Φ với bất kỳ biến ngẫu nhiênu0 ∈ LX0 (Ω).

2.2.11 Ví dụ. Giả sử (Ω,F , P ) là không gian xác suất với Ω = [0; 1], F làσ-đại số Lebesgue các tập con của [0; 1] và P là độ đo Lebesgue trên [0; 1].Với X = R xét toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ : LX0 (Ω)→ LX0 (Ω) xác địnhbởi

Φu (ω) =

qu (2ω) nếu 0 ≤ ω ≤ 1/2

0 nếu 1/2 < ω ≤ 1

trong đó q ∈ (0; 1) là hằng số thực. Đặt

A = ω : ‖Φu (ω)− Φv (ω)‖ > t= ω : ‖u (2ω)− v (2ω)‖ > t/q, ω ∈ [0; 1/2]

và

B = ω : ‖u (ω)− v (ω)‖ > t/q .

Khi đó B là sự giãn của A, B = 2A. Do đó P (B) = 2P (A) và

P (‖Φu (ω)− Φv (ω)‖ > t) =1

2P (‖u (ω)− v (ω)‖ > t/q)

≤1

2P (‖u (ω)− v (ω)‖ > t)

với mọi u, v ∈ LX0 (Ω), t > 0.Vì vậy

P (∥∥Φu (ω)−Φv (ω)

∥∥ > t)

≤1

2max

P (‖u (ω)− v (ω)‖ > t) , P (‖u (ω)− Φv (ω)‖ > t) ,

P (‖Φu (ω)− v (ω)‖ > t)

và ta nhận được Φ là (f, k)-tựa co với f(t) = t/2, k = 1. Dễ dàng nhận thấybiến ngẫu nhiên u(ω) = 0 là điểm bất động của Φ.

Trong ví dụ trên, nếu A là tập con của R đo được Lebesgue với độđo Lebesgue λ và số δ > 0, khi đó sự giãn của tập A bởi δ kí hiệu bởiδA = δx : x ∈ A cũng đo được Lebesgue với độ đo δλ(A).

15

2.2.12 Định lý. Cho X là không gian Banach khả ly và Φ : LX0 (Ω) →LX0 (Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên liên tục theo xác suất và f :

[0; +∞)→ [0; +∞) là hàm so sánh. Giả sử Φ thỏa mãn điều kiện f -tiệmcận co theo nghĩa tồn tại dãy hàm liên tục fn : [0; +∞) → [0; +∞) saocho fn hội tụ đều tới f và với mọi u, v ∈ LX0 (Ω) , t > 0

P (‖Φnu− Φnv‖ > t) ≤ fn (P (‖u− v‖ > t)) . (2.19)

Khi đó Φ có duy nhất điểm bất động và dãy lặp (Φnu0) hội tụ theo xácsuất tới điểm bất động của Φ với bất kỳ u0 ∈ LX0 (Ω).

2.3 Điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu

nhiên

Bài toán điểm trùng nhau ngẫu nhiên đã được nhiều tác giả xem xét trongcác công trình của mình, và đặc biệt bài toán điểm trùng nhau ngẫu nhiênlà bài toán quan trọng trong trường hợp toán tử ngẫu nhiên đa trị. Trongphần này, ta xét đến bài toán điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toànngẫu nhiên.

2.3.1 Định nghĩa (Điểm trùng nhau). Cho Φ1,Φ2, ...,Φn : LX0 (Ω) →LX0 (Ω) là các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên X-giá trịξ ∈ LX0 (Ω) được gọi là điểm trùng nhau của Φ1,Φ2, ...,Φn nếu

Φ1ξ = Φ2ξ = ... = Φnξ h.c.c. (2.20)

2.3.2 Mệnh đề. Cho Φ,Ψ : LX0 (Ω) → LY0 (Ω) là các toàn tử hoàn toànngẫu nhiên và Ψ là liên tục theo xác suất. Giả sử rằng tồn tại biến ngẫunhiên nhận giá trị dương k(ω) sao cho với mỗi cặp u, v ∈ LX0 (Ω) và t > 0

P (‖Φu− Φv‖ > t) ≤ P (k (ω) ‖Ψu−Ψv‖ > t) . (2.21)

Khi đó Φ là liên tục theo xác suất.

