MT alused 4. Mõõtemääramatuse edastus.Slaidid.2012DKegdk.ttu.ee/files/2012/Mootmiste_alused/MT_alused... · 01. (4.6) (4.7) (4.8) Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut

Elektriajamite ja

jõuelektroonika instituut

Raivo Teemets Mõõtmiste alused 2012DK 4. Mõõtemääramatuse edastamine

1(35)

ENERGIA- JA GEOTEHNIKA DOKTORIKOOL II

4. MÕÕTEMÄÄRAMATUSE EDASTAMINE 4.1 Mõõtemääramatuse edastamisele esitatavad nõuded

• Väljundsuuruse Y hinnangu (mõõtetulemuse) y usaldatavuse seisukohalt on väga oluline, et sisendsuuruse hinnangutega seotud mõõtemääramatust käsitletakse mõõtmisel alati ühel ja samal viisil.

• Alljärgnevalt vaatame, kuidas käsitletakse ja edastatakse

mõõtemääramatust mõõteinfo töötlemisel ja millised on edastusmeetoditele esitatavad nõuded.

Elektriajamite ja



2(35)


Mõõtemääramatuse edastamismeetod peab

• olema laiendatav kogu mõõtmisega seotud info kohta, • olema kasutatav mõõte-, kalibreerimis- ja taatluslaborite

praktikas, • olema ülekantav teistele mõõtemääramatuste

hinnangutele, • võimaldama kõiki andmeid kompleksselt töödelda ning

mõõtemääramatusi esilekutsuvaid efekte välja selgitada, • olema lihtne, arusaadav ja võimalikult väikese

töömahuga, • toetuma ainult mõningatele eeldustele ja oletustele , • olema tuntud ja laialt kasutatav .

Elektriajamite ja



3(35)


• Eelmainitud nõuetele vastab määramatuse väljendamise juhendile tuginev meetod, mis käsitleb mõõtetulemuse määramatuse hindamisel nii juhuslikest efektidest tingitud kui ka süstemaatilisi efekte kõrvaldavatest paranditest esile kutsutud komponente täpselt ühtemoodi ning rõhutab kõigi määramatuse komponentide ühesugust iseloomu .

• Määramatuse väljendamise juhend annab juhiseid info

kasutamiseks väljundsuuruse (mõõtetulemuse) määramatuse hinnangu leidmisel, mida nimetatakse liitmääramatuseks.

Elektriajamite ja



4(35)


4.2 Mõõtetulemuse liitmääramatus • Liitmääramatus u(y) on väljundsuuruse (mõõtesuuruse)

Y mõõtetulemuse y standardmääramatus, mis on saadud mitme teise sisendsuuruse Xi (mõõtesuuruse, mõjuri, ainfoallikate andmete jms) hinnangutest.

• Tavaliselt arvutatakse liitmääramatus u(y) kõigi

mõõteülesandes osalevate suuruste Xi hinnangute xi standardmääramatuste u(xi) põhjal.

Elektriajamite ja



5(35)


4.2.1 Liitmääramatus sõltumatute sisendsuuruste korral

• Kui kõik sisendsuurused Xi on sõltumatud, siis saadakse mõõtetulemuse y liitmääramatus sisendsuuruste hinnangute x1, x2, ..., xi, ..., xn kaalutud standardmääramatuste põhjal. Sel juhul on liitmääramatus u(y) positiivne ruutjuur liitdispersioonist u2(y), mis on avaldatav valemiga

(4.1)

Elektriajamite ja



6(35)


∑=

=n

ii yuyu

1

22 )()(,

kus ui(y) on i-nda sisendsuuruse standardmääramatusest tingitud määramatuse komponendi panus mõõtetulemuse liitmääramatusse, mis on saadud võrdsusest

ui (y) = ciu(xi),

kus ci on i-nda sisendsuuruse Xi tundlikkustegur.

• Tundlikkustegur ci võrduses (4.2) iseloomustab väljundsuuruse hinnangu y muutumist sõltuvalt sisendhinnangu xi muutumisest.

