Neigiamieji skaičiai aritmetikoje

Rimas Norvaiša

2017 spalio 19

Abstract

Dalomoji medžiaga paskaitai „Matematinis samprotavimas mokyk-loje". Ugdymo plėtotės centro vykdoma pedagogų kvalifikacijos tobu-linimo programa „Matematinis ugdymas geroje mokykloje".

Kodėl dviejų neigiamųjų skaičių sandauga turėtų būti teigiamas skaičius?Galimų atsakymų į šį klausimą yra daug ir jie anaiptol nėra sudėtingi.Kita vertus, istorinės aplinkybės susiklostė taip, kad ši tema ilgą laikąbuvo kontraversinė, bent jau Vakarų kultūroje. Tai parodau toliau rem-damasis matematikos istorijos tekstais. Blogai yra tai, kad šis ir panašūsklausimai mokykloje yra pateikiami kaip akivaizdūs; kaip „taisyklės", kuriųdera laikytis ir tiek. Taip yra ir šiandieninėje mūsų mokykloje. Taip buvoir anksčiau. Neigiamųjų skaičių sandaugos klausimą mini Stendalis 1836metais vaizduodamas savo pažinties su matematika patirtį [9]:

[finally] Dupuy, the most pompous and paternal bourgeoisI have ever seen, was professor of mathematics, without theshadow of a shadow of any talent. [...] But I was taught math-ematics so stupidly that I made no progress; it’s true that myschool fellows made even less, if that’s possible. The great M.Dupuy explained propositions to us as if they’d been a set ofrecipes for making vinegar. […] I loved mathematics all the morebecause of my increased contempt for my teachers, MM. Dupuyand Chabert.[…]

In my view, hypocrisy was impossible in mathematics and, inmy youthful simplicity, I thought it must be so in all the sciencesto which, as I had been told, they were applied. What a shock forme to discover that nobody could explain to me how it happenedthat: minus multiplied by minus equals plus. Not only did peoplenot explain this difficulty to me (and it is surely explainable,since it leads to truth) but, what was much worse, they explainedit on grounds which were evidently far from clear to themselves.[…]

1

”But it’s the custom; everybody accepts this explanation. Why,Euler and Lagrange, who presumably were as good as you are,accepted it! [...] It seems you want to draw attention to yourself.”

As for M. Dupuy, he treated my timid objections (timid be-cause of his pompous way of speaking) with a haughty smile thatverged on aloofness.

Prieš kreipdamasis į matematikos istorijos tekstus apžvelgiu keletą gal-imų atsakymų į pradinį klausimą.

1 Kodėl dviejų neigiamųjų skaičių sandauga turėtųbūti teigiamas skaičius?

Kalbant apie teigiamuosius ir neigiamuosius skaičius bei jų aritmetiką sept-intoje klasėje pasakoma, kad „turime žinoti taisyklę" (−1)·(−1) = 1. Tačiaulabai dažnai neišgirstame paaiškinimų kodėl matematikoje taikoma ši „taisyklė"ir koks jos statusas - tai aksioma ar teorema? Šiai temai skirtoje Ugdymo plė-totės centro platinamoje video-pamokoje1 keletą kartų pakartojoma: „paradok-salu, bet du blogiečiai padaro kažką gero". Man neteko matyti kokių norskitų paaiškinimų dabartiniuose mūsų vadovėliuose.

Gal būt šiek tiek geriau reikalai klostosi su sveikųjų skaičių sumos iratimties apibrėžtimis. Kai kuriuose vadovėliuose šioms apibrėžtims mo-tyvuoti pasitelkiami realaus pasaulio pavyzdžiai. Matematinis argumentastoms apibrėžtims yra noras, kad lygybė

a− x+ x = a (1)

būtų teisinga visiems sveikiesiems skaičiams a, x, teigiamiems ir neigiamiems.Grįžtant prie daugybos prisiminkime, kad natūraliųjų skaičių sandauga

apibrėžiama kaip kartotinė sudėtis. Pavyzdžiui,

3·5 = 5 + 5 + 5 = 15.

Lygiai taip pat galėtume apibendrinti šį pavyzdį, kai vietoje 5 yra 0 arba-5. Būtent,

3·0 = 0 + 0 + 0 = 0 ir 3·(−5) = (−5) + (−5) + (−5) = −15.

Kaip apibendrinti tokią sandaugą, kai pirmasis dauginamasis yra neigiamasskaičius? Darydami prielaidą, kad neigiamųjų skaičių aritmetika turėtųturėti tas pačias savybes kaip ir teigiamųjų, naudosimės sandaugos per-statymo dėsniu (komutatyvumu). Būtent,

0·5 = 5·0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0,

(−3)·5 = 5·(−3) = (−3) + (−3) + (−3) + (−3) + (−3) = −15.1https://www.youtube.com/watch?v=OcGp4C4UsEY

2

Toliau aiškinsimės, kaip apibrėžti sandaugą (−3)·(−5)?Iš to, kas pasakyta galima daryti dvi priešingas išvadas. Jei dauginant

vieną neigiamą skaičių iš teigiamo skaičiaus gauname neigiamą skaičių, taidauginant du neigiamus skaičius tuo labiau turėtume gauti neigiamą skaičių.Kita išvada gali remtis šia lenetele:

3·5 = +15 3·(−5) = −15(−3)·5 = −15 (−3)·(−5) =?

Lentelėje iš keturių sandaugų dvi yra neigiami skaičiai. Dėl „lygių galimy-bių" reikėtų, kad dvi kitos sandaugos būtų teigiami skaičiai. Vargu ar šiesamprotavimai gali ką nors įtikinti. Toliau pateikiu keletą skirtingo matem-atinio giežtumo samprotavimų.

I aiškinimas Šios daugybos lentelės komentarai gali turėti daugiau pras-mės už ankstesnės:

3·5 = +15 tris kartus gavus po 5 eurus viso turėsime 15 eurų3·(−5) = −15 tris kartus mokėdami 5 eurų baudą viso

sumokėsime 15 eurų baudą(−3)·5 = −15 tris kartus negaudami po 5 eurus viso negausime

15 eurų(−3)·(−5) = 15 tris kartus nemokėdami 5 eurų baudos viso

gausime 15 eurų

II aiškinimas Šis aiškinimas grindžiamas intuityviai akivaizdžiu sąryšiu:

atstumas = greitis · laikas. (2)

Dydžiai šiame sąryšyje paprastai matuojami teigiamais skaičiais. Bet galimair kitokia interpretacija. (2) sąryšyje įstatykime tokias, gal būt, neįprastasdydžių reikšmes:

(a) greitis = trys metrai per sekundę judant atgal, neigiamas skaičius;

(b) laikas = penkios sekundės į praeitį, neigiamas skaičius;

(c) tokiu atveju, prieš penkias minutes, jūs buvote 15 metrų priekyje, t.y.atstumas = 15 metrų.

Įstatę šias reikšmes į (2) sąryšį gauname

(−3)·(−5) = 15.

3

III aiškinimas Šis aiškinimas remiasi prielaida, kad dauginimo rezultataskinta tuo pačiu dydžiu kai vienas iš dauginamųjų kinta tuo pačiu dydžiu.Pradėkime nuo natūraliųjų skaičių sekos

1, 2, 3, 4, 5, . . .

Padauginę kiekvieną sekos narį iš 3 gauname naują seką:

3, 6, 9, 12, 15, . . .

Pratęskime abi sekas į kairę pusę išlaikydami tuos pačius skirtumus tarp gre-timų sekos narių, t.y. iš kairiojo nario nuosekliai atimdami 1 ir 3, atitinka-mai:

· · · − 5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

· · · − 15,−12,−9,−6,−3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, . . .

Gavome, kad pirmosios sekos narį -5 atitinka antrosios sekos narys -15. Taiyra motyvas apibrėžti sandaugą: 3·(−5) = −15. Ką šis motyvas siūlo daugi-nant neigiamus skaičius? Naudodami teigiamųjų ir neigiamųjų skaičių daug-inimo rezultatą, padauginkime pradinę natūraliųjų skaičių seką iš -3:

−3,−6,−9,−12,−15, . . .

Dar kartą pratęskime pradinę ir pastarąją seką į kairę pusę išlaikydami tuospačius skirtumus tarp gretimų sekos narių:

· · · − 5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

. . . 15, 12, 9, 6, 3, 0, −3,−6,−9,−12,−15, . . .

Šį kartą gavome, kad pirmosios sekos narį -5 atitinka antrosios sekos narys15. Todėl sandaugą iš -3 apibrėžiame taip: (−3)·(−5) = 15.

IV aiškinimas Skyrelį pradėjome primindami natūraliųjų skaičių sandau-gos, kaip kartotinės sudėties, apibrėžimą. Skaičius tapatinant su skaičiųspindulio taškais jų sandaugą galima apibrėžti kaip atitinkamo stačiakam-pio plotą. Neigiamųjų skaičių sandaugą taip pat galima gauti apibendrinantšį apibrėžimą.

Paveikslėlyje pavaizduoti keturi stačiakampiai su nurodytais kraštiniųilgiais. Užbrūkšniuoto stačiakampio plotą (a − c)·(b − d) galima susieti sudidžiojo stačiakampio plotu a·b formule:

(a− c)·(b− d) = a·b− d·a− c·b+ d·c, (3)

kurioje a, b, c, d yra natūralieji skaičiai, c < a ir d < b. Pastarosios dvinelygybės atsiranda dėl to, kad a− c ir b− d yra atkarpų ilgiai.

4

Figure 1: Stačiakampių plotai

Dabar pamirškime kaip gavome (3) formulę ir tarkime, kad ji teisingakai a, b, c, d yra bet kokie sveikieji skaičiai. Imkime a = b = 0, c = 3, d = 5ir darykime prielaidą, kad daugindami iš nulio gauname nulį. Įstatę šiasreikšmes į (3) formulę gauname

(−3)·(−5) = 15.

Šis apibendrinimas panašus į sumos ir atimties apibendrinimą išsaugant (1)sąryšį.

V aiškinimas Šis aiškinimas remiasi prielaida, kad teigiamųjų ir neigiamųjųskaičių aritmetika turi tas pačias savybes.

1.1 teiginys. Tarkime, kad sveikųjų skaičių aibėje Z galioja sumos per-statymo (komutatyvumo) bei jungimo (asociatyvumo) dėsniai, skirstymo dės-niai (distributyvumas), o lygybės z + (−z) = 0, z + 0 = z ir 0·z = z·0 = 0teisingos kiekvienam z ∈ Z. Tada 3·(−5) = −15.

Įrodymas. Naudodami skirstymo dėsnį ir tai, kad 5+(−5) = 0 gauname

15 + 3·(−5) = 3·5 + 3·(−5) = 3·(5 + (−5)) = 3·0 = 0. (4)

Naudodami lygybę z + 0 = z kai z = 3·(−15) ir z = −15, bei lygybę

5

0 = 15 + (−15), gauname

3·(−5) = 3·(−5) + 0 = 3·(−5) + (15 + (−15))sumos jungimo dėsnis = (3·(−5) + 15) + (−15)

sumos perstatymo dėsnis = (15 + 3·(−5)) + (−15)dėl (4) = 0 + (−15)

sumos perstatymo dėsnis = (−15) + 0

= −15,

ką ir reikėjo įrodyti.

1.2 teiginys. Tarkime, kad teisingos 1.1 teiginio prielaidos. Tada (−3)·(−5) =15.

Įrodymas. Naudodami lygybę z + 0 = z kai z = (−3)·(−15) ir z = 15,bei lygybę 0 = (−z) + z = z + (−z) kai z = 15 ir z = 3, gauname

(−3)·(−5) = (−3)·(−5) + 0 = (−3)·(−5) + ((−15) + 15)

sumos jungimo dėsnis = ((−3)·(−5) + (−15)) + 15

dėl 1.1 teiginio = ((−3)·(−5) + 3·(−5)) + 15

skirstymo dėsnis = ((−3) + 3)·(−5) + 15

= 0·(−5) + 15

= 0 + 15

= 15,

ką ir reikėjo įrodyti.

2 Neigiamųjų skaičių sampratos evoliucijos frag-mentai

Iki 19 amžiaus pabaigos Europos matematikoje neigiamieji skaičiai nebuvopilnai pripažinta aritmetikos dalimi. Tuo tarpu Kinijoje ir Indijoje gerokaianksčiau neigiamieji ir teigiamieji skaičiais buvo laikomi iš esmės lygiaverči-ais. Šia prasme neigiamųjų skaičių istorija yra ypatinga, nors ne vienintelėtokia. Labai glaustą savąjį šios istorijos variantą siūlo D. Mumfordas straip-snyje [4]. Jis yra išskirtinis tuo, kad autorius siūlo ir pagrindžia dvi priežastispaaiškinančias neigiamųjų skaičių kontraversiją Vakarų kultūros kontekste.Pirma, gerai žinoma, jog Euklido „Pradmenys" turėjo didžiulę įtaką formuo-jant požiūrį į matematiką. Tuo tarpu neigiamiems skaičiams vietos šiameveikale neatsirado. Antra, atsitiko taip, kad kartu su neigiamaisiais skaiči-ais prisireikė menamųjų skaičių (kvadratinės šaknys iš neigiamų skaičių).Kadangi pastarieji kėlė ypatingą įtarimą, tai dalį nepasitikėjimo jais perėmėir neigiamieji skaičiai.

6

Neigiamieji skaičiai Rytų kultūros matematikoje Jiuzhang Suan-shu (Nine Chapters on the Mathematical Art) yra kinų matematikos knygasavo svarba panaši į Euklido „Pradmenis" Vakarų kultūroje. Knygą su-daro matematikos sąvokos ir metodai, kurie atsirado palaipsniui, pradedantZhou (ar Chou) dinastija (1000 m. pr. Kr.) ir toliau plėtojami VakarųHan dinastijoje (iki 9 amžiaus). Skirtingai nuo Euklido samprotaujamo-sios matematikos, kinų Devyniuose Skyriuose randami tik praktiniai realauspasaulio uždaviniai ir jų sprendimo algoritmai, be jokių įrodymo užuom-inų. Devyni Skyriai išgyveno ilgą ir sudėtingą perrašinėjimų, naikinimo iratkūrimo istoriją.

Savo laiku pirmajame tūkstantmetyje prieš mūsų erą kiniečiai pradėjonaudoti skaičiavimo lazdeles, grupuodami jas eilėmis ir naudodami dešim-tainę sistemą. Atlikdami skaičiavimus, skirtingus skaičius reiškė lazdeliųeilėmis, kurios sudarė groteles.

Figure 2: Skaičiavimo su lazdelėmis iliustracija

Neigiamieji skaičiai Devyniuose Skyriuose naudojami sprendžiant tiesineslygtis. Lygčių sprendimo metodas yra tas pats, kurį mes dabar vadinameGauso nuoseklaus nežinomųjų eliminavimo metodu. Teigiamieji skaičiaivaizduojami raudonomis lazdelėmis, o neigiami skaičiai - juodomis. Mum-fordo teigimu, iš knygos teksto darosi aišku, kad neigiamieji skaičiai buvonagrinėjami ir naudojami visiškai teisingai tada, kai jų prisireikdavo, galimaipirmą kartą pasaulyje. Kai kuriuose Devynių Skyrių variantuose randamostiesiogiai suformuluotos teigiamųjų ir neigiamųjų skaičių dauginimo taisyk-lės.

Kinų algebra suklestėjo Songo ir Yuano dinastijose. Kinų matematikasZhu Shijie (apie 1260 - apie 1320) ištobulino Gauso metodą taikydamas jįsprendžiant daugianarių sudarytoms lygčių sistemoms. Neigiamųjų skaičiųteorijos žinojimas yra būtina sąlyga plėtojant algebrą. Zhu algebra pasiekėtokį lygį, kuris Europoje nebuvo pasiektas iki 19 amžiaus pabaigos.

Tuo tarpu Indijoje neigiamieji skaičiai akivaizdžiai naudojami dar 628mūsų eros metais pasirodžiusiame Brahmaguptos veikale Brahma-sphuta-siddhanta. Manoma, kad ankstesniuose indų darbuose skirtuose finansini-ams skaičiavimams neigiami skaičiai turėjo turėti prasmę bent jau netiesio-

7

giai. Brahmaguptos veikale daugiau dėmesio skiriama astronomijai (saulės,mėnulio ir planetų judėjimo ir jų padėties duotu momentu nustatymas).Didelė teksto dalis turi eilėračių formą, turinys perteikiamas labai koncen-truotai ir yra sunkiai suprantamas, žinios skirtos mokytis mintinai perduo-dant jas iš kartos į kartą. Matematikai skirti du knygos skyriai ir ją sudaroankstesniai laikais sukauptos matematikos sąvokos ir metodai. Teigiamųjųir neigiamųjų skaičių aritmetika yra aiškiai suformuluota eilėraščių formoje.Mumfordas išreiškia gailestį, kad nėra jokių duomenų paaiškinančių kaipbuvo gauti, mūsų požiūriu, visiškai teisingi neigiamųjų skaičių aritmetikosteiginiai. Matyt tai yra Vedų tradicijos žinias perduoti žodžiu pasekmė.

Kaip ir Kinijoje, indų žinios apie neigiamuosius skaičius leido jiems gilin-tis į algebrą. Žinių gilumą rodo jų gebėjimas spręsti kai kurias sudėtingaslygtis ir suprasti jų sprendinių savybes. Tačiau indų mokslininkai matem-atika domėjosi ne dėl jos pačios, bet dėl jos reikalingumo prognozuojantsaulės, mėnulio ir planetų judėjimą.

Įdomu tai, kad skaičių žymėjimas taškais geometrinėje tiesėje į dešinęnuo nulio atidedant teigiamus skaičius ir į kairę nuo nulio atidedant neigia-mus skaičius naudojamas 12-ame amžiuje Bhaskara II darbuose. Europojetokia idėja gimė tik 17 amžiaus pabaigoje Walliso darbuose (Descartesastaškais koordinačių ašyse žymėjo tik teigiamus skaičius).

Al-Khwārizmī ir neigiamieji skaičiai Standartinė matematikos istorijasako, kad viduramžiais arabai buvo tarpininkais, kurių dėka europiečiai at-gavo Antikinės Graikijos matematikų palikimą, o kartu su juo sužinojo apieindų ir arabų matematikų darbus2. Tačiau, bent jau indų požiūris į neigia-muosius skaičius šiuo keliu į Europą nepateko. Kaip tai galėjo atsitikti?

Manoma, kad Europoje apie arabų matematikos žinias sužinota 12-ameamžiuje, kai į lotynų kalbą buvo išverst persų matematiko Al-Khwārizmī(apie 780 - apie 830) darbai. Svarbiausias jų yra kvadratinių lygčių sprendimuiskirtas veikalas The Compendious Book on Calculation by Completion andBalancing3. Pavadinimo lotyniškame vertime pasirodė žodis, kuris evoli-ucionavo į matematikos terminą „algebra". Knygoje parodoma kaip betkurią pirmojo ir antrojo laipsnio lygtį suvesti į vieną iš šešių bendro pavi-dalo lygčių. Tiesa, knygoje nėra naudojami matematiniai simboliai įprastidabartinėje matematikoje. Tokia algebros forma vadinama retorine. Betsamprotavimai yra panašūs į šiais laikais įprastus lygčių pertvarkymus. Šiepertvarkymai buvo naujas metodas skirtingas nuo Euklido „Pradmenyse"naudojamo geometrinio įrodymo metodo. Naujasis metodas pradėtas vad-inti simboliniu mąstymu.

2Tačiau žiūrėk: J.Høyrup. The formation of a myth: Greek mathematics - our math-ematic.

3https://en.wikipedia.org/wiki/The_Compendious_Book_on_Calculation_by_Completion_and_Balancing

8

Al-Khwārizmī knygoje apie algebrą Mumfordas išskiria tris jo teigimuypatingai keistus dalykus. Pirma, neigiamieji skaičiai sutinkami tik vienąkartą, kai bandoma pagrįsti (3) lygybę. Bet kitose vietose neigiami skaičiaidaugiau neminimi. Antra, nagrinėjamos kvadratinės lygtys turi tik teigia-mus koeficientus ir todėl yra vieno iš trijų tipų:

1. ax2 + bx = c, a, b, c > 0;

2. ax2 + c = bx, a, b, c > 0;

3. ax2 = bx+ c, a, b, c > 0.

Lygybė šiose lygtyse reiškia lygybę tarp teigiamų skaičių. Tokia kvadratiniųlygčių kvalifikacija yra būdingai beveik visai europinei tradicijai iki 19 amži-aus vidurio. Trečia, Al-Khwārizmī nagrinėjo vieną Bhaskara II užduotį,išskyrus tuos jos atvejus, kuriuose pasirodo neigiamieji skaičiai.

Kol kas galime tik spėlioti kodėl Al-Khwārizmī vengė neigiamųjų skaičių.Gal būt Euklido „Pradmenys" jam padarė tą pačią įtaką kaip ir daugumaiEuropos matematikų kaip matysime toliau.

Abacus rankraščiai Pirmasis Europos matematikoje žinomas neigiamųjųskaičių dauginimo taisyklės aiškinimas rastas 1344 metų abacus rankraštyjeAliabraa argibra, kurio autorius yra Dardi iš Pizos. Šis aiškinimas kodėl su-dauginus neigiamuosius skaičius gauname teigiamą skaičių, jo žodžiais tari-ant less times less makes plus, atrodo taip (cituoju iš [3], 23 pusl.):

Now I want to demonstrate by number how less times lessmakes plus, so that every times you have in a construction tomultiply less times less you see with certainty that it makes plus,of which I shall give you an obvious example. 8 times 8 makes64, and this 8 is 2 less than 10, and to multiply by the other 8,which is still 2 less than 10, it should similarly make 64. Thisis the proof. Multiply 10 by 10, it makes 100, and 10 times 2less makes 20 less, and the other 10 times 2 less makes 40 less,which 40 less detract from 100, and there remains 60. Now itis left for the completion of the multiplication to multiply 2 lesstimes 2 less, it amounts to 4 plus, which 4 plus join above 60, itamounts to 64. And if 2 less times two less had been 4 less, this4 less should have been detracted from 60, and 56 would remain,and thus it would appear that 10 less 2 times 10 less two hadbeen 56, which is not true. And so also if 2 less times 2 less hadbeen nothing, then the multiplication of 10 less 2 times 10 less 2would come to be 60, which is still false. Hence less times lessby necessity comes to be plus.

9

Prieš tai Dardi smulkmeniškai formuluoja dvinarių dauginimo taisyklę.Tai yra retorinės algebros pavyzdys, kai dar nebuvo naudojami dabar įprastižymėjimai ir formulės. Dabar jo samprotavimą išreikštume keliomis eilutėmis:kadangi 82 = 64 ir 8 = 10− 2, tai

64 = (10− 2)·(10− 2) = 100 + 2·(−2)·10 + (−2)·(−2)

Kadangi sandauga (−2)·10 = −20 abejonių nekelia, pastaroji lygybė teisingatik tuo atveju, kai (−2)·(−2) = 4. Toks aiškinimas aptinkamas dauge-lyje vėlesnių abacus rankračių pasirodžiusių 15 amžiuje. Kas tie abacusrankraščiai?

Abacus rankraščiai yra tekstai, kurie buvo naudojami Italijoje nuo maž-daug 1280 metų iki maždaug 1550 metų mokyti 11-12 metų vaikus prak-tinės matematikos; jie buvo ruošimo komercinei veiklai dalimi. Bendraisbruožais abacus rankraščių turiniai panašūs. Paprastai pradedama nuoindų-arabų skaičiavimo sistemos įvedimo ir tęsiama prekybai aktualių už-duočių sprendimais. Nors yra ir užduočių, kurias reikėtų vadinti „teor-inėmis" ir pramoginėmis. Loginiais samprotavimais pagrįstų įrodymų aba-cus rankraščiuose nėra. Tačiau naudojamos kai kurios skaičiavimo tikslumotikrinimo taisyklės. Pavyzdžiui, dalybos iš 7 taisyklės naudojimas patikrintiar teisingai suskaičiuota sandauga 341·625 = 213125 atrodo taip: dalindami341/7 gauname liekaną 5, dalindami 625/7 gauname liekaną 2, po to su-dauginę liekanas 2·5 = 10 ir dalindami 10/7 gauname liekaną 3; ši liekanaturi sutapti su liekana gauta dalinant 213125/7. Be to, naudojamos stan-dartinėmis laikomos skaičiavimos taisyklės. Pavyzdžiui, vadinamoji „rule ofthree" reiškė implikaciją

jei A:B :: C:D tai AD = BC.

Daugiau komentarų yra K. Neal knygos [5] 3.1 skyriuje.Abacus rankraščių rašymas ir studijos būdingos ne tik Italijai. Šiek tiek

vėliau ši tradicija išplito po visą Europą. Labai dažnai šių rankraščių pava-dinimuose naudojamas žodis „aritmetika". Kai kurie rankraščiai turėjo netspausdintą formą. Šie leidiniai buvo vieninteliai komercinės aritmetikos žiniųšaltiniai iki 16 amžiaus. Pavyzdžiui, 1568 metais Anglijoje Hunfrey Bakerpublikavo knygą pavadintą Well-Spring of Science, kurios paantraštė Teach-ing the Perfect Worke and Practice of Arithmetick, both in Numbers andFractions.

Atrodo, kad abacus rankraščių reikšmė matematikos istorijoje nėra aiškiir vienareikšmė. Sprendžiant pagal J. Høyrup [3], abacus rankraščių turinyjegalima įžvelgti du sluoksnius: vienas perimtas iš Leonardo Pisano (arba Fi-bonacci) knygos Liber abaci (1202/1228), o kitas sluoksnis nepriklausomas,lyg ir savarankiškas. Be to, tai, kas perimta iš Leonardo Pisano, abacusrankraščiuose yra nesuprasta. Neabejotinai abacus rankraščių matematikąįtakojo arabų algebra. Bet kokiu būdu ir kokiu mastu neaišku. Kita vertus

10

Mumfordas teigia, kad aritmetinės operacijos ir taisyklės knygos Liber abacipirmojoje dalyje nagrinėja tik natūraliuosius skaičius ir teigiamas trupme-nas. Neigiami skaičiai pasirodo labai epizodiškai tik antroje knygos dalyjesprendžiant „žodinius" uždavinius ir nuolat rūpinantis juos tinkamai inter-pretuoti. Galiausiai neigiamiems skaičiams skirtoje G. Schubringo [8] knygosapžvalgoje abacus rankraščiai net neminimi.

Arnauldo paradoksas Prancūzas Antoine Arnauldas (1612-1694) atkreipėdėmesį į neigiamųjų skaičių daugybos taisyklės prieštaringumą proporcijųteorijos kontekste. Diskusijoje su kitu prancūzu Jeanu Prestetu (1648-1691)A. Arnauldas rašė:

It is for this reason that I cannot understand that the squareof -5 can be the same thing as the square of +5, and that both ofthem are +25. Moreover, I do not know how to fit this with thefundamental property of multiplication, that is that the unity isto one of the magnitudes that are multiplied as the other is toproduct. Which thing is true of the integers and of the fractionsas well. For 1 is to 3 as 4 is to 12 ... But I cannot fit this to themultiplications of two minuses. For shall one say that +1 is to-4 as -5 to +20? I do not see this. For +1 is greater than -4.On the contrary -5 is less that +20. Whereas in all the otherproportions if the first term is greater than the second then thethird must be greater than the fourth.

Apie kokią fundamentaliąją sandaugos savybę čia kalbama ir kuo jinetinka neigiamiesiems skaičiams? Manau, kad kalbama apie savybę, kuriišplaukia iš Euklido „Pradmenų" 5 knygos faktų. Tarkime n, m ir k yranatūralieji skaičiai. Elgdamiesi su natūraliaisiais skaičiais kaip su Antikinėsmatematikos dydžiais ir naudodami „Pradmenų" 5 knygos teiginius V.7,V.11 ir V.15, galime tvirtinti, kad nurodyti trys teiginiai yra ekvivalentūs:

nm = k ⇔ m : nm :: m : k ⇔ 1 : n :: m : k. (5)

Iš esmės tai yra "rule of three" naudota dar senovės Indijoje (žr. Hoyrup).Mūsų mokykliniuose vadovėliuose tai pagrindinė proporcijos savybė.

Pritaikęs (5) faktus neigiamųjų skaičių sandaugai, Arnauldas gauna

(−4)·(−5) = +20⇔ +1 : −4 :: −5 : +20.

Toliau Arnauldas samprotauja taip. Kadangi +1 > −4 ir santykis +1 : −4yra proporcingas santykiui −5 : +20, tai −5 > +20 - nesąmonė. Šis teiginysišplaukia iš santykio apibrėžties Euklido „Pradmenyse". Tada Arnauldasdaro išvadą, kad neigiamųjų skaičių sandauga negali būti teigiamu skaičiumi.Jo argumentas yra žinomas kaip Arnauldo paradoksas.

11

Arnauldo argumentas rodo, jog ne visos natūraliųjų skaičių savybės aki-vaizdžiai apibendrinamos neigiamiesiems skaičiams. Natūraliesiems skaiči-ams n santykis tarp n+1 ir n−1 yra didesnis už santykį tarp n−1 ir n+1.Tačiau šis sąryšis tarp santykių apsiverčia jei vietoje n imsime neigiamuosiusskaičius ir jei neigiamųjų skaičių sandauga yra teigiamas skaičius. Arnauldoparadoksas padarė nemažą įtaką vėlesnėse diskusijose apie neigiamuosiusskaičius. Arnauldo paradokso atsiradimo aplinkybės taip pat įdomios.

Antoine Arnauldas buvo Romos katalikų teologas, filosofas bei matem-atikas. Mokėsi Sorbonoje Paryžiuje kol jėzuitai jo iš ten neišvarė. Nuo tadajis gyveno netoli Paryžiaus esančiame Port-Royalio vienuolyne. Arnauldasbuvo svarbiu partneriu Descartesui dialoge dėl pažinimo metodo. Be to,padarė nemažą matematinę įtaką Leibnizui, kai šis buvo apsistęs Paryžiuje.Arnauldas kartu su P. Nicole 1662 metais parašė tarp filosofų gerai žinomąveikalą Logic of Port-Royal. Kartu su kitais Port-Royalio nariais Arnauldasbuvo vienu iš Jansenizmo atstovu Prancūzijoje. Jėzuitų dėka 1679 metaisArnauldas buvo ištremtas į Nyderlandus ir Flandriją.

Kontraversijai dėl neigiamųjų skaičių turėjęs įtaką paradoksas atsiradoArnauldui tobulinant geometrijos vadovėlius. 1667 metais pasirodęs Ar-nauldo vadovėlis Nouveaux Élémens de Géomt́rie radikaliai pakeitė Euk-lido „Pradmenų" metodologinę struktūrą: pirmos keturios knygos skirtosveiksmų su dydžiais pagrindams ir tik po to sekė šių bendrų rezultatų taiky-mas geometrijai. Be to, vadovėlyje pradėti naudoti nauji algebriniai meto-dai. Vadovėlio autorius teigė, jog dydžius žymint raidėmis nebereikia rūpin-tis raidės prasme, kadangi svarbūs tik santykiai tarp jų.

Besides, he added, it was one of his book’s particular advan-tages that ir trained the mind to understand things in a "spiritualmanner," without the help of any "sensible" images.

rašoma [8, p. 51]. Tai buvo pirmasis naujo stiliaus universitetinis vadovėlis,kuris skyrėsi nuo Euklido iš esmės. Tačiau viena naujojo vadovėlio savybėneprigijo - jame nebuvo nurodytas autorius.

Dar vienas keistas Arnauldo vadovėlio komentaras liečia neigiamųjų skaičiųsandaugos taisyklę (pagal [8, p. 52]):

MINUS by minus gives plus: that is to say that the multipli-cation of two terms, both of which have the sign minus, gives aproduct which must have the sign plus. [...] This appears ratherstrange, and in fact it cannot be imagined that this could happenother than by accident. For of themselves, minus multiplied byminus can only give minus.

Taip, čia apgailestaujama, kad taisyklė prieštarauja tam, kas iš tikro turėtųbūti: minusų sandauga yra minusas. Daugiau komentarų šia tema vadovė-lyje nėra. Bet po vadovėlio pasirodymo vyko diskusija laiškais tarp Arnauldo

12

ir Presteto, kurią pastarasis 1675 metais publikavo savajame vadovėlyje Elé-mens des Mathématiques. Ten ir suformuluotas Arnauldo paradoksas.

Apie Presteto vadovėlį Schubringas [8, p. 53] rašo taip:

Prestet’s textbook indeed contains the first account of negativenumbers in which the negative numbers are presented as havingthe same status as positive numbers, and in which the rule ofsigns is "proved" not geometrically, but algebraically.

Tvirtinimas dėl prioriteto vargu ar pagrįstas. Reikėtų palyginti Prestetovadovėlio turinį su anksčiau minėtu Dardi abacus rankraščiu. Panašų pir-mumo teiginį Mumfordas priskiria Walliso knygai [4, p. 137], apie kuriąrašau toliau.

Wallisas ir Newtonas Mumfordo nuomone [4], Johnas Wallisas (1616-1703) ir Isaacas Newtonas (1642-1726/7) yra pirmieji Europos matematikai,kurių požiūriai į neigiamuosius skaičius panašūs į šiuolaikinį, t.y. šie skaičiailaikomi lygiaverčiais teigiamiesiems skaičiams. Be to, K. Neal [5] nėratokia kategoriška neigiamųjų ir teigiamųjų skaičių lygiavertiškumo Wallisodarbuose. Tai eilinį kartą rodo matematikos istorijos kaip tyrimų sritiessudėtingumą.

Kaip ten bebūtų su vertinimais, galima šiek tiek remtis citatomis. 1685metais publikuotoje Walliso knygoje "Treatise on Algebra"4 rašoma (čiaSpecious yra Vietes terminas reiškiantis aritmetiką, kurioje naudojami raidėmisžymimi kintamieji):

To these Notes, Symbols or Species are prefixed (as occasionrequires) not only numeral figures, but the signs + and – (or plusand minus), the former of which is a Note of Position, Affirma-tion or Addition; the other of Defect, Negation or Subduction:According as such Magnitude is supposed to be, or to be wanting.And where no such Sign is, it is presumed to be Affirmative andthe sign + is understood.

And accordingly these Signs are still to be interpreted as in acontrary signification. If + signify Upward, Forward, Gain, In-crease, Above, Before, Addition, etc. then – is to be interpretedof Downward, Backward, Loss, Decrease, Below, Behind, Sub-duction, etc. And if + be understood of these, then – is to beinterpreted of the contrary.

Taip suprantamiems teigiamiesiems ir neigiamiesiems skaičiams siūlomassandaugos pagrindimas:

4Prieinama http://eebo.chadwyck.com turintiems universitetinę prenumeratą

13

For the true notion of Multiplication is this, to put the Mul-tiplicand, or thing Multiplied (whatever it be) so often as arethe Units in the Multiplier. . . . and this, whatever the thingMultiplied, Positive or Negative: for there may well be a DoubleDeficit as a Double Magnitude; and −2A is as much the Doubleof –A as +2A is the Double of A. . . .

But in case the Multiplier be a Deficit or Negative quantity;suppose −1; then instead of Putting the Multiplicand so manytimes, it will signify so many times to Take away the Multipli-cand. . . . so that + by – makes –; But to Multiply –A by −2is twice to take away a Defect or Negative. Now to take awaya Defect is the same as to supply it; and twice to take away theDefect of A is the same as twice to add A or to put 2A . . . :So that – by – (as well as + by +) makes +.

Šį pagrindimą galima palyginti su I paaiškinimu 1 skyrelyje. Toliau, rašy-damas apie kvadratinių lygčių sprendimą, Wallisas atsisako jų klasifikavimokaip pas Al-Khwarizmi ir naudoja vieną bendrą formą:

lygties x2 ± 2bx = ±c2

sprendiniais yra x± b =√±c2 + b2.

Tačiau rašydamas narius homogeninėje formoje (lygtyje vien tik kvadratiniaianriai), Wallisas šioje vietoje neatsisako Euklido stiliaus pagal kurį lygybėsieja plotus.

Yet is it not that Supposition (of Negative Quantities) eitherUnuseful or Absurd when rightly understood. And though, asto the bare Algebraick Notation, it import a Quantity less thannothing: Yet, when it comes to a Physical Application, it denotesas Real a Quantity as if the Sign were +; but to be interpretedin a contrary sense.

As for instance: Supposing a man to have advanced or movedforward (from A to B) 5 yards; and then to retreat (from B toC) 2 yards; If it be asked, how much had he Advanced (upon thewhole march) when at C? I find . . . he has Advanced 3 Yards.But if, having Advanced 5 Yards to B, he thence retreat 8 Yardsto D; and it then be asked, How much is he Advanced when at D,or how much Forwarder than when he was at A: I say –3 Yards.. . . That is to say, he is advanced 3 Yards less than nothing.. . . (Which) is but what we should say (in ordinary form ofSpeech), he is Retreated 3 Yards; or he wants 3 Yards of beingso Forward as he was at A.

14

Figure 3: Walliso skaičių tiesės iliustracija

Wallisas ne tik vienodai vertino teigiamuosius ir neigiamuosius skaičius,jei pasikliauti Mumfordo vertinimu. K. Neal [5] teigimu, Wallisas pirma-sis tarp Europos matematikų pradėjo teikti aritmetikai pirmumą atžvilgiugeometrijos, kuri dominavo matematikoje nuo Antikos laikų.

Neigiamieji skaičiai 17-19 amžių matematikoje Įdomu yra tai, kadWalliso požiūrį į skaičius perėmė kontinentinės Europos matematikai, bet nejo tėvynainiai. Ginčai dėl simbolių −1 ir

√−1 prasmės įtakojo aritmetikos,

geometrijos ir algebros evoliuciją, bei siejosi su matematikos prigimties aiškin-imusi. Šis matematikos istorijos etapas Anglijoje nušviečiamas Helenos Py-cior [7] knygoje, jos apimtis apie 340 puslapių. Analogiškai istorijai Voki-etijoje ir Prancūzijoje nušviesti Gertui Schubringui [8] knygoje prireikė apie690 puslapių.

Pasak Mumfordo, 17-19 amžių Anglijoje neigiamieji skaičiai iš esmėsbuvo antrarūšiais matematikos objektais, fikcijomis ir panašiai. Pavyzdžiui,tokį požiūrį išreiškė 1843 metais Augustus De Morganas daugiatomės encik-lopedijos Penny Cyclopaedia straipsnyje Negative and Impossible Quantitiesrašydamas:

It is not our intention to follow the earlier algebraists throughtheir different uses of negative numbers. These creations of alge-bra retained their existence, in the face of the obvious deficiencyof rational explanation which characterized every attempt at theirtheory

Faktiškai visą De Morgano matematinių tyrimų kelią nulėmė neigiamiejiskaičiai. Iš pradžių jis siekė surasti būdus, kaip sprendžiant lygtis, ap-sieiti be neigiamųjų skaičių naudojant tik teigiamuosius skaičius. Vėliaujo darbai evoliucionavo link abstrakčių algebrinių struktūrų kūrimo, kurioseneigiamieji skaičiai yra eiliniais elementais greta kitų skaičių. Kitaip tari-ant, neigiamieji ir teigiamieji skaičiai skaičių sistemos tampa lygiateisiaiselementais, priklausomais tik nuo struktūrą nusakančių dėsnių. Tokioje sis-temoje neigiamųjų skaičių sandaugos taisyklė yra įrodoma išvada, panašiaikaip tai dariau V paaiškinime. Iš esmės tai ir yra šiuolaikinės matematikospožiūris į neigiamuosius skaičius.

15

Nors mokykloje mes išmokstame elgtis su neigiamaisiais skaičiais ir jiemums tampa įprastais, bet jų sampratos evoliucija buvo labai ilga ir sunki,bent jau Vakarų kultūros kontekste. Tie keli čia paminėti istoriniai epizodaiyra tik ledkalnio viršūnė. Norėjau parodyti, kad už mokyklinės matem-atikos taisyklių slypi žmonijos kultūros istorijos dalis. Mūsų pasirinkimasmokyklinę matematiką paversti taisyklių ir procedūrų rinkiniu palieka musbejausmiais matematikais.

3 Patikslinta skaičių tiesėKiekvienam skaičių tiesės taškui p apibrėšime jo veidrodinį atvaizdį p taip,kad p ir p būtų simetriškai nulio atžvilgiu. Tiksliau, jei p = 0, tai 0∗ := 0.Jei p 6= 0, tai p∗ yra toks taškas, kurio atvirkštinis atvaizdis p∗∗ := (p∗)∗

sutampa su p, t.y.0∗ = 0 ir x∗∗ = x. (6)

Figure 4: Patikslinta skaičių tiesė

Tegul Q+ yra neneigiamų racionaliųjų skaičių aibė.

3.1 apibrėžtis. Racionaliaisiais skaičiais vadiname tuos skaičių tiesės taškus,kurie yra išreiškiami trupmenomis arba yra trupmena išreiškiamo skaičiausveidrodinis atvaizdis. Kitaip tariant, x yra racionalusis skaičius jei x ∈ Q+

arba x = y∗ su kuriuo nors y ∈ Q+. Aibę racionaliųjų skaičių žymėsime Q.

Sakysime, kad skaičius x mažesnis už skaičių y ir rašysime x < y, jei antskaičių tiesės taškas x yra į kairę nuo taško y .

4 Racionaliųjų skaičių sumaNeneigiamų racionaliųjų skaičių x ir y sumą žymime x⊕y. Priminsime, kadx⊕y taškas ant skaičių tiesės sutampantis su atkarpos [0, x] ir iš nulio į taškąx pastumtos atkarpos [0, y] jungties dešinysis galas.

16

4.1 apibrėžtis. Taisyklę, kuri bet kuriems x ∈ Q ir y ∈ Q priskiria vienin-telį aibės Q elementą, žymimą x+y, vadiname suma, jei galioja šios savybės:

1. x+y = x⊕y visiems x ∈ Q+ ir y ∈ Q+;

2. x+y = y+x visiems x ∈ Q ir y ∈ Q (komutatyvumas);

3. (x+y)+z = x+(y+z) visiems x ∈ Q, y ∈ Q ir z ∈ Q (asociatyvumas);

4. x+x∗ = 0 visiems x ∈ Q

5. x+0 = x visiems x ∈ Q.

Ši sumos apibrėžtis tiesiogiai nenurodo kaip rasti sumą, išskyrus atvejį,kai abu sudedami racionalieji skaičiai yra neneigiami. Pastaruoju atveju,naudodami sumos 1. savybę, galime pasitelkti x⊕y apibrėžimą. Papildysime4.1 apibrėžimą nurodydami sumos skaičiavimo būdą visais atvejais. Tuotikslu įrodysime tris papildomus faktus.

4.2 teorema. Bet kuriems x ∈ Q ir y ∈ Q teisinga implikacija:

jei x+y = x, tai y = 0.

Įrodymas. Tegul x ∈ Q, y ∈ Q ir x+y = x. Remiantis sumos apibrėžties5. savybe, galioja pirmoji lygybė

y = y + 0

dėl sumos apibrėžties 4. savybės = y + (x+ x∗)

dėl sumos apibrėžties 3. savybės = (y + x) + x∗

dėl sumos apibrėžties 2. savybės = (x+ y) + x∗

dėl prielaidos x+y = x = x+ x∗

dėl sumos apibrėžties 4. savybės = 0.

Implikacija teisinga remiantis teisingumo lentele.

4.3 teorema. Bet kuriems x ∈ Q ir y ∈ Q teisinga implikacija:

jei x+y = 0, tai y = x∗ ir x = y∗.

Įrodymas. Tegul x ∈ Q, y ∈ Q ir x+y = 0. Remiantis sumos apibrėžties5. savybe, galioja pirmoji lygybė

x = x+ 0

dėl sumos apibrėžties 4. savybės = x+ (y + y∗)

dėl sumos apibrėžties 3. savybės = (x+ y) + y∗

dėl prielaidos x+y = 0 = 0 + y∗

dėl sumos apibrėžties 2. savybės = y∗ + 0

dėl sumos apibrėžties 4. savybės = y∗.

17

Tai įrodo implikacijos konsekvento pirmąją dalį. Antroji dali gaunama išpirmosios naudojant veidrodinio atvaizdžio (6) savybę: jei x = y∗, tai

x∗ = y∗∗ = y.

Implikacijos įrodymas baigtas.

4.4 teorema. Bet kuriems x ∈ Q ir y ∈ Q teisinga (x+y)∗ = x∗ + y∗.

Įrodymas. Tegul x ∈ Q ir y ∈ Q. Remiantis 4.3 teorema, pakankaparodyti, kad

(x+ y) + (x∗ + y∗) = 0.

Naudojant sumos asociatyvumo ir komutatyvumos savybes, šios lygybėskairę pusę pertvarkome ir gauname pirmąją lygybę:

(x+ y) + (x∗ + y∗) = (x+ x∗) + (y + y∗)dėl sumos apibrėžties 2. ir 4. savybių = 0 + 0

dėl sumos apibrėžties 4. savybės ir 0∗ = 0 = 0,

ką ir reikėjo parodyti.Dabar galime nurodyti tiesioginį sumos skaičiavimo būdą naudojant skaičių

tiesėje apibrėžtas sumos ⊕ ir skirtumo operacijas.

4.5 teorema. Bet kuriems x ∈ Q+ \ {0} ir y ∈ Q+ \ {0} teisinga

x+ y = x⊕y, (7)x∗ + y∗ = (x⊕y)∗ (8)

x+ y∗ =

{xy, kai x > y,(yx)∗, kai x < y. (9)

Įrodymas. (7) ir (8) lygybės išplaukia iš sumos apibrėžties 1. savybėsir 4.4 teoremos. Trečios lygybės įrodymui tarkime, kad x ∈ Q+ \ {0}, y ∈Q+ \ {0} ir x > y. Kadangi x > y, skirtumas xy apibrėžtas lygybe ([6]):

(xy) + y = x. (10)

Remiantis sumos vienatimi ir (10), galioja pirmoji lygybė:

x+ y∗ = ((xy) + y) + y∗

dėl sumos apibrėžties 3. savybės = (xy) + (y + y∗)

dėl sumos apibrėžties 4. savybės = (xy) + 0

dėl sumos apibrėžties 5. savybės = xy.

18

Dabar tarkime, kad x ∈ Q+, y ∈ Q+ ir x < y. Remiantis veidrodinioatspindžio apibrėžtimi (6), ganaume pirmąją lygybę:

x+ y∗ = (x+ y∗)∗∗

dėl 4.4 teoremos = (x∗ + y∗∗)∗

dėl (6) = (x∗ + y)∗

dėl komutatyvumo, y > x ir pirmosios (9) lygybės = (yx)∗,

ką ir reikėjo parodyti.

5 Racionaliųjų skaičių sandaugaNeneigiamų racionaliųjų skaičių x ir y sandaugą žymime x⊗y (žiūrėk [6]sandaugos apibrėžtis).

5.1 apibrėžtis. Taisyklę, kuri bet kuriems x ∈ Q ir y ∈ Q priskiria vien-intelį aibės Q elementą, žymimą x×y, vadiname sandauga, jei galioja šiossavybės:

1. x×y = x⊗y visiems x ∈ Q+ ir y ∈ Q+;

2. x×y = y×x visiems x ∈ Q ir y ∈ Q;

3. (x×y)×z = x×(y×z) visiems x ∈ Q, y ∈ Q ir z ∈ Q;

4. (x+ y)×z = x×z + y×z visiems x ∈ Q, y ∈ Q ir z ∈ Q;

5. 1×x = x visiems x ∈ Q

6. 0×x = x×0 = 0 visiems x ∈ Q.

Pirmiausia įrodysime garsiąją „minusų sandaugos" taisyklę.

5.2 teorema. 1∗×1∗ = 1.

Įrodymas. Tegul x := 1∗×1∗. Remiantis 4.3 teorema, pakanka parodyti,kad 1∗ + x = 0. Iš tikro, dėl šios lygybės, 4.3 teoremos ir (6) gauname, kadx = 1∗∗ = 1, t.y. 1∗×1∗ = 1.

Dėl sandaugos apibrėžties 5. savybės gauname pirmąją lygybę:

1∗ + x = 1×1∗ + 1∗×1∗

dėl sandaugos apibrėžties 4. savybės = (1 + 1∗)×1∗

dėl sumos apibrėžties 4. savybės = 0×1∗

dėl sandaugos apibrėžties 6. savybės = 0,

ką ir reikėjo parodyti.Bendru atveju turime tokią teoremą.

19

5.3 teorema. Bet kuriems n ∈ N \ {0} ir m ∈ N \ {0} teisinga lygybėn∗×m∗ = nm.

Įrodymas. Tegul n ∈ N \ {0} ir m ∈ N \ {0}. Remiantis 4.4 teorema,turime

m∗ = (1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸m

)∗ = 1∗ + · · ·+ 1∗︸ ︷︷ ︸m

. (11)

Dėl sandaugos vienaties ir pastarosios lygybės, teisinga pirmoji lygybė

1∗×m∗ = 1∗×(1∗ + · · ·+ 1∗︸ ︷︷ ︸m

)

dėl sandaugos apibrėžties 4. savybės = 1∗×1∗ + · · ·+ 1∗×1∗︸ ︷︷ ︸m

dėl 5.2 teoremos = 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸m

= m. (12)

Naudodami (11) su n vietoje m, gauname

n∗×m∗ = (1∗ + · · ·+ 1∗︸ ︷︷ ︸n

)×m∗

dėl sandaugos apibrėžties 4. savybės = 1∗×m∗ + · · ·+ 1∗×m∗︸ ︷︷ ︸n

dėl (12) = m+ · · ·+m︸ ︷︷ ︸n

= nm,

ką ir reikėjo įrodyti.Kaip ir sumos atveju, sandaugos apibrėžtis tiesiogiai nenurodo kaip ją

rasti, išskyrus atvejį, kai abu dauginami racionalieji skaičiai yra neneigiami.Pastaruoju atveju, naudodami sandaugos 1. savybę, galime pasitelkti x⊗yapibrėžimą. Papildysime 5.1 apibrėžimą nurodydami sandaugos skaičiavimobūdą visais atvejais. Tuo tikslu įrodysime du papildomus faktus.

5.4 teorema. Bet kuriems x ∈ Q ir y ∈ Q teisinga lygybė x∗×y = (x×y)∗.

Įrodymas. Tegul x ∈ Q ir y ∈ Q. Remiantis 4.3 teorema, pakankaparodyti, kad x∗×y + x×y = 0. Iš tikro, dėl šios lygybės ir 4.3 teoremosgauname, kad x∗×y = (x×y)∗.

Dėl sandaugos apibrėžties 4. savybės gauname pirmąją lygybę:

x∗×y + x×y = (x∗ + x)×ydėl sumos apibrėžties 2. ir 4. savybių = 0×ydėl sandaugos apibrėžties 6. savybės = 0,

ką ir reikėjo parodyti.

20

5.5 teorema. Bet kuriems x ∈ Q ir y ∈ Q teisinga lygybė x∗×y∗ = x×y.

Įrodymas. Tegul x ∈ Q ir y ∈ Q. Remiantis 4.3 teorema, pakankaparodyti, kad x∗×y∗ + (x×y)∗ = 0. Iš tikro, dėl šios lygybės, 4.3 teoremosir (6) lygybės gauname, kad

x∗×y∗ = (x×y)∗∗ = x×y.

Remiantis 5.3 teorema galioji pirmoji lygybė:

x∗×y∗ + (x×y)∗ = x∗×y∗ + x∗×ydėl sandaugos apibrėžties 2. ir 4. savybių = x∗×(y∗ + y)

dėl sumos apibrėžties 4. savybės = x∗×0dėl sandaugos apibrėžties 6. savybės = 0,

ką ir reikėjo parodyti.Dabar galime nurodyti tiesioginį sandaugos skaičiavimo būdą naudojant

skaičių tiesėje apibrėžtomis sandaugos ⊗ operaciją.

5.6 teorema. Tarkime, kad x ∈ Q+ \ {0} ir y ∈ Q+ \ {0}. Tada

x×y = x⊗y, (13)x∗×y∗ = x⊗y, (14)x∗×y = (x⊗y)∗. (15)

Kiekviena iš trijų lygybių išplaukia iš sandaugos apibrėžties 1. savybės,bei 5.5 ir 5.4 teoremų.

6 Pratimai6.1 užduotis. Remiantis natūraliųjų skaičių aritmetika ir 4.1 apibrėžtimi,įrodyti, kad lygties 7 + x = 5 sprendinys x = 2∗.

6.2 užduotis. Tarkime, kad A ir B yra racionalieji skaičiai. Įrodyti, kadlygtis A+ x = B turi sprendinį, kuris yra racionalusis skaičius.

6.3 užduotis. Apibrėžkite bet kurių dviejų racionaliųjų skaičių skirtumooperaciją.

References[1] R. Askey, Knowing and Teaching Elementary Mathematics. American

Educator, 1999.

[2] A. Heeffer, Historical Objections Against the Number Line. Sci &Educ (2011) 20:863-880.

21

[3] J. Høyrup, Hesitating progress - the slow development toward algebraicsymbolization in abacus-and related manuscripts, c. 1300 to c. 1550. In:A. Heeffer and M. Van Dyck (eds.) Philosophical Aspects of SymbolicReasoning in Early Modern Mathematics, Studies in Logic, vol. 26, 2010,pp. 3-56.

[4] D. Mumford, What’s so Baffling About Negative Numbers? – a Cross-Cultural Comparison. http://www.dam.brown.edu/people/mumford/beyond/papers/2010b--Negatives-PrfShts.pdf

[5] K. Neal, From Discrete to Continuous. The Broadening of Num-ber Concepts in Early Modern England. Australians Studies in Historyand Philosophy of Science, Springer, 2002. https://archive.org/details/springer_10.1007-978-94-017-0077-1

[6] R. Norvaiša, Trupmenos samprata aritmetikoje. Paskaitos „Matem-atika ir filosofija" dalomoji medžiaga.

[7] H. M. Pycior, Symbols, Impossible Numbers and Geometric Entangle-ments. British Algebra through the Commentaries on Newton’s UniversalArithmetick. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

[8] G. Schubring, Conflicts Between Generalization, Rigor, and Intuition:Number Concepts Underlying the Development of Analysis in 17 - 19thCentury France and Germany. Springer-Verlag N.Y, 2005.

[9] Stendhal, The Life of Henry Brulard, Original in French published in1836, English translation by J. Stewart, B.C.J.G. Knight, Merlin Press,London, 1958.

[10] H.-H. Wu, Understanding Numbers in Elementary School Mathemat-ics. AMS, 2011.

22