2.3.3 Định lý. Cho Φ,Ψ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) là các toán tử hoàn toànngẫu nhiên và f : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm số thỏa mãn f(t) = 0 khivà chỉ khi t = 0 và f(t) < t,∀t > 0. Với mỗi t > 0, xét hàm số h(t) xácđịnh bởi

h(t) = infs≥t

f(s)

s. (2.22)

Giả sử rằng h(t) > 0,∀t > 0 và

(a) Ψ(LX0 (Ω)) đóng trong LX0 (Ω);

16

(b) Φ(LX0 (Ω)) ⊂ Ψ(LX0 (Ω));

(c) với mỗi cặp u, v ∈ LX0 (Ω) và t > 0

P (‖Φu− Φv‖ > t) ≤ P (‖Ψu−Ψv‖ − f (‖Ψu−Ψv‖) > t) . (2.23)

Khi đó Φ và Ψ có điểm trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫunhiên u0 ∈ LX0 (Ω) và p > 0 sao cho

M = E‖Φu0 −Ψu0‖p < +∞. (2.24)

Cùng với định lý về điểm bất động cho toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(f, q)-co xác suất, các định lý về điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toànngẫu nhiên dạng (f, q) co xác suất tổng quát cũng được xét đến.

2.3.4 Định lý. Cho Φ,Ψ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) là các toán tử hoàn toànngẫu nhiên, f : [0; +∞)→ [0; +∞) là hàm liên tục, tăng sao cho f(0) =

0, limt→+∞ f(t) = +∞ và q là số dương thuộc (0; 1). Giả sử rằng

(a) Ψ(LX0 (Ω)) đóng trong LX0 (Ω);

(b) Φ(LX0 (Ω)) ⊂ Ψ(LX0 (Ω));

(c) với bất kỳ u, v ∈ LX0 (Ω) và t > 0

P (‖Φu− Φv‖ > f(t)) ≤ P (‖Ψu−Ψv‖ > f(t/q)) . (2.25)

Khi đó

1) Nếu Φ,Ψ có điểm trùng nhau thì tồn tại biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω)

và p > 0 sao cho

M = supt>0

tpP (‖Φu0 −Ψu0‖ > f(t)) < +∞. (2.26)

2) Giả sử tồn tại số c ∈ (q; 1) sao cho

∞∑n=1

f(cn) < +∞. (2.27)

Khi đó điều kiện (2.26) là điều kiện đủ để Φ,Ψ có điểm trùng nhau.

3) Giả sử với mỗi t, s > 0

f(t+ s) ≥ f(t) + f(s). (2.28)

Khi đó điều kiện (2.26) là điều kiện đủ để Φ,Ψ có điểm trùng nhau.

17

Kết luận: Trong chương này, chúng tôi xét đến vấn đề mở rộng toántử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Chúng tôi chứng minhđịnh lý thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.Chúng tôi xét đến tính liên tục theo xác suất của toán tử hoàn toàn ngẫunhiên. Bằng phương pháp dãy lặp chúng tôi đã chỉ được các điều kiện đủ,điều kiện cần và đủ để khẳng định sự tồn tại điểm bất động của các dạngtoán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co yếu, toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co yếuxác xuất, toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên (f, q)-co xác suất, toàn tử hoàntoàn ngẫu nhiên (f, k)-tựa co, toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên f -tiệm cận co.Tiếp theo chúng tôi xét đến vấn đề điểm trùng nhau của các toán tử hoàntoàn ngẫu nhiên. Chúng tôi đã đưa ra các điều kiện đảm bảo cho để cáctoán tử hoàn toàn ngẫu nhiên có điểm trùng nhau, đó là các điều kiện dạngco yếu xác suất tổng quát, dạng (f, q)-co xác suất tổng quát.

18

CHƯƠNG3

ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ HOÀN TOÀN

NGẪU NHIÊN

Với mục đích mở rộng các vấn đề về phương trình toán tử trong trường hợptất định, có nhiều công trình đã xét đến các bài toán đối với phương trìnhtoán tử ngẫu nhiên. Trong chương này, ta quan tâm đến các dạng phươngtrình toán tử được xây dựng đối với các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.

