Rimas NorvaišaŠiauliai 2013 m. vasario 18 d.

egzistuoja didžiulis atotrūkis tarp šiandienos matematikos ir tos matematikos, kurios mokama mokykloje;

mokyklinės matematikos turinį sudaro tarpusavyje nesusijusios skaičiavimo procedūros, naudojamos paprastiems praktiniams uždaviniams spręsti;

tuo tarpu šiandienos matematika yra mus supančio pasaulio supratimo ir pažinimo pagrindas.

Kaip tai suprasti?

Mokyklinėje matematikoje realieji skaičiai yra kažkas, ką galima tapatinti su geometrinės tiesės taškais.

Nuo 19 a. vyko analizės aritmetizacija. To pasekmė geometrija ir analizė atskirtos.

Cantoro-Dedekindo aksioma: tarp realiųjų skaičių aibės ir tiesės taškų egzistuoja abipus vienareikšmė atitiktis.

Geometrinis kontinuumas atskirtas nuo aritmetinio kontinuumo.

Fizikoje realieji skaičiai naudojami fizikiniams dydžiams (laikas, erdvė ir t.t.) apibūdinti.

Todėl realiųjų skaičių savybės perkeliamos fizikinių dydžių savybėms apibūdinti.

Tuo tarpu matematikai turi ne vieną aritmetinio kontinuumo sampratų (hiperrealieji, siurrealieji skaičiai).

,,Fizikinio kontinuumo” apibūdinimas yra sena problema (viena iš D. Hilberto problemų 1900).

Matematikai realiuosius skaičius ,,konstruoja” atsietai nuo realios tikrovės.

Kita vertus, jų ,,konstrukcijos” naudojamos kurti gamtamokslines teorijas.

Šia prasme matematika yra mus supančio pasaulio pažinimo pagrindas.

Mokykloje nediskutuojama skaičiaus samprata.

Viešojoje erdvėje skaičiaus sampratą aiškinama numerologijos (skaičių magija) kontekste.

Mokyklinėje matematikoje naudojama 17-18 a. funkcijos samprata (išraiška, formulė), o riba aiškinama tik intuityviai.

Ribos samprata yra nevienareikšmė (epsilon-delta, be galo maži dydžiai).

Kita vertus riba apibūdina tokius fizikinius dydžius kaip momentinis greitis, pagreitis ir t.t. Vėl gi, matematika suteikia tikslią prasmę to, kaip mes suvokiame realųjį pasaulį.

jei funkcija f : [0,1]→[0,1] yra tolydi, tai egzistuoja toks skaičius c ϵ [0,1], kad f(c)=c.

Kai vietoje intervalo [0,1] yra Euklido erdvės iškila ir aprėžta aibė, tai Brouwer’io teorema.

Teoremos iliustracija: šaukšteliu maišant kavą puoduke bent viena skysčio molekulė liks toje pačioje vietoje.

Ekonomikoje ši teorema nurodo ,,bendrosios pusiausvyros” egzistavimo sąlygas ir yra neoklasikinės ekonomikos pagrindas.

Po 19 a. matematika – mokslas apie abstrakčias sąvokas ir jų sąryšius.

MM – gebėjimas samprotauti remiantis tik sąvokas apibrėžiančiomis savybėmis.

Pvz. teiginys: kiekvienas natūralusis skaičius yra racionalusis skaičius. Jo pagrindimui būtina žinoti sąvokas ir logiką (moksleiviai to nežino kaip rodo apklausa)

Kitas pvz. diferencijuojama taške funkcija yra tolydi tame taške (čia funkcija – objektas su savo savybėmis).

MM – kelis tūkstantmečius ugdytas tam tikras samprotavimo būdas apie pasaulį siekiant jį paaiškinti ir suprasti.

Pvz. diskretumas ir tolydumas išreiškiami skaičiaus ir dydžio sampratomis.

MM nėra vien tik gebėjimas skaičiuoti ir spręsti standartinius uždavinius. MM nukreiptas į supratimą, ne į skaičiavimą.

MM įgalina kurti naujas sąvokas siekiant išspręsti nestandartines problemas.

Pastaruoju metu išaugo matematinio mąstymo gebėjimo poreikis.

1 tipo MM gebėjimas: turint suformuluotą matematinę problemą, rasti jos matematinį sprendimą.

2 tipo MM gebėjimas: turint nematematinę problemą, nustatyti ją apibudinančias savybes ir formuluoti atitinkamą naują matematinę sąvoką.

Turėtume ruošti ne tik konkrečių sričių specialistus, bet juos papildyti MM gebėjimu.

Mano nuomone MM yra labai vertingas gebėjimas: kūrybiškai spręsti fundamentalias problemas.

Svarbiausia MM yra niekuo nevaržomas kūrybiškumas, MM pats kuria sau taisykles.

Tuo tarpu mene kūrybiškumą riboja išraiškos priemonės (spalvos, medžiaga, instrumentai ir t.t.)

Kodėl turėčiau mokytis matematikos?

Tam, kad maksimaliai atskleisčiau ir įsisavinčiau savo proto kūrybines galias.

Daugiau apie šiuos dalykus tinklaraštyje www.norvaisa.lt

Vykdyti matematikos ugdymo tyrimus. Tobulinti mokyklinės matematikos turinį ir jos

perteikimo stilių. Ar įmanoma ugdyti MM elementus iš esmės

nekeičiant mokyklinės matematikos temų? Tam reikia aiškinti naudojamų taisyklių ir

procedūrų matematinį pagrindimą ir jų sąryšius.

Pvz. dviženklių skaičių aritmetikos veiksmus paaiškinti per pozicinę sistemą, trupmenas susieti su natūraliaisiais skaičiais ir rasti bendrą aritmetikos veiksmų pagrindą, t.t.

Profesionalai matematikai nelaiko mokyklinės matematikos turinio problemų pakankamai sudėtingomis ir įdomiomis tam, kad skirtų savo laiką.

Pakeisti mokytojų rengimo pobūdį. Švietimo ir mokslo politika neskatina mokslo

bendruomenės domėtis švietimo problemomis.

Dabartinis mokyklinės matematikos turinys ypač ,,nepatinka” humanistinio švietimo paradigmos entuziastams.