Univerzitet u Nišu

Prirodno-matematički fakultet

Departman za matematiku

Master rad

Neke ocene sposobnosti procesa

Mentor Kandidat

dr Miodrag S. Đorđević Jovana D. Stevanović

Niš, decembar 2018.

2

Sadržaj 1. Uvod ................................................................................................................................... 3

2. 𝐶𝑝 indeks ............................................................................................................................ 6

2.1. 𝐶𝑝 indeks i procenat neusaglašenosti (%NC) ............................................................ 6

2.2. Ocena indeksa ........................................................................................................... 14

2.3. r-ti moment statistike 𝐶𝑝 ........................................................................................... 17

2.4. Intervalna ocena za 𝐶𝑝 .............................................................................................. 18

2.5. Određivanje obima uzorka za ocenu indeksa 𝐶𝑝 ...................................................... 20

2.6. Testiranje hipoteza o vrednostima indeksa 𝐶𝑝 .......................................................... 20

2.7. Testiranje Cp indeksa bazirano na 𝑋, 𝑅 kontrolnoj karti ........................................... 22

2.8. Testiranje Cp indeksa bazirano na 𝑋, 𝑆 kontrolnoj karti ............................................ 25

3. 𝐶𝑎 indeks .......................................................................................................................... 29

Ocena indeksa 𝐶𝑎 ...................................................................................................... 30

Prva dva momenta statistike 𝐶𝑎 ................................................................................ 31

Intervalna ocena za 𝐶𝑎 i testiranje hipoteza o vrednostima indeksa 𝐶𝑎 ................... 32

4. 𝐶𝑝𝑘 indeks ........................................................................................................................ 33

Ocena indeksa 𝐶𝑝𝑘 ................................................................................................... 38

r-ti moment statistike 𝐶𝑝𝑘 ......................................................................................... 40

Distribuciona svojstva indeksa 𝐶𝑝𝑘 .......................................................................... 41

Intervalna ocena za 𝐶𝑝𝑘 ............................................................................................ 41

Testiranje hipoteza o vrednostima indeksa 𝐶𝑝𝑘 ....................................................... 43

5. 𝐶𝑝𝑚 indeks ....................................................................................................................... 47

5.1. Ocena indeksa 𝐶𝑝𝑚 .................................................................................................. 49

5.2. Intervalna ocena za 𝐶𝑝𝑚 ........................................................................................... 49

5.3. Testiranje hipoteza o vrednostima indeksa 𝐶𝑝𝑚 ...................................................... 50

6. 𝐶𝑝𝑚𝑘 indeks ..................................................................................................................... 52

Ocena indeksa 𝐶𝑝𝑚𝑘 ................................................................................................ 54

Intervalna ocena za 𝐶𝑝𝑚𝑘 ........................................................................................ 56

Testiranje hipoteza o vrednostima 𝐶𝑝𝑚𝑘 indeksa .................................................... 57

7. Zaključak .......................................................................................................................... 61

8. Literatura .......................................................................................................................... 62

3

1. Uvod

Sposobnost procesa predstavlja izuzetno važan koncept i važnu ulogu u razumevanju

industrijskog menadžmenta. Pravi izazov na tržištu današnjice jeste postojanje vodeće karike

u produkciji visoko kvalitetnih produkata po minimalnoj ceni. Veliki uspesi u ovoj sferi se ne

mogu postići bez sistematskog pristupa, takav pristup mora sadržati takozvanu „statističku

kontrolu kvaliteta“.

Na osnovu svega se može postaviti pitanje realne potrebe i važnosti procene sposobnosti

procesa. Važnost se ogleda u tome što ona dozvoljava kvantifikaciju koliko dobro određeni

proces može kreirati proizvod koji je prihvatljiv. Kao rezultat, menadžer ili inženjer može

postaviti prioritete koji su neophodni za postizanje poboljšanja procesa i identifikaciju procesa

koji ne zahtevaju hitno poboljšanje. Kontrolom procesa dolazi do smanjenja škartnih

proizvoda, što smanjuje troškove proizvodnje, a povećava zadovoljstvo kupaca. Prednost

ovakvog načina rada daje dobre rezultate na duži vremenski period.

U savremenom svetu, kvalitet proizvoda i usluga je postao jedan od najbitnijih faktora u

procesima proizvodnje i uslužnim delatnostima. Sam kvalitet je povezan sa svim oblastima

ljudske delatnosti, kao što su industrija, trgovina, saobraćaj, nauka, obrazovanje, turizam itd.

Samim tim unapređenje kvaliteta proizvoda i usluga je logična posledica napretka svih

delatnosti.

Nauka o kontroli i poboljšanju kvaliteta proizvoda i usluga je relativno mlada nauka koja se

brzo razvija i napreduje. U današnje vreme, zahtevi za novim inovacijama, jedinstvenosti,

dobro osmišljenim proizvodima ili uslužnim programima, prilagođavanje promenljivim

tržišnim uslovima i zahtevima klijenata predstavljaju najveće zahteve standarde kvaliteta za

jednu modernu kompaniju. Uvođenjem sistema upravljanja kvalitetom, u firmi dolazi do

kontinuiranog poboljšanja, povećanja konkurentnosti, povećanja efikasnosti i profitabilnosti,

jasnih procedura, minimiziranja grešaka, smanjenju vremena proizvodnje, bolje motivacije,

bolje komunikacije i informisanosti, povećanja imidža, sigurnosti i pouzdanosti proizvoda ili

usluga, do boljeg upravljanja ljudskim potencijalima, do usmerenosti na kupce. Kupac je taj

koji određuje kvalitet, a ne proizvođač. Za ocenu kvaliteta neophodno je poznavati potrebe

korisnika.

Reč kvalitet potiče od latinske reči “qualitas”, a predstavlja svojstvo, odliku, značajnost,

sposobnost ili vrednost nekog proizvoda ili usluge. Kada govorimo o kvalitetu proizvoda,

najznačajniji aspekt jeste da li proizvod služi onome čemu je namenjen, da li je pouzdan, koliko

je jednostavno održavanje proizvoda i kolika je njegova trajnost, kao i da li pored osnovnih

namena, proizvod poseduje još neke dodatne funkcionalnosti. U uslužnom sektoru, da bi

korisnik izabrao neku uslugu, veliki uticaj ima profesionalizam pružaoca usluge, reputacija

same kompanije, kao i ponašanje i odnos prema klijentu.

Statistički metodi imaju važnu ulogu u kontroli i poboljšanju kvaliteta proizvoda i usluga.

Tokom procesa proizvodnje, različiti faktori utiču na proizvodnost, pa je neophodno proizvodni

proces nadgledati sve dok ne dostigne potrebnu stabilnost. To dovodi do merenja različitih

karakteristika proizvoda ili usluge, tj. do definisanja obeležja. Podaci koji se mere i prate mogu

biti kvantitativnog ili kvalitativnog tipa. Obeležja koja određuju kvalitet, ocenjuju se prema

4

unapred zadatim specifikacijama. Specifikacija predstavlja ciljnu (nominalnu) vrednost koju

bi posmatrano obeležje trebalo da dostigne. Prilikom definisanja specifikacije, pored ciljne

vrednosti definišu se još i gornja (USL-upper specification limit) i donja (LSL-lower

specification limit) specifikaciona granica. One predstavljaju najveću i najmanju dozvoljenu

vrednost koju proizvod može da ima, a da se ne smatra škartom, respektivno. Međutim nije

redak slučaj da nekim specifikacijama nisu zadate obe specifikacione granice. To su proizvodi

čije posmatrane karakteristike ne smeju da imaju vrednost manju od donje specifikacione

granice, da se proizvod ne bi smatrao škartom, a ne postoji gornja granica koja se ne sme

premašiti, i obrnuto. Ako neka karakteristika proizvoda ne zadovoljava specifikaciju, ne mora

značiti da je taj proizvod defektan. Тakav proizvod može biti proizvod sa neusaglašenostima.

Proizvod sa neusaglašenostima uz određene poteškoće može da ispuni zadatak kome je

namenjen za razliku od defektnog proizvoda.

U svakom procesu postoje nedostaci koji uzrokuju prepravke, dorade, gubitke i povećanje

troškova. Da bi se negativni faktori sveli na minimum, karakteristike kvaliteta treba pratiti

kontrolnim kartama. Ako se merene vrednosti nalaze u okviru kontrolnih granica, onda je

proces pod kontrolom, u suprotnom proces je izvan kontrole. Za proces izvan kontrole,

neophodno je sprovesti određene mere kako bi se proces vratio u stanje kontrole. Korišćenjem

kontrolnih karti, vrlo brzo se može otkriti da li u proizvodnom procesu postoje specijalni uzroci

varijacije koje treba otkloniti i to je glavna svrha kontrolnih karti. Međutim, nije i jedina,

kontrolne karte se mogu koristiti i za ocenjivanje nekih indeksa sposobnosti procesa.

Pored praćenja da li su u procesu prisutni specijalni uzroci varijacije, bitan podatak jeste i

sposobnost procesa koja se može pratiti indeksima sposobnosti procesa. Upotreba ovih indeksa

počela je još osamdesetih godina 20. veka. Iako ovi indeksi značajno utiču na poboljšanje

sposobnosti procesa, mora se voditi računa jer je njihova pogrešna upotreba i zloupotreba

veoma česta. Ukratko, bavićemo se proizvodnim procesom u kome je određena slučajna

promenljiva X. Pretpostavićemo da slučajna promenljiva X ima normalnu raspodelu,

𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2). Cilj je proizvoditi na takav način, tako da za svaku stavku izmerena vrednost za

X, bude 𝑋 = 𝑇, gde je 𝑇 ciljna vrednost. Sposobnost proizvodnog procesa zavisiće od:

1. disperzije 𝜎2

2. odnosa između očekivane vrednosti 𝜇 i ciljne vrednosti 𝑇.

Poslednjih 20 godina, napravljen je niz mera za upoređivanje zahteva specifikacije sa

sposobnošću proizvodnog procesa. Ove mere su u obliku indeksa, konstruisane tako da uzimaju

vrednost 1 za ispravno definisan bilans između mogućnosti procesa i ograničenja specifikacije.

Ovi indeksi su standardizovani i direktno povezani sa specifikacijom kupca. U tom smislu

pružaju zajedničko sredstvo komunikacije, nezavisno od tehničkih detalja proizvodnje,

tumačenje ovih indeksa zavisi od pretpostavki koje često nisu eksplicitno zadate. Radi lakšeg

razumevanja razlike između tipova granice koji postoje, u nastavku će biti navedena tabela

(Tabela 1.) vrsta granica koje se koriste u procesu kontrole kvaliteta.

5

Ime granice Značenje

Granice tolerancije Postavljene po inženjerski izračunatoj

funkciji da definiše minimalne i maksimalne

vrednosti tako da proizvod pravilno radi.

Granice statističke tolerancije Računaju se na osnovu podataka dobijenih iz

procesa, kako bi se definisale količine

varijacije koju je proces izazvao. Ova granice

sadrže navedeni procenat ukupne populacije.

Granice predviđanja Računaju se na osnovu podataka iz procesa,

kako bi se definisale granice koje će sadržati

svih 𝑘 budućih opservacija.

Granice poverenje Računaju se na osnovu podataka, kako bi se

definisao interval unutar koga se nalazi

parametar raspodele.

Kontrolne granice Računaju se na osnovu podataka iz procesa,

kako bi se definisale granice slučajne

varijacije oko neke centralne vrednosti. Tabela 1. Razlika između granica. [1]

U ovom radu ćemo proučavati različite tipove indeksa. U poglavljima dva, tri, četiri, pet i šest

biće date definicije indeksa, njihove ocene, intervalne ocene i testiranje hipoteza indeksa

𝐶𝑝, 𝐶𝑎, 𝐶𝑝𝑘, 𝐶𝑝𝑚, 𝐶𝑝𝑚𝑘, respektivno.

6

2. 𝐶𝑝 indeks

2.1. 𝐶𝑝 indeks i procenat neusaglašenosti (%NC)

Proces proizvodnje prolazi kroz nekoliko faza testiranja pre nastupanja serijske

proizvodnje. To može biti testiranje i provera sirovina potrebnih za proizvodnju u fabrici

dobavljača, inicijalno testiranje pogona koji će se koristiti u proizvodnji i završno testiranje

pre serijske proizvodnje. Ta testiranja imaju za cilj proveru da li su dobijeni proizvodi u skladu

sa odgovarajućom specifikacijom. U tu svrhu, poslednjih dvadeset godina, proučavani su i

istraživani indeksi sposobnosti procesa. Ovi indeksi predstavljaju izuzetno praktičan alat za

poboljšanje kvaliteta i implementaciju novog programa, iz razloga što oni kvalifikuju

potencijal i performanse procesa. Navedene karakteristike ovih indeksa su dovoljan razlog za

tako dugotrajno istraživanje istih. Jedan od indeksa koji spada u ovu grupu jeste Cp (PCR -

Process Capability Ratio) indeks, koji je definisao Kane 1986. godine. Često se koristi tokom

faze projektovanja proizvoda i faze pilot proizvodnje. Ovaj indeks se još naziva indeksom prve

generacije.

Definicija 1. 𝐶𝑝 indeks definisan je na sledeći način:

𝐶𝑝 =𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿

6𝜎,

gde je USL gornja specifikaciona granica, LSL donja specifikaciona granica, a parametar σ je

standardna devijacija procesa.

𝐶𝑝 indeks upoređuje dozvoljeno širenje procesa sa stvarnim širenjem procesa i može se smatrati

pokazateljem potencijala procesa da proizvede odgovarajući proizvod. Pomeranje procesa

predstavlja pomeranje vrednosti posmatrane karakteristike ka bilo kojoj od granica

specifikacije, pri čemu se i dalje može održavati visoka vrednost ovog indeksa.

Slika 1. Raspodela pet populacija. [2]

Na primer, na slici 1, možemo videti normalne raspodele pet uzoraka, 𝑁(𝜇𝑖, 𝜎2), 𝑖 = 1,… ,5,

pri čemu će svaki od ovih pet uzoraka imati skoro istu vrednost 𝐶𝑝 indeksa. Ovo sledi iz

činjenice da svih pet uzoraka ima istu varijansu. Na prikazanoj slici vidimo da je proces jedan

centriran između gornje i donje specifikacione granice, procesi dva i tri su takođe unutar

7

specifikacionih granica pa ove procese treba proglasiti sposobnim. Kako procesi četiri i pet

izlaze van granica specifikcije, oni nisu sposobni da ispune propisane zahteve. Ako bismo

posmatrali samo dobijene vrednosti 𝐶𝑝 indeksa, ove procese bismo proglasili sposobnim. Iz

tog razloga, pogrešna upotreba ovih indeksa može dovesti do velikih gubitaka i moguća

prilagođavanja procesa bi mogla biti jako skupa, te je neophodno ispuniti tri pretpostavke kako

bi se pogrešna tumačenja isključila:

1. karakteristika kvaliteta mora biti raspodeljena po normalnom zakonu raspodele

2. proces mora biti u stanju statističke kontrole

3. u slučaju dvostranih specifikacija, srednja vrednost mora biti centrirana između gornje

i donje specifikacione granice.

Uz pretpostavku normalnosti raspodele karakteristike kvaliteta koja generiše proces,

𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2), na osnovu tablice standardne normalne raspodele, dolazimo do verovatnoće

pojavljivanja vrednosti slučajne promenljive X u određenim intervalima, u odnosu na srednju

vrednost 𝜇.

P{𝜇 − 𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + 𝜎} = 68,26% ,

P{𝜇 − 2𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + 2𝜎} = 95,46% ,

P{𝜇 − 3𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + 3𝜎} = 99,73%.

Slika 2: Raspodela verovatnoća oko srednje vrednosti. [3]

Kada podaci slede normalnu raspodelu, ovo dokazuje da će se van intervala širine 6𝜎 naći

zanemarljiv broj podataka, 0,27%. Zbog toga se u praksi granice od ±3𝜎 uzimaju kao granice

verovatnoće za ocenu stabilnosti neke pojave. Ovo podrazumeva da ako je sposobnost procesa

takva da 99,73% vrednosti posmatrane karakteristike kvaliteta pada unutar granica intervala

tolerancije, onda je 𝐶𝑝 = 1.

8

Slika 3. Karakteristika kvaliteta sa donjom i gornjom specifikacionom linijom. [4]

Slično tome, ako 99,9999998% vrednosti posmatrane karakteristike kvaliteta pada unutar

granica intervala tolerancije, tada je PCR=2, jer je USL-LSL=12σ, uz pretpostavku normalnosti

raspodele karakteristike kvaliteta. Procenat odbačenih vrednosti u tom slučaju je 0,0000002%.

Posmatrajmo karakteristiku kvaliteta 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2).

Za proces sa dvostranim specifikacionim granicama, procenat neusaglašenih vrednosti

(percentage of non-conforming items %NC) može se izračunati kao:

%𝑁𝐶 = P{𝑋 < 𝐿𝑆𝐿} + P{𝑋 > 𝑈𝑆𝐿}

= P {Z <𝐿𝑆𝐿 − µ

𝜎} + P {Z >

𝑈𝑆𝐿 − 𝜇

𝜎},

gde su µ i σ sredina i standardna devijacija procesa, redom.

Neka je 𝑚 srednja vrednost između gornje i donje specifikacione granice

𝑚 =𝑈𝑆𝐿 + 𝐿𝑆𝐿

2.

Dobijena vrednost 𝑚 je nominalna vrednost.

Neka se sredina raspodele µ podudara sa nominalnom vrednošću m i neka su dve odsečene

oblasti međusobno jednake, tada se procenat defekta može zapisati kao:

%𝑁𝑃 = 2 × P {Z <𝐿𝑆𝐿 − µ

𝜎} ili %𝑁𝑃 = 2 × P {Z >

𝑈𝑆𝐿 − µ

𝜎 }.

Koristeći jednakost 𝑚 =𝑈𝑆𝐿+𝐿𝑆𝐿

2, izraz sa desne strane gornje jednakosti jednak je:

9

2 × P {Z <𝐿𝑆𝐿 − µ

𝜎} = 2 × P{Z <

𝐿𝑆𝐿 −𝑈𝑆𝐿 + 𝐿𝑆𝐿

2𝜎

}

= 2 × P {Z <𝐿𝑆𝐿 − 𝑈𝑆𝐿

2𝜎}

= 2 × P {Z <−6 × 𝜎 × 𝐶𝑝

2𝜎} , za 𝐶𝑝 =

𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿

6𝜎

= 2 × P{Z < −3𝐶𝑝} .

Slično:

2 × P {Z >𝑈𝑆𝐿 − µ

𝜎} = 2 × P{Z >

𝑈𝑆𝐿 −𝑈𝑆𝐿 + 𝐿𝑆𝐿

2𝜎

}

= 2 × P {Z >𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿

2𝜎}

= 2 × P{Z > 3𝐶𝑝} .

Tada je procenat neusaglašenih proizvoda jednak:

%𝑁𝐶 = 2 × P{Z < −3𝐶𝑝} ili %𝑁𝐶 = 2 × P{Z > 3𝐶𝑝} .

Primer 1. Neka su gornja i donja specifikaciona granica za izradu osovine date sa

(0.995", 1.005") . Pretpostavimo da unutrašnji prečnici generisani mašinom prate normalnu

raspodelu sa srednjom vrednošću 1.000" i standardnom devijacijom koja se procenjuje na

0.002". Izračunati Cp indeks ovog procesa i proceniti broj defekata.

𝐶𝑝 =𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿

6𝜎

=1,005 − 0,995

6 × 0,002

= 0,8333.

Procenat defekata iznosi:

%𝑁𝑃 = 2 × P{Z > 3𝐶𝑝}

= 2 × P{Z > 3 × 0,8333}

= 2 × P{Z > 2,4999}

= 2 × 0.0062

= 0,0122.

10

Ovaj rezultat se može izraziti kao 1,22% ili 12200 defekata na 1000000 proizvedenih osovina

na jednoj mašini.

U sledećoj tabeli su prikazane neke minimalne vrednosti 𝐶𝑝 indeksa preporučene za neke

stadijume procesa:

Tabela 2. Vrednosti 𝐶𝑝 za stadijume procesa

Ukoliko za tumačenje sposobnosti koristimo preporučenu tabelu, dolazimo do zaključka da je

proces iz primera 1 vrlo upitan, te je stoga neophodno nadgledanje i kontrolisanje njegovih

sposobnosti.

Ipak, u nekim slučajevima, karakteristika kvaliteta ne mora uvek zadovoljavati obe

specifikacione granice. Pretpostavimo da karakteristika kvaliteta ima samo jednu

specifikacionu granicu.

𝐶𝑝 indeks za karakteristike kvaliteta sa samo jednom specifikacionom linijom, bilo gornjom ili

donjom, računa se malo drugačije od indeksa karakteristike kvaliteta sa obema specifikacionim

linijama. U tom slučaju je od značaja posmatrati interval tolerancije od specifikacione granice

do sredine µ, raspodele posmatrane karakteristike. Ovo rastojanje jednako je (𝑈𝑆𝐿 − µ) u

slučaju kada karakteristika kvaliteta ima samo gornju specifikacionu liniju i (µ − 𝐿𝑆𝐿) u

slučaju donje specifikacione linije.

