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New Deflation Criterion for the QR Algorithm
Présenté par
Nader EL KHATIBSous la direction de
M. Mario AHUES
Plan de l’exposé
Introduction et rappelsApproximation par les éléments
diagonauxCritère de déflation.Conclusion et suggestions.
Introduction et rappels
Matrice de Hessenberg:
Introduction et rappels
Algorithme QR: Recherche des valeurs propres d’une matrice
A
H
Matrice triangulaire supérieure
?
Introduction et rappels
Introduction et rappels
Introduction et rappels
Critère d’arrêt
Signification du mot « suffisamment petit »
A connue avec une précision de l’ordre de
( )( )kk ijH h
2u
avec u: unit roundoff.
A
Critère d’arrêt
( ), 1
( ), 1
Alors si u
et comme est semblable à
on peut remplacer par Zéro.
(Perturbation negligeable).
ki i F
k
ki i
h A
A H
h
Critère d’arrêt
Insatisfaisant pour une matrice comme:
Amélioration (Wilkinson)
( ) ( ) ( ), 1 1, 1 ,uk k ki i i i i ih h h
Heuristique. Marche bien pratiquement. Pas de théorie mathématique qui l’appuie.
Nouveau critère
Idée et motivation
Condition
Le nouveau critère tient compte de:
• Les valeurs des éléments sous diagonaux
• Les valeurs des éléments strictement sub-diagonaux
• La distance entre les deux éléments diagonaux
Approximation par les éléments diagonaux
Approximation par les éléments diagonaux
Rappel, développement en série de Maclaurin:
Approximation par les éléments diagonaux
On l'applique à la fonction ( ) en supposant qu'elle est
analytique au voisinage de Zéro et que (0)
On peut faire la majoration suivante:iih
2( ) '(0)iih O
Approximation par les éléments diagonaux
Approximation par les éléments diagonaux
Approximation par les éléments diagonaux
On obtient
Approximation par les éléments diagonaux
On refait la même chose avec
Approximation par les éléments diagonaux
Approximation par les éléments diagonaux
D’autre part:
Approximation par les éléments diagonaux
Approximation par les éléments diagonaux
Approximation par les éléments diagonaux
Approximation par les éléments diagonaux
Approximation par les éléments diagonaux
Théorie de perturbation
Théorie de perturbation
Théorie de perturbation
Théorie de perturbation
Théorie de perturbation