ErőtanErőtan

Munka, energia, teljesítmény

Munka, energia, teljesítmény

Mozgástan Mozgástan

Folyadékokés gázok mechanikája

Folyadékokés gázok mechanikája

ErőtanErőtan

Munka, energia, teljesítmény

Munka, energia, teljesítmény

Mozgástan Mozgástan

Folyadékokés gázok mechanikája

Folyadékokés gázok mechanikája

Szerzők: Dr. Mező Tamás Dr. Molnár Miklós Dr. Nagy Anett

Lektorok: Berecz János Dr. Papp György Dr. Szabóné Virág Katalin

Az OH által kirendelt szakértők: Dr. Fitori Péter Szivák Erzsébet Zarubay Attila

Felelős szerkesztők: Dr. Mező Tamás Szabóné Mihály Hajnalka

Műszaki szerkesztő: Szűcs József

Harmadik, átdolgozott kiadás

Kivitel: puhatáblás tartósKiadói kód: MX-225B MX-225B/TTankönyvi eng. szám: TKV/4406-5/2013 TKV/4315-14/2013 (2013.04.29.–2018.08.31.) (2013.04.22.–2018.08.31.)Tömeg: 367 g 443 g ISBN: 978-963-2612-64-5 978-963-2612-50-8

Kerettanterv: 51/2012. (XII. 21.) számú EMMI rendelet 3. melléklet (3. 2. 08. 2.), 4. melléklet (4. 2. 09. 2.), 5. melléklet (5. 2. 13. 2.), 6. melléklet (6. 3. 4. 2.)Terjedelem: 216 oldal (19,71 ív)

Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítást, a mű bővített, illetve rövidített változata kiadásának jogát is. A kiadó írásbeli engedélye nélkül sem a teljes mű, sem annak része semmilyen formában nem sokszorosítható.

© Maxim Könyvkiadó, Szeged

Korrektorok: Nemcsók Adrienn Szuperákné Vörös Eszter Vajna Gyöngyi

Képek: A szerzők saját fotói Nemzetközi képügynökségek

Ábrák: Siklós Róbert Tóth Róbert

Illusztrációk: Falcione Sarolta

Borítóterv és layout: Daróczi Sándor

6

ElôszóElôszó

Ebben az előszónak nevezett kapcsolatfelvételben szeretnénk beszélgetést indítani az olvasó és a szer-zők között. Talán egy kicsit egyoldalú ez az eszmecsere, de őszintén reméljük, hogy valóságos vála-szokat, visszajelzéseket kapunk majd Tőled, az olvasótól! Hiszen abból a lelkesedésből született ez a könyv, hogy régebbi és mai tanítványainkkal együtt alkotva, egymás gondolkodását fejlesztve építettük, építjük fel az órákon a csodát, amit így foglalhatunk össze: érzem, értem, kezdem tudni a fi zikát!

Rendhagyó módon (?) vallomással kell kezdenünk ezt az ismerkedést: e könyv szerzői szenvedé-lyesen szeretik a fi zikát és a fi zika tanítását!

A fi zika ezer szállal szövi át valamennyiünk mindennapjait. Meghatározza életminőségünket, a mai kor elképzelhetetlen a legalapvetőbb természettudomány eredményei nélkül. Szomorú, de közismert, hogy sokszor csak akkor tudjuk meg valamiről, milyen fontos volt számunkra, ha már nincs... Gondolj csak egy hosszabb áramszünetre... Persze még egy ilyen esetben is zseblámpa vagy egy gyufa meg egy gyertya és sok, szinte már elfeledett technikai eszköz képében fi zikai jelenségek sokasága siet segítsé-gedre, hogy könnyebb, komfortosabb legyen az életed.

Divatos és részben jó dolog is, ha valaki a nagy felvilágosult gondolkodókat követve természetközeli életmódot akar folytatni. Ilyenkor a bőrén érezheti, hogy a fi zikai jelenségek mennyire meghatározzák a létünket. Hogy élhessünk, és unokáink is boldogok lehessenek e Földön, nem legyőznünk, hanem megszeretve, megőrizve meg kell ismernünk a természetet. A fi zika a tudás, az alkotó ember, a szellemi és fi zikai munka tiszteletére, rendszerességre, logikus, elmélyült gondolkodásra, tudatos viselkedésre, értelmes életre nevel.

Ebben a megjelenésében és tartalmában is színes tankönyvben egy család tagjainak beszélgetése-ibe ágyazva szeretnénk a fi zika szépségeit mindenki számára elérhetővé tenni. Szeretnénk, ha ezeket a beszélgetéseket – amelyek terjedelmi okoknál fogva inkább csak jelzések lehetnek – folytatnátok, ezzel a tanítási órán és azon kívül is természetessé, saját magatok számára könnyűvé, elérhetővé téve az isme-retszerzési, gondolkodási folyamatot. A lényeg azonban nem is ez lenne, hanem hogy kicsit tudatosabbá és egyben szorosabbá váljon a természetes és mesterséges környezettel meglevő kapcsolatotok!

A tényanyag megismerését és a gondolkodásmód fejlesztését könnyen olvasható, rövid, de lehető-leg szakmailag pontos (ha nem is mindig minden részletre kiterjedő) megfogalmazásokkal igyekszünk segíteni. Rengeteg és nagyon sokféle, egyszerű példát, alkalmazást, kísérletet tárunk elétek. Aktív rész-vételetekre számítva, sok kérdést teszünk fel Nektek, különböző alkotó, kutató feladatok megoldására biztatunk! Csak jelezni tudjuk a változatosságot, sokféleséget, amivel a fi zika gyönyörködteti azokat, akik egy picit több időt, fi gyelmet szentelnek neki. Ha egy feladatot nehéznek találsz, soha ne add fel! Képzeld el azt a jelenséget, amelyről a feladat szól, gondold át még egyszer azt a szabályrendszert, amellyel megalapozhatod a megoldást, és próbáld újra! Hidd el, megéri!

Reményeink szerint mindenki megtalálhatja ebben a könyvben a maga és a fi zika örömét!Jó olvasást, jó szórakozást, alkotó tanulási munkát kívánunk!

A Szerzők és a Kiadó

Miért tanuld? Miért szeresd (meg)?

Miért tanuld? Miért szeresd (meg)?

7

A leckék szerkezete egyszerű, többnyire egy zöld háttér-színnel megjelenített családi beszélgetéssel kezdődnek. Ezekben megfogalmazódik az adott lecke alapkérdése,

illetve kiderül, hogy miként kötődik az adott téma a mindennap-jainkhoz.

Félkövér kiemelésekkel hívjuk fel a fi gyelmet a fontosabb fogal-makra, törvényekre. Csillaggal* jelöljük az érettségi követelmény-rendszerben szereplő tartalmakat. A fontosabb szakkifejezéseket a könnyebb áttekinthetőség, kereshetőség kedvéért a kötet végén egy listában is feltüntetjük azzal az oldalszámmal együtt, amelyen az adott kifejezést legalaposabban tárgyaljuk. Az új szakkifejezéseket a listában dőlt betűvel írjuk. Újnak tekintjük mindazokat a fogalmakat, amelyek az általános iskolában a tantervek szerint, illetve a tanítási gyakorlatban nem fordulnak elő, vagy megjelennek ugyan, de tárgyalásunkban lé-nyegesen mélyebb értelmet nyernek.

Az adott tananyagrész fi zikatörténeti vonatkozásai (ezek a kétszintű érettségin fontos szerepet kapnak!) a nagyapa „elbeszélésében” krémszínű háttérrel jelennek meg.

Az emelt szintű tartalmakra világoskék alappal hívjuk fel a fi gyelmet.

A leckék végén sárga alapon újra kiemeljük, összefoglal-juk a legfontosabb tényeket. Ezekben a kiemelésekben

az emelt szintű részeket kék betűkkel írjuk.

Az összefoglalások után a Kidolgozott feladatokkal a számolásos fel-adatok megoldási készségét szeretnénk fejleszteni. A Válaszolj! Kutass! Mérj! Alkoss! feladatokban, kérdésekben, saját mérésre, kísérletek el-végzésére, jelenségek értelmezésére buzdító ajánlások fogalmazódnak meg. Szeretnénk, ha a keresési feladatok megoldása a könyvtárban és az interneten való értelmes tájékozódást is segítené! Az Oldd meg! típu-sú számolásos feladatok megoldása általában a sorszám növekedésével együtt egyre komolyabb kihívást jelenthet.

Hogyan használd?

Hogyan használd?

JelmagyarázatJelmagyarázat

3.7. Mire jók a grafi konok?

Ne csak nézd!Az egész könyvben tö-rekedtünk arra, hogy az ábrák, képek a problé mák továbbgondolását, meg-oldását, a jobