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ECUACIONESDIFERENCIALES UPCOnline
Materialdetrabajoautnomo3
Unidad 2
ELMTODODEVARIACINDEPARMETROS
Logro de la sesin
Al finalizar esta sesin online, estarspreparado para resolver
ecuacionesdiferenciales de orden superior concoeficientes
constantes, mediante elmtodo de variacin de parmetros.
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Temario
Elmtododevariacindeparmetros
Problemasresueltos
Ejercicios
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2
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ELMTODODEVARIACINDEPARMETROS
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CMORESOLVERLAEDO?
" secy y x
EnestecasoelMtodoDeCoeficientesIndeterminadosfalla,porque sec
esinadecuada.
Quhacer?
Para hallar una solucin particular de una EDOL de 2orden puede
aplicarse un mtodo llamado VARIACINDE PARMETROS
ELMTODODEVARIACINDEPARMETROS
SealaEDOL:
ysupongamosque: )()( 2211 xycxycyh
essolucindelaEDOLhomogneaasociada.
Elmtodoconsisteenvariarlosparmetros c1
yc2considerandoquesondosfunciones: u1(x)
yu2(x),paraconellasbuscarlasolucinparticular .
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Haciendoesecambio,lasolucinparticulardelaEDOLqueda:
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )py u x y x u x y x
Esposibleencontrarunsistemadedosecuacionessimultneasconincgnitas
1( )u x 2 ( )u xy
)(0
(*)2211
2211
xguyuyuyuy
EL MTODO DE VARIACIN DE PARMETROS
Lasolucindelsistemadeecuaciones(*)es:
Wxgyxu )( )( 21
12
( ) ( ) yg xu xW
donde:
21
21
yyyy
W
Porintegracinpodemoshallaru1(x)yu2(x),yconellaslasolucinparticularbuscada.LasolucingeneraldelaEDOLser:
EL MTODO DE VARIACIN DE PARMETROS
ph yyy
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PROBLEMASRESUELTOS
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Determinelasolucingeneraldelaecuacindiferencial:
Problema 1
xyy sec''
Solucin (Problema 1)LasolucindelaEDOLHasociadaes:
xcxcyh sencos 21
buscamoslasolucinparticularenlaforma:
xxuxxuyp sen)(cos)( 21
Adems: xxg sec)(
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Parahallar y ,procedemosconelsiguienteproceso:
Solucin (Problema 1)
1cos
cos
xsenxsenxx
W
xx
Wxxu
cossensecsen
1 1seccos
2 Wxxuy
xdxxxu cosln
cossen
1
Integrandocadaexpresin:
xdxu 12y
Solucin (Problema 1)
Asquenuestrasolucinparticulares:
xxxxyp sencoscosln
Enconsecuencialasolucingenerales:
xxxxxcxcy sencoscoslnsencos 21
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Solucin (Problema 2)
Problema 2
Resolver: xyy 3csc36"4
xyy 3csc419'' LaEDOLHsepuedeescribircomo:
LasolucindelaEDOLHasociadaes:
xcxcyh 3sen 3cos 21
Enestecaso:
xxgxxyxxy 3csc41)(,3sen)(,3cos)( 21
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )py u x y x u x y x
LasolucinparticulardelaEDOLtienelaforma:
Parahallar y ,procedemosconelsiguienteproceso:
33cos33sen3
3sen3cos)3sen,3(cos
xxxx
xxW
1213csc4
13sen1 W
xxu
xx
W
xxu
3sen3cos
1213csc4
13cos2 y
Solucin (Problema 2)
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Integrandocadaexpresin:
xu121
1 |3sen|ln361
2 xu y
Solucin (Problema 2)
|3sen|ln)3(sen3613cos
121 xxxxyp
|3sen|ln)3(sen3613cos
1213sen3cos 21 xxxxxcxcyyy ph
Reemplazandoen
LasolucingeneraldelaEDOLser:
Determinelasolucingeneraldelaecuacindiferencial:Problema 3
1'' 3 ' 21 x
y y ye
Solucin (Problema 3)LasolucindelaEDOLHasociadaes:
buscamoslasolucinparticularenlaforma:xx
p exuexuy )()( 2
21
xexg
11)(
xxh ececy
22
1
Adems:
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xxx
xx
eee
eeW 32
2
2
Parahallar y ,procedemosconelsiguienteproceso:
Solucin (Problema 3)
x
xxx
ee
We
eu
11
12
1 x
x
x
xx
ee
ee
eu
11
1
3
2
2y
Integrandoobtenemos:
1 1 ln 1x xu e e
xet 1
Enlaintegracinseempleoelsiguienteproceso:
xxx
x
x
edxeedx
eeu
1)(
1
2
1
Sustituyendo:
)1ln()1(
ln11)1(
)1( 21
xx ee
ttdttt
dtt
tu
Solucin (Problema 3)
dxeeu x
x
12 )1ln(2xeu
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Solucin (Problema 3)
Asquenuestrasolucinparticulares:
xxxxxp eeeeey )1ln()1ln()1( 2
2 21 2 1 ln 1 ln 1x x x x x x xy c e c e e e e e e
Enconsecuencialasolucingenerales:
Determinelasolucingeneraldelaecuacindiferencial:
Problema 4
Solucin (Problema 4)
xey'' y' y , xx
4
8 16 0
LasolucindelaEDOLHasociadaes:
xxp xexuexuy
42
41 )()(
buscamoslasolucinparticularenlaforma:
xexg
x4
)(
xxh xececy
42
41
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xxxx
xx
exeee
xeeW 8444
44
44
Parahallar y ,procedemosconelsiguienteproceso:
xW
xexe
u
xx
44
1 xWx
eeu
xx
1
44
2 y
Solucin (Problema 4)
Integrandoobtenemos:
32
123
u xdx x 2 2u xy
Solucin (Problema 4)
32 4 42 2
3x x
py x e x xe
Luego,
32 44
3x
py x e
Lasolucingenerales:
324 4 4
1 243
x x xy c e c xe x e
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Ejercicios de aplicacin
1. Forma tu equipo de trabajo con cinco integrantes,nombrando un
jefe de grupo, quien ser el encargadode coordinar el trabajo del
grupo.
2. Resuelve con tu equipo los ejercicios propuestos en elForo de
problemas y respuestas N2 (cada preguntavale un punto, en total son
cinco puntos).
3. Comparte y adjunta tu solucin en un solo archivoWord cuyo
nombre debe tener la sintaxis:MTA3_1erNombre_1erApellido (del jefe
degrupo).docx, este archivo ser adjuntado en el Foro deproblemas y
respuestas N2 por el jefe de grupoconsignado los nombres de los
integrantes del grupo.
Instrucciones:
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Conclusiones
Elmtododevariacindeparmetros
Ecuacionesdiferencialesdeordensuperiorconcoeficientesconstantes
Permiteresolverproblemasde
Si quieres conocer ms
Resuelve los siguientes ejercicios del libro texto: pg.157161,
ejercicios 4.6 problemas 110.
Zill Dennis (2009) ecuaciones diferenciales conaplicaciones de
modelado, 9 edicin. CengageLearning. Mxico, DF.
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Cornejo Mara del Carmen, Villalobos Elosa,Quintana Pedro(2008)
Mtodos de solucin deecuaciones diferenciales y aplicaciones.
EditorialReverte. Espaa.
Zill Dennis (2009) ecuaciones diferenciales conaplicaciones de
modelado, 9 edicin CengageLearning. Mxico, DF.
Bibliografa
PreguntasSi, luego del estudio del MTA,tienes dudas sobre alguno
de lostemas, ingresa al Aula Virtual yparticipa en el foro de
dudasacadmicas de la semana 3.
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ECUACIONESDIFERENCIALES EPECOPYRIGHTUPC2013
Continaconlasactividadespropuestasenelguindel
estudiante.
Material producido para el curso de Ecuaciones diferenciales
EPEDiseo: Marco Antonio Tamariz MillaLocucin: Carlos Vargas
TrujilloProduccin: TICE