(4.2)

(4.1)

Elektriajamite ja



7(35)


Tundlikkustegur on avaldatav seosega

ni xxxii

i X

f

x

fc

......1=∂∂=

∂∂=

• Kui mõõtmise mudel ei ole komplitseeritud, siis

arvutatakse osatuletised ixf ∂∂ matemaatiliselt. Kui aga mudel on komplitseeritud või esitatud algoritmina, siis arvutame osatuletised numbriliselt.

• Mõnikord määratakse tundlikkustegurid ci ka katseliselt.

(4.3)

Elektriajamite ja



8(35)


• Juhul kui funktsionaalne sõltuvus f on sisendsuuruste Xi summa või vahe

f(X1, X2, ..., Xi, ..., Xn) = i

n

ii Xp∑

= 1,

siis saadakse väljundsuuruse Y hinnang sisendsuuruste xi

vastavast summast või vahest

∑=

=n

iii xpy

1 ,

kus tundlikkustegur võrdub hinnangu xi esinemissagedusega pi .

(4.4)

(4.5)

Elektriajamite ja



9(35)


Sisendsuuruse Xi hinnangute x i summa või vahe abil mõõtesuuruse Y hinnangu y moodustumise skeem

• Kui hindame mõõtetulemust valemiga (4.5), teiseneb

liitdispersiooni hinnangu arvutamise võrrand kujule

Elektriajamite ja



10(35)


)()(1

222 ∑=

=n

iii xupyu

• Kui funktsionaalne sõltuvus f on sisendsuuruste Xi

korrutus või jagatis astmes pi, st

f(X1, X2, ..., Xi, ..., Xn) = ∏=

n

i

pi

iXc1

, siis on väljundsuuruse Y mõõtetulemus y sisendhinnangute xi vastav korrutis või jagatis kujul

∏=n

i

pi

ixcy01

.

(4.6)

(4.7)

(4.8)

Elektriajamite ja



11(35)


Sisendsuuruse Xi hinnangute x i korrutise või jagatise

abil mõõtesuuruse Y hinnangu y moodustumise skeem

Elektriajamite ja



12(35)


4.2.2 Liitmääramatus sõltuvate sisendsuuruste korra l

• Suuruste sõltuvust kirjeldatakse statistikas nende korrelatsiooni ehk kovariatsiooniga.

• Sõltumatute juhuslike suuruste kovariatsioon on on

võrdne nulliga , st sõltumatud suurused on alati mittekorelleeruvad. Vastupidi: korelleeruvad juhuslikud suurused on alati sõltuvad.

• Kui sisendsuurused Xi ja Xk omavahel korreleeruvad, siis

on mõõtetulemusega y seotud liitdispersiooni u2(y) avaldis järgmine

Elektriajamite ja



13(35)


),(2)(),()(1

1 1

2

1

2

1 1

2ki

k

n

i

n

ik ii

n

i iki

k

n

i

n

k i

xxux

f

x

fxu

x

fxxu

x

f

x

fyu

∂∂

∂∂+

∂∂=∂

∂∂= ∑ ∑∑∑∑

−

= +=== = ,

kus xi ja xk on Xi ja Xk hinnangud ning u(xi, xk) = u(xk, xi) on nende hinnangutega seotud kovariatsiooni hinnang.

• Korrelatsioonimäära xi ja xk vahel iseloomustatakse korrelatsiooniteguri hinnanguga, mis on avaldatav seosest

,)()(

),(),(

ki

kiki xuxu

xxuxxr =

kus r(xi, xk) = r(xk, xi) -1 ≤ r(xi, xk) ≤ +1

(4.9)

(4.10)

Elektriajamite ja



14(35)


• Kui hinnangud xi ja xk on sõltumatud, siis kehtib r(xi, xk) =

0, st ühe hinnangu muutus ei põhjusta muutust teises. Kui korrelatsioonitegur on +1 või -1, siis on hinnangutevaheline sõltuvus lineaarne.