Slika 4. Karakteristika kvaliteta sa donjom specifikacionom linijom. [4]

Cp Sposobnost procesa

>1,33 Proces može biti sposoban

1,00 do 1,33 Moguća sposobnost je upitna, a proces i

dalje treba nadzirati

<1,00 Vrlo upitna sposobnost procesa

11

Slika 5. Karakteristika kvaliteta sa gornjom specifikacionom linijom. [4]

Pretpostavimo da je karakteristika kvaliteta X normalno raspodeljena 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2). Cp indeks

u tom slučaju iznosi:

𝐶𝑝 = {

𝑈𝑆𝐿 − 𝜇

3𝜎, 𝑢 𝑠𝑙𝑢č𝑎𝑗𝑢 𝑔𝑜𝑟𝑛𝑗𝑒 𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑘𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑖𝑐𝑒,

𝜇 − 𝐿𝑆𝐿

3𝜎, 𝑢 𝑠𝑙𝑢č𝑎𝑗𝑢 𝑑𝑜𝑛𝑗𝑒 𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑘𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑖𝑐𝑒.

Procenat neusaglašenih proizvoda se može izraziti kao:

%𝑁𝐶 = P{X < 𝐿𝑆𝐿}

= P {Z <𝐿𝑆𝐿 − 𝜇

𝜎}

= P {Z <−3𝜎𝐶𝑝

𝜎}

= P{Z < −3𝐶𝑝}.

Ili

%𝑁𝐶 = 𝑃{𝑋 > 𝑈𝑆𝐿}

= 𝑃 {𝑍 >𝑈𝑆𝐿 − 𝜇

𝜎}

= 𝑃 {𝑍 >3𝜎𝐶𝑝

𝜎}

= 𝑃{𝑍 > 3𝐶𝑝}.

Primer 2. U toku proizvodnje podova, utvrđeno je da hrapavost površine podova ne sme biti

veća od 0.02 jedinice. Izabran je uzorak podova, čija je srednja hrapavost iznosila 0.01, a

standardna devijacija 0.003. Izračunati Cp indeks ovog procesa i proceniti koliki broj defekata

12

se očekuje u toku proizvodnog procesa. Pretpostavka je da površina merenja hrapavosti podova

prati normalnu raspodelu.

𝐶𝑝 =𝑈𝑆𝐿 − µ

3𝜎

=0,02 − 0,01

3 × 0,003

= 1,111.

Procenat defekata iznosi:

%𝑁𝐶 = P{Z > 3𝐶𝑝}

= P{Z > 3 × 1,111}

= 0,0004.

Ovaj rezultat se može izraziti kao 0.04% ili 400 defekata na 1000000 proizvedenih podova na

jednoj mašini.

Kako je 1,00 < 𝐶𝑝 = 1,111 < 1,33, sposobnost ovog procesa je upitna i proces treba dalje

nadgledati.

Ograničenja za vrednost indeksa Cp, u slučaju kada karakteristika kvaliteta ima i gornju i donju

specifikacionu granicu, proističu iz pretpostavke da je raspodela posmatrane karakteristike

normalna i da je srednja vrednost jednaka nominalnoj veličini. Ako pak karakteristika kvaliteta

ima samo jednu specifikacionu granicu, ograničenja indeksa Cp postoje zbog pretpostavke

normalnosti raspodele posmatrane karakteristike.

Procene broja defekata za karakteristiku kvaliteta, bilo sa dve ili sa jednom specifikacionom

granicom, neće biti validne ako karakteristika kvaliteta nije normalno raspodeljena.

Ako je karakteristika kvaliteta normalno raspodeljena i ima dve specifikacione granice, a

srednja vrednost nije jednaka nominalnoj vrednosti, tada indeks Cp neće predstavljati pravu

sliku broja defekata. Ovo se može pokazati sledećim primerom.

13

Slika 6. Tri procesa sa različitim srednjim vrednostima. [4]

Primer 3. Posmatramo tri procesa, proces A, proces B i proces C koji su prikazani na slici 6.

Oni proizvode istu komponentu, koja ima karakteristiku kvaliteta sa donjom i gornjom

specifikacionom granicom, koje iznose 4 i 16 respektivno. Nominalna vrednost je jednaka 10.

Sva tri procesa imaju istu standardnu devijaciju, koja iznosi 1.5 jedinice.

Vrednost indeksa Cp iznosi:

𝐶𝑝 =16 − 4

6 × 1,5= 1,33.

Koristeći formulu za procenat defektnih proizvoda dolazimo do:

%𝑁𝐶 = 2 × P{Z > 3 × 1,33}

= 2 × P{Z > 4,00}

= 2 × 0,0000317

= 0,0000634.

14

Posmatrajmo sada proces A, gde je 𝜇𝐴 = 10

%𝑁𝐶 = P{X < 4} + P{X > 16}

= P {Z <4 − 10

1,5} + P {Z >

16 − 10

1,5}

= P{Z < −4} + P{Z > 4}

= 2 × 0,0000317

= 0,0000634.

Dobili smo isto rešenje kao i koristeći formulu za procenat neusaglašenih proizvoda, jer je kod

procesa A zadovoljena pretpostavka da je srednja vrednost jednaka nominalnoj vrednosti.

Procenat neusaglašenih proizvoda kod procesa B, 𝜇𝐵 = 8,5 , iznosi:

%𝑁𝐶 = P{X < 4} + P{X > 16}

= P {Z <4 − 8,5

1,5} + P {Z >

16 − 8,5

1,5}

= P{Z < −3} + P{Z > 5}

= 0,001350 + 0,000000287

= 0,00135029.

U procesu C, 𝜇𝐶 = 14 , procenat neusaglašenih proizvoda iznosi:

%𝑁𝐶 = P{X < 4} + P{X > 16}

= P {Z <4 − 14

1,5} + P {Z >

16 − 14

1,5}

= P{Z < −6,67} + P{Z > 1,33}

= 0 + 0,0918

= 0,0918.

Kao što se vidi iz prethodnog primera, odstupanje sredine od nominalne veličine značajno utiče

na procenat broja proizvedenih defekata. Ovaj problem je rešen uvođenjem novog indeksa Cpk,

o kome će biti reči u poglavlju 4.

2.2. Ocena indeksa

U ovom odeljku ćemo se baviti koracima koje treba preduzeti prilikom procene indeksa.

Glavni zadaci jesu pravilno ocenjivanje srednje vrednosti i standardne devijacije posmatrane

karakteristike kvaliteta, ali pored toga, potrebno je ispitati da li je posmatrana karakteristika

normalno raspodeljena. U procesu proizvodnje dosta vremena treba posvetiti celokupnom

planiranju. Dobrom strategijom i planom, smanjuju se utrošak u vremenu i novcu, povećava

15

se efikasnost proizvodnog procesa, umanjuju šanse za greške u dizajnu i nezadovoljstvo

kupaca.

Korak 1: Prikupljanje podataka. Na slučajan način potrebno je sakupiti veliki broj

podataka, pri čemu se mora voditi računa da proces i dalje ostane pod statističkom kontrolom.

Za prikupljanje i korišćenje tih podataka u daljoj analizi i proučavanju sposobnosti procesa,

neophodna je dozvola kupca. Pre samog izvršenja ovog koraka treba unapred imati definisane

metode koje će se koristiti za prikupljanje podataka.

Korak 2: Analiza podataka. Drugi korak je analiza prikupljenih podataka u koraku 1.

Za računanje indeksa sposobnosti procesa, neophodno je da budu zadovoljeni uslovi

normalnosti, tako da se ovaj korak može odnositi na takvu proveru.

Korak 3: Računanje indeksa kapaciteta procesa. Sredina 𝜇 i standardna devijacija 𝜎 se

ocenjuju na osnovu izabranog uzorka. Kupac treba da bude obavešten o tome koji metod će se

koristi za ocenu. Takođe, kupac se mora složiti sa specifikacionim granicama koje će se koristiti

u izračunavanju. Dobijene vrednosti za indekse treba uzeti sa rezervom, jer nijedna indeksna

vrednost ne može da predstavi kompletnu sliku jednog proizvodnog procesa. Upotreba indeksa

se mora spojiti sa poznavanjem tehničke prirode procesa i proizvoda. Treba imati na umu da

su sve izračunate indeksne vrednosti samo procene vrednosti tih indeksa.

Za dobijanje ocene indeksa 𝐶𝑝 ocenjuju se srednja vrednost i standardna devijacija procesa.

Kako je indeks 𝐶𝑝 validan samo u slučaju kada se srednja vrednost procesa poklapa sa ciljnom

vrednošću, ocena srednje vrednosti nema uticaj na rezultat izračunavanje indeksa 𝐶𝑝. S toga za

ocenu indeksa 𝐶𝑝 potrebno je oceniti samo parametar 𝜎. Neka je dat uzorak veličine 𝑛,

{𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛}, ocena indeksa Cp, u oznaci �̂�𝑝 je:

�̂�𝑝 =𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿

6𝑠,

gde je 𝑠 = [ ∑ (𝑥𝑖 − �̅�)²/(𝑛 − 1) 𝑛𝑖=1 ]1/2 ocena standardne devijacije 𝜎, dobijene iz procesa

koji je pod statističkom kontrolom.

Pod pretpostavkom normalnosti, Chou i Owen su 1989. godine su dali funkciju gustine ocene

�̂�𝑝 sa:

𝑓(𝑥) =

2 [√𝑛 − 12 𝐶𝑝]

𝑛−1

Γ [𝑛 − 12 ]

𝑥−𝑛exp [−(𝑛 − 1)𝐶𝑝

2

2𝑥2] , 𝑥 > 0.

U praksi se često dešava da je zbog kompleksnosti proizvodnog procesa neophodno posmatrati

uzorak obima većeg od jedan. Posmatrajmo m uzoraka, svaki veličine n. Interesuje nas ocena

𝐶𝑝 indeksa. Ovim problemom su se bavili Kirmani i dr. i predložili su sledeću ocenu Ĉ𝑝∗ :

Ĉ𝑝∗ =

(𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿)𝑑𝑝

6,

16

gde je

𝑑𝑝 = √𝑚(𝑛 − 1) − 1

𝑚(𝑛 − 1)

휀𝑚(𝑛−1)−1𝑠𝑝

,

휀𝑚(𝑛−1)−1 = Ε [𝜒𝑚(𝑛−1)−1

√𝑚(𝑛 − 1) − 1]

= √2

𝑚(𝑛 − 1) − 1Γ(𝑚(𝑛 − 1)

2) [Γ (

𝑚(𝑛 − 1) − 1

2)]

−1

i

𝑠𝑝2 =

1

𝑚(𝑛 − 1)∑(𝑛 − 1)𝑠𝑖

2 =1

𝑚

𝑚

𝑖=1

∑𝑠𝑖2

𝑚

𝑖=1

.

Podsetimo se da je pod pretpostavkom normalnosti, statistika 𝑠𝑝

𝜎 raspodeljena kao:

𝑠𝑝

𝜎~

𝜒𝑚(𝑛−1)−1[𝑚(𝑛 − 1) − 1]1 2⁄

.

Iz poslednjeg izraza sledi da je ocena indeksa raspodeljena kao:

Ĉ𝑝∗~

√𝑚(𝑛 − 1) − 1 휀𝑚(𝑛−1)−1

√𝜒𝑚(𝑛−1)2

𝐶𝑝.

Primetimo da za 𝑚 = 1, dobijamo ocenu koju smo izveli ranije za slučaj sa individualnim

merenjima.

Ocena Ĉ𝑝∗ je nepristrasna ocena indeksa 𝐶𝑝 i funkcija gustine raspodele, 𝑔(𝑦), 𝑦 > 0 može se

dobiti koristeći funkciju gustine 𝜒2 raspodele. Označimo se ℎ ≡ [𝑚(𝑛 − 1) − 1]휀𝑚(𝑛−1)−12 𝐶𝑝

2,

tada dobijamo da je:

𝑔(𝑦) =2ℎ𝑚(𝑛−1)/2

2𝑚(𝑛−1)/2 Γ[𝑚(𝑛 − 1)/2]𝑦−[𝑚(𝑛−1)+1]exp [−

ℎ

2(1

𝑦2)].

Ne tako davno, 2003. godine, Pearn i Yang su istraživali i proučavali statističke karakteristike

ocene Ĉ𝑝∗ . Rezultati do kojih su došli su sledeći:

ocena Ĉ𝑝∗ postojana,

asimptotski efikasna,

(𝑚𝑛)1

2(�̃̄�𝑝∗ − 𝐶𝑝) konvergira u raspodeli ka 𝑁 (0,

𝑐𝑝2

2).

17

Varijansa ocene Ĉ𝑝∗ se može izračunati kao:

𝑉𝑎𝑟(Ĉ𝑝∗ ) = E [(Ĉ𝑝

∗ )2] − [E(Ĉ𝑝

∗ )]2

= (𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿)2휀𝑚(𝑛−1)−12

[𝑚(𝑛 − 1) − 1]

36𝑚(𝑛 − 1)E(

1

𝑠𝑝2) − 𝐶𝑝

2

= 𝐶𝑝2 {[

𝑚(𝑛 − 1) − 1

𝑚(𝑛 − 1) − 2] 휀𝑚(𝑛−1)−1

2 − 1} = 𝐶𝑝2 {

1

휀𝑚(𝑛−1)−22 − 1}.

2.3. r-ti moment statistike �̂�𝑝

Koristeći osobine χ2 raspodele, r-ti moment statistike �̂�𝑝 se može odrediti kao:

𝐸(Ĉ𝑝𝑟) =Γ (𝑛 − 𝑟 − 1

2 )

Γ (𝑛 − 12 )

[𝑛 − 1

2]

𝑟2𝐶𝑝𝑟 ,

gde je Γ(𝑘), gama funkcija, definisana sa Γ(𝑘) = ∫ 𝑡𝑘−1∞

0𝑒−𝑡 𝑑𝑡.

Na osnovu r-tog momenta, možemo naći prvi i drugi moment:

𝐸(�̂�𝑝) =Γ (𝑛 − 22 )

Γ (𝑛 − 12 )

[𝑛 − 1

2]

12𝐶𝑝,

𝐸(�̂�𝑝2) =

Γ (𝑛 − 32 )

Γ (𝑛 − 12 )

𝑛 − 1

2𝐶𝑝2 =

𝑛 − 1

𝑛 − 3𝐶𝑝

2,

pa dobijamo:

𝑉𝑎𝑟(�̂�𝑝) = {𝑛 − 1

𝑛 − 3−𝑛 − 1

2[Γ (𝑛 − 22 )

Γ (𝑛 − 12 )

]

2

}𝐶𝑝2.

Na osnovu definicije gama funkcije, koeficijent 𝐸(�̂�𝑝) > 1, za svako n. Za 𝑛 ≥ 15, ovaj

koeficijent se može aproksimirati sa (4𝑛 − 7) (4𝑛 − 4)⁄ . Stoga, ocena �̂�𝑝 je pristrasna ocena

indeksa 𝐶𝑝.

18

Godine 1998. dobijena je nepristrasna ocena, �̃�𝑝 = 𝑏𝑛−1�̂�𝑝, gde je

𝑏𝑛−1 = √2

𝑛 − 1

Γ (𝑛 − 12 )

Γ (𝑛 − 22 )

.

2.4. Intervalna ocena za 𝐶𝑝

Od velikog je značaja odrediti skup, odnosno podskup realnog prostora za koji se može

smatrati da sadrži pravu vrednost indeksa. Ocena indeksa 𝐶𝑝 se računa na osnovu uzorka.

Međutim tokom procesa uzorkovanja može doći do određenih grešaka, što će kasnije uticati i

dobijene rezultate. Iz tog razloga, poželjno je izgraditi interval poverenja sa željenom, velikom,

verovatnoćom. Posmatrajmo sledeću verovatnoću:

P

[ √𝜒1−𝛼

2,𝑛−1

2

√𝑛 − 1Ĉ𝑝 < 𝐶𝑝 <

√𝜒𝛼2,𝑛−1

2

√𝑛 − 1Ĉ𝑝

]

= 1 − 𝛼

𝑖𝑙𝑖 P

[ √𝜒𝑛−1,1−𝛼/2

2

√𝑛 − 1 𝑏𝑛−1𝐶 𝑝 < 𝐶𝑝 <

√𝜒𝑛−1,𝛼/22

√𝑛 − 1 𝑏𝑛−1𝐶 𝑝

]

= 1 − 𝛼.

Odavde se dobija interval kao skup mogućih vrednosti za parametar 𝐶𝑝, sa nivoom poverenja

1 − 𝛼.

[ √𝜒1−𝛼

2,𝑛−1

2

√𝑛 − 1Ĉ𝑝,

√𝜒𝛼2,𝑛−1

2

√𝑛 − 1Ĉ𝑝

]

𝑖𝑙𝑖

[ √𝜒1−𝛼

2,𝑛−1

2

√𝑛 − 1 𝑏𝑛−1𝐶 𝑝,

√𝜒𝛼2,𝑛−1

2

√𝑛 − 1 𝑏𝑛−1𝐶 𝑝

]

,

gde su 𝜒𝑛−1,1−𝛼/22 i 𝜒𝑛−1,𝛼/2

2 kvantili1 reda 𝛼

2 i 1 −

𝛼

2 𝜒2 raspodele sa 𝑛 − 1 stepeni slobode.

U slučaju većih uzoraka, 𝜈 > 30, mogu se uzeti neke od sledećih aproksimacija:

R. A. Fisher je predložio aproksimaciju:

𝜒ν,α ≈ √(ν − 0.5) +Z𝒂

√2 .

1 Za slučajnu promenljivu 𝑋, kvantil reda 𝑝, 𝑝 ∈ (0,1), je vrednost slučajne promenljive 𝑀𝑝 sa osobinom

𝑃{𝑋 < 𝑀𝑝} ≤ 𝑝 i 𝑃{𝑋 > 𝑀𝑝} ≤ 1 − 𝑝.

19

E. Wilson i M.Hilferty predlažu:

𝜒ν,α ≈ 𝜈12 [1 −

2

9𝜈+ Z𝑎 (

2

9𝜈)

12]

32

,

gde je Z𝑎 je odgovarajući kvantil reda 1 − 𝑎, standardne normalne raspodele, a 𝜈 je broj stepeni

slobode.

Sa ovim aproksimacijama, dobijamo približno 100(1 − 𝛼)% interval poverenja za Cp na

sledeći način:

Ako posmatramo Fisher-ovu aproksimaciju, interval poverenja je:

[1

(𝑛 − 1)1 2⁄{(𝑛 −

3

2)1 2⁄

−𝑧𝛼/2

√2}Ĉ𝑝 ,

1

(𝑛 − 1)1 2⁄{(𝑛 −

3

2)1 2⁄

+𝑧𝛼/2

√2} Ĉ𝑝 ].

Ako posmatramo Wilson-Hilferty-ovu aproksimaciju, tada je interval poverenja:

[{1 −2

9(𝑛 − 1)− 𝑧𝛼/2 (

2

9(𝑛 − 1))1/2

}

3 2⁄

Ĉ𝑝, {1 −2

9(𝑛 − 1)+ 𝑧𝛼/2 (

2

9(𝑛 − 1))1/2

}

3 2⁄

].

W.D. Heavlin je 1988. godine razvio granice intervala poverenja koje se baziraju na

aproksimativnim vrednostima momenata statistike 𝑠−1. Interval poverenja, u tom slučaju je:

[{1 − [1

2(𝑛 − 3)(1 +

6

𝑛 − 1)]

12𝑧𝛼2}Ĉ𝑝, {1 + [

1

2(𝑛 − 3)(1 +

6

𝑛 − 1)]

12𝑧𝛼2}Ĉ𝑝].

Kao i u slučaju uzorka obima 1, tako i u slučaju uzorka obima većeg od 1, poželjno je

odrediti interval poverenja za indeks 𝐶𝑝. Ovaj problem su proučavali Kirmani i dr. pri čemu su

koristili donju granicu intervala poverenja, koja odgovara minimalnoj propisanoj vrednosti

sposobnosti procesa. Kako se u ovom slučaju vrši uzorkovanje m uzoraka u različitim

vremenskim trenucima, mogućnost za grešku je veća. U tom slučaju donja granica

100(1 − 𝛼)% jednostranog intervala poverenja je:

𝐶𝐿∗ = Ĉ𝑝

∗√𝜒1−𝛼,𝑚(𝑛−1)2

[𝑚(𝑛 − 1) − 1]휀𝑚(𝑛−1)−12 .

20

2.5. Određivanje obima uzorka za ocenu indeksa 𝐶𝑝

U fazi planiranja ocenjivanja procesa, velika pažnja se posvećuje odabiru slučajnog

uzorka za ocenu indeksa. Postavlja se pitanje koliki će obim uzorka biti zadovoljavajući za

procenu indeksa 𝐶𝑝. Između ostalog, mora se voditi računa da proces ostane pod statističkom

kontrolom i da je kupac saglasan sa preporučenim obimom uzorka i izabranom metodom.

