NELINEARNE NELINEARNE JEDNAJEDNAČINEČINE

)1(0)( xf

RR :f

1x 2x 3x

( )y f x

Etape:

1) izolovanje rešenja (korena)

2) nalaženje približne vrednosti rešenja

Teorema:Teorema: Neka je Tada postoji za koje je

.0)()(],,[ bfafbaCf ),( bac( ) 0.f c

a

b1c2c 3c

a

b

Jedinstvenost rešenja:

x

Teorema(o oceni greške):Teorema(o oceni greške): Neka je tačna, a približna vrednost korena jednačine i

x].,[,0)(],,[],,[, 1 baxxfbaCfbax

Tada je

)(min;)(

11

xfmm

xfx

bxa

1

( ) ( ) ( )( )

( )( ) 0 ,

( )

( ) ( ).

( )

f f x f c x

f xf x

f c

f x f xx

f c m

)(max;)(min )()( xfMxfm k

bxak

k

bxak

Dokaz:Dokaz:

Oznake:

NUMERIČKE METODE: 1) metode sužavanja intervala

2) metode zasnovane na teoremi o fiksnoj tački

METODA POLOVLJENJA INTERVALAMETODA POLOVLJENJA INTERVALA

a

b0x 1x 0 0

0 00

0 0 0 11 1

0 0 1 0

[ , ] [ , ]

2[ , ] ako je ( ) ( ) 0

[ , ][ , ] ako je ( ) ( ) 0

1( ), ( 0, 1, ...)

2k k k

a b a b

a bx

a x f a f xa b

x b f x f b

x a b k

Teorema:Teorema: Neka je gde je interval izolacije korena jednačine Tada niz konvergira korenu jednačine i važi

],[ baCf ),( ba( ) 0.f x 1 ( )2n n nx a b

...),1,0(,2 1

nab

xnn

)(,0222

1

2 1

n

abababx

nnnn

n

Dokaz:

METODA REGULA FALSIMETODA REGULA FALSI

1)()()(

:0

)()()(

)( :AB

xafafbf

abaxy

axab

afbfafy

a

b1x

B(b,f(b))

A(a,f(a))

Teorema (izbor fiksne tačke):Teorema (izbor fiksne tačke): Neka je na segmentu funkcija

neprekidno diferencijabilna i u svakoj tački postoji Dalje neka su ispunjeni uslovi:

],[ ba R],[: baf

[ , ]x a b ).('' xf

1. ,0)()( bfaf

2. i su stalnog znaka na segmentu .)(' xf )('' xf ],[ ba

Neka su dalje tačke za koje su zadovoljeni uslovi: ],[, 0 baxxF

.0)()(",0)()( 0 FFF xfxfxfxf

Tada niz definisan rekurentnom fomulom{ }nx

1

( )( ), 0,1, 2,...

( ) ( )n n F

n nn F

f x x xx x n

f x f x

konvergira ka korenu jednačine ),( ba .0)( xf

(1)

(2)

Dokaz:Dokaz: Pretpostavka:

( [ , ]) '( ) 0, "( ) 0.x a b f x f x

( ) 0Ff x Iz (1) sledi: i .0( ) 0f x

Zbog toga što je f monotono rastuća je , i .0x Fx

Matematičkom indukcijom dokazujemo da je

( 0,1,...).nx n

n=0 : (tačno) 0x

n=k : (pretpostavka) kx

n=k+1 : ako je ( ) ( )( ) ( )

F

F

x xg x x f x

f x f x

( )'( ) '( ) 1

( ) ( ) ( ) ( )F F

F F

f x x xg x f x

f x f x f x f x

onda je (dokazati ili zapamtiti)

tj. da je niz ograničen odozgo.( )nx

Tada je ,))((')()(1 kkkk xcggxgx ( , ).k kc x

( , )kx x : ( ) ( ) '( )( ), ( ).F F Ff x f x f c x x x c x

Sledi:( ) '( )

'( ) 1 0, ( , )( ) ( ) '( )

Fk

F

f x f xg x x x

f x f x f c

jer su funkcije i monotono rastuće i . Specijalno je , pa je f 'f ' 0f

kx kc

'( ) 0kg c

1 '( )( ) 0,k k kx g c x

odnosno

(Kraj dela dokaza matematičkom indukcijom)

.1 nx

Takođe je

1 ( ) 0,( ) ( )

F nn n n

F n

x xx x f x

f x f x

jer je Niz je konvergentan: ( ) 0.nf x ( )nx lim .nn

c x

Pri tome je.Fc x

Prelaskom u (2) na graničnu vrednost kad dobija se n

( ) .( ) ( )

F

F

c xc c f c

f c f x

Odavde sledi da je , a pošto je jedini koren jednačine ( ) 0f c ( ) 0f x

biće , odnosnoc

.lim n

nx

Kraj dokaza.

Ocena greške:Ocena greške:

Primenom Lagranžove teoreme dobija se:

1

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )n n F n

n n n n Fn F n F

f x x x f x fx x x x x

f x f x f x f x

1

2

( ) '( )( )

( ) '( )n

n F nF n

x f cx x x

x x f c

1 1

1 12 2

'( ) '( )( ) 1 ( ) 1

'( ) '( )n n n n

f c f cx x x x

f c f c

1 11 1

2 2

'( ) '( )( ) 1 ( ) 1 .

'( ) '( )n n n

f c f cx x x

f c f c

Iz prethodnog sledi

1 21 1

1

'( ) '( )( )

'( )n n n

f c f cx x x

f c

odnosno1 1

1 11

.n n n

M mx x x

m

Metode zasnovane Metode zasnovane na teoremi o na teoremi o

nepokretnoj tanepokretnoj tačkički

TEOREME O NEPOKRETNOJ TAČKITEOREME O NEPOKRETNOJ TAČKI

Definicija 1:Definicija 1: Neka . Kažemo da je x fiksna ili nepokretna tačka preslikavanja ako je

],[],[: babag g

)(xgx

Teorema 1 (Šauderova):Teorema 1 (Šauderova): Neka je i neka je g neprekidno preslikavanje. Tada funkcija g ima bar jenu nepokretnu tačku.

],[],[: babag

Dokaz:Dokaz:)()( xgxxF

Ako je ili onda je odnosno nepokretna tačka. ( )a g a ( )b g b a b

U protivnom je i , pa je( )a g a ( )b g b

( ) ( ) 0( ) ( ) 0.F a a g aF b b g b

Obzirom da je neprekidna funkcija, postoji takvo da je tj. .

F ),( ba ( ) 0F ( )g

Teorema 2:Teorema 2: Neka je diferencijabilna fukcija za koju postoji

tako da je

],[],[: babag

.1)(']),[( Lxgbax

[0,1)L

Dokaz:Dokaz:

Tada g ima tačno jednu nepokretnu tačku.

Funkcija g je neprekidna (jer je diferencijabilna) pa ima bar jednu nepokretnu tačku. Dokažimo da funkcija ne može imati dve nepokretne tačke. Naime, ako pretpostavimo da g ima dve nepokretne tačke, i , bilo bi1x 2x

.))((')()( 2121212121 xxxxLxxcgxgxgxx

METODA ITERACIJEMETODA ITERACIJEJednačina

( ) 0f x

se na zamenjuje ekvivalentnom

( ).x g x[ , ]a b

Generiše se niz :( )nx

0 1[ , ], ( ), Nn nx a b x g x n

Teorema 3 (dovoljni uslovi konvergencije):Teorema 3 (dovoljni uslovi konvergencije):

Neka diferencijabilna funkcija zadovoljava uslov ],[],[: babag

.1)(']),[))(1,0[( LxgbaxL

Tada niz konvergira ka fiksnoj tački funkcije g i za svaki prirodan broj n važi ocena

.1 01 xxL

Lx

n

n

( )nx

Dokaz:Dokaz: Važi

1 1 12

2

( ) ( ) '( )( )

... ...n n n n n

n

x g x g g c x L x

L x

Posle n koraka dobija se

0 0 ( ),nnx L x n

pa je

.lim n

nx

Iz,0101100 xLxxxxxx

sledi 0 0 1

1,

1x x x

L

pa je

1 0 .1

n

n

Lx x x

L

Napomena:Napomena:

Ocena greške može se dobiti iz poslednje dve iteracije. Iz

1111

1 ))((')()(

nnnnnn

nnnnn

xxxLxxxL

xLxcggxgx

sledi

nnn xxL

Lx

11 1

specijalno za je0 0.5L 1 1 .n n nx x x

Neka je fiksna tačka funkcije , i neka je neprekidna u otvorenom intervalu koji sadrži . Ako je , onda postoji tako da niz definisan sa

],[],[: babag '( )g x '( ) 1g 0

0 1( , ), ( ), Nn nx x g x n konvergira nepokretnoj tački funkcije g.

Dokaz:Dokaz:

Neka . Tada postoji tako da je '( ) , 1L g 0

( [ , ]) '( ) 1,x g x L

zbog neprekidnosti na . '( )g x [ , ]a b

Funkcija g preslikava segment na samog sebe:[ , ]

LxLxcggxgxg ))((')()()(

Teorema 4 (dovoljan uslov lokalne konvergencije):Teorema 4 (dovoljan uslov lokalne konvergencije):

NJUTN – NJUTN – RAFSONOVA METODA ( METODA TANGENTI )RAFSONOVA METODA ( METODA TANGENTI )

)(0)( xgxxf

)(

1)(,

)(

1)(0)()(1)(

)()()()(1)(

)()()(

xfxh

fhfhg

xfxhxfxhxg

xfxhxxg

)(

)()(

xf

xfxxg

)1(],[;...,1,0,)(

)(01 baxn

xf

xfxx

n

nnn

Teorema ( o lokalnoj konvergenciji ):Teorema ( o lokalnoj konvergenciji ): Neka je neprekidna funkcija i u nekom otvorenom intervalu koji sadrži gde je

Tada postoji tako da niz definisan sa (1) konvergira ka ako je

)(xf ( ) 0.f 0)( xf

0 0x .

Dokaz:Dokaz:

22

2

))((

)()(

))((

)()())((1)(

xf

xfxf

xf

xfxfxfxg

0)( g g L0 10 L

,,1)( xLxg

n

nxlim

Obzirom da je i neprekidna funkcija, postoji i ,

i takvo da je .Na osnovu teoreme 3 sledi da je .

Geometrijska interpretacija:

0

y

x

( )y f x

a 0b x1x2x

g

Teorema ( o izboru početne aproksimacije ):Teorema ( o izboru početne aproksimacije ): Neka je dva puta neprekidno diferencijabilna i neka je . Ako su i stalnog znaka na i :

R],[: baf0)()( bfaf f f

],[ ba ],[0 bax 0)()( 00 xfxf

...),1,0(,)(

)(1

n

xf

xfxx

n

nnn

0)( xf

],[,0)(,0)(;0)(,0)( baxxfxfbfaf

}{ nx

0:01 xn f2 kx

2)(!2

)()(

!1

)()())(()(3 k

kk

kkkk x

fx

xfxfxxff

0)( f 0)(!2

)( 2

kk x

f

,0)(!1

)()(

k

kk x

xfxf

, onda niz

konvergira rešenju jednačine .

Dokaz:Dokaz: Pretpostavimo da je .

Niz je ograničen odozdo sa : jer je i je monotono rastuća0)( 0 xf

pretpostavka: ( za neko k)

Obzirom da je i sledi da je

}{ nx

.0)(

)(1

n

nnn xf

xfxx

cxnnlim

n

,)(

)(

cf

cfcc

ccf 0)(

1)(

)(

k

k

kk x

xf

xfx . ( kraj dela dokaza mat.

indukcijom )

Niz je monotono opadajući:

Postoji .

Ako u (1) pređemo na graničnu vrednost kad , dobijamo

odnosno jer je jedinstven koren jednačine na intervalu (a,b)

Teorema ( o oceni greške ):Teorema ( o oceni greške ): Ako je dva puta neprekidno diferencijabilna funkcija, onda je

R],[: baf

2

11

2

2 nnn xxm

Mx

.)(2

)()(

)()(

)(2

)())(()())(()(

211

1

11

2111111

nnnnnn

nn

nnnnnnnnnn

xxcf

xxxx

xfxf

xxcf

xxxfxfxxxfxf

.22

)()( 2

11

22

111

nnnnn

n xxm

Mxx

m

cf

m

xfx

Dokaz:Dokaz:

0x 1x

0x1x

2x

2x

)(

)(1

n

nnn

xf

xfxx

1 ( ), ( 0,1, ...)( ) ( )

2

n nn n n

n n

nnn

x xx x f x n

f x f x

x xx

KOMBINOVANA METODAKOMBINOVANA METODA