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Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com
I. Définition :
3x + 2y = 31
7x – 4y = 3
Résoudre un système de deux équations à deux inconnues, cela revient à trouver deux valeurs qui vérifient les deux équations simultanément.
1ère équation
2ème équation
1ère inconnue
2ème inconnue
Un système
( S )
nom du système (facultatif )
Cette accolade signifie « et ».
Elle indique que les équations doivent être vérifiées simultanément
Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com
Cherchons la solution de ce système.
1er cas, si x = 7 et y = 5 alors
• dans la 1ère équation : 3x + 2y = 3 x 7 + 2 x 5 = 31
• dans la 2ème équation : 7x – 4y = 7 x 7 – 4 x 5 = 29
Conclusion : Si x = 7 et y = 5 alors les deux équations ne sont pas vérifiées simultanément. On dit que ( 7 ; 5 ) n’est pas une solution de ce système.
3x + 2y = 31
7x – 4y = 3( S )
Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com
3x + 2y = 31
7x – 4y = 3( S )
2ème cas, si x = 5 et y = 8 alors
• dans la 1ère équation : 3x + 2y = 3 x 5 + 2 x 8 = 31
• dans la 2ème équation : 7x – 4y = 7 x 5 – 4 x 8 = 3
Conclusion : Si x = 5 et y = 8 alors les deux équations sont vérifiées simultanément. On dit que ( 5 ; 8 ) est une solution de ce système.
On note S = { ( 5 ; 8 ) }
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II.Deux méthodes pour résoudre un système :
1. La méthode par substitution :
Substituer c’est remplacer.
Le but est d’isoler une inconnue dans une des deux équations et de la remplacer dans l’autre pour obtenir une équation avec une seule inconnue.
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8x + y = 86
3x – 7y = 47( S )
Exemple :
3x – 7y = 47
y = 86 – 8x
y = 86 – 8x
3x – 602 + 56x = 47
On isole y
y = 86 – 8x
3x – 7( 86 – 8x ) = 47?
On remplace ypar 86 – 8x
On résout l’équation.
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y = 86 – 8x
3x – 602 + 56x = 47
y = 86 – 8x
59x = 47 + 602
y = 86 – 8x
59x = 649
y = 86 – 8x
x = 64959
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y = 86 – 8x
x = 64959
y = 86 – 8x
x = 11
Maintenant je remplace x par 11 dans la 1ère équation.
y = 86 – 8 x 11
x = 11
y = – 2
x = 11Mr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com
Ainsi x = 11 et y = – 2.
La solution de ce système est le couple ( 11 ; – 2 )
S = { ( 11 ; – 2 ) }
Vérifions :8x + y = 86
3x – 7y = 47( S )
8 x 11+ ( – 2 ) = 86
3 x 11 – 7 x ( – 2 ) = 47
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2. La méthode par combinaisons linéaires :
Résoudre un système par combinaisons linéaires, c’est additionner ou soustraire des multiples des deux équations afin de faire disparaître une des deux inconnues.
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2x + 9y = 25
3x – 7y = – 24 ( D )
Exemple :
( 1 )
( 2 )
– 6x + 14y = 48
( 1 )
( 2 )+
0 + 41y = 123
Ainsiy =
123
41 y = 3y = 3
x 3
x ( – 2 )
6x + 27y = 75
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Maintenant je remplace y par 3 dans l’équation ( 1 ) :
2x + 9y = 25
y = 3
( 1 )
2x + 9 x 3 = 25
2x + 27 = 25
2x = 25 – 27
2x = – 2
x = – 2
2 x = – 1 x = – 1
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Ainsi x = – 1 et y = 3
La solution de ce système est le couple ( – 1 ; 3 )
S = { ( − 1 ; 3 ) }
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3. Un système particulier :
y = 15 – 2x
y = x + 4 ( E )
( 1 )
( 2 )
Ici on résout : 15 – 2x = x + 4
On obtient x =11
3
Puis on remplace x par dans une équation.
11
3
On obtient y =23
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III. Résoudre un problème avec un système :
Quand un problème comporte plusieurs inconnues il est parfois possible de le résoudre avec un système. Pour le traiter il faut respecter 4 étapes
( comme pour une équation )
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550 personnes ont assisté à un spectacle.Le prix d’entrée est de 16 DT pour les adultes.Les enfants paient demi-tarif.
Sachant que la recette est de 6960 DT, on demande de trouver le nombre d’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.
Exercice :
J’appelle x le nombre d’adultes et y le nombre d’enfants qui ont assisté au spectacle.
1ère étape : On choisit les inconnues
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2ème étape : On mettre le problème en deux équations
550 personnes ont assisté à un spectacle x + y =550
L’ensemble des x adultes a payé 16x 16x + 8y = 6960
Les enfants paient demi-tarif : donc 8 DT par enfant,
L’ensemble des y enfants a payé 8y ??
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550 personnes ont assisté à un spectacle.Le prix d’entrée est de 16 DT pour les adultes.Les enfants paient demi-tarif.
Sachant que la recette est de 6960 DT, on demande de trouver le nombre d’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.
Exercice :
2ème étape : je trouve les deux équations qui correspondent au problème
x + y =550
16x + 8y = 6960
Donc
( S )
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3ème étape : On résoudre le système
x + y = 550
16x + 8y = 6960
( 1 )
( 2 )
−16x − 16y = − 880016x + 8y = 6960
( 1 ) x ( – 16 )
( 2 )
0 – 8y = – 1840 donc y = = 230 – 1840
– 8
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Maintenant je remplace y par 230 dans l’équation ( 1 ) :
x + y = 550
x + 230 = 550
x = 550 – 230
x = 320
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4ème étape : Conclusion
320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.
On vérifie le résultat obtenu
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finMr Lamloum Mohamed http://lammaths.e-monsite.com