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Hans C� M�uller S�C�
Una Introducci�on
al
An�alisis Num�erico
i
Hans C� M�uller S�C�
Una Introducci�on
al
An�alisis Num�erico
Con �� �guras
ii
Hans C� M�uller Santa Cruz
Departamento de Matem�aticas
Facultad de Ciencias y Tecnolog��a
Universidad Mayor de San Sim�on
Casilla ���� Cochabamba� Bolivia
e�mail hansmat�umss�bo
Pr�ologo
La Facultad de Ciencias y Tecnolog��a tiene � a�nos de vida� per��odo queha sido fruct��fero en el �ambito universitario� porque se han creado carrerastecnol�ogicas� como cient�� cas� haciendo �enfasis a una investigaci�on cient�� caseria como un mecanismo de garantizar una excelencia acad�emica� LaCarrera de Matem�aticas� una de nuestras Carreras de reciente creaci�on� est�ainscrita dentro este marco�
Ahora bien� la Universidad Mayor de San Sim�on consciente de estasituaci�on� ha conseguido convenios de cooperaci�on internacional� como esel caso del Programa MEMI� Programa de Mejoramiento de la Ense�nanzade la Matem�atica y la Inform�atica� De los objetivos principales de esteprograma es fortalecer el �area de las matem�aticas� incentivar la difusi�on delas diferentes ramas de las matem�aticas en el medio universitario y fuera de�este� La Universidad y sus autoridades� dentro de sus pol��ticas acad�emicas yde investigaci�on� han tenido la visi�on de conseguir los servicios de los mejoresprofesionales en esta disciplina y Hans M�uller es uno de ellos�
El autor del libro� Hans M�uller Santa Cruz� es un joven matem�atico bo�liviano que ha regresado a su pa��s para compartir los conocimientos adquiri�dos en en la Universidad de Ginebra� Suiza� Actualmente es el Coordinadordel Programa Magister en Matem�aticas� programa implementado de maneraconjunta entre la Universidad Mayor de San Sim�on y la Universidad Cat�olicadel Norte� Chile� Ha dictado un curso de Elementos Finitos� destinado a losdocentes en nuestra superior Casa de Estudios� en La Paz� bajo invitaci�on haimpartido cursos tutoriales en la Academia de Ciencias en temas relaciona�dos a las matem�aticas aplicadas� El y otros profesionales de su ar�ea� est�antransformando la manera de hacer matem�aticas en la Facultad de Cienciasy Tecnolog��a�
Los t�opicos tratados en este libro est�an muy relacionados con los cam�bios estructurales que ha ocasionado la introducci�on masiva de sistemas in�form�aticos� En efecto� la utilizaci�on m�asiva del computador ha permitido alHombre efectuar c�alculos que en otra �epoca hubiese sido impensable realizar�los� En la actualidad es muy corriente simular num�ericamente experiencias�que en laboratorio son muy complicadas� costosas o peligrosas� o simplementeimposible de experimentarlas� Los problemas de optimizaci�on son abordablesgracias a la utilizaci�on del ordenador y no faltan situaciones en las cualesel uso de estos dispositivos de c�alculo� no solamente son de gran ayuda�sino indispensables� El An�alisis Num�erico es la rama de las Matem�aticas�cuyo campo de acci�on es el estudio y an�alisis de los diferentes algoritmos
iv Pr�ologo
y m�etodos num�ericos que se utilizan para resolver los problemas mediantecomputadoras� El libro �Una Intruducci�on al An�alisis Num�erico� presentalos temas b�asicos del An�alisis Num�erico de una manera rigurosa� permitiendoque el lector pueda adquirir los conocimientos matem�aticos necesarios paraprofundizar en t�opicos m�as especializados o simplemente pueda concebir eimplementar m�etodos num�ericos de una manera correcta y �optima�
Finalmente� mi esperanza es que este libro sea el inicio de una largaserie de otras publicaciones de alto nivel que ofrezca el autor y su unidadacad�emica�
Cochabamba� septiembre de ���
Ing� Alberto Rodr��guez M�endezRector de la Universidad Mayor de San Sim�on
Prefacio
Este libro nace ante el vacio existente de una bibliograf��a en espa�nol quetrate los temas capitales del An�alisis Num�erico� El nombre que lleva� �UnaIntroducci�on al An�alisis Num�erico�� se debe esencialmente al car�acter quedeseo que tenga este libro�
El An�alisis Num�erico es una disciplina de las Matem�aticas en grancrecimiento gracias a la utilizaci�on masiva de medios inform�aticos� D��a quepasa es m�as corriente el tratamiento num�erico en las Ciencias� como enla Tecnolog��a� el modelaje� la simulaci�on num�erica son moneda corriente�Ahora bien� toda persona que pretenda tener como herramienta de tra�bajo� los m�etodos num�ericos� debe conocer los t�opicos introductorios delAn�alisis Num�erico que son� Sistemas Lineales� Interpolaci�on� Resoluci�on deEcuaciones no Lineales� C�alculo de Valores Propios y Soluci�on Num�erica deEcuaciones Diferenciales� porque tarde o temprano se topar�a con alguno deestos temas�
Siguiendo la l��nea trazada por este libro� �este contiene siete cap��tulos� elprimero de car�acter introductorio� donde se da los conceptos b�asicos de errory estabilidad� seguido de un ejemplo mostrando que la aritm�etica del punto�otante no es un impedimento para efectuar c�alculos de precisi�on arbitraria�el segundo cap��tulo trata sobre los problemas lineales mas comunes ylos m�etodos de soluci�on de estos� el tercer cap��tulo aborda el tema deinterpolaci�on num�erica y extrapolaci�on� introduciendo el estudio de lossplines c�ubicos� el cap��tulo IV analiza los problemas no lineales y los m�etodosmas e cientes de resoluci�on de estos� en el cap��tulo V se estudia el problemade valores propios y la implementaci�on de m�etodos num�ericos para el c�alculode valores propios� el cap��tulo sexto trata de la integraci�on num�erica y latransformada r�apida de Fourier y nalmente el cap��tulo VII estudia losproblemas diferenciales y los m�etodos num�ericos de resoluci�on mas usualesde estos problemas�
Pr�acticamente el contenido de este libro ven los estudiantes de segundoa�no de las Carreras de M�atematicas e Inform�atica de la Universidad deGinebra� Suiza� Universidad en la cual he sido formado� El pre�requisitopara un buen aprovechamiento de este libro es conocer bien los principiosb�asicos del An�alisis Real y Complejo� como tambi�en tener una buena basede Algebra Lineal� Por consiguiente� este libro est�a destinado a estudiantesuniversitarios que siguen la asignatura de An�alisis Num�erico� como as�� mismotoda persona interesada en An�alisis Num�erico que tenga los pre�requisitosy que desea cimentar sus conocimientos en esta disciplina� Este libro puede
vi Prefacio
ser utilizado como texto base o bien como complemento bibliogr�a co�Debo agredecer a mis profesores de la Universidad de Ginebra� E� Hairer
y G� Wanner cuyos cursos han servido de base para la elaboraci�on de estelibro� Por otro lado� sin el apoyo en material de trabajo del ProgramaMEMI� Programa de Mejoramiento de la Ense�nanza de las Matem�aticas eInform�atica� de la Universidad Mayor de San Sim�on este libro no habr��aexistido� As�� mismo agradezco a mi familia� mis colegas y amigos queseguieron con inter�s la elaboraci�on de este libro�
El libro ha sido transcrito en TEX y las gr�a cas realidas en las sub�rutinas gr�a cas FORTRAN que G� Wanner me las cedi�o muy gentilmente� Latranscripci�on� como la ejecuci�on de los programas en sido realizados sobreuna WorkStation HP������
Posiblemente este libro contenga muchos errores� me gustar��a que loshagan conocer� para que en una segunda edici�on estos sean corregidos�
Octubre� ��� Hans C� M�uller S�C�
Contenido
I� PreliminaresI�� Algoritmos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
I�� Estabilidad � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
I�� Un ejemplo� C�alculo de PI � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
II� Sistemas LinealesII�� Condici�on del Problema Lineal � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
Normas de Vectores y Matrices � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��La Condici�on de una Matriz � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
II�� M�etodos Directos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��El Algoritmo de Gauss � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��El Algoritmo de Cholesky � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
II�� M�etodos Iterativos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodos de Jacobi y Gauss�Seidel � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��El Teorema de Perron�Frobenius � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodo de Sobrerelajaci�on SOR � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Estudio de un Problema Modelo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
II� M�etodos Minimizantes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodo del Gradiente � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodo del Gradiente Conjugado � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Polinomios de Chebichef � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodo del Gradiente Conjugado Precondicionado � � � � � � � � � ��Resultados Num�ericos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
II�� M�nimos Cuadrados � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��La descomposici�on QR � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��La Pseudo�Inversa de una Matriz � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Error del M�etodo de los M��nimos Cuadrados � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
viii Contenido
III� Interpolaci�onIII�� Interpolaci�on de Lagrange � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
Bases Te�oricas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Construcci�on del Polinomio de Interpolaci�on � � � � � � � � � � � � � � ��El Error de Interpolaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Polinomios de Chebichef � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �Estudio de los Errores de Redondeo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �Convergencia de la Interpolaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
III�� Splines C�ubicos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �Construcci�on del Spline Interpolante � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��El Error de la Aproximaci�on Spline � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Aplicaci�on de Spline � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
III�� Extrapolaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
IV� Ecuaciones No LinealesIV�� Ecuaciones Polinomiales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
Ecuaciones Resolubles por Radicales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ecuaciones No Resolubles por Radicales � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Localizaci�on de Ceros � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodo de Newton � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Sucesiones de Sturm � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
IV�� M�etodos Iterativos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Posici�on del Problema � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodo de la Falsa Posici�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Sistema de Ecuaciones � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Un M�etodo Iterativo Simple � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
IV�� M�etodo de Newton � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��El Teorema de Newton�Misovski � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodo de Newton Simpli cado � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodo de Newton con Relajaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Aproximaci�on de Broyden � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
IV� M�etodo de Gauss Newton � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Convergencia del M�etodo de Gauss�Newton � � � � � � � � � � � � � � � ���Modi caciones del M�etodo de Gauss�Newton � � � � � � � � � � � � � ���El M�etodo de Levenber�Marquandt � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
Contenido ix
V� C�alculo de Valores PropiosV�� Teor�a Cl�asica y Condici�on del Problema � � � � � � � � � � ��
La Condici�on del Problema a Valores Propios � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
V�� Determinaci�on de Valores Propios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���El M�etodo de la Potencia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Formas Tridiagonales y Formas de Hessenberg � � � � � � � � � � � � ���Teorema de Sturm y el Algoritmo de la Bisecci�on � � � � � � � � � ���Generalizaci�on del M�etodo de la Potencia � � � � � � � � � � � � � � � � � ���El M�etodo QR � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
VI� Integraci�on Num�ericaVI�� Bases Te�oricas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
F�ormulas de Cuadratura � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���El Orden de una F�ormula de Cuadratura � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Estimaci�on del Error � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
VI�� Cuadraturas de Orden Elevado � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Polinomios Ortogonales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Los Polinomios de Legendre � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Las F�ormulas de Cuadratura de Gauss � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
VI�� Implementaci�on Num�erica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Tratamiento de Singularidades � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
VI� Transformaci�on de Fourier � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Estudio del Error � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Interpolaci�on Trigonom�etrica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Transformaci�on R�apida de Fourier FFT � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Aplicaciones de FFT � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
VII� Ecuaciones DiferencialesVII�� Generalidades � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
Teoremas de Existencia y Unicidad � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Problemas con Valores en la Frontera � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Diferenciabilidad respecto a los Valores Iniciales � � � � � � � � � � ���Simple Shooting � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Shooting M�ultiple � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
x Contenido
VII�� M�etodo de Euler � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Efectos de los Errores de Redondeo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Estabilidad del M�etodo de Euler � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodo de Euler Imp��cito � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
VII�� M�etodos de Runge�Kutta � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Construcci�on de un M�etodo de Orden � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���M�etodos Encajonados � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Soluciones Continuas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Convergencia de los M�etodos de Runge�Kutta � � � � � � � � � � � � ���Experiencias Num�ericas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
VII�� M�etodos Multipasos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodos de Adams Expl��citos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��M�etodos de Adams Impl��citos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���M�etodos Predictor�Corrector � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���M�etodos BDF � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Estudio del Error Local � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Estabilidad � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Convergencia de los M�etodos Multipaso � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
Bibliograf�a � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
Indice de S�mbolos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
Indice Alfab�etico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
Cap��tulo I
Preliminares
Con la utilizaci�on masiva de sistemas inform�aticos en la resoluci�on deproblemas a todo nivel� el An�alisis Num�erico ha tenido un gran desarrollo enlas �ultimas d�ecadas� como una rama integrante de las Matem�aticas� En esteprimer cap��tulo se expondr�a las nociones de base que sustentan el An�alisisNum�erico� para ser utilizadas en los cap��tulos posteriores�
La primera secci�on estar�a dedicada a estudiar los algoritmos comouna composici�on de operaciones elementales� partiendo de un dispositivoideal de c�alculo� Se analizar�a las nociones de e ciencia y error de unalgoritmo�
En la segunda secci�on se analizar�a el problema algor��tmico a partirde los dispositivos materiales con que se cuenta en la actualidad� es decirordenadores o computadoras� En esta secci�on se estudiar�a la representaci�onen punto �otante de un n�umero real y su redondeo en la computadora� Seintroducir�a la noci�on de precisi�on de una computadora y la relaci�on de �estacon el concepto de estabilidad� en sus diferentes versiones� de un algoritmo�
En la tercera y �ultima secci�on de este cap��tulo� se ver�a que las li�mitaciones impuestas por la representaci�on en punto �otante� no es una res�tricci�on para calcular con la precisi�on que se requiera� Prueba de esto� � ser�acalculado� como un ejemplo ilustrativo� con ���� decimales de precisi�on�
I�� Algoritmos
En esta secci�on se supondr�a que se cuenta con un dispositivo ideal de c�alculo�es decir una computadora de precisi�on exacta� situaci�on que no sucede en larealidad� El cuerpo de base ser�a R� a menos que se especi que lo contrario�Este dispositivo est�a provisto de ciertas operaciones cuya acci�on se efectuaen un tiempo nito� por ejemplo es capaz de realizar las � operacionesaritm�eticas elementales� m�as algunas como la radicaci�on� la exponenciaci�ony las otras funciones elementales que se estudian en un curso de C�alculo I�Por consiguiente� se tiene la primera de nici�on�
De�nici�on I������ Una operaci�on elemental es una operaci�on matem�aticao funci�on cuya acci�on se la efectua en un tiempo nito y que adem�as eldispositivo ideal la puede realizar�
Inicialmente se supondr�a que las cuatro operaciones aritm�eticascomo� la adici�on� la multiplicaci�on� la sustracci�on y la divisi�on son posiblesen este dispositivo de c�alculo� De esta manera es posible evaluar todafunci�on polinomial� toda funci�on racional� en una cantidad nita de pasos ocomposici�on de operaciones elementales�
De�nici�on I������ Un algoritmo es una sucesi�on nita de operacioneselementales� Si se denota por fi una operaci�on elemental� un algoritmo es lacomposici�on de n operaciones elementales� es decir
f � fn � fn�� � � � � � f� � f�� �I���
Por otro lado� el dispositivo de c�alculo con el que se cuenta tiene la nalidad de evaluar la o las soluciones de un problema matem�atico� siempreque sea posible hacerlo� Ahora bien� lo que cuenta en este estudio es elresultado� de donde la�
De�nici�on I������ Un problema es darse un dato x � Rn y obtener unresultado P�x� � R�
En consecuencia� son problemas todas las funciones cuyo dominioes un espacio vectorial real de dimensi�on nita� cuya imagen est�a incluidaen la recta real� Una funci�on cuya imagen est�a incluida en un espacio dedimensi�on m�as grande que � puede ser interpretada como un conjunto deproblemas� donde cada problema es la funci�on proyecci�on correspondiente�Las ecuaciones pueden ser vistas como problemas� pero antes aclarando cualde las soluciones se est�a tomando�
I�� Algoritmos �
Es necesario recalcar que problema y algoritmo son conceptos dife�rentes� aunque de alguna manera ligados� Consid�erese el problema siguiente�
P�x� � anxn � an��x
n�� � � � �� a�x� a�� �I����
P�x� puede ser obtenido de muchas maneras� en particular utilzando los �siguientes algoritmos� El primero consiste en evaluar el polinomio �I���� talcomo est�a de nido� con la convenci�on que�
x� � x�
xn � x � xn��� para n � ���I����
La segunda manera de evaluar el polinomio consiste en utilizar el algoritmode H�orner� el cual est�a dado por�
q��x� � an�
q��x� � q��x�x � an���
q��x� � q��x�x � an���
���
qn�x� � qn���x�x � a��
�I����
Como puede observarse ambos algoritmos eval�uan el polinomio P�x�� sinembargo en el primero se requiere� � � � � � n � multiplicaciones paraevaluar las potencias� n multiplicaciones para evaluar los t�erminos de laforma aix
i y nalmente n adiciones� lo cual hace un total de
n�n� ��
�operaciones elementales� �I����
El algoritmo de H�orner requiere a cada paso de una multiplicaci�on y unaadici�on lo cual es igual a
�n operaciones elementales� �I�����
Por lo tanto� puede observarse claramente que el algoritmo de H�orner esm�as e ciente que el primero� pues la implementaci�on de �este efectua menosoperaciones elementales�
El concepto de e ciencia de un algoritmo est�a ligado por consi�guiente al costo en operaciones elementales que se requiere para ejecutarun algoritmo� Ahora bien� en la realidad una computadora requiere menostiempo para evaluar una adici�on que para una multiplicaci�on� Cada ope�raci�on elemental toma cierto tiempo en efectuarse� que en general dependede la computadora y el lenguaje en el que est�a escrito el programa� Es
� I Preliminares
por eso� que es m�as conveniente medir la e ciencia en t�erminos de tiempoejecutado� en lugar del n�umero de operaciones elementales ejecutadas� Conlo argumentado se puede formular una primera de nici�on de e ciencia�
De�nici�on I����� El costo del algoritmo fn � � � � � fn� est�a dado por
C � m� �m� � � � ��mn� �I����
donde mi es el tiempo de ejecuci�on de fi� Si C� y C� son los costos en tiempode dos algoritmos que resuelven el mismo problema� se dir�a que el primeralgoritmo es m�as e ciente que el segundo si C� � C��
Tal como se dijo al inicio de esta secci�on� el dispositivo ideal conel que se cuenta� puede efectuar una cantidad nita de operaciones elemen�tales� Suponiendo nuevamente� que solamente se cuenta con las cuatro ope�raciones aritm�eticas� las �unicas funciones que pueden evaluarse utilizandoun algoritmo son las funciones polinomiales y racionales� Ahora bien� existeuna cantidad ilimitada de funciones y se puede mostrar que no existe ning�unalgoritmo que sea la composici�on de adiciones� multiplicaciones� sustrac�ciones o divisiones� que permita calcular una raiz cuadrada� evaluar funcionestrigonom�etricas� exponenciales o logar��tmicas� Sin embargo� existen proce�dimientos matem�aticos que permiten aproximar estas funciones de maneraarbitraria� Los m�as com�unmente utilizados� son las series de Taylor� las frac�ciones continuas y algunos m�etodos iterativos� Todos estos m�etodos est�ansustentados en las nociones de l��mite� de continuidad� derivabilidad dadosen los cursos de C�alculo y An�alisis�
A continuaci�on se ver�a un ejemplo ilustrativo� donde se introducir�ala noci�on del error de truncaci�on� Consid�erese la funci�on exponencial� cuyodesarrollo en serie de Taylor est�a dada por
ex �
�Xk��
xk
k�� �I����
Es evidente que ex no puede evaluarse en un n�umero nito de pasos� paraun x dado� sin embargo en lugar de evaluar ex� uno se puede contentarevaluando una cantidad nita de t�erminos de la serie de Taylor� es decir
p�x� �nX
k��
xk
k�� �I����
para un n jado de antemano� La diferencia entre ex y p�x� es el errorde truncaci�on de ex respecto a p�x�� Este error de truncaci�on es del ordenO�xn��� cuando x tiende a �� El nombre de truncaci�on proviene del hechoque para evaluar ex se ha despreciado una parte de la serie� Por consiguiente�el error de truncaci�on puede de nirse como�
I�� Algoritmos �
De�nici�on I������ Sean P�x�� P ��x� dos problemas� El error de truncaci�onde P�x�� respecto de P ��x� est�a dado por
P�x��P ��x�� �I����
El nombre que tiene este error� como se dijo m�as arriba� es debidoa que la la serie de Taylor es truncada a un n�umero nito de t�erminos�No obstante� existe una gran diversidad de m�etodos que aproximan a lasoluci�on del problema utilizando otro tipo de argumentos� en este caso esm�as conveniente utilizar el nombre de error de aproximaci�on o error delm�etodo� de todas formas es cuesti�on de gusto�
El concepto de e ciencia ha sido de nido para aquellos problemasdonde se puede encontrar la soluci�on mediante un algoritmo� Para aquellosproblemas� donde no es posible encontrar un algoritmo que de la soluci�on ysuponiendo que es posible aproximar la soluci�on de manera arbitraria me�diante un m�etodo algor��tmico� la e ciencia est�a ligada al costo en opera�ciones� como tambi�en al error del m�etodo� En esta situaci�on la e ciencia esun concepto m�as subjetivo que depende de alguna manera del usuario� puesexisten problemas donde el error de aproximaci�on debe ser lo m�as peque�noposible� y otros problemas donde la exactitud no es un requisito primordial�
Ejemplos
�� Consid�erese el problema� determinar �� Utilizando la identidad
arctan ��
�y que la serie de Taylor en el origen est�a dada por
arctanx �
�Xk��
���k�k �
x�k��� �I���
se puede obtener un m�etodo que aproxime �� pero el problema de estem�etodo es su convergencia demasiado lenta� es mas� para x � la serie�I��� no es absolutamente convergente�Otro m�etodo que permitir��a aproximar �� consiste en utilizar el hechoque
arccos���� ��
�y desarrollando arccos en serie de Taylor� se obtiene un m�etodo cuyaconvergencia es mucho m�as r�apida�
��� Consid�erese el problema� determinarp�� La primera manera de determi�
narp� es tomar un intervalo cuya extremidad inferior tenga un cuadrado
inferior a � y la extremidad superior tenga un cuadrado m�as grande a ��Se subdivide el intervalo en dos subintervalos de igual longitud� se eligeaquel cuyas extremidades al cuadrado contengan �� En la tabla siguientese da algunas de las iteraciones de este m�etodo�
� I Preliminares
Iteraci�on Ext� Inferior Ext� Superior
� ��� ���
� ���� ���
� ��� ���
��� ����
� ������� ����
� ������� ����� �
�� ��������� ����� ��������� ���
� ������������ ��������� ���
� �������� ������ ��������� ���
�� �������� ������ ��������������
�� �������� ������ ������������
La segunda posibilidad es utilizar la sucesi�on de nida recursivamentepor�
a� � �
an�� �
�an �
an�
Esta sucesi�on es convergente y se deja al lector la demostraci�on paraque veri que que el l��mite es
p�� En la tabla siguiente se tiene los seis
primeros t�erminos de la sucesi�on� Efectuando unas cuantas iteracionesse obtiene�
Iteraci�on an
� ���
� ���
� ���������������
��������� �����
� �������������
� �����������
Puede observarse inmediatamente� que el segundo m�etodo para determinarp� es m�as e ciente que el primer algoritmo�
Ejercicios
�� Sup�ongase que� el dispositivo de c�alculo� con el que se cuenta� puedeefectuar la divisi�on con resto� es decir� para a� b enteros no negativos�con b �� �� el dispositivo calcula p� q satisfaciendo�
a � pb� r y � � r � b�
a� Implementar un algoritmo que calcule el maximo com�un divisor de ay b�
b� Utilizando el inciso precedente� implementar otro algoritmo quepermita calcular m�n � Z� tales que
mcd�a� b� � ma� nb�
I�� Algoritmos �
c� Estudiar la situaci�on m�as desfavorable� aqu�ella donde el costo enoperaciones es el m�as alto� Deducir una estimaci�on de la e ciencia delalgoritmo�
��� Suponiendo que� el dispositivo de c�alculo puede efectuar la divisi�on conresto� con la particularidad siguiente�
a � pb� r y � jbj�� r � jbj
��
a� Mostrar que el algoritmo implementado en el ejercicio a�� puedeimplementarse para esta nueva divisi�on con resto�
b� Veri car que� el nuevo algoritmo es m�as e ciente que aqu�el con di�visi�on con resto normal� Encontrar una estimaci�on de costo del algoritmo�
��� Para el polinomio p�x� � a� � a�x� � � �� anxn� el algoritmo de H�orner
�I���� est�a de nido por�
bn � an�
bi � ai � x�bi��� i � n� � � � � � � ��
Se plantea q�x� � b� � xb� � � � �� xn��bn�
a� Mostrar que p��x�� � q�x��� Veri car que p�x� � b� � �x� x��q�x��b� Generalizar el algoritmo de H�orner� de tal forma que se pueda calcularp�x�� y p��x�� al mismo tiempo�
��� Una regla y comp�as constituyen un dispositivo de c�alculo� Sup�ongaseque se conocen dos puntos O y P tales que OP sea de longitud �
a� Mostrar que� adem�as de las � operaciones aritm�eticas elementales� laradicaci�on puede obtenerse a partir de un n�umero nito de manipula�ciones de regla y comp�as�
b� Construirp �p��
c� Intentar construir �p�� �Es posible�
I�� Estabilidad
En esta secci�on� a diferencia de la precedente� se analizar�a el problema de losalgoritmos y m�etodos num�ericos desde el punto de vista de un dispositivomaterial real� m�as conocido como computadora� Para comenzar existenesencialmente dos tipos de n�umeros en la aritm�etica de un ordenador� el tipoentero cuya aritm�etica es igual a la de los num�eros enteros� con la diferenciaque el tipo entero de un ordenador es un conjunto nito� motivo por el cualse tiene que tener cuidado con los over�ows en las operaciones aritm�eticas� elsegundo tipo de n�umero es el real� en sus diferentes versiones� la idea de estetipo de n�umero es la representaci�on de un n�umero real en punto �otante� esdecir todo n�umero real no nulo x se puede escribir de manera �unica como
x � a � �b� donde jaj � � b � Z� �I����
a se llama mantisa y b el exponente� Los n�umeros reales solo tienen unarepresentaci�on parcial en el tipo real de un ordenador por limitaciones f��sicasdel dispositivo� por consiguiente un n�umero real estar�a en una clase deequivalencia de tipo de n�umero real� Esta representaci�on de n�umero realest�a dada por la precisi�on de la computadora�
Cuando se trabaja sobre un computador� se tiene a disposici�onun n�umero nito de cifras� por ejemplo l� para la mantisa� Si a denota elredondeado de a� se trabaja en realidad con
arr�x� � a � �b �I�����
en lugar de x� De esta manera� el n�umerop� � �������� � � � est�a
representado por
arr�p�� � �������� � ���
si se calcula con l � � cifras en base ��Como se dijo m�as arriba� el redondeo est�a determinado por la
precisi�on de la computadora� Esta precisi�on est�a dada por un n�umero dadopor la�
De�nici�on I������ Se denota por eps� el n�umero positivo m�as peque�no talque
arr� � eps� � � �I�����
Este n�umero eps llamado precisi�on de la computadora est�a dado porlos siguientes hechos� si los c�alculos se hacen en base � y con l cifras en la
I�� Estabilidad �
mantisa� se tiene
arr��� � � � � �� �z �l
�� � � � � ��� � �
arr��� � � � � �� �z �l
�� � � � � ��� � � � � � �� �z �l
��� � �
deduciendose� por consiguiente
eps � ����l� �I�����
si se realiza el mismo c�alculo en base �� como todas las computadoras lohacen� se obtiene
eps � ��l� �I�����
Para el FORTRAN sobre una HP������ se tiene�
REAL��� eps � ���� ���� � �� �REAL��� eps � ���� ��� � ����REAL��� eps � ���� ���� � ����
Ahora bien� un n�umero real y su representaci�on en punto �otanteen una computadora est�an relacionados por el�
Teorema I������ Para x �� �� se tiene
jarr�x� � xjjxj � eps� �I�����
Demostraci�on�� Sea x � a � �b y arr�x� � a � �b� Si se redondea a l cifrassigni cativas se tiene
j a� aj � � � ��l���de donde
jarr�x� � xjjxj �
j a� aj � �bjaj � �b � ����l��
���� � � ��l � eps
por que jaj � ��� �
La estimaci�on dada por �I����� puede ser escrita bajo la forma
arr�x� � x� � ��� donde j�j � eps� �I�����
Como se ver�a m�as adelante� la relaci�on �I����� es la base fundamental paratodo estudio de los errores de redondeo�
� I Preliminares
Cuando se trabaja en un computador� se tiene que ser cuidadoso enla soluci�on de los problemas� pues ya no se resuelve con los datos exactos� sino con los datos redondeados� Consid�erese la ecuaci�on de segundo grado
x� � �p�x� � � ��
cuya soluci�on x �p� es un cero de multiplicidad �� Resolviendo en simple
precisi�on� la computadora da un mensaje de error� debido a que
arr�p�� � ����� � ��
arr�arr�p��� � �� � ������� � ����
Como puede observarse� la manipulaci�on de ciertos problemas utilizando laaritm�etica del punto �otante puede ocasionar grandes di cultades� como enel ejemplo anterior� Es por eso necesario introducir el concepto de condici�onde un problema� el cual est�a dado en la�
De�nici�on I������ Sea P�x� un problema dado por P � Rn R� Lacondici�on � del problema P es el n�umero mas peque�no positivo �� tal que
j xi � xijjxij � eps � jP� x��P�x�j
jP�x�j � � eps� �I�����
Se dice que el problema P es bien condicionado si � no es demasiado grande�sino el problema es mal condicionado�
En la de nici�on� eps representa un n�umero peque�no� Si eps es laprecisi�on de la computadora entonces xi puede ser interpretado como elredondeo de xi� Por otro lado� es necesario resaltar que � depende solamentedel problema� de x y no as�� del algoritmo con el que se calcula P�x�� Paracomprender m�as sobre la condici�on de un problema se analizar�a los siguientesdos ejemplos�
Ejemplos
�� Multiplicaci�on de dos n�umeros reales� Sean x� y x� reales� consid�erese elproblema calcular P�x�� x�� � x� � x�� Para los dos valores perturbados
x� � x�� � ���� x� � x�� � ���� j�ij � eps� �I�����
se obtiene
x� � x� � x� � x�x� � x� � � � ���� � ���� � �� � �� � �� � ���
Puesto que eps es un n�umero peque�no� el producto ��� ��� es despreciablerespecto a j��j� j��j� de donde���� x� � x� � x� � x�
x� � x�
���� � � � eps� �I�����
I�� Estabilidad
Por consiguiente� � � �� El problema es bien condicionado�
��� Adici�on de numeros reales� Para el problema P�x�� x�� � x� � x�� poranalog��a al ejemplo precedente� se obtiene���� � x� � x��� �x� � x��
x� � x�
���� � ����x��� � x���x� � x�
���� � jx�j� jx�jjx� � x�j eps� �I����
Si x� y x� son de signos iguales� se tiene � � � de donde el problema esbien condicionado�
Pero� si x� �x�� la condici�on � �jx�j� jx�jjx� � x�j se convierte en
una cantidad muy grande� Motivo por el cual el problema est�a malcondicionado� Para mejor ilustrar el efecto de condici�on muy grande�consid�erese el siguiente ejemplo num�erico�
x� �
�� x� � �
��� para el cual � ����
������� ���
Realizando el c�alculo con � cifras signi cativas en base �� se obtiene x� � ��� � ���� x� � ���� � ��� y x� � x� � ���� � ���� Como lasdos primeras cifras son las mismas para x� y x�� la adici�on las ha hechodesaparecer y no hay m�as que una cifra que es signi cativa� El resultadoexacto es ��� � ��� � ����� � ���
Respecto a la de nici�on de condici�on� se debe observar dos situa�ciones� La primera� si uno de los xi � �� entonces se tiene xi � �� la segundasucede cuando P�x� � �� la condici�on se la calcula pasando al l��mite�
Una vez de nida la condici�on de un problema� el siguiente paso esver la incidencia que tienen los errores de redondeo en la implementaci�on deun algoritmo para resolver un problema dado� Tal como se dijo en la secci�onprecedente� un algoritmo es una sucesi�on nita de operaciones elementales�es decir
P�x� � fn�fn���� � � f��f��x�� � � ���� �I�����
La ampli caci�on del error� efectuando la operaci�on fi� est�a dada por lacondici�on ��fi�� Por consiguiente�
Proposici�on I����� El algoritmo que resuelve el problema dado por�I������� tiene la estimaci�on siguiente
��P� � ��f�� � ��f�� � � ���fn�� �I�����
Demostraci�on�� Por inducci�on sobre n� Para n � � el resultado es trivial�Sup�ongase� que es cierto para n� por lo tanto� si el problema es de la forma
P�x� � fn���fn�fn���� � � f��f��x�� � � �����
� I Preliminares
puede escribirse comoP�x� � fn���P ��x���
utilizando la de nici�on de condici�on se tiene
jP ��x��P �� x�jjP ��x�j � ��P ��eps
� jfn���P ��x�� � fn���P �� x��jjfn���P ��x��j � ��fn�����P ��eps�
Finalmente utilizando la hip�otesis de inducci�on� se tiene �I������ �
De�nici�on I������ Un algoritmo es num�ericamente estable� en el sentido deforward analysis� si
��f�� � ��f�� � � ���fn� � Const � ��P� �I�����
donde Const no es demasiado grande�
La f�ormula �I����� expresa el hecho de que la in�uencia de loserrores de redondeo durante el c�alculo de P�x� no es mucho m�as grandeque la in�uencia de los errores en los datos� lo que en realidad es inevitable�
Ejemplo
Sea x � �� y consid�erese el problema de calcular ��x� � x��� Seexaminar�a los dos algoritmos siguientes� El primero de nido por
x� x x�x� � �
x�x � ��
�x�
Las operaciones efectuadas son muy bien condicionadas� por consiguien�te� este algoritmo es num�ericamente estable�El segundo algoritmo de nido por
�x�
x
x�
x� �
x�x � ��
�x� � ��x� �
En este algoritmo� solamente las tres primeras operaciones son biencondicionadas� Sin embargo la �ultima operaci�on� la sustracci�on� es muy
I�� Estabilidad �
mal condicionada� porque �x ��x � �� Entonces� este algoritmo esnum�ericamente inestable�La veri caci�on� si un algoritmo es estable en el sentido de forward
analysis� sobre todo si el n�umero de operaciones es elevado� es a menudomuy compleja y di cil� Por esta razon� Wilkinson introduj�o otra de nici�onde la estabilidad de un algoritmo�
De�nici�on I������ Un algoritmo para resolver el problema P�x� es num�eri�camente estable en el sentido de backward analysis si el resultado num�erico ypuede ser interpretado como un resultado exacto para los datos perturbados x� es decir y � P� x�� y si
j xi � xijjxij � Const � eps� �I�����
donde Const no es demasiado grande y eps es la precisi�on de la computadora�
De la de nici�on I���� y �I����� se deduce que� en el estudio de este tipode estabilidad no se requiere conocer de antemano la condici�on del problema�
Ejemplo
Consid�erese el problema de calcular el producto escalar x� � x� � x � x��Para calcular �este� se utiliza el algoritmo
x� � x�� �x�� x�� x� x�� x� � x� � x � x�� �
x� � x��I�����
El resultado num�erico bajo la in�uencia de los errores de redondeo es�x�� � ��� � x�� � ���� � �� � x� � �� � x�� � ���� � ��
�� � ��
donde j�ij � jj j � eps� Este resultado es igual a x� � x� � x � x�� si seplantea
x� � x�� � ���� � ���
x� � x�� � ���� � ��
x � x� � ��� � ���
x� � x�� � ���� � ��
Despreciando los productos de la forma i � �j � la relaci�on �I����� essatisfecha con Const � �� Por lo tanto� el algoritmo �I����� siempre esnum�ericamente estable en el sentido de backward analysis�
El ejemplo precedente muestra que un algoritmo puede ser estable�incluso si el problema est�a mal condicionado� En consecuencia� es necesariobien distinguir las nociones de estabilidad y condici�on�
� I Preliminares
Ejercicios
�� �Cual es la condici�on de la sustracci�on de dos n�umeros�
��� Determinar la condici�on del problema P�x�� x�� � x��x� con x� �� ��
��� Hallar la condici�on del c�alculo del producto escalar
hx� yi �nXi��
xiyi�
��� Mostrar que el sistema lineal�ax� by �
cx� dy � �� con ad �� bc
es num�ericamente estable en el sentido de backward analysis�
��� Las raices del polinomio x� � �px� q � � son�
� � p�pp� � q� � � p�
pp� � q�
Mostrar que para p � �� grande� y q � �� muy peque�no� este algoritmoes num�ericamente inestable� Utilizando la relaci�on �� � q� encontrarun algoritmo que es num�ericamente estable en el sentido de backwardanalysis�
I�� Un ejemplo� C�alculo de Pi
En las secci�on precedente se ha visto que el dispositivo material que efectualos c�alculos num�ericos tiene en general dos tipos de n�umeros� los enterosque se asemejan mucho a los enteros matem�aticos y el tipo real que esuna representaci�on del n�umero real� Tal como se mostr�o� ambos tipos den�umero presentan ciertas particularidades� por ejemplo son en cantidad nita� para el tipo real existe el redondeo de los n�umeros� Por consiguientesi se utiliza el tipo real para determinar �� se tendr�a una precisi�on de� decimales� para doble precisi�on se obtendra � decimales de precisi�on�para cuadruple precisi�on� que algunos lenguajes de programaci�on cuentan�se obtendr�a �� decimales de precisi�on� Por lo tanto� la precisi�on para obtener� est�a determinada por el lenguaje de programaci�on y en algunos casos porel tipo de computadora con que se cuenta�
En esta secci�on se pretende mostrar que estas limitaciones no constituyennecesariamente un impedimento para determinar un n�umero� en particular�� con la precisi�on que se desee�
Una de las maneras m�as usuales de determinar � es utilizar el desarrolloen serie de Taylor en el origen de arctanx� el cual est�a dado por
arctanx �
�Xk��
���k�k �
x�k��� �����
De �I���� se deduce� para x � � que
� � �
�Xk��
���k�k �
� �I�����
Como se recalc�o en la secci�on I��� utilizar la serie �I����� no es conveniente�por que la convergencia de esta serie es muy lenta� Utilizando la relaci�on
tan�� � �� �tan�� tan�
� tan� tan��
una veri caci�on inmediata conduce a
�
�� � arctan
�� � arctan
��� � arctan
���� �I�����
Remplazando �I���� en �I������ da como resultado
� I Preliminares
� � ��
�Xk��
���k�k �
�
���k��
� �z �A
���
�Xk��
���k�k �
�
����k��
� �z �B
� ��
�Xk��
���k�k �
�
�����k��
� �z �C
� �I�����
Ahora bien� se desea obtener una representaci�on de � en notaci�on decimalcon N decimales de precisi�on� Si cada serie del lado derecho de �I����� escalculada con una precisi�on de ���N��� se tiene largamente la precisi�ondeseada� Denotando por !A� el valor calculado de A� !B� el valor calculado deB y !C � el valor calculado de C� se tiene�
!A � ��
MAXk��
���k�k �
�
���k���
!B � ��
MBXk��
���k�k �
�
����k���
!C � ��
MCXk��
���k�k �
�
�����k���
De donde�
��� !A�A��� � ��
������X
k�MA��
���k�k �
�
���k��
����� � �������MA�
� ������
��� !B �B��� � ��
������X
k�MB��
���k�k �
�
����k��
����� � ��������MB�
� �������
��� !C � C��� � ��
������X
k�MC��
���k�k �
�
�����k��
����� � ���������MC�
� ��������
Por hip�otesis� se tiene por ejemplo que���A� !A
��� � ���N���� por lo tanto
para asegurar esta precisi�on es su ciente que
�������MA�
� ������ ���N����
remplazando el signo � por �� se tiene
�������MA�
� ������ ���N���� �I�����
I�� Un ejemplo� C�alculo de Pi �
obteniendo de esta manera
log������� ��MA � �� log������ log���� ������ � ��N � ��
Despejando MA� se obtiene
MA �N � � log������� � log����� � �����
� log������ �I�����
Del mismo modo se llega a�
MB �N � � log������� � log������ � ������
� log������� �I�����
MC �N � � log������� � log������� � �������
� log�������� �I�����
Una vez determinada la cantidad de t�erminos en cada serie para calcular!A� !B y !C� es necesario de nir una representaci�on de los n�umeros reales ysu respectiva aritm�etica que permita calcular !A� !B y !C con la precisi�onrequerida�
Sea b � � entonces todo n�umero positivo x se escribe de manera �unicacomo
x �
�Xk��
ak
bk� �I�����
donde � � ak � b para k � � Suponiendo que b � �m� para obtener unarepresentaci�on de x con N decimales de precisi�on� es su ciente conocer akpara � � k � N�m� �� Se suma � a la cota anterior por seguridad� Por lotanto� para todo n�umero positivo x�el redondeado !x con N cifras decimalesde precisi�on puede escribirse como
!x �
N�m��Xk��
ak��mk� �I�����
con � � ak � �m para k � � Comparando �I����� con �I����� se tieneque ak � ak para � � k � N�m � y jak � akj � para k � N�m � ��deduciendose de esta manera la�
Proposici�on I������ Sea x un n�umero no negativo y x su representaci�ondada por �I������ entonces
j!x� xj � ���N��m�� �I����
� I Preliminares
Con los elementos presentados� se est�a en la capacidad de formular unalgoritmo que permita calcular !A� !B� y !C� por razones obvias el algoritmoser�a el mismo� Por consiguiente� es su ciente dar el m�etodo que permitacalcular !A con la precisi�on requerida� De la f�ormula �I����� se puede observarque las operaciones efectuadas son adiciones o sustracciones� divisiones porexpresiones de la forma ��k�� y divisiones por � o ��� La aritm�etica ser�aconsiguientemente de nida en tres pasos o �etapas�
El primer paso ser�a de nir la division por un entero p� Sea x un realpositivo� su redondeo se escribe como en �I������ por consiguiente x�qredondeado se escribe
bxq�
N�m��Xk��
bk��mk� �I�����
donde los bk se los de ne de manera recursiva� utilizando la divisi�oneuclidiana� as���
a� � b�q � r��
a� � r� � �m � b�q � r��
���
aN�m�� � rN�m�� � �m � bN�m�� � rN�m���
�I�����
El segundo paso ser�a de nir la adici�on y la sustracci�on para dos realespositivos x y y� Si se denota los redondeados por !x y !y� sus representacionesen punto jo est�an dadas por�
!x �
N�m��Xk��
ak��mk� !y �
N�m��Xk��
bk��mk�
La suma redondeada se escribe por lo tanto
�!x� !y �
N�m��Xk��
ck��mk� �I�����
donde los ck est�an de nidos recursivamente� utilizando la divisi�on eu�clidiana� por�
cN�m�� � dN�m���m � aN�m�� � bN�m���
cN�m�� � dN�m���m � aN�m�� � bN�m�� � dN�m���
���
c� � a� � b� � d��
�I�����
El tercer paso ser�a de nir la multiplicaci�on de un real positivo con unentero q� Sea el productovskip��pt
cq!x �
N�m��Xk��
bk��mk� �I�����
I�� Un ejemplo� C�alculo de Pi �
donde !x est�a dado por �I������ los coe cientes bk est�an de nidos recursiva�mente� utilizando la divisi�on euclidiana� de la manera siguiente�
qaN�m�� � bN�m�� � dN�m���m�
qaN�m�� � dN�m�� � bN�m�� � dN�m���m�
���
b� � qa� � d��
�I�����
Habiendo de nido las operaciones requeridas para calcular � con laprecisi�on requerida� se puede de nir el algoritmo que calcular�a !A� y porconsiguiente !��
Algoritmo
�� Se de ne x �� ��� a � x� k � ����� Hacer para k � hasta k � MA�
x �� x����
y �� x���k � ��
a� � a� ���ky���� a �� �� � a�Finalmente� se debe hacer un an�alisis de la propagaci�on de errores de
redondeo� cometidos en el c�alculo de !A� para asegurar que el resultado quede la computadora corresponde con lo esperado� Este estudio se lo efectuar�aen tres partes� Sea !x�k�� el resultado realizado por el algoritmo al calcularx�k�� para x � ��� Utilizando la proposici�on I���� se tiene�
!x � x� �� j�j � ��N��m � �I�����
deduciendose inmediatamente�
!x � �x� ����� � �
!x� � !x��� � �
���
�I�����
Utilizando desigualdades triangulares y considerando series geom�etricas� seobtiene ��!x�k�� � x�k��
�� �
� �������N��m� �I������
La segunda operaci�on� que aparece en el algoritmo� es la divisi�on por losenteros de la forma �k�� Por el mismo procedimiento que antes� se llega a��� �x�k�����k � �� x�k�����k � �
��� � � � ��N��m� �I�����
�� I Preliminares
Por ultimo para obtener !A� se tiene una suma de MA � t�erminos y unproducto por ��� En cada suma se comete un error menor a � � ��N��m� dedonde se tiene como estimaci�on del error acumulado��� !A�A
��� � ���MA � ���N��m �I������
Ahora bien� si ���MA�� es m�as peque�no que ��m��� entonces el objetivoes satisfecho largamente�
Como ilustraci�on de lo expuesto� se ha calculado � con ���� decimalesde precisi�on� utilizando una HP������
� con � decimales���������� ��� �� ��� �� ��� ���� ������� E������� ������� ���� ��� ��� ��� �� �� �� �� ������� E������ ��� � ��� � ����� �� ������ ��� ���� ����� �� E������� ������� ������� ��������� �������� � ���� ��� E��������� ���� �������� � ���� � � ��� ��������� E���������� ����� ���� ��� ������� � ������ �������� E�������� ���� ����� � � ������� ��� ������ ������� E����� ������� ������� � ������� � ������� ���������� E����������� �������� ���� ��� ������� ����� �� E������������� ������� � ����� ����� � �������� E������� ��� ��������� �������� ������ ������� E������������ ������� ������ ��� � �� �������� E����������� ��� ������� � ���� � ����� �� � E��������� ������ �������� ������ � �������� � ��� ��� E��������������� ���������� ������ � �� ���� ������� E������� ���� ������� �� ������ ����� ������ �� E��� ������������ ���� ��� ������ �� ��� ��� ������ � E��� ��������� �� � � ��� ������� ������ E�������� ������ � ���� ������� � �� � ����� E������� � ��� ����� ��� ������ ���������� �������� � E������ ������� ����� � � � ����� � � ��� ������� E���������� ��� � ����� ������ �� ������� ������ E��������� ���� ���������� �� ����� � ��� �� ����� E������ ������ �������� �������� �������� � � ����� E������ � ����� ������� ���� ���� �������� � ��� �� E��������� ���� ��� �� �������� ��� ���� � ���������� E���������� � ������� ��������� ������� � �������� E������� ���� �� ����� ������ ��������� ��������� E������� ��� � ������� ���������� �� ����� � �� ���� E������������ ������� � �������� �������� �������� E�������������� ������� ���� ���� ������ � ����� E��������� ���� ����� ��� �� � ��� ��� ��� �� ��� E������ �������� ���������� ������ �������� ���� �� E������������� ������� ��� ���� � ���� ����� E������������� ���� � � ��� ������ �������� � ��������� E������� ��� ��������� ��� ��� � ����� �� � � E��� �� ������ ��������� ��� ���� ����� ���������� E��� ����� � �� � ��� � � ���������� ����� ���� ������� � E����������� �� ��������� ����� �������� ����� E������������� ����� � � �� ���� ��� ���� ������� E������������� �������� � ������ � �� ����� ���� ��� E����������� �� � ������ ���������� ������ ����� �� E��������������� �������� ���� ����� �������� ���������� E��������� � ����� �� ������� ������ �� �� � � E������� � � �� �������� ��������� �������� ������� � E������ ��� �� ����� � �� ����� ���������� � ����� E�������������� ������� ������ ������� ������� �� E���������� � �� � � ���� �������� � � �� �� ����� ��� E��������� ���� ������� ������ ���������� ��� �� E���������������� �� ���� ����� � ������� �������� E�������������� ���������� �������� ��� ��� ������ � E�������� � ���� �������� ���� � � ��� ���� � ��� � E��������������� ��� ���� ����� � � ��� � �� � ��� �� E���������� �� � �������� ������ ��������� ������ E�����
I�� Un ejemplo� C�alculo de Pi �
��� � ��� ����� � � ��������� ����� �������� E������������� ��������� ��� �� �������� �������� E��� �������� �� ����� �� �� � � � �� ������ E��� �� � ����� ������ �� ����� � � �������� ������� E������ ������� ���������� ��� ���� ������� � ������ E������� ������� ���� ���� �������� � ������ ��������� E������������ � ���������� ����� � ������� ��� ���� E������� � � ����� ������ �� ������� ���������� E�������� � �� ������� ���������� ��������� � ����� E�������������� �� ���� �� ��� ��������� ������ �� E����������� ��� �� ���� � ���� ��������� ��� ����� E�������������� �� ����� ������� ������ ������ E�������� �� ������ �������� ���� ��� ��� ���� � E���������� ��� � ��� �������� �������� �������� E����������� �� ������ �� ������ � ��� � ������� E������������ ������� ��������� ������� �������� E������������� �� ���� �������� ������ �� ������ E������������ ����� � �� � � ��� � ����� ���� �� E����� ����� �� ������ � � ���� ��������� ����� ��� E��������� ����� �� ���� �������� �� ���� � � ����� E����������� ���� �� ����� � ������� ������ E����� ������ � ��� ����� � ������ �������� E�� ��� ���� ������� ��������� ��� ��� ��������� E�� ����������� �� ����� � ����� ���� � � ������� E������������� ������ �� ���� ��������� ���� � E������ �� ��� ���������� ������� ��������� ��������� E�������������� ������ � ���� �� ����� ��� ���� ����� E������������� � ������� �� ����� ����� �� �������� E������� ���� ����� � ��������� ������� � ���� E������ ��������� ������ �� ������� � ������ ������� �� E��������� � �������� �������� ������ � �������� E�������������� ������ �� ������ ���� �� �� ��� � E�������� � ��� ���� � ���� �������� ������ E�������������� ��� ������ ������ ��� �������� �������� E�������������� ������� ������� �������� ������� E������������ �� ������� �������� ��� �� ������ ��� E������� ����� ����� � ������� �� ������� � � � ��� E�������� ������� ������� ������ ������� �� ������� E������ ������� �� ��� ������ ��� ���� �������� E������������� � � ��� ���������� ������ � ������ E������������� ��� ��� �������� �� �� � �������� E����� �� �� ��������� ������� ��� �� ��� ���������� E��� �������� ������ ���������� ������ �� ������� E��� ������� � �������� ������ ������� � ���� E�������������� �������� � ��� � ����� � ������� E������ ������� ����� ������ �� ��� � �������� E��������������� � ������ ���� ��� ����� � ������� E������� ������ ������� � �� ����� � � �� �� ����� ��� E������������� ����� ��� ����� � ������� ������� � E��������� �� � ����� ������ ���� �� ���� ��� E�������� ���� ������ � ������� ������� ����� E��������������� ����� ���������� �� ��� �� ����� E������������� ��� �� �� ��� � �� ��������� E����������� ���������� ���� ����� �������� � ���� E������������� ������ � ������ ������ � ������ E������������ � ���� �� �� ����� ������� � �������� E�������������� ��� � ������ ����� ����� � E������������� ���� �� �� ���� ���� � ����� E��������� ��� ������� �� ������� ���� � ����� E��������� �� ������ ������ ������ ������� E����� ������ �� ������� �������� �������� ������� E������ ��� �� ������ ��������� �������� �������� E��� ������� �� � ��������� ������� � � ����� ��� ���� E��� �� � � �� ������ ������ ��� ���� ����� E������� ��� ��� ��� ��� �������� �������� ��������� E������������� �� ������� ������� ������ � ��� ���� E������������ �� �������� �������� ���������� ������ E������������� �� ���� ����� ������� �������� E��������������� ������� ��������� �������� �� ������� E������ � �� �� ����� ��� ��� ���������� ������ E������� �� �� � �� ���� ������� ��������� ��� ��� E�������� ���� �� ���� ������� �� ������� � ��� �� E�������������� ������� ������� ������ �� ���������� E�����
�� I Preliminares
��� ����� ������� ����� ��� �� �� � � ��� E�������� ��� � �� �� ��� ������� ���� ��� �������� E������ � ������ ������ ������� ��� �� �� �� E��������������� � �� ��� �� � ��� ������ � � ��� E������� � ����� �������� ������ � � �� ��� �������� E�������� ������ �������� ����� ��� ���� ������� E������� ������ �������� ��������� ��������� �� �� ���� E������������� ������ �� ����� � �������� ������� E�������������� ��� �� � �������� ��� � ������� E��� ��������� ����� ��� � �� � ��� ������ ������� E��� �� ��� ��� �������� ���� ��� ����� �������� E�������������� � ��� ��� ������ � ���� ���� � E������ ������� ������ ������ �� ������ ����� � E������������� ���������� ������� ������ �� � �� E������������� ������� � ������� � �� ���� � E����������� �� ������ �� ��� � ��� �������� E���������� � �� �� � ��������� ������� � �� ��� E�������������� ��� ���� ����� ��������� ������ E������������� ��������� ��� ���� ��������� � ���� E������������ ��� ������ ����� ��� ���� ������� E������������� ������� �������� ������� � ������� E������������� ������ ���� ��� � ���� � �������� E������ ������ ������� ���������� �� � ��� ��� ��� � E����������� ��������� ������� ���� �� ������ E������� ����� ������� ��������� ���� ��� ������ �� E�������������� ������� ��� ���� �������� ���� ��� E����� ����� ������ �� ������ �� ��� ����� ������� E�������� ���� ���������� �� ���� ���������� ���� ���� E���� �������� � �������� ������� ��������� �� ����� E�� ����������� ����� � �������� ������� � �������� E�� ��� ������ ������� �� ������ ��� �� � � ������ E�������� ���� ������� � ����� �� � ���� �� ��������� E����� ���� ��������� � ������ ���������� ������� E�� ������� ��� �� ����� ��� ���� �������� �������� E�� ������������ �������� � ��������� � ����� ���� E�� ����� ������ � ������ ��� ��� �� � � �� ���� E�� ���� ���� �� � ��� ��� ���� ��������� �������� E�� ��������� � ������� ���� �� ����� ��������� E�� ������� � �������� ������ �� ������ �� ������ E�� ��������� �������� ��� ��� ������ ����� E�� ����������� ����� ����� ��� ��������� ���� ���� E�� ��� �������� ������ ��� �� � ���� � � ���� E�� �������� � � ������� ��������� �� ��� ������� E�� ����� ����� � ������ � ���� ���� ��� ������ �� E�� ���� � � �� ����� ��������� �� ����� ��������� E�� ���������� ���������� ��������� � ����� � ������ E�� ����� ����� ������� �� ���� ��������� � �� ��� E�� ������� � ������� � �������� ������� �������� E�� �������� � ���������� ��� � �� �������� �������� E�� ������� � � �������� �� ���� ���� ���� ������� E�� ������� � ��� ������ ����� �� ��� ����� ����� ��� E�� ����� ������ � � �� �������� ���� ��� �� ���� E�� ������������ �������� ��������� � ����� � ������ E�������� ����� �������� ��������� �� ����� �� ����� E���������������� �� ������� ������� � ����� � ��� � E�������������� ��������� ������ �������� �������� E���������������� ������� � ����� ��������� ����� �� E�������������� � ��� ��� �� ����� ������� ��������� E����������� ��� � � ����� � �� ���� � � ����� �� E�������� ���� � � �� �� ��� ��� ����� ������� E��������� � ��������� �� ��� �������� �������� E�������������� ������� ���� ���� ��� �� ������ � E������������� � ������ � ��������� ��������� ��� ��� E������������� �� �� ����� ���� � �� ����� �������� E��������� ��� ������ � ������ ����� � �� � �� E������������ �� �������� �� �� �� �������� � ����� E������������ ��� ���� ��������� �������� ������ � E������ ����� ������ �������� ������� ��� ����� E�������� � � ���� ��� � ����� ��������� ��� �� E��� ������������ ��� ���� �������� ��������� ��������� E��� ������� ��� ����� �� ��������� ��������� ���� ��� E���������������� �� ���� ������� ��������� ��� �� E�������������� ���� ����� ���� ���� ���������� ������ E������
Cap��tulo II
Sistemas Lineales
Una gran cantidad de problemas implica la resoluci�on de sistemas linealesde la forma
Ax � b�
donde
A �
� a�� � � � a�n���
���an� � � � ann
A � b �
� b����bn
Acon coe cientes reales o complejos� Por esta necesidad es importante la cons�trucci�on de algoritmos que permitan su resoluci�on en un tiempo razonable ycon el menor error posible� Cada problema tiene su particularidad� motivopor el cual no existe un m�etodo general mediante el cual se pueda resolver e �cazmente todos los problemas� Es verdad que existen m�etodos casi generales�que con peque�nas modi caciones pueden servir para encontrar la soluci�onde un problema particular� A lo largo de este cap��tulo se expondr�an estosm�etodos� dando criterios de estabilidad y estimaciones de error�
En la primera secci�on se tratar�a la condici�on del problema lineal� paraeste efecto ser�a necesario introducir elementos de la teor��a de normas enlas matrices� para luego introducir las nociones relativas a la condici�on delproblema lineal�
En la segunda secci�on se abordar�a los m�etodos de resoluci�on como son�el Algoritmo de Eliminaci�on de Gauss� la Descomposici�on de Cholesky yalgunas modi caciones de estos m�etodos� En esta secci�on se estudiar�a laimplementaci�on de tales m�etodos� como tambi�en la estabilidad de estos�
La tercera secci�on tratar�a� la teor��a e implementaci�on de los m�etodos ite�rativos lineales como� Jacobi� Gauss�Seidel y SOR� As�� mismo se analizar�analgunos problemas tipos y se har�an comparaciones de tales metodos�
En la cuarta secci�on� se ver�a los m�etodos de tipo gradiente cuyo enfoquees diferente a los m�etodos de las dos secciones precedentes� en efecto� sonm�etodos que encuentran la soluci�on a partir de problemas de minimizaci�on�Se resolver�an ejemplos tipos y se comparar�a la e ciencia de �estos con otrosm�etodos�
�� II Sistemas Lineales
La �ultima secci�on describir�a el M�etodo de los M��nimos Cuadrados� comouna generalizaci�on de lo anteriormente expuesto� introduciendo como coro�lario la noci�on de Pseudo�Inversa� As�� mismo se analizar�a la implementaci�ondel m�etodo QR� incluyendo una estimaci�on del error de tal m�etodo�
II�� Condici�on del Problema lineal
Normas de Vectores y Matrices
La noci�on de norma y espacio normado es un instrumento matem�atico muyutil en el estudio de las magnitudes que se manipulan� como tambi�en uninstrumento en el estudio de la convergencia y los l��mites� Se empezar�ade niendo el concepto de norma en espacios Rn � para luego de nir en el�algebra de las matrices a coe cientes reales�
De�nici�on II������ Una norma sobre Rn es una aplicaci�on
k k � Rn � R�
con las siguientes propiedades�
kxk � �� kxk � � �� x � ��i�
k�xk � j�j kxk � donde � � R�ii�
kx� yk �� kxk� kyk �iii�
La primera condici�on implica que una norma siempre es positiva y esnula siempre y cuando el vector sea el vector nulo� La segunda propiedad esla homogeneidad de la norma y la tercera condici�on es m�as conocida comodesigualdad del tri�angulo� Las normas m�as usuales en Rn son las siguientes�
kxk� �nXi��
jxij � norma ciudad�bloque�
kxk� ��
nXi��
jxij�� �
�
� norma euclidiana�
kxkp ��
nXi��
jxij�� �
p
� p � �
kxk� � maxi�������n
jxij � norma de la convergencia uniforme�
Estas normas� que son las usualmente utilizadas� tienen algunas propiedadesen com�un� La m�as importante es que� si se aumenta en valor absoluto unade las componentes� la norma se incrementa� Es necesario formalizar estehecho� motivo por el cual� se tiene la�
�� II Sistemas Lineales
De�nici�on II������ Si x � �x�� � � � � xn� � Rn � se de ne el valor absoluto dex como jxj � �jx�j � � � � � jxnj�� Se dice que jxj � jyj� si jxij � jyij para todoi � � � � � � n� Una norma k k sobre Rn se dice que es�
�a� Mon�otona� si jxj � jyj implica que kxk � kyk para todox� y � Rn �
�b� Absoluta� si kxk � kjxjk para todo x � Rn �Proposici�on II������ Una norma k k sobre Rn es mon�otona� si y solamentesi es absoluta�
Demostraci�on�� Si la norma k k es mon�otona� sea x � Rn � llamenos y � jxj�Como jxj � jyj� y jyj � jxj se tiene inmediatamente� porque la norma esmon�otona� que kxk � kyk�
Si la normak k es absoluta� sea x � Rn � consid�erese x � �x�� � � � � xk��� �xk� xk��� � � � � xn�� con � � "�� #� Utilizando el hechoque la norma sea absoluta� desigualdad del tri�angulo y efectuando c�alculosalgebraicos se tiene�
k xk � ��� ���x�� � � � � xk����xk� xk��� � � � � xn� �
��� ��x � �x
�
��� �� k�x�� � � � � xk����xk� xk��� � � � � xn�k�
��� �� kxk� �x
�
��� �� kxk�
��� �� kxk� � kxk � kxk �
Ahora bien� si x � �x�� � � � � xk � � � � � xn� y y � �x�� � � � � xk� � yk� xk��� � � � � xn��con jykj � jxkj� utilizando la desigualdad anterior se tiene kxk � kyk� Parademostrar que jxj � jyj implica que kxk � kyk� se repite el anterior paso nveces� es decir una vez por cada componente� �
Una matriz de ordenm�n puede ser vista como un vector que perteneceal espacio Rmn � de esta manera de nir la norma de una matriz como la deun vector� pero se perder��a as�� muchas de las propiedades que tiene unaaplicaci�on lineal� Es por eso la�
De�nici�on II����� Sea A una matriz de m� n� se de ne su norma como
kAk � supx���
kAxkkxk � sup
kxk��kAxk � �II���
La de nici�on de la norma de una matriz depende evidentemente de lasnormas elegidas para kxk y kAxk� Sin embargo puede ser veri cado sinning�un problema� que la norma de una matriz� veri ca las condiciones denorma de un vector� La demostraci�on es una simple veri caci�on de estascondiciones� utilizando la de nici�on de supremo� Adem�as si las norma de losespacios Rn y Rm son mon�otonas o absolutas� es facil veri car que la norma
II�� Condici�on del Problema lineal ��
de matriz inducida por �estas� es todav��a mon�otona� es su ciente utilizarla de nici�on para probar esta a rmaci�on� Por otro lado kAk es el n�umeropositivo m�as peque�no � que satisface kAxk � � kxk� por lo tanto
kAxk � kAk kxk � �x � Rn � �II����
Una norma sobre el espacio de matrices veri ca las siguientes propiedades�dada por la�
Proposici�on II������ Cualquier norma sobre el espacio de las matricesMm�R� satisface las propiedades adicionales siguientes
kIk � � �II����
kABk � kAk kBk � �II����
Demostraci�on�� La relaci�on �II���� de la proposici�on es consecuenciainmediata de la de nici�on de la norma de una matriz�La relaci�on �II���� es consecuencia de las observaciones hechas despu�es dela de nici�on� en efecto
kABxk � kAk kBxk � kAk kBk kxk �kABxkkxk � kAk kBk �kABk � kAk kBk �
�
Se ha dado las propiedades esenciales de la norma de matrices� pero esnecesario conocer algunas de �estas por su utilizaci�on frecuente� Utilizandola misma notaci�on que en las normas de los vectores de nidas al inicio dela secci�on� se puede utilizar la misma notaci�on en los ��ndices de las normasde las matrices� con la convenci�on que las normas de los vectores tienen losmismos ��ndices�
Teorema II������ Sea A una matriz de n�m� entonces
kAk� � maxj�������m
nXi��
jaij j � �II����
kAk� �pvalor propio m�as grande de AtA� �II����
kAk� � maxi�������n
mXj��
jaij j � �II����
�� II Sistemas Lineales
Demostraci�on�� Se comenzar�a por kAk�� se tiene�
kAxk� �
nXi��
������mXj��
aijxj
������ �nXi��
mXj��
jaij j jxj j
�mXj��
�nXi��
jaij j�jxj j �
�max
j�������m
nXi��
jaij j�kxk� �
por lo tanto kAk� � maxj�������m
nXi��
jaij j �
Se mostrar�a� que la igualdad se cumple� en efecto� sea jo tal que�nXi��
jaijo j � maxj�������m
nXi��
jaij j � y x tal que xjo � � xi � � si i �� jo�
de esta manera kA xk �
�B a�jo
���amjo
CA �
�
nXi��
jaijo j k xk� �
Para la k k� se tiene�
kAxk�� � hAx�Axi � xtAtAx�
ahora bien AtA es una matriz sim�etrica de nida positiva� de donde losvalores propios son reales no negativos� adem�as es posible formar una base devectores propios ortonormales� Sea fe�� � � � � emg una base de vectores propiosortonormales� entonces x �
mXi��
�iei y Ax �
mXi��
i�iei� donde los i � � son
los valores propios de A� Por lo tanto� se tiene
kAxk�� �mXi��
�i��i � max
i�������mi
mXi��
��i � maxi�������m
i kxk� �
Para obtener la igualdad� es su ciente tomar x � ejo � donde jo es elautovalor m�as grande�
Para la k k� se tiene�
kAxk� � maxi�������n
������mXj��
aijxj
������ � maxi�������n
� mXj��
jaij j jxj jA
� maxi������n
� mXj��
jaij j maxj�������m
jxj jA �
� maxi�������n
mXj��
jaij jA kxk� �
as�� kAk� � maxj�������m
mXj��
jaij j �
II�� Condici�on del Problema lineal ��
Para obtener la igualdad es su ciente tomar x � �� donde � � �� � � � � �t��
La Condici�on de una Matriz
La resoluci�on de un sistema lineal de ecuaciones debe hacer meditar sobremuchos aspectos relacionados� como ser la existencia de la soluci�on� si elproblema a resolver est�a bien condicionado� conocer una estimaci�on del errorcometido en la soluci�on num�erica� etc� Se tiene inicialmente el sistema deecuaciones
Ax � b� donde A �Mn�R�� y b � Rn � �II����
el problema es encontrar x � R que sea soluci�on del sistema �II����� estasituaci�on puede escribirse formalmente como
P�A� b� � x�
De esta manera la condici�on del problema est�a dada por��P�A� b��P� A� b���jP�A� b�j � cond � eps� �II����
donde�
aij � aij� � �ij�� j�ij j � eps� �II���� bi � bi� � �i�� j�ij � eps� �II�����
Si se plantea P� A� b� � x� se tienekx� xkkxk � cond � eps� Por otro lado�
considerando que solamente normas mon�onotas son utilizadas� se tiene� � a����� � � � a�n�n�
������
���an��n� � � � ann�nn
A � eps kAk �
de esta manera A�A � eps kAk y
b� b � eps kbk � �II���
Suponiendo que la matriz sea inversible� se puede enunciar el siguienteteorema� pero antes una de nici�on es necesaria�
De�nici�on II������ La condici�on de una matriz A inversible se de ne como
cond�A� � kAk A�� � �II����
�� II Sistemas Lineales
Teorema II������ Sea A una matriz con detA �� �� sup�ongase que A�A � kAk �A� b� b
� kbk �b� Si �Acond�A� � � entonces
k x� xkkxk � cond�A�
� �Acond�A���A � �b�� �II����
Si adem�as se tiene �Acond�A� � �� � entonces la condici�on del problema
resolver Ax � b es � �cond�A��
Demostraci�on�� Se tiene Ax � b y A x � b� de donde�
Ax� A x � b� b y Ax�A x � Ax� A x � b� b�
A�x � x� � � A�A� x� �b� b�� x� x � A��� A�A� x �A���b� b��
introduciendo las desigualdades en las normas se obtiene�
kx� xk � A�� A�A k xk� A�� b� b
� A�� �kAk �A �kxk� k x� xk� � kbk �b�� A�� kAk ��A �kxk� k x� xk� � kxk �b� �
de esta manerak x� xkkxk � cond�A�
� �Acond�A���A � �b�� �
Como la condici�on del problema lineal est�a ��ntimamente ligada a lacondici�on de la matriz� es importante conocer algunas de sus propiedades�dadas por la�
Proposici�on II������ La condici�on de una matriz satisface las siguientespropiedades
cond�A� � � �II����
cond�I� � � �II����
cond��A� � cond�A�� � � R� �II����
Demostraci�on�� Veri caci�on inmediata� �
Ejemplos�� Q ortogonal� es decir QtQ � I � la condici�on respecto a la norma k k�
esta dada porcond��Q� � � �II����
��� Sea la matriz A dada por
A �
h
�BBBBB� � � � � � � � � � ����
� � �� � �
������
��� � � � � � � � � � � �
CCCCCA �
II�� Condici�on del Problema lineal �
entonces kAk� � �
h� adem�as A � �
h�I �N� donde
N �
�BBB� �
� � � � � ��� � �
� � � � �
���� � �
� � � � � � ���� � � � � �
� �
CCCA � kNk� �
�� �
Se deduce que
A�� �h
��I �N��� �
h
��I �N �N� �N � � � ��� A��
�� h
�� � kNk� N�
� � � ��
� h
�
�
� kNk�
� h
��
entonces cond��A� � �� por lo tanto� la matriz es bien condicionada�
��� El siguiente ejemplo muestra la existencia de una matriz mal condi�cionada�Sea H la matriz de n� n� llamada matriz de Hilbert� de nida por
hij �
i� j � � i� j � � � � � � n�
H es una matriz sim�etrica de nida positiva� motivo por el cual lacondici�on respecto a la norma euclidiana est�a dada por
cond�H �maxmin
�
donde los son valores propios de H � Se puede mostrar que
cond�H � cen� �II����
Se puede observar claramente que las matrices de Hilbert son malcondicionadas� inclusive para n bastante peque�no�
��� Finalmente� este ejemplo muestra la existencia de otra matriz malcondicionada� como ser las matrices de Vandermonde� Sea V la matrizde n� n de nida por
V �
�BB � � � c� c� � � � cn���
��� � � � ���cn��� cn��� � � � cn��n
CCA �
�� II Sistemas Lineales
donde los ci son diferentes� Se puede mostrar que la cond�V � bn�donde b � �
Ahora bien� la estimaci�on k�x�xk
kxk � �cond�A�eps puede ser demasiada
pesimista� para ver esto� consid�erese el siguiente ejemplo�� � �
��xy
��
��
��
Si se llama A a la matriz del sistema� se tiene kAk� � � y A�� � El
sistema con los errores de redondeo incorporados� est�a dado por�� � �� � ��
� � � � ��
��
� x y
�� � �� � ��� � �� � �
y � � � �� � �
� �� � � �� � ���
de dondejy � yjjyj � �eps�
Calculando x� se tiene
x ��� � ���� � � ��� y
� ��
��� �� � ��� � �� ��� � �� � ��
� ��
�x� ��� � �� ��� � �� � ��
� ��
� x� � �eps��
por lo tanto�jx� xjjxj � �eps�
El problema es bien condicionado� aunque la matriz A tenga una grancondici�on� Si se multiplica el sistema de ecuaciones por una matriz diagonalD se obtiene� el nuevo problema dado por
DAx � Db�
por el teorema II���� se tiene
kx� xkkxk � �cond�DA�eps� si cond�DA�eps �
��
En el ejemplo anterior� se plantea
D �
� �� ��
�� as�� DA �
� �
��
II�� Condici�on del Problema lineal ��
obteniendo el�
Corolario II���� �� Con las misma hip�otesis del teorema II����� y adem�assi cond�DA�eps � �
� � se tiene
La condici�on del problema � � infD diagonal
cond�DA�� �II����
Ejercicios
�� a� Sea k k de nida en Rn � La bola unitaria cerrada se de ne como
B ��x � Rn �� kxk �
��
mostrar que la bola unitaria es un conjunto convexo�
b� SeaD un conjunto convexo acotado� en cuyo interior est�a �� Si se suponeque D es equilibrado� es decir si x � D implica que �x � D� Mostrar quese puede de nir una norma cuya bola unitaria cerrada sea precisamenteD�
��� �Es la funci�on f�x� � jx� � x�j � jx�j una norma sobre R�� Si lo es� �esmon�otona� Dibujar la bola unitaria�
��� Dar las condiciones para que una norma sea mon�otona� observando subola unitaria cerrada�
��� Para una matriz A se de ne la norma de Frobenius como
kAkF �
vuut nXi��
nXj��
jaij j��
a� Mostrar que kAkF es una norma sobre Rn�n �
b� Veri car la desigualdad
kAk� � kAkF �pn kAk� �
��� Veri car la desigualdad
maxi�jjaij j � kAk� � n�max
i�jjaij j �
��� Sea A una matriz con detA �� �� Mostrar que
A�� �
�minkxk��
kAxk��
�� II Sistemas Lineales
��� Sea R una matriz triangular inversible� Mostrar que�
jriij � kRkp � jriij�� � R��
p� para p � � ����
Deducir que
condp�R� � maxi�k
jriijjrkk j �
��� Sea
A �
�BBBBB��
�
h�� �
h�
�� � � � � � � �
�
h���
�
h�� �
h�
��
h�� � � �
�� � �
� � �� � �
���� � � � � �
hn����
�
hn��� �
hn��
�
CCCCCAla matriz� que se encuentra en la interpolaci�on spline� Mostrar�
a� cond��A� puede ser arbitrariamente grande��Si maxhi�minhi ����
b� Existe una matriz diagonal D tal que cond��DA� � ��
II�� M�etodos Directos
En esta secci�on se desarrollar�a los algoritmos de resoluci�on directa desistemas lineales m�as comunes en la actualidad� El problema a resolver es
Ax � b� �II����
donde A � Mn�R�� x� b � Rn � Por los resultados obtenidos en la teor��a delAlgebra Lineal� este sistema de ecuaciones lineales tiene una sola soluci�on�si y solamente si detA �� �� Para mostrar la importancia de contar conalgoritmos cuyo costo en operaciones sea m��nimo� vale la pena dar el siguienteejemplo de resoluci�on de este sistema de ecuaciones lineales� El ejemploconsiste en la utilizaci�on de la regla de Cramer� que en si misma constituyeuno de los resultados te�oricos m�as hermosos que se ha obtenido� Para ilustrarel m�etodo de Cramer� se debe hacer algunas convenciones sobre la notaci�on�Para comenzar una matriz A de n� n se puede escribir como
A � �A�� � � � � An�
donde Ai es la i�esima columna de la matriz A� Dada una matriz A y unvector b � Rn � se denota por
A�j� � �A�� � � � � Aj��� b� Aj��� � � � � An�
la matriz obtenida remplazando la j�esima columna por el vector b� Ahorabien� la soluci�on del sistema �II���� est�a dada por
xi �detA�i�
detA�
donde x � �x�� � � � � xn�� Por lo tanto� la resoluci�on del sistema implica elc�alculo de n� determinantes� Si para encontrar el valor de los determinantesse utiliza la siguiente relaci�on
X��Sn
signo���
nYi��
ai��i��
donde Sn es el grupo de permutaciones de n elementos� se debe efectuar n�sumas� Si se desea resolver un sistema de �� ecuaciones con el mismo n�umerode incognitas� suponiendo que cada suma se efectua en ��� segundos�se tardar��a aproximadamente ���� � ��� a�nos en llegar a la soluci�on del
�� II Sistemas Lineales
problema� Como conclusi�on se puede decir que existen m�etodos cuyo valorte�orico es importante� pero su ejecuci�on num�erica es desastrosa� raz�on porla cual es imprescindible implementar algoritmos cuyo costo no sea muyelevado�
El Algoritmo de Gauss
Uno de los algoritmos m�as utilizados� precisamente por su relativo bajocosto� es el Algoritmo de Eliminaci�on de Gauss� Consid�erese el sistema deecuaciones dado por
�������a��x� � a��x� � � � � �a�nxn � b�a��x� � a��x� � � � � �a�nxn � b�
������
an�x� � an�x� � � � � �annxn � bn
�
El Algoritmo de Gauss consiste en�
Primer paso Si a�� �� �� li� � ai�a�� � para i � �� � � � � n�
Se calcula lineai � li� � linea�� para i � �� � � � � n�Si a�� � � se intercambia lineas�
Obteniendose el sistema equivalente dado por
�������a��x� � a��x� � � � � � a�nxn � b�
a����� x� � � � � � a
����n xn � b
����
������
a���n� x� � � � � � a
���nnxn � b
���n
�
Paso � Si a����� �� �� li� �
a���i�
a�����
� para i � �� � � � � n�
Se calcula lineai � li� � linea�� para i � �� � � � � n�Si a�� � � se intercambia lineas�
Se repite el procedimiento hasta obtener un sistema triangular de ecuacionescomo el siguiente
�������r��x� � � � � � r��n��xn�� � r�nxn � c�
������
rn���n��xn�� � rn���nxn � cn��rnnxn � cn
�
II�� M�etodos Directos ��
De donde se tiene�
xn �cnrnn
�
xn�� �cn�� � rn���nxn
rn��n���
���
x� �c� � r��x� � � � � � r�nxn
r���
�II�����
Si se utiliza la notaci�on matricial� se obtiene el siguiente esquema delalgoritmo de Gauss� con las matrices aumentadas�
�A� b��BBBB� � � � � � �� � � � � � �
���� � � � � � �� � � � � � �
CCCCA
�A���� b���
��BBBB� � � � � � �� � � � � � �
���� � � � � � �� � � � � � �
CCCCA
�A���� b���
��BBBB� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � ����
���� � � � � � �
CCCCA
� � � �
�A�n���� b�n���
��BBBB� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � ����
���� � �
� � �
� � � � � � �
CCCCA �
Teorema II������ Sea detA �� �� El algoritmo de Gauss da la descom�posici�on siguiente
PA � LR� �II�����
donde
R �
� r�� � � � r�n� � �
���� rnn
A � L �
�BB �l�� ���
� � �
ln� ln� � � �
CCA � �II�����
y P es una matriz de permutaci�on�
Demostraci�on�� Sup�ongase� que las permutaciones necesarias han sidoefectuadas al principio� es decir se aplica el Algoritmo de Gauss a la matriz
�� II Sistemas Lineales
PA� Para no complicar la notaci�on se escribe A� en vez de PA� Utilizandoel mismo esquema dado m�as arriba� se obtiene�
A � A��� � � � � � A�n��� � R�
donde�
A��� �
�BBBB � � � � � ��l�� � � � � ��l� � � � � � ����
���� � �
� � �
�ln� � � � � �
CCCCA � L�A�
A��� �
�BBBB � � � � � �� � � � � �� �l� � � � � ����
���� � �
� �ln� � � � �
CCCCA � L�A�
por lo tanto
R � Ln��Ln�� � � �L�L�A�
Lo �unico que falta mostrar� es que
L�� � Ln��Ln�� � � �L�L��
y para eso� se tiene�
Li � I � Vi� donde Vi �
�BBBBBBBBB
� ��
� � �
�li���i ����
���� � �
lni � � � � �
CCCCCCCCCA�
Se puede veri car facilmente que ViVj � � para i � � � � � � n� de donde seobtiene nalemente�
L��i � I � Vi�
L � I � V� � V� � � � �� Vn��� �
Muchas veces� es necesario calcular sistemas de la forma�
Ax� � b��
Ax� � b���II�����
II�� M�etodos Directos ��
Se calcula una vez la descomposici�onLR y se resuelve de la manera siguiente�
Ly � b�
Rx � y��II�����
Teorema II������ La descomposici�on LR da el siguiente resultado�
detA � �r��r�� � � � rnn� �II�����
donde los rii son coe cientes de la diagonal de R�
Demostraci�on�� Utilizando identidades en los determinantes se tiene
detP detA � detL detR�
�
El costo de la descomposici�on LR�
Para evaluar cuantas operaciones son necesarias para llegar a la descom�posici�on LR de una matriz A �Mn�R�� se procede de la manera siguiente�
A � A���
C�alculo de los li�� n� divisionesPara cada la i� es necesario efectuarn� multiplicaciones mas adiciones� loque hace un total de �n � �� multipli�caciones y adiciones�
Por lo tanto� contando el n�umero de operaciones en cada �etapa del algoritmo�se tiene
$ operaciones �n� �� � �n� ��� � � � �� �� � �
�n��Xi��
i�
Z n
�
x�dx
�n
�� �II�����
La resoluci�on de LRx � b� implica aproximadamente n�
� multiplicacionesm�as adiciones en la soluci�on de Ly � b� Igual n�umero de operaciones setiene para la resoluci�on de Rx � y� lo que hace un total aproximado de n�
operaciones�
�� II Sistemas Lineales
La elecci�on del pivote
De�nici�on II������ Sea A una matriz� se llama pivote de la matriz A alcoe ciente a���
Para ilustrar la necesidad en elegir un buen pivote� consid�erese elsiguiente ejemplo� La precisi�on de los c�alculos tienen tres cifras signi cativasen base �� Sea el sistema de ecuaciones dado por�
���x� � x� � x� � x� � �
� �II�����
La soluci�on exacta de este sistema de ecuaciones est�a dada por�
x� � � ������������ � � � �x� � �� ��������������� � � � � �II�����
Ahora bien� aplicando el algoritmo de Gauss con ��� como pivote� se tiene�
l�� �a��a��
� �� �� � ���La segunda linea del sistema se convierte en
��� �� � ��x� � ��� �� � ���de donde
x� � �� �� � ���resolviendo x� se tiene
�� �� � ��x� � �� �� � �� � �� �� � ���por lo tanto
x� � �� �II����
Ahora� apl��quese el algoritmo de Gauss con como pivote� es decir inter�cambiando la primera ecuaci�on con la segunda� se tiene�
l�� �a��a��
� �� �� � ����La segunda linea del sistema se convierte en
��� �� � ��x� � �� �� � ���de donde
x� � �� �� � ���resolviendo x�� se tiene
�� �� � ��x� � �� ��� � �� � �� �� � ���por lo tanto
x� � ���� � ��� �II�����
II�� M�etodos Directos �
La explicaci�on de este fen�omeno consiste en que la sustracci�on esuna operaci�on mal condicionada� cuando las cantidades a restar son muyparecidas� en efecto� consid�erese el siguiente sistema�
a��x� � a��x� � b�a��x� � a��x� � b�
� �II�����
al aplicar el algoritmo de Gauss se obtiene�
l�� �a��a��
a����� � a�� � l��a���
b���� � b� � l��b��
a����� x� � b
���� �
Si jl��j � se tiene�
a����� �l��a��� b
���� �l��b��
x� b�a��
�
x� �
a���b� � a��x��
a���b� � b�� �
Para solucionar este problema� se realiza una b�usqueda de pivote parcial�que consiste en�
Se escoge el pivote ai� tal que
jai�j � jaj�j j � � � � � � n�
Se procede de la misma manera para cada paso del algoritmode Gauss�
La Estabilidad del Algoritmo de Gauss
Sea A una matriz cuyo determinante es diferente de �� Se desea saber cual esel error cometido por el algoritmo de Gauss para encontrar la descomposici�onA � LR� No se considera las permutaciones� puesto que no se comete errorde redondeo�
Si se aplica el algoritmo de Gauss� se obtiene las matrices !L y !R� ll�amese
!A � !L !R� la descomposici�on exacta de !A�
Para saber� si el algoritmo es num�ericamente estable� se utiliza la noci�on debaackward analysis dada en cap��tulo I� Es decir encontrar una constante queveri que�
j!aij � aij jjaij j � C � eps� �II�����
�� II Sistemas Lineales
Por consiguiente� es necesario estimar la diferencia���A� !A
��� elemento por
elemento� Se tiene el siguiente�
Teorema II����� Wilkinson� Sea detA �� �� !L� !R el resultado num�erico dela descomposici�on LR con b�usqueda de pivote jlij j � � Entonces
���A� !L !R��� � �a eps
�BBBBBB
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����
������
� � � � � n�
CCCCCCA � �II�����
donde a � maxi�j�k
���a�k�ij
��� yA��� � A��� � � � � � A�n����
Como resultado de este teorema� el algoritmo de Gauss es num�ericamenteestable� siempre y cuando n no sea demasiado grande� La experiencianum�erica indica que es aconsejable utilizar la descomposici�on de Gauss parasistemas no mayores a ��� ecuaciones�
Demostraci�on��Al efectuar la descomposici�onLR� considerando los erroresde redondeo� se tiene el siguiente esquema�
!A��� � !A��� � � � � � !A�n��� � !R
Sin considerar los errores de redondeo se tiene L�A � A���� de donde
!L� �
�BBBB�!l�� �!l� � ���
����!ln� �
CCCCA � es la matriz L� con los errores deredondeo�
Por otro lado� se tiene!L � !L���
!L��� � � �L��n���obteniendo
A� !L !R �!L���
�!L�A� !A���
�� !L���
!L���
�!L�
!A��� � !A����
� � � ��L���
!L��� � � �L��n����
!Ln�� !A�n��� � !A�n���
��
II�� M�etodos Directos ��
Ahora bien� los coe cientes de la matriz obtenida en el primer paso� est�andadas por
!a���ij �
�aij � !li�a�j� � ���
�� � ���� i � �
que da como consecuencia�!L�A� !A���
�ij�!li�a�j � !aij
�!li�a�j ��aij � !li�a�j� � ���
�� � ���
�� aij�� � !li�a�j�� � !li�a�j�� � !li�a�j����
�� !a���ij �� �
!li�a�j�� � !li�a�j�����
obteniendo as������!L�A� !A������ � �a eps donde a � max
i�j�k
���a�k�ij
��� � i � ��
Bajo forma matricial� el resultado anterior est�a dado por
���!L�A� !A������ � �a eps
�BB� � � � � � � � ���
��� � � �
CCA �
Continuando con el mismo procedimiento en la demostraci�on� se obtiene
���!L�!A��� � !A���
��� � �a eps
�BBBB� � � � � �� � � � � �� � � � ���
������
� � � �
CCCCA �
resultados similares tambien se obtienen para los dem�as pasos del algoritmode Gauss con lo que se obtiene le resultado deseado� �
El Algoritmo de Cholesky
Un caso particular de sistema de ecuaciones lineales� es donde la matriz Aes�
De�nici�on II������ Una matriz A �Mn�R� es sim�etrica y de nida positiva�si cumple las siguientes dos condiciones�
At � A��II�����
xtAx � �� �x � Rn � x �� ���II�����
�� II Sistemas Lineales
Teorema II������ Sea A sim�etrica y de nida positiva� entoncesa� El algoritmo de Gauss es posible sin b�usqueda de pivote�b� La descomposici�on A � LR satisface
R � DLt� con D � diag�r��� r��� � � � � rnn�� �II�����
Demostraci�on�� Sea A sim�etrica y de nida positiva� dada por
A �
� a�� � � � a�n���
���an� � � � ann
A �
El coe ciente a�� de la matriz A es diferente de �� porque la matriz A esde nida positiva y a�� � et�Ae� donde et� � �� �� � � � � ��� Despu�es del primerpaso del algoritmo de Gauss� se obtiene�
A��� �
�BBa�� a�� � � � a�n�����
C���
CCA � li� �ai�a��
�
de donde se tiene
c���ij � aij � li�a�j � aij � ai�a�j
a���
Por lo tanto es su ciente mostrar que C��� es sim�etrica y de nida positiva�En efecto� expresando la matriz A como�
a�� zt
z C
��
se tiene
C��� � C �
a��zzt�
Hay que mostrar que
ytC���y � ytCy �
a�
�ytz
��� �� �y �� ��
Por hip�otesis la matriz A es de nida positiva� de donde
�x� yt �
�a�� zt
z C
��x�y
�� a��x
�� � x�z
ty � ytzx� � ytCy � ��
II�� M�etodos Directos ��
para x� � R y y � Rn�� los dos no nulos al mismo tiempo�
Planteando x� � �ytza�� � se tiene
�ytz��
a��� � �zty�
�
a��� ytCy � ��
por consiguiente
ytCy �
a��
�ytz
��� ��
La descomposici�on LR es �unica� si �esta existe� en efecto� si
A � L�R� � L�R��
dos descomposiciones de A� Se tiene
L��� L� � R�R��� �
las matrices del tipo L� como aqu�ellas de tipo R forman subgrupos dentroel grupo de las matrices inversibles� deduciendose que
L��� L� � I�
por lo tanto L� � L� y R� � R�� Para demostrar la parte b� del teorema� sede ne la matriz L�� como
Lt� � D��R�
donde D � diag�r��� � � � � rnn�� hay veri car que L� � L� Las siguientesidentidades se cumplen�
A � LR � LDLt��
At � L�DLt�
como A es sim�etrica y por la unicidad de la descomposici�on LR� se deduceL � L�� ��
De�nici�on II������ Sea D una matriz diagonal a coe cientes no negativos�entonces�
D�� � diag
�pd��� � � � �
pdnn
�� �II�����
Si se de ne L � LD�� � se tiene
A � L Lt�
que es la descomposici�on de Cholesky de la matriz A sim�etrica y de nidapositiva� Para simpli car notaci�on� se escribe L� en lugar de L� Entonces los
�� II Sistemas Lineales
coe cientes de la matriz L de la descomposici�on de Cholesky de A� est�andados por�
para k � � � � � � n�
lkk �qakk � l�k� � l�k� � � � � � l�k�k���
lik �aik � li�lk� � � � � � li�k��lk�k��
lkk� i � � � � � � k � �
�II�����
El costo en operaciones� despreciando el c�alculo de las raices cuadradas�para obtener la descomposici�on de Cholesky� est�a dado por
nXk��
k�n� k� Z n
�
x�n� x�dx �n
�� �II������
La resoluci�on de la ecuaci�on Ax � b� donde A es una matriz sim�etrica yde nida positiva� se puede efectuar en dos pasos utilizando la descomposici�onde Cholesky�
Ly � b�
Ltx � y�
los cuales necesitan un total aproximado� lo mismo que en el algoritmo deGauss�
n� operaciones�
La estabilidad de la descomposici�on de Cholesky est�a dada por elsiguiente�
Teorema II������ Sea A una matriz sim�etrica y de nida positiva� !L elresultado num�erico de la descomposici�on de Cholesky� entonces
���A� !L!Lt��� � a eps
�BBBB � � � � � � � � � � � � � � ����
������
� � � � � n
CCCCA � �II�����
donde a � maxijjaij j�
Demostraci�on�� Se demuesta de la misma manera que el teorema II����referente a la estabilidad de la descomposici�on LR�
�
II�� M�etodos Directos ��
Ejercicios
�� Escribir una subrutina DEC�N�NDIM�A�B�IP�IER� que calcule la des�composici�on LR� tomando en cuenta la b�usqueda parcial de pivote�Luego escribir una subrutina SOL�N�NDIM�A�B�IP� que permita resolverAx � b utilizando la descomposicion obtenida por DEC�
a� Resolver �B� � � � �� � �� ��� � ��� �
CAx �
�B������
CA �
b� Calcular la inversa de la matriz de Hilbert dada por
H �
�
i� j
�n
i�j��
para n � �� �� �� ��
��� a� Calcular la descomposici�on de CholeskyLLt para la matriz de Hilbert
H �
�
i� j
�n
i�j��
� n � ��
b� Comparar el resultado num�erico con los valores exactos�
ljk �
p�k � � �j � �� � �j � ��
�j � k���j � k � ��� �II������
�Cu�antas cifras son exactas�
c� Si !L es el resultado num�erico� calcular el residuo
A� !L!Lt�
calcular tambi�en el residuo A�LLt para la matriz L dada por �II�������
��� Calcular cond��An� para las matrices�
a� de Hilbert
b� de Vandermonde �aij� ��cj��i
�� i� j � � � �n con ci �
in �
para n � � �� �� � � � � �� Calcular tambi�en �n log���cond��An�� y encon�
trar una f�ormula que aproxime cond��An��
��� Sea A una matriz�banda� sim�etrica y de nida positiva� p el grosor dela banda� Mostrar que� L de la descomposici�on de Cholesky es tambi�enuna matriz�banda� Si n es el orden de la matriz� sabiendo que n � p��Cuantas multiplicaciones son necesarias para calcular L�
II�� M�etodos Iterativos
En la secci�on II��� se analiz�o dos m�etodos para resolver directamente sistemasde ecuaciones lineales� Un m�etodo directo de resoluci�on de un sistema deecuaciones deber��a dar el resultado num�erico igual a la soluci�on exacta� sino se considerase los errores de redondeo� es decir� si se contase con undispositivo de c�alculo con una precisi�on in nita� desgraciadamente �este noes el caso� Si bien� un m�etodo directo da una soluci�on que se aproxima ala exacta� la principal desventaja de utilizarlos� reside en el hecho en quecuando se debe resolver grandes sistemas lineales� la propagaci�on del errorde redondeo es muy grande� desvirtuando su valor� adem�as� en muchos casosno se toma en cuenta muchas de las particularidades que pudiese tener lamatriz del sistema lineal� o nalmente no es necesario obtener una soluci�onexacta� si no una aproximaci�on de �esta� Los m�etodos que ser�an estudiadosen esta secci�on� son iterativos en el sentido en que se utilizan las solucionesanteriores para obtener la siguiente� Entre los m�etodos que ser�an analizadosse tiene� Jacobi� Gauss�Seidel� SOR�
M�etodos de Jacobi y Gauss�Seidel
Estos m�etodos son utilizados para resolver el sistema de ecuaciones� dadopor
u � Au� b� �II����
El m�etodo de Jacobi consiste en la utilizaci�on de la soluci�on anterior paracalcular la nueva soluci�on� es decir
u�k��� � Au�k� � b� �II�����
Obviamente las soluciones obtenidas por el m�etodo de Jacobi no son exactas�pero son aproximaciones de �estas�
Para la formulaci�on del m�etodo de Gauss�Seidel� consid�erese la matrizA como
A � L� U� �II�����
donde�
L �
�BB� � � � �a�� � � � � ����
� � ����
an� � � � an�n�� �
CCA � U �
�BBa�� a�� � � � a�n� a�� � � � a�n���
� � ����
� � � � � ann
CCA �
II�� M�etodos Iterativos ��
El m�etodo de Gauss�Seidel est�a dado por�
u�k��� � Lu�k��� � Uu�k� � b� �II�����
cuya formulaci�on equivalente es
u�k��� � �I � L���
Uu�k� � �I � L���
b� �II�����
Una vez formulados estos m�etodos� es importante� saber que condicionestiene que cumplir la matriz A� para que estos sean convergentes� Si se denotapor u� la soluci�on exacta de �II����� se de ne
e�k� � u�k� � u�� �IV�����
el error cometido en la k�esima iteraci�on� Por consiguiente� e�k� son losresultados obtenidos en las iteraciones de uno de los m�etodos de nidos m�asarriba del problema
e � Ae� �IV�����
de donde el m�etodo ser�a convergente� siempre y cuando
limn��
e�n� � �� �IV�����
Existe una clase de matrices� para las cuales estos m�etodos son conver�gentes� Una de sus caracter��sticas est�a dada por la�
De�nici�on II������ Una matriz A es irreducible si para cada �i� j�� existeuna sucesi�on l� � i� l�� � � � � lm � j tal que
alk�lk���� ��
Gr�a camente se puede visualizar mediante la noci�on de grafo dirigido�en Grimaldi se puede encontrar una explicaci�on bastante detallada sobrelas aplicaciones de la teor��a de grafos� Consid�erese el grafo G compuesto delconjunto de v�ertices V y el conjunto de aristas A� de nido por�
i� V � f� �� � � � � ng�ii� �i� j� � A �� aij �� ��
Para comprender esta de nici�on� consid�erese los dos siguientes ejemplos�sean�
A �
�BB� �
��� �
� � �� � � �
�� � �
� �
CCA1 2
3 4
GA
�� II Sistemas Lineales
B �
�B� � � � �� � � � �
CA1 2
3 4
GBSe puede observar facilmente� que la matriz A no es irreducible� mientrasque la matriz B si es irreducible�
Con la de nici�on anterior se puede formular el siguiente teorema que dauna condici�on su ciente� para que los m�etodos de Jacobi� como de Gauss�Seidel� sean convergentes�
Teorema II������ Sea A una matriz no�negativa �aij � ��� con las siguientespropiedades
i�
nXj��
aij � � i � � � � � � n�
ii� Existe io� tal que
nXj��
aioj � �
iii� A es irreducible�
entonces los m�etodos de Jacobi y Gauus�Seidel convergen hacia una soluci�on�unica� adem�as existe � � � tal que e�k�
�� C�k��
e��� �� �II�����
Demostraci�on�� Se mostrar�a para el m�etodo de Jacobi� Se tiene
e�k��� � Ae�k��
sea � � max���e���i
���� de donde
���e���i
��� �Xj
aij
���e���j
���� �z ��
� ��
con desigualdad estricta para i � io�
II�� M�etodos Iterativos �
Puesto que la matriz A es irreducible� entonces los coe cientes de An
son todos no nulos� en efecto
�An�ij �Xk�
� � �Xkn��� �z �
n�� veces
aik�ak�k� � � � akn��j
tiene un t�ermino no nulo� Adem�as para l jo� se tieneXk
�A��lk �Xk
Xj
aljajk
�Xj
alj
�Xk
ajk
��Xj
alj � �
Por inducci�on matem�atica� se deduce la desigualdad anterior para todas laspotencias de A� e inclusoX
k
�An���lk �Xk
Xj
alj�An�jk
�Xj
alj
�Xk
�An�jk
��Xj
alj � �
Por otro lado� utilizando la desigualdad �II����� se tiene� Ae��� �� kAk�
e��� �� �� e�k�
�� Ae�k���
�� ��
Estas desigualdades se vuelven estrictas para No bastante grande� porejemplo No � n� � por lo tanto e�No�
�� �
e��� ��
planteando
� �
� e�No� � e��� �
A �
No
�
�� II Sistemas Lineales
se tiene que � � � de donde la convergencia� El mismo procedimiento sesigue para mostrar el m�etodo de Gauss�Seidel� �
El Teorema de Perron�Frobenius
Indudablemente por las consecuencias que implica el teorema de Perron�Frobenius� es que vale la pena estudiarlo como un tema aparte� Es unteorema cuya demostraci�on ha llevado mucho esfuerzo de parte de muchosmatem�aticos� Se enunciar�a este teorema sin dar una demostraci�on rigurosa�sino los pasos de �esta�
Teorema II������ Sea A una matriz no negativa irreducible� entonces
i� Existe un vector propio u� con ui � � respecto a un valor propior � ��
ii� Todos los otros valores propios de A son jj � r� Sola
excepci�on posible � rei��n valor propio simple�
iii� r depende de manera estrictamente mon�otona de todos loselementos de A�
Demostraci�on�� Se comenzar�a por el punto i�� Sea u � Rn � tal que ui � ��entonces
v � Au�
de niendori �
v�ui�
si los ri son todos iguales� el punto i� est�a demostrado� sino es posible variarel vector u de manera que
"rmin� rmax#� �z �nuevo
���"rmin� rmax#� �z �antiguo
�
obteniendo una sucesi�on de intervalos estrictamente encajonados� siendo ell��mite r�
No hay otro vector propio con ui � �� Sea el cono
K � f�u�� � � � � un�jui � �g �Como la matriz A es no negativa� se tiene
A�K� � K�No es posible tener�
Au � u� u � K�Av � �v� v � K�
�con �� ��
II�� M�etodos Iterativos ��
En efecto� sup�ongase que � � y sea w � �u � tv� tal que t sea lo m�aspeque�no posible� de manera que w � K� entonces
Aw � �u� t�v �� K�por consiguiente� no puede haber m�as de un valor propio cuyo vector propioest�e en el interior del cono�
Adem�as� r es un valor propio simple� ya que si no lo fuera� una peque�naperturbaci�on en la matriz A llevar��a al caso de los valores propios simples�caso que ha sido ya estudiado m�as arriba�
Por otro lado� no hay vectores propios en el borde del cono K� Efectiva�mente� sea u � �K� vector propio� Por hip�otesis� algunos de las componentesde u son nulos� pero al menos una de las componentes es diferente de �� Dedonde
u�Au� � � ��Anu � � � � � � �� n�u�
Como A es irreducible� existe No � n con
aNo
ij � �� �i� j�por lo tanto
�Anu�j � �� �j�conduciendo a una contradicci�on�
ii� Sean otro valor propio de A� v su vector propio respectivo� sup�ongaseque � R� se de ne
w � u� tv�
donde u � K vector propio� t sea lo m�as grande posible de manera que w � K�ver la gura IV����
u
v
w Κ
Figura IV����� Demostraci�on� Teorema Perron�Frobenius�
�� II Sistemas Lineales
Si jj � r� Aw sale de K� lo que es imposible�Para complejo se tiene
Av � �� � i��v�
donde � � � i�� v � v� � iv� siendo los vj a coe cientes reales� Por lotanto�
Av� � �v� � �v��
Av� � �v� � �v��
el mismo an�alisis que para el caso real� da el mismo resultado�
iii� La monoton��a de r se muestra� despu�es de hacer un an�alisis sobre elpolinomio caracter��stico� �
Las consecuencias del teorema de Perron�Frobenius son muchas� entre lascuales� la de mayor utilidad para el tema expuesto� reside sobre el teoremaII����� En efecto� como la matriz A es no negativa e irreducible existe unavalor propio r � � m�as grande en modulo que los otros� Si la suma de laslineas de la matriz A fuese igual a se tendr��a que r � � pero existe una la cuya suma es inferior a � de donde por el punto iii� del teorema dePerron�Frobenius� se tiene r � � Por consiguiente� todos los valores propiosen valor absoluto son inferiores a � dando la consiguiente convergencia delos m�etodos de Jacobi y Gauss�Seidel�
Continuando el estudio de los m�etodos de Jacobi y Gauss�Seidel se tieneotro resultado importante como el�
Teorema II����� Sea el valor propio de A mas grande en m�odulo y � elvalor propio m�as grande en m�odulo de
�I � L���
U� �II�����
Si � � entonces � � � para toda matriz A irreducible no negativa�
Demostraci�on�� Se tiene
�I � L��� � I � L� L� � � � �� Lm�
de donde �I � L���
U es una matriz no negativa�Sup�ongase que x es vector propio respecto a �� por consiguiente
�I � L���
Ux � �x�
Ux � �x� L�x�
��L� U� � �x�
por el teorema de Perron�Frobenius� � � �� si � � � no hay nada quedemostrar� si no �
L�U
�
�x � x�
II�� M�etodos Iterativos ��
Utilizando nuevamente el teorema de Perron�Frobenius� es necesario que
� � � por que de lo contrario algunos coe cientes de L � U� ser�an mas
peque�nos que de L� U y por lo tanto � Nuevamente por el teorema de Perron�Frobenius� se tiene que el valor
propio maximal de �L� U es estrictamente menor al valor propio maximalde L� U � �
Como consecuencia de este teorema se tiene que el m�etodo de Gauss�Seidel converge m�as r�apidamente a la soluci�on que el m�etodo de Jacobi� si lamatrizA es no negativa� irreducible y con valor propio maximal m�as peque�noque �
Una propiedad muy importante de algunas matrices� est�a dada por la�
De�nici�on II������ Una matriz A � L � U � como en �II������ posee laproperty A de Young� si los valores propios de la matriz de nida por
�L�
�U �
���U
�L
��II����
son independientes de ��
Ejemplos
�� La matriz A de nida por
A �
�� BC �
��
donde B y C son matrices cuadradas del mismo orden� A posee la
property A� En efecto� si
�xy
�es un vector propio de A se tiene�
�B
C
��xy
��
�xy
���
��B
�C
��x�y
��
�x�y
��
��� La matriz tridiagonal con coe cientes diagonales nulos� dada por�BB� ab � c
d � e� � �
� � �
CCA
�� II Sistemas Lineales
posee la property A� Pues� se tiene��BB� ab � c
d � e� � �
� � �
CCA�BBxyz���
CCA �
�BBxyz���
CCA �
�BBB� �
�a�b � �
�c�d � �
�e
� � �� � �
CCCA�BB
x�y��z���
CCA �
�BBx�y��z���
CCA �
Teorema II������ Sea A una matriz no negativa� irreducible� con valorpropio maximal � y con la property A� entonces
� � �� �II�����
donde � es le valor propio m�as grande de la matriz inducida por el m�etodode Gauss�Seidel�
Demostraci�on�� Sea x el vector propio respecto a �� de donde
��L� U�x � �x�
dividiendo esta expresi�on porp� y aplicando la property A� se tiene�p
�L�p�U
�x �p�x�
de dondep� es el valor propio maximal de A� �
Si la matriz A es irreducible� no negativa� con valor propio maximalmenor a y adem�as con la property A� se tiene�% M�etodo de Gauss�Seidel converge � veces m�as rapido que el de Jacobi�% M�etodo de Gauss�Seidel ocupa la mitad de sitio de memoria�% M�etodo de Gauss�Seidel ocupa la mitad de plaza de c�alculo�% Pero Jacobi puede ser paralelizado� en cambio Gauss�Seidel no�
M�etodo de Sobrerelajaci�on SOR
Las siglas SOR signi can en ingl�es Successive over relaxations� Es unamodi caci�on del m�etodo de Gauss�Seidel� Consiste en utilizar un factor desobrerelajaci�on �� Primero se efectua una iteraci�on de Gauss�Seidel paraluego corregir con �� en s��ntesis el m�etodo SOR est�a dado por�
u�k��� � � Lu�k��� � Uu�k� � b�
u�k��� � u�k� � ��u�k�
�� � � u�k�
��
� � �
�II�����
II�� M�etodos Iterativos ��
Haciendo el c�alculo de u� componente por componente� se tiene�
uauxi �Xj�i
aiju�k���j �
Xji
aiju�k�j � bi�
u�k���i � u
�k�i � �
�uauxi � u
�k�i
��
�II�����
Para ver la velocidad de convergencia de este m�etodo� es necesario hacer unestudio sobre la convergencia� Una iteraci�on de SOR puede ser escrita como
u�k��� � u�k� � �Lu�k��� � ��U � �I�u�k� � �b�
es deciru�k��� � �Lu�k��� � ��U � �� ��I�u�k� � �b�
por lo tantou�k��� � �I � �L�
��h��U � �� ��I�u�k� � �b
i� �II�����
Sea � un valor propio de u�k��� � �I � �L��� ��U � �� ��I� y x elvector propio asociado� entonces�
�I � �L���
��U � �� ��I�x � �x�
��U � �� ��I�x � � �I � �L�x�
�Ux� �� ��x � �x� ��Lx�
�Ux � ��� � ��x� ��Lx�
��L� U�x ��� � �
�x�
dividiendo porp� se obtiene�p
�L�p�U
�x �
�� � �
�p�
x�
de donde� se ha mostrado el siguiente�
Teorema II������ Sea A una matriz irreducible� no negativa y con laproperty A� Si � es un valor propio de la matriz obtenida por SOR� entonces
��� � �
�p�
�II�����
es valor propio de la matriz A�
El problema ahora� es determinar �� de manera que los valores propios� sean lo m�as peque�nos posibles� Se tiene�
�� � � � �p��
��� �� � ��� � ������II�����
�� II Sistemas Lineales
dando la ecuaci�on de segundo grado
�� ����� � �� ���
��� �� � �� � �� �II�����
Si ��� ��� las dos raices de esta ecuaci�on� son complejas� entonces ambas sonconjugadas� de donde
j�j � j� � j �Por lo tanto� condici�on necesaria para la convergencia es
� � � � �� �II�����
Si ��� �� son raices reales de �II������ se tiene que uno de los raices es m�asgrande que la otra� a menos que �� � ��� Esto sucede cuando la par�abola�p� corta tangencialmente con la recta � � � �� Ver gura II����� por
consiguiente� el discriminante de la ecuaci�on �II����� es nulo� es decir����� � �� ���
��� ��� � ���
��� � ��� � ��
��� � �� � � � ��
De donde� se ha demostrado el�
Teorema II������ El � optimal est�a dado por
w ��
�p� �
� �II������
y el radio espectral de la matriz SOR correspondiente es
�max � w � ��p� �
�p� �
� �II�����
λ
λ
λ
µµµ
1
2
3
12
µ raices conjugadas.
Figura IV���� Determinaci�on de w optimal�
II�� M�etodos Iterativos ��
Estudio de un problema modelo
Una de las aplicaciones m�as importantes de la utilizaci�on de m�etodos iter�ativos para resolver sistemas lineales� consiste en la resoluci�on num�erica deecuaciones con derivadas parciales de tipo el��ptico� Consid�erese el siguienteproblema tipo�
��u � f� sobre & � "�� #� "�� #�
f j�� � ���II������
Utilizando el m�etodo de diferencias nitas� se discretiza la ecuaci�on dederivadas parciales con un esquema de diferencias centradas� El cuadrado& es dividido en una malla uniforme de tama�no
h �
n� � �II������
se plantea�
xi � ih� i � �� � � � � n� �
yj � jh� j � �� � � � � n� ��II������
denotando
uij � u�xi� yj�� fij � f�xi� yj�� �II������
Discretizando la ecuaci�on para esta malla� se obtiene las siguientes ecua�ciones�
�ui�j�� � ui�j�� � ui���j � ui���j � �ui�j
h�� fij �
�i � � � � � � n�
j � � � � � � n�
u�j � �� j � �� � � � � n� �
un���j � �� j � �� � � � � n� �
ui� � �� i � �� � � � � n� �
ui�n�� � �� i � �� � � � � n� �
Cambiando la forma de las ecuaciones� se tiene
uij �
�
�ui�j�� � ui�j�� � ui���j � ui���j � h�fij
��
�i � � � � � � n�
j � � � � � � n�
que en notaci�on matricial� tiene la forma
u � Au�
�h�f� �II������
�� II Sistemas Lineales
donde�
u � �u��� � � � � u�n� u��� � � � � u�n� � � � � un�� � � � � unn�t�
f � �f��� � � � � f�n� f��� � � � � f�n� � � � � fn�� � � � � fnn�t�
A �
�
�BBBBB II B I
� � �� � �
� � �
I B II B
CCCCA �
B �
�B �
� � �
� � �� � � �
CA � I �
� � � �
A �
De�nici�on II������ El producto tensorial de dos matrices P de orden n�my Q de orden l � k se de ne como la matriz
P �Q �
�B p��Q � � � p�mQ���
���pn�Q � � � pnmQ
CA � �II������
de orden nl�mk�
Por lo tanto� la matriz A del problema se escribe como
A �
��B � I � I �B� �
Para hacer estimaciones del costo de operaciones� al encontrar la soluci�oncon un error jado de antemano� es necesario determinar la condici�on dela matriz A� como as�� mismo el radio espectral de A para determinar lavelocidad de convergencia de los m�etodos de Jacobi� Gauss�Seidel y SOR�Para tal efecto� se tiene la�
Proposici�on II���� �� El producto tensorial de matrices veri ca la siguientepropiedad
�B � C� �D �E� � BD � CE� �II������
Demostraci�on�� Se deja como ejercicio �
Sean� yk y �k el vector y el escalar respectivamente� de nidos por�
yk �
�sin�
ki�
n� �
�n
i��
�
�k � � cos�k�
n� ��
�II������
II�� M�etodos Iterativos �
puede veri carse como ejercicio que yk es un vector propio de B asociado alvalor propio �k� Se tiene� utilizando �II������
A�yk � yl� �
���B � I��yk � yl� � �I �B��yk � yl��
�
���k � �l��yk � yl��
de donde se ha demostrado el�
Teorema II������� Los valores propios de A est�an dados por
���k � �l� �
�
�cos�
k�
n� � � cos�
l�
n� �
�� �II������
La matriz B es tridiagonal con los coe cientes de la diagonal nulos�por consiguiente tiene la property A� veri car el segundo ejemplo sobre estapropiedad� Como la matriz A es igual a la suma de dos productos tensorialesentre B y I � �esta tambi�en veri ca la property A� Conociendo los valorespropios de A� se est�a en la posibilidad de aplicar los teoremas relativos a laconvergencia de los m�etodos de Jacobi� Gauss�Seidel y SOR�
Utilizando el anterior teorema� se tiene que el valor propio maximal deA es igual a
max � cos��
n� �� �II�����
Recordando el m�etodo de Jacobi se tiene�
u�k��� � Au�k� � f�
U� � AU� � f�
e�k� � u� � u�k��
e�k��� � Ae�k��
donde u� es la soluci�on exacta del problema lineal� e�k� el error en k�esimaiteraci�on�
Existe una base de vectores propios de la matriz A� para la cual el primervector est�a asociado a max� de donde se tiene
e�k���i � ie
�k�i � i � � � � � � n��
donde e�k�i es la i�esima componente respecto a la base� Por consiguiente
e�N�� � Ni e
���i �
�� II Sistemas Lineales
obteniendose as�� el n�umero de iteraciones necesarias para conseguir unaprecisi�on relativa de ��m� Por las siguientes relaciones�
n� � ��m�
N lnmax � �m ln ��
N ln�� ��
��n� ��� � �m ln ��
�N ��
��n� ��� �m � ����
por lo tanto
N ��m � ���
���n� ��
�mn�� �II������
Ahora bien� una iteraci�on equivale m�as o menos �n� operaciones� de dondeel trabajo necesario es �mn� operaciones�
Considerando� que el m�etodo de Gauss�Seidel se realiza en la mitad deoperaciones respecto al de Jacobi� y por el teorema II����� el n�umero deiteraciones para llegar a una precisi�on relativa de ��m es la mitad de Jacobi�Las siguiente tabla indica el n�umero de operaciones� tiempo para diferentesprecisiones requeridas�
Tabla II����� Valores para el m�etodo de Jacobi�
n Precisi�on $ operaciones Tiempo de C�alculo
� ��� �� ��sec
�� ��� �� �sec ��min
��� ��� �� �sec �� �a�nos
Para el m�etodo de Gauss�Seidel los valores� se obtienen de la tabla II����dividiendo por � los valores para n�umero de operaciones y tiempo de c�alculo�
En este tipo de problema es donde se ve la verdadera potencia del m�etodoSOR� respecto a los m�etodos de Jacobi y Gauss�Seidel� Para estimar eltiempo de c�alculo� como el n�umero de operaciones es necesario estimar �optimal� como tambi�en �max del teorema II����� Utilizando desarrollos deTaylor para la raiz cuadrada� como para el cociente� se obtiene�
umax � ��
n� �
�op �
�� �
n�
��
�II������
II�� M�etodos Iterativos ��
Por lo tanto� el n�umero de iteraciones para obtener una precisi�on relativa de��m es approximadamente igual a
N ���mn� �II������
Para una precisi�on de ��� se tiene la siguiente tabla�
Tabla II����� Valores para el m�etodo SOR�
n $ Operaciones Tiempo de C�alculo �op
� �� ���sec � ��
�� � �sec � ��
��� ��� ��sec �horas � ����
Para el problema con
f �
�� sobre "��� ���#� "��� ���# �
�� sino��II������
se obtiene utilizando SOR� los valores de u gra cados en gura II�����
Figura II����� Gr�a ca de la soluci�on del problema �II�������
�� II Sistemas Lineales
Ejercicios
�� Para resolver iterativamente el problema Ax � b� se considera laiteraci�on
Mx�k��� � Nxk � b� con A � M �N�
Determinar M y N para los m�etodos de Jacobi y Gauss�Seidel�
Programar los dos m�etodos y aplicarlos al problema
�B� � � �� � � �� � � �� � � �
CAx �
�B����
CA �
la soluci�on exacta es x� � � � � �� Estudiar la velocidad deconvergencia x�k��� � x�
x�k� � x�
para los dos m�etodos�
��� �Estudio de la demostraci�on del Teorema de Perron�Frobenius�� Sea
A �
�B� ��
�� � ���� � ��
�
CA �
Para un vector positivo u dado� se calcula v � Au y se de ne ri � vi�ui�Para el vector u � �� � � �t se obtiene de esta manera r� � ���r� � r � r� � �Modi car este vector con peque�nas perturbaciones� para llegar a
�� ri � para todo i�
��� �Un teorema de la teor��a de grafos�� Se da un grafo conexo de n nudosy se de ne una matriz A por
aij � si i �� j y el nudo i est�a ligado al nudo j�
� si i � j o el nudo i no est�a ligado al nudo j�
II�� M�etodos Iterativos ��
Ejemplo�
6 3
45
2
1
�� A �
�BBBBB
CCCCCADemostrar� Sea r el valor propio maximal de A� entonces se tiene siempre
r �p��
excepto en los casos�
r�� para un grafo�r�p�� para un grafo�
r�� �p����� para un grafo�
r�p�� para dos grafos�
��� Demostrar que la matriz bloque
A �
� � BC � D
E �
Averi ca la property A�
��� �Producto de Kronecker�� Sea B � �bij� una matriz de n�n y C � �cij�una matriz m�m� Se de ne A � B � C� una matriz nm� nm� por
A � B � C �
� b��C � � � b�nC���
���bn�C � � � bnnC
A �
a� Mostrar� si x es un vector propio de dimensi�on n e y es un vector dedimensi�on m� entonces
�Bx�� �Cy� � �B � C��x � y�
donde x� y est�a de nido similarmente�
b� Deducir que� si
x es vector propio de B� con valor propio ��
y es vector propio de C� con valor propio ��
entonces
x� y es vector propio de B � C� con valor propio � � ��
II�� M�etodos Minimizantes
Otra clase de m�etodos com�unmente utilizados en la resoluci�on de grandessistemas lineales� son los m�etodos de tipo gradiente que consisten en laresoluci�on un problema de minimizaci�on equivalente� Esta clase de m�etodosse aplica a la resoluci�on de
Ax � b� �II����
donde A es una matriz sim�etrica de nida positiva�La equivalencia con el problema de minimizaci�on� est�a dada por la
siguiente�
Proposici�on II����� SiA es sim�etrica y de nida positiva� los dos problemassiguientes son equivalentes
f�x� �
�xtAx� xtb� c min� �II�����
Ax � b� �II�����
Demostraci�on�� El primer problema puede ser escrito como
�
Xi�j
xiaijxj �Xj
xjbj � c min � �II�����
El procedimiento para encontrar el m��nimo� consiste en derivar f � de donde
�f
�xk�
�
Xj
akjxj �
�
Xi
xiaik � bk � ��
Puesto que A es sim�etrica� se tieneXj
akjxj � bk � ��
Si x es soluci�on de �II������ se tiene que x es soluci�on del problema �II������Ahora bien� si x es soluci�on de �II������ es un punto cr��tico de la funci�on
f � pero como A es de nida positiva� se tiene que f posee x como un m��nimo��
II�� M�etodos Minimizantes ��
M�etodo del Gradiente
El gradiente de f � utilizando la demostraci�on de la anterior proposici�on�est�a dado por
rf�x� � Ax� b� �II�����
Sea xo un punto de partida� se tiene�
f�x� � f�xo� � hrf�xo�� x� xoi�
��x � xo�
tA�x� xo��
� f�xo� � kx� x�k krf�xo�k cos � �
��x� xo�
tA�x � xo��
donde � es el �angulo entre rf�xo� y x � x�� Como se busca que f�x� seam��nimo�rf�xo� y x�xo deben tener la misma direcci�on y el mismo sentido�
Sup�ongase que se ha encontrado este x� que se lo denota por x�� sepuede plantear para k � �� obteniendo as��� el m�etodo del gradiente
xk�� � xk � �kgk� �II�����
donde gk � rf�xk�� El problema� por consiguiente� es determinar �kteniendo en cuenta las observaciones anteriores� se de ne la funci�on G���por
G��� �
��xk � �gk�tA�xk � �gk�� �xk � �gk�tb� �II�����
de donde� el m��nimo de G est�a en �k� dado por
�k �gk
tgk
gktAgk
� �II�����
Una ilustraci�on de las iteraciones del m�etodo del gradiente est�a dada en la gura II����
x
x
x
x
o
1
2
3ó
Figura II��� Ilustraci�on m�etodo del gradiente�
�� II Sistemas Lineales
Planteando hk � Agk� se tiene la versi�on algor��tmica del m�etodo delgradiente�
x �� xo�� g �� Ax� b�� Si jgj � TOL� entonces FIN�� h �� Ag�
� � ��hg� gihg� hi �
� x �� x� �g�� retornar al paso ��
La velocidad de convergencia del m�etodo del gradiente� est�a dada porel teorema siguiente� que ser�a enunciado sin demostraci�on�
Teorema II����� Sean� A sim�etrica y de nida positiva� max el valor propiom�as grande� min el valor propio m�as peque�no de A� por lo tanto
� �max
min� cond�A�
entonces xk � x� � �
��
��
�k x� � x� � �II�����
donde x� es la soluci�on exacta�
Adem�as� se tiene el�
Teorema II����� Existe� x� tal que
xk � x� �
���
��
�k x� � x� � �II�����
Demostraci�on�� En un referencial con un origen adecuado y una base devectores propios de A� el problema �II����� puede formularse como
�!xt A!x� c min�
es decir A!x � �� �II����
donde A � diag�min� � � � � max�� Dividiendo �II���� por max� se obtieneel sistema equivalente
!A!x �
� � � �
�
A !x � �� �II�����
II�� M�etodos Minimizantes ��
Por lo tanto� se puede suponer que A tiene la forma de !A� Planteando
x�i � �� para i � �� � � � � n� �
el problema se reduce a resolver� �� �
��xy
��
���
�� �II�����
El siguiente paso� es encontrar �x�� y��t� que al aplicar el m�etodo delgradiente� se tenga �
x�
y�
��
�qx�
�qy���
Ahora bien� una iteraci�on del m�etodo del gradiente da�
g� �
�x�
�y�
���
x�
y�
��
�x�
y�
�� �
�x�
�y�
��
��� ��x�
�� ���y��
��
de donde�q � � ��
�q � � �� �
despejando q� se obtiene
q ���
�� �
Puesto que la oscilaci�on encontrada no depende del punto inicial� las itera�ciones siguientes presentar�an el mismo fen�omeno� Con lo que se ha mostradoel teorema� �
M�etodo del Gradiente Conjugado
La �ultima demostraci�on muestra que en determinadas ocasiones el m�etododel gradiente conduce a una oscilaci�on en torno a la soluci�on� haciendoque la convergencia no sea tan r�apida como se espera� pudiendo mejoraresta situaci�on� tomando aparte de la direcci�on del gradiente otra direcci�onalternativa� El m�etodo del gradiente conjugado consiste en tomar tambi�enla direcci�on conjugada al gradiente� Para poder enunciar tal m�etodo esnecesario dar los elementos te�oricos para su comprensi�on�
Proposici�on II���� Sea f�x� � ��x
tAx � xtb� donde A es una matrizsim�etrica y de nida positiva� Sea d una direcci�on� entonces los m��nimos def�x� sobre las rectas paralelas a d se encuentran en el hiperplano
dt�Ax � b� � �� �II�����
�� II Sistemas Lineales
Demostraci�on�� Si x pertenece a una recta de direcci�on d� es de la forma
x � a� d� donde � R�
Se de ne la funci�on g� como g�t� � f�a� td�� por lo tanto esta funci�on tieneun m��nimo en t�� si
g��to� � dtf ��a� tod� � ��
es decir� si se cumple
dt �A�a� tod�� b� � ��
�
De�nici�on II����� Dos direcciones d� y d� son conjugadas respecto a A si
d�tAd� � �� �II�����
Con lo enunciado anteriormente� se puede formular el m�etodo del gradienteconjugado�
Sea x� un punto de partida� el gradiente inicial est�a dado por
g� � Ax� � b�
se de ned� � �g��
Sup�ongase� que se ha efectuado k iteraciones� es decir� se conoce dk� gk y xk�entonces se de ne�
�k ���dk� gk
��dk� Adk
� �xk�� � xk � �kd
k�
gk�� � Axk�� � b � gk � �kAdk �
dk�� � �gk�� � �kdk�
�II�����
Para determinar �k� se impone la condici�on que dk�� y dk sean conjugados�por consiguiente
gk��tAdk � �kdktAdk�
de donde
� �
�gk��� Adk
��dk� Adk
� � �II�����
II�� M�etodos Minimizantes �
La versi�on algor��tmica est�a dada por�
x �� punto de partida�� g �� Ax� b�� d �� �g�� h �� Ad�
� � ��hd� gihd� hi �
� x �� x� �d�� g �� g � �h�� si jgj � ���� entonces n algoritmo�
� �� �hg� hihd� hi �
� d �� �g � �d� Retornar al paso ��
Teorema II����� Con el algoritmo del Gradiente Conjugado se tiene�dk� Adl
�� �� l � k��
gk� gl�� �� l � k�
�II�����
Demostraci�on�� Por inducci�on sobre k�Para k � se tiene
�d�� Ad�
�� � por construcci�on del m�etodo��
g�� g����g�� g�
�� ���Ag
�� g��
� ��
Sup�ongase cierto para k� por la construcci�on de gk��� se tiene�gk��� dk
�� ��
entonces� �gk��� gk
���gk��� dk
�� �z ��
��k���gk��� dk��
�� �k��
�gk� dk��
�� �z ��
��k�k���Adk � dk��
�� �z �� hip� ind
�
�gk��� gl
���gk� gl
�� �z ��
��k�Adk� dl
�� ��
�dk��� Adl
�� c�
�gk��� Adl
�� c�
�dk� Adl
�� �z �� hip� ind
� c��gk��� gl
�� ��
�� II Sistemas Lineales
En el ejercicio �� se tiene otras f�ormulas para �k� �k �
De�nici�on II����� Se de ne la norma natural del problema por
kxkA �pxtAx� �II�����
Teorema II����� El error del m�etodo del Gradiente Conjugado� despu�esde l iteraciones satisface x� � xl
A�M
x� � x� A� �II������
donde
M � inf�i�R
�sup
v�p� A
�� � ��� ��� � � � �� �l
l��� � �II�����
Corolario II����� Si A tiene solamente l valores propios diferentes� en�tonces el m�etodo del Gradiente Conjugado da la soluci�on exacta despu�es del iteraciones�
Demostraci�on del teorema�� Se puede suponer por traslaci�on� que b � ��de donde la soluci�on exacta es x� � �� por lo tanto el error cometidos esel � xl� Se tiene d� � �g�� de niendo E� por�
E� ��x � x� � ��d
��
��x � x� � ��Ax
��
��x � �I � ��A�x
���
x� es el punto de E� que minimiza f�x� � ��x
tAx�
E� ��xjx � x� � ��d
� � ��d��
��xjx � �I � ��A� ��A
��x���
x� minimiza f�x� en E�� Continuando se llega a
El ��xjx � �I � ��A� � � �� �lA
l�x���
xl minimiza f�x� en El�Sean v�� � � � � vn vectores propios normalizados de A� por lo tanto forman
una base� Por consiguiente�
x� �nXi��
�ivi�
x�tAx� �
Xi�j
�ivtiAvj�j
�Xi
��i i
� x�
A�
II�� M�etodos Minimizantes ��
Por otro lado� se tiene
xk � �I � ��A� � � �� �lAl�
nXi��
�ivi
�
nXi��
�i� � ��i � � � �� �lli�vi�
xlAxl �
nXi��
��i i� � ��i � � � �� �lli��
de donde xl �A� max
������n
�� � ��i � � � �� �lli
��� x� �A�
�
Polinomios de Chebichef
Sup�ongase� que se conoce los valores propios de la matriz A sim�etrica yde nida positiva� es decir�
� � min � i � max�
El polinomio que minimiza el polinomio del teorema II���� tiene la propiedadsiguiente�
% es igual a � en min�% admite los valores ����� como valores maximos en el int�ervalo
"min� max# exactamente l � veces�% es igual a �� en max�La raz�on puede apreciarse en la gura II����� para el caso l � ��
λλ maxmin
ε
−ε
1
Figura II��� Polinomio minimizante para l � ��
�� II Sistemas Lineales
De�nici�on II��� �� El n�simo polinomio de Chebichef� es el polinomio degrado n� Tn�x� tal que�
Tn�� � �Tn��� � ���n�Todos los m��nimos y m�aximos relativos son� y pertenecen a ��� � ��
Teorema II������ Chebichef� Tn�x� est�a dado por
Tn�x� �
�
��x�
px� �
�n��x�
px� �
�n�� �II������
Demostraci�on�� Este teorema ser�a abordado en el Cap��tulo IV� motivo porel cual la demostraci�on no es necesaria por el momento� Lo �unico que puededecirse� es que la de nici�on moderna de los polinomios de Chebichef est�adada por
Tn�x� � cosn�� donde x � cos �� �II������
�
Teorema II������ La constante M del teorema II����� est�a dada por
M �
Tl
�max�min
max�min
� � �II������
Demostraci�on�� Se utiliza la transformaci�on af��n dada por
x � � � ��
donde�
� ��
max � min�
� � �max � min
max � min�
por consiguiente tomando �M � Tl��� se tiene el resultado deseado� �
Teorema II������ Para el m�etodo del Gradiente Conjugado� se tiene laestimaci�on xl � x�
A� �
�p�� p��
�l x� � x� A� �II������
donde � � cond��A�� x� la soluci�on exacta�
II�� M�etodos Minimizantes ��
Demostraci�on�� Para x � � se tiene
jTl�x�j �
�
�x�
px� �
�l�
de donde
M � ��x�
px� �
�l � para x � � �II������
particularmente para
x �max � min
max � min�
��
�� �
remplazando en �II������� se obtiene �II������� �
Con los resultados obtenidos respecto a los errores de convergencia�tanto para el m�etodo del gradiente� como para el m�etodo del gradiente con�jugado� se puede estimar el n�umero de iteraciones necesarias para conseguiruna precisi�on relativa de ��b� Para el m�etodo del gradiente por �II������ setiene�
��b ���
��
��
����b l ln�� ���� l ln� � ����
����b ��l���l b�� �II������
Con el mismo procedimiento que para el m�etodo del gradiente� el m�etododel gradiente conjugado necesita aproximadamente l iteraciones� de donde
l bp�� �II������
M�etodo del Gradiente Conjugado Precondicionado
El corolario II���� indica claramente� que el m�etodo del Gradiente Conjugadoconverge a la soluci�on exacta despues de l iteraciones� siendo l el n�umero devalores propios diferentes de la matriz A� Se puede mejorar la velocidad deconvergencia� haciendo un cambio de variables en el problema original
f�x� �
�xtAx� xtb�
Se de ne !x como!x � Etx�
�� II Sistemas Lineales
donde E es una matriz inversible con ciertas condiciones a cumplir que ser�andadas m�as adelante� Para no recargar la notaci�on� se denota
Et�� � E�t�
Por consiguiente� el problema se convierte en
f�!x� �
�!xtE��AE�t!x� !xE��b� �II������
El problema es encontrar E� de manera EEt �A� � � � con elmenor gasto de operaciones posibles� Si EEt � �A� aplicando el m�etodo delgradiente conjugado a �II������ se tiene la soluci�on exacta despu�es de unasola iteraci�on� en este caso� la matriz E es la descomposici�on de Choleskyde �A� Ahora bien� realizar la descomposici�on de Cholesky signi ca que sepuede calcular directamente la soluci�on� lo que implica un gran n�umero deoperaciones a ejecutar� La determinaci�on de E se la realiza utilizando dosm�etodos que ser�an analizados m�as adelante�
El algoritmo del gradiente conjugado para el problema condicionadoest�a dado por�
!x �� punto de partida�� !g �� E��AE�t!x�E��b�� !d �� �!g�� !h �� E��AE�t !d�
� !� ��
D!d� !g
ED!d� !h
E �� !x �� !x� !� !d�� !g �� !g � !�!h�� si j!gj � ���� entonces n algoritmo�
� !�� �
D!g� !h
ED!d� !h
E �� !d �� �!g � !� !d� Retornar al paso ��
La implementaci�on del m�etodo del gradiente conjugado al problemacondicionado �II������� tiene dos incovenientes� El primero que se debeconocer explicitamente la matriz E y el segundo que se efectuan muchasoperaciones con la matriz E�
Planteando C � EEt� se puede formular el algoritmo� comparandocon el m�etodo del gradiente conjugado para el problema condicionado yutilizando las identidades para �k y �k dadas en el ejercicio �� uno se
II�� M�etodos Minimizantes ��
dar�a cuenta de las sutilezas empleadas� Por consiguiente� la formulaci�onalgor��tmica est�a dada por�
x �� punto de partida�� g �� Ax� b�� � �� C��g�� o �� hg� �i�� d �� ���� h �� Ad�� � �� ��hd� hi�� x �� x� �d�� g �� g � �h�� si jgj � ���� entonces n algoritmo� � �� C��g�� � �� hg� �i�� �� � �� ��� d �� ��� �d�� � �� hd� gi�� Retornar al paso ��
Esta formulaci�on presenta algunas novedades respecto a la formulaci�ondel m�etodo del gradiente conjugado� La m�as importante es la aparici�ondel vector �� El gasto en memoria es practicamente el mismo� pues sepuede utilizar el mismo lugar de memoria para h y �� Por las observacionesanteriores la matriz C debe ser lo m�as parecida a la matriz A o a un m�ultiplode �esta� Adem�as� se debe resolver la ecuaci�on
C� � g�
motivo por el cual la matriz C debe ser la m�as simple posible� Actualmenteexisten dos m�etodos muy utilizados para determinar C� dependiendo sobretodo de las caracter��sticas de A� Estos son�
��� Factorizaci�on Incompleta de Cholesky
La descomposici�on de Cholesky incompleta de la matriz A� est�a dada porEEt� Los coe cientes de E son nulos en el lugar donde los coe cientes de Ason nulos� para los otros coe cientes� los valores est�an dados por las f�ormulasobtenidas para la descomposici�on de Cholesky dada en la seccion II��� esdecir�
eii �
vuutaii �i��Xj��
e�ji� �II�����a�
eki �
�aki �k��Xj��
ekjeji
Aeii
� �II�����b�
�� II Sistemas Lineales
Luego se resuelve�
E!g � g�
Et� � !g�
��� SSOR precondicionado �Axelsson� ����
La matriz A puede ser descompuesta en tres partes� la diagonal� la parteinferior y la parte superior� El m�etodo SSOR consiste en de nir la matrizE� como una matriz triangular inferior� cuyos coe cientes de la diagonalson iguales a la raiz cuadrada de los coe cientes de la diagonal de A� Loscoe cientes de la parte inferior de la matriz E son iguales a los coe cientesde la parte inferior de la matriz A multiplicados por un factor de relajaci�onpositivo �� es decir�
eii �paii� �II����a�
eki � �aki� � � �� �II����b�
Luego se resulve�
E!g � g�
Et� � !g�
La determinaci�on del � optimal se realiza al tanteo� dependiendo del pro�blema a resolver� pues por el momento no existe un criterio an�alitico paradeterminar este valor optimal�
Resultados Num�ericos
El estudio te�orico y la formulaci�on de m�etodos de resoluci�on de sistemaslineales por si solo constituye un hermoso ejercicio mental� Un m�etodo no esbueno� hasta que ha sido probado num�ericamente en problemas concretos�por eso es importante poder comparar la e ciencia de los diferentes m�etodosformulados en esta secci�on� en diferentes tipos de problemas�
Al igual que la secci�on II��� se considerar�a una ecuaci�on a derivadasparciales de tipo el��ptico� pues este tipo de problema� se presta mucho a laresoluci�on de grandes sistemas lineales� Sea�
�u � �� sobre & � "�� #� "�� #�
uj�� � ���II������
De la misma manera� que la secci�on precedente� se subdivide el dominio &en una malla uniforme de longitud �n� � planteando�
xi � ih
yj � jh
�� h �
n� � �II������
II�� M�etodos Minimizantes ��
se obtiene el sistema de ecuaciones dado por�
ui�j�� � ui�j�� � ui���j � ui���j � �uij � �h�� i� j � � � � � � n�
ukj � uil � �� k � � o k � n� � l � � o l � n� �
Planteando u � �u��� � � � � u�n� u��� � � � � u�n� � � � � un�� � � � � unn�t� el sistema
lineal se escribe como
Au � h��� �II������
donde A � �I�B�In�I�B� con � producto tensorial de matrices de nidoen la anterior secci�on� In la matriz identidad de orden n� n y
B �
�B �
� � �
� � �� � � �
CA �
A es una matriz de nida positiva y sim�etrica de orden n� � n��El problema �II������ ser�a resuelto tomando valores aleatorios para u��
Se ver�a el costo en iteraciones para diferentes valores de n� Una vez efectuadoslos experimentos num�ericos� las gr�a cas de las iteraciones del m�etodo delgradiente conjugado precondicionado SSOR� pueden ser observadas en la gura II�����
iter=0 iter=1 iter=2 iter=3
iter=4 iter=5 iter=6 iter=7
iter=8 iter=9 iter=10 iter=18
Figura II���� Soluci�on del problema �II�������
�� II Sistemas Lineales
En la gura II���� se observa en una gr�a ca el costo en iteraciones paraalcanzar una precisi�on de ��� para los diferentes m�etodos de tipo gradiente�
iter
Gradiante Conjugado SSOR.
101 102100
101
102
103
104
iter
n
Gradiante.
Gradiante Conjugado.
Grad. Conj. Chols. Incom.
Gradiante Conjugado SSOR.
Figura II��� N�umero de iteraciones vs n�
Finalmente la tabla II���� da el n�umero de iteraciones para alcanzaruna precisi�on de ��� utilizando el m�etodo del gradiante conjugado pre�condicionado para diferentes valores de n y el factor de relajaci�on �� En la�ultima columna se agrega� � optimal en funci�on de n�
Tabla II���� Determinaci�on de � optimal�
n n � ��� ��� �� ��� �� ��� �� ��� �op
� � � � � � � � ���
�� � � � � � � ��
�� �� �� �� � � � � � ��
�� �� �� �� � �� �� �� � ���
�� �� �� �� �� �� � �� �� ���
II�� M�etodos Minimizantes �
Ejercicios
�� Mostrar que una matriz sim�etrica A es de nida positiva si y solamentesi
det�Ak� � � k � � �� � � � � n donde Ak �
� a�� � � � a�k���
���ak� � � � akk
Ason los menores principales�
Indicaci�on� Intentar con la descomposici�on de Cholesky�
��� Calcular el m��nimo de
f�x� �
���x�� x��
��� ���� ��
��x�x�
��
����� ��
�x�x�
�por el m�etodo del gradiente conjugado partiendo del valor inicial x� � ��Hacer un buen gr�a co de los puntos x�� x�� x�� de los vectores g�� g��d�� d�� y de las curvas de nivel de la funci�on f�x��
��� Aplicar el m�etodo del gradiente conjugado al sistema lineal� � � �
Ax �
� ���
Apartiendo de x� � �� El m�etodo converge en � pasos� �Por qu�e�
��� Mostrar� utilizando las f�ormulas y las relaciones de ortogonalidad delteorema II����� las expresiones siguientes para �k y �k�
�k �
�gk��� gk��
��gk� gk
� � �k �
�gk� gk
��dk� Adk
� ���� Demostrar que la funci�on de la forma
f�x� � xn � ��xn�� � ��x
n�� � � � �� �n
se separa lo menos posible de cero entre los l��mites x � � y x � ��est�a dada por
f�x� �Tn�x�
�n�
�� II Sistemas Lineales
��� Demostrar las relaciones de ortogonalidad
Z ��
��
Tn�x�Tm�x�p� x�
dx �
�������� si n �� m��
�si n � m �� ��
� si n � m � ��
��� �Modi caci�on del m�etodo del gradiante conjugado para matrices nosim�etricas o no de nidas positivas�� Sea
Ax � b �II������
un sistema lineal� donde A es una matriz arbitraria inversible� El sistema
AtAx � Atb �II������
tiene las mismas soluciones que �II������� pero la matriz C � AtA essim�etrica y de nida positiva� Aplicar el m�etodo del gradiente conjugadoal sistema �II������ y rescribir el algoritmo obtenido de manera que elproducto AtA no aparezca mas� Cual es la desventaja del nuevo algo�ritmo si� por mala suerte� se aplica al sistema �II������ que inicialmenteera sim�etrico y de nido positivo�
II�� M�nimos Cuadrados
Hasta la secci�on precedente� se estudiaron problemas inherentes a la reso�luci�on de sistemas de ecuaciones lineales donde la soluci�on existe y es �unica�En esta secci�on se estudiar�an problemas m�as generales� donde la existenciay unicidad no juegan un rol tan preponderante�
El problema que se estudiar�a consiste b�asicamente en el siguiente� Setiene como datos�
�tj � yj�� j � � � � � �m� �m grande�� �II����
donde tj � R� yj � R� y una funci�on de modelo
y � � ��t� x�� � � � � xn�� � n � m� �II�����
donde t � R� y � R y xi � R�Un ejemplo de funci�on de modelo� es la siguiente funci�on�
� ��t� x�� x��� � x� � tx� � t�x��
El problema consiste en encontrar x�� � � � � xn� tales que
� ��t� x�� � � � � xn�� yj � j � � � � � �m� �II�����
* *
** * *
**
t t t1 2 m
*
*
*
Figura II���� Problema de los m��nimos cuadrados�
Sup�ongase que� � es lineal respecto a los xi� es decir
� ��t� x�� x��� �
nXi��
ci�t�xi� �II�����
�� II Sistemas Lineales
de donde el problema se reduce a resolver el siguiente sistema lineal�BBc��t�� c��t�� � � � cn�t��c��t�� c��t�� � � � cn�t��
������
c��tm� c��tm� � � � cn�tm�
CCA� �z �
A
� x����xn
A� �z �
x
�BBy�y����ym
CCA� �z �
b
� �II�����
por consiguiente� resolverAx b� �II�����
Planteando�ej � ��tj � x�� yj � j � � � � � �m� �II�����
la soluci�on del problema �II������ mediante el m�etodo de los m��nimos cuadra�dos� ser�a aqu�ella en la que
mXi��
emi � min� �II�����
es decirkAx� bk � min � �II�����
La justi caci�on del m�etodo de los m��nimos cuadrados� est�a dada pordos interpretaciones� La primera�
Interpretaci�on estad�stica
Las componentes yi del vector b en �II������ pueden ser vistas comomedidas experimentales� Ahora bien� toda medida experimental lleva consigoun error� por lo tanto es completamente razonable considerar �estas comovariables aleatorias�
Puesto que� la mayor parte de las medidas experimentales siguen leyesnormales� se tiene las dos hip�otesis siguientes� para determinar la soluci�ondel problema �II������
H� El valor yi de �II����� es la realizaci�on de un suceso para la variablealeatoria Yi� i � � � � � �m� Se supone que los Yi son independientes y queobedecen la ley normal de esperanza �i y varianza �i� Para simpli car elproblema� se supondr�a que los �i son iguales y conocidos de antemano�
H�� El sistema sobredeterminado �II����� posee una soluci�on �unica� si seremplaza los yi por los n�umeros �i� es decir� que existe � � Rn �unico talque A� � � donde � � ���� � � � � �m�t�
La funci�on de distribuci�on de Yi� en Yi � yi� es igual a
fi�yi� �p���
exp��
��yi � �i
�����
II�� M�nimos Cuadrados ��
Como los Yi son independientes� el vector aleatorio Y � �Y�� � � � � Ym�t tienela funci�on de distribuci�on
f�y� �
mYi��
p���
exp��
��yi � �i
�����
donde y � �y�� � � � � ym�t�Efectuando c�alculos� se obtiene
f�y� � C exp
��
�
mXi��
�yi � �i�
����
Aplicando el principio de m�axima presunci�on� la probabilidad de medir yien lugar de �i� para i � � � � � �m� est�a dada por
f�y� max � �II�����
Por lo tanto� �II����� sucede si
mXi��
�yi � �i�
�� min� �II����
es decirmXi��
�yi �nXj��
aijxj
A�
min � �II�����
con lo que se ha justi cado �II������
Interpretaci�on geom�etrica
Se de ne el subespacio vectorial de Rm de dimensi�on n dado por
E � fAxjx � Rng � Rm �la soluci�on de �II����� est�a dada por el vector x�� tal que
Ax� � b es
m��nima� es decir Ax� es el vector m�as proximo perteneciente a E al vectorb� de donde el vector Ax� � b es ortogonal al espacio E� ver gura II�����
E
b
Figura II���� Interpretaci�on geom�etrica�
�� II Sistemas Lineales
Teorema II������ Sea A una matriz de orden m� n� b � Rm � entonces
kAx� bk� min �� AtAx � Atb� �II�����
Las ecuaciones de la parte derecha de la equivalencia� son las ecuacionesnormales del problema de m��nimos cuadrados�
Demostraci�on�� Utilizando la interpretaci�on geom�etrica del m�etodo dem��nimos cuadrados se tiene�
kAx� bk� � min
�� b�Ax � Ay� �y � Rn�� hAy� b�Axi � �� �y � Rn�� ytAt�b�Ax� � �� �y � Rn�� At�b�Ax� � �
�� AtAx � Atb�
�
Se remarca inmediatamente que la matriz AtA es sim�etrica y semi�de nida positiva� es decir xtAtAx � �� La matriz AtA ser�a de nida positivasi y solamente las columnas de A son linealmente independientes� Si �este esel caso� se puede utilizar la descomposici�on de Cholesky para resolver
AtAx � Atb�
pero en la mayor��a de los casos AtA es una matriz mal condicionada� Comoejemplo vale la pena citar el siguiente ejemplo�
Se tiene� la funci�on de modelo dada por
��t� �
nXi��
� xiti���
es decir� se trata de determinar el polinomio de grado n que mejor ajusta a lospuntos �ti� yi�� i � � � � � �m y � � t� � t� � � � � � tn � � Por consiguiente�se debe encontrar x � Rn � tal que
kAx � bk� � min�
donde�
A �
�BB t� � � � tn���
t� � � � tn������
��� tm � � � tn��m
CCA � b �
�BBy�y����ym
CCA �
II�� M�nimos Cuadrados ��
Por lo tanto
AtA �
�BBm
Pti � � � P
tn��iPti
Pt�i � � � P
tni���
���Ptn��i
Ptni � � � P
t�n��i
CCA
�
m
�BB �m
Pti � � � �m
Ptn��i
�mP
ti �mP
t�i � � � �mP
tni���
����m
Ptn��i �m
Ptni � � � �m
Pt�n��i
CCA
m
�BB �� � � � �n�� �� � � � ��n� ����
����n ��n� � � � � ��n
CCA �
puesto que Z �
�
tkdt
m
Xtki �
De donde� la matriz AtA se aproxima a una matriz de tipo Hilbert� la cual esuna matriz mal condicionada� resultado visto en la primera secci�on de estecap��tulo� Por lo tanto se debe formular un algoritmo donde la matriz AtAno aparezca directamente�
La descomposici�on QR
Dada una matriz A de orden m�n� se busca las matrices� Q de orden m�my la matriz R de orden m� n� tales que la matriz Q sea ortogonal� es decir
QtQ � I �
y la matriz R triangular superior� es decir
R �
nz �� ��BBr�� � � � r�n
� � �
� rnnO
CCA�����������������m� m � n�
con
A � QR� �II�����
�� II Sistemas Lineales
Puesto que la matriz Q es ortogonal� para todo vector c � Rm � se tiene Qtc �� kck �
de donde
kAx� bk� � Qt�Ax � b�
�
� Rx�Qtb
�� min � �II�����
Por otro lado� la matriz R y el vector Qtb pueden escribirse como�
R �
�R�
�
�� Qtb �
�c�c�
��
donde R� es una matriz triangular de orden n�n y c� � Rn � Por consiguiente�resolver el problema �II����� es resolver la ecuaci�on
R�x � c�� �II�����
Ahora bien� el principal problema es encontrar un algoritmo simple yrapido que permita descomponer la matriz A en un producto de la formaQR� Precisamente uno de estos m�etodos consiste en la utilizaci�on de matricesde Householder�
Matrices de Householder �����
Sea u � Rm � con kuk� � � Se de ne la matriz Q por
Q � I � �uut� �II�����
matriz que es sim�etrica y ortogonal� En efecto�
Qt ��I � �uut
�t��I � �uut
��
QtQ ��I � �uut
�t �I � �uut
�� I � �uut � �uut � �uutuut
� I�
La manera como act�ua Q sobre Rm es la siguiente� sea x � Rm �
Qx � x� �uutx�
si utx � �� se tiene inmediatamente que Qx � x� de donde Q es una simetr��arespecto al hiperplano fxjutx � �g� en efecto
Qu ��I � �uut
�u � �u�
II�� M�nimos Cuadrados ��
En base a estas matrices se construir�a un m�etodo que permita descomponerla matriz A en QR en n� pasos a lo m�aximo�
Se busca una matriz Q� � I � �u�ut� con ku�k� � � tal que
Q�A �
�BB�� � � � � �� � � � � ����
������
� � � � � �
CCA �
Denotando por e� a �� �� � � � � ��t y A� la primera columna de la matriz A�hay que determinar Q�� tal que
Q�A� � ��e�� � � R� �II�����
Por las propiedades de norma se tiene j��j � kA�k�� por consiguiente�� � �kA�k� � �II�����
Q� es una matriz de Householder� por lo tanto�
A� � �u�ut�A� � ��e��
�u��ut�A�� �z ��R
� � A� � ��e��
de donde u� tiene la misma direcci�on que A� � ��e�� En consecuencia�
u� �A� � ��e�kA� � ��e�k�
� �II������
Sabiendo que la sustracci�on es una operaci�on mal condicionada cuando lascantidades a restar son cercanas� se plantea
�� � �signo�a��� kA�k� � �II�����
El siguiente paso es determinar Q�Aj � donde Aj es la j�esima columna de lamatriz A� de niendo v� � A� � ��e�� se tiene�
vt�v��
�
��At
� � ��et���A� � ��e��
�
�
� kA�k��� �z ���
���a�� � ��a�� � ����
� ����� � a����
Q�Aj � Aj � �u�ut�Aj
� Aj � �
vt�v�v�v
t�Aj
� Aj �
����� � a���v�v
t�Aj � �II������
�� II Sistemas Lineales
Despu�es del primer paso de la descomposici�on QR� se ha obtenido
Q�A �
�BB�� � � � � ������
A���
CCA �
El segundo paso es determinar Q� matriz de Householder� como en el primerpaso� de manera que
Q�Q�A �
�BB�� � � � � ������
Q� A���
CCA �
�BBBB�� � � � � � �� �� � � � � ������
�����
A���
CCCCA �
donde
Q� �
�BB � � � � ������
Q�
CCA �
Costo de la descomposici�on QR
La descomposici�on se la realiza en n� �etapas�
Qn�� � � �Q�Q�� �z �Qt
A � R�
para el primer paso contando el producto escalar se efectuan�
m� �n� ��m operaciones�
por lo tanto� el costo es aproximadamente igual
��mn� �m� ��n� � � � � � �m� n� ��
si n m se tiene ��n
operaciones� si n� m se tiene mn� operaciones�
Programaci�on
La descomposici�on QR presenta la ventaja que se puede utilizar las plazasocupadas por los coe cientes de la matriz A� con los coe cientes de la matriz
II�� M�nimos Cuadrados �
R y los vectores v�� En lo que se sigue� se tiene un esquema del m�etodo dedescomposici�on QR�
A
v�
R
A���
��
v� v�
R
A���
�� ��
Al nal de la descomposici�on se obtiene la siguiente matriz
v� v� � � �
R
vn
�� �� � � � �n
Hay que observar que QR es aplicable� si las columnas de A son linealmenteindependientes� Si no fuesen linealmente independientes se llegar��a a lasituaci�on de obtener un �i � �� y la descomposici�on en este caso ser��anum�ericamente inestable� Para evitar esta situaci�on� se puede modi car ladescomposici�on QR de la manera siguiente� Sea A la matriz a descomponer�se considera
kAjok�� � maxj�������n
kAjk�� � �II������
se intercambia la primera columna A� con Ajo y se procede el primer paso dela descomposici�on QR� para el segundo paso se procede de la misma maneray as�� sucesivamente� Por consiguiente� con esta modi caci�on se obtiene lasucesi�on decreciente�
�� � �� � � � � � �k � �� �II������
Si hay vectores linealmente dependientes se llega por lo tanto al siguienteresultado
R �
�R� R�
� �
�con R� �
��� � � � r�n� � �
����k
A� �z �
k � rangA
� �II������
�� II Sistemas Lineales
La descomposici�on QR es un instrumento num�erico que permite determinarel rango de la matriz A� Ahora bien� debido a los errores de redondeo� elprincipal problema consiste en decidir cuando un �j es nulo en la sucesi�ondecreciente �II������ � Se remarca inmediatamente que� si �k�� � �� entonces�k�i � � para i � ��
Se de ne la matriz !R el resultado num�erico obtenido despues de k pasoscomo
!R �
�BB��
� � �
�k
!R�
� �
CCA � �II������
Planteando!A � Q !R� �II������
se tiene la�
De�nici�on II������ �k�� es despreciable� si y solamente si A� !A �� eps kAk� � �II������
Se tiene� por consiguiente�
A� !A � Q�R� !R��
kAk� � kRk� � A� !A �� R� !R
��
de donde
�k�� despreciable �� R� !R
�� eps kRk� �
�k�� es una buena aproximaci�on de R� !R
�� y �� es una buena aproxi�
maci�on de kRk�� obteniedo el siguiente resultado
�k�� despreciable �� �k�� � eps ��� �II������
La pseudo�inversa de una matriz
El problema �II����� tiene una soluci�on �unica� si el rango de la matriz A esigual a n y est�a dada por
x � �AtA���Atb� �II������
II�� M�nimos Cuadrados ��
La matrizA� � �AtA���At� �II�����
ser�a la matriz inversa para el problema �II������Para el problema m�as general� donde le rango de A es � n� la descom�
posici�on QR da el siguiente resultado
R �
�R� R�
� �
�� con R� �
��� � � � r�k� � �
� �k
A �
planteando x � �x�� x��t� con x� � Rk � se tiene
kAx� bk�� � Rx�Qtb
�� �R�x� �R�x� � c�
�c�� �
�
kR�x� �R�x� � c�k�� � kc�k�� �de donde el�
Teorema II������ x � �x�� x��t es soluci�on de kAx� bk� � min� si y
solamente siR�x� �R�x� � c�� �II������
Si el rango de A es igual a n� la soluci�on es �unica� si no las soluci�ones delproblema �II����� constituyen un espacio af��n� Sea por consiguiente
F � fxjx es soluci�on de �II�����g �de donde� para obtener una soluci�on �unica� el problema �II����� se convierteen
kAx � bk� � min
kxk� � min� �II������
De�nici�on II����� La pseudo�inversa de la matrix A de orden m�n es lamatriz A� de orden n�m� que expresa la soluci�on x� para todo b � Rm delproblema �II������ como
x� � A�b� �II������
Si la matriz A es de rango n� entonces la pseudo inversa est�a dada por laf�ormula �II������ Para el caso m�as general se tiene los siguientes resultados�
F �
��x�x�
� ����x� arbitrario
x� � R��� �c� �R�x��
��
kxk�� � kx�k�� � kx�k��� R��� �c� �R�x��
��� kx�k�� � min � �II������
�� II Sistemas Lineales
Derivando �II������� se obtiene�I � �Rt
�R�t� �R��� R�
�� �z �sim�etrica y de nida positiva
x� � Rt�R
�t� R��� c�� �II������
Se ha de nido la pseudo�inversa de la matriz A� su existencia est�a aseguradapor el hecho que el problema �II������ tiene soluci�on �unica� en lo que siguese determinar�a de manera expl��cita esta pseudo�inversa con algunas de suspropiedades m�as interesantes�
Teorema II������ Sea A una matriz de m�n� entonces existe dos matricesortogonales U y V tales que
U tAV �
�BBBBBB
��� � �
�n
�
CCCCCCA con�� � � � � � �k � ��
�k�� � � � � � �n � ���II������
�II������ se llama la descomposici�on a valores singulares de la matriz A y��� � � � � �n son los valores singulares de la matriz A�
Demostraci�on�� La matriz AtA es sim�etrica y semi de nida positiva� porconsiguiente existe una matriz V ortogonal tal que
V tAtAV �
�B���� � �
��n
CA �
con �� � � � � � �n � �� Se busca una matriz U ortogonal tal que
AV � U
�BBBBBB
��� � �
�n
�
CCCCCCA �
suponiendo �k � � y �k�� � �� se de ne D la matriz diagonal de k � k concoe cientes �i� i � � � � � � k� por consiguiente si
AV � �U� U� �
�D �� �
�� �U�D � � �
II�� M�nimos Cuadrados ��
donde U� est�a constituida por las primeras k columnas de U � Sean
�AV �� las primeras k columnas de AV�
�AV �� las otras n� k columnas de AV�
�AV �� � �� en efecto� sea x � ��� � � � � �� �z �k
� !x�t� donde !x � Rn�k � obteniendo�
xtV tAtAV x � xt
�B���� � �
��n
CAx � ��
kAV xk�� � k�AV ��!xk�� � �!x�Se de ne U� por
U� � �AV ��D���
obteniendo columnas ortonormales� ya que
U t�U� � D��
��AV �t��AV ��
�D�� � I
Finalmente se construye U�� de manera que U sea ortogonal� �
Teorema II������ Sea A una matriz de m� n� siendo
U tAV � ' �
�BB��
� � �
�k
�
�
CCA � �II������
la descomposici�on en valores singulares� Entonces la pseudo�inversa de Aest�a dada por
A� � V
�BB����
� � �
���k
�
�
CCAU t� �II������
Demostraci�on�� Se tiene
kAx� bk�� � U'V tx� b
��
� U�'V tx� U tb�
���
' V t��z�y
� U tb��z�c
�
�
� k'y � ck�� � �Dy�
�
���c�c�
� ��
� kDy� � c�k�� � kc�k�� �
�� II Sistemas Lineales
Para que la expresi�on sea minimal es necesario que y� � D��c�� Por otrolado se tiene que y � V tx� de donde kyk� � kxk�� de manera� que para quex sea minimal es necesario que y� � �� De donde
x �V
�D��c�
�
��V
�D�� �� �
��c�c�
��V
�D�� �� �
�V tb
�A�b� �b��
Finalmente se tiene�
Teorema II������ La pseudo�inversa de una matriz veri ca las siguientespropiedades
�A�A�t � A�A�a�
�AA��t � AA��b�
A�AA� � A��c�
AA�A � A�d�
llamados axiomas de Moore�Penrose� adem�as la pseudo�inversa est�a �unica�mente determinada por estos axiomas�
Demostraci�on�� Veri caci�on inmediata utilizando �II��������
Error del M�etodo de los M��nimos Cuadrados
Retomando la interpretaci�on estad��stica del m�etodo de los m��nimos cuadra�dos� Se han dado dos hip�otesis de partida� para determinar la soluci�on� laprimera sobre los yi de la ecuaci�on �II������ la segunda concerniente a lacompatibilidad de la funci�on modelo �II����� con los datos �II�����
Suponiendo v�alidas estas dos hip�otesis� se tiene
A� � �� �II������
donde � � ���� � � � � �m�t es la esperanza del vector aleatorio Y � Ahora bien�el m�etodo de los m��nimos cuadrados da como soluci�on �x�� � � � � xn�
t� que por�II������� es igual a
x � �AtA���Atb�
II�� M�nimos Cuadrados ��
Por lo tanto
x� � � �AtA���At�b� �� o xi � �i �
mXj��
�ij�bj � �j�� �II�����
donde �ij es el elemento �i� j� de la matriz �AtA���At�Se supondr�a� por lo tanto� que xi es una realizaci�on de una variable
aleatoria Xi de nida por
Xi � �i �
mXj��
�ij�Yj � �j�� �II������
Teorema II������ Sean X�� X�� � � � � Xm variables aleatorias independientes�con esperanza �i y varianza �i � � Entonces� la variable aleatoria Xi�de nida por �II������� satisface
E�xi� � �i y V ar�Xi� � �ii� �II������
donde �ii es el i�esimo elemento de la diagonal de �AtA���� Los otroselementos de �AtA��� son las covarianzas de Xi�
Demostraci�on�� Se tiene� utilizando la linearidad de la esperanza�
E�Xi� �
mXj��
�ijE�Yj � �j� � �i
� �i�
Para calcular la varianza de Xi� se utiliza el hecho que V ar�Z� � Z�� �V ar�Z�� � V ar�Z��� si Z� y Z� son independientes� De donde� con ei eli�esimo vector de la base can�onica� se tiene
V ar�Xi� � V ar�Xi � �i�
�
mXj��
��ijV ar�Yj � �j�
�
mXj��
��ij
� �AtA���Atei
��
� eti�AtA���At
��
� eti�AtA���AtA�AtA���ei
� eti�AtA���ei � �ii�
�
�� II Sistemas Lineales
Por consiguiente� si los yi son realizaciones de una variable aleatoria Yique sigue N��� �� suponiendo que una soluci�on exacta � existe� entonces setiene una probabilidad de ��( que
�i � xi � ��Xi� �II������
La f�ormula �II������ da los valores de �Xi� sin embargo se ha visto que
la determinaci�on de AtA puede representar una cantidad grande de c�alculo�Utilizando la descomposici�on QR� se tiene
AtA � RtQtQR � RtR� �II������
Como las �ultimas las de ceros no incide en el c�alculo del producto RtR� sepuede considerar R como una matriz de n � n� obteniendo as�� la descom�posici�on de Choleski de �AtA��
Una vez determinados los par�ametros x de la funci�on modelo �II�����corresponde saber� si los �II���� son compatibles con tal modelo� Por ladescomposici�on QR� el problema �II����� se convierte� ver �II������ en�
R�
�x �
�C�
C�
�� donde
�C�
C�
�� Qtb� �II������
Denotando los elementos de Qt por qij � los elementos del vector C� satisfacen
ci �
mXj��
qijbj �
y las componentes del vector C� satisfacen tambi�en
ci �mXj��
qij�bj � �j��
Es razonable considerar las variables aleatorias
Zi �
mXj��
qij�Yj � �j�� i � n� � � � � �m� �II������
A continuaci�on� se da la proposici�on siguiente� sin demostraci�on�
Proposici�on II������ Sean Y�� � � � � Ym variables aleatorias independientessiguiendo N��� �� Entonces las variables aleatorias Zn��� � � � � Zm� de nidaspor �II������ son independientes y siguen tambi�en una ley normal N��� ��
El error cometido� por el m�etodo de los m��nimos cuadrados� es equiva�lente a estudiar kC�k�� de donde el teorema� sin demostraci�on�
II�� M�nimos Cuadrados ��
Teorema II���� �� Pearson� Sean Z�� Z�� � � � � Zn variables aleatorias inde�pendientes siguiendo la ley normal N��� �� Entonces� la distribuci�on de lavariable aleatoria
Z�� � � � �� Z�
n� �II������
est�a dada por
fn�x� �
�n��)�n���xn����e�x��� x � �� �II������
y por fn�x� � � para x � �� Es la ley �� con n grados de libertad� Laexperanza de esta variable es n y su varianza es �n�
Ejemplo
A partir de la funci�on f�t� � t� ��� sin��t���� se ha elaborado la tablaII���� que tiene como elementos �i� bi� con � � i � �� donde bi � f�i���i��i es la realizaci�on de una variablea aleatoria siguiendo una ley normalN��� �� con � � ���
Tabla II����� Valores de bi en funci�on de i�
i bi i bi
� ���� � �����
����� � ����
� ������ � ������
� ������ � ������
� ����� � �����
Se considera� la funci�on de modelo
��t� � xt� y sin��t���� �II������
Obteniendo por la descomposici�on QR�
x � �������
y � �������
El siguiente paso ser�a estimar el intervalo de con anza para x y y� Paratal efecto� se considera el problema
xt
�� y
sin��t���
��
bi�� i � �� � � � � ��
�� II Sistemas Lineales
pues� los bi�� deben ser realizaciones de una variable normal con varianzaigual a � De donde la matriz de covarianza est�a dada por�
��x �xy�xy ��y
��
������� � ��� ������� � ���������� � ��� ������ � ��
��
Por consiguiente�x � ������� �����
y � ������� �����
El m�etodo QR� con la notaci�on precedente da
kC�k� � ���������
corrigiendo� para el problema normalizado� se tiene
kC�k����
� �������
Se tiene ��� grados de libertad� Viendo en una tabla de la distribuci�on��� se deduce que este valor es lo su cientemente peque�no para serprobable�Ahora bien� si se hubiese considerado la funci�on de modelo
��t� � xt� y� �II�����
se hubiera encontradokC�k����
� ��������
valor demasiado grande para ser probable�La conclusi�on es que� para los valores de la tabla II���� la ley �II������es m�as probable que la ley �II������En la gura II����� puede observarse en linea continua la gr�a ca de lafunci�on modelo dada por �II������ y con lineas segmentadas la gr�a ca dela funci�on modelo �II�����
II�� M�nimos Cuadrados �
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Figura II����� Resultados del m�etodo de los m��nimos cuadrados�
Ejercicios
�� Sea A una matriz inversible de n � n� Mostrar que la descomposici�onQR es �unica� si se supone que rjj � � para j � � � � � � n�
��� Aplicar el algoritmo de Golub�Householder a la matrice de rotaci�on
A �
�cos� sin�� sin� cos�
��
Dar una interpretaci�on geom�etrica�
��� Sea Q una matriz ortogonal de n � n� Mostrar que Q puede escribirsecomo el producto de n matrices de Householder� de donde cada trans�formaci�on ortogonal de Rn es una sucesi�on de al menos n re�exiones�
��� Escribir una subrutina DECQR�N�M�MDIM�A�ALPH��
�A�MDIM�N��ALPH�N��� que calcula la descomposici�on QR de una ma�triz m� n� m � n�Escribir tambi�en una subrutina SOLQR�N�M�MDIM�A�ALPH�B� que cal�cula la soluci�on del problema
kAX � bk� � min �
Determinar la parabola x� � x�t� x�t�� que ajusta lo mejor posible�
�� II Sistemas Lineales
ti � �� � �� � �� � �� � ��
yi �� � �� � �� �� �� �� �� �� �� ��
��� Sea A una matriz m � n� Mostrar que AtA � �I es no singular para� � � y
A� � lim����
�AtA� �I���At�
Cap��tulo III
Interpolaci�on
Uno de los mayores problemas con que se tropieza� radica en la evaluaci�onde las funciones en determinados puntos� Las causas principales de estasdi cultades est�an esencialmente en la di cil manipulaci�on de estas funciones�una funci�on tan inocente como la logaritmo presenta di cultades en su eva�luaci�on y se debe recurrir a �utiles mat�ematicos como series� etc� Por otro lado�la sola informaci�on que se conoce de esta funci�on� son determinados puntos�e incluso suponiendo que �esta es lo bastante regular� la evaluaci�on en otrospuntos es de gran di cultad� De donde un m�etodo de facil manipulaci�onconsiste en la aproximaci�on de las funciones a evaluar por polinomios�Existen dos enfoques diferentes� el primero radica en la aproximaci�on me�diante polinomios de interpolaci�on y el otro mediante la mejor aproximaci�onpolinomial respecto a una norma�
Este cap��tulo abordar�a sobre todo la aproximaci�onmediante polinomios�La primera parte tratar�a sobre la interpolaci�on de Lagrange y Hermite� laformulaci�on de algoritmos para calcular estos polinomios ser�a hecha� lasestimaciones de error cometido ser�an tambi�en estudiadas a fondo� como as��mismo los problemas de estabilidad inherentes a la interpolaci�on de Lagrangeser�an abordados con resultados y ejemplos� como elementos te�oricos lospolinomios de Chebichef ser�an vistos dando como consecuencia resultadosinteresantes sobre la elecci�on de los puntos de interpolaci�on� Un segundot�opico a ver ser�a los splines� polinomios que operan como serchas� por su facilmanipulaci�on� como por su gran utilidad ser�an estudiados en la formulaci�onde los m�etodos� el c�alculo de error y sus diferentes aplicaciones� Un tercertema de gran inter�es por las grandes utilidades que puede dar� consiste enlos m�etodos de extrapolaci�on tanto como en su valor te�orico� como tambi�enpor su propiedad de acelerar la convergencia de muchas sucesiones�
III�� Interpolaci�on de Lagrange
En la introducci�on del cap��tulo� se mencion�o la interpolaci�on como uninstrumento de aproximaci�on de una funci�on determinada� Sea f una funci�onde la que se conoce las im�agenes en una cantidad nita de puntos� es decir
f�xi� � yi i � � � � � � n�
la funci�on interpolante p ser�a por de nici�on igual a f�xi� para i � � � � � � n�Se hablar�a de interpolaci�on cuando se eval�ua en el punto x con
x � "minxi�maxxi#�
y de extrapolaci�on si no� Por su facil manipulaci�on� pues solo se efectuamultiplicaciones y adiciones� es conveniente que la funci�on interpolante p seaun polinomio�
De�nici�on III������ Dados �k�� puntos diferentes� x�� x�� � � � � xk de "a� b#�los enteros no negativos ��� � � � �k y los reales yili con � � i � k y � � li � �i�El Polinomio de Hermite pn de grado n � k � �� � � � �� �k� respecto a losxi� �i y los yili veri ca
p�li�n �xi� � yili � �III���
Si los �i � � para i � �� � � � � k� pn se llama Polinomio de Lagrange�
De�nici�on III������ Cuando los puntos yili satisfacen
yili � f �li�n �xi�� �III����
para una determinada funci�on f � pn es el polinomio de interpolaci�on deHermite� y si los �i son nulos� se hablar�a del polinomio de interpolaci�on deLagrange�
Estas dos de niciones dan las condiciones que deben cumplir los poli�nomios de interpolaci�on� sin embargo la existencia� como la unicidad no est�andadas� podr��a suceder que no existiesen en alg�un caso� Por eso es necesarioinsistir en la base te�orica que asegure la existencia y la unicidad de estos�adem�as� para que la construcci�on de estos pueda ser relativamente facil�
Bases Te�oricas
Sin querer dar un tratado sobre la teor��a de los polinomios� existen resultadosque deben formularse para la mejor comprensi�on de la interpolaci�on polino�mial� Aunque en Algebra se hace distinci�on entre polinomio y su funci�on
III�� Interpolaci�on de Lagrange ��
polinomial asociada� no se har�a distinci�on entre estos� por que son poli�nomios a coe cientes reales o complejos los que se utilizan en la mayor partede los problemas a resolverse num�ericamente�
De�nici�on III������ Sea p�x� � R"x#� a es un cero de multiplicidad m dep�x�� si
p�k��a� � � m � �� � � � �m� � y p�m� �� ��
Proposici�on III����� a es un cero de multiplicidad m de p�x�� si ysolamente si� existe un polinomio q�x� con q�a� �� � tal que
p�x� � �x� a�mq�x��
Demostraci�on��Ver en cualquier libro de Algebra� �
Corolario III������ Un polinomio pn�x� de grado n tiene a lo m�as n ceroscontando con su multiplicidad�
Teorema III������ Existe a lo sumo un polinomio de Hermite de grado nrespecto x�� � � � � xk� ��� � � � � �k� con k � �� � � � �� �k � n� tal que
p�li�n �xi� � yili �
donde yili � R� � � li � �i�
Demostraci�on�� Sean pn y qn dos polinomios de Hermite que satisfacenlas hip�otesis del teorema� pn � qn es un polinomio nulo o de grado � n�Ahora bien� pn � qn tiene ceros de al menos multiplicidad �i � en xi parai � �� � � � � k� Por la proposici�on anterior se tiene
pn � qn �
�kYi��
�x� xi�i��
�r�x��
sumando los grados� la �unica posibilidad es que r�x� � �� �
Teorema III������ Existe al menos un polinomio de Hermite de grado nrespecto x�� � � � � xk� ��� � � � � �k� con k � �� � � � �� �k � n� tal que
p�li�n �xi� � yili �
donde yili � R� � � li � �i�
Demostraci�on�� Es su ciente mostrar que existe un polinomio de Hermitede grado n tal que para i � f�� � � � � kg y l � f�� � � � � �ig se tenga�
p�l��xi� � � p�m��xj� � � para m �� l oj �� i�
�� III Interpolaci�on
den�otese por pi�l este polinomio� xj para j �� i es un cero de multiplicidad�j � � de donde�
pi�l � r�x�
�Yj ��i
�x� xj�j���
A �
pi�i � Ci�i�x � xi�i
�Yj ��i
�x� xj�j���
A �
la constante Ci�i es escogida de manera que p�i�i�i
�xi� � � Los polinomiospi�l se los de ne recursivamente de la siguiente manera
pi�l � Ci�l
��x � xi�i
�Yj ��i
�x� xj�j���
A�Xm�l
cil�mpi�m
A �
donde las constantes cil�m son escogidas de manera que p�m�i�l �xi� � � para
m � l y Ci�l de manera que p�l�i�l � � �
Para construir el polinomio de interpolaci�on no debe utilizarse lospolinomios de nidos en la demostraci�on� uno porque el costo en operacioneses demasiado elevado y otro por la sensibilidad de estos polinomios as��de nidos a los errores de redondeo�
Construcci�on del Polinomio de Interpolaci�on
Inicialmente se considerar�a polinomios de interpolaci�on del tipo de Lagrange�Por lo tanto� dados los puntos x�� � � � � xn todos diferentes� y los valoresy�� � � � � yn� el problema se reduce a encontrar un polinomio de grado n quesatisfaga
p�xi� � yi � � i � n� �III����
Indudablemente el caso m�as sencillo es para n � y luego para n � ��Para n � la recta de interpolaci�on est�a dada por
p�x� � y� �
�y� � y�x� � x�
��x� x���
para n � � la par�abola de interpolaci�on est�a dada por
p�x� � y� �
�y� � y�x� � x�
��x� x�� � a�x� x���x� x���
III�� Interpolaci�on de Lagrange ��
este �ultimo polinomio veri ca p�x�� � y� y p�x�� � y�� por consiguiente esnecesario determinar a de manera que p�x�� � y�� Unos simples c�alculosalgebraicos dan
a �
x� � x�
y� � y�x� � x�
� y� � y�x� � x�
!�
Para n � � se puede continuar con el mismo esquema� pero antes es necesariodar la noci�on de diferencias divididas�
De�nici�on III������ �Diferencias Divididas� Sean �x�� y��� � � � � �xn� yn�� losxi diferentes entre si� Entonces las diferencias divididas de orden k se de nende manera recursiva por�
y"xi# � yi� �III���a�
y"xi� xj # �yj � yixj � xi
� �III���b�
y"xi� � � � � � xik # �y"xi� � � � � � xik #� y"xi� � � � � � xik��
#
xik � xi�� �III���c�
Teorema III������ �F�ormula de Newton�� El polinomio de interpolaci�on degrado n que pasa por �xi� yi�� i � �� � � � � n� est�a dado por
p�x� �
nXi��
y"x�� � � � � xi#
i��Yk��
�x� xk�� �III����
con la convenci�on
��Yk��
�x � xk� � �
Demostraci�on�� Por inducci�on sobre n� Para n � y n � � la f�ormula deNewton es correcta� ver m�as arriba� Se supone que la f�ormula sea correctapara n� �
Sea� p�x� el polinomio de grado n que pasa por �xi� yi�� i � �� � � � � n� dedonde
p�x� � p��x� � a�x� x���x� x�� � � � �x� xn����
con p��x� el polinomio de interpolaci�on de grado n� que pasa por �xi� yi�i � �� � � � � n� � Por hip�otesis de inducci�on se tiene
p��x� �n��Xi��
y"x�� � � � � xi#i��Yk��
�x� xk��
por lo tanto hay que demostrar que
a � y"x�� x�� � � � � xn#�
�� III Interpolaci�on
Sea� p��x� el polinomio de interpolaci�on de grado n� que pasa por �xi� yi��i � � � � � � n� de niendo el polinomio q�x� por
q�x� � p��x��x� x��
�xn � x��� p��x�
�xn � x�
�xn � x���
q�x� es un polinomio de grado a lo sumo n� adem�as q�xi� � yi� i � �� � � � � n�Por la unicidad del polinomio de interpolaci�on se tiene que p�x� � q�x��Comparando los coe cientes del t�ermino de grado n se obtiene
a �y"x�� � � � � xn#� y"x�� � � � � xn��
xn � x�� y"x�� � � � � xn#
�
La f�ormula de Newton es muy simple y facil de implementar en unprograma para determinar el polinomio de interpolaci�on de tipo Lagrange�ver la gura III�� donde se muestra un esquema del algoritmo de Newton�
x� y"x�# y"x�� x�#�
x� y"x�# y"x�� x�� x�# � y"x�� x�# y"x�� � � � � x#� �
x� y"x�# y"x�� x�� x# y"x�� � � � � x�# � � ���� � �
y"x�� x# y"x�� � � � � x�#� � ���� � �
x y"x# y"x�� x� x�# � ���� � �
y"x� x�#� ���� � �
x� y"x�#���
���� � �
Figura III����� Esquema de la F�ormula de Newton�
La programaci�on del polinomio de interpolaci�on es muy facil� adem�asque se puede utilizar la plaza ocupada por yi� En efecto la primera columnadel esquema es utilizada por los yi� se remarca inmediatamente que ynaparece una vez en los calculos� por consiguiente las �ultimas n� lugares dela columna son utilizados por los n � valores de las diferencias divididasque aparecen en la segunda columna� quedando el primer valor de y�� y secontinua de esta manera hasta obtener y"x�� � � � � xn#�
III�� Interpolaci�on de Lagrange ��
Un caso particular en la determinaci�on del polinomio de interpolaci�onocurre cuando la subdivisi�on de los puntos es uniforme� es decir
xi � x� � ih� i � �� � � � � n� �III����
donde h � �xn � x���n� Para poder implementar el algoritmo de Newtoncon esta subdivisi�on es necesario� las siguientes dos de niciones�
De�nici�on III���� �� �Diferencias Finitas Progresivas� Sea y�� y�� � � � � unasucesi�on de n�umeros reales� se de ne el operador de diferencias nitasprogresivas de orden k de manera recursiva como sigue�
r�yi � yi� �III���a�
ryi � yi�� � yi� �III���b�
rk��yi � rkyi�� �rkyi� �III���b�
De�nici�on III������� �Diferencias Finitas Retr�ogradas� Sea y�� y�� � � � � unasucesi�on de n�umeros reales� se de ne el operador de diferencias nitasretr�ograda de orden k de manera recursiva como sigue�
r�yi � yi� �III���a� ryi � yi � yi��� �III���b�
rk��yi � rkyi � rkyi��� �III���b�
Ahora bien� tomando una subdivisi�on uniforme x� � � � � � xn setiene los dos resultados equivalentes para el polinomio de interpolaci�on deLagrange que pasa por los puntos �xi� yi�� Utilizando las diferencias nitasprogresivas se tiene
p�x� �nXi��
riy�
i�hi
i��Yk��
�x� xk�� �III����
donde h � �xn � x���n y con la convenci�on
��Yk��
�x� xk� � � Utilizando las
diferencias retr�ogradas se tiene
p�x� �
nXi��
riyn
i�hi
i��Yk��
�x� xn�k�� �III����
con la convenci�on
��Yk��
�x�xn�k� � � La programaci�on es la misma que para
el caso general� con la �unica diferencia que no se efect�uan divisiones� Por
� III Interpolaci�on
consiguiente� se tiene el mismo esquema de resoluci�on para una subdivisi�onuniforme� En la gura III��� se observa los esquemas para las diferencias nitas progresivas y las diferencias nitas retr�ogradas�
x� r�y�
�ry�
� �x� r
�y� r�y�� � �ry� r�y�
� � � �x� r
�y� r�y� r�y�� � � �ry� r�y�
� � �x� r
�y� r�y�� �ry�
�x� r
�y����
���� � �
xn �r�yn�
�ryn� �
xn���r�yn��
�r�yn� � �
�ryn���r�yn
� � � �xn��
�r�yn���r�yn��� �r�yn
� � � ��ryn��
�r�yn��� � �
xn���r�yn��
�r�yn��� �
�ryn���
xn���r�yn��
������
� � �
Figura III����� Esquemas para Diferencias Finitas
La evaluaci�on del polinomio de interpolaci�on en un punto x � "x�� xn# sela realiza utilizando el algoritmo de Horner� ver ejemplo secci�on I�� Para verla simplicidad de la determinaci�on del polinomio de interpolaci�on utilizandodiferencias divididas� y si la subdivisi�on es uniforme� diferencias nitas� setiene el siguiente�
Ejemplo
Se desea evaluar la raiz cuadrada de un n�umero positivo� por ejemplo� �� Para mostrar le e cacia y simplicidad� se va construir un polinomiode interpolaci�on de grado �� y con tal efecto se utiliza los puntos dondela raiz cuadrada es exacta como una expresi�on decimal�
xi � �� � � � �� � ��
yi � �� � � � �� � ��
Por consiguiente� el esquema de diferencias divididas para el polinomiode interpolaci�on� est�a dado por
���� ���������
� ����� ���� ������
� � ���� ���
� � ����� ���� �����
� �����
����� ���
III�� Interpolaci�on de Lagrange
de donde el polinomio de interpolaci�on es igual a
p�x� � � �� ����x� �� �� ����x� ��x� � ��
� �� ���x� ��x� � ���x� � ����
y p�� �� � � ���
El Error de Interpolaci�on
Sea f�x� una funci�on que cumple ciertas condiciones� se supone que sehace pasar un polinomio de interpolaci�on por los puntos �xi� f�xi��� lapregunta natural es saber que error se comete con el c�alculo del polinomiode interpolaci�on� es decir p�x� � f�x� vale cuanto� para un x determinado�Es por esta raz�on que los siguientes teoremas ser�an enunciados para teneruna idea del error cometido�
Teorema III������� Sea f�x� n�veces continuamente diferenciable yyi � f�xi�� i � �� � � � � n� los xi todos diferentes�
Entonces existe � � �minxi�maxxi� tal que
y"x�� x�� � � � � xn# �f �n����
n�� �III���
Demostraci�on�� Se de ne la funci�on r�x� por
r�x� � f�x� � p�x��
donde p�x� es el polinomio de interpolaci�on que pasa por �xi� f�xi���i � �� � � � � n� Se observa inmediatamente que r�xi� � � para i � �� � � � � n�por el teorema de Rolle se deduce que r��x� se anula al menos una vez encada subintervalo "xi� xi��#� es decir existe �i� � �xi� xi���� para i � �� � � � � n�Aplicando una vez m�as Rolle se deduce que r���x� tiene n � ceros en elintervalo "x�� xn#� nalmente aplicando el teorema de Rolle las veces quesean necesarias se llega a la conclusi�on que r�n� tiene al menos un cero en elintervalo requerido� Por otro lado
r�n��x� � f �n��x�� n�y"x�� � � � � xn#�
�
Teorema III������� Sea� f n� veces continuamente diferenciable y p�x� elpolinomio de interpolaci�on de grado n de nido por �xi� f�xi��� i � �� � � � � n yxi �� xj si i �� j� Entonces �x� �� � �min�x�� � � � � xn� x��max�x�� � � � � xn� x���tal que
f�x�� p�x� � �x � x���x � x�� � � � �x� xn�f �n������
�n� ��� �III����
� III Interpolaci�on
Demostraci�on�� Se deja x jo� se plantea xn�� � x� Sea p�x� el polinomiode interpolaci�on de grado n � que pasa por �xi� f�xi��� i � �� � � � � n � �Por consiguiente
p�x� � p�x� �nY
k��
�x� xk�y"x�� � � � � xn��#�
por el teorema anterior� se tiene
p�x� � p�x� �
nYk��
�x � xk�f �n������
�n� ���
p�x� � f�x�� de donde el teorema queda demostrado� �
Ejemplo
Para el ejemplo de la implementaci�on del m�etodo de diferencias divididaspara calcular el valor
p� �� la funci�on interpolada es
px� El intervalo de
estudio del polinomio de interpolaci�on de grado � est�a dado por "� � ��#�x� � � x� � � �� x� � � �� y x � � ��� Por lo tanto
f�x� �px�
f ��x� � �
�x�
�� �
f ���x� �
�x�
�� �
f ���x� � ��
�x�
�� �
f ����x� ��
�x�
�� �
por consiguiente��f ����x��� � �
� para x � "� � ��#� lo cual implica que el
error cometido en el c�alculo depx est�a dado por�
��px� p�x��� � �
� � �� j�x� ��x� � ���x� � ����x� � ���j ����p� �� p�� ����� � �� �������
El teorema II��� da un resultado sobre el error cometido durante elproceso de interpolaci�on� Este error depende de la derivada n�umero n � de la funci�on f � �este depende por lo tanto de la funci�on a interpolar y est�a
III�� Interpolaci�on de Lagrange �
fuera de alcanze� Pero tambi�en el error depende de la subdivisi�on x�� � � � � xn�por lo tanto en cierta manera es controlable� De ah�� una pregunta naturalsurge� Sea "a� b# un intervalo� �C�omo escoger x�� x�� � � � � xn� tales que
maxx��a�b�
j�x � x���x � x�� � � � �x � xn�j � min � �III����
Polinomios de Chebichef
La respuesta de la anterior interrogante� est�a en el estudio de los polinomiosde Chebichef� que ya fueron tratados en la secci�on II���
De�nici�on III������ El n�simo polinomio de Chebichef est�a de nido en elintevalo "�� # por la siguiente relaci�on
Tn�x� � cos�n arccosx�� �III����
Por lo tanto T��x� � � T��x� � x� etc�
Los polinomios de Chebichef tienen las siguientes propiedades� que valela pena enunciarlas en la siguiente proposici�on�
Proposici�on III������� Los polinomios de Chebichef satisfacena� T��x� � � T��x� � x y
Tn���x� � �xTn�x� � Tn���x�� �III����
b� Se tiene para n entero no negativo
jTn�x�j � � para x � "�� #� �III����
Tn
�cos
�k�
n
��� ���k� �III����
Tn
�cos
��k �
�n�
��� �� �III����
para k � �� � � � � � n� �
Demostraci�on�� El inciso a� se demuestra utilizando el hecho que
cos��n� ��� � �cos� cos�n��� cos��n� ����
La primera parte del inciso b� es consecuencia de la de nici�on del n�si�mo polinomio de Chebichef� Las dos �ultimas relaciones provienen de lasecuaciones cosn� � � y jcosn�j � � �
� III Interpolaci�on
Finalmente� es facil observar que el coe ciente del t�ermino dominantede Tn para n � � es igual a �n��� Los polinomios de Chebichef T�� T�� T� yT pueden observarse en la gura III����
T��x� T��x�
T��x� T�x�
Figura III����� Los cuatro primeros polinomios de Chebichef�
Teorema III������� Sea q�x� un polinomio de grado n con coe cientedominante �n�� para n � y q�x� diferente a Tn�x�� Entonces
maxx�������
jq�x�j � maxx�������
jTn�x�j � � �III����
Demostraci�on�� La demostraci�on se la realiza por el absurdo� Se suponeque existe un polinomio q�x� de grado n� tal que
jq�x�j � para jxj � �
III�� Interpolaci�on de Lagrange �
de donde r�x� � q�x��Tn�x� polinomio no nulo de grado al menos n�� peror�x� posee al menos n raices� lo que contradice que r�x� sea una polinomiode grado menor o igual n� � �
Teorema III������� Si xk � cos
���k � ��
��n� �
�� entonces
maxx�������
j�x� x�� � � � �x� xn�j
es minimal respecto a todas las divisiones x� � x� � � � � � xn conxi � "�� #�Demostraci�on�� Se tiene�
�x� x�� � � � �x � xn� � Tn���x���n�
�x� x�� � � � � x � xn� � q�x���n�
�
Para construir una divisi�on �optima para cualquier intervalo "a� b#� setoma los puntos !xk de nidos por
!xk �a� b
��b� a
�xk� �III�����
donde los xk son los ceros del n� �simo polinomio de Chebichef�
Estudio de los Errores de Redondeo
En esta subsecci�on� se estudiar�a la incidencia de los errores de redondeoen la determinaci�on del polinomio de interpolaci�on� m�as precisamente enlos polinomios de interpolaci�on de tipo Lagrange� Hay que recalcar quelos errores de redondeo en el c�alculo del polinomio interpolante est�a muyrelacionado con el concepto de estabilidad del algoritmo de determinaci�ondel polinomio de interpolaci�on�
El problema es el siguiente� Dada una subdivisi�on x�� � � � � xn� determinarp�x� de grado n tal que p�xi� � yi� i � �� � � � � n� En el c�alculo se cometenerrores de redondeo por un lado� y por otro lado los datos iniciales tienen unaparte de error de redondeo� Para simpli car el estudio de la estabilidad delpolinomio de interpolaci�on� los errores de redondeo a considerar son aquellospresentes en los yi� y se supone que no se comete errores de redondeo enlos c�alculos propiamente dichos y que los xi son considerados por su valorexacto�
El teorema III��� a rma la existencia de un polinomio de interpolaci�onde grado n de tipo Lagrange para �xi� yi�� i � �� � � � � n y los xi diferentes�
� III Interpolaci�on
durante la demostraci�on de este teorema se vio de manera expl��cita la formaque deb��a tener este polinomio� recordando se enuncia el siguiente teorema�
Teorema III������� Sean �xi� yi�� i � �� � � � � � n� los xi diferentes entre si�p�x� el polinomio de grado n que satisface p�xi� � yi� Entonces
p�x� �
nXi��
yili�x�� �III����
donde li�x� �
nYj�j �i
�x� xj�
�xi � xj�� �III�����
Como se dijo al inicio de esta subsecci�on� se considerar�a los errores deredondeo cometidos en los yi� es decir
yi � yi� � �i�� donde j�ij � eps�
De niendo el polinomio p�x� por p�xi� � yi� i � �� � � � � n� Realizando c�alculosy mayoraciones se obtiene�
p�x�� p�x� �
nXi��
�yi � yi� �z ���iyi
�li�x��
jp�x�� p�x�j �nXi��
j�ij jyij jli�x�j
� eps jyjmax
nXi��
jli�x�j �
jp�x�� p�x�jjyjmax
� eps
nXi��
jli�x�j �
De�nici�on III������� La constante de Lebesgue asociada a la subdivisi�onx� � x� � � � � � xn� est�a dada por
*n � max�x��xn�
nXi��
jli�x�j � �III�����
Ejemplos
a� Para la divisi�on equidistante xj � � ��jn � j � �� � � � � n� Se puede
mostrar que la constante de Lebesgue se comporta asint�oticamente�cuando n � �� como
*n � �n��
en logn� �III�����
III�� Interpolaci�on de Lagrange �
En el ejercicio � de esta secci�on� se indica c�omo se calcula num�ericamenteestas constantes� en la tabla III�� est�an los resultados de estos c�alculos�
b� Para la divisi�on con puntos de Chebichef xj � � cos
��j �
�n� ��
�� se
puede mostrar que la constante de Lebesgue se comporta asint�otica�mente� cuando n ��� como
*n � �
�logn� �III�����
Tabla III����� Constantes de Lebesgue
nDivisi�on
Equidistante
Divisi�on
de Chebichef
� ������ ������
�� ����� ������
�� ���� � �� ������
�� ������ � �� ������
�� ������ � ��� ������
�� ������ � ��� ����
�� ����� � �� ������
�� ������ � ��� ������
�� ����� � ��� ����
�� ����� � �� ������
Por los valores dados en la tabla� no se debe utilizar polinomios deinterpolaci�on de grado superior a ��� si la divisi�on utilizada es equidistante�Tratar en lo posible de utilizar los puntos de Chebichef para interpolaci�on�
En la gura III��� se tienen las gra cas de l�� para n � � para las divi�siones equidistantes y de Chebichef� En la gura III���� se ve claramente loserrores cometidos por redondeo utilizando puntos equidistantes al interpolarla funci�on sin��x��
� III Interpolaci�on
−1 0 1
−5
0
5
puntos equidistantespuntos equidistantes
−1 0 1
puntos Chebichefpuntos Chebichef
Figura III���� Gr�a ca de un Polinomio de Lagrange�
−1 0 1
−1
0
1n=15n=15
−1 0 1
−1
0
1n=20n=20
−1 0 1
−1
0
1n=30n=30
−1 0 1
−1
0
1n=40n=40
Figura III����� Interpolaci�on de sin��x��
III�� Interpolaci�on de Lagrange �
Convergencia de la Interpolaci�on
En esta subsecci�on� se analizar�a el problema de la convergencia de lainterpolaci�on� Sea f � "a� b# � R� para cada entero natural se considerauna subdivisi�on de "a� b# dada por
x�n�� � x
�n�� � � � � � x�n�n �
pn�x� el polinomio de interpolaci�on respecto a esta subdivisi�on� Se desear��asaber que sucede cuando n ��� es decir
jf�x�� p�x�j n������� ��
Teorema III���� �� Sea f � C�"a� b# tal que��f �n��x��� � M para todo
x � "a� b# y para todo n � N� seanx�n�� � x
�n�� � � � � � x
�n�n
ouna sucesi�on de
subdivisiones de "a� b#� Entonces
maxx��a�b�
jf�x�� pn�x�j n������� �� �III�����
donde pn�x� es el polinomio de interpolaci�on de grado n� respecto a lassubdivisiones dadas�
Demostraci�on�� Utilizando el teorema III��� y la hip�otesis que lasderivadas de cualquier orden son acotadas se tiene
jf�x�� pn�x�j �����x� x
�n�� � � � � �x� x�n�n �
��� ��f �n��������
�n� ��
�M�b� a�n��
�n� ��
n������� ��
�
Las funciones exponencial � senos y cosenos son acotadas y sus derivadaslo son tambi�en� motivo por el cual estas funciones pueden ser aproximadaspor polinomios de interpolaci�on teniendo asegurada la convergencia de lainterpolaci�on� El teorema III���� da condiciones su cientes para asegurarla convergencia� no obstante existen muchas otras funciones cuyas derivadasde orden superior no est�an acotadas por una sola constante M � por ejemplofunciones racionales� Por lo tanto es necesario poder enunciar otras condi�ciones para asegurar convergencia� o de lo contrario para decidir que sucededivergencia en el proceso de interpolaci�on�
Para poder comprender m�as aspectos de la convergencia o divergenciade la interpolaci�on es necesario introducir algunas de niciones y resultadosimportantes en el estudio de la aproximaci�on de funciones por polinomios�
�� III Interpolaci�on
Consid�erese la aplicaci�on Ln que a la funci�on f asocia su polinomiode interpolaci�on en los puntos x�� x�� � � � � xn� Ln�f� � pn� Se remarcainmediatamente que esta aplicaci�on es lineal� ademas si Pn es el espaciode los polinomios de grado igual o menor a n se tiene
�q � Pn� Ln�q� � q�
Se puede mostrar� ver ejercicios� que
*n � maxg�C�a�b�
g ��
kLn�g�k�kgk�
�
de manera que la constante *n representa la norma del operador Ln respectoa la norma de la convergencia uniforme en C�"a� b#� Por otro lado se obtieneel siguiente teorema de mayoraci�on sobre el error de interpolaci�on�
Teorema III������� Dados una funci�on f � C�"a� b# y su polinomio deinterpolaci�on de Lagrange en los puntos x�� � � � � xn� se tiene
kf � pnk� � � � *n�En�f�� �III�����
donde En�f� � infq�Pn
kf � qk��
Demostraci�on�� Para todo q � Pn� se tiene
f � pn � �f � q�� �pn � q� � �f � q�� Ln�f � q��
por consiguiente
kf � pnk� � kf � qk� � kLn�f � q�k� � � � *n� kf � qk� �
el resultado se obtiene tomando la cota inferior sobre los q � Pn� �
De�nici�on III������� La cantidad En�f� se llama el grado de aproximaci�onde la funci�on f por los polinomios de grado� n� respecto a la norma de laconvergencia uniforme�
Examinando los diferentes factores de la mayoraci�on dada por el anteriorteorema� la cantidad *n depende solamente de la subdivisi�on tomada delintervalo "a� b#� mientras que En�f� depende solamente de la funci�on f � En elestudio de la estabilidad se vio *n para dos tipos de subdivisi�on� los puntosde Chebichef y los equidistantes� se ha podido demostrar que *n es minimalcuando se toman los puntos de Chebichef� pero en todos las sucesiones desubdivisiones dadas al principio de este paragrafo� se tiene
limn��
*n ���
III�� Interpolaci�on de Lagrange �
Como *n es la norma del operador Ln� consecuencia del teorema deBanach�Steinhauss� se tiene que� cualquiera sea la sucesi�on de subdivisiones
x�n�� � � � � � x
�n�n � existe una funci�on continua f � tal que Ln�f� no converge uni�
formente hacia f cuando n��El siguiene paso es estudiar el comportamiento de En�f�� cuando
n�� esto est�a intimamente ligado a la regularidad de la funci�on f y m�asparticularmente a su m�odulo de continuidad� denotado por ��f� h�� de nidopor
��f� h� � maxt�t��a�b�
jt�t�j�h
jf�t�� f�t��j � �III�����
Se veri ca facilmente las propiedades siguientes del m�odulo de continuidad�i� la funci�on h ��f� h� de nida sobre R� es positiva� creciente y
subaditiva� es decir� �h�� h� � �� ��f� h� � h�� � ��f� h�� � ��f� h���ii� si n � N� ��f� nh� � n��f� h�� si � R� � ��f� h� � � � ���f� h��iii� si f � C�"a� b#� lim
h����f� h� � � y la funci�on h ��f� h� es continua
sobre R� �iv� si f � C�"a� b#� ��f� h� � h kf �k��
Teorema III������� Existe un real M � independientemente de n� a y b� talque para todo n � y toda f � C�"a� b#� se tiene
En�f� �M�
�f�b� a
n
�� �III�����
Demostraci�on� El cambio de variable s � �x � a���b � a� permite detrasladarse al caso en que a � �� b � � f � C�"�� #� lo que se supondr�a acontinuaci�on�
Consid�erese primero el caso en que n � �p es par� y planteando
jn�t� �
�n
�Bsin��p���t
�
�sin
t
�
CA�
�
�n
�nX
k��
cos�p� �k�t
�
��
�
donde �n es escogido de manera queR � jn�t�dt � � es evidente que jn
puede escribirse bajo la forma
jn�t� � a�n � a�n cos t� � � �� ann cosnt� �III�����
Planteando g�t� � f�jcos tj�� est�a claro que g es una funci�on par� continuasobre R y peri�odica de periodo �� adem�as ��g� h� � ��f� h� porque jt� t�j �
�� III Interpolaci�on
h � jjcos tj � jcos tjj � h� Continuando con la demostraci�on se introduce lafunci�on
�n�s� �
Z
� g�t�jn�s� t�dt �
Z
� g�s� t�jn�t�dt�
se tiene
g�s�� �n�s� �
Z
� �g�s�� g�s� t��jn�t�dt�
de donde
jg�s�� �n�s�j �Z
� j�g�s�� g�s� t��j jn�t�dt
�Z
� ��g� jtj�jn�t�dt � �
Z
�
��g� t�gn�t�dt
� �
Z
�
� � nt�jn�t�dt � ��g� �n�� por la propiedad ii�
Utilizando las mayoraciones�
�� sinx
x� para x � "�� ���#� se obtiene
Z
�
tjn�t�dt � C
n�
ver ejercicio �� por lo tanto se tiene
jg�s�� �n�s�j � �� � C���g�
n��
Se remarca queZ
� g�t� cos�k�s� t��dt � cos ks
Z
� g�t� cos�kt�dt� sin ks
Z
� g�t� sin�kt�dt
� cos ks
Z
� g�t� cos�kt�dt�
puesto que g es una funci�on par�Resulta de �III����� y de la de nici�on de �n que existe pn � Pn tal que
para todo s � R� �n�s� � pn�cos s�� por consiguiente se tiene
maxx������
jf�x�� pn�x�j � maxs�Rjf�jcos sj�� pn�cos s�j � max
s�Rjg�s�� �n�s�j
� �� � C���g� �n� � �� � C���f� �n��
El caso en que n � �p � es impar se deduce del precedente remarcandoque E�p���f� � E�p�f� y que ��f� �b� a��n� � ���f� �b� a���n� ��� �
III�� Interpolaci�on de Lagrange ��
Corolario III������ Teorema de Weirstrass� Sea "a� b# un intervalo cerradoy acotado de R� entonces el conjunto de las funciones polinomiales es densoen C�"a� b# para la topolog��a de la convergencia uniforme
Demostraci�on�� En efecto� por la propiedad iii� del m�odulo de continuidad�se tiene que
limn��
�
�f�b� a
n
�� ��
por consiguiente limn��
En�f� � �� para toda funci�on f � C�"a� b#� �
Corolario III������� Se supone que f � Cp"a� b#� p � �� entonces para todon � p se tiene
En�f� �Mp�� �b� a�p
n�n� � � � � �n� p� ��
�f �p��
b� a
n� p
�� �III�����
Demostraci�on�� Por el teorema III����� el corolario es cierto para p � ��sup�ongase cierto el enunciado del corolorio para p y sea f � Cp��"a� b#� setiene por lo tanto f � � Cp"a� b#� de donde �n � p�
En���f�� �Mp�� �b� a�
�n� � � � � �n� p��
�f �p����
b� a
n� � p
��
Se puede mostrar� ver Crouzeix� Cap��tulo I��� que existe q � Pn�� talque kf � � qk� � En���f
��� Planteando por lo tanto p�x� �R xa q�t�dt y
��x� � f�x� � p�x�� se tiene p � Pn� entonces En�f� � En���� adem�ask��k� � kf � � qk� � En���f
��� Aplicando el teorema III���� a la funci�on� y la propiedad iv� del m�odulo de continuidad� se obtiene
En�f� � En��� �M�
���
b� a
n
��M
b� a
nk��k� �
de donde
En�f� �Mp�� �b� a�p��
n�n� � � � � �n� p��
�f �p����
b� a
n� p�
��
�
Utilizando las estimaciones dadas para las constantes de Lebesgue yel teorema III���� se obtiene las mayoraciones siguientes del error deinterpolaci�on de Lagrange si f � Cp"a� b#�
a� En el caso que los xi son equidistantes�
kf � pnk� � Cp�b� a�p�n
np�� logn�
�f �p��
b� a
n� p
��
�� III Interpolaci�on
b� En el caso de los puntos de interpolaci�on de Chebichef
kf � pnk� � Cp�b� a�plogn
np�
�f �p��
b� a
n� p
��
este resultado con p � �� da el resultado de Bernstein que dice que elinterpolante de Lagrange con los puntos de Chebichef converge hacia f delmomento en que lim
h����f� h� logh � �� que es el caso si f � C�"a� b#�
Teorema III������� Si la funcion f � C�"a� b#� si los puntos utilizadosdurante el proceso de interpolaci�on son puntos de Chebichef� entonces
limn��
pn � f�
La utilizaci�on de los puntos de Chebichef en la aproximaci�on de unafunci�on continuamente diferenciable en un intervalo "a� b#� no implica nece�sariamente convergencia num�erica� pues el c�alculo del polinomio interpolantepor medio de computadoras est�a imbuido de errores de redondeo� Por lotanto hay que tener mucho cuidado cuando se utilizan muchos puntos deinterpolaci�on�
Fen�omeno de Runge
Hasta ahora� se ha visto condiciones su cientes para asegurar la convergenciade la interpolaci�on de una funci�on por polinomios� Tambi�en se ha mostradoque la utilizaci�on de puntos de Chebichef en la interpolaci�on de una funci�oncontinuamente derivable permit��a la convergencia� En esta parte� se ver�aque tener una funci�on continuamente derivable y una divisi�on equidistanteno es una condici�on su ciente de convergencia� Con el siguiente ejemplose ilustrar�a el conocido fen�omeno de Runge� En la gura III���� puedeapreciarse que la interpolaci�on de Lagrange diverge cuando la divisi�on esequidistante� Mientras� que en la gura III���� utilizando subdivisiones deChebichef se tiene convergencia� En lineas punteadas se tiene la gr�a ca dela funci�on a interpolar�
−1 0 10
1
n=5
−1 0 10
1
n=10
−1 0 10
1
n=15
−1 0 10
1
n=20
Figura III����� Interpolaci�on con puntos equidistantes�
III�� Interpolaci�on de Lagrange ��
−1 0 10
1
n=5
−1 0 10
1
n=10
−1 0 10
1
n=15
−1 0 10
1
n=20
Figura III����� Interpolaci�on con puntos de Chebichef�
Sea f � "�� # � R� de nida por
f�x� �
� ��x��
funci�on que es inde nidamente derivable� Sean x�n�� � � � � � x
�n�n la divisi�on
equidistante de "�� #� pn�x� el polinomio de interpolaci�on de grado n de lafunci�on f respecto a la subdivisi�on dada anteriormente� Prolongando f�x� al
plano complejo� se tiene que f�z� tiene polos simples en z �
�i y en z � �
�i�
Se considera un camino cerrado simple C tal que "�� # � interior de C� y lospolos est�en en el exterior de C� Por consiguiente se puede aplicar la f�ormulade Cauchy para integrales complejas� de donde
f�x� �
�i�
ZC
f�z�
z � xdz�
1−1
c
Se de ne el polinomio �n�x� de grado n por
�n�x� � �x� x�n�� ��x� x�n�� � � � � �x � x�n�n ��
Por otro lado se comprueba facilmente que la expresi�on��n�z���n�x����z�x� es un polinomio de grado n respecto a x� de niendoel polinomio de grado n� q�x� por
q�x� �
�i�
ZC
f�z�
z � x
��n�z���n�x��
�n�z�dz� �III����
se veri ca que q�x�n�i � � f�x
�n�i �� de donde se ha mostrado el teorema
siguiente�
�� III Interpolaci�on
Teorema III������� Si f es una funci�on racional con polos fuera de C�Entonces el error de interpolaci�on est�a dado por
f�x�� pn�x� �
�i�
ZC
f�z�
z � x
�n�x�
�n�z�dz� �III�����
donde pn es el polinomio de interpolaci�on�
Introduciendo valores absolutos� se obtiene
jf�x�� pn�x�j �
��
ZC
jf�z�jjz � xj
�����n�x�
�n�z�
���� jdzj �por consiguiente se debe analizar el comportamiento cuando n � � de laexpresiones que aparecen en la integral precedente� Se tiene convergencia si�����n�x�
�n�z�
���� � �n�
con � � � de lo contrario cuando n � � jf�x�� pn�x�j diverge� Porconsiguiente hay convergencia en x � "�� # si y solamente si
limn��
n
s�����n�x�
�n�z�
���� � � �III�����
En lugar de la expresi�on �III������ se puede utilizar
ln npj�n�z�j �
nln �j�n�z�j�
��
�n
nXj��
ln jz � xj j �
como los xj son equidistantes� cuando n �� se tiene
limn��
ln npj�n�z�j �
�
Z �
��ln jz � tj dt
�
��Z �
��log�z � t�dt
�
��f�z � � log�z � � � �� z� log�z � �g � �
De niendo G�z� por
G�z� � exp
�
��f�z � � log�z � � � �� z� log�z � �g �
�� �III�����
III�� Interpolaci�on de Lagrange ��
se obtiene quelimn��
npj�n�z�j � G�z��
Si x � R� la funci�on G es igual a
G�x� � exp
�
�ln�x� ��x��� �
�ln�� x����x� �
��p� � x���x�� x���x�e�
Para decidir si la interpolaci�on converge para un x dado se debe tenernecesariamente G�z��G�x� � � esto sucede solamente si jxj � �� ������La gura III��� muestra una gra ca de G�x� y en la gura III��� est�andadas las curvas de nivel para G�z��
2/e
1/e
0 1−1
Fig� III����� Gr�a ca de G�x��
x
y
G(z)=2/e
1ó
Fig� III����� Curvas de nivel de G�z��
Ejercicios
�� Demostrar por inducci�on
y"x�� � � � � xn# �
nXj��
yjYi��j
xj � xi�
�ny� �
nXj��
�n
j
�yj���n�j �
��� Sup�ongase conocidos los valores de la funci�on de Bessel
J��x� �
�
Z
�
cos�x sin t�dt�
�� III Interpolaci�on
para los puntos equidistantes xi � x� � � ih� i � Z�a� �Para que h� el error de la interpolaci�on lineal es menor a �����
b� La misma pregunta para la interpolaci�on cuadr�atica�
��� Calcular el polinomio de interpolaci�on de grado n � � y n � ��� quepasa por �xi� f�xi��� i � �� � � � � � n� donde f�x� � �� � ��x���
a� xi � � � �i
n�
b� xi � cos��i�
�n� ����
Hacer gr�a cas� estudiar los errores�
��� Sea p�x� el polinomio de interpolaci�on de grado de una funci�on f dosveces continuamente derivable� Mostrar que el error satisface
f�x�� p�x� �
Z x�
x�
G�x� t�f ���t�dt ���con
G�x� t� �
�������
h�x� x���t� x�� si x � t
h�t� x���x � x�� si x � t
�
Dibujar la funci�on G�x� ��� Deducir de ��� el resultado del teoremaIII����
��� Sean x� � x� � � � � � xn y li�x� �
nYj�j �i
�x � xj�
�xi � xj��
Veri car que la funci�on
n�x� �
nXi��
jli�x�j
tiene un solo m�aximo local sobre cada "xi��� xi#
Indicaci�on� Sobre "xj��� xj # se tiene a n�x� �
nXi��
�ili�x� con � � ��
��� Si la funci�on f � "x�� x�# � R tiene solamente un m�aximo local y six� � a � b � x�� entonces
f�a� � f�b� �� x� � "a� x�#�
f�a� � f�b� �� x� � "x�� b#�
donde f�x�� � maxx��x��x��
f�x��
III�� Interpolaci�on de Lagrange ��
��� Calcular las constantes de Lebesque
*n � maxx�������
nXi��
jli�x�j � n � �� ��� � � � � ���
a� para la divisi�on equidistante xi � � � �i�n� i � �� � � � � � n�
b� para los puntos de Chebichef�
Calcular el maximo de f�x� �
nXi��
jli�x�j sobre "xj��� xj # con la b�usqueda
de Fibonacci�
x� � xj � x� � xj��� � � �p�� ����
d � ��x� � x���
a � x� � d� b � x� � d�
� d � �d�
si �f�a� � f�b�� entonces
x� � a� a � b� b � x� � d
si no
x� � b� b � a� a � x� � d�
si �x� � x� � ����� vaya a �
si no� nal�
x a xb0 1
x a b x
xbax0 1
10
��� Sean dados �xi� yi� y�i�� i � �� � � � � � n� los xi distintos entre si�
Mostrar que existe un �unico polinomio q�x� de grado �n� tal que
q�xi� � yi� q�xi� � y�i �i � �� � � � � n��
Utilizar la f�ormula de Newton con �x�� y��� �x���� y���y���� � � � y estudiar
su l��mite cuando � ���Qu�e f�ormula se obtiene para n � ��� utilizar y"xi� xi# � y�i� Generalizarel ejercicio para cualquier polinomio de Hermite y obtener un esquemade c�alculo semejante a la gura III���
��� Se considera la funci�on f�s� � js�s� � � � � �s� n�j de nida para s �"�� n#�a� Mostrar que f alcanza su maximo en un punto sn � ��� ��� y que
sn �
lnncuando n��
b� Mostrar que limn��
"f�� lnn��lnn�n��# � �e� deducir que existe
c� � � tal que �n � � f�sn� � c�n�
lnn�
�� III Interpolaci�on
Sean fx�� x�� � � � � xng n� puntos equidistantes sobre el intervalo "a� b#con x� � a y xn � b� Mostrar que existe una constante C� tal que
�n � � maxx��a�b�
�����nYi��
�x� xi�
����� � C�e�n
pn lnn
�b� a��n����
��� Conservando las notaciones� construir una funci�on f � C�"a� b# tal quekLn�f�k� � * kfk� y kf � Ln�f�k� � � � *n� kfk��
�� Se considera el conjunto fx�� � � � � xng de n � puntos diferentes delintervalo "a� b# y *n la constante de Lebesgue correspondiente a lainterpolaci�on de Lagrange en estos puntos� Se plantea
!li��� �
nYj�j �i
cos � � cos �jcos �i � cos �j
con �i � arccos���xi � �a� b����b� a���
i � �� � � � � n�a� Mostrar que�
*n � max��R
�nXi�o
���!li������� �
cos k�� � �� � cos k�� � �� �nXi��
"cos k��i � �� � cos k��i � ��# !li����
� � k � n�
b� Planteando �n��� �
nXi��
h!li�� � �i� � !li�� � �i�� !li���
i� mostrar que�
�n��� � � �nX
k��
cos k� �sin��n� �����
sin������
si F ��� �
��
Z
� signo��n�� � s���n�s�ds� entonces
�*n � kFk� �
�
Z
� j�n�s�j d� � �
�
Z �n�����
�
j�j�d� � �n�
�n � �n�� ��
n���O
�
n
�cuando n��
�n � �
��lnn cuando n��
��� Sea jn la funci�on de nida en la demostraci�on del teorema III����� conn � �p� Mostrar que �p � �Z
�
tkjn�t�dt � ck�nk�
para k � y ��
III�� Splines C�ubicos
En la secci�on precedente� se ha visto c�omo determinar el polinomio deinterpolaci�on� Existen dos problemas de gran magnitud cuando se requiereencontrar un polinomio de interpolaci�on dado un conjunto �xi� yi�� i ��� � � � � n� el primero consiste en la inestabilidad de la interpolaci�on deLagrange cuando n es grande� por ejemplo para n � �� no es aconsejabletomar puntos equidistantes� El segundo problema es que aun obteniendo elpolinomio de interpolaci�on� �este no re�eja la verdadera forma de la funci�ona interpolar� por ejemplo� para una funci�on racional� se desear��a que elinterpolante tenga la menor curvatura promedio� tal como se gra ca conuna sercha� Por consiguiente� dados los puntos a � x� � x� � � � � � xn � by los reales yi con i � �� � � � � n se busca una funci�on spline s� tal que�
s�xi� � yi i � �� � � � � n�i�
s � C��"a� b#���ii�
s de curvatura peque�na��iii�
La curvatura de s est�a dada por
��x� ��s���x�
� � �s��x������
�
suponiendo que s��x� es despreciable� se obtiene s���x� � ��x�� por consi�guiente la condici�on� se expresa de la siguiente formaZ xn
x�
�s���x���dx � min � �III����
En la gura III��� se observa dos gr�a cas� la de la izquierda es de unpolinomio de interpolaci�on de tipo Lagrange� mientras que en la derechaes la gr�a ca del spline interpolante que pasa por los mismos puntos�
Figura III����� Spline de Interpolaci�on
�� III Interpolaci�on
De�nici�on III������ Un spline c�ubico es una funci�on s � "a� b# � R cona � x� � x� � � � � � xn � b� que satisface�
s � C�"a� b#� �III����a�
sj�xj���xj � polinomio de grado �� �III����b�
Teorema III������ Dados �xi� yi�� i � �� � � � � n� con a � x� � x� � � � � �xn � b� Sean
s � "a� b# � R un spline con s�xi� � yi�f � "a� b# � R una funci�on con f�xi� � yi�
sis���b�"f ��b�� s��b�# � s���a�"f ��a�� s��a�#� �III�����
entonces Z b
a
"s���x�#�dx �Z b
a
"f ���x�#�dx�
La condici�on �III����� es satisfecha si por ejemplo s���a� � s���b� � �� opor ejemplo si f ��a� � s��a� y f ��b� � s��b��
De�nici�on III������ Si s���a� � s���b� � �� el spline se llama spline natural�Si f ��a� � s��a� y f ��b� � s��b� el spline se dice jo en los bordes�
Demostraci�on�� Calculando las integrales� se obtieneZ b
a
"f ���x�#�dx�Z b
a
"s���x�#�dx �
Z b
a
"f ���x�� s���x�#�dx� �z �� �
� �
Z b
a
s���x�"f ���x�� s���x�#dx�
Para demostrar la a rmaci�on del teorema� es su ciente mostrar que lasegunda integral del miembro derecho de la ecuaci�on es nula� En efecto�integrando por partes� se tieneZ b
a
s���x�"f ���x� � s���x�#dx � s���x�"f ��x�� s��x�#jba� �z �� � por �III�����
�Z b
a
s����x�"f ��x�� s��x�#dx
��nXj��
�j
Z xj
xj��
"f ��x� � s��x�#dx
��nXj��
�j "f�x�� s�x�#jxjxj��� ��
�
III�� Splines C�ubicos ��
Construccion del Spline Interpolante
En este paragrafo� se determinar�a expl��citamente el spline interpolante� Paratal efecto sea a � x� � x� � � � � � xn � b una divisi�on cualquiera del inter�valo "a� b#� y sean y�� y�� � � � � yn n�umeros reales� Se desea construir s � "a� b# �R� el spline tal que s�xi� � yi� Llamando si � sj�xi��� xi# � "xi��� xi# � R�Por consiguiente se busca una representaci�on de si� utilizando los siguientesdatos�
yi��� yi� pi�� � s�i�xi���� pi � s�i�xi�� �III�����
Por lo tanto� si�x� es igual a
si�x� �yi�� � y"xi��� xi#�x � xi���
� �x� xi����x� xi�"a�x� xi��� � b�x� xi�
#� �III�����
faltando determinar los valores de a y b� Planteando hi � xi � xi�� yderivando �III����� en los puntos xi�� y xi� se obtiene�
pi�� � s��xi��� � y"xi��� xi# � h�i b� �III�����
pi � s��xi� � y"xi��� xi# � h�i b� �III�����
de donde
si�x� �yi�� � y"xi��� xi#�x � xi���
��x� xi����x� xi�
h�i
"�pi � y"xi��� xi#��x� xi���
� �pi�� � y"xi��� xi#��x� xi�#� �III�����
Ahora bien� se debe determinar los pi� i � �� � � � � n de manera que s � C�"a� b#�Por consiguiente�
s��i �xi� � s��i���xi� i � � � � � � n� �
Utilizando la regla de Leibnitz
�fg����x� � f ���x�g�x� � �f ��x�g��x� � f�x�g���x��
se obtiene�d�
dx���x� xi���
��x� xi�
����x�xi
� �hi�
d�
dx���x� xi����x � xi�
�
����x�xi
� �hi�
�� III Interpolaci�on
de donde�
s��i �xi� �
hi
"��pi � y"xi��� xi#� � ��pi�� � y"xi��� xi#�
#�
s��i���xi� �
hi��
"��pi�� � y"xi� xi��#� � ��pi � y"xi� xi��#�
#por lo tanto�
pi��hi
� �pi
�
hi�
hi��
��pi��
hi��� �
y"xi��� xi#
hi�y"xi� xi��#
hi��
!� �III�����
para i � � � � � � n�� Es as�� que se ha obtenido n� ecuaciones� teniendo n�ecuaciones� las dos ecuaciones que faltan para obtener un sistema completo�se obtienen de las condiciones de borde para x� y xn�
Si el spline es natural� se tiene s���a� � s���b� � �� obteniendo�
�p�h�
�p�h�
� �y"x�� x�#
h��III����a�
�pn��hn
�pnhn
� �y"xn��� xn#
hn�III����b�
Si el spline est�a jado en los bordes� se tiene s��a� � f ��a� y s��b� � f ��b��obteniendo�
p� � f ��a�� �III���a�
pn � f ��b�� �III���b�
Existen muchos otros tipos de spline� como por ejemplo peri�odicos� deBezier� etc� Las condiciones de borde son diferentes� pero las ecuaciones dadaspor �III����� son esencialmente las mismas� estos aspectos ser�an desarrolladoscon m�as detalle posteriormente o en la parte de los ejercicios�
Por otro lado� las ecuaciones que determinan los pi pueden escribirse demanera matricial� A continuaci�on� se dar�an las notaciones matriciales paralos splines natural y jo��BBBBBBBB
�h�
�h�
�
�h�
�� �h�
� �h�
� �h�
� �h�
�� �h�
� �h�
� �h�
� � �� � �
� � ��
hn���� �
hn��� �hn
� �hn
�hn
�hn
CCCCCCCCA
�BBBBBBBBBB
p�
p�
p�
���
pn��
pn
CCCCCCCCCCA�
�BBBBBBBB
�h�
y�x��x��
�h�
y�x��x����h�
y�x��x��
�h�
y�x��x����h�
y�x��x��
����
hn��y�xn���xn����
�hn
y�xn���xn�
�hn
y�xn���xn�
CCCCCCCCAMatriz del spline natural�
III�� Splines C�ubicos ��
�BBBB�� �
h�� �h�
� �h�
�h�
�� �h�
� �h�
� �h�
� � �� � �
� � ��
hn���� �
hn��� �hn
�
CCCCA
�BBBBBBBp�
p�
���
pn��
CCCCCCCA�
�BBBB�h�
y�x��x����h�
y�x��x���p�h�
�h�
y�x��x����h�
y�x��x��
����
hn��y�xn���xn����
�hn
y�xn���xn��pnhn
CCCCA
Matriz del spline jo en los bordes�
Denotando A� la matriz del spline natural como jo en los bordes� se tieneel siguiente teorema�
Teorema III����� La matriz A es inversible� es decir
detA �� ��
Demostraci�on�� Se mostrar�a que la siguiente implicaci�on es cierta
Ap � � �� p � ��
Sup�ongase que Ap � �� entonces
pi��hi
� �pi�
hi�
hi��� �
pi��
hi��� ��
se denota por pio ajpio j � max
ijpij �
por consiguiente
� jpio j �
hio�
hio��� � jpio j
hio�jpio jhio��
�
de donde
� jpio j � jpio j ��
En uno de los ejercicios de la secci�on II�� se muestra que el problema deencontrar los pi es un problema bien condicionado� Por otra lado la resoluci�onde este sistema se procede facilmente con el algoritmo de Eliminaci�on deGauss� si n no es muy grande� en el caso contrario con un m�etodo iterativoutilizando el hecho que A es sim�etrica y de nida positiva�
�� III Interpolaci�on
El Error de la Aproximaci�on Spline
Se ha visto en el paragrafo anterior� que la construcci�on del spline inter�polante es muy simple� solo se requiere resolver un sistema tridiagonal deecuaciones lineales� En esta parte� se insistir�a en las estimaciones del errorcometido en el proceso de interpolaci�on spline�
Sean f � "a� b# � R una funci�on� a � x� � x� � � � � � xn � b unasubdivisi�on del intervalo "a� b# y nalmente s�x� el spline jo en los bordesque interpola f � es decir
s�xi� � f�xi�� i � �� � � � � n�
s��x�� � f ��x���
s��xn� � f ��xn��
se desear��a saber que error se comete� en otras palabras
jf�x�� s�x�j � �
Teorema III������ Si f � C�"a� b#� a � x� � x� � � � � xn � b unasubdivisi�on� hi � xi � xi��� los pi derivadas en los nudos del spline joen los bordes� Entonces
jf ��xi�� pij � h
��
f ��� �� �III�����
donde h � maxhi� Si adem�as� la divisi�on es equidistante� se tiene
jf ��xi�� pij � h�
��
f ��� �� �III�����
Adem�as del inter�es del resultado del teorema que servir�a para laestimaci�on del error� se tiene un medio simple para calcular las derivadasde f en los puntos xi�
Demostraci�on�� La demostraci�on del caso general es muy similar a ladel caso de los puntos equidistantes� aqu�� se mostrar�a el caso equidistante�dejando al lector el caso general� La construcci�on del spline est�a dada porlas ecuaciones
h�pi�� � �pi � pi���� �
h��f�xi���� f�xi���� � �� �III�����
Se de ne qi� i � � � � � � n� � por
qi �
h
�f ��xi��� � �f ��xi� � f ��xi���
�� �
h��f�xi���� f�xi���
��III�����
III�� Splines C�ubicos ��
Por otra lado� utilizando el teorema de Taylor con resto en el punto xise tiene�
f�xi��� � f�xi� � hf ��xi� �h�
��f ���xi� �
h
��f ���xi�
�h�
��f ����xi� � h�
Z �
�
�� t��
��f ����xi � th�dt�
f ��xi��� � f ��xi� � hf ���xi� �h�
��f ���xi� �
h
��f ����xi�
� h�Z �
�
�� t�
��f ����xi � th�dt�
de donde� introduciendo en �III������ se obtiene
qi �h
Z �
�
�� t�
��� �
�� t��
��
!f ����xi � th�dt
� hZ �
�
�� t�
��� �
�� t��
��
!f ����xi � th�dt�
Utilizando el teorema del valor medio y calculando la integralZ �
�
�� t�
��� �
�� t��
��
!dt �
���
se obtiene nalmente que
qi �
��h
�f �����i� � f ����i�
��
con �i � "xi��� xi# y i � "xi� xi��#� por consiguiente
qi � h
��
f ��� �� �III�����
Restando �III����� con �III������ se tiene
ei � f ��xi�� pi�
que es soluci�on del sistema de ecuaciones
h"ei�� � �ei � ei��# � qi� i � � � � � � n� �
Sea io tal quejeio j � max
i�������njeij �
�� III Interpolaci�on
en consecuencia� se tiene�
�eio � hqio � eio�� � eio���
� jeio j � h jqio j� jeio��j� jeio��j� h jqio j� jeio j� jeio j �
de donde nalmente
jeij � jeio j �h
�jqio j �
�
Antes de poder estimar el error cometido por el polinomio de interpo�laci�on spline� es necesario el siguiente teorema�
Teorema III������ Si xi � x� � ih� con h � �b � a��n� f � C�"a� b#� s�x�el spline jo en los bordes� y p�x� el polinomio de interpolaci�on de Hermitesobre el intervalo "xi��� xi#� tal que
p�xj� � s�xj�� p��xj� � f ��xj�� j � i� � i�
Entonces
jp�x�� s�x�j � h�
���
f ��� �
para x � "xi��� xi#� �III�����
Demostraci�on�� El polinomio de Hermite� utilizando �III������ est�a dadopor
p�x� �yi�� � y"xi��� xi#�x � xi���
��x � xi����x� xi�
h�i
"�f ��xi�� y"xi��� xi#��x � xi���
� �f ��xi���� y"xi��� xi#��x � xi�#� �III�����
restando �III����� con �III������ se obtiene
p�x�� s�x� ��x � xi����x� xi�
h�i
"�f ��xi�� pi��x� xi���
� �f ��xi���� pi����x � xi�#�
por lo tanto
jp�x�� s�x�j � jx� xi��j jx� xijh�
f ��� �
��"jx� xij� jx� xi��j#
� h�
���
f ��� ��
�
III�� Splines C�ubicos ��
Ahora bien� para tener una estimaci�on del error de la interpolaci�onspline� solo falta conocer el error cometido por el polinomio de interpolaci�onde Hermite� estimaci�on que est�a dada en el siguiente teorema�
Teorema III������ Sean� f � "x�� x�#� h � x� � x�� p�x� el polinomio deinterpolaci�on de Hermite que satisface
p�xi� � f�xi�� i � �� �
p��xi� � f ��xi�� i � �� �
entonces
jf�x�� p�x�j � h�
���
f ��� �� �III�����
Demostraci�on�� Sean � � � su cientemente peque�no� p��x� el polinomio deinterpolaci�on que satisface�
p��x�� � f�x��� p��x� � �� � f�x� � ���
p��x�� � f�x��� p��x� � �� � f�x� � ���
Por el teorema �III����� se tiene para todo ��
jf�x�� p��x�j � j�x� x���x� x� � ���x � x� � ���x� x��j f ��� ��
�
haciendo tender � hacia �� se obtiene
jf�x�� p�x�j � ���x� x����x� x��
��� f ���
��
� h�
���
f ��� ��
Finalmente� con los anteriores teoremas se puede dar la siguiente esti�maci�on del error del spline jo en los bordes�
Teorema III������ Sean� f � C�"a� b#� xi � x� � ih� i � �� � � � � n� conh � �b� a��n� s�x� el spline jo en los bordes de la funci�on f respecto a lasubdivisi�on equidistante� entonces
jf�x�� s�x�j � h�
���max
x��xi���xi�
���f ����x����� h�
���
f ��� �� �III������
�� III Interpolaci�on
Demostraci�on�� Su ciente utilizar la desigualdad del tri�angulo en los dosanteriores teoremas� es decir
jf�x�� s�x�j � jf�x�� p�x�j� jp�x� � s�x�j ��
Los resultados obtenidos en los teoremas de esta subsecci�on han sidodemostrados para el caso de divisiones equidistantes� no obstante modi �cando las demostraciones para divisiones m�as generales se puede obtenerresultados similares en la mayoraci�on del error de la interpolaci�on spline� nohay que sorprenderse que las mayoraciones sean muy parecidas al del casoequidistante� con la diferencia que h est�e elevado a una potencia de un gradomenor�
Por otro lado� los teoremas enunciados consideran el caso del spline joen los bordes� para los otros tipos de spline� las mayoraciones del error deinterpolaci�on se deben efectuar utilizando los resultados anteriores m�as unerror debido al cambio de tipo de spline�
Teorema III������ Sean� f � C�"a� b#� xi � x� � ih� i � �� � � � � n� conh � �b � a��n� !s�x� el spline jo en los bordes� s�x� es el spline natural�Entonces
j!s�x� � s�x�j � h�
�max
x�I� Injf ���x�j � h�
���
f ��� �� �III�����
donde I� � "x�� xn# y In � "xn��� xn#�
Demostraci�on�� Sustrayendo los sistemas lineales que determinan !pi y pien la construcci�on de los splines jo en los bordes y natural� se obtiene�
�!pi�� � pi��� � ��!pi � pi� � �!pi�� � pi��� � � i � �� � � � � n� �
��!p� � p�� � �!p� � p�� � C��
��!pn � pn� � �!pn�� � pn�� � Cn�
donde�
C� � �y"x�� x�#� �!p� � !p�� Cn � �y"xn��� xn#� �!pn � !pn���
Sea io � f�� � � � � � ng� tal que
j!pio � pio j � maxij!pi � pij�
Ahora bien�io � �� o bien io � n� por que de lo contrario se tendr��a
� j!pio � pio j � j!pio�� � pio��j� j!pio�� � pio��j � � j!pio � pio j �
III�� Splines C�ubicos �
Suponiendo que io � �� se tiene la siguiente mayoraci�on
j!pi � pij � j!p� � p�j � C��
en el otro caso� se obtiene
j!pi � pij � j!pn � pnj � Cn�
Utilizando la f�ormula de Taylor� con resto en forma de integral� se obtienepara la funci�on f en el punto x�� los siguientes resultados�
f�x��� f�x�� � hf ��x�� � h�Z t
�
�� t�f ���x� � th�dt� �III������
f ��x�� � f ��x�� � h
Z �
�
f ���x� � th�dt� �III������
y en el punto xn los siguientes resultados�
f�xn���� f�xn� � �hf ��xn� � h�Z t
�
�� t�f ���xn � th�dt�
f ��xn��� � f ��xn�� h
Z �
�
f ���xn � th�dt�
La f�ormula �III����� del teorema III����� conduce a las estimaciones�
!p� � f ��x�� � �h�
��
f ��� �� con j�j � � �III������
!pn�� � f ��xn��� � ��h�
��
f ��� �� con j��j � �
Suponiendo que io � �� introduciendo �III��������� en C�� se obtiene
C� � �f ��x�� � h
Z �
�
�� t�f ���x� � th�dt� �f ��x��� f ��x��
� h
Z �
�
f ���x� � th�dt� �h�
��
f ��� �
� �hZ �
�
tf ���x� � th�dt� �h�
��
f ��� ��
de donde
jC�j �
�hmaxx�I�jf ���x�j � h�
��
f ��� ��
�� III Interpolaci�on
Si io � n� se obtiene similarmente
jCnj �
�hmaxx�In
jf ���x�j � h�
��
f ��� ��
La diferencia de ambos splines est�a mayorada por lo tanto por
j!p�x�� p�x�j ������x � xi����x� xi�
h�"�!pi � pi��x � xi��� � �!pi�� � pi����x� xi�#
����h
�
�
�max
x�I� Injf ���x�j � h�
��
f ��� �
��jx� x� xi��j� jx� xij�
� h�
�max
x�I� Injf ���x�j� h�
���
f ��� ��
�
El spline jo en los bordes es m�as preciso que el natural� siempre ycuando se conozca los valores de la derivada de la funci�on interpolada enlos bordes� En la demostraci�on del �ultimo teorema puede observarse que ladiferencias de los pi veri can una ecuaci�on de diferencias nitas con valoresen la frontera� resolviendo esta ecuaci�on puede observarse que la diferenciaentre los pi es mucho menor en los nudos centrales� que en aquellos que est�ancerca de los bordes� Por consiguiente la estimaci�on del teorema �III����� esmuy pesimista� en la pr�actica la diferencia de los errores es menor�
Aplicaci�on de spline
Al inicio de esta secci�on� los splines fuer�on abordados como un instrumentonum�erico de aproximaci�on� como una alternativa a la interpolaci�on poli�nomial de tipo Lagrange� Esto debido a sus propiedades de no presentarproblemas de inestabilidad num�erica� por sus cualidades de convergencia ypor la poca curvatura que presentan�
Figura III����� Aplicaci�on gr�a ca de los splines
III�� Splines C�ubicos ��
Ahora bien� los splines son utilizados tambi�en como un instrumentogr�a co� Una gran cantidad de los algoritmos desarrollados en gra smoasistido por computadora� utilizan ampliamente los splines en sus diferentesversiones� En la gura III����� se observa con claridad la potencia de lainterpolaci�on spline� En el dibujo de la izquierda� se tiene los puntos unidospor segmentos rectilinios� mientras que en el dibujo de la derecha unidos porsplines�
Ejercicios
�� Considerar puntos equidistantes xi � x��ih� h � �� Mostrar que existeun �unico spline llamado B�spline� tal que para un j jo se tiene�
s�xj� � �
s�x� � � si jx� xj j � �h�
Dibujar�
��� Desarrollar una f�ormula para los splines peri�odicos�Mostrar la existencia y la unicidad del spline que pasa por �xi� yi��i � �� � � � � n� tal que
s��x�� � s��xn�� s���x�� � s���xn��
��� Escribir una subrutina SPLICO�N�X�Y�DY�P�A�B��
Los datos son N� X���N�� Y���N� y P���� P�N�� La subrutina debedar como valores DY���N��� diferencias divididas� P���N� los pi�A���N��� los �pi � y"xi��� xi#� y B���N��� los �pi�� � y"xi��� xi#��
��� Escribir una funcion SPLIVA�N�X�Y�DY�A�B�T� que calcula el valor delspline en el punto T� Examinarla sobre varias funciones de su elecci�on�
��� Sea xi � x��ih� i � �� � � � � n� una divisi�on equidistante y lj�x� el splinede tipo Lagrange que satisface�
� si i � j�
�� sino�
y l�j�x�� � �� l�j�xn� � �� Para las pendientes pi � lj�xi� mostrar�
� �
h� pj �
�
h�
� � � � pj� � �� pj�� � �� pj�� � �� pj�� � �� pj�� � �� � � � �
�� III Interpolaci�on
��� Los splines lj�x� del anterior ejercicio no cambian de signo en ning�unintervalo "xi��� xi#�
��� Sobre el intervalo "xi��� xi#
nXi��
jlj�x�j � ti�x�
es el spline que satisface� si j � i� �k o j � i� �k � con k � �� � � � � �
� sino�
��� Utilizando SPLICO y SPLIVA de los ejercicios � y �� Calcular paraxi � i�n� n � ���
a� el spline l�x��
b� la funci�on
nXi��
jli�x�j�
hacer dibujos� Veri car las propiedades de los ejercicios �� � y ��
III�� Extrapolaci�on
En las dos primeras secciones� se ha abordado la interpolaci�on polinomial yla interpolaci�on spline como un medio de aproximaci�on dentro un intervalocerrado y acotado "a�b#� Sin embargo estos procedimientos no sirven cuandose trata de determinar el valor de una funci�on o el l��mite de una funci�onde nida en un intervalo abierto �a� b� o mas aun si la funci�on est�a de nidaen un intervalo no compacto�
En esta secci�on� se estudiar�a la extrapolaci�on por medio de funcionespolinomiales� como una consecuencia natural de los resultados obtenidos enla primera secci�on de este cap��tulo� Por otro lado� se ver�a que la extrapolaci�onpolinomial� no es solamente un instrumento para determinar valores fuerade cierto rango� si no tambi�en como un medio para acelerar la convergenciade suceciones convergentes�
Sea f � ��� # � R� se desea determinar
limx���
f�x�� �III����
sabiendo que se puede determinar sin ning�un problema f�h� para h � ��Los otros casos de determinaci�on de l��mite se convierten el primer caso portraslaci�on af��n� o planteando h � �x si se desea determinar el l��mite cuandox �� Por consiguiente se supondr�a que f tiene un desarrollo asimt�oticopor derecha de la forma
f�h� � a� � a�h� � � �� anhn �O�hn���� h � �� �III�����
Sea � h� � h� � � � � � hn � � una subdivisi�on decreciente del intervalo��� #� por lo tanto
limx���
f�x� p���� �III�����
donde p�x� es el polinomio de interpolaci�on que pasa por �hi� f�hi���i � �� � � � � n� Escogiendo adecuadamente estos hi se puede obtener unalgoritmo facil y sencillo de implementar� para este efecto es necesario lasiguiente proposici�on�
Proposici�on III������ Sean �xi� yi�� i � �� � � � � � n� los xi diferentes entresi� p��x� el polinomio de interpolaci�on de grado n� que pasa por �xi� yi��i � �� � � � � n � � y p��x� el polinomio de interpolaci�on de grado n � quepasa por �xi� yi�� i � � � � � � n entonces el polinomio p�x� de grado n quepasa por �xi� yi�� i � �� � � � � n� est�a dado por
p�x� � p��x�xn � x
xn � x�� p��x�
x� x�xn � x�
� �III�����
�� III Interpolaci�on
Demostraci�on�� Se puede ver facilmente que p�x� es un polinomio de gradomenor o igual a n� En los nudos� excepto para i � � o i � n� se tiene
p�xi� �xn � xixn � x�
p��xi� �xi � x�xn � x�
� yi
�xn � xixn � x�
�xi � x�xn � x�
��
para i � � y i � n veri caci�on inmediata� �
Corolario III������ Con las mismas hip�otesis del teorema precedente� setiene
p��� �p����xn � p����x�
xn � x�
� p���� �p����� p����
xn�x� � �
�III�����
Demostraci�on�� Veri caci�on inmediata� �
Ahora bien� volviendo al problema de extrapolaci�on� sea f � ��� # � R� � h� � h� � � � � � hn � � una subdivisi�on decreciente del intervalo ��� #�Suponiendo que f admite el desarrollo asint�otico por derecha� dado por
f�h� � a� � a�h� � � �� anhn �O�hn����
p�x� el polinomio de interpolaci�on que pasa por �xi� f�xi��� i � �� � � � � n�entonces se puede suponer
limh���
f�x� p����
De niendo pj�k el polinomio de interpolaci�on de grado � k que pasa por�hi� f�hi��� j � k� j� se tiene por consiguiente
p�x� � pn�n�x�� �III�����
Utilizando la proposici�on III��� y el corolario III���� se tiene las siguientesrelaciones recursivas para determinar p����
pj���� �f�hj�� �III����a�
pj�k����� �pj�k��� �pj�k���� pj���k���
hj�k���hj � � �III����b�
III�� Extrapolaci�on ��
De donde estas relaciones recursivas pueden expresarse en un tablero� con laconvenci�on de llamar pj�k � Tj�k�
Tabla III����� Tablero de Extrapolaci�on�
h� T��
h� T�� T��
h� T�� T�� T��
h T� T� T� T
h� T�� T�� T�� T� T�����
������
������
� � �
Los cocientes hj�k���hj se deducen facilmente del tablero� se toma comonumerador el hi que se encuentra en la misma diagonal a Tk�l y comodenominador el hi que se encuentra en la misma la que Tk�l�
Ejemplo
Un procedimiento para calcular �� es considerar la serie
� � �
�Xk��
���k
�k � �
Lastimosamente esta serie converge muy lentamente para obtener unaprecisi�on deseada de �� pero se puede acelerar la convergencia deesta serie utilizando el procedimiento de extrapolaci�on de Richardson�formulado anterioremente� Se de ne hk � ���k � ��
f�hk� � �
kXj��
���j
�j � �
obteniendo as�� el tablero siguiente
�����
�� ��� �� �
����� �� � ����
���� ���� ���� �����
���� ��� ��� ����� �����
��� � ����� ���� ���� ���� �����
��� ��� ����� ����� ���� ���� ����
���� ����� ���� ����� ���� ����� ���� �����
�� �� ����� ����� ���� ����� ���� ����� ����� �� �
����� ���� ����� ���� ����� ���� ����� ���� ����� �����
����� ��� ���� ���� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ���
�� III Interpolaci�on
La pr�actica en la extrapolaci�on num�erica muestra que es pr�actico yconveniente utilizar sucesiones de la forma hj � �nj � donde fnjg�j�� es unasucesi�on creciente de n�umeros naturales� por consiguiente la f�ormula �III�����se convierte en
pj���� � f�hj��
pj�k����� � pj�k��� �pj�k���� pj���k���
nj�k���nj � �
�III�����
Las tres sucesiones de enteros positivos crecientes son�i� Arm�onica� � �� �� �� � � � ��ii� Romberg� � �� �� �� �� � � ��iii� Bulirsch� � �� �� �� �� �� � �� �� � � ��
es decir los enteros de la forma �i y � � �i�Teorema III������ Sea f � ��� # � R� sup�ongase que f tiene el desarrolloasint�otico por derecha en x � �� para k � �� � �� � � � � ko� dado por
f�x� � a� � a�x� � � �� akxk �Rk���x��
con jRk���x�j � Ck��xk��� para x � �� Sea hj � �nj� con nj una sucesi�on
creciente de naturales� entonces el procedimiento de extrapolaci�on de nidopor �III����� veri ca la siguiente propiedadSi para todo j � � se tiene hj���hj � r � � entonces
�k con � � k � ko� Tm�k � a� �O�hk��m�k�� �III�����
Demostraci�on�� Escribiendo el polinomio de interpolaci�on de grado � k�se tiene
f�x� � pmk�x� �Rk���x��
de donde
pmk�x�� f�x� �mX
i�m�k
Rk���hi�lm�k�i�x�� �III�����
con lm�k�i�h� �
mYjm�kj �i
h� hjhi � hj
� Para x � �� se deduce que
Tmk � a� �mX
i�m�k
mYjm�kj �i
hj�hihj�hi �
Rk���hi��
III�� Extrapolaci�on ��
Si j � i� se mayora
���� hj�hihj�hi �
���� por
� ri�j� mientras que
si i � j� se mayora
���� hj�hihj�hi �
���� porrj�i
� rj�i� nalmente jRk���hi�j por
Ck��
�ri�m�khm�k
�k��� deduciendo
jTm�k � a�j � C�k� r�Ck��hk��m�k
donde C�k� r� es una constante independiente de m� �
La convergencia hacia a� es obtenida en cada una de las columnas deltablero� para la primera columna la convergencia es O�hm�� para la segundacolumna la velocidad de convergencia est�a dada por O�h�m���� y para la
k�esima columna la velocidad de convergencia es igual a O�hk��m�k���� Por
consiguiente� si a� �� � la convergencia de la k�esima columna es k veces masrapida que de la primera columna�
Las sucesiones de Romberg y Bulirsch satisfacen las condiciones delteorema III���� con r � �� y r � ���� Sin embargo la otra sucesi�on utilizadaampliamente en las extrapolaciones num�ericas como ser la arm�onica nocumple el requisito que hj���hj � r � � No obstante se tiene a disposici�onel siguiente teorema�
Teorema III����� Mismas hip�otesis del teorema III���� para la funci�on f �se de ne hn � �n� Entonces se tiene
�k con � � �k � ko Tmk � a� �O�hk��m �� �III����
Demostraci�on�� Se tiene
Rk���h� � qk�h� �R�k���h� con
qk�h� � ak��hk�� � � � �� a�kh
�k�
Utilizando �III������ se deduce
Tmk � a� �
mXi�m�k
�qk�hi�lm�k�i��� � R�k���hi�lm�k�i���
��
Por el teorema III���� se tiene
qk����mX
i�m�k
qk�hi�lm�k�i��� �
�k � ��
mYj�m�k
��hj�q�k���k ����
�� III Interpolaci�on
lo que muestra que
mXi�m�k
qk�hi�lm�k�i��� � O�hk��m ��
Por otro lado
lm�k�i��� �
mYjm�kj �i
hjhj � hi
�
mYjm�kj �i
i
i� j�
de donde jR�k���hi�lm�k�i���j � C�k��h�k��i ik � C�k��y
k�y
k��i �
deduciendo facilmente el teorema� �
Debido al error de redondeo que se comete en el c�alculo del polinomiode interpolaci�on� y por consiguiente en el proceso de extrapolaci�on� se debeevitar la utilizaci�on de polinomios de interpolaci�on de grado muy elevado� lapr�actica aconseja no pasar de ��
Por otro lado� la extrapolaci�on num�erica es muy utilizada en la cons�trucci�on de m�etodos de integraci�on� como tambi�en en la construcci�on dem�etodos de resoluci�on de ecuaciones diferenciales�
Ejercicios
�� Sea f � ��� # � R una funci�on cuyo desarrollo asint�otico por derechaen x � � est�a dado por
f�x� � a� � a�x� � � � �� akx
�k �O�x�k����
Modi car el algoritmo de Aitken�Naville� es decir el proceso de extra�polaci�on� de manera que el n�umero de operaciones se redusca ostensi�blemente�
��� En esta secci�on� se da un ejemplo de c�omo acelerar la convergencia deuna sucesi�on para calcular �� Suponiendo que el desarrollo asint�oticoes par� como en el ejercicio � recalcule y compare�
��� Utilizando el procedimiento de la secci�on III� para determinar lain�uencia de los errores de redondeo en la determinaci�on del polinomiode interpolaci�on� Estudie la in�uencia de los errores de redondeo enla extrapolaci�on� suponiendo que los �unicos errores de redondeo quese comete son aquellos relativos a la evaluaci�on de la funci�on f a serextrapolada�
��� Calculep�� utilizando un procedimiento de extrapolaci�on� por ejemplop
� �p� � � � �
p� �� � � ��
p� �� � � ��
p� �� � � ��p
� ��� � � �� � � ��
Cap��tulo IV
Ecuaciones No Lineales
En el cap��tulo II� se vio diferentes m�etodos para resolver problemas lineales�pero tambi�en existen problemas no lineales� como por ejemplo ecuacionescuadr�aticas� polinomiales� trigonom�etricas y muchas otras m�as� La Historiade las Matem�aticas muestra que los problemas lineales fueron estudiados yresueltos en tiempos inmemoriables� pero luego el hombre confront�o otrostipos de problemas cuya caracter��stica no era precisamente lineal� En elcaso lineal la soluci�on de un problema puede darse de manera expl��cita� essu ciente determinar la inversa de la matriz del sistema y multiplicar paraobtener la soluci�on de este problema� En el caso no lineal se continu�o conesta �optica� lo cual es siempre posible bajo ciertas condiciones� como ejemplose tiene el teorema de la funci�on inversa� pero lastimosamente en la mayorparte de los casos esta funci�on inversa no puede ser expresada como unacombinaci�on de funciones elementales� entendiendose como funci�on elementalaquellas que uno estudia en colegio y los primeros semestres de universidad�
En este cap��tulo� se intentar�a de cierta manera seguir este desarrollohist�orico� dejando sobrentendido que el estudio de los problemas lineales entodas sus variantes es conocido por el lector� Por consiguiente� una primeraparte ser�a dedicada al estudio de las soluciones de ecuaciones polinomia�les� teniendo como ep��logo el Teorema de Galois� Despu�es se abordar�a losm�etodos iterativos para encontrar la soluci�on o soluciones de una ecuaci�on�dando condiciones para asegurar la existencia� la unicidad local y la conver�gencia de tales m�etodos� Como una clase de m�etodo iterativo� se estudiar�ael M�etodo de Newton� enunciando� teoremas de convergencia� existencia yunicidad de soluciones� algunos problemas frecuentes que se encuentran en laimplementaci�on de tal m�etodo� como tambi�enmodi caciones para simpli carsu utilizaci�on en determinadas situaciones� Finalmente� se ver�a el equivalentedel M�etodo de los M��nimos Cuadrados� en los problemas no lineales� que esel M�etodo de Gauss�Newton�
IV�� Ecuaciones Polinomiales
Una de la clase de ecuaciones que se confronta a diario son las ecuacionespolinomiales� que son de la forma
xn � a�xn�� � � � �� an��x� an � �� �IV���
donde los ai son n�umeros reales o complejos�Como C es una extensi�on del cuerpo R� se puede suponer que el
problema consiste en determinar las raices o ceros de un polinomio p�x� �C "x#� La existencia de las soluciones de una ecuaci�on polinomial est�a dadapor el Teorema Fundamental del Algebra que se lo enuncia sin demostraci�on�
Teorema IV������ Fundamental del Algebra� Sea p�x� � C "x# de grado n�entonces p�x� tiene exactamente n ceros contando con su multiplicidad�
Comentando este teorema� se puede agregar que un polinomio a coe� entes reales puede no tener ceros reales� pero por el teorema Fundamentaldel Algebra� �este tiene exactamente n raices contando con su multiplicidad�
Por otro lado� p�x� puede ser visto como una funci�on de C en C � ahorabien toda funci�on polinomial es holomorfa� y si el polinomio es no nulo�entonces los ceros forman un conjunto discreto� es decir que para todo cerox�� existe un r � � tal que p�x� �� � para todo x � C tal que � � jxj � r�Adem�as� la utilizaci�on del teorema de Rouch�e permite de determinar losdiscos donde se encuentran los ceros y complementando esta informaci�on eln�umero exacto de ceros�
Ecuaciones Resolubles por Radicales
Tal como se dijo en la introducci�on de este cap��tulo� se ha buscado inicial�mente la manera de expresar la soluci�on de una ecuaci�on por medio de fun�ciones elementales� En esta subsecci�on� se ver�a precisamente esta manera deexpresar las soluciones� Se comenzar�a con el caso mas simple� las ecuacionescuadr�aticas�
Ecuaciones cuadr�aticas
Una ecuaci�on cuadr�atica o ecuaci�on polinomial de segundo grado es de laforma
ax� � bx� c � �� con a �� ��
ecuaci�on que es equivalente a
x� � bx� c � �� �IV����
IV�� Ecuaciones Polinomiales ��
completando cuadrados se tiene�x�
b
�
��
� c� b�
�� ��
obteniendo� as�� dos raices�
x� � � b
��
r b�
�� c� x� � �
b
��r
b�
�� c� �IV����
Si�b�
� � c � �� se utiliza la determinaci�on usual de la raiz cuadrada� Encaso contrario� una determinaci�on donde las raices cuadradas de n�umerosnegativos est�e de nida�
Ecuaciones C�ubicas
Las ecuaciones c�ubicas o ecuaciones polinomiales de tercer grado son de laforma
ax � bx� � cx� d � �� con a �� �� �IV����
esta ecuaci�on dividiendo por a se reduce a una ecuaci�on de la forma
x � ax� � bx� c � �� �IV����
planteando x � x�a��� la ecuaci�on se convierte en una ecuaci�on de la forma
x � �p x� �q � �� �IV����
Ahora bien� si se plantea x � u� v� se obtiene
u � �u�v � �uv� � v � �p�u� v�� �q � ��
de dondeu � v � �u� v���uv � �p�� �q � ��
deduciendose� dos ecuaciones para u y v��uv � p�
u � v � �q�
por consiguiente uv � p� mostrando as�� que u� v son las raices delpolinomio de segundo grado
� � �q� p� �IV����
�� IV Ecuaciones No Lineales
por lo tanto�
u � q �pq� � p� v � q �
pq� � p�
para obtener nalmente la f�ormula de Cardano
x ��
qq �
pq� � p �
�
qq �
pq� � p� �IV����
teniendo cuidado de veri car uv � p�
Ecuaciones polinomiales de grado cuarto
Son ecuaciones que pueden escribirse de la forma
x� � ax � bx� � cx� d � �� �IV����
planteando x � x � a��� esta ecuaci�on se convierte en una ecuaci�on de laforma
x� � p x� � �q x� r � �� �IV����
introduciendo z � C en la anterior ecuaci�on� se obtiene la siguiente ecuaci�onequivalente
� x� � z�� � ��z � p� x� � �q x� z� � r�
se elige z de manera que el segundo miembro de la ecuaci�on precedente seauna cuadrado perfecto� y eso ocurrre� si y solamente si
��z � p��z� � r�� q� � �� �IV���
de donde z es raiz de una ecuaci�on de tercer grado� que ya ha sido resueltaanteriormente� Habiendo determinado z� se tiene�
� x� � z�� � �� x� ���� con � �p�z � p� � �
pz� � r�
� x� � � x� z � ��� x� � � x� z � �� � ��
por consiguiente� las cuatro raices de la ecuaci�on est�an dadas por�
x� ����
p�� � ��z � ��
�� �IV���a�
x� ����p
�� � ��z � ��
�� �IV���b�
x ����
p�� � ��z � ��
�� �IV���c�
x� ����p
�� � ��z � ��
�� �IV���d�
IV�� Ecuaciones Polinomiales ��
Ecuaciones no Resolubles por Radicales
Se ha visto que las ecuaciones polinomiales de grado igual o menor a � tienensoluciones que pueden ser expresadas como una composici�on de radicales�Las f�ormulas desarrolladas en el anterior paragrafo fuer�on estudiadas ycomprendidas hasta mediados del siglo XVI� posteriormente se atac�o alproblema de las ecuaciones de grado superior� en particular a las ecuacionesde grado quinto� Todos los intentos iban en la direcci�on de encontrar unaf�ormula general que estuviese expresada con radicales� Pero a principios delsiglo pasado Galois mostr�o su famoso teorema que trastorno en cierta manerael mundo matem�atico de aquella �epoca� Se enunciar�a este teorema sin darla demostraci�on�
Teorema IV������ Galois� No existe una f�ormula general en forma deradicales para las ecuaciones polinomiales de grado superior o igual a ��
Este resultado lejos de descorazonar el estudio de las ecuaciones polino�miales constituy�o un aporte� ya que se atac�o el problema utilizando m�etodosanal��ticos que estaban emergiendo con gran fuerza a principios y mediadosdel siglo pasado� Por otro lado se abandon�o la idea de encontrar una f�ormulageneral� para insistir sobre la posible ubicaci�on de los ceros de un polinomio�Se desarrollaron m�etodos iterativos para la soluci�on de estos problemas cuyoalcanze es mas vasto que el de las ecuaciones polinomiales�
Localizaci�on de Ceros
Como se dijo anteriormente� al no poder calcular expl��citamente las raices deun polinomio� es importante determinar en que regi�on se encuentran estasraices de manera de poder aplicar un m�etodo iterativo�
Sea� p�x� un polinomio a coe cientes complejos de grado n� es decir
p�x� � a�xn � a�x
n�� � � � �� an�
si x es una raiz� se tiene
xn � �a�a�xn�� � a�
a�xn�� � � � � � an
a��
Introduciendo la matriz de Frobenius de esta ecuaci�on� se tiene
x
�BBxn��
xn�����x
CCA �
�BBBB� a�a� � a�
a� � � � � ana�
� � �
�
CCCCA� �z �
F matriz de Frobenius
�BBxn��
xn�����x
CCA �
�� IV Ecuaciones No Lineales
de donde p�x� � �� si y solamente si x es un valor propio de F � Por lo tantola localizaci�on de ceros de p�x� es equivalente a localizar los valores propiosde la matriz F � A continuaci�on se da un teorema cuya demostraci�on ser�ahecha en el cap��tulo ��
Teorema IV������ Gerschgorin� Sean A una matriz� un valor propio deA� entonces existe i tal que
j� aiij �Xj ��i
jaij j � �IV����
Aplicando este teorema a la matrix F se tiene la siguiente estimaci�on�
Corolario IV����� La raices del polinomio p�x� � a�xn � � � � � an� con
a� �� � veri can
jxj � max
��
nXi��
���� aia������� �IV����
Uno de los resultados pr�acticos e importantes en el �algebra de valorespropios� es que la propiedad de valor propio es invariante por trasposici�on�por consiguiente� el�
Corolario IV������ Las mismas hip�otesis del corolario precedente� dan laestimaci�on siguiente
jxj � max�in
� �
���� aia������ � �IV����
Utilizando el teorema de Rouch�e y otros� se puede encontrar masestimaciones sobre la localizaci�on de los ceros de un polinomio� Por ejemplo�en los ejercicios se debe mostrar la siguiente estimaci�on
jxj � � max�in��
�i
s���� aia������ n
s���� an�a������� �IV����
Con el siguiente ejemplo se ver�a que existen mejores estimaciones que otras�esto depende sobre todo del tipo de polinomio que se tiene�
Ejemplo
Se consider�a la ecuaci�onxn � � � ��
la primera estimaci�on� como la segunda dan jxj � �n� mientras que� latercera da jxj � ��
Debido a la aritm�etica de los ordenadores� el tipo REAL es un conjunto nito� que se asemeja mucho mas a los n�umeros racionales que los reales�
IV�� Ecuaciones Polinomiales ��
por eso que se puede suponer que p�x� � Q"x#� Por otro lado� cuando lospolinomios tienen raices de multipliciad mayor a � la mayor parte de losalgoritmos no funcionan� debido a la inestabilidades que se pueden presentar�o a las caracter��sticas propias de los m�etodos empleados�
Sea p�x� � Q"x#� p��x� su derivada� se de ne el polinomio q�x� utilizandoel algoritmo de Euclides� por
q�x� � mcd�p� p��� �IV����
de donde el polinomio r�x� � p�x��q�x� tiene las mismas raices que p�x�pero todas simples� Por consiguiente� se ha visto un procedimiento simplepara reducir un polinomio p�x� a otro polinimio simple� En lo que sigue� sepuede suponer que los polinomios considerados tienen raices simples�
M�etodo de Newton
Uno de los m�etodos com�unmente utilizados en la determinaci�on de raices deun polinomio� consiste en el uso del m�etodo de Newton� Aqu�� se formular�aeste m�etodo� sin estudiar la convergencia y el c�alculo de error� dejando �estopara el siguiente paragrafo� Por lo tanto� el m�etodo est�a dado por la relaci�onrecursiva siguiente
% x� arbitrario� proximo a una soluci�on�
% xk�� � xk � p�xk�
p��xk�� donde p�x� es el polinomio a determinar
sus raices�
El problema consiste en determinar todas las raices reales de p�x� ��� suponiendo que se ha encontrado la primera raiz� se podr��a utilizarnuevamente el m�etodo de Newton utilizando otra valor� pero existe laposibilidad de encontrar nuevamente la primera soluci�on� Para evitar estasituaci�on se puede proceder b�asicamente de dos maneras� La primera� unavez que se ha encontrado la raiz ��� se de ne el polinomio
q�x� �p�x�
x� ��� �IV����
aplicando Newton sobre q�x�� El principal inconveniente de este procedi�miento radica en el hecho que � puede no ser racional� motivo por el cual r�x�ya no es exacto y la propagaci�on de errores de redondeo puede dar resultadoscompletamente alejados de la realidad� El segundo procedimiento consiste enaplicar el m�etodo de Newton a q�x�� pero sin calcular los coe cientes de q�x��Sea p�x� el polinomio a determinar sus raices� suponiendo que se conoce deantemano ��� � � � � �k raices de p�x�� de donde
q�x� �p�x�
�x� ��� � � � �x � �k�� �IV����
�� IV Ecuaciones No Lineales
Introduciendo el logaritmo y derivando se obtiene�
log q�x� � log p�x��kXi��
log�x� �i��
q��x�
q�x��
p��x�
p�x��
kXi��
�x � �i�� �IV�����
Aplicando el m�etodo de Newton a �IV����� utilizando �IV������ se obtienecomo m�sima iteraci�on�
xm�� � xm � p�xm�
p��xm�� p�xm�
kXi��
�xm � �i�
� �IV����
Este �ultimo procedimiento se conoce como el m�etodo deMaehly� Este m�etodoes num�ericamente estable� en efecto considerando el siguiente ejemplo dadopor Stoer�
Ejemplo
Se considera el polinomio p�x� de nido por
p�x� �
��Yj��
�x� ��j� � x� � a�x�� � � � �� a���
Calculando los coe cientes en simple precisi�on e utilizando el m�etodo deNewton en sus dos variantes se obtiene la tabla IV���
As�� mismo� el m�etodo de Newton permite encontrar las raices comple�jas� mas precisamente las raices no reales� de una ecuaci�on polinomial� Paratal efecto� el punto de partida debe ser un n�umero complejo no real� puespuede observarse que partiendo de un punto real� los valores obtenidos por elm�etodo de Newton son reales� ya sea con la primera variante� o con la mejorade Maschley� Puede suceder que una vez encontradas todas las raices realesdel polinomio� siendo �estas no todas las raices� si no se tiene cuidado� seproducir�a un fen�omeno de oscilaci�on con el m�etodo de Newton� Por lo tantohay que agregar al algoritmo que a partir de un n�umero determinado de it�eraciones� si no se ha alcanzado la convergencia hacia una raiz� se detenga elproceso� quedando por lo tanto dos alternativas� la primera veri car si todaslas raices reales han sido calculadas� para luego comenzar con un n�umerocomplejo no real� la segunda alternativa consiste en cambiar simplemente depunto inicial�
IV�� Ecuaciones Polinomiales ��
Tabla IV����� Error en el c�alculo de raices para un caso extremo�
METODO DIVISION METODO MAEHLY
SOL EXAC SOL NUM ERROR SOL NUM ERROR
� ��� ��� ���� ���
�� ����� ����� � ��� ������ ����� � ����� ���� ����� ������ ����� � ���� ������ ���� ����� ����� � ����� ����� ����� ������ � ��� ���� � ������ ����� ���� ���� � �� ���� � ����� ����� ����� ����� � ��� ���� � �� �� ���� ���� ����� � ��� ���� � ���� ������ ���� ����� ����� � ��� ���� � ����� ������ ����� ������ � ��� ���� � ������� ����� ����� ������ � �� ���� � �������� ���� ���� ������ � �� ��� � �������� ����� ���� ��� � ��� ����� � �� ����� � ����
Sucesiones de Sturm
La utilizaci�on de sucesiones de Sturm en la resoluci�on de ecuaciones polino�miales permite determinar las raices reales y no as�� las raices no reales� Enla mayor parte de los problemas� es solo importante conocer los ceros reales�motivo por el cual los procedimientos que utilizan sucesiones de Sturm sonmuy comunes en la resoluci�on de ecuaciones polinomiales
De�nici�on IV������ Una sucesi�on ff�� f�� � � � � fng de funciones de nidas enR con valores reales� continuamente derivables es una sucesi�on de Sturm� si�
a� f ���x��f��x
�� � � si f��x�� � �� x� � R�
b� fj���x��fj���x
�� � � si fj�x�� � �� � j � n� �
c� fn�x� no cambia de signo sobre R y es positiva
Teorema IV������ Sea ff�� f�� � � � � fng una sucesi�on de Sturm� w�x� sedenota al n�umero de cambios de signo de ff��x�� f��x�� � � � � fn�x�g�
Entonces la funci�on f��x� tiene exactamente w�b� � w�a� ceros en elintervalo "a� b#�
�� IV Ecuaciones No Lineales
Demostraci�on�� w�x� puede cambiar de valor solamente si uno de losfj�x� � �� Por consiguiente� sea x� un tal n�umero y sup�ongase que � j � n � � Estudiando en un vecindario de x�� la funci�on w estar�adeterminada por los valores de las siguientes tablas�
x� � � x� x� � �
fj�� � � �
fj � � �fj�� � � �
x� � � x� x� � �
fj�� � � �fj � � �fj�� � � �
x� � � x� x� � �
fn�� � � �fn � � �
de donde w�x� � �� � w�x� � �� cuando fj�x�� � � para � j � n�
Ahora bien� si f��x�� � �� estudiando alrededor de un vecindario de x�
se tiene las tablas�
x� � � x� x� � �
f� � � �f� � � �
x� � � x� x� � �
f� � � �
f� � � �
�
de donde w�x� � �� � w�x� � �� � � �
Volviendo al problema original de encontrar los ceros reales de unpolinomio p�x� con raices simples� a coe cientes reales �racionales�� elobjetivo es construir una sucesi�on de Sturm de tal manera que f� � p�Se de ne la siguiente sucesi�on de polinomios de manera recursiva utilizandola divisi�on con resto� por�����������������������
f��x� �� p�x��
f��x� �� �p��x��f��x� � g��x�f��x�� ���f��x��
f��x� � g��x�f��x�� ���f�x��
���
fn���x� � gn�x�fn�x��
�IV�����
La de nici�on de la sucesi�on �IV����� es el algoritmo de Euclides paradeterminar el mcd�p�x�� p��x��� Se tiene el siguiente teorema�
IV�� Ecuaciones Polinomiales �
Teorema IV������ Sup�ongase que p�x� solamente tiene raices simples�entonces la sucesi�on de nida por �IV������ es una sucesi�on de Sturm�
Demostraci�on�� Puesto que p�x� tiene raices simples� si p��x�� � �� se tienep�x�� �� �� de donde la condici�on a� es satisfecha�a� f ���x
��f��x�� � ��f ���x���� � ���
b� Se cumple esta condici�on por construcci�on de la sucesi�on�c� fn � mcd�p� p�� � C�
�
Algoritmo
Con el algoritmo de bisecci�on se separa las raices realles de p�x�� es decirse divide en la mitad un intervalo original "a� b# y se continua hasta tenertodas las raices localizadas en subintervalos "ai� bi#� Se puede continuar conel algoritmo de bisecci�on hasta lograr la precisi�on deseada� o si no se mejorael resultado utilizando el m�etodo de Newton�
Ejercicios
�� El polinomio x� � �x � ��x� � ��x � a�� a� � � posee una raizde multiplicidad � en el punto x � �� �C�omo cambian las raices delpolinomio si se remplaza a� por a� � a�� � �� con j�j � eps� Calcularlas raices de este polinomio� �es un problema bien condicionado�
��� Sea p�x� un polinomio de grado n a coe cientes reales� Sup�ongase quetodas las raices �� � �� � � � � � �n sean reales�
a� Mostrar que el m�etodo de Newton converge hacia ��� si x� � ���Indicaci�on�� Para x � �� los valores de p�x�� p��x�� p���x� tienenel mismo signo que lim
x��p�x�� Mostrar que fxkg es una sucesi�on
mon�otona�
b� Si x� es mucho mas grande que ��� entonces el m�etodo de Newtonconverge muy lentamente� �xk�� � xk�� �h��
��� Consid�erese el polinomio
f�x� � x� � �x� � �x � �x� � �x� ��
Sin calcular las raices de este polinomio� determinar el n�umero de raicesdistintas de f�x��
��� Encontrar un algoritmo que� para un polinomio arbitrario f � Q"x#�permita calcular la factorizaci�on
f�x� � f��x� ���f��x�
�� � ��f�x�� � � � ��fk�x��k�
�� IV Ecuaciones No Lineales
donde f�� � � � � fk son primos entre si y donde cada polinomio fj�x� solotiene raices simples�
��� Para un polinomio
f�x� � a�xn � a�x
n�� � � � � an��x� an� a� �� ��
con coe cientes en C � mostrar que todas las raices � satisfacen laestimaci�on
j�j � �max
�����a�a����� �s����a�a�
����� � � � � n��
s����an��a�
����� n
s���� an�a������� �IV�����
Encontrar� para cada n� un polinomio tal que se tenga igualdad en�IV�����
��� Consid�erese el polinomio
f�x� � x� � �x� � �x � �x� � �x� ��
a� Determinar el n�umero de raices reales�b� �Cuantas raices son complejas�c��Cuantas raices son reales y positivas�Indicaci�on�� Utilizar una sucesi�on de Sturm�
��� Sea f �p � � veces continuamente diferenciable en un vecindario de� � R y sea � una raiz de multiplicidad p� Mostrar que la sucesi�onfxkg� de nida por
xk�� � xk � pf�xk�
f ��xk��
converge hacia �� si x� es su cientemente proximo de �� y que se tiene
xk�� � �
�xk � ���� f �p������
p�p� �f �p�������
��� El m�etodo de Newton� aplicado a z � � �� da la iteraci�on
zk�� � +�zk�� con +�z� � z � z �
�z��
�z �
�z��
Den�otese por Aj ��z� � C � zk e�i j�
�� j � �� � �� los canales de
atracci�on� Mostrar�
a�A� � R � R � f��� ��� � � �g donde �� � � y �k�� � +��k��
b�Aj�� � e� i�Aj �
c�Calcular +����� y +����� con la f�ormula de Cardano� Esto muestraque el sector fz � C j jarg�z�j � ���g contiene puntos que no convergenhacia �
d� Sup�ongase que +k� z� � � para un k � N� Mostrar que U � Aj �� ��j � �� � �� para cada vecindario U de z�
IV�� M�etodos Iterativos
En la secci�on precedente� se ha visto que la mayor parte de las ecuaciones aresolver no pueden ser resueltas de manera expl��cita� es decir mediante unaf�ormula m�agica� Es por esta raz�on� que el estudio de los m�etodos iterativos esuna necesidad imperiosa para poder encontrar las soluciones de una ecuaci�on�Para tal efecto es tambi�en importante conocer el tipo de funciones con lasque se est�a trabajando� En lo que sigue� se estudiar�a varios aspectos que sonfundamentales para la comprensi�on del tema�
Posici�on del Problema
Uno de los problemas m�as comunes� se trata del siguiente� Sup�ongase�que se tiene la funci�on
f � I � R�donde I � R intervalo� El problema� se trata de obtener con una aproxi�maci�on arbitraria las raices de la ecuaci�on
f�x� � �� �IV����
Est�a claro� que ser��a rid��culo esperar obtener� en general� f�ormulas deresoluci�on de �IV����� del tipo de f�ormulas cl�asicas resolviendo las ecuacionesde segundo grado� Se ha visto que� es imposible en el caso en que f es unpolinomio de grado � �� Incluso para el problema m�as razonable planteadoaqu�� � no existe un m�etodo general conduciendo al resultado buscado� losprocedimientos te�oricos de aproximaci�on pueden conducir� sin hip�otesisadecuadas para la funci�on f a c�alculos num�ericos inextricables� incluso paralos ordenadores m�as potentes que existen en la actualidad�
Por otro lado� incluso si el intervalo I es acotado� puede suceder quela ecuaci�on �IV���� tenga una in nidad de raices� por ejemplo� cuando f esidenticamente nula en un subintervalo� El ejemplo
f�x� � x sin
x� �IV�����
muestra que puede existir una in nidad de raices� aun cuando f no seaidenticamente nula en un subintervalo�
Por consiguiente� un primer paso consiste en descomponer el intervaloI � por un n�umero nito o in nito de puntos de subdivisi�on� en subintervalosen cada uno de los cuales se sepa que� la ecuaci�on no tiene raiz� o la ecuaci�ontenga una y una sola soluci�on� Se estar�a seguro� que es as�� cuando la funci�on
�� IV Ecuaciones No Lineales
es mon�otona para el primer caso si f�x� no cambia de signo y en el segundocaso si f�x� cambia de signo� Para asegurar la existencia en el segundo caso�se exige como hip�otesis suplementaria la continuidad en tal subintervalo�
Ejemplo
La funci�on
f�x� �b�
x� a��
b�x� a�
� � � �� bnx� an
� �IV�����
donde a� � a� � � � � � an y los bj son todos diferentes a � y delmismo signo� est�a de nida en cada uno de los subintervalos abiertos#�� a�"� #a�� a�"� � � � � #an��� an"� #an���"� en cada uno de estos subinter�valos es mon�otona� ya que su derivada tiene el signo opuesto de los bj �Por otro lado cuando x tiende por derecha a uno de los aj � f�x� tiendeen valor absoluto a � y cuando x tiende por izquierda a uno de los aj �f�x� tiende en valor absoluto a �� pero con signo opuesto que el l��mitepor derecha� Por lo tanto� se concluye que la funci�on f tiene exactamenteuna raiz en cada subintervalo�
Para obtener una descomposici�on de I en intervalos del tipo consideradoanteriormente� es decir para separar las raices� se necesitar��a te�oricamenteestudiar el sentido de variaci�on de la funci�on f � agregando otra hip�otesissuplementaria respecto a f � como que f sea continuamente derivable� estosigni car��a estudiar el signo de f ��x�� por consiguiente se estar��a obligadoa encontrar las raices de la ecuaci�on f ��x� � �� que salvo algunos casos� suresoluci�on presenta las mismas di cultades que la ecuaci�on original�
Por lo expuesto m�as arriba� se est�a en la capacidad de enunciar elsiguiente teorema de existencia y unicidad de la soluci�on de una ecuaci�oncon su algoritmo de resoluci�on incluido�
Teorema IV������ Sea f � I � R continua y mon�otona� entonces
la ecuaci�on f�x� � � tieneuna y una sola soluci�on
�� existen a � b � I � talesque f�a�f�b� � ��
Adem�as si existiese la soluci�on� �esta puede ser aproximada de maneraarbitraria con el algoritmo de la bisecci�on�
La primera observaci�on que se puede hacer al algoritmo de la bisecci�onconsiste en que este algoritmo construye subintervalos encajonados re�duciendo la longitud de cada subintervalo de la mitad en cada iteraci�on�Pero una de las interrogantes que uno se plantea� es cuando detener el al�goritmo� En general� esto sucede cuando el valor absoluto de la funci�on fevaluada en las extremidades es menor a un valor de tolerancia pre jadocon anterioridad� Ahora bien� si solamente se exige que f sea mon�onota ycontinua puede pasar situaciones� como las del siguiente ejemplo�
IV�� M�etodos Iterativos ��
Ejemplo
Sea f � ��� � � R de nida por
f�x� � x���g�x�� �IV�����
donde g es una funci�on continua que no se anula en ��� �� Es evidenteque� x � � es una raiz de la ecuaci�on f�x� � �� Aplicando el algoritmode la bisecci�on con una tolerancia de ��� y tomando como puntos departida a � ��� � y b � ��� puede suceder que jf�x�j � TOL� dejandouna gran elecci�on para escoger la raiz de f�x��
Por lo tanto� si no se tiene la hip�otesis que f�x� sea derivable y quef ��x� �� � para x raiz de la ecuaci�on f�x� � �� se debe tener mucho cuidadoen la determinaci�on de la soluci�on num�erica del problema� para no cometergrandes errores�
M�etodo de la Falsa Posici�on
En este paragrafo� se supondr�a que
f � "a� b# � Res dos veces continuamente derivable� que f ��x� no se anula en el intervalo#a� b" y adem�as f�a�f�b� � ��
La idea para obtener una valor aproximado de la raiz �� de la ecuaci�onf�x� � � en el intervalo I �#a� b"� consiste en remplazar f por un polinomioque toma los valores de f en determinados puntos de I � Como se ha visto enla primera secci�on de este cap��tulo� las ecuaciones polinomiales m�as simplesde resolver son las ecuaciones de primer grado y las ecuaciones cuadr�aticas�Por razones de simplicidad en la formulaci�on� el m�etodo de la falsa posici�onser�a estudiado tomando como polinomio� uno de primer grado� Sea L�x� elpolinomio de interpolaci�on de primer grado� tal que�
L�a� � f�a�� L�b� � f�b�� �IV�����
ver en la gura IV����
a by=f(x)
y=L(x)
ξ
ξ
0
Figura IV���� M�etodo de la Falsa Posici�on�
�� IV Ecuaciones No Lineales
Las hip�otesis implican que L�x� se anula en un punto � � I � que setoma como valor aproximado de ��� Por consiguiente se trata de mayorar elerror cometido j� � ��j� para tal efecto se recordar�a el teorema III��� queda el siguiente resultado
f�x�� L�x� �
�f ������x � x���x � x�� �IV�����
con � � I � deduciendo la siguiente proposici�on�
Proposici�on IV������ Si f � no se anula en el intervalo I � y si f���� � ��L��� � � para �� �� � I � entonces se tiene
� � �� �
�
f �����
f ��� ���� � a��� � b�� �IV�����
donde � y � � son n�umeros que pertenecen a I �
Demostraci�on�� Por �IV������ se tiene
f��� �
�f ������� � a��� � b��
por el teorema del valor medio se tiene
f��� � f ��� ���� � ���
con � � que pertenece al intervalo cuyas extremidades son �� y �� Combinandoambos resultados se obtiene el resultado de la proposici�on� �
Corolario IV������ Mismas hip�otesis de la proposici�on precedente� yadem�as jf ��x�j � m � �� y jf ���x�j �M para todo x � I � entonces
j� � ��j � M
�m�b� a��� �IV�����
Si el error j� � ��j evaluado por la estimaci�on �IV����� no es lo su �cientemente peque�no� se puede repetir el procedimiento� se calcula f��� ydependiendo de su signo� la raiz �� se encuentra en el intervalo "a� �# o "�� b#�al cual se aplica el mismo m�etodo obteniendo as�� un segundo valor aproxi�mado ��� Te�oricamente� se puede aplicar inde nidamente este procedimiento�y se muestra facilmente que la sucesi�on de los n�umeros obtenidos convergehacia �� ver ejercicios�
Como se dijo al abordar el m�etodo de la falsa posici�on� se puedeaproximar la raiz de la ecuaci�on f�x� � � con un polinomio de segundo grado�Con la misma notaci�on que antes �� es la raiz de la ecuaci�on� suponiendo
IV�� M�etodos Iterativos ��
ademas que f�x� es tres veces continuamente diferenciable sobre el intervaloI � Se denota por c el punto medio del intervalo I � Puesto que f ��x� no cambiade signo en este intervalo� f�c� es positivo o negativo� Sea L�x� el polinomiode interpolaci�on de grado �� tal que
L�a� � f�a� L�c� � f�c� L�b� � f�b�� �IV�����
utilizando la f�ormula de Newton del cap��tulo III� se tiene
L�x� � f�a� �f�c�� f�a�
c� a�x � a�
��f�b�� �f�c� � f�a�
�b� a���x� a��x� c�� IV�����
resolviendo esta ecuaci�on� sea � � I la raiz del polinomio de segundo grado� lacual puede ser determinada utilizando el m�etodo de resoluci�on de ecuacionesde segundo grado� teniendo el cuidado de escoger la raiz que se encuentra en"a� b#� Suponiendo que sobre el intervalo "a� b#� f es tres veces continuamentederivable� el teorema III��� da la siguiente estimaci�on
f�x�� L�x� �
�f �������x � a��x� c��x � b�� �IV����
donde � � "a� b#� deduciendo la siguiente proposici�on�
Proposici�on IV����� Si f � no se anula en el intervalo I � y si f���� � ��L��� � � para �� �� � "a� b#� entonces se tiene
� � �� �
�
f ������
f ��� ���� � a��� � c��� � b� �IV�����
donde � y � � son n�umeros que pertenecen a "a� b#�
Demostraci�on�� Por �IV����� se tiene
f��� �
�f ������� � a��� � c��� � b��
por el teorema del valor medio� se tiene
f��� � f ��� ���� � ����
con � � que pertenece al intervalo cuyas extremidades son �� y �� Combinandoambos resultados se obtiene el resultado de la proposici�on� �
�� IV Ecuaciones No Lineales
Corolario IV������ Mismas hip�otesis de la proposici�on precedente� yadem�as jf ��x�j � m � �� y jf ����x�j �M para todo x � "a� b#� entonces
j� � ��j � M
��m�b� a�� �IV�����
Si el error j� � ��j evaluado por la estimaci�on �IV����� no es losu cientemente peque�no� se puede repetir el procedimiento� se calcula f���y dependiendo de su signo� la raiz �� se encuentra en el intervalo "a� �# o"�� c#� etc� al cual se aplica el mismo m�etodo obteniendo as�� un segundovalor aproximado ��� Te�oricamente� se puede aplicar inde nidamente esteprocedimiento� y se muestra facilmente que la sucesi�on de los n�umerosobtenidos converge hacia ��� ver ejercicios�
El m�etodo de la Falsa Posici�on es un claro ejemplo de un m�etodoiterativo� pues utiliza soluciones anteriormente obtenidas para calcular unanueva soluci�on� En general� se dir�a que un m�etodo iterativo es de orden k ode k pasos� si la iteraci�on puede expresarse de la forma�
xn�� � +�xn� xn��� � � � � xn�k���� �IV�����
Por lo tanto� los m�etodos descritos anteriormente son m�etodos iterativos dedos pasos� pues se sirven de � valores para calcular el valor de la iteraci�onsiguiente�
Sistemas de Ecuaciones
Los problemas que han sido estudiados m�as arriba estaban relacionados afunciones de una sola variable con valores reales� Ahora bien� existe una granvariedad de problemas donde se deben resolver sistemas de ecuaciones� queen general no son lineales� La posici�on del problema es por consiguiente�Dada f � U � Rn � Rn � encontrar � � U tal que
f��� � �� �IV�����
Reiterando lo que se dijo al inicio de esta secci�on no se puede esperar deobtener una f�ormula milagrosa para determinar �� lo que se debe buscares por consiguiente una aproximaci�on de esta soluci�on con la precisi�on quese desee� La continuidad no es una condici�on su ciente para determinar laexistencia de ceros� hip�otesis primordial en el caso de una variable� en el casode varias variables� en la mayor parte de los casos no se puede demostrar laexistencia de ceros� contentandose con la unicidad de �estos a nivel local� Unteorema muy importante� es el de la inversi�on local que ser�a enunciado sindemostraci�on� para el lector interesado� puede encontrarla en cualquier librode An�alisis� por ejemplo en Rudin�
IV�� M�etodos Iterativos ��
Teorema IV������ Sean D � Rn abierto� f � D � Rn continuamentediferenciable� Sia� f�x�� � ��b� f �x� es inversible�
entonces� existe dos vecindarios� U de x� y V de �� tales que para todo v � Vexiste un �unico x � U � tal que f�x� � v y la aplicaci�on
g �V � Uv � x�v�
es continuamente diferenciable y adem�as g�v � �f �x���
�
Consecuencias de este teorema son� la unicidad local de la soluci�on� si!x es soluci�on n�umerica obtenida mediante un metodo cualquiera se tiene lasiguiente estimaci�on del error
!x� x� � �f �x����
f�!x� �O�kf�!x�k���
de donde si �f �x����
es casi singular� !x � x� puede ser muy grande� aun sif�!x� es peque�no�
Un m�etodo Iterativo simple
Existe otra clase de ecuaciones que pueden ser escritas de la forma
f�x� � x� �IV�����
donde f es una funci�on de varias variables con las condiciones dadas alinicio de este paragrafo� Cabe remarcar que la ecuaci�on �IV����� puede serexpresada como x � g�x� con g�x� � x�Af�x�� dondeA es generalmente unamatriz� La existencia y unicidad de las ecuaciones de la forma �IV����� sonresueltas utilizando el teorema del punto jo en espacios m�etricos� Para saberm�as sobre espacios m�etricos ver Schawartz� A continuaci�on� se enunciar�a elteorema del punto jo�
Teorema IV������ Sean X un espacio m�etrico completo� f � X � X unaaplicaci�on veri cando
d�f�x�� f�y�� � Cd�x� y�� C � �
donde d denota la distancia en X � Entonces la ecuaci�on f�x� � x admiteuna y una sola soluci�on�
Demostraci�on�� Sea x� � X un punto arbitrario� se de ne la sucesi�on fxkgde manera recursiva por
xk�� � f�xk��
�� IV Ecuaciones No Lineales
esta sucesi�on es de Cauchy� en efecto� si n � m� se tiene�
d�xn� xm� � d�xn� xn��� � � � �� d�xm��� xxm��
d�xm��� xm� � Cmd�x�� x���
por lo tanto
d�xn� xm� � Cm
� C�
que tiende a cero� cuando n�m tienden a �� Sea x� � limn��
xn� se deduce
que f�x�� � x�� Con esto se ha demostrado la existencia de la soluci�on� Parala unicidad se considera x� y son soluciones del problema� por lo tanto
d�x� y� � d�f�x�� f�y�� � Cd�x� y��
y la �unica posibilidad que suceda esto es que x � y� �
Se puede dar condiciones menos fuertes sobre el espacio X o sobref � por ejemplo que f sea localmente una contracci�on� con solamente estahip�otesis se mantiene la unicidad� pero est�a vez localmente� la existencia noest�a asegurada�
Por lo expuesto� se puede formular el m�etodo iterativo dado en lademostraci�on del teorema precedente para el siguiente problema�Sea + � Rn � Rn continua� determinar x � Rn tal que +�x� � x� El m�etodoiterativo est�a dado por� �
x�� arbitrario�
xn � +�xn�����IV�����
Teorema IV������ Si fxng converge hacia x�� y + es continua en x��entonces x� es soluci�on de x � +�x�
Demostraci�on�� Se deja al lector� �
El anterior teorema se�nala claramente que si la funci�on + es continua�y la sucesi�on de nida por �IV����� es convergente� entonces el l��mite de estasucesi�on es la soluci�on del problema +�x� � x� Por consiguiente� la preguntanatural que uno puede plantearse es cuando existen condiciones su cientespara tener convergencia� De niendo el error en como
en � xn � x��
donde x� es la soluci�on exacta� y xn la n�sima iteraci�on� se obtiene�
en�� � xn�� � x� � +�xn�� +�x��
� +��x���xn � x�� �O�kxn � x�k�
��
en�� +��x��en� �IV�����
IV�� M�etodos Iterativos �
Si ken��k � q kenk para q � � entonces en � cuando n ��Por consiguiente la sucesi�on es convergente� si existe una norma tal quek+��x��k � q � �
Teorema IV������ a� Sea +�x� � Ax� b� con A matriz� entonces el m�etodoiterativo �IV������ converge para todo x� si y solamente si ��A� � � donde
��A� � max� jj j es un valor propio de A
��
b� Si +�x� es no lineal y dos veces continuamente diferenciable� entonces setiene convergencia si
��+��x��� � �
x� � x� es su cientemente peque�no�
Demostraci�on�� Se mostrar�a solamente el inciso a�� dejando al lector elinciso b� con las observaciones hechas antes de enunciar el teorema�
� Se supone que el m�etodo converge �x� � Rn � Sea un valor propio de A�y e� un vector propio respecto a este valor propio� entonces
en � Ane��
ne� � ��
posible solamente si jj � �� Se supone que ��A� � � sea e� � Rn arbitrario� de donde en � Ane��Por el teorema de Jordan� existe una matriz T no singular tal que
T��AT �
�BBBBBBBBBBBB
�� � �� � �
�
�
��
� � �� � �
�� � �
CCCCCCCCCCCCA�
Sea D � diag�� �� ��� � � � � �n���� por consiguiente
D��T��ATD �
�BBBBBBBBBBBB
�� � �� � � �
�
�
��
� � �� � � �
�� � �
CCCCCCCCCCCCA� J�
�� IV Ecuaciones No Lineales
si � es su cientemente peque�no� se tiene kJk� � � de donde el m�etodo esconvergente� �
Para el problema f�x� � �� se vio antes que se puede convertir enproblema de punto jo� planteando
+�x� � x� Af�x�� �IV������
donde A es una matriz constante A� inversible� Ahora bien� para cumplirlas condiciones del teorema precedente ��+��x��� � � motivo por el cual essu ciente A �f ��x����� para que +��x�� ��
Ejemplo
Consid�erese la ecuaci�on siguiente
x� � y� � � �
sinx� sin y �
�
�
se desea determinar las soluciones de esta ecuaci�on� Convirtiendo en unproblema de punto jo se tiene
+�x� y� �
�xy
��A
�x� � y� �
sinx� sin y � ��
�donde la A es una matriz de �� �� La derivada de f en el punto �x� y��est�a dada por
f ��x�y� �
��x �ycosx cos y
��
la inversa de la derivada de f � esta dada por
�f ��x�y���� �
��x cos y � y cosx�
�cos y ��y� cosx �x
��
Recorriendo a travez de la circunferencia de radio dada por la primeraecuaci�on se escogen los valores de x� y para los cuales remplazando en lasegunda ecuaci�on se tiene valores muy cerca a ��� Una vez determinadosestos valores se consigue una aproximaci�on de la matriz A para poderaplicar el m�etodo iterativo� Las soluciones obtenidas con una precisi�ondel orden de ���� son�
x � ����������������
x � �����������������y � ��� ��������������y � �� ��������������
IV�� M�etodos Iterativos ��
Ejercicios
�� Sea A una matriz que es diagonal dominante� es decir
jaiij �Xj ��i
jaij j � i � � � � � � n�
entonces el m�etodo de Jacobi� formulado en el cap��tulo II� para resolverAx � b es convergente�
��� Consid�erese la ecuaci�on integral
y�x� � f�x� �
Z b
a
K�x� s� y�s��ds� ���
donde a� b� f�K est�an dados� se busca y�x�� Mostrar� si el nucleo K esdegenerado� es decir
K�x� s� y� �
nXi��
ai�x�bi�s� y��
entonces la soluci�on de ��� est�a dada por
y�x� � f�x� �
nXi��
ciai�x�
donde las constantes c�� � � � � cn satisfacen
ci �
Z b
a
bi�s� f�s� �
nXj��
cjaj�s��ds i � � � � � � n�
��� Calcular la soluci�on de
y�x� � �
Z
�
�� sinx sin s� sin �x sin �s�ey�s�ds� �
��
Resolver el sistema no lineal para c�� c� con el m�etodo iterativo�
��� Sean J � "a� b# un intervalo de R en el cual la funci�on dos vecescontinuamente diferenciable f veri ca las relaciones jf ��x�j � m�
jf ���x�j � M � f�a�f�b� � �� Mostrar que siM
�m�b � a� � q � se
puede� por n aplicaciones sucesivas del m�etodo de la falsa posici�on�encontrar un intervalo de extremidades an� bn conteniendo la �unicaraiz de f�x� � � en "a� b#� con
jbn � anj � �m
Mq�n�
IV�� M�etodo de Newton
En lo que va este cap��tulo� se ha visto dos enfoques para resolver sistemas deecuaciones� el primero mediante una f�ormula que de el resultado de maneraexpl��cita en funci�on de los datos del problema� El segundo enfoque consisteen utilizar m�etodos iterativos que permitan aproximar a la soluci�on de unamanera arbitraria� En la secci�on precedente se vio en los diferentes teoremasde convergencia que la velocidad de convergencia es lineal� lo que puedeconstituir una desventaja� desde el momento en que se requiera resolvergrandes y muchos sistemas de ecuaciones� Lo deseable ser��a cambiar el ordende convergencia� por ejemplo a una reducci�on cuadr�atica del error�
Recordando el m�etodo de la Falsa Pendiente� en lugar de tomar unasecante para determinar una aproximaci�on del cero de la funci�on estudiada�se podr��a tomar la tangente en un punto de la curva inducida por la funci�on�El m�etodo iterativo formulado en la secci�on precedente estaba basado en elteorema del punto jo y el problema a resolver era de la forma +�x� � x�para el caso de las ecuaciones de la forma f�x� � �� era su ciente considerarla funci�on +�x� � x � Af�x�� donde A es una matriz constante� ahorabien suponiendo que f ��x� es inversible en un vecindario de una de lassoluciones de la ecuaci�on� en lugar de tomar A constante� se puede plantearA � �f ��x�����
Las motivaciones est�an dadas para formular un nuevo m�etodo� cuyavelocidad de convergencia sea superior a los m�etodos anteriormente formu�lados� Para tal efecto� consider�ese la funci�on f � U � Rn � Rn � U unabierto de Rn � se supone adem�as que f es continuamente derivable� y laderivada en todo punto es inversible� Por consiguiente� se tiene el problema
f�x� � �� �IV����
cuyas soluciones� si �estas existen son localmente �unicas� por el teorema delas funciones inversas� dado en la secci�on precedente� Sup�ongase que esteproblema tiene al menos una soluci�on� denotandola por x�� Sea x � Ubastante pr�oximo de x�� aplicando la de nici�on de la derivada en el punto xse obtiene
f�x�� � f�x� � f ��x��x� � x� �O�kx� � xk���de donde despreciando el t�ermino que contieneO se obtiene la ecuaci�on linealdada por
f ��x��x� � x� � �f�x��que por hip�otesis tiene soluci�on y es �unica� De donde� el m�etodo de Newtontiene la formulaci�on siguiente� sea x� un punto bastante pr�oximo de la
IV�� M�etodo de Newton ��
soluci�on buscada x�� xm se de ne recursivamente� por las ecuaciones
f ��xm����xm � xm��� � �f�xm���� �IV�����
Ejemplos
�� Consid�erese la ecuaci�on de una sola variable dada por
f�x� � �x� tanx�
para aplicar el m�etodo de Newton la derivada est�a dada por
f ��x� � ��
cos� x�
partiendo del punto inicial x� � � � se obtiene los siguientes valoresmediante el m�etodo de Newton�
Tabla IV����� Valores obtenidos por el m�etodo de Newton�
k xk f�xk� e�k�ek��
� � � ������� ����� �������� ���
� ���� �������� �� ��������� ����� ���������� ��� �������� ����� �������� ���� ��������
��� Consid�erese el sistema de ecuaciones dado por�x� � y� � � � �
xy � � � ��
Las soluciones de este sistema de ecuaciones est�an dadas por la inter�secci�on de una circunferencia de radio � y centro en el origen y unahip�erbola inclinada� Realizando un gr�a co se puede observar que unade las raices est�a pr�oxima al punto ����� �� que ser�a tomado como puntoinicial� La matriz derivada es igual a
f ��x� y� �
��x �yy x
��
utilizando el m�etodo de eliminaci�on de Gauss para calcular los valoresde �xk� yk� se obtiene la siguiente tabla con las primeras �� iteracionesdel m�etodo de Newton�
�� IV Ecuaciones No Lineales
Tabla IV����� Valores obtenidos por el m�etodo de Newton�
k xk yk kf�xk�k� kekk�� � kek��k�� ��� �� ����
������ ������ �������
� �������� ����� ��������� ��� ������
� �������� ������ ��������� ��� �����
�� �������� ������ ��������� ��� �������
�� �������� ������ ������� ��� �������
En las tablas IV��� y IV����� se observa que el m�etodo de Newtonconverge cuadr�aticamente� Es importante poder con rmar te�oricamente esteresultado� Analizando el caso de una variable� se supone que f � I � R esdos veces continuamente derivable� x� una soluci�on del problema f�x� � ��adem�as f ��x�� �� �� Sea xk el valor de la k�esima iteraci�on obtenida delm�etodo de Newton� El desarrollo de Taylor en xk de la funci�on f y el m�etodode Newton para obtener xk�� est�an dados por�
� � f�xk� � f ��xk��x� � xk� �
�f ���xk� �x
� � xk��� �z �
e�k
�O��x� � xk���
� � f�xk� � f ��xk��xk�� � xk��
sustrayendo ambas cantidades se obtiene
� � f ��xk� �xk�� � x��� �z �e�k��
�
�f ���xk�e
�k �O��ek���
de donde
ek�� �
�
f ���xk�
f ��xk�e�k �O��ek���
mostrando as�� el teorema siguiente�
Teorema IV������ Sea f � I � R� tres veces continuamente diferenciable�x� una soluci�on de la ecuaci�on f�x� � �� Si f ��x� �� � en un vecindario dex�� x� bastante pr�oximo de x�� entonces
ek�� �
�
f ���xk�
f ��xk�e�k �O��ek��� �IV�����
IV�� M�etodo de Newton ��
donde ek � x� � xk�
Para el caso de una funci�on de varias variables� la situaci�on es bastantesimilar� en efecto sea
f � U � Rn � Rn �donde U es un abierto de Rn � f es una funci�on tres veces continuamentederivable� cuya derivada es inversible para todo x � U � La derivada de fen el punto x � U es una aplicaci�on lineal� cuya matriz respecto a la basecan�onica est�a dada por
f ��x� �
�BB�f��x�
� � � �f��xn
������
�fn�x�
� � � �fn�xn
CCA �
donde f�� � � � � fn son las componentes de la funci�on f � la segunda derivadade f en el punto x � U es una aplicaci�on bilineal sim�etrica� que respecto ala base can�onica� est�a dada por
f ���x��h� k� �Xi�j
��f
�xi�xj�x�hi� kj �
donde h� k � Rn y los hi� kj son las componentes de h y k respecto a lasbases naturales� Para m�as detalle ver Cartan� El desarrollo de Taylor en xest�a dado por
f�x� h� � f�x� � f ��x�h�
�f ���x��h� h� �O�khk��
Teorema IV������ Sean f � U � Rn � Rn tres veces diferenciable� conderivada inversible y x� � U con f�x�� � �� Si fxkg es la sucesi�on de nidapor el m�etodo de Newton� entonces el error ek � xk � x� satisface
ek�� �
�
�f ��xk�
���f ���xk��ek� ek� �O�khk�� �IV�����
Demostraci�on�� Similar a la del caso de una sola variable� �
C�alculo de la Derivada
Al implementar el m�etodo de Newton� se debe c�alcular la derivada de f encada punto� La primera forma de determinar la matriz f ��xk� es de maneraanal��tica� construyendo as�� una subrutina para evaluar los coe cientes dela matriz jacobiana en cada iteraci�on� Pero lastimosamente� no siempre
�� IV Ecuaciones No Lineales
es posible calcular las derivadas parciales de manera anal��tica por variasrazones� funciones muy complicadas para derivar� c�alculos muy largos�etc� Otra manera de evaluar los coe cientes de f ��xk� consiste en hacerlonum�ericamente� Utilizando un esquema de primer orden para evaluar laderivada parcial de fj respecto a xi� se tiene
�fj�xi
�x� � limt��
fj�x� tei�� fj�x�
t�
donde t � R� ei es el i�esimo vector de la base can�onica� Ahora bien� seplantea g�t� � fj�x � tei� dejando jo x� se tiene
�fj�xi
�x� � g�����
De donde� el problema consiste en calcular g����� con un esquema de primerorden se obtiene
g���� g�t�� g���
t� �IV�����
Cabe recalcar� que se puede aproximar g���� con una mejor aproximaci�on�para eso se puede utilizar los polinomios de interpolaci�on� Una preguntanatural surge� �cu�al t escoger�� para obtener la mejor aproximaci�on de g�����El error de aproximaci�on est�a dado por
g�t�� g���
t� g���� �
�g�����t�O�t���
mientras que los errores de redondeo� suponiendo que g es una funci�onbien condicionada� est�a dado por los siguientes resultados� suponiendo queg��t� g�����
g�t� � ����� � ���� g���� � ��
t� g�t�� g���
t
t
ng�t� � g������t� � ���� g���� � ��� g�t� � g���
o
t
n��g�t� � g������t� �g���
o�
donde j�ij � eps� por consiguiente
error de redondeo �
jtj�� jg���j� jg����tj�eps� �IV�����
IV�� M�etodo de Newton ��
Lo ideal ser�a� por lo tanto escoger un valor de t de manera que los erroresde aproximaci�on y de redondeo se aproximen� ver gura IV����
Err de redon.
Err de aprox
Figura IV����� Error de Aproximaci�on vs Error de Redondeo�
Observando la gura� se tiene que el error de aproximaci�on es del ordende t� mientras que el error de redondeo es proporcional a eps�t� de dondeequilibrando ambos errores se obtiene
t �pC eps� �IV�����
donde C es una constante elegida de acuerdo a la funci�on f �
El Teorema de Newton�Misovski
Se ha formulado el m�etodo de Newton de una manera general� dandoinclusive una estimaci�on del error cometido� deduciendo que si el m�etodoconverge� la convergencia es cuadr�atica� Pero sin embargo� no se enunci�o lascondiciones su cientes para obtener convergencia de este m�etodo� El siguien�te teorema dar�a las condiciones su cientes para asegurar la convergencia delm�etodo� cuando la funci�on f cumple ciertas condiciones�
Teorema IV������ Newton�Misovski� Sean D � Rn abierto y convexo�f � D � Rn continuamente diferenciable� f ��x� inversible para todo x � D�x� � D satisfaciendo las siguientes condiciones
a� k�x�k � ��
b� �f ��y����f ��x� t�x � y�
�� f ��x���y � x�
� �t ky � xk�� �x� y �D� t � "�� #�
c� ��
��� � �
d� � ���
� � �
e� B�x�� �� � fx � Rn j kx� x�k � �g�
�� IV Ecuaciones No Lineales
Entoncesi� La sucesi�on fxkg de nida por el m�etodo de Newton se queda dentro
B�x�� �� y converge hacia una soluci�on x� de f�x� � ��
ii� Se tiene la estimaci�on k�xkk � �� k�xk��k
��
iii� kxk � x�k � �
��� �k
�k�xk��k� �
Demostraci�on�� Es claro por la de nici�on del m�etodo de Newton que sifxkg es convergente� entonces el l��mite de la sucesi�on es igual a x�� dondef�x�� � �� Se mostrar�as la conclusiones por inducci�on� Se supone quexk� xk�� � D� para k � � entonces
k�xkk � �
�k�xk��k� �
en efecto
k�xkk � �f ��xk����f�xk�
� �f ��xk����"f�xk�� f�xk���� f ��xk���xk��
�
f ��xk� Z �
�
�f ��xk�� � t�xk���� f ��xk���
��xk��dt
�Z �
�
f ��xk��f ��xk�� � t�xk���� f ��xk�����xk��
dt�Z �
�
�t k�xk��k� dt � �
�k�xk��k� �
Se de ne k recursivamente por
k � �k��� � ��
�� � �
Si x�� x�� � � � � xk � D� entonces�
�k�xkk � k�
es cierto para k � �� sup�ongase cierto para k � � por consiguiente
�
�k�xkk �
���k�xk��k
��� �k�� � k�
como � � � se tiene k � �k
� puesto que � �
limk��
k � ��
IV�� M�etodo de Newton �
El siguiente paso es mostrar que fxkg es una sucesi�on de Cauchy y quesatisface el punto i�� Se supone nuevamente� que x�� � � � � xk � D� � � l � k�obteniendo
kxk�� � xlk � kxk�� � xkk� �z ��
�k
� � � �� kxk�� � xlk� �z ��
�l
� �
�� � �l � �l � � � ��
� �
�
�l� �l
�
Para l � �� se tiene kxk�� � x�k � �
�
�
� ��
�
�
� �
�
� �� �� de
donde xk�� � B�x�� ���Por otro lado�
kxk�� � xlk � �
�
�l� �l
� �� cuando k � l��
de donde la sucesi�on fxkg es una sucesi�on de Cauchy� y por lo tantoconvergente� Es as�� que se ha mostrado el punto i� y el punto ii� del teoremaquedando pendiente el �ultimo punto� Se tiene
kxl�� � xkk � kxl�� � xlk� � � �� kxk�� � xkk �se plantea�
!k�� ��
�k�xk��k � !l � !�l���
de donde !k�� � k�� y !k � k � �k
� adem�as
�
�k�xlk � !l para l � l � �
De donde
kxl�� � xkk � �
�
k�xk��k�� �
k�
haciendo tender l al in nito queda demostrado el punto iii� �
Es necesario remarcar el siguiente hecho concerniente a la hip�otesis b�del teorema que se acaba de demostrar� Si f es � veces derivable� utilizandola f�ormula de Taylor se tiene
"f ��x� t�x � y��� f ��x�
�#�y � x� � f ���x��t�y � x�� y � x� �O�ky � xk��
�� IV Ecuaciones No Lineales
por consiguiente
�f ��y����"f ��x� t�x� y��� f ��x��#�y� x� � t�f ��y����f ���x��y � x� y� x��
O�ky � xk��
si D es bastante peque�no� entonces se puede despreciar O�ky � xk�� dedonde �f ��y����"f ��x� t�x� y��� f ��x�
�#�y � x�
� t �f ��y����f ���x� ky � xk� �
por consiguiente� sup
x�y�D
�f ��y����f ���x� �IV�����
Para comprender el teorema� puede ser util estudiar en un ejemplotipo� las hip�otesis del teorema y deducir las conclusiones que conducen estaship�otesis
Ejemplo
Sea� f � R� � R� de nida por
f�x� �
�x�� � x�� � x� � x��
��
la soluci�on del problema f�x� � � est�a dada por la intersecci�on de unacircunferencia de centro en el origen y radio y una par�abola cuyo v�erticese encuentra tambi�en en el origen� Este problema puede ser resueltogra camente� substituyendo x�� pero el proposito del ejemplo es estudiarel teorema de Misovski�La derivada de f � est�a dada por la matriz jacobiana
f ��x� �
��x� �x���x�
��
cuya inversa es igual a
�f ��x���� �
�x�� � �x��
� ��x�
�x� �x�
��
Observando una gr�a ca del problema se escoge como dominio D a
D �n�x�� x��j
�� x�� x� � �
o�
Analizando las condiciones del teorema se tiene�
IV�� M�etodo de Newton ��
a� Se escoge como valor inicial �� � � D� obteniendo�x� � ���������� de donde
k�x�k �p�
� �� �� � ��
b� El estudio de la segunda condici�on da�
�f ��y�����f ��x� t�x � y��� f ��x�
��y � x�
�
�y�� � �y��
� ��y��y� �y�
���t�y� � x�� �t�y� � x����t�y� � x�� �
��y� � x�y� � x�
��
t
�y�� � �y��
�� � y���y� � x��
� � �y� � x���
�y��y� � x���
��
Se observa inmediatamente que las componentes son positivas� mayo�rando respecto a y� se obtiene����f ��y�����f ��x� t�x� y��� f ��x�
��y � x�
���� t
�
���� ��y� � x��� � �y� � x��
�
��y� � x���
���� �pasando a la norma de la convergencia uniforme� se obtiene �f ��y�����f ��x� t�x� y��� f ��x�
��y � x�
�� �t ky � xk infty��
de donde�b� � � ��c� � �� �� � �
d� � ��� ��
� �� ��
�� Ahora bien� B�x�� �� �� D� de donde no se puede
garantizar las conclusiones del teorema� Sin embargo� tomando como x�el valor de la primera iteraci�on a partir del valor inicial del ejemplo setiene
x� �
��
���
�
�t
�
obteniendo
�x� ����������
�� k�x�k � �� ��� � ��
de donde � �� ���� � � �� ��� B�x�� �� � D�
Por lo tanto� las tres condiciones del teorema son veri cadas� teniendogarantizada de esta manera la convergencia del m�etodo de Newton�
El teorema de Newton�Misovski da las ventajas de utilizar el m�etodode Newton para resolver el problema f�x� � �� sin embargo�
�� IV Ecuaciones No Lineales
Desventajas del m�etodo de Newton
% Cada iteraci�on del m�etodo es costosa en operaciones� En efecto elc�alculo de f ��x� y la resoluci�on del sistema lineal adyacente cuestanmucho si la dimensi�on del sistema es grande� Resolver el sistema LRcuesta aproximadamente n�� operaciones�
% Convergencia local� El m�etodo converge solamente si x� est�a su cien�temente pr�oximo de la soluci�on x��
M�etodo de Newton Simpli�cado
Una de las mayores desventajas que tiene el m�etodo de Newton� consiste enel hecho de calcular en cada iteraci�on la matriz derivada y el sistema linealasociado� Se puede simpli car el m�etodo de Newton de la siguiente manera�
x� arbitrario�
�xk � ��f ��x�����f�xk��xk�� � xk ��xk�
�IV�����
Por consiguiente se debe calcular una sola vez f ��x�� y calcular una vez ladescomposici�on LR� Por lo tanto� la primera iteraci�on consume aproximada�mente n�� en el c�alculo de la descomposici�on� y las dem�as iteraciones nece�sitan aproximadamente n� operaciones� La desventaja de utilizar el m�etodode Newton simpli cado reside en el hecho en que se pierde la convergenciacuadr�atica� obteniendo una convergencia lineal� En efecto� considerando estem�etodo como un m�etodo iterativo simple� dado en la secci�on precedente setiene�
xk�� � +�xk�� donde �+�x� � x� �f ��x��
���f�x��
+��x� � I � �f ��x��
���f ��x��
Ahora bien� se tiene convergencia local� si y solamente si
��I � �f ��x��
���f ��x�� � �
por el teorema IV���� y la convergencia lineal es consecuencia directa delteorema citado�
Tanto el m�etodo de Newton� como su versi�on simpli cada� de neniteraciones de la forma
�xk � ��M�xk����f�xk��
xk�� � xk ��xk��IV�����
donde M�x�� es una matriz que depende de x� Para el m�etodo de Newtonse tiene M�x� � f ��x� y para la versi�on simpli cada M�x� � f ��x��� En
IV�� M�etodo de Newton ��
el primer caso la matriz M es la derivada� en el segundo caso M es laderivada en un punto arbitrario� Existen muchos problemas� en los cualesla matriz derivada tiene ciertas particularidades que constituyen en ventajasy desventajas al mismo tiempo� que puede solucionarse convenientementesi se escoge una matriz M apropiada� por ejemplo f ��x� puede tener unaestructura de matriz banda� con algunos elementos no nulos fuera de labanda� es decir
f ��x� �
�BB� � �� � �
� � �� � �
� � �
CCA �
planteando M�x� la matriz cuyos elementos est�an dados por la bandaprincipal de f ��x� se tiene una buena aproximaci�on de f ��x�� disminuyendode esta manera el costo en operaciones� Las bases te�oricas de utilizar lamatriz M en lugar de f ��x�� est�an dadas por el siguiente teorema�
Teorema IV����� Newton�Kantorovich� Sean D � Rn abierto y convexo�f � D � Rn continuamente diferenciables� M�x�� inversible y x� � D�Ademasa�
M�x����f�x��
� ��
b� M�x��
���f ��y�� f ��x�� � � ky � xk � �x� y � D�
c� M�x��
���f ��x� �M�x�� � � � � kx� x�k� M�x��
���M�x� �M�x�� � � kx� x�k�
d� � � � � �� max��� �� �� y
h ���
�� ��� �
��
e� B�x�� �� � D� con� �
�p� �h
h
�
� ��
entoncesi� M�x� es inversible para x � B�x�� ���ii� La sucesi�on fxkg de nida por �IV����� se queda en B�x�� �� y converge
hacia una soluci�on x� de f�x� � ��
iii� Se de ne h ���
�� ��� �
�
�h�
�� ��
p� � h h
�
� ��
entonces x� � B�x�� ��� y no hay otra soluci�on de f�x� � � enB�x�� ��� � D�
�� IV Ecuaciones No Lineales
Antes de demostrar el teorema hay que remarcar que h � h cuyaveri caci�on es inmediata y tambi�en �� � �� en efecto considerando losdesarrollos en serie de Taylor se tiene�
p� x �
Xj�
���j
���x�j � � x
�� c�x
� � cx � � � � �
con los cj � ��
�p� �h
h� � �c�h� �c�h
� � �c�h � � � � �
de donde �� � �� Ver la gura IV�����
x0ρρ
ρ
+
_D
Figura IV����� Resultado del Teorema de Newton�Kantorovich�
Demostraci�on�� Demostrando el punto i�� se tiene�
M�x� �M�x��"I �M�x��
���M�x� �M�x���� �z �B
#�
kBk � � kx� x�k � ���
�� � ��p� �h
h���
�
� ��� ���� � �
��� �� � �
de donde kBk � � por lo tanto �I �B� es inversible y su inversa est�a dadapor
�I �B��� ��Xk��
���kBk�
IV�� M�etodo de Newton ��
la norma de �I �B���� est�a mayorada por
�I �B��� �
� kBk �
� � kx� x�k �
por consiguiente M�x���M�x�� �
� � kx� x�k kx� x�k � �� �IV����
La demostraci�on del punto ii� se efectua por inducci�on� Si xk��� xk �B�x�� ��� entonces xk�� existe� se tiene�
kxk�� � xkk � M�xk�
��f�xk�
� M�xk���
"f�xk�� f�xk���� f ��xk����xk � xk� �
# � M�xk�
��"f ��xk�� �M�xk���
#�xk � xk���
� M�xk�
��"f�xk�� f�xk���� f ��xk����xk � xk� �
# �
� � kxk � x�k� � � � kxk�� � x�k
� kxk � x�k
� M�xk�
��
Z �
�
hf ��xk���t�xk�xk����� f ��xk � �
idt�xk � xk���
�
� � kxk � x�k� � � � kxk�� � x�k
� kxk � x�k
�
� � kxk � x�k�
�kxk � xk��k�
�
� � kxk � x�k� � � � kxk�� � x�k
� kxk � x�k �
De donde
kxk�� � xkk �
� � kxk � x�kn��kxk � xk��k��� ������ kxk�� � x�k� kxk � xk��k
o�
Para resolver esta desigualdad� se remplaza kxk�� � xkk por tk�� � tk ykxk � x�k por tk� el s��mbolo de desigualdad por el de igualdad� de niendoas�� una sucesi�on ftkg � R� que veri ca�
t� � ��
t� � ��
tk�� � tk �
� �tk
���tk � tk���
� � � � � �� � ��tk����tk � tk�����
�� IV Ecuaciones No Lineales
Se demuestra facilmente� por inducci�on que�
kxk�� � xkk � tk�� � tk�
kxk � x�k � tk�
en efecto� para k � � se cumple� sup�ongase cierto para k�� por consiguiente
kxk � x�k � kxk � xk��k� � � �� kx� � x�k� tk � tk�� � � � �� t� � tk�
kxk�� � xkk �
� �tk
n���tk � tk���
� � � � �� � ��tk���tk � tk � tk���o
� tk�� � tk�
El siguiente paso es estudiar la sucesi�on ftkg� se tiene
�� �tk��tk�� � tk� ��
��t�k � �tktk�� � t�k��� � ��tk � tk���
� �tk���tk � tk���� �tk���tk � tk����
efectuando algunos arreglos y simplicaciones se obtiene la siguiente igualdad
�� �tk��tk�� � tk�� �
�t�k � �� ��tk
� �� �tk����tk � tk���� �
�t�k�� � �� ��tk�� � ��
expresi�on que es constante por que no depende de k� Expresando
tk�� � tk ��� t
�k � �� ��tk � �
� �tk� tk �
u�tk�
v�tk�� +�tk��
donde las funciones u y v est�an dadas por
u�t� ��
�t� � �� ��t� �� v�t� � � �t�
Se debe mostrar por consiguiente que tk converge y eso sucede si y solamentesi + tiene un punto jo� y el radio expectral de +� en las proximidades delpunto jo es estrictamente menor a �
Se tiene�
+�t� � t �� u�t� � � �� t � ���� �� ���s�
� ��
��
� ��
��
IV�� M�etodo de Newton ��
donde ���� son las raices de u�t�� Expresando ambas raices en funci�on de h�se obtiene
���� ��p� �h
h
�
� ��
puesto que h � ��� las dos raices de u son positivas� siendo �� la raiz m�aspeque�na� se tiene�
�� � ��� �� � ��
Por otro lado� ambas raices son acotadas� en efecto
�� � ���
�
h
�
� ��
� ��
�
��
Estudiando la funci�on +�t� se tiene tres casos� que se observan en la guraIV�����
α
ρ ρ /µ11 2
�� � �� �
�
α
/µ1
�� �
�� ��
α
/µ1
�� �
�
Figura IV����� Gr�a cas de la funci�on +�
Para � � t � ��� se tiene que +��t� � �� en efecto�
+�t� � t�u�t�
v�t��
+��t� �v�t� � u��t�
v�t�� u�t�
v��t�
v��t�� �z �� �
�
v�t� � u��t� � � �t� �t� �� �� � � � �� � ��t � ��
Por consiguiente� + es creciente sobre el intervalo ��� ���� y adem�as tk � ���para k � � es cierto� sup�ongase cierto para k� entonces
tk�� � +�tk� � +���� � ���
�� IV Ecuaciones No Lineales
La sucesi�on ftkg es creciente y mayorada� por lo tanto es convergente yconverge al primer punto jo de +� el cual es ��� De aqu��� se deduce que
xk � B�x�� ����
Ahora se est�a en condiciones de mostrar que fxkg es una sucesi�on con�vergente� para tal motivo se debe demostrar antes que es una sucesi�on deCauchy� Se tiene�
kxk�� � xlk � kxk�� � xkk� � � �� kxl�� � xlk� tk�� � tk � � � �� tl�� � tl
� �� � tl � �
cuando k � l ���De donde lim
k��� x� y como M�xk� es acotada se deduce inmediata�
mentef�x�� � ��
mostrando as�� el punto ii��Para la demostraci�on del punto iii� son necesarias algunas convenciones
sobre la escritura de los s��mbolos utilizados� La sucesi�on fxkg est�a de nidapor
xk�� � xk �M�x����f�xk��
planteando�
M�x� �M�x��� � � �� � � �� � � ��
Por otro lado� M�x�����f ��x�� M�x��
� M�x�����f ��x��M�x��
� M�x��
���M�x� � M�x��
� � � � kx� x�k� � kx� x�k� � � � kx� x�k
con � � �� � � � � � y � � �� De niendo G�x� � x �M�x����f�x�� se
tiene�
G��x� �I �M�x����f ��x��
kG�y��G�xk���k �kG�y��G�xk����G��xk����y � xk���k� �G��xk����G��x��
��y � xk���
� kG��x���y � xk���k
� M�x����
�� f�y� � f�xk��� � f ��xk����x � yk����
� M�x��
���f ��xk���� f ��x����y � xk���
� M�x��
���M�x��� f ��x����y � xk���
IV�� M�etodo de Newton �
utilizando una integral como en el punto ii�� se obtiene
kG�y��G�xk��k � �
�ky � xk��k
�� kxk�� � x�k ky � xk��k� � ky � xk��k �
Sea y� � D � B�x�� ���� remplazando y por y� en la �ultima desigualdad� seobtiene
ky� � xk��k � �
�ky� � xk��k
�� kxk�� � x�k ky� � xk��k� � ky� � xk��k �
y planteando tambi�en y � xk� se obtiene
kxk � xk��k � �
�kxk � xk��k
�� kxk�� � x�k kxk � xk��k� � kxk � xk��k �
Como en el punto ii� se remplazan kxk � x�k por tk � t� con t� � � yky� � xkk por sk � tk� el s��mbolo � por la igualdad� obteniendo as���
tk�� � tk ��
��tk � tk���
� � �tk���tk � tk��� � ��tk � tk����
t� � �� t� � ��
sk � tk ��
��sk�� � tk���
� � �tk���sk�� � tk��� � ��sk�� � tk����
s� � ky� � x�k � ���
Se demuestra por inducci�on que�
kxk�� � xkk � tk�� � tk�
kxk � x�k � tk�
ky� � xkk � sk � tk
El siguiente paso en la demostraci�on consiste en estudiar las sucesiones ftkgy sk� Se tiene�
tk�� � tk ��
��t�k � �tktk�� � t�k��� � �tk���tk � tk��� � ��tk � tk����
tk�� � �
�t�k � �tk � tk � �
�t�k�� � �tk�� � ��
sk� tk ��
��s�k����sk��tk��� t�k�����tk���sk��� tk���� ��sk��� tk���
sk � �
�s�k�� � �sk�� � tk � �
�t�k�� � �tk�� � ��
�� IV Ecuaciones No Lineales
De niendo la funci�on ,�t� por
,�t� ��
�t� � �t� ��
entonces se obtiene� los resultados siguientes para sk y tk�
tk�� � ,�tk�� t� � ��
sk � ,�sk���� s� � ky� � x�k � ���
Se tiene que� ,��t� � �t� � � �� si t � �� para estudiar la convergencia delas sucesiones� se debe determinar los puntos jos de ,� es decir resolver laecuaci�on
�
�t� � � � � �t� � � ��
las raices de �esta� est�an dadas por�
�� ��
p� � h h
�
se puede observar� que la sucesi�on tk es creciente y tiende hacia ��� por otrolado la sucesi�on sk es decrecientre y tiende hacia ��� Ver la gura IV����
t
α
ρ ρ
Ψ (t)
− +
Figura IV���� Gr�a ca de la funci�on ,�
Como en el punto ii� se muestra que la sucesi�on fxkg es de Cauchy� porconsiguiente xk � x� y f�x�� � �� adem�as se tiene
kx� � x�k � ���
ky � �x�k � sk � tk � ��
y� � x��
�
IV�� M�etodo de Newton ��
Para ilustrar la utilizaci�on del teorema de Newton�Kantorovich� se tieneel�
Ejemplo
Consid�erese� la funci�on f dada por
f�x� �
�x�� � x�� � x� � x��
��
partiendo del punto �� � y tomando como dominio D � R� � M�x� �f ��x�� es decir el m�etodo de Newton en su versi�on no modi cada� setiene�
� � �� ��� � � � �� � � �� � � ��
� � �� � � � ��
Veri cando y efectuando c�alculos se obtiene�
h � �� ��� � ��� � � �� � �� ���� �� � �� ���
M�etodo de Newton con Relajaci�on
Una de las principales desventajas del m�etodo de Newton� tanto en su versi�onoriginal� como en su versi�on simpli cada� es que es necesario estar cerca dela soluci�on del problema� Lamentablemente� en una gran mayor��a de casoseso no es posible� Por lo tanto� es necesario modi car el m�etodo de maneraa que la convergencia sea una preocupaci�on menor� El m�etodo de Newtonest�a dado� por las iteraciones
xk�� � xk � �f ��xk����f�xk��
se tiene convergencia si kx� � x�k � � su cientemente peque�no� sin embargoesta condici�on no se cumple en general� Una soluci�on alternativa ser��amodi car el m�etodo de la manera siguiente�
pk � ��f ��xk����f�xk��xk�� � xk � kpk�
con � � � � La base te�orica de esta modi caci�on est�a dada por la�
Proposici�on IV������ Sean D � Rn � f � D Rn continuamente diferen�ciable� x� � D� f�x�� �� � y p� � ��f ��x�����f�x��� Entonces para todamatriz A inversible� existe � � � tal que para todo � � � � �� se tiene
kAf�x� � p��k � kAf�x��k �
�� IV Ecuaciones No Lineales
Demostraci�on�� Se de ne la funci�on g � R � R para una matriz A ja einversible� como
g�� � kAf�x� � p��k��� f�x� � p��
tAtAf�x� � p���
calculando la derivada de g� se obtiene�
g��� � �f�x� � p��tAtAf ��x� � p��p��
g���� � ��f�x��tAtAf ��x���f��x���
��f�x��
� �� kAf�x��k�� � ��
por consiguiente� existe � con las conclusiones requeridas por la proposici�on��
Otra de las motivaciones para modi car el m�etodo de Newton consisteen el siguiente hecho� Sean D � Rn � f � D � Rn continuamentediferenciable con derivada inversible para todo x � D� Llamando p�x� �
��f ��x����f�x� la direcci�on de Newton para la funci�on f � se obtiene lasiguiente ecuaci�on diferencial
x� � p�x�� �IV�����
Una manera de resolver num�ericamente esta ecuaci�on� ver Cap��tulo VII�consiste en aproximar la soluci�on mediante segmentos poligonales� es decir�de nir una sucesi�on de v�ertices� dados por
xk�� � xk � kp�xk�� �IV�����
este m�etodo de resoluci�on de ecuaciones diferenciales es conocido como elm�etodo de Euler�
El m�etodo modi cado se lo conococe como �estrategia y su formulaci�ones la siguiente�
-xk � ��f ��xk����f�xk��xk�� � xk � k-xk�
�IV�����
Si k � para todo k� se tiene el m�etodo de Newton usual� La otra situaci�ones escoger k� tal que
g�� � kAf�xk � k-xk�k � min� �IV�����
presentandose dos interrogantes��C�omo escoger la matriz A�
IV�� M�etodo de Newton ��
�C�omo calcular el m��nimo de g���La elecci�on de A� se la realiza considerando los siguientes hechos� Se
desea que
kxk � k-xk � x�k � min�
donde x� es la soluci�on de f�x� � �� No se conoce por el momento x�� perose sabe f�x�� � �� Se tiene� las siguientes aproximaciones�
f�x�� f�x�� f ��x���x� x�� f ��xk��x � x��
con x � xk � k-xk� de donde
xk � k-xk � x� � �f ��xk����f�xk � -xk��
escogiendo� de esta manera
A � �f ��xk����
� �IV�����
Por lo tanto �IV������ se convierte en g�� � �f ��xk����f�xk � -xk�
y el
problema radica en determinar � para que g�� sea m��nimo� A continuaci�onse da un algoritmo simple que permite determinar este �
Sup�ongase que se conoce xk y una aproximaci�on !k de k � Se tiene doscasos�
a� g�!k� � �� es decir xk � !k es peor que xk�Se busca el m�as peque�no de los j � � tal que
g�!k��j� � g����
se plantea k � !k��j �
b� g�!k� � �� Se busca el j � � m�as peque�no tal que
g��j��!k� � g��j!k�
y se plantea k � �j!k �En ambos casos k no debe ser m�as grande que �
Finalmente surge la �ultima interrogante� �Como determinar !k� Uti�lizando un desarrollo de Taylor se tiene�
�f ��xk����f�xk � -xk��
� �f ��xk����
f�xk� � f ��xk�-xk �
�
�f ���xk��-xk �-xk� �O��
!
�� IV Ecuaciones No Lineales
Por otro lado f�xk� � f ��xk�-xk � �� �-xk y �f ��xk����f�xk� � -xk�
de donde utilizando el desarrollo de Taylor� la desigualdad del tri�angulo ylas observaciones anteriores� se tiene
g�� � k-xkk �� ��
�hk �O���
donde hk � �f ��xk����f ���xk��-xk �-xk� � k-xkk � Despreciando el t�er�
mino O��� se obtiene un polinomio de grado �� cuyo m��nimo se encuentraen
!k �
hk� �IV�����
faltando determinar hk� Como es pr�acticamente imposible determinar conexactitud hk solo se requiere encontrar una buena aproximaci�on de hk� Paratal efecto� se supone que se ha efectuado k � iteraciones� teniendo�
-xk � ��f ��xk����f�xk��d-xk � ��f ��xk������f�xk��d-xk �-xk � �f ��xk�������f ��xk�� f ��xk����d-xk
�f ��xk������f ���xk��xk � xk��� d-xk��
Pasando a las normas se obtiene la siguiente relaci�on� d-xk �-xk
hkk-xkkk�� k-xk��k
d-xk �de donde
!k � min
�� k��k-xk��k k-xkk d-xk �-xk
d-xk A � �IV�����
Ejemplo
Consid�erese� la funci�on f de nida por
f�x� �
� ��x� � x����� x��� ����� � x� � x��� � x��x� � ��
�Tomando como valor inicial x� � �� � y x� � �� ��� se resolver�a elproblema f�x� � �� utilizando la �estrategia� el m�etodo de Newton ensu version original� A continuaci�on se presentan los resultados obtenidospara ambos�
IV�� M�etodo de Newton ��
Tabla IV����� Resultados con �estrategia�
Iteraci�on x� x� k-xk
���������� ���������� ����� ������ ��
� �������� �������� �������� ��
� ��������� ��������� ������� ��� ��
� ��������� �������� ������� ��� ��
� ��� ��� ��� ��
Tabla IV���� Resultados sin �estrategia�
Iteraci�on x� x� k-xk ������� ������� ���
� �������� ������ �������
� �������� ������ �������
� �������� �������� ������
� �������� �������� �������
� ������� ������ �������
� �������� ������ ������
� ������� ����� ������
� ����� ������ ������
� ������� ����� �������
������ ������ ��������
� ���� ���� �����
� ������ ������ �����
� ������ ������ �������
� ������ ������ ����� ��
� ������ ��� ������ ��
� ��� ��� ���
�� IV Ecuaciones No Lineales
Aproximaci�on de Broyden
Uno de los principales problemas en la implementaci�on del m�etodo deNewton� tanto en su versi�on con relajaci�on� como en su versi�on original� esel c�alculo de la matriz jacobiana f ��xk� en cada iteraci�on y por consiguientemediante el algoritmo de eliminaci�on de Gauss determinar la descomposici�onLR de esta matriz� Existen muchas alternativas para evitar el c�alculo de lamatriz jacobiana y su descomposici�on LR en cada iteraci�on� El siguientean�alisis permitir�a encontrar algunas de estas alternativas� Utilizando lasrelaciones dadas por �IV����� y �IV����� respecto a la determinaci�on de loscoe cientes de relajaci�on� la experiencia num�erica indica que� si khk � ���
se puede tomar en el lugar de f ��xk��� f ��xk�� En este caso se tienela versi�on simpli cada del m�etodo de Newton� Sin embargo� existe otraalternativa descubierta por Broyden en ���� Se supone� que se conoce unaaproximaci�on Jk de f ��xk�� es decir
Jk f ��xk� �IV�����
de donde el m�etodo de Newton est�a dado por
-xk � �Jk��f�xk��xk�� � xk �-xk
el objetivo es por consiguiente� encontrar Jk�� una aproximaci�on simple decalcular de f ��xk���� Para tal efecto� la matriz Jk debe permanecer igual enlas direcciones ortogonales a -xk� es decir�
Jk��p � Jkp �p�-xk�Jk��-xk � Jk-xk � q�
�IV������
por lo tanto
q � Jk��-xk � Jk-xk � f�xk� � Jk��-xk� �z � f ��xk���-xk� �z �
f�xk��� �Ok-xk�
�
de dondeJk��-xk � Jk-xk � f�xk���� �IV������
Proposici�on IV������ Si Jk es inversible y -xk��
� k-xkk� donde-xk � �J��k f�xk� -xk�� � �J��k f�xk����
IV�� M�etodo de Newton ��
entonces Jk�� es inversible�
Demostraci�on�� Sean� � � R y p�-xk� se va mostrar que kerJk�� � f�g�En efecto�
� � Jk����-x � p�
� ��Jk-xk � f�xk��� � Jkp
� Jk��-xk � p� � �f�xk���
� �-xk � p� � -xk���
introduciendo el producto escalar� multiplicando por -xk � se obtiene�
� k-xkk� � �� -xk���-xk
�� ��
por la desigualdad de Cauchy�Schwartz� se tiene��� -xk���-xk��� � -xk��
k-xkk � k-xkk� �de donde � � � y por consiguiente p � �� �
La determinaci�on de -xk�� y -xk se propone en los ejercicios�
Ejercicios
�� Utilizando el teorema de Newton�Kantorovich encontrar � � � tal quela iteraci�on
zk�� � zk � f�zk�
f ��zk�f�z� � z �
converge hacia � si z� � C satisface jz� � j � ��
��� Sea D � Rn y f � D Rn continuamente diferenciable� Para x� � Dsup�ongase que f�x�� �� � y que f ��x�� sea inversible� Mostrar que
p� � �f ��x����f�x��
es la �unica direcci�on que tiene la propiedad siguiente�para toda matriz inversible A existe � � � tal que para � � � �
kAf�x� � p��k� � kAf�x��k� �
��� En el art��culoR�S� Dembo� S�C� Eisenstat . T� Steighaug������ Inexact Newtonmethods� SIAM J� Numer� Anal�� vol� ����������
��� IV Ecuaciones No Lineales
los autores consideran la modi caci�on siguiente del m�etodo de Newton�
f ��xk�-xk � �f�xk� � �k
xk�� � x� l �-xk��IV������
Las perturbaciones �k pueden ser interpretadas como la in�uencia delos errores de redondeo� como el error debido a una aproximaci�on def ��xk����� Sup�ongase que �k � ��xk� y que
k��x�k � kf�x�k �IV������
con � �
a� Mostrar el resultado�Sea D � Rn abierto� f � D Rn y � � D Rn continuamentediferenciables en D� Si la condici�on �IV������ es satisfecha con � y si k-x�k es su cientemente peque�no� entonces la iteraci�on �IV�����converge hacia una soluci�on de f�x� � ��
b� El teorema precedente no es cierto� en general� si se remplaza � por � � Mostrarlo�Indicaci�on� Encontrar una matrizM�x� tal que la iteraci�on �IV����� sevuelva equivalente a
M�xk�-xk � �f�xk��
y aplicar el teorema de Newton�Kantorovich� Utilizar la norma
kukJ � kf ��x��uk �
��� �U� Ascher . Osborne ����� Considerar una funci�on f � R� R� quesatisfaga
f��� � �
�
��p�� �
��p�� �
��
f�u� �
�
����
��
f ���� �
� ��
�f ��u� �
��p� ��p�
�donde u � �f���� Aplicar el m�etodo de Newton con el valor inicialx� � �� Para la sucesi�on fxkg obtenida de esta manera mostrar�a� xk�� � xk para todo k � ��b� el test de monotonocidad �f ��xk����f�xk���
�� �f ��xk����f�xk�
�
IV�� M�etodo de Newton ��
es satisfecho en cada iteraci�on�
��� Sea f � Rn Rn dos veces diferenciable� Mostrar que
kf ���x��h� k�k� �M khk� kkk�
donde M � maxi
Xj
Xl
���� ��fi�xj�xl
�x�
�������� Sea f � D R� dada por D �
��x�x�
�j � � x�� x� � �
��
f�x� �
�x� � x�
�x� � ��x�
�� x� �
���������
��
Calcular los valores � y � del teorema de Newton�Misovski� Mostrarque el metodo de Newton converge hacia una soluci�on de f�x� � ��
��� Sean f � D Rn � veces continuamente diferenciable� Jk una aproxi�maci�on de la matriz f ��xk� y p � Rn � p �� �� Para la aproximacion deBroyden
Jk�� � Jk � ��f�xk � p�� f�xk�� Jkp��pt
ptp
se tiene�
a� �Jk�� � f ��x� � p��p � �� ���Jk � f ��xk��p
���
�� �f ���xk��p� p� �O�kpk��
b� para � � "�� �#
kJk�� � f ��x� � p�k� � kJk � f ��xk�k� � kf ���xk��p� ��k� �O�kpk���
��� Sup�ongase que se conoce una aproximaci�on J� de f ��x��� y su descom�posici�on LR� Consid�ere la iteraci�on
Jk-xk� � f�xk�
xk�� � xk �-xk
donde Jk�� �aproximaci�on de Broyden�� est�a de nido por
Jk��-xk � Jk-xk � f�xk����
Jk��p � Jkp� si pt-xk � ��
Sin calcular explicitamente J� y J�� encontrar f�ormulas para -x� y -x��
��� IV Ecuaciones No Lineales
��� Consid�erese una funci�on f � Rn Rm donde m � n� El conjunto
E � fxjg�x� � �g
representa una super cie en Rn �Dado !x � Rn � Proponer un algoritmo para calcular el punto de E el m�aspr�oximo de !x� Estudiar las hip�otesis para que el algoritmo converga�
��� Consid�erese la ecuaci�on integrale de Fredholm �cf� Ejercicio � secci�onIV���
y�x� ��
�
Z
�
�� sinx sin t� � sin��x� sin��t���y�t� � �y�t���dt
�IV������y�x� � � es soluci�on de �IV������ para todo � R� Con las ideas delejercicio � de la anterior secci�on se puede escribir �IV������ bajo la formaG�c�� c�� � � ��
Calcular los � donde det �G�C
�C� �� � ��Interpretar estos puntos con el teorema de las funciones implicitas��Soluciones� � � �� � � ��
�� Mostrar num�ericamente que para � � � � � �� � �� el problema�IV������ posee al menos � soluciones� para � � � al menos �soluciones�Calcular tambi�en todas las soluciones de �IV������ para � �� �hay���
IV�� M�etodo de Gauss Newton
El estudio de las ecuaciones realizados en las secciones precedentes� consist��anen problemas de la forma f�x� � � o su variante del punto jo x � f�x��donde f � D � Rn Rn � Sin embargo� existen muchos problemas dondeintervienen ecuaciones no lineales� que se encuentrar en una diversidad deproblemas� sobre todo en la determinaci�on de param�etros en el an�alisis dedatos� El problema puede formularse de la siguiente manera� Sea
f � D � Rn Rm con n � m�
el problema consiste en encontrar x � D� tal que
kf�x�k� � min � �IV����
En el cap��tulo II��� se abord�o el problema bajo su forma lineal� seformul�o el m�etodo QR para resolver este problema� y as�� mismo se introduj�ola noci�on de pseudo�inversa de una matriz� Para el problema no lineal� sesigue el mismo esquema� Pero antes de continuar en esa direcci�on� existeuna alternativa de soluci�on� Se de ne la funci�on g � D Rn de la manerasiguiente
g�x� � kf�x�k�� � �IV�����
de dondeg��x� � ��f ��x��
tf�x�� �IV�����
se busca� por consiguiente� los x � D tales que �f ��x��tf�x� � �� En principio
se podr��a utilizar el m�etodo de Newton para resolver este problema� pero laprincipal desventaja� consiste en calcular la segunda derivada de f � Estealgoritmo da los m��nimos locales�
La otra alternativa de soluci�on de este problema� se la di�o m�as arriba�es el m�etodo de Gauss�Newton� Al igual que en el m�etodo de Newton� laidea principal de este m�etodo consiste en linearizar el problema� Sea x� � Dun valor inicial� Utilizando un desarrollo de Taylor en x� se obtiene
kf�x�k�� � kf�x�� � f ��x���x � x�� � � � �k�� �
considerando los t�erminos lineales del segundo miembro de la ecuaci�on seobtiene� al igual que en el cap��tulo II���
x� x� � �f ��x���f�x��� �IV�����
donde f ��x���es la pseudo inversa de f ��x��
��� IV Ecuaciones No Lineales
Por lo tanto� se puede formular el m�etodo de Gauss�Newton� como�
-xk � �f ��xk��f�xk��xk�� � xk �-xk�
�IV�����
El c�alculo de -xk se lo realiza� utilizando la descomposici�on QR dada enel cap��tulo II��� Como se puede observar� la implementaci�on del m�etodo deGauss�Newton es muy simple� y al igual que el m�etodo de Newton existenmuchas variantes o modi caciones de �este�
Convergencia del M�etodo de Gauss�Newton
Sea� fxkg la sucesi�on de nida por el m�etodo de Gauss�Newton� si estasucesi�on es convergente cuando k �� se tiene
-xk � �� f ��x��f�xk� � ��
sup�ongase que limk��
xk � x�� que el rango de f ��x� es constante en un
vecindario de x�� por que si no f ��x��no ser��a continua� ver teorema II�����
entoncesf ��x��
�f�x�� � �� �IV�����
Por otro lado� si x � D es un m��nimo local de g�x� � kf�x�k��� se tiene
�
�xj
�mXi��
fi�x��
�� �
mXi��
�fi�xj
�x� � fi�x� � �� �j�
de dondef ��x�
tf�x� � �� �IV�����
Los resultados �IV����� y �IV����� est�an relacionados por el siguiente�
Proposici�on IV����� Se tiene
f ��x��f�x� � � �� f ��x�
tf�x�� �IV�����
Demostraci�on�� Por el teorema II���� existen dos matrices ortogonales Uy V � tales que
f ��x� � U
�BB��
� � �
�k
�
� �
CCAV t�
IV�� M�etodo de Gauss Newton ���
remplazando� se tiene
f ��x�t� V
�BB��
� � �
�k
�
� �
CCAU t � ��
si y solamente si las primeras k componentes de U tf son nulas� si y solamentesi
f ��x��V
�BB����
� � �
���k
�
� �
CCAU t � ��
�
A la diferencia del m�etodo de Newton� el m�etodo de Gauss�Newtonofrece solamente convergencia de tipo lineal� situaci�on que ser�a mostrada acontinuaci�on� Como antes� se de ne g�x� � �f ��x��tf�x�� si x� es soluci�ondel problema de minimizaci�on de la norma euclidiana� se tiene g�x�� � ��El desarrollo en serie de Taylor en punto x de la funci�on g� da el siguienteresultado
� � g�x� � g��x��x� � x� �O�kx� � xk����por otra lado� la funci�on g y sus derivadas parciales satisfacen�
gj�x� �
mXi��
�fi�x�
�xjfi�x��
�gj�xk
�x� �
mXi��
��fi�x�
�xj�xkfi�x� �
mXi��
�fi�xj
�x��fi�xk
�x��
de dondeg��x� � B�x��f�x�� � � f ��x�
tf ��x��
con B�x� una forma bilineal sim�etrica� Por consiguiente el desarrollo deTaylor de g en xk� el k�esimo valor obtenido en la iteraci�on del m�etodo deGauss�Newton� es igual a
� � f ��xk�tf�xk� � f ��xk�
tf ��xk��x
� � xk� �B�xk��f�xk�� x� � xk�
�O�kx� � xkk����
y por el m�etodo de Gauss Newton� se tiene
xk�� � xk � �f ��xk��f�xk��
��� IV Ecuaciones No Lineales
multiplicando esta �ultima expresi�on por f ��xk�tf ��xk� se obtiene
� � f ��xk�tf ��xk�f
��xk��f�xk� � f ��xk�
tf ��xk��xk�� � xk��
y utilizando el teorema II����� el inciso d�� se tiene nalmente
f ��xk�tf�xk� � f ��xk�
tf ��xk��xk�� � xk��
sustrayendo esta �ultima expresi�on con aqu�ella concerniente al desarrollo deTaylor� se obtiene
� � f ��xk�tf ��xk��xk�� � x�� �B�xk��f�xk�� x
� � xk� �O�kx� � xkk����
Ahora bien� sup�ongase adem�as que rang f ��xk� � n� es decir que el rangosea maximal� De donde se tiene
xk�� � x� � ��f ��xk�
tf ��xk�
���B�xk��f�xk�� x
� � xk� �O�kx� � xkk����
por consiguiente� el m�etodo de Gauss�Newton converge linealmente si
�
��f ��xk�
tf ��xk�
���B�xk��f�xk�� �
�� �
y diverge si
�
��f ��xk�
tf ��xk�
���B�xk��f�xk�� �
�� �
Debe observarse que si f�x����� el m�etodo de Gauss�Newton convergecuadr�aticamente� en este caso se tiene un problema compatible� Por otrolado� el problema inicial era buscar x tal que f�x� � �� motivo por el cual sedebe esperar que la soluci�on encontrada por el m�etodo de Gauss�Newton def�x�� bastante peque�no� de manera que el radio espectral sea m�as peque�noque �
Al igual que en el m�etodo de Newton� el c�alculo de f ��x� se lo real�iza en muchas ocaciones num�ericamente� o en los casos en que se puedaanal��ticamente� Es indudable que la matriz f ��x� en las iteraciones delm�etodo de Gauss�Newton tienen un componente de error� utilizando lasrelaciones �IV����� y �IV������ este error es del orden de
peps� donde eps
es la precisi�on del computador� Por consiguiente la k�esima iteraci�on delm�etodo de Gauss�Newton� considerando que el error cometido por redondeose encuentra solamente en el c�alculo de f ��x�� est�a dada por
-xk � ��f ��xk� �E��f�xk��
IV�� M�etodo de Gauss Newton ���
con kEk� �peps� Efectuando operaciones con la pseudo inversa� dadas en
el teorema II���� se obtiene�
-xk � ���f ��xk� �E�
t�f ��xk� �E�
����f ��xk� �E�
tf�xk���
�f ��xk� �E�t�f ��xk� �E�
�-xk � ��f ��xk� �E�
tf�xk���
�f ��xk� �E�t�f ��xk� �E�
�-xk � �f ��xk� �E�
tf�xk� � ��
despreciando E en el primer t�ermino de la �ultima ecuaci�on� se obtiene�f ��xk�
tf ��xk�
�-xk � f ��xk�
tf�xk� �Etf�xk� � ��
introduciendo en la serie de Taylor� como se hizo m�as arriba� se obtiene
�Etf�xk� � f ��xk�tf ��xk��xk�� � x�� �B�xk��f�xk�� x
� � xk�
�O�kx� � xkk����mostrando as�� que si f�x�� �� �� es inutil buscar una precisi�on superior apeps�
Modi�caciones del M�etodo de Gauss�Newton
Similarmente al m�etodo de Newton� existen varias modi caciones del m�etodooriginal de Gauss�Newton� Una de las mayores di cultades en la imple�mentaci�on de este m�etodo consiste en calcular f ��xk� en cada iteraci�on�Por consiguiente� una primera modi caci�on consiste en utilizar el m�etodode Gauss�Newton simpli cado� el cual est�a dado por��
x� bastante pr�oximo de la soluci�on�
-xk � �f ��x���f ��xk��La principal ventaja de utilizar el m�etodo de Gauss�Newton simpli cadoconsiste en calcular por una vez f ��x�� y luego efectuar la descomposici�onQR� Sin embargo existe una desventaja� que no se puede llegar a la soluci�onx�� si f�x�� �� �� esto se ha observado al nalizar la anterior subsecci�on�
Otra modi caci�on corrientemente utilizada en el m�etodo de Gauss�Newton consiste en utilizar coe cientes de relajaci�on o m�as conocido como la�estrategia� Sobre todo� se utiliza la relajaci�on cuando los valores inicialesutilizados para activar el m�etodo no est�an muy cerca de la soluci�on buscada�adem�as como un medio de aceleraci�on de convergencia� Por lo tanto elm�etodo de Gauss�Newton con �estrategia� est�a dado por�����
x� bastante pr�oximo de la soluci�on�
-xk � �f ��x���f ��xk��xk�� � xk � k-xk � � � k � �
��� IV Ecuaciones No Lineales
El valor k se determina de la mismamanera� que para el m�etodo de Newton�con la �unica variaci�on de utilizar la pseudo�inversa en el lugar de la inversa�
Ejemplos
�� Este ejemplo est�a relacionado con la subsecci�on concerniente a laconvergencia del m�etodo de Gauss�Newton� Se busca x � R tal queg�t� � ext ajuste lo mejor posible m puntos �ti� yi�� i � � � � � �m� conm � � Por consiguiente� el problema consiste en determinar x tal que
mXi��
�yi � exti� � min�
de donde� dentro las caracter��sticas de la aplicaci�on del m�etodo deGauss�Newton se tiene�
f�x� �
�B ext� � y����
extm � ym
CA � f ��x� �
� t�ext�
���tme
xtm
A �
continuando con los c�alculos se tiene�
f ��x�tf ��x� �
mXi��
�tiexti���
B�x��f�x�� � �
mXi��
t�i exti�exti � yi��
Sea por otro lado � tal que��exti � yi�� � �exti i � � � � � �m�
obteniendo� la mayoraci�on siguiente����������
mXi��
t�i exti�exti � yi�
mXi��
�tiexti��
����������� ��
se tiene convergencia si � � �
��� Este ejemplo es una ilustraci�on num�erica de la implementaci�on delm�etodo de Gauss�Newton con relajaci�on� El problema consiste endeterminar la circunferencia que pasa lo m�as cerca posible de los
IV�� M�etodo de Gauss Newton ���
siguientes puntos� ��� ��� ��� �� �� ��� ��� �� y ����� ����� Ahora bien laecuaci�on de una circunferencia de centro �h� k� y radio r est�a dada por
�x � h�� � �x� k�� � r� � ��
por consiguiente el problema consiste en determinar h� k y r de maneraque se obtenga la circunferencia m�as pr�oxima a estos puntos� Para laimplementaci�on del m�etodo de Gauss�Newton� se tiene que
f�h� k� r� �
�BBB�h� ��� � �k � ��� � r�
�h� ��� � �k � �� � r�
�h� �� � �k � ��� � r�
�h� ��� � �k � ��� � r�
�h� ����� � �k � ����� � r�
CCCADespu�es de un simple gr�a co� se puede tomar como valores inicialesh � �� k � � y r � � utilizando el m�etodo de Gauss�Newton conrelajaci�on despues de � iteraciones� se obtiene los siguientes valores�
h �����������������
k �����������������
r �����������������
En la gura IV���� se tiene la gr�a ca de la circunferencia resultantedel m�etodo de Gauss�Newton�
.0 .5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0.0
.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Figura IV���� Circunferencia del m�etodo de Gauss�Newton�
�� IV Ecuaciones No Lineales
El M�etodo de Levenberg�Marquandt
El problema abordado en esta secci�on� es resolver kf�x�k min� dondef � Rn Rm � con n � m� El m�etodo propuesto en el anterior paragrafofue el m�etodo de Gauss�Newton� Como se ha visto� uno de los mayoresincovenientes es que para iniciar las iteraciones se debe partir de un puntoinicial bastante pr�oximo de la soluci�on� por otro lado los an�alisis hechos sebasan en el supuesto que f ��x� es de rango igual a n� es decir de rango ma�ximal� adem�as si f�x� no es lo su cientemente peque�no el m�etodo de Gauss�Newton diverge� Por las razones expuestas es necesario formular un m�etodoalternativo que permita evitar las situaciones enumeradas anteriormente�
El m�etodo de Levenberg�Marquandt que constituye un m�etodo alterna�tivo para resolver el problema de encontrar x con kf�x�k m��nima� se basa enlas siguientes ideas� Al formular el m�etodo de Gauss�Newton� se consider�ola serie de Taylor de f�x� en el punto xk� resultado de la k � iteraci�on yse plante�o
kf�x�k � kf�xk� � f ��xk��x � xk� �O�kx� xkk�k � min�
suponiendo que x � xk es lo su cientemente peque�no� se obten��a comoformulaci�on del m�etodo de Gauss�Newton
kf�xk� � f ��xk��x � xk�k � min�
y como condici�on suplementaria deseable
kx� xkk � min�
La idea de Levenberg fue de considerar el problema siguiente para determinarel valor de xk��
kf�xk� � f ��xk��x � xk�k�� � p kx� xkk�� � min� �IV�����
donde p � � es un param�etro jo� Si se deriva una vez la expresi�on �IV������se obtiene�
�f ��xk�t�f�xk� � f ��xk��x � xk�� � �p�x� xk� � ���
f ��xk�tf ��xk� � pI
��xk�� � xk� � �f ��xk�tf�xk�� �IV�����
Dependiendo de la elecci�on del param�etro p� el m�etodo de Levenberg�Marquandt� tiene los siguientes comportamientos�
Si p � �� se tiene el m�etodo de Gauss�Newton� para ver realmente loque sucede ver el cap��tulo II� secci�on �� ejercicio ��
IV�� M�etodo de Gauss Newton �
Si p es muy grande� entonces
-xk � �
pf ��xk�
tf�xk��
de esta manera� se tiene la direcci�on de la pendiente m�as grande� ollamada tambi�en del gradiente� pero en este caso la convergencia podr��aser muy lenta�
La elecci�on de p puede ser variable� en el sentido siguiente� comenzar con pgrande hasta que -xk sea bastante peque�no y luego hacer decrecer p hastaobtener el m�etodo de Gauss�Newton�
Ejercicios
�� Encontrar una elipse� una hip�erbola� que pasa lo mejor posible por lospuntos �xi� yi�i�������m� Por ejemplo m � �� ����� �� ������������������ ���� ���� ���������� ��������� ��� ���� ��������� ����� ������� �����
Indicaciones�� Plantear
f�x� y� � ax� � �bxy � cy� � dx� ey � g
y encontrar a� b� c� d� e� g tales que
mXi��
�f�xi� yi�
�� � min
bajo la condici�on ac � b� � para la elipse� y ac � b� � � para lahip�erbola�
��� Consid�erese el problema de localizar un barco en el oceano� Paravolver el c�alculo m�as simple� se supondr�a que la curvatura terrestrees despreciable y que todos los puntos est�an situados en el sistemade coordenadas rectangulares �x� y�� Sobre el barco� se mide el �anguloentre el eje x y las varias estaciones emisoras� cuyas coordenadas sonconocidas�
i xi yi �i
� � ��
� �� � ��
� �� ���
�� IV Ecuaciones No Lineales
Te�oricamente� la posici�on �x� y� del barco satisface la relaci�on
arctan
�y � yix� xi
�� �i �i�
Encontrar la posici�on probable de �este� Las coordenadas aproximadasdel barco son x� � �� y� � ��
Atenci�on�� Hacer los c�alculos en radianes y utilizar siempre la mismarama de la funci�on arctan�
Cap��tulo V
C�alculo de Valores Propios
La determinaci�on de valores propios o autovalores de una matriz A esmuy corriente en la resoluci�on de m�ultiples problemas� Sus aplicaciones vandesde problemas de minimizaci�on y maximizaci�on� soluci�on de sistemas deecuaciones diferenciales� ecuaciones con derivadas parciales� etc� El c�alculode valores propios y la determinaci�on de vectores propios para matriz deun orden inferior o igual a � no presenta mayor problema� puesto que susoluci�on depende del polinomio caracter��stico cuyo grado en este caso esinferior o igual a �� Sin embargo� aqu�ellos problemas� donde se requiere saberlos valores y vectores propios� provienen de matrices cuyo orden es muchomas grande que � Es por eso� necesario e imprecindible formular m�etodos yalgoritmos� lo mas e cientes posibles� teniendo en cuenta las particularidadesde las matrices que son estudiadas� Ahora bien� la mayor parte de los m�etodosconsevidos sirven para matrices sim�etricas o matrices normales� pues son�estas� las que se encuentran en la mayor parte de los problemas�
En este cap��tulo� se estudiar�an y formular�an tales m�etodos� pero secomenzar�a haciendo una introducci�on te�orica del problema de la deter�minaci�on de autovalores y vectores propios� Como segunda parte de estecap��tulo� se tendr�a la formulaci�on de estos m�etodos�
V�� Teor�a Cl�asica y Condici�on del Problema
En esta secci�on� se tratar�a los aspectos te�oricos indispensables para lacomprensi�on del problema de la evaluaci�on de valores propios de una matrizA de orden n�
De�nici�on V������ Sea A una matriz de n � n a coe cientes complejos oreales� � C es un valor propio� si existe x � C n no nulo� tal que
Ax � x� �V���
Si este es el caso� x es un vector propio asociado al valor propio �
Proposici�on V������ Sea A � Mn�C �� � C es un valor propio� si ysolamente si
ker�A� I� �� f�g�
Demostraci�on�� Resultado inmediato de la de nici�on� �
Consecuencia de la anterior proposici�on� se tiene que es un valor propiosi y solamente si
det�A� I� � �� �IV����
de donde� se tiene la�
De�nici�on V������ El polinomio caracter��stico de la matriz A � Mn�C n �est�a dado por
�A�� � det�A� I�� �IV����
Por consiguiente� se deduce facilmente que es un valor propio de Asi y solamente si es una raiz de �A��� Por otro lado� este polinomio esa coe cientes complejos� de donde existen n valores propios� contando sumultiplicidad� de la matriz A �Mn�C ��
Proposici�on V����� Valor propio es una propiedad invariante por simila�ridad� es decir si B � T��AT � con T inversible� entonces A y B tienen losmismos valores propios�
Demostraci�on�� En efecto� sea valor propio de A� entonces existe unvector propio asociado a que se lo denota por v� se tiene
BT��v � T��ATT��v � T��Av � T��v�
de donde es un valor propio de B con T��v valor propio asociado� �
V�� Teor�a Cl�asica y Condici�on del Problema ��
De�nici�on V������ Sea A �Mn�C �� se de ne la adjunta de A por
A�ij � aji�
De�nici�on V������ Se dice que una matriz U es unitaria si
U�U � I�
Vale la pena recalcar� que una matriz ortogonal a coe cientes realeses unitaria� y rec��procamente una matriz unitaria a coe cientes reales esortogonal� en el caso en que existieran coe cientes complejos no reales lasituaci�on cambia� Por otro lado� es facil ver que el conjunto de las matricesunitarias forman un grupo para la multiplicaci�on de matrices�
Teorema V������ Schur� Para cada matriz A � Mn�C �� existe una matrizQ unitaria� tal que
Q�AQ �
�BB� � � � � �� � �
� � �
� n
CCA �
Demostraci�on�� Sea A una matriz cualquiera� entonces existe � que esraiz de det�A�I�� de donde existe v� vector propio asociado a �� se puedesuponer� sin perder generalidad� que kv�k� � � Se plantea
Q� � �v�� v�� � � � � vn��
con v�� � � � � vn elegidos de manera que Q� sea unitaria� Esta elecci�on esposible con el procedimiento de Gramm�Schmidt en el caso complejo� Seobserva inmediatamente� que
AQ� � Q�
�BB� � � � � ������
A���
CCA �
De la misma manera se encuentra una matriz Q� de orden n� � tal que
A��� Q� � Q�
�BB� � � � � ������
A���
CCA �
�� V C�alculo de Valores Propios
y planteando
Q� �
� �� Q�
��
se tiene
AQ�Q� � Q�Q�
�BBBB� �� �
� � � � ������
A���
CCCCA �
repetiendo el procedimiento las veces que sea necesario� se tiene el resul�tado deseado� Cabe recalcar que este procedimiento da la descomposicionrequerida en a lo m�as n pasos� �
Teorema V������ Si A es normal� es decir A�A � AA�� entonces existe unamatriz unitaria Q tal que
Q�AQ �
�� �� � �
� n
A
Demostraci�on�� Si la matriz A es normal y Q es unitaria� entonces Q�AQes normal� En efecto
�Q�AQ���Q�AQ� � Q�A�QQ�AQ
� Q�AA�Q
� �Q�AQ� �Q�AQ���
queda por demostrar� que si
B �
�BB� � � � � �� � �
� � �
� n
CCAes triangular y normal� entonces
B �
�� ����
� n
A �
Puesto que BB� � B�B� se tiene
V�� Teor�a Cl�asica y Condici�on del Problema ��
�BB � � � � �� � �
� � �
� n
CCA�BB� � � � � �� � �
� � �
� n
CCA
�
�BB� � � � � �� � �
� � �
� n
CCA�BB
� � � � �� � �
� � �
� n
CCA �
de dondej�j� � j�j� � j�j� � � � �� j�j� �
dando como resultado que la primera la fuera del coe ciente de la diagonales nulo� Se continua con el mismo procedimiento hasta mostrar que B esdiagonal� �
La condici�on del Problema a Valores Propios
Sea�A una matriz cualquiera a coe cientes complejos de orden n� Al igual queen cap��tulo II� es importante conocer la condici�on del problema planteado�es decir la determinaci�on de valores propios� Para tal efecto sea A la matrizcon errores de redondeo de A� repasando la secci�on II�� se tiene que loscoe cientes de A satisfacen
aij � aij� � �ij� j�ij j � eps�
donde aij son los coe cientes de A� aij los coe cientes de A y eps la precisi�onde la computadora� Por consiguiente� el estudio de los valores propios de A
pueden estudiarse de manera� m�as general� para A � �C� con cij ��ijeps
de
donde jcij j � jaij j� De niendo
f��� � � det�A� �C � I��
se tiene inmediatamente que
f��� � � �A���
Sup�ongase que � es una raiz simple de �A��� entonces se tiene
f��� �� � ��
�f
���� �� �� ��
�� V C�alculo de Valores Propios
Por el teorema de las funciones impl��citas� se deduce que existe un vecindariode ��� �� en el cual existe una funci�on ���� tal que
f��� ���� � ��
con��� � � � ��� �O�����
Por consiguiente� se tiene el siguiente�
Teorema V������ Sea � una raiz simple de �A��� entonces para � ��existe un valor propio ��� de A� �C� tal que
��� � � � �u��Cv�u��v�
�O���� �V����
donde Av� � �v� y u��A � �u��� u y v no nulos�
Demostraci�on�� Por el teorema� de las funciones impl��citas se tiene
�A� �C�v��� � ���v����
mas precisamente
�A� �C��v� � �v�� �O����� � �� � ��� �O�����v��
comparando los t�erminos de igual grado en cada miembro de la ecuaci�onanterior� se tiene�
�� � Av� � �v��
�� � Av�� � Cv� � �v�� � ��v��
de donde�A� �I� v
�� � �Cv� � ��v��
multiplicando �esta �ultima por u��� se obtiene
� � �u��Cv� � ��u��v��
�
Corolario V���� �� Si A es normal con valores propios diferentes� entonces����u��Cv�u��v�
���� � kCk �es decir� el problema est�a bien condicionado�
V�� Teor�a Cl�asica y Condici�on del Problema ��
Demostraci�on�� A es normal� por consiguiente existe una matrizQ unitariatal que
Q�AQ �
�� �� � �
� n
A �
una veri caci�on inmediata muestra que v� es la primera columna de Q� as��mismo u�� es la primera la de Q�� de donde v� � v�� por lo tanto� se obtiene����u��Cv�u��v�
���� �ju��Cv�jkv�k�
�kv�k kCv�kkv�k��kCk �
�
Ejemplos
�� Se considera la matriz A de nida por
A �
� �� �
��
Es muy simple darse cuenta� que � es un valor propio de A� porconsiguiente por simple inspecci�on� se obtiene�
v� �
��
��
u� �p
� ��
���
��
de donde
u��v� �p
� ���
La matriz A es mal condicionada para el c�alculo de los valores propioscuando ��� ya que u��v� ��
��� El teorema de descomposici�on de Jordan indica que toda matriz Aes similar a una matriz de tipo Jordan� es decir existe una matriz Tinversible tal que
T��AT � J�
��� V C�alculo de Valores Propios
donde J es una matriz diagonal por bloques�
J �
�B J�n�� ��� � �
J�nk� k�
CA �
y
J�ni� i� �
�i � � �
� � �
i
A �
Ahora bien� sup�ongase que A es similar a la matriz de tipo Jordan� dadapor �B
� �� �� � � � �
CA �
entonces se tiene que
det�A� �C � I� � �� �� � ��O�����
donde C es una perturbaci�on de A�Calculando los valores propios de A � �C� ver gura V��� es facil verque el problema de determinar valores propios de A es un problema malcondicionado
1
Figura IV����� Determinaci�on de los valores propios de A� �C
V�� Teor�a Cl�asica y Condici�on del Problema ��
Ejercicios
�� Una matriz A es de tipo Frobenius� si es de la forma
A �
�BB� � � � � ���� �
� � ����
� � � � � �a� �a� � � � �an�� �an��
CCA �
a� Veri car que
det�A� I� � ���n�n � an��n�� � � � �� a�� a�
��
b� Calcular los vectores propios de A�
��� Calcular los valores propios de la matriz tridiagonal
A �
�BBBBa cb a c �
b a c� b � � �
� � �
CCCCA�����������n�
Las componentes del vector propio �v�� v�� � � � � vn�t satisfacen una ecua�ci�on de diferencias nitas con v� � vn�� � ��
Veri car que vj � Const��j� � �j�� donde
�� � �� �a�
c� ���� �
b
c�
�����
�n��
� �
��� Mostrar que los valores propios de una matriz A satisfacen
nXi��
jij� �nX
i�j��
jaij j� �
Se tiene igualdad� si y solamente si� A es diagonalizable con una matrizunitaria�
Indicaci�on��
nXi�j��
jaij j� es la traza de A�A que es invariante respecto a
la transformaci�on A Q�AQ�
��� V C�alculo de Valores Propios
��� Sup�ongase que los valores propios de A con aij � R son� �� i�� �� i��� � � � � n con � �� �� � � � � � n diferentes� Mostrar que existe unamatriz T inversible con coe cientes reales tal que
T��AT �
�BBBB� ��� �
�
�
� � �
n
CCCCA �
Dar una relaci�on entre las columnas de T y los vectores propios de A�
��� Sea A una matriz sim�etrica y B una matriz cualquiera� Para cada valorpropio B de B existe un valor propio de A de A tal que
jA � B j � kA�Bk� �
Indicaci�on�� Mostrar primero para un cierto v
v � �A� BI����A�B�v�
deducir que
� �A� BI����A�B�
� kA�Bk �A� BI���
���� Sea A una matriz sim�etrica� Para cada ��ndice i existe un valor propio
de A tal que
j� aiij �sX
j ��i
jaij j��
Indicaci�on�� Utilizar el ejercicio � con una matriz B conveniente�
V�� Determinaci�on de Valores Propios
En la actualidad� existen muchos m�etodos num�ericos para el c�alculo de valo�res propios de una matriz� Sin embargo� la mayor parte de las aplicaciones enf��sica y otras disciplinas requieren en la mayor��a de los casos� la utilizaci�onde matrices normales� Motivo por el cual� existen m�etodos espec�� cos a estetipo de matrices� Se comenzar�a� esta secci�on formulando el m�etodo de laPotencia�
El M�etodo de la PotenciaSea� A una matriz de n�n con coe cientes reales o complejos� el objetivo esdeterminar el valor propio m�as grande en valor absoluto� Sea y� � Rn �C n �arbitrario� se de ne la sucesi�on fyng � Rn de manera recursiva� como
yn�� � Ayn� �V����
es evidente que yn � Any�� Esta sucesi�on tiene propiedades interesantes parala determinaci�on del valor propio m�as grande� que est�an dadas en el�
Teorema V������ Sea A diagonalizable� es decir que existe una matriz Tinversible tal que
T��AT �
�� �� � �
� n
A �
sup�ongase que los valores propios satisfacen
j�j � j�j � jj � � � � � jnjy e��T
��y� �� �� Entonces la sucesi�on fykg de nida por yk�� � Ayk satisface
a� yk � k�
$a�v� �O
�����������k�%
�
donde Av� � �v�� Avj � jvj �y� � a�v� � a�v� � � � �� anvn� yT � �v�� � � � � vn��
b� Se tiene el cociente de Rayleigh� dado por
y�kAyky�kyk
� � �O�������
����k�� �V�����
si adem�as� la matriz A es normal� entonces
y�kAyky�kyk
� � �O�������
�����k�� �V�����
��� V C�alculo de Valores Propios
Demostraci�on�� Los vectores v�� � � � � vn forman una base del espacio C n �de donde
y� � a�v� � a�v� � � � �� anvn�
deduciendoseyk � a�
k�v� � a�
k�v� � � � �� an
knvn�
por consiguiente
yk
k�� a�v� � a�
���
�k
v� � � � �� an
�n�
�k
vn�
con lo queda demostrado el punto a�� Para la demostraci�on del punto b�� setiene�
yk � k�a�v� � k�a�v� � � � �� knvn�
Ayk � k��� a�v� � k��
� a�v� � � � �� k��n vn�
y�kyk �Xi�j
ki kj v�i vj ai aj �
y�kAyk �Xi�j
ki k��j v�i vj ai aj �
obteniendo el cociente de Rayleigh� dado por
y�kAyky�kyk
� � �O�������
�������
ahora bien si A es normal� se tiene que v�i vj � �� si i �� j� obteniendo para
y�kAyk �Xi
i jij�k v�i vi�
y�kyk �Xi
jij�k v�i vi�
�
Ejemplo
Consid�erese� la matriz A de nida por
A �
�BBB� � � � � � �� � �� � � � � � �
CCCA �
V�� Determinaci�on de Valores Propios ���
utilizando el ejercicio � de la secci�on V�� se obtiene que el valor propiomas grande est�a dado por
� � �� �
p�
�� �� ������
Tomando y� � �� � � � �t� se obtiene los valores de � dadas en latabla V����
Tabla V����� Valores de ��
Iter� � Iter� �
��� � ��������
� ������� � ������
� ������� � �������
� ������ � �������
� �������� � ��������
�������� � �������
� ������� � �������
Las componentes del valor propio respecto a � est�an dados por
v �
�BBB������������������������������������������
CCCA �
Uno de los inconvenientes de utilizar el m�etodo de la potencia es quela convergencia puede ser muy lenta si j���j � Sin embargo� existe unamodi caci�on del m�etodo de la potencia para acelerar la convergencia� Estem�etodo es m�as conocido como el�
M�etodo de la Potencia Inversa
La modi caci�on consiste en aplicar el m�etodo de la potencia a
��I �A���
�
donde � es una aproximaci�on del valor propio buscado de la matriz A� Lajusti caci�on te�orica est�a dada por la siguiente proposici�on�
Proposici�on V������ es valor propio de A� si y solamente si�
�� �V�����
��� V C�alculo de Valores Propios
es valor propio de ��I �A����
Demostraci�on�� es valor propio de A� si y solamente si existe v �� � talque
Av � v�
si y solamente si
��I �A�v � ��� �v�
��I �A���v �
�� v�
�
Por otro lado aplicando� el teorema V��� se tiene que la convergenciaes del orden
O������� �
�� �
����k��
Sea el valor propio m�as grande de ��I �A���� entonces se tiene que
� � �� � �V�����
El m�etodo de la potencia da una relaci�on recursiva para los yk� que est�a dadapor
yk�� � ��I �A���yk�
pero en lugar de calcular la inversa de la matriz� se puede resolver la ecuaci�on
��I �A�yk�� � yk� �V�����
utilizando para tal efecto el algoritmo de eliminaci�on de Gauss�En el anterior ejemplo se tenia como valor de � � ����� despu�es de
� iteraciones del m�etodo de la potencia inversa� Aplicando el m�etodo de lapotencia inversa con � � ������ se obtiene despues de dos iteraciones�
� ��������� � ����������
Puede suceder que la matriz A sea a coe cientes reales� sin embargo� elvalor propio buscado no sea real si no que contenga una parte imaginaria�Sup�ongase que � � � � �i sea una aproximaci�on del valor propio buscado�Entonces aplicando el m�etodo de la potencia inversa� se tiene�
��� �i�I �A�yk�� � yk� �V�����
V�� Determinaci�on de Valores Propios ���
por otro lado los vectores yk pueden ser descompuestos en un vector real yotro imaginario� de la manera siguiente
yk � uk � ivk� uk� vk � Rn �de donde� se obtiene una nueva formulaci�on para el m�etodo de la potenciainversa� dada por�
�I �A ��I�I �I �A
��uk��
vk��
��
�ukvk
��
y el cociente de Rayleigh est�a dado por
y�kyk��
y�kyk�
�utk � ivtk��uk�� � ivk���
utkuk � vtkvk
��utkuk�� � vtkvk�� � i�utkvk�� � vtkuk���
utkuk � vtkvk� �V�����
Formas Tridiagonales y Matrices de Hessenberg
El m�etodo de la potencia y su version de la potencia inversa son m�etodosaplicables a matrices� donde el valor propio m�as grande en valor absolutolo es estrictamente� Por otro lado es necesario darse un vector inicial cuyaproyecci�on sobre el espacio propio� respecto a este valor propio sea no nula�es decir se debe tener una idea clara de la posible ubicaci�on de los vectorespropios� Ahora bien� en muchos casos es necesario conocer los diferentesvalores propios� situaci�on que no es posible con las dos versiones del m�etodode la potencia estudiados m�as arriba�
Una gran clase de m�etodos de c�alculo de valores propios est�an dise�nadospara operar con matrices tridiagonales� sobre todo si �estas son sim�etricas�El objetivo de este paragrafo es construir algoritmos que permitan tridiago�nalizar una matriz arbitraria� conservando las propiedades originales en loscasos en que sea posible�
Sea� A una matriz arbitraria de orden n � n� se busca una transfor�maci�on� T tal que
T��AT � H �
�BBBBB� � � � �� ���
� � ����
� � ����
� �
CCCCCA �
H es conocida bajo el nombre de matriz de Hessenberg� A continuaci�on� sepropone como algoritmo de reducci�on a la forma de Hessenberg� utilizandomatrices de tipo L� del algoritmo de eliminaci�on de Gauss�
��� V C�alculo de Valores Propios
Algoritmo ��
�� Sea A una matriz arbitraria�se busca jak�j � max
j�������njaj�j�
se intercambia las las k y � y tambi�en las columnas k y ��se de ne la matriz L� por
L� �
�BBBB �� � �l�
���� � �
� �ln�
CCCCA � li� �ai�a��
� i � �� � � � � n�
se obtiene
L�AL��� �
�BBBB� � � � � �������
A���
CCCCA �
��� Se aplica el paso a la matriz A���� y se continua hasta obtener unamatriz de Hessenberg�
La principal desventaja de utilizar este primer algoritmo propuesto esque� si A es una matriz sim�etrica� H no lo es en general� Recordando elcap��tulo II��� existe el algoritmo QR para reducir una matriz A a la formatriangular� Es facil veri car que H � QtAQ es sim�etrica� si Q es ortogonaly A es sim�etrica� Por consiguiente� el segundo algoritmo propuesto utilizamatrices de Householder para convertir una matriz A en una matriz deHessenberg�
Algoritmo ��
�� Sea A una matriz arbitraria� que puede escribirse� como
A �
�a�� � � � a�nA�� � � � A�n
��
por consiguiente A�k � Rn�� �Se de ne Q� por
Q� �
� �� Q��
��
donde Q�� � I � �u�ut�� u� est�a determinado por la condici�on� ver
Cap��tulo V���
Q��A�� �
�BB�������
CCA � �� � signoa�� kA��k� �
V�� Determinaci�on de Valores Propios ���
obteniendo
Q�AQ��� �
�BBBB� � � � � �������
A���
CCCCA �
��� Se procede como en � hasta obtener la forma de Hessenberg�
Teorema de Sturm y M�etodo de la Bisecci�on
Al utilizar el algoritmo �� de la anterior subsecci�on� a una matriz A sim�etricase obtiene una matriz tridiagonal sim�etrica� que se la denota nuevamente porA� para no cargar la notaci�on� Por consiguiente� A es de la forma
A �
�BBBBBd� e�e� d� e
e� � �
� � �� � �
� � � enen dn
CCCCCA � �V�����
Se de ne� el polinomio p��x� por
p��x� � � �V�����
y los polinomios pi�x� i � � � � � � n� como
pi�x� � det�Ai � xI�� �V����
donde
A �
�Ai �� �
��
Ai es la matriz formada por las primeras i las y columnas de A� Por lotanto� se tiene
Pn�x� � det�A� xI�� �V�����
Por otro lado� los determinantes que de nen estos polinomios cumplen lasiguiente relaci�on recursiva
det�Ai�xI� � �di�x� det�Ai���xI�� e�i det�Ai���xI�� i � �� �� � � � � n�
de donde
pi�x� � �di � x�pi���x�� e�i pi���x�� i � �� �� � � � � n� �V�����
��� V C�alculo de Valores Propios
Teorema V������ Sea A una matriz tridiagonal y sim�etrica con los coe �cientes ei �� � para i � �� � � � � n� Entoncesa� Las raices de pn�x� � �A�x� son simples�b� p�n�i� � pn���i� � � si i es una raiz de pn�x��c� pj�x
�� � � � � j � n� � x� � R� � pj���x��pj���x
�� � ��d� p��x� � � para todo x � R�
Demostraci�on�� El punto d� se veri ca inmediatamente puesto que p��x� � por de nici�on�
La demostraci�on del punto c� se la realiza por el absurdo� en efecto�si se tuviera pj�x
�� � � y pj���x�� � �� utilizando �V������ se tendr��a
p��x�� � � lo cual contradice el hecho que p��x
�� � � Ahora bien� utilizandonuevamente �V����� se tiene en el caso en que pj�x
�� � �
pj���x�� � �e�n�j��pj���x
���
El punto b� implica el punto a�� ya que p�n�i� �� � conduce a que i searaiz simple� S�olo queda el punto b� por demostrar�
Se de ne� los polinomios�
qi�x� � ���ipi�x�
e�e � � � ei��� i � � � � � � n�
q��x� � p��x��
donde en�� � � Efectuando c�alculos sobre los polinomios qj�x�� se tiene
���iqi�x�e� � � � ei�� ��di � x����i��qi���x�e� � � � ei� e�i ���i��qi���x�e� � � � ei���
de donde
ei��qi�x� � �di � x�qi���x� � eiqi���x� � �� i � �� � � � � n�
Esta �ultima relaci�on puede escribirse de manera matricial� como
�BBBBBd� � x e�e� d� � x e
e� � �
� � �
� � �� � � enen dn � x
CCCCCA� �z �
A� xI
�BBq��x�q��x����
qn���x�
CCA� �z �q�x� �� �
�
�BB�����
�qn�x�
CCA �
Si i es valor propio de A� entonces q�i� es un vector propio� derivandola relaci�on matricial� se obtiene
V�� Determinaci�on de Valores Propios ��
�q�x� � �A� xI�q��x� �
�BB�����
�q�n�x�
CCA �
multiplicando por la traspuesta de q�x�� se tiene
�qt�x�q�x� � qt�x��A � xI�q��x�� �z �� � si x � i
� qt�x�
�BB�����
�q�n�x�
CCA �
de donde
�q�n�i�qn���i� � �kq�i�k� � ��
dando por consiguiente
p�n�i�pn���i� � ��
�
Cabe remarcar que los polinomios pi�x� i � �� � � � � n� forman unasucesi�on de Sturm� cuyo estudio y c�alculo de raices est�an dados en laprimera secci�on del cap��tulo IV concerniente a la resoluci�on de ecuacionespolinomiales� Por consiguiente el n�umero de valores propios de la matriz Aen el intervalo "a� b#� est�a dado por
w�b�� w�a��
donde w�x� indica los cambios de signo de los polinomios pi�x�� Ladeterminaci�on exacta de los valores propios se efectua mediante el algoritmode la bisecci�on� ya estudiado en la secci�on IV�� Ahora bien� el problemaconsiste en encontrar un algoritmo simple que permita evaluar w�x��
Algoritmo para calcular w�x�
Se de ne la sucesi�on fi�x�� i � � � � � � n� por
fi�x� �pi�x�
pi���x�� �V�����
obteniendo de inmediato� la siguiente relaci�on recursiva para fi�x��
f��x� � �d� � x��
fi�x� � �di � x�� e�i
fi���x�� i � �� � � � � n�
�V�����
��� V C�alculo de Valores Propios
Ahora bien� si por azar� existe x � R� i � �� � � � � n con fi�x� � �� �V�����puede ser modi cado para evitar la divisi�on por �� de la manera siguiente�
fi�x� �
��������di � x�� e�i
fi���x�� si fi���x� �� ��
�di � x�� jeijeps
� si fi�� � ��
�V�����
La justi caci�on de utilizar la sucesi�on fi�x� est�a en la siguiente proposici�on�
Proposici�on V����� w�x� es igual al n�umero de elementos negativos de�f��x�� f��x�� � � � � fn�x�
�Demostraci�on�� La demostraci�on tiene sus bases te�oricas en el Teoremade Sylvester� que indica que si A es una matriz� T una matriz no singular�entonces la matriz B � T tAT tiene el mismo n�umero de valores propiosnegativos que la matriz A� Aplicando este teorema a la proposici�on ademostrar� se tiene
A� xI �
�BB
e��f��x� � � �
en�fn��
CCA�BBf��x�
f��x�� � �
fn�x�
CCA�BB
e��f��x�� � �
en�fn���x�
CCA �
de donde A� xI tiene el mismo n�umero de valores propios negativos que elconjunto ff��x�� f��x�� � � � � fn�x�g� Por otro lado este n�umero est�a dado porw�x�� quedando demostrada la proposici�on� �
Para poder aplicar el algoritmo de la bisecci�on es necesario conocer losintervalos� donde pueden estar localizados los valores propios� para evitarbusquedas inutiles� El siguiente teorema es muy util para determinar lasregiones donde se encuentran estos�
Teorema V������ Gerschgorin� Sea un valor propio de Amatriz� Entoncesexiste i tal que
j� aiij �Xj ��i
jaij j � �V�����
Demostraci�on�� Sea x �� �� el vector propio asociado a � por consiguientex � �x�� x�� � � � � xn�
t� Sea i� tal que
jxij � jxj j �j�
V�� Determinaci�on de Valores Propios ���
puesto que x �� �� se tiene necesariamente que xi �� �� Efectuando c�alculosse obtiene�
nXj��
aijxj � xi�Xj ��i
aijxj � �� aii�xi�
pasando a valores absolutos se tiene�
j� aiij jxij �Xj ��i
jaij j jxj j �
j� aiij �Xj ��i
jaij j �
�
Generalizaci�on del M�etodo de la Potencia
Al formular el m�etodo de la potencia� se buscaba el valor propio� cuyovalor absoluto era m�aximo� de una matriz A� Ahora bien� existen muchosproblemas en los cuales se requiere conocer no solamente el valor propio m�asgrande en valor absoluto� sino tambi�en los otros valores propios� El prop�ositode esta subsecci�on es formular un m�etodo que permita calcular los dos valorespropios m�as grandes en m�odulo� Para tal efecto� es necesario suponer que���� � � � � n valores propios de A satisfacen
j�j � j�j � jj � � � � jnj �Recordando el m�etodo de la potencia� se tiene la sucesi�on de los fykg
de nida poryj�� � Ayj �
si y� cumple ciertas condiciones� se tiene
yj � j�"a�v� �O�������
����j��
donde v� es el vector propio asociado a � y a� la componente de y�respecto a v�� Para evitar explosiones en los c�alculos de los yj se puedemejorar el algoritmo de la potencia exigiendo que kyjk� � � y adem�as paraevitar oscilaciones en los yj � se plantea por consiguiente
yj�� �AyjkAyjk�
signo
��Ayj���yj��
�� �V�����
donde �yj�� es la primera componente de yj � Puesto que los yj son denorma igual a � haciendo referencia a vectores ortonormales� se cambia lanotaci�on de yj por qj � dando por consiguiente la siguiente de nici�on recursivapara los qj �
��� V C�alculo de Valores Propios
q� arbitrario� tal que kq�k� � �
kqjk� � �
�j���� qj�� � Aqj �
�V�����
Por el teorema V���� se tiene que�
limj��
qj � v��
limj��
�j�� � ��
con v� valor propio de norma unitaria respecto a �� Por otro lado lavelocidad de convergencia de �V������ est�a dada por O �
�����j��
Por consiguiente� el problema consiste en calcular � y �� si es posibleal mismo tiempo� Sup�ongase que conoce de antemano � y v�� Considerandoel subespacio vectorial V de C n de nido por
V ��u � C n ju�v� � �
��
espacio de dimensi�on n� � La matriz A induce una aplicaci�on lineal que sela denota por la letra A tambien� la cual est�a de nida por
A � C n � C ny � Ay
�
de niendo la aplicaci�on lineal f � V � V como f � p � AjV donde p esla proyecci�on ortogonal de C n en V � y AjV es la restricci�on de A sobre elespacio V se tiene el�
Teorema V������ Los valores propios de f son �� � � � � n� m�as precisa�mente se tiene
f�v� � U
�BB� � �
� r�� � � � r�n� � �
n
CCAU�v�
donde v � V y
U�AU �
�BBB� r�� � � � r�n
� � �� � �
n
CCCAes la descomposici�on de Schur dada en teorema V�����
V�� Determinaci�on de Valores Propios ���
Demostraci�on�� Sea U � �u�� u�� � � � � un� matriz unitaria con u� � v��entonces cualquier elemento v � V se escribe� como
v �
nXi��
�iui�
por consiguiente
v � U�� con � �
�BB�������n
CCA �
de donde f�v� � AU��Ahora bien� si U es la matriz unitaria de la descomposici�on de Schur de
A� se tiene
f�v� � U
�BBB� r�� � � � r�n
� � �� � �
n
CCCAU�U��
como U� � v� se tiene despu�es de una simple veri caci�on que
f�v� � U
�BB� � �
� r�� � � � r�n� � �
n
CCAU�v�
�
El teorema precedente proporciona un medio te�orico para calcular ��el cual es el m�etodo de la potencia a f � Por lo tanto� si se tiene determinado� y v� el algoritmo de la potencia� se lo formula de la siguiente manera�
r�� tal que v��r� � � y kr�k� � �
�j � v��Arj �
krjk� � �
Arj � �jv� � �j���� rj���
�V������
Es facil veri car que
limj��
�j�� � ��
limj��
rj � u��
��� V C�alculo de Valores Propios
donde v� es el vector propio de norma unitaria respecto a ��Ser��a interesante poder calcular � y � al mismo tiempo� sin necesidad
de determinar primero � y luego �� esto es posible mediante el siguientealgoritmo�
Se da� como vectores iniciales� q� y r�� tales que�
kq�k � � kr�k � � y r��q� � �� �V�����
Se supone� que se ha calculado
qj � con kqjk � � rj � con krjk � y r�j qj � ��
entonces se aplica el algoritmo de la potencia de la siguiente manera
Aqj � �j���� qj���
kqj��k � �
��������j�� � q�j��Arj �
Arj � �j��qj�� � j��� rj���
krj��k � �
�V������
Se puede demostrar que tambi�en
limj��
�j�� � ��
limj��
rj � u��
donde u� es la segunda columna de la matriz U de la descomposici�on deSchur de A� Vale la pena recalcar� el siguiente hecho
A �qj � rj�� �z �Uj
� �qj��� rj���� �z �Uj��
��j���� ��j���
� �j����
�� �z �
Rj��
�
de donde planteando U� � �q�� r�� con U��U� �
� ��
�� el algoritmo de la
potencia generalizada� se expresa de manera matricial como
AUj � Uj��Rj���
donde el segundo miembro no es nada m�as que la descomposici�on QR� peroesta vez utilizando matrices unitarias�
Si la matriz A tiene sus n valores propios diferentes� y adem�as queveri can
jij � j�j � � � � � jnj �
V�� Determinaci�on de Valores Propios ���
el m�etodo de la potencia puede ser aplicado para calcular de manerasimult�anea los n autovalores� Se toma U� una matriz unitaria arbitrariaque puede ser por ejemplo U� � I � Sup�ongase que se ha calculado Rj y Uj �entonces se tiene
AUj � Uj��Rj��� �V������
Se puede demostrar que�
Rj � R �
�� � � � �� � �
n
A �
Uj � U�
cuando j �� donde AU � UR es la descomposici�on de Schur�
El M�etodo QR
Al nalizar la �ultima subsecci�on� se dio una generalizaci�on del m�etodo de lapotencia� Por razones de presentaci�on� se ver�a en esta secci�on un algoritmoequivalente a este �ultimo� conocido como el m�etodo QR�
La versi�on simple del algoritmoQR es aplicable a matrices� cuyos valorespropios son reales y diferentes en valor absoluto� se lo de ne recursivamentede la siguiente manera�
A� � A � Q�R��
Aj�� � RjQj � Qj��Rj����V������
donde Qj es una matriz ortogonal� y R es una matriz triangular superior� Dedonde� este algoritmo es equivalente al m�etodo de la potencia generalizada�En efecto� planteando
Uj � Q� � � �Qj �
se tieneUj��Rj�� � Q�Q� � � �Qj Qj��Rj��� �z �
RjQj
�
llegando nalmente a
Uj��Rj�� � Q�R�� �z �A
Q�Q� � � �Qj� �z �Uj
�
Puesto que el m�etodo QR y el algoritmo de la potencia son equivalentes� esfacil ver que
Rj � R �
�� � � � �� � �
n
A �
Qj � I�
��� V C�alculo de Valores Propios
Por otro lado� las matrices Aj�� y Aj tienen los mismos valores propios� pues
Aj�� � Q�jAjQj
Indudablemente� el m�etodo QR es aplicable a toda matriz cuyos valorespropios son diferentes en m�odulo� sin embargo es conveniente reducir lamatriz A a una de tipo Hessenberg� ya que si A es una matriz de Hessenberg�las matrices Ak construidas a partir del algoritmo QR lo son tambi�en� verejercicio �� adem�as el costo de operaciones es menor�
El siguiente resultado� enunciado sin demostraci�on� indica la velocidadde convergencia del m�etodo QR donde A es una matriz de tipo Hessenberg�Esta relaci�on esta dada por
a�j���n�n��
a�j�n�n��
��
nn��
�� �V������
es decir
a�j�n�n�� � O
��nn��
�j�� �V������
Uno de los problemas con que se confronta es que la convergencia puedeser demasiado lenta� sobre todo si jnj jn��j� pero este inconvenientepuede superarse aplicando el algoritmo QR� en lugar de la matriz A� a
A� pI� �V������
donde p n� p se lo conoce con el nombre de shift� En este caso la velocidadde convergencia est�a dada por
a�j�n�n�� � O
��n � p
n� � p
�j�� �V������
El algoritmo QR con shift
Antes de comenzar el algoritmo QR� se supone que la matriz A est�aexpresada bajo la forma de una matriz de Hessenberg� El algoritmo QRcon shift� se lo de ne de manera recursiva como�
A� � A�
QjRj � Aj � pjI�
Aj�� � RjQj � pjI�
�V������
Las dos maneras m�as corrientes de elegir el shift pk son�
V�� Determinaci�on de Valores Propios ���
�� Se plantea pk � a�k�n�n�
Este procedimiento funciona bien� si todos los valores propios de lamatriz A son reales�
��� Se toma pk� al valor propio de la matriz�a�k�n���n�� a
�k�n���n
a�k�n�n�� a
�k�n�n
��
que es m�as pr�oximo al coe ciente a�k�n�n�
Una interrogante muy importante surge� cuando detener el algoritmoQR� Uno de los criterios m�as usados es el siguiente� Si���a�k�n�n��
��� � eps����a�k�nn
���� ���a�k�n���n��
���� � �V������
se plantean � a�k�nn � �V�����
Luego se continua con la matriz A�k� de dimension n � resultante� hastaobtener todos los valores propios de la matriz A�
La experiencia n�umerica muestra que el algoritmo QR converge lineal�mente� mientras que el algoritmoQR con shift tiene convergencia cuadr�atica�
Ejemplos
�� Consid�erese� la matriz A de nida por
A �
� � � ��� � �� ��
Amatriz de tipo Hessenberg� Por lo tanto lista� para ser aplicado el m�etodoQR y el m�etodoQR con shift� A continuaci�on� se mostrar�a las iteracionesresultantes del m�etodo QR sin shift
A� ��������� �������� ����������������� �� ��������� ������������������ �������� �� ���������
A �������� ��������� ������������������� �� ��������� ���������������� ���������� ��� ��������
A� �������� ��������� ����������������� �� ��������� ������������������ ��������� ��� ���������
��� V C�alculo de Valores Propios
Puede observarse que la convergencia es lineal y adem�as se tiene
a�k�����
a�k���
�
��
a�k����
a�k��
�
��
por consiguiente se necesitan por lo menos � iteraciones para obtener
a�k�� � �� y por lo menos �� iteraciones para tener a
�k��� � �� �
Para poder observar la verdadera potencia de aplicar el m�etodo QR conshift� a continuaci�on se muestran las � iteraciones que son necesarias�para obtener los valores propios de la matriz A�
p� � ��
A� �������� ��������� ������������������ �� ��������� ����������������� ���������� ��� ��������
p� � ��������
A ����� ��������� ����������������� �� �������� ����������������� ����������� ��� ��������
p � ��������
A� �������� �������� ������������������ ��� ��������� ������������������ ���������� �� ���������
p� � ��������� ���
A� ������� ����������������� ��� ���������
p� � ��������� ���
A� �������� ������������������� �� ���������
obteniendo� as�� los siguientes valores propios�
� � ��������
� � ����������
� �����������
��� Puede observarse en el ejemplo anterior que la convergencia del m�etodoQR con shift es cuadr�atica� para ilustrar este hecho� consid�erese
A �
�� a�
��
V�� Determinaci�on de Valores Propios ��
con � bastante peque�no� Aplicando el m�etodoQR con shift se tiene p� � y
A� p�I �
� a� �
��
obteniendo
Q�R� �
��p � �� ���p � ��
��p � �� �
p � ��
��p � �� a�
p � ��
� ��a�p � ��
��
lo que da
A� �
� � ����� � �� �
��
de donde la convergencia es cuadr�atica� si a es arbitrario� Si la matrizes sim�etrica� se puede observar que la convergencia ser��a c�ubica en esteejemplo� tomar a � ��
Ejercicios
�� Calcular los valores propios y vectores propios de
A �
�B� � �� � �
CA �
utilizando el m�etodo de la potencia inversa de Wielandt�
��� Sea
A �
�BBB��� �
p�
������� ��
p�
����� � �
p�
������ � ��
p�
����� � �
p�
������ �
p�
�����
p�
��� �
p�
���
CCCA �
Calcular �� �� y una matriz T a coe cientes reales� tal que
T�� �
� � � ��� � �� �
A �
La matriz A de ne un m�etodo de Runge�Kutta�
��� Sea A una matriz de orden s que es diagonalizable� y sea J una matrizde orden n� Se de ne el producto tensorial A� J por
A� J �
�a��J � � � a�sJ���
���as�J � � � assJ
A �
��� V C�alculo de Valores Propios
Encontrar un algoritmo e caz para resolver un sistema lineal con lamatriz
I �A� J�
Indicaciones�a� Mostrar que
�A�B��C � C� � �AC�� �BD��
b� Sup�ongase que
T��AT � * �
��� � �
s
Ay utilizar la descomposici�on
I �A� J � �T � I��I � *� J��T�� � I� �V�����
c� estimar el n�umero de multiplicaciones necesarias� si�% se calcula la descomposici�on LR de I �A� J �% se utiliza �V������� el trabajo principal es el c�alculo de la descom�posic�on LR de I � *� J �
��� Calcular todos los valores propios de
A �
�BBBB �� � �
� � �� � �
� � �
� � �� �
CCCCA�����������n
para n � � y n � ��� Utilizar el m�etodo de la bisecci�on�
��� Mostrar que si la matriz A � A� es una matriz de Hessenberg� lasmatrices Ak� k � �� construidas en el m�etodo QR son igualmentematrices de Hessenberg�
Cap��tulo VI
Integraci�on Num�erica
En muchos problemas aparecen integrales� ya sean �estas simples� m�ultiplesy de otras clases� En los cursos elementales de C�alculo� la determinaci�on deprimitivas es un t�opico de bastante importancia� Por consiguiente� existen loselementos te�oricos para evaluar primitivas� Sin embargo la mayor parte de lasaplicaciones n�umericas donde interviene la integraci�on� presenta integralescuyo c�alculo de primitivas es imposible en t�erminos de funciones elementales�o por las caracter��sticas propias de los problemas solo se requiere unac�omputo aproximado de �estas�
En este cap��tulo se tratar�a las base te�oricas de la integral de Riemann�luego se abordar�a la noci�on de f�ormula de cuadratura y como consecuencial�ogica se de nir�a el orden de una f�ormula de cuadratura� El segundotema que ser�a estudiado� como parte integrante del An�alisis Num�erico�est�a relacionado con la estimaci�on del error cometido por la utilizaci�on dem�etodos num�ericos de integraci�on� Se comparar�a� diferentes f�ormulas decuadratura haciendo hincapi�e en aqu�ellas de orden elevado� Las f�ormulasde cuadratura de Gauss ser�an estudiadas como un caso de f�ormulas de ordenelevado y para comprenderlas mejor se introducir�a la noci�on de polinomiosortogonales� Despu�es� se formular�a un m�etodo adaptativo para determinarintegrales y como corolario se har�a un tratamiento de singularidades� es decirse implementar�a m�etodos para resolver integrales impropias� Como �ultimot�opico� se vera la interpolaci�on trigonom�etrica� es decir se har�a un estudiode las Transformadas de Fourier discretas� como tambi�en la Transformadade Fourier R�apida� mas conocida como FTP�
VI�� Bases Te�oricas
En esta secci�on� se ver�an las bases te�oricas de la teor��a de la integraci�on�pero �esta limitada a la integral de Riemann� Por otro lado� tambi�en ser�anabordados las motivaciones para tener la integral como un instrumentomatem�atico de C�alculo�
Uno de los problemas con el cual el hombre ha confortado desde �epocaslejanas� ha sido el c�alculo de areas� volumenes y otros� tanto por la necesidadcotidiana� como tambi�en dentro el esp��ritu de re�exi�on e investigaci�on quelo ha caracterizado siempre�
La integral m�as utilizada� desde el punto de vista de c�alculo y pr�actico�es la integral de Riemann� cuya de nici�on permiti�o que el c�alculo integraltuviese bases te�oricas cimentadas� En lo que sigue� se har�a una presentaci�onte�orica de esta importante noci�on�
De�nici�on VI������ Sea� "a� b# un intervalo compacto de la recta real� Sellama subdivisi�on del intervalo "a� b# un conjunto S � "a� b# nito�
Por consiguiente S puede ser ordenado� como una sucesi�on nita depuntos de "a� b# expresada de la manera siguiente
S ��x� � x� � � � � � xn
� � "a� b#�
De�nici�on VI������ Sea S una subdivisi�on de "a� b#� se llama paso de lasubdivisi�on S a
�S� � maxi�������n
jxi � xi��j �
Ahora bien� la noci�on de integral est�a de nida para funciones cuyodominio son intervalos compactos� adem�as se exige que la funci�on seaacotada� Como no es proposito del libro hacer una exposici�on sobre la teor��ade la integraci�on� se dar�a una de las de niciones de una funci�on integrableen el sentido de Riemann�
De�nici�on VI������ Sea f � "a� b# R una funci�on acotada sobre unintervalo compacto� Se dira que f es Riemann integrable si
lim��S���
nXi��
f��i��xi � xi��� existe�
con �i � "xi��� xi#� independientemente de S y de los �i� Si �este es el caso�este l��mite se lo denota por Z b
a
f�x�dx�
VI�� Bases Te�oricas ���
Se puede demostrar que las funciones mon�otonas� continuas y en escalerason Riemann integrables� El c�alculo de la integral como un l��mite puede serbastante tedioso� motivo por el cual� los cursos de C�alculo en los nivelesb�asicos universitarios y ultimos cursos de colegio� dan un �enfasis al c�alculode primitivas� que para recordar es�
De�nici�on VI����� Dada una funci�on � sobre un intervalo I de R� Se diceque una funci�on � � I R es una primitiva de � si� en todo punto x de I �la funci�on � es derivable y si ���x� � ��x��
Sea f � "a� b# R una funci�on integrable en el sentido de Riemann� sede ne para todo x � "a� b#
F �x� �
Z x
a
f�t�dt�
Proposici�on VI������ La funci�on F es continua� adem�as si la funci�onf es continua en un punto x de "a� b#� la funci�on F es derivable en x yF ��x� � f�x��
Corolario VI������ Una funci�on continua sobre un intervalo compactoadmite una primitiva�
Las demostraciones de la proposici�on y el corolario precedentes se laspuede encontrar en cualquier libro de An�alisis� A continuaci�on� se enunciauno de los teoremas fundamentales del c�alculo�
Teorema VI������ Sea f � "a� b# R una funci�on integrable en el sentidode Riemann que� adem�as admite una primitiva G� Para todo x � "a� b#� setiene
G�x� �G�a� �
Z x
a
f�t�dt�
Ahora bien� desde el punto de vista num�erico� el c�alculo de primitivasno tiene mayor utilidad pr�actica� pu�es en la mayor parte de los casosla determinaci�on anal��tica de �estas es costosa en tiempo� El tratamientonum�erico que se realiza en el c�alculo de integrales est�a basado en la mismade nici�on de integral� Por consiguiente utilizando la de nici�on� se tiene que�� � �� existe S � "a� b# y �i � "xi��� xi# tal que�����
nXi��
f��i��xi � xi����Z b
a
f�x�dx
����� � ��
de donde el enfoque num�erico consiste en aproximar la integral utilizando�sumas nitas de Riemann� Por otro lado� una de las tareas del An�alisisNum�erico en lo que respecta el c�alculo de integrales� est�a dada en la cons�trucci�on de f�ormulas de cuadratura con un costo razonable en operaciones�y una precisi�on aceptable en la determinaci�on de la integral�
��� VI Integraci�on Num�erica
A continuaci�on� se mostrar�a las f�ormulas de cuadratura o de integraci�onmas rudimentarias�
a� Regla del Punto Medio
Consiste en utilizar la suma de Riemann con �i �xi�� � xi
� � porconsiguiente
nXi��
f
�xi�� � xi
�
��xi � xi���
Z b
a
f�x�dx�
La regla del punto medio� da resultados exactos cuando f es unpolinomio de grado menor o igual a � Ver gura VI���
x0 x1 x2 x3 xn-1 xn
Figura VI����� Regla del Punto Medio�
b� Regla del TrapecioConsiste en aproximar f��i��xi�� � xi� con el area de un trapecio dealturas f�xi��� y f�xi�� Por consiguiente
nXi��
f�xi��� � f�xi�
��xi � xi���
Z b
a
f�x�dx�
de donde� esta suma puede expresarse de manera m�as simple� comoZ b
a
f�x�dx f�x��x� � x�
�� f�x��
x� � x��
� � � �
� � �� f�xn���xn � xn��
�� f�xn�
xn � xn���
�
x0 x1 x2 x3 xn-1 xn
Figura VI����� Regla del Trapecio�
VI�� Bases Te�oricas ���
Esta f�ormula es exacta para polinomios de grado igual o inferior a �Ver gura VI����
c� Regla de SimpsonConsiste en aproximar f��i��xi���xi�� con el area de la super cie cuyolado superior� ver gura VI���� esta dada por la par�abola que pasa por
los puntos �xi��� f�xi���� �xi�� � xi
� � f�xi�� � xi
� �� y �xi� f�xi��� Parasimpli car los c�alculos se toma para x�� y x�� obteniendo como polinomiode interpolaci�on
p�x� � f�x�� � �f�x�� � f��x� � x�����
x� � x��x� x��
��f�x��� �f��x� � x����� � f�x��
�x� � x��� �x� �x� � x������x� x���
Ahora bien� integrando este polinomio de segundo grado entre x� y x��se obtieneZ x�
x�
f�x�dx �
�f�x�� �
�
�f
�x� � x�
�
��
�f�x��
�h��
para nalmente tenerZ b
a
f�x�dx nXi��
�
�f�xi��� �
�
�f
�xi�� �
hi�
��
�f�xi�
�hi�
La f�ormula de Simpson es exacta para polinomios de grado igual oinferior a ��
x0 x1
Figura VI����� Regla de Simpson�
d� Regla de NewtonConsiste en aproximar f��i��xi���xi�� con el area de la super cie cuyolado superior� ver gura VI���� esta dada por la par�abola c�ubica que
pasa por los puntos �xi��� f�xi���� ��xi�� � xi
� � f��xi�� � xi
� ���
��� VI Integraci�on Num�erica
�xi�� � �xi
� � f�xi�� � �xi
� �� y �xi� f�xi��� De la misma manera que en laregla de Simpson� se calcula esta par�abola c�ubica utilizando por ejemplola f�ormula de Newton para determinar polinomios de interpolaci�on�luego se integra para obtenerZ x�
x�
f�x�dx
�f�x���
�
�f
�x� �
h��
���
�f
�x� �
�h��
��
�f�x��
!h��
La regla de Newton es exacta para polinomios de grado menor o iguala ��
x0 x1
Figura VI���� Regla de Newton�
F�ormulas de Cuadratura
En los cuatro ejemplos precedentes de la anterior subsecci�on� puede obser�varse claramente que las reglas de integraci�on formuladas tienen la mismaestructura� la cual de ne t�acitamente una f�ormula de cuadratura� La mayorparte de los m�etodos num�ericos est�an basados en este principio�
Se desea integrar la funci�on f � "a� b# R� donde f es Riemannintegrable� Para tal efecto se considera una subdivisi�on
S � fa � x� � x� � � � xn � bg �
La integral puede ser aproximada mediante la f�ormula de cuadratura si�guiente
nXj��
�sX
i��
bif�xj�� � cihj�
�� �VI���
los ci se llaman nudos de la f�ormula de cuadratura y los bi son los coe cientesde la f�ormula de cuadratura�
Para la regla del Trapecio� se tiene s � �� b� � b� � �� y c� � �� c� � �As�� mismo� para la regla de Simpson se tiene s � �� b� � b � j��� b � ���y c� � �� c� � ��� c � �
Dada una f�ormula de cuadratura� uno de los objetivos principales esmedir la precisi�on de �esta� Por razones de simplicidad� es preferible estudiar
VI�� Bases Te�oricas ���
la f�ormula de cuadratura en una funci�on f � "�� # R y considerar h� � � esdecir integrar num�ericamente con un paso de integraci�on� Por consiguiente�se analizar�a el problema
sXi��
bif�ci� Z �
�
f�x�dx�
El Orden de una F�ormula de Cuadratura
De�nici�on VI������ Una f�ormula de cuadratura tiene orden p� si y sola�mente si� p es el entero m�as grande� tal que
sXi��
bif�ci� �
Z �
�
f�x�dx� �VI����
donde f es un polinomio de grado � p� �
Proposici�on VI������ Una f�ormula de cuadratura es de orden p� si ysolamente si
sXi��
bicq��i �
q� q � � � � � � p� �VI����
Demostraci�on� La integraci�on es una operaci�on lineal� por lo tanto essu ciente mostrar que �VI���� se cumple para f�x� � xq��� donde q �� � � � � p� � Ahora bien� Z �
�
xp��dx �
q�
�
Por simple veri caci�on� puede comprobarse que la f�ormula de cuadraturade la regla del Trapecio es p � �� la de la regla de Simpson es p � ��
De�nici�on VI���� �� Una f�ormula de cuadratura se dice sim�etrica� si�
ci � � cs���i�
bi � bs���i�i � � � � � � s� �IV����
Teorema VI������� Una f�ormula de cuadratura sim�etrica tiene un ordenpar�
Demostraci�on�� Sup�ongase que la f�ormula de cuadratura sea exacta paraf�x� polinomio de grado � �k� Por consiguiente se debe demostrar que la
��� VI Integraci�on Num�erica
f�ormula de cuadratura es exacta para los polinomios de grado igual a �k��Sea f�x� un polinomio de grado igual a �k � � Ahora bien� f�x� puedeexpresarse de la siguiente manera
f�x� � c
�x�
�
��k��
� g�x��
donde g�x� es un polinomio de grado a lo m�as �k� Por otro ladoZ �
�
c
�x�
�
��k��
dx � ��
Por consiguiente� es su ciente mostrar que
sXi��
bi
�ci �
�
��k��
� ��
esto es cierto debido a la simetr��a de la f�ormula de cuadratura� �
Estimacion del Error
Dada una funci�on f � "a� b# R� se quiere tener una estimaci�on del errorcometido por la utilizaci�on de una f�ormula de cuadratura� Sea c�� � � � � cs yb�� � � � � bs los coe cientes y los nudos respectivamente� de una f�ormula decuadratura dada� Por consiguiente� se tieneZ b
a
f�x�dx �
nXj��
hj
sXi��
bif�xj � cihj� �
nXj��
h
$Z xj
xj��
f�x�dx � hj
sXi��
bif�xj � cihj�
%�
Para poder determinar el error� es decir la diferencia entre la integral y laf�ormula de cuadratura que aproxima la integral� se de ne
E�f� �
Z x��h
x�
f�x�dx� h
sXi��
bif�x� � cih�� �VI����
Habiendo de nido E�f�� se puede determinar su valor� el cual est�a dado enel siguiente�
Teorema VI������� Sea f � Ck"a� b#� es decir f k veces continuamentederivable� Entonces� se tiene
E�f� �
k��Xj��
hj��
j�
$
j � �
sXi��
bicji
%� hk��
Z �
�
Pk�t�f�k��x� � th�dt
�VI����
VI�� Bases Te�oricas ��
donde
Pk�t� � E
��x� t�k���
�k � ��
�� �k��� �
��k�� � � �
� � � ��
Demostraci�on�� Se tiene� efectuando un cambio de variable en la integral�que
E�f� � h
Z �
�
f�x� � th�dt� h
sXi��
bif�x� � cih��
por otro lado� el desarrollo en serie de Taylor de f�x� � �h� con resto enforma de integral est�a dado por
f�x� � h� �k��Xj��
hj
j�f �j��x�� � hk
Z �
�
�� ��k��
�k � ��f �k��x� � �h�d��
por lo tanto
f�x� � th� �
k��Xj��
hj
j�f �j��x��t
j � hkZ t
�
�t� ��k��
�k � ��f �k��x� � �h�d��
introduciendo esta serie en E�f�� se obtiene
E�f� �
k��Xj��
hj��
j�f �j��x��
h Z �
�
tjdt� �z ��
j��
�sX
i��
bicji
i
� hk��
$Z �
�
Z t
�
�t� ��k���
�k � ��f �k��x� � �h�d�dt
�sX
i��
bi
Z ci
�
�ci � ��k���
�k � ��f �k��x� � �h�d�
%
remplazando en el l��mite de integraci�on t por � se tiene que el �ultimo t�erminodel lado derecho de la anterior relaci�on� est�a dado por
hk��
Z �
�
$Z �
�
�t� ��k���
�k � ��dt�
sXi��
bi�ci � ��k���
�k � ��
%f �k��x� � �h�d��
�
La funci�on Pk�t� de nida en el teorema� es conocida por el nombre deNucleo de Peano de la f�ormula de cuadratura c�� � � � � cs� b�� � � � � bs�
��� VI Integraci�on Num�erica
Teorema VI������� El nucleo de Peano de una f�ormula de cuadratura dada�tiene las siguientes propiedades
Pk��� ��� ��k
k��
sXi��
�ci � ��k���
�k � ��a��
P �k��� � �Pk������ para k � ��b�
Pk�� � �� para k � �� si ci � �c�
Pk��� � �� para � � k � p� si ci � � y p orden de la f�q��d�
e� Si la f�ormula de cuadratura es � � c� � � � � � cs � y
sXi��
bi � �
entonces P���� es lineal por trozos� con las siguientes propiedades P���� � ��P�j�ci���ci��x� � �x � di� donde di es una constante� adem�as P��ci�� �P��ci�� � bi� ver gura VI�����
0 1c c c1 2 s
Figura VI����� Gr�a ca de P����
Demostraci�on�� Para el punto a�� se tiene que
Pk��� �
Z �
�
�x� ��k���
�k � ��dx�
sXi��
bi�x � ��k���
�k � ��
�
Z �
�
�x� ��k��
�k � ��dx�
sXi��
bi�x � ��k���
�k � ��
��� ��k
k��
sXi��
bi�x� ��k���
�k � ���
El punto b�� se obtiene del punto a�� derivando para k � �� El punto c� esveri caci�on inmediata� remplazando en � � � siempre que los ci � �
La demostraci�on del punto d� se basa en que la f�ormula de cuadratura�es exacta para los polinomios de grado inferior a p y
Pk��� �
k��
sXi��
bick��i
�k � ��
�
�k � ��
$
k�
sXi��
bick��i
%�
VI�� Bases Te�oricas ���
El punto e� es una veri caci�on sencilla que se deja al lector� �
EjemploLa regla de Simpson es una f�ormula de cuadratura� dada por
c� � �� c� � ��� c � �b� � � �� b� � �� �� b � ���
Utilizando las propiedades dadas en el teorema precedente� se tiene�
P���� �
�����
�� �� � � � �
��
�� �� �
��
�� � � �
P���� se obtiene integrando P���� por el punto b� del teorema prece�dente� Por consiguiente
P���� �
�������� �
����
�� � � � �
��
�� ���
�� �� ��
��
�� � � �
De la misma manera� se obtiene P��� de P����� dando como resultado�
P��� �
���������
�� �
�� � � � �
��
� �� ��
�� �� ���
��
�� � � �
P���� �
�������� �
�����
��� � � � �
��
�� ���
��� �� ��
���
�� � � �
Ver los gr�a cos en la gura IV����
Consecuencia inmediata del teorema VI���� se tiene el siguiente�
Teorema VI������ Sean� f � Ck"a� b#� c�� � � � � cs� b�� � � � � bs una f�ormula decuadratura cuyo orden p � k� entonces
jE�f�j � hk��
Z �
�
jPk���j d� maxx��x��x��h�
���f �k��x���� � �VI����
��� VI Integraci�on Num�erica
.0 .5 1.0
−.6
−.4
−.2
.0
.2
.4
.6
P1
.0 .5 1.0
−.1
.0
.1 P2
.0 .5 1.0
−.01
.00
.01P3
.0 .5 1.0
−.004
−.003
−.002
−.001
.000
.001
.002
.003
.004 P4
Figura VI����� Nucleos de Peano� para la f�ormula de Simpson�
Para el ejemplo precedente� se tiene que la f�ormula de Simpson es unaf�ormula de cuadratura de orden �� por consiguienteZ �
�
jP����j d� � ��Z ���
�
P����d� �
�����
de donde� si f es cuatro veces continuamente derivable� se tiene que el errorveri ca
jE�f�j � h�
����max
x��x��x��h�
���f ����x���� �Teorema VI������� Si f � Ck"a� b#� k � p � donde p es el orden de la f�ormulade cuadratura� entonces������Z b
a
f�x�dx �nXj��
hj
sXi��
bif�xj�� � cihj�
������� hk�b� a�
Z �
�
jPk���j d� maxx��a�b�
���f �k��x���� � �VI�����
VI�� Bases Te�oricas ���
donde h � maxhi�
Demostraci�on�� Se tieneZ b
a
f�x�dx �nXj��
hj
$sX
i��
bif�xj�� � cihj�
%�
�
nXj��
$Z xj
xj��
f�x�dx � hj
sXi��
bif�xj�� � cihj�
%
� hk��j
Z �
�
jPk���j d� maxx��a�b�
���f �k��x���� �por otro lado� se tiene
nXi��
hk��j �
nXi��
hjhkj � �b� a�hk�
�
Por lo tanto� la Regla de Simpson da la siguiente estimaci�on para el errorglobal
jerrorj � h��b� a�
����maxx��a�b�
���f ����x���� �Los teoremas VI��� a VI��� dan estimaciones te�oricas del error
cometido� cuando se utiliza una f�ormula de cuadratura� Sin embargo� es im�portante comprobar estas estimaciones te�oricas con experimentos num�ericos�Suponiendo que la subdivisi�on del intervalo "a� b# es uniforme� de la f�ormula�VI����� suponiendo f su cientemente derivable� se deduce�Z b
a
f�x�dx �
nXj��
h
sXi��
bif�xj�� � cih� � Chp �O�hp���� �VI����
donde C depende solamente de a� b y f�x�� Por consiguiente� el error satisface
Error Chp� �VI����
Introduciendo logaritmos� se tiene
log���Error� � log�� C � p logh�
denotando fe� la cantidad de evaluaciones de la funci�on f�x�� en el procesode integraci�on num�erica� se tiene
fe �C �
h�
��� VI Integraci�on Num�erica
donde C � es una constante� Por lo tanto� se obtiene
� log���Error� � C � p log�� fe� �VI����
De esta �ultima relaci�on� se deduce que � log���Error� y log�� fe tienenuna relaci�on lineal de pendiente p� donde p es el orden de la f�ormula decuadratura� En la gura VI���� se comprueba este hecho� utilizando comointegral test Z �
�
cos��ex�exdx �
�sin��e��
100 101 102 103 10410−1
10−2
10−3
10−4
10−5
10−6
10−7
10−8
10−9
10−10
fe
Err
Punto Medio
Regla del Trapecio
Regla de Simpson
Regla de Newton
Gauss de orden 4
Gauss de orden 6
Figura VI����� Gr�a ca del Error vs fe�
Ejercicios
�� Calcular el orden de la regla de Newton�
�ci� � ���
���
�� �� �bi� � �
���
���
��
���
��� Sean � � c� � c� � � � � � cs � dados� Mostrar que existe una f�ormulade cuadratura �unica con nudos ci y con un orden � s�
VI�� Bases Te�oricas ���
��� Mostrar que si la f�ormula de cuadratura satisface
ci � � cs���i�
y si es de orden � s� entonces se tiene tambi�en
bi � bs���i�
��� �C�omo se debe elegir c�� c�� para que la f�ormula de cuadratura
b�f�c�� � b�f�c��
tenga un orden maximal� �C�ual es el orden�� �La f�ormula de cuadraturaes sim�etrica�
��� Calcular
Z �
�
dx
x� ln� mediante la regla del trapecio� la regla de Simpson
y la regla de Newton� �C�ual f�ormula es la mejor� Hacer un gr�a cologar��tmico para el n�umero de evaluaciones de la funci�on f respectoal error�
��� Lo mismo que el ejercicio �� pero paraZ �
�
exp�sinx�dx�
��� Calcular � utilizando
� � �
Z �
�
dx
� x�y � � �
Z �
�
p� x�dx�
�Por qu�e el segundo resultado es menos bueno�
��� Mostrar que el resultado obtenido por la regla del trapecio� o por la reglade Simpson� es una suma de Riemann�
��� Sean h � �b� a��n� xi � a� ih y
T �h� � h
�f�x�� � f�x�� � � � �� f�xn��� �
�f�xn�
!�
Demostrar que para f su cientemente derivableZ b
a
f�x�dx � T �h� � �h�
��f ��b�� f ��a�� �O�h��
��� Calcular los nucleos de Peano para la f�ormula del ejercicio � y hacer susgr�a cas�
�� Calcular la expresi�on �R baf�x�dx� T �h�
�h�
�
para f�x� � �x� a � � b � �� con varios valores de h� Veri car laf�ormula del ejercicio ��
VI�� Cuadraturas de Orden Elevado
En esta secci�on� se dar�an las herramientas te�oricas� para construir f�ormulasde cuadratura de orden elevado� El inter�es que se tiene para utilizar f�ormulasde cuadratura del mayor orden posible� reside sustancialmente en el hechode aumentar la precisi�on en el c�alculo de integrales de nidas� como tambi�ende disminuir el n�umero de evaluaciones de la funci�on a integrar� ver la guraVI����
Mediante el ejercicio �� de la secci�on precedente� se demuestra que sic�� � � � � cs dados� existe una �unica formula de cuadratura que es de orden� s� es decir
sXi��
bicq��i �
q� �VI����
para q � � � � � � s�Sea m un entero no negativo� la f�ormula de cuadratura c�� � � � � cs�
b�� � � � � bs� es de orden � s�m� si y solamente si� la f�ormula de cuadraturaes exacta para polinomios de grado � s � m � � Ahora bien� se de ne elpolinomio M�x� de grado s� por
M�x� � �x � c���x� c�� � � � �x� cs�� �VI�����
donde los ci son los nudos de la f�ormula de cuadratura estudiada� Sea f�x�un polinomio de grado � s�m� � por la divisi�on con resto se tiene que
f�x� � q�x�M�x� � r�x��
donde q�x� y r�x� son polinomios con deg q � m � y deg r � s � � Porconsiguiente Z �
�
f�x�dx �
Z �
�
q�x�M�x�dx �
Z �
�
r�x�dx�
Utilizando la f�ormula de cuadratura en la anterior expresi�on� se obtiene
sXi��
bif�ci� �
sXi��
biq�ci�M�ci�� �z �� �
�
sXi��
bir�ci��
suponiendo que el orden de la f�ormula de cuadratura sea � s� se acaba dedemostrar el�
VI�� Cuadraturas de Orden Elevado ���
Teorema VI������ Sea �bi� ci�� i � � � � � � s� una f�ormula de cuadratura conorden � s� Entonces
el orden de la f�ormula decuadratura es � s�m
���
���������Z �
�
q�x�M�x�dx � ��
para todo polinomio q�x�con deg q � m� �
Ejemplo
El ejercicio � de la secci�on precedente demanda la construcci�on de unaf�ormula de cuadratura del orden m�as elevado posible� En consecuencia�se de ne
M�x� � �x� c���x � c���
Se tiene que la f�ormula de cuadratura es de orden � � si y solamente siZ �
�
M�x�dx � ��
��
��c� � c�� � c�c� � ��
la f�ormula de cuadratura es de orden m�as grande o igual a �� si adem�asZ �
�
xM�x�dx � ��
��
��c� � c�� �
�c�c� � ��
obteniendo as�� un sistema de dos ecuaciones y dos incognitas� Una vezdeterminados los ci� el siguiente paso es determinar los bi�
Polinomios Ortogonales
Uno de los mayores inconvenientes en la construcci�on de f�ormulas decuadratura de orden elevado utilizando el teoremaVI���� consiste en el hechosiguiente� se deben resolver sistemas de ecuaciones no lineales para determi�nar los nudos de la f�ormula de cuadratura� Est�a claro que para f�ormulas decuadratura con una cantidad no muy grande de nudos esto es posible� sinembargo para s ya m�as grande esto presenta una desventaja� En esta sub�secci�on se estudiar�an polinomios ortogonales� cuyas raices son precisamentelos nudos�
��� VI Integraci�on Num�erica
Se iniciar�a esta subsecci�on� de niendo un conjunto de funci�ones particu�lares� Sea � � �a� b� R una funci�on� llamada funci�on de peso� Sea
E �
�f � �a� b� Rj
Z b
a
��x� jf�x�j� dx ���� �VI�����
Puede mostrarse que E es un espacio vectorial para la adici�on de funciones yla multiplicaci�on por escalares reales� Para las aplicaciones en general� puedesuponerse que f es una funci�on continua�
Suponiendo que ��x� � �� puede de nirse un producto escalar sobre E �de la siguiente manera�
hf� gi �Z b
a
��x�f�x�g�x�dx� �VI�����
Hay que remarcar dos hechos importantes� el primero E es en realidadun conjunto de clases de equivalencia de funciones� donde la relaci�on deequivalencia est�a de nida por
f � g �� f�x� �� g�x� en un conjunto de medida nula�
La segunda observaci�on es consecuencia de la primera� se puede suponerpor lo tanto que E est�a constituida por funciones continuas� a lo sumo porfunciones continuas por trozos� y con ciertas condiciones impuestas a ��x�puede demostrarse que
hf� fi � � �� f � ��
De�nici�on VI������ f es ortogonal a g� que se denota por f � g� si
hf� gi � �� �VI�����
El objetivo central ser�a� por consiguiente� encontrar M�x� � q�x� sideg q � m� �
Teorema VI������ Sea ��x� dado� entonces existe una sucesi�on de poli�nomios p��x�� p��x�� p��x�� � � �� tal que
deg pj � j�
hpk� qi � �� �q polinomio de grado � k � �
Si se supone que pk�x� � xk � r�x� con deg r�x� � k� � los polinomios son�unicos�
VI�� Cuadraturas de Orden Elevado ��
Los polinomios satisfacen la siguiente relaci�on recursiva
p���x� �� �� p��x� � � �VI����a�
pk�� � �x� k���pk�x� � ��k��pk���x�� �VI����b�
donde
k�� �hxpk� pkihpk� pki � ��k�� �
hpk� pkihpk��� pk��i � �VI����c�
Demostraci�on�� El primer punto del teorema� se obtiene a partir delproceso de ortogonalizaci�onde Gramm�Schmidt� Las relaciones entre los dife�rentes polinomios ortogonales se demuestra por inducci�on� Por consiguiente�se supone cierto para los polinomios p�� p�� � � � � pk� Ahora bien� se tiene
pk���x� � xpk�x� �
kXj��
cjpj�x��
por que el coe ciente dominante de pk es � Aplicando el producto escalarse tiene
� � hpk��� pki
� hxpk� pki�kX
j��
cjhpj � pki
� hxpk� pki� ckhpk� pki�de donde
ck � �hxpk� pkihpk� pki �
Por otro lado� aplicando nuevamente el producto escalar se tiene
� � hpk��� pk��i
� hxpk� pk��i�kX
j��
cjhpj � pk��i
� hxpk� pk��i� ck��hpk��� pk��i
Ahora bien� se veri ca facilmente� utilizando la de nici�on del productoescalar de nido en E � que
hxpk � pk��i � hpk� xpk��i�
��� VI Integraci�on Num�erica
con la hip�otesis de inducci�on� se veri ca inmediatamente que
hpk� xpk��i � hpk� pki�de donde
ck�� �hpk� pki
hpk��� pk��i �
Los restantes cj � son nulos� utilizando la hip�otesis de inducci�on sobre laortogonalidad� �
Consecuencia de este teorema� es que si los nudos de una f�ormula decuadratura son las raices del polinomio ps� de nido en el teorema precedente�se tiene M�x� � ps�x� y por el teorema VI��� el orden de la f�ormula decuadratura es igual o mayor a �s�
Teorema VI����� Sean los pk� como en el teorema VI����� entonces lasraices de pk�x� son reales� simples y est�an localizadas en el intervalo �a� b��
Demostraci�on�� Se donota por ��� � � � � �T las raices distintas de pk dondela funci�on pk�x� cambia de signo� Se de ne el polinomio g�x� por
g�x� � �x � ��� � � � �x� �T ��
por consiguiente� se tiene que
g�x�pk�x�
no cambia de signo� de donde
hg�x�� pk�x�i �� ��
por lo tanto deg g � k� y por la hip�otesis inicial se tiene necesariamente queT � k� �
En la tabla VI���� se tienen los diferentes tipos de polinomios ortonor�males para diferentes tipos de funci�on de peso ��x��
Tabla VI����� Ejemplos de Polinomios Ortonormales
��x� �a� b� Notaci�on Nombre
��� � Pk�x� Polinomios de Legendre
p� x�
��� � Tk�x� Polinomios de Chebichef
�� x�� � x�� ��� � P����k �x� Jacobi� �� � � �
xe�x ����� L��k �x� Pol� de Laguerre� ���
e�x�
������ Hk�x� Polinomios de Hermite
VI�� Cuadraturas de Orden Elevado ���
Teorema VI������ F�ormula de Rodriguez� Sea ��x� una funci�on de pesode nida como antes� Entonces
pk�x� � Ck
��x�
dk
dxk���x��x � a�k�b� x�k
�� �VI�����
Demostraci�on�� Una veri caci�on simple sobre pk�x�� muestra que se tratanefectivamente de polinomios� Para la relaci�on de ortogonalidad con k dado�es su ciente mostrar que si q�x� es un polinomio de grado � k � entoncesq � pk� En efectoZ b
a
��x�pk�x�q�x�dx �
Z b
a
dk
dxk���x��x � a�k�b� x�k
�q�x�dx
�dk��
dxk�����x�x � a�k�b� x�k
�q�x�
����ba� �z �
� �
�Z b
a
dk��
dxk�����x�x � a�k�b� x�k
�q��x�dx
���
� �Z b
a
���x�x � a�k�b� x�k
�q�k�dx
� ��
�
La mayor parte de los c�alculos de integrales de nidas� tienen como funci�on depeso ��x� � � A continuaci�on se estudiar�a con mayor detalle los polinomiosde Legendre�
Los Polinomios de Legendre
Los polinomios de Legendre son los polinomios ortogonales para la funci�onde peso ��x� � de nida en el intervalo ��� �� ver la tabla VI���� Por otrolado� utilizando la f�ormula de Rodriguez se puede elegir los Ck de maneraque Pk�� � � Por consiguiente� se tiene
� Pk�� � Ckdk
dxk��� x�k� � x�k
�����x��
� Ck����kk��
de donde
Ck ����k�kk�
�
��� VI Integraci�on Num�erica
por lo tanto
Pk�x� ����k�kk�
dk
dxk��� x��k
�� �VI�����
Los polinomios de Legendre pueden ser calculados mediante la f�ormulade Rodriguez� o mediante una relaci�on recursiva� ver ejercicio � En la tablaVI����� se da los cuatro primeros polinomios de Legendre�
Tabla VI����� Polinomios de Legengre
k Pk�x�
�
x
��
�x� �
�
��
�x � �
�x
Puede observarse que si k es par� entonces Pk�x� � Q�x�� donde Q es unpolinomio� de la misma manera si k es impar� se tiene que Pk�x� � xQ�x���
Las F�ormulas de Cuadratura de Gauss
La veri caci�on del orden de una f�ormula de cuadratura� se la realiza en elintervalo "�� #� Efectuando una transformaci�on af��n� se tiene que M�x� delteorema VI���� es igual a
M�x� � �x� c�� � � � �x � cs� � Ps��x� � �VI�����
con Ps el s�simo polinomio de Legendre� si se desea que orden de la f�ormulacuadratura sea al menos s� El siguiente teorema� tiene una importancia enlo concerniente al orden de una f�ormula de cuadratura�
Teorema VI������ El orden de una f�ormula de cuadratura dada por �bi� ci��i � � � � � � s� es menor o igual a �s�
Demostraci�on�� Por el absurdo� Sup�ongase que existe una f�ormula decuadratura de orden superior o igual a �s�� de donde para todo polinomiol�x� de grado s� se tiene Z �
�
l�x�M�x�dx�
VI�� Cuadraturas de Orden Elevado ���
sin embargo� tomando l�x� �M�x� se tieneZ �
�
M��x�dx � ��
lo que conduce a una contradicci�on �
El objetivo� ser�a por consiguiente� encontrar una f�ormula de cuadraturade orden m�aximo� es decir �s� Por la observaci�on hecha al inicio de esta�ultima subsecci�on� los nudos ci de la f�ormula de cuadratura de orden s sonlas raices de Ps��x � � polinomio de Legendre� Como consecuencia de loanteriormente expuesto se tiene el siguiente teorema formulado por Gaussen ���
Teorema VI������ Una f�ormula de cuadratura �ci� bi�� i � � � � � � s� es deorden �s si y solamente si c�� � � � � cs son las raices de Ps��x � �� Ps�t�polinomio de Legendre y los bi est�an determinados por
sXi��
bicq��i �
q� q � � � � � � s� �VI�����
Por otro lado� debe observarse que los coe cientes de una f�ormula decuadratura de Gauss son extrictamente positivos� en efecto� se de ne
li�x� �
sYj�j �i
x� cjci � cj
el i�esimo polinomio de Lagrange para la subdivsi�on c� � � � � � cs� El gradode este polinomio es igual a s� y veri ca
li�cj� �
��� j �� i�
� j � i�
Ahora bien� se tiene
bi �
sXj��
bj�li�cj��� �
Z �
�
�li�x���dx � ��
ya que� deg l�i � �s� � � �s�El c�alculo de los coe cientes bi de una f�ormula de cuadratura de Gauss�
pueden ser resueltos mediante el sistema lineal dado por �VI������ Sinembargo este procedimiento no es el mejor� debido a la acumulaci�on de los
��� VI Integraci�on Num�erica
errores de redondeo� Existe un procedimiento que determina los bi de unamanera sencilla� el est�a dado en el�
Teorema VI������ Para la formula de cuadratura de Gauss de orden �s� setiene
bi �
�� x�i �P�s�xi�
� � i � � � � � � s� �VI����
donde xi � �ci � �
Demostraci�on�� Se tiene�
bi �
sXj��
bjli�cj� �
Z �
�
li�t�dt�
realizando la transformaci�on x � �t� � se obtiene
bi �
�
Z �
��li
�x�
�
�dx�
por otro lado� se tiene
li
�x�
�
�� C
Ps�x�
x� xi�
de donde pasando al l��mite� se obtiene
limx�xi
CPs�x�
x� xi� CP �s�xi� � �
despejando C� bi est�a dado por
bi �
�
Z �
��
Ps�x�
�x� xi�P�s�xi�
dx� �VI�����
Adem�as�
bi �
sXj��
bjli�cj� �
�
Z �
��
�Ps�x�
�x� xi�P�s�xi�
��
dx� �VI�����
esta integral se la resulve por partes� obteniendo as��
bi �
��P �s�xi���
Z �
���Ps�x��
�
�x� xi�� dx
VI�� Cuadraturas de Orden Elevado ���
�
��P �s�xi���
�� xi
�
�� xi
!�
Z �
��
P �s�x�
P �s�xi�
�Ps�x�
�x � xi�P�s�xi�
�� �z �
� li
�x�
�
�dx
�
��P �s�xi���
�� x�i
�
sXj��
bjP �s�xj�
P �s�xi�li
�xj �
�
��
��P �s�xi���
�� x�i
� �bi
�
En el ejercicio de esta secci�on� se mostrar�a que los polinomios deLegendre veri can la siguiente relaci�on recursiva
�� x��P �s�x� � �sxPs�x� � sPs���x��
de donde�� x�i �P
�s�xi� � sPs���xi��
obteniendo
bi �� x�i
s��Ps���xi��� � �VI�����
En la tabla VI����� se dan las primeras f�ormulas de cuadratura de Gauss�
Tabla VI����� Primeras F�ormulas de Cuadratura de Gauss�
s c� c� c b� b� b
�
�
��p�
�
��
p�
�
�
�
�
��p�
�
�
��
p�
�
�
�
�
�
�
�
Ejercicios
�� Para los polinomios de Legendre� demostrar que�
�k � �Pk���x� � ��k � �xPk�x�� kPk���x��
�� x��P �k�x� � �kxPk�x� � kPk���x��
��� VI Integraci�on Num�erica
��� Los polinomios de Chebychef est�an de nidos por
Tk�x� � cos�k arccosx��
Veri car que�
T��x� � � T��x� � x�
Tk���x� � �xTk�x� � Tk���x��Z �
��
p� x�
Tk�x�Tj�x�� para i �� j�
��� Calcular las raices de P �x� con un m�etodo iterativo� como por ejemploel m�etodo de la bisecci�on�
��� Mostrar que el nucleo de Peano Pk�t� de una f�ormula de cuadraturasatisface Z �
�
Pk�t�dt �
k � �
sXi��
bicki �
��� Sea p el orden de una f�ormula de cuadratura y sup�ongase que el nucleode Peano Pp�t� no cambia de signo sobre "�� #� Mostrar que
Z x��h
x�
f�x�dx�hsX
i��
bif�x��cih� � hp��
�
p� � h
sXi��
bicpi
�f �p�����
con � � �x�� x� � h��
Indicaci�on�� Utilizar el teorema VI��� con k � p�
��� Mostrar que para las f�ormulas de cuadratura de Gauss de orden �s� elnucleo de Peano P�s�t� no cambia de signo�
VI�� Implementaci�on Num�erica
El c�alculo num�erico de integrales de nidas� requiere la implementaci�on delas f�ormulas de cuadratura en forma de programas o subrutinas� Dada unafunci�on f � "a� b# R� el c�alculo de
Z b
a
f�x�dx� �VI����
se lo realiza teniendo en cuenta el error que se desea cometer� Generalmentese da una tolerancia que se la denota por TOL� por consiguiente se busca unaaproximaci�on I � tal que�����
Z b
a
f�x�dx� I
����� � TOL
Z b
a
jf�x�j dx� �VI�����
Ahora bien� una manera de conseguir �VI������ es subdividir el intervalo"a� b# en subintervalos y aplicar el teorema VI��� de manera de obtenerun h �optimo� Sin embargo este procedimiento presenta dos incovenientes�es necesario conocer de antemano este h �optimo� adem�as de conocer laspropiedades de la funci�on f a integrar� La segunda manera de resolver�VI����� es de concevir un algoritmo� donde el c�alculo del error se haga demanera autom�atica es decir utilizando un m�etodo adaptativo�
Lo primero que se debe tener en la implementaci�on de un programa quepermita evaluar la integral de una funci�on f � es una estimaci�on del error� Sea�bi� ci� i � � � � � � s� una f�ormula de cuadratura y a � x� � x� � � � � � xn � b�una subdivisi�on de "a� b#� se de ne el error en cada subintervalo "xi� xi��# a
E�f� xi� xi��� �
Z xi��
xi
f�x�dx � �xi�� � xi�
sXj��
bjf�xi � cj�xi�� � xi���
�VI�����Por lo tanto� el programa que va calcular num�ericamente la integral debetener en cuenta dos aspectos�
�� Estimaci�on del error���� Elecci�on de la subdivisi�on de "a� b#� x� � x� � � � � � xn� tal que
nXj��
jE�f� xj � xj���j � TOL
Z b
a
jf�x�j dx�
��� VI Integraci�on Num�erica
Por consiguiente� denotando por�
res�a�b� � I� resabs�a�b� �
Z b
a
jf�x�j dx� err�a�b� �
�����Z b
a
f�x�dx � I
����� �se tiene el siguiente algoritmo�
Algoritmo
% Calcular� res�a�b�� resabs�a�b� y err�a�b��err�a�b� � TOLresabs�a�b�� si es cierto se ha terminado� si no continuarel siguiente paso�
% Plantear c � c �a� b
�y calcular�
res�a�c�� err�a�c�� resabs�a�c��
res�c�b�� err�c�b�� resabs�c�b���err�a�c� � err�c�b�
� � TOL�resabs�a�c� � resabs�c�b�
�� si es cierto se ha
terminado� si no dividir el subintervalo con error maximal y continuarcon el siguiente paso�
% Continuar hasta queXerr�aj �cj � � TOL
�Xresabs�aj �cj �
��
Una vez planteado el algoritmo� el principal problema consiste en estimarel error cometido en el c�alculo de la integral� en cada subintervalo "xi� xi��#�El teorema VI��� da una estimaci�on cuando la f�ormula de cuadratura tieneun orden p� la cual est�a dada por
E�f� x�� x�� � hp��
Z �
�
Pp�t�f�p��x� � th�dt�
donde Pp�t� es el k�simo nucleo de Peano� para la f�ormula de cuadratura� Elprincipal inconveniente de utilizar esta estimaci�on radica en que el c�alculode la derivada de orden p de f puede ser tan complicado� como encontraruna primitiva de f � y por otro lado� determinar el nucleo de Peano no es unatarea nada simple� motivos por los cuales� la estimaci�on del teorema VI���no es nada pr�actica desde el punto de vista computacional�
Ahora bien� existen dos m�etodos num�ericos que permiten encontrar unaestimaci�on del error cometido en cada subintervalo� sin necesidad de conocerlas propiedades del nucleo de Peano y de las derivadas de la funci�on a
VI�� Implementaci�on Num�erica ��
integrar� Por consiguiente sea �ci� bi�� una f�ormula de cuadratura dada deorden p� se desea estimar
E�f� x�� x�� �
Z x�
x�
f�x�dx � �x� � x��
sXi��
bi�f�x� � ci�x� � x����
El primer m�etodo para estimar E es conocido como QUADPACK� algoritmoimplementado en algunas bibliotecas de programas� La idea central de estem�etodo es tomar una segunda f�ormula de cuadratura �!ci�!bi� con un orden!p � p y estimar E�f� x�� x��� como
E�f� x�� x����x��x��$
�sXi��
!bif�x� � !ci�x� � x���sX
i��
bif�x� � ci�x� � x���
%�
�VI�����Para evitar demasiadas evaluaciones de la funci�on f � es deseable que
fc�� � � � � csg � f!c�� � � � � !c�sg �es decir
f!c�� � � � � !c�sg � fc�� � � � � csg � fcs��� � � � � cs�mg �con s�m � !s� Sin embargo m debe ser m�as grande que s� si la f�ormula decuadratura �ci� bi� es una de tipo Gauss� en efecto� si m � s� se tiene�
s�mXi��
!bicj��i �
j� j � � � � � � s�m�
sXi��
bicj��i �
j� j � � � � � � �s�
lo cual conduce a que
!bi �
�bi� i � � � � � � s�
�� i � s� � � � � � s�m�
obteniendo as��� la misma f�ormula de cuadratura� Por consiguiente es nece�sario elegir m � s� por ejemplo m � s� �
Por otro lado� se pueden elegir los ci restantes de manera que la f�ormulade cuadratura �!ci�!bi�� i � � � � � � �s � � tenga un orden igual a �s � ��Esta f�ormula de cuadratura lleva el nombre de Konrad� en honor a sudescubridor� El m�etodo QUADPACK� toma como resultado de la integral alresultado num�erico proporcionado por la f�ormula de cuadratura de Konrad�es decir
res � �x� � x��
�s��Xi��
!bif�x� � ci�x� � x���� �VI�����
��� VI Integraci�on Num�erica
la estimaci�on del error cometido es de la f�ormula de cuadratura de Gauss yno as�� de la de Konrad� No obstante� se puede obtener una estimaci�on deeste error� En efecto los errores de las f�ormulas de cuadratura est�an dadospor�
errGauss � Ch�s�� � � � � �
errKonrad � !Chs� � � � � �
Para simpli car los c�alculos se puede suponer que tanto C� como !C soniguales y valen � obteniendo as��� cuando h tiende a ��
h�s����� hs��
de donde la estimaci�on del error de la f�ormula de cuadratura multiplicadapor una constante de seguridad est�a dada por�
err �
$�x� � x��
��s��Xi��
!bif�x� � cih��sX
i��
bif�x� � cih�
�%��� ����VI�����
nalmente se tiene
resabs � �x� � x��
�s��Xi��
!bi jf�x� � ci�x� � x���j � �VI�����
El segundo m�etodo es conocido como GAUINT�GAUSS� Al igual que en elm�etodo QUADPACK� se considera una formula de cuadratura de tipo Gauss�ci� bi�� i � � � � � � s� pero s impar� de manera que uno de los nudos sea iguala ��� Luego se considera la f�ormula de cuadratura de orden al menos s� obtenida de la f�ormula original� cuyos nudos est�an dados por
f!c�� � � � � !cs��g � fc�� � � � � csg n f��g �Con los mismos argumentos desarrollados para el m�etodo QUADPACK� peroesta vez tomando el resultado num�erico proporcionado por la f�ormula decuadratura de Gauss� se obtiene�
res � �x� � x��sX
i��
bif�x� � cih�� �VI�����
err �
$�x� � x��
�sX
i��
bif�x� � cih��sX
i��
!bif�x� � !cih�
�%�� ��� �VI�����
resabs � �x� � x��
sXi��
bi jf�x� � cih�j � �VI�����
Las experiencias num�ericas muestran que en la mayor��a de los casos lasestimaciones del error cometido son demasiado pesimistas� ver en la tablaVI���� las experiencias num�ericas han sido realizadas por el m�etodo GAUINT�El programa GAUINT� para estas experiencias num�ericas� utiliza una f�ormulade cuadratura de Gauss de orden ���
VI�� Implementaci�on Num�erica ���
Tabla VI���� Error exacto vs Error estimado�
f�x� "a� b# Error exacto err
x� � x� � "�� �# ����� ���� �� ��� ����
��e���x "�� # �� �� ���� ����� ���
px "�� ��# �� ��� ��� ���� ��
Puede observase que la tercera funci�on a ser integrada es una excepci�on de laregla anteriormente formulada� eso se debe a que
px no es lo su cientemente
derivable� y el algoritmo ha sido concebido para funciones lo su cientementelisas�
Tratamiento de singularidades
Los m�etodos desarrollados en la anterior subsecci�on� tal como se puedeobservar en la tabla precedente� son utilizables para funciones lo su ciente�mente derivables� Por lo tanto� no son muy e cientes para resolver integralesde nidas de funciones no muy lisas� adem�as existen integrales impropias cuyoc�alculo es frecuente en diversas aplicaciones� como por ejemplo integrales delos tipos� Z �
�
f�x�pxdx�
Z �
�
�logx�f�x�dx�
Ejemplo
Consid�erese� la funci�on
f�x� � � �x logx
x� � ���
se desea calcularR �
�f�x�dx� Esta integral es impropia� no obstante que
una f�ormula de cuadratura de tipo Gauss proporciona resultados quese aproximan al valor exacto de esta integral� Esto se debe a que losnudos de la f�ormula utilizada son diferentes de � y que la funci�on f�x�es singular en x � �� Ahora bien� el error exacto al integrar sobre elintervalo "�� # es del orden de ���� ���� el cual est�a cerca del �( del
��� VI Integraci�on Num�erica
valor exacto� valor muy grande� Un procedimiento para obtener un errorque este en el orden de TOL� es de nir la sucesi�on Sk dada por
Sk �kX
j��
Z bj
aj
f�x�dx�
donde bj � �j�k y aj � bj��� para j � �� Con este procedimiento�solamente se debe calcular la integral en el intervalo m�as peque�no�Para poder comparar los resultados obtenidos con el m�etodo num�erico�el valor exacto de la integral� calculada mediante series� es igual aZ �
�
� �x logx
x� � ��dx �
Z �
�
��
��x logx � x����
dx
�
��
Z �
�
���x logx��Xk��
���k x�k
��kdx
�����
�Xk��
���k��k
Z �
�
x�k�� logxdx
��
�Xk��
���k��k
��k � ���
lo que es igual con � cifras de precisi�on aZ �
�
� �x logx
x� � ��dx � ������������������ ����
Aplicando el procedimiento mencionado m�as arriba� se obtiene la tablaVI�����
Tabla VI����� C�alculo Integral�
Sk Error Exacto
S� ����������������E� ��
S� ���������������E� ��
S� ��������������E� ��
S �����������������E� ��
S� ���������������E� �
S� ��������������E� �
S� ���������������E�
Sk Error Exacto
S ����������������E�
S ���������������E� �
S� ���������������E� �
S�� ����������������E� �
S�� ���������������E� �
S�� ���������������E� �
S� ���������������E� �
VI�� Implementaci�on Num�erica ���
Se puede observar inmediatamente� que la convergencia para calcular laintegral es muy lenta� es necesario� efectuar � subdivisiones para obtenerun error igual o inferior a ��� � ����� Cada utilizaci�on del programaGAUINT requiere � evaluaciones de la funci�on f � por consiguiente paraobtener el error mencionado� es necesario por lo menos �� � evalua�ciones de la funci�on f �
Para evitar tantas evaluaciones de la funci�on f � es necesario construirun algoritmo que permita acelerar la convergencia� Una forma de hacerlo esutilizar procedimientos de extrapolaci�on al l��mite dado en el cap��tulo III���Ahora bien� el m�etodo que ser�a estudiado para acelerar la convergencia enel c�alculo de estas integrales ser�a tratado con un procedimiento equivalente�el cual consiste en utilizar diferencias nitas�
A partir de la tabla precedente puede observarse� el siguiente hecho�Den�otese por S el valor exacto de la integral� entonces
Sn�� � S
��Sn � S��
es decirSn�� � S ��Sn � S�� �VI����
Sup�ongase� que se conoce tres valores consecutivos de la sucesi�on fSkg� pordecir� Sn� Sn�� y Sn��� utilizando la notaci�on de diferencias nitas dada enel cap��tulo III�� se tiene el siguiente sistema lineal�
Sn�� � S � ��Sn � S�
Sn�� � S � ��Sn�� � S�� �VI�����
de donde sustrayendo ambas ecuaciones� se obtiene
-Sn�� � �-Sn�
por consiguiente
� �-Sn��
-Sn� �VI�����
Despejando S de la segunda ecuaci�on de �VI������ se tiene
S �Sn�� �
�� -Sn��
�Sn�� � -Sn-Sn��
-Sn�� �-Sn�
obteniendo as��
S�n � Sn�� � -Sn-Sn��
-�Sn� �VI�����
��� VI Integraci�on Num�erica
El m�etodo que acaba de ser formulado por �VI������ es conocido por elprocedimiento -� de Aitken� En la tabla VI����� se dan los valores obtenidospor este procedimiento� para el ejemplo precedente�
Tabla VI����� Procedimiento - de Aitken�
S�k Valor integral Error Exacto
S�� �����������������E� �� ����E � �
S�� ����������������E� �� ����E � �
S�� ����������������E� �� ����E � �
Con la nalidad de comparar la e ciencia� del procedimiento -� de Aitken�para obtener un error del orden de ����� ���� solo se necesitan � evalua�ciones de integrales de f � mientras que� sin el procedimiento de aceleraci�ones necesario � evaluaciones de integral�
El siguiente paso en lograr una convergencia m�as rapida en el c�alculo deintegrales� consiste en generalizar el procedimiento -� de Aitken� para talefecto se supuso que
Sn�� � S � ��Sn � S��
por consiguienteSn � S � C�n�
Ahora bien� para ser m�as precisos se puede suponer que
Sn � S � C��� � C��� � � � �Ck�k� �VI�����
con los �i diferentes dos a dos� de donde la diferencia �n � Sn � S satisfaceuna ecuaci�on de diferencias nitas o relaci�on recursiva de la forma
�n�k � a��n�k�� � � � �� ak�n � �� �VI�����
La teor��a de ecuaciones de diferencias nitas� tiene como resultado central�que los �i� i � � � � � � k� son raices del polinomio caracter��stico de �VI�����dado por
k � a�k�� � � � �� ak� �VI�����
Se tiene un problema inverso� pues no se conocen los valores de los ak� perosi los valores de �n� los cuales pueden servir para determinar los valores delos ak a partir del sistema lineal�B Sn � S � � � Sn�k � S
������
Sn�k � S � � � Sn��k � S
CA� ak
���a�
A � �� �VI�����
VI�� Implementaci�on Num�erica ���
Este sistema tiene soluciones no triviales para el sistema lineal homogeneo�por lo tanto el determinante de la matriz es nulo� Efectuando sustraccionessobre las las de la matriz� se obtiene
det
�BBSn � S Sn�� � S � � � Sn�k � S-Sn -Sn�� � � � -Sn�k���
���-Sn�k�� � � � � � � -Sn�k��
CCA � ��
luego� se tiene��������Sn Sn�� � � � Sn�k-Sn -Sn�� � � � -Sn�k���
���-Sn�k�� � � � � � � -Sn�k��
�������� �
� S
�������� � � �
-Sn -Sn�� � � � -Sn�k���
���-Sn�k�� � � � � � � -Sn�k��
�������� �efectuando sustracciones sobre la columna de la matriz del lado derecho dela ecuaci�on� se obtiene nalmente
S �
��������Sn Sn�� � � � Sn�k-Sn -Sn�� � � � -Sn�k���
���-Sn�k�� � � � � � � -Sn�k��
���������������-�Sn � � � -�Sn�k��
������
-�Sn�k�� � � � -�Sn�k��
��������VI�����
Por ultimo la relaci�on �VI������ puede mejorarse si al determinante delnumerador se agrega la primera linea a la segunda linea� la segunda linea ala tercera y as�� sucesivamente� convirtiendose en
S�k� �
��������Sn Sn�� � � � Sn�kSn�� Sn�� � � � Sn�k��
������
Sn�k � � � � � � Sn�k
���������������-�Sn � � � -�Sn�k��
������
-�Sn�k�� � � � -�Sn�k��
������� ��VI������
��� VI Integraci�on Num�erica
Este resultado constituye una joya desde el punto de vista te�orico� pero es unacat�astrofe� si se quiere implementar num�ericamente� las razones son obvias�Por lo tanto es necesario construir un algoritmo que permita determinarS�k�� sin necesidad de calcular expl��citamente los determinantes encontradosen la �ultima expresi�on� El m�etodo que ser�a explicado constituye el algoritmoepsilon o m�as simplemente ��algoritmo�
Algoritmo Epsilon
El siguiente teorema formulado por Wynn en ���� permite calcular S�k��
Teorema VI������ Dados S�� S�� S�� � � � � se de ne la sucesi�on ��n�k k �
�� �� � � � � n � �� � � � � � de manera recursiva� como
��n��� � ��
��n�� � Sn�
��n�k�� � �
�n���k�� �
��n���k � �
�n�k
�
�VI�����
entonces
��n�� � S�n� �
�n�� � S��n� �
�n�� � S��
n � � � � �VI������
Demostraci�on�� Una demostraci�on completa y una explicaci�on detalladapuede encontrarse en Brezinski� �
La sucesi�on de nida por el teorema precedente permite formular el ��algoritmo en forma de una tablero� ver la gura VI����
��� ��
��� �
��� ��
������� ��� �
��� �
������� ��� �
��� ��
������� ��� �
������� ��� �
��� �
������� ��� �
������� ��� �
��� ��
������� ��� �
������� ��� �
������� ��� �
��� �
������� ��� �
������� ��� �
������� ��� �
Figura VI����� Esquema ��algoritmo�
VI�� Implementaci�on Num�erica ���
En la gura VI����� podr�a apreciarse la verdadera potencia del ��algoritmo� La sucesi�on de nida por
Sn � �
nXk��
���k�k �
� �VI������
converge hacia �� sin embargo la convergencia de esta sucesi�on es muylenta� Para obtener una precisi�on de ���� son necesarias por lo menos ��
evaluaciones de esta sucesi�on� lo cual es imposible� por el tiempo de c�alculoy por el error de redondeo� Aplicando el epsilon�algoritmo� se obtiene la
precisi�on requerida� los errores de ��n�k son dados en la gura VI�����
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1510−20
10−18
10−16
10−14
10−12
10−10
10−8
10−6
10−4
10−2
100
k=0
k=2
k=4
k=6
k=8
k=10
k=24 k=22
k=0
k=2
k=4
k=6
k=8
k=10
k=24 k=22
Figura VI���� Error de ��n�k en funci�on de n�
Otro medio para acelerar la convergencia en el c�alculo de integralesimpropias� consiste en efectuar un cambio de variable conveniente� A conti�nuaci�on se presentar�a algunos ejemplos donde el c�alculo de la integralconverge con mas rapidez o mayor lentitud dependiendo del cambio devariable elegido�
Ejemplos
a� Consid�erese� la integral impropiaZ �
�
logx
x� � ��dx�
��� VI Integraci�on Num�erica
Se observa inmediatamente que f�x� no est�a acotada en las proximidadesdel origen� Aplicando la funci�on GAUINT con una tolerancia igual aTOL � ����� Si se desea obtener el valor exacto de esta integral conun error exacto inferior a ��� son necesarias �� � � evaluaciones dela funci�on f �Efectuando el cambio de variable x � t�� se obtiene la integralZ �
�
�t log t
t� � ��dt�
integral que ha sido ya evaluada� ver la tabla VI����� La funci�on a integrares acotada� y son necesarias ���� evaluaciones de la funci�on integrada�Si nuevamente se realiza otro cambio de variable� como por ejemplo�t � s�� se obtiene la integralZ �
�
�s log s
s � ��ds�
denotando por h�s� a la funci�on integrada� se puede mostrar que h�s�es dos veces continuamente diferenciable� Resolviendo por la funci�onGAUINT son necesarias �� � evaluaciones de h�
b� Las integrales de la forma Z �
�
f�x�pxdx�
pueden ser calculadas con menos evaluaciones� si se hace el cambio devariable x � t�� obteniendo as��
�
Z �
�
f�t��dt�
c� Las integrales impropias del tipoZ �
�
f�x�dx�
mediante el cambio de variable x � �t se convierten enZ �
�
f��t�
t�dt�
Por lo tanto� para acelerar la convergencia� puede utilizarse de maneracombinada el ��algoritmo� con un cambio de variable adecuado� Vale la pena
VI�� Implementaci�on Num�erica ��
recalcar que el objetivo principal del cambio de variable es volver la funci�onintegrada m�as lisa� es decir que sea lo su cientemente derivable para poderaplicar la subrutina GAUINT en el m�aximo de su e ciencia� Sin embargo elcambio de variable puede volver m�as complicada la funci�on a integrar� motivopor el cual la ganancia obtenida en una disminuci�on de evaluaciones de lafunci�on integrada puede perderse con las mismas evaluaciones de la funci�on�
Uno de los tipos de integral donde mejor se ajusta los m�etodos deaceleraci�on propuestos� como el cambio de variable conveniente o el algoritmoepsilon consiste en�
Funciones con Oscilaciones
Escapando un poco a la rutina del libro de presentar las bases te�oricas dela soluci�on de un problema� para luego tratar algunos ejemplos� se analizar�aeste tipo de evaluaci�on de integral impropia con un ejemplo�
Consid�erese la integral de Fresnel� dada porZ �
�
sin�x��dx �
�
r�
��
La funci�on sin�x�� se anula en x� � k� con k � N� de niendo as�� una sucesi�onde n�umeros positivos fxkg� dada por
xk �pk��
Planteando
Ik �
Z xk��
xk
sin�x��dx� k � �� � �� � � � �
donde Ik pueden ser calculadas por GAUINT se de ne la sucesi�on fSkg� por
Sk �
kXj��
Ij �
teniendo como resultado Z �
�
sin�x��dx � limk��
Sk�
Ahora bien la convergencia de Sk es muy lenta� utilizando ��algoritmola velocidad de la convergencia hacia la integral� se aumenta de maneraostensible� Ver la tabla VI�����
��� VI Integraci�on Num�erica
Tabla VI���� C�alculo de la integral de Fresnel
k Sk S�k S��k S�� S��� S���
� �������� ��������� ��������� �������� ��������� ��������
��������� ��������� ��������� ��������� ���������
� ��������� �������� ��������� ��������� ���������
� ��������� �������� ��������� ���������
� ��������� �������� ������� ��������
� ������� ��������� ���������
� ������� ��������� ���������
� ��������� ��������
� �������� ��������
� ��������
� ������
Ejercicios
�� Para una sucesi�on fSngn�� el ��algoritmo est�a de nido por�
��n��� � ��
��n�� � Sn�
��n�k�� � �
�n���k�� �
��n���k � �
�n�k
�
Si la aplicaci�on del ��algoritmo a fSngn� y a f !Sngn� � faSn � bgproporciona respectivamente las cantidades �
�n�k y !�
�n�k � Mostrar que
!��n��l � a�
�n��l � b� !�
�n��l�� �
a��n��l��� �
��� Utilizar el ��algoritmo para el c�alculo de las integrales�
a�
��
Z �
�
x�����dx� b�
Z �
�
logxpxdx�
VI�� Implementaci�on Num�erica ���
��� Sup�ongase que la sucesi�on fSng satisface
Sn�� � S � ��� �n��Sn � S�
con j�j � � limn��
�n � � y consid�erese el procedimiento -� de Aitken
S�n � Sn�� � -Sn-Sn��
-�Sn� n � �� � � � � �
Demostrar que la sucesi�on fS�ng converge m�as r�apidamente hacia S quela sucesi�on fSng� es decir
limn��
S�n � S
Sn � S� ��
Indicaci�on�� Veri car que -Sn � ��� � �n��Sn � S� y encontrar unaf�ormula similar para -�Sn
VI�� Transformaci�on de Fourier
En est�a secci�on ser�a abordado el c�alculo num�erico de las transformadas deFourier� es decir los coe cientes de las series de Fourier para una determinadafunci�on� Se iniciar�a un repaso te�orico sobre las series de Fourier� luego seintroducir�a la transformada discreta de Fourier� cuya abreviaci�on usual esTDF � para nalmente ver la transformaci�on r�apida de Fourier m�as conocidacomo FFT �
Las motivaciones de la utilizaci�on de series de Fourier est�an dadas porsus diferentes aplicaciones en numerosas �areas de la ciencia� como de latecnolog��a� para citar algunas de ellas� se tiene el tratamiento de se�nales� laresoluci�on de ecuaciones diferenciales� la construcci�on de m�etodos espectralesen la resoluci�on de ecuaciones a derivadas parciales� etc�
La teor��a de la transformaci�on de Fourier est�a ��ntimamente ligada alas funciones ���peri�odicas e integrables� En este libro se supondr�a que lasfunciones son integrables en el sentido de Riemann� y no se considerar�a elcaso m�as general� Recordando la�
De�nici�on VI����� La serie de Fourier de una funci�on ��� peri�odica eintegrable� est�a dada de manera formal por
f�x� �Xk�Z
!f�k�eikx� �VI����
donde los coe cientes de Fourier est�an de nidos por
!f�k� �
��
Z �
�
f�x�e�ikxdx� �VI�����
Denotando por E � el espacio de las funciones ���peri�odicas� tales queZ �
�
f�x�f�x�dx ��� �f � E �
se tiene que E es un espacio vectorial provisto del producto sesquilinial� dadopor
hf� gi �Z �
�
f�x�g�x�dx� �VI�����
Una simple veri caci�on muestra que las funciones de nidas por
�k�x� � eikx� �VI�����
VI�� Transformaci�on de Fourier ���
constituyen una familia ortogonal de funciones� es decir
h�k � �ji � �� si j �� k�
Para conocer m�as respecto a las propiedades de espacios de Hilbert� familiasortonormales y series de Fourier existe una ambundante bibliograf��a� porejemplo Rudin�
La de nici�on VII��� es una de nici�on formal� es decir la serie de Fourierde una funci�on dada� no necesariamente debe converger hacia la funci�on�Sin embargo existen condiciones su cientes sobre la funci�on f � para quela serie de Fourier converga hacia f o por lo menos en casi todos lospuntos� A continuaci�on se enunciar�a estas condiciones su cientes y el tipode convergencia que uno puede esperar obtener�
Teorema VI����� Dirichlet� Sea f � R C una funci�on de clase C� portrozos y peri�odica de periodo ��� La serie de Fourier de f es convergente entodo punto de R� En un punto x donde la funci�on es continua� el l��mite dela serie es f�x�� En un punto x donde f no es continua� la suma de la seriees
��f�x�� � f�x���� �VI�����
Adem�as� la convergencia de la serie de Fourier de f es uniforme en todointervalo compacto que no contiene ning�un punto de discontinuidad de f �
Demostraci�on�� Una demostraci�on de este teorema puede encontrarse enGramain� �
Con la formulaci�on de este teorema� se conoce la clase de funcionesde las cuales la serie de Fourier es igual a la funci�on� en todo caso en lospuntos donde la funci�on es continua� Es prop�osito de esta secci�on estudiarlos m�etodos num�ericos que permitan calcular los coe cientes de Fourier� ypor ende la serie de Fourier asociada� Una primera alternativa de c�alculo deestos coe cientes consiste en utilizar un m�etodo de integraci�on propuesto enlas secciones precedentes de este cap��tulo� Sin embargo existen alternativasmenos costosas y m�as simples que dan excelentes resultados�
Sea f � "�� ��# C � sup�ongase que la funci�on f�x� es conocida para losx dados por la subdivisi�on equidistante
xl ���l
N� l � �� � � � � � N� �VI�����
Como f�xN � � f�x�� por hip�otesis� el c�alculo de �VI����� puede realizarse
mediante la regla del trapecio� obteniendo como aproximaci�on de !f�k�
!fN�k� �
N
N��Xl��
f�xl�e�ikxl � �VI�����
��� VI Integraci�on Num�erica
Ahora bien� �VI����� induce las de niciones siguientes�Consid�erese� el espacio de las sucesiones N �peri�odicas
PN � f�yk�k�Zjyk � C � yk�N � ykg� �VI�����
De�nici�on VI����� La transformada discreta de Fourier �DFT� de y � PNes la sucesi�on �zk�k�Z� donde
zk �
N
N��Xl��
yle�ikxl �
N
N��Xl��
yl��kl� con � � e�i �N �
Se la denota z � FNy�Proposici�on VI���� La transformada discreta de Fourier satisface lassiguientes propiedadesa� Para y � PN � se tiene que FNy � PN �b� La aplicaci�on Fn � PN PN es lineal y biyectiva�c� La aplicaci�on inversa de FN est�a dada por
F��N � N � FN � �VI�����
donde
� FNz�k �� �FN z�k �
N
N��Xl��
zl�kl� �VI�����
Demostraci�on�� Utilizando el hecho que �N � e� i � y ��lN ���N ��l � � se obtiene
zk�N �
N
N��Xl��
yl���k�N�l �
N
N��Xl��
yl��kl � zk�
mostrando as�� la periocidad de zk� La linearidad de FN resulta de unaveri caci�on inmediata� Para mostrar la biyectividad y al mismo tiempo laf�ormula �VI������ se calcula
� FNFNy�j �
N
N��Xk��
�FNy�k�kj
�
N�
N��Xk��
N��Xl��
yl��kl�kj
�
N�
N��Xl��
yl
�
N
N��Xk��
�k�j�l�
�
�
Nyj �
VI�� Transformaci�on de Fourier ���
La �ultima igualdad de este c�alculo� es consecuencia de
N��Xk��
�km �
N��Xk��
��m�k �
�N si m � �modN
�mN���m�� � � si no�
Hay que remarcar que �m � si m � �modN � �
Estudio del Error
Sup�ongase que
yl � f�xl�� xl ���l
N� l � �� � � � � � N �
para una funci�on f � R C que es ���peri�odica� La f�ormula siguiente des�cribe c�omo la transformada de Fourier discreta dada por �VI����� aproximalos coe cientes de Fourier dados por �VI������
Teorema VI����� Si la serieXk�Z
!f�k� es absolutamente convergente� en�
tonces!fn�k�� !f�k� �
Xj�Zj ��
!f�k � jN�� �VI����
Demostraci�on�� La hip�otesis sobre los coe cientes de Fourier implica quese tenga igualdad en la f�ormula �VI����� ver Gramain� Por lo tanto� se tiene
!fN�k� �
N
N��Xl��
�Xn�Z
!f�n�einxl
���kl �
Xn�Z
!f�n�
�
N
N��Xl��
��n�k�l
�� �z �
�
� si n � k��mod�N� si no
�Xj�Z
!f�k � jN�
�
Corolario VI����� Sea f � R C � p veces continuamente derivable �p � ��y ���peri�odica� Entonces�
!fN �k�� !f�k� � O�N�p�� para jkj � N
�� �VI�����
��� VI Integraci�on Num�erica
En particular� con h � ���N � se tiene
h
��
N��Xj��
f�xj��
��
Z �
�
f�x�dx � O�hp�� �VI�����
lo que signi ca que� para funciones lisas y peri�odicas� la f�ormula del trapecioes muy precisa�
Demostraci�on�� Se mostrar�a primero que los coe cientes de Fourier satis�facen ��� !f�k���� � C�k�p� �VI�����
En efecto� varias integraciones por partes dan
!f�k� �
��
Z �
�
f�x�e�ikxdx
� f�x�e�ikx
�ik����� �� �z �
�
��i����
��
Z �
�
f ��x�e�ikxdx
���
��ik��p
��
Z �
�
f �p��x�e�ikxdx
teniendo as��� �VI����� con C �
��
Z �
�
���f �p��x���� dx�Para jkj � N�� y j �� � se tiene que jk � jN j � �jjj � ���N � utilizando
�VI����� se obtiene��� !fN�k�� !f�k���� �X
j�
C�j � ����pN�p � C� �N�p�
Obs�ervese que la serie en esta f�ormula converge para p � � �
Es muy importante remarcar que !fn�k� es una sucesi�on N �peri�odica�
propiedad de la transformada discreta de Fourier� y que por otro lado !f�k�converge muy rapidamente hacia � por �VI������ Por consiguiente para k
grande� por ejemplo k N � !fN es una mala aproximaci�on de !f�k�� mientrasque para jkj � N�� la aproximaci�on es en general muy buena�
Interpolaci�on Trigonom�etrica
Para la divisi�on equidistante �VI����� del intervalo "�� ��# y paray�� y�� � � � � yN�� dados� se busca un polinomio trigonom�etrico� es decir una
VI�� Transformaci�on de Fourier ���
combinaci�on lineal nita de funciones eikx� que pase por �xl� yl�� paral � �� � � � � � N � � La existencia de tal polinomio trigonom�etrico est�aasegurada por el siguiente�
Teorema VI����� Sea y � PN y z � FNy su transformada discreta deFourier� Entonces� el polinomio trigonom�etrico
pN �x� �
N��Xk��N��
�
zkeikx ��
�
�z�N��e
�iNx�� � zN��eiNx��
��
Xjkj�N��
zkeikx�
�VI�����satisface pn�xl� � yl para l � �� � � � � � N � �
Hay que remarcar que si los yk son reales� fzkg es una sucesi�on herm��tica�es decir z�k � zk y por lo tanto el polinomio pN �x� es un polinomio acoe cientes reales�
Demostraci�on�� Para l jo� la sucesi�on fzkeikxlg es N �peri�odica� porconsiguiente
pN �xl� �
N��Xk��
zkeikxl � N � � FNz�l � N� FNFNy�l � yl�
�
El siguiente teorema a ser enunciado provee una estimaci�on del errorde la interpolaci�on trigonom�etrica con consecuencias importantes� que ser�anexplicadas posteriormente�
Teorema VI����� Sea f � R C una funci�on ���peri�odica tal queXk�Z
!f�k�
sea absolutamente convergente� Entonces� el polinomio trigonom�etrico dadopor �VI������� para yl � f�xl� satisface para todo x � R
jpN �x�� f�x�j � �pN �x� �X
jkjN��
���� !f�k���� � �VI�����
Demostraci�on�� Restando �VI���� de �VI����� se obtiene
pN �x� � f�x� �
N��Xk��N��
��!fN�k�� !f�k�
�eikx �
XjkjN��
� !f�k�eikx�
La aserci�on es pues consecuencia de �VI���� y de la desigualdad deltri�angulo �
��� VI Integraci�on Num�erica
Este teorema permite una interpretaci�on interesante� Consid�erese unafunci�on ���peri�odica de frecuencia maximal M � es decir !f�k� � � parajkj � M � Entonces� el polinomio trigonom�etrico da el resultado exactopN �x� � f�x� para todo x� si
N � �M� �VI�����
Este resultado� el Teorema del Muestreo� da una f�ormula para el n�umero demuestras necesarias para obtener una representaci�on exacta de una funci�on�
La evaluaci�on de FN requiere N� multiplicaciones y adiciones� si sela realiza directamente� Sin embargo existe un procedimiento que permitedescender el costo en operaciones a N log�N � Este procedimiento ser�a vistoen la siguiente subsecci�on�
Transformaci�on R�apida de Fourier �FFT�
El algoritmo que ser�a estudiado� se debe a Cooley . Tukey en ���� se basasobre las ideas de Runge ���� Para poder formular �este� es necesario lasiguiente�
Proposici�on VI����� Sean u � �u�� u�� � � � � uN��� � PN �v � �v�� v�� � � � � vN��� � PN y def��nase
y � �u�� v�� u�� v�� � � � � uN��� vN��� � P�N � �VI�����
Entonces� para k � �� � � � � � N � � se tiene ���N � e�i ��N � e i�N �
�N�F�Ny�k � N�FNu�k � ��k�NN�FNv�k�
�N�F�Ny�k�N � N�FNu�k � ��k�NN�FNv�k��VI�����
Demostraci�on�� Utilizando el hecho que ���N � �N � un c�alculo directo da
para k arbitrario
�N�F�Ny�k �
�N��Xj��
yje�� ijk��n
�
�N��Xj��
yj��jk�N
�
N��Xl��
y�l��z�ul
���lk�N� �z ���lkN
�
N��Xl��
y�l��� �z �vl
����l���k�N� �z �
��k�N�����lk
N
� N�FNu�k � ��k�NN�FNv�k�
VI�� Transformaci�on de Fourier ��
La segunda f�ormula de �VI����� resulta de ��N�N � �� �
La f�ormula �VI����� permite calcular� con N multiplicaciones y �Nadiciones� la transformada discreta de Fourier de y � P�N a partir de FNuy FNv� El mismo procedimiento puede ser aplicado recursivamente a lassucesiones u y v� si �estas tienen una longitud par�
Si se supone que N � �m� se obtiene el algoritmo presentado en elesquema siguiente �para N � � � ���
FN
�BBBBBBBBB
y�y�y�yy�y�y�y
CCCCCCCCCA&FN��
�By�y�y�y�
CA& FN��
�y�y�
�&FN� y� � y�
FN� y� � y�
FN��
�y�y�
�&FN� y� � y�
FN� y� � y�
FN��
�By�yy�y
CA& FN��
�y�y�
�&FN� y� � y�
FN� y� � y�
FN��
�yy
�&FN� y � y
FN� y � y
�VI�����
Figura VI���� Esquema para C�alculo de FFT�
La programaci�on de este algoritmo se la realiza en dos �etapas� Laprimera� se ordena los yi en el orden exigido por �VI������ es decir esnecesario invertir los bits en la representaci�on binaria de los indices�
����� �� �� ������������� �� � ������������� � �� ������������� � � ���������� �� �� ����������� �� � ����������� � �� ����������� � � ������
Despu�es� se efectua las operaciones de �VI����� de la manera como indicael esquema �VI������
��� VI Integraci�on Num�erica
Para pasar de una columna a otra en el esquema �VI����� son necesariasN�� multiplicaciones complejas y de otrasN adiciones o sustracciones� Comom � log�N pasajes son necesarios� entonces se tiene el�
Teorema VI��� �� Para N � �m� el c�alculo de FNy puede ser realizadocon
N
�log�N multiplicaciones complejas y
N log�N adiciones complejas�
Para ilustrar mejor la importancia de este algoritmo� ver la tabla VI���para comparar el c�alculo de FNy con o sin FFT�
Tabla VI���� Comparaci�on de FFT con DFT�
N N� N log�N cociente
�� � �� � �� ���
��� � �� �� ��
��� �� ��� � � � �� ��
Aplicaciones de la FFT
La transformada r�apida de Fourier� tiene una gran cantidad de aplicaciones�desde el c�alculo de espectrogramas� resoluci�on de ecuaciones diferencialesordinarias o a derivadas parciales� hasta la soluci�on de sistemas lineales�
De niendo el producto de convoluci�on de dos sucesiones N �peri�odicasy � PN y z � Pn� por
�y � z�k �
N��Xl��
yk�lzl� �VI������
Se tiene la siguiente propiedad� ver ejercicio �
FN �y � z� � N � FNy � FNz� �VI�����
de donde �VI������ puede ser calculado mediante O�N log�N� operaciones�La resoluci�on de un sistema lineal con una matriz de Toeplitz circular
puede ser resuelto utilizando FFT� En efecto� un tal sistema es de la forma�BBBBa� aN�� aN�� � � � a�a� a� aN�� � � � a�a� a� a� � � � a���
������ � � � ���
aN�� aN�� aN� � � � a�
CCCCA�BBBB
x�x�x����
xN��
CCCCA �
�BBBBb�b�b����
bN��
CCCCA � �VI������
VI�� Transformaci�on de Fourier ���
Evidentemente� el sistema lineal �VI������ es equivalente a a � x � b� si seconsidera �ai�� �xi� y �bi� como sucesiones de PN �
La multiplicaci�on de una matriz de Toeplitz arbitraria con un vector�BBBBa� a�� a�� � � � a�N��
a� a� a�� � � � a�N��
a� a� a� � � � aN�
������
��� � � � ���aN�� aN�� aN� � � � a�
CCCCA�BBBB
x�x�x����
xN��
CCCCA �
�BBBBb�b�b����
bN��
CCCCA � �VI������
puede ser resuelta utilizando FFT� considerando las sucesiones en P�N
a � �a�� a�� � � � � aN��� �� a�N��� a�N��� � � � � a����
x � �x�� x�� � � � � xN��� �� �� � � � � ���
Se puede veri car facilmente que el resultado del producto �VI������ es laprimera mitad del producto de convoluci�on a�x� Por consiguiente� el c�alculocon FFT da un algoritmo r�apido para efectuar el producto �VI�������
Ejercicios
�� Mostrar queFn�y � z� � N � FNy � FNz�
para el producto de convoluci�on
�y � z�k �N��Xl��
yk�lzl�
de dos suceciones N �peri�odicas� Deducir que
y � z � N � F��N �FNy � FNz��
��� Resolver la ecuaci�on diferencial con valores en la frontera
u���x� � � u��� � u���� � ��
gra car la soluci�on�
Cap��tulo VII
Ecuaciones Diferenciales
El estudio de una gran cantidad de fen�omenos de las m�as diversas ca�racter��sticas se traducen en ecuaciones diferenciales� La descripci�on de unfen�omeno mediante ecuaciones diferenciales tiene un proposito primordialque es la predecibilidad� Por otro lado� permite obtener conclusiones decar�acter local� que ser�an extrapoladas para tener informaciones globalesdel modelo estudiado� El �enfasis que se hace a la resoluci�on anal��tica delas ecuaciones diferenciales en los cursos de Ecuaciones Diferenciales quese dictan en los primeros niveles de las universidades� tienen el objetivo deencontrar soluciones generales a los diversos problemas diferenciales que seencuentran en el transcurso de los estudios universitarios� como tambi�en enel ejercicio profecional� Este hecho se debe fundamentalmente que hasta haceno mucho� no se contaban con los medios tecn�ologicos que permitan resolverecuaciones diferenciales con la precisi�on que se requer��a� Por consiguiente� elobjetivo de estos cursos eran esencialemte obtener las soluciones en forma def�ormulas� perdiendose as�� el car�acter esencial de las ecuaciones diferencialesque es el estudio local de los fen�omenos� Adem�as cuestiones como existenciay unicidad no son abordadas por falta de tiempo�
Este cap��tulo tiene como objetivo principal la formulaci�on de m�etodosnum�ericos de resoluci�on de problemas diferenciales a valores iniciales oproblemas de Cauchy� La primera parte tratar�a sobre cuestiones de existenciay unicidad de las ecuaciones diferenciales� Luego se abordar�a los m�etodos aun paso y como expresi�on de estos� los m�etodos de Runge�Kutta� desde laconstrucci�on de estos� estimaciones de error y como corolario los metodosencajonados del tipo Dormand . Prince� La tercera parte de este cap��tulotratar�a los m�etodos num�ericos a paso m�ultiple� se ver�a la construcci�on deestos� cuestiones de estabilidad y convergencia�
VII�� Generalidades
En este cap��tulo I � I� designan intervalos abiertos de R no reducidos a unpunto y t� un punto jo de I�� se da una funci�on f de nida y continua sobreI� � Rm con valores en Rm � un elemento y� � Rm � y se desea encontrar unafunci�on y continua y derivable sobre el intervalo I�� con valores en Rm � talque�
y��t� � f�t� y�t��� �t � I�� �VII���
y�t�� � y�� �VII����
Este problema se lo conoce con el nombre de problema de Cauchy para elsistema diferencial �VII���� la condici�on �VII���� se llama una condici�onde Cauchy� Una funci�on y que satisface el sistema �VII��� es llamada unaintegral del sistema �VII���� En numerosos ejemplos f��sicos� la variable trepresenta el tiempo� el instante t�� es por consiguiente� llamado instanteinicial y la condici�on �VII���� llamada condici�on inicial�
Se puede remarcar que si se denota por y�� y�� � � � � ym las componentesde y� por f��t� y�� � � � � ym�� � � � � fm�t� y�� � � � � ym� las componentes de f�t� y�la ecuaci�on �VII��� es equivalente al sistema�����������
y���t� � f��t� y��t�� � � � � ym�t��
y���t� � f��t� y��t�� � � � � ym�t��
���
y�m�t� � fm�t� y��t�� � � � � ym�t��
� �VII����
Las ecuaciones del sistema VII��� son de primer orden� pues en �estas� elorden de derivaci�on m�as alto que aparece es el primero� Consid�erese ahoraun problema diferencial de orden p� de la forma
y�p��t� � f�t� y�t�� y��t�� � � � � y�p����� �VII����
el cual puede convertirse en problema de la forma �VII���� planteando
z��t� � y�t�� z��t� � y��t�� � � � � zp�t� � y�p����t��
el problema diferencial �VII����� por consiguiente es equivalente al sistema�������������
z���t� � z��t�
���
z�p���t� � zp�t�
z�p�t� � f�t� z��t�� � � � � zp�t��
�
VII�� Generalidades ���
de donde planteando
z � �z�� z�� � � � � zp�t y F �t� z� � �z�� � � � � zp� f�t� z�� � � � � zp��
t�
se tienez��t� � F �t� z�t��� �VII����
La condici�on de Cauchy para el problema �VII���� est�a dada pory�t��� y
��t��� � � � � y�p����t���
Ahora bien� en este cap��tulo no ser�a tratado el problema diferencialgeneral de orden p� dado por
F �t� y�t�� y��t�� � � � � y�n��t�� � �� �t � I�� �VII����
Cuando se puede aplicar el teorema de las funciones implicitas� �VII���� eslocalmente equivalente a la ecuaci�on de la forma �VII���� y la teor��a queser�a desarrollada en este cap��tulo podr�a ser aplicada a este tipo de problemasin inconvenientes� Si el teorema de las funciones implicitas no es aplicable�serias di cultades matem�aticas y num�ericas pueden aparecer� en este caso sehabla de ecuaciones diferenciales algebraicas� para saber m�as sobre este tipode ecuaciones referirse a Hairer . Wanner�
Finalmente es necesario remarcar que� si bien I� es un intervalo abierto�el estudio de las soluciones de los problemas diferenciales permite considerarlos intervalos de la forma "t�� t� � T � y �t� � T� t�#� obteniendo el intervaloabierto por recolamiento de ambos subintervalos semiabiertos�
Teoremas de Existencia y Unicidad
En esta subsecci�on se supondr�a que la terminolog��a b�asica es conocida porel lector� No obstante� se enunciar�a dos teoremas muy importantes en lo queconcierne el an�alisis num�erico de ecuaciones diferenciales� El primer teoremaa enunciarse da condici�ones su cientes para asegurar la existencia y unicidadde las soluciones de los problemas a valores iniciales� El segundo teoremaest�a relacionado con la condici�on misma del problema� pues cuando se tratanum�ericamente un problema es de suponer que se trabaja con una soluci�onaproximada del problema�
Teorema VII������ Cauchy�Lipschitz� Sup�ongase que f es continua sobreI� � Rm y que satisface una condici�on de Lipschitz� es decir que existe unreal L tal que
kf�t� z�� f�t� y�k � L kz � yk ��t� y� y �t� z� � I� � Rm � �VII����
entonces el problema �VII������� admite una soluci�on y una sola�
Demostraci�on�� Se dar�a una demostraci�on directa que tiene la ventaja deser valida cuando se remplaza Rn por un espacio de Banach�
��� VII Ecuaciones Diferenciales
Paa jar las ideas� sup�ongase que I� � "t�� t � t�# y consid�erese laaplicaci�on + que a y � C��"t�� t � t�#� asocia +�y� � C��"t�� t � t�#� de nidapor
+�y��t� � y� �
Z t
t�
f�s� y�s��ds�
Introduciendo la norma
kykL � maxs�I�
�e��L�s�t�� ky�s�k�
que dota C��I�� de una estructura de espacio de Banach� Se tiene
k�+�y��+�y����t�k �Z t
t�
kf�s� y�s��� f�s� y��s��k ds
�Z t
t�
Le�L�s�t��ds ky � y�kL
�
�e�L�t�t�� ky � y�kL �
deduciendose
k+�y��+�y��kL �
�ky � y�kL �
El teorema del punto jo implica que + tiene un solo punto jo en C��I���de donde se tiene el resultado� �
Teorema VII������ Sea f � V Rn continua� donde V � Rn�� abierto�Sup�ongase que� y�x� es una soluci�on de y� � f�x� y� sobre "x�� x#� tal quey�x�� � y� v�x� una soluci�on aproximada de la ecuaci�on diferencial sobre"x�� x�# tal que
kv��x� � f�x� v�x��k l � �VII����
y f satisface una condici�on de Lipschitz sobre un conjunto que contengaf�x� y�x��� �x� z�x��g� es decir
kf�x� y�� f�x� z�k � L ky � zk � �VII����
Entonces
ky�x�� v�x�k � ky� � v�x��k eL�x�x�� �
L
�eL�x�x�� �
�� �VII����
Demostraci�on�� Se tiene�
y�x�� v�x� � y�x��� v�x�� �
Z x
x�
�y��s�� v��s��ds
� y�x��� v�x�� �
Z x
x�
�f�s� y�s��� f�s� v�s�� � f�s� v�s��� v��s�� ds�
VII�� Generalidades ���
pasando a las normas y aplicando las hip�otesis �VII���� y �VII����� seobtiene
ky�x�� v�x�k � ky� � v�x��k�Z x
x�
�L ky�s�� v�s�k� � ds�
Planteando
u�x� � ky� � v�x��k�Z x
x�
�L ky�s�� v�s�k� � ds�
se deduceu��x� � L ky�x�� v�x�k� � Lu�x� � �
de esta manera se obtiene la desigualdad diferencial
u��x� � Lu�x� �
u�x�� � ky� � v�x��k ��VII���
Para resolver este desigualdad� se considera la familia de ecuaciones�
w�n�x� � Lwn�x� � � wn�x�� � u�x�� �
n� �VII����
cuyas soluciones est�an dadas por�
wn�x� � wn�x��eL�x�x�� �
L
�eL�x�x�� � �
��
El siguiente paso en la demostraci�on es mostrar que
u�x� � wn�x�� �VII����
Sup�ongase lo contrario� es decir que existe un n y s � x�� tales queu�s� � wn�s�� Consid�erese el conjunto
A � fx � x�ju�x� � wn�x�g
y sea x� � inf A� Por continuidad se tiene u�x�� � wn�x��� De donde�
wn�x��� wn�x�� �
Z x�
x�
w�n�s�ds �
Z x�
x�
�Lwn�s� � �ds
�Z x�
x�
�Lu�s� � �ds �Z x�
x�
u��s�ds
� u�x��� u�x���
��� VII Ecuaciones Diferenciales
por lo tantow�x�� � u�x���
llegando a una contradicci�on con ��n � ��
�
Problemas con Valores en la Frontera
La teor��a de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales son general�mente formuladas para problemas de Cauchy o problemas a valores iniciales�sin embargo existe una gran variedad de problemas diferenciales de otras ca�racter��sticas que ser�an tratados en esta subsecci�on�
Toda ecuaci�on diferencial puede expresarse como un sistema de ecua�ciones diferenciales de primer orden de la manera siguiente
y� � f�x� y�� �VII����
donde f � R � Rn Rn �Un problema diferencial con valores en la frontera es darse una ecuaci�on
diferencial del tipo �VII���� con n condiciones para y�a� y y�b�� dondea� b � R� Existe una gama de problemas diferenciales con valores en lafrontera� A continuaci�on se mostrar�a los ejemplos m�as representativos�
Ejemplos
a� Problemas a valores iniciales� Son de la forma
y� � f�x� y��
y�x�� � y��
Este tipo de problema tiene soluci�on �unica si f es continua y veri ca lascondiciones de Lipschitz�
b� Consid�erese el problema
y�� � y�y�a� � A�
y�b� � B�
La ecuacion diferencial de segundo orden puede reducirse al siguientesistema de primer orden
y�� � y��
y�� � y��
con condiciones de borde dadas por y��a� � A y y��b� � B� Esteproblema siempre tiene soluci�on �unica cuando a �� b�
VII�� Generalidades ��
c� Encontrar una soluci�on T peri�odica de una ecuaci�on diferencial� porejemplo
y� � y � cosx�
Es muy facil deducir que T � ��k� con k entero� El problema es encontraruna soluci�on de la ecuaci�on diferencial que satisfaga
y�x� � y�x� T ��
d� Determinar el par�ametro � Rp de la ecuaci�on
y� � f�x� y� ��
donde la soluci�on buscada veri ca y�a� � ya y g�y�a�� con g � Rn Rp �Ahora bien� este problema puede expresarse como el problema diferencialequivalente
y� � f�x� y� ��
� � ��
con condiciones de frontera
y�a� � ya�
g�y�b�� � ��
e� Problemas a frontera libre� son de la forma
y�� � f�x� y� y���
y��� � A�
y�l� � B�
y��l� � ��
con l desconocido� Este problema mediante una transformaci�on af��n dex� puede expresarse de la siguiente forma
z�� � l�f
�lt� z�
z�
l
��
l� � ��
con condiciones de borde dadas por
z��� � A� z�� � B� z��� � ��
En base a los ejemplos expuestos m�as arriba� el problema diferencial convalores en la frontera puede expresarse como
y� � f�x� y��
r�y�a�� y�b����VII����
��� VII Ecuaciones Diferenciales
donde f � R � Rn R y r � Rn � Rn Rn �Por consiguiente la funci�on r en los diferentes ejemplos� ser�a igual a�
r�y�a�� y�b�� � y�a�� ya ejemplo a��
r
��y��a�y��a�
��
�y��b�y��b�
���
�y��a��Ay��b��B
�ejemplo b��
r�y�x��� y�x� � T �� � y�x��� y�x� � T � ejemplo c��
Introduciendo la notaci�on siguiente
y�x� a� ya� �VII����
para expresar la soluci�on y�x� que satisface y�a� � ya� el problema diferencialcon condiciones en la frontera consiste en encontrar ya� tal que
r�ya� y�b� a� ya�� � �� �VII���
De niendo la funci�on F � Rn Rn por
F �ya� � r�ya� y�b� a� ya��� �VII����
resumiendose el problema diferencial con valores en la frontera a encontrarya tal que
y� � f�x� y��
F �ya� � ���VII����
Sup�ongase que y��x� sea una soluci�on de �VII����� es decir y�a � y��a��adem�as que F ��y�a� sea inversible� por el teorema de la inversi�on local lasoluci�on y�a es localmente �unica y por consiguiente y��x� lo es tambi�en�
La ecuaci�on F �ya� se resuelve generalmente por un m�etodo iterativo�si F no es lineal� se utiliza por ejemplo el m�etodo de Newton� Para poderaplicar el m�etodo de Newton es necesario conocer F ��ya�� Ahora bien� setiene
F ��ya� ��r
�ya�ya� y�b� a� ya�� �
�r
�yb�ya� y�b� a� ya��
�y
�ya�b� a� ya�� �VII�����
Diferenciabilidad respecto a los Valores Iniciales
En la expresi�on �VII����� puede observarse que existe una expresi�on que esderivada respecto al valor inicial ya� Retomando la notaci�on de la secci�onprecedente se tiene y�x� x�� y�� es la soluci�on que pasa por �x�� y�� de la
VII�� Generalidades ���
ecuaci�on diferencial y� � f�x� y�� donde f � R � Rn Rn � El problemaconsiste en determinar
�y
�y��x� x�� y��� �VII����
En el caso lineal� se tiene que la ecuaci�on diferencial es de la forma
y� � A�x�y �VII�����
donde A�x� es una matriz de coe cientes �aij�x� continuos� La soluci�ongeneral de �VII����� est�a dada por
y�x� x�� y�� �nXi��
y�x� x�� ei�y�i � R�x� x��y� �VII�����
donde los ei son los vectores de la base can�onica de Rn � La matriz R�x� x��se llama el nucleo resolvente o la resolvente de la ecuacion �VII������ Esfacil de veri car que
�y
�y��x� x�� y�� � R�x� x�� �VII�����
Para el caso no lineal la situaci�on es un poco m�as complicada� Se tiene
�y
�x�x� x�� y�� � f�x� y�x� x�� y��� �VII�����
suponiendo que �y��y� existe y el orden de derivaci�on conmuta� se obtiene
�
�x
��y
�y��x� x�� y��
��
�f
�y�x� y�x� x�� y���
�y
�y��x� x�� y��
con�y
�y��x�� x�� y�� � I�
de donde�y
�y��x� x�� y�� es la resolvente de la ecuaci�on diferencial lineal
,� ��f
�y�x� y�x� x�� y���,� �VII�����
Shooting Simple
Retomando el problema con valores en la frontera formulado bajo la formade las ecuaciones �VII���� y �VII���� puede ser resuelto utilizando elm�etodo conocido como shooting simple� que en s��ntesis es utilizar un m�etodo
��� VII Ecuaciones Diferenciales
n�umerico para resolver �VII����� Este m�etodo puede ser Newton u otrom�etodo num�erico adaptado al problema� Sin pretender dar una teor��a quejusti que tal m�etodo� para tal efecto referirse a Stoer� se mostrar�a estem�etodo implementado en ejemplos�
Ejemplos
a� Consid�erese el problema con valores en la frontera dado por�
y�� � �ey�y��� � �
y�� �
��
�VII�����
Utilizando la notaci�on de la subsecci�on precedente� se plantea
y�x� ���
la soluci�on del problema diferencial a valores iniciales
y�� � �ey�y��� � �
y���� � ��
�VII����b�
El problema �VII����� se traduce en encontrar �� tal que
y�� �� �
��
En la gura VII��� puede observarse en la gr�a ca los valores de y�� enfunci�on de ��
0 2 4 6 8 10
−1
0
1
2
α
y(1)
Figura VII����� Valores de y�� en funci�on de ��
VII�� Generalidades ���
Observando la gr�a ca� se puede deducir que el problema �VII����� tienedos soluciones� El siguiente paso es aplicar el m�etodo del shooting simple�obteniendo de esta manera dos soluciones� La primera con
� � ������������������
la segunda soluci�on con
� � ��������������
Puede apreciarse las gra cas de las dos soluciones� en la gura �VII����
0 10
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
Figura VII����� Soluciones del Problema �VII������
b� En este ejemplo se analizar�a un problema de soluciones peri�odicas�Consid�erese la ecuaci�on diferencial de Van der Pol� dada por
y�� � �� y��y� � y� �VII�����
El problema consiste en determinar si existe una soluci�on peri�odica ysobre todo c�omo es �esta� Ahora bien� �VII����� puede escribirse comoel sistema de ecuaciones diferenciales
y�� � y��
y�� � �� y���y� � y���VII�����
Planteando y�x� � �y��x�� y��x��� el problema se resume en encontrarT � �� tal que y�T � � y���� que puede formularse de la siguiente manera
F �T� y�� � y�T� �� y��� y� � �� �VII�����
Sup�ongase que T� y� sean una aproximaci�on de la soluci�on del problema�VII������ de donde
F �T �-T� y� �-y�� � ��
��� VII Ecuaciones Diferenciales
con -T � -y� escogidos convenientemente� Desarrollando en serie deTaylor� se deduce�
F �T� y�� ��F
�T�T� y��-T �
�F
�y��T� y��-y� � ��
y�T� �� y��� y� � f�y�T� �� y���-T �
��y
�y��T� �� y��� I
�-y� � ��
Por consiguiente� se tiene n ecuaciones lineales� con n � incognitas�agregando la condici�on suplementaria
-y� � f�y�T� �� y���� �VII����
se obtiene� �y
�y��T� �� y��� I f�y�T� �� y���
f t�y�T� �� y��� �
��-y�-T
�� �
�y�T� �� y��� y�
�
��
�VII�����Partiendo de los valores iniciales
y���� � ��
y���� � ���
T � ���
luego de � iteraciones se obtiene con una precisi�on del orden de ����los valores iniciales y el periodo
y���� � ����������������
y���� � ���
T � �����������������
La soluci�on peri�odica de la ecuaci�on Van der Pol puede apreciarse en la gura VII���
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
−2
−1
0
1
2
3
Figura VII����� Soluciones Periodica de Van der Pol�
VII�� Generalidades ���
Shooting M�ultiple
La soluci�on del problema con valores en la frontera
y� � f�x� y�� r�y�a�� y�b�� � ��
requiere que para todo punto x de la regi�on donde est�a de nida la soluci�on yse tenga una aproximaci�on num�erica de y�x�� En el m�etodo shooting descritoen la anterior subsecci�on� solamente el valor inicial y�a� � !ya es determinado�En muchos problemas es su ciente conocer este valor� sin embargo en unagran variedad de problemas con valores en la frontera conocer este valor noes nada able� Para ilustrar esto� consid�erese la ecuaci�on diferencial�
y�� � y� � �y � �� �VII�����
cuya soluci�on general est�a dada por
y�x� � C�e���x � C�e
��x� �VII�����
donde C� y C� son constantes reales arbitrarias� El problema a valor inicialy��� � y� y y���� � y�� tiene como soluci�on
y�x� �y� � y��
�e���x �
y�� � �y��
e��x� �VII�����
Ahora bien� consid�erese el problema con valores en la frontera dado por
y��� � � y��� � �
la soluci�on de este problema consiste en determinar y�� de la f�ormula�VII������ Por consiguiente� resolviendo la ecuaci�on lineal
� y���
e���� �� � y��
�e��� � �
se obtiene
y�� ��� �e��� � e����
e��� � e����
Debido a la aritm�etica de punto �otante que las computadoras poseen� enlugar de y��� se manipula la cantidad
y�� � ��� � ��� con j�j � eps� �VII�����
Suponiendo que los c�alculos se hacen en doble precisi�on� se puede tomar porejemplo � � ����� Remplazando y�� en �VII������ se obtiene
y���� ����
�e��� ���� ���
��� VII Ecuaciones Diferenciales
Otra de las di cultades mayores en la implementaci�on del m�etodoshooting en su versi�on simple� es la necesidad de contar con una buenaaproximaci�on de ya� lo que en general no sucede� Por otra lado� los valoresque pueden tomar los ya� en muchas situaciones� est�an con nados a regionesdemasiado peque�nas� por ejemplo considerese el problema
y�� � y�
y��� � �
y���� � ��
�VII�����
los valores que puede tomar y����� para que y�x� est�e de nida en el intervalo"�� ��#� est�an restringidos a un intervalo de longitudo no mayor a ���� Poreste motivo puede deducirse la di cultad de implementar el m�etodo shootingsimple�
El remedio a estas di cultades enumeradas m�as arriba est�a en la im�plementaci�on del m�etodo shooting m�ultiple� que consiste en subdividir elintervalo "a� b# en subintervalos de extremidades xi� es decir tomar una sub�divisi�on a � x� � x� � � � � xn � b� Luego� se denota por yi � y�xi�� De estamanera se obtiene el sistema de ecuaciones�����������������
y�x�� x�� y��� y� � �
y�x�� x�� y��� y� � �
���
y�xn� xn��� yn��� � �
r�y�� yn� � ��
�VII�����
La soluci�on de �VII����� se la encuentra utilizando un m�etodo iterativo�que puede ser Newton si el problema no es lineal� Como ilustraci�on de esteM�etodo se tiene los siguientes dos ejemplos�
Ejemplos
a� Consid�erese el problema �VII������ Para su resoluci�on se ha subdivi�dido equidistantemente en �� subintervalos� La soluci�on del sistema�VII����� se la hecho utilizando el m�etodo de Newton� Las iteracionesy las gr�a cas pueden apreciarse en la gura VII����
VII�� Generalidades ���
0 20 40 60 80 1000
1
2
3iter=0
0 20 40 60 80 1000
1
2
3iter=1
0 20 40 60 80 1000
1
2
3iter=2
0 20 40 60 80 1000
1
2
3iter=3
0 20 40 60 80 1000
1
2
3iter=4
0 20 40 60 80 1000
1
2
3iter=11
Figura VII���� Implementaci�on M�ultiple Shooting�
b� Este ejemplo est�a relacionado con un problema ingen��eril� Un granjerodesea un silo cuya base sea un c��rculo de radio �m� de altura �m yel techo sea un c��rculo de radio ���m� la capacidad del silo debe serexactamente de ���m� Suponiendo que el costo es proporcional al �areadel silo� �C�ual es la forma de �este�
�� VII Ecuaciones Diferenciales
Matem�aticamente el problema puede ser formulado como�
area lateral � min�
v�olumen � ����
Por la simetr��a del problema� se puede deducir que el silo es una super ciede revoluci�on� por lo tanto el problema puede expresarse de la manerasiguiente� Encontrar una funci�on y�x�� tal que
Z ��
�
yp � y��dx � min�
�
Z ��
�
y�dx � ����
y��� � ��
y��� � ����
Planteando
L�� y� y�� � yp � y�� �
�y� � ��
�
��
el problema es equivalente� por los Multiplicadores de Lagrange a
Z ��
�
L�� y� y��dx min �
Este problema es de tipo variacional� Aplicando las ecuaciones de Euler�Lagrange se convierte en el problema diferencial siguiente
d
dx
��
�y�
�yp � y�� � �y� � ��
�
����
�y
�yp � y�� � �y� � ��
��
�� ��
La soluci�on de este problema ha sido efectuada utilizando el m�eto deshooting m�ultiple� Como soluci�on inicial se ha utilizado una par�abolaque satisfaga las condiciones de contorno y la condici�on de v�olumen� Elintervalo "�� �# ha sido subdivido en � subintervalos de igual longitud�Despues de � iteraciones se llega a una precisi�on de ����� Las iteraciones
VII�� Generalidades �
del m�etodo pueden apreciarse en la gura VII����
0 10012345678
iter=0
0 10012345678
iter=1
0 10012345678
iter=2
0 10012345678
iter=3
0 10012345678
iter=4
0 10012345678
iter=5
Figura VII���� Determinaci�on del Silo �optimo�
A continuaci�on se presenta una serie de ejercicios� cuya nalidad esrecordar las nociones b�asicas sobre las ecuaciones diferenciales�
Ejercicios
�� Resolver�y� � �x signo�y�
pjxj�
y� � exp�y� sin�x��
y� � �x� y � ����
Dibujar los campos de vectores�
��� Dibujar el campo de vectores de la ecuaci�on
xy� �px� � y� � y�
Encontrar una f�ormula explicita para las soluciones�
��� La ecuaci�on de un cuerpo en caida libre est�a dada por
r�� � ��Mr�
� r��� � R� r���� � v�� �VII�����
�� VII Ecuaciones Diferenciales
Plantear r� � p�r�� deducir una ecuaci�on diferencial para p y resolverla�Encontrar una condici�on para v�� tal que r�t� � si t �� Calcular lassoluciones de �VII����� que tienen la forma a�b� x��
��� Transformar la ecuaci�on de Bernoulli
y� �y
� x� � � x�y� � ��
en una ecuaci�on lineal� Plantear y�x� � z�x�q con q conveniente�
��� Resolver la ecuaci�on de Riccati
y� � y� � � x�� �VII�����
Dibujar el campo de vectores considerando las curvas donde y� � cons�las isoclinas� Deducir una soluci�on particular ��x� de �VII������ Calcularlas otras soluciones mediante la transformaci�on z�x� � y�x�� ��x��
��� Encontrar la soluci�on de
y�� � �y� � �y � g�x�� g�x� �
�cosx� � � x � ������ ��� � x�
que satisface y��� � y���� � ��
��� Resolver las ecuaciones lineales
y� �
�� ��� ��
�y� y� �
� �� ��
��
VII�� M�etodo de Euler
En esta secci�on ser�a estudiado el m�etodo m�as sencillo de resoluci�on deecuaciones diferenciales con valores iniciales�
Se considera el problema a valor inicial o problema de Cauchy dado por�y� � f�x� y��
y�t�� � y���VII����
donde f � V Rn continua� con V � R�Rn � Se desea determinar y�t��T ��para eso se considera la subdivisi�on del intervalo "t�� t� � T # dada por
t� � t� � t� � � � � � tn � t� � T�
de niendohi � xi�� � xi� i � �� � � � � n� � �VII�����
La idea fundamental del m�etodo de Euler consiste en aproximar la soluci�onexacta en x�� utilizando una tangente que pase por �x�� y��� es decir
y� � y� � h�f�x�� y��� �VII�����
De manera generalxi�� � xi � hi�
yi�� � yi � hif�xi� yi���VII�����
La soluci�on num�erica proporcionada por el m�etodo de Euler es� por consi�guiente una funci�on poligonal� ver gura VI���� denotada por yh�x�� llamadapol��gono de Euler� esta funci�on esta de nida por�
h � �h�� � � � � hn���x � "xk� xk��#�
yh�x� � yk � �x � xk�f�xk� yk��
�VII�����
y
yy
yy
yy
0
1
2
3
4
56
x x x x x x1 2 3 4 5 6
y(x)
Figura VII����� El Pol��gono de Euler
�� VII Ecuaciones Diferenciales
Una pregunta muy natural� que uno puede plantearse� consiste en determinarbajo que condiciones el m�etodo de Euler converge hacia la soluci�on exactadel problema diferencial de Cauchy� cuando n��
Consid�erese el problema
y� � f�x� y��
y�x�� � y���VII�����
donde f � U Rn � con U � R � Rn abierto� Se de ne
jhj � maxi�������n��
hi� �VII�����
Proposici�on VII������ Sea D � f�x� y�jx � "x�� x��a#� ky � y�k � bg � U �Sup�ongase que f jfD continua� A � max
�x�y��Dkf�x� y�k� � � min�a� b�A��
Entonces para cada divisi�on h del intervalo "x�� x� � �# se tienea� kyh�x� � yh� x�k � A kx� xk� x� x � "x�� x� � �#�b� si kf�x� y�� f�x�� y��k � � sobre D� entonceskyh�x� � �y� � �x� x��f�x�� y���k � � jx� x�j �
Demostraci�on��El punto a� es trivial� ya que es consecuencia de lade nici�on de yh� A y la desigualdad del tri�angulo aplicada una cantidad nita de veces�
La demostraci�on del punto b� es la siguiente� Sea x � "x�� x� � �#� porconsiguiente x � "xk��� xk#� de donde
yh�x� � yk � �x� xk���f�xk��� yk���
� y� � h�f�x�� y�� � h�f�x�� y�� � � � �� hk��f�xk��� yk���
� �x� xk���f�xk��� yk����
Ahora bien�
y� � �x� x��f�x�� y�� � y� � h�f�x�� y�� � � � � hk��f�x�� y��
� �x� xk���f�xk��� yk����
obteniendo nalmente b�� �
Proposici�on VII������ Sea h una divisi�on del intervalo I � Sean yh�x� elpol��gono de Euler para �x�� y�� y zk�x� el pol��gono de Euler para �x�� z��� Si
kf�x� y�� f�x� z�k � L ky � zk � ��x� y�� �x� z� � D� �VII�����
entonceskyh�x� � zh�x�k � kx� � z�k eL�x�x��� �VII�����
VII�� M�etodo de Euler ��
Antes de demostrar esta proposici�on vale la pena recalcar que si fsatisface una condici�on de Lipschitz� es decir �VII������ el pol��gono de Euleres �unico paa h dado�
Demostraci�on�� Se tiene�
y� � y� � h�f�x�� y���
z� � z� � h�f�x�� z���
obteniendo como desigualdad
ky� � z�k � ky� � z�k� h�L ky� � z�k� � � h�L� ky� � z�k� eh�L�
procediendo de manera recursiva� se obtiene
kyk � zkk � eLhk�� kyk�� � zk��k� eL�x�x�� ky� � z�k �
�
Teorema VII������ Cauchy� Sea D � f�x� y�jx� � x � x� � a� ky � y�kg �U � sup�ongasei� f jD continua� A � max
�x�y��Dkf�x� y�k� � � min�a� b�A��
ii� kf�x� y�� f�x� z�k � L ky � zk si �x� y�� �x� z� � D�entoncesa� Si jhj �� entonces los pol��gonos de Euler yh�x� convergen uniforme�
mente sobre "x�� x� � �# hacia una funci�on ��x��b� ��x� es soluci�on de y� � f�x� y�� y�x�� � y��c� La soluci�on es �unica sobre "x�� x� � �#�
Demostraci�on�� Inicialmente se mostrar�a� que si hk es una sucesi�on de sub�divisiones de "x�� x� � �# con jhkj �� entonces la sucesi�on de poligonos deEuler asociada� es una sucesi�on de Cauchy para la norma de la convergenciauniforme� Para tal efecto� se mostrar�a que
�� � �� � � tal que jhj � ����!h��� �
�� �x � "x�� x� � �# se tiene yh�x� � y�h�x�
� ��
donde h es una divisi�on con jhj � y !h una divisi�on m�as na que h�
�� VII Ecuaciones Diferenciales
Sea � � � dado� entonces existe � � tal que si jx� xj � yky � yk � A implica que kf�x� y�� f� x� y�k � �� Esto es cierto por quef es uniformemente continua sobre D�
Por la proposici�on VII���� se tiene
kyh�x�� fy� � �x� x��f�x�� y��gk � � jx� x�j �
de donde yh�x�� y�h�x� � �
h�x� � x��e
L�x�x�� � � � �� �x� xk�eL�x�xk�
i�
Z x
x�
eL�x�s�ds � �eL�x�x�� �
L
� �eL �
L�
por consiguiente� fyh�x�g es una sucesi�on de Cauchy� con que no dependede x� Como consecuencia inmediata� se tiene que la sucesi�on converge haciauna funci�on ��x� que adem�as es continua�
La demostraci�on del punto b� se basa en los siguientes hechos� yh�x�� �y� implica que ��x�� � y�� se considera el m�odulo de continuidad de f �de nido por
�� � � supfkf�x� y�� f� x� y�k j jx� xj � � ky � yk � A g�
se observa inmediatamente� que �� � � si �� Utilizando la proposici�onVII����� se obtiene
kyh�x� �� yh�x� � f�x� yh�x��k � �� ��
de donde� se tiene
k��x � �� ��x� � f�x� ��x��k � �� ��
efectuando el pasaje al l��mite� se obtiene
���x� � f�x� ��x���
La unicidad del punto c� ha sido ya demostrada en el corolario VII��� �
Corolario VII����� f � U Rn �U � �Rn � continuamente diferenciable�
D � f�x� y�jx� � x � x� � �� ky � y�k � bg � U �
VII�� M�etodo de Euler ��
Sobre D se tiene kf�x� y�k � A�
�f�y �x� y� � L�
�f�x �x� y� �M �
Entonces
ky�x� � yh�x�k � M � AL
L
�eL�x�x�� �
�jhj � �VII�����
donde y�x� es soluci�on de y� � f�x� y�� y�x�� � y��
Demostraci�on�� Remontando la demostraci�on del teorema precedente� setiene
kyh�x� � y�x�k � �eL�x�x�� �
L�
Puesto que f es diferenciable� se tiene
kf�x� y�� f� x� y�k � L ky � yk�M jx� xj� A jhj� jhj �
de donde planteando � � �LA�M� jhj se tiene �VII������ �
Efectos de los Errores de Redondeo
Generalmente no se puede calcular la soluci�on exacta del esquema �VII������se calcula solamente la soluci�on del esquema perturbado dado por
y�n�� � y�n � hnf�tn� y�n� � hn�n � �n �VII����
donde �n designa el error con el cual es calculado la funci�on f y �n los erroresde redondeo cometidos por la computadora� Se supondr�a que j�nj � � yj�nj � ��
Con la hip�otesis suplementaria que f es continuamente diferenciable�como en en el corolario VII����� se tiene planteando en � y�n � yn ysustrayendo �VII���� con �VII������
e�n�� � e�n � hn"f�tn� y�n�� f�tn� yn�# � hn�n � �n� �VII�����
Puesto que f es diferenciable� se obtiene de �VII����� el siguiente esquema
e�n�� � e�n � hn"�f
�y�tn� yn�e
�n# � hn�n � �n �O�ke�nk��� �VII�����
Planteando zn � hne�n� despreciando O�ke�nk�� y suponiendo que hn � h
constante� se obtiene el siguiente esquema para zn� con
zn�� � zn � h"�f
�y�tn� yn�zn# � h�h�n � �n�� �VII�����
�� VII Ecuaciones Diferenciales
de donde zn es la soluci�on num�erica exacta obtenida a partir del m�etodo deEuler de la ecuaci�on
z��t� � "�f
�y�t� y�t��#z�t� � �h��t� � ��t��� �VII�����
En lugar de estudiar la soluci�on num�erica de �VII������ se estudiar�a lasoluci�on de este problema cuando h tiende a �� Qualquier soluci�on dela ecuaci�on diferencial �VII����� no puede ser identicamente nula porla existencia del t�ermino no homogeneo no nulo� para h su cientementepeque�no este t�ermino no homogeneo es no nulo� Sea C � maxkz�t�k cuandoh � �� por otro lado denotando zh�t� la soluci�on de �VII����� para un h jo�se tiene que zh�t� converge uniformente hacia z��t� cuando h tiende a �� Porlo tanto� existe un intervalo cerrado J � "t�� t� � T # y h� para los cuales
kzh�t�k � C
��t � J��h � h��
Puesto que e�n z�tn��h� se tiene que
limh��
e�n ���
Acaba de observarse que cuando la longitud de paso hn tiende a ��el error debido al redondeo toma un lugar preponderante� distorsionandocompletamente cualquier resultado num�erico� En la gura VII���� puedeverse un comportamiento aproximado del error de redondeo en funci�on deh�
h
Err
or
Figura VII����� Error de Redondeo en el M�etodo de Euler�
La pregunta natural que surge es� �C�ual es el h m��nimo que se puedetomar sin que el error de redondeo sea preponderante� La respuesta a esta
VII�� M�etodo de Euler ��
pregunta tiene dos fuentes� la primera que radica en la pr�actica num�erica�y la segunda en un an�alisis sobre el origen de los otros errores que ocurrendurante la implementaci�on del m�etodo� Ambos estudios llegan a la conclusi�onde
hmin � Cpeps� �VII�����
donde eps es la precisi�on de la computadora�Las mayoraciones que se acaban de dar son por lo general demasiado
pesimistas� por ser rigurosos matem�aticamente� uno se situa en la situaci�onm�as desfavorable posible� Por otro lado si se toma h muy peque�no� inferiora eps� el algoritmo se mantiene estacionario�
Estabilidad del M�etodo de Euler
En la anterior subsecci�on se pudo observar la incidencia directa del error deredondeo� En esta parte se analizar�a la propagaci�on del error de redondeoen la soluci�on num�erica� Consid�erese el problema siguiente
y� � y� y��� � y�� �VII�����
El m�etodo de Euler con paso constante� da el siguiente esquema
yn�� � yn � hyn� �VII�����
sup�ongase que en lugar de y�� se introduce una aproximaci�on y�� planteandoen � yn � yn donde yn es la soluci�on num�erica de la ecuci�on �VII����� convalor inicial y�� Los en veri can la siguiente relaci�on�
en�� � en � hen� e� � � y� � y���
de dondeen � �h� �ne�� �VII�����
Por consiguiente� el esquema �VII����� ser�a estable siempre y cuando
limn��
en � ��
situaci�on que sucede cuando jh� j � � Por consiguiente� para obtener unm�etodo estable es necesario que
hmax ��
jj � �VII������
Por lo expuesto en la anterior subsecci�on y en �esta� se tiene necesariamenteque la longitud de paso est�a acotada inferiormente e superiormente� Lacota inferior impide que el error de redondeo distorsione completamente
��� VII Ecuaciones Diferenciales
la soluci�on num�erica del problema� mientras que la cota superior en losproblemas lineales impide que el m�etodo diverga� La idea de estabilidadpuede generalizarse a problemas diferenciales lineales de mayor dimensi�on�Por ejemplo� consid�erese el problema
y� � Ay� y��� � y��
Con el procedimiento utilizado anterioremente e introduciendo normas enlos lugares apropiados es facil mostrar que el m�etodo de Euler es estable si
��A� I�h � � �VII�����
donde ��A� I� es el radio espectral de la matriz A� I � Planteando z � h�se tiene estabilidad en el m�etodo� si y solamente si jz � j � � De donde� setiene de nida una regi�on de estabilidad� dada en la gura VII����� la parteachurada del c��rculo corresponde a la regi�on donde el m�etodo es estable�
1−1
i
−i
Figura VII����� Regi�on de Estabilidad del M�etodo de Euler
El siguiente ejemplo ilustra� que el m�etodo de Euler no es un m�etodomuy apropiado para resolver ciertos problemas diferenciales a valor inicial�Consid�erese� el problema
y��x� � ���y�x� � cosx�
y��� � ���VII������
La soluci�on de este problema� est�a dada por
y�x� ���
���cosx�
���sinx� Ce����x�
con C una constante determinada por la condici�on inicial� Puede observarseque para x � �� se tiene
y��� � ��
��� ��� �� �VII������
VII�� M�etodo de Euler ��
Aplicando el m�etodo de Euler con paso constante se tiene�
h� ��
�� yh��� � ������� ���
h� ��
�� yh��� � ������
No obstante que h� � h� �� � ��� la diferencia de los resultados esabismal� La explicaci�on de este fen�omeno de inestabilidad ha sido explicadom�as arriba�
El problema dado por �VII������ est�a dentro una categor��a de problemasdiferenciales conocidos con el nombre de ecuaciones diferenciales rigidas� verHairer . Wanner� Para evitar aberraciones en los resultados num�ericos enla resoluci�on num�erica de esta clase de problemas� el m�etodo de Euler puedemodi carse� obteniendo as�� el�
M�etodo de Euler Impl��cito
En lugar de utilizar el esquema dado por �VII������ el m�etodo de Eulerimpl��cito� est�a dado por el esquema
yk�� � yk � hkf�xk��� yk���� �VII������
Puede observarse inmediatamente� que para determinar yk�� se debe resolveruna ecuaci�on� que en lo general no es lineal� Comparando con la versi�onexpl��cita del m�etodo de Euler� �esto constituye una di cultad adicional� puespara evaluar yk�� debe utilizarse un m�etodo de resoluci�on de ecuaciones�como ser el m�etodo de Newton� Puede mostrarse� ver Hairer . Wanner�que si hk es lo su cientemente peque�no� la convergencia del m�etodo deNewton� o de otro m�etodo de resoluci�on est�a asegurada� Se ha expuestola desventaja principal del m�etodo de Euler impl��cito� respecto al m�etodode Euler expl��cito� A continuaci�on se expondr�a la principal motivaci�onde utilizar la versi�on impl��cita en determinadas situaciones� La principaldesventaja del m�etodo de Euler expl��cito en radica en la falta de estabilidadcuando h no es los su cientemente peque�no� ver el ejemplo en el cual para� pasos muy proximos� las soluciones numericas del problema �VII������di eren de manera signi cativa� El an�alisis de estabilidad del m�etodo deEuler impl��cito es muy similar a la del m�etodo de Euler expl��cito� enefecto considerando el problema �VII������ se tiene que el m�etodo impl��citosatisface la siguiente relaci�on recursiva para el error
en�� � en � hen��� �VII������
de donde� se obtiene de manera expl��cita
en�� �
� hen� �VII������
��� VII Ecuaciones Diferenciales
teniendo de esta manera estabilidad en la propagaci�on de los errores deredondeo� si y solamente si
j� hj � � �VII������
Para los problemas de la forma y� � Ay� �VII������ y remplazando z � h�se obtiene el dominio de estabilidad dado por
jz � j � � �VII������
el cual est�a dado en la gura VII�����
1
Figura VII����� Regi�on de Estabilidad del M�etodo de Euler Impl��cito�
Ejercicios
�� Aplicar el m�etodo de Euler al problema
y� � y�� y��� � �
Evaluar y�����Utilizar pasos constantes� �por ejemplo h�/��� Estimar el error con elcorolario VII����� Comparar esta estimaci�on con el error exacto�
��� Demostrar el resultado siguiente� Si el problema
y� � f�x� y�� y�x�� � y��
con f � U Rn continua� U � �Rn abierto y �x�� y�� � U posee unay una sola soluci�on sobre el intervalo I � entonces los pol��gonos de Euleryh�x� convergen uniformemente sobre I hacia esta soluci�on�
��� Aplicar el m�etodo de Euler al sistema
y�� � �y��y�� � y��
y���� � �
y���� � ��
Utilizar pasos constantes para encontrar una aproximaci�on de la soluci�onen el punto x � ���� Estimar el error como en el ejercicio y compararlacon el error exacto� La soluci�on exacta es y��x� � cosx� y��x� � � sinx�
VII�� M�etodos de RungeKutta
En la anterior secci�on se formul�o el m�etodo de Euler en su versi�on expl��citacomo en su versi�on impl��cita� Uno de los grandes problemas con el cualse debe confrontar en la utilizaci�on de este m�etodo� consiste en la faltade precisi�on de �este� ver el corolario VII����� motivo por el cual� los pasosde integraci�on deben ser demasiado peque�nos� induciendo de esta maneragrandes perturbaciones debido al error de redondeo�
En esta secci�on se pretende construir m�etodos cuya precisi�on sea m�aselevada� permitiendo as�� menos evaluaciones y una menor incidencia delerror de redondeo en los c�alculos� Se estudiar�a los m�etodos conocidos comom�etodos a un paso� en contraposici�on a los m�etodos multipasos que ser�antratados en la siguiente secci�on�
Se pretende calcular una aproximaci�on de la soluci�on de
y� � f�x� y�� y�x�� � y�� �VII����
sobre el intervalo "x�� xe#� Se procede como sigue� De la misma manera queen el m�etodo de Euler� se particiona "x�� xe# en subintevalos x� � x� � � � � �xN � xe� se denota hn � xn���xn y se calcula yn y�xn� por una f�ormulade la forma
yn�� � yn � hn+�hn� xn� yn�� �VII�����
Una tal f�ormula se llamam�etodo a un paso� por que el c�alculo de yn�� utilizalos valores de hn� xn� yn de un paso solamente�
Puede observarse facilmente que el m�etodo de Euler corresponde bien aesta categor��a de m�etodos a un paso� Vale la pena recalcar que los m�etodosde la forma �VII����� no solamente son m�etodos a un paso� si no que tambi�enexpl��citos� Para saber m�as referirse a Hairer . Wanner� Para simpli car lanotaci�on� solamente se considerar�a el primer paso� es decir cuando n � � en�VII����� y escribir h en lugar de h��
Para obtener otros m�etodos num�ericos se integra �VII���� de x� a x��h�La expresi�on que se obtiene� est�a dada por
y�x� � h� � y� �
Z x��h
x�
f�t� y�t��dt� �VII�����
La idea central consiste en remplazar la integral de �VII����� por unaexpresi�on que la aproxime� Por ejemplo� si se utiliza h�f�x�� y��� comoaproximaci�on se tiene el m�etodo de Euler Expl��cito� Por consiguiente� laidea ser�a utilizar f�ormulas de cuadratura que tienen un orden m�as elevado�
��� VII Ecuaciones Diferenciales
Como ejemplo de la utilizaci�on de este ingenioso argumento� se tiene elm�etodo de Runge� Se toma la f�ormula del punto medio que es una f�ormulade cuadratura de orden �� Obteniendo as��
y�x� � h� y� � hf
�x� �
h
�� y�x� �
h
��
�� �VII�����
obteniendo posteriormente el valor desconocido y�x� � h��� mediante elm�etodo de Euler� Esto da
y� � y� � hf
�x� �
h
�� y� �
h
�f�x�� y��
�� �VII�����
La interpretaci�on geom�etrica del m�etodo de Runge� ver gura VII����consiste en hacer pasar una recta tangente por el punto m�edio de las curvasintegrales de la ecuaci�on diferencial� obteniendo este punto medio medianteuna tangente que sale de �x�� y��� Ver la gura VII����
x x x0 0 0+h/2 +h
Figura VII���� M�etodo de Runge
Kutta en ��� generaliz�o la idea de Runge� conduciendo a la de nici�onsiguiente de los m�etodos que llevan sus nombres�
De�nici�on VII������ Un m�etodo de Runge�Kutta a s pisos� est�a dada por�
k� � f�x�� y���
k� � f�x� � c�h� y� � ha��k���
k � f�x� � ch� y� � h�a�k� � a�k����
���
ks � f�x� � csh� y� � h�as�k� � � � �� as�s��ks�����
y� � y� � h�b�k� � � � �� bsks��
�VII�����
VII�� M�etodos de RungeKutta ���
donde los ci� aij � bj son coe cientes� El m�etodo se representa por el esquema
c� � �
c� a��
c a� a����
������
� � �
cs as� as� � � � as�s��
b� b� � � � bs�� bs
�VII�����
Los m�etodos de Euler� como tambi�en los m�etodos de Runge y Heun est�andados en la tabla III���
Tabla III����� Primeros m�etodos de Runge�Kutta
�
Euler
�
�� ��
�
Runge
�
�� ��
��� � ���
�� � ���
Heun
Por razones de cuadratura� se supondr�a siempre que los ci satisfacen siempre
c� � �� ci �
i��Xj��
aij � i � �� � � � � s� �VII�����
La de nici�on de orden de cuadratura para las f�ormulas de cuadratura�puede extenderse a los m�etodos de Runge�Kutta de la siguiente manera�
De�nici�on VII������ Se dice que el m�etodo de Runge�Kutta dado por�VII����� tiene el orden p si� para cada problema y� � f�x� y�� y�x�� � y�con f su cientemente derivable� el error despu�es de un paso satisface
y� � y�x� � h� � O�hp���� cuando h �� �VII�����
La diferencia �VII����� se llama error local del m�etodo�
El m�etodo de Euler es un m�etodo de orden � por que
y�x� � h� � y� � hy��x�� �O�h�� � y� � hf�x�� y�� �O�h�� � y� �O�h���
��� VII Ecuaciones Diferenciales
El m�etodo de Runge est�a basado sobre la f�ormula del punto medio que esuna f�ormula de cuadratura de orden ��
y�x� � h� � y� � hf �x� � h��� y�x� � h���� �O�h��Remplazando y�x� � h��� por el valor y� � �h���f�x�� y�� del m�etodo deEuler� se agrega un t�ermino de tama�no O�h�� Entonces� este m�etodo tieneorden p � ��
El m�etodo de Heun� ver tabla VII���� se obtiene a partir de la f�ormulade cuadratura
y�x� � h� � y� �h
�
�f�x�� y�� � �f
�x� �
�h
�� y�x� �
�h
��
���O�h���
si se remplaza y�x� � �h��� por la aproximaci�on del m�etodo de Runge� Dedonde el m�etodo de Heun tiene el orden p � ��
Utilizando la suposici�on �VII����� que es una condici�on simpli cadora�se tiene la siguiente proposici�on�
Proposici�on VII������ La condici�on �VII����� implica que es su cienteconsiderar problemas aut�onomos de la forma y� � f�y� para veri car lacondici�on de orden�
Demostraci�on�� Se supone que �VII����� es satisfecha para los problemasautonomos de la forma y� � F �y�� y�x�� � y��
Consid�erese un problema de la forma y� � f�x� y�� y�x�� � y�� el cual esequivalente al problema
0y � f�x� y��
0x � �
y��� � y��
x��� � ��
obteniendo as��
Y � � F �Y �� donde Y �
�xy
�� F �Y � �
�
f�x� y��
��VII�����
con valor inicial Y� � �x�� y��t� La aplicaci�on del m�etodo de Runge�Kutta al
problema �VII����� da
Ki � F
�Y� � h
i��Xj��
aijKj
A �
�ki
�� Y� � Y� � h
sXi��
biKi �
�x�y�
��
lo que es equivalente a �VII������ por que
Y� � hi��Xj��
aijKj �
�x�y�
�� h
i��Xj��
aij
�kj
��
�x� � cih
y� � hPi��
j�� aijkj
��
�
VII�� M�etodos de RungeKutta ���
El siguiente paso� es de estudiar un procedimiento que permita deter�minar m�etodos de Runge�Kutta de ordenes m�as elevados� Un buen ejercicioser�a construir el m�etodo de Kutta que es de orden ��
Construcci�on de un m�etodo de orden �
La idea principal de la construcci�on del m�etodo de Runge� es considerar losdesarrollos en serie de Taylor de la soluci�on exacta y�x��h�� como tambi�en dela soluci�on num�erica obtenida a partir del m�etodo� que se la denota por y��h��Luego comparar las series� para obtener condiciones sobre los coe cientes delm�etodo�
Serie de Taylor de la soluci�on exacta
Consid�erese el problema de Cauchy
y� � f�y�� y�x�� � y�� �VII����
derivando la ecuaci�on �VII����� se obtiene para la soluci�on exacta
y�� �f �yy� � f �yf�y�
y��� �f ��y �y�� f�y�� � f �yf
�yy� � f ��y �f�y�� f�y�� � f �yf
�yf�y�
y��� �f ���y �f�y�� f�y�� f�y�� � �f ��y �f�yf�y�� f�y� � f �yf
��y �f�y�� f�y��
� f �yf�yf�yf�y��
de donde la serie de Taylor de la soluci�on exacta est�a dada por
y�x� � h� � y� � hf�y�� �h�
��f �yf�y��
�h
��
�f ��y �f�y��� f�y��� � f �yf
�yf�y��
���f ���y �f�y�� f�y�� f�y�� � �f ��y �f
�yf�y�� f�y�
� f �yf��y �f�y�� f�y�� � f �yf
�yf�yf�y�
��O�h���
�VII�����
Serie de Taylor de la soluci�on num�erica
Para calcular la serie de Taylor de y�� es su ciente determinar las series delos
ki � f�x� � h
i��Xj��
aijkj�� �VII�����
Ahora bien� se puede considerar �VII����� como una ecuaci�on a punto jo�pudiendo as�� aproximar los ki por el m�etodo de las aproximaciones sucesivas�Comenzando la primera aproximaci�on de ki� se tiene
ki � f�y�� �O�h��
��� VII Ecuaciones Diferenciales
utilizando �VII������ se obtiene
ki � f�y�� � cihfyf�y�� �O�h���
La segunda iteraci�on da como resultado
ki � f�y� � hcif�y�� � h�Xj
aijcjfyf�y�� �O�h��
� f�y�� � cihfyf�y�� � h�Xj
aijcjfyfyf�y�� �h�
�c�i f
��y �f�y��� f�y���
�O�h��Efectuando todav��a una vez m�as una iteraci�on� e introduciendo los valoresobtenidos en la de nici�on �VII����� de yi� se obtiene
y� � y� � h
�Xi
bi
�f� �
h�
�
��Xi
bici
��f �f�� �VII�����
�h
��
���Xi
bic�i
��f ���f� f��� �
��Xij
biaijcj
A �f �f �f��
A�h�
��
��Xi
bici
��f ����f� f� f��� �
��Xij
biciaijcj
A �f ���f �f �f���
�
���Xijk
biaijajkck
A �f �f �f �f��
A�O�h���
donde el sub��ndice � indica que las evaluaciones deben ser hechas en el puntoy��
Comparando los coe cientes de �VII����� y �VII������ se encuentranlas condiciones que deben satisfacer los coe cientes ci� bi y aij para contarcon un m�etodo de orden �� Estas condiciones se las enuncia en el�
Teorema VII����� Condiciones de Orden� El m�etodo de Runge�Kutta�VII����� tiene el orden � si los coe cientes satisfacen �VII����� yX
i
bi � � �VII����a�
Xi
bici �
�� �VII����b�
Xi
bic�i �
�� �VII����c�
VII�� M�etodos de RungeKutta ���Xij
biaij �
�� �VII����d�
Xi
bici �
�� �VII����e�
Xij
biciaijcj �
�� �VII����f�
Xij
biaijc�j �
�� �VII����g�
Xijk
biaijajkbk �
��� �VII����h�
Es necesario remarcar que si el m�etodo satisface solamente �VII����a���VII����a�b� o �VII�����a�b�c� tiene el orden � � o � respectivamente�
El siguiente paso es la resoluci�on del sistema �VII������ para s � ��Este sistema consiste de � ecuaciones no lineales para � param�etros bi�aij � los ci est�an determinados por la condici�on �VII������ Las condiciones�VII����a�b�c�e� traducen el hecho que �bi� ci� es una f�ormula de cuadraturade orden �� Por consiguiente los bi pueden ser determinados si los ci sonconocidos� En particular� se obtiene
bc�c � c���c� � c� � �c�c��
�c� � c
��
�� �VII�����
Por otro lado �VII����g��c���VII����d� da
b�a�c�c � c�� �
�� c�
�� �VII�����
y c���VII����d���VII����f� implica que
b�c� � c�a�c� �c���
�� �VII�����
Si se multiplica �VII����� con �VII������ luego �VII����� con �VII����h��se obtiene para la misma expresi�on� las dos f�ormulas�
b�a�a�c� � bc�c � c���c� � c� �
�
�� c�
�
��c���
�
��
b�a�a�c� � bc�c � c���c� � c� �
��c�c��
�c� � c
��
�
�����
lo que es equivalente ac��� c�� � ��
��� VII Ecuaciones Diferenciales
Puesto que c� �� �� consecuencia de la condici�on �VII����h�� se tienenecesariamente que c� � � La soluci�on general del sistema �VII������ sela obtiene de la manera siguiente�
M�etodo de Resoluci�on�� Plantear c� � �� c� � � c� y c son param�etroslibres� calcular b�� b�� b� b� tales que la f�ormula de cuadratura sea de orden�� calcular a� utilizando �VII������� a� utilizando �VII������ y a�� provienede �V II����d�� nalmente calcular a��� a�� a�� de �VII����� para i � �� �� ��
Entre los m�etodos de orden �� los m�as conocidos est�an dados en la tablaVII�����
Tabla VII����� M�etodos de Kutta
�
�� ��
�� � ��
� �
�� ��� ��� ��
M�etodo de Runge�Kutta
�
�� ��
��� ���
�
�� ��� ��� ��
Regla ���
M�etodos Encajonados
Para resolver un problema realista� un c�alculo a paso constante es engeneral ine ciente� Existen diversas causas para esta ine ciencia� la primeraes que se debe conocer a priori una estimaci�on del error local cometido�lo cual es complicado en general ocasionando una perdida de generalidaden los programas a implementarse� La otra raz�on fundamental que existenintervalos donde los pasos de integraci�on pueden ser de longitud mayor� Elprincipal problema reside en como escoger los pasos de integraci�on� La ideaque puede resolver satisfactoriamente estos problemas consiste en escogerpasos de integraci�on de manera que el error local sea en todo caso inferior oigual a Tol dado por el utilizador� Motivo por el cual es necesario conoceruna estimaci�on del error local� Inspirados en el programa GAUINT descritoen VI��� se construye un m�etodo de Runge�Kutta con !y� como aproximaci�onnum�erica� y se utiliza la diferencia !y� � y� como estimaci�on del error localdel m�etodo menos preciso�
Se da un m�etodo de orden p a s pisos� con coe cientes ci� aij � bj � Se buscaun m�etodo de orden !p � p que utiliza las mismas evaluaciones de f � es decir
!y� � y� � h�!b�k� � � � ��!bsks�� �VII�����
VII�� M�etodos de RungeKutta ��
donde los ki est�an dados por �VII������ Para tener m�as libertad� se agrega amenudo un termino que contenga f�x�� y�� a la f�ormula �VII������ de todasmaneras se debe calcular f�x�� y�� para el paso siguiente� determinando as��!y�� como
!y� � y� � h�!b�k� � � � ��!bsks �!bs��f�x�� y���� �VII������
Un tal m�etodo encajonado puede ser representado en forma de un esquema�ver la tabla VII�����
Tabla VII����� M�etodos encajonados
c� � �
c� a��
c a� a����
������
� � �
cs as� as� � � � as�s��
�� b� b� � � � bs�� bs
!b� !b� � � � !bs�� !bs �!bs���
El siguiente paso es la determinaci�on del h optimal� Si se aplica el m�etodocon un valor h� la estimaci�on del error satisface
y�� !y� � �y��y�x��h����y�x��h�� !y�� � O�hp����O�h�p��� Ch�p����VII�����
El h optimal� denotado por hopt� es �aquel donde esta estimaci�on es pr�oximade Tol� es decir
Tol Ch�p��opt � �VII������
Eliminando C de las dos �ultimas f�ormulas� se obtiene
hopt � ��� � h � �p��
sTol
ky� � !y�k � �VII������
El factor ��� se lo agrega para volver el programa m�as seguro�
Algoritmo para la selecci�on autom�atica de paso�
Al iniciar los c�alculos� el utilizador provee una subrutina que calcule el valorde f�x� y�� los valores iniciales x�� y� y una primera elecci�on de h�
A� Con h� calcular y�� err � ky� � !y�k y hopt dado por �VII�������
B� Si err � Tol� el paso es aceptado� entonces
x� �� x� � h� y� �� y�� h �� min�hopt� xend � x���
��� VII Ecuaciones Diferenciales
si no el paso es rechazado
h �� hopt�
C� Si x� � xend se ha terminado� si no se recomienza por �A� y se calculael paso siguiente�
La pr�actica num�erica muestra que es aconsejable remplazar �VII������por
hopt � h �min���max����� ����Tol�err����p��
��
Para la norma dada en la relaci�on �VII������� se utiliza en general
ky� � !y�k �vuut
n
nXi��
�yi� � !yi�
sci
��
� donde sci � �max�jyi�j � jyi�j��
�VII������
En la literatura especializada� estos m�etodos encajonados con controlde paso autom�atico� se los denota por RKp�p donde RK son las inicialesde Runge�Kutta y p� !p son los ordenes de los m�etodos encajonados� En laactualidad la utilizaci�on de tales m�etodos es muy com�un� En la tabla VII����se da el esquema del m�etodo de Dormand�Prince RK��� este m�etodo esanalizado minuciosamente en Hairer . Wanner�
Tabla VII���� M�etodo Dormand�Prince ����
�
�
�
�
�
�
��
�
��
�
�
��
�����
�
��
�
�
�
����
���������
���
�����
������
���
���
�������
��
�����
����
��
��� ���
����
��
����
���
�
��
������
����
��
y���
����
���
�
��
������
����
���
!y����
������
���
����
���
���� �����
������
��
���
��
VII�� M�etodos de RungeKutta ���
En el ejemplo siguiente se detallar�a la construcci�on de un m�etodoencajonado con selecci�on de paso autom�atico� Por razones de simplicidad� seconsiderar�a un m�etodo RK��
Ejemplo
T�omese un m�etodo de orden p � � a s � � pisos� que en este caso ser�a elm�etodo de Heun� ver tabla VII�� y se buscar�a un m�etodo encajonado deorden !p � � de la forma �VII������� es decir se aumenta s de � agregandoun �s� ��emo piso con los coe cientes as���i� para i � � � � � � s�De esta manera se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones para loscoe cientes !bi� el cual est�a dado por�
!b� �!b� �!b �!b� �
�!b� �
�
�!b �!b� �
��
Puedo observarse que para que el m�etodo encajonado tenga un ordenigual a �� se requieren � condiciones� quedando as�� dos grados de libertad�Al igual que en el m�etodo de Heun� puede plantearse !b� � �� !b� puedeescogerse libremente� por ejemplo !b� � �� de donde por la segunda
ecuaci�on se deduce facilmente que !b � � y por la primera ecuaci�on!b� � ��� Por lo tanto se obtiene el esquema dado en la tabla VII�����
Tabla VII����� Ejemplo de M�etodo Encajonado
�
�� ��
��� � ���
�� � ���
�� � � ��
Soluciones Continuas
Uno de los incovenientes mayores de los m�etodos formulados en esta secci�onconsiste en el hecho que estos dan las soluciones en un conjunto discretode puntos� Una primera alternativa es unir estas soluciones con pol��gonos�si los puntos donde el m�etodo ha dado las soluciones� El resultado no essatisfactorio desde varios puntos de vista� Si el m�etodo es de orden elevadola interpolaci�on lineal� vista en el Cap��tulo III� tiene como efecto la perdidade precisi�on� Desde el punto de vista gr�a co las soluciones dejan de ser
��� VII Ecuaciones Diferenciales
lisas� Debido a estas dos razones expuestas es necesario complementar estosm�etodos con alternativas que permitan dar soluciones densas�
Existen varias alternativas validas que permiten subsanar esta falenciade los m�etodos de Runge�Kutta� La primera consiste en la construcci�on de losm�etodos de Runge�Kutta Continuos� Para tal efecto� se considera un m�etodode Runge�Kutta dado de antemano� Se desea evaluar utilizando este esquemaen el punto x� � x� � �h con � � � � � Los coe cientes de este m�etodose los denota por ci���� aij���� bj���� Ahora bien� el m�etodo ser�a interesantedesde el punto de vista num�erico� si los coe cientes ci���� aij��� no dependende � coincidiendo de esta manera con los del m�etodo dado de antemano� Sinembargo no es nada raro que el m�etodo obtenido a partir de los bi��� tengaun orden inferior� Esto se debe a que los aij � ci ya est�an prescritos� Parailustrar esta construcci�on consid�erese el ejemplo siguiente�
Ejemplo
Se considera nuevamente el m�etodo de Heun dado en la tabla VII����Utilizando el teorema VII����� remplazando y�x� � h� por y�x� � �h� seobtienen las siguientes condiciones de orden para los coe cientes bi����
b� � b� � b � ��
�b� �
�
�b �
��
��
�b� �
�
�b �
�
��
�
�b �
�
��
Como puede observarse es imposible que los coe cientes bi puedansatisfacer las condiciones para obtener un m�etodo de orden �� por lotanto� uno debe contentarse con obtener un m�etodo de orden � para �diferente de y para � � un m�etodo de orden �� Tomando las dosprimeras ecuaciones y planteando b� � �� como en el m�etodo de Heun�
se tiene para b ��
��� y para b� � ���� �
���� obteniendo as��� el esquema
dado en la tabla VII�����
Tabla VII����� Ejemplo de M�etodo Continuo�
�
�� ��
��� � ���
��� � ��� �
���
VII�� M�etodos de RungeKutta ���
La segunda estrategia para construir soluciones continuas� consiste enutilizar la interpolaci�on de Hermite con polinomios c�ubicos� tomando comoextremidades y�� y� y como derivadas f�x�� y�� y f�x�� y��� Es facil ver�que a diferencia de la primera alternativa es necesario evaluar y�� Viendoel cap��tulo III� la interpolaci�on de Hermite tiene un error del orden O�h���equivalente a un m�etodo de tercen orden�
Convergencia de los M�etodos de Runge�Kutta
En las subsecciones precedentes� se ha hecho un an�alisis del error local�intimamente ligado al orden del m�etodo� Pero no se ha analizado que sucedecon el error global de la soluci�on num�erica� Para analizar este tipo de errores necesario introducir alguna notaci�on adicional�
Consid�erese un m�etodo a un paso
yn�� � yn � hn+�xn� yn� hn�� �VII������
aplicado a una ecuaci�on diferencial y� � f�x� y�� con valor inicial y�x�� �y�� Es natural plantearse sobre la magnitud del tama�no del error globaly�xn�� yn� A continuaci�on se enunciar�a un teorema general sobre esta clasede error�
Teorema VII������ Sea y�x� la soluci�on de y� � f�x� y�� y�x�� � y� sobreel intervalo "x�� xe#� Sup�ongase quea� el error local satisface para x � "x�� xe# y h � hmax
ky�x� h�� y�x�� h+�x� y�x�� h�k � C � hp��� �VII������
b� la funci�on +�x� y� z� satisface una condici�on de Lipschitz
k+�x� y� h��+�x� z� h�k � * ky � zk � �VII������
para h � hmax y �x� y�� �x� z� en un vecindario de la soluci�on�Entonces � el error global admite para xn � xe la estimaci�on
ky�xn�� ynk � hpC
*
�e��xn�x�� �
�� �VII������
donde h � maxi
hi� bajo la condici�on que h sea lo su cientemente pequ�no�
Demostraci�on�� La idea central de la demostraci�on es estudiar la in�uenciadel error local� cometido en el paso i�esimo a la propagaci�on de yn� Enseguida�adicionar los errores acumulados� Ver gura VII�����
Sean fyng y fzng dos soluciones num�ericas obtenidas por �VII������ convalores iniciales y� y z� respectivamente� Utilizando la condici�on de Lipschitzdada por �VII������� su diferencia puede ser estimada como
kyn�� � zn��k � kyn � znk� hn* kyn � znk� � � *hn� kyn � znk � ehn� kyn � znk ��VII������
��� VII Ecuaciones Diferenciales
Recursivamente� se obtiene
kyn � znk � ehn���ehn��� � � � ehi� kyi � zik �
y el error propagado Ei� ver gura VII����� satisface
kEik � e��xn�xi� keik � Chp��i�� e
��xn�xi�� �VII������
y
0 1 2 3 n
yE
y(x )EE
nn
n−1
1
ee
en−1
2
1
0
x x x x x
Figura VII����� Estimaci�on del error global�
La desigualdad del tri�angulo� as�� como �VII������ da� ver la gura VII�����para la estimaci�on de la suma
ky�xn�� ynk �nXi��
kEik �nXi��
hp��i�� e
��xn�xi�
� Chp�h�e
��xn�x�� � � � �� hn��e��xn�xn��� � hn��
�� Chp
Z xn
x�
e��xn�t�dt �Chp
*
�e��xn�x�� �
��
x
x
x x x x0 1 2
n−1 n
eΛ( x x)n −
Figura VII����� Estimaci�on de la suma de Riemann�
VII�� M�etodos de RungeKutta ���
Solo queda justi car la implicaci�on de �VII������ en �VII������� ya que laestimaci�on �VII������ es valida solamente en un vecindarioU � f�x� y�j ky � y�x�k � bg de la soluci�on exacta� Si se supone que h es losu cientemente peque�no� m�as precisamente� si h es tal que
Chp
*
�e��xe�x�� �
�� b�
se estar�a seguro que todas las soluciones num�ericas de la gura VII���� sequedar�an en U � �
Sup�ongase que �VII������ representa un m�etodo de Runge�Kutta� severi car�a las hip�otesis del teorema precedente� La condici�on �VII������ essatisfecha para un m�etodo de orden p� Solo queda por veri car la condici�onde Lipschitz �VII������� para la funci�on
+�x� y� h� �
sXi��
biki�y�� �VII�����
donde
ki�y� � f
�x� cih� y � h
i��Xj��
aijkj�y�
A � �VII������
Proposici�on VII������ Si f�x� y� satisface una condici�on de Lipschitzkf�x� y�� f�x� z�k � L ky � zk en un vecindario de la soluci�on de y� �f�x� y�� la expresi�on +�x� y� h� de �VII������ veri ca la condici�on �VII������con
* � L
�Xi
jbij� �hmaxLXij
jbiaij j� �hmaxL��Xijk
jbiaijajkj� � � �A �
�VII������
Demostraci�on�� La condici�on de Lipschitz para f�x� y� aplicado a�VII������ da
kk��y�� k��z�k � kf�x� y�� f�x� z�k � L ky � zkkk��y�� k��z�k � L ky � z � ha���k��y�� k��z��k
� L� � hmaxL ja��j� ky � zk ��VII������
etc� Las estimaciones �VII������ introducidas en
k+�x� y� h��+�x� z� h�k �sX
i��
jbij kki�y�� ki�z�k �
��� VII Ecuaciones Diferenciales
implican �VII������ con * dado por �VII������� �
Experiencias Num�ericas
En esta subsecci�on se mostrar�a varios ejemplos donde los m�etodos de Runge�Kutta act�uan� Se comparar�a varios m�etodos�
�� Se considera la ecuaci�on diferencial� con valor inicial�
y� � �y � sinx� y��� � � �VII������
la soluci�on de este problema� est�a dada por
y�x� ��
�e�x �
�cosx�
�sinx� �VII������
En la gura VII����� se muestra las gr�a cas de diferentes m�etodos deRunge�Kutta� El intervalo de integraci�on es "�� �#� Puede comprobarse�que al igual que en los m�etodos de integraci�on� existe una relaci�on linealentre � log���Error Global� y el n�umero de evaluaciones de la funci�on�fe� Esta relaci�on lineal tiene una pendiente �p� donde p es el orden delm�etodo�
100 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 10−6 10−7 10−8 10−9 10−10100
101
102
103
104
105
106
fefe
err globerr glob
fefe
err globerr glob
Metodo de Euler
Metodo de Runge
Metodo de Heun
Metodo de Kutta
Metodo 3/8
Figura VII���� Relaci�on del error global vs fe�
VII�� M�etodos de RungeKutta ���
��� En esta experiencia num�erica� se implementa un m�etodo encajonado�para este efecto� se toma el m�etodo dado en uno de los ejemplosprecedentes� La ecuaci�on diferencial sobre la cual es examinada talm�etodo� es una ecuaci�on diferencial de una reacci�on qu��mica� conocidacomo Brusselator� Por consiguiente� se debe resolver�
y�� � � y��y� � �y��
y�� � �y� � y��y��
y���� � ���
y�������VII������
sobre el intervalo "�� �#� Los resultados obtenidos con Tol � ���
son presentados en la gura VII����� En la gr�a ca superior� las doscomponentes de la soluci�on utilizando la soluci�on continua del m�etodode Heun� ver m�etodos continuos� En la gr�a ca del medio� la longitudde los pasos� los pasos aceptados est�an ligados� mientras que los pasosrechazados indicados por �� En la gr�a ca inferior� la estimaci�on del errorlocal� como tambi�en los valores exactos del error local y global�
0 5 10
1
2
3
4
5
6
y1
y2
0 5 10
10−2
10−1
100
10−8
10−7
10−6
10−5
10−4
10−3 Error global
Error local exacto Error local estimado
Figura VII����� Experiencia num�erica de un m�etodo encajonado�
��� VII Ecuaciones Diferenciales
Ejercicios
�� Aplicar el m�etodo de Runge al sistema
y�� � �y��y�� � y��
y���� � �
y���� � ��
con h � ��� Comparar el trabajo necesario y la precisi�on del resultadocon el m�etodo de Euler�
��� Consid�erese un m�etodo de Runge�Kutta a s pisos y de orden p� Mostrarque
sXi��
bicq��i �
qpara q � � � � � � p�
es decir� la f�ormula de cuadratura asociada tiene al menos el orden p�
��� Aplicar un m�etodo de Runge�Kutta de orden p � s� s es el n�umero depisos� al problema y� � y� donde es una constante compleja� Mostrarque la soluci�on num�erica est�a dada por
y� �
� sXj��
zj
j�
A y�� z � h�
��� Construir todos los m�etodos de Runge�Kutta de orden � con s � � pisos�
��� Consid�erese el problema
y� �
xy � g�x�� y��� � �
con g�x� su cientemente derivable y � �� Mostrar que este problemaadmite una y una sola soluci�on� Las derivadas de la soluci�on en el puntox � � son
y�j���� �
��
j
���g�j�������
��� Aplicar un m�etodo de Runge�Kutta al problema del ejercicio anterior�
utilizar la de nici�on f�x� y� ���
j
���g���� para x � ��
a� Mostrar que el error del primer paso satisface
y�h�� y� � C�h�g���� �O�h�
donde C� depende solamente de los coe cientes del m�etodo�c� Calcular C� para uno de los m�etodos de Kutta�
VII�� M�etodos Multipasos
Los m�etodos a un paso calculan un valor aproximado yn��� en el ins�tante tn��� utilizando �unicamente el valor aproximado yn� La utilizaci�onde varios valores aproximados yn� yn��� � � �� permite obtener a precisi�onigual m�etodos de costo menos elevado� estos m�etodos son com�unmentellamados multipasos� m�as precisamente cuando los c�alculos utilizan r va�lores precedentes� yn� yn��� � � � � yn�r��� es decir concernientes los r pasos�hn� hn��� � � � � hn�r��� se habla de m�etodos a r pasos� Entre estos m�etodos�los m�etodos de Adams son aqu�ellos que parecen ser a la hora actual los m�ase caces cuando el problema diferencial es bien condicionado� ser�an estudia�dos en esta subsecci�on� Los algoritmos modernos utilizan estos m�etodos conun n�umero variable de pasos y un tama�no de paso variables� La variaci�ondel n�umero de pasos y la longitud de los pasos permite adaptar el m�etodoa la regularidad de la soluci�on� permite tambi�en de levantar las di cultadesde arranque que presentan los m�etodos a n�umero de pasos jo�
M�etodos de Adams Expl��citos
Sea una divisi�on x� � x� � � � � � xn � xe del intervalo sobre el cual sebusca resolver la ecuaci�on diferencial y� � f�x� y� y sup�ongase que se conoceaproximaciones yn� yn��� � � � � yn�k�� de la soluci�on para k pasos consecutivos�yi y�xj��� De la misma forma que para la derivaci�on de los m�etodos deRunge�Kutta� se integra la ecuaci�on diferencial� para obtener
y�xn��� � y�xn� �
Z xn��
xn
f�t� y�t��dt� �VII����
Pero en lugar de aplicar una f�ormula de cuadratura st�andard a la integral�VII����� se remplaza f�t� y�t�� por el polinomiio de grado k�� que satisfaga
p�xj� � fj � para j � n� n� � � � � � n� k � � �VII�����
donde fj � f�xj � yj�� Ver la gura VII����
xn−k+1 xn−1 xn xn+1
f f fn−k+1 n−1 n
p(t)
Figura VII���� M�etodo de Adams�
��� VII Ecuaciones Diferenciales
Por consiguiente� la aproximaci�on de y�xn��� est�a de nida por
yn�� � yn �
Z xn��
xn
p�t�dt� �VII�����
Si se representa el polinomio p�t� por la f�ormula de Newton� ver el teoremaIII����
p�t� �
k��Xj��
�j��Yi��
�t� xn�i�
�f "xn� xn��� � � � � xn�j #� �VII�����
el m�etodo �VII����� se convierte en
yn�� � yn �k��Xj��
�Z xn��
xn
j��Yi��
�t� xn�i�
�f "xn� xn��� � � � � xn�j #� �VII�����
El caso m�as simple de estas f�ormulas de Adams expl��citas consiste cuandola divisi�on es equidistante� En esta situaci�on se tiene xj � x� � jh� lasdiferencias divididas pueden ser expresadas bajo la forma
f "xn� xn��� � � � � xn�j # �rjfn
j�hh� �VII�����
donde r�fn � fn�rfn � fn � fn���r�fn � r�rfn�� � � � son las diferencias nitas regresivas�
La f�ormula �VII������ planteando t � xn � sh� se convierte en
yn�� � yn � hk��Xj��
�jrjfn� �VII�����
donde
�j �
j�
Z �
�
j��Yi��
�i� s�ds �
Z �
�
�s� j �
j
�ds�
Los primeros coe cientes �j est�an dados en la tabla VII����
Tabla VII���� Coe cientes para los m�etodos de Adams Expl��citos�
j � � � � � � � �
�j
�
�
�
�
�
��
���
��
���
����
�����
����
����
�����
�������
VII�� M�etodos Multipasos ���
Casos particulares de los m�etodos de Adams expl��citos son�
k � � yn�� � yn � hfn� �m�etodo de Euler��
k � � � yn�� � yn � h
��
�fn �
�fn��
��
k � � � yn�� � yn � h
���
�fn � �
�fn�� �
�
�fn��
��
k � � � yn�� � yn � h
���
��fn � ��
��fn�� �
��
��fn�� � �
��fn�
��
Si se quiere aplicar este m�etodo� por ejemplo para k��� a la resoluci�onde y� � f�x� y�� y�x�� � y�� es necesario conocer y�� y�� y� y y� Despu�esse puede utilizar la f�ormula de recurrencia para determinar y�� y�� � � �� Alf�ormular Adams sus m�etodos� el utilizaba la serie de Taylor de la soluci�onen el punto inicial� sin embargo es m�as c�omodo empezar con un m�etodoa un paso del tipo de Runge�Kutta y luego utilizar el m�etodo multipasocorrespondiente�
En la construcci�on del m�etodo de Adams expl��cito dado por �VII������se ha utilizado el polinomio de interpolaci�on p�t� fuera del intervalo"xn�k��� xn#� Esta situaci�on puede provocar grandes errores� ver nuevamenteIII�� Por lo tanto� este inconveniente puede modi carse considerando los�
M�etodos de Adams Impl��citos
La idea central de estos m�etodos consiste en considerar el polinomio p��t�de grado k� que satisface
p��t� � fj para� j � n� � n� n� � � � � � n� k � � �VII�����
A diferencia de la versi�on expl��cita fn�� � f�xn��� yn��� es todav��a descono�cido� El siguiente paso es de nir la aproximaci�on num�erica por
yn�� � yn �
Z xn��
xn
p��t�dt� �VII�����
De la misma manera que en el caso expl��cito� la f�ormula de Newton da
p��t� �
kXj��
�j��Yi��
�t� xn�i���dt
�f "xn��� xn� � � � � xn�j��#� �VII����
de donde el m�etodo est�a dado por
yn�� � yn �
kXj��
�Z xn��
xn
j��Yi��
�t� xn�i���
�f "xn��� xn� � � � � xn�j��#�
�VII�����
��� VII Ecuaciones Diferenciales
El caso m�as simple de estas f�ormulas de Adams impl��citas consistecuando la divisi�on es equidistante� el m�etodo est�a dado por
yn�� � yn � h
kXj��
��jrjfn��� �VII�����
donde
��j �
j�
Z �
�
j��Yi��
�i� s� �ds �
Z �
�
�s� j � �
j
�ds� �VII�����
Los primeros coe cientes ��j est�an dados en la tabla VII�����
Tabla VII���� Coe cientes para los m�etodos de Adams Impl��citos�
j � � � � � � � �
��j �
��
��
��� �
���� �
��� ���
������ ���
����� �����
�������
Casos particulares de los m�etodos de Adams impl��citos son�
k � � � yn�� � yn � hfn�� � yn � hf�xn��� yn����
k � � yn�� � yn � h
�
�fn�� �
�fn
��
k � � � yn�� � yn � h
��
�fn�� �
�
�fn �
�fn��
��
k � � � yn�� � yn � h
��
��fn�� �
�
��fn � �
��fn�� �
��fn��
��
Cada una de estas f�ormulas representa una ecuaci�on no lineal para yn��� quees de la forma
yn�� � n � h�f�xn��� yn���� �VII�����
que puede ser resuelta por el m�etodo de Newton o simplemente por el m�etodoiterativo simple�
M�etodos Predictor�Corrector
Los m�etodos de Adams impl��citos tienen la gran ventaja sobre la versi�onexpl��cita� por que las soluciones provistas son m�as realistas� Sin embargo lagran di cultad de estos m�etodos es la resoluci�on de �VII������ En algunoscasos particulares� como en el caso de los sistemas lineales� esta resoluci�on
VII�� M�etodos Multipasos ���
podr�a hacerse directamente� pero en el caso general la utilizaci�on de unm�etodo iterativo para resolver el sistema no lineal es necesaria� Por otro lado�es necesario recalcar que yn�� es una aproximaci�on de la soluci�on exacta�motivo por el cual es natural pensar que un c�alculo muy preciso de yn��
tal vez no sea necesario� Es por eso� que una mejora de esta situaci�on puededarse de la manera siguiente� Primero calcular una primera aproximaci�on porun m�etodo expl��cito� luego corregir este valor� una o varias veces� utilizandola f�ormula �VII������ Con este algoritmo� un paso de este m�etodo toma laforma siguiente�
P� se calcula el predictor !yn�� � !yn � hPk��
j�� �jrjfn por el m�etodo deAdams expl��cito� !yn�� es ya una aproximaci�on de y�xn����
E� evaluaci�on de la funci�on� se calcula !fn�� � f�xn��� !yn����
C� la aproximaci�on corregida est�a dada por yn�� � n � h� !fn���
E� calcular fn�� � f�xn��� yn����
Este procedimiento� que se lo denota PECE� es el m�as utilizado� Otrasposibilidades son� efectuar varias iteraciones� por ejemplo PECECE� o deomitir la �ultima evaluaci�on de f � es decir PEC� y de tomar !fn�� en el lugarde fn�� para el paso siguiente�
Metodos BDF
Se ha visto que los m�etodos de Adams� tanto en su versi�on expl��cita� comoen su versi�on impl��cita consideran polinomios de interpolaci�on que pasanpor los fj � Esta manera de abordar el problema de la aproximaci�on de lassoluciones de un problema diferencial es e caz cuando el problema diferenciales bien condicionado� pero �estos pueden volverse muy costosos desde elpunto de vista computacional para los problemas diferenciales r��gidos� Porconsiguiente� puede ser interesante de utilizar el m�etodo de las diferenciasretr�ogradas que ser�a descrito en esta subseccion�
La idea central de los m�etodos BDF consiste en considerar el polinomioq�t� de grado k� ver gura VII����� de nido por
q�xj� � yj � para j � n� � n� � � � � n� k � � �VII�����
y se determina yn��� de manera que
q��xn��� � f�xn��� q�xn����� �VII�����
Como en la f�ormula �VII����� la f�ormula de Newton da
q�t� �
kXj��
�j��Yi��
�t� xn�i���
�y"xn��� xn� � � � � xn�j��#� �VII�����
��� VII Ecuaciones Diferenciales
Cada t�ermino de esta suma contiene el factor �t � xn���� de donde es muyfacil calcular q��xn���� obteniendo as��
kXj��
�j��Yi��
�xn�� � xn�i���
�y"xn��� xn� � � � � xn�j��# � f�xn��� yn����
�VII�����
x x x xn−k+1 n−1 n n+1
yq(t)
y
yy
n−k+1n−1
n
n+1
Figura VII���� M�etodo de tipo BDF
Para el caso equidistante� �VII����� utilizando �VII����� se convierte en
kXj��
jrjyn�� � hfn��� �VII������
Obteniendo de esta manera� los siguientes casos particulares�
k � � yn�� � yn � hfn���
k � � ��
�yn�� � �yn �
�yn�� � hfn���
k � � �
�yn�� � �yn �
�
�yn�� �
�yn�� � hfn���
k � � ���
�yn�� � �yn � �yn�� � �
�yn�� �
�yn� � hfn���
De nuevo� cada f�ormula de ne impl��citamente la aproximaci�on num�ericayn���
Estudio del Error Local
Al igual de los m�etodos a un paso� como los m�etodos de Runge�Kutta� existela noci�on de orden para los m�etodos multipasos� el cual est�a ��ntimamenteligado al estudio del error local�
VII�� M�etodos Multipasos ���
Los m�etodos multipasos pueden expresarse bajo la forma siguiente
kXi��
�iyn�i � h
kXi��
�ifn�i� �VII�����
donde �k �� � y j��j � j��j � �� El m�etodo es expl��cito si �k � �� si no elm�etodo es impl��cito�
De�nici�on VII����� Sea y�x� una soluci�on de y� � f�x� y�x�� y seayn�k el valor obtenido por el m�etodo �VII����� utilizando yi � y�xi� parai � n� � � � � n� k � � ver gurar VII����� Entonces
error local � y�xn�k�� yn�k� �VII������
Se dice que el m�etodo �VII����� tiene el orden p si el error local es O�hp����
x x x x
y(x)
y
y
yy
n n+1 n+k−1 n+k
n+k
n+k−1
n+1
n
Figura VII���� De nici�on del error local�
Para estudiar el error local de un m�etodo multipaso� se utiliza el operadorL de nido por�
L�y� x� h� �
kXi��
��iy�x� ih�� h�iy��x� ih�� � �VII������
Como yi � y�xi�� para i � n� � � � � n� k� en la de nici�on dada m�as arriba�se tiene que fi � f�xi� y�xi�� � y��xi� para i � n� � � � � n� k� y la f�ormula�VII����� puede ser expresada bajo la forma
kXi��
�iy�xn � ih� � �k�yn�k � y�xn�k�� �h
kXi��
�iy��xn � ih�
� h��fn�k � f�xn�k� y�xn�k����
lo que es equivalente a
L�y� xn� h� �
��kI � h�k
�f
�y�� � ��
��y�xn�k�� yn�k�� �VII������
��� VII Ecuaciones Diferenciales
el argumento de �f��y puede ser diferente para cada linea de esta matriz�ver el teorema del valor medio o incrementos nitos� La f�ormula muestra queel error local del m�etodo �VII����� es O�hp��� si y solamente si L�y� x� h� �O�hp��� para toda funci�on y�x� que es su cientemente derivable�
Teorema VII����� Un m�etodo multipaso tiene el orden p� si y solamentesi sus coe cientes satisfacen
kXi��
�i � � y
kXi��
�iiq � q
kXi��
�iq�� para q � � � � � � p� �VII������
Demostraci�on�� En la f�ormula �VII������� se desarrolla las expresionesy�x� ih� y y��x� ih� en serie de Taylor y obteniendo
L�y� x� h� �
kXi��
�iXg�
y�q��x��ih�q
q�� h
kXi��
�iXr�
y�r����x��ih�r
r�
� y�x�
�kXi��
�i
��Xg�
y�q��x�hq
q�
�kXi��
�iiq � q
kXi��
�iq��
��
La condici�on L�y� x� h� � O�hp��� da la condici�on �VII������� �
Ejemplo
Consid�erese el m�etodo de Adams expl��cito a k pasos� Para q � k� seconsidera la ecuaci�on diferencial y� � qxq�� cuya soluci�on es y�x� � xq �En esta situaci�on� el polinomio p�t� de �VII����� es igual a f�t� y�t�� y elm�etodo de Adams expl��cito da el resultado exacto� Por consiguiente� setiene L�y� x� h� � �� ver la f�ormula �VII������ lo que implica
kXi��
��i�x� ih�q � q�i�x� ih�q��h
�� �
y por lo tanto �VII������� planteando x � �� Entonces� el orden de estem�etodo es � k� Se puede mostrar que efectivamente el orden es igual ak�De la misma manera� se muestra que el m�etodo de Adams impl��cito tieneel orden p � k � y el m�etodo BDF el orden p � k�
Estabilidad
A simple vista la relaci�on �VII������ permite formular m�etodos multipaso conun n�umero dado de pasos con un orden optimal� Sin embargo la experiencia
VII�� M�etodos Multipasos ���
num�erica mostr�o que los resultados obtenidos no siempre eran v�alidos� Espor eso necesario introducir una nueva noci�on en el estudio de estos m�etodos�Esta noci�on est�a intimamente ligada a la estabilidad del m�etodo� Paracomprender mejor el problema que se plantea con los m�etodos multipaso�es necesario referirse al siguiente ejemplo enunciado por Dahlquist en ����
Se plantea k � � y se construye un m�etodo explicito� �� � �� �� � con un orden maximal� Utilizando las condiciones dadas por �VII������ conp � �� se llega al siguiente esquema�
yn�� � �yn�� � �yn � h��fn�� � �fn�� �VII������
Una aplicaci�on a la ecuaci�on diferencial y� � y con y��� � da la f�ormulade recurrencia
yn�� � ��� h�yn�� � �� � �h�yn � �� �VII������
Para resolver la ecuaci�on precedente� se calcula el polinomio caracter��sticode �esta� obteniendo
�� � ��� h�� � �� � �h� � �� �VII������
ecuaci�on de segundo grado cuyas soluciones son
�� � � h�O�h��� �� � �� �O�h��La soluci�on de �VII������ tiene la forma
yn � C��n� � C��
n� �VII������
donde las constantes C� y C� est�an determinadas por y� � y y� � eh� Paran grande� el t�ermino C��
n� C�����n es dominante y ser�a muy di cil que
la soluci�on num�erica converga hacia la soluci�on exacta� Ver gura VII�����
.0 .5 1.0
1.0
2.0
3.0
h=0.1
h=0.05
h=0.025
h=0.01
h=0.1
h=0.05
h=0.025
h=0.01
Figura VII��� Inestabilidad del m�etodo VII������
��� VII Ecuaciones Diferenciales
La raz�on de la divergencia de la soluci�on num�erica en el ejemplo precedente�es que el polinomio
���� �
kXi��
�i�i� �VII������
tiene una raiz que es m�as grande que en valor absoluto�Para encontrar una condici�on necesaria para la convergencia� se consi�
derar�a el problema y� � � con valores iniciales y�� y�� � � � � yk�� perturbados�La soluci�on num�erica yn satisface�
�kyn�k � � � �� ��yn � �� �VII�����
y est�a dada por una combinaci�on lineal de��n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � si � es una raiz simple de ���� � ���n� n�n � � � � � � � � � � � � � � � si � es una raiz doble de ���� � ���n� n�n� � � � � nl�l � � � � � � si � es una raiz de multiplicidad l�
Para que la soluci�on num�erica quede acotada� es necesario que lascondiciones de la de nici�on siguiente sean satisfechas�
De�nici�on VII����� Un m�etodo multipaso es estable� si las raices delpolinomio ���� satisfacen
i� si ��!�� � � entonces���!���� � �
ii� si ��!�� � � y���!���� � entonces !� es una raiz simple de �����
Se puede mostrar facilmente que los m�etodos de Adams tienen comopolinomio caracter��stico
���� � �k���� � ��
Por consiguiente los m�etodos de Adams son estables para la de nici�on queacaba de ser enunciada� Por otro lado se muestra igualmente que los m�etodosBDF son estables solamente para k � ��
Existe un resultado muy importante en la teor��a de la estabilidad de losm�etodos multipaso� cuya demostraci�on escapa a los objetivos del libro� Esteresultado es conocido como la primera barrera de Dahlsquist�
Teorema VII���� Primera barrera de Dahlsquist� Para un m�etodo mul�tipaso estable� el orden k satisface p � k � � si k es par� p � k � si k esimpar y p � k si el m�etodo es expl��cito�
Convergencia de los M�etodos Multipaso
Debido a la complejidad de la demostraci�on� en esta subsecci�on setratar�a� solamente el caso equidistante�
VII�� M�etodos Multipasos ��
Teorema VII����� Sup�ongase que los k valores de partida satisfaganky�xi�� yik � C�h
p� para i � �� � � � � � k � � Si el m�etodo multipaso�VII������ es de orden p y estable� entonces el m�etodo es convergente deorden p� es decir el error global satisface
ky�xn�� ynk � Chp� para xn � x� � nh � Const� �VII������
Demostraci�on�� El punto esencial de la demostraci�on es el siguiente� Seescribe formalmente el m�etodo multipaso �VII����� bajo la forma de unm�etodo a un paso� El m�etodo multipaso es de la forma� suponiendo �k �
yn�k � �k��Xi��
�iyn�i � h,�xn� yn� � � � � yn�k��� h�� �VII������
Para un m�etodo expl��cito �k � �� , est�a dada por
,�xn� yn� � � � � yn�k��� h� �
k��Xi��
�if�xn�i� yn�i��
y para un m�etodo general� , est�a de nida impl��citamente por
,�xn� yn� � � � � yn�k��� h� �
k��Xi��
�if�xn�i� yn�i� �VII������
� �kf
�xn�k � h,�xn� yn� � � � � yn�k��� h��
k��Xi��
�iyn�i
��
Luego se considera los supervectores
Yn � �yn�k��� � � � � yn��� yn�t�
pudiendo de esta manera escribir el m�etodo dado por �VII������� bajo laforma
Yn�� � AYn � h+�xn� Yn� h�� �VII������
donde
A�
�BBBBB��k��� ��k��� � � � ���� ����
� � � � � � �
�� � � O� � �
� � ����
� �
CCCCCA� +�x� Y� h��
�BBBB,�x� Y� h�
������
CCCCA�
�VII������
��� VII Ecuaciones Diferenciales
El siguiente paso en la demostraci�on es introducir el error local� Se consideralos valores yn� � � � � yn�k�� sobre la soluci�on exacta� denotando
Y �xn� � �y�xn�k��� � � � � y�xn���� y�xn��t� �VII������
y aplicando una vez el m�etodo multipaso� Esto da
!Yn�� � AY �xn� � h+�xn� Y �xn�� h��
La primera componente de !Yn�� � Y �xn��� es exactamente el error localdado por �VII������� mientras que las otras componentes son iguales a cero�Como el m�etodo es de orden p� por hip�otesis� se tiene !Yn�� � Y �xn���
� C�hp��� para xn�� � x� � �n� �h � Const�
�VII������A continuaci�on se debe analizar la propagaci�on del error� es decir introducirla estabilidad del m�etodo� Consid�erese una segunda soluci�on num�erica�de nida por
Zn�� � AZn � h+�xn� Zn� h�
y estimar la diferencia Yn�� � Zn��� Como ilustraci�on del siguiente pasoen la demostraci�on se considerar�a solamente los m�etodos de Adams� pues elcaso general requiere de la utilizaci�on de otra norma� cuyo estudio escapa elalcanze de este libro� Por consiguiente
�BByn�k � zn�k
yn�k�� � zn�k�����
yn�� � zn��
CCA �
�BByn�k�� � zn�k��
���yn�� � zn��
yn � zn
CCA
�h
�BB,�xn� Yn� h��,�xn� Zn� h�
�����
CCA �
Utilizando la norma in nita y condici�on de Lipschitz para , que es conse�cuencia de la de f�x� y�� se obtiene
kYn�� � Zn��k � � � h*� kYn � Znk � �VII������
Ahora se ver�a la acumulaci�on de los errores propagados� Esta parte de lademostraci�on es exactamente igual que para los m�etodos a un paso� ver el
VII�� M�etodos Multipasos ���
paragrafo VII�� y la gura VII����� �
y
0 1 2 3 n
yE
y(x )EE
nn
n−1
1
ee
en−1
2
1
0
x x x x x
Figura VII����� Estimaci�on del error global para m�etodos multipaso�
Ejercicios
�� Para los coe cientes del m�etodo de Adams expl��cito� demostrar laf�ormula de recurrencia siguiente�
�m �
��m�� �
��m�� � � � ��
m� �� � �
Indicaci�on��Introducir la serie
G�t� �
�Xj��
�jtj � �j � ���j
Z �
�
��sj
�ds
y demostrar que
G�t� �
Z �
�
�� t��sds y � log�� t�
tG�t� �
� t�
enseguida� desarrollar la segunda f�ormula en serie de Taylor y compararlos coe cients de tm�
��� Consid�erese la identidad
y�xn��� � y�xn�� �
Z xn��
xn��
f�t� y�t��dt
para la soluci�on de la ecuaci�on diferencial y� � f�x� y��
��� VII Ecuaciones Diferenciales
a� Remplazar en la identidad la funci�on desconocida f�t� y�t�� por elpolinomio p�t�� como se ha hecho para construir el m�etodo de Adamsexpl��cito� Deducir la f�ormula de Nystr�on
yn�� � yn�� � h
k��Xj��
�jrjfn�
b� Calcular los primeros �j �
c� Veri car la identidad �j � ��j � �j��� donde �j son los coe cientesdel m�etodo de Adams expl��cito�
��� Mostrar que el m�etodo BDF a k pasos tiene orden k�
��� Calcular el orden para la f�ormula de Nystr�on� ver ejercicio ��
��� Un m�etodo multipaso se dice sim�etrico� si
�j � ��k�j � �j � �k�j �
Mostrar que un m�etodo sim�etrico siempre tiene un orden par���� Dado un predictor de orden p�
kXi��
�Pi yn�� � h
k��Xi��
�Pi fn��� �P �
y un corrector de orden p
kXi��
�iyn�� � hkXi��
�ifn��� �C�
a� Escribir el m�etodo P �EC�ME bajo la forma
Yn�� � AYn � h+�xn� Yn� h��
b� Mostrar que este m�etodo es convergente de orden p� si el corrector esestable� no es necesario que el predictor sea estable�
Bibliograf��a
Al nal de cada libro o art��culo� se indica entre corchetes y car�acteres it�alicosel cap��tulo y/o secci�on al que hace referencia�
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J�H� Wilkinson . C� Reinsch ����� Handbook for Automatic Compu�tation� Volume II� Linear Algebra� Springer�Verlag� New York� II�� V��
FORTRAN��� Reference ����� Hewlett�Packard Company� I����
Indice de S��mbolos
Los s��mbolos matem�aticos que aparecen en el libro� est�an enunciados en esteglosaria de la manera siguiente� En la primera columna el s��mbolo mismo� almedio el nombre de �este y a la derecha la pagina donde est�a de nido�
P�x� problema� ��arr�x� redondeo de x� ��eps precisi�on de la computadora� ��k k norma de vector� ���k k norma de matriz� ���� vector � ���cond�A� condici�on de la matriz A� ���LR descomposici�on de Gauss� ���diag�r�� r�� � � � � rn� matriz diagonal� ���D��� matriz raiz cuadrada� ���� coe ciente de relajaci�on� ���� producto tensorial de matrices� ���kxkA norma natural� ���Q matriz ortogonal� ���A� pseudo inversa de una matriz� ���y"xi� � � � � � xik # diferencia dividida de orden k� ���rkyi diferencia nita progresiva� ��� rkyi diferencia nita regresiva� ���Tn�x� polinomio de Chebichef� ��li�x� polinomio de Lagrange� ��*n constante de Lebesgue� ��f �x aplicaci�on derivada� �����A� radio espectral� ��ker nucleo de una aplicaci�on lineal� ����A�� polinomio caracter��stico� ���A� matriz adjunta� ���U matriz unitaria� ���Pk��� nucleo de Peano de orden k� ���Pk�x� polinomio de Legendre� ����FN transformada discreta de Fourier� ����y � k producto de convoluci�on� ����
Indice Alf�abetico
acelerador de convergencia� ������
Adamsm�etodo expl��cito� ��m�etodo impl��cito� ���
Aitken� ���algoritmo� �bisecci�on� �� ��Cholesky� ��epsilon� ���Euclides� ��Gauss� ��H�orner� ���
aplicaci�on de spline� ��aproximaci�on de Broyden� ��arm�onica� sucesi�on� ��axiomas de Moore�Penrose� ��
BDF� m�etodos� ���Broyden� ��Brusselator� ���Bulirsch� sucesi�on� ��busquedade Fibonacci� ��de pivote parcial� �
c�alculo derivada� ��c�alculo variacional� ��Cardano� ��Cauchy� ���cerolocalizaci�on� ��multiplicidad� ��
Chebichefpolinomio� ��� �puntos� �teorema� ��
cociente de Rayleigh� �������
constantede Lebesgue� �
condici�ondel problema a valores propios� ��del problema lineal������de un problema� �de una matriz� �����Lipschitz� �������
construcci�onpolinomio de interpolaci�on� ��m�etodo de orden �� ���spline� ��
convergenciaacelerador� ��interpolaci�on� �m�etodo de Gauss�Newton� ���m�etodo de Gauss�Seidel� ��m�etodo de Jacobi� ��m�etodos de Runge�Kutta� ���m�etodos multipaso� ���spline� ��
costo� �descomposici�on LR� ��descomposici�on QR� ��transformada r�apida de Fourier� ��
Cramer� regla de� ��
Dahlsquist� primera barrera� ���descomposici�onCholesky� ��� ��Jordan� ��LR� ��� ��� ��QR� ��Schur� ��� ���valores singulares� ��
diferenciasdivididas� �� nitas� ��
direcci�onconjugada� ��� ��Newton� ��
dispositivoideal de c�alculo� �material de c�alculo� �
Dormand . Prince� ���
��� Indice Alf�abetico
ecuacionescon derivadas parciales� ��cuadr�aticas� ��c�ubicas� ��de grado cuarto� ��diferenciales� ���Euler�Lagrange� ��no resolubles por radicales� ��resolubles por radicales� ��
e ciencia� ���algoritmo� ���errorde aproximaci�on� �de la aproximaci�on spline� ��de interpolaci�on� del m�etodo� �de truncaci�on� �f�ormula de cuadratura� ���extrapolaci�on� ��m�etodo gradiente� ��m�etodo gradiente condicionado� ��m�etodo Gauss�Newton� ����m�etodo Multipaso� ���m�etodo Newton� ��transformada discreta de Fourier�
���errores de redondeo� �estabilidadalgoritmo de Gauss� �������backward analysis� �forward analysis� �m�etodo de Euler� ��m�etodo de Euler expl��cito� ���m�etodo multipaso� ���num�ericamente estable� �
Eulerefecto de los errores de redondeo�
��estabilidad� ��m�etodo� ��m�etodo impl��cito� ��pol��gono� ��
extrapolaci�onpolinomial� ��tablero� ��error� ��
factorizaci�on�incompleta de Cholesky� ��
fen�omeno de Runge� ��FFT� ���Fibonacci� busqueda� ��formas tridiagonales� ���f�ormulade Cardano� ��de Newton� ��de Nystr�om� ���
de Rodr��guez� ���f�ormula de cuadratura� ���error� ���Gauss�
���4���orden� ���orden elevado� ���sim�etrica� ���
Fouriererror� ���serie de� ���transformada� ���transformada discreta� ���transformada r�apida� ���
funcionintegrable� ���modelo� ��ortogonal� ���peso� ���funciones con oscilaciones� ��
Galois� teorema� ��GAUINT� ���Gauss�algoritmo de eliminaci�on� ��� ��f�ormulas de cuadratura�
���4���convergencia Gauss�Newton� ���m�etodo Gauss�Newton� ���
Gerschgorin� teorema� ��� ���grado de aproximaci�on� ��grafo dirigido� ��
Hermite� ��� ��Heun� ���
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Interpolaci�onconvergencia� �de Lagrange� ��4��de Hermite� ��trigonom�etrica� ���
Kantorovich� ver teoremaKonrad� ��
Lagrange� ���estrategia� ��Lebesgue� �Levenberg�Marquandt� ��Lipschitz� ���
mantisa� �matrizadjunta� ��de nida positiva� ��Frobenius� ��� ��Hessenberg� ���Hilbert� �� ��Householder� ��� ���irreducible� ��� ��no�negativa� ��normal� ��ortogonal� ��pseudo�inversa de una� ��sim�etrica� ��tridiagonal� ���Toeplitz� ���unitaria� ��Vandermonde� �
m�etodo�Adamas expl��citos� ��Adamas impl��citos� ���a un paso� ���BDF� ���de la bisecci�on� ���de la potencia� ���de la potencia generalizada� ���de la potencia inversa� ���Dormand . Prince� ���encajonados� ���Euler� ��� ���falsa posici�on� ��Gauss Newton� �������Gauss Seidel� ��4��Gradiente� ��Gradiente Conjugado� ��Gradiente Conjugado
Precondicionado� ��
Heun� ���iterativos� ��4��iterativo simple� ��Jacobi���4��Levenberg�Marquandt� ��Maehly� ��Multipaso� ��Newton� ��� ��4��Newton con Relajaci�on� ��Newton Simpli cado� ��predictor�corrector� ���QR� ���QR con shift� ���Sobrerelajaci�on SOR� ��� ��Runge�Kutta� ver Runge�KuttaSSOR precondicionado� ��
m��nicmos cuadrados� ��interpretaci�on estad��stica� ��interpretaci�on geom�etrica� ��
Misovski�ver teorema Newton�Misovski
modi caciones de Gauss�Newton� ���m�odulo de continuidad� �
Newtondirecci�on� ��Kantorovich� ��m�etodo� ��� ��4��m�etodo con Relajaci�on� ��m�etodo simpli cado� ��Misovski� ��regla de� ���
norma�absoluta� ��ciudad�bloque� ��de la convergencia uniforme� ��de una matriz� ��de un vector� ��euclidiana� ��Frobenius� ��mon�otona� ��natural� ��
Nucleo de Peano� ��4���nucleo resolvente� ���
operaci�on elemental� �ordenf�ormula de cuadratura� ���m�etodo de Runge�Kutta� ���construcci�on de
un m�etodo de orden �� ���
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Peano� ��4���Pearson� ��Perron�Frobenius� ��pivote� ��pol��gono de Euler� ��polinomiocaracter��stico� ��Chebichef� ��� �� ���Hermite� ��interpolaci�on de Hermite� ��� ��� ���interpolaci�on de Lagrange� ��Jacobi� ���ortonormales� ���Lagrange� ��� ��Laguerre� ���Legendre� ���� ���
precisi�on de la computadora� �primitiva� ���problema� �a valor inicial� ���bien condicionado� �con valores en la frontera� ���de Cauchy� ���de minimizaci�on� ��mal condicionado� �
potencia inversa de Wielandt� ���procedimienteo -� de Aitken� ���productode Kronecker� ��escalar de funciones� ���sesquilineal� ���tensorial de matrices� ��
Property A de Young� ��punto�otante� �de Chebichef� �punto jo� ��
pseudo�inversa de una matriz� ��
QUADPACK� ��
Rayleigh� �������redondeado� �
regi�on de estabilidad� ���regladel punto medio� ���del trapecio� ���de Newton� ���de Simpson� ���Cramer� ��
resolvente� ���Rodriguez� ���Romberg� ��Runge�Kuttacondiciones de orden� �������convergencia� ���error glogal� ���error local� ���Dormand�Prince� ���esquema� ���Euler� ���Heun� ���Kutta� ���m�etodos� ���m�etodos encajonados� ���orden� ���regla �/�� ���Runge� ���soluciones continuas� ���
Schur� ������serie de Fourier� ���Shootingm�ultiple� ���simple� ���
soluciones continuas� ���SOR� ��Splineaplicaci�on���construcci�on� ��c�ubico� ����error� �� jo en los bordes� ��natural� ��
SSOR precondicionado� ��radio espectral� ��
Indice Alf�abetico ���
� optimal� ��Sturm� ��
sucesionesarm�onica� ��Bulirsch� ��Romberg� ��Sturm� ��
Sylvester� ���
tablero de extrapolaci�on� ��teoremaCauchy�Lipschitz� ���� ��Chebichef� ��Dirichlet� ���del Muestreo� ���Fundamental del Algebra� ��Galois� ��Gerschgorin� ��� ���Jordan� ��Newton�Kantorovich� ��Newton�Misovski� ��Pearson� ��Perron�Frobenius� ��punto jo� ��Schur� ��Sylvester� ���Weirstrass� ��Wilkinson� ��Wynn� ���
transformadadiscreta de Fourier� ���r�apida de Fourier� ���
valor absoluto de un vector� ��valor propio� ��valores singulares� ��Van der Pol� ���vector propio� ��
Weirstrass� ��Wilkinson� ��Wynn� ���
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Una Introducci�on al An�alisis Num�erico es un libroque pretende dar un enfoque moderno de los t�opicosintroductorios de esta disciplina� Las nociones deestabilidad y error son analizadas minuciosamente en cadatema� La formulaci�on de m�etodos y algoritmos es tratadade una manera construccionista� evitando de esta maneralas recetas y trucos que aperecen en otros libros�
El libro cuenta con siete cap��tulos que dan una idea delo que constituye actualmente el An�alisis Num�erico� Estosson� Preliminares� Sistemas Lineales� Interpolaci�on�Ecuaciones No Lineales� C�alculo de Valores Propios�Integraci�on Num�erica y Ecuaciones Diferenciales�
Por sus caracter��sticas� este libro puede utilizarse comotexto base� o bien como un complemento bibliogr�a co�Est�a destinado a alumnos o profesionales interesados enel An�alisis Num�erico� Como prerequisito para una buenautilizaci�on de este libro� se requiere tener los conocimientosb�asicos de an�alisis y �algebra lineal