MUD_instrukcje

Laboratorium komputerowe MODELOWANIE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

3

REGULAMIN LABORATORIUM

1. Forma zajęć

• Zajęcia laboratoryjne z przedmiotu modelowanie układów dynamicznych mają charakter laboratorium kom-

puterowego.

• Cykl zajęć laboratoryjnych składa się z 15 ćwiczeń, skorelowanych (czasowo) z wykładami, które odbywają się w tym samym semestrze w liczbie 15 godzin.

• Przeprowadzenie niektórych ćwiczeń laboratoryjnych wymaga krótkiego wprowadzenia teoretycznego.

• W czasie danych zajęć wszyscy studenci realizują tę samą jednostkę ćwiczeń laboratoryjnych. Natomiast

zadania szczegółowe mogą zostać zróżnicowane.

• W czasie zajęć laboratoryjnych studenci wykonują zadania opisane szczegółowo w instrukcji do ćwiczeń. • Ocenie podlegają efekty pracy, wnioski, zapisane w postaci wzorów, wyników liczbowych, wykresów i

wniosków zapisanych w pliku programu DERIVE.

• Laboratorium kończy się zaliczeniem polegającym na omówieniu jednego wybranego przez prowadzącego

ćwiczenia.

2. Obecność na zajęciach

• Obecność na zajęciach jest obowiązkowa.

• Nieobecność należy usprawiedliwić przedstawiając na najbliższych zajęciach zwolnienie lekarskie, bądź w

uzasadnionych przypadkach inny dokument.

• Przewidziane są dwie formy odrobienia zaległych ćwiczeń: - zaliczenie ćwiczeń w czasie konsultacji,

- zaliczenie ćwiczeń podczas ostatnich zajęć w semestrze.

3. Przygotowanie do ćwiczeń

• Przygotowanie do ćwiczeń polega na przestudiowaniu wykładów oraz instrukcji do danego ćwiczenia.

• Instrukcje do ćwiczeń zawierają krótkie wprowadzenie teoretyczne, którego celem jest zwrócenie studentom

uwagi na to, jakie zagadnienia należy opanować przed przystąpieniem do zajęć. • Niekiedy instrukcja uzupełniona jest obszerniejszym opracowaniem teoretycznym.

• Instrukcje do ćwiczeń oraz wszystkie inne materiały pomocnicze dostępne są w formie elektronicznej na stronie

internetowej instytutu.

4. Przebieg ćwiczeń

• Studenci są zobowiązani do przestrzegania zasad bezpieczeństwa.

• Przygotowanie teoretyczne do ćwiczeń może być sprawdzone w formie pisemnej przed ich rozpoczęciem.

• Komputery można włączyć na polecenie prowadzącego ćwiczenia.

• Ćwiczenia należy wykonywać zgodnie z instrukcją oraz z uwagami prowadzącego zajęcia.

• Ćwiczenia należy wykonywać samodzielnie. Samodzielność przy realizacji zadań określonych w instrukcji jest

jednym z elementów podlegających ocenie.

• W przypadku wystąpienia ewentualnych trudności należy konsultować się wyłącznie z prowadzącym ćwiczenia.

• Zadania zrealizowane w czasie ćwiczeń należy pod koniec zajęć przedstawić prowadzącemu do oceny. W tym

celu należy zapisać je na przenośnej pamięci typu Flash. Zarchiwizowany w ten sposób plik/pliki stanowią elektroniczną wersję sprawozdania podlegającego ocenie.

• Swoje pliki studenci przechowują tylko w specjalnie do tego celu przewidzianym folderze, który zostaje

założony na pierwszych zajęciach.

• Na zakończenie ćwiczeń należy zamknąć wszystkie okienka ze swoimi programami, a następnie wyłączyć komputer, uporządkować stanowisko i zgłosić to prowadzącemu.

5. Zaliczenie ćwiczeń laboratoryjnych

• Warunkiem koniecznym zaliczenia przedmiotu jest wykonanie wszystkich ćwiczeń laboratoryjnych reali-

zowanych na zajęciach.


4

• Zaliczenie każdego z ćwiczeń polega na ocenie zawartości pliku programu DERIVE tworzonego w czasie zajęć. Oceniana jest:

– poprawność zrealizowanych zadań, – trafność zapisanych wniosków,

– struktura i przejrzystość pliku.

• Ocenie podlega również aktywna i samodzielna praca studenta na zajęciach. Student powinien dobrze

orientować się w pliku, który tworzył, i powinien potrafić omówić jego zawartość. • Końcowa ocena z ćwiczeń laboratoryjnych wynika z punktowych ocen przyznawanych za:

– zawartość i poprawność plików programu DERIVE tworzonych w czasie ćwiczeń i przekazanych

prowadzącemu na przenośnej pamięci,

– aktywna i samodzielna praca studenta na zajęciach,

– zaliczenie końcowe polegające na omówieniu celów, przebiegu, uzyskanych wyników i wniosków

jednego wybranego przez prowadzącego ćwiczenia,

– ewentualne sprawdziany sprawdzające teoretyczne przygotowanie do zajęć. • Ocenę pozytywną uzyskuje się po zgromadzeniu 50% sumy punktów przewidzianych do zdobycia w całym

semestrze.


5

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 1 TEMAT: WPROWADZENIE

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZA POMOCĄ PROGRAMU DERIVE

1. Cel ćwiczeń

• Zapoznanie z różnymi możliwościami rozwiązywani liniowych i nieliniowych równań różniczkowych za

pomocą programu DERIVE.

• Nabycie umiejętności wykonywania wykresów funkcji będącej rozwiązaniem równania różniczkowego.

2. Słowa kluczowe

równania różniczkowe zwyczajne, równania różniczkowe liniowe, równania różniczkowe nieliniowe, metoda

Rungego-Kutty, funkcja Heaviside’a

3. Plan zajęć

3.1. Wprowadzenie

• Zapoznanie z zasadami bezpieczeństwa obowiązującymi w laboratorium komputerowym.

• Przedstawienie regulaminu ćwiczeń laboratoryjnych.

3.2. Założenie folderu przewidzianego do przechowywania swoich plików

3.3. Przypomnienie podstawowych wiadomości o programie DERIVE

• Ustawienie opcji: Wyrazy i Rozróżniaj w Menu Opcje/Ustawienie trybów pracy; zakładka Wejście.

• Możliwość osadzania wykresów w oknie Algebra. Wykresy będą na trwałe zapisane w skoroszycie.

• Możliwość zapisu zawartości okna Algebra w różnych formatach.

• Omówienie różnicy między dwuznakiem := w instrukcji przypisania i znakiem = w równaniach.

Przykład Wykonaj wykresy zapisanych niżej wyrażeń

y := t 2

x = t2

w = t2 - 2

4. Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych

4.1. Równania różniczkowe zwyczajne I rzędu liniowe

• Omówienie funkcji DSOLVE1 i jej parametrów.

p(x, y) + q(x, y)·y' = 0

DSOLVE1(p, q, x, y, x0, y0)

• Omówienie funkcji LINEAR1 i jej parametrów.

y' + p(x)·y = q(x)

LINEAR1(p, q, x, y, x0, y0)

• Przykłady zastosowania funkcji LINEAR1 i DSOLE1 do rozwiązywania zagadnień początkowych z liniowym

równaniem różniczkowym zwyczajnym I rzędu.

• Wykonanie wykresów otrzymanych rozwiązań.


6

4.2. Równania różniczkowe zwyczajne II rzędu liniowe

• Omówienie funkcji DSOLVE2_IV i jej parametrów.

y'' + p(x)·y' + q(x)·y = r(x)

DSOLVE2_IV(p, q, r, x, x0, y0, v0)

• Przykłady zastosowania funkcji DSOLVE2_IV do rozwiązywania zagadnień początkowych z liniowym

równaniem różniczkowym zwyczajnym II rzędu.

• Wykonanie wykresów otrzymanych rozwiązań.

4.3. Funkcja Heaviside’a

• Zastosowanie funkcji Heaviside’a (funkcji skoku jednostkowego) do przedstawiania rozwiązań zagadnień początkowych na wykresie.

4.4. Równania różniczkowe zwyczajne nieliniowe

• Sprowadzanie równań II i wyższych rzędów do układu równań I rzędu.

• Omówienie funkcji RK i jej parametrów. RK(ps, z, wp, h, n)

ps - wektor prawych stron układu równań różniczkowych,

z - wektor zmiennych układu równań różniczkowych. Zmienna niezależna jest zawsze pierwszym

elementem wektora,

wp - wektor wartości początkowych zmiennych układu równań różniczkowych,

h - krok schematu różnicowego, krok czasowy,

n - liczba kroków.

• Omówienie postaci w jakiej zapisane są wyniki generowane przez funkcję RK.

Wyniki zapisywane są w macierzy o wymiarach n×m, przy czym m jest liczbą zmiennych układu równań.

• Przykłady zastosowania funkcji RK do rozwiązywania zagadnień początkowych z nieliniowym równaniem

różniczkowym.

• Wykonanie wykresów otrzymanych rozwiązań. Zastosowane funkcji EXTRACT_2_COLUMNS oraz operatora

COL.

Przykład

Jeżeli w wyniku podstawienia

A:= RK(ps, z, wp, 0.05, 200)

otrzymaliśmy macierz A o wymiarze n×m, to stosując

– funkcję

EXTRACT_2_COLUMNS(A, 3, 2)

– albo operator

A COL [3,2]

osiągniemy ten sam efekt – wyłączone z macierzy A dwie kolumny 3. oraz 1. zostaną zapisane w nowej macierzy o

wymiarze n×2.


7

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 TEMAT: ODWZOROWANIE LOGISTYCZNE.

