Nakladnici Graphis d.o.o., Jurjevska 20, Zagreb Tehni~ki ... · voditi ra~una o postoje}im ograni~enjima, jer su informacijski i energetski resursi koji stoje na raspolaganju uvijek

Nakladnici

Graphis d.o.o., Jurjevska 20, Zagreb

Tehni~ki fakultet Rijeka, Vukovarska 58, Rijeka

Urednik

Prof. dr. sc. Zvonko Ben~i

Tehni~ki urednik

@arko Pavuni

Recenzenti

Prof. dr. sc. Ljubomir Kulja~a

Prof. dr. sc. Zoran Vuki

Suradnici

Mr. sc. Dalibor Brnobi

Damir Arbula, dipl. ing.

Ivan Uravi, dipl. ing.

Lektor

Dr. sc. Milica Mihaljevi

Naslovna stranica

@eljko Kozari

Za nakladnika

Elizabeta [unde, dir.

Objavljivanje ovog ud`benika odobrilo je Povjerenstvo za izdava~ku djelatnost

Sveu~ilita u Rijeci rjeenjem klasa: 602-09/05-01/19; ur. br.: 2170-57-05-05-2

od 24. svibnja 2005.

Tiskano u Hrvatskoj

ISBN 978-953-6647-77-4 Graphis

ISBN 978-953-6326-53-1 Tehni~ki fakultet Rijeka

©Sva prava pridràva nakladnik GRAPHIS d.o.o., Maksimirska 88, Zagreb,

tel./faks +385 1 2322-975, [email protected], www.graphis.hr

Cip zapis dostupan u ra~unalnom katalogu Nacionalne i sveu~iline knji`nice u

Zagrebu pod brojem 637862.

Dario Matika

SUSTAVI DIGITALNOG

UPRAVLJANJA

SADR@AJ

Predgovor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX

1. LINEARNI SUSTAVI UPRAVLJANJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Sustavi automatskog upravljanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Otvoreni sustavi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2. Zatvoreni sustavi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3. Kombinirani sustavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Funkcioniranje sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1. Kontinuirani sustavi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2. Diskretni sustavi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.3. Digitalni sustavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3. Matemati~ki opis linearnih diskretnih sustava upravljanja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.1. Periodi~ka funkcija diskretizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.2. Impulsni element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.3. Element za zadràvanje signala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.4. Frekvencijski spektar i teorem o uzorkovanju signala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.5. Z-transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.3.6. Inverzna Z-transformacija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.3.7. Modificirana Z-transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.4. Pitanja za ponavljanje gradiva i zadaci za vje`bu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2. ANALIZA LINEARNIH DISKRETNIH SUSTAVA UPRAVLJANJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1. Funkcija prijenosa diskretnih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.1.1. Fiktivni impulsni element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.1.2. Funkcija prijenosa otvorenog diskretnog sustava. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.1.3. Funkcija prijenosa zatvorenog diskretnog sustava. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2. Stabilnost diskretnih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2.1. Preslikavanje u z-ravninu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.2.2. Karakteristike odziva u z-ravnini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.3. To~nost diskretnih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3.1. Regulacijsko odstupanje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.3.2. Koeficijenti regulacijskog odstupanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.4. Prijelazna karakteristika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.4.1. Odziv linearnog vremenski nepromjenjivog sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.4.2. Uloga nula i polova funkcije prijenosa na odziv sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.4.3. Sustavi prvog i drugog reda bez kona~nih nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.4.4. Svojstva dominantnog pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.4.5. Polovi u z-ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.4.6. Metoda krivulje mjesta korijena u z-ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2.5. Diskretni sustavi u prostoru stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.5.1. Matemati~ki opis sustava u prostoru stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.5.2. Jednad`ba stanja u z-ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.5.3. Matrica prijenosa u z-ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.5.4. Upravljivost i osmotrivost diskretnih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.6. Parametri diskretnog regulatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.6.1. Izbor perioda diskretizacije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

2.6.2. Realizacija modela diskretnog regulatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

2.6.3. Diskretni regulator u prostoru stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

2.6.4. Ackermannova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2.6.5. Diskretni observer u prostoru stanja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

2.7. Vje`be. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

PRILOZI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

P1. Primjer – Odre|ivanje parametra diskretnog regulatora stanja

u povratnoj vezi i potpunog regulatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

P2. MATLAB RUTINE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Literatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Slovni simboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Abecedno kazalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

O autoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

VIII SADR@AJ

PREDGOVOR

Ud`benik Sustavi digitalnog upravljanja namijenjen je studentima sveu~ilinog studi-

ja elektrotehnike, a izra|en je kako bi im omoguio uspjeno savladavanje nastavnog gra-

diva iz podru~ja automatskog upravljanja procesima.

Ud`benik je podijeljen u dva poglavlja: Linearni sustavi upravljanja i Analiza linear-

nih diskretnih sustava upravljanja. Na kraju svakog poglavlja nalaze se pitanja za ponav-

ljanje i vje`bu, a na pripadajuem CD-u uz ovaj ud`benik nalaze se primjeri i odgovarajue

rutine za rjeavanje zadataka. Ud`benik polazi od pretpostavke da su ~itatelju (studentima)

dostupni suvremeni matemati~ki alati, kao to je npr. matlab/simulink.

U prvom poglavlju:

– openito se opisuju linearni sustavi automatskog upravljanja (otvoreni, zatvoreni i

kombinirani sustav), te se daju osnovne blokovske sheme

– kratko se opisuje funkcioniranje sustava u kontinuiranom i diskretnom podru~ju, s

posebnim osvrtom na modulaciju signala. Pozornost je teìno usmjerena na tipi~ne

oblike diskretizacije signala (kvantizacija po vremenu i razini), odnosno na impul-

sno-kodnu modulaciju, te se donosi blokovska shema digitalnog sustava automat-

skog upravljanja, odnosno digitalnog regulatora

– u nastavku poglavlja donosi se matemati~ki opis linearnih diskretnih sustava, perio-

di~ka funkcija diskretizacije, frekvencijski spektar i teorem o uzorkovanju te Z-

transformacija, inverzna Z-transformacija, kao i modificirana Z-transformacija.

U drugom poglavlju:

– definira se funkcija prijenosa diskretnih sustava te se uvodi pojam fiktivnog impul-

snog elementa – na temelju njega analiziraju se tipi~ni slu~ajevi otvorenog i

zatvorenog diskretnog sustava te se izvode analogije u odnosu na kontinuirano

podru~je

– slijedi analiza stabilnosti u z-podru~ju i karakteristika odziva u z-podru~ju, odnosno

kako odrediti poja~anje sustava k ili period diskretizacije T tako da sustav bude sta-

bilan

– nova je zadaa to~nost diskretnih sustava, regulacijsko odstupanje i izra~un koefici-

jenta regulacijskog odstupanja

– slijedi odre|ivanje prijelazne karakteristike sustava. Analizira se uloga polova i

nula funkcije prijenosa na odziv sustava na primjeru sustava prvog i drugog reda,

kao i svojstva dominantnog pola te poloàj polova u z-ravnini

– rabi se metoda krivulje mjesta korijena u z-ravnini za prora~un grani~nog koefici-

jenta poja~anja, pri ~emu sustav mora zadovoljiti uvjet stabilnosti i zahtijevane

parametre prijelazne karakteristike, kao to su: vrijeme smirivanja signala, koefici-

jent priguenja signala ili koeficijent regulacijskog odstupanja

– sljedeu cjelinu ovog poglavlja ~ini analiza diskretnih sustava u prostoru stanja.

Donosi se matemati~ki opis u prostoru stanja, jednad`ba stanja i matrica prijenosa u

z-ravnini, analiziraju se svojstvo upravljivosti i osmotrivosti diskretnih sustava, kao

i kriteriji koje sustav mora zadovoljiti kako ne bi bio neupravljiv ili neosmotriv

– posljednja cjelina ovog poglavlja posveena je odre|ivanju parametra diskretnog

regulatora (primjenom metode krivulje mjesta korijena) i izboru perioda

diskretizacije T uz pomo Tustinove T-transformacije, te Astrom-Wittenmarh pre-

poruka. Predstavlja se »simulacijski model diskretnog regulatora« u prostoru stanja,

a uz pomo Ackermannove formule odre|uju se vektor povratne veze regulacije i

vektor povratne veze estimacije

– na kraju se obra|uje primjer totalnog (potpunog) regulatora u z-podru~ju kao uvod

u izradu projektne zadae.

Ovaj ud`benik prate auditorne i laboratorijske vje`be koje su opisane i nalaze se na

web stranici Tehni~kog fakulteta u Rijeci pod istoimenim nastavnim predmetom, tj.

Sustavi digitalnog upravljanja. Dane su i detaljne upute za izradu projektne zadae kao

uvjeta za izlazak na zavrni ispit.

Na kraju, èlim yahvaliti suradnicima koji su svojim radom oridonijeli izradi ovog

ud`benika: Damiru Arbuli na pomoi u prilagodbi ud`benika za nastavne potrebe te na

izradi vje`bi u sklopu kolegija, Daliboru Brnobiu na savjetima i idejama pri nastanku

ud`benika, te Ivanu Uraviu na korekciji i priperemi ud`benika za tisak.

Vjerujem da e ovako koncipiran ud`benik, kojeg prate odgovarajue vje`be i upute,

kao i Power-point prezentacije na web stranicama fakulteta, ispuniti svoju obrazovnu, ali i

odgojnu svrhu, i biti pomo studentima Tehni~kog fakulteta u Rijeci u uspjenom savlada-

vanju dodiplomskog studija elektrotehnike.

X PREDGOVOR

1. LINEARNI SUSTAVI UPRAVLJANJA

Rije~ sustav1)

koristi se u svakodnevnom ìvotu u razli~itim djelatnostima drutva.

No, ne postoji jednozna~an odgovor na pitanje to je to sustav. Za navedeni pojam koriste

se razli~ite definicije, a ovisno o tome o kojem se podru~ju znanosti, umjetnosti ili kulture

rabi, pojam sustav ima razli~iti smisao.

Pod pojmom sustav u ovom ud`beniku podrazumijeva se tehni~ki dinami~ki sustav.

To je tvarni sustav izra|en od razli~itog broja komponenata koje su prikladne za me|usob-

no spajanje i interakciju, kao i za povezivanje i interakciju s okolinom u kojoj sustav djelu-

je, a osmislio ga je i ostvario ~ovjek u svrhu postizanja to~no odre|enog cilja. Takve sus-

tave karakterizira usmjerenost djelovanja, kauzalnost, ograni~enost energetskih i informa-

cijskih resursa i kapaciteta, strukturiranost i povezanost procesa unutar sustava.

Kada se govori o sustavima digitalnog upravljanja, koje obra|uje ovaj ud`benik, to

podrazumijeva linearne, deterministi~ke i kauzalne sustave s vremenski nepromjenjivim

parametrima ~ija se analiza i sinteza provode u me|usobnoj povezanosti kontinuiranoga i

diskretnoga podru~ja rada.

Sustav je linearan, ako vrijedi princip superpozicije:

(1.1)

gdje je:

D linearni operator sustava

α koeficijent (konstanta).

D D

D D

u t u t

u t u t

k

k

k

k

( )= ( )⎡⎣ ⎤⎦

⋅ ( )[ ]= ⋅ ( )[ ]

∑ ∑

α α

1)engl. system

Za linearne sustave upravljanja zaokruèna je teorija, to nije slu~aj za nelinearne sus-

tave. Zato se za takve sustave primjenjuju pribli`ne metode, odnosno provodi se line-

arizacija u okolini radne to~ke na temelju Taylorova2)

reda, [1].

Sustav je deterministi~ki, ako se u jednakim uvjetima uvijek jednako ponaa, tj. pri

istoj pobudi uvijek se na jednak i potpuno odre|en na~in odaziva.

Sustav je kauzalan, kada postoji uzro~no-posljedi~na veza, tj. sustav kod kojeg je

posljedica (odziv sustava) rezultat prethodnog djelovanja uzroka (pobude sustava). Kod tih

sustava posljedica se ne moè pojaviti prije uzroka koji je proizvodi. Stoga se takvi sustavi

jo nazivaju neanticipativni (ne mogu predvidjeti budunost).

Sustav ima vremenski nepromjenjive parametre, ako je linearni operator D neovisan o

vremenu t. To zna~i da vremenski pomak ulaznog signala u (t – t0) ima za posljedicu jednak

pomak izlaznog signala y(t – t0):

(1.2)

Svakom projektiranju prethodi analiza, a sam je postupak projektiranja multidiscipli-

naran i u njega su uklju~eni stru~njaci razli~itog profila. Cilj ovog ud`benika nije projekti-

ranje, nego prije svega postupci analize linearnih vremenski nepromjenjivih sustava

automatskog upravljanja i odre|eni elementi sinteze sustava u diskretnom podru~ju.

Pretpostavka je da su ~itatelju ovog ud`benika dostupni suvremeni matemati~ki alati

za ra~unalo, kao to je npr. Matlab/Simulink, stoga naglasak ud`benika nije na izlaganju

sloènosti i strogosti matemati~kog aparata, ve na analiti~kim postupcima i sintezi kako

bi se ~itatelj mogao tim postupcima to prije samostalno koristiti.

1.1. SUSTAVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

Automatsko upravljanje i automatizacija tehni~kih dinami~kih sustava jedna je od bit-

nih sastavnica suvremenog drutva. Koristi koje one donose ogledaju se prije svega u

poveanju sigurnosti rada, kvalitete proizvoda, smanjenju utroka energije, otpada i sli~no.

Definicija je sustava automatskog upravljanja3)

, [1]:

Sustav automatskog upravljanja tehni~ki je dinami~ki sustav koji bez prisutnosti

~ovjeka ostvaruje èljenu funkciju cilja upravljanja s odre|enim objektom

upravljanja (postrojenjem, procesom, pokretnim objektom i sli~no).

Zadaa automati~ara svodi se na odre|ivanje algoritma upravljanja koji e pruàti

potrebne informacije izvrnim mehanizmima, a oni djelovati na objekt upravljanja (proces)

y t t u t t−( )= −( )⎡⎣

⎤⎦0 0

D

2 1. LINEARNI SUSTAVI UPRAVLJANJA

2)engl. Taylor series

3)engl. automatic control systems

u ostvarenju funkcije cilja. Zato je ruski akademik A. N. Kolmogorov definirao automatiku

kao znanost koja se bavi prou~avanjem tehni~kih dinami~kih sustava, a koji su sposobni

prihvatiti, spremiti i obraditi informaciju kako bi je iskoristili u svrhu upravljanja.

Kod sustava automatskog upravljanja razlikuju se dva potpuno razli~ita dijela i to

niskoenergetski dio koji obra|uje informacije i visokoenergetski dio koji generira energiju

nu`nu za upravljanje procesom. Automati~ari se uglavnom bave niskoenergetskim dijelom

sustava, dok je visokoenergetski dio sustava unaprijed zadan. Zato je zadatak automati~ara

voditi ra~una o postojeim ograni~enjima, jer su informacijski i energetski resursi koji

stoje na raspolaganju uvijek ograni~eni.

Teorija automatskog upravljanja ograni~ena je na niskoenergetski dio sustava.

U osnovi se sustav automatskog upravljanja sastoji od dva dijela: sustava upravljanja

i objekta upravljanja. [to se podrazumijeva pod pojmom upravljanje? Stvaranje uvjeta koji

e osigurati èljeno odvijanje procesa naziva se upravljanje, dok se regulacija naziva na~in

rada kod kojeg se odràva konstantnim iznos neke veli~ine (karakteristi~nog parametra

odvijanja procesa). Dakle, pojam upravljanje obuhvaa vei broj zadataka od pojma regu-

lacija. Na taj na~in pod pojmom automatsko upravljanje moè se podrazumijevati ostvari-

vanje ukupnosti djelovanja sustava, a zadae regulacije uklju~ene su u zadae upravljanja.

Pri automatskom upravljanju (regulaciji) djelovanje na izvrni mehanizam (aktuator)

obavlja poseban upravlja~ki ure|aj koji se naziva automatski regulator. Izlazna veli~ina

regulatora naziva se upravlja~ka veli~ina (signal) i naj~ee se ozna~ava uc(t), dok veli~ina

koja karakterizira proces koji se odvija u objektu upravljanja (regulacije) ima naziv regu-

lacijska veli~ina ili izlazni signal i ozna~ava se sa y(t)4)

. Veli~ina kojom izvrni meha-

nizam (aktuator) djeluje na objekt upravljanja (regulacije) naziva se izvrna veli~ina i

ozna~ava se sa u (t), dok se veli~ina koja proizlazi iz algoritma funkcioniranja sustava i

dinami~kih svojstava sustava, jednom rije~ju algoritma upravljanja sustavom, naziva

vodea (postavna, referentna) veli~ina sustava i ozna~ava se sa r (t)5)

.

Ne manje va`ni su poremeaji djelovanja na sustav koji mogu dolaziti iz okoline u

kojoj se sustav nalazi ili su posljedica promjena unutar objekta upravljanja kao na primjer

kvar neke od komponenata sustava. Vanjski poremeaji ozna~avaju se sa f(t)6)

, pri ~emu je

va`no naglasiti da se mjerljivi vanjski poremeaji ozna~avaju sa v(t), a nemjerljivi vanjski

poremeaji sa w (t). Unutarnje stanje objekta upravljanja (regulacije) jednozna~no je

odre|eno veli~inom stanja objekta upravljanja i ozna~ava se sa x(t).

Klasifikaciju sustava automatskog upravljanja mogue je provesti ovisno o strukturi

upravljanja. Naj~ee se sustavi automatskog upravljanja dijele na dva temeljna razreda i

to: sustave upravljanja u otvorenom krugu (otvoreni sustavi7)

), kod kojih se izlazni signal

1.1. SUSTAVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA 3

4)engl. controlled variable

5)engl. reference

6)engl. disturbance

7)engl. open-loop systems

y(t) ne upotrebljava za upravljanje; i sustave upravljanja u zatvorenom krugu (zatvoreni

sustavi8)

), kod kojih se izlazni signal y(t) upotrebljava za upravljanje.

1.1.1. Otvoreni sustavi

Na slici 1.1 prikazana je blokovska shema otvorenog sustava. Otvoreni sustav sastoji

se dakle od regulatora9)

, tj. upravlja~kog ure|aja koji djeluje na izvrni mehanizam uprav-

lja~kom veli~inom uc(t), izvrnog mehanizma koji djeluje na objekt upravljanja izvrnom

veli~inom u (t) i objekta upravljanja ~iji je izlaz regulacijska veli~ina y(t).

Primjenjuje se kada sustav radi u dobro poznatoj sredini i na dobro poznati na~in

bez vanjskih poremeaja, dakle vrijedi f (t) = 0, ili kada nije mogue mjeriti

izlaznu (regulacijsku) veli~inu y(t).

To su uvijek stabilni sustavi kod kojih nema nestabilnog ponaanja u odvijanju proce-

sa. Pojedine operacije odvijaju se po to~no odre|enom vremenskom slijedu, rade po poz-

natom programu, poznata je izlazna (regulacijska) veli~ina y(t) za svaku pojedinu vodeu

veli~inu r (t). Potrebno je pravodobno umjeravanje komponenata sustava kako bi se osigu-

rala to~nost sustava.

U slu~aju da na sustav na slici 1.1 djeluju vanjski poremeaji (i ako se oni mogu mje-

riti i nisu znatni), odnosno ako se èli poboljati dinamika sustava, potrebno je kompenzi-

rati poremeaj.

Na slici 1.2 prikazana je blokovska shema otvorenog sustava s kompenzacijom

poremeaja. Unaprijedna veza dostavlja regulatoru informaciju o poremeaju i na taj se

na~in kompenzira vanjski poremeaj f(t) tako da njegov utjecaj na izlaznu (regulacijsku)

veli~inu y(t) bude minimalan.


Sl. 1.1. Otvoreni sustav

8)engl. closed-loop systems

9)engl. controller

Kada je potrebno poboljati dinamiku otvorenog sustava, tada se moè iskoristiti

korekcija vodee (postavne) veli~ine r (t). Na slici 1.3 prikazana je blokovska shema

otvorenog sustava s korekcijom vodee (postavne) veli~ine. Cilj je korekcije vodee

veli~ine poboljati dinamiku otvorenog sustava, a uloga je korektora vodee veli~ine

poveanje referentnog signala u po~etnom trenutku kako bi regulator brè reagirao i us-

mjerio proces prema èljenom stanju.

1.1.2. Zatvoreni sustavi

Za razliku od otvorenih sustava, kod zatvorenih se sustava izlazna (regulacijska)

veli~ina y(t) mjeri, pretvara u potrebnu fizikalnu veli~inu i dovodi na komparator10)

kako

1.1. SUSTAVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA 5

Sl. 1.2. Otvoreni sustav s kompenzacijom poremeaja

Sl. 1.3. Otvoreni sustav s korekcijom vodee (postavne) veli~ine

10)engl. summing junction

bi se usporedila s vodeom (postavnom) veli~inom r (t). Na slici 1.4 prikazana je blokov-

ska shema zatvorenog sustava.

Povratna veza11)

bitno mijenja dinami~ka svojstva objekta upravljanja. Sustavi koji

imaju povratnu vezu manje su osjetljivi na promjene parametara objekta upravljanja, te se

kaè da su robusniji u odnosu na otvorene sustave upravljanja12)

. Petlja negativne povratne

veze uvodi se stoga to kod otvorenih sustava izlazna veli~ina y (t) nije invarijantna na

vanjsku poremeajnu veli~inu f(t), jer se ista ne kontrolira regulatorom. Na komparatoru se

uspore|uju ostvarena izlazna (regulacijska) veli~ina y (t) i vodea (postavna) veli~ina

r (t)13)

. U slu~aju kada su spomenute veli~ine fizikalno razli~iti signali, nu`no je provesti

njihovu pretvorbu u istu fizikalnu veli~inu kako bi se mogle usporediti na komparatoru.

Signal na izlazu iz komparatora ε(t) naziva se signal razlike14)

:

(1.3)

U slu~aju nejedini~ne povratne veze kada se u povratnoj vezi nalazi neki sklop, kao u

primjeru na slici 1.4 gdje je u povratnoj vezi detektor izlazne veli~ine y(t), tada se razlika:

(1.4)

naziva regulacijsko odstupanje.

εd

def

( ) ( ) ( )t r t y t= −

ε( ) ( ) ( )t r t y t= −def

iz


Sl. 1.4. Zatvoreni sustav

11)engl. feedback

12)promjene parametara zbog starenja, vanjskih utjecaja i sli~no dovode do promjene izlazne veli~ine y(t)

13)vodea je (postavna) veli~ina naime istovjetna referentnom signalu kada ne postoji potreba za pretvorbom u odgo-

varajuu fizikalnu veli~inu u svrhu usporedbe, u suprotnome to se provodi kroz selektor reference

14)engl. error or actuating signal

propusnog pojasa T, a izvan propusnog pojasa nula. Dakle, ako je kru`na frekvencija

dikretiziranja ωs

dvostruko vea od najvee frekvencije ωmaks

koja se pojavljuje u original-

nom signalu u(t), moè se je reproducirati u (t) iz u*(t). U suprotnome mijenja se spektar

originalnog signala u (t), a time i informacijski sadràj.

Va`no je stoga zapamtiti da spektar impulsnog niza ~ini spektar originalnog signala

u (t) priguen za 1/T, te preslikan za ± ωs, ± 2ω

s, … . Ako se signal u

*

(t) propusti kroz ide-

alni filtar s poja~anjem T, tada je izlaz iz takvog filtra originalni signal u (t), a uvjet koji se

mora ispuniti je ωs

> 2ωmaks

, gdje je ωmaks

najvea frekvencija originalnog signala u (t).

Klju~no je pitanje koje se postavlja na temelju slike 1.34 sljedee – koliko je ~esto

potrebno uzimati uzorke kako bi diskretni signal u*(t) sadràvao dovoljan broj informacija

o kontinuiranom signalu i na taj na~in mogao vjerno reproducirati originalni signal u (t)?

Teorem koji daje odgovor na to pitanje naziva se impulsni teorem39)

i glasi:

Ako je kru`na frekvencija diskretizacije ωs

vea od dvostruke najvie frekvencije u

kontinuiranom signalu ωmaks

, diskretizirani signal u*(t) vjerno e prenijeti svojstva kon-

tinuiranog signala u(t).

Spomenuta frekvencija ωs

= 2ωmaks

naziva se jo Nyquistova frekvencija diskretiza-

cije40)

. Primjerice, ako je maksimalna frekvencija govora fg

= 4000 Hz, onda je frekvencija

diskretiziranja fs

= 8000 Hz. To zna~i da je iz fs

= 8000 Hz period uzorkovanja jednak:

(1.58)

Ako telefonski kabel moè prenijeti impulse irine 1 μs, to zna~i da je mogue preni-

jeti 125 govora na na~in da se svaki od govora diskretizira u drugom trenutku. Svake 1 μs

diskretizira se jedan govor41)

, [3].

1.3.5. Z-transformacija

Na temelju (1.52) za k > 0 vrijedi:

(1.59)

U (1.59) uvodi se supstitucija:

(1.60)

Izraz (1.59) sada je:

(1.61)F z U s u kT zk

k

( ) = ( )= ( )⋅−

=

∞

∑*

0

zk skT− −

= e

U s u kTskT

k

∗ −

=

∞

( )= ( )⋅∑ e

0

T

f

= =1

125

s

s

1.3. MATEMATI^KI OPIS LINEARNIH DISKRETNIH SUSTAVA UPRAVLJANJA 33

39)engl. Nyquist-Shannon theorem

40)engl. Nyquist sampling rate

41)primjena na~ela time sharing

Openito, prema (1.61), formula Z-transformacije42)

je:

(1.62)

Navedena formula Z-transformacije sli~na je integralu Laplaceove transformacije u

kontinuiranom podru~ju, kako je definirano (1.23), [16].

Primjer 1.1: Odre|ivanje Z-transformacije

Potrebno je odrediti Z-transformaciju jedini~ne odsko~ne funkcije43)

f (t) = 1.

Rjeenje:

Na temelju formule Z-transformacije (1.62) za jedini~nu odsko~nu funkciju f (t) = f (kT) = 1 vrijedi:

(1.63)

Kako se radi o geometrijskom redu koji konvergira, jer je z–k

> z–k–1

, to vrijedi:

(1.64)

Prema tome, izraz (1.64) predstavlja Z-transformaciju jedini~ne odsko~ne funkcije.


Potrebno je odrediti Z-transformaciju nagibne funkcije44)

f (t) = t.

Rjeenje:

Na temelju formule Z-transformacije (1.62) za nagibnu funkciju f (t) = f (kT) = kT vrijedi:

(1.65)

Sre|ivanjem slijedi:

(1.66)

ili

(1.67)z F z T z z⋅ ( )= + + +⋅⋅⋅( )− −1 2 3

1 2

F z T z z z( )= ⋅ + + +⋅⋅⋅( )− − −1 1 21 2 3

F z f kT z kT z T k z

T z z z

k

k

k

k

k

k

( )= ( )⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =

= + +

−

=

∞

−

=

∞

−

=

∞

− −

∑ ∑ ∑

0 0 0

1 22 3

−−+⋅⋅⋅( )3

F z

z

( )=

−−

1

11

F z f kT z z z z zk

k

k

k

k

k

( )= ( )⋅ = ⋅ = = + + +⋅⋅⋅−

=

∞

−

=

∞

−

=

∞

− −∑ ∑ ∑

0 0 0

1 21 1

F z f kT zk

k

( )= ( )⋅−

=

∞

∑

0


42)engl. Z-transform

43)engl. step function

44)engl. ramp

Oduzimanjem (1.66) od (1.67) slijedi:

(1.68)

Upotrebom (1.63) odnosno (1.64) moè se (1.68) izraziti na sljedei na~in:

(1.69)

Prema tome:

(1.70)

Izraz (1.70) predstavlja Z-transformaciju nagibne funkcije.


Potrebno je odrediti Z-transformaciju eksponencijalne funkcije f (t) = e–at

.

Rjeenje:

Na temelju formule Z-transformacije (1.62) za eksponencijalnu funkciju f (t) = f (kT) = e–akT

vrijedi:

(1.71)

Sre|ivanjem navedenog izraza (1.71) slijedi:

(1.72)

Prema tome:

(1.73)

Izraz (1.73) predstavlja Z-transformaciju eksponencijalne funkcije.


Potrebno je odrediti Z-transformaciju trigonometrijske funkcije sinus45)

f (t) = sin ωt.

Rjeenje:

Na temelju formule Z-transformacije (1.62) za sinusnu funkciju f (t) = f (kT ) = sin ωkT vrijedi:

F z

z

zaT

( )=

−−

e

F z

zaT

( )=

− ⋅( )−

1

1

1

e

F z f kT z z

z z

k

k

akT k

k

aT aT

( )= ( )⋅ = ⋅ =

= + ⋅( ) + ⋅( ) +

−

=

∞

− −

=

∞

− −

∑ ∑

0 0

1 2

1

e

e e ⋅⋅⋅⋅=

= = ⋅⎡⎣

⎤⎦= + + +⋅⋅⋅=

−

− −

−q z q q

q

aTe 1

1

1

1 2

1

F z T

z

z

( )= ⋅

−( )12

z F z T

z

−( ) ( ) = ⋅

−−

1

1

11

z F z F z z F z T z z⋅ ( )− ( ) = −( ) ( )= + + +⋅⋅⋅( )− −1 1

1 2


45)engl. sinusoid

U izvodu (1.74) koristi se Eulerova formula za trigonometrijske funkcije46)

. Na temelju navedenoga vrijedi:

(1.75)

Izraz (1.75) predstavlja Z-transformacija trigonometrijske funkcije sinus.

Matlab

Na pripadajuem CD-u predstavljeni su primjeri odre|ivanja Z-transformacije s pomou Matlab

rutine (oznake su primjera v01 i v02), [4].

1.3.6. Inverzna Z-transformacija

Diskretnu funkciju f*(t) moè se odrediti iz funkcije F(z) s pomou inverzne Z-trans-

formacije47)

f*(t) = Z

–1F(z) primjenom tablica Z-transformacije. Postupak se sastoji u

tome da se funkcija F(z) rastavi na parcijalne razlomke48)

tako da svaki parcijalni razlo-

mak pomnoèn sa z bude prepoznatljiv u tablici Z-transformacije.

Funkciju F(z) potrebno je izraziti na sljedei na~in:

(1.76)

odnosno rastaviti je na parcijalne razlomke:

F z

A z

z z

A z

z z

A z

z z

n

n

( ) =⋅

−

+⋅

−

+⋅⋅⋅+⋅

−

1

1

2

2

F z

z T

z z T

( ) =⋅

− +

sin

cos

ω

ω2

2 1

F z f kT z k T z

z

k

k

k

k

k T k T k

k

( )= ( )⋅ = ⋅

= −( )⋅

−

=

∞

−

=

∞

− −

∑ ∑

0 0

1

2

sin ω

ω ω

j

e ej j

==

∞

− − −

=

∞

=

∞

∑

∑∑

=

= ⋅( ) − ⋅( )

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

=

=

0

1 1

00

1

2

1

2

1

j

e e

j

j jω ωTk

Tk

kk

z z

11

1

1

1

21

1 1

1

− ⋅

−

− ⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

= ⋅

−( )

− ⋅

− − −

− −

e e

j

e e

e

j j

j j

j

ω ω

ω ω

ω

T T

T T

T

z z

z

zz z zT− − − −

− ⋅ +( )1 1 12

ejω


46)Brontein, I. N., Matemati~ki priru~nik, str. 583

47)engl. inverse Z-transform

48)engl. partial-fraction expansion

1.74

(1.77)

koji su prepoznatljivi u tablici Z-transformacije:

U tablici 1.4 prikazane su L-transformacija i Z-transformacija za odre|ene karakte-

risti~ne funkcije.

Primjer 1.5: Odre|ivanje inverzne Z-transformacije

Zadana je funkcija prijenosa F(z):

(1.78)

Potrebno je odrediti diskretnu funkciju f*(t).

F z

z

z z

( )=

−( ) −( )

0 5

0 5 0 7

,

, ,

F z

z

A

z z

A

z z

A

z z

n

n

( )

=

−

+

−

+⋅⋅⋅+

−

1

1

2

2


Tablica 1.4. L-transformacija i Z-transformacija karakteristi~nih funkcija

1.4. PITANJA ZA PONAVLJANJE GRADIVA I ZADACI ZA VJE@BU 45

Uporabom tablice Z-transformacije slijedi:

(1.118)

odnosno za periodu diskretizacije T = 0,5 s slijedi:

(1.119)

Uvrtavanjem (1.120) u (1.117) slijedi:

(1.120)

Prema tome, Z-transformacija funkcije prijenosa G (s) u kaskadi s elementom za zadràvanje signala nul-

tog ima oblik:

(1.121)

Matlab

Na pripadajuem CD-u prikazani su primjeri odre|ivanja Z-transformacije u kaskadi i bez

kaskade, te inverzne Z-transformacije s pomou Matlab rutine (oznake su primjera v05, v06, v07 i v08), [4].

1.4. PITANJA ZA PONAVLJANJE GRADIVA I ZADACI ZA VJE@BU

Pitanja

1. [to se podrazumijeva pod tehni~kim dinami~kim sustavom u ovom ud`beniku?

2. Koje su temeljne karakteristike sustava digitalnog upravljanja koje obra|uje ovaj ud`benik?

3. Kako glasi definicija sustava automatskog upravljanja i koje su njegove karakteristike?

4. Koja je razlika izme|u upravljanja i regulacije?

5. Klasificirajte sustave automatskog upravljanja ovisno o strukturi upravljanja?

6. Nacrtajte blokovsku shemu otvorenog sustava upravljanja i objasnite pojedine veli~ine?

7. Kada se primjenjuju otvoreni sustavi automatskog upravljanja?

8. Nacrtajte blokovsku shemu otvorenog sustava s kompenzacijom poremeaja?

9. Nacrtajte blokovsku shemu otvorenog sustava s korekcijom vodee veli~ine?

10. Nacrtajte blokovsku shemu zatvorenog sustava upravljanja i objasnite pojedine veli~ine?

11. Objasnite to je to automatski regulator i od ~ega se on sastoji?

12. Koje su prednosti odnosno nedostaci otvorenog i zatvorenog sustava?

13. Nacrtajte blokovsku shemu kombiniranog sustava upravljanja s kompenzacijom poremeaja?

G z

z

z

( )=−

−

0 213

0 607

,

,

G z

z

z

G z

z

z

z z

z z

( ) =−

⋅ ( )=−

⋅−( )

−( ) −( )

1 1 0 213

1 0 6071

,

,

G z

z z

z z1

20 213

1 0 607

( )=−

−( ) −( )

,

,

G z

s s

z

z

z

zT1

2 1

1

2

1

( ) = −

+ =

−

−

−−

Z Z

e


14. Nacrtajte blokovsku shemu kombiniranog sustava upravljanja s kompenzacijom poremeaja i korek-

cijom vodee veli~ine?

15. Objasnite algoritme funkcioniranja sustava automatskog upravljanja (reìme rada)?

16. Koje su glavne karakteristike kontinuiranih sustava (princip kontinuirane modulacije)?

17. [to su to amplitudno-fazne frekvencijske karakteristike?

18. Koje su glavne karakteristike diskretnih sustava (princip diskretne modulacije)?

19. [to je to impulsno-kodna modulacija i objasnite pogreku kvantizacije signala?

20. Nacrtajte blokovsku shemu digitalnog sustava i objasnite pojedine veli~ine?

21. Od ~ega se sastoji digitalni automatski regulator i koja je uloga digitalnog ra~unala?

22. [to su to analogno-digitalni i digitalno-analogni pretvornici?

23. [to je to periodi~ka funkcija diskretizacije?

24. Objasnite princip rada impulsnog elementa?

25. Objasnite princip rada elementa za zadràvanje signala?

26. Nacrtajte amplitudno-faznu karakteristiku elementa za zadràvanje signala nultog reda?

27. Koje promjene u spektru originalnog signala donosi impulsno-kodna modulacija?

28. Objasnite princip reprodukcije originalnog signala?

29. Objasnite va`nost impulsnog teorema odnosno teorema o uzorkovanju signala?

30. Napiite jednad`bu Z-transformacije i ~emu ona sluì?

31. Kako se odre|uje inverzna Z-transformacija i ~emu sluè tablice Z-transformacije?

32. êmu sluì modificirana Zμ-transformacija?

Zadaci za vje`bu

1. Odredite Z-transformaciju sljedeih funkcija:

a) c)

b) d)

2. Odredite inverznu Z-transformaciju sljedeih funkcija:

a)

b)

c)

3. Odredite Z-transformaciju sljedeih funkcija prijenosa s elementom za zadràvanje signala nultog reda

u kaskadi. Period diskretizacije iznosi T = 0,01; 0,25; 0,5; 0,8; 1 s.

a) G s

s

( )=

+

8

4

F z

z z z

z z z

( )=+( ) +( )

−( ) −( )

1 0 2

0 5 0 6

,

, ,

F z

z z z

z z z

( ) =+( ) +( )

−( ) −( ) −( )

0 2 0 4

0 1 0 5 0 9

, ,

, , ,

F z

z z z

z z z

( )=+( ) +( )

−( ) −( ) −( )

3 5

0 4 0 6 0 8, , ,

f t t t( )= ⋅ +( )sin ω ϕf t tat( )=

−2e

f t t( )= cos ωf t eat( )=

−

b)

c)

d)

e)

Matlab

Sve ra~unski dobivene rezultate provjeriti s pomou Matlab rutine koje se nalaze na pripadajuem CD-u.

G s

s s s s

( )=

+( ) + +( )

10

2 12 612

G s

s s s

( )=

+( ) + +( )

27

2 4 132

G s

s s

s s s

( )=+( ) +( )

+( ) +( )

1 2

3 4

G s

s

s s

( )=+

+( ) +( )

4

2 5

1.4. PITANJA ZA PONAVLJANJE GRADIVA I ZADACI ZA VJE@BU 47

2. ANALIZA LINEARNIH DISKRETNIH

SUSTAVA UPRAVLJANJA

Openito se pri projektiranju sustava automatskog upravljanja analiziraju sljedei

zahtjevi: osiguranje stabilnosti sustava, to~nosti sustava i kvaliteta prijelaznog procesa.

Osim tih zahtjeva, analiziraju se i zahtjevi vezani uz upravljivost i osmotrivost sustava,

robusnost i osjetljivost na poremeaje te druga svojstva sustava.

Kasnih tridesetih godina prolog stoljea u teoriji automatskog upravljanja postojala

su dva razli~ita dobro razvijena na~ina analize sustava automatskog upravljanja: a) analiza

u vremenskom podru~ju50)

– koja se temeljila na rjeavanju diferencijalnih jednad`bi i nji-

hovih karakteristi~nih algebarskih jednad`bi, a budui da je imala izvorite u klasi~noj

mehanici, naj~ee se koristila u strojarstvu i brodogradnji, te b) analiza u frekvencijskom

podru~ju51)

– koja se temeljila na frekvencijskim karakteristikama sustava odnosno funkci-

ji prijenosa i primjenjivala u analizi i projektiranju poja~ala u telefoniji (Nyquistov i

Bodeov dijagram), [13].

Pojava frekvencijskih metoda u analizi sustava automatskog upravljanja pruìla je

odre|ene prednosti jer je omoguila analizu sustava preko njegovih sastavnih elemenata

odnosno elementarnih dinami~kih komponenata. Na taj na~in uz pomo elementarnih

dinami~kih komponenata prikaz funkcije prijenosa sustava odgovarao je tehni~koj realiza-

ciji funkcionalnih cjelina sustava. Uskoro su se frekvencijske metode proirile i na ostala

podru~ja potiskujui vremenske metode koje su bile ograni~ene na jednostavnije sustave.

Tijekom Drugoga svjetskog rata pojavila se potreba za visokokvalitetnim sustavima uprav-

ljanja to je pogodovalo jo iroj primjeni frekvencijskih metoda u analizi sustava

automatskog upravljanja. Ta teorija danas je poznata kao klasi~na teorija automatskog

50)engl. time domain

51)engl. frequency domain

50 2. ANALIZA LINEARNIH DISKRETNIH SUSTAVA UPRAVLJANJA

upravljanja. Po~etkom pedesetih godina prolog stoljea frekvencijske metode upotpu-

njene su metodom krivulje mjesta korijena52)

.

Krajem ezdesetih godina prolog stoljea vremenske metode ponovno su postale

interesantne. Dva su razloga tomu, pojava digitalnih ra~unala i sasvim novih tehni~kih

problema kao to je bilo vo|enje i upravljanje satelitima. Klasi~na teorija automatskog

upravljanja53)

(jedan ulaz jedan izlaz54)

) pokazala se neu~inkovitom jer nije davala infor-

macije o unutarnjem stanju (stanjima) sustava. Stoga je ezdesetih godina prolog stoljea

razvijena nova teorija automatskog upravljanja55)

(vie ulaza vie izlaza56)

) koja se temelji-

la na konceptu stanja sustava57)

.

[to se moè zaklju~iti? Ovisno o pojedinom konkretnom zahtjevu odre|uje se na~in

analize sustava automatskog upravljanja. Kada se radi o jednostavnijim sustavima s jednim

ulazom i jednim izlazom, upotrebljava se analiza u frekvencijskom podru~ju gdje zna~ajno

odrediti funkciju prijenosa sustava, a kada se radi o sloènijim sustavima s vie ulaza i vie

izlaza, upotrebljava se analiza s pomou varijabli stanja sustava.

2.1. FUNKCIJA PRIJENOSA DISKRETNIH SUSTAVA

Neka je na temelju relacije (1.51) iz prethodnog poglavlja ulazni diskretni signal u*(t)

jednak:

(2.1)

Neka je funkcija prijenosa sustava jednaka G (s). Impulsni odziv58)

takvog sustava u

trenucima diskretiziranja signala T odre|en je izrazom (2.2):

(2.2)

Isto tako, na temelju (1.51) izlazni diskretni signal y*(t) jednak je:

(2.3)y t y kT t kT

k

* ( ) = ( ) −( )

=

∞

∑

0

y t u nT g t nT

n

( )= ( ) −( )

=

∞

∑

0

u t u nT t nT

n

* ( )= ( ) −( )

=

∞

∑

0

52)engl. root locus

53)engl. classical approach

54)SISO – single-input-single-output

55)engl. modern approach

56)MIMO – multiple-input-multiple-output

57)Koncept stanja sustava osnova je oko koje je izra|ena suvremena teorija automatskog upravljanja sustavima. Poz-

navanje stanja sustava u nekom po~etnom trenutku t0

kao i poznavanje pobude koja djeluje na sustav u tom trenutku

omoguuje odre|ivanje stanja sustava u nekom drugom trenutku t1, gdje je t

1> t

0. U bilo kojem trenutku stanje sus-

tava mogue je opisati iznosom skupa varijabli xi, koje se zovu varijable stanja.

58)engl. impulse response – vie o tome u to~ki 2.4 ovog ud`benika

2.1. FUNKCIJA PRIJENOSA DISKRETNIH SUSTAVA 51

Uvrtavanjem (2.2) u (2.3) za t = kT slijedi:

(2.4)

odnosno prema (1.52) vrijedi:

(2.5)

Nadalje, moè se pisati na temelju supstitucije m + n = k kako slijedi:

(2.6)

Na temelju (2.6) vrijedi:

(2.7)

gdje je

(2.8)

funkcija prijenosa diskretnog sustava.

Blokovska shema funkcije prijenosa diskretnog sustava prikazana je na slici 2.1, a

kontinuiranog sustava na slici 2.2.

Na temelju slika 2.1 i 2.2 moè se zaklju~iti da se analogno definiciji funkcije pri-

jenosna kontinuiranog sustava definira funkcija prijenosa diskretnog sustava.

G z

Y z

U z

( )=

( )

( )

Y z G z U z( )= ( ) ( )

Y z u nT g mT z

g mT z

nm n

m n

m

m

G z

( ) = ( ) ( ) =

= ( )

=

∞

+ =

∞

− +( )

−

=

∞

( )

∑∑

∑

00

0

⋅ ( ) −

=

∞

( )

∑ u nT zn

n

U z

0

Y z u nT g k n T z

nk

k( )= ( ) −( )[ ]⋅

=

∞

=

∞

−∑∑

00

y t u nT g kT nT t kT

nk

* ( )= ( ) −( )

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

−( )

=

∞

=

∞

∑∑

00

Sl. 2.1. Blokovska shema diskretnog sustava

Sl. 2.2. Blokovska shema kontinuiranog sustava


2.1.1. Fiktivni impulsni element

Kako je na slici 2.3 prikazano, signal y(t) na izlazu iz linearnoga diskretnog sustava je

kontinuirana funkcija po vremenu.

Izlazni signal Y (s) takvog sustava u s-podru~ju bio bi:

(2.9)

gdje je U*(s) ulazni diskretni signal.

Kako je uz sliku 2.3 naglaeno, da bi se na izlazu iz sustava dobio diskretni signal

Y*(s) potrebno je pretpostaviti fiktivni impulsni element

59). To je prikazano na slici 2.4 na

izlazu iz sustava.

Uzimajui u obzir navedeno mogu se odrediti funkcije prijenosa otvorenoga i zatvo-

renoga diskretnog sustava automatskog upravljanja. Potrebno je naglasiti da za razliku od

funkcije prijenosa linearnih kontinuiranih sustava koju je uvijek mogue odrediti, kod line-

arnih diskretnih sustava odre|ivanje funkcije prijenosa uvjetovano je poloàjem impulsnog

elementa. Stoga se blokovske sheme razlikuju po poloàju impulsnog elementa u krugu

sustava, [5].

2.1.2. Funkcija prijenosa otvorenoga diskretnog sustava

Pri odre|ivanju funkcije prijenosa otvorenoga diskretnog sustava susreu se ~etiri

osnovna slu~aja. Prvi slu~aj prikazan je na slici 2.5 – impulsni se element nalazi na ulazu u

kontinuirani dio sustava.

Na temelju slike 2.5 i relacije (2.9) proizlazi:

(2.10)Y s G s U s( )= ( )⋅ ( )*

Y s G s U s( )= ( )⋅*( )

Sl. 2.3. Blokovska shema linearnoga diskretnog sustava

Sl. 2.4. Blokovska shema linearnoga diskretnog sustava s fiktivnim impulsnim elementom

59)engl. phantom sampler


Kako je:

(2.11)

(2.12)

slijedi:

(2.13)

odnosno:

(2.14)

Prema tome, kada se impulsni element nalazi na ulazu u kontinuirani dio sustava, a

fiktivni impulsni element na izlazu iz sustava, rezultat je potpuno identi~an relacijama

(2.7) i (2.8).

Drugi slu~aj prikazan je na slici 2.6 – serijska veza dvaju linearnih kontinuiranih sus-

tava s impulsnim elementom na ulazu u kontinuirani dio sustava.


(2.15)

slijedi:

(2.16)

odnosno:

(2.17)

Stoga vrijedi:

Y z G G z U z( )= ( )⋅ ( )1 2

Y z G s G s U z

G G z G s G s

( )= ( )⋅ ( ) ⋅ ( )

( )= ( )⋅ ( )

⎫

⎬

⎪

⎭⎪

Z

Z

1 2

1 2 1 2

Y s G s G s U s( )= ( )⋅ ( )⋅ ( )1 2

*

G z

Y z

U z

( )=

( )

( )

Y z G z U z( )= ( )⋅ ( )

Z ZG s U s G s U z G z U z( )⋅ = ( ) ⋅ ( )= ⋅*( ) ( ) ( )

Z Y s Y z( ) = ( )

Sl. 2.5. Impulsni element na ulazu u kontinuirani dio sustava

Sl. 2.6. Serijska veza s impulsnim elementom na ulazu u kontinuirani dio sustava


(2.18)

Potrebno je razlikovati Z-transformaciju umnoka funkcija od umnoka Z-transforma-

cija kako je opisano izrazom (2.19):

(2.19)

Trei slu~aj prikazan je na slici 2.7 – serijska veza dvaju linearnih kontinuiranih sus-

tava s impulsnim elementima na ulazima u kontinuirani dio sustava.


(2.20)

(2.21)

slijedi:

(2.22)

odnosno:

(2.23)

Stoga vrijedi:

(2.24)

Funkciju prijenosa G (z) mogue je odrediti jer se na ulazu u svaku pojedinu funkciju

prijenosa G1(s) i G

2(s) nalazi impulsni element. Funkcija prijenosa G(z) u tom je slu~aju

umnoàk funkcija prijenosa pojedinih diskretnih elemenata sustava G1(s) i G

2(s).

êtvrti slu~aj prikazan je na slici 2.8 – serijska veza dvaju linearnih kontinuiranih

sustava s impulsnim elementom izme|u njih.


(2.25)Y s G s U s( )= ( )⋅ ( )2 1

*

G z G z G z

Y z

U z

( ) = ( )⋅ ( )=

( )

( )1 2

Y z G z G z U z( )= ( )⋅ ( )⋅ ( )1 2

Y z G s U z

U z G s U z

( )= ( ) ⋅ ( )

( )= ( ) ⋅ ( )

⎫

⎬

⎪

⎭⎪

Z

Z

2 1

1 1

U s G s U s1 1

( ) = ( )⋅ ( )*

Y s G s U s( )= ( )⋅ ( )2 1

*

G G z G z G z1 2 1 2

( )≠ ( ) ( )

G z G G z

Y z

U z

( ) = ( )=

( )

( )1 2

Sl. 2.7. Serijska veza s impulsnim elementima na ulazima u kontinuirani dio sustava


(2.26)

slijedi:

(2.27)

odnosno:

(2.28)

Stoga vrijedi:

(2.29)

Funkciju prijenosa G(z) nije mogue odrediti jer nije mogue izdvojiti ulazni signal

U (z) iz funkcije prijenosa G1(z), stoga je potrebno razlikovati umnoàk ulaznog signala i

funkcije prijenosa od njihova spoja, kako je opisano izrazom (2.30):

(2.30)

2.1.3. Funkcija prijenosa zatvorenoga diskretnog sustava

Kao i kod otvorenih sustava, razlikuju se ~etiri osnovna slu~aja ovisno o poloàju

impulsnog elementa u krugu sustava. Prvi slu~aj prikazan je na slici 2.9 – sustav s impul-

snim elementom iza komparatora.

UG z U z G z( )≠ ( )⋅ ( )

G z

Y z

UG z2

1

( )=

( )

( )

Y z G z UG z( )= ( )⋅ ( )2 1

Y z G s U z

U z G s U s UG z

( )= ( ) ⋅ ( )

( )= ( )⋅ ( ) = ( )

Z

Z

2 1

1 1 1

U s G s U s1 1

( )= ( )⋅ ( )

Sl. 2.8. Impulsni element izme|u serijske veze

Sl. 2.9. Impulsni element iza komparatora


Prema relaciji (2.75) slijedi tablica 2.1 preslikavanja iz s-ravnine u z-ravninu. Grafi~ki

prikaz preslikavanja dan je na slici 2.17.

Definicija stabilnosti u z-ravnini prema slici 2.17 glasi:

Ako su svi polovi funkcije prijenosa zatvorenoga linearnog diskretnog sustava

unutar kruga jedini~ne kru`nice, sustav je stabilan. Ako polovi leè izvan

jedini~ne kru`nice ili na njoj sustav je nestabilan. Kada jedan pol leì na

jedini~noj kru`nici, tada takav sustav smatramo nestabilnim s tehni~kog

stajalita jer mala promjena u konstantama sustava moè dovesti do pomaka

pola izvan kruga, to uzrokuje nestabilnost.

2.2.2. Karakteristike odziva u z-ravnini

Polazei dakle od slike 2.17, sustav je stabilan ako se polovi karakteristi~ne jednad`be

funkcije prijenosa zatvorenog sustava G (z) nalaze unutar kru`nice 0 ≤ z ≤ 1. Nadalje, sus-

tav je nestabilan ako je bilo koji pol izvan jedini~ne kru`nice i sustav je marginalno stabi-

lan ako se pol nalazi na kru`nici, a ostali polovi unutar kru`nice.

Isto tako va`no je naglasiti, kako je prikazano na slici 2.18, da se kod aperiodskog

odziva polovi nalaze na realnoj osi jedini~ne kru`nice, u slu~aju oscilatornog odziva polovi

se nalaze unutar kru`nice 0 ≤ ⎪z⎟ < 1 i u slu~aju konstantnih sekvenca polovi se nalaze na

jedini~noj kru`nici ⎪z⎟ = 1.

Opi prikaz poloàja polova u odnosu na odziv sustava dan je na slici 2.18.

Sl. 2.18. Poloàj polova i odziv sustava


Na temelju navedenih vrijednosti prikazana je na slici 2.48 krivulja mjesta korijena kao i jedini~na

kru`nica stabilnosti.

Na temelju slike 2.48 vrijednost kriti~nog pola iznosi.

(2.256)

Karakteristi~na jednad`ba s kriti~nim polom iznosi:

(2.257)

odnosno vrijedi:

(2.258)

Prema (2.258) grani~ni koeficijent poja~anja Kgr

iznosi:

(2.259)

Sustav je stabilan za K < Kgr

.

Primjer 2.10: Odre|ivanja prijelazne karakteristike sustava metodom krivulje mjesta

korijena

Zadan je sustav prikazan na slici 2.47. Potrebno je odrediti koeficijent poja~anja K tako da zadani

sustav ima koeficijent priguenja ξ = 0,7.

Rjeenje:

Na temelju (2.225) za koeficijent priguenja ξ = 0,7 vrijedi:

(2.260)

Na temelju (2.226) i (2.260) slijedi:

(2.261)

Za koeficijent priguenja ξ = 0,7 vrijedi tablica 2.7.

Na temelju navedenih vrijednosti prikazana je na slici 2.49 odgovarajua karakteristika. Sjecite

karakteristike s krivuljom mjesta korijena odre|uje dominantni pol.

z = +

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

− ⋅ ⋅

e js

s s

0 98 20 0

0

2 2

,

cos sin

ω

ωω

ω

ω

ω

ξ

ξ1

0 7

1 0 7

0 982 2

−

=

−

=,

,

,

Kgr

= 0 5,

A z K K( )= ⋅ − + ⋅ − =1 5 0 756 0 875 0 435 0, , ( , , )j

A z z z K K

K

( )= + −( )+ + =

= +( ) + +( )⋅ −( )

2

2

1 5 0 5

0 5 0 875 0 5 0 875 1 5

, ,

, , , , ,j j ++ + =K 0 5 0,

P j0 5 0 875, ,+( )

Tablica 2.7. Vrijednosti za koeficijent priguenja ξ = 0,7

2.4. PRIJELAZNA KARAKTERISTIKA 103

Karakteristi~na jednad`ba prema (2.244) iznosi:

Uvo|enjem vrijednosti dominantnog pola P(0,719 + j0,215) u karakteristi~nu jednad`bu A(z) slijedi:

(2.262)

Prema tome vrijedi:

(2.263)

Prema (2.263) koeficijent poja~anja K iznosi:

(2.264)

Apsolutna vrijednost dominantnog pola iznosi:

(2.265)

Sustav je stabilan. Prijelazna karakteristika prikazana je na slici 2.50.

Matlab

Na pripadajuem CD-u predstavljeni su primjeri odre|ivanja stabilnosti sustava i prijelazne karak-

teristike sustava na temelju krivulje mjesta korijena s pomou Matlab rutine (oznake su primjera v16, v17

i v18), [4].

z = + = <0 719 0 215 0 75 12 2

, , ,

K = 0 06,

A z K K( )= − + − =1 719 0 1 0 215 0 0135 0, , , ,j j

A z K K( )= +( ) + +( ) −( )+ + =0 719 0 215 0 719 0 215 1 5 0 5 02

, , , , , ,j j

A z z z K K( )= + −( )+ + =2

1 5 0 5 0, ,

Sl. 2.49. Odre|ivanje dominantnog pola P


2.5. DISKRETNI SUSTAVI U PROSTORU STANJA

[ezdesetih godina prolog stoljea razvijena je nova teorija automatskog upravljanja

koja se temeljila na konceptu stanja sustava110)

. U bilo kojem trenutku stanje sustava

mogue je opisati skupom varijabli xi, koje se nazivaju varijable stanja

111)sustava. Ako

imaju fizikalni smisao i nisu apstraktne veli~ine, uvijek su povezane uz skladita energije

sustava112)

. Tako na primjer u termi~kim sustavima varijabla stanja moè biti temperatura,

u mehani~kim sustavima to moè biti brzina, a u elektri~nim sustavima to moè biti struja.

U tablici 2.8 prikazani su primjeri skladina energije za odre|ene elemente sustava i nji-

hove varijable, [9].

Fizikalna varijabla pojedinog elementa (skladite energije) moè biti varijabla stanja

sustava, pri ~emu je potrebno voditi ra~una da se samo linearno nezavisne113)

varijable

mogu izabrati kao varijable stanja. Broj varijabli stanja potrebnih za opis dinamike sustava

jednak je broju energetskih skladita sustava, a taj je broj jednak redu sustava114)

.

Energetski koncept ima veliku va`nost u inènjerskoj praksi jer je dinamika veine

tehni~kih sustava vezana uz skladita energije u sustavu. Dinami~ke promjene kod takvih

Sl. 2.50. Prijelazna karakteristika sustava za ξ = 0,7

110)engl. state-space representation

111)engl. state variables

112)engl. energy-storage elements

113)engl. lineary independent

114)broju integratora u sustavu

2.5. DISKRETNI SUSTAVI U PROSTORU STANJA 105

sustava uzrokovane su preraspodjelom energije unutar sustava, a energija se moè trans-

formirati iz jednog u drugi oblik ovisno o strukturi sustava. Upravljanje se zato moè pro-

matrati kao energetsko-preraspodjeljujui proces u kojem se energija prebacuje iz jednog u

drugi oblik po odre|enom zakonu. Prijelaz energije ne doga|a se trenuta~no i odvija se s

kona~nom koli~inom energije, a to zna~i da je potrebno vrijeme. Za razliku od veine

tehni~kih sustava, postoje sustavi (bioloki, ekonomski, ekoloki, socioloki i sli~ni) kod

kojih nije mogue odrediti varijable stanja jer skladita energije nisu tako lako uo~ljiva,

iako se podvrgavaju zakonu o ravnoteì energije, [2].

Izbor varijabli stanja nije jednozna~an i dio je inènjerskog umijea, stoga ne postoji

neki opi recept za sve sustave. Kona~an izbor ovisi kako o iskustvu inènjera tako i o

svrsi projekta. Neki sustavi po svojoj strukturi olakavaju izbor varijabli stanja, posebno

onda kada se primarna energetska skladita pridruèna elementima sustava mogu fizikalno

izdvojiti. U inènjerskoj praksi naj~ee se javljaju energetski sustavi koji se podvrgavaju

poznatim fizikalnim zakonima, zato je prikladno koristiti se varijablama koje imaju

fizikalni smisao i ~ije se veli~ine, ako je to mogue, mogu mjeriti.

Prednosti analize diskretnih sustava u prostoru stanja sastoje se u tome to matema-

ti~ki model po varijablama stanja daje prikladniju i kompaktniju formu opisa dinamike

sustava uz primjenu postupaka linearne algebre u matemati~kom modeliranju sustava i

rjeavanju jednad`bi dinamike sustava. Takav matemati~ki model po varijablama stanja

idealan je za digitalno ra~unalo, to je iznimno va`no kod ra~unalom vo|enih sustava

automatskog upravljanja te analize sloènijih linearnih vremenski nepromjenjivih sustava.

2.5.1. Matemati~ki opis sustava u prostoru stanja

Sustav koji se moè opisati kona~nim brojem varijabli stanja naziva se kona~no di-

menzijski sustav ili sustav s koncentriranim parametrima. Izraz koncentrirani parametri

Tablica 2.8. Skladita energije

PRILOZI

P.1. PRIMJER – ODRE\IVANJE PARAMETRA DISKRETNOG

REGULATORA STANJA U POVRATNOJ VEZI I POTPUNOG

REGULATORA

Zadan je objekt regulacije sljedeim matricama prema izrazu (P.1):

(P.1)

Potrebno je odrediti parametre regulatora stanja tako da se postigne prijelazna karak-

teristika bez nadvienja, s najbrìm moguim vremenom smirivanja i najmanjom

moguom stati~kom pogrekom, i parametre potpunog regulatora tako da isti bude pet puta

brì od regulatora stanja.

Rjeenje

Projektiranje regulatora stanja zahtijeva potpuno upravljiv sustav, a projektiranje

observera stanja potpuno osmotriv sustav. Sustav e biti potpuno upravljiv ako je rang

matrice upravljivosti Bu

jednak n-tom redu sustava. Prema izrazu (2.356) matrica

upravljivosti iznosi:

A B

C D

=

−

−

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

=

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

=⎡⎣

⎤⎦ =[ ]

201 0 0

4 40 0

0 22 850

0

0

1

0 0 1 0

(P.2)

Rang matrice upravljivosti, prema izrazu (P.2), iznosi tri to je jednako redu sustava to

zna~i da je sustav potpuno upravljiv. Sustav e biti potpuno osmotriv ako je rang matrice

osmotrivosti CM

jednak n-tom redu sustava. Prema izrazu (2.366) matrica osmotrivosti

iznosi:

(P.3)

Rang matrice osmotrivosti, prema izrazu (P.3), iznosi tri to je jednako redu sustava

to zna~i da je sustav potpuno osmotriv.

Period diskretizacije odre|uje se eksperimentalno, a polazite za njegovo odre|ivanje

su Shannonov teorem i prakti~na iskustva144)

. Prema Shannonovom teoremu period

diskretizacije dvostruko je manje od najmanje vremenske konstante procesa, dok je

iskustveno period diskretizacije dvadeset puta manji od dominantne vremenske konstante

procesa. Vremenske konstante procesa odre|uju se na temelju funkcije prijenosa sustava, a

uz pomo Matlab rutine ss2tf na osnovi matrica (P.1) funkcija prijenosa iznosi, [7]:

(P.4)

Odnosno izraèno uz pomo polova sustava prijenosna funkcija je jednaka:

(P.5)

Na temelju (P.5) vremenske konstante procesa iznose:

(P.6)

U tablici P.1 prikazane su vrijednosti perioda diskretizacije i funkcije prijenosa u

z-podru~ju, a koje su odre|ene na temelju Matlab rutine c2d.

T

T

T

1

3

2

3

3

1

850

1 176 10

1

201

4 975 10

1

40

0 025

= = ⋅

= = ⋅

= =

−

−

,

,

,

s

s

s

G s

s s s

( ) =

+( ) +( ) +( )

88

850 201 40

G s

s s s

( ) =

+ + +

88

1091 212890 68340003 2

C C C A C AM

T T T T T= ( )

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥= −

−

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

2

0 0 88

0 22 19580

1 850 722500

B B AB A Bu

2=⎡

⎣⎤⎦=

−

−

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

0 201 40401

0 4 964

1 0 88

178 3. PRILOZI

144)laboratorijske vje`be

Na temelju diskretne funkcije prijenosa uz pomo Matlab rutine tf2ss odre|uje se

diskretni model u prostoru stanja kako slijedi:

(P.7)

Diskretni simulacijski model prikazan je na slici P.1. Potrebno je naglasiti da matrice

odre|ene izrazom (P.7) imaju kanoni~ku formu upravljivosti.

Diskretni simulacijski model izraèn uz pomo faznih varijabli kada matrica stanja

sustava ima pratei oblik odre|en je izrazom (P.8):

p q

c

1 1

1

2 0746 1 3374 0 2557

1 0 0

0 1 0

0

0

1

2

=

−⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

=

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

=

, , ,

,, , ,0727 10 6 0081 10 1 0499 108 8 8

⋅ ⋅ ⋅⎡⎣

⎤⎦

− − −

P.1. PRIMJER – ODRE\IVANJE PARAMETRA DISKRETNOG REGULATORA … 179

Tablica P.1. Vrijednosti perioda diskretizacije i funkcije prijenosa

Sl. P.1. Diskretni simulacijski model

(P.8)

Projektiranje regulatora po varijablama stanja pogodno je kada se èljena dinamika

zatvorenog kruga èli ostvariti bez poveanja reda sustava. Kako je sustav potpuno

upravljiv i osmotriv, blokovska struktura sustava s diskretnim regulatorom stanja odre|ena

je slikom 2.78 (to~ka 2.6.3). Matricu regulatora L mogue je odrediti ako je sustav zadan

faznim varijablama, a za odre|ivanje matrice regulatora L koristi se Ackermannova formu-

la. Matlab rutina acker, sukladno izrazima (2.550) i (2.551), zahtjeva unoenje matrica

stanja sustava P, ulazne matrice Q i tri pola od kojih je jedan proizvoljno odre|en, a druga

dva su polovi prijenosne funkcije koja ima èljenu dinamiku sustava, [7]. @eljena dinamika

sustava zadaje se uz pomo prirodne frekvencije nepriguenih oscilacija ωn

i relativnog

koeficijenta priguenja ξ. Budui da je zadani zahtjev da prijelazna karakteristika sustava

bude monotona bez nadvienja, a paralelno s time da ima minimalno vrijeme smirivanja,

relativni koeficijent priguenja jednak je jedinici. Minimalno vrijeme smirivanja Ts

teoret-

ski moè biti dva puta vee od perioda diskretizacije T, ali takvo malo vrijeme smirivanja

ne moè se zahtijevati od realnih sustava jer takva regulacija izaziva neizdrìva energetska

naprezanja u samom reguliranom procesu. Kod realnih sustava smatra se dobrom dinami-

kom ako se vrijeme smirivanja postigne istim kao to je i dominantna dinamika samog

objekta regulacije. U ovom slu~aju vrijedi:

(P.9)

Na temelju relacije (2.185) frekvencija nepriguenih oscilacija iznosi:

(P.10)

Na temelju Matlab rutine ord2 koja zahtjeva unoenje vrijednosti prirodne frekvencije

nepriguenih oscilacija ωn

i relativnog koeficijent priguenja ξ, odreuje se kontinuirana

funkcija prijenosa drugog reda koja zadovoljava èljenu dinamiku sustava:

(P.11)

Na temelju Matlab rutine c2d diskretna funkcija prijenosa iznosi:

(P.12)G z

z

zP

( )=⋅ +( )

−( )

−6 845 10 0 8752

0 8187

7

2

, ,

,

G s

s sP

( )=

+ +

1

320 256002

ω

ξn

s

=

⋅

=

⋅

=4 4

1 0 025

160

T ,

T Ts

s= =3

0 025,

P Q

C

p p

p

=

−

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

=

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

=

0 1 0

0 0 1

0 2557 1 3374 2 0746

0

0

1

1

, , ,

,, , ,0499 10 6 0081 10 2 0727 108 8 8

⋅ ⋅ ⋅⎡⎣

⎤⎦

− − −

180 3. PRILOZI

Polovi karakteristi~ne jednad`be iznose:

(P.13)

Neka je trei pol jednak:

(P.14)

Uz pomo Matlab rutine acker vektor povratne veze regulacije iznosi:

(P.15)

Funkcija prijenosa koja uklju~uje regulator stanja iznosi:

(P.16)

Na slici P.2 prikazana je usporedba odziva funkcija prijenosa.

Prema slici P.2 odziv èljene funkcije prijenosa i dobivene funkcije prijenosa sa regu-

latorom stanja u povratnoj vezi imaju znatnu stati~ku pogreku u odnosu na odziv osnovne

G z

z z

z z

( )=⋅ +( ) +( )

−( ) +( )

−2 0727 10 2 712 0 1868

0 8187 0 456

8

2

, , ,

, ,

LZ

= −⎡⎣

⎤⎦0 5614 1 4138 0 8932, , ,

zp

3

=−0 456,

zp

1,2

=−0 8187,


Sl. P.2. Usporedba odziva

funkcije prijenosa. Razlog tomu je dvojake prirode. Prvi je pomicanje polova u

zatvorenom krugu radi postizanja èljenog dinami~kog stanja sustava to ujedno utje~e na

poja~anje sustava, a drugi je period diskretizacije, naime on je obrnuto proporcionalan

poja~anju sustava. Kako bi se zadovoljio zahtjev da odziv sustava s regulatorom stanja u

povratnoj vezi ima najmanju moguu stati~ku pogreku, funkcije prijenosa potrebno je

pomnoìti s poja~anjem koje je jednako kvocijentu stati~ke vrijednosti osnovne funkcije

prijenosa i dobivene funkcije prijenosa. Na ulaz u sustav dodaje se predfiltar koji mini-

mizira stati~ku pogreku, a stati~ke vrijednosti odziva funkcija prijenosa odre|uje se

Matlab rutinom dcgain. Predfiltar èljene funkcije prijenosa iznosi:

(P.17)

Predfiltar funkcije prijenosa s regulatorom stanja u povratnoj vezi iznosi:

(P.18)

Na slici P.3 prikazana je usporedba odziva funkcija prijenosa s predfiltrom.

r

K

K1

5

6

1 2877 10

1 9085 10

6 747= =⋅

⋅

=

−

−

p

p2

,

,

,

r

K

K

= =⋅

⋅

=

−

−

p

p1

1 2877 10

3 9062 10

0 3296

5

5

,

,

,

182 3. PRILOZI

Sl. P.3. Usporedba odziva s predfiltrom

Na temelju slike P.3 moè se zaklju~iti da je dodavanjem predfiltra minimizirana

stati~ka pogreka. Diskretni simulacijski model prikazan na slici P.1 nadopunjen je pred-

filterom koji minimizira stati~ku greku i vektorom povratne veze regulacije LZ

, te je novi

simulacijski model prikazan na slici P.4.

To~nost diskretnog simulacijskog modela provjerava se usporedbom njegova odziva s

kontinuiranom i diskretnom funkcijom prijenosa, kako je prikazano na slici P.5.

Eksperimentirajui s parametrima regulatora stanja dolazi se do zaklju~ka da para-

metar regulatora stanja LZ(1,3) najsna`nije utje~e na vrijeme smirivanja, parametar

LZ(1,2) na stati~ku pogreku, a parametar L

Z(1,1) na promjenu nadvienja prijelazne

karakteristike sustava.

Prema tome, kako je i zahtijevano, izra~unati su takvi parametri regulatora stanja koji

daju odziv bez nadvienja, najbrè vrijeme smirivanja i postiù najmanju moguu stati~ku

pogreku. No, vrlo zna~ajno i korisno svojstvo linearnih sustava koje omoguuje odvojeno

projektiranje regulatora i observera ne vodei ra~una o moguem njihovom me|usobnom

utjecaju je svojstvo odvojenosti. Polovi zatvorenog sustava, koji odre|uju karakteristiku

procesa, i polovi potpunog regulatora predstavljaju uniju polova koji definiraju dinamiku

zatvorenog sustava i greku observera. Zbog svojstva odvojenosti mogue je odvojeno


Sl. P.4. Diskretni simulacijski model s predfilterom i regulatorom stanja u povratnoj vezi

provesti projektiranje regulatora i observera. Iako projektirani odvojeno zajedno e djelo-

vati u zatvorenom krugu i imat e utjecaj na dinamiku zatvorenog sustava. Blokovska

shema observera u zatvorenom krugu prikazana je na slici P.6.

Dinami~ka greka observera punog reda u zatvorenom krugu ovisi o poziciji svoj-

stvenih vrijednosti matrice observera Pobs

unutar jedini~ne kru`nice stabilnosti, stoga se

brzina estimacije moè podesiti po volji uz pomo vektora povratne veze estimacije K, a

greka observera ovisi o zadanim po~etnim uvjetima. Za odre|ivanje vektora povratne

veze estimacije K pomou Matlab-a koristi se Ackermannova formula. Zadane su matrice

observera Pobs

, Qobs

i tri pola od kojih prva dva odre|uju faktor brzine observera, a trei je

proizvoljno odabran.

Matrice observera sukladno pravilu (2.561) su sljedee:

(P.19)

(P.20)Q cobs

T -8 -8 -8T

-

2,0727 10 6,0081 10 1,0499 10

2,0727 10

= = ⋅ ⋅ ⋅⎡⎣

⎤⎦ =

⋅

1

88

-8

-8

6,0081 10

1,0499 10

⋅

⋅

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

P pobs

T

T

= =

−⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

= −1

2 0746 1 3374 0 2557

1 0 0

0 1 0

2 0746 1 0

1 3

, , , ,

, 3374 0 1

0 2557 0 0,

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

184 3. PRILOZI

Sl. P.5. Usporedba odziva

(P.21)

Brzina observera zadaje se s vremenom smirivanja te se odabere da observer bude pet puta

brì od regulatora stanja. Funkcijom ord2 kreira se prijenosna funkcija drugog reda sa fak-

torom priguenja jednakim jedinici, [7]. Dobivena prijenosna funkcija je:

(P.22)

a njezina diskretna slika je:

(P.23)G z

z

zR

( )=⋅ +( )

−( )

−4 1288 10 0 5122

0 3679

7

2

, ,

,

G s

s sR

( )=

+ +

1

1600 6400002

C qobs 1

T

T

= =

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

=⎡⎣

⎤⎦

0

0

1

0 0 1


Sl. P.6. Blokovska shema observera u zatvorenom krugu

Polovi za kreiranje vektora brzine dohvaanja matrica stanja su p1

= p2

= 0,3679 i trei

odabrani pol je p3

= 0,3679. Izra~unata matrica K je:

(P.24)

Matrica regulatora stanja se razlikuje od prethodno izra~unate samo zato to su za kreira-

nje simulacijskog modela koritene druga~ije matrice stanja te je matrica regulatora stanja

sada oblika:

(P.25)

Za prora~un matrice K koristi se Matlab funkcija petlja4.

Model objekta regulacije s potpunim regulatorom

Model objekta regulacije s potpunim regulatorom razlikuje se od modela s

observerom u toj mjeri to je regulator stanja sada smjeten u povratnoj vezi putem

observera kao to je prikazano na slikama P.7. i P.8.

Da bi se prikazala greka estimacije po~etni uvjet procesa i observera moraju se razliko-

vati. Zato je zadan po~etni uvjet x1

= 0,000005. Kod procesa na koji um mjerenja ili pore-

meaj imaju veliki utjecaj po~etni uvjet moraju biti pa`ljivo odabrani. Dinamika pogreke

estimatora prikazana je slikama P.11 i P.12 Na slici P.11 uspore|en je odziv observera i sus-

tava s regulatorom stanja, a na slici P.12. njihova razlika, to jest greka estimatora.

Va`nu ulogu u projektiranju digitalnog regulatora ima odabir prikladnog vremena

diskretizacije. Odabir manjeg vremena diskretizacije rezultirati e vjernijom rekonstrukci-

jom signala, ali je u tom slu~aju problem prevelika cijena sveukupnog sustava upravljanja.

Stoga se ono treba odabrati prikladno, po mogunosti to vee, a da pri tome sustav uprav-

ljanja ostane na zadovoljavajuoj razini. Projektiranje digitalnog regulatora stanja u

povratnoj vezi pogodno je kada se èljenu dinamiku zatvorenog kruga èli ostvariti bez

poveanja reda sustava. Ako se sustavu sa regulatorom stanja doda i observer stanja dobija

L = ⋅⎡⎣⎤⎦10 0 4651 0 9304 2 2646

7, , ,

K = −⎡⎣

⎤⎦0 5005 0 1512 0 0068, , ,

186 3. PRILOZI

Sl. P.7. Model objekta regulacije s potpunim regulatorom


Sl. P.9. Regulator stanja

Sl. P.10. Vektor brzine observera

Sl. P.8. Observer i regulator

188 3. PRILOZI

Sl. P.12. Dinamika pogreke observera

Sl. P.11. Dinamika pogreke observera


se potpuni regulator. Observer ili estimator stanja procjenjuje stanja sustava. Njihovo pro-

jektiranje se radi neovisno jedan o drugom zbog svojstva odvojenosti. Svojstvo odvojenosti

govori kako se polovi ukupnog sustava sastoje od polova koji definiraju dinamiku

zatvorenog kruga te polova koji definiraju greku estimacije. [to zna~i da projektiranje

regulatora i observera moè tei nezavisno jedno od drugoga jer kada se na kraju spoje

ostati e nepromjenjeni.

Kod projektiranja potpunog regulatora sustav mora biti potpuno upravljiv, to je uvjet

projektiranja regulatora stanja, i potpuno osmotriv, to je uvjet projektiranja observera.

Regulator stanja kod potpunog regulatora se nalazi u povratnoj vezi putem observera, a ne

u povratnoj vezi s procesom. Usporedba kvalitete regulacije regulatora stanja i potpunog

regulatora je prikazana slikom P.13.

Zbog zadanog po~etnog stanja observera u prvih nekoliko trenutaka traje indentifika-

cija stanja sustava. Po~etni uvjet observera je zadan da se uvidi greka observera. Da su

po~etni uvjeti observera i procesa bili indenti~ni, greka estimacije bi bila jednaka nuli.

Zbog navedene indentifikacije stanja neki put je bolje zakasniti observer nego pokrenuti

observer iz krivih po~etnih uvjeta jer se tada moè desiti da observer uope ne dostigne

proces nego zaoscilira, to ovdje nije slu~aj. Na kraju moè se zaklju~iti da sustav s regula-

torom stanja daje bolja svojstva traène dinamike nego potpuni regulator jer su sva stanja

ve indetificirana.

Sl. P.13. Usporedba kvalitete regulacije

P2. MATLAB RUTINE

%

% Matika, Dario, "Sustavi Digitalnog Upravljanja",

% Graphis, Zagreb, 2007.

%

% 1. poglavlje: Linearni sustavi upravljanja

% Primjer "v01.m"

%

'v01.m'

syms k T % Simbolicki objekti 'k' i 'T'

'f(kT)='

f=k*T; % Definicija f(nT)

pretty(f) % Pregledni ispis f(nT)

'F(z)='

F=ztrans(f); % Dobivanje Z-transformacije, F(z)

pretty(F) % Pregledni ispis F(z)

%



%


% Primjer "v02.m"

%

'v02.m'

syms k T % Simbolicki objekti 'k' i 'T'

'f(kT)='

f=sin(k*T); % Definicija f(nT)

pretty(f) % Pregledni ispis f(nT)

'F(z)='

F=ztrans(f); % Dobivanje Z-transformacije, F(z)


%



%


% Primjer "v03.m"

%

'v03.m'

syms z k % Simbolicki objekti 'z' i 'k'

'F(z)'

F=0.5*z/((z-0.5)*(z-0.7)); % Definicija F(z)


'f(kT)'

190 3. PRILOZI

SLOVNI SIMBOLI

A amplituda signala

A matrica stanja sustava

A(s) karakteristi~na jednad`ba sustava

A(ω) amplitudna frekvencijska karakteristika

Aobs

matrica stanja observera

B ulazna matrica (matrica upravljanja) sus-

tava

Bu

matrica upravljivosti sustava

C kapacitet

C izlazna matrica sustava

CM

matrica osmotrivosti sustava

D linearni operator

D ulazno/izlazna matrica sustava

e jedini~ni vektor

f vanjska poremeajna veli~ina

fs

frekvencija diskretizacije

g upravlja~ki zakon

g(t) teìnska funkcija

G funkcija prijenosa

G matrica prijenosa sustava

Go

funkcija prijenosa otvorenog sustava

GZOH

(s) funkcija prijenosa elementa za zadràva-

nje signala nultog reda

h(t) prijelazna karakteristika sustava

I struja

I jedini~na matrica

J moment inercije

k koeficijent poja~anja,

koeficijent opruge

K koeficijent poja~anja

K vektor povratne veze estimacije

Ka

koeficijent regulacijskog odstupanja po

ubrzanju

Kgr

koeficijent grani~nog poja~anja

Kp


poloàju

Kv


brzini

L Laplaceova transformacija

L induktivitet

L vektor povratne veze regulacije

L(ω) logaritamska amplitudna frekvencijska

karakteristika

m red polinoma brojnika,

masa

m*(t) periodi~ka funkcija diskretizacije

n red polinoma nazivnika

N(λ) karakteristi~na jednad`ba sustava

P matrica stanja sustava

Pk

pogreka kvantizacije

Pobs

matrica observera

Q ulazna matrica (matrica upravljanja) sus-

tava

r vodea (postavna, referentna) veli~ina

S(t) jedini~na odsko~na funkcija

T vremenski period

T Tustinova transformacija

TL

matrica linearne transformacije

Tp

vrijeme prvog maksimuma

Tr

vrijeme porasta signala

Ts

period uzorkovanja,

vrijeme smirivanja signala

u ulazna veli~ina

u vektor ulaznih signala sustava

U napon

U(ω) realna frekvencijska karakteristika

u*(t) niz impulsa

uc

izvrna veli~ina

v mjerljivi vanjski poremeaj,

brzina

V(ω) imaginarna frekvencijska karakteristika

w nemjerljivi vanjski poremeaj

226 SLOVNI SIMBOLI

x veli~ina stanja sustava,

pomak

x vektor varijabli stanja sustava

x procjenjeno stanje sustava

xe

prihvatljiva razina pogreke observera

y izlazna (regulacijska) veli~ina

y vektor izlaznih signala sustava

y procjenjena izlazna veli~ina

yf(t) forsirani odziv

yho

(t) homogeno rjeenje

yiz

izmjerena regulacijska veli~ina

yn(t) prirodni odziv

yp(t) prinudni odziv sustava

ypa

(t) partikularno rjeenje

ys(t) slobodni odziv sustava

Z Z-transformacija

Zμ

modificirana Z-transformacija

δ(t) Dirackova delta-funkcija

δ*(t) periodi~ka funkcija impulsnog

elementa

ε signal razlike

εd

regulacijsko odstupanje

Θ kut

ξ koeficijent priguenja

σ interval proputanja signala

σm

nadvienje

ϕ faza signala

ϕ(ω) fazna frekvencijska karakteristika

prijelazna (temeljna) matrica sustava

ω kru`na frekvencija signala

ωd

frekvencija priguenih oscilacija

ωn

prirodna frekvencija

ωs

kru`na frekvencija diskretizacije

Ω kutna brzina

ABECEDNO KAZALO

Ackermannova formula, 147

Aktuator, 3

Bodeov dijagram, 49

Demodulator, 20

Diskretni signal,

– po razini, 13

– po razini i vremenu, 13

– po vremenu, 13

Diskretizacija, 20

Dohvatljivost, 145

Ekstrapolator, 20

Estimator, 120

Fazne varijable, 147

Filter, 18

–, niskofrekventni, 26

Frekvencija diskretizacije, 17

–, kru`na, 17, 39

–, Nyquistova, 33

Frekvencijski spektar, 29

Funkcija,

–, Dirackova delta, 78

–, odzivna, 77

–, pobudna, 71

–, prijenosna, 12, 23

–, Step, 20

–, teìnska, 79

Graf toka signala, 118

Impulsni element, 22

–, fiktivni, 52

Interval proputanja, 21

Izlazna veli~ina, 3

Izvrna veli~ina, 4

Izvrni mehanizam, 3

Jedini~ni impuls, 22

Jednad`ba,

– diferencija, 13

–, diferencijalna, 49

– izlaza, 108

–, karakteristi~na, 61

– stanja, 108

Kanoni~ka forma,

– osmotrivosti, 144

– upravljivosti, 143

Karakteristika,

–, frekvencijska amplitudna, 12

–, frekvencijska fazna, 12

–, logaritamska, 12

–, prijelazna, 77

Kodiranje, 15

Koeficijent priguenja, 86, 154

Komparator, 5

Kompenzacija pola, 128

Konvolucijski integral, 78

Korekcija vodee veli~ine, 5, 10

Kriterij stabilnosti, 128

Krivulja mjesta korijena, 98

Kvantizacija, 15

228 ABECEDNO KAZALO

Linearizacija, 2

Linearni operator, 2

Matrica,

– observera, 163

– prijenosa, 114

–, ulazna, 115

Metode,

–, frekvencijske, 49

– krivulje mjesta korijena, 50

Modulacija, 13

Nadvienje, 88

Nekanoni~ka forma, 148

Nule, 81

Nyquistov dijagram, 27, 49

Observer, 120

–, diskretni, 159

Odvojivost, 164

Odziv,

–, forsirani, 79

–, impulsni, 50

–, prijelazni,80

–, prinudni, 79

–, prirodni, 79

–, slobodni, 78

– sustava, 62

–, ukupni, 79

–, ustaljeni, 80

–, vremenski, 77

Osjetljivost na poremeaje, 49

Osmotrivost, 116

Otvoreni krug, 3

Parametri diskretnog regulatora, 123

Perioda uzorkovanja, 12, 109, 124

Po~etni uvjeti, 168

Podru~je,

–, frekvencijsko, 49

–, vremensko, 49

Pogreka kvantizacije, 17

Polovi, 64

–, dominantni, 90

Poremeaji, 3, 10

Povratna veza, 6

Pretvornik,

–, analogno-digitalni, 18

–, digitalno-analogni, 18

Prijelazni proces, 49

Prirodna frekvencija sustava, 154

Propusni pojas, 33

Prostor stanja, 104

Ravnote`no stanje, 61

Regulacija, 3, 10

Regulacijska veli~ina, 3, 4

Regulacijsko odstupanje, 6, 71

Regulator, 4

–, automatski, 8

–, diskretni, 125

Rekonstruktor, 19

Rezonancija, 80

Reìm,

– praenja vodee veli~ine, 9

– stabilizacije, 9

Senzor, 8

Signal, 3

–, harmonijski, 11

–, izlazni, 3

–, izvrni, 4

– razlike, 6, 71

–, regulacijski, 4

–, upravlja~ki, 3

Skladita energije, 104

Slijedni sustav, 10

Spektar signala, 27, 31

Stabilnost sustava, 49

–, diskretnih, 61

Stanje sustava, 50, 106

Sustav, 1

–, aperiodski, 86

–, autonomni, 61

–, deterministi~ki, 2

–, digitalni, 1, 13, 17

–, diskretni, 12

–, impulsni, 13

–, kauzalni, 2

–, kombinirani, 8

–, kontinuirani, 10

–, linearni, 1

–, neautonomni, 61

–, nelinearni, 2

–, neanticipativan, 2

–, nestabilan, 61

–, oscilatorni, 86

–, relejni, 13

– s koncentriranim parametrima, 105

–, stabilan, 61

–, tehni~ki dinami~ki, 1, 77

Sustavi automatskog upravljanja, 2

–, digitalni, 1, 13

Documents

Nakladnici Graphis d.o.o., Jurjevska 20, Zagreb Tehni~ki ... · voditi ra~una o postoje}im ograni~enjima, jer su informacijski i energetski resursi koji stoje na raspolaganju uvijek