Embed Size (px)
Citation preview
i
Mục lục
Danh mục các hình vẽ .................................................................................................... ii
Mở đầu ............................................................................................................................. 1
1. Tính cấp thiết của vấn đề nghiên cứu ...................................................................... 1
2. Tổng quan về tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài ........................................ 1
3. Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu ............................................................... 2
4. Phương pháp nghiên cứu, kết cấu của công trình nghiên cứu ................................. 2
5. Kết quả đạt được của đề tài ...................................................................................... 2
Chương 1 Giới thiệu chung ............................................................................................. 3
1.1 Giới thiệu về hệ thống dùng để di chuyển thanh vật liệu ...................................... 3
1.2 Tổng quan về mô hình hóa và điều khiển cầu trục ................................................ 6
Chương 2 Động lực học của hệ thống ........................................................................... 19
2.1 Lực thủy động lực học ......................................................................................... 20
2.2 Phương trình vi phân chuyển động của hệ ........................................................... 20
Chương 3 Thiết kế luật điều khiển tuyến tính hóa hồi tiếp cho hệ thống ..................... 24
3.1 Thiết kế luật điều khiển ........................................................................................ 24
3.2 Phân tích tính ổn định của hệ thống ..................................................................... 28
Chương 4 Mô phỏng ...................................................................................................... 31
Chương 5 Kết luận và đề xuất ....................................................................................... 40
Tài liệu tham khảo ......................................................................................................... 41
ii
Danh mục các hình vẽ
Hình 1.1 Cấu tạo của cầu trục ............................................................................... 3
Hình 1.2 Kết cấu cầu trục 2 dầm ........................................................................... 5
Hình 1.3 Không gian làm việc của cầu trục .......................................................... 6
Hình 1.4 Sơ đồ cấu trúc tuyến tính hoá chính xác hệ phi tuyến, hệ mới có đặc
điểm vào-ra tuyến tính trong toàn bộ không gian trạng thái. ................................ 8
Hình 1.5 Tuyến tính hóa chính xác vào-ra hệ phi tuyến MIMO......................... 13
Hình 2.1: Mô hình vật lý của hệ thống............................................................... 19
Hình 4.1 Mô phỏng với hệ không có luật điều khiển ......................................... 31
Hình 4.2 Mô phỏng hệ khi có luật điều khiển ..................................................... 32
Hình 4.3 Chuyển vị của cầu trục khi không có luật điều khiển .......................... 34
Hình 4.4 Vận tốc cầu trục khi không có luật điều khiển ..................................... 35
Hình 4.5 Góc lắc của thanh vât liệu khi không có luật điều khiển ..................... 36
Hình 4.6 Chuyển vị của cầu trục khi có luật điều khiển ..................................... 37
Hình 4.7 Vận tốc của cầu trục với luật điều khiển .............................................. 38
Hình 4.8 Góc lắc thanh vật liệu với luật điều khiển ........................................... 39
1
Mở đầu
1. Tính cấp thiết của vấn đề nghiên cứu
Cầu trục là một thiết bị xếp dỡ làm việc theo chu kỳ. Một chu kỳ làm hàng của
cầu trục hoặc một cơ cấu của cầu trục gồm ba giai đoạn cơ bản: Mở máy (khởi động)
– chuyển động ổn định – tắt máy (phanh hãm). Tải trọng động tác dụng lên cầu trục
làm cầu trục dao động sẽ phát sinh trong thời kỳ làm việc quá độ (khởi động, hãm).
Hiện tượng dao động trong quá trình khai thác cầu trục nói riêng và máy xếp dỡ nói
chung hầu hết là có hại. Hiện tượng dao động có thể gây phá hủy cầu trục và kết cấu
của cầu trục đặc biệt trong trường hợp tần số của tải trọng động trùng với tần số dao
động riêng của một trong các khối lượng của máy. Do khi đó xảy ra hiện tượng cộng
hưởng làm biên độ dao động của máy đạt cực đại. Vì vậy, nghiên cứu động lực học
cầu trục có ý nghĩa rất quan trọng trong việc tính toán thiết kế, chế tạo cầu trục để thu
hẹp miềm cộng hưởng, đảm bảo sao cho tải trọng động tác dụng lên máy là nhỏ nhất,
tối ưu hoá các thông số kích thước trong quá trình thiết kế chế tạo cầu trục
Với các cầu trục có sức nâng càng lớn, tốc độ khai thác nhanh (tốc độ nâng hạ
hàng, di chuyển xe con, di chuyển cầu trục) thì mức độ yêu cầu về an toàn càng cao,
yêu cầu chống rung, chống lắc động trong quá trình khai thác cầu trục phải được đặt
lên hàng đầu. Do đó, việc nghiên cứu các đáp ứng động lực học của cầu trục từ đó đưa
ra giải pháp làm giảm dao động của góc lắc hàng là vấn đề thời sự và đang được nhiều
người quan tâm nghiên cứu để sao cho có thể tăng năng suất làm việc nhưng phải đảm
bảo cầu trục làm việc êm và an toàn.
Việc nghiên cứu lý thuyết về điều khiển các hệ động lực đã được các nhà khoa
học nghiên cứu từ lâu và đưa ra trong nhiều tài liệu. Tuy nhiên, việc áp dụng các lý
thuyết này vào điều khiển ổn định các hệ dao động trong thực tế vẫn là vấn đề thời sự
và đang được nhiều người quan tâm nghiên cứu, đặc biệt là vấn đề điều khiển hệ thống
khi mang vật thể có dạng thanh còn rất hạn chế. Trong đề tài này, nhóm tác giả tập
trung nghiên cứu động lực học và điều khiển của một cầu trục vận chuyển các vật thể
dạng thanh.
2. Tổng quan về tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài
Việc nghiên cứu lý thuyết về điều khiển các hệ động lực đã được các nhà khoa
học nghiên cứu từ lâu và đưa ra trong nhiều tài liệu. Tuy nhiên, việc áp dụng các lý
2
thuyết này vào điều khiển ổn định các hệ dao động trong thực tế vẫn là vấn đề thời sự
và đang được nhiều người quan tâm nghiên cứu, đặc biệt là vấn đề điều khiển hệ thống
khi mang vật thể có dạng thanh còn rất hạn chế. Trong đề tài này, nhóm tác giả tập
trung nghiên cứu động lực học và điều khiển của một cầu trục vận chuyển các vật thể
dạng thanh.
3. Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Khảo sát các đáp ứng động lực học và xây dựng luật điều khiển để làm giảm
dao động của vật thể dạng thanh khi được vận chuyển bằng cầu trục.
4. Phương pháp nghiên cứu, kết cấu của công trình nghiên cứu
Xây dựng mô hình toán học cho hệ thống. Thực hiện mô phỏng để thấy được sự
dao động của thanh dưới nước khi chịu tác động của các lực thủy lực khi đặt trong môi
trường nước;
Xây dựng bộ luật điều khiển dựa trên sự tuyến tính hóa hệ thống từng phần;
Mô phỏng hệ thống với luật điều khiển đã được xây dựng.
Kết cấu: gồm 5 chương (Mở đầu, Chương 1: giới thiệu chung, Chương 2: Động
lực học hệ thống, Chương 3: Thiết kế bộ điều khiển, Chương 4: Mô phỏng, Chương 5:
Kết luận, Tài liệu tham khảo)
5. Kết quả đạt được của đề tài
Kết quả mô phỏng chỉ ra rằng luật điều khiển đảm bảo cho hệ thống ổn định.
Hay nói cách khác, với thông số điều khiển đầu vào sự dao động của vật thể tiến tiệm
cận đến giá trị mong muốn sau một khoảng thời gian ngắn khi xe con mang vật thể di
chuyển đến vị trí mong muốn
Đối tượng và nơi áp dụng: Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Cơ điện
tử, Máy nâng chuyển
3
Chương 1 Giới thiệu chung
1.1 Giới thiệu về hệ thống dùng để di chuyển thanh vật liệu
Trong hệ thống mang thanh vật liệu một cầu trục sẽ được sử dụng để di chuyển
và đặt thanh. Thanh vật liệu được coi là thanh trụ tròn, thanh được vận chuyển dưới
nước với tốc độ không đổi. Môi trường nước ở trạng thái tĩnh.