3.1 Ứng dụng của các định lý điểm bất động

Đầu tiên, ta xét đến khái niệm phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.

3.1.1 Định nghĩa (Phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên). ChoΦ,Ψ : LX0 (Ω)→ LY0 (Ω) là các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Phương trìnhtoán tử hoàn toàn ngẫu nhiên là phương trình có dạng

Φu = Ψu (3.1)

Một số dạng đặc biệt của phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên cóthể thấy được đó là Φu = u hay (Φ− λI)u = v (với Φ, I : LX0 (Ω)→ LX0 (Ω),I là toán tử đồng nhất). Ngoài ra, phương trình toán tử giá trị riêng hoàntoàn ngẫu nhiên (Φ− λI)u = 0 luôn nhận được sự quan tâm một cách đặcbiệt.

3.1.2 Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) gọi là nghiệm củaphương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên (3.1) nếu

Φu0 = Ψu0 h.c.c (3.2)

3.1.3 Định lý. Cho Φ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫunhiên (f, q)-Lipschitz xác suất với f là hàm thỏa mãn điều kiện (2.14)hoặc (2.15). Xét phương trình ngẫu nhiên

Φu− λu = η (3.3)

với λ là số thực và η là biến ngẫu nhiên thuộc LX0 (Ω).

19

Giả sử rằng

|λ| > supt>0

f (qt)

f (t). (3.4)

Khi đó phương trình (3.3) có duy nhất nghiệm khi và chỉ khi tồn tại biếnngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) và số thực p > 0 sao cho

M = supt>0

tpP (‖Φu0 − λu0 − η‖ > |λ|f (t)) < +∞. (3.5)

3.1.4 Định lý. Giả sử rằng f : [0,+∞)→ [0,+∞) là hàm số thỏa mãnf(0) = 0, f(t) < t và

h(t) = infs≥t

f(s)

s> 0,∀t > 0. (3.6)

Gọi Φ,Ψ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) là các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên thỏamãn các điều kiện sau

(a) Ψ(LX0 (Ω)) là tập con đóng trong LX0 (Ω);

(b) Φ(LX0 (Ω)) ⊂ Ψ(LX0 (Ω));

(c) Ψ liên tục theo xác suất;

(d) với mỗi u, v ∈ LX0 (Ω) và t > 0

P (‖Φu− Φv‖ > t) ≤ P (‖Ψu−Ψv‖ − f (‖Ψu−Ψv‖) > t) . (3.7)

Khi đó phương trìnhΦu = Ψu (3.8)

có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) và p > 0sao cho

E‖Φu0 −Ψu0‖p < +∞. (3.9)

3.1.5 Hệ quả. Cho Φ và Ψ là hai toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên giaohoán, tức là ΦΨu = ΨΦu với mỗi u ∈ LX0 (Ω). Giả sử Φ và Ψ thỏa mãncác điều kiện đã được phát biểu trong Định lý 3.1.4. Khi đó Φ và Ψ códuy nhất điểm bất động chung khi và chỉ khi tồn tại u0 ∈ LX0 (Ω) và p > 0

sao cho (3.9) đúng.

3.2 Ứng dụng của các định lý điểm trùng nhau

Trong phần này, ta xét đến một số định lý điểm bất động của toán tử hoàntoàn ngẫu nhiên. Các định lý này là hệ quả của các định lý về điểm trùngnhau của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.

20

3.2.1 Định lý. Cho Φ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫunhiên, f : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm liên tục, tăng sao cho f(0) =

0, limt→+∞ f(t) = +∞ và q là số thực dương. Giả sử rằng với mỗi cặpu, v ∈ LX0 (Ω)

P (‖Φu− Φv‖ > f(t)) ≤ P (‖u− v‖ > f(t/q)) . (3.10)

Khi đó

1) Nếu Φ có điểm bất động thì điểm bất động là duy nhất. Hơn nữa,tồn tại biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) và p > 0 sao cho

M = supt>0

tpP (‖Φu0 − u0‖ > f(t)) < +∞. (3.11)

2) Giả sử tồn tại số c ∈ (q; 1) sao cho

∞∑n=1

f(cn) < +∞. (3.12)

Khi đó (3.11) là điều kiện đủ để Φ có duy nhất điểm bất động.