Uzorak većeg obima je svakako preporučljiviji, ali mnogi drugi faktori utiču na izbor, kao što

su ekonomičnost i održavanje procesa stabilnim. Izučavanjem tog problema bavio se L. A.

Franklin je i on je 1999. godine izveo formulu za određivanje obima uzorka za procenu indeksa

Cp, koja se bazira na Wilson-Hilferty-ovoj aproksimaciji. Obim uzorka n, može se odrediti iz

formule:

𝑛 ≅ 1 +2

9

1

𝑧𝛼2 +

√1 + (𝑧𝛼2 )

2

− (𝐶𝑝𝐿

Ĉ𝑝)

23

, 𝑛 ∈ Ν,

gde je 𝐶𝑝𝐿 = √

𝜒1−𝛼,𝑛−12

𝑛−1

𝐶 𝑝

𝑏𝑛−1= √

𝜒1−𝛼,𝑛−12

𝑛−1Ĉ𝑝 donja granica jednostranog intervala poverenja sa

nivoom poverenja 1 − 𝛼.

2.6. Testiranje hipoteza o vrednostima indeksa 𝐶𝑝

U okviru skoro svakog proizvodnog i uslužnog procesa neizostavno je učešće i drugih

proizvođača u vidu materijala koje dostavljaju, sirovina, pružanja različitih vrsta usluga i

drugih propratnih elemenata. Praksa koja je sve zastupljenija u industriji jeste da se od

dobavljača zahteva da demonstrira sposobnost procesa kao deo ugovora. Stoga je neophodno

pokazati da sposobnost procesa, indeks Cp, ispunjava ili premašuje neku ciljnu vrednost, na

primer C. Ovaj problem možemo formulisati kao testiranje hipoteze. Posmatrajmo dve

hipoteze, nultu i alternativnu, redom:

𝐻0: 𝐶𝑝 ≤ 𝐶 (proces nije sposoban),

𝐻1: 𝐶𝑝 > 𝐶 (proces je sposoban).

Za slučaj sa individualnim merenjima, kada je obim uzorka 1, Pearn i dr. su 1998. godine

razmatrali vrednost odluke 𝜙(𝑥) = 1 kada je �̃�𝑝 > 𝑐0 i vrednost odluke je 𝜙(𝑥) = 0, u ostalim

slučajevima.

Ovaj test odbacuje nultu hipotezu ako je 𝐶 𝑝 > 𝑐0, sa greškom prve vrste, 𝛼(𝑐0) = 𝛼

(verovatnoća da se proces koji nije sposoban, proglasi sposobnim). Test 𝜙 je uniformno

najmoćniji test i poseduju minimalnu grešku druge vrste među svim nepristrasnim testovima.

21

Granica kritične oblasti 𝑐0 se može dobiti kao:

𝑐0 =√𝑛 − 1 𝑏𝑛−1

√𝜒1−𝛼,𝑛−12

𝐶,

pri čemu je 𝑏𝑛−1 = √2

𝑛−1

𝛤(𝑛−1

2)

𝛤(𝑛−2

2).

Testiranjem hipoteza mera sposobnosti procesa, kompanija koja zavisi od dobavljača ima

potpunu sliku i uvid u proizvod ili sirovinu koju će kasnije koristiti u svom proizvodnom

procesu. Na taj način, kompanija se štiti u fazi prijema materijala od dobavljača.

U slučaju uzorka obima većeg od 1, od dobavljača se takođe zahteva da demonstrira

sposobnost procesa. Takav postupak može se poistovetiti sa testiranjem hipoteza. Da bi se

utvrdilo da li proces ispunjava zahteve preciznosti, posmatraćemo dve hipoteze, nultu i

alternativnu respektivno:

𝐻0: 𝐶𝑝 ≤ 𝐶 proces nije sposoban,

𝐻1: 𝐶𝑝 > 𝐶 proces je sposoban.

Razmatra se vrednost odluke 𝜙′(𝑥) = 1 kada je �̂�𝑝∗ > 𝑐0

′ i vrednost odluke 𝜙′(𝑥) = 0, u

ostalim slučajevima.

𝜙′ test odbacuje nultu hipotezu ako je Ĉ𝑝∗ > 𝑐0

′ , sa greškom prve vrste, 𝛼(𝑐0′ ) = 𝛼 (verovatnoća

da se nesposoban proces proglasi sposobnim). Kritična vrednost 𝑐0′ , nivoa značajnosti 𝛼 se

može dobiti rešavajući jednačinu:

P(Ĉ𝑝∗ > 𝑐0

′ | 𝐻0: 𝐶𝑝 ≤ 𝐶)

= P(𝜒𝑚(𝑛−1)2 <

[𝑚(𝑛 − 1) − 1]휀𝑚(𝑛−1)−12

𝑐0′2 𝐶2) = 𝛼.

Daljim rešavanjem dolazimo do integrala,

1 − ∫2𝑘𝑚(𝑛−1) 2⁄

2𝑚(𝑛−1) 2⁄ Γ[𝑚(𝑛 − 1) 2⁄ ]𝑦−[𝑚(𝑛−1)+1]

𝑐0′

0

exp [−𝑘

2(1

𝑦2)] 𝑑𝑦 = 𝛼,

gde je 𝑘 = [𝑚(𝑛 − 1) − 1]휀𝑚(𝑛−1)−12 𝐶𝑝

2. Rešenjem ovog integrala dobijamo traženu kritičnu

vrednost.

Drugi način za dobijanje kritične vrednosti izveo je Kirmani i dr. 1991. godine. Oni su dobili

da je kritična vrednost 𝑐0′ jednaka:

22

𝑐0′ = 𝐶√

[𝑚(𝑛 − 1) − 1]휀𝑚(𝑛−1)−12

𝜒1−𝛼,𝑚(𝑛−1)2 .

Pearn i Yang su 2003. godine razvili uniformno najmoćniji test za vrednost indeksa 𝐶𝑝 za slučaj

uzorka obima većeg od jedan. Moć testa, verovatnoća ispravnog odbacivanja nulte hipoteze

𝐻0: 𝐶𝑝 ≤ 𝐶, kada je tačna alternativna hipoteza 𝐻1: 𝐶𝑝 = 𝐶1 > 𝐶, označava se sa 𝜋(𝐶𝑝) i

jednaka je:

𝜋(𝐶𝑝) = P{Ĉ𝑝 > 𝑐∗ | 𝐶𝑝 = 𝐶1}

= P {𝜒𝑚(𝑛−1)2 ≤

[𝑚(𝑛 − 1) − 1]휀𝑚(𝑛−1)−12 𝐶1

2

𝑐∗2| 𝐶𝑝 = 𝐶1}.

2.7. Testiranje Cp indeksa bazirano na (�̅�, 𝑅) kontrolnoj karti

U statističkoj kontroli proizvodnih procesa, kontrolne karte predstavljaju moćan alat za

praćenje toka procesa. Najčešće se koriste za praćenje izlaznih veličina, ali nije retkost da se

koriste i za praćenje ulaznih faktora. Na kontrolnim kartama mogu da se uoče neočekivani

izvor varijabilnosti koji će se manifestovati odgovarajućim položajem srednje vrednosti

posmatrane karakteristike. To je prvi pokazatelj da je potrebno preduzeti određene mere kako

bi se izbacio taj izvor varijabiliteta.

Posmatrajmo m slučajnih uzoraka, svaki veličine n, koji su predstavljeni na (�̅�, 𝑅) kontrolnoj

karti. Ova kontrolna karta služi za praćenje promena raspona uzoraka tokom vremena. Neka je

𝑅𝑖,𝑛 rang, razlika maksimalne i minimalne vrednosti u 𝑖 − tom uzorku, svaki uzorak je veličine

n, za svako 𝑖 = 1,… ,𝑚, tj.

𝑅𝑖,𝑛 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛, 𝑖 = 1,…𝑚.

I neka je

�̅�𝑚,𝑛 =𝑅1,𝑛 + 𝑅2,𝑛 +⋯+ 𝑅𝑚,𝑛

𝑚.

Tada je:

E(�̅�𝑚,𝑛/𝜎) = E(𝑅1,𝑛/𝜎) = 𝑑2,

𝑉𝑎𝑟(�̅�𝑚,𝑛 𝜎⁄ ) =𝑉𝑎𝑟(𝑅1,𝑛)

𝑚𝜎2=𝑑32

𝑚,

gde su vrednosti 𝑑2, 𝑑3 vrednosti koje zavise od n, date su u tabeli 3 uz pretpostavku

normalnosti karakteristike kvaliteta i nezavisnosti elemenata uzoraka.

23

Obim

uzorka

Karta srednjih vrednosti Karta standardnih devijacija Katra opsega

Kontrolne granice Faktori centralnih

linija Kontrolne granice

Faktori centralnih linija

Kontrolne granice

A A2 A3 c4 1/c4 B3 B4 B5 B6 d2 1/d2 d3 D1 D2 D3 D4

2 2,121 1,880 2,659 0,7979 1,2533 0 3,267 0 2,606 1,128 0,8865 0,853 0 3,686 0 3,267 3 1,732 1,023 1,954 0,8862 1,1283 0 2,568 0 2,276 1,693 0,5907 0,888 0 4,358 0 2,574

4 1,500 0,729 1,628 0,9213 1,0854 0 2,266 0 2,088 2,059 0,4857 0,880 0 4,698 0 2,282

5 1,342 0,577 1,427 0,9400 1,0638 0 2,089 0 1,964 2,326 04299 0,864 0 4,918 0 2,114 6 1,225 0,483 1,287 0,9515 1,0510 0,030 1,970 0,029 1,874 2,534 0,3946 0,848 0 5,078 0 2,004

7 1,134 0,419 1,182 0,9594 1,0423 0,118 1,882 0,113 1,806 2,704 0,3698 0,833 0,204 5,204 0,076 1,924

8 1,061 0,373 1,099 0,9650 1,0363 0,185 1,815 0,179 1,751 2,847 0,3512 0,830 0,388 5,306 0,136 1,864 9 1,000 0,337 1,032 0,9693 1,0317 0,239 1,761 0,232 1,707 2,970 0,3367 0,808 0,547 5,393 0,184 1,816

10 0,949 0,308 0,975 0,9727 1,0281 0,284 1,716 0,276 1,669 3,078 0,3249 0,797 0,687 5,469 0,223 1,777

11 0,905 0,285 0,927 0,9754 1,0252 0,321 1,679 0,313 1,637 3,173 0,3152 0,787 0,811 5,535 0,256 1,744 12 0,866 0,266 0,886 0,9776 1,0229 0,354 1,646 0,346 1,610 3,258 0,3069 0,778 0,922 5,594 0,283 1,717

13 0,832 0,249 0,850 0,9794 1,0210 0,382 1,618 0,374 1,585 3,336 02998 0,770 1,025 5,60 0,307 1,693

14 0,802 0,235 0,817 0,9810 1,0194 0,406 1,594 0,399 1,563 3,407 02935 0,763 1,118 5,696 0,328 1,672 15 0,775 0,223 0,789 0,9823 1,0180 0,428 1,572 0,421 1,544 3,472 02880 0,756 1,203 5,741 0,347 1,653

16 0,750 0,212 0,763 0,9835 1,0168 0,448 1,552 0,440 1,526 3,532 0,2831 0,750 1,282 5,782 0,363 1,637

17 0,728 0,203 0,739 0,9845 1,0157 0,466 1,534 0,458 1,511 3,588 0,2787 0,744 1,356 5,820 0,378 1,622 18 0,707 0,194 0,718 0,9854 1,0148 0,482 1,518 0,475 1,496 3,640 0,2747 0,739 1,424 5,856 0,391 1,608

19 0,688 0,187 0,698 0,9862 1,0140 0,497 1,503 0,490 1,483 3,689 0,2711 0,734 1,487 5,891 0,403 1,597

20 0,671 0,180 0,680 0,9869 1,0133 0,510 1,490 0,504 1,470 3,735 0,2677 0,729 1,549 5,921 0,415 1,585 21 0,655 0,173 0,663 0,9876 1,0126 0,523 1,477 0,516 1,459 3,778 0,2647 0,724 1,605 5,951 0,425 1,575

22 0,640 0,167 0,647 0,9882 1,0119 0,534 1,466 0,528 1,448 3,819 0,2618 0,730 1,659 5,979 0,434 1,566

23 0,626 0,162 0,633 0,9887 1,0114 0,545 1,455 0,539 1,438 3,858 0,2592 0,716 1,710 6,006 0,443 1,557 24 0,612 0,157 0,619 0,9892 1,0109 0,555 1,445 0,549 1,429 3,895 0,2567 0,712 1,759 6,031 0,451 1,548

25 0,680 0,153 0,606 0,9896 1,0105 0,565 1,435 0,559 1,420 3,931 0,2544 0,708 1,806 6,056 0,459 1,541

Tabela 3: Faktori za konstrukciju kontrolnih grafikona [5]

Za 𝑛 > 25, odgovarajuće vrednosti iz tabele 3 se mogu dobiti korišćenjem formula:

𝐴 =3

√𝑛 𝐴3 =

3

𝑐4√𝑛 𝑐4 ≅

4(𝑛 − 1)

4𝑛 − 3

𝐵3 = 1 −3

𝑐4√2(𝑛 − 1) , 𝐵4 = 1 +

3

𝑐4√2(𝑛 − 1) ,

𝐵5 = 𝑐4 −3

√2(𝑛 − 1) , 𝐵5 = 𝑐4 +

3

√2(𝑛 − 1) .

Tada se ocena 𝐶𝑝 indeksa, koristeći metod opsega, može izraziti kao:

�̂�𝑝(𝑅) =𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿

6�̂�𝑅, gde je �̂�𝑅 =

�̅�𝑚,𝑛𝑑2

.

Za 𝑚 = 1 funkcija raspodele ranga je:

𝐹(𝑥) = P {𝑅1,𝑛𝜎

≤ 𝑥}

= 𝑛 ∫[Φ(𝑥 + 𝑡) − Φ(𝑡)]𝑛−1∞

−∞

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡, za 𝑡 > 0,

gde su Φ(⋅) i 𝑓(∙) funkcija raspodele i gustina verovatnoće standardne normalne raspodele

𝑁(0,1). Koristeći prva dva momenta, Patnaik je 1950. godine pokazao da je �̅�𝑚,𝑛 𝜎⁄ približno

24

raspodeljeno kao 𝑐𝜒𝜐 √𝜐⁄ , gde 𝜒𝜈2 gornji kvantil hi-kvadrat raspodele sa 𝜐 stepeni slobode, a

𝑐 i 𝜐 su konstante date u:

E(�̅�𝑚,𝑛 𝜎⁄ ) =𝑐

√𝜐√2Γ (

𝜐 + 1

2) Γ (

𝜐

2)⁄ ,

𝑉𝑎𝑟(�̅�𝑚,𝑛 𝜎⁄ ) =𝑐2

𝜐{𝜐 − 2 [Γ (

𝜐 + 1

2) Γ (

𝜐

2)⁄ ]2

}.

Pošto su vrednosti 𝑑2 i 𝑑3 poznate na osnovu tabele, konstante 𝑐 i 𝜐 se mogu rešavanjem

prethodnog sistema jednačina.

Metod opsega za procenu sposobnosti procesa je dobro koristiti kada je obim uzoraka 𝑛 ≤ 8.

Tada ovaj metod daje dobru ocenu disperzije 𝜎2. Ako je 𝑛 ≥ 10, metod opsega brzo gubi svoju

efikasnost, razlog tome je što za obim uzorka veći od 10, zanemaruje sve vrednosti u uzorku,

između najveće i najmanje vrednosti.

Ako se za testiranje vrednosti indeksa sposobnosti procesa izabere metod ranga, kritična

vrednost 𝐶0(𝑅) se može dobiti rešavanjem sledeće jednačine:

P{�̂�𝑝(𝑅) ≥ 𝐶0(𝑅) | 𝐶𝑝 = 𝐶} = 𝛼

= P {𝑑

3�̂�𝑅≥ 𝐶0(𝑅)} = P {

�̅�𝑚,𝑛𝜎

≥𝑑2𝐶0(𝑅)

𝑑

3𝜎}

≃ P{𝜒𝜈2 ≤

√𝜈𝑑2𝑐𝐶0(𝑅)

𝐶},

pri čemu smo sa d označili 𝑑 =𝑈𝑆𝐿−𝐿𝑆𝐿

2.

Kritična vrednost 𝐶0(𝑅) se može izraziti kao:

𝐶0(𝑅) =√𝜐𝑑2

𝑐√𝜒𝛼,𝜐2𝐶.

Ukoliko se posmatra uzorak obima većeg od 1, koristeći Patnaik-ovu raspodelu prosečnog

ranga, donja granica 100(1 − 𝛼)% jednostranog intervala poverenja dobija se iz jednačine:

P{�̂�𝑝 ≥ 𝐶𝐿(𝑅)} = 1 − 𝛼

= P{�̂�𝑅𝜎≥𝐶𝐿(𝑅)

�̂�𝑝(𝑅)} = P {

�̅�𝑚,𝑛𝜎

≥𝑑2𝐶𝐿(𝑅)

�̂�𝑝(𝑅)}

≃ P{𝜒𝜐2 ≥

√𝜐𝑑2𝐶𝐿(𝑅)

𝑐�̂�𝑝(𝑅)}.

Shodno tome, imamo:

√𝜐𝑑2𝐶𝐿(𝑅)

𝑐�̂�𝑝(𝑅)= 𝜒𝛼,𝜐

2 ili odnos 𝐶𝐿(𝑅)

�̂�𝑝(𝑅)=

𝑐

√𝜐𝑑2√𝜒𝛼,𝜐2 .

25

Primetimo da odnos vrednosti 𝐶𝐿(𝑅) �̂�𝑝(𝑅)⁄ zavisi od 𝜐, 𝑐, 𝑑2, koje zavise od vrednosti 𝑚 i 𝑛,

tačnije od broja uzoraka i njihovog obima. Odnos 𝐶𝐿(𝑅) �̂�𝑝(𝑅)⁄ zvaćemo faktor niže

pouzdanosti.

2.8. Testiranje Cp indeksa bazirano na (�̅�, 𝑆) kontrolnoj karti

Za praćenje numeričkih karakteristika kvaliteta, pored (�̅�, 𝑅) kontrolnih karti mogu se

koristiti (�̅�, 𝑆) kontrolne karte. Na ovim kontrolnim kartam predstavljene su standardne

devijacije uzoraka tokom vremena.

Posmatrajmo m slučajnih uzoraka, svaki veličine n, predstavljenih na (�̅�, 𝑆) kontrolnoj karti.

Kirmani je 1991. godine predložio ocenjivanje indeksa sposobnosti procesa na sledeći način:

�̂�𝑝(𝑆) =𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿

6�̂�𝑆, �̂�𝑆 =

1

휀𝑛−1𝑆̅,

gde je

𝑆̅ =1

𝑚∑𝑠𝑖

𝑚

𝑖=1

, 𝑠𝑖 = [1

𝑛 − 1∑(𝑥𝑖𝑗 − �̅�𝑖)

2𝑛

𝑗=1

]

1 2⁄

,

pri čemu je ovo prosečna vrednost popravljenih uzoračkih standardnih devijacija, a faktor

korekcije je dat sa:

휀𝑛−1 = √2

𝑛 − 1

Γ[𝑛 2⁄ ]

Γ[(𝑛 − 1) 2⁄ ] .

Faktor korekcije je obično dat kao parametar 𝑐4 u tabeli 3.

Kirmani je pokazao da je, od pretpostavkom normalnosti obeležja X, statistika 𝑆̅ raspodeljena

u skladu sa normalnom raspodelom. Odatle sledi:

𝑆̅ − √𝑛 − 1휀𝑛−1

√(𝑛 − 1)(1 − 휀𝑛−12 )

𝑚

~𝑁(0,1).

Ova aproksimacija je posebno pogodna u situacijama gde postoji adekvatna kontrola

varijabilnosti procesa i poželjno je da 𝑛 > 10. U ovom slučaju korišćenje (�̅�, 𝑆) kontrolnih

karti je u prednosti u odnosu na (�̅�, 𝑅) kontrolne karte.

Kirmani je takođe konstruisao donju granicu 100(1 − 𝛼)% intervala poverenja niže

pouzdanosti i data je kao:

𝐶𝐿(𝑆) = �̂�𝑝(𝑆) [1 + 𝑧𝛼√1 − 휀𝑛−1

2

𝑚 휀𝑛−12 ],

26

gde je 𝑧𝛼 odgovarajući kvantil reda 1 − 𝛼 standardne normalne raspodele.

Kao i u slučaju (�̅�, 𝑅) kontrolnih karti, kritičnu vrednost 𝐶0(𝑆) možemo dobiti rešavanjem

sledeće jednačine:

𝑃{�̂�𝑝(𝑆) ≥ 𝐶0(𝑆) | 𝐶𝑝 = 𝐶} = 𝛼

= 1 −∫𝐶𝑝

√2𝜋𝑘𝑥−2 exp [−

(𝐶𝑝 𝑥 − 1⁄ )2

2𝑘2] 𝑑𝑥 .