• Korrelatsioonitegurite abil saab võrrand (4.9) kuju

),()()(2)(1

1

2

1

22kikik

n

ii

n

ii xxrxuxuccucyu ∑∑

−

==

+=.

(4.11)

Elektriajamite ja



15(35)


• NB! Sisendsuuruste korrelatsiooni ei või ignoreerida, kui see on olemas ja oluline. Võimaluse korral tuleb kovariatsioone hinnata eksperimentaalselt , muutes korreleeruvaid sisendsuurusi või kasutades nende suuruste korreleeruva muutumise kohta käivat kogu olemasolevat infot (hindamise B-tüüpi meetod).

• Mõjurite efektid sisendsuurustele võivad olla siiski

piisavalt sõltumatud, mille tõttu saab mõjureid pidada mittekorreleeruvateks. Juhul kui korrelatsiooni puudumist ei saa eeldada, võib korrelatsiooni vältida, võttes ühised kindlaksmääratud mõjurid täiendavateks sisend-suurusteks.

Elektriajamite ja



16(35)


4.3 Mõõtetulemuse laiendmääramatus 4.3.1 Laiendmääramatuse arvutamise vajadus

• Kuigi liitmääramatus u(y) on mõõtesuuruse Y mõõtetulemuse y määramise esmane väljend, on mõnede tööstuslike ja ärialaste rakenduslike vajaduste rahuldamiseks, aga ka tervishoiu- ja ohutusalaste nõuete tagamiseks, vajalik liitmääramatuse asemel esitada vahemik, mis teatud usaldatavusega hõlmab mõõtesuuruse väärtuse.

Elektriajamite ja



17(35)


• Sellise vahemiku moodustamiseks kasutatakse

laiendmääramatust tähisega U. Laiendmääramatuse saame standardhälbena esitatud liitmääramatuse korrutamisel katteteguriga k.

• Laiendmääramatuse kasutamisel võrreldes

liitmääramatusega on see eelis, et see võimaldab võrrelda mõõtetulemusi, millel on erinev vabadusastmete arv.

• Kui vähegi võimalik, siis tuleks hinnata ka U abil

määratud vahemiku usaldatavust p.

Elektriajamite ja



18(35)


4.3.2 Laiendmääramatuse abil esitatav vahemik

• Laiendmääramatus U on parameeter, mis annab mõõtetulemuse y ümber vahemiku, mis eeldatavasti sisaldab suuremat osa mõõtesuurusele Y mõeldavalt omistatavate suuruste jaotusest.

• Laiendmääramatus U saadakse liitmääramatuse u(y)

korrutamisel katteteguriga k

U = k·u(y) • Kattetegur k on arv, mida kasutatakse liitmääramatuse

u(y) korrutustegurina, et saada laiendmääramatust U.

(4.24)

Elektriajamite ja



19(35)


Katteteguri väärtus valitakse sõltuvalt vahemikule [y – U; y + U] etteantud usaldatavustasemest p.

• Tavaliselt jääb k väärtus vahemikku 2 ... 3. Seega

saame laiendmääramatust kasutada vastava vahemiku [y – U; y + U] moodustamisel.

• Laiendmääramatuse korral on mõõtetulemus esitatav

kujul Y = y ± U, millest tuleb aru saada nii, et mõõdetava suuruse parim hinnang on y ja et (y – U) ja (y + U) on vahemik, milles etteantud tõenäosusega asub suuruse Y väärtus. Vahemiku võib esitada kujul y –U ≤ Y ≤ y+U.

Elektriajamite ja



20(35)


Näide 4.1

• Tabelis 3.1 toodud mõõdistest lähtudes leiame mõõdiste keskmise yi = 20,0050 mm. Pikkusmõõturi kalibreerimistunnistuses on antud parand Ki = - 0,0020 mm skaalamärgile 20 mm laiendmääramatusega U = 0,0006 mm usaldatavustasemel 95 %, st k = 2.

