NB002CApostila6

8/18/2019 NB002CApostila6

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NB002 – Parte VI



NOTAS DE AULA – VI

13 – Gradiente, Divergente e Rotacional

13.1 – Operador

Defini-se Operador como um elemento que aplicado sobre uma grandeza produz

uma transformação. Por exemplo:

' y ydx

d =⇒

13.2 – Operador Diferencial Vetorial

O operador diferencial vetorial (ou Operador de Hamilton) é definido pela

expressão:

zk

y j

xik

z j

yi

x ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂≡

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

rrr

rrr

O símbolo ∇ como já visto neste curso de cálculo (denomina-se “Nabla”)representa o operador diferencial.

13.3 – O Gradiente de um campo escalar

Seja φ um campo escalar dado no espaço tal que:

( ) z y x ,,φ φ =

e possua derivadas parciais primeiras.

Denomina-se gradiente de campo escalar φ no ponto P o vetor obtido pela

aplicação do operador sobre φ . Assim:

k z

j y

i x

Grad

rrr

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇= φ φ φ φ φ

Onde as derivadas parciais estão calculadas em P.



Exercício:

1) Seja z xy +=φ . Calcular o φ ∇ no ponto P(1, 2, 1).

13.3.1 – Propriedades do gradiente

Considere ( ) z y x ,,φ φ = e ( ) z y xuu ,,= campos escalares que possuam derivadas

parciais primeiras e K uma constante, então:

P1. φ φ ∇=∇ K K

P2. ( ) uu ∇±∇=±∇ φ φ

P3. ( ) φ φ φ ∇+∇=∇ uuu

P4. Se num 0r

≠∇φ ponto P no espaço, o φ ∇ é perpendicular à superfície S definida por:

( ) k z y x =,,φ

P5. 0,2

≠∇−∇

=

∇ u

u

uu

u

φ φ φ

P6. Sendo ( )φ ψ ψ = derivável em relação a φ , então:

φ φ

ψ ψ ∇=∇

d

d

P7. Sendo ( )u,φ ψ ψ = derivável em relação a φ e u, então:

udu

d

d

d ∇+∇=∇

ψ φ

φ

ψ ψ



Exercícios:

1) Encontrar os gradientes dos seguintes campos escalares:

a) z y xu 32 +−= . ( )3,2,1:Re −sp

b) 222ln z y xu ++= . No ponto ( )1,1,1 −P . ( )3

2.1,1,1:Re −sp

13.3.2 – Derivada Direcional

Como já visto neste curso a derivada direcional é expressa e definida comomostrado a seguir:

A derivada direcional f Dou z Duu−− pode ser expressa na forma de produto escalar.

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

+=

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂=

−−−−−−−

− j y

zi

x

zu j

y

zi

x

z jbia

y

zb

x

zab

y

za

x

z z Du

..

O vetor−−

∂

∂+

∂

∂ j

y

zi

x

z cujos componentes escalares são derivadas parciais de z com respeito a

x e a y é denominado gradiente do campo escalar z(ou da função f ) e é escrito como)comoou( f z ∇∇ . Assim:

( ) ( ) ( )−−−−

+=∇∂

∂+

∂

∂=∇ j y x f i y x f y x f ou j

y

zi

x

z z ,,, 21

E podemos escrever a derivada direcional como:

( ) ( ) y x f u y x f Dou zu z Duu

,.,. ∇=∇=−−

−−

Em palavras, a derivada direcional de um campo escalar numa dada direção é o

produto escalar desta direção pelo gradiente do campo escalar.Algumas observações importantes:

1) A derivada direcional é nula quando tomamos a direção perpendicular ao

gradiente.

2) A derivada direcional assume seu valor máximo quando tomamos a direção do

gradiente e esse máximo valor é ( )00 , y x f ∇ .

Em outras palavras, o gradiente de um campo escalar, calculado num ponto P, é umvetor cuja direção indica a direção na qual o campo escalar aumenta mais rapidamente,

enquanto o módulo do vetor gradiente é numericamente igual a taxa instantânea de

aumento do campo por unidade de distância nesta direção no ponto P.



Por exemplo, se estivermos num dado ponto de um campo de temperatura e

desejarmos seguir para onde a temperatura aumenta mais rapidamente, basta tomar a

direção do gradiente neste ponto. Por outro lado, se nos movimentarmos

perpendicularmente ao vetor gradiente, a taxa instantânea de variação é nula, poisestaremos sobre a isoterma (pontos de mesma temperatura) que passa por esse ponto.

Movendo-se na direção oposta ao gradiente (isto é, na direção do gradiente negativo) atemperatura diminuirá mais rapidamente.

13.4 – A divergência de uma campo vetorial

A divergência de um campo vetorial no fornece uma idéia da densidade de fluxo de

um campo vetorial em um ponto. Como exemplo, suponha a velocidade de escoamento de

um fluido no plano, com certeza será necessário saber qual a densidade do fluido neste

sistema em um certo ponto.

Portanto, seja ( ) z y x A ,,=r

um campo vetorial dado no espaço, tal que:

( ) ( ) ( ) ( )k z y x A j z y x Ai z y x A z y x Ar

rrr

,,,,,,,, 321 ++=

e que as componentes de A

r

possuam as derivadas parciais contínuas z

A

e y

A

x

A

∂

∂

∂

∂

∂

∂ 321

, .

Denomina-se divergência ou densidade de fluxo de um campo campo vetorial de Ar

no ponto P o escalar obtido pela multiplicação do operador diferencial sobre Ar

, por

intermédio do produto escalar. Assim:

z

A

y

A

x

A A Adiv

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇=

321rr

Onde as derivadas parciais dever ser calculadas num mesmo ponto P(x,y,z).

Exercício:

1) Sendo ( ) ( ) ( ) ( )k z y x j z yi y x z y x Ar

rrr

222,, +++= determinar Adivr

no ponto P(1,1,1).



13.4.1 – Propriedades da divergência

Sejam ( ) ( ) ( ) ( )k z y x A j z y x Ai z y x A z y x Arrrr

,,,,,,,, 321 ++= e

( ) ( ) ( ) ( )k z y x B j z y x Bi z y x B z y x Br

rrr

,,,,,,,, 321 ++= campos vetoriais que possuam

derivadas parciais primeiras e ( ) z y x ,,φ φ = um campo escalar que também possua

derivadas parciais primeiras, assim:

P1. ( ) B A B Arrrr

∇±∇=±∇ ..

P2. ( ) ( ) ( ) A A Arrr

... ∇+∇=∇ φ φ φ

13.4.2 – Campos Solenoidais

Um campo é dito Solenoidal se:

0. =∇= A Adivr

em qualquer ponto do espaço.

Exercícios:

1) Encontrar as divergências dos seguintes campos vetoriais:

a) k z y x j y xi z y x Arrrr

232 23 −+= no ponto (1,-1,1).

b) ( ) ( ) ( )k z y j z yi y x Arrrr

223 −+−++= no ponto (1,-1,1).

2) O campo eletrostático devido a uma carga pontual de grandeza q é:



20

.4 r

r q E

r

r

r

πε = , calcular o div E

r

.

13.5 – O Rotacional de um campo vetorial

O rotacional de um campo vetorial fornece a idéia de densidade de circulção

de um campo vetorial Ar

em um ponto. Esta circulação em torno de um ponto P em um

plano é descrita como um vetor. Esse vetor é normal ao plano de circulação e aponta no

sentido da regra da mão direita em relação ao sentido de circulação. O comprimento do

vetor fornece a taxa de rotação do fluido, a qual varia a medida que o plano de circulação é

inclinado ao redor de P.

Assim, seja ( ) z y x A ,,=r

um campo vetorial dado no espaço, tal que:

( ) ( ) ( ) ( )k z y x A j z y x Ai z y x A z y x Ar

rrr

,,,,,,,, 321 ++=

Suponhamos que as componentes 321 ,, A A A do vetor ( ) z y x A ,,=r

são contínuas e

possuam derivadas parciais contínuas com respeito a todos os argumentos.

Denomina-se rotacional do campo vetorial ( ) z y x A ,,=r

o vetor designado por rot Ar

e definido pela igualdade:

k y

A

x

A j

x

A

z

Ai

z

A

y

A Arot

rrrr

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂=

123123

Na forma simbólica o rotacional expressar-se-á por:

321 A A A

k ji

A Arot z y x ∂

∂

∂

∂

∂

∂=×∇=

rrr

rr

O rotacional é obtido pela aplicação do operador diferencial sobre Ar

, por

intermédio do produto vetorial.



Exercício:

1) Encontrar o rotacional do vetor:

( ) ( ) ( )k z x j z yi z x Ar

rrr

+++++=2

13.5.1 – Propriedades do rotacional

Sejam ( ) ( ) ( ) ( )k z y x A j z y x Ai z y x A z y x A

rrrr

,,,,,,,, 321 ++= e

( ) ( ) ( ) ( )k z y x B j z y x Bi z y x B z y x Br

rrr

,,,,,,,, 321 ++= campos vetoriais que possuam

derivadas parciais contínuas e ( ) z y x ,,φ φ = um campo escalar que também possua

derivadas parciais contínuas, assim:

P1. ( ) B A B Arrrr

×∇±×∇=±×∇ .

P2. ( ) A A Arrr

×∇+×∇=×∇ φ φ φ

13.5.2 – Campos Irrotacional

Um campo é dito irrotacional se:

0=×∇= A Arot r

em qualquer ponto do espaço.

Exercício:

1) Encontrar o rotacional dos seguintes campos vetoriais:

a) ( ) ( ) ( )k x z j z yi y x Ar

rrr

222222+++++=

b) ( ) j xi y Arrr

22

2

1+−=

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