RUCH HARMONICZNY. SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH. DUDNIENIA

1. Cel ćwiczeń

• Zapoznanie się z rekurencyjnym równaniem układu dynamicznego z czasem dyskretnym na przykładzie

odwzorowania logistycznego.

• Umiejętność identyfikowania parametrów ruchu na podstawie przebiegu czasowego.

• Zapoznanie się z efektami nakładania się ruchów harmonicznych o różniących się parametrach.

2. Słowa kluczowe

odwzorowanie logistyczne, ruch harmoniczny, ruch okresowy, częstości współmierne i niewspółmierne, dudnienia

3. Odwzorowanie logistyczne

Odwzorowanie logistyczne jest przykładem równania opisującego układ dynamiczny z czasem dyskretnym.

Opisuje ono wzrost populacji w ograniczonym środowisku. Jest to rekurencyjne równanie rekurencyjne postaci

)1(1 nnn

xxkx −=+

,

gdzie 1+n

x – liczebność populacji w pewnym roku, określona jako liczba względna (ułamek) z przedziału ⟨0, 1⟩,

nx – liczebność populacji w roku poprzednim,

k – parametr modelu opisujący wielkość urodzaju rzutującego na dostępne zapasy żywności, k = const.

Odwzorowanie logistyczne opisuje ewolucję wielu układów, między innymi zachowanie rotatora, który jest silnie

tłumiony i okresowo uderzany z dużą siłą.

Zadanie

Przyjmując podane wartości parametru k oraz stanu początkowego 1

x populacji określić perspektywy jej rozwoju.

4. Składanie drgań harmonicznych

4.1. Składanie dwóch ruchów harmonicznych o jednakowych częstościach kołowych

• Dane są kinematyczne równania drgań harmonicznych odbywających się wzdłuż tej samej prostej

x1(t) = B sin(ω t), x2(t) = C cos(ω t) .

• Przyjmując wartości liczbowe amplitud A, B oraz częstości kołowej ω wykonać w jednym oknie graficznym

wykresy x1(t), x2(t) oraz drgań złożonych x1(t) + x2(t).

• Na podstawie wartości odczytanych z wykresu wyznaczyć okres, amplitudę, częstość kołową i fazę początkową drgań.

• Czy ruch złożony jest okresowy? Czy jest harmoniczny? Wartości jakich wielkości zostały zachowane przy

składaniu, a jakie się zmieniły?

• Porównaj odczytaną z wykresu wartość amplitudy drgań złożonych z wartością obliczoną według wzoru (6).

4.2. Składanie n ruchów harmonicznych o jednakowych częstościach kołowych

• Dane są kinematyczne równania n ruchów harmonicznych odbywających się wzdłuż tej samej prostej

xi(t) = Aisin(ω t + ϕ i), i = 1, 2,…n.

• Przyjmując wartości liczbowe częstości kołowej ω, amplitud Ai i faz początkowychϕ i, i =1, 2, ..., n wykonać wykres drgań złożonych x1(t) + x2(t) + ... + xn(t).

• Odczytać z wykresu wartości okresu i amplitudy. Obliczyć wartości częstości kołowej i fazy początkowej drgań.


8

• Czy ruch złożony jest okresowy? Czy jest harmoniczny? Wartości jakich wielkości zostały zachowane przy

składaniu, a jakie się zmieniły?

4.3. Składanie n ruchów harmonicznych o różnych częstościach kołowych

• Dane są kinematyczne równania n ruchów harmonicznych odbywających się wzdłuż tej samej prostej

xi(t) = Aisin(ω t + ϕ i), i = 1, 2,…n.

• Przyjąć wartości liczbowe amplitud Ai i faz początkowych ϕ i, i =1, 2, ..., n.

• Dobrać wartości częstości ωi tak, aby spełniały warunek współmierności.

• Wykonać wykres drgań złożonych x1(t) + x2(t) + ... + xn(t).

• Czy ruch złożony jest okresowy? Czy jest harmoniczny?

• Dobrać wartości częstości ωi tak, aby warunek współmierności nie był spełniony.

• Wykonać wykres drgań złożonych x1(t) + x2(t) + ... + xn(t).

• Czy ruch złożony jest okresowy? Czy jest harmoniczny?

4.4. Sformułować wnioski na podstawie analizy wykresów

5. Dudnienia

• Dane są kinematyczne równania drgań harmonicznych odbywających się wzdłuż tej samej prostej

)sin()(111

ϕω +⋅⋅= tAtx , ))sin(()(222

ϕεω ++⋅= tAtx .

• Przyjąć wartości liczbowe amplitud Ai i faz początkowych ϕ i, i =1, 2.

• Dobrać wartości parametrów ω i ε tak, aby spełniony był warunek pojawienia się dudnień. • Wykonać wykres drgań złożonych x1(t) + x2(t).

• Zmierzyć okres zmian amplitudy i porównać wartość z pomiaru z wartością otrzymaną ze wzoru (10).

• Jak należy dobrać parametry drgań składowych, aby dudnienia przebiegały z okresowym wygaszaniem

amplitudy?

Materiały pomocnicze

1. Ruch harmoniczny

Ruchem harmonicznym nazywamy ruch periodyczny opisany równaniami

x(t) =A sin( ω t +ϕ0 ) lub x(t) =A cos( ω t + ϕ0 ) (1)

Układ wykonujący taki ruch nazywamy oscylatorem harmonicznym. Parametrami drgań harmonicznych są: A – amplituda, czyli największe odchylenie wartości chwilowej od wartości średniej,

ω – częstość kołowa, zwana także pulsacją [rad/s],

ϕ 0 – faza początkowa [rad].

Rys. 1. Wykres drgań harmonicznych

A

T

x0


9

Podstawowy okres funkcji x(t) nazywamy okresem drgań harmonicznych. Jednostką okresu jest sekunda [s].

Okres drgań i częstość kołowa powiązane są zależnością:

ωπ2

=T (2)

Częstotliwością f okresowo powtarzającego się zjawiska nazywamy liczbę cyklów przypadających na jednostkę czasu. Jednostką częstotliwości jest herc [Hz]. Częstotliwość i okres drgań łączy zależność

Tf

1= .

(3)

W ruchu harmonicznym obowiązuje wzór

fπω 2= , (4)

który otrzymamy podstawiając (2) do (3).

Odczytując wartość współrzędnej x0 z wykresu x(t) można wyznaczyć wartość fazy początkowej ruchu

)0(0

xx =

( )A

x0

0sin =ϕ

( )00

sin ϕAx =

=

A

x0

0arcsinϕ

(5)

2. Składanie ruchów harmonicznych odbywających się wzdłuż jednej prostej

2.1. Składanie dwóch ruchów harmonicznych o jednakowych częstościach kołowych

=+=+= )(cos)sin()()()(21

tCtBtxtxtx ωω

)sin()sin)cos(cos)(sin(

)cos()sin(

000

2222

22

ϕωϕωϕω

ωω

+=+=

=

++

++=

tAttA

CB

Ct

CB

BtCB

gdzie

22 CBA +=

220

220

sin,cosCB

C

CB

B

+=

+= ϕϕ

B

C==0

0

0 cos

sintg

ϕ

ϕϕ

(6)

(7)

2.2. Składanie n ruchów harmonicznych o jednakowych częstościach kołowych

)sin()(iii

tAtx ϕω += , i = 1, 2, ..., n

=+=+== ∑∑∑===

n

i

iii

n

i

ii

n

i

ittAtAtxtx

111

)sin)cos(cos)(sin()sin()()( ϕωϕωϕω


10

=+=+= ∑∑∑∑====

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

n

i

iiAtAttAtA

1111

sin)cos(cos)sin(sin)cos(cos)sin( ϕωϕωϕωϕω

)sin()(cos)sin(0

ϕωωω +=+= tAtDtC

gdzie

∑=

=n

i

iiAC

1

cosϕ , ∑=

=n

i

iiAD

1

sin ϕ , 22 DCA +=

220

220

sin,cosDC

D

DC

C

+=

+= ϕϕ

∑

∑

=

====n

i

ii

n

i

ii

A

A

C

D

1

1

0

0

0

cos

sin

cos

sintg

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

(8)

(9)

2.3. Dudnienia

Dudnieniem nazywamy drgania charakteryzujące się okresowymi zmiany amplitudy. Dudnienia można otrzymać w wyniku nałożenia się na siebie dwóch lub więcej drgań harmonicznych o zbliżonych wartościach częstości. Na

przykład

)sin()(11

ϕω +⋅⋅= tAtx oraz ))sin(()(22

tAtx εω +⋅= , ε << ω.

=+⋅++⋅⋅=+= ))sin(()sin()()()(2121

tAtAtxtxtx εωϕω

=++⋅+⋅= ))sin()cos()cos()(sin()sin)cos(cos)(sin(21

ttttAttA εωεωϕωϕω

=+⋅++⋅= ))sin(sin)(cos())cos(cos)(sin(2121

tAAttAAt εϕωεϕω

))(sin()()cos()()sin()( tttAttCttB ϕωωω +⋅=⋅+⋅=

przy czym

)cos(cos)(21

tAAtB εϕ += , )sin(sin)(21

tAAtC εϕ += ,

=+++=+= ))sin(sin)cos((cos2)()())(())(()(21

22

21

22 ttAAAAtCtBtA εϕεϕ

))(cos(2)()(21

22

21

ϕε −++= tAAAA

)(

)()(cos,

)(

)()(sin

tA

tBt

tA

tCt == ϕϕ

)cos(cos

)sin(sin

)(

)(

)(cos

)(sin)(tg

21

21

tAA

tAA

tB

tC

t

tt

εϕ

εϕ

ϕ

ϕϕ

+

+===

Zarówno faza początkowa jak i amplituda dudnień są funkcjami okresowymi, przy czym okres podstawowy TA

funkcji A(t) zależy od parametru ε

επ2=

AT .