• Valemi (4.11) põhjal parandi Ki standardmääramatuse

hinnang

u(Ki) = U/k = 0,0006 mm / 2 = 0,0003 mm

Elektriajamite ja



21(35)


• Korkkaliibri läbimõõdu mõõtetulemus d valemi (3.8) järgi y ≡ xp,j = x i + K i = 20,0050 mm – 0,0020 mm = 20,0030 mm

• Kasutades seoseid (4.1) ja (4.2), milles tundlikkustegurid võrduvad ühega, saame läbimõõdu mõõtetulemuse D liitmääramatuse u(d) avaldada kujul

u(d) = mmmmmmKuuu ii 0004,00003,00003,0)()( 222222 =+=+

• Oletades normaaljaotust, saame arvutada usaldatavustasemele 95 % (k = 2) vastava mõõtetulemuse laiendmääramatuse U = k u(d) = 2 · 0,0004 mm = 0,0008 mm ≈ 0,001 mm.

Elektriajamite ja



22(35)


• Korkkaliibri läbimõõdu lõpliku mõõtetulemuse d võime

seega esitada kujul

d = 20,003 mm ± 0,001 mm.

• Selle mõõtetulemuse esitus suhtelise laiendmääramatuse abil on järgmine:

D = 20,003(1 ± 5·10-5) mm.

Elektriajamite ja



23(35)


4.3.3 Katteteguri väärtus

• Nagu eespool mainitud, jääb katteteguri k väärtus harilikult vahemikku 2 ... 3.

• Ideaaljuhul soovitatakse üheselt määrata katteteguri k

väärtus nii, et see annaks vahemiku

Y = y ± U = y ± k·u(y), mis vastaks mingile kindlale usaldatavustasemele p, näiteks 95 % või 99 %. Vastupidiselt, mingi etteantud k väärtuse korral soovitakse teada selle vahemikuga üheselt seotud usaldatavustaset p.

Elektriajamite ja



24(35)


• Mõõtesuuruse Y väärtustele laiendmääramatuse U abil vahemiku arvutamine, millel on kindel usaldatavustase, annab mõõtepraktikas parimal juhul vaid ligikaudseid tulemusi.

• Näiteks isegi 30-kordsel mõõtmisel saadud mõõdiste

aritmeetilise keskmise eksprimentaalne standardhälve normaaljaotusega kirjeldataval mõõtesuurusel on ebakindel 13 % ulatuses .

• Et saada väärtust kattetegurile kp , mis annaks vahemiku

teatud kindla usaldatavustasemega p, vajame detailseid teadmisi mõõtetulemuse ja tema tõenäosusjaotuse kohta.

Elektriajamite ja



25(35)


• Praktika näitab, et mõistlik esimene lähend katteteguri kp saamiseks on normaaljaotuse kasutamine. Kõikidel juhtudel on katteteguri väärtused arvutatavad vastava tõenäosusjaotuse tihedusfunktsiooni abil.

• Mõningad ristkülik-, kolmnurk- ja normaaljaotusele

kehtivad kp väärtused on toodud tabelis 4.1.

• Ristkülikujaotuse väärtused on saadud seosest kp = p 3 , kolmnurkjaotuse omad seosest )11(6 pk p −−= .

Elektriajamite ja



26(35)


Tabel 4.1 Valik ristkülik-, kolmnurk- ja normaaljaotustele kehtivaid katteteguri väärtusi

Elektriajamite ja



27(35)


4.3.4 Mõõtetulemuse esitamine koos määramatuse hinnanguga

• Määramatuse hinnang mõõtmiste väikese arvu korral on

üsna ebatäpne , seetõttu pole vahemikhinnangu väljakirjutamisel mõtet suurel arvul kehtivatel kümnendkohtadel.

• Tulemused esitatakse ümardatult. Arvude ümardamisel

kasutatakse reeglit: arvud 1; 2; 3 ja 4 ümardatakse alla . 5-ga ümardamise reegel oli eespool toodud. Täisarvude ümardamisel kirjutatakse ärajäetud numbrite asemele kordaja 10m, kus m näitab ärajäetud numbrite hulka. Näide: 32 548 ≈ 33·103.

Elektriajamite ja



28(35)


• Tähendusega numbriteks loetakse alati kõiki numbreid peale nulli. Nulli loetakse tähendusega numbriks, kui ta asub teiste arvude vahel, täisarvu või kümnendmurru lõpus. Arvu alguses olevaid ja ümardamise teel saadud nulle arvu lõpus ei loeta tähendusega numbriks.

Näide 4.2:

10 400 5 tähendusega numbrit.

104·102 3 tähendusega numbrit.

10 400,00 7 tähendusega numbrit.

0,01040 4 tähendusega numbrit.

Elektriajamite ja



29(35)


• ISO standardi alusel esitatakse määramatus alati ühe või kahe tähendusega numbri täpsusega:

• tavalise mõõtmise korral jäetakse alles üks tähendusega number;

• täppismõõtmiste korral jäetakse alles kaks tähendusega numbrit.

Kehtib ka info säilimise reegel : ümardamise käigus ei tohi tulemus (ega mõõtemääramatus) muutuda rohkem kui 10%. Kui muutus oleks suurem, siis esitatakse ka tavalise mõõtmise korral määramatus täpsusega kaks tähendusega numbrit.

Elektriajamite ja



30(35)


Mõõtetulemus esitatakse alati määramatuse viimase komakoha täpsusega .

Näide 4. 3:

x = 73,3582768

uC = 0,0382765

Seega mõõtetulemuse võime kirjutada kujul x = 73,358(38).

Näide 4.4:

x = 100,3476 uC = 0,5246

Selle mõõtetulemuse võime kirjutada kujul x = 100,35(52).

Elektriajamite ja



31(35)


Näide 4.5:

Vahelduvpinge mõõtmiseks kasutatud multimeetri TX3 täpsusklass on esitatud kujul ±(0,4% + 2 ct.). Multimeetri absoluutpõhiveaks saame

VE 934,001,02100

485,2284,0 =⋅+⋅=∆ ,

kus 228,485 on keskmine näit.

Kokkuleppeliselt eeldame, et kõik multimeetriga loetud lugemid on jaotunud ühtlase jaotuse järgi (ristkülikjaotus) . Saame B-tüüpi standardmääramatuseks

.539,03

934,0V

VuB ==

Elektriajamite ja



32(35)


Oletame, et eksperimendist saime standardhälbeks

sE = 0,148 V,

n = 100,

VE 485,228= .

Elektriajamite ja



33(35)


Siis aritmeetilise keskmise standardhälve

Vn

ss E

E015,0

100

148,0 ===

See on saadud statistiliste meetoditega, seega A-tüüpi määramatus uA .

Liitmääramatus

uc = Vuu BA 54,0539,0015,0 2222 =+=+ .

Elektriajamite ja



34(35)


Tulemuse esitame kujul

VE 49,228=

n = 100

p = 68%

uc = 0,54 V

uA= 0,02 V

uB = 0,54 V

Elektriajamite ja



35(35)


• Teeme vahelduvpinge mõõtmise näites eelduse, et tulemused on jaotunud ühtlase jaotuse alusel, sest normaaljaotuse eeldusel on arvutatud A-tüüpi määramatus mitukümmend korda väiksem kui ühtlase jaotuse eeldusel määratud B-tüüpi määramatus.

Sellisel eeldusel laiendmääramatus

U = VVuu BA 89,054,065,1539,0015,065,165,1 2222 =⋅=+=+ .

Tulemuse esitamisel näitame ära laiendmääramatuse, usaldusnivoo ja katteteguri kujul

VE )89,049,228( ±=

p = 95 %, k = 1,65

Documents

MT alused 4. Mõõtemääramatuse edastus.Slaidid.2012DKegdk.ttu.ee/files/2012/Mootmiste_alused/MT_alused... · 01. (4.6) (4.7) (4.8) Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut