Upload
ng-hooi-ni
View
105
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
1
Topik 4
Nombor Nisbah
4.0 Sinopsis
Topik ini memberi pendedahan kepada pelajar tentang Nombor Nisbah serta ciri-ciri asas
nombor tersebut. Kardinaliti (cardinality) bagi Nombor Nisbah juga dibincangkan. Selain itu,
turut dibincangkan juga Nombor Nisbah Kompleks dan Pecahan Berterusan (continued
fractions). Akhir sekali, topik ini memuatkan beberapa penyelesaian masalah tentang
Nombor Nisbah.
4.1 Hasil Pembelajaran
1. Mengenal pasti ciri-ciri Nombor Nisbah.
2. Melakukan operasi ke atas pelbagai Nombor Nisbah.
3. Menyelesaikan masalah harian yang melibatkan Nombor Nisbah.
4.2 Kerangka Konsep
NOMBOR NISBAH
Ciri-ciri asas / Definisi
Kardinaliti
Nombor Nisbah Kompleks Dan Pecahan Berterusan (Continued Fractions)
Penyelesaian Masalah
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
2
4.3 Ciri-ciri Asas Nombor Nisbah
4.3.1 Definisi
Nombor Nyata ( Real Numbers ) terdiri daripada :
(a) Nombor Bulat ( Whole Numbers )
(b) Nombor Asli ( Natural Number )
(c) Nombor Integer ( Integers )
(d) Nombor Nisbah ( Rational Numbers )
(e) Nombor Bukan Nisbah ( Irrational Numbers )
Set Nombor di atas boleh digambarkan seperti rajah di bawah :
Dalam dunia Matematik, Nombor Nisbah adalah sebarang nombor yang dapat ditulis
sebagai nisbah / pecahan (ratio) dua integer , dengan keadaan penyebut, tidak sama
dengan 0. Set Nombor Nisbah disimbolkan sebagai , Selanjutnya, sebarang nombor
perpuluhan yang berulang dan berakhir adalah Nombor Nisbah.
p (pengangka)
q (penyebut)
p / q =
1 1 1/1 1
1 2 1/2 0.5
55 100 55/100 0.55
1 1000 1/1000 0.001
253 10 253/10 25.3
7 0 7/0 SALAH ! q tidak boleh sama dengan 0.
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
3
Contoh umum:
1.5 adalah Nombor Nisbah, boleh ditulis sebagai nisbah 3/2.
7 adalah Nombor Nisbah, boleh ditulis sebagai nisbah 7/1.
0.317 adalah Nombor Nisbah, boleh ditulis sebagai nisbah 317/1000.
Berikut adalah beberapa contoh lain:
Nombor Sebagai Nisbah Rasional?
5 5/1 Ya
1.75 7/4 Ya
0.001 1/1000 Ya
0.111... 1/9 Ya
2 (Punca kuasadua bagi 2)
? TIDAK !
Punca kuasa dua bagi 2 adalah 1.4142135( nombor perpuluhan yang tidak berulang )
dan tidak dapat ditulis sebagai nisbah / pecahan.
Perhatikan pernyataan berikut :
...,8
16,
2
4,
2
10
Dalam set integer, , operasi pembahagian seperti di atas dapat dijalankan dan memberi
hasil yang tepat. Perhatikan pula pernyataan berikut :
....7
2,.
12
5,
5
16
Kita mendapati set nombor yang kedua di atas tidak dapat memberi jawapan yang tepat /
jitu.
Set yang pertama di atas dikenali sebagai set NOMBOR NISBAH manakala set yang
kedua adalah set NOMBOR BUKAN NISBAH ( akan dibincangkan dalam topik 5 nanti )
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
4
Contoh 1
a) Tukar 0. 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 .kepada pecahan.
b) Seterusnya, tentukan samada 10.262626 adalah Nombor Nisbah atau tidak.
Penyelesaian
(a) Jadikan x = 0.26262626 ----- (persamaan 1)
(Darab dengan 100) , 100 x = 26.262626 . ----- (persamaan 2)
(persamaan 2 persamaan 1) 100x x = 26.26262626 0.26262626..
