MV 2 - perso.univ-lemans.frperso.univ-lemans.fr/~jcpascal/Cours/ENSIM3A_Master2... · Master Ingénierie Mécanique et Acoustique – Cours AC05 ... J.L. Guyader, Rayonnement acoustique

Ecole Nationale Supérieure d'Ingenieurs du Mans - 3A

Master Ingénierie Mécanique et Acoustique – Cours AC05

UNIVERSITE DU MAINE

2007-2008

0907

MMVV 22

VIBROACOUSTIQUE DES STRUCTURES PLANES

Jean-Claude Pascal

2Φ

ii

i

SOMMAIRE 1 – INTRODUCTION

2 – PLAQUE, MILIEU FLUIDE ET COUPLAGE

2.1 – Ondes de flexion dans la plaque 2.2 – Ondes acoustique dans l'espace semi-infini 2.3 – Couplage vibroacoustique

3 - ANALYSE ET REPRESENTATION DANS LE CAS D'UNE PLAQUE INFINIE

3.1 – Problème de rayonnement de plaque 3.2 – de la transparence acoustique de la plaque infinie 3.3 – Plaque infinie excitée localement

4. PLAQUE FINIE COUPLEE

4.1 – Equation du problème 4.2 – Solution générale 4.3 – Solution pour la pression en champ lointain 4.4 – Distribution de pression sur la surface de la plaque 4.5 – Réponse vibratoire couplée de la plaque

5. PUISSANCE ACOUSTIQUE RAYONNEE

5.1 – Puissance rayonnée par une plaque finie 5.2 – Puissance rayonnée par une plaque rectangulaire 5.3 – Facteur de rayonnement approché pour une plaque

6. EXEMPLES

ANNEXE A Transparence acoustique : cas de deux fluide identique

ANNEXE B

Impédance de la plaque infinie

ANNEXE C Calcul couplé utilisant la base modale

ii

iii

AVERTISSEMENT

La convention j est utilisée dans cette partie, ce qui correspond à une

dépendance temporelle en tje ω . Les relations suivantes 1

1−−=−= ij , 122 −== ij

doivent donc être utilisée pour retrouver les résultats obtenus avec la

convention i et tie ω− .

Conséquences : αje− propagation vers α croissants

Fonctions de Hankel ( ) ( ) ( ) ( )ααα 00

1

0 jNJH −=

( ) ( ) ( ) ( )ααα 00

2

0 jNJH +=

( ) ( ) ( )41

0

2 πα

παα −−→ j

eH quand ∞→α

( ) ( ) ( )απ

α jHjK −−= 1

002

( ) α

α

πα −→ eK

20 quand ∞→α

1 P.M. Morse, K.U. Ingard, Theoretical Acoustics, McGraw-Hill, 1968. p.12

iv

Bibliographie

M. Bruneau, Manuel d'acoustique fondamentale, Hermès, 1998.

F.J. Fahy, Sound and Structural Vibration, Academic Press, 1985.

(nouvelle édition 2007)

M.C. Junger, D. Feit, Sound, Structures, and their Interaction (2

nd ed.), MIT

press, 1986. (réédition : Acoustical Society of America, 1993).

A.D. Pierce, Acoustics : an introduction to its physical principles and

applications, McGraw-Hill, 1981.

E.G. Williams, Fourier Acoustics, Sound Radiation and Nearfield Acoustical

Holography, Academic Press, 1999.

Acoustique générale (P. Filippi, Ed.), Les Editions de Physique, 1994. J.L. Guyader, C. Lesueur, Transparence et rayonnement acoustiques des

plaques minces (Ch. 8)

Rayonnement acoustique des structures (C. Lesueur, Ed.), Eyrolles, 1988.

C. Lesueur, J.L. Guyader, Rayonnement acoustique des plaques et des

coques cylindriques (Ch. 4) J.L. Guyader, C. Lesueur, Comportement vibroacoustique des plaques

minces (Ch. 5)

Vibroacoustique plane Plaque infinie

1 1

1 – INTRODUCTION Les structures couplées à un fluide ne vont pas avoir le même comportement vibratoire que

dans le vide comme il est généralement considéré dans les cours de vibrations. Cependant

il pourra souvent être fait une distinction entre fluides légers comme l'air ou fluides lourds

comme l'eau. Dans tous les cas il y aura un échange d'énergie entre le fluide et les

vibrations de la structure.

L'objectif de cette partie de cours est de mettre en évidence dans le cas des structures

simples comme les plaques, les lois essentielles qui régissent ces transferts

vibroacoustiques.

L’étude des plaques infinies a mis en évidence des comportements vibroacoustiques qui

peuvent se généraliser à des structures plus complexes. Cependant une caractéristique des

structures finies est la présence de modes de vibration qui doivent être pris en compte pour

une estimation plus fine du rayonnement.

Il est bien connu qu'en raidissant une structure on réduit le niveau vibratoire mais qu'il n'est

pas accompagné par une réduction sensible de la puissance rayonnée. Du point de vue des

vibrations, il est facile d'apporter des modifications mécaniques qui se traduiront par une

réduction de la contribution d'un mode de structure. Il sera plus difficile de réduire le

rayonnement à une fréquence donnée car il peut être du à des modes éloignés des

fréquences d'intérêt.

Les différents modèles de prédiction peuvent être divisés en quatre catégories :

1) Les formulations non-modales qui permettent d'identifier les principales tendances.

Elles sont généralement représentées par des courbes de puissances rayonnées

moyennées sur des modes dont on suppose qu'ils sont également excités par des

excitations mécaniques large bande (Ver et Holmer, 1971; Müller et al, 1982).

2) Des formulations modales négligeant les termes de couplage croisés (Maidanik,

1962; Fahy, 1985). Ces approches sont utilisables quand le couplage est

négligeable, c.a.d. pour certaines conditions d'excitation (localisées), en présence

de conditions aux limites homogènes, quand la fréquence d'excitation n'est pas

entre deux modes résonants et pour des structures non raidies.

3) Les models analytiques prenant en compte le couplage intermodal (Davies, 1971;

Keltie et Peng, 1987; Berry et al, 1990). Ces modèles utilisent une approche de

champ proche basée sur une transformation dans le domaine des nombres d'onde

(Davies, 1971), une évaluation numérique de l'intégrale de Rayleigh (Sandman,

1975) ou une approche de champ lointain utilisant une double transformée de

Fourier spatiale (Berry et al, 1990). Les deux dernières approches sont plus

générales et précises mais demandent toutefois des temps de calcul plus longs. Les

approches de champ proche sont principalement utilisées pour prendre en compte la

charge du fluide (ajout de masse et couplage intermodal) alors que les approches de

champ lointain est employé dans le cas du couplage intermodal seul.

4) Les approches numériques qui comprennent essentiellement les méthodes par

éléments finis (basées sur la discrétisation de l'équation d'onde) et la méthode des

Plaque finie Vibroacoustique plane

2

éléments de frontières (basée sur la discrétisation de l'intégrale de Kirchhoff) ont

donné naissance à des codes commerciaux (Sysnoise, Rayon, Bemap, …) . Ces

méthodes sont très coûteuses en temps de calcul, principalement en hautes

fréquences.

On s'intéressera dans un premier temps à la troisième catégorie qui représente l'approche

analytique la plus complète dans le cas des plaques. Les autres méthodes, approchées ou

numériques, seront examinées comparativement à cette méthode.


3 3

2 – PLAQUE, MILIEU FLUIDE ET COUPLAGE

2.1 – Ondes de flexion dans la plaque

Le comportement dynamique des plaques minces est décrit à partir des hypothèses de

Kirchhoff-Love :

� l’influence du cisaillement transversal (déformation des sections) est

négligeable,

� l’influence de l’inertie de rotation est négligeable.

On considère que le déplacement transversal est harmonique de pulsation πω 2f= et la

notation complexe est employée

( ) ( ) tjeyxwtyxw ω,,, = ,

ce qui aura pour conséquence directe d’exprimer l’accélération par

( ) ( ) ( ) tjeyxwttyxwtyxw ωω ,,,,, 222 −=∂∂=&&

En général, le terme tje ω est omis dans les équations du mouvement suivantes. L'équation

des vibrations de flexion des plaques minces isotropes est

(2.1.1)

avec ρ masse volumique de la plaque et h son épaisseur. La constante

( )23 112 υ−= EhD correspond à la rigidité de flexion ( E module de Young et υ

coefficient de Poisson) et l’opérateur 4∇ est le double Laplacien. Dans le cas d’un champ

en deux dimensions ( 0≡∂∂ z ), le double Laplacien (aussi noté 2∆ ) s’obtient par :

( ) 2

4

4

22

4

4

42

2

2

2

2224 2 ∆≡

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂=∇=∇

yyxxyx

L’équation du mouvement (2.1.1) prend la forme

avec D

hk f

ρω 24 = (2.1.2)

en exprimant le nombre d’onde des ondes de flexion tie ω− de la plaque dans le vide. Si on

considère que

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0,,222244 =−∇+∇=−∇ yxwkkyxwk fff

peut se séparer en deux équations

( ) ( ) 0,22 =+∇ +

yxwk f et ( ) ( ) 0,22 =−∇ −

yxwk f

la solution générale recherchée sera la somme ( ) ( ) ( )yxwyxwyxw ,,, −+ += des solutions

des deux équations :

Ondes propagatives ( ) ( ) 0,22 =+∇ +

yxwk f ( ) ( )ykxkj yxeWyxw+−++ =⇒ ,

( ) ( ) 0,, 44 =−∇ yxwkyxw f

( ) ( ) 0,, 24 =−∇ yxwhyxwD ρω


4

Ondes évanescentes ( ) ( ) 0,22 =−∇ −

yxwk f ( ) ( )ykxk yxeWyxw+−−− =⇒ ,

Les composantes du vecteur d'onde doivent satisfaire la relation de dispersion

222yxf kk

D

hk +==

ρω (2.1.3)

Remarques

1) L'équation des ondes peut également s'écrire sous la forme de variables séparées (par

exemple pour l'onde propagative)

( ) ( )( )yjk

y

yjk

yxjk

xxjk

xyyxx eBeAeBeAyxw ++=

−−+, , avec 0≥xk et 0≥yk .

ou encore en considérant un angle ϕ pour la direction de propagation de l'onde flexion

plane, tel que ϕcosfx kk = et ϕsinfy kk =

( ) ( )ϕϕ sincos,

ykxkj ffeWyxw+−++ =

Il est alors possible de définir un plan des nombres d'onde ( )yx kk , où l'on se propageant

dans la direction ϕ sera représentée par un point.

Figure 2.1 – Représentation dans le plan (kx,ky) d'une onde de flexion plane se

propageant dans la direction ϕ

2) L'excitation de la plaque se représentera par un second membre

( ) ( ) ( )yxNyxwhyxwD ,,, 24 =−∇ ρω ou ( ) ( ) ( )D

yxNyxwkyxw

f

,,, 44 =−∇ (2.1.4)

où ( )yxN , est la densité de force répartie sur la surface de la plaque (en N/m2, donc une

pression).

3) Le rapport 44fkww =∇ , quelque soit le type d'onde : propagatives ( +

w ), évanescentes

( −w ) ou la somme des deux ( w ). Quand la plaque sera chargée par un fluide lourd, les

mêmes fonctions représentant les ondes de flexion seront présentent avec un nombre

d'onde modifié γ . Ce nombre d'onde effectif γ de la plaque pourra être obtenu en

considérant l'équation (2.1.4) sous la forme

( ) ( )D

yxN

D

yxNyxwkyxw

fp

f

),(),(,,

44 +=−∇

xk

yk

fk

=

=

ϕ

ϕ

sin

cos

fy

fx

kk

kk

ϕ


5 5

où ),( yxN p est la densité de force due à la fluctuation dynamique du fluide (par exemple

la différence de pression pariétale de part et d'autre de la plaque) et ),( yxN f est la densité

des forces mécaniques extérieures appliquées à la plaque (par exemple ),( 00 yyxxF −−δ

pour une force ponctuelle appliquée en ),( 00 yx ). En mettant cette équation sous la forme

équivalente

( ) ( )D

yxNyxwyxw

f ),(,,

44 =−∇ γ ,

il est possible de définir le nombre d'onde effectif, en dehors des zones d'excitation par les

forces extérieures où la pseudo-équation homogène ( ) ( ) 0,, 44 =−∇ yxwyxw γ est vérifiée

( )( )yxw

yxw

,

,44 ∇

=γ . (2.1.5)

2.2 – Ondes acoustiques dans l’espace semi-infini

Les ondes acoustiques harmoniques dans le milieu semi-infini ‘au-dessus’ de la plaque

sont les solutions de l’équation de Helmholtz

( ) ( ) 0,,,,22 =+∇ zyxpkzyxp (2.2.1)

avec le nombre d’onde ck ω= , et dont la forme générale est une onde plane élémentaire

(2.2.2)

Pour vérifier l’équation (2.2.1), les composantes ( )zyx kkk ,, du vecteur d'onde doivent

aussi satisfaire la relation de dispersion

(2.2.3)

La solution (2.2.2) peut aussi s'écrire sous la forme équivalente (variables séparées)

( ) ( )( )( )zjkz

zjkz

yjk

y

yjk

yxjk

xxjk

xzzyyxx eBeAeBeAeBeAzyxp +++= −−−

,, (2.2.4)

Si la pression dans le demi-espace 0≥z est due au rayonnement de la plaque située dans

le plan 0=z , le terme zjk ze qui correspond à une onde plane se propageant vers la plaque

ne correspond pas à une réalité physique. La pression peut donc être décrite par

( ) ( ) zjk zeyxpzyxp−= ,,, , 0≥z (2.2.5)

en représentant par ( )yxp , la pression dans le plan ( )yx, en 0=z .

Si les variables xk et yk sont imposées par la pression ( )yxp , sur le plan 0=z , la relation

de dispersion (2.2.3) montre que la variable zk n'est pas indépendante

222

2

2zyx kkk

ck ++=

=

ω

( ) ( )zkykxkj zyxePzyxp++−

=,,


6

2222yxz kkkk −−= .

Pour illustrer cette condition simplement, on considère un champ pour lequel 0=yk (c'est

à dire 0=ϕ ), soit ( ) xjk xeAyxp−=, . Ecrire

22xz kkk −= revient à définir l'orientation

de l'onde plane par rapport à l'axe z sous la forme d'un angle θ . Le vecteur d'onde de

module ck ω= se projette selon les composantes

θsinkk x = et θcoskk z = (2.2.6)

comme le montre la Figure 2.2. Dans le domaine spatial la répartition de la pression sur les

axes x et z est représentée par les composantes des longueurs d'onde

θ

λλ

sin=x et

θ

λλ

cos=z

où k

c

f

c π

ωπλ

22 === .

Figure 2.2 – Représentation des composantes du vecteur d'onde (gauche : domaine

des nombres d'onde) et des composantes de la longueur d'onde (domaine spatial).

La trace de l’onde plane (2.2.2) sur un plan à 0=z peut se représenter dans le domaine des

nombres d’onde, par un spectre dans un plan ( )yx kk , . L’onde plane de l’exemple précédent

se représente par un point en ( )0,sin == yx kkk θ du domaine des nombres d’onde. La

Figure 2.3 représente l’onde plane dans l’espace ( )zyx ,, et dans le domaine ( )yx kk , pour

a) le cas général de l’onde dans une direction θ ,

b) l’onde dans la direction normale : 0=θ et 0=xk ,

c) l’onde dans la direction rasante : 2πθ = et kk x = .

λ

xλ

zλ

xk

θ

θ

zk

k

z

x

front d'onde


7 7

(a) (b) (c) Figure 2.3 – Représentation de l’onde plane dans l’espace (x,y,z) et dans le domaine

des nombres d’onde.

Pour onde plane dont la direction de propagation projetée sur le plan ( )yx, présente un

angle ϕ par rapport à la direction x , son spectre de nombre d’onde est représenté par un

point en

( )ϕθϕθ sinsin,cossin kkkk yx == .

Remarques

1) Si le demi-espace 0≤z est considéré, alors c'est le terme zjk ze− qui correspond à une

onde plane se propageant vers la plaque et qui est supprimé. La pression dans ce demi-

espace est donc

( ) ( ) zjk zeyxpzyxp ,,, = , 0≤z (2.2.7)

2) voir condition de Sommerfeld

3) La somme de solutions élémentaires (2.2.2) (ondes planes) permet de représenter

n'importe quel champ en coordonnées cartésiennes, par exemple2 celui d'une source

monopolaire décrit en coordonnées sphériques par Re jkR−

( )∫∫∫−

=•−−

3222π

K

K

rK d

k

e

R

e jjkR

avec ( )zyx ,,=r , ( )zyx kkk ,,=K et r=R .

2 P.M. Morse, K.U. Ingard, Theoretical Acoustics, McGraw-Hill, 1968. p.364

xk

yk

k

0,sinθk xk

yk

k

0,0 xk

yk

k

0,k


8

2.3 – Couplage vibroacoustique Le couplage vibroacoustique, qu'il soit du à une vibration de la plaque qui va rayonner

dans le fluide environnant ou à une onde acoustique incidente qui vient exciter la paroi (la

plaque), se caractérise par deux aspects

- la relation de continuité des vitesses vibratoire et acoustique,

- l'influence de la pression pariétale sur la dynamique de la plaque.

2.3.1 – Continuité des vitesses sur la paroi

En chaque point de l'interface de la plaque et du fluide, il y a égalité entre les composantes normales à la surface de la plaque de la vitesse vibratoire et de la vitesse particulaire de

l'onde acoustique dans le fluide (non-visqueux : théorie linéaire de l'acoustique)

(2.3.1)

La vitesse vibratoire s'obtient à partir du déplacement (en dérivant la fonction temporelle tj

eω )

( ) ( )yxwjyxv ,, ω=

La relation d’Euler (conservation de la quantité de mouvement de l’acoustique linéaire)

00 =∇+∂

∂p

t

uρ ou 00 =∇+ pj uωρ (2.3.2)

permet de remplacer la vitesse par le gradient de pression :

z

p

ck

j

z

pju z

∂

∂=

∂

∂=

00 ρωρ (2.3.4)

Avec la relation (2.3.1) (ici zn uu = )

( ) ( )yxw

z

zyxp

z

,,,

02

0

ρω=∂

∂

=

. (2.3.5)

L'impédance de rayonnement peut également être définie par

normale reparticulai vitesse

pariétale pression=rZ

(2.3.6)

Figure 2.2 – Impédance de rayonnement de la plaque (faces 1 et 2)

( )0,,),( yxuyxv n=

z

1n̂

2n̂

wj

p

u

p

u

pZ

wj

p

u

p

u

pZ

zn

r

zn

r

ω

ω

−=

−==

===

1

1

1

1

11

2

2

2

2

22


9 9

2.3.2 – Couplage dynamique

Sans tenir compte de la force d'excitation mécanique qui a produit les ondes de flexion

dans la plaque, son équation d'équilibre dynamique comporte maintenant des termes de la

pression pariétale au second membre qui vont modifier le champ vibratoire

( ) ( )( ) ( )

D

yxpyxpyxwkyxw f

,,,, 2144 −

=−∇ (2.3.7)

Une nouvelle équation de dispersion qui met en relation le nombre d'onde effectif

( ww44 ∇=γ ) et le nombre d'onde de flexion naturel 4fk dans le vide est obtenue en

divisant cette équation par ( )yxw ,

( ) ( )( )yxwD

yxpyxpk f

,

,, 2144 −+=γ

et en notant 42fkhD ρω=

( ) ( )( )

−+=

yxwh

yxpyxpk f

,

,,1

2

2144

ωργ

En introduisant la notion d'impédance de rayonnement (2.3.6), la relation de dispersion

prend la forme

+−=

ωργ

h

ZZjk

rrf

21441 (2.3.8)

Quand hZ r ρω peut être négligée (comme c'est le cas pour l'air) le nombre d'onde effectif

γ vaut le nombre d'onde naturel de flexion fk . On parle alors de problème découplé.

Dans le cas contraire, le nombre d'onde effectif γ diffère de fk mais le déplacement de la

plaque est aussi modifié. On parle de problème couplé.

Figure 2.3 – Problème découplé (gauche) et problème couplé (droite)

2.4 – Quantification du couplage vibroacoustique

L'impédance de rayonnement permet de quantifier le rayonnement acoustique. Des

grandeurs énergétiques comme l'intensité acoustique rayonnée sont souvent employées

continuité des vitesses

équation dynamique de la structure

force mécanique

21 , pp

v

continuité des vitesses

équation dynamique de la structure

force mécanique

21 , pp

v

21 pppa −=

champ acoustique rayonné

réponse vibratoire


10

{ } { }r

n

nn Zu

upI Re2

Re2

1ˆ

2

===⋅ ∗nI (2.4.1)

En utilisant la relation de continuité (2.14) wjun ω= , l'intensité rayonnée par une face

supérieure de la plaque devient

{ } 22

Re2

wZI rn

ω= (2.4.2)

et la puissance acoustique correspondante

{ } dSwZdSW

S

r

S

∫∫ =⋅=2

2

Re2

ˆω

nI (2.4.3)

Le facteur de rayonnement normalise la puissance acoustique par ∫S dSwc2

02

21 ρω , c'est

à dire par la puissance acoustique rayonnée si l'impédance de rayonnement vaut

l'impédance caractéristique c0ρ du fluide

{ }

∫

∫=

S

Sr

dSw

dSwcZ

2

2

0Re ρσ (2.4.4)


11 11

3 – ANALYSE ET REPRESENTATION DANS LE CAS D'UNE PLAQUE INFINIE

Les relations précédentes ont une portée générale. les champs vibratoires et acoustiques

devront en général être représenté en repère cartésien par une infinité d'ondes élémentaires.

Toutefois, dans le cas d'une plaque infinie à une pulsation ω , il est possible de considérer

le cas d'un champ vibratoire comportant une seule onde de flexion plane. Son rayonnement

correspondra aussi à une onde de flexion plane.

3.1 – Problème du rayonnement de la plaque

Une plaque mince infinie située dans le plan 0=z sépare deux milieux fluides semi-

infinis. Les vibrations de la plaque vont produire un rayonnement acoustique dans les

milieux 1 et 2. Les équations des ondes dans les trois domaines sont connues. Des

équations de couplage à l’interface des domaines vont permettre de résoudre le problème.

Dans notre cas, les équations de couplage sont les relations de continuité des vitesses

mécaniques et acoustiques sur les faces de la plaque.

Figure 3.1 – Géométrie du problème

Les équations qui décrivent le problème sont :

Milieu 1 ( 0<z ) : ondes acoustiques

( ) ( ) 0,,,, 1

2

11

2 =+∇ zyxpkzyxp avec 11 ck ω= (3.1.1)

Interface milieu 1 / plaque ( 0=z ) : continuité des vitesses acoustiques et vibratoires

( )( )yxw

z

zyxp

z

,,,

1

2

0

1 ρω=∂

∂

=

(3.1.2)

Plaque : déplacement du aux ondes de flexion

( ) ( ) ( ) ( )0,,0,,,, 21

24 yxpyxpyxwhyxwD −=−∇ ρω (3.1.3)

Interface plaque / milieu 2 ( 0=z ) : continuité des vitesses vibratoires et acoustiques

( )( )yxw

z

zyxp

z

,,,

2

2

0

2 ρω=∂

∂

=

(3.1.4)

Milieu 2 ( 0>z ) : ondes acoustiques

( ) ( ) 0,,,, 2

2

22

2 =+∇ zyxpkzyxp avec 22 ck ω= (3.1.5)

z

Milieu 1

( )zyxp ,,1 Milieu 2

( )zyxp ,,2

Plaque mince

( )yxw ,


12

On doit également ajouter aux équations des ondes acoustiques des milieux 1 et 2 les

conditions de Sommerfeld à l’infini. Dans les équations qui précèdent, les deux milieux

sont différents et caractérisés par les masses volumiques 1ρ , 2ρ et les célérités des ondes

1c , 2c .

3.1.1 – Solution générale du problème

La solution générale de l’équation de Helmholtz 022 =+∇ pkp dans un système de

coordonnées cartésiennes est représentée par la relation (2.2.4). En 0=z , l’expression

( ) ( )( )( )zz

yjk

y

yjk

y

xjk

x

xjk

xz

z

BAeBeAeBeAjkz

zyxpyyxx −++−=

∂

∂ −−

=0

,, (3.1.6)

montre que pour que la relation de continuité (2.3.1) soit satisfaite il faut que les fonctions

en x et y soient identiques pour 1p , 2p et w . Cela implique les conditions suivantes sur

les composantes x et y des nombres d’onde acoustique 1k dans le milieu 1, 2k dans le

milieu 2 et le nombre d’onde de flexion dans la plaque γ :

(3.1.7)

Les ondes de flexion se propageant dans l’espace bidimensionnel de la plaque nous avons

également la relation (le nombre d'onde effectif γ est différent de la constante fk de

l’équation 2.1.3)

ϕγγϕγγ sinetcos == yx (3.1.8)

(propagation d’une onde de flexion de nombre d’onde γ dans une direction formant un

angle ϕ par rapport à l’axe x).

Puisque les milieux 1 et 2 sont semi-infinis, le rayonnement de la plaque va être représenté

par une fonction ( )zjkz2exp − dans le milieu 2 (propagation vers les z croissants) et une

fonction ( )zjkz1exp + dans le milieu 1 (propagation vers les z décroissants). Ainsi, les

champs de pression et de déplacement sont :

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )yjk

yp

yjk

yp

xjk

xp

xjk

xp

zz

yjk

y

yjk

y

xjk

x

xjk

x

zz

yjk

y

yjk

y

xjk

x

xjk

x

yyxx

yyxx

yyxx

eBeAeBeAyxw

zjkAeBeAeBeAzyxp

zjkBeBeAeBeAzyxp

++=

−++=

++=

−−

−−

−−

,

exp,,

exp,,

2222222

1111111

(3.1.9)

Dans ces conditions, les relations de continuité s’écrivent

( ) ( )

( ) ( )yxwyxpjk

yxwyxpjk

z

z

,0,,

,0,,

2

2

22

1

2

11

ρω

ρω

=−

= (3.1.10)

Les équations (3.1.9) peuvent s’écrire sous la forme ( ) ( ) ( )zjkyxpzyxpz111 exp0,,,, = et

( ) ( ) ( )zjkyxpzyxpz222 exp0,,,, −= . Les relations de continuité (3.1.10) permettent de

yyyyxxxxkkkkkk ====== γγ 2121 et


13 13

remplacer la pression en 0=z par une fonction de ( )yxw , et en utilisant la relation (3.1.9)

les pressions dans les deux fluides s’écrivent

( ) ( )

( ) ( ) zkj

zkj

eyxwk

jzyxp

eyxwk

jzyxp

222

221

,,,

,,,

22

2

2

2

2

22

1

2

1

1

γ

γ

γ

ωρ

γ

ωρ

−−

−

−=

−−=

(3.1.11)

avec 22

11 γ−= kkz

et 22

22 γ−= kkz

(relation de dispersion).

D’après (2.2.4), le facteur de rayonnement dans les deux cas est (pour 1W le vecteur

unitaire 1n̂ est pointé vers les z négatifs)

−=

=22

ReReγ

σi

i

zi

i

i

k

k

k

k avec { }2,1=i (3.1.12)

3.1.2 – Solution de l'équation de dispersion

Pour avoir une solution complète de notre problème il faut connaître le nombre d'onde

effectif de flexion γ qui peut être sensiblement différent de fk pour un fluide lourd. Pour

cela la relation de dispersion (2.3.8) est utilisée en évaluant les impédances de

rayonnement dans le cas de la plaque infinie, qui d’après la relation (2.3.4) peuvent s’écrire

: zr kZ 111

ωρ= et zr kZ 222

ωρ= .

Considérer maintenant que les deux fluides sont identiques ( 021 ρρρ == et kkk == 21 )

permet de simplifier les notations, à commencer par la relation de dispersion qui devient

[ ] 02 44

4

0 =−−f

fz

kk

hj

kγ

ρρ (3.1.13)

avec 22222 γ−=−−= kkkkk yxz

En posant

zjkk −=−= 22γκ , donc 222 k+= κγ (3.1.14)

les pressions (3.1.11) s’expriment par

( ) ( ) ( ) ( ) zz eyxwkc

zyxpeyxwkc

zyxp κκ

κ

ωρ

κ

ωρ,,,et,,, 0

2

0

1 =−= − (3.1.15)

et l’éq. (3.1.13) peut s’écrire

( ) 02

4222

4

0=−++ f

fkk

h

kκκκ

ρ

ρ


14

ou encore sous la forme d’une équation du 5ème

degré

[ ] 02

2

4

044325 =+−++h

kkkk

f

fρ

ρκκκ (3.1.16)

dont la solution comporte 5 racines. Les formes admissibles de κ vont permettre de définir

zk et γ , et de connaître les différents types d’ondes dans le fluide et dans la plaque qui

sont compatibles avec le problème posé. Avant d’examiner la forme de la solution

complète, nous allons étudier le cas du fluide léger qui autorise des simplifications et

permet une interprétation plus aisée des phénomènes.

3.1.3 – Solutions pour les fluides légers

L’hypothèse des fluides légers consiste à considérer que le terme hk f ρρ 4

02 peut être

négligé dans l’équation (3.1.16) qui devient alors une équation du second degré en 2κ (en

écartant la solution triviale 0=κ )

[ ] 02 44224 =−++ fkkk κκ

Ses solutions sont :

( ) 22

2

222

2

2222

1

222

1

ff

fff

kkjkk

kkjkkkk

+±=⇒+−=

−=−±=⇒−=

κκ

κκ m

a) premier type de solution 222 kk f −=κ

Des deux solutions, la condition de Sommerfeld n’autorise que 22

fz kkjjk −−=−=κ

qui correspond à une onde rayonnée par la plaque qui se propage vers les z décroissants

pour 1p et les z croissants pour 2p

( ) ( ) ( ) ( ) zkkj

f

zkkj

f

ffeyxw

kk

kcjzyxpeyxw

kk

kcjzyxp

2222

,,,et,,,22

0

222

0

1

−−−

−

−=

−=

ωρωρ

(3.1.17)

La relation (3.1.13) conduit au nombre d’onde dans la plaque fkk ±=+= 22κγ . C’est

le nombre d’onde naturel de flexion définit par l’équation (1.5). En plaçant cette solution

dans l’expression (3.1.9) ( ϕγ cos=x

k , ϕγ sin=yk ), le déplacement ( )yxw , de la plaque

est décrit comme un ensemble d’ondes de flexion dont la propagation n’est pas influencée

par le chargement de la plaque par le fluide.

L’examen des équations (3.1.17) montre que le nombre d’onde de flexion fk , qui est

proportionnel à la racine carrée de la fréquence, peut devenir plus grand que le nombre

d’onde acoustique k et conduire à des valeurs imaginaires de z

k .

Quand fkk = , la longueur d’onde acoustique correspond à la longueur d’onde de flexion.

La pulsation correspondante est nommée pulsation critique. D’après (2.1.2)

(3.1.18)

( )2

222 112

hEc

D

hcc

υρρω

−==


15 15

Remarque : d’après (2.1.2) et (3.1.18), ωω cf kk =22

.

Figure 3.2 – Relation entre le nombre d’onde acoustique et le nombre d’onde de

flexion dans la plaque.

� Quand fkk > (c

ωω > ), l’onde rayonnée est une onde plane dont l’angle θ par

rapport à l’axe z est, d’après les équations (2.2.6)

22

cos fz kkkk −== θ d’où ω

ωθ cf

k

k−=−= 1arccos1arccos

2

2

L’amplitude de la pression dépend de la vitesse vibratoire ( )yxwj ,ω et de

l’impédance de rayonnement 22

0 1 kkc f−ρ . Le facteur de rayonnement vaut

(3.1.19)

A la pulsation critique fkk = , l’onde plane est rasante et son amplitude tend vers

l’infini, comme le facteur de rayonnement ! Quand la pulsation devient grande

devant c

ω , kkz

→ , 0→θ , l’impédance de rayonnement tend vers c0ρ et 1→σ .

� Quand fkk < (c

ωω < ), alors 22

kkjk fz −−=

(avec la convention 1−−=−= ij )

La fonction de z dans l’expression de la pression ne correspond plus à un terme

propagatif : ( ) ( )zkkzjk fz

22expexp −±=± . Les pressions s’écrivent

( ) ( ) ( ) ( ) zkk

f

zkk

f

ffeyxw

kk

kczyxpeyxw

kk

kczyxp

2222

,,,et,,,22

0

222

0

1

−−−

−=

−

−=

ωρωρ

(3.1.20)

ω

ωσ

cf

k

k−

=

−

=

1

1

1

1

2

2

ω cω

ω∝fk

ck

ω=


16

Les pressions décroissent en s’éloignant de la plaque sans rotation de phase : ces

ondes sont nommées des ondes évanescentes. Leur impédance de rayonnement est imaginaire et le facteur de rayonnement est nul :

(3.1.21)

La Figure 3.3 représente les deux formes d’ondes acoustiques que peut prendre le premier

type de solution de l’équation de dispersion pour les fluides légers. Ces deux formes correspondent à des ondes de flexion propagatives dans la plaque.

Figure 3.3 – Ondes acoustiques propagatives et évanescentes selon que la pulsation

est au-dessus ou au-dessous de la pulsation critique.

b) deuxième type de solution ( )222

fkk +−=κ

La solution admissible 22

fz kkjjk +−=−=κ correspond à des ondes rayonnées qui se

propagent vers le champ lointain. Le nombre d’onde dans la plaque est donné par la

relation (3.1.14) : fjkk ±=+= 22κγ . Imaginaire, il correspond à des ondes de flexion

évanescentes en ( )ϕϕ sincosexp ykxk ff ±± qui existent dans le champ proche des

excitations mécaniques ou à proximité de discontinuités. D’après (3.1.12), le facteur de rayonnement est

(3.1.22)

0=σ

ω

ωσ

cfz

k

kk

k

+

=

+

=

=

1

1

1

1Re

2

2

xk

yk

k

=

=

ϕθϕ

ϕθϕ

sinsinsin

cossincos

kk

kk

f

f

ϕ

cfkk ωω >>

k

xk

yk

ϕ

>

>

ϕϕ

ϕϕ

sinsin

coscos

kk

kk

f

f

cfkk ωω <<


17 17

Ainsi, une onde de flexion évanescente produit une puissance acoustique qui augmente

avec la fréquence. Ainsi, en dessous de la pulsation critique, un rayonnement peut

apparaître dans les zones d’excitation ou de discontinuité.

La Figure 3.4 représente le facteur de rayonnement pour les deux types d’onde de flexion :

propagatives et évanescentes.

Figure 3.4 – Facteur de rayonnement pour les ondes de flexion propagatives (en haut,

premier type de solution) et les ondes évanescentes (en bas, deuxième type de solution).

3.1.3 – Solutions générales et approchées pour les fluides lourds

Pour un fluide lourd, il est nécessaire de déterminer les 5 racines de l’équation de

dispersion complète (3.1.16) qui comporte :

- une racine réelle négative 0ακ −= , (positive avec la convention i )

- deux racines complexes 11 βακ j±= , (peuvent se transformer en deux racines

réelles positives quand cωω < ).

- deux racines complexes 22 βακ j±−= , 0,,,, 22110 >βαβαα

Puisqu’il n’est pas possible d’obtenir des solutions analytiques exactes, nous examinons ici

la forme des solutions admissibles pour en donner quelques interprétations physiques à la

lueur des résultats obtenus pour les fluides légers. A partir de la définition (3.1.14) de κ et

de l’expression (3.1.11) des pressions rayonnées, la condition du rayonnement en espace

infini conduit à rejeter les termes comportant des parties réelles ou imaginaires positives. Il

ne reste donc que les solutions 0ακ −= et 22 βακ j−−= .

� racine 0ακ −=−= zjk

Les ondes acoustiques en zz

ee 0ακ −= sont des ondes dont l’amplitude décroît sans

propagation (pas de rotation de phase en fonction de z). Le nombre d’onde 22

0 k+±= αγ correspond à des ondes de flexion dont la longueur d’onde est plus

faible que la longueur d’onde acoustique.

� racine 22 βακ jjk z −−=−=

σ

σ

1

1

cω

cω

ω

ω

fk±=γ

fjk±=γ

0

0


18

Les ondes acoustiques en zjzz eee 22 βακ −−= sont des ondes propagatives d’amplitude

décroissante en s’éloignant de la plaque. Les ondes dans la plaque correspondante

s’obtiennent à partir de la relation (3.1.14). Le nombre d’onde complexe

( ) 22

22

22 kjk ++±=+±= βακγ correspond aussi à des ondes propagatives

décroissantes qui traduisent la dissipation due au couplage avec le milieu fluide.

Avec l’impossibilité d’obtenir des solutions analytiques exactes pour l’équation de

dispersion pour le fluide lourd, des approximations ont été recherchées. A l’aide de

l'impédance de rayonnement zr kZ ωρ0= , la relation de dispersion (2.3.8) peut s’écrire

−−=

22

044 21

γρ

ργ

khjk f

Quand fkk >> , le second terme entre croché est essentiellement imaginaire et apporte de

la dissipation. L'équation précédente peut se mettre sous la forme

−+=

22

044 21

khk f

γρ

ργ

Une première approximation peut être obtenue en remplaçant 2γ sous le radical par 2

fk , ce

qui permet d’obtenir

4

1

0

4

1

22

0

1

21

1

1

21

1

−+

±

±=

−+

±

±≈

cf

f

ff

fhk

kjkkhk

kj ωωρ

ρ

ρ

ργ (3.1.23)

Cette approximation est très précise pour c

ωω < (voir Figure 3.5). La charge du fluide à

tendance à augmenter la valeur du nombre d’onde de flexion γ dans la plaque.

Remarque

Une autre solution approchée est obtenue en ignorant la compressibilité du fluide (donc

uniquement valable en basse fréquence)

0≈k donc γκ = (3.1.24)

L’équation (3.1.13) conduit alors à l’expression suivante

−= γ

ρ

ργ

hk f

045 2

Si la condition hγρρ >>02 est satisfaite (fluide lourd et plaque mince et basse

fréquence), l’approximation du nombre d’onde est obtenue par

5

1

025

1

04 22

=

≈

Dhk f

ρω

ρ

ργ (3.1.25)


19 19

La comparaison de cette dernière relation avec l’expression (2.1.2) de fk montre que la

charge du fluide est prise en compte mais que la masse volumique ρ de la plaque est

ignorée (donc l’influence de son inertie).

La Figure 3.5 compare en dessous de la fréquence critique ces deux approximations à la

solution de la relation de dispersion obtenue numériquement, sous la forme du rapport des

célérités (vitesse de phase) des ondes dans la plaque et dans l’air γkcc f = .

Figure 3.5 – Vitesses de phase des ondes de flexion d’une plaque chargée par un

fluide lourd pour 8.720

=ρρ et 5.3== cEccL

ρ (d’après Junger et Feit).

Remarque importante : Pour le problème du couplage avec un fluide lourd, il à été

supposé dans tout ce qui précède que le même fluide était présent des deux cotés de la

plaque. Pour le problème des structures submergées, il est souvent considéré la présence

d’un fluide lourd sur une face et d’un fluide léger sur l’autre face. En conséquence, le

facteur 2 devant 0ρ disparaît alors dans les équations de dispersion (3.16), (3.19) et (3.27)

ainsi que dans les expressions approchées du nombre d’onde dans la plaque (3.1.23) et

(3.1.25).

3.2 – Problème de la transparence acoustique de la plaque infinie 3.2.1 - Description des champs acoustiques et vibratoires Une plaque infinie sépare deux milieux fluides semi-infinis (voir Figure 3.1). Un régime

forcé est imposé par une distribution de pression due à une onde acoustique incidente. La

pression de cette onde plane incidente dans le milieu 1 selon les angles θ et φ est

( )c

kePzyxp jkzjkyjkx ωθφθφθ == −−− ,,, coscossinsinsin

inc (3.2.1)

Solution exacte Eq. (3.1.23) Eq. (3.1.25)


20

D’après la convention tje ω le signe négatif correspond à une onde se propageant vers les z

croissants (donc vers la plaque). Pour simplifier l’écriture, la pression incidente est notée

( ) ( ) θcos

inc ,,, jkzeyxpzyxp −= (3.2.2)

avec la trace de la pression sur le plan z =0

( ) φθφθ cossinsinsin, jkyjkxePyxp −−= (3.2.3)

La pression totale dans le milieu 1 est décrite par l’onde incidente à laquelle vient s’ajouter

une onde réfléchie

( ) ( ) [ ]θθ coscos

1 ,,, jkzjkz eReyxpzyxp += − (3.2.4)

Les nombres d’onde dans la plaque sont ici imposés par l’onde acoustique incidente

φθ sinsinkkx

= et φθ cossinkk y = (3.2.5)

Donc le déplacement vibratoire sur la plaque s’écrit

( )( ) ( )

pZj

yxpyxpyxw

ω

0,,0,,, 21 −

= (3.2.6)

avec pZ l’impédance de la plaque infinie (voir Annexe B) ( )44fp k

j

DZ −= γ

ω, et la

pression transmise dans le milieu 2

( ) ( ) zjk zeTyxpzyxp−= ,,,2 , (3.2.7)

où ( ) θ222222sinkkkkkk tyxtz −=+−= , avec

t

tc

kω

= (3.2.8)

Deux cas vont se présenter :

Si θsinkkt

> , l’onde transmise est propagative

Si θsinkkt

< , l’onde transmise est évanescente

Il est pratique de faire une analyse sur le spectre de nombres d’onde. La pression de l’onde

incidente et la pression totale dans le milieu 1 sur la plaque, ( )yxp , , se représentent par un

point dans le domaine ( )yx kk , , de même que le déplacement et l’onde transmise dont la

fonction en x et y correspond à ( )yxp , .

Ce point, à une distance θsink du centre est toujours à l’intérieur du cercle de rayon

ck ω= (ou sur le cercle) car l’onde incidente est toujours propagative. Le type d’onde

transmise va dépendre de la célérité des ondes t

c dans le milieu 2. Son cercle de

rayonnement de rayon tt

ck ω= peut se retrouver à l’intérieure du cercle de rayonnement

de l’onde incidente (ce rayon ck ω= ). Quand le point ( )yx kk , se trouve entre les deux


21 21

cercles, l’onde transmise est évanescente. De plus, dans tous les cas où kkt

≠ , l’angle de

transmission t

θ se trouve différent de θ car

ttkk θθ sinsin = (3.2.9)

et c

c

k

k t

k

t

θθθ

sinarcsin

sinarcsin == (3.2.10)

Onde transmise

maxθ est l’angle de transmission maximum. Le point ( )yx kk , est alors sur le cercle de

rayon c

k ω= (onde incidente rasante : 2

πθ = )

Au-delà d’un angle d’incidence limite LIM

θ , l’onde transmise devient évanescente

2sinsin

πθ

tLIMkk = d’où

t

t

LIMc

c

k

karcsinarcsin ==θ (3.2.11)

Remarque : les angles maxθ et LIM

θ sont indépendants de caractéristiques de la plaque. Ils

ne dépendent que des rapports des célérités (par exemple : air vers eau, o13=LIM

θ et eau

vers air o13max =θ ).

kkt

=

)( cckktt

==

Toujours propagative

θθ =t

tk

)( cckktt

<>

Toujours propagative

max0 θθ ≤≤t

k

c

c

k

k t

t

arcsinarcsinmax ==θ

k

)( cckktt

><

Propagative )sin( θkkt

>

20

πθ ≤≤

t

Evanescente ( )sin( θkkt

< tk


22

L’utilisation des équations de continuité et les équations de la plaque (3.2.6) permettent

d’écrire le système

( ) ( )( ) ( )yxwjRyxpc

yxwz

p

z

,1,cos

,0

0

2

0

1 ωρ

θρω =−⇒=

∂

∂

=

(3.2.12)

( ) ( ) ( )yxwjTyxpkc

kyxw

z

p

ttt

t

z

,,, 22

0

2 ωρ

ρω =⇒=∂

∂

=

(3.2.13)

( ) ( ) ( ) ( )yxwjyxpTRyxwZjZ

ppp

p

,,1,21 ωω =−+⇒=−

(3.2.14)

Les inconnues sont le coefficient de réflexion R, le coefficient de transmission T et le

déplacement de la plaque, alors que la pression incidente sur la plaque ( )yxp , est la

donnée d’entrée. La résolution du système conduit à

( ) ( )

tincpZZZ

yxpyxwj

++=

,2,ω (3.2.15)

( )( )yxp

yxwjZT

t,

,ω= (3.2.16)

( ) ( )( )yxp

yxwjZR

inc,

,1

ω=− (3.2.17)

avec l’impédance de la plaque

( )[ ]

−=−−=

4

442222

4

sin1sin

f

f

f

pk

khjkk

k

hjZ

θρωθ

ρω (3.2.18)

et en notant

l’impédance de rayonnement coté milieu 2 z

t

tttk

kcZ ρ= (3.2.19)

l’impédance de l’onde incidente (milieu 1) θ

ρ

cos

0cZ

inc= (3.2.20)

3.2.2 - Facteur de transmission d’une plaque infinie Pour caractériser la transmission acoustique, le facteur de transmission est défini comme le

rapport de la puissance transmise sur la puissance de l’onde incidente sur la paroi

( )inc

t

W

W=θωτ , (3.2.21)

La puissance transmise par unité de surface s’exprime à partir de la relation (2.4.3) par

{ } ( )( )

2

2

222

22 ,4

sinRe

2,Re

2tincpt

ttttt

ZZZ

yxp

kk

kcyxwZW

++

−==

θ

ρω (3.2.22)


23 23

et la puissance incidente est celle d’une onde plane avec un angle d’incidence θ pour

laquelle cpZpu incincincincz 0cos ρθ== , d’où

{ } ( )θ

ρθ

ρcos

2

,cos

2Re

2

1

0

2

0

2

c

yxp

c

pupW

inc

incincinc z=== ∗ (3.2.23)

Le facteur de transmission s’exprime par

( )2222

0 1

sinRe

cos

4,

tincpt

ttt

ZZZkk

kcc

++

−=

θθ

ρρθωτ (3.2.24)

Dans le cas où l’onde transmise est évanescente : cct > et LIMθθ >

θ222sinkkkkk ttzt −= devient imaginaire et ( ) 0, =θωτ

Dans tous les autres cas, il y aura une puissance transmise. En utilisant alors la relation

(3.2.9)

tttttz kkkk θθ cossin222 =−= (3.2.24)

et

( )( ) ( )

[ ]

( ) ( )

( )2

0

2

4

442

0

2

0444

0

coscos

sin1

coscos4

coscossin1

coscos4,

++

−

=

++−=

t

tt

f

ttt

tttf

ttt

cc

k

kh

cc

cckkhj

cc

θ

ρ

θ

ρθρω

θρθρ

θρθρθρω

θρθρθωτ

(3.2.25)

Quand la fréquence de l’onde incidente est au-dessus de la fréquence critique, fkk > et il

est possible de rencontrer le cas où fkk =θsin . L’onde transmise est alors maximale.

C’est le phénomène de coïncidence qui apparaît quand la longueur d’onde projetée sur la

plaque correspond à la longueur d’onde de flexion naturelle. Pour toute fréquence ω au-

dessus de la fréquence critique cω , il existe un angle d’incidence coïnθ pour lequel le

phénomène apparaît. Inversement, pour tout angle θ , il existe une fréquence supérieure à

cω , nommée fréquence de coïncidence telle que ( ) fkc =θω sincoïn . En évaluant fk à

coïnω (éq. 2.1.2)

D

hc ρ

θω

2

2

coïnsin

= (3.2.26)

Ainsi 2

coïn

2 ωω peut remplacer le rapport 444 sin fkk θ dans l’expression (3.2.25) du

facteur de transmission.

Dans l'Annexe A, la relation (3.2.25) est étudiée pour deux fluides identiques.


24

3.3 – Plaque infinie excitée localement 3.3.1 - Vibration d’une plaque infinie excitée par une force ponctuelle

L’équation du déplacement sur la plaque est similaire à l’équation (3.1.3)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxpyxFyxwhyxwD a ,,,24 −=−∇ δδρω (3.3.1)

avec des modifications dans le second membre :

- une force ponctuelle d’amplitude F est appliquée à l’origine ( 0,0 == yx ),

- ( )yxpa , représente la trace de la pression acoustique sur la plaque :

( ) 0, =yxpa pour une hypothèse de fluide léger,

( ) ( ) ( )0,,0,,, 12 yxpyxpyxpa −= pour deux fluides lourds sur chaque face,

( ) ( )0,,, yxpyxpa = pour un fluide lourd dans la région 0>z ( 2pp = ).

Remarque : l’amplitude des variables Fw, et ap dépendent de la pulsation ω .

Compte tenu de la symétrie axiale du problème, le déplacement est représenté en

coordonnées polaires en utilisant la transformation ϕcosrx = , ϕsinry = . L’opérateur de

Laplace en deux dimensions devient (avec 0≡∂∂ ϕ )

+=∇≡∇

dr

d

rdr

dr

12

222 et

l’équation du déplacement d’écrit

( ) ( ) ( ) ( ) ( )rpr

rFrwhrwD ar −=−∇

π

δρω

2

222 (3.3.2)

Pour résoudre ce problème, nous utiliserons la transformée de Hankel directe et inverse

( ) ( ) ( ) drrrkJrwkW rr 00∫∞

= (3.3.3)

( ) ( ) ( )rrrr dkkrkJkWrw 0

0∫∞

= (3.3.4)

( )rkJr0 est la fonction de Bessel d’ordre 0 et de variable rk

r, dont nous utiliserons en

particulier la propriété

( ) ( ) ( )rkJkrkJdr

d

rdr

drkJ rrrrr 0

2

02

2

0

2 1−=

+=∇

pour les transformées directe et inverse du Laplacien en symétrie axiale :

( ) ( ) ( ) drrrkJrwkWk rrrr 00

22

∫∞

∇=− (3.3.5)

( ) ( )[ ] ( )rrrrrr dkkrkJkWkrw 0

0

22

∫∞

−=∇ (3.3.6)

Par rapport au domaine des nombres d’onde ( )yx kk , , la variable

rk satisfait la relation

222

yxr kkk += . Pour plus de précision sur la transformée de Hankel, on pourra se reporter à

Williams ou Bracewell3 . A partir de ces définitions, la transformée de Hankel de

l’équation (3.3.2) est

( ) ( ) ( )rarrr

kPF

khWkWkD −=−π

ρω2

24 (3.3.7)

3 R.N. Bracewell, The Fourier transform and its applications (2nd ed.), McGraw-Hill, 1986.


25 25

Le déplacement peut s’écrire (en utilisant la relation (2.1.3) pour fk )

( )( )

( )44

2

fr

ra

rkkD

kPFkW

−

−=

π (3.3.8)

Les ondes acoustiques sont les solutions de l’équation de Helmholtz en cordonnées

polaires

( ) ( ) 0,,2

2

22 =+

∂

∂+∇ zrpkzrp

zr

(3.3.9)

dont la transformée de Hankel est

( ) ( ) ( ) 0,, 22

2

2

=−+∂

∂zkPkk

z

zkPrr

r (3.3.10)

La solution générale de cette équation est

( ) zkkjzkkj

rrr eBeAzkP2222

,−−− += (3.3.11)

En considérant seulement un fluide dans le milieu 0>z (pour simplifier les notations),

( ) ( )zrpzrpa

,, = et les équations du problème sont :

Plaque : en exprimant la relation (3.3.7) à partir de l’impédance de la plaque infinie (voir Annexe B)

( ) ( ) ( )0,2

rrrpkP

FkWkZj −=

πω (3.3.12)

Milieu fluide ( 0>z ) : la condition de Sommerfeld appliquée à la solution de l’équation de

Helmholtz (3.3.10) conduit à ne considérer que le premier terme de (3.3.11)

( ) zjkzkkj

rzr eAeAzkP

−−− ==22

, (3.3.13)

Interface fluide/plaque : elle est définit par la transformée de Hankel de la relation de

continuité (2.3.5)

( )( )

r

z

r kWdz

zkdP0

2

0

,ρω=

=

(3.3.14)

En utilisant la solution (3.3.13), cette dernière relation devient

( ) ( )rrz

kWkPjk 0

20, ρω=− (3.3.15)

En employant l’expression de l’impédance de rayonnement (2.3.6), la pression sur la

plaque s’écrit ( ) ( ) ( ) ( )rrrzrr

kWkZjkkWjkP ωρω == 0

20, , et reportée dans l’éq.

(3.3.12) donne la solution pour la transformée de Hankel du déplacement

( )( ) ( )[ ]

rprr

rkZkZj

FkW

+=

ω

π2 (3.3.16)

Le déplacement sur la plaque s’obtient par la transformée inverse

(3.3.17)

( )( )

( ) ( )[ ]∫∞

+=

0

0

2r

rprr

rr dkkZkZ

krkJ

j

Frw

πω


26

Cette intégrale peut être résolue en utilisant une intégrale de contour dans le plan complexe

rk et l’évaluation des résidus. Pour cela, l’intégrale est étendue vers ∞− en utilisant les

propriétés suivantes de la fonction de Hankel ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )αααααααα −−=+=−= 1

0

2

000

2

000

1

0 ,, HHjNJHjNJH

qui conduisent à écrire

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ααααα −−=+= 1

0

1

0212

0

1

021

0 HHHHJ

et finalement à exprimer le déplacement par

(3.3.18)

L’intégrale de l’équation précédente est remplacée par une intégrale sur le contour C dans

le plan complexe r

k , comme illustré sur la Figure 4.1. Les résidus sont associés aux

singularités de l’expression sous l’intégrale et, pour évaluer leur contribution, il faut déterminer les pôles de la relation (3.3.18). Pour plus de détail sur cette méthode on se

reportera à Junger et Feit et à Morse et Ingard 4 .

Figure 3.6 – Contour d’intégration dans le plan complexe pour l’intégrale (3.3.18).

Les résidus sont déterminés à partir des zéros de ( ) ( )rprr kZkZ + qui sont les pôles du

déplacement dans le plan complexe. Les zéros sont les racines de l’équation de dispersion

( ) ( ) 0=+ rprr kZkZ qui correspondent aux ondes naturelles de flexion de la plaque

chargée par le fluide. L’expression de l’équation de dispersion (à partir de 3.1.13)

[ ] 044

4

0 =−−fr

fz

kkk

hj

k

ρρ (3.3.19)

montre qu’elle est similaire à l’éq. (3.1.13) et conduit à une équation du 5ème

degré dont la forme des solutions a été discutée précédemment (l’absence d’un facteur 2 dans le premier

terme correspond à notre hypothèse d’un fluide lourd sur une seule face). Junger et Feit étudient des solutions approchées de l’équation (3.3.18) en utilisant l’hypothèse basse

fréquence qui a conduit à la relation (3.1.25). Pour obtenir une solution analytique au problème, nous allons faire ici encore l’hypothèse d’un fluide léger en négligeant

l’influence de l’impédance de rayonnement ( )rr

kZ . Les racines ont été calculées

précédement. Il est aussi possible d’utiliser l’équation (3.3.8) avec ( ) 0=ra

kP , d’où

4 P.M. Morse, K.U. Ingard, Theoretical Acoustics, McGraw-Hill, 1968.

( )( ) ( )

( ) ( )[ ]∫+∞

∞−+

= r

rprr

rr dkkZkZ

krkH

j

Frw

1

0

4πω


27 27

( )( ) ( )

( )∫+∞

∞− −=

r

fr

rr dkkk

krkH

D

Frw

44

1

0

4π (3.3.20)

Dans ce cas les pôles sont donnés par 044 =− fr kk dont les 4 solutions sont fr kk ±= et

fr jkk ±= . Le calcul de l’intégrale sur le contour C et des résidus pour les 4 pôles conduit

à

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]rjkHrkHDk

Fjrw

ff

f

−−−= 1

0

1

028

(3.3.21)

et avec la fonction de Bessel modifiée de première espèce ( ) ( ) ( )απ

α jHjK −−= 1

002

( ) ( ) ( ) ( )

−−= rkKjrkH

Dk

Fjrw

ff

f

0

1

02

2

8 π (3.3.22)

L’expression du déplacement représente la propagation des ondes de flexion à partir d’une

excitation ponctuelle. La fonction de Bessel modifiée ( )rkKr0 est réelle et la fonction de

Hankel ( ) ( ) ( ) ( )rkNjrkJrkH fff 001

0 −= est complexe. La Figure 3.7a montre le

comportement des fonctions ( )rkN f0 et ( ) ( )rkK f02 π . Leur somme, qui devient nulle à

l’origine, est la partie imaginaire de (3.3.22). Elle est représentée sur la Figure 3.7b avec la

partie réelle ( )rkJ f0

( ) ( ) ( ) 102

0 0

1

0 =− KjHπ

(3.3.23)

Quand 1>>rk f , ( ) ( ) ( )410

2 π

π

−−→

rkj

f

ffe

rkrkH et ( ) rk

f

ffe

rkrkK

−→

ππ

220

(3.3.24)

Figure 3.7 – Déplacement de la plaque infinie excitée ponctuellement.


28

L’impédance mécanique en un point de la plaque infinie est

( ) ωωδ

Dk

wj

FZ

f

28

0== (3.3.25)

3.3.2 – Rayonnement de la plaque excitée en un point A partir des équation (3.3.13) et (3.3.15), la pression rayonnée s’exprime dans le domaine des nombres d’onde

( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) zkkj

rrrr

z

r

r

zkkj

rf

f

ekWkZjzkP

jk

kWkP

eAzkP22

22

,0,

,

0

2−−

−−

=⇒

−=

=ωρω (3.3.26)

et en utilisant l’expression du déplacement (3.3.16), on obtient une expression valable dans

le cas général (fluide lourd)

( )( ) ( )

( ) ( )[ ]rprr

zkkj

rrr

rkZkZ

ekWkZFzkP

f

+=

−− 22

2,

π (3.3.27)

La pression au-dessus de la plaque infinie est la transformée de Hankel inverse de cette

dernière expression (d’après 3.3.18)

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]∫∞+

∞−

−−

+= rr

rprr

r

zkkj

rrr dkkkZkZ

rkHekWkZFzrp

f 1

0

22

4,

π (3.3.28)

La pression ne peut généralement pas être obtenue analytiquement. Cependant une

évaluation de cette intégrale peut s’obtenir dans le champ lointain en utilisant la méthode

de la phase stationnaire qui permet de calculer la valeur asymptotique de (3.3.28) (voir

Junger et Feit ou Junger et Perulli 5).

Nous nous intéressons à une autre méthode basée sur la formule de Rayleigh qui exprime

la pression dans le champ lointain en fonction de la distribution des vitesses vibratoires sur

un plan

( ) ( )∫∫⋅

−

=S

RjkjkR

dSewjR

ejp RrrR ω

π

ρω

2

0 (3.3.29)

point dans le champ lointain ( )θφθφθ cos,sinsin,cossin RRR=R

point sur la plaque ( )0,sin,cos φφ ′′= rrr

ce qui conduit en une expression de la pression en coordonnées polaires

( ) ( )∫∫ ′−=∞− π

ψθ ψφπ

ρωφθ2

0

cossin

0

0

2,

2,, drrderw

R

eRp

jkrjkR

(3.3.30)

avec φφψ ′−= . Pour un champ de déplacement à symétrie axiale ( ) ( )rwrw =′φ,

l’intégrale de ψd devient

5 M.C. Junger, M. Perulli, Eléments d’acoustique physique, Maloine, 1978. p.69.


29 29

( )∫ =π

ψθ θπψ2

0

0

cossinsin2 krJde

jkr

En notant θsinkk r = , la pression en champ lointain (3.3.29) peut s’exprimer en fonction

de la transformée de Hankel du déplacement

( ) ( ) ( ) ( )r

jkR

r

jkR

kWR

edrrrkJrw

R

eRp

−∞−

−=−= ∫ 0

2

0

00

2, ρωρωθ (3.3.31)

soit

(3.3.32)

Il est possible d’employer dans cette équation, par exemple l’expression analytique de

( )rkW pour le fluide léger

( ) ( )( ) ( )

+−

−=

−===

2222244

11

2

22sin

frfrffrrp

rkkkkDk

F

kkD

F

kZj

FkWkW

π

π

ω

πθ

( ) ( )θρωθ sin, 0

2kW

R

eRp

jkR−

−=


30

Vibroacoustique plane Plaque finie

31 31

4 – PLAQUE FINIE COUPLEE 4.1 - Equations du problème

La plaque finie sépare deux milieux infinis. Elle est encastrée dans un baffle plan infini et

rigide. Par rapport aux équations du cas où la plaque est infinie, il faut prendre en compte

� 1es conditions aux limites de la plaque finie

� les conditions de continuité baffle / fluide 0=∂

∂z

p

Milieu 1 (z < 0)

( ) ( )1

11

2

11

2avec0,,,,

ckzyxpkzyxp ω==+∇ (4.1)

Interface milieu 1 / plaque-baffle ( −= 0z )

( ) ( )( ) ( )

∈

∉=

∂

∂

=Syx,yxw

Syx,

z

zyxp

zpour,

pour0,,

1

2

0

1

ρω (4.2)

Plaque (z = 0)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,,0,,,,, 21

24 yxpyxpyxFyxwhyxwD −+=−∇ ρω (4.3)

( ){ } 0,CL =yxw (4.4)

Interface milieu 2 / plaque-baffle ( += 0z )

( ) ( )( ) ( )

∈

∉=

∂

∂

=Syx,yxw

Syx,

z

zyxp

zpour,

pour0,,

2

2

0

2

ρω (4.5)

Milieu 2 (z > 0)

( ) ( )2

22

2

22

2avec0,,,,

ckzyxpkzyxp ω==+∇ (4.6)

4.2 - Solution générale du problème

Le déplacement est représenté dans la base modale de la plaque dans le vide. Le couplage

avec le fluide s’effectue par l’intermédiaire d’impédances de rayonnement modales. Pour

résoudre le problème, et calculer la pression acoustique dans le milieu 2, nous exprimons

son spectre de nombre d’onde par la Transformée de Fourier Spatiale 2D (TFS) de la

pression sur un plan (x,y). Pour simplifier les notations, nous considérons

20222 et ,, ρρ ==== kkccpp .

( ) ( ) ( )dydxezyxpzkkP

ykxkj

yxyx∫∫

+∞

∞−

++∞

∞−

= ,,,, (4.7)

La transformé de Fourier de l’équation de Helmholtz (4.1)


32

( )( ) ( ) 0,,

,,222

2

2

=−−+∂

∂zkkPkkk

z

zkkPyxyx

yx (4.8)

avec ( ){ } ( ) ( ){ }yxaFkkyxaF DyxD ,, 2

222

2 +−=∇ (4.9)

permet d’exprimer la solution de la pression sous la forme

( ) zjkyx

zeAzkkP−=,, (4.9)

avec 222

yxz kkkk −−= (en utilisant la condition de Sommerfeld pour éliminer la solution

d’une onde incidente sur la plaque en zjk ze ).

Par ailleurs la transformé de Fourier de la relation de continuité (4.2)

( ) ( )yx

z

yxkkW

z

zkkp,

,,0

2

0

ρω=∂

∂

=

(4.9)

où

( ) ( ) ( )dydxeyxwkkW

S

ykxkj

yxyx∫∫

+= ,, (4.10)

permet d’exprimer la TFS pression rayonnée à partir de la TSF du déplacement de la

plaque

( ) ( )yxzjk

z

yx kkWek

kcjzkkP z ,,, 0 −=

ρω (4.11)

La transformée de Fourier inverse conduit à la pression dans le milieu semi-infini

( ) ( ) ( )

ππ

ρω

22,,,

222

222

0 yxykxkj

yx

zkkkj

kkk

dkdkekkWe

ckjzyxp yxyx

yx

∫∫∞+

∞−

+−−−−

−−

∞+

∞−

= (4.12)

4.3 - Solution pour la pression en champ lointain

En utilisant les coordonnées sphériques

θ

φθ

φθ

cos

sinsin

cossin

Rz

Ry

Rx

=

=

=

l’équation (4.12) devient

( )( )

( )ππ

ρωφθθφθφθ

22,,,

cossinsincossin

0

yxyx

z

kkkjR dkdkkkW

k

ejRp

zyx ++−∞+

∞−

∞+

∞−∫∫= (4.13)


33 33

Cette intégrale à l’avantage de pouvoir se calculer la méthode de la phase stationnaire

quand 1>>kR en champ lointain (voir Junger et Perulli 6 et Guyader et Lesueur)

Avec la phase ( ) ( )θφθφθα cossinsincossin, zyxyx kkkRkk ++= , les résultats du calcul

sont de la forme

( )( )( )

( )( )( )

( )yj

yz

y

y

ye

k

WjjRp

γγα

γγ

γγ

γγβ

γγβρωφθ

,

x

x

x

x

02 x

,

,

,

,sign,,

−≈ (4.14)

avec ( )2

2

2

22

2

x ,yxyx

ykkkk

kk∂

∂−

∂

∂−

∂∂

∂=

αααβ (4.15)

et où xγ et yγ sont les valeurs de xk et yk pour lesquels la phase ( )yx kk ,α est stationnaire,

c’est à dire quand

0et 0 =∂

∂=

∂

∂

yx kk

αα (4.16)

ce qui conduit à

φθγφθγ sinsinet cossin kk yx == (4.17)

donc

( )( )

( )2

cos,

cos,

,

=

=

=

θγγβ

θγγ

γγα

k

R

kk

kR

yx

yxz

yx

soit finalement

( ) ( )φθφθπ

ρωφθ sinsin,cossin4

,, 0

2kkW

R

eRp

jkR−

−≈ (4.18)

Cette relation est à rapprocher de la relation (I.4-30) obtenue pour un champ axisymétrique

au-dessus d’une plaque infinie. En effet, le cas d’une symétrie axiale, la transformée de

Hankel correspond à la transformée de Fourier avec

φ

φ

φ

φ

sin

coset

sin

cos

ry

rx

kk

kk

y

rx

=

=

=

=

De plus, ces résultats correspondent à notre interprétation de la représentation des données

dans le domaine des nombres d’onde :

chaque point du plan ( )yx kk , qui se trouve à l’intérieur du cercle de rayon ck /ω=

correspond à onde plane qui se propage dans la direction ( )φθ , telle que

φθφθ sinsinet cossin kkkk yx ==

6 M.C. Junger, M. Perulli, Eléments d’acoustique physique, Maloine, 1978. p.69.


34

4.4 – Solution pour la pression en champ proche : problème couplé La démarche qui est proposée ici est également décrite par Guyader et Lesueur (1994). On

n’en trouvera ici que les grandes lignes. Les détails sont reportés dans l’Annexe C.

4.4.1 - Distribution de pression sur la surface de la plaque

L’équation de la plaque (4.3) montre que la pression pour z = 0 (pression pariétale) va

influer sur la solution du déplacement. On peut écrire à partir de (4.12)

( )( ) ( )

ππ

ρω

22

,0,,

222

0 yxykxkj

yx

yx dkdke

kkk

kkWkcjyxp yx +−

∞+

∞−

∞+

∞−∫∫

−−= (4.19)

Le déplacement de la plaque peut s’exprimer sur la base modale

( ) ( ) ( )yxayxw mn

nm

mn ,,,

φω∑∞

= (4.20)

où ( )yxmn ,φ est la déformée modale du mode ( )nm, . Les déformées modales vérifient les

propriétés d’orthogonalité qui conduit à écrire pour deux modes différents ( )nm, et ( )lk ,

( ) ( )∫∫ =S

klmn dydxyxyx 0,, φφ (4.21)

On cherche maintenant à écrire la pression sur la surface de la plaque en utilisant les

fonctions de la base modale

( ) ( )yxbyxp kl

lk

kl ,0,,,

φ∑∞

= . (4.22)

Cette opération est possible car les déformées modales sont des fonctions orthogonales

mais le problème est de trouver les coefficients klb . Une méthode classique consiste à

utiliser les propriétés d'orthogonalité de la base modale. Les deux membres de la relation

obtenue à partir des équations (4.19) et (4.22) sont multipliés par ( )yxpq ,φ et intégrés sur

la surface de la plaque. En remplaçant dans la relation (4.19) ( )yx kkW , par la transformée

de Fourier de l'équation (4.20) ( ) ( ) ( )yxmn

nm

mnyx kkakkW ,,,

Φ=∑∞

ω , on obtient (voir détails

en annexe C)

( ) ( )ωωω mnpq

nm

mnpq Zajb ∑∞

=,

, (4.23)

avec l’impédance de rayonnement

( ) ( ) ( )ππ

ρω

22,,

222

0 yxyxpqyxmn

yxpq

mnpq

dkdkkkkk

kkk

k

N

cZ −−ΦΦ

−−= ∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

. (4.24)


35 35

La pression pariétale (4.22) prend la forme

( ) ( ) ( ) ( )yxZajyxp pqmnpq

qp

mn

nm

,0,,,,

φωωω ∑∑∞∞

= (4.25)

Remarques

1) La pression rayonnée prend en compte des effets croisés entre les modes ( )nm, et

les modes ( )qp,

2) Les impédances de rayonnement sont complexes

( ) ( ) ( )ωωω mnpqmnpqmnpq IjRZ +=

Sandman7 (1975) a calculé numériquement l'intégrale (4.24) dans le cas d'une

plaque composite chargée par un fluide lourd. Les termes directs sont positifs avec

une partie réelle qui tend en hautes fréquences vers l'impédance caractéristique du

fluide, lors que les termes croisés oscillent autour de zéro (Figure 4.1)

Figure 4.1 – Impédances de rayonnement pour une plaque composite chargée par un fluide lourd

(d'après Sandman, 1975)

3) La pression en champ lointain (4.18) peut aussi s’exprimer en utilisant la base

modes

( ) ( ) ( )φθφθωπ

ρωφθ sinsin,cossin4

,,,

0 kkaR

eRp mn

nm

mn

jkR

Φ−≈ ∑∞−

.

Les termes croisés n’existent pas dans l’expression de la pression en champ

lointain.

7 B.E. Sandman, "Motion of a three-layered elastic-viscoelastic plate under fluid loading", Journal of the

Acoustical Society of America 57(5) (1975) 1097-1107.

c

Z

0

1111Reρ

c

Z

0

1111Imρ

c

Z

0

1113Imρ

f

f

0

0

4.0

4.0−

1

c

Z

0

1113Reρ


36

4.4.2 – Réponse vibratoire couplée de la plaque

Pour calculer la pression pariétale à l'aide de (4.22) il est également nécessaire, en plus de

l'impédance de rayonnement, de connaître les coefficients modaux du déplacement mna .

Ceux-ci dépendent dans le problème couplé de l'excitation mécanique de la plaque mais

aussi de la pression pariétale selon l'équation (voir Annexe C)

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) rsmnrs

nm

mnrsrsrsrs NZajyxFjaNh ωωωωηωωρ ∑∞

−=−+,

22 ,1 . (4.26)

force modale généralisée appliquée au mode ( )sr,

( ) ( ) dydxyxyxFjF rsS

rs ,, φω∫∫−=

La relation (4.26) représente un système d’équations

( )rs

rs

nm

mnmnrsN

FaA =∑

∞

ω,

(4.27)

avec

[ ] ( )ωωδδηωωωρ mnrsnsmrrsrsmnrs ZjjhA ++−= 222 (4.28)

En tronquant le système infini, il est possible de l’écrire sous forme matricielle

[ ] ijij faA = ou faA = (4.29)

les indices i correspondent aux modes (r,s) et les indices j aux modes (m,n). Ainsi, le

vecteur a d’éléments ( )ωmnj aa = , le vecteur f d’éléments rs

rs

iN

Ff = et la matrice A

d’éléments rsmnij AA = .

Remarques :

1) la matrice A est symétrique : TAA =

2) dans l’équation (4.26), il a été seulement considéré le couplage avec le milieu 2

(le milieu est supposé comporter un fluide léger). Dans le cas d’un fluide lourd

sur les deux faces il faudrait remplacer mnrsZ par ( ) ( )21

mnrsmnrs ZZ + .

Pour déterminer les coefficients ( )ωmna , il faut inverser la matrice A :

fAa 1−= (4.30)

Contribution de

la pression


37 37

Le déplacement de la plaque excitée par une force ( )yxF , et couplée à des fluides lourds

s’écrit alors


N

nm

mn ,,,

φω∑= (4.31)

Dans le cas de fluides légers (air), il est supposé que les termes non diagonaux de

l’équation (4.28) peuvent être négligés. La matrice A est seulement constituée de termes

diagonaux et

( ) ( )yxAN

Fyxw mn

N

nm mnmnmn

mn ,,,

φ∑= (4.32)


38


39 39

5 - PUISSANCE ACOUSTIQUE RAYONNEE

La puissance acoustique rayonnée Π est souvent utilisée en pratique pour avoir une

évaluation globale du rayonnement d'une structure. Le facteur de rayonnement est une

grandeur souvent utilisée

( )∫∫

Π=

Sdydxyxw

c 22

0 ,2

ωρσ (5.1)

Dans le cas d'un fluide léger, le couplage inter-modal peut être généralement négligé.

Cependant des auteurs (Keltie et Ping, 1987; Berry, 1991) ont montré que dans certaines

situations le couplage inter-modal pouvait contribuer sensiblement au rayonnement, même

pour des fluides légers. C'est le cas pour des conditions aux limites inhomogènes, la

présence de raidisseurs et l'excitation entre des fréquences de résonance, où la contribution

des termes couplés peut être aussi importante que celle des termes directs.

Le couplage modal est décrit par la matrice d'impédance de rayonnement [ ]mnpqZ , dont les

termes non-diagonaux représentent le couplage intermodale (les parties réelles

correspondent à la résistance et les parties imaginaires à la réactance).

D'autres approches permettant de prendre en compte le couplage inter-modal consistent à

utiliser l'expression obtenue à partir de

� l'expression de la pression pariétale en fonction de l'impédance intermodale de

rayonnement,

� la transformée de Fourier spatiale 2D de la vitesse vibratoire (2.18),

� l'évaluation numérique de l'intégrale de Rayleigh.

5.1 - Puissance rayonnée par une plaque finie en considérant le couplage intermodal Méthode du rayonnement en champ lointain

L'équation (3.3.2) donnant la pression en champ lointain à partir de la transformée de

Fourier en deux dimensions ( )yx kkW , du déplacement vibratoire est utilisée pour calculer

l'intensité radiale sur un hémisphère de rayon infini

( )( )

c

RpRI

r

0

2

2

,,,,

ρ

ϕθφθ ≈ (5.2)

d'où la puissance acoustique rayonnée

( ) ( )∫∫=Π2

0

22

02

4

0 sin,8

ππφθθ

π

ωρω ddkkW

cyx (5.3)

avec φθ cossin0kkx

= et φθ sinsin0kk y = .


40

L'expression modale ( ) ( ) ( )yxmn

nm

mnyxkkakkW ,,

,

Φ=∑∞

ω sera employée. Généralement

l'intégrale de l'équation (5.3) est calculée numériquement, mais ce calcul peut être long à

cause des variations importantes de la directivité, spécialement en moyennes et hautes

fréquences.

Méthode du calcul de la puissance en champ proche

La puissance rayonnée dans le milieu 2 peut s'exprimer en considérant le flux à la surface

de la plaque

( ) ( ){ }∫∫∗=Π

sz

dxdyyxuyxp 0,,0,,Re2

1 (5.4)

En remplaçant z

u par wjω et en exprimant la pression pariétale et le déplacement selon les

modes de la plaque (Eq. 4.26 et 4.20)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) dydxyxyxaZa

dydxyxayxZa

rss

pq

sr

rsmnpqmn

qpnm

sqp sr

rsrspqmnpqmn

nm

,,Re2

,,Re2

,,,

2

, ,,

2

φφωωωω

φωφωωω

∫∫∑∑∑

∫∫ ∑ ∑∑

∞∗

∞∞

∞ ∞∗

∞

=

=Π

(5.5)

En utilisant la relation d’orthogonalité (4.21), il ne restera que les termes pour lesquels

( ) ( )qpsr ,, = et ( )∫∫ =s

pqpq Ndxdyyx,2φ , d’où

( ) ( ) ( ){ } pq

qp

pqmnpqmn

nm

NaZa∑∑∞

∗∞

=Π,,

2

Re2

ωωωω

(5.6)

Cette méthode repose sur l'évaluation de l'impédance de rayonnement et de ses termes

croisés (tout du moins en fluide lourd). Ce problème est délicat et Davies8 (1971) est le

premier à proposer des formulations exactes pour une plaque simplement supportée.

L'intégrale de la relation (5.25) est calculée dans le plan complexe. Les approximations

utilisées conduisent à limiter les résultats dans le domaine des basses fréquences, (quand la

longueur d'onde acoustique est plus grande que la plus grande dimension de la plaque maxL

( π<maxkL ). Lomas et Hayek (1977) ont étendu les calculs de Davies aux plaques

encastrées et Pope et Leibowitz (1974) améliorèrent sa méthode pour obtenir des

formulations plus précises pour les termes croisés.

Une autre approche a été employée par Sandman9 (1977) pour calculer la résistance de

rayonnement à partir de l'intégrale de Rayleigh pour une plaque bafflée

( ) ( ) ( ) ( ) βαβαβαφβαβα

βαφπ

ωρω ′′′′

−

′′= ∫ ∫∫ ∫

− −− −

ddddjk

g

r

akZ pqmnmnpq ,

,,,,

32

1

1

1

1

1

1

1

1

2

4

0 (5.8)

8 H.G. Davies, "Low frequency random excitation of water-loaded rectangular plates", J. Sound Vib. 15, 107-

126 (1971). 9 B.R. Sandman, "Fluid-loaded vibration of an elastic plate carrying a concentrated mass", J. Acoust. Soc.

Am. 61, 1503-1510 (1977).


41 41

où ax2=α et by2=β sont les coordonnées réduites de la plaque rectangulaire de

dimension ba × et

( )( )

( )ξβαβα

ξ

2,,,

2

a

eg

ajk−

=′′ (5.9)

avec ( ) ( )2

22

r

ββααξ

′−+′−= et le rapport des dimensions

b

ar = .

Sandman évalue numériquement les différents coefficients de rayonnement mais la

méthode est coûteuse en temps de calcul. Berry10

(1994) puis Atalla et Nicolas11

(1994)

utilisent des approximations permettant de réduire le temps de calcul en conservant une

bonne précision (cette technique est employée dans le logiciel ADNR de l'Université de

Sherbrooke). Cette approximation est basée sur la représentation de la fonction de Green

(5.9) comme une série de puissance croissante de ξk .

Simplification pour les fluides légers

Dans le cas d’un fluide léger où seuls les termes diagonaux de ( )ωmnpqZ auront de

l’influence

( ) ( ){ } mnmnmn

nm

mn NZa ωωω

Re2 ,

22

∑∞

=Π (5.4)

Remarques : sans introduire la notion de mode, la puissance acoustique peut s’exprimer

dans le domaine des nombres d’onde en utilisant la relation de Parseval

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }ππ 22

0,,0,,Re2

10,,0,,Re

2

1 yx

yxzyxs

z

dkdkkkUkkPdydxyxuyxp ∫∫∫∫

+∞

∞−

∗+∞

∞−

∗ = (5.5)

En remplaçant la TFS de la pression pariétale par son expression (4.19) et avec

),()0,,( yxyxz kkWjkkU ω= ,

( ) ( )

( )∫∫

∫∫

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∗∞+

∞−

−−=

−−=Π

ππ

ωρ

ππ

ρω

22,Re

2

22

,,Re

2

2

222

2

0

222

02

yx

yx

yx

yx

yx

yxyx

dkdkkkW

kkk

kc

dkdk

kkk

kkWkkWck

(5.6)

En utilisant la base modale, dans le cas de fluide léger (pas de termes diagonaux pour la

puissance)

( ) ( ) rs

sr

rsS

Nadydxyxw2

,

2, ∑∫∫ = ω

10 A. Berry, "A new formulation for the vibrations and sound radiation of fluid-loaded plates with elastic

boundary conditions", J. Acoust. Soc. Am. 96, 989-901 (1994). 11 N. Atalla, J. Nicolas, "A new tool for predicting rapidly and rigorously the radiation efficiency of plate-like

structure", J. Acoust. Soc. Am. 95, 3369-3378 (1994).


42

le facteur de rayonnement peut être exprimé pour chaque mode (d’après les expressions

(5.1) et (5.4))

( ) ( ){ }

( )

( ){ }c

Z

Nac

NZamnmn

mnmn

mnmnmnmn

mn

022

0

22

Re

2

Re2

ρ

ω

ωωρ

ωωω

σ == (5.7)

L'expression de la pression en champ lointain à partir de l'intégrale de Rayleigh permet de

calculer la puissance acoustique. En particulier Wallace12

(1972) a obtenu une expression

analytique de la pression en champ lointain pour les modes ( )qp, d'une plaque

rectangulaire simplement supportée

( ) ( ) ( )yxpqpq LyqLxpayxw ππ sinsin, =

en considérant l'intégrale

( )( ) ( )

dydxR

eLyqLxparp

yxL jkR

yx

L

pq

∫∫−−

=00

0

2sinsin

2,,

ππ

π

ρωφθ .

La valeur quadratique de cette expression est ensuite intégrée sur une sphère de rayon

infinie pour obtenir la puissance acoustique rayonnée et ensuite le facteur de rayonnement

modal. Cette approche est surtout utilisée pour traiter les problèmes sans couplage

intermodal.

Figure 5.1 – Facteur de rayonnement modaux d’une plaque rectangulaire simplement

supportée (d’après Wallace, 1972).

12 C.E. Wallace, "Radiation resistance of rectangular panel", J. Acoust. Soc. Am. 51, Part 2, 946-952 (1972)


43 43

5.2 - Puissance rayonnée par une plaque rectangulaire Pour une plaque rectangulaire de dimensions ba × , il est possible de préciser les

déformées modales ( )yxpq ,φ . Des expressions analytiques sont accessibles dans les cas où

la plaque comprend deux bords opposés simplement supportés. En considérant le cas le

plus simple (quatre bords simplement supportés)

( )

=

b

yq

a

xpyxpq

ππφ sinsin, (5.10)

Dans ce cas, la déformée du mode ( )qp, peut s’écrire sous la forme du produit de deux

fonctions ( ) ( ) ( )yxyx qppq φφφ =,

( ) ( ) ( ) ( )yxakkW qppqyx

2222

, φφω∑= (5.11)

A partir de l'équation (5.6), une expression pour une plaque dont une des dimensions est

infinie peut être obtenue pour simplifier le problème

( ) ( )∫+

− −

Φ=Π

k

k

x

x

yxpp dk

kk

kkkac

π

ωωρ

2

,

2 22

222

0 (5.12)

avec la TFS de la déformée ( ) ( )axpxp πφ sin= qui s'écrit

vérifier

( )

−

−=Φ

2sin

2 2

2

2 π

π

pak

pak

ak x

x

xp ( )( )

−

−=Φ

2sin

2 2

2

22

2 π

π

π pak

apk

apk x

x

xp (5.3)

La Figure 5.2 représente ce spectre de nombre d'onde dont la valeur maximale se trouve en

a

pkx

π= (sauf pour le monde fondamental 1=p dont la valeur maximale se trouve en

0=xk ).

Figure 5.2 – Spectre de nombre d'onde de la déformée du mode p.

( )xp k2Φ


44

Pour une fréquence correspondant à cfk π2= , le résultat de l'intégration de l'expression

(5.12) est représenté par la surface hachurée. Quand k approche de la valeur apk x π= ,

la puissance rayonnée s'accroît rapidement. Si à la fréquence naturelle

( )2aphDp πρω = du mode p , apπ est supérieur à k , le rayonnement est maximum.

C'est cette constatation qui permet de définir des expressions simplifiées du facteur de

rayonnement : la contribution d'un mode est essentiellement sensible à sa fréquence de

résonance.

Exemple : pour deux plaques d'épaisseurs différentes, leur mode p a le même spectre de nombre

d'onde (car même fréquence modale) mais les fréquences de résonance sont différentes :

a) Plaque mince : à la fréquence de résonance 1pω , le nombre d'onde acoustique

apck p πω <= 11 et le mode rayonne peu,

b) Plaque épaisse : à la fréquence de résonance 2pω , le nombre d'onde acoustique

apck p πω >= 22 et une plus grande proportion du spectre de nombre d'onde,

dont le pic, peu rayonner de l'énergie.

Pour une plaque rectangulaire, les valeurs maximales du spectre quadratique de nombre

d'onde correspondant aux modes ( )qp, sont représentées comme des points sur un

maillage (Figure 5.3)

bqk

apk

y

x

π

π

±=

±= (5.14)

Figure 5.3 – Représentation du spectre de nombre d'onde pour une plaque

rectangulaire simplement supportée. Un cercle correspond à un nombre d'onde

acoustique cω .


45 45

L'équation de propagation des ondes de flexion dans une plaque conduit à la condition

D

hkkk fyx

ρω 2222 ==+ (5.15)

En reportant les valeurs des relations (5.14) dans l'équation précédente, la fréquence propre

du mode ( )qp, est obtenue (plaque simplement supportée)

+

=

22

b

q

a

p

h

Dpq

ππ

ρω (5.16)

Au-dessus de la fréquence critique cω , par définition 22

yxf kkkk +=> et tous les modes

résonnants rayonnent. En dessous de la fréquence critique, on peut trouver une des trois

configurations suivantes :

1) ,, bqkapk ππ <>

2) ,, bqkapk ππ ><

3) ,, bqkapk ππ <<

Ces 3 configurations sont illustrées par les Figures 5.4 et 5.5a à 5.5c qui montrent que les

cas 1 et 2 (modes de bord) produisent un rayonnement plus efficace que le cas 3 (mode de

coin).

Ce phénomène est souvent expliqué par la compensation des régions adjacentes (Figure

5.6).

Figure 5.4 – Parties du spectre des nombres d'onde concernées par les modes de bord

et les modes de coin.


46

Figure 5.5 – Trois configurations possibles pour un mode (p,q) en dessous de la

fréquence critique.

Figure 5.6 – Déformées modales correspondant aux trois configurations


47 47

5.4 – Facteur de rayonnement approché pour une plaque rectangulaire

Pour palier à la l'impossibilité de trouver une formulation analytique simple pour quantifier

le facteur de rayonnement des plaques Maidanik13

a développé à partir de cette analyse

(séparation en modes de bord et modes de coin) un modèle paramétrique du facteur de

rayonnement pour les plaques bafflées simplement supportées, basé sur une statistique de

modes par bande de fréquence. Cette formulation du facteur de rayonnement (sous la

forme corrigée par Crocker et Price14

) est

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )

>−

≈+

<++

=−

cc

cc

ccc

ffff

ffra

ffgargar

,1

,11

,122

21

21

2

λ

αλαλ

σ (5.16)

avec

bar = le rapport des dimensions de la plaque,

cc fc=λ la longueur d'onde correspondant à la fréquence critique,

( ) Dhcf c ρπ22= la fréquence critique,

( )α1g et ( )α2g sont deux fonctions de la variable cff=α

( ) ( )

>

<−

−

=

c

c

ff

ffg

5.00

5.01

214

2

2

41 αα

α

πα

( )( )

( ) 232

2

22

1

21

1ln1

4

1

α

αα

αα

πα

−

+−

+−

=g

Les résultats conduisant à des courbes moyennées sur les modes pour lesquels on suppose

une équi-répartition de l'énergie, dans le cas de plaques minces soumises à des excitations

mécaniques à larges bandes. Ce modèle est couramment utilisé pour les applications

industrielles et dans le cadre de la SEA. Il est représenté par la Figure (5.7). Comme dans

les basses fréquences ce modèle a tendance a sur estimer le facteur de rayonnement, des

variantes ont été proposées :

a) Ver et Holmer introduisent un modèle de piston en dessous de la fréquence du

premier mode,

b) Müller et al adoptent seulement le terme comprenant la fonction 2g en dessous de

cf ,

La formulation de Ver et Holmer semble être la plus adaptée, mais les estimations

deviennent moins précises quand la fréquence critique augmente.

13 G. Maidanik, "Response of ribbed panels to reverberant acoustic fields", J. Acoust. Soc. Am. 34, 809-826

(1962) 14 M.J. Crocker, A.J. Price, "Sound transmission using statistical anergy analysis", J. Sound Vib. 9, 469-486

(1969)


48

Figure 5.7 – Facteur de rayonnement approché


49 49

6 – EXEMPLES

Les exemples suivants sont calculés par la méthode de champ proche où les impédances

modales de rayonnement sont calculées à l'aide de la méthode décrite par Atalla et Nicolas

(1994) pour calculer l'expression (5.8) (logiciel ADNR de l'Université de Sherbrooke).

Influence de l’épaisseur On considère une plaque de 1 m × 0,8 m en acier avec des épaisseurs 1 mm et 2 mm.

L'amortissement structural est de 0.2%. L'excitation est une force ponctuelle en 0.35 m ×

0.35 m

Figure 6.1 – Facteur de rayonnement calculé pour une plaque de 2 mm

d'épaisseur(logiciel ADNR, expansion modale de 50)

Figure 6.2 – Facteur de rayonnement calculé pour une plaque de 1 mm d'épaisseur

(logiciel ADNR, expansion modale de 50)

Le changement de la forme du facteur de rayonnement est ici conditionné par la

modification de la fréquence critique (inversement proportionnelle à l'épaisseur de la

2mm

1 mm


50

plaque). Les évolutions du facteur de rayonnement peuvent être facilement schématisées

pour les plaques comme le montrent les figures suivantes.

Figure 6.3 – Schématisation du facteur de rayonnement les plaques.

La figure 6.4 montrent l'influence de la variation de l'épaisseur qui à pour unique

conséquence de modifier la fréquence critique.

Figure 6.4 – Influence du doublement de l'épaisseur de la plaque.

Influence de la dimension La figure 6.5 montre l'influence de la réduction de la surface de la plaque. Dans ce dernier

cas, la fréquence critique ne change pas mais le palier du facteur de rayonnement en

dessous de cette dernière est plus élevée.

cf

dB/oct 15

dB/oct 5,1

dB/oct 6

a

b

σL

0

− 1

82

22

S

P

fS

c

c

S

c

2

log10λ

( ) baSbaPD

hcf

f

cc

c

c =+=== 22

2 ρ

πλ

cf

a

b

σL

0

−1

82

22

S

P

fS

c

c

S

c

2

log10λ

1h1 oct

12 2hh =

dB 6

1 oct

2h


51 51

Figure 6.5 – Influence du doublement de la surface de la plaque.

Influence de raidisseurs L'ajout de raidisseur est un élément de modification qui joue un rôle important dans la

vibroacoustique des structures. La plaque de 1 mm d'épaisseur de l'exemple précédent est

raidie par 4 raidisseurs dans la direction y. Ces raidisseurs sont des poutres en acier de 5

mm d'épaisseur et de 10 mm de hauteur. Les résultats du calcul effectué avec le logiciel

ADNR est présenté sur la Figure 6.6. Il s’écarte de l’approximation proposée par

Maidanik15

où le raidisseur est supposé présenter une raideur infinie et transformer une

grande plaque en plusieurs petites plaques simplement supportées. Avec cette hypothèse la

fréquence critique ne change pas et seul augmente la valeur du facteur de rayonnement en

dessous de c

f . Dans le calcul ci-dessous, le raidisseur est couplé à la plaque pour en

modifier la raideur.

Figure 6.6 – Modification du facteur de rayonnement par l'ajout de 4 raidisseurs à la

plaque de 1 mm de la figure 3.7.

15 G. Maidanik, "Response of ribbed panels to reverberant acoustic fields", J. Acoust. Soc. Am. 34, 809-826 (1962)

cf

a

b

− 1

82

22

S

P

fS

c

c

1

2

2log10

S

cλ

1S

2S

dB 3

1S

12 2SS =1

2

log10S

cλ

12 2SS =σL

0

1 oct

mm5

mm10


52

La Figure 6.7 réprésente quant à elle des résultats expérimentaux pour différentes

configuration de raidisseurs illustrées sur la Figure 6.8. Cette figure représente les indices

d’affaiblissement acoustiques mesurés en champ diffus pour ces mêmes configurations.

Figure 6.7 – Facteur de rayonnement pour des plaques raidies excitées

ponctuellement, dont les configuration de raidisseurs sont représentées sur la figure

ci-dessous.([2])

Figure 6.8 – Transparence acoustique en champ diffus de plaques raidies.([2])


53 53

Influence du mode d’excitation Les facteurs de rayonnement sont donnés le plus souvent pour des excitations mécaniques

ponctuelles. Une excitation ponctuelle va donner naissance à des ondes de flexion qui vont

plus ou moins rayonner en fonction de la position de la fréquence d’excitation par rapport à

la fréquence critique. Pour une excitation acoustique forcée, le champ vibratoire créé

assure un rayonnement de l’autre coté de la plaque. Le facteur de rayonnement qui serait

égal à 1 pour une plaque infinie (contribution à l’intérieur du cercle de nombre d’onde) est

réduit quand la dimension de la plaque diminue. La Figure 6.9 compare le facteur de

rayonnement pour une excitation mécanique et acoustique, alors que la Figure 6.10

représente l’influence des raidisseur sur le facteur de rayonnement dans le cas d’excitations

acoustiques (les configurations sont les mêmes que pour les Figure 6.7 et 6.8).

Figure 6.9 – Facteur de rayonnement pour une excitation aérienne (a) et pour une

excitation mécanique ponctuelle (b) (d’après Macadam, 1976)

Figure 6.10 – Facteur de rayonnement de plaques raidies excitées par un champs

diffus. .([2])


54

Influence des conditions aux limites Degeorges

16 (1988) puis Berry, Guyader et Nicolas

17 (1990) proposent une approche basée

sur l’utilisation d’un calcul variationnel associé à la méthode de Rayleigh-Ritz pour

calculer le rayonnement de plaques avec des conditions aux limites arbitraires. Les

résultats permettent en particulier de comparer le facteur de rayonnement de plaques

simplement supportées et encastrées. L’exemple de la figure 6.11 montre des valeurs des

facteurs de rayonnement modaux qui confirment ce qui était déjà bien connu : le facteur de

rayonnement d’une plaque encastrée est pratiquement le double de celui d’une plaque

simplement supportée.

Figure 6.11 – Facteurs de rayonnement modaux pour une plaque d’acier bafflée de

m45.0m55.0 × )2.1( =r et de 1 mm d’épaisseur (fréquence critique 12 kHz), –––

encastrée, - - - - simplement supportée (d’après Berry, Guyader et Nicolas 1990).

16 J.F. Degeorges, "Rayonnement acoustique des plaques en champ proche", Thèse de l’Université du Maine, 1988. 17 A. Berry, J.-L. Guyader, J. Nicolas, "A general formulation for the sound radiation from rectangular, baffled plates with arbitrary boundary conditions", J. Acoust. Soc. Am. 88(6), 2792-2802 (1990)


55 55

Le facteur de rayonnement global de cette plaque (avec un facteur de perte de 1%) excitée

par une force ponctuelle appliquée au centre est représenté sur la Figure 6.12, pour les

deux mêmes conditions aux limites. Cependant le facteur de rayonnement n’est pas le seul

élément à prendre en compte pour apprécier les modifications apportées au rayonnement

de la plaque quand les conditions aux limites changent : le champ vibratoire est lui aussi

modifié (en particulier les fréquences propres de modes sont plus élevées pour la plaque

encastrée). La puissance acoustique rayonnée pour une force unitaire représentée sur la

Figure 6.13 rend mieux compte de l’impact global des modifications de conditions aux

limites.

Figure 6.12 – Facteurs de rayonnement globaux pour une plaque d’acier bafflée de

m45.0m55.0 × )2.1( =r et de 1 mm d’épaisseur (fréquence critique 12 kHz), –––

encastrée, - - - - simplement supportée (d’après Berry, Guyader et Nicolas 1990).

Figure 6.13 – Puissance acoustique rayonnée pour une force unitaire pour la plaque

de la Figure 6.12 (d’après Berry, Guyader et Nicolas 1990).


56

La méthode de calcul employée permet également de considérer les conditions aux limites

non homogènes, comme c’est le cas pour la Figure 6.14 avec une plaque encastrée

localement. C’est la puissance acoustique due à une excitation par une force ponctuelle

centrée et unitaire qui est représentée.

Figure 6.14 – Puissance acoustique rayonnée pour une force unitaire centrée pour la

plaque de la Figure 6.12 avec des encastrements localisés sur les bords ou les coins

(d’après Berry, Guyader et Nicolas 1990).

Influence des conditions de baffle Parce que le calcul est plus aisé quand la structure plane est montée dans un baffle infini

rigide (condition de Neumann), les résultats sont souvent présentés dans cette

configuration.

Figure 6.15 – Facteur de rayonnement pour une plaque d’aluminium simplement

supportée avec et sans baffle (d’après Atalla, Nicolas et Gauthier 1996).


57 57

Les figures 6.15 et 6.16 représentent l’influence du baffle18

sur les facteurs de rayonnement

d’une plaque d’aluminium pour deux conditions aux limites : simplement supportée et

libre. Indépendamment de l’influence des conditions aux limites la suppression du baffle

réduit le facteur de rayonnement dans les basses fréquences

Figure 6.16 – Facteur de rayonnement pour une plaque d’aluminium libre avec et

sans baffle (d’après Atalla, Nicolas et Gauthier 1996).

Influence de l’écoulement d’un fluide Les facteurs de rayonnement modaux ont été calculés par Wallace pour un fluide au repos.

En considérant que le fluide est en mouvement le long de la plaque, Frampton19

(2003) a

mis en évidence les modifications apportées aux facteurs de rayonnement modaux. Le

phénomène peut facilement s’expliquer en considérant que le fluide en mouvement (selon

l’axe x par exemple) déplace le cercle de rayonnement par rapport au spectre de nombre

d’onde du champ vibratoire de la plaque (Figure 6.17). Dans le cas où le cercle de

rayonnement pour le fluide au repos possède les lobes principaux du spectre de vitesse en

dehors du spectre de rayonnement, la valeur du facteur de rayonnement sera faible. La

Figure 6.17 montre comment une vitesse d’écoulement du fluide peut conduire à faire

rentrer un des lobes principaux à l’intérieur du cercle de rayonnement qui s’est déplacé.

Une nouvelle relation de dispersion doit être satisfaite dans le cas de l’écoulement du

fluide avec une vitesse de convection représentée par le nombre de Mach M

2222 2)1(zxx

kMkkMkk ++−= .

18 N. Atalla, J. Nicolas, C. Gauthier, "Acoustic radiation of an unbaffled vibrating plate with general elastic boundary conditions", J. Acoust. Soc. Am. 99(3), 1484-1494 (1996) 19 K.D. Frampton, "Radiation efficiency of convected fluid-loaded plates", J. Acoust. Soc. Am. 113(5), 2663-2673 (2003)


58

Figure 6.17 – Représentation du spectre de nombre d’onde du champ de vitesse

vibratoire correspondant à un mode d’une plaque simplement supportée et des

modification apportées au cercle de rayonnement en fonction de la vitesse

d’écoulement du fluide.

Sur les Figure de 6.18 sont représenter l’évolution des facteurs de rayonnement modaux en

fonction de la vitesse de convection du fluide.

Figure 6.18 – Facteurs de rayonnement modaux modifiés en fonction de la vitesse

d’écoulement du fluide (d’après Frampton, 2003)

Mode Mode

Mode Mode

Vibroacoustique plane Annexes

59 59

ANNEXE A

Transparence acoustique : Cas de deux fluides identiques

On pose alors θθρρ ===ttt

cc ,,0

( )2

2

coïn

22

0

12

cos1

1,

−

+

=

ω

ω

ρ

θρωθωτ

c

h (A1)

En pratique, l’indice d’affaiblissement (en dB) est préféré au facteur de transmission

τ

1log10log10 ==

inc

t

W

WR [dB]

A partir de l’expression (A.1), il est possible de faire les remarques suivantes (voir Figure

A.1) :

1) A la fréquence de coïncidence, la transparence acoustique est totale

( ) dB01,coïn == Retθωτ (A2)

2) En hautes fréquences coïnωω >>

( )

≅

c

hR

0

2

coïn

3

2

coslog20,

ρω

θρωθω (A3)

La tendance asymptotique vers les hautes fréquences est une augmentation de 18

dB/octave

3) En basses fréquences coïnωω <<

( )

+≅

2

02

cos1log10,

c

hR

ρ

θρωθω (A4)

Quand le second terme est plus faible que 1, ( ) dB0, →θωR . Si les deux fluides ne

sont pas identiques, on fait apparaître une valeur .0min >R

Dans le cas où le second terme est sensiblement supérieur à 1, l’approximation

suivante est très souvent adoptée

( )

≈

c

hR

02

coslog20,

ρ

θρωθω (A5)

Cette approximation est connue sous le nom de loi de masse car seuls les effets

d’inertie sont pris en compte (les effets élastiques de la plaque sont négligés :

hjZ p ρω−≈ ). Malgré sa simplicité, elle fournit une bonne estimation du

comportement des parois infinies et même finies, en dessous de la fréquence

critique.

Annexes Vibroacoustique plane

60

Figure A.1 – Indice d’affaiblissement d’une plaque d’acier dans l’air pour différentes valeurs de

l’angle d’incidence (Eq. A.1) ( m0.004 0.28, Pa,11

10,3

kg/m7800 ==== hE υρ )

Autres formulations pour la transparence acoustique On trouvera des compléments sur la transparence acoustique en champ diffus et les

expressions pour les doubles parois dans [Guyader et Lesueur, 1994]. Le problème des

parois épaisses est traité par [Bruneau, 1998]. D’autres auteurs ont considéré des parois de

dimensions finis (prise en compte des modes résonants de la plaque) couplés à des salles

ayant aussi des dimensions finies (Nilson, Sewell). Une synthèse de ces études se trouve

dans [Fahy, 1986].

Des formulations approchées sont utilisées souvent dans les applications pratiques (voir

cours Vibrations & Acoustique 2).


61 61

ANNEXE B

Impédance de la plaque infinie

Si on considère le mouvement forcé de la plaque sous l’influence d’une distribution de

pression de la forme

( ) ( )yxj yxePyxpγγ +−

=, (B1)

on cherche comme solution de l’équation (1.7) un déplacement de la forme

( ) ( )yxj yxeWyxwγγ +−

=, (B2)

En remplaçant cette solution dans l’équation (1.7) nous obtenons ( ) ww yx

2224 γγ +=∇ et

( ) 4222

fyx k

DPW

−+=

γγ.

Le rapport PW correspond à l’admittance de la plaque (admittance déplacement /

pression). L’impédance pZ est définie comme le rapport pression/vitesse:

( ) ( )[ ] ( )[ ]4222

4

4222, fyx

f

fyxyxp kk

hjk

j

D

Wj

PZ −+−=−+== γγ

ρωγγ

ωωγγ . (B3)

L’impédance permet d’exprimer la pression par

( ) ( ) ( )yxwZjyxp yxp ,,, γγω= . (B4)

Remarque : L’impédance de la plaque est une fonction paire de xγ et yγ

( ) ( )yxpyxp ZZ γγγγ ±±= ,, (B5)

donc indépendante du sens de propagation de l’onde sonore excitatrice qui produit la trace

( )yxp , sur la surface de la plaque.


62

ANNEXE C

Calcul couplé utilisant la base modale

Distribution de pression sur la surface de la plaque

L’équation de la plaque (4.3) montre que la pression pour z = 0 (pression pariétale) va

influer sur la solution du déplacement. On peut écrire à partir de (4.12)

( )( ) ( )

ππ

ρω

22

,0,,

222

0 yxykxkj

yx

yx dkdke

kkk

kkWkcjyxp yx +−

∞+

∞−

∞+

∞−∫∫

−−= (C1)

En exprimant le déplacement de la plaque sur la base modale


nm

mn ,,,

φω∑∞

= (C2)

( )yxmn ,φ étant la déformée modale du mode ( )nm, . Les déformées modales vérifient les

propriétés d’orthogonalité

( ) ( )( ) ( )( ) ( )∫∫

≠

==

S

mn

klmnnmlk

nmlkNdydxyxyx

,, quand 0

,, quand ,, φφ (C3)

mnN est la norme du mode ( )nm, . Sur la surface de la plaque, la pression peut donc se

représenter également à partir de ces fonctions

( ) ( )

( )( ) ( )

ππωρω

φ

22

,

,0,,

222,

0

,

yx

yx

ykkj

yxmn

nm

mn

kl

lk

kl

dkdk

kkk

ekkakcj

yxbyxp

yx

∫∫∑

∑

∞+

∞−

+−∞+

∞−

∞

∞

−−

Φ=

=

(C4)

avec ( ) ( ) ( )yxmn

nm

mnyx kkakkW ,,,

Φ=∑∞

ω

En multipliant les deux membres de cette équation par ( )yxpq ,φ et en utilisant les

propriétés d’orthogonalité des modes,

( )( )

( ) ( )

ππφω

ρω

22,

,

222,

0 yxykxkj

pq

yx

yxmn

nm

mn

pq

pq

dkdkdydxeyx

kkk

kka

N

kcjb yx +−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞

∫∫∫∫∑−−

Φ=

(C5)

Remarques :

� en considérant qu’en dehors de la plaque ( ) 0, =yxmnφ l’intégrale sur S a été

remplacée par une intégrale infinie.

� d’après la définition de la TFS (4.7)


63 63

( ) ( ) ( )yxpq

ykkj

pq kkdydxeyx yx −−Φ=+−

+∞

∞−

+∞

∞−∫∫ ,,φ

En définissant l’impédance de rayonnement

( ) ( ) ( )ππ

ρω

22,,

222

0 yxyxpqyxmn

yxpq

mnpq

dkdkkkkk

kkk

k

N

cZ −−ΦΦ

−−= ∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

(C6)

alors ( ) ( )ωωω mnpq

nm

mnpq Zajb ∑∞

=,

La pression pariétale (C4) prend la forme

( ) ( ) ( ) ( )yxZajyxp pqmnpq

qp

mn

nm

,0,,,,

φωωω ∑∑∞∞

= (C7)

Réponse vibratoire couplée de la plaque

La réponse vibratoire de la plaque s’obtient en cherchant une solution de l’équation (4.3).

La pression pariétale a été exprimée en fonction des déformées modales de la plaque in

vacuo. Cette décomposition est aussi employée pour le déplacement

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )yxZajyxF

yxahyxaD

pqklpq

qp

kl

lk

mn

nm

mnmn

nm

mn

,,

,,

,,

,

0

24

,

φωωω

φωρωφω

∑∑

∑∑∞∞

∞∞

−=

−∇

(C8)

Les déformées modales satisfont les conditions aux limites et vérifient également

l’équation homogène

( ) ( ) 0,, 0

24 =−∇ yxhyxD mnmnmn φρωφ (C9)

où mnω est la pulsation propre du mode ( )nm, . Dans le cas d’un amortissement structural

(module de Young complexe avec un facteur de perte η ), les pulsations propres

deviennent complexes

( )ηωω jmnmn += 122

la relation ( ) ( ) ( )yxhjyxD mnmnmn ,1, 0

24 φρηωφ +=∇ reportée dans l’équation du

déplacement conduit à


64

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )yxZajyxF

yxjah

pqlkpq

qp

kl

kl

mnmn

nm

mn

,,

,1

,,

22

,

φωωω

φωηωωρ

∑∑

∑∞∞

∞

−=

−+

(C10)

En réalisant l’opération ( ){ } dydxyxs

rs C10 eq.,∫∫φ et en utilisant l’orthogonalité des

déplacements modaux, on aboutit à

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) rsmnrs

nm

mnrsrsrsrs NZajyxFjaNh ωωωωηωωρ ∑∞

−=−+,

22 ,1 (C11)

avec la force modale généralisée appliquée au mode ( )sr,

( ) ( ) dydxyxyxFjF rsS

rs ,, φω∫∫−= (C12)

La relation (C11) représente un système d’équations

( )rs

rs

nm

mnmnrsN

FaA =∑

∞

ω,

(C13)

avec

[ ] ( )ωωδδηωωωρ mnrsnsmrrsrsmnrs ZjjhA ++−= 222 (C14)

En tronquant le système infini, il est possible de l’écrire sous forme matricielle

[ ] ijij faA = ou faA =

les indices i correspondent aux modes (r,s) et les indices j aux modes (m,n). Ainsi, le

vecteur a d’éléments ( )ωmnj aa = , le vecteur f d’éléments rs

rsi

N

Ff = et la matrice A

d’éléments rsmnij AA = . A partir de l'inverse de la matrice A , il est possible de déterminer

les coefficients ( )ωmna par fAa 1−= .

Documents

MV 2 - perso.univ-lemans.frperso.univ-lemans.fr/~jcpascal/Cours/ENSIM3A_Master2... · Master Ingénierie Mécanique et Acoustique – Cours AC05 ... J.L. Guyader, Rayonnement acoustique