Semana 10Control ptimo CuadrticoMT227 Control Moderno y ptimo

1MODELACIN DE SUSTEMAS FSICOS UPC Pregrado

IntroduccinControl ptico cuadrtico e ndice de desempeo JUso de Matlab

Temario2MODELACIN DE SUSTEMAS FSICOS UPC PregradoIntroduccin1IntroduccinEn esta seccin consideraremos el diseo de sistemas de control estables basados en los ndices de desempeo cuadrticos.El sistema de control que consideraremos aqu se define mediante

en donde x = vector de estado (vector de dimensin n) u = vector de control (vector de dimensin r) A = matriz de coeficientes constantes de n x n B = matriz de coeficientes constantes de n x r

Si el objetivo de control consiste en seguimiento de trayectorias con esfuerzo de control mnimo adems de poseer un estado final x(tf) tan cerca como sea posible del estado deseado xd(tf),

(1)4MODELACIN DE SUSTEMAS FSICOS UPC PregradoAl disear sistemas de control, con frecuencia nos interesa seleccionar el vector de controlu(t) tal que un ndice de desempeo J determinado se minimice. Se puede demostrar que un ndice de desempeo cuadrtico, en el que los lmites de integracin son 0 e , de modo que:Introduccin

en donde L(x, u) es una funcin cuadrtica o una funcin hermitiana de x y u, producir lasleyes de control lineal; es deciru(t) = -Kx(t)en donde K es una matriz de r x n,

IntroduccinUna matriz hermitiana es aquella que tiene la caracterstica de ser cuadrada de elementoscomplejos y que es igual a su propia conjugada compleja

Sea Aplicando la transpuestaResulta que la matriz A y su transpuesta son idnticasRecordando quePor tanto, el diseo de los sistemas de control ptimo y los sistemas reguladores ptimos basados en tales ndices de desempeo cuadrticos se reducen a la determinacin de los elementos de la matriz K.IntroduccinUna ventaja de usar el esquema de control ptimo cuadrtico es que el sistema diseadoser estable, excepto en el caso en el que el sistema no es controlable. Al disear sistemas de control con base en la minimizacin de los ndices de desempeo cuadrtico y se requerir de resolver las ecuaciones de Riccati.A continuacin, consideraremos el problema de determinar el vector de control u(t) ptimopara el sistema descrito mediante la ecuacin (1) y el ndice de desempeo obtenidomediante

conjugadatranspuestaL(x,u)L(x,u)en donde Q es una matriz hermitiana o simtrica real definida positiva (o semidefinida positiva), R es una matriz hermitiana o simtrica real definida positiva y u no est restringida.

El sistema de control ptimo se basa en minimizar el ndice de desempeo. Tal sistema es estable. Entre muchos enfoques diferentes para la solucin de este tipo de problema, presentaremos aqu uno basado en el segundo mtodo de Liapunov.IntroduccinOptimizacin de un sistema de control mediante el segundo mtodo de Liapunov.Para una clase amplia de los sistemas de control, se puede mostrar una relacin directa entre las funciones de Lyapunov y los ndices cuadrticos de desempeo usados en las sntesis de los sistemas de control ptimo. Empezaremos el enfoque de Lyapunov para la solucin de los problemas de optimizacin considerando un caso simple, conocido como problema de optimizacin de parmetros.Problema de Optimizacin de parmetros mediante el segundo mtodo de Lyapunov2Optimizacin de parmetrosSe analizar una relacin directa entre las funciones de Lyapunov y los ndicescuadrticos de desempeo y resolveremos el problema de optimizacin de parmetrosa partir de esta relacin. Consideremos el sistemaProblema de optimizacin de parmetros resuelto mediante el segundomtodo de Lyapunov.

en el que todos los valores caractersticos de A tienen partes reales negativas, o el origenx = 0 es asintticamente estable. (Consideraremos que dicha matriz A es estable.) Suponemos que la matriz A contiene un parmetro (ms) ajustable. Se quiere minimizar elndice de desempeo siguiente:

Ahora mostraremos que una funcin de Lyapunov se usa efectivamente en la solucinde este problema. Supongamos que

Optimizacin de parmetrosV(x) -- > Funcin de Lyapunoven donde P es una matriz hermitiana o simtrica real definida positiva. En este caso, obtenemos

Mediante el segundo mtodo de Lyapunov, sabemos que, para una Q determinada, existeP, si A es estable, tal que

Optimizacin de parmetrosPor tanto, determinamos los elementos de P a partir de esta ecuacin.El ndice de desempeo J se calcula como

Si el sistema es estable dado que A es estable, tenemos que x() 0. Por tanto,

Es importante considerar que el valor ptimo de este parmetro depende, en general,de la condicin inicial x(0).Por ejemplo, si un parmetro del sistema se va a ajustar para minimizar el ndice de desempeo J, entonces esto se consigue minimizando x*(0)Px(0) con respecto al parmetroen cuestin.(1)Ejemplo de aplicacinConsidere el sistema de la figura. Determine el valor del factor de amortiguamiento relativo > 0 tal que, cuando el sistema est sujeto a un escaln unitario r(t) = 1(t) el ndice de desempeo J siguiente se minimice:

Solucinen donde e es la seal de error y se obtienea partir de e = r - c. Se supone que el sistemaest inicialmente en reposo.

La funcin de transferencia del sistema est dado porEn trminos de la seal de error e, obtenemosOptimizacin de parmetros

Ahora definimos las variables de estado del modo siguiente:

As, la ecuacin de estado se vuelve

En dondeSegn esto, el ndice de desempeo J puede reescribirse como

Optimizacin de parmetros

Jen donde

Dado que A es una matriz estable, remitindonos a la ecuacin (1) el valor deJ se obtiene mediante

en donde P se determina a partir de

La ecuacin (2) puede reescribirse como(2)

Esta ecuacin produce las tres ecuaciones siguientes:

Resolviendo para las pij, en estas tres ecuaciones, obtenemosEl ndice de desempeo J se obtiene mediante

Optimizacin de parmetrosSustituyendo las condiciones iniciales x1(0+) = 1 ,x2(0+) = 0 en esta ltima ecuacin,obtenemosOptimizacin de parmetros

Para minimizar J con respecto a ; establecemos a J/ = 0, o bien

despejandoEste valor de es el valor ptimo para el sistemaProblemaSi el sistema est dado por Determine > 0 ,tal que r(t) = 1 que minimice J, dado por17MODELACIN DE SUSTEMAS FSICOS UPC PregradoProblemas de Control ptimo CuadrticoAhora consideraremos el problema de control ptimo que, dadas las condiciones del sistemadetermina la matriz K del vector de control ptimoa fin de minimizar el ndice de desempeo Ju(t) = -Kx(t)

en donde Q es una matriz hermitiana o simtrica real definida positiva (o semidefinidapositiva) y R es una matriz hermitiana o simtrica real definida positiva. Observe que elsegundo trmino del segundo miembro de la ecuacin (4) considera el gasto de energade las seales de control. Las matrices Q y R determinan la importancia relativa del errory del gasto de energa de este sistema. Suponemos que el vector de control u(t) noest restringido.(5)(4)(3)Problemas de Control ptimo CuadrticoComo se ver despus, la ley de control lineal obtenida mediante la ecuacin (4)es la ley del control ptimo. Por tanto, si se determinan los elementos desconocidos de lamatriz K para minimizar el ndice de desempeo, entonces u(t) = -Kx(t) es ptima paracualquier estado inicial x(0). El diagrama de bloques que muestra la configuracin ptimaaparece en la figura

Sistema de control ptimo.Ahora resolveremos el problema de estabilizacin. Sustituyendo la ecuacin (4)dentro de la ecuacin (3) obtenemosProblemas de Control ptimo Cuadrtico

Reemplazando u = -Kx

El ndice de desempeo J queda reescrito comoSiguiendo el anlisis obtenido al resolver el problema de optimizacin de parmetros, establecemos

V(x) -- > Funcin de LyapunovProblemas de Control ptimo Cuadrticoen donde P es una matriz hermitiana o simtrica real definida positiva. As, obtenemos(A - BK)*P + P(A - BK) = -(Q + K*RK)(6)Mediante el segundo mtodo de Lyapunov, si A - BK es una matriz estable,existe una matriz P definida positiva que satisface la ecuacin (6)

Luego el ndice de desempeo se puede escribir como00Si R es una matriz hermitiana o simtrica realdefinida positiva, escribimosR = T*TT es una matrizno singularProblemas de Control ptimo Cuadrtico(A* - K*B*)P + P(A - BK) + Q + K*T*TK = 0La ecuacin (6) se puede escribir comoA*P + PA + [TK - (T*)-l B*P]*[TK - (T*)-l B*P] PBR-1B*P + Q = 0Operando la ecuacin (6)La minimizacin de J con respectoa K requiere de la minimizacin dex*[TK - (T*)-l B*P]*[TK - (T*)-l B*P] x= 0TK = (T*)-l B*PK = T-1(T*)-1 B*P = R-1 B*PDespejando K, se tiene que(7)Esta ltima ecuacin producir la matriz ptima para KProblemas de Control ptimo CuadrticoComo u(t) = -Kx(t), entoncesu(t) = -Kx(t) = -R-lB*Px(t)A*P + PA + [TK - (T*)-l B*P]*[TK - (T*)-l B*P] PBR-1B*P + Q = 0AdemsSe convierte en:A*P + PA PBR-1B*P + Q = 0 que es conocida como la ecuacin matricial reducida de Riccati (8)Problemas de Control ptimo CuadrticoEjemplo de aplicacinConsidere el sistema de la figura. Suponiendo que la seal de control esu(t) = -Kx(t)

determine la matriz de ganancias de realimentacin ptima K tal que el ndice dedesempeo J siguiente se minimice:

en donde

Problemas de Control ptimo Cuadrtico

Como

Usando la ecuacin reducida de RiccatiA*P + PA PBR-1B*P + Q = 0 Considerando que la matriz A es real y que la matriz Q es simtrica real, la matriz P es una matriz simtrica real. Por tanto, esta ecuacin se escribe como

Problemas de Control ptimo Cuadrtico

Esta ecuacin se simplifica aDe la matriz anterior se desprenden tres ecuaciones

Problemas de Control ptimo CuadrticoK = R-1 B*PComo K es igual a

As, la seal de control ptimo esu = - K x =

Problemas de Control ptimo CuadrticoPropuesto

Dado el sistemadondedetermine la matriz de ganancias de realimentacin ptima K tal que el ndice dedesempeo J siguiente se minimice:Donde 0rpta

Ingeniera de Control Moderno. K. Ogata. Pearson.Matlab www.mathworks.com

Bibliografa29MODELACIN DE SUSTEMAS FSICOS UPC Pregrado