1

Z-TRANSFORMACJA

Spis treści

1. Definicja

2. Przykłady transformat

3. Własności z-transformacji

4. Związek z-transformacji z transformacją Fouriera

5. Z-transformacja sygnału dwuwymiarowego

2

Definicja z-transformacji

n

nznszs )()(

z

Z-transformata jest szeregiem Laurenta

gdzie:

s(n) są wartościami dyskretnego sygnału,

z jest zmienną zespoloną, tzn.

Ideę z-transformacji znał Pierre Simon de Laplace (1749 – 1827).

W roku 1947 transformatę wykorzystywał Witold Hurewicz (Łódź 1904 – zmarł w Meksyku 1956).

W roku 1952 John Ragazzini i Lofti Zadeh nadali jej obecną nazwę.

3

Odwrotna z-transformacja

.)()( 11

K K n

nkk dzznsdzzzs

.)()( 11

K

nk

K n

k dzznsdzzzs

K

nk

nknkj

dzzgdy0gdy21

.)(2

1)( 1 K

n dzzzsj

ns

Mnożąc obustronnie

przez zk-1 i licząc całkę okrężną po dowolnym zamkniętym konturze K zawierającym wewnątrz 0, otrzymujemy

Zmieniając kolejność całkowania i sumowania otrzymujemy

Wykorzystując zależność

otrzymujemy ostatecznie

n

nznszs )()(

4

Obszar zbieżności z-transformaty

Re z

Im z

r

|z|r

Zbieżność szeregu jest zależna od wartości sygnału.

Najczęściej dla przykładów podaje się następujące obszary zbieżności:

Im z

Re z

r2

r1

r1

5

Praktyka odtwarzania sygnału

,)2()1()0()1()2()( 212 zszsszszszs

definiującym przekształcenie odwrotne. Łatwiej jest obliczać kolejne współczynniki szeregu Laurenta

K

n dzzzsj

ns 1)(2

1)(

W praktyce trudno jest posługiwać się wzorem

czyli korzystać z definicji .)()(

n

nznszs

6

Transformata impulsu Diraca

.0dla00dla1

)(

nn

n

1)( z

.Cz

Korzystając z definicji

można wyliczyć z-transformatę dla dyskretnego impulsu Diraca

Natychmiast otrzymujemy

a obszar zbieżności jest zbiorem liczb zespolonych, czyli

,)()(

n

nznszs

7

Transformata skoku jednostkowego

0dla10dla0

)(nn

nu

,1)(0

21

n

n zzzzu

11 a .1 zq

1q .1z

.11

lim)( 10

zz

qazzu

N

n

n

N

otrzymując szereg geometryczny

-5 0 5

0

0.5

1Aby obliczyć z-transformatę skoku jednostkowego

skorzystamy z definicji

którego pierwszym wyrazem jest a ilorazemSzereg ten jest zbieżny do

Warunek zbieżności wyznacza obszar zbieżności

,)()(

n

nznszs

8

Graficzna prezentacja z-transformatyskoku jednostkowego

-4 -20 2

4-4

-20

240

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-5 0 5

0

0.5

1

0dla10dla0

)(nn

nu

dla |z|>1

Im zRe z

1)(

zzzu

|ū(z)|

9

Kolejny przykład transformaty

)(0dla0dla0

)( nuanan

ns nn

.)(0

1

n

nazzs

zaq /

.1

1)( 1

azzs

.az

Do obliczenia z-transformaty dla sygnału

posłużymy się definicją

otrzymując

Jest to szereg geometryczny zbieżny do

Z warunku zbieżności wynika obszar zbieżności

,)()(

n

nznszs

10

Szczególny przypadek poprzedniego przykładu

)(0dla0dla0

)( nuanan

ns nn

111)(

az

zs

0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Time index n

Am

plitu

de

Impulse response samples

Szczególnym przypadkiem sygnału

jest dla n = 0, 1, 2, .....

Korzystając z otrzymanego wzoru

otrzymujemy

18,011

8,0)(

zz

zzs

.8,0zz obszarem zbieżności

nns 8,0)(

11

Liniowość z-transformacji

Z-transformacja )()()( 21 nsbnsans

)()()( 21 zsbzsazs

21 RRz

.)()()()()( 2121

n

n

n

n

n

n znsbznsaznbsnaszs

drugiego sygnału.

jest operacją liniową, bo dla liniowej kombinacji dwóch sygnałów

samą liniową kombinację transformat

z obszarem zbieżności gdzie 1R

2Rtransformaty pierwszego, a

Dowód opiera się na podstawieniu kombinacji dwóch sygnałów do wzoru

otrzymujemy taką

jest obszarem zbieżności

definiującego z-transformację, czyli

n

nznszs )()(

n

nznszs )()(

12

Transformata sygnału przesuniętego

.)()()()( 0000

n m m

nmnnmn zzszmszzmsznns

)()( zsns Oznaczmy parę sygnał-transformata w następujący sposób

).()( 00 zsznnsn

wtedy parę sygnał przesunięty i jego z-transformatę można zapisać w postaci

Dowód opiera się na podstawieniu sygnału przesuniętego do wzoru

Przesunięcie sygnału w dziedzinie czasu oznacza pomnożenie z-transformaty przez

.0nz

n

nznszs )()(

definiującego z-transformację, czyli

13

Transformacja splotu

21 RRz

k n

nn

n kzknskszknskszs )()()()()( 211

.)()()()( 2121

k

k zszszszks

).()()()()()( 2121 zszszsknsksnsk

Zależność pomiędzy splotem dwóch sygnałów a jego z-transformatą ma postać

Obszar zbieżności jest częścią wspólną obszarów zbieżności transformat obu splatanych sygnałów, tzn.

Dowód opiera się na podstawieniu splotu dwóch sygnałów do wzoru definiującego z-transformację i odpowiednich przekształceniach

14

Skalowanie w z-dziedzinie

)./()( azsnsan

.21 razra

.Ca

,21 rzr

Jeżeli w z-transformacie zmienimy zmienną z na zmienną z/a to w dziedzinie czasu odpowiada to pomnożeniu sygnału przez an, czyli

Jeżeli obszar zbieżności z-transformaty sygnału s(n) jest pierścieniem

to obszar zbieżności z-transformaty w wyniku skalowania ulega zmianie

Stała a może być dowolną liczbą zespoloną, tzn.

./)()()(

n

n

n

nn aznsznsazsA oto dowódr1

15

Transformata sygnału z odwróconym czasem

,21 rzr

.)( 1 zsns

./1/1 12 rzr

Odwrócenie kierunku zmiany czasu odpowiada odwrotności zmiennej z w jego z-transformacie, tzn.

Jeżeli obszar zbieżności z-transformaty sygnału s(n) jest pierścieniem

to obszar zbieżności z-transformaty w wyniku odwrócenia czasu jest zdefiniowany nierównościami

A oto dowód.)()()()()( 1

n

n

n

n

n

n znsznsznszs

r1

16

Różniczkowanie transformaty

.)(dzsdznsn

Zróżniczkowanie z-transformaty i pomnożenie jej przez –z odpowiada pomnożeniu próbek sygnału dyskretnego przez wartości czasu dyskretnego. Otrzymujemy zatem parę

17

Transformata korelacji sygnałów

.)()()()()()( 12121

zszszsnksksns

k

Sygnał powstały jako korelacja dwóch sygnałów posiada z-transformatę będącą iloczynem transformat obu sygnałów, przy czym argument jednej z nich jest odwrotnością zmiennej z, czyli

Dowód opiera się na transformacie splotu dwóch sygnałów i transformacie sygnału z odwróconym czasem.

18

Transformacja sygnału zmodulowanego

.)/()(21)( 12121

K

dvvvzsvsj

zsnsnsns

Sygnał zmodulowany amplitudowo jest iloczynem sygnału niosącego informację i sygnału nośnego. Zależności pomiędzy z-transformatami sygnałów przedstawia następująca zależność

Jeden jest sygnałem modulowanym a drugi sygnałem modulującym.

19

Zachowanie iloczynu skalarnego

.)/1()(21)()( *2121

Kn zdzzszs

jnsns

Iloczyn skalarny dwóch sygnałów jest w dziedzinie zmiennej z równy ważonej całce okrężnej z iloczynu dwóch funkcji powstałych z z-transformat sygnałów.Zależność tę prezentuje tzw. równanie Parsevala

20

Związek z-transformacji z transformacją Fouriera

dtetsfs tfj2)()(ˆ

n

tnfjenstfs 2)()(ˆ

tffff

tf

pp 1

z 1 eez fjtfj 22

tfszs tfjez

)(ˆ)( 2

Njkezzsks /2)()(ˆ

1

0)()(ˆ

N

n

knwnsks Njew2

kN

jk ewz2

gdzie

czyli

Zatem

Transformacja ciągła dyskretna

Skończony czas trwania sygnału

n

nznszs )()(

21

Związek z-transformatyz transformatą Fouriera

Re z

Im z

1

z- transformacja transformacja Fouriera

ŝ

0,5 1 f

fjez 2

22

Z-transformacjasygnału dwuwymiarowego

m n

ny

mxyx zznmszzs ),(),(

2),( Czz yx

.),(

n

ym

xm n

zznms

Powyższe sumy są zbieżne w punkcie jeżeli),( yx zz