99 x = 26
x = 99
26 #
(b) Jadikan y = 10. 26262626 ----- (persamaan 1)
(Darab dengan 100) 100 y = 1026.262626..----- (persamaan 2)
(persamaan 2 persamaan 1) 99 y = 1016
y = 99
1016 (pecahan)
Maka 10.262626 adalah Nombor Nisbah, Q. #
DEFINISI NOMBOR NISBAH
NOMBOR NISBAH adalah set nombor yang terdiri daripada b
a di mana a dan b merupakan
nombor integer, dan b 0 . Ia dilambangkan sebagai Q. (contoh ,4
375.0,
4
1 8 ,
1
3, 0.4,
1
2020400 , dan sebarang nombor perpuluhan berterusan yang berulang )
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
5
4.3.2 Operasi Ke Atas Nombor Nisbah
Jika b
a dan
d
c adalah nombor Nisbah, maka
PENAMBAHAN : bd
bcad
bd
bc
bd
ad
d
c
b
a
PENOLAKAN : bd
bcad
bd
bc
bd
ad
d
c
b
a
PENDARABAN : bd
ac
d
c
b
a
PEMBAHAGIAN : )0(cbc
ad
d
c
b
a
Contoh 2:
Tambahkan 10
1
15
2
Penyelesaian:
Langkah 1: Cari GSTK bagi 10 dan 15. Didapati GSTK(10,15) = 30
Langkah 2:
30
7
30
)13()22(
10
1
15
2
Contoh 3:
Tolakkan 1200
69
180
173
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
6
Penyelesaian:
Langkah 1: Cari GSTK bagi 180 dan 1200. Didapati GSTK(180,1200) = 3600
Langkah 2:
3600
3253
3600
)693()17320(
1200
69
180
173
Contoh 4:
Darabkan Nombor Nisbah berikut :
(a) 7
4
3
2 (b)
5
32
2
13
Penyelesaian:
(a) 21
8
7
4
3
2
(b) 5
32
2
13 =
10
91
5
13
2
7
Contoh 5:
Bahagikan Nombor Nisbah berikut :
(a) 7
4
4
3 (b)
9
8
3
4
Penyelesaian:
(a)
16
21
16
21
4
7
4
3
7
4
4
3
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
7
(b)
2
3
24
36
8
9
3
4
9
8
3
4
Contoh 6:
Cari Nombor Nisbah antara 3
2 dan
6
5
Penyelesaian:
Langkah 1: Tambahkan kedua-dua pecahan/nombor nisbah itu.
2
3
6
9
6
5
6
4
6
5
3
2
Langkah 2: Ambil setengah/separuh daripada hasil tambah di atas:
4
3
2
3
2
1
Nombor Nisbah 4
3berada antara
6
5
3
2dan
Cuba anda selesaikan soalan-soalan berikut:
(a) 47
53 (b)
9
5
7
4 (c)
25
14
7
5 (d)
21
8
7
4
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
8
4.4 Kardinaliti
Kardinaliti merujuk kepada bilangan elemen / saiz dalam sesuatu set. Kardinaliti boleh
mengambil nilai INTEGER POSITIF TERHINGGA ( FINITE ) atau TAK TERHINGGA (
INFINITE ). Sebagai contoh, kardinaliti bagi set penduduk di Malaysia adalah lebih kurang
30 juta orang; kardinaliti bagi set INTEGER adalah infiniti.
Cuba jawab soalan berikut :
Berapakah jumlah kesemua Nombor Nisbah ? Jawapan anda tentunya : INFINITI.
Kita akan membincangkan tentang konsep PADANAN SATU DENGAN SATU bersama
KARDINALITI.
Perhatikan gambarajah berikut :
(a)
Set C Set D
f i
g j
h k
(b) x y
Jika terdapat / wujud PADANAN SATU DENGAN SATU antara semua elemen daripada
dua set, kita dapat katakan kedua-dua set tersebut mempunyai KARDINALITI yang sama.
Kita boleh katakan set { -3, -1, 0, 2 } dan { 1, 0, 2, 4 } mempunyai kardinaliti yang sama:
-3 1 -1 0 0 2 2 4
-3
-1
0
2
1
0
2
4
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
9
Bagi SET TERHINGGA( finite set ),KARDINALITI adalah bilangan elemen dalam set
tersebut. Maka, dalam contoh di atas, set X { -3, -1, 0, 2 } mempunyai kardinaliti 4. ( ditulis
juga sebagai 4X
4.5 NOMBOR NISBAH KOMPLEKS DAN PECAHAN BERTERUSAN (CONTINUED
FRACTIONS)
4.5.1 Nombor Nisbah Kompleks
Pecahan kompleks (atau pecahan majmuk) ialah pecahan yang pengangka atau
penyebutnya (atau kedua-duanya sekali) mengandungi pecahan.
Sebagai contoh:
4
3
2
1
, 95
7817
, 26
4
312
dan sebagainya.
Untuk memudahkan satu pecahan/nombor nisbah kompleks, bahagikan pengangka
dengan penyebut seperti dalam pecahan yang lain.
Persoalan sekarang,
APAKAH KARDINALITI BAGI SET NOMBOR NISBAH?
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
10
Contoh 7:
Mudahkan
16
3
8
74
1
3
1
Penyelesaian:
Langkah 1: Selesaikan pengangka dengan mencari GSTK bagi 3 dan 4.
Didapati GSTK(3,4) = 12, maka
12
7
12
)13()14(
4
1
3
1
Langkah 2: Selesaikan penyebut dengan mencari GSTK bagi 8 dan 16.
Didapati GSTK(8,16) = 16, maka
16
11
16
)31()72(
16
3
8
7
Langkah 3: Selesaikan
16
3
8
74
1
3
1
33
28
11
16
12
7
16
1112
7
16
3
8
74
1
3
1
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
11
Contoh 8:
Mudahkan xx 8
5
6
7
Penyelesaian :
Langkah 1: Penyebut adalah 6x dan 8x
Langkah 2: GSTK bagi 6x dan 8x adalah 24x
Langkah 3: Selesaikan masalah diberi
x
x
xxx
24
43
24
1528
24
)53()74(
8
5
6
7
4.5.2 Pecahan Berterusan ( Continued Fractions)
(A) Definisi :
Pecahan Berterusan yang mewakili nombor nyata, x adalah dalam bentuk
...
1
1
1
3
2
1
0
aa
a
ax
di mana ,...,,, 3210 aaaa adalah nombor integer ,...,,, 3210 aaaa > 0. 0a boleh
mengambil nilai integer negatif. (Untuk menjimatkan ruang, pecahan berterusan
boleh juga diringkaskan sebagai ,...],,,[ 3210 aaaax
Cuba anda mudahkan soalan-soalan berikut:
(a)
)3
2(
)2
3
4(
x
x
(b)
)2(
432
2
xx
xx
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
12
Contoh 9:
Tulis 9
31 sebagai pecahan berterusan.
Penyelesaian:
Langkah 1: cari bahagian integer bagi 9
31
Langkah 2: kita tahu bahawa 31 = 9 x 3 + 4, jadi kita tulis
9
43
9
31
Langkah 3: pastikan pengangka sentiasa bernilai 1, jadi kita tulis
4
9
1
9
4
Langkah 4: kita tahu bahawa 9 = 4 x 2 + 1
Langkah 5: Jadi,
4
12
1
4
9
1
9
4
Langkah 6: Jadi, kita dapat menulis
4
12
13
9
43
9
31 ( ini dikenali sebagai pecahan berterusan
yang mudah/ringkas ).
Contoh 10:
Diberi pecahan berterusan
5
12
13
14x .
Tulis semula pecahan di atas sebagai Nombor Nisbah.
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
13
Penyelesaian:
Langkah 1:
5
12
13
14x =
5
11
13
14
Langkah 2:
11
53
14
5
11
13
14x
Langkah 3:
11
38
14
11
53
14x
Langkah 4: 38
114
11
38
14x
Langkah 5: 38
163
38
114x
Cuba anda selesaikan soalan-soalan berikut:
(1)Cari pecahan berterusan kepada Nombor Nisbah berikut:
(a) 5
12
(b) 16
181
(c) 30
43
(2) Tukarkan Pecahan Berterusan berikut kepada Nombor Nisbah:
(a)
2
1
4
1
7 (b)
5
1
1
1
1
1
2 (c)
2
1
1
1
3
1
9
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
14
(B) Menggunakan Algoritma Euclidean untuk mendapatkan Pecahan
Berterusan
Proses mendapatkan Pecahan Berterusan daripada Nombor Nisbah adalah
sebenarnya mencari Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) bagi pengangka dan
penyebut dengan menggunakan Algoritma Euclidean
Contoh 11:
Tulis 189
900 sebagai pecahan berterusan.
Langkah 1: 900 = 189 x 4 + 144 , jadi
189
1444
189
900
Langkah 2: 189 = 144 x 1 + 45
Langkah 3:
144
451
14
189
900
Langkah 4: 144 = 45 x 3 + 9 dan 45 = 9 x 5 + 0
Langkah 5:
5
13
11
14
189
900
NOTA: Jawapan yang kompak ( compact form), diberi sebagai
]5,3,1,4[189
900
.
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
15
Peringatan: Anda digalakkan melayari laman web atau cari dari buku rujukan di
pusat sumber untuk meningkatkan pemahaman anda. Segala latihan yang dibuat
perlu dimasukkan dalam portfolio masing-masing.
SELAMAT BELAJAR!
Cuba anda selesaikan soalan-soalan berikut:
(1)Cari pecahan berterusan kepada Nombor Nisbah berikut:
(a) 51
239
(b) 999
2160
(c) 322
819
(2) Beri jawapan anda juga dalam bentuk kompak(compact form).
(3) Nyatakan samada nombor-nombor berikut adalah nombor nisbah dan berikan sebabnya.
a. 7329 b. 4 c. 0.95832758941 d. 0.5287593593593
MTE3101 MENGENAL NOMBOR
16
Rujukan
Hardy, G.H.& Wright, E.M.(1979). An introduction to the theory of numbers, 5th edn.Oxford
University Press, Oxford.
Michon, G.P. 2005, Final answers Continued fractions. Retrieved 9 January 2006 from
http://home.att.net/~numericana/answer/fractions.htm#patterns
Knott,R. 2006, An introduction to the continued fraction. Retrieved 7 January 2006 from
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfINTRO.html
Shakuntala Devi. (1986). The joy of numbers. Delhi, India: Orient Paperbacks.
Sullivan, Michael. (1999). Algebra and Trigonometry. 5th ed. New Jersey: Prentice Hall.
Tipler, M.J. et.al.(2003). New national framework Mathematics. USA: Nelson Thornes
Limited.