1.1.1 Giới thiệu về cầu trục
Cầu trục là tên gọi chung của máy trục chuyển động trên hai đường ray cố định
trên kết cấu kim loại hoặc tường cao để vận chuyển các vật phẩm trong khoảng không
(khẩu độ) giữa hai đường ray đó.
Các cơ cấu của cầu trục đảm bảo 3 chuyển động:
Nâng hạ vật phẩm;
Di chuyển xe con;
Di chuyển cả cầu trục.
Hình 1.1 Cấu tạo của cầu trục
4
1.1.2 Đặc điểm chung của cầu trục
Cầu trục có phạm vi hoạt động khá rộng, lại được bố trí trên cao không chiếm
chỗ mặt bằng nên được sử dụng rất rộng rãi trong các nhà máy, phân xưởng, nhà kho
để nâng hạ hàng hoá với lưu lượng lớn.
- Tải trọng nâng: Q = 1 500 tấn;
- Khẩu độ: Lmax = 32m;
- Chiều cao nâng: Hmax = 16m;
- Vận tốc nâng vật: Vn = 2 40 m/min;
- Vận tốc di chuyển xe con: Vxmax
= 60m/min;
- Vận tốc di chuyển cầu trục: Vcmax
=120m/min.
Cầu trục có Q > 10 tấn thường được trang bị hai hoặc ba cơ cấu nâng, gồm một
cơ cấu nâng chính và một hoặc hai cơ cấu nâng phụ, được kí hiệu: 15/3 t; 20/5 t;
150/20/5 t;…
1.1.3 Phân loại cầu trục
Theo phương thức dẫn động của cơ cấu nâng:
Cầu trục dẫn động bằng tay;
Cầu trục dẫn động bằng động cơ điện.
Theo cách mang tải:
Cầu trục móc;
Cầu trục gầu ngoạm;
Cầu trục nam châm điện (cầu trục điện từ).
Theo cách bố trí bộ phận điều khiển, cầu trục được phân thành:
Cầu trục điều khiển trên ca bin;
Cầu trục điều khiển dưới đất.
Theo công dụng:
Cầu trục có công dụng chung;
Cầu trục chuyên dùng.
Theo cách tựa của dầm cầu lăn lên đường ray di chuyển:
Cầu trục tựa;
Cầu trục treo.
5
Theo cách bố trí cơ cấu di chuyển, cầu trục đựoc phân thành:
Cầu trục dẫn động chung;
Cầu trục dẫn động riêng.
Theo kết cấu của dầm:
Cầu trục dầm đơn;
Cầu trục dầm kép;
Cầu trục dầm hộp;
Cầu trục dầm dàn.
Theo dạng xe con:
Cầu trục dùng xe con;
Cầu trục dùng palăng điện.
1.1.4 Kết cấu điển hình của cầu trục (dầm kép, dẫn động bằng điện)
Hình 1.2 Kết cấu cầu trục 2 dầm
1- dầm chính; 2- dầm cuối; 3- bánh xe di chuyển; 4- cơ cấu di chuyển cầu; 5- đường
ray; 6- xe con; 7- cơ cấu nâng chính; 8- cơ cấu nâng phụ; 9- cơ cấu di chuyển xe con;
10- bộ góp điện; 11- ca bin; 12- đường dây điện; 13- đường lăn.
1.1.5 Nguyên lý làm việc của cầu trục
Cầu trục dựa trên sự phối hợp ba chuyển động: chuyển động của cơ cấu nâng,
cơ cấu di chuyển cầu trục, cơ cấu di chuyển xe con. Sự phối hợp này sẽ tạo nên không
gian thao tác của cầu trục. Đó là một hình hộp với chiều cao là chiều cao nâng Hn,
6
chiều rộng là khoảng dịch chuyển của xe con trên dầm cầu Lct và chiều dài là khoảng
di chuyển lớn nhất của cầu trục dọc theo đường ray Lđr.
Hình 1.3 Không gian làm việc của cầu trục
1.2 Tổng quan về mô hình hóa và điều khiển cầu trục
Trong thực tế, quá trình vận chuyển, chuyển động của xe đặc biệt là trong quá
trình khởi động hoặc phanh hãm đột ngột khi không có luật điều khiển sẽ làm cho
thanh bị lắc. Khi tốc độ di chuyển của xe con mang thanh càng lớn thì góc lắc của
thanh cũng càng lớn. Sự lắc của thanh vật liệu sẽ không những gây ra sự rung lắc có
thể gây ra sự phá hủy cầu trục mà còn kéo dài thời gian đưa thanh nhiên liệu đến vị trí
mong muốn. Chính vì vậy, vấn đề đặt ra là phải tìm ra luật điều khiển để triệt tiêu góc
lắc của thanh trong quá trình vận chuyển. Bên cạnh đó, động lực học của hệ thống cần
phải được kiểm chứng trước khi thiết kế hệ thống điều khiển. Chính vì vậy việc phân
tích động lực học của hệ đóng một vai trò quan trọng trong việc xây dựng bất kỳ hệ
thống điều khiển nào.
1.2.1 Mô hình hóa cầu trục
Trong những thập kỷ gần đây, có rất nhiều các công trình nghiên cứu đưa ra
vấn đề mô phỏng và điều khiển cầu trục. Đối với việc mô hình hóa hệ thống, có rất
nhiều bài báo viết về vấn đề này. Ví dụ, Mousta và các tác giả khác (1988) đã xây
dựng một mô hình tuyến tính cho cầu trục. Mục đích của nghiên cứu khoa học này là
7
để vận chuyển một đối tượng theo một quỹ đạo nhất định sao cho góc lắc hàng bị triệt
tiêu nhanh nhất có thể. Oguamannam và một số tác giả khác (2001) đã mô hình hóa
cầu trục theo 3 chiều. Trong đó phương pháp Rayleigh-Ritz đã được sử dụng để viết
phương trình vi phân chuyển động của hệ thống. Trong một bài báo của tác giả Hong
cùng các một số tác giả khác (2012), động lực học của cần trục container đặt trên tàu
(được gọi là cần trục cảng) có xét đến sự ảnh hưởng của sóng đã được xây dựng.
Trong bài báo đó, tác giả đã sử dụng phương pháp Lagrange được sử dụng để xây
dựng phương trình vi phân chuyển động. Mô hình toán học được kiểm chứng thông
qua thực nghiệm. Bên cạnh đó, rất nhiều phương pháp đã được sử dụng để xây dựng
luật điều khiển để giảm sự dao động của hàng như là điều khiển có bù ma sát, điều
khiển phi tuyến/ tuyến tính, điều khiển trượt, điều khiển thích nghi, vân vân,.. Ví dụ,
công trình khoa học của Agarni và các tác giả khác (1995) đã xây dựng mô hình động
lực học của cầu trục. Phương pháp điều khiển thích nghi đã được ứng dụng để điều
khiển ổn định cầu trục để giảm tối đa góc lắc hàng và thời gian vận chuyển hàng. Bài
báo của Park cùng các tác giả khác đã đề xuất một luật điều khiển phi tuyến chống lắc
cho cầu trục nâng container. Bài báo của tác giả Liu cùng một số người khác đã kết
hợp điều khiển trượt và điều khiển tuyến tính hóa chính xác bằng cách đề xuất một
luật điều khiển trượt thích nghi cho cả việc vận chuyển theo phương ngang và thẳng
đứng. Công trình khoa học của Singhose cùng các tác giả khác (2008) đã xây dựng
luật điều khiển bù ma sát để điều khiển ổn định cầu trục hai dầm. Luật điều khiển bù
ma sát đã được xây dựng để có được sự bền vững đối với những thay đổi của 2 tần số
hoạt động. Tác giả Ngo (2012) đã xây dựng một luật điều khiển trượt cho cầu trục
container ngoài khơi. Một phương pháp điều khiển mới để chống lắc ngang đã được đề
cập. Trong bài báo này, tác giả đã xây dựng một bề mặt trượt sao cho sự lắc dọc của
hàng được gắn với động lực học của xe con di chuyển. Sự ổn định tiệm cận của hệ
thống vòng lặp kín được đảm bảo nhờ luật điều khiển. Phương pháp điều khiển mới
này có thể dập tắt sự lắc ngang của hàng, cái mà các cầu trục trước đây không làm
được. Kết quả mô phỏng cũng được cung cấp. Một phương pháp điều khiển trượt thích
nghi cho cần trục container cũng được đưa ra trong một bài báo khác của Ngo cùng
một số tác giả khác (2012).
8
1.2.2 Phương pháp tuyến tính hoá chính xác.
Trong đề tài này, phương pháp tuyến tính hóa chính xác được sử để điều khiển
hệ thống cầu trục. Quan điểm chủ yếu của cách tiếp cận này là biến đổi đại số một hệ
phi tuyến thành hệ (toàn phần hoặc một phần) tuyến tính, để sao cho phương pháp điều
khiển tuyến tính có thể áp dụng vào hệ thống. Điều này khác hẳn với tuyến tính hóa cổ
điển (tuyến tính hóa Jacobian), trong đó bộ điều khiển tuyến tính hóa chính xác sẽ đảm
bảo tính chất tuyến tính cho hệ thống trong toàn bộ không gian trạng thái hơn là tuyến
tính hóa xấp xỉ trong lận cận điểm làm việc. Ý tưởng của việc đơn giản hóa các
phương trình động lực học bằng việc chọn một biến trạng thái khác không hoàn toàn
xa lạ. Ví dụ, trong cơ học, chúng ta biết rất rõ ràng cách thức xây dựng cũng như sự
phức tạp của mô hình nó phụ thuộc rất nhiều vào việc lựa chọn hệ tham chiếu cũng
như hệ trục tọa độ. Phương pháp tuyến tính hóa chính xác có thể được xem như cách
chuyển mô hình ban đầu sang các mô hình tương đương nhưng với dạng thức đơn giản
hơn. Chính vì vậy, phương pháp này cũng có thể được sử dụng trong việc xây dựng
các luật điều khiển thích nghi và bền vững. Phương pháp này đã được áp dụng thành
công cho một số các vấn đề điều khiển thực tế như là điều khiển máy trực thăng, rô bốt
công nghiệp, thiết bị y sinh. (Slotine và Li, 1991).
1.2.2.1 Nội dung phương pháp tuyến tính hóa chính xác
Nội dung của phương pháp tuyến tính hoá chính xác (TTHCX) là thiết kế bộ
điều khiển phản hồi trạng thái (ĐKPHTT) cho đối tượng phi tuyến (ĐTPT) sao cho hệ
kín trở thành tuyến tính. Khác với việc tuyến tính hoá xấp xỉ trong lân cận điểm làm
việc, bộ điều khiển tuyến tính hoá chính xác đảm bảo tính chất tuyến tính cho hệ thống
trong toàn bộ không gian trạng thái.
Hình 1.4 Sơ đồ cấu trúc tuyến tính hoá chính xác hệ phi tuyến, hệ mới có đặc điểm
vào-ra tuyến tính trong toàn bộ không gian trạng thái.
®kphtt ®tpt
w
xu
y
HÖ vµo-ra tuyÕn tÝnh
9
Ta nhận thấy rằng với bộ ĐKPHTT, đối tượng phi tuyến với đầu vào u trong
không gian trạng thái x sẽ trở thành hệ vào-ra tuyến tính trong toàn bộ không gian
trạng thái mới z với đầu vào mới w.
Theo Slotine và Lie (1991), mô hình trạng thái của đối tượng phi tuyến MIMO (nhiều
vào-nhiều ra) có dạng như sau:
1
( ) ( ) ( ) ( )
( )
m
i i
i
d xf x H x u f x h x u
dt
y g x
(1.1)
trong đó:
Hệ có m tín hiệu vào u1(x), u2(x),…, um(x)
r tín hiệu ra y1(x), y2(x),…, yr(x)
n biến trạng thái x1, x2,..., xn
Biểu diễn dưới dạng vectơ:
nx
x
x
x
2
1
,
nu
u
u
u
2
1
,
)(
)(
)(
)(2
1
xg
xg
xg
xgy
r
Ma trận hệ thống:
)(
)(
)(
)(2
1
xf
xf
xf
xf
n
Ma trận đầu vào:
1 2( ) ( ), ( ),..., ( )mH x h x h x h x trong đó: ( )ih x là các ma trận cột (i=1,…,m).
Trước khi đi vào chi tiết phương pháp tuyến tính hoá chính xác ta đề cập đến một số
khái niệm sau:
10
1) Bậc tương đối:
Cho hệ SISO (một vào-một ra) với mô hình trạng thái:
( ) ( )
( )
d xf x h x u
dt
y g x
(1.2)
Bậc tương đối tại điểm trạng thái x của hệ là số tự nhiên r mà trong lân cận x thoả
mãn:
0 0 -2
( )0 -1
k
hi f
k rL L g x
k r
víi
víi (1.3)
trong đó:
Đạo hàm Lie f
vL v f
x
(1.4)
2) Bậc tương đối tối thiểu:
Cho đối tượng MISO (nhiều vào-một ra) bậc n có m tín hiệu vào (n≥m)
1
( ) ( ) ( ) ( )
( )
m
i i
i
d xf x H x u f x h x u
dt
y g x
(1.5)
Bậc tương đối tối thiểu tại điểm trạng thái x của đối tượng là số tự nhiên r trong lân
cận x thoả mãn:
0 1 0 - 2
( )0 -1
k
hi f
i m k rL L g x
i k r
víi mäi vµ
víi mét gi¸ trÞ vµ (1.6)
3) Vectơ bậc tương đối tối thiểu
Cho đối tượng MIMO có mô hình
1
( ) ( ).
( )
m
i i
i
d xf x h x u
dt
y g x
(1.7)
11
Đối tượng MIMO có thể đưa về m đối tượng MISO (trong đó m là số lượng tín hiệu
ra). Với mỗi đối tượng MISO ta có bậc tương đối tối thiểu ri. Vectơ bậc tương đối tối
thiểu (r1, r2,…,rm) tại điểm trạng thái x của đối tượng phi tuyến MIMO là m số tự
nhiên jr (j= 1,2,…,m) trong lân cận x thoả mãn:
jk
hi f j
j
0 víi mäi 1 i m vµ 0 k r -2L L g (x)
0 víi mét gi¸ trÞ i vµ k r -1 (1.8)
Ma trận
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
1 2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
m
m
m m m
m
r r r
h f h f h f
r r r
h f h f h f
r r r
h f m h f m h f m
L L g x L L g x L L g x
L L g x L L g x L L g xL x
L L g x L L g x L L g x
(1.9)
là không suy biến.
Trở lại bài toán với mô hình của đối tượng phi tuyến MIMO
1
( ) ( ) ( ) ( )
( )
m
i i
i
d xf x H x u f x h x u
dt
y g x
(1.10)
Ta có kết quả sau: Nếu hệ phi tuyến trên có vectơ bậc tương đối tối thiểu r = (r1, r2,…,
rm) thoả mãn: r1 + r2 +…+ rm = n ( với n là số biến trạng thái) trong toàn bộ không
gian trạng thái thì ta có thể áp dụng phép chuyển hệ toạ độ: từ hệ toạ độ trạng thái x =
(x1, x2,…, xn) sang hệ toạ độ trạng thái mới z = (z1, z2,…, zn) qua phép đổi trục toạ độ:
z =
nz
z
z
2
1
= ( )m x =
)(
)(
)(
)(
1
1
1
1
1
xm
xm
xm
xm
m
r
m
r
m
=
)(
)(
)(
)(
1
1
11
1
xgL
xg
xgL
xg
m
r
f
m
r
f
m
(1.11)
và phép đặt biến vào mới w với 1 2( , ,..., )mw w w w :
12
1
1
( ) ( )k k
i
mr r
k f k h f k i
i
w L g x L L g x u
(1.12)
mà trên hệ toạ độ mới mô hình trạng thái của đối tượng phi tuyến ban đầu đã trở thành
tuyến tính:
z =
1
2
m
A
A
A
z +
1
2
m
b
b
b
w
z = A z + B w (1.13)
trong đó là ma trận gồm toàn các phần tử 0
Ak =
0 1 0
0 0 0
0 0 1
0 0 0
thuộc kiểu k k
r r
bk =
0
0
1
thuộc kiểu k
r 1
Giữa vectơ tín hiệu ra y và biến trạng thái mới z có quan hệ:
y
=
1
2
( )
( )
( )m
g x
g x
g x
=
1
2
T
T
T
m
c
c
c
z = C z (1.14)
trong đó T
kc là vectơ hàng với rk phần tử có dạng T
kc = [ 1 0 … 0].
Giữa vectơ biến vào u ban đầu và vectơ biến vào mới w có quan hệ theo bộ ĐKPHTT:
13
1 1( ) ( ) ( )u L x p x L x w (1.15)
trong đó:
( )L x =
1 1
1
1
1 1
1 1
1 1
( ) ( )
( ) ( )
m
m m
m
r r
h f h f
r r
h f m h f m
L L g x L L g x
L L g x L L g x
(1.16)
với det( ( )L x ) ≠ 0 và ( )p x =
1
1( )
( )m
r
f
r
f m
L g x
L g x
(1.17)
Khi đó ta có mô hình tuyến tính như hình 1.5.
Hình 1.5 Tuyến tính hóa chính xác vào-ra hệ phi tuyến MIMO
Kết luận để tuyến tính hóa chính xác được hệ phi tuyến MIMO có mô hình như công
thức (1.1) cần có điều kiện sau:
1 2 ...
det( ( )) 0
mr r r n
L x
(1.18)
Do đó chỉ qua một phép chuyển hệ trục tọa độ thì một hệ tuyến tính trên hệ tọa độ mới
đã được xây dựng trên hệ trục tọa độ mới trong toàn bộ không gian trạng thái từ đối
tượng phi tuyến ban đầu. Về cơ bản, chúng ta vẫn xem xét, tính toán trên đối tượng phi
tuyến tuy nhiên đối tượng đó trên hệ tọa độ mới là một hệ tuyến tính mà không có một
14
điều kiện ràng buộc nào cả. Chính vì vậy phương pháp này có tên là phương pháp
tuyến tính hóa chính xác. Từ “chính xác” ở đây được hiểu là tính phi tuyến của đối
tượng ban đầu không bị mất đi. Chung quy lại, về bản chất phương pháp tuyến tính
hoá chính xác là một phép chuyển hệ toạ độ.
Sau khi được tuyến tính hoá chính xác, mô hình trạng thái mới như trên của hệ
kín (tuyến tính) theo Slotine (1991) sẽ có ma trận truyền như sau:
Y(s) = C (SI-A)-1 B W(s) =
1
1 11
1
( ) 0
0 ( )
T
T
m mm
c sI A b
c sI A b
W(s)
Y(s) =
1
10
10
m
r
r
s
s
W(s) (1.19)
Phương pháp tuyến tính hoá chính xác còn được biết đến với tên gọi là cấu trúc tách
kênh trực tiếp do tín hiệu ra yk(t) chỉ còn phụ thuộc vào tín hiệu vào wk(t). Ở đây bộ
ĐKPHTT đã tuyến tính hóa thành công đối tượng phi tuyến. Hơn nữa, bộ điều khiển
còn tách đối tượng thành m kênh tách biệt và xác lập mối quan hệ tích phân tương ứng
giữa tín hiệu đầu ra yk(t) và wk(t).
Ví dụ) Xét một hệ bậc 3 như sau:
1 2 2 3sinx ( 1)x x x (1.20)
5
2 1 3x x x (1.21)
2
3 1x x u (1.22)
1y x (1.23)
Để tìm mối quan hệ trực tiếp giữa tín hiệu đầu ra y và tín hiệu đầu vào u. Tiến hành
đạo hàm y ta được:
1 2 2 3sinx ( 1)y x x x (1.24)
15
Do chưa thấy được mối quan hệ trực tiếp của y với u nên ta tiếp tục đạo hàm y ta
được:
2 1( 1) ( )y x u f x (1.25)
trong đó 5 2
1 1 3 3 2 2 1( ) ( )( cos ) ( 1)f x x x x x x x (1.26)
Có thể thấy (1.25) thể hiện mối quan hệ trực tiếp giữa tín hiệu đầu ra y và đầu vào u.
Nếu ta chọn thông số điều khiển đầu vào có dạng như sau:
1
2
1( )
1u v f
x
(1.27)
trong đó v là thông số đầu vào mới cần được xác định để tất cả các thành phần phi
tuyến trong phương trình (1.25) sẽ bị loại bỏ. Khi đó chúng ta sẽ có mối quan hệ tuyến
tính đơn giản giữa đạo hàm bậc của tín hiệu đầu ra và tín hiệu đầu vào mới v.
y v (1.28)
Việc thiết kế luật điều khiển bám cho mối quan hệ đạo hàm bậc hai này là khá đơn
giản do sự sẵn có của phương pháp điều khiển tuyến tính. Ví dụ, đặt ( ) ( )de y t y t là
sai số bám và chọn thông số đầu vào mới như sau:
1 2dv y k e k e (1.29)
với k1, k2 là các hằng số dương
Sai số bám hệ thống vòng lặp kín sẽ được xác định như sau:
2 1 0e k e k e (1.30)
Phương trình (1.30) thể hiện sự ổn định của động lực học biến sai số theo hàm mũ. Do
đó nếu với điều kiện ban đầu (0) (0) 0e e thì ( ) , 0e t t t điều này có nghĩa là
e(t) sẽ hội tụ về 0 theo hàm mũ.
16
1.2.2.2 Tổng quan phương pháp tuyến tính hóa chính xác
Mặc dù phương pháp tuyến tính hóa chính xác có một số bất cập và hạn chế tuy
nhiên nó vẫn thu hút được rất nhiều sự chú ý, quan tâm trong những năm gần đây. Một
công trình khoa học của Park (2007) đã đề xuất một luật điều khiển phi tuyến cho cần
cẩu container theo 2 phương trong đó điều khiển đồng thời vị trí của xe con, giảm lắc
và nâng tải. Phương pháp tuyến tính hóa chính xác đã được áp dụng một phần đối với
động lực học hệ dẫn động (bao gồm chuyển vị của xe và lực nâng hàng) để có được
một thành phần trong bộ điều khiển. Trong khi đó, thành phần để loại bỏ sự lắc hàng
có được nhờ thiết kế bộ điều khiển phi tuyến dựa trên thành phần năng lượng. Trong
một bài báo của Cheng cùng một số tác giả khác (1995), một bộ điều khiển được kết
hợp điều khiển tuyến tính hóa chính xác với điều khiển khâu thời gian trễ đã được xây
dựng để điều khiển cần trục sao cho đạt được đáp ứng mong muốn của hệ dưới những
ảnh hưởng của sự thay đổi bất thường. Trong đó, điều khiển khâu thời gian trễ được sử
dụng để hoàn thiện điều khiển tuyến tính hóa chính xác đối với hệ phi tuyến dưới
những tác động của những thay đổi bất thường. Điều khiển tuyến tính hóa chính xác sẽ
chuyển hệ phi tuyến phức tạp thành những hệ tương đương đơn giản hơn thông qua
việc thay đổi các hệ trục chuyển. Chính vì vậy, một luật điều khiển đã được thiết kế
dựa trên các phương pháp quen thuộc bằng việc loại bỏ đi các thành phần không mong
muốn. Thêm vào đó, bài báo của tác giả Hong et al. (2000) đã xem xét đến vấn đề điều
khiển chống lắc cho cần trục container, trong đó một luật điều khiển đã được nghiên
cứu thông qua việc điều khiển hệ hụt dẫn động và luật điều khiển là sự kết hợp của
tuyến tính hóa chính xác và thay đổi cấu trúc điều khiển. Karkoub et al. (2002) đã xây
dựng một luật điều khiển cho hệ thống nâng hạ hàng của cầu trục bằng phương pháp
tuyến tính hóa chính các từng phần. Mục đích của nghiên cứu là di chuyển và dừng xe
con mang hàng của cầu trục để triệt tiêu sự lắc hàng trên cáp nhanh nhất có thể. Một
bài báo của 2 tác giả Cho và Lee (2008) đã đưa ra luật điều khiển tuyến tính hóa kết
hợp của bộ điều khiển PD và điều khiển tinh chỉnh. Luật điều khiển PD được thiết kế
dựa trên việc sử dụng một mô hình cầu trục đề xuất khi không có nhiễu, khi đó tuyến
tính hóa tại các điểm lân cận sẽ gần như tuyến tính hóa chính xác. Một công trình
khoa học khác cũng của tác giả Cho et al. (2008) cũng phát triển tuyến tính hóa chính
xác dựa trên luật điều khiển bên trên, trong đó một luật điều khiển phụ được thêm vào;
17
luật điều khiển này được viết dựa vào thuật toán điều khiển thích nghi mô hình tham
chiếu. Hai bài báo của tác giả Tuan cùng các đồng nghiệp đối với cầu trục dạng 2D
(2012) và 3D (2013) cũng sử dụng luật điều khiển phi tuyến được dựa trên sự tuyến
tính hóa chính xác. Trước tiên động lực học của hệ thống được chia thành hai hệ con là
hệ dẫn động và hệ hụt dẫn động. Sau đó thì từng luật điều khiển sẽ được viết riêng cho
từng hệ con: một cho hệ hụt dẫn động và một cho hệ dẫn động.
Dựa trên hai bài báo của tác giả Tuan cùng các đồng nghiệp, một luật điều
khiển phi tuyến đã được viết cho hệ thống mang thang vật liệu di chuyển dưới nước,
trong đó phương pháp tuyến tính hóa chính xác từng phần được áp dụng cho 2 hệ con:
hệ dẫn động (xe con) và hệ hụt dẫn động (góc lắc của thanh vật liệu). Tuy nhiên, vật
liệu vận chuyển trong hệ thống này không phải là dạng chất điểm mà là dạng thanh
(thanh trụ tròn). Hơn nữa thanh sẽ được di chuyển dưới nước để làm mát hoặc tránh
bức xạ ra ngoài môi trường. Do đó sự ảnh hưởng của các lực thủy động sẽ được xét
đến trong suốt quá trình di chuyển thanh. Thực tế là , với cầu trục dạng 2D thì chỉ có
một thông số đầu vào là lực của xe con di chuyển nhưng lại có 2 bậ tự do, đó là
chuyển vị của xe và góc lắc thanh. Điều này có nghĩa là hệ mà tác giả đang xét đến là
hệ hụt dẫn động. Do đó, hệ phương trình toán học sẽ được chia thành 2 phần (hệ dẫn
động và hụt dẫn động). Sau đó, động lực học hệ dẫn động sẽ được tuyến tính hóa bằng
phương pháp tuyến tính hóa chính xác. Đồng thời, mô hình hệ hụt dẫn động sẽ được
xem như là động lực học hệ nội tại. Để đảm bảo cho thông số đầu ra tiệm cận đến giá
trị mong muốn, một luật điều khiển phi tuyến được xây dựng trong đó biến trạng thái
của hệ dẫn động được coi là biến đầu ra của hệ thống. Tuy nhiên, sự hội tụ của hệ hụt
dẫn động lại không được đảm bảo bởi luật điều khiển này. Chính vì vây, để đảm bảo
tính ổn định của toàn bộ hệ thống (bao gồm cả hai hệ con), một luật điều khiển mới sẽ
được thiết lập dựa trên sự kết hợp của 2 luật điều khiển từng phần ở trên. Cuối cùng,
tiến hành mô phỏng để chỉ ra rằng với luật điều khiển đưa ra thì hệ thống mang thanh
vật liệu được ổn định.
So sánh với các luật điều khiển cổ điển như là điều khiển PID, phương pháp
tuyến tính hóa chính xác từng phần có một số ưu điểm hơn. Trong thực tế, trong khi
thiết kế luật điều khiển dựa trên phương pháp tuyến tính hóa chính xác, tất cả các
thành phần phi tuyến trong hệ thống sẽ bị loại bỏ bởi luật điều khiển tuyến tính hóa
18
chính xác. Trong khi đó, hầu hết các thành phần phi tuyến của hệ thống lại không được
xem xét trong khi thiết kế luật điều khiển PID. Tuy nhiên, để đạt được kết quả tốt thì
phương pháp tuyến tính hóa chính xác cần có một mô hình chính xác. Hơn nữa, đây
cũng không phải là phương pháp hiệu quả đối với những hệ thống với những tham số
tùy biến.
19
Chương 2 Động lực học của hệ thống
Để mô hình hóa hệ thống, chúng ta coi vật liệu dạng thanh hình trụ tròn. Thanh
vật liệu sẽ bị lắc khi cầu trục di chuyển. Hình 2.1 thể hiện mô hình vật lý dạng 2D của
hệ thống di dưới nước và nước ở trạng thái tĩnh.
x là chuyển vị của cầu trục dọc theo trục x;
M là khối lượng của cầu trục, mr là khối lượng của thanh;
l là chiều dài của một nửa thanh vật liệu;
g là gia tốc trọng trương;
FB là lực đẩy;
FD là lực cản;
Ft lực phát động của động cơ;
θ là góc lắc của thanh vật liệu;
I là mô men quán tính của thanh.
Hình 2.1: Mô hình vật lý của hệ thống
20
2.1 Lực thủy động lực học
Khi một vật rắn di chuyển trong môi trường nước sẽ có sự tương tác giữa vật
rắn với nước. Sự tương tác này có thể được mô tả bằng các lực thủy động lực học. Lực
thủy động học tác dụng vào thanh vật liệu khi thanh di chuyển dưới nước bao gồm: lực
đẩy, lực cản và lực do khối lượng thêm vào. Lực đẩy là trọng lượng của phần chất lỏng
bị chiếm chỗ bởi thanh nhiên liệu, được xác định bởi công thức:
gVF
rwB (2.1)
trong đó w là mật độ của nước và Vr là thể tích phần thanh nhiên liệu bị ngập nước.
Lực cản là lực tác dụng vào thanh với chiều ngược lại với chiều chuyển động
của thanh. Lực kéo được xác định theo công
1
2D D w p r r
F C A v v (2.2)
trong đó CD hệ số cản, Ap là diện tích mặt trước của thanh và vr là vận tốc giữa nước và
thanh. Trong đề tài này, hệ số cản được lấy theo [35],
5.93
1.17 1.28,Re
DC (2.3)
trong đó Re là hệ sô Reynolds được tính theo công thức sau:
Re ,2,946
w
w
vd
(2.4)
trong đó w mật độ của nước 1,000kg/m3, v là vận tốc của thanh di chuyển trong nước
giả định là 0.33m/s, đường kính của thanh vật liệu d = 0.01m và độ nhớt động học của
nướcw =1.12x10-3Ns/m.
2.2 Phương trình vi phân chuyển động của hệ
Khi thanh di chuyển dưới nước, chúng ta chỉ xét đến chuyển động lắc của thanh
mà không xét đến chuyển động quay tròn của thanh. Chính vì vậy chọn tọa độ suy
rộng đủ cho hệ là 2, trong đó x(t) là chuyển vị của xe con di chuyển, θ: góc lắc của
thanh vật liệu. Vị trí trọng tâm của thanh được xác như sau:
21
sin ,
cx x l
(2.5)
,cosly
c
(2.6)
cos lxxc
(2.7)
sin lyc (2.8)
Tổng động của hệ được xác định như sau:
2 2 2 21 1 1( ) ,
2 2 2c cT Mx m x y I
(2.9)
trong đó
22(2 ) 4
3 3
m lI ml (2.10)
Thay (2.7), (2.8), (2.10) vào (2.9) ta được:
2 22 2 21 1 1 4
cos sin ( )2 2 2 3
T Mx m x l l ml
(2.11)
22 2 2 21 1 4
2 cos2 2 6
T Mx m x xl l ml
(2.12)
2 2 21 7
( ) cos .2 6
T M m x mlx ml (2.13)
Tổng thế năng của hệ:
( ) (1 cos ),r BU m g F l (2.14)
Độ cản Rayleigh được tính bằng công thức:
2 21( ),
2xD D x D (2.15)
trong đó Dx và Dy lần lượt là hệ số cản theo phương x và )(t
Phương trình Lagrange loại 2 được xác định theo công thức:
22
d T T U D( ) Q
dt q q q q
(2.16)
Phương trình chuyển động của hệ sẽ đực tính bằng việc thay các thông số T, U, D và
phương trình Lagrange loại 2 theo tọa độ suy rộng x và θ
( )
x
d T T U DQ
dt x x x x
(2.17)
( )
d T T U DQ
dt
(2.18)
Các thành phần của hai phương trình sẽ được tính như sau:
( ) cos
TM m x ml
x
(2.19)
2( ) ( ) cos sind T
M m x ml mldt x
(2.20)
0
T
x
(2.21)
0
U
x
(2.22)
x
DD x
x
(2.23)
7cos
3
Tmlx ml
(2.24)
7( ) cos sin
3
d Tmlx mlx ml
dt
(2.25)
sin
Tmlx
(2.26)
sin ( )
r B
Um g F l
(2.27)
23
DD
(2.28)
Hệ phương trình vi phân chuyển động của hệ được viết lại như sau:
2( ) cos sin
x D tM m x ml ml D x F F (2.29)
7( cos ) sin ( ) 0
3r B
ml x ml m g F l D
(2.30)
24
Chương 3 Thiết kế luật điều khiển tuyến tính hóa hồi tiếp cho hệ thống
3.1 Thiết kế luật điều khiển
Hệ thống mang thanh vật liệu là hệ hụt dẫn động với hai thông số cần điều
khiển (chuyển vị của cầu trục và góc lắc của thanh vật liệu) và một cơ cấu phát động
(lực điều khiển của động cơ F). Chúng ta sẽ thiết kế luật điều khiển cho lực phát động
Ft sao cho trạng thái của hệ q = [x θ]T tiến đến giá trị mong muốn qd = [xd 0]
T.
Phương trình (2.30) với điều kiện l > 0 và t > 0 sẽ được viết lại như sau:
7cos sin ( ) 0
3r B
mlx ml m g F l D
(3.1)
Từ (3.1) ta có giá trị sẽ được xác định theo công thức sau:
2
3cos 3 3( )sin.
7 7 7r BD m g F
xl ml ml
(3.2)
Phương trình (3.2) mô tả quan hệ giữa góc lắc của thanh vật liệu θ và chuyển vị
của cầu trục, tức là góc lắc của thanh vật liệu bị ảnh hưởng trực tiếp bởi chuyển vị của
cầu trục. Bằng việc thế phương trình (3.2) vào (2.29) ta sẽ được động lực học của hệ
dẫn động như sau:
2
3cos 3 3( )sin( ) os
7 7 7r BD m g F
M m x mlc xl ml ml
2 sin .x D tml D x F F (3.3)
Phương trình (3.3) sẽ được viết lại như sau:
23 cos 3 os
( ) sin7 7
x
m D cM m x D x ml
l
3( )sin os
.7
r BD t
m g F cF F
(3.4)
Đặt 23 cos
( ),7
mH M m
(3.5)
,xA D (3.6)
25
3 os
sin ,7
D cB ml
ml
(3.7)
3( )sin os
.7
r BD
m g F cC F
(3.8)
Phương trình (3.4) trở thành:
.tHx Ax B C F (3.9)
Hệ dẫn động có thể được viết lại dưới dạng khác:
1 1 1 1 ,tx A x B C D F (3.10)
trong đó 1 1 1 1
1, , , .
A B CA B C D
H H H H
Tương tự như trên, hệ hụt dẫn động có thể được biểu diễn dưới dạng sau:
2 2. ,A x B (3.11)
trong đó: 2 2 2
3cos 3 3( )sin, .
7 7 7r BD m g F
A Bl ml ml
Thế phương trình (3.10) vào (3.11) ta được:
1 2 2 1 2 1 2 2 1. . .tA A x A B A C B A D F (3.12)
Động lực học của hệ thống vòng lặp kín được thể hiện dưới một dạng khác bao
gồm động lực học hệ dẫn động (3.10) và động lực học của hệ hụt dẫn động (3.12). Ta
có thể thấy rằng cả hệ dẫn động và hụt dẫn động có mối liên hệ trực tiếp tới thông số
điều khiển Ft. Coi thông số đầu ra của hệ thống là chuyển vị x của cầu trục, sử dụng
phương pháp hồi tiếp phi tuyến, động lực học của hệ dẫn động có thể được tuyến tính
hóa như sau:
1x V (3.13)
với
26
1 1 1 1 1. . tV A x B C D F (3.14)
là tín hiệu điều khiển tương đương
Để ổn định động lực học của hệ dẫn động, thông số điều khiển đầu vào V1 nên được
chọn như sau:
1 1 1( ) ( ).d d d p dV x K x x K x x (3.15)
Từ hai phương trình (3.13) và (3.15) ta có:
1 1( ) ( ).d d d p dx x K x x K x x (3.16)
Biến đổi (3.16) ta được:
1 1( ) ( ) 0.d d d p dx x K x x K x x (3.17)
Đặt 1 de x x là sai lệch bám của trạng thái dẫn động. Phương trình sai lệch bám của
trạng thái dẫn động có thể được biểu diễn như sau:
1 1 1 1 1 0.d pe K e K e (3.18)
Thông số sai lệch bám trong phương trình (3.18) thì ổn định khi cả hai hệ số khuếch
đại Kd1 > 0 và Kp1 > 0. Hơn nữa e1 sẽ tiến đến 0, tức là x sẽ tiến đến xd khi t tiến đến vô
cùng. Tín hiệu điều khiển tương đương (3.15) chỉ đảm bảo sự ổn định cho trạng thái
của hệ dẫn động. Tiếp theo chúng ta sẽ xét đến tính ổn định của hệ hụt dẫn động. Lúc
này biến trạng thái sẽ là θ và động lực học hệ hụt dẫn động (3.12) sẽ được tuyến tính
hóa như sau:
2,V (3.19)
trong đó
2 2 1 2 1 2 1 2 2 1. . ,tV A A x A B A C B A D F (3.20)
là tín hiệu điều khiển tương đương. Thực tế, tín hiệu điều khiển tương đương V2 có thể
được chọn dựa trên sự ổn định của hệ hụt dẫn động
27
2 2 2( ) ( ),d d d p dV K K (3.21)
trong đó Kd2 và Kp2 là các hằng số dương. Thế phương trình (3.19) vào (3.21) ta được
phương trình như sau:
2 2( ) ( ).d d d p dK K (3.22)
Phương trình (3.22) có thể được viết lại như sau:
2 2( ) ( ) 0.d d d p dK K (3.23)
Đặt 2 de là sai lệch bám của biến trạng thái hệ hụt dẫn động. Phương trình của
sai lệch bám của trạng thái hụt dẫn động sẽ được xác định như sau:
2 2 2 2 2 0.d pe K e K e (3.24)
Thông số sai lệch bám trong phương trình (3.24) sẽ là ổn định khi các thông số khuếch
đại Kd2 và Kp2 > 0. Tương ứng với việc e2 sẽ tiến đến 0 khi t tiến đến vô cùng.
Để cả 2 hệ dẫn động và hụt dẫn động ổn định, ta sẽ đưa ra một luật điều khiển
phi tuyến mới bằng cách cộng tuyến tính các tín hiệu điều khiển tương đương V1 và V2
như sau:
1 2,V V V (3.25)
trong đó α là hệ số
Thế (3.15) và (3.21) vào (3.25), ta được:
1 1( ) ( )d d d p dV x K x x K x x
2 2( ) ( ) .d d d p dK K (3.26)
Bởi vì xd = hằng số, θd = 0 nên phương trình (3.26) có thể đơn giản hóa như sau:
1 1 2 2( ) .d p d d pV K x K x x K K (3.27)
28
Thay thế V1 ở phương trình (3.14) bởi tín hiệu điều khiển tương đương V xác định từ
phương trình (3.27), chúng ta sẽ xác định được tín hiệu điều khiển phi tuyến khi tín
hiệu điều khiển là chuyển vị của xe con
1 1 2 2 1 1 1 1( ) . . .d p d d p tK x K x x K K A x B C D F (3.28)
Sau một vài bước biến đổi, ta có:
1 1 1 2 1 2 1
1
( ) ( ).
d d p d p
t
A K x B K K x x K CF
D
(3.29)
Phương trình (3.29) chỉ ra thông số tín hiệu điều khiển sẽ được áp dụng vào hệ thống
để trạng thái của hệ ổn định khi mà thanh vật liệu được di chuyển đến vị trí mong
muốn.
3.2 Phân tích tính ổn định của hệ thống
Để phân tích tính ổn định của hệ thống mang thanh vật liệu, chúng ta thế tín
hiệu điều khiển ở phương trình (3.29) vào các phương trình động lực học (3.10) và
(3.12) của hệ. Chúng ta sẽ có được các phương trình như sau. Phương trình động lực
học hệ dẫn động với tín hiệu điều khiển mới Ft được xác định như sau:
1 1 1 2 1 2 1
1
1
( ) ( )d d p d pA K x B K K x x K Cx D
D
1 1 1. .A x B C (3.30)
Phương trình (3.30) có thể đơn giản hóa như sau:
1 2 1 2( ) .d d p d px K x K K x x K (3.31)
Hệ hụt dẫn động với tín hiệu điều khiển mới Ft sẽ được thể hiện như sau:
1 1 1 2 1 2 1
2 1
1
( ) ( )d d p d pA K x B K K x x K CA D
D
1 2 2 1 2 1 2. . .A A x A B A C B (3.32)
29
Sau một vài phép biến đổi đơn giản, ta sẽ có (3.32) được viết lại như sau:
2 1 2 2 2 1 2 2 2( ) .d d p d pA K x A K A K x x A K B (3.33)
Động lực học của hệ có thể được biểu diễn thông qua tham số bám sai lệch như sau:
1 1 1 2 2 1 1 2 2.d d p pe K e K e K e K e (3.34)
2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2.d d p pe A K e A K e A K e A K B (3.35)
Đặt 1 1x e , 2 1x e , 3 2x e , 4 2x e là các biến trạng thái, phương trình động lực học
của hệ ở trên có thể được chuyển sang phương trình không gian thái tuyến tính. Động
lực học hệ thống vòng lặp kín (3.31) và (3.33) sẽ được mô tả như sau:
1 1 2 ,x e x (3.36)
2 1 1 1 1 2 2 3 2 4 ( ),p d p dx e K x K x K x K x f x (3.37)
3 2 4 ,x e x (3.38)
4 2 2 1 1 2 1 2 2 2 3 2 2 4 2 ( ).p d p dx e A K x A K x A K x A K x B g x (3.39)
Tuyến tính hóa các phương trình trên quanh điểm cân bằng x = 0 sẽ thu được phương
trình không gian trạng thái tuyến tính như sau:
1 1
2 2
3 3
4 4
,
x x
x xA
x x
x x
(3.40)
trong đó A là ma trận Jacobian. A sẽ được xác định như sau:
30
1 2 3 4
1 2 3 4 0
0 1 0 0
0 0 0 1
x
f x f x f x f x
x x x xA
g x g x g x g x
x x x x
1 1 2 2
2 1 2 1 2 2 2 2
0 1 0 0
0 0 0 1
p d p d
p d p d
K K K K
A K A K A K A K
Hệ phương trình được tuyến tính hóa (3.40) sẽ ổn định quanh điểm cân bằng q
= 0 nếu ma trận A là một ma trận Hurwzit. Dựa trên các tiêu chuẩn Hurwzit, chúng ta
có thể kết luận ma trận A là ma trận Hurwzit nếu các hệ số Kp1 > 0, Kd1 > 0, αKp2 > 0,
αKd2 > 0. Do đó, hệ thống vòng lặp kín sẽ ổn định quanh điểm cân bằng q = qd.
31
Chương 4 Mô phỏng
Chúng ta sẽ có được đáp ứng của góc lắc của thanh vật liệu khi di chuyển bằng
cầu trục bằng cách tiến hành mô phỏng hệ phi tuyến (2.30) và (2.31). Việc mô phỏng
sẽ được tiến hành trong 2 trường hợp với các thông số cho ở bảng 1.
Trường hợp 1: Mô phỏng được tiến hành khi hệ chưa có luật điều khiển.
Trường hợp 2: Mô phỏng được tiến hành với luật điều khiển tuyến tính hóa hồi tiếp,
trong đó Kd1 = 1, Kd2 = 0.8, Kp1 = 1, Kp2 = 1, α = 1.
Hình 4.1 Mô phỏng với hệ không có luật điều khiển
32
Hình 4.2 Mô phỏng hệ khi có luật điều khiển
Cầu trục di chuyển sẽ di chuyển từ vị trí ban đầu đến vị trí mong muốn là 1.4 m.
Điều kiện ban đầu là góc lắc hàng θ = 00, v = 0 (m/s). Kết quả mô phỏng sẽ được thể
hiện ở các hình vẽ từ 4.3 đến 4.8.
Hình vẽ 4.2 và 4.5 lần lượt mô tả đáp ứng của chuyển vị của cầu trục trong
trường hợp khi chưa có luật điều khiển và có luật điều khiển. Chúng ta có thể thấy rõ
ràng sự khác biệt giữa 2 biểu đồ. Kết quả mô phỏng trong trường hợp 1 cho thấy là cầu
trục đạt đến vị trí mong muốn tại thời điểm ts = 7(s). Trong khi đó, ở trường hợp 2 tức
là khi có luật điều khiển thì cầu trục di chuyển mang thanh vật liệu tới vị trí mong
muốn chỉ sau 5,5 (s).
Góc lắc của thanh nhiên liệu được thể hiện ở các hình vẽ 4.4 và hình 4.8.
Đường đáp ứng của góc lắc hàng trong trường hợp 2 khá là mượt và góc lắc hàng về vị
trí mong muốn chỉ sau 2 chu kỳ dao động. Trong khi đó ở trương hợp 1, góc lắc hàng
về vị trí mong muốn sau khoảng 5 chu kỳ dao động. Thêm nữa, thời gian cho sự tắt
dao động của thanh vật liệu trong trường hợp 2 là 12 (s), nhưng trong trường hợp 1 là
17 (s). θmax = 0.17 trong trường hợp 2, θmax = 0.075 trong trường hợp 1.
33
Đáp ứng của vận tốc di chuyển cầu trục được mô tả ở Hình 4.3 và 4.7. Chúng ta
có thể dễ dàng thấy ràng quỹ đạo của nó tiệm cận về không trong một khoảng thời
gian rất ngắn.
Bảng 1. Thông số mô phỏng
Thông số Mô tả Giá trị Đơn vị
M Khối lượng cầu trục 5.1 Kg
mr Khối lượng thanh vật liệu 0.165 Kg
l Một nửa chiều dài thanh 0.49 M
d Đường kính của thanh 0.01 M
CD Hệ số cản 1.28 -
Dx Hệ số cản nhớt theo trục x 10.2 N.s/m
Dθ Hệ sô cản nhớt theo θ 0.4 Nm-s/rad
xd Vị trí mong muốn của xe con 1.4 m
34
Hình 4.3 Chuyển vị của cầu trục khi không có luật điều khiển
35
Hình 4.4 Vận tốc cầu trục khi không có luật điều khiển
36
Hình 4.5 Góc lắc của thanh vât liệu khi không có luật điều khiển
37
Hình 4.6 Chuyển vị của cầu trục khi có luật điều khiển
38
Hình 4.7 Vận tốc của cầu trục với luật điều khiển
39
Hình 4.8 Góc lắc thanh vật liệu với luật điều khiển
40
Chương 5 Kết luận và đề xuất
5.1. Kết luận
Trong đề tài này, luật điều khiển áp dụng cho hệ thống mang di chuyển thanh
vật liệu dưới nước đã được xây dựng. Luật điều khiển được xây dựng dựa trên
phương pháp tuyến tính hóa chính xác. Phương pháp này rất hiệu quả khi áp dụng cho
các hệ cơ khí phi tuyến hụt dẫn động như cầu trục. Kết quả mô phỏng cho thấy luật
điều khiển đưa ra đảm bảo cho hệ thống ổn định. Hay nói cách khác, với tín hiệu điều
khiển đầu vào, góc lắc của thanh vật liệu tiến đến giá trị mong muốn trong một khoảng
thời gian ngắn khi cầu trục di chuyển đến vị trí mong muốn. Hơn nữa, góc lắc của
thanh vật liệu duy trì là khá nhỏ trong suốt hành trình và sẽ bị triệt tiêu ở cuối hành
trình.
5.2 Đề xuất
Hướng phát triển tiếp theo của đề tài: Dựa trên mô hình động lực học đã được
xây dựng cho cầu trục, áp dụng các phương pháp điều khiển khác như: điều khiển
thích nghi, điều khiển có bù ma sát, điều khiển tối ưu, điều khiển trượt để điều khiển
hệ thống. So sánh kết quả mô phỏng giữa các phương pháp với nhau để tìm gia
phương pháp điều khiển tối ưu.
41
Tài liệu tham khảo
Al-Garni, A. Z., Moustafa, A. F. and Javeed Nizami, S. S. A. K., “Optimal Control of
Overhead Cranes,” Control Eng. Practice, 3(9), 1277-1284
Cheng, C. C., and Cheng, C. Y., “Controller Design for an Overhead Crane System
with Uncertainty,” Control Eng. Practice, Vol. 4, No. 5,pp. 645-653, 1996.
Cho, H. C., and Fadali, M. S., “Neural Robust Control for Perturbed Crane Systems,”
Journal of Mechanical Science and Technology (KSME Int. J.), Vol. 20, No. 5,
pp. 591-601, 2006.
Cho, H. C., and Lee, K. S., “Adaptive Control and Stability Analysis of Nonlinear
Crane Systems with Perturbation,” Journal of Mechanical Science and
Technology, Vol. 22, pp. 1091-1098, 2008.
Cho, H. C., Lee, J. W., Lee, Y. J., and Lee, K. S., “Lyapunov Theory Based Robust
Control of Complicated Nonlinear Mechanical Systems with Uncertainty,”
Journal of Mechanical Science and Technology, Vol. 22, pp. 2142-2150, 2008.
Fang, Y., Dixon, W. E., Dawson, D. M. and Zergeroglu, E., “Nonlinear Coupling
Control Laws For an Under-Actuated Overhead Crane System,” IEEE/ASME
Transactions on Mechatronics, Vol. 8, No. 3,pp. 418-423, 2003.
Fang, Y., Ma, B., Wang, P., and Zhang, Z., “A Motion Planning-based adaptive
Control Method for an Underactuated Crane System,” IEEE Transactions on
Control System Technology, Vol. 20, No. 1, pp. 241-248, 2012.
Hong, K. S., and Park, B. J., “Two-Stage control for Container Cranes,” JSME
International Journal, Series C, Vol. 43, No. 2, 2000.
Hong, K. S., “An Open-loop Control for Underactuated manipulators Using
Oscillatory Inputs: Steering Capability of an Unactuated Joint,” IEEE Trans.
Control Syst. Techol, Vol. 10, No. 3, pp. 469-480, 2002.
Hua, Y. J., and Shine, Y. K., “Adaptive Coupling control for Overhead Crane
Systems,” Mechatronics, Vol. 17, No. 2-3, pp. 143-152, 2007.
Karkoub, M. A., and Zribi, M., “Modeling and Non-linear Discontinuous Feedback
Control of Crane Lifter Systems,” Proceeding of the Institution Mechanical
Engineers, Part I: Journal of Systems and Control Engineering, 2002.
42
Kim, Y. S., Hong, K. S., and Sul, S. K., “Anti-Sway Control Of Container Cranes:
Inclinometer, Observer, and State Feedback,” International Journal of Control,
Automation, and Systems, Vol. 2, No. 4, pp. 435-449, 2004.
Kim, C. S., and Hong, K. S., “Boundary Control of Container Cranes from Perspective
of Controlling an Axially Moving String System,” International Journal of
Control, Automation, and System, Vol. 7, No. 3, pp. 437-445, 2009.
Le, A. T., Kim, G. H., Kim, Y., M. and Lee, S., G., “Partial Feedback Linearization
Control of Overhead Cranes with Varying Cable Lengths,” International Journal
of Precision Engineering and Manufacturing, Vol. 13, No. 4, pp.501-507, April
2014
Liu, D. T., Yi, J. Q., Zhao, D. B and Wang, W., “Adaptive Sliding Mode Fuzzy Control
for a two-dimensional Overhead Cranes,” IEEE Transactions on Mechatronics,
15, 505, 2005.
Moustafa, K. A. F., and Ebeid, A. M., “Nonlinear Modeling And Control Of Overhead
Crane Load Sway,” Transactions of ASME, 110, 266-271, 1998.
Moustafa, K. A. F., “Reference Trajectory Tracking of Overhead Cranes,” Journal of
Dynamic Systems, Measurement, and Control, Vol. 123, No. 1, pp. 139-141, 2001
Munson, B. R., Young, D. F., Okiishi, T. H., “Fundamentals of Fluid Mechanics,”
John Willey and Sons, New York, 2002.
Ngo, Q. H. and Hong, K.-S., “Adaptive Sliding Mode Control of Container Cranes,”
IET Control Theory and Applications, Vol. 6, No. 5, pp. 662-668, March 2012.
(Publisher: Inst Engineering Technology – IET).
Ngo, Q. H. and Hong, K.-S., “Skew Control of a Quay Container Crane,” Journal of
Mechanical Science and Technology, Vol. 23, No. 12, pp. 3332-3339, 2009.
Ngo, Q. H. and Hong, K.-S., “Dynamics of the Container Crane on a Mobile Harbor,”
Ocean Engineering, Vol. 53, pp. 16-24, 2012.
Ngo, Q. H. and Hong, K.-S., “Sliding Mode Anti-sway Control of an Offshore
Container Crane,” IEEE/ASME Trans. on Mechatronics, Vol. 17, No. 2, pp. 201-
209, 2012.
Oguamanam, D. C. D., Hasen, J. S., and Helppler, G. R., “Dynamics of a Three-
dimensional Overhead Crane System,” Journal of Sound and Vibration, 242 (3),
411-426, 2001.
43
Park, H., Chwa, D. and Hong, K.-S., "A Feedback Linearization Control of Container
Cranes: Varying Rope Length," International Journal of Control, Automation,
and Systems, Vol. 5, No. 4, pp. 379-387, August 2007.
Rehan, M., Hong, K.-S., “Decoupled-architecture-base Nonlinear anti-windup Design
for a Class of Nonlinear Systems,” Nonlinear Dyn, Vol. 73, No. 3, pp. 1955-
1967, 2013.
Singhose, W., and Kim, D. R., “Input Shaping Control of Double-pendulum Bridge
Crane Oscillations,” Journal of Dynamics System, Measurement and Control,
130(3), 41-47, 2008.
Slotine, J. J. E., and Li, W., “Applied Nonlinear Control,” New Jersey: Pretice Hall,
Englewood Cliffs, 1991.
Shad, U.H., and Hong, K.-S., “Input Shaping Control of a Nuclear Power Plant’s Fuel
Transport system,” Nonlinear Dynamics, Published online on April 23, 2014.
Tuan. L. A., Lee, S. G., Dang, V. H., Moon, S., and Kim, B., “Partial Feedback
Linearization Control of a Three-Dimensional Overhead,” International Journal
of Control Automation, and Systems, Vol. 11, No. 4, pp. 718-727, 2013.
Tuan. L. A., Moon, S. C., Lee, S. G., and Kim, B., “Adaptive Sliding Mode Control of
the Overhead Crane with Varying Cable Length,” Journal of Mechanical Science
and Technology, Vol. 27, No. 3, pp. 885-893, 2013.
Troesch, A. W., Kim, S. K., “Hydrodynamic Forces Acting on Cylinders Oscillating at
Small Amplitudes,” J. Fluid Struct, Vol. 5, No. 1, pp. 113-126, 199