3) Giả sử với mỗi t, s > 0

f(t+ s) ≥ f(t) + f(s). (3.13)

Khi đó (3.11) là điều kiện đủ để Φ có duy nhất điểm bất động.

3.2.2 Định lý. Cho Φ,Ψ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) là các toán tử hoàn toànngẫu nhiên, f : [0; +∞)→ [0; +∞) là ánh xạ sao cho f(t) = 0 khi và chỉkhi t = 0 và f(t) < t,∀t > 0. Với mỗi t > 0, xét hàm số h(t) xác định bởicông thức

h(t) = infs≥t

f(s)

s. (3.14)

Giả sử rằng h(t) > 0,∀t > 0 và

(a) Ψ(LX0 (Ω)) là tập con đóng trong LX0 (Ω);

(b) Φ(LX0 (Ω)) ⊂ Ψ(LX0 (Ω));

(c) với mỗi cặp u, v ∈ LX0 (Ω) và t > 0

P (‖Φu− Φv‖ > t) ≤ P (‖Ψu−Ψv‖ − f (‖Ψu−Ψv‖) > t) ; (3.15)

(d) Φ và Ψ giao hoán, tức là ΦΨu = ΨΦu với biến ngẫu nhiên u bất kỳthuộc LX0 (Ω).

21

Khi đó Φ và Ψ có duy nhất điểm bất động chung khi và chỉ khi tồn tạibiến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) và p > 0 sao cho

M = E‖Φu0 −Ψu0‖p < +∞. (3.16)

3.2.3 Hệ quả. Cho Φ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫunhiên q-co xác suất theo nghĩa tồn tại số q ∈ (0; 1) sao cho

P (‖Φu− Φv‖ > t) ≤ P (‖u− v‖ > t/q) (3.17)

với mọi biến ngẫu nhiên u, v ∈ LX0 (Ω) và t > 0. Khi đó Φ có duy nhấtđiểm bất động khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) vàp > 0 sao cho

E ‖Φu0 − u0‖p < +∞. (3.18)

3.2.4 Định lý. Cho Φ,Ψ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) là các toàn tử hoàn toànngẫu nhiên thỏa mãn

P (‖Φu− Φv‖ > f(t)) ≤ P (‖Ψu−Ψv‖ > f(t/q)) . (3.19)

với mọi u, v ∈ LX0 (Ω), t > 0 và f : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm liên tục,tăng sao cho f(0) = 0, limt→+∞ f(t) = +∞ thỏa mãn (3.12) hoặc (3.13)và q là số dương. Xét phương trình ngẫu nhiên dạng

Φu− λΨu = η (3.20)

với λ là số thực và η là biến ngẫu nhiên trong LX0 (Ω).Giả sử rằng

Ψ(LX0 (Ω)) đóng trong LX0 (Ω); (3.21)

Φ(LX0 (Ω)) ⊂ λΨ(LX0 (Ω)) + η; (3.22)

|λ| > supt>0

f (qt)

f (t). (3.23)

Khi đó phương trình (3.20) có duy nhất nghiệm khi và chỉ khi tồn tạibiến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) và số p > 0 sao cho

M = supt>0

tpP (‖Φu0 − λΨu0 − η‖ > |λ|f (t)) < +∞. (3.24)

3.2.5 Hệ quả. Cho Φ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫunhiên thỏa mãn

P (‖Φu− Φv‖ > f(t)) ≤ P (‖u− v‖ > f(t/q)) (3.25)

với mọi u, v ∈ LX0 (Ω), t > 0, trong đó f : [0; +∞)→ [0; +∞) là hàm liêntục, tăng sao cho f(0) = 0, limt→+∞ f(t) = +∞ và thỏa mãn điều kiện

22

(3.12) hoặc (3.13) và q là số dương. Xét phương trình ngẫu nhiên códạng

Φu− λu = η (3.26)

với λ là số thực và η là biến ngẫu nhiên thuộc LX0 (Ω).Giả sử rằng

|λ| > supt>0

f (qt)

f (t). (3.27)

Khi đó phương trình (3.26) có duy nhất nghiệm khi và chỉ khi tồn tạibiến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) và số p > 0 sao cho

M = supt>0

tpP (‖Φu0 − λu0 − η‖ > |λ|f (t)) < +∞. (3.28)

3.2.6 Hệ quả. Cho Φ,Ψ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) là hai toàn tử hoàn toànngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện sau

P (‖Φu− Φv‖ > t) ≤ P (‖Ψu−Ψv‖ > t/q) . (3.29)

Xét phương trình ngẫu nhiên

Φu− λΨu = η (3.30)

với λ là số thực và η là biến ngẫu nhiên trong LXp (Ω), p > 0.

Giả sử rằngΨ(LX0 (Ω)) đóng trong LX0 (Ω);Φ(LX0 (Ω)) ⊂ λΨ(LX0 (Ω)) + η;

|λ| > q.

Khi đó phương trình ngẫu nhiên (3.30) có duy nhất nghiệm khi và chỉkhi tồn tại biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) sao cho

E‖Φu0 − λΨu0‖p < +∞. (3.31)

Kết luận: Trong chương này, chúng tôi xét đến ứng dụng của các địnhlý điểm bất động và điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.Chúng tôi chỉ ra từ các định lý về điểm bất động và điểm trùng nhau, cóthể chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số phương trình toán tử hoàntoàn ngẫu nhiên. Bên cạnh đó, dựa trên các kết quả về điểm trùng nhaucủa các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, ta có thể nhận lại được các kết quảvề điểm bất động.

23

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

I. Kết luận. Luận án đã đạt được các kết quả sau đây.

• Chứng minh định lý thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàntoàn ngẫu nhiên, đưa ra các tiêu chuẩn về sự liên tục theo xác suất củatoán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.

• Chứng minh các định lý về điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ để tồn tạiđiểm bất động ngẫu nhiên, điểm trùng nhau ngẫu nhiên của các dạngtoán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.

• Chỉ ra các điều kiện đủ về sự tồn tại nghiệm ngẫu nhiên của các phươngtrình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.

II. Kiến nghị. Trong thời gian tới chúng tôi mong muốn tiếp tục nghiêncứu những vấn đề sau.

• Nghiên cứu bài toán thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàntoàn ngẫu nhiên, xét đến trường hợp toán tử hoàn toàn ngẫu nhiêntừ một tập con nào của không gian các biến ngẫu nhiên X-giá trị vàochính nó.

• Do không thể xét trên từng quỹ đạo mẫu được nên phải tìm các phươngpháp khác để chỉ ra sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên, điểm trùngnhau ngẫu nhiên ngoài phương pháp lặp đã có.

• Đưa ra các điều kiện mới đảm bảo một toán tử hoàn toàn ngẫu nhiêncó điểm bất động ngẫu nhiên, các điều kiện đảm bảo sự tồn tại điểmtrùng nhau ngẫu nhiên của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, các điềukiện để phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên có nghiệm ngẫunhiên.

24

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

1. Dang Hung Thang, Pham The Anh (2013), "Random fixed points of completely random operators", Random Oper. Stoch. Equ. 21 (1), 1 - 20. 2. Dang Hung Thang, Pham The Anh (2013), "Some results on random fixed points of completely random operators", Vietnam J. Math., DOI 10.1007/s10013-013-0037-z. 3. Dang Hung Thang, Pham The Anh (2014), "Some results on random coincidence points of completely random operators", Acta Mathematica Vietnamica, DOI 10.1007/s40306-014-0051-6.

MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐƯỢC BÁO CÁO TẠI 1. Bộ môn Xác suất – Thống kê, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học KHTN - ĐHQGHN. 2. Hội thảo Xác suất thống kê mừng thọ GS Nguyễn Duy Tiến 70 tuổi (Hà Nội, 18/08/2012). 3. Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8 (Nha Trang, 10-14/08/2013).