𝑐0

0

Većina kompanija u 21. želi da se na što bolji način osigura i da greške svede na minimum, pa

shodno tome, nije preporučljivo da se kompanije oslanjaju samo na jedan indeks sposobnosti

procesa. Glavna slabost 𝐶𝑝 indeksa leži u činjenici što on meri potencijalnu sposobnost procesa

i ne uzima u obzir odnos sredine procesa i ciljne vrednosti, što u nekim slučajevima može

dovesti do velikih gubitaka ako se neki proces proglasi sposobnim, a da on to nije. Iz tog

razloga je razvijen novi indeks, 𝐶𝑝𝑘, koji u kombinaciji sa indeksom sposobnosti procesa daje

najbolje rezultate. Više o ovom indeksu biće reči u poglavlju 4.

Primer 4. Posmatrajmo proizvodni proces koji je pod statističkom kontrolom, sa gornom i

donjom specifikacionom granicom 62 i 38, respektivno. Sredina procesa je centrirana između

dve specifikacione granice, a ocena standardna devijacija ovog procesa je 𝑠 = 1,75. Odrediti

95% interval poverenja, na osnovu uzorka obima 20.

Ocena indeksa 𝐶𝑝 je:

�̂�𝑝 =𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿

6𝑠=62 − 38

6 × 1,75= 2,29.

95% interval poverenja je:

�̂�𝑝√𝜒1−0,025,𝑛−12

𝑛 − 1≤ 𝐶𝑝 ≤ �̂�𝑝√

𝜒0,025,𝑛−12

𝑛 − 1,

kako je 𝜒0,975,192 = 8,91 i 𝜒0,025,19

2 = 32,85, dobijamo

2,29√8,91

19≤ 𝐶𝑝 ≤ 2,29√

32,85

19,

1,57 ≤ 𝐶𝑝 ≤ 3,01.

Primetimo da je dobijeni interval poverenja relativno širok. Razlog tome je što je posmatrani

uzorak malog obima.

Primer 5. U procesu proizvodnje poluprovodnika, proizvođači su želeli da ispitaju sposobnost

procesa koristeći (�̅�, 𝑅) kontrolne karte. 25 uzoraka, svaki obima 5, uzeti su iz centriranog

proizvodnog procesa koji je pod statističkom kontrolom. Gornja i donja specifikaciona granica

27

su 2 i 1, respektivno. Odrediti donju granicu 95% jednostranog intervala poverenja. Podaci

dobijeni uzorkovanjem dati su u sledećoj tabeli:

1 2 3 4 5 �̅�𝑖 𝑅𝑖

1 1,3235 1,4128 1,6744 1,4573 1,6914 1,5119 0,3679

2 1,4314 1,3592 1,6075 1,4666 1,6109 1,4951 0,2517

3 1,4284 1,4871 1,4932 1,4324 1,5674 1,4817 0,139

4 1,5028 1,6352 1,3841 1,2831 1,5507 1,4712 0,3521

5 1,5604 1,2735 1,5265 1,4363 1,6441 1,4882 0,3706

6 1,5955 1,5451 1,3574 1,3281 1,4198 1,4492 0,2674

7 1,6274 1,5064 1,8366 1,4177 1,5144 1,5805 0,4189

8 1,419 1,4303 1,6637 1,6067 1,5519 1,5343 0,2447

9 1,3884 1,7277 1,5355 1,5176 1,3688 1,5076 0,3589

10 1,4039 1,6697 1,5089 1,4627 1,522 1,5134 0,2658

II 1,4158 1,7667 1,4278 1,5928 1,4181 1,5242 0,3509

12 1,5821 1,3355 1,5777 1,3908 1,7559 1,5284 0,4204

13 1,2856 1,4106 1,4447 1,6398 1,1928 1,3947 0,447

14 1,4951 1,4036 1,5893 1,6458 1,4969 1,5261 0,2422

15 1,3589 1,2863 1,5996 1,2497 1,5471 1,4083 0,3499

16 1,5747 1,5301 1,5171 1,1839 1,8662 1,5344 0,6823

17 1,368 1,7269 1,3957 1,5014 1,4449 1,4874 0,3589

18 1,4163 1,3864 1,3057 1,621 1,5573 1,4573 0,3153

19 1,5796 1,4185 1,6541 1,5116 1,7247 1,5777 0,3062

20 1,7106 1,4412 1,2361 1,382 1,7601 1,506 0,524

21 1,4371 1,5051 1,3485 1,567 1,488 1,4691 0,2185

22 1,4738 1,5936 1,6583 1,4973 1,472 1,539 0,1863

23 1,5917 1,4333 1,5551 1,5295 1,6866 1,5592 0,2533

24 1,6399 1,5243 1,5705 1,5563 1,553 1,5688 0,1156

25 1,5797 1,3663 1,624 1,3732 1,6887 1,5264 0,3224 Tabela 4. Realizovane vrednosti posmatrane karakteristike procesa za proizvodnju poluprovodnika.

∑�̅�𝑖 = 37,6400, �̿� = 1,50,

∑𝑅𝑖 = 8,1302, �̅� = 0,325.

Na osnovu ovih podataka, standardnu devijaciju možemo oceniti sa:

�̂� =�̅�

𝑑2=0,32521

2,326= 0,1398.

Tada je ocena indeksa sposobnosti procesa

�̂�𝑝∗ =

𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿

6�̂�=2,00 − 1,00

6 × 0,1398= 1,192.

Donja granica jednostranog intervala poverenja je 𝐶𝐿∗ = Ĉ𝑝

∗√𝜒1−𝛼,𝑚(𝑛−1)2

[𝑚(𝑛−1)−1]𝜀𝑚(𝑛−1)−12 .

28

Koristeći Fisher-ovu aproksimaciju 𝜒0,95,120 ≅ √(120 −1

2) +

−1,64

√2= 9,7685, pa je

𝜒0,95,1202 = 95,42395.

Vrednost 휀𝑚(𝑛−1)−12 = √

2

𝑚(𝑛−1)−1Γ (

𝑚(𝑛−1)

2) [Γ (

𝑚(𝑛−1)−1

2)]−1

= 0,9979.

Sledi da je donja granica jednostranog intervala poverenja:

𝐶𝐿∗ = √

95,42395

119 × 0,9979= 0,89642.

29

3. 𝐶𝑎 indeks

Definisaćemo najpre indeks kapaciteta 𝑘. Indeks k opisuje sposobnost procesa u smislu

da kvantifikuje meru odstupanja sredina procesa 𝜇, od nominalne vrednosti 𝑚.

Definicija 2. Indeks 𝑘 definisan je na sledeći način:

𝑘 =|𝜇 − 𝑚|

𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿2

=|𝜇 − 𝑚|

𝑑,

gde je sa d označena polovina širine specifikacije, 𝑑 = (𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿) 2⁄ .

U skladu sa definicijom indeksa kapaciteta, imamo sledeća tumačenja sredine procesa:

ako je vrednost 𝑘 = 0, to znači da je posmatrani proces centriran, tj. 𝜇 = 𝑚,

ako je 𝑘 = 1 to znači da se sredina procesa 𝜇 nalazi na jednoj od specifikacionih

granica,

ako je 0 < 𝑘 < 1, tada se sredina procesa nalazi između nominalne vrednosti m i jedne

od specifikacionih granica,

ako je 𝑘 > 1 sredina procesa se nalazi van specifikacionih granica (𝜇 > 𝑈𝑆𝐿 ili 𝜇 <

𝐿𝑆𝐿).

Definicija 3. Indeks 𝐶𝑎 definisan je na sledeći način:

𝐶𝑎 = 1 −|𝜇 − 𝑚|

𝑑= 1 − 𝑘.

Ovaj indeks se naziva indeks tačnosti. Indeks tačnosti meri stepen centriranosti procesa i

obaveštava korisnika ako sredina procesa odstupa od centra m, koja je najčešće ciljna vrednost.

U sledećoj tabeli (Tabela 5.) prikazane su odgovarajuća odstupanja srednje vrednosti procesa

od nominalne vrednosti m za date vrednosti indeksa 𝐶𝑎.

𝐶𝑎 𝑣𝑟𝑒𝑑𝑛𝑜𝑠𝑡 𝑂𝑝𝑠𝑒𝑔 𝜇

𝐶𝑎 = 1.00 𝜇 = 𝑚

0.75 < 𝐶𝑎 < 1.00 0 < | 𝜇 = 𝑚 | < 𝑑/4

0.50 < 𝐶𝑎 < 0.75 𝑑/4 < | 𝜇 = 𝑚 | < 𝑑/2

0.25 < 𝐶𝑎 < 0.50 𝑑/2 < | 𝜇 = 𝑚 | < 3𝑑/4

0.00 < 𝐶𝑎 < 0.25 3𝑑/4 < | 𝜇 = 𝑚 | < 𝑑

𝐶𝑎 = 0.00 𝜇 = 𝐿𝑆𝐿 𝑖𝑙𝑖 𝜇 = 𝑈𝑆𝐿

𝐶𝑎 < 0.00 𝜇 < 𝐿𝑆𝐿 𝑖𝑙𝑖 𝜇 > 𝑈𝑆𝐿 Tabela 5. Vrednost indeksa 𝐶𝑎 u zavisnosti od 𝜇 i 𝑚. [1]

30

Ocena indeksa 𝐶𝑎

Kao i do sada, na osnovu posmatranog uzorka obima 𝑛 daćemo ocenu indeksa tačnosti,

koja će biti označena sa �̂�𝑎, tada je:

�̂�𝑎 = 1 −|�̅� − 𝑚|

𝑑,

gde je �̅� = ∑ 𝑥𝑖 𝑛⁄𝑛𝑖=1 ocena sredine procesa 𝜇, 𝑑 = (𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿) 2⁄ i 𝑚 = (𝑈𝑆𝐿 + 𝐿𝑆𝐿) 2⁄ .

Drugačije, ocenu indeksa tačnosti možemo da zapišemo i kao:

�̂�𝑎 = 1 −|�̅� − 𝑚|

𝑑= 1 −

𝜎

𝑑√𝑛 |�̅� − 𝑚|

𝜎 √𝑛⁄ ,

gde pod pretpostavkom normalnosti obeležja X, √𝑛 |�̅� − 𝑚| 𝜎⁄ ima preklopljenu normalnu

raspodelu, koju je definisao Leone 1961. Preklopljena normalna raspodela definisana je

gustinom:

𝑓(𝑦) = √2

𝜋𝜎−1 cosh(𝜇𝑦 𝜎2⁄ ) exp {−

(𝑦2 + 𝜇2)

2𝜎2} , 𝑦 > 0.

Tada je funkcija gustine raspodele ocene �̂�𝑎 data sa:

𝑓(𝑥) = 6𝐶𝑝√𝑛

2𝜋 cosh[9𝑛𝐶𝑝

2(1 − 𝐶𝑎)(1 − 𝑥)] × exp {−9𝑛𝐶𝑝

2[(1 − 𝑥)2 + (1 − 𝐶𝑎)2]

2},

ili

𝑓(𝑥) = 6𝐶𝑝√𝑛

2𝜋 cosh [

(1 − 𝑥)𝛿

1 − 𝐶𝑎] exp {

−𝛿

2[1 +

(1 − 𝑥)2

(1 − 𝐶𝑎)2]} , za − ∞ < 𝑥 ≤ 1.

Posmatrajmo m slučajnih podgrupa, svaka viličine 𝑛𝑖 , 𝑖 = 1,… ,𝑚, prikupljenih iz

procesa sa normalnom raspodelom 𝑁(𝜇, 𝜎2). Prikupljeni podaci se analiziraju kako bi se

izračunale proizvodne sposobnosti procesa. Neka su

�̅�𝑖 =∑𝑥𝑗 𝑛𝑖⁄

𝑛𝑖

𝑗=1

i 𝑆𝑖 = [(𝑛𝑖 − 1)−1∑(𝑥𝑖,𝑗 − �̅�𝑖)

2

𝑛𝑖

𝑗=1

]

1 2⁄

sredina i standardna devijacija i-tog uzorka respektivno, 𝑖 = 1, … ,𝑚, i 𝑁 = ∑ 𝑛𝑖𝑚𝑖=1 ukupan

broj podataka. Kao ocene za 𝜇 i 𝜎2 koristićemo sledeće nepristrasne ocene:

�̂� = �̿� =1

𝑁∑𝑛𝑖�̅�𝑖

𝑚

𝑖=1

i �̃�2 = 𝑆𝑝2 =

1

𝑁 −𝑚∑(𝑛𝑖 − 1)𝑆𝑖

2

𝑚

𝑖=1

.

31

Dobijamo da je �̂�𝑎:

�̂�𝑎 = 1 −|�̿� − 𝑚|

𝑑= 1 −

𝜎

𝑑√𝑁×|�̿� − 𝑚|

𝜎 √𝑁⁄,

gde je statistika √𝑁|�̿� − 𝑚| 𝜎⁄ raspodeljena u skladu sa preklopljenom normalnom

raspodelom sa parametrima √𝑁|𝜇 − 𝑚| 𝜎⁄ i 1. Odgovarajuća funkcija gustine raspodele data

je sa:

𝑓(𝑥) = 𝜙(𝑥 + √𝑁|𝜇 − 𝑚| 𝜎⁄ ) + 𝜙(𝑥 − √𝑁|𝜇 − 𝑚| 𝜎⁄ ) , 𝑥 > 0,

gde je 𝜙(∙) funkcija gustine standardne normalne raspodele.

Prva dva momenta statistike �̂�𝑎

Na osnovu funkcije gustine raspodele ocene �̂�𝑎, možemo izraziti prva dva momenta na

sledeći način:

E(�̂�𝑎) = 𝐶𝑎 −1

3𝐶𝑝√2

𝑛𝜋exp (

−𝛿

2) + 2(1 − 𝐶𝑎)Φ(−√𝛿)

i

E (�̂�𝑎2) = �̂�𝑎

2 −1

9𝑛𝐶𝑝2−

2

3𝐶𝑝√2

𝑛𝜋exp (

−𝛿

2) + 4(1 − 𝐶𝑎)Φ(−√𝛿),

za 𝛿 = 9𝑛(𝐶𝑝 − 𝐶𝑝𝑘)2, gde je 𝐶𝑝𝑘 još jedan od indeksa sposobnosti procesa koji će biti

definisan u poglavlju 4.

Tada, varijansu statistike �̂�𝑎 dobijamo kao:

𝑉𝑎𝑟(�̂�𝑎) = E (�̂�𝑎2) − [E(�̂�𝑎)]

2.

Statističke karakteristike ocene �̂�𝑎 su:

ocena je pristrasna,

kada 𝑛 ⟶ ∞, tada 1 (3𝐶𝑝)⁄ , [2 (𝑛𝜋)⁄ ]1 2⁄ 𝑖 exp(−𝛿 2⁄ ), i Φ[−3√𝑛(𝐶𝑝 − 𝐶𝑝𝑘)]

konvergiraju ka 0, pa je statistika �̂�𝑎 asimptotski nepristrasna ocena.

32

Intervalna ocena za 𝐶𝑎 i testiranje hipoteza o vrednostima

indeksa 𝐶𝑎

Pod pretpostavkom normalnosti obeležja X, Pearn je 1998. godine pokazao da je ocena

�̂�𝑎 = 1 − |�̅� − 𝑚| 𝑑 ⁄ postojana, asimptotski efikasna i ocena maksimalne verodostojnosti. Još

jedna bitna stvar do koje je došao proučavajući ocenu �̂�𝑎 jeste da √𝑛(�̂�𝑎 − 𝐶𝑎) u raspodeli

konvergira ka 𝑁(0, 1 (9𝐶𝑝2)⁄ ). Prema tome sledi da 3√𝑛�̃�𝑝(�̂�𝑎 − 𝐶𝑎) u raspodeli konvergira

ka 𝑁(0,1).

Tada je 100(1 − 𝛼)% interval poverenja ocene indeksa 𝐶𝑎:

[�̂�𝑎 −𝑧𝛼 2⁄

3√𝑛�̃�𝑝, �̂�𝑎 +

𝑧𝛼 2⁄

3√𝑛�̃�𝑝],

gde je 𝑧𝛼 2⁄ odgovarajući kvantil reda 1 − 𝛼 2⁄ , standardne normalne raspodele, a �̃�𝑝 = 𝑏𝑛−1�̂�𝑝

za 𝑏𝑛−1 = (2 (𝑛 − 1)⁄ )1 2⁄ × Γ[(𝑛 − 1) 2⁄ ] Γ((𝑛 − 2) 2⁄ ).⁄

Konvergencija ka normalnoj raspodeli može se efikasno upotrebiti za testiranje hipoteza o

vrednostima indeksa 𝐶𝑎.

Primer 6. Na osnovu podataka iz primera 5, poglavlja 2.8, dokazati da je posmatrani proces

proizvodnje poluprovodnika centriran.

Da bismo proverili centriranost procesa, izračunaćemo indeks kapaciteta 𝑘.

𝑘 =|𝜇 − 𝑚|

𝑑=|1,50 −

2 + 12 |

2 − 12

= 0.

Kako je 𝑘 = 0, posmatrani proces je centriran.

33

4. 𝐶𝑝𝑘 indeks

Zbog jednostavnosti dizajna 𝐶𝑝 indeksa, koji se može primenjivati samo u slučaju kada

je proces centriran, tj. kada je srednja vrednost procesa jednaka nominalnoj vrednosti, uveden

je novi indeks 𝐶𝑝𝑘. 𝐶𝑝𝑘 indeks je opštiji u smislu da prati i poziciju i širinu opsega vrednosti

procesa. Posmatrajmo proces sa srednjom vrednošću 𝜇, standardnom devijacijom 𝜎 i donjom

i gornjom specifikacionom granicom 𝐿𝑆𝐿 i 𝑈𝑆𝐿 redom.

Definicija 4. Indeks 𝐶𝑝𝑘definisan je na sledeći način:

𝐶𝑝𝑘 = min {𝑈𝑆𝐿 − 𝜇

3𝜎,𝜇 − 𝐿𝑆𝐿

3𝜎}.

Korišćenjem algebarskog identiteta: min{𝑎, 𝑏} = (𝑎 + 𝑏) − |𝑎 − 𝑏|/2, definicija 𝐶𝑝𝑘 indeksa

može se drugačije zapisati:

𝐶𝑝𝑘 =𝑑 − |𝜇 − 𝑚|

3𝜎,

gde smo sa d označili 𝑑 = (𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿) 2⁄ , polovinu dužine intervala specifikacije, a sa m,

𝑚 = (𝑈𝑆𝐿 + 𝐿𝑆𝐿) 2⁄ , srednju tačku između gornje i donje specifikacione granice.

Velika vrednost 𝐶𝑝𝑘 indeksa označava da je proces dobar i dobro usredsređen unutar granica

specifikacije. Ako je 𝐶𝑝 jednak 𝐶𝑝𝑘 indeksu, proces je dobro postavljen.

Slika 7: Pozicija procesa u odnosu na vrednosti 𝐶𝑝 i 𝐶𝑝𝑘 indeksa

Indeksi 𝐶𝑝 i 𝐶𝑝𝑘 su direktno povezani sa indeksima kapaciteta procesa, pa važi:

𝐶𝑝𝑘 = 𝐶𝑝 × (1 − 𝑘) = 𝐶𝑝 × 𝐶𝑎 .

Primetimo da ako je 𝜇 izvan specifikacionog intervala, indeks 𝐶𝑝𝑘 će biti negativan, i takav

proces će biti neadekvatan za kontrolu posmatrane karakteristike 𝑋. Indeks 𝐶𝑝𝑘 je razvijen kada

indeks 𝐶𝑝 nije mogao da pokrije sve slučajeve kada proces nije centriran. Međutim, indeks 𝐶𝑝𝑘,

sam po sebi, ne može da obezbedi adekvatno merenje centriranosti procesa, zapravo velika

vrednost ovog indeksa ne pruža nikakve informacije o lokaciji sredine 𝜇 unutar granica

34

specifikacije. Otkrivanje odnosa između 𝐶𝑝 i 𝐶𝑝𝑘 izučavali su mnogi naučnici, među kojima su

bili i Gensidy, Barnett, Coleman, Kotz i Johnson, kao i Ramakrishnan.

Definicija 5. Prinos procesa je procenat obrađene jedinice proizvoda koje uspešno prođu

inspekciju.

Jedinice koje se proizvedu proveravaju se u skladu sa specifikacionim granicama, i proizvedene

jedinice se dele u dve grupe: one koje su prošle proveru (inspekciju) i one koje nisu prošle

proveru. Prema tome, prinos je jedan od transparentnih, osnovnih kriterijuma za tumačenje

mogućnosti procesa. Pretpostavimo da je procenat ispravnih jedinica od primarne važnosti, u

tom slučaju, taj procenat je definisan kao:

𝑝 = ∫ 𝑑𝐹(𝑥)

𝑈𝑆𝐿

𝐿𝑆𝐿

= 𝐹(𝑈𝑆𝐿) − 𝐹(𝐿𝑆𝐿),

gde je 𝐹(𝑥) funkcija raspodele posmatrane karakteristike X.

Indeks Cpk se posmatra kao indeks prinosa i daje granice za prinos kod procesa koji imaju

normalnu raspodelu i fiksnu vrednost ovog indeksa. U tom slučaju granice za prinos, u funkciji

od indeksa 𝐶𝑝𝑘 su:

2Φ(3𝐶𝑝𝑘) − 1 ≤ 𝑝 ≤ Φ(3𝐶𝑝𝑘).

Neka je posmatrana karakteristika X, normalno raspodeljena, 𝑁(𝜇, 𝜎2), tada je procenat

defektnih proizvoda dat sa:

%𝑁𝐶 = P(X < 𝐿𝑆𝐿) + P(X > 𝑈𝑆𝐿)

= P [𝑍 <𝐿𝑆𝐿 − 𝜇

𝜎] + P [𝑍 >

𝑈𝑆𝐿 − 𝜇

𝜎]

= 1 − 𝛷 (𝑈𝑆𝐿 − 𝜇

𝜎) + 𝛷 (

𝐿𝑆𝐿 − 𝜇

𝜎).

Slika 8. Normalna raspodela i procenat proizvedenih jedinica koje su van specifikacionih granica. [1]

35

Posmatrajmo sada proces kod koga je sredina bliža donjoj specifikacionoj granici. Tada je 𝐶𝑝𝑘

indeks jednak:

𝐶𝑝𝑘 =𝜇 − 𝐿𝑆𝐿

3𝜎.

On sadrži informacije o rastojanju sredine procesa i donje specifikacione granice i utiče na

procenat defektnih proizvoda koji su ispod donje specifikacione granice. Indeks ne sadrži

informacije o udaljenosti gornje specifikacione granice od sredine procesa, pa samim tim ne

može da utiče na procenat defekata koji su iznad gornje granice specifikacije. Rešenje je izvesti

izraz koji daje gornju granicu za ukupan procenat defekata. Kako je procenat defekata ispod

donje specifikacione granice veći od procenta defekata iznad gornje specifikacione granice, jer

je sredina bliža LSL, dobijamo da je:

%𝑁𝐶 ≤ 2P [𝑍 <𝐿𝑆𝐿 − 𝜇

𝜎],

%𝑁𝐶 ≤ 2P[𝑍 < −3𝐶𝑝𝑘].

Procesi kod kojih je srednja vrednost bliža gornjoj specifikacionoj granici mogu se tretirati na

isti način, u tom slučaju je:

𝐶𝑝𝑘 =𝑈𝑆𝐿 − 𝜇

3𝜎

i procenat defektnih proizvoda iznad gornje specifikacione granice je veći od procenta

defektnih proizvoda ispod donje specifikacione granice, jer je sredina bliža USL, dobijamo da

je gornja granica za ukupan procenat defekata

%𝑁𝐶 ≤ 2𝑃 [𝑍 >𝑈𝑆𝐿 − 𝜇

𝜎],

%𝑁𝐶 ≤ 2𝑃[𝑍 > 3𝐶𝑝𝑘].

Na osnovu navedenih nejednakosti dolazimo do gornje granice za ukupan procenat defekata:

%𝑁𝐶 ≤ 2𝑃[𝑍 > 3𝐶𝑝𝑘] = 2𝑃[𝑍 < −3𝐶𝑝𝑘].

Ako je 𝐶𝑝𝑘 = 1, očekuje se da će 2700 na milion proizvoda biti van granice specifikacije. Ako

je 𝐶𝑝𝑘 = 1,33 stopa defektnih proizvoda pada na 66 od milion proizvedenih proizvoda. Da bi

se postiglo da na milion proizvoda defektnih bude 0,544, potrebno je da indeks 𝐶𝑝𝑘 ima

vrednost 1,67. Za vrednost indeksa 𝐶𝑝𝑘 = 2 broj defektni proizvoda pada na 2 u milijardi.

36

Slika 9. Granice neusaglašenih proizvoda na milion proizvedenih jedinica. [1]

Primer 7. Na osnovu podataka iz primera 3. izračunaćemo procenat defektnih proizvoda za

procesa A, B i C, korišćenjem odgovarajućih 𝐶𝑝𝑘 vrednosti.

Proces A:

𝐶𝑝𝑘 =𝑚𝑖𝑛{(10 − 4), (16 − 10)}

3 ∗ 1,50= 1,333.

Proces B:

𝐶𝑝𝑘 =𝑚𝑖𝑛{(8,50 − 4), (16 − 8,50)}

3 ∗ 1,50= 1,00.

Proces C:

𝐶𝑝𝑘 =𝑚𝑖𝑛{(14 − 4), (16 − 14)}

3 ∗ 1.50= 0,444.

Kao što vidimo, u slučaju kada srednja vrednost nije jednaka nominalnoj veličini, 𝐶𝑝 > 𝐶𝑝𝑘.

U nastavku će biti izračunata gornja granica defektnih proizvoda za posmatrane procese.

Proces A:

%𝑁𝐶 ≤ 2P[𝑍 > 3 × 1,33] = 2P[𝑍 > 4,00]

= 2 × 0,0000317

= 0,0000634.

Kako je u slučaju procesa A, srednja vrednost jednaka nominalnoj vrednosti, 𝐶𝑝 i 𝐶𝑝𝑘 indeksi

su jednaki, pa je i procena defektnih proizvoda jednaka pravoj vrednosti.

Proces B:

%𝑁𝐶 ≤ 2𝑃[𝑍 > 3 × 1,00] = 2𝑃[𝑍 > 3,00]

37

= 2 × 0,0013

= 0,0027.

Tačan ukupan procenat defekata koji je dobijen u primeru 1 je 0,00135. Upravo smo pokazali

da je procenat defektnih proizvoda dobijen uz pomoć 𝐶𝑝𝑘 indeksa dvostruko veći.

Proces C:

%𝑁𝐶 ≤ 2𝑃[𝑍 > 3 × 0,444] = 2𝑃[𝑍 > 1,332]

= 2 × 0,0918

= 0,1836.

Tačan ukupan procenat defekata koji je dobijen u primeru 1 je 0,0918. Upravo smo pokazali

da je procenat defektnih proizvoda dobijen uz pomoć 𝐶𝑝𝑘 indeksa dvostruko veći.

Pod pretpostavkom normalnosti karakteristike X, u sledećim tabelama (Tabela 6. i Tabela 7.)

biće predstavljen odnos indeksa i defektnih proizvoda.

Gornja granica/Tačna

𝐶𝑝𝑘 𝐶𝑝⁄ % Defekata Delova u milion

0,50 1,3600 133,600

0,70 3,5800 35,800

0,90 0,7000 7,000

1,00 0,2700 2,700

1,1 0,0967 967

1,2 0,03182 318,2

1,3 0,00962 96,2

1,333 0,00634 63,4

1,4 0,00267 26,7

1,5 0,000068 6,8

1,6667 0,0000574 0,574 Tabela 6. Odnos indeksa i defektnih proizvoda [4]

𝐶𝑝 = 𝐶𝑝𝑘 % Defekata Delova u milion

0,50 6,6800 66,800

0,70 1,790 17,900

0,90 0,350 3,500

1,00 0,1350 1,350

1,1 0,04835 483,5

1,2 0,01591 159,1

1,3 0,00481 48,1

1,333 0,00317 31,7

1,4 0,001335 13,35

1,5 0,00034 3,4

1,6667 0,0000287 0,287

2,0 0,0000001 0,001 Tabela 7. Odnos indeksa i defektnih proizvoda [4]

38

Posmatrajmo još neke odnose koji su utvrđeni između defektnih proizvoda i datih indeksa.

Za 𝐶𝑎 = 1 proces je centriran, tj. 𝜇 = 𝑚.

Za 𝐶𝑎 = 0, sredina procesa se nalazi na granici specifikacije, tj. 𝜇 = 𝑈𝑆𝐿 ili 𝜇 = 𝐿𝑆𝐿.

Za proces sa fiksnim indeksom 𝐶𝑝𝑘, broj neusaglašenih proizvoda dostiže svoj maksimum za

centriran proces (𝐶𝑎 = 1), a broj neusaglašenih proizvoda se smanjuje kako se i vrednost

indeksa 𝐶𝑎 smanjuje.

Montgomery je 2001. godine predložio sledeće minimalne vrednosti za indeks Cpk :

𝐶𝑝𝑘 ≥ 1,33 Za postojeće procese

𝐶𝑝𝑘 ≥ 1,5 Za nove procese

𝐶𝑝𝑘 ≥ 1,5 Za postojeće procese sigurnosti

𝐶𝑝𝑘 ≥ 1,67 Za nove procese koji uključuju sigurnost, snagu ili kritične parametre Tabela 8: Minimalne vrednosti 𝐶𝑝𝑘 indeksa .

Finley je 1992. predložio da 𝐶𝑝𝑘 vrednost na svim kritičnim procesima dobavljača treba da

bude 1,33 ili više. Poželjna vrednost za 𝐶𝑝𝑘 je 1,67.

S druge strane, proces se trenutno smatra neadekvatnim ako je 𝐶𝑝𝑘 < 1, to ukazuje da proces

nije u skladu sa specifikacijama. U tom slučaju ili se treba smanjiti varijacija procesa ili se

sredina procesa treba približiti ciljnoj vrednosti.

Proces se smatra sposobnim ako je 1 ≤ 𝐶𝑝𝑘 < 1,33, to ukazuje da je proces trenutno stabilan,

ali ga treba posmatrati i kontrolisati.

Za proces se kaže da je zadovoljavajući ako je 1,33 ≤ 𝐶𝑝𝑘 < 1,5, to ukazuje da je kvalitet

procesa adekvatan, tj. da proces zadovoljava propisane specifikacije, zamena materijala može

biti dozvoljena i nije potrebna stroga kontrola kvaliteta.

Proces je odličan ako je 1,5 ≤ 𝐶𝑝𝑘 < 2, to ukazuje da je kvalitet procesa prevazišao

zadovoljavajući nivo.

Ako je 𝐶𝑝𝑘 ≥ 2, kažemo da je proces super-proces, ali takvi procesi su retki i uglavnom služe

samo da privuku kupce.

Ocena indeksa 𝐶𝑝𝑘

𝐶𝑝𝑘 je jedan od najkorišćenijih indeksa sposobnosti procesa u menadžerskim odlukama,

pa se velika pažnja posvetila proučavanju intervala poverenja za pomenuti indeks. Značajne i

bitne odluke svakodnevno se donose u skladu sa ocenama ovog indeksa.

Ocena indeksa 𝐶𝑝𝑘 se dobija zamenom sredine procesa 𝜇 i standardne devijacije 𝜎 njihovim

ocenama �̅� i 𝑠, respektivno, koje se mogu dobiti iz procesa koji je stabilan (pod statističkom

kontrolom):

39

�̂�𝑝𝑘 =𝑑 − |�̅� − 𝑚|

3𝑠= {1 −

|�̅� − 𝑚|

𝑑} �̂�𝑝,

�̅� = ∑ 𝑥𝑖 𝑛 ⁄𝑛𝑖=1 i 𝑠 = [∑ (𝑥𝑖 − �̅�)

2 (𝑛 − 1)⁄𝑛𝑖=1 ]1 2⁄ su ocene srednje vrednosti i standardne

devijacije respektivno.

Neka je slučajna promenljiva 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2), posmatrajmo 𝑚 slučajnih uzoraka, svaki veličine

𝑛𝑖 , 𝑖 = 1…𝑚. Neka je 𝑥𝑖𝑗 , 𝑗 = 1,… , 𝑛𝑖 , 𝑖 = 1,… ,𝑚 realizovana vrednost posmatrane

karakteristike. Pretpostavimo da je proces pod statističkom kontrolom i proces se nagleda uz

pomoć (𝑋,̅ 𝑆) kontrolne karte. Tada su srednja vrednost i disperzija 𝑖 −tog realizovanog uzorka

date sa:

�̅�𝑖 =1

𝑛𝑖∑𝑥𝑖𝑗

𝑛𝑖

𝑗=1

, 𝑠𝑖2 =

1

𝑛𝑖 − 1∑(𝑥𝑖𝑗 − �̅�𝑖)

2

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑖 𝑁 =∑𝑛𝑖

𝑚

𝑖=1

.

Označimo sa 𝑁1 = ∑ (𝑛𝑖 − 1)𝑚𝑖=1 .

Ako su svi uzorci veličine 𝑛, tada je 𝑁 = 𝑚𝑛 i 𝑁1 = 𝑚(𝑛 − 1).

Za ocenu srednje vrednosti i disperzije posmatranog procesa, K. Vannman i N.F. Hubel su

koristili:

�̂� = �̿� =1

𝑁∑𝑛𝑖�̅�𝑖

𝑛𝑖

𝑗=1

, �̂�2 =1

𝑁∑(𝑛𝑖 − 1)𝑠𝑖

2

𝑛𝑖

𝑗=1

.

Ocenu indeksa 𝐶𝑝𝑘 su izrazili kao ocenu 𝐶𝑝(𝑢, 𝑣). O ovakvoj nadogradnji 𝐶𝑝 indeksa i o

njegovoj vezi sa 𝐶𝑝𝑘 indeksom biće reči u poglavlju 6.1. Tražena ocena data kao:

�̂�𝑝(𝑢, 𝑣) =𝑑 − 𝑢|�̂� − 𝑇|

3√�̂�2 + (�̂� − 𝑇)2.

Ocena �̂�2 nije nepristrasna ocena disperzije 𝜎2. Nepristrasna ocena disperzije je data sa

�̃�2 =1

𝑁1∑(𝑛𝑖 − 1)𝑠𝑖

2

𝑛𝑖

𝑗=1

,

pa je tražena ocena u tom slučaju:

�̃�𝑝(𝑢, 𝑣) =𝑑 − 𝑢|�̂� − 𝑇|

3√�̃�2 + (�̂� − 𝑇)2.

40

r-ti moment statistike �̂�𝑝𝑘

Pod pretpostavkom normalnosti obeležja X, Kotz je izveo r-ti moment za �̂�𝑝𝑘 i to:

E(�̂�𝑝𝑘𝑟 ) =

1

3𝑟E (

1

𝑠𝑟)∑(−1)𝑗 (

𝑟

𝑗) 𝑑𝑟−𝑗E(|�̅� − 𝑚|𝑗)

𝑟

𝑗=0

= (𝑑√𝑛 − 1

3𝜎)

𝑟

E(𝜒𝑛−1−𝑟 )∑(−1)𝑗 (

𝑟

𝑗) (

𝜎

𝑑√𝑛)𝑗

𝑟

𝑗=0

E [√𝑛(�̅� − 𝑚)

𝜎]

𝑗

.

Za 𝑟 = 1 dobijamo očekivanu vrednost za �̂�𝑝𝑘

E(�̂�𝑝𝑘) =1

3𝑏𝑛−1{𝑑

𝜎− √

2

𝜋𝑛𝑒−𝜆 2⁄ −

|𝜇 − 𝑚|

𝜎[1 − 2Φ(−√𝜆)]}.

Za 𝑟 = 2 dobijamo drugi moment za �̂�𝑝𝑘

E(�̂�𝑝𝑘2 ) = (

𝑑√𝑛 − 1

3𝜎)

2

𝐸(𝜒𝑛−1−2 ) ×∑(−1)𝑗 (

2

𝑗) (

𝜎

𝑑√𝑛)𝑗

2

𝑗=0

𝐸 [√𝑛(�̅� − 𝑚)

𝜎]

𝑗

.

Tada varijansu dobijamo kao:

𝑉𝑎𝑟(�̂�𝑝𝑘) = 𝐸(�̂�𝑝𝑘2 ) − (𝐸(�̂�𝑝𝑘))

2

=𝑛 − 1

9(𝑛 − 3){(𝑑

𝜎)2

− 2𝑑

𝜎[√

2

𝜋𝑛𝑒−𝜆 2⁄ +√

𝜆

𝑛(1 − 2Φ(−√𝜆))] +

𝜆 + 1

𝑛} − (𝐸(�̂�𝑝𝑘))

2

,

gde je 𝜆 = 𝑛(𝜇 − 𝑚)2 𝜎2⁄ i faktor korekcije dat sa

𝑏𝑛−1 = (2 (𝑛 − 1)⁄ )1 2⁄ × Γ[(𝑛 − 1) 2⁄ ] Γ[(𝑛 − 2) 2⁄ ]⁄ .

Statističke karakteristike ocene �̂�𝑝𝑘 su:

za 𝜇 ≠ 𝑚, �̂�𝑝𝑘 je pristrasna ocena indeksa 𝐶𝑝𝑘,

za 𝜇 = 𝑚 ⋀𝑛 ≤ 10 ocena je pristrasna,

za 𝜇 = 𝑚 ⋀𝑛 > 10 ocena je nepristrasna.

41

Distribuciona svojstva indeksa 𝐶𝑝𝑘

Chou i Owen 1989. godine su koristili polaznu definiciju indeksa 𝐶𝑝𝑘 kako bi ocenu

ovog indeks izrazili na sledeći način:

�̂�𝑝𝑘 = min(�̂�𝑝𝑢, �̂�𝑝𝑙),

gde su �̂�𝑝𝑢 = (𝑈𝑆𝐿 − �̅�) (3𝑠)⁄ i �̂�𝑝𝑙 = (�̅� − 𝐿𝑆𝐿) (3𝑠)⁄ ocene za 𝐶𝑝𝑢 i 𝐶𝑝𝑙 respektivno.

Raspodele 3√𝑛�̂�𝑝𝑢 i 3√𝑛�̂�𝑝𝑙 su pod pretpostavkom normalnosti obeležja X, ne-centralne t-

raspodele sa 𝑛 − 1 stepeni slobode i parametri pomeraja su

√𝑛(𝑈𝑆𝐿 − 𝜇) 𝜎⁄ i √𝑛(𝜇 − 𝐿𝑆𝐿) 𝜎⁄ respektivno. Zatim, Owen-ove formule za zajedničku

raspodelu dve zavisne ne-centralne t promenljive koriste se za izvođenje raspodele ocene �̂�𝑝𝑘.

Gustina raspodele data je kao:

𝑔�̂�𝑝𝑘(𝑦) =

{

3√𝑛∑𝑔𝑇𝑛−1,𝛿𝑖

(𝑡𝑖)

2

𝑖=1

za 𝑦 ≤ 0,

3√𝑛∑𝑛 − 1

𝑡𝑖[𝑄𝑛+1(√

𝑛 + 1

𝑛 − 1𝑡𝑖, 𝛿𝑖; 0, 𝑅) − 𝑄𝑛−1(𝑡𝑖, 𝛿𝑖; 0, 𝑅)]

2

𝑖=1

za 𝑦 > 0,

gde je 𝑡1 = −𝑡2 = 3√𝑛𝑦 , 𝛿1 = −3√𝑛𝐶𝑝𝑢, 𝛿2 = 3√𝑛𝐶𝑝𝑙, 𝑅 = √𝑛 − 1(𝛿1 − 𝛿2) (𝑡1 − 𝑡2)⁄ i

𝑔𝑇𝑛−1,𝛿𝑖(∙) je ne-centralna t statistika sa 𝑛 − 1 stepeni slobode i parametrom pomeraja 𝛿𝑖.

Funkcija 𝑄𝑓(𝑡, 𝛿; 0, 𝑅) je data kao:

𝑄𝑓(𝑡, 𝛿; 0, 𝑅) = 𝐶(𝑓)∫ [Φ(𝑡𝑥𝑓− 𝛿) 𝑥𝑓−1𝜙(𝑥)] 𝑑𝑥

𝑅

0

,

za 𝐶(𝑓) = √2𝜋 [Γ(𝑓 2⁄ )2𝑓 2−1⁄ ]⁄ , gde je Φ(∙) funkcija standardne normalne raspodele, a 𝜙(∙)

je odgovarajuća gustina. Na osnovu ove gustine Guirguis i Rodriguez su razvili program za

računanje nižih granica pouzdanosti.

Intervalna ocena za 𝐶𝑝𝑘

Prilikom konstrukcije intervala poverenja u interesu je da se dobije što tačniji skup

vrednosti koji će sadržati pravu vrednost indeksa. Međutim konstrukcija tačnog intervala

poverenja za ocenu indeksa 𝐶𝑝𝑘 je komplikovana zbog činjenice da raspodela �̂�𝑝𝑘 uključuje

zajedničku raspodelu dve, ne-centralne t-raspodele. Mnogi matematičari su se bavili

izračunavanjem intervala poverenja i na kraju su došli do tretmana izgradnje približnog

intervala poverenja, koji je jednostavan za izračunavanje. Heavlin je 1998. godine predložio

100(1 − 𝛼)% interval poverenja:

42

[�̂�𝑝𝑘 − 𝑧𝛼 2⁄√

𝑛 − 1

9𝑛(𝑛 − 3)+

�̂�𝑝𝑘2

2(𝑛 − 3)(1 +

6

𝑛 − 1) ,

�̂�𝑝𝑘 + 𝑧𝛼 2⁄√

𝑛 − 1

9𝑛(𝑛 − 3)+

�̂�𝑝𝑘2

2(𝑛 − 3)(1 +

6

𝑛 − 1)

].

Još jedan od načina za nalaženje 100(1 − 𝛼)% intervala poverenja je:

[(1 − 𝑧𝛼 2⁄ √𝑛 − 1

𝑛 − 3−

1

𝑏𝑛−12 ) �̂�𝑝𝑘, (1 + 𝑧𝛼 2⁄ √

𝑛 − 1

𝑛 − 3−

1

𝑏𝑛−12 ) �̂�𝑝𝑘 ].

Franklin i Wesserman su 1992. godine predložili dodatnu modifikaciju kako bi se dobila

izuzetno tačna donja granica 100 (1 − 𝛼)% interval poverenja, za 𝑛 ≥ 30,

�̂�𝑝𝑘 − 𝑧𝛼√1

9𝑛+

�̂�𝑝𝑘2

2(𝑛 − 1),

gde je 𝑧𝛼 odgovarajući kvantil reda 1 − 𝛼 standardne normalne raspodele.

Nagata i Nagahata su 1994. godine predložili modifikaciju ove formule dodavanjem

1 (30√𝑛)⁄ i dobili vrlo dobre rezultate za simulacione eksperimente za dvostrane intervale

poverenja. Takođe su razvili i dvostrane intervale poverenja za 𝐶𝑝𝑘, koji je produžetak

dvostranog intervala poverenja za 𝐶𝑝𝑢 i 𝐶𝑝𝑙 koji je razvio Nagata, i to je:

(�̂�𝑝𝑘 − 𝑧𝛼 2⁄√1

9𝑛+

�̂�𝑝𝑘2

2(𝑛 − 1), �̂�𝑝𝑘 + 𝑧𝛼 2⁄

√1

9𝑛+

�̂�𝑝𝑘2

2(𝑛 − 1) ).

Ako je 1 (9𝑛)⁄ izostavljeno, tada se donja granica jednostranog intervala poverenja može

aproksimirati sa:

(1 −𝑧𝛼

√2(𝑛 − 1)) �̂�𝑝𝑘.

Kushler i Hurley su 1992. godine predložili jednostavniju formulu za donju granicu

100(1 − 𝛼)% jednostranog intervala poverenja koja je data sa:

(1 − 𝑧𝛼

√2(𝑛 − 1)) �̂�𝑝𝑘.

U raznim literaturama su dostupna brojna istraživanja i eksperimenti u vezi sa navedenim

granicama. Franklin i Wasserman su 1992. godine su izvršili simulacije za procenu svojstava

ovih granica, i otkrili su da je stvarna stopa pokrivenosti od oko 96% do 98%. Takođe su

predložili i takozvane, bootstrap intervale poverenja, koji se zasnivaju na kompjuterskim

izračunavanjima. Postoje tri vrste bootstrap intervala poverenja i to:

43

1. standard bootstrap (SB)

2. percentile bootstrap (PB)

3. bais-corrected percentile bootstrap (BCPB).

Istraživanja i rezultati su pokazali da neki od ovih intervala pružaju 90% pokrivenosti kada je

proces normalno raspodeljen, a kada je proces raspodeljen u skladu sa hi-kvadrat raspodelom

onda je pokrivenost blizu 87%. U praksi, pak, treba biti oprezan kada proces nije normalno

raspodeljen.

Tang je 1997. godine razvio aproksimativni metod za dobijanje granica intervala poverenja i to

uz pomoć grafika, posmatrajući odnos između 𝐶𝑝𝑘 , 𝑘 i procenta neusaglašenih proizvoda.

Hoffman je 2001. godine izrazio interval poverenja za 𝐶𝑝𝑘 koristeći percentile raspodele ocene

�̂�𝑝𝑘, i upoređivao ih sa bootstrap intervalima koje su predložili Franklin i Wasserman i sa

metodom koji je predložio Tang. Rezultati istraživanja su pokazali da je u većini slučajeva

najbolji izbor Hoffman-ov interval poverenja jer obezbeđuje potreban nivo poverenja.

Testiranje hipoteza o vrednostima indeksa 𝐶𝑝𝑘

U ovom odeljku ćemo se baviti i testirati sposobnost procesa u zavisnosti od indeksa

𝐶𝑝𝑘. Posmatrajmo dve hipoteze, nultu i altervatinu respektivno,

𝐻0: 𝐶𝑝𝑘 ≤ 𝐶 (proces nije sposoban),

𝐻1: 𝐶𝑝𝑘 > 𝐶 (proces je sposonan).

Kao i do sada, biće razmatrana vrednost odluke 𝜙(𝑥) = 1 kada je �̂�𝑝𝑘 ≤ 𝑐0 i vrednost odluke

𝜙(𝑥) = 0 ostalim slučajevima.

Ovaj test odbacuje nultu hipotezu, sa greškom prve vrste, 𝛼(𝑐0) = 𝛼 (verovatnoća da se

nesposoban proces proglasi sposobnim). Ako su nam poznate vrednosti 𝛼 i 𝐶, kritična vrednost

𝑐0 se može dobiti rešavanjem jednačine:

𝑃(�̂�𝑝𝑘 > 𝑐0 | 𝐶𝑝𝑘 = 𝐶) = 𝛼.

Kod procesa kod kojih je ciljna vrednost T postavljena na sredinu pojasa tolerancije (𝑇 = 𝑚),

indeks 𝐶𝑝𝑘 se može napisati kao:

𝐶𝑝𝑘 =(𝑑𝜎 −

|𝜉|)

3, 𝜉 = (𝜇 − 𝑚) 𝜎⁄ .

Ako je 𝐶𝑝𝑘 = 𝐶 unapred određena vrednost, tada se 𝑏 = 𝑑 𝜎⁄ može izraziti kao 𝑏 = 3𝐶 + |𝜉|.

𝑝 − vrednost koja odgovara vrednosti 𝑐∗je data kao:

𝑝 − 𝑣𝑟𝑒𝑑𝑛𝑜𝑠𝑡 = P{�̂�𝑝𝑘 ≥ 𝑐∗ | 𝐶𝑝𝑘 = 𝐶}

44

= ∫ 𝐺 ((𝑛 − 1)(𝑏√𝑛 − 𝑡)2

9𝑛(𝑐∗)2) [𝜙(𝑡 + 𝜉√𝑛) + 𝜙(𝑡 − 𝜉√𝑛)]𝑑𝑡.

𝑏√𝑛

0

Stoga, s obzirom na to da uslov za vrednost C, za date vrednosti 𝜉, 𝛼 i obima uzorka n, kritična

vrednost 𝑐0 se može dobiti rešavanjem sledeće jednačine:

∫ 𝐺 ((𝑛 − 1)(𝑏√𝑛 − 𝑡)2

9𝑛𝑐02 ) [𝜙(𝑡 + 𝜉√𝑛) + 𝜙(𝑡 − 𝜉√𝑛)]𝑑𝑡 = 𝛼

𝑏√𝑛

0

.

Obično su parametri 𝜇 i 𝜎 nepoznati, pa samim tim i parametar 𝜉 = (𝜇 − 𝑚) 𝜎⁄ . U praksi se

ovo rešava tako što se 𝜇 i 𝜎 menjaju svojim ocenama, �̅� i 𝑠 respektivno. Međutim ovo dovodi

do dodatnih grešaka kod ocene parametra 𝜉, što dovodi do toga da će pristup biti manje

pouzdan. Pearn i Lin su ispitivali ponašanje kritične vrednosti 𝑐0 kao funkcije od 𝜉. Nakon

obimnih proračuna, dobili su vrednost 𝑐0 za sledeće vrednosti parametara: 𝜉 =

0; 0,05; 3,00, 𝑛 = 10; 50; 300, 𝐶 = 1,00; 1,33; 1,50; 1,67; 2,00 i 𝛼 = 0,05, čime su pokrili

dosta mogućnosti za 𝐶𝑝𝑘 ≥ 0. Zaključak do koga su došli za kritičnu vrednost 𝑐0 je:

maksimum je postignut za 𝜉 = 1,00,

ostaje konstanta za svako 𝜉 ≥ 1,00 i za sve vrednosti C.

Čak su otkrili da kritična vrednost, za obim uzorka 𝑛 ≥ 30, dostigne svoj maksimum za 𝜉 =

0,5. Prema tome, Pearn i Lin su predložili da u praksi datu jednačinu za dobijanje kritične

vrednosti treba rešavati za 𝜉 = 1,00 i na taj način izbeći ocenu parametra 𝜉. Ovaj pristup

osigurava da odluke donete na ovaj način su pouzdanije od drugih metoda kada treba oceniti

parametar 𝜉, koristeći samo vrednosti uzorka.

Pretpostavimo sada da je standardna devijacija procesa ocenjena sa:

�̂� =�̅�

𝑑2.

Sprovedena su istraživanja donje granice jednostranog intervala poverenja. Na osnovu

definicije 𝐶𝑝𝑘 = 𝑚𝑖𝑛{𝑈𝑆𝐿 − 𝜇, 𝜇 − 𝐿𝑆𝐿} 3𝜎⁄ = 𝑚𝑖𝑛{𝐶𝑝𝑢, 𝐶𝑝𝑙}, proces je sposoban ako:

P(𝐶𝑝𝑘 ≥ 𝑐𝑘) = 𝛼.

To je ekvivalentno zahtevu da

P(𝐶𝑝𝑢 ≥ 𝑐𝑘 i 𝐶𝑝𝑙 ≥ 𝑐𝑘)

= P(𝑍 − ℎ2�̅� ≤ −ℎ1 i 𝑍 + ℎ2�̅� ≥ ℎ1) = 𝛼,

gde je ℎ2 = (3√𝑛�̂�𝑝𝑘) 𝑑2⁄ i ℎ1 = 3√𝑛𝑐𝑘 .

45

Primer 8. U procesu proizvodnje cevovoda, godišnje se proizvede 25 000 komponenti i

karakteristika X koju treba kontrolisati predstavlja unutrašnji prečnik cevovoda izraženog u

milimetarima. Na sledećem histogramu predstavljene se realizovane vrednosti uzorka obima

40 izražene u milimetrima. Izračunati 𝐶𝑝𝑘 indeks i odrediti 95% interval poverenja.

[6]

Gornja i donja specifikaciona granica su 49,95 mm i 50,05 mm, respektivno.

Na apscisi su prikazane izmerene vrednosti posmatrane karakteristike, a na ordinati

odgovarajuće učestanosti.

Tada je ocena sredine procesa:

�̂� =∑ 𝑓𝑖𝑥𝑖𝑘𝑖=1

𝑁

=2 × (49,95 + 50,01) + 4 × 49,96 + 7 × 49,7 + 10 × 49,8 + 8 × 49,9 + 6 × 50 + 50,02

40

= 49,98 mm.

Ocena standardna devijacija je:

�̂� = √2 × (49,95 − 48,98)2 +⋯+ 1 × (50,02 − 49,98)2

40

= 0,0162 mm.

Odavde dobijamo ocenu 𝐶𝑝 indeksa:

�̂�𝑝 =𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿

6�̂�=50,05 − 49,95

6 × 0,0162=

0,1

0,0972= 1,03.

A zatim ocena 𝐶𝑝𝑘 indeksa se dobija iz:

�̂�𝑝𝑘 = {1 −|�̅� − 𝑚|

𝑑} �̂�𝑝 = {1 −

|49,98 − 50|

0,05} 1,03 = 0,62.

46

95% interval poverenja ćemo odrediti na osnovu predloga koji su dali Nagata i Nagahata jer

je u primeru obim uzorka 𝑛 > 30. U tom slučaju, traženi interval je:

(�̂�𝑝𝑘 − 𝑧𝛼 2⁄√1

9𝑛+

�̂�𝑝𝑘2

2(𝑛 − 1), �̂�𝑝𝑘 + 𝑧𝛼 2⁄

√1

9𝑛+

�̂�𝑝𝑘2

2(𝑛 − 1) ),

(0,62 − 1,96√1

9 × 40+0,622

2 × 39, 0,62 + 1,96√

1

9 × 40+0,622

2 × 39),

(0,4477, 0,7923).

47

5. 𝐶𝑝𝑚 indeks

Primer 9. Posmatrajmo dva procesa, proces A i proces B, sa odgovarajućim srednjim

vrednostima i standardnim devijacijama kao na slici 10:

Slika 10. Proces A i Proces B sa datim vrednostima sredina i standardnih devijacija. [4]

Izračunaćemo vrednosti indeksa 𝐶𝑝 i 𝐶𝑝𝑘 za oba procesa:

Proces A:

𝐶𝑝𝐴 =

(1,05 − 0,95)

6 × 0,012= 1,389,

𝐶𝑝𝑘𝐴 =

𝑚𝑖𝑛[(0,98 − 0,95), (1,05 − 0,98)]

3 × 0,012= 0,833.

Proces B:

𝐶𝑝𝐵 =

(1,05 − 0,95)

6 × 0,02= 0,833,

𝐶𝑝𝑘𝐵 =

𝑚𝑖𝑛[(1,00 − 0,95), (1,05 − 1,00)]

3 × 0,02= 0,833.

Proces A ima manju standardnu devijaciju u poređenju sa procesom B, pa je 𝐶𝑝 indeks procesa

A veći u odnosu na 𝐶𝑝 indeks procesa B. Međutim 𝐶𝑝𝑘 indeks oba procesa je jednak. 𝐶𝑝𝑘 indeks

je uveden kako bi se uzela u obzir lokacija sredine od nominalne vrednosti. U ovom primeru

ipak vidimo da, iako srednja vrednost procesa A nije jednaka nominalnoj vrednosti, kao što je

to u slučaju procesa B, njihovi 𝐶𝑝𝑘 indeksi su ipak jednaki, razlog tome je manja standardna

devijacija procesa A. Indeks 𝐶𝑝𝑘 eliminiše odstupanje srednje vrednosti od nominalne

vrednosti. Ovaj indeks je razvio i definisao Chan.

G. Taguchi je 1986. godine predložio drugačiji pristup poboljšanju kvaliteta gde je smanjenje

varijacije vodeći princip ka poboljšanju procesa. On je prvi predstavio koncept gubitka, ali se

postavljalo pitanje kako kvantifikovati gubitak. Iz poslovne perspektive, takav alat mora biti

48

dobro definisan, jednostavan za korišćenje i da doprinese finansijskom razvoju određenog

posla. Neka je 𝑥 izmerena vrednost karakteristike procesa 𝑋, tada 𝐿(𝑥) predstavlja monetarni

gubitak prema klijentu. Taguchi je funkciju gubitka 𝐿 definisano kao:

𝐿(𝑥) = 𝑘(𝑥 − 𝑇)2,

za pozitivnu konstantu 𝑘 i ciljnu vrednost 𝑇.

Za 𝑥 = 𝑇, 𝐿(𝑇) = 0, dok je svako odstupanje od idealne vrednosti 𝑇 gubitak za potrošača ili

društvo.

Očekivani gubitak se može izraziti kao:

𝐸(𝐿) = 𝑘𝐸{(𝑥 − 𝑇)2}.

Ovo je mera varijacije procesa u smislu odstupanja karakteristike 𝑋 od ciljne vrednosti 𝑇.

L.K. Chan je 1988. godine definisao indeks koji je direktno povezan sa kvadratnim gubitkom

izmerene funkcije i nazvao ga 𝐶𝑝𝑚 indeks.

Definicija 6. Indeks 𝐶𝑝𝑚 definisan je na sledeći način:

𝐶𝑝𝑚 =𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿

6√𝜎2 + (𝜇 − 𝑇)2,

gde je 𝜎2 varijansa procesa, 𝜇 je sredina procesa, a T je ciljna vrednost.

Odredićemo 𝐶𝑝𝑚 indeks za prethodna dva procesa:

Proces A:

𝐶𝑝𝑚𝐴 =

1,05 − 0,95

6√0,0122 + (0,98 − 1,00)2= 0,712.

Proces B:

𝐶𝑝𝑚𝐵 =

1,015 − 0,95

6√0,022 + (1,00 − 1,00)2= 0,833.

𝐶𝑝𝑚𝐴 < 𝐶𝑝𝑚

𝐵 zbog većeg odstupanja sredine procesa A od ciljne vrednosti.

𝐶𝑝𝑚𝐵 = 𝐶𝑝𝑘

𝐵 zbog jednakosti ciljne vrednosti i srednje vrednosti procesa B.

Glavni zadatak 𝐶𝑝𝑚 indeksa nije ispitivanje procenta defektnih proizvoda, već ispitivanje

sposobnosti procesa da ispuni ciljne vrednosti.

49

5.1. Ocena indeksa 𝐶𝑝𝑚

Posmatrajmo indeks

𝐶𝑝𝑚 =𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿

6𝜎′,

gde je 𝜎′ = √𝜎2 + (𝜇 − 𝑇)2.

Ocenjivanje 𝐶𝑝𝑚 indeksa svodi se na ocenjivanje varijanse procesa. Ocena �̂�ꞌ je

�̂�′ = √∑ (𝑋𝑖 − 𝑇)2𝑛𝑖=1

𝑛 − 1

Da bismo ilustrovali slučajnost ove ocena, 100 uzoraka, svaki veličine 10, simulirano je iz

normalne raspodele sa sredinom 𝜇 = 45,00 i standardnom devijacijom 𝜎 = 2,5. Neka su donja

i gornja specifikaciona granica 22,5 i 52,5 respektivno, i neka je ciljna vrednost 𝑇 = 37,5.

Slika 11. Raspodela realizovanih ocena 𝐶𝑝𝑚 indeksa. [4]

Na slici 11. je raspodela vrednosti 100 realizovanih ocena 𝐶𝑝𝑚 indeksa. Ocene su izračunate

korišćenjem formule:

�̂�𝑝𝑚 =𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿

√∑ (𝑋𝑖 − 𝑇)2𝑛𝑖=1

𝑛 − 1

.

Možemo videti da je raspodela ove ocene ne odstupa „grubo“ od normalne raspodele.

5.2. Intervalna ocena za 𝐶𝑝𝑚

Proučavanjem intervala poverenja za ocenu indeksa 𝐶𝑝𝑚 bavili su se mnogi naučnici.

Poznato je da su izvedene donje granice jednostranog intervala poverenja. Tako su na primer

M.O. Marcucci i C.C. Beazley su 1988. došli do donje granice jednostranog intervala

poverenja, za uzorak obima 𝑛, koja je data kao:

50

𝐶𝑝𝑚𝐿(𝑀𝐵)

≅ �̂�𝑝𝑚√𝜒𝑛2(1 − 𝛾)

𝑛, 0 ≤ 𝛾 ≤ 1.

L.K. Chan 1990. godine takođe izvodi donju granicu jednostranog intervala poverenja za ocenu

indeksa 𝐶𝑝𝑚 koja iznosi:

𝐶𝑝𝑚𝐿(𝐶) = �̂�𝑝𝑚 − 𝑧𝛼�̂�𝑚,

gde je

�̂�𝑚2 = (

𝑑

3)2 𝑠2(�̅� − 𝑇)2 + (𝑠4 2) ⁄

[𝑠2 + (�̅� − 𝑇)2]3.

5.3. Testiranje hipoteza o vrednostima indeksa 𝐶𝑝𝑚

Kao i do sada, da bismo testirali sposobnost određenog procesa, posmatraćemo dve

hipoteze, nultu i alternativnu respektivno,

𝐻0: 𝐶𝑝𝑚 ≤ 𝐶 (proces nije sposoban),

𝐻1: 𝐶𝑝𝑚 > 𝐶 (proces je sposonan).

Ovaj test odbacuje nultu hipotezu sa verovatnoćom 𝛼(𝑐0) = 𝛼 (verovatnoća da se nesposoban

proces proglasi sposobnim), greška prve vrste.

Posmatrajmo proces kod koga je srednja vrednost jednaka nominalnoj vrednosti, tj. 𝑇 = 𝑚, što

je u praksi jedna od najčešćih situacija. Tada se indeks 𝐶𝑝𝑚 može zapisati kao 𝐶𝑝𝑚 =

𝑏 [3(1 + 𝜉2)1 2⁄ ]⁄ . Za 𝐶 = 𝐶𝑝𝑚, 𝑏 = 𝑑 𝜎⁄ se može zapisati kao 𝑏 = 3𝐶[3(1 + 𝜉2)1 2⁄ ].

Za datu vrednost 𝐶, 𝑝 − 𝑣𝑟𝑒𝑑𝑛𝑜𝑠𝑡 koja odgovara vrednosti c∗je data kao:

𝑝 − 𝑣𝑟𝑒𝑑𝑛𝑜𝑠𝑡 = P{�̂�𝑝𝑚 ≥ 𝑐∗ | 𝐶𝑝𝑚 = 𝐶}

= ∫ 𝐺 (𝑏2𝑛

9(𝑐∗)2− 𝑡2) [𝜙(𝑡 + 𝜉√𝑛) + 𝜙(𝑡 − 𝜉√𝑛)]𝑑𝑡

𝑏√𝑛 (3𝑐0)⁄

0

,

gde je 𝐺(∙) funkcija 𝜒𝑛−12 raspodele, a 𝜙(∙) je funkcija gustine standardne normalne raspodele.

Ako su nam poznate vrednosti 𝛼 i 𝐶, kritična vrednost 𝑐0 se može dobiti rešavanjem jednačine:

𝑃(�̂�𝑝𝑚 > 𝑐0 | 𝐶𝑝𝑘 = 𝐶) = 𝛼.

Za uslov C i za date vrednosti 𝜉, 𝛼 i obim uzorka n, kritična vrednost 𝑐0 se može dobiti

rešavanjem sledeće jednačine:

51

∫ 𝐺 (𝑏2𝑛

9𝑐02− 𝑡2) [𝜙(𝑡 + 𝜉√𝑛) + 𝜙(𝑡 − 𝜉√𝑛)]𝑑𝑡 = 𝛼.

𝑏√𝑛 (3𝑐0)⁄

0

Primer 10. Neka su iz proizvodnog procesa na slučajan način izabrani uzorci koji su

predstavljeni u sledećoj tabeli

Uzorak 1 Uzorak 1 Uzorak 1 Uzorak 1 Uzorak 1 Uzorak 1 Uzorak 1 Uzorak 1 Uzorak 1

1. 90,741 102,711 104,066 106,602 100,904 104,922 112,738 102,388 97,825 2. 102,3 100,882 105,62 95,978 108,558 100,243 108,145 104,159 95,209 3. 98,642 103,314 96,165 96,265 94,882 97,053 98,679 100,204 91,273 4. 106,069 98,569 100,412 95,869 98,573 111,042 103,788 99,328 93,43 5. 97,635 96,639 96,316 84,872 108,588 99,068 105,664 94,157 98,263

Tabela 9. Realizovane vrednosti posmatrane karakteristike procesa

Granice specifikacije za ovaj proizvodni proces su 𝑈𝑆𝐿 = 145 i 𝐿𝑆𝐿 = 60, a ciljna vrednost je

𝑇 = 105. Naći ocenu 𝐶𝑝𝑚 indeksa i odrediti 95% interval poverenja.

Ocena standardne devijacije se dobija kao:

�̂� = √(90,741 − 105)2 + (102,3 − 105)2 +⋯+ (98,263 − 105)2

45 − 1= 7,41.

Tražena ocena je:

�̂�𝑝𝑚 =145 − 60

6 × 7,41= 1,91.

Interval poverenja dobijamo na osnovu predloga M.O. Marcucci i C.C. Beazley, gde je donja

granica jednostranog intervala poverenja:

𝐶𝑝𝑚𝐿(𝑀𝐵) ≅ �̂�𝑝𝑚√

𝜒𝑛2(1 − 𝛼)

𝑛,

𝐶𝑝𝑚𝐿(𝑀𝐵) ≅ 1,91√

61,65623 × 0,05

45= 0,13.

Ako pak koristimo predlog L.K. Chan, donja granica jednostranog intervala poverenja je:

𝐶𝑝𝑚𝐿(𝐶) = �̂�𝑝𝑚 − 𝑧𝛼�̂�𝑚,

�̂�𝑚 = √(𝑑

3)2 𝑠2(�̅� − 𝑇)2 + (𝑠4 2) ⁄

[𝑠2 + (�̅� − 𝑇)2]3= 0,1046,

odakle dobijamo

𝐶𝑝𝑚𝐿(𝐶) = 1,91 − 1,96 × 0,1046 = 1,70.

52

6. 𝐶𝑝𝑚𝑘 indeks

Indeksi 𝐶𝑝, 𝐶𝑝𝑘, 𝐶𝑝𝑚 o kojima smo do sada govorili, možemo da kažemo da su osnovni

indeksi. Uz pomoć ovih indeksa moguće je praćenje procesa proizvodnje, gde kao povratnu

informaciju dobijamo da li je proces sposoban, da li odgovara zahtevima specifikacija ili je pak

proces nestabilan i njegov dalji proizvodni tok treba nadgledati. Svi ovi navedeni indeksi se

baziraju na pretpostavci normalnosti karakteristike kvaliteta koju posmatramo i upravo zbog

toga sva svojstva ovih indeksa su dobijena bez velikih poteškoća. Međutim, što više

informacija o nekom proizvodnom procesu je uvek poželjno imati, tako da je Pearn predložio

novi indeks koji predstavlja kombinaciju navedenih indeksa, takozvani 𝐶𝑝𝑚𝑘 indeks. Ovaj

indeks upozorava korisnika kada se varijansa procesa povećava i/ili kada sredina procesa

odstupa od ciljne vrednosti. 𝐶𝑝𝑚𝑘 indeks se nekada može sresti pod nazivom „indeks

sposobnosti treće generacije“.

Definicija 7. Indeks 𝐶𝑝𝑚𝑘 definisan je na sledeći način:

𝐶𝑝𝑚𝑘 = min {𝑈𝑆𝐿 − 𝜇

3√𝜎2 + (𝜇 − 𝑇)2,

𝜇 − 𝐿𝑆𝐿

3√𝜎2 + (𝜇 − 𝑇)2}

=𝑑 − |𝜇 − 𝑚|

3√𝜎2 + (𝜇 − 𝑇)2 .

USL i LSL su gornja i donja specifikaciona granica respektivno, 𝜇 sredina i 𝜎 standardna

devijacija procesa. T je ciljna vrednost, 𝑑 = (𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿) 2⁄ i 𝑚 = (𝑈𝑆𝐿 + 𝐿𝑆𝐿) 2⁄ .

Upoređujući par indeksa (𝐶𝑝𝑚𝑘, 𝐶𝑝𝑚), analogno paru (𝐶𝑝𝑘, 𝐶𝑝), dolazi se do odnosa:

𝐶𝑝𝑚𝑘 = 𝐶𝑝𝑚 × 𝐶𝑎 ,

𝐶𝑝𝑚𝑘 =𝐶𝑝𝑚 × 𝐶𝑝𝑘

𝐶𝑝 .

Vännman je predložio nadogradnju 𝐶𝑝 indeksa kao 𝐶𝑝(𝑢, 𝑣) indeks sposobnosti procesa, koji

indekse 𝐶𝑝, 𝐶𝑝𝑘, 𝐶𝑝𝑚 i 𝐶𝑝𝑚𝑘 uključuje kao posebne slučajeve. Birajući za 𝑢, 𝑣 = 0 i 1

dobijamo četiri različita slučaja:

𝐶𝑝(0,0) = 𝐶𝑝, 𝐶𝑝(1,0) = 𝐶𝑝𝑘, 𝐶𝑝(0,1) = 𝐶𝑝𝑚, 𝐶𝑝(1,1) = 𝐶𝑝𝑚𝑘 .

Ovi indeksi su efikasni alati za analizu sposobnosti procesa i garanciju kvaliteta.

Kada sredina procesa 𝜇 odstupa od ciljne vrednosti T, smanjenje vrednosti 𝐶𝑝𝑚𝑘 indeksa je

znatnije od smanjenja vrednosti indeksa 𝐶𝑝, 𝐶𝑝𝑘 , 𝐶𝑝𝑚. Stoga, indeks 𝐶𝑝𝑚𝑘 odgovara na

udaljavanje sredine procesa 𝜇 od ciljne vrednosti T, dok su ostala tri indeksa osetljivija na

promene varijacije procesa.

Napominjemo da proces koji zadovoljava zahtev sposobnosti „ 𝐶𝑝𝑘 ≥ 𝐶 „, za unapred zadato

C, možda neće ispuniti zahtev sposobnosti „ 𝐶𝑝𝑚 ≥ 𝐶 „. S druge strane, proces koji ispunjava

mogućnost uslova „ 𝐶𝑝𝑚 ≥ 𝐶 „ možda neće ispuniti zahtev „ 𝐶𝑝𝑘 ≥ 𝐶 ". Ovo neslaganje može

53

biti zbog činjenice da 𝐶𝑝𝑘 indeks primarno meri prinos procesa, dok 𝐶𝑝𝑚 indeks se uglavnom

fokusira na gubitak procesa. Međutim, ako proces zadovoljava zahtev sposobnosti "𝐶𝑝𝑚𝑘 ≥

𝐶", tada će zadovoljavati i zahtev " 𝐶𝑝𝑘 ≥ 𝐶 " i " 𝐶𝑝𝑚 ≥ 𝐶 " kao i "𝐶𝑝𝑚𝑘 ≤ 𝐶𝑝𝑘 " i " 𝐶𝑝𝑚𝑘 ≤

𝐶𝑝𝑚" . Vidimo da indeks 𝐶𝑝𝑚𝑘 obezbeđuje veću sigurnost u pogledu prinosa procesa i gubitka

procesa za kupce, nego što je to slučaj sa druga dva indeksa. Prema sadašnjem savremenom

poboljšanju kvaliteta, smanjenje gubitka prinosa, je podjednako važno kao i povećanje prinosa

procesa.

Kada je 𝜇 = 𝑇, tada je 𝐶𝑝𝑚𝑘 = 𝐶𝑝𝑘. Kada se sredina proces 𝜇 udaljava od ciljne vrednosti T,

𝐶𝑝𝑚𝑘 se brže smanjuje od 𝐶𝑝𝑘 indeksa, iako su oba indeksa 0 kada je 𝜇 = 𝑈𝑆𝐿 ili 𝜇 = 𝐿𝑆𝐿.

Nasuprot tome, kada se 𝜇 približava ciljnoj vrednosti, 𝐶𝑝𝑚𝑘 brže raste od indeksa 𝐶𝑝𝑘.

Pod pretpostavkom da je ciljna vrednost 𝑇 = 𝑚, što je najčešći slučaj u praksi, ako je 𝐶𝑝𝑘 = 1,

sve što se može reći o sredini procesa 𝜇 jeste da se nalazi negde između granica 𝑇 − 𝑑 < 𝜇 <

𝑇 + 𝑑, gde je 𝑑 = (𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿) 2⁄ .

Proučavajući indeks 𝐶𝑝𝑚𝑘, Bothe je 1997. godine prvi došao do rezultata da razdaljina između

𝜇 i T mora biti manja od 𝑑 (3𝐶𝑝𝑚)⁄ . Stoga, ako je 𝐶𝑝𝑚 = 1, tada je sredina procesa 𝑇 − 𝑑 3⁄ <

𝜇 < 𝑇 + 𝑑 3⁄ . Ovo je svakako uži interval od prethodno navedenog za sredinu procesa.

Takođe, pokazano je da je rastojanje između 𝜇 i 𝑚 uvek manje od 𝑑 (3𝐶𝑝𝑚𝑘 + 1)⁄ . Tada za

𝐶𝑝𝑚𝑘 = 1, dobijamo da je interval za sredinu procesa 𝑇 − 𝑑 4⁄ < 𝜇 < 𝑇 + 𝑑 4⁄ , primećujemo

da je ovaj interval uži i od poslednje navedenog intervala.

Zaključujemo da indeks 𝐶𝑝𝑚𝑘 pruža značajne informacije o lokaciji sredine procesa. Kada ova

četiri indeksa 𝐶𝑝, 𝐶𝑝𝑘, 𝐶𝑝𝑚, 𝐶𝑝𝑚𝑘 rangiramo u smislu osetljivosti na razliku između sredine

procesa 𝜇 i ciljne vrednosti T dobijamo sledeći poredak:

(1) 𝐶𝑝𝑚𝑘 (najosetljiviji)

(2) 𝐶𝑝𝑚

(3) 𝐶𝑝𝑘

(4) 𝐶𝑝 (koji je potpuno neosetljiv).

U nastavku ćemo posmatrati neke prinose procesa u zavisnosti od vrednosti indeksa.

Na primer, ako je 𝐶𝑝𝑘 = 1,00, jedina informacija koju imamo o prinosu procesa jeste da je

iznad gornje granice procenta neusaglašenih proizvoda %𝑁𝐶 ≤ 2699,796 ppm. Međutim, za

𝐶𝑝𝑚 = 1,00, iformacije o prinosu procesa su dostupne preko gornje granice %𝑁𝐶 ≤

2699,796 ppm i dobijamo informaciju da je 0,667 ≤ 𝐶𝑎 ≤ 1,00. I na kraju, ako je 𝐶𝑝𝑚𝑘 =

1,00 imamo gornju granicu %𝑁𝐶 ≤ 2699,796 ppm i 0,750 ≤ 𝐶𝑎 ≤ 1,00.

Ovi proračuni ilustruju prednost korišćenja 𝐶𝑝𝑚𝑘 indeksa u poređenju sa drugim indeksima

kada se meri prinos procesa jer pruža bolju zaštitu kupaca. Sledeća tabela prikazuje granice

%𝑁𝐶 (𝑃(𝑁𝐶)) i indeksa 𝐶𝑎 za 𝐶𝑝𝑘 = 𝐶𝑝𝑚 = 𝐶𝑝𝑚𝑘 = 𝐶.

54

𝐶

𝐶𝑝𝑘 𝐶𝑝𝑚 𝐶𝑝𝑚𝑘

Granica

% 𝑁𝐶 Granica za

𝐶𝑎

Granica

% 𝑁𝐶 Granica za 𝐶𝑎

Granica

% 𝑁𝐶 Granica za 𝐶𝑎

1,00 2699,796 0 ≤ 𝐶𝑎 ≤ 1 2699,796 0,667 ≤ 𝐶𝑎 ≤ 1 2699,796 0,750 ≤ 𝐶𝑎 ≤ 1

1,33 66,334 0 ≤ 𝐶𝑎 ≤ 1 66,334 0,750 ≤ 𝐶𝑎 ≤ 1 66,334 0,812 ≤ 𝐶𝑎 ≤ 1

1,50 6,795 0 ≤ 𝐶𝑎 ≤ 1 6,795 0,778 ≤ 𝐶𝑎 ≤ 1 6,795 0,833 ≤ 𝐶𝑎 ≤ 1

1,67 0,554 0 ≤ 𝐶𝑎 ≤ 1 0,554 0,800 ≤ 𝐶𝑎 ≤ 1 0,554 0,850 ≤ 𝐶𝑎 ≤ 1

2,00 0,002 0 ≤ 𝐶𝑎 ≤ 1 0,002 0,833 ≤ 𝐶𝑎 ≤ 1 0,002 0,875 ≤ 𝐶𝑎 ≤ 1 Tabela 10. Granice 𝑃(𝑁𝐶) i 𝐶𝑎 za 𝐶𝑝𝑘 = 𝐶𝑝𝑚 = 𝐶𝑝𝑚𝑘 = 𝐶. [1]

Ocena indeksa 𝐶𝑝𝑚𝑘

Za proces sa normalnom raspodelom koji je pod statističkom kontrolom, Pearn je

predložio korišćenje sledeće ocene 𝐶𝑝𝑚𝑘 indeksa:

�̂�𝑝𝑚𝑘 = min {𝑈𝑆𝐿 − �̅�

3√𝑠𝑛2 + (�̅� − 𝑇)2,

�̅� − 𝐿𝑆𝐿

3√𝑠𝑛2 + (�̅� − 𝑇)2 }

=𝑑 − |�̅� − 𝑇|

3√𝑠𝑛2 + (�̅� − 𝑇)2 ,

gde su �̅� = ∑ 𝑥𝑖 𝑛⁄𝑛𝑖=1 i 𝑠𝑛

2 = ∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2 𝑛⁄𝑛

𝑖=1 ocene sredine 𝜇 i disperzije procesa 𝜎2

respektivno. Primetimo da izraz 𝑠𝑛2 + (�̅� − 𝑇)2 = ∑ (𝑥𝑖 − 𝑇)

2 𝑛⁄𝑛𝑖=1 , koji je u imeniocu ocene

�̂�𝑝𝑚𝑘, je nepristrasna ocena sa najmanjom varijansom 𝜎2 + (𝜇 − 𝑇)2 = E[(𝑋 − 𝑇)2]. Zapravo

ocena �̂�𝑝𝑚𝑘 se može izraziti i kao:

�̂�𝑝𝑚𝑘 =𝐷 − √𝐻

3√𝐾 + 𝐻 , 𝐷 = √𝑛

𝑑

𝑛, 𝐾 =

𝑛𝑠𝑛2

𝜎2, 𝐻 =

𝑛(�̅� − 𝑇)2

𝜎2.

Pod pretpostavkom normalnosti obeležja X, 𝐾~𝜒𝑛−12 , 𝐻~𝜒1,𝜆

ꞌ2 ne-centralna hi-kvadrat

raspodela sa jednim stepenom slobode i ne-centralnim parametrom 𝜆 = 𝑛(𝜇 − 𝑇)2 𝜎2⁄ , i

√𝐻~𝑁(𝜂, 1), 𝜂 = √𝑛|𝜇 − 𝑇| (𝜎 √𝑛 ) ⁄⁄ . Drugim rečima ocena �̂�𝑝𝑚𝑘 je raspodeljena kao

mešavina hi-kvadrat raspodele i ne-centralne hi-kvadrat raspodele, izražene kao:

�̂�𝑝𝑚𝑘~

𝑑√𝑛𝜎 − 𝜒1,𝜆

ꞌ

3√𝜒𝑛−12 + 𝜒1,𝜆

ꞌ2

.

55

U opštem slučaju, kada je 𝑇 = 𝑚, Pearn je izveo r-ti moment �̂�𝑝𝑚𝑘 i to:

E(�̂�𝑝𝑚𝑘𝑟 ) =

𝑒−𝜆 2⁄

3𝑟∑(−1)𝑖 (

𝑟

𝑖) (𝑑

𝜎√𝑛

2)

𝑟−𝑖𝑟

𝑖=0

×∑(𝜆2)

𝑗

𝑗![Γ (𝑖 + 12 + 𝑗)

Γ (12 + 𝑗)

Γ (𝑛 − 𝑟 + 𝑖

2 + 𝑗)

Γ (𝑛 + 𝑖2 + 𝑗)

]

∞

𝑗=0

.

Specijalno za 𝑟 = 1 i 𝑟 = 2 dobijamo:

E(�̂�𝑝𝑚𝑘) =𝑒−𝜆 2⁄

3∑

(𝜆2)

𝑗

𝑗![𝑑

𝜎√𝑛

2 𝛤 (𝑛 − 12 + 𝑗)

𝛤 (𝑛2 + 𝑗)

−𝑗! 𝛤 (

𝑛2 + 𝑗)

𝛤 (12 + 𝑗)𝛤 (

𝑛 + 12 + 𝑗)

]

∞

𝑗=0

i

𝐸(�̂�𝑝𝑚𝑘2 ) =

𝑒−𝜆 2⁄

9∑

(𝜆2)𝑗

𝑗![(𝑑√𝑛

𝜎)

2

∙1

𝑛 + 2𝑗 − 2

∞

𝑗=0

−𝑑√2𝑛

𝜎

𝑗!

Γ (12 + 𝑗)

2

𝑛 + 2𝑗 − 1+1 + 2𝑗

𝑛 + 2𝑗].

Varijansu ocene dobićemo iz:

𝑉𝑎𝑟(�̂�𝑝𝑚𝑘) = 𝐸(�̂�𝑝𝑚𝑘2 ) − [𝐸(�̂�𝑝𝑚𝑘)]

2.

Chen i Hsu su istraživali asimptotska svojstva i pokazali da kada 𝑛 → ∞ ocena �̂�𝑝𝑚𝑘 je

postojana, asimptotski nepristrasna i asimptotski normalna ocena.

Mnoge savremene kompanije implementirale su plan za kontrolu proizvodnje na dnevnom

nivou za kontrolu stabilnosti procesa. Postupak prikupljanja podataka je sproveden da pokrene

(�̅�, 𝑆) kontrolne karte. Posmatraćemo 𝑚 uzoraka, svaki veličine 𝑛𝑖 = (𝑥𝑖1, 𝑥𝑖2, … , 𝑥𝑖𝑛𝑖), koji

se analiziraju kako bi se izračunala proizvodna sposobnost procesa. Pod pretpostavkom da su

svi uzorci uzeti iz normalne raspodele 𝑁(𝜇, 𝜎2), ocene sredine i disperzije i-tog uzorka biće:

�̅�𝑖 =∑𝑥𝑖𝑗

𝑛𝑖

𝑛𝑖

𝑗=1

,

𝑆𝑖2 =∑

(𝑥𝑖𝑗 − �̅�𝑖)2

(𝑛𝑖 − 1)

𝑛𝑖

𝑗=1

.

56

Ukupna sredina, svih uzoraka biće ocenjena sa:

�̿� = ∑𝑛𝑖�̅�𝑖𝑁

𝑚

𝑖=1

, 𝑁 =∑𝑛𝑖

𝑚

𝑖=1

,

a disperzija svih uzoraka biće ocenjena sa:

𝑆𝑝2 =

∑ (𝑛𝑖 − 1)𝑆𝑖2𝑚

𝑖=1

∑ (𝑛𝑖 − 1)𝑚𝑖=1

=1

𝑁 −𝑚∑(𝑛𝑖 − 1)𝑆𝑖

2

𝑚

𝑖=1

.

Obe ove ocene su nepristrasne ocene sredine 𝜇 i disperzije 𝜎2 respektivno.

Ocena �̂�𝑝𝑚𝑘 zasnovana na više uzoraka može se izračunati kao:

�̂�𝑝𝑚𝑘∗ = min

{

𝑈𝑆𝐿 − �̿�

3√𝑆𝑝2 + (�̿� − 𝑇)2 ,

�̿� − 𝐿𝑆𝐿

3√𝑆𝑝2 + (�̿� − 𝑇)2

}

.

Kao i u slučaju sa jednim uzorkom, za 𝑇 = 𝑚, 𝐶𝑝𝑚𝑘 indeks se može zapisati kao 𝐶𝑝𝑚𝑘 =

(𝑑 𝜎⁄ − |𝜉|) (3√1 + 𝜉2)⁄ , gde je 𝜉 = (𝜇 − 𝑇) 𝜎⁄ . Kada je 𝐶𝑝𝑚𝑘 = 𝐶 , 𝑏 = 𝑑 𝜎⁄ može se

izraziti kao 𝑏 = 3𝐶√1 + 𝜉2 + |𝜉|. Naime, sa poznatim vrednostima 𝑁,𝑚 i nivoom poverenja

𝛾, ocenom �̂�𝑝𝑚𝑘∗ i parametrom 𝜉, donja granica jednostranog intervala poverenja �̂�𝑝𝑚𝑘

∗𝐿 može

se dobiti rešavanje integrala

∫ 𝐹𝐾 ((𝑏√𝑁 − 𝑡2)

9�̂�𝑝𝑚𝑘∗2

− 𝑡2)

𝑏√𝑁 (1+3�̂�𝑝𝑚𝑘∗ )⁄

0

× [𝜙(𝑡 + 𝜉√𝑁) + 𝜙(𝑡 − 𝜉√𝑁)] 𝑑𝑡 = 1 − 𝛾.

Ukoliko je potrebno oceniti parametar 𝜉, njegova ocena će biti 𝜉 = (�̿� − 𝑇) 𝑆𝑝⁄ .

Intervalna ocena za 𝐶𝑝𝑚𝑘

Kao što je rečeno, Chen i Hsu su ispitivali asimptotsko ponašanje ocene �̂�𝑝𝑚𝑘. Pored

toga bavili su se izučavanjem intervala poverenja za ocenu �̂�𝑝𝑚𝑘 i došli do sledećih rezultata.

100(1 − 𝛼)% interval poverenja je:

[�̂�𝑝𝑚𝑘 − 𝑧𝛼 2⁄

�̂�𝑝𝑚𝑘

√𝑛, �̂�𝑝𝑚𝑘 + 𝑧𝛼 2⁄

�̂�𝑝𝑚𝑘

√𝑛 ],

gde je

�̂�𝑝𝑚𝑘2 = (

1

9(1 + 𝛿2)+

2𝛿

3(1 + 𝛿2)3 2⁄) �̂�𝑝𝑚𝑘 +

72𝛿2 + 𝑑 (𝑚4

𝑠𝑛4 − 1)

72(1 + 𝛿2)2 �̂�𝑝𝑚𝑘2 ,

57

asimptotska ocena za 𝑉𝑎𝑟(�̂�𝑝𝑚𝑘), 𝑧𝛼 2⁄ je odgovarajući kvantil reda 1 − 𝛼 2⁄ standardne

normalne raspodele, a 𝑚4 , 𝑠𝑛 i 𝛿 su dati kao:

𝑚4 =∑(𝑥𝑖 − �̅�)4 𝑛⁄

𝑛

𝑖=1

,

𝛿 =�̅� − 𝑇

𝑠𝑛,

𝑠𝑛 =∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 𝑛⁄

𝑛

𝑖=1

.

Osim toga, na osnovu funkcije raspodele ocene �̂�𝑝𝑚𝑘 Pearn i Shu su razvili efikasan algoritam

u programu Matlab, za izračunavanje donje granice jednostranog intervala poverenja, koja

pruža važne informacije o sposobnosti procesa. Za proces kod koga je ciljna vrednost jednaka

nominalnoj vrednosti (𝑇 = 𝑚), indeks 𝐶𝑝𝑚𝑘 možemo zapisati još kao:

𝐶𝑝𝑚𝑘 =𝑑 − |𝜇 − 𝑚|

3√𝜎2 + (𝜇 − 𝑇)2=𝑑 𝜎⁄ − |𝜉|

3√1 + 𝜉2 ,

gde je parametar 𝜉 dat kao 𝜉 = (𝜇 − 𝑇) 𝜎⁄ .

Za 𝐶𝑝𝑚𝑘 = 𝐶, 𝑏 = 𝑑 𝜎⁄ se može izraziti kao 𝑏 = 3𝐶√1 + 𝜉2 + |𝜉|. Pošto su parametri 𝜇 i 𝜎

obično nepoznati, potrebno je proceniti parametar 𝜉. Ovaj parametar se može oceniti kao:

𝜉 =�̅� − 𝑇

𝑠𝑛.

Dakle, ako posmatramo uzorak obima n, i 𝐶𝑝𝑚𝑘 i 𝜉 ocenimo sa �̂�𝑝𝑚𝑘 i 𝜉, tada donju granicu

jednostranog intervala poverenja nivoa pouzdanosti 𝛾 možemo dobiti rešavanjem integrala:

∫ 𝐺 ((𝑏√𝑛 − 𝑡)

2

9�̂�𝑝𝑚𝑘2

− 𝑡2)

𝑏√𝑛 (1+3�̂�𝑝𝑚𝑘2 )⁄

0

× [𝜙(𝑡 + 𝜉√𝑛) + 𝜙(𝑡 − 𝜉√𝑛)] 𝑑𝑡 = 1 − 𝛾 .

Testiranje hipoteza o vrednostima 𝐶𝑝𝑚𝑘 indeksa

Koristeći indeks 𝐶𝑝𝑚𝑘 inženjeri mogu da prate tok proizvodnog procesa. Da bismo

testirali da li je dati proces sposoban razmatraćemo sledeće hipoteze:

𝐻0: 𝐶𝑝𝑚𝑘 ≤ 𝐶 (𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠 𝑛𝑖𝑗𝑒 𝑠𝑝𝑜𝑠𝑜𝑏𝑎𝑛),

𝐻1: 𝐶𝑝𝑚𝑘 > 𝐶 (𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠 𝑗𝑒 𝑠𝑝𝑜𝑠𝑜𝑏𝑎𝑛),

gde je C zahtevana vrednost sposobnosti procesa.

58

Neka je data vrednosti 𝛼(𝑐0) = 𝛼, verovatnoće da se nesposoban proces (𝐶𝑝𝑚𝑘 ≤ 𝐶) proglasi

sposobnim (𝐶𝑝𝑚𝑘 > 𝐶) (greška prve vrste). Posmatraćemo slučaj kada je ciljna vrednost

jednaka nominalnoj vrednosti (𝑇 = 𝑚). Neka je 𝐶𝑝𝑚𝑘 = 𝐶, onda je 𝑏 = 𝑑 𝜎⁄ izraženo kao 𝑏 =

3𝐶√1 + 𝜉2 + |𝜉|. Stoga, za date vrednosti 𝐶, parametra 𝜉, obima uzorka 𝑛 i verovatnoće 𝛼,

kritična vrednost 𝑐0 se može dobiti rešavanjem jednačine:

P(�̂�𝑝𝑚𝑘 ≥ 𝑐0 | 𝐶𝑝𝑚𝑘 = 𝐶)

= ∫ 𝐺 ((𝑏√𝑛 − 𝑡)

2

9𝑐02 − 𝑡2)

𝑏√𝑛 (1+3𝑐0)⁄

0

× [𝜙(𝑡 + 𝜉√𝑛) + 𝜙(𝑡 − 𝜉√𝑛)] 𝑑𝑡 = 𝛼,

gde je 𝐺(∙) funkcija raspodele verovatnoće 𝜒𝑛−12 raspodele.

Pored toga uzimajući u obzir vrednost zahteva C, 𝑝 − 𝑣𝑟𝑒𝑑𝑛𝑜𝑠𝑡 koje odgovara 𝑐∗, specifična

vrednost �̂�𝑝𝑚𝑘 izračunata na osnovu podataka iz uzorka je:

𝑝 − 𝑣𝑟𝑒𝑑𝑛𝑜𝑠𝑡 = P(�̂�𝑝𝑚𝑘 ≥ 𝑐∗ | 𝐶𝑝𝑚𝑘 = 𝐶)

= ∫ 𝐺 ((𝑏√𝑛 − 𝑡)

2

9(𝑐∗)2− 𝑡2)

𝑏√𝑛 (1+3𝑐∗)⁄

0

× [𝜙(𝑡 + 𝜉√𝑛) + 𝜙(𝑡 − 𝜉√𝑛)] 𝑑𝑡.

Kao što je već napomenuto, ako su nam nepoznate vrednosti 𝜇 i 𝜎, tada je potrebno oceniti ih

na osnovu uzorka, međutim u tom slučaju je neophodno oceniti i parametar 𝜉. Taj pristup će

sigurno biti manje pouzdan. Da bi se eliminisala potreba za ocenjivanjem parametra 𝜉, Pearn

i Lin su ispitali ponašanje kritične vrednosti 𝑐0 kao funkcije parametra 𝜉. Ispitivali su kritičnu

vrednost 𝑐0 posmatrajući vrednosti 𝜉 = 0; 0,05; 3,00, �̂�𝑝𝑚𝑘 = 0,7; 0,1; 3,00 i 𝑛 =

5; 5; 200. Primećeno je da vrednosti 𝜉 = 0; 0,05; 3,00 pokrivaju širok spektar mogućih

aplikacija za 𝐶𝑝𝑚𝑘 ≥ 0.

Rezultati do kojih su došli za vrednost 𝑐0 pokazuju da za 𝜉 = 0,50 u većini slučajeva kritična

vrednost dostiže svoj maksimum, u nekoliko slučajeva to se desilo i za 𝜉 = 0,45, a razlika

između dve kritične vrednosti iznosila je 5 × 10−4.

Ove rezultate možemo videti i na sledećoj slici 12:

Slika 12. Vrednosti 𝑐0 u zavisnosti od 𝜉. [1]

59

Kritična vrednost 𝑐0 se povećava povećanjem vrednosti 𝜉 i svoj maksimum dostiže za 𝜉 =0,50 ili za 𝜉 = 0,45, a onda se smanjuje za 𝜉 ∈ [0,50 , 3,00]. Zbog toga iz praktičnih razloga

jednačinu

∫ 𝐺 ((𝑏√𝑛 − 𝑡)

2

9�̂�𝑝𝑚𝑘2

− 𝑡2) × [𝜙(𝑡 + 𝜉√𝑛) + 𝜙(𝑡 − 𝜉√𝑛)] 𝑑𝑡 = 1 − 𝛾 ,

𝑏√𝑛 (1+3�̂�𝑝𝑚𝑘2 )⁄

0

možemo rešiti uzimajući 𝜉 = 0,50 i za date vrednosti �̂�𝑝𝑚𝑘, 𝑛 i 𝛾, čime izbegavamo

ocenjivanje parametra 𝜉 i samim tim dolazi do očuvanja nivoa pouzdanosti 𝛾.

Ako je procenjena vrednost �̂�𝑝𝑚𝑘 veća od kritične vrednosti 𝑐0 (�̂�𝑝𝑚𝑘 > 𝑐0) ili ako je

izračunata 𝑝 − 𝑣𝑟𝑒𝑑𝑛𝑜𝑠𝑡 manja od 𝛼 (𝑝 − 𝑣𝑟𝑒𝑑𝑛𝑜𝑠𝑡 < 𝛼), zaključujemo da proces ispunjava

zahtev sposobnosti (𝐶𝑝𝑚𝑘 > 𝐶). U suprotnom, nema dovoljno informacija da se zaključi da li

proces ispunjava navedeni uslov i u tom slučaju se smatra da je 𝐶𝑝𝑚𝑘 ≤ 𝐶, tj. da proces nije

sposoban.

Ovaj pristup obezbeđuje da donesene odluke budu pouzdanije u odnosu na to kada je parametar

𝜉 potrebno oceniti iz uzorka.

U slučaju uzorka obima većeg od 1, Pearn i Shu su posmatrali ponašanje donje granice

jednostranog intervala poverenja u zavisnosti od parametra 𝜉. Rezultati ukazuju na to da se

donja granica prvo smanjuje dok se parametar 𝜉 povećava, i minimalna vrednost se dostiže za

𝜉 = 0,45 ili 𝜉 = 0,50, sa razlikom manjom od 0,001, a zatim se ponovo povećava za 𝜉 ∈[0.50 , 3.00]. Stoga, u praksi prethodnu jednačinu možemo rešavati bez ocenjivanja parametra

𝜉, uzimajući da je 𝜉 = 0,05. Ovim se osigurava da rizik od donošenja pogrešne odluke neće

biti veći od 1 − 𝛾.

Primer 11. Fabrika se bavi proizvodnjom različitih tipova LCD monitora. Za model STN-LCD

ciljna vrednost je 𝑇 = 0,70 mm, dok je gornja specifikaciona granica 𝑈𝑆𝐿 = 0,77 mm, a donja

specifikaciona granica zadata sa 𝐿𝑆𝐿 = 0,63 mm za debljinu ekrana. Iz proizvodnog procesa

je na slučajan način uzet uzorak obima 79 koji je prikazan u tabeli 11. Ako je propisano da je

prihvatljiva vrednost za ovaj tip monitora (𝑛, 𝐶0) = (79, 1,1461), proceniti da li se ovaj proces

može smatrati prihvatljivim ocenjivanjem 𝐶𝑝𝑚𝑘 indeksa. Odrediti 95% interval poverenja za

ocenu indeksa.

0,717 0,698 0,726 0,684 0,727 0,688 0,708 0,703 0,694 0,713

0,730 0,699 0,710 0,688 0,665 0,704 0,725 0,729 0,716 0,685

0,712 0,716 0,712 0,733 0,709 0,703 0,730 0,716 0,688 0,688

0,712 0,702 0,726 0,669 0,718 0,714 0,726 0,683 0,713 0,737

0,740 0,706 0,726 0,688 0,715 0,704 0,724 0,713 0,694 0,742

0,690 0,704 0,697 0,705 0,707 0,687 0,718 0,718 0,724 0,706

0,687 0,673 0,730 0,732 0,720 0,688 0,710 0,707 0,706 0,709

0,729 0,729 0,685 0,686 0,722 0,720 0,715 0,727 0,696 Tabela 11. Realizovane vrednosti posmatrane karakteristike procesa za proizvodnju STN-LCD monitora

Ocene sredine procesa i standardne devijacije biće:

�̅� =∑ 𝑥𝑖79𝑖=1

79= 0,7088,

60

𝑠 = [ ∑(𝑥𝑖 − �̅�)²/(𝑛 − 1)

𝑛

𝑖=1

]

1/2

= 0,0171,

a ocenu indeksa dobijamo iz:

�̂�𝑝𝑚𝑘 = min {𝑈𝑆𝐿 − �̅�

3√𝑠𝑛2 + (�̅� − 𝑇)2,

�̅� − 𝐿𝑆𝐿

3√𝑠𝑛2 + (�̅� − 𝑇)2 },

�̂�𝑝𝑚𝑘 = min{1,06, 1,36} = 1,06.

Kako je 1,06 < 1,1461, dobijena vrednost je manja od propisane prihvatljive vrednosti pa

prema ovome kupac će odbiti ovakve proizvode.

Interval poverenja će biti:

[�̂�𝑝𝑚𝑘 − 𝑧𝛼 2⁄

�̂�𝑝𝑚𝑘

√𝑛, �̂�𝑝𝑚𝑘 + 𝑧𝛼 2⁄

�̂�𝑝𝑚𝑘

√𝑛 ],

𝑚4 =∑(𝑥𝑖 − �̅�)4 𝑛⁄

𝑛

𝑖=1

=∑(𝑥𝑖 − �̅�)4 79⁄

79

𝑖=1

= 0,00000021,

𝛿 =�̅� − 𝑇

𝑠𝑛=0,7088 − 0,7

0,0171= 0,5145,

𝑑 =𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿

2=0,77 − 0,63

2= 0,07.

Odavde dobijamo:

�̂�𝑝𝑚𝑘2 = (

1

9(1 + 𝛿2)+

2𝛿

3(1 + 𝛿2)3 2⁄) �̂�𝑝𝑚𝑘 +

72𝛿2 + 𝑑 (𝑚4

𝑠𝑛4 − 1)

72(1 + 𝛿2)2 �̂�𝑝𝑚𝑘2 = 0,5357.

[1,06 − 1,960,7319

√79, 1,06 + 1,96

0,7319

√79 ],

[0,8986, 1,2214].

61

7. Zaključak

Vodeće svetske kompanije su shvatile značajnost kontrole proizvodnih procesa i

primenu indeksa kapaciteta procesa uvrstile u redovne kontrole. Ulaganja u razvoj jednog

ovakvog koncepta su na početku dosta velika, potrebno je obučiti kadar, uvesti određene

standarde kvaliteta, raditi na planiranju eksperimenata, optimizaciji proizvodnih procesa još u

ranim stadijumima proizvodnje, kao i odvajanje vremena za pisanje dokumentacije razvoja i

kontrole procesa. Iako na prvi pogled ovo deluje kao dodatni trošak za jednu kompaniju, kroz

određeni vremenski period sva uložena sredstva se nadohnade, bilo kroz manje defektnih

proizvoda, ekonomičnije nabavke od drugih dobavljača ili pak višom cenom proizvoda koja se

opravdava većim kvalitetom.

Primena ovih indeksa može se opravdati i time što kompanije u prvi plan stavljaju odstupanje

posmatranih parametara od zahteva specifikacije. Ovo je jedan od glavnih uslova između dva

konkurentna proizvoda. Takođe, ukoliko se neki proizvodni proces proglasi sposobnim, ne

znači da će zauvek tako i ostati. Može doći do kvara na mašini, mogu se promeniti uslovi rada

i još mnogo drugih faktora može uticati na sam proces, pa su indeksi kapaciteta procesa jedan

od najjeftinijih i najbržih načina za periodičnu proveru sposobnosti procesa. Još razlog za

njihovu primenu je taj što je na tržištu sve teže prodati proizvod ukoliko su nepoznate vrednosti

ovih indeksa jer predstavljaju sigurnost za kupca, da se kupac odluči baš za taj proizvod.

Sa inovacijama u svetu, napretkom tehnologije, svaku promenu koja može doneti poboljšanje

i veću zaradu, kompanije žele da primene i uvrste u svoje redove. Indeksima sposobnosti se

može iskontrolisati uticaj tih promena na sam proizvodni proces. A jedna od najvažnijih

osobina indeksa je što omogućuje svakom učesniku u procesu, od dobavljača do kupca, da o

problemima kvaliteta govore istim jezikom, što je neophodan uslov za dostizanje savremenog

kvaliteta proizvoda.

Do sada je bilo reči samo o prednostima korišćenja ovih indeksa, međutim postoje i neki

nedostaci. Jedan od najvećih problema je proizvoljno određivanje i korigovanje tolerancije.

Tolerancija se izračunava ili određuje na osnovu standardne devijacije, a menja se samo ako se

u procesima menjaju parametri, na primer broj ljudi, novi stroj i drugo, jer se na taj način

smanjuje standardna devijacija procesa, što automatski utiče na smanjenje tolerancije. Takođe,

nedovoljno stručan kadar, nerazumevanje ovakvog koncepta kao i pogrešna upotreba indeksa

mogu da dovedu do toga da postoje ozbiljni propusti u proizvodnom procesu, da se neki procesi

proglase sposobnim iako to nisu, što će kasnije manifestovati kroz defektne proizvode i mogu

da dovedu do velikih gubitaka.

Na kraju, važno je naglasiti da se pravilnom upotrebom indeksa sposobnosti procesa, mogu se

dobiti važni i korisni rezultati za proizvodni proces. Međutim sposobnost i kontrola procesa će

se najbolje ispratiti ako se pored indeksa sposobnosti procesa koriste još i kontrolne karte i

odgovarajući programski alati. Na osnovu praćenja i analize, moguće je na vreme preduzeti

odgovarajuće mere, sprečiti da dođe do kritične situacije i na duži vremenski period proces

održavati sposobnim.

62

8. Literatura

[1] W. L. Pearn / K. Samuel, Encyclopedia and Handbook of Process Capability Indices,

World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. , 2006.

[2] M. Z. Anis, Basic Process Capability Indices: An Expository Review, International

Statistical Review, 2008.

[3] A. Ž. Drenovac, Kontrolne karte kao sredstvo statističke kontrole kvaliteta, Kragujevac:

Fakultet inženjerskih nauka, 2012.

[4] M. J. Chandra, Statistical Quality Control, Pennsylvania: The Pennsylvania State

University, 2001.

[5] D. C. Montgomery, Itntroduction to Statistical Quality Control, Arizona State University,

2013.

[6] J. D. Booker, M. Raines / K. G. Swift, Designing Capable and Reliable Products, 2001.

[7] S. Kotz / N. L. Johnson, Process Capability Indices, Chapman & Hall, 1993.

[8] B. Č. Popović, Matematička statistika, Niš: Prirodno-matematički fakultet Niš, 2015.