(10)

7. Literatura

Z. Osiński, Teoria drgań, rozdz. 1.1 – 1.2


11


12

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3 TEMAT: SZTYWNOŚĆ ZASTĘPCZA UKŁADU SPRĘŻYN.

DGRANIA SWOBODNE UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY

1. Cel ćwiczeń

• Umiejętność wyznaczania sztywności zastępczej układu sprężyn.

• Zapoznanie się z typowymi przebiegami czasowymi drgań swobodnych oscylatora harmonicznego i oscylatora

tłumionego.

• Umiejętność wyznaczania parametrów drgań z wykresu przebiegu czasowego.

2. Słowa kluczowe

sztywność zastępcza, oscylator harmoniczny, tłumienie wiskotyczne, tłumienie: krytyczne, nadkrytyczne i pod-

krytyczne, logarytmiczny dekrement tłumienia

Uwaga

Każdy student otrzymuje indywidualnie przydzielony rysunek.

Wartości wszystkie wielkości należy podawać po przeliczeniu na jednostki podstawowe układu SI.

3. Wyznaczanie sztywności zastępczej

• Przeanalizuj uważnie strukturę układu sprężyn przedstawionego na rysunku.

• Wyprowadź wzór na sztywność zastępczą układu.

• Przyjmując dane z tabeli 1 oblicz wartość sztywności zastępczej.

• Napisz równania Lagrange’a II rodzaju i równania ruchu dla układu ze sprężyną o sztywności zastępczej kz.

Tabela 1. Dane do zadania 3

k1[N/m] k2[N/m] k3[N/m] k4[N/m] m [kg] x0[cm] v0 [m/s]

1000 600 1200 900 2 1.2 0.24

4. Drgania oscylatora harmonicznego

W chwili t = 0 układ wychylono z położenia równowagi odciągając ciężarek o masie m w dół o x0, po czym

puszczono go bez prędkości początkowej.

• Zapisz warunki początkowe.

• Zapisz wzorami równania modelu matematycznego

równania ruchu + warunki początkowe = zagadnienie początkowe.

• Rozwiąż równania modelu matematycznego za pomocą funkcji DSOLVE2_IV.

Pamiętaj o pomnożeniu rozwiązania przez funkcję skoku jednostkowego

STEP(t)* DSOLVE2_IV(…...

• Wykonaj wykres rozwiązania przedstawiający tak zwany przebieg czasowy

drgań układu.

• Wyznacz z wykresu amplitudę, częstość kołową i fazę początkową drgań. • Porównaj otrzymane wartości z wartościami otrzymanymi ze ścisłych wzorów.

• Sprawdź, jak zmieni się postać drgań opisanego układu, gdy wytrącając ciężarek z

równowagi nadamy mu prędkość początkową v0. W celu porównania obu przebiegów przedstaw je na jednym

rysunku.

m

x(t)

kz


13

5. Tłumienie wiskotyczne

Przedstawiony na rysunku układ rozbudowano, wprowadzając tłumik wiskotyczny. W chwili t = 0 układ wychylono z

położenia równowagi odciągając ciężarek o masie m w dół o x0 i nadając mu prędkość początkową v0.

• Zapisz wzorami równania modelu matematycznego (równania ruchu + warunki

początkowe = zagadnienie początkowe).

Kolejno dla każdej z trzech podanych wartości współczynnika tłumienia c

• rozwiąż równania modelu matematycznego za pomocą funkcji DSOLVE2_IV.


STEP(t)* DSOLVE2_IV(…...

• Wykonaj wykres rozwiązania przedstawiający przebieg czasowy drgań układu (na

oddzielnych rysunkach).

• Oblicz współczynnik tłumienia h oraz bezwymiarowy współczynnik tłumienia γ.

• Kiedy odpowiedź układu na warunki początkowe ma charakter oscylacyjny?

6. Logarytmiczny dekrement tłumienia

Dla tej wartości współczynnika tłumienia c, przy której odpowiedź układu miała charakter oscylacyjny:

– wyznacz logarytmiczny dekrement tłumienia,

– sprawdź, czy układ przechodzi przez położenie równowagi w równych odstępach czasu,

Zmień warunki początkowe, przyjmując

a) x0 = 0 b) v0 = 0 .

Ponownie wyznacz logarytmiczny dekrement tłumienia. Sprawdź, czy słuszny jest wzór (24).

7. Wnioski

1. Odpowiedz na pytania postawione w treści zadań.

2. Jakie wielkości charakteryzujące odpowiedzi obu układów na warunki początkowe zależą tylko od właściwości

układu, a nie zależą od warunków początkowych? Czy można je wykorzystać do identyfikacji parametrów układu?

Materiały pomocnicze

1. Drgania swobodne oscylatora harmonicznego

Przygotowując się do ćwiczeń uzupełnij tabelę

równanie ruchu (1)

warunki początkowe (2)

kinematyczne równanie ruchu x(t) = (3)

okres drgań T = (4)

częstość drgań własnych

m

k=ω

(5)

częstotliwość drgań =f (6)

amplituda 2

020

+=

ω

vxA

(7)

faza początkowa ( ) =0ϕtg (8)

m

kz

c


14

2. Drgania swobodne oscylatora harmonicznego z tłumieniem wiskotycznym

Uzupełnij tabelę

równanie ruchu 02 2 =++ xxhx ω&&& (9)

warunki początkowe (10)

współczynnik tłumienia h

m

ch

2=

(11)

bezwymiarowy współczynnik tłumienia

ωγ

h= , gdzie

m

k=ω

(12)

tłumienie krytyczne ω=h =γ (13)

tłumienie podkrytyczne h ? ω γ < (14)

tłumienie nadkrytyczne (15)

przypadek oscylacyjny odpowiedzi układu h ? (16)

kinematyczne równanie ruchu )sin()( 022 ϕω +−= − theAtx th (17)

częstość drgań własnych 22 h−ω (18)

„okres” oscylatora tłumionego π2=T

(19)

obwiednia przebiegu czasowego theA − (20)

współczynnik A 2

22

0020

−

++=

h

xhvxA

ω

(21)

faza początkowa ( )00

0220

xhv

xhtg

+−= ωϕ

(22)

logarytmiczny dekrement tłumienia

1

ln+

=n

n

A

Aδ

(23)

związek pomiędzy logarytmicznym dekrementem tłumienia i

okresem T

=δ (24)

7. Literatura

Z. Osiński, Teoria drgań, rozdz. 3.1 i 3.3.


15

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ NR 4 I 5

TEMAT: DGRANIA WYMUSZONE UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY

1. Cel ćwiczeń

• Zapoznanie się z typowymi odpowiedziami układu II rzędu na wymuszenie harmoniczne.

• Wyznaczanie krzywych rezonansu w układach bez tłumienia.

• Wyznaczanie składników dynamicznych sił przenoszonych na podłoże.

2. Słowa kluczowe

wymuszenie harmoniczne, drgania wymuszone, rezonans w układzie bez tłumienia, krzywe rezonansu, minimalizacja

drgań przenoszonych na podłoże, współczynnik przenoszenia, proces przejściowy, proces ustalony.

Uwagi

1. Wartości wszystkie wielkości należy podawać po przeliczeniu na jednostki podstawowe układu SI.

2. Zalecane ustawienia opcji programu DERIVE

menu Opcje/Ustawienia trybów pracy:

– zakładka Wejście opcje: Wyrazy i Rozróżniaj,

– zakładka Upraszczanie wyrażeń wartość Collect w polu dotyczącym wyrażeń trygonometrycznych.

3. Drgania wymuszone siłą harmoniczną

• Rozwiąż (w programie DERIVE) zagadnienie opisujące drgania wymuszone oscylatora harmonicznego przy

warunkach początkowych x0 = 0, v0 = 0.

• Który składnik rozwiązania opisuje drgania wymuszone, a który stowarzyszone?

• Na podstawie otrzymanego rozwiązania zapisz wzór określający amplitudę a) drgań wymuszonych Aw,

b) drgań stowarzyszonych As.

Amplituda z definicji jest wielkością dodatnią, dlatego przy zapisywaniu obu wzorów należy pamiętać o

zastosowaniu wartości bezwzględnej – funkcja ABS(.).

4. Siły przenoszone na podłoże

Silnik o masie m1 ustawiono na betonowym fundamencie o masie m2 połączonym z

podłożem za pośrednictwem wibroizolatora sprężynowego. Wibroizolator składa się z

10 jednakowych sprężyn śrubowych o średnicy D, wykonanych ze stalowego drutu

(50S) o średnicy d tworzącego N zwojów. Przyjąć, że działające w układzie

wymuszenie ma charakter harmoniczny F(t) = F0 sin(p0t), gdzie p0 jest prędkością kątową silnika.

Pomijając masę sprężyn i opory ruchu oraz zakładając, że drgania odbywają się w kie-

runku pionowym, określić maksymalną wartość siły przenoszonej przez wibroizolator

na podłoże.

Dane:

m1 = 400kg, m2 = 1500kg,

D = 60 mm, d = 15 mm, N = 7,

moduł sprężystości postaciowej dla stali 50S G = 7.85 ⋅104

MPa,

prędkość obrotowa silnika ( w czasie pracy ustalonej) n = 1100 obr/min,

warunki początkowe x0 = 0, v0 = 0.

• Ugięcie statyczne sprężyny śrubowej o małym skoku obciążonej osiową siłą Qs można obliczyć z przybliżonego

wzoru

4

38

Gd

NDQsst =δ

F(t)

Qs


16

• Oblicz sztywność jednej sprężyny oraz sztywność zastępczą wibroizolatora.

• Oblicz częstość ω drgań własnych układu, traktując go jako układ o jednym stopniu swobody.

• Oblicz częstość p0 siły wymuszającej.

• Rozwiąż równania modelu matematycznego za pomocą funkcji DSOLVE2_IV. Pamiętaj o pomnożeniu

rozwiązania przez funkcję skoku jednostkowego

x(t) := DSOLVE2_IV(…...

STEP(t)* x(t)

• Wykonaj wykres rozwiązania. Wyznacz z wykresu amplitudę drgań. • Przy pominięciu wpływu masy sprężyn siłę R przekazywaną w czasie drgań na podłoże (składnik dynamiczny

siły) można wyznaczyć z warunku ”równowagi” wibroizolatora.

• Wykonaj wykres przedstawiający, jak siła R zmienia się w czasie. Wyznacz wartość maksymalną tej siły.

• Oblicz wartość współczynnika przenoszenia ε, który jest liczbą określającą stosunek maksymalnej siły

przenoszonej na podłoże do amplitudy siły wymuszającej.

5. Krzywe rezonansu

• Korzystając z wzorów otrzymanych w zadaniu 3 wykonaj wykres krzywej rezonansu przedstawiającej zależność amplitudy drgań wymuszonych Aw od częstości siły wymuszającej p.

• Wykonaj wykres krzywej przedstawiającej zależność amplitudy drgań stowarzyszonych As od częstości siły

wymuszającej p.

• Porównaj obie krzywe rezonansu.

• Wykonaj wykres krzywej przedstawiającej zależność współczynnika przenoszenia ε od częstości siły

wymuszającej p. Narysuj na wykresie funkcję stałą o wartości 1. Zinterpretuj wykres.

6. Rezonans w układzie bez tłumienia

• Przyjmij pewną wartość częstości siły wymuszającej p1 z tak zwanej strefy rezonansu, na przykład p1= 0.95ω.

Rozwiąż zagadnienie początkowe dla tej wartości (przy zerowych warunkach początkowych) i wykonaj jego

wykres. Jaki jest charakter drgań?

• Zwiększ wartość częstości na przykład p1= 0.98ω i powtórz postępowanie z poprzedniego podpunktu.

• Przedstaw na wykresie rozwiązanie dla układu w rezonansie p1= ω.

• Co się dzieje, gdy wzrasta częstość siły wymuszającej? Jak nazywamy obserwowane zjawisko?

7. Drgania wymuszone tłumione

Do układu pokazanego na rysunku wprowadzono tłumienie wiskotyczne, przy czym

współczynnik tłumienia c = 200 Ns/m.

• Oblicz wartości współczynnika tłumienia h oraz bezwymiarowego współczynnik

tłumienia γ.

• Rozwiąż równania modelu matematycznego za pomocą funkcji DSOLVE2_IV.


x(t) := DSOLVE2_IV(…...

STEP(t)* x(t)

• Wykonaj wykres rozwiązania:

o dla pięciu pierwszych sekund,

o pomiędzy 60. a 65. sekundą ruchu,

o pomiędzy 100. a 102. sekundą ruchu.

• Porównaj przebiegi. Na którym wykresie obserwujemy drgania ustalone?

• Pomijając masę sprężyn i tłumika wyznacz siłę R przekazywaną w czasie drgań na podłoże (składnik

dynamiczny siły).

• Wykonaj wykres przedstawiający, jak siła R zmienia się w czasie

o dla dwóch pierwszych sekund,

o pomiędzy 100. a 102. sekundą ruchu.

• Wyznacz wartość maksymalną siły R

o w procesie przejściowym,

o w procesie ustalonym.

F(t)

kz c


17

• Oblicz wartość współczynnika przenoszenia ε dla procesu ustalonego.

8. Wnioski

Odpowiedz na pytania postawione w treści zadań.

9. Materiały pomocnicze

9.1. Drgania układu o jednym stopniu swobody z wymuszeniem harmonicznym w układzie bez tłumienia

Równanie ruchu )sin( tpFxkxm o=+&& (1)

warunki początkowe 00 )0()0()0( xvxxx === & (2)

Składniki odpowiedzi układu

( )( )

)sin(sin

cos 00 ϕω

ω

ωω +⋅=

⋅+⋅ tC

tvtx

(3) Drgania własne

202

0

+=

ω

vxC , ( )

0

00

v

xtg

ωϕ =

(4)

Drgania wymuszone ( )22

0 sin

p

tpq

−

⋅⋅⋅

ω

ω

(5)

Drgania stowarzyszone:

( )

( ) ωω

ω

⋅−

⋅⋅⋅−

22

0 sin

p

tpq

(6)

Częstość drgań własnych

m

k=ω

(7)

Amplituda siły wymuszającej odniesiona do

jednostki masy układu

m

Fq 0

0= (8)

9.2. Drgania układu o jednym stopniu swobody z wymuszeniem harmonicznym w układzie z tłumieniem

Równanie ruchu )sin( tpFxkxcxm o=++ &&& (9)

Warunki początkowe 00 )0()0()0( xvxxx === & (10)

Współczynnik tłumienia m

ch

2=

(11)

Bezwymiarowy współczynnik tłumienia

ωγ h

= , gdzie m

k=ω

(12)

10. Literatura

Z. Osiński, Teoria drgań, rozdziały: 4.1, 4.3, 4.8


18

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 6

TEMAT: REZONANS W UKŁADACH O JEDNYM STOPNIU SWOBODY Z TŁUMIENIEM. DRGANIA NIELINIOWE. WAHADŁO MATEMATYCZNE

1. Cel ćwiczeń

• Wyznaczanie krzywych rezonansu w układach z tłumieniem.

• Porównanie rozwiązań równania nieliniowego i równania małych drgań wahadła matematycznego.

2. Słowa kluczowe

drgania wymuszone, rezonans w układzie z tłumieniem, krzywe rezonansu, krzywa szkieletowa

drgania nieliniowe, wahadło matematyczne, linearyzacja, małe drgania.

Uwagi



menu Opcje/Ustawienia trybów pracy:

– zakładka Wejście opcje: Wyrazy i Rozróżniaj.

3. Krzywe rezonansu w układach o jednym stopniu swobody

• Wprowadź do programu DERIVE wzór określający współczynnik zwielokrotnienia amplitudy drgań wymuszonych tłumionych układu o jednym swobody.

• Wykonaj wykresy współczynnika zwielokrotnienia amplitudy drgań wymuszonych podanych w tabeli wartości

bezwymiarowego współczynnika tłumienia.

γ 0.03 0.05 0.07 0.1 0.15 0.2 0.3 0.5 0.7 1 1.5 4

Wszystkie wykresy przedstaw na jednym rysunku.

• Sformułuj wnioski. Jakie zjawisko nazywamy rezonansem?

4. Tłumienie krytyczne

• Dla jakich wartości współczynnika γ w układzie występuje rezonans?

• W celu udzielenia dokładnej odpowiedzi na powyższe pytanie zbadaj warunek konieczny istnienia ekstremum

współczynnika zwielokrotnienia amplitudy drgań wymuszonych.

– na początek instrukcją γ:= anuluj przypisanie zmiennej γ wartości,

– oblicz pochodną współczynnika α względem zmiennej z, – znajdź miejsce/a zerowe pochodnej,

– zbadaj dla jakich wartości współczynnika γ istnieje punkt stacjonarny o dodatniej wartości.

• Graniczną wartość bezwymiarowego współczynnika tłumienia γ, dla której występuje maksimum współczynnika

zwielokrotnienia amplitudy drgań wymuszonych nazywamy tłumieniem krytycznym. Wyznacz tę wartość. Amplituda z definicji jest wielkością dodatnią, dlatego przy zapisywaniu obu wzorów należy pamiętać o

zastosowaniu wartości bezwzględnej – funkcja ABS(.).

5. Linia (krzywa) szkieletowa

• Przyjrzyj się uważnie krzywym rezonansu otrzymanym w zadaniu 3. Dla jakich wartości zmiennej z

współczynnik zwielokrotnienia amplitudy drgań wymuszonych osiąga maksimum?

• W celu udzielenia dokładnej odpowiedzi na powyższe pytanie narysuj na wykresie linię o równaniu x = 1.

• Miejsce geometryczne punktów maksimum współczynnika zwielokrotnienia amplitudy drgań wymuszonych

nazywamy linią szkieletową. • Narysuj linię szkieletową na wykresie krzywych rezonansu z zadania 3.

– zdefiniuj zależność pomiędzy punktem stacjonarnym, a bezwymiarowym współczynnikiem tłumienia γ


19

zmax: =

– dokonaj podstawienia z:= zmax

– przy pomocy funkcji TABLE stabelaryzuj współrzędne (zmax, α) punktów maksimum krzywych rezonansu

w przedziale ⟨0.02, γ kr⟩ B := TABLE([zmax, α], γ, 0.02, γ kr, γ kr /30)

– za pomocą polecenia

B COL [2, 3]

wybierz z tabeli B współrzędne (zmax, α)

– wykonaj wykres.

6. Porównanie rozwiązań nieliniowego i zlinearyzowanego równania ruchu wahadła matematycznego

Punkt materialny o masie m zawieszony jest za pośrednictwem nierozciągliwej linki o długości l do nieruchomego punktu O. W chwili t = 0 ciało wychylono z

położenia równowagi o kąt ϕ0 i nadano mu jednocześnie prędkość v0 . Zaniedbując wszelkie opory dostajemy równanie ruchu w postaci

0sin2

2

=+ ϕϕ

gmdt

dlm , (1)

z warunkami początkowymi

ϕ(0) = ϕ0 l

v0)0( =ϕ& , (2)

g jest przyspieszeniem ziemskim.

W przypadku tak zwanych małych drgań wahadła równanie (1) można w prosty sposób zlinearyzować, rozwijając funkcję sin w szereg wokół położenia równowagi

ϕ = 0

i pomijając wszystkie wyrazy rozwinięcia poza liniowym

sin(ϕ) ≈ ϕ . (3)

Otrzymamy wówczas równanie liniowe

02

2

=+ ϕϕ

l

g

dt

d .

(4)

• Porównaj rozwiązanie równania nieliniowego drgań wahadła z rozwiązaniem równania zlinearyzowanego dla

warunków początkowych

a) ϕ0 = 0.1 rad v0 = 0 m/s

b) ϕ0 = 1 rad v0 = 0 m/s l = 0.7 m.

• Rozwiąż zagadnienie początkowe małych drgań wahadła z liniowym równaniem różniczkowym (4) dla obu

zestawów warunków początkowych.

• Przedstaw rozwiązania na wykresie w dwóch oknach graficznych.

• Po sprowadzeniu równania różniczkowego (1) do układu równań pierwszego rzędu

)sin(ϕβ

βϕ

l

g

dt

ddt

d

−=

= (5)

znajdź numeryczne rozwiązanie obu zagadnień początkowych z nieliniowym równaniem różniczkowym. (patrz opis

do laboratorium nr 1). • Wykonać wykresy przebiegów czasowych ϕ(t) w odpowiednich oknach. Uwaga Przy rysowaniu wskazane jest wybranie z menu Opcje/Ekran/Punkty opcji Łączenie punktów = Nie. Dzięki

temu wyniki numeryczne otrzymamy w postaci punktów na tle ciągłego rozwiązania równania zlinearyzowanego.

• Sformułuj wnioski.

ϕ

m

O

l


20

7. Materiały pomocnicze

7.1. Drgania układu o jednym stopniu swobody z wymuszeniem harmonicznym w układzie z tłumieniem

Równanie ruchu )sin( tpFxkxcxm o=++ &&& (6)

Warunki początkowe 00 )0()0()0( xvxxx === & (7)

Częstość drgań własnych

m

k=ω

(8)

Współczynnik tłumienia

m

ch

2=

(9)

Bezwymiarowy współczynnik tłumienia

ωγ h

= (10)

Amplituda siły wymuszającej odniesiona do

jednostki masy układu m

Fq 0

0= (11)

Amplituda drgań wymuszonych

2

2

22

2

0

41

⋅⋅+

−

=

ωγ

ωω

pp

qAw

( ) 2222 41 zz

A stw

⋅⋅+−

=

γ

λ

(12)

(13)

Stosunek częstości siły wymuszającej do

częstości drgań własnych układu ω

pz =

Ugięcie statyczne pod działaniem stałej siły

F0 2

0

ωλ

qst =

Współczynnik zwielokrotnienia amplitudy

st

wA

λα =

( ) 2222 41

1

zz ⋅⋅+−

=

γα

(14)

7. Literatura

1. Z. Osiński, Teoria drgań. 2. J. Awrejcewicz, Drgania deterministyczne układów dyskretnych.


21


TEMAT: DRGANIA NIELINIOWE. INTERAKCJA AMPLITUDOWO - CZĘSTOŚCIOWA.

ANALIZA RUCHU NA PŁASZCZYŹNIE FAZOWEJ

1. Cel ćwiczeń

• Wyznaczenie zależności pomiędzy amplitudą i okresem drgań wahadła matematycznego.

• Umiejętność przedstawienia rozwiązania równania ruchu na płaszczyźnie fazowej.

• Umiejętność analizowania ruchu na podstawie przebiegu trajektorii fazowych.

2. Słowa kluczowe

drgania nieliniowe, wahadło matematyczne, interakcja amplitudowo-częstościowa, płaszczyzna fazowa, trajektoria

fazowa, portret fazowy

Uwagi



– menu Opcje/Ustawienia trybów pracy:

– zakładka Wejście opcje: Wyrazy i Rozróżniaj.

3. Interakcja częstościowo-amplitudowa

Punkt materialny o masie m zawieszony jest za pośrednictwem nierozciągliwej linki o

długości l do nieruchomego punktu O. W chwili t = 0 ciało wychylono z położenia

równowagi o kąt ϕ0 i nadano mu jednocześnie prędkość v0 .

Zaniedbując wszelkie opory dostajemy równanie ruchu w postaci

0sin2

2

=+ ϕϕ

gmdt

dlm , (1)


ϕ(0) = ϕ0 l

v0)0( =ϕ& , (2)

g jest przyspieszeniem ziemskim.

Długość linki l = 0.6 m, masa kulki m = 1.5 kg.

Równanie ruchu wahadła (1) można sprowadzić do równoważnego układu dwóch równań pierwszego rzędu

)sin(ϕβ

βϕ

l

g

dt

ddt

d

−=

= (3)

• Rozwiąż metodą Rungego-Kutty układ równań (3) dla sześciu zestawów warunków początkowych. Należy

przyjąć v0 = 0, a wartość ϕ0 wybrać dowolne z przedziału [0.1 rad, 3 rad].

• Przebiegi czasowe drgań dla wszystkich warunków początkowych zamieść na jednym wykresie. Wykonując

wykresy, ustaw opcję Łączenie punktów = Tak.

• Zmierz okres drgań dla każdego przebiegu czasowego.

• Wyniki przedstaw w programie DERIVE w postaci wykresu: na osi odciętych wychylenie początkowe wahadła,

na osi rzędnych zmierzony okres drgań. • Sformułuj wnioski.

ϕ

m

O

l


22

4. Analiza ruchu wahadła matematycznego na płaszczyźnie fazowej

• Oblicz energię potencjalną układu w najwyższym punkcie.

• Dla podanych warunków początkowych oblicz energię mechaniczną układu w chwili t = 0, a następnie rozwiąż metodą Rungego-Kutty układ równań (3)

a) ϕ0 = 0.5 rad, v0 = 0 m/s, b) ϕ0 = 1 rad v0 = 0 m/s,

c) ϕ0 = 1.5 rad v0 = 0 m/s, d) ϕ0 = 2 rad v0 = 0 m/s,

e) ϕ0 = 2.5 rad v0 = 0 m/s, f) ϕ0 = 3 rad v0 = 0 m/s .

• Z tablicy zawierającej rozwiązanie wybierz drugą i trzecią kolumnę, w których zapisane są wartości kąta ϕ oraz

prędkości kątowej w kolejnych chwilach czasu.

• Wykonaj wykres trajektorii fazowej. Wykonując wykresy, ustaw opcję Łączenie punktów = Tak.

• Wszystkie trajektorie przedstaw na jednym rysunku. W taki sposób powstaje tak zwany portret fazowy układu.

• Wybierając z tablicy zawierającej rozwiązanie numeryczne pierwszą i drugą kolumnę, w których zapisane są wartości czasu oraz kąta ϕ można przedstawić na wykresie przebiegi czasowe drgań. Przebiegi czasowe drgań x(t) dla wszystkich warunków początkowych należy zamieść na jednym wykresie.

• Po narysowaniu wszystkich trajektorii można usunąć ze skoroszytu programu DERIVE „duże” trzykolumnowe

tablice.

• Jaką interpretację nadasz punktom, w których trajektorie fazowe przecinają oś położenia?

• Jaką interpretację nadasz punktom, w których trajektorie fazowe przecinają oś prędkości?

• Jak zinterpretujesz to, że trajektorie fazowe są krzywymi zamkniętymi?

• Jaki punkt na płaszczyźnie fazowej otaczają trajektorie? Jaki stan układu przedstawia ten punkt?


5. Analiza ruchu układu na płaszczyźnie fazowej. Rotator.

• Dla podanych niżej warunków początkowych oblicz energię mechaniczną układu w chwili t = 0, a następnie

rozwiąż metodą Rungego-Kutty układ równań (3)

a) ϕ0 = 3.1 rad, v0 = 0.5 m/s, b) ϕ0 = 2.7 rad v0 = 1.2 m/s,

c) ϕ0 = 2 rad v0 = 3 m/s, d) ϕ0 = .5 rad v0 = 5 m/s,

e) ϕ0 = 0.1 rad v0 = 5.5 m/s .

• Z tablicy zawierającej rozwiązanie wybierz drugą i trzecią kolumnę, w których zapisane są wartości kąta ϕ oraz

prędkości kątowej w kolejnych chwilach czasu.

• Wykonaj wykres trajektorii fazowej. Wykonując wykresy, ustaw opcję Łączenie punktów = Tak.

• Wszystkie trajektorie przedstaw na jednym rysunku.

• Rozwiązanie określone warunkami początkowymi z podpunktu e) przedstaw w tradycyjny sposób na wykresie

x(t).

• Porównaj przebiegi czasowe otrzymane w zadaniu 4 i 5.

• Jaki charakter mają trajektorie fazowe? O czym on świadczy?


6. Literatura



23


TEMAT: INTERAKCJA AMPLITUDOWO – CZĘSTOŚCIOWA W UKŁADACH Z NIELINIOWOŚCIĄ FIZYKALNĄ

1. Cel ćwiczeń

• Wyznaczenie zależności pomiędzy amplitudą i okresem drgań w układach o twardej i miękkiej charakterystyce

sił sprężystych.

• Umiejętność analizowania ruchu na podstawie przebiegu trajektorii fazowych.

2. Słowa kluczowe

drgania nieliniowe, miękka i twarda charakterystyka siły sprężystej, interakcja amplitudowo-częstościowa,

płaszczyzna fazowa, trajektoria fazowa, portret fazowy

Uwagi



– menu Opcje/Ustawienia trybów pracy, zakładka Wejście opcje: Wyrazy i Rozróżniaj.

3. Nieliniowa zależność pomiędzy siłą i odkształceniem

Ciało o masie m = 2kg połączone jest z otoczeniem za pośrednictwem sprężyny. Zależność wartości siły F, z jaką działa sprężyna, od jej odkształcenia ∆l ma postać

F(∆l) = k ∆l + k1 (∆l )

3 (1)

przy czym k i k1 są stałymi współczynnikami. W celu wyznaczenia współczynników k i k1 wykonano pomiary,

podczas których okazało się, że pod działaniem siły o wartości:

– F1 sprężyna wydłużyła się o ∆l 1,

– F2 sprężyna wydłużyła się o ∆l 2.

3.1. Wyznaczenie współczynników k i k1

Wyprowadź wzory określające wartości współczynników k i k1. W tym celu należy rozwiązać układ równań

F1 = k ∆l 1 + k1 (∆l 1)3

F2 = k ∆l 2 + k1 (∆l 2)3 .

• Zapisz oba równania (użyj znaku =, który służy do zapisywania relacji. Dwuznak := jest elementem instrukcji

podstawienia).

• Układ równań definiuje się wybierając z menu Rozwiąż polecenie Układ. W oknie dialogowym, które pojawi się automatycznie, określ liczbę równań układu.

• W kolejnym oknie dialogowym określ równania układu i niewiadome k i k1. Równania można skopiować do

odpowiednich okienek używając klawisza F3 albo podać numer linii, w której znajduje się równanie (na

przykład #7 ).

• Rozwiązanie układu równań realizujemy wydając polecenie Algebraicznie z menu Uprość (lub ikona Uprość ze

znakiem = ).

• Dokonaj edycji wprowadzając do rozwiązań dwuznak := instrukcji podstawienia.

4. Równanie ruchu i warunki początkowe

W chwili t = 0 ciało wychylono z położenia równowagi w prawo o x0 i nadano mu jednocześnie prędkość v0 .

• Zapisz wzór określający zależność siły sprężyny od położenia układu

F(x) := k x + k1 x 3

(2)

• Pomijając masę sprężyny i zaniedbując opory występujące przy toczeniu napisz równanie ruchu układu.

k, k1

m


24

• Zapisz warunki początkowe.

• Sprowadź równanie ruchu do równoważnego układu dwóch równań pierwszego rzędu.

• Zapisz w programie DERIVE wektor prawych stron układu oraz wektor zmiennych.

5. Interakcja amplitudowo-częstościowa w układzie ze sprężyną o charakterystyce twardej

Dla wartości podanych w tabeli

F1 = 30 N ∆l 1 = 0.5 cm F2 = 60 N ∆l 2 = 0.8 cm

• Oblicz wartości współczynników k i k1.

• Przedstaw na wykresie nieliniową charakterystykę sprężyny F(x). • Dla każdego z podanych zestawów warunków początkowych

a) x0= 0.3 cm, v0 = 0, b) x0= 0.5 cm, v0 = 0, c) x0= 0.7 cm, v0 = 0 ,

d) x0= 0.9 cm, v0 = 0, e) x0= 1.1 cm, v0 = 0

– znajdź przybliżone rozwiązanie nieliniowego równania ruchu stosując metodę Rungego-Kutty (przyjmij krok

czasowy 0.002 lub mniejszy),

– wykonaj wykres x(t). Przebiegi czasowe drgań dla wszystkich warunków początkowych zamieść na jednym

wykresie. Wykonując wykresy, ustaw opcję Łączenie punktów = Tak.

– zmierz okres drgań i amplitudę dla każdego przebiegu czasowego,

– wyniki pomiarów przedstaw w postaci wykresu: na osi odciętych amplituda, na osi rzędnych okres drgań, – wykonaj wykres trajektorii fazowej. Wszystkie krzywe portretu fazowego przedstaw na jednym rysunku.


6. Interakcja amplitudowo-częstościowa w układzie ze sprężyną o charakterystyce miękkiej

Dla wartości podanych w tabeli

F1 = 50 N ∆l 1 = 0.5 cm F2 = 300 N ∆l 2 = 3.1 cm

• Oblicz wartości współczynników k i k1.

• Przedstaw na wykresie nieliniową charakterystykę sprężyny. • Dla każdego z podanych zestawów warunków początkowych

a) x0= 0, v0 = 1m/s, b) x0= 0, v0 = 2m/s, c) x0= 0, v0 = 3m/s ,

d) x0= 0, v0 = 4m/s, e) x0= 0, v0 = 5m/s, f) x0= 0, v0 = 7m/s,

g) x0= 0, v0 = 8m/s

– znajdź przybliżone rozwiązanie nieliniowego równania ruchu stosując metodę Rungego-Kutty (przyjmij krok

czasowy 0.002 lub mniejszy),

– wykonaj wykres x(t). Przebiegi czasowe drgań dla wszystkich warunków początkowych zamieść na jednym


– zmierz okres drgań i amplitudę dla każdego przebiegu czasowego,

– wyniki pomiarów przedstaw w postaci wykresu: na osi odciętych amplituda, na osi rzędnych okres drgań, – wykonaj wykres trajektorii fazowej. Wszystkie krzywe portretu fazowego przedstaw na jednym rysunku.


7. Literatura



25


TEMAT: MODELOWANIE UKŁADÓW Z NIELINIOWOŚCIĄ NATURY GEOMETRYCZNEJ

1. Cel ćwiczeń

• Kształcenie umiejętności modelowania układów, w których nieliniowy charakter zależności siły sprężystej od

położenia układu wynika z jego budowy.

• Kształcenie umiejętności analizy ruchu na podstawie przebiegu trajektorii fazowych.

• Klasyfikacja układów na podstawie typu interakcji amplitudowo-częstościowej.

2. Słowa kluczowe

drgania nieliniowe, nieliniowość natury geometrycznej, układ z luzami, układ ze wzmocnieniem, układ

autonomiczny, interakcja amplitudowo-częstościowa, trajektoria fazowa, portret fazowy

Uwagi



– menu Opcje/Ustawienia trybów pracy, zakładka Wejście opcje: Wyrazy i Rozróżniaj.

3. Układ drgający z luzami

Ciało o masie m porusza się po nieruchomym podłożu pomiędzy dwoma zderzakami. Każdy ze zderzaków połączony

jest z otoczeniem za pośrednictwem sprężyny, przy czym, gdy sprężyny

są nieodkształcone, to odległość między zderzakami równa jest 2a.

Sprężyny są jednakowe, mają liniową charakterystykę i stałą sprężystości

k. Wiadomo, że pod działaniem siły o wartości równej F1 każda ze

sprężyn zmienia długość o ∆l1.

W chwili t = 0 ciało przesunięto ze środka szczeliny o x0 i nadano mu

jednocześnie prędkość v0 .

Badając ruch układu:

– sprężyny i zderzaki należy traktować jako elementy nieważkie,

– można zaniedbać opory ruchu występujące przy toczeniu.

Przedstawioną na wykresie zależność wartości siły F, z jaką działają sprężyny w układzie, od wychylenia x ciała można określić przedziałami

>−

≤≤−

−<+

=

. axaxk

axa

axaxk

xF

)(

0

)(

)( (1)

Równanie ruchu układu autonomicznego ma postać

0)( =+ xFxm && . (2)

Po podzieleniu równania (2) stronami przez masę m otrzymujemy

0)( =+ xfx&& , (3)

gdzie f(x) = F(x)/m jest siłą przypadającą na jednostkę masy ciała. Wielkość ta określona jest wzorem

( )

>−

≤≤−

−<+

=

axax

axa

axax

xf

)(

0

)(

2

2

ω

ω

, (4)

m k k

2a

a

-a

x

F(x)


26

przy czym wprowadzono oznaczenie m

k=

2ω . Określoną przedziałami definicję (4) można zastąpić jednym

wzorem

)2(2

)(2

xaxaxxf ++−−=ω

, (5)

dzięki czemu określenie w programie DERIVE siły f(x) nie wymaga stosowania instrukcji warunkowej IF.

3.1. Równanie ruchu i warunki początkowe

• Sprowadź równanie ruchu (3) układu autonomicznego do równoważnego układu dwóch równań pierwszego

rzędu.


• Zapisz warunki początkowe w postaci wektora.

3.2. Nieliniowa charakterystyka siły układu sprężyn

• Przyjmij następujące dane liczbowe

m = 2 kg F1 = 80 N ∆l 1 = 2 cm a = 3 cm

• Oblicz wartość sztywności sprężyn oraz parametru ω.

• Zapisz wzór (5).

• Przedstaw na wykresie nieliniową charakterystykę siły F(x) układu sprężyn.

3.3. Przebiegi czasowe i trajektorie fazowe. Interakcja amplitudowo-częstościowa

Dla każdego z podanych zestawów warunków początkowych

a) x0 = 1.5 cm v0 = 0, b) x0 = 3.5 cm v0 = 0, c) x0 = 4.0 cm v0 = 0, d) x0 = 4.5 cm v0 = 0,

e) x0 = 0 cm v0 = 0.5m/s f) x0 = 0 cm v0 = 1 m/s, g) x0 = 0 cm v0 = 1.5 m/s .

• Znajdź przybliżone rozwiązanie nieliniowego równania ruchu stosując metodę Rungego-Kutty (przyjmij krok

czasowy 0.005 lub mniejszy).

• Wykonaj wykres x(t). Przebiegi czasowe drgań dla warunków określonych w podpunktach a) – d) należy

umieścić zamieść na jednym wykresie, a dla warunków określonych w podpunktach e) – g) na drugim wykresie.

Wykonując wykresy, ustaw opcję Łączenie punktów = Tak.

• Wykonaj wykres trajektorii fazowych. Wszystkie krzywe portretu fazowego przedstaw na jednym rysunku.

• Zmierzyć okres drgań na podstawie wykresów x(t).

• Wyniki pomiarów przedstaw w postaci wykresu, w którym na osi

odciętych znajdują się wartości amplitudy, a na osi rzędnych okres

drgań. • Sformułuj wnioski

– Zinterpretuj poziome odcinki na trajektoriach fazowych v(x).

– Oceń, czy układ należy do tak zwanych układów z twardą, czy z

miękką charakterystyką siły sprężystej.

4. Układ drgający ze zmienną sztywnością (ze wzmocnieniem)

Ciało o masie m porusza się po nieruchomym podłożu, przy czym jest ono

połączone z otoczeniem za pośrednictwem liniowej sprężyny. W układzie

znajdują się ponadto dwie jednakowe sprężyny liniowe zakończone

zderzakami o pomijalnie małej masie.

Na rysunku przedstawiającym układ w spoczynku zaznaczono różnicę długości sprężyn – wynosi ona a.

Wiadomo, że środkowa sprężyna układu pod działaniem siły o wartości

równej F1 zmienia długość o ∆l 1. Sprężyny zakończone zderzakami mają natomiast sztywność 1.5 razy większą. W pewnej chwili t = 0 ciężarek wychylono w prawo o x0 i nadano mu

jednocześnie prędkość v0.

a

m

-a

x

F(x)


27

4.1. Nieliniowa charakterystyka siły układu sprężyn

• Określ przedziałami zależność wartości siły F, z jaką działają sprężyny w układzie, od wychylenia x ciała z

położenia równowagi.

• Zastąp napisaną zależność jednym wzorem ( z wykorzystaniem wartości bezwzględnej ).

• Zapisz wzór w programie DERIVE.

• Wprowadź dane

• Określ wartości współczynników sztywności sprężyn.

• Wykonaj wykres funkcji F(x) i sprawdź, czy wzór został napisany poprawnie.

4.2. Przebiegi czasowe i trajektorie fazowe. Interakcja amplitudowo-częstościowa

Dla każdego z podanych zestawów warunków początkowych

a) x0 = 0.8 cm v0 = 0 b) x0 = 1.4 cm v0 = 0 c) x0 = 2 cm v0 = 0

d) x0 = 2.5 cm v0 = 0 e) x0 = 3 cm v0 = 0 f) x0 = 3.5 cm v0 = 0

• Znajdź przybliżone rozwiązanie nieliniowego równania ruchu stosując metodę Rungego-Kutty (przyjmij krok

czasowy 0.005 lub mniejszy).

• Wykonaj wykres x(t). Przebiegi czasowe drgań dla wszystkich warunków określonych zamieść na jednym


• Wykonaj wykres trajektorii fazowych. Wszystkie krzywe portretu fazowego przedstaw na jednym rysunku.

• Zmierzyć okres drgań na podstawie wykresów x(t).

• Wyniki pomiarów przedstaw w postaci wykresu, w którym na osi odciętych znajdują się wartości amplitudy, a

na osi rzędnych okres drgań. • Sformułuj wnioski

– Zinterpretuj brak symetrii wykresów x(t) oraz trajektorii fazowych v(x).

– Oceń, czy układ należy do tak zwanych układów z twardą, czy z miękką charakterystyką siły sprężystej.

5. Literatura


m = 3 kg F1 = 40 N ∆l 1 = 2 cm a = 1 cm


28


TEMAT: NIELINIOWE DRGANIA TŁUMIONE. MODELOWANIE SIŁ OPORU

1. Cel ćwiczeń

• Modelowanie sił oporu w układach drgających.

• Kształcenie umiejętności analizy ruchu na podstawie przebiegu trajektorii fazowych.

2. Słowa kluczowe

drgania nieliniowe, tłumienie, punkty osobliwe, trajektoria fazowa, portret fazowy

Uwagi



– menu Opcje/Ustawienia trybów pracy, zakładka Wejście opcje: Wyrazy i Rozróżnia

3. Drganie tłumione wahadła matematycznego

Zbadać drgania wahadła matematycznego tłumione siłą oporu proporcjonalną do prędkości.

Równanie ruchu ma postać

0sin2

2

=++ ϕϕϕ

gmdt

dcl

dt

dlm , (1)


ϕ(0) = ϕ0, v(0) = v0 . (2)

Po podzieleniu równania (1) stronami przez iloczyn ml otrzymamy

0sin2 202

2

=++ ϕωϕϕ

dt

dh

dt

d, (3)

gdzie l

g

m

ch == 2

02

ω .

3.1. Sformułowanie równania ruchu w postaci układu równań pierwszego rzędu

• Sprowadź zagadnienie opisane równaniem (2) i warunkami początkowymi (3) do równoważnego układu dwóch

równań pierwszego rzędu.



3.2. Rozwiązanie równań ruchu. Analiza ruchu na płaszczyźnie fazowej

• Długość linki l = 0.7 m, masa kulki m = 1.0 kg.

• Zapisz w programie DERIVE definicje parametrów h i ω0 . Oblicz wartość ω0.

• Dla podanych niżej wartości współczynnika proporcjonalności c siły oporu R

• oblicz wartość współczynnika tłumienia h. • rozwiąż metodą Rungego-Kutty układ równań ruchu. Przyjmuj, że w każdym przypadku początkowe

wychylenie wahadła ϕ0 = 0.4 rad, a v0 = 0.1 m/s. (krok czasowy 0.015, liczba kroków 300)

• Należy pamiętać o konieczności zmodyfikowania drugiego z warunków początkowych, tak by „pasował” do

zmiennych równania (3).

• Wykonaj wykresy przebiegów czasowych x(t). Wszystkie wykresy należy zamieścić w jednym oknie.

• Wykonaj wykresy trajektorii fazowych v(x). Wszystkie wykresy należy zamieścić w jednym oknie.

a) c = 0.3Ns/m, b) c = 0.5Ns/m, c) c = 1.2Ns/m, d) c = 2Ns/m, e) c = 4Ns/m. f) c = 8Ns/m.

ϕ

m

O

l

R


29

• Co obserwujemy w miarę zwiększania wartości współczynnika c?

• Czy ruch układu ustaje?

• Jaki kształt mają trajektorie fazowe?

• Do jakiego punktu osobliwego zmierzają?

3.3. Sprawdzenie hipotezy o powtarzalności drgań w czasie

• Drgania liniowego oscylatora tłumionego cechuje powtarzalność w czasie – układ zawsze przechodzi przez

położenie równowagi w jednakowych odstępach czasu, niezależnie od warunków początkowych ruchu.

• Zaproponuj sposób symulacji, dzięki której można będzie sprawdzić, czy tłumiony układ nieliniowy jak

zachowuje powtarzalność przy przechodzeniu przez położenie równowagi.

• Wykonaj tę symulację. • Sformułuj wnioski.

4. Drgania tłumione oporem proporcjonalnym do kwadratu prędkości

Zbadać drgania wahadła matematycznego tłumione siłą oporu proporcjonalną do kwadratu prędkości 21vc=R , c1

jest współczynnikiem proporcjonalności. Siła oporu ma zawsze zwrot przeciwny do zwrotu wektora prędkości

vvR vcv

vc 12

1 −=−= .

Jej współrzędną względem osi stycznej do toru zapiszemy zatem wzorem

vvcR 1−= .

4.1. Równanie ruchu i warunki początkowe

• Napisz równanie ruchu wahadła, na które działa siła oporu proporcjonalna do kwadratu prędkości.

• Zapisz wzorami warunki początkowe.

• Sprowadź zagadnienie do równoważnego układu dwóch równań pierwszego rzędu.



4.2. Rozwiązanie równań ruchu. Analiza ruchu na płaszczyźnie fazowej

• Długość linki l = 0.6 m, masa kulki m = 1.5 kg, współczynnik c1 = 1 N s2/m

2

• Przeprowadź obliczenia numeryczne metodą Rungego-Kutty zmieniając warunki początkowe

ϕ0 = 0 v0 = 1m/s ϕ0 = 0 v0 = 2m/s ϕ0 = 0 v0 = 3m/s ϕ0 = 0 v0 = 4m/s ϕ0 = 0 v0 = 5m/s

• Należy pamiętać o konieczności zmodyfikowania drugiego z warunków początkowych, tak by „pasował” do

zmiennych równania ruchu.

• Wykonaj wykresy przebiegów czasowych x(t). Wszystkie wykresy należy zamieścić w jednym oknie.

• Wykonaj wykresy trajektorii fazowych v(x). Wszystkie wykresy należy zamieścić w jednym oknie.

• Co obserwujemy w miarę zwiększania wartości prędkości początkowej?

• Porównaj kształt trajektorii otrzymanych dla siły oporu proporcjonalnej do kwadratu prędkości i trajektorii

otrzymanych w poprzednim zadaniu.


5. Literatura



30


TEMAT: DRGANIA WYMUSZONE W UKŁADACH NIELINIOWYCH

1. Cel ćwiczeń

• Modelowanie drgań wymuszonych siłą harmoniczną. • Wyznaczanie krzywych rezonansu w układzie nieliniowym na podstawie przeprowadzonych symulacji

numerycznych.

2. Słowa kluczowe

drgania nieliniowe, wymuszenie, rezonans, krzywe rezonansu

Uwagi



– menu Opcje/Ustawienia trybów pracy, zakładka Wejście opcje: Wyrazy i Rozróżniaj

3. Drgania wymuszone układu z nieliniowością natury fizycznej

Ciężarek o masie m porusza się po nieruchomym podłożu. W czasie

ruchu działa na niego harmonicznie zmienna siła P(t) = P0 sin(p t).

W chwili t = 0 ciało wychylono z położenia równowagi o x0 i

nadano mu jednocześnie prędkość v0.

Zależność siły od odkształcenia jest nieliniowa i ma postać

F(x) = k x + k1 x3,

przy czym k i k1 są współczynnikami materiałowymi. W celu wyznaczenia wartości współczynników k i k1

wykonano pomiary, podczas których okazało się, że pod działaniem siły o wartości równej F1 sprężyna wydłużyła się o δ1, a pod działaniem siły o wartości równej F2 jej wydłużenie było równe δ2.

Pomijając masę sprężyny i zaniedbując opory występujące przy toczeniu, zbadać ruch układu.

3.1. Sformułowanie równania ruchu w postaci układu równań pierwszego rzędu

• Ułóż równanie ruchu układu oraz zapisz warunki początkowe.

• Sprowadź zagadnienie początkowe do równoważnego zagadnienia z układem dwóch równań pierwszego rzędu.



3.2. Charakterystyka sprężyny

• Postępując tak jak w opisanym w instrukcji do laboratorium 8 zadaniu 3.1 wyznacz wartości współczynników k i

k1. Przyjmij dane z poniższej tabeli

• Wykonaj wykres funkcji F(x).

3.3. Rozwiązanie równań ruchu. Wyznaczanie krzywych rezonansu

• Przyjmij m = 1.5 kg. Oblicz wartość parametru m

k=0ω , przy którym w układzie ze sprężyną o liniowej

charakterystyce wystąpiłby rezonans.

• Dla podanych niżej wartości częstości p [s-1

] siły wymuszającej P

F1 = 20 N δ1 = 1.9 cm F2 = 40 N δ2 = 3.0 cm

k, k1

m P(t)


31

rozwiąż metodą Rungego-Kutty układ równań ruchu. Przyjmij w każdym przypadku warunki początkowe o

zerowych wartościach (krok czasowy 0.01, liczba kroków 300).

• Wykonaj wykres przebiegu czasowego drgań x(t).

• Zmierz amplitudę drgań na wykresie x(t).

• Przedstaw na wykresie zależność zmierzonej amplitudy drgań od częstości p siły wymuszającej.


4. Literatura


p = 2 p = 5 p = 10 p = 15 p = 20 p = 25 p = 28 p = 29 p = 30 p = 31 p = 32 p = 33 p = 35


32


TEMAT: REZONANS W UKŁADACH NIELINIOWYCH

1. Cel ćwiczeń

• Wyznaczanie krzywych rezonansu w układach nieliniowych na podstawie równania interakcji amplitudowo-

częstościowej otrzymanego przy zastosowaniu metody małego parametru.

• Porównanie przebiegu rezonansu w układach o miękkiej i twardej charakterystyce siły sprężystej.

2. Słowa kluczowe

drgania nieliniowe, wymuszenie, rezonans, krzywe rezonansu, krzywe szkieletowe, równania Duffinga, metoda

małego parametru

Uwagi



– menu Opcje/Ustawienia trybów pracy, zakładka Wejście opcje: Wyrazy i Rozróżniaj

3. Drgania wymuszone układu z nieliniowością natury fizycznej

Ciężarek o masie m porusza się po nieruchomym podłożu. W czasie

ruchu działa na niego harmonicznie zmienna w czasie siła

P(t) = P0 sin(p t).

W chwili t = 0 ciało wychylono z położenia równowagi o x0

i nadano mu jednocześnie prędkość v0.

Zależność siły, z jaką działa sprężyna, od wychylenia ciężarka z

położenia, w którym sprężyna nie jest odkształcona, jest nieliniowa i ma postać

F(x) = kx + k1x3, (1)

przy czym k i k1 są współczynnikami materiałowymi.

3.1. Równanie ruchu

Równanie ruchu układu, będące szczególnym przypadkiem równania Duffinga, ma postać

)sin(03

12

2

ptPxkkxdt

xdm =++ , (2)

Gdy równanie (2) podzielimy stronami przez masę m, to otrzymamy

)sin(032

02

2

ptqxxdt

xdµµω =++ , (3)

gdzie m

k

m

k

m

Pq === 2

010

0 ωµµ

.

Warunki początkowe są postaci

x(0) = x0, v(0) = v0 . (4)

3.2. Metoda małego parametru

Zagadnienie początkowe (3) – (4) rozwiązujemy metodą małego parametru w wersji przystosowanej do układów

nieautonomicznych. Dokonując rozwinięcia rozwiązania w szereg potęg małego parametru µ w warunkach

okołorezonansowych, to znaczy dla p → ω, otrzymujemy równanie interakcji amplitudowo-częstościowej

k, k1

m P(t)


33

04

31 3

20

20

2

20

0 =−

−− A

pA

q

ω

µ

ωω

µ . (5)

Jest to równanie trzeciego stopnia ze względu na amplitudę drgań wymuszonych.

Podstawiając do równania (5) dane charakteryzujące nieliniowy układ drgający można dla danej wartości

amplitudy siły wymuszającej q0 określić amplitudę drgań w zależności od częstości p tej siły.

4. Wyznaczenie krzywych rezonansu dla układu ze sprężyną o charakterystyce twardej

• Przyjmij następujące dane:

m = 1 kg, k = 400 N/m, k1=20N/m3, P0=30N.

• Zapisz w programie DERIVE równanie (5).

• Wprowadź definicje parametrów: q0, ω, µ i określ ich wartości liczbowe.

• Wykonaj wykres krzywej szkieletowej. W tym celu należy:

– uprościć równanie (5), przy założeniu, że q0=0. Zwróć uwagę na stopień równania.

– rozwiązać to równanie w sposób ścisły. Rozwiązanie zależeć będzie od częstości p siły wymuszającej.

– wykonać wykres obu pierwiastków równania i opisać osie układu współrzędnych.

• Przywróć poprzednią wartość amplitudy q0.

• Rozwiąż ponownie równanie (5) w sposób ścisły (teraz dla zadanego q0≠0.).

• Otrzymujemy trzy pierwiastki. Należy otrzymanym trzem rzeczywistym rozwiązaniom nadać postać definicji

programu DERIVE ( := ), pamiętając jednocześnie o potrzebie rozróżnienia pierwiastków poprzez nadanie im

różnych nazw.

• W tym samym oknie, w którym znajduje się już wykres krzywej szkieletowej, należy wykonać wykresy

pierwiastków w funkcji częstości wymuszenia p.

• W nowym oknie graficznym należy wykonać wykresy wartości bezwzględnych funkcji przedstawiających

krzywą szkieletową i trzy amplitudy równania (5).


5. Wyznaczenie krzywych rezonansu dla układu ze sprężyną o charakterystyce miekkiej

• Przyjmij następujące dane:

m = 1 kg; k = 400 N/m, k1=-20N/m3, P0=30N.

• Zapisz w programie DERIVE równanie (5).

• Wprowadź definicje parametrów: q0, ω, µ i określ ich wartości liczbowe.

• Wykonaj wykres krzywej szkieletowej. W tym celu należy:

– uprościć równanie (5), przy założeniu, że q0=0. Zwróć uwagę na stopień równania.

– rozwiązać to równanie w sposób ścisły. Rozwiązanie zależeć będzie od częstości p siły wymuszającej.

– wykonać wykres obu pierwiastków równania i opisać osie układu współrzędnych.

• Przywróć poprzednią wartość amplitudy q0.

• Rozwiąż ponownie równanie (5) w sposób ścisły (teraz dla zadanego q0≠0.).

• Otrzymujemy trzy pierwiastki. Należy otrzymanym trzem rzeczywistym rozwiązaniom nadać postać definicji

programu DERIVE ( := ), pamiętając jednocześnie o potrzebie rozróżnienia pierwiastków poprzez nadanie im

różnych nazw.

• W tym samym oknie, w którym znajduje się już wykres krzywej szkieletowej, należy wykonać wykresy

pierwiastków w funkcji częstości wymuszenia p.

• W nowym oknie graficznym należy wykonać wykresy wartości bezwzględnych funkcji przedstawiających

funkcji przedstawiających krzywą szkieletową i trzy amplitudy równania (5).



34

5. Wpływ stałych materiałowych na postać krzywych rezonansu dla układu ze sprężyną o charakterystyce twardej

Wpływ ten można ocenić na podstawie cech krzywych szkieletowych.

• Przyjmij m = 1 kg.

• Postępując każdorazowo zgodnie z zaleceniami podanymi przy zadaniu 4, należy wykonać wykresy krzywych

szkieletowych dla następujących danych:

a) k = 200 N/m, k1=20N/m3, b)

k = 400 N/m, k1=20N/m

3,

c) k = 800 N/m, k1=100N/m3, d) k = 1000 N/m, k1=20N/m

3,

• W nowym oknie graficznym wykonaj wykresy krzywych szkieletowych dla następujących danych:

e) k = 400 N/m, k1=5N/m3, f)

k = 400 N/m, k1=10N/m

3,

g) k = 400 N/m, k1=12N/m3, h) k = 400 N/m, k1=15N/m

3,


6. Wpływ stałych materiałowych na postać krzywych rezonansu dla układu ze sprężyną o charakterystyce miękkiej

Wpływ ten można ocenić na podstawie cech krzywych szkieletowych.

• Przyjmij m = 1 kg.

• Postępując każdorazowo zgodnie z zaleceniami podanymi przy zadaniu 4, należy wykonać wykresy krzywych

szkieletowych dla następujących danych:

a) k = 100 N/m, k1= -10N/m3, b)

k = 200 N/m, k1= -10N/m

3,

c) k = 400 N/m, k1= -10N/m3 .

• W nowym oknie graficznym wykonaj wykresy krzywych szkieletowych dla następujących danych:

d) k = 400 N/m, k1= –2N/m3, e)

k = 400 N/m, k1= – 5N/m

3,

f) k = 400 N/m, k1= –9N/m3.


7. Literatura


Documents

MUD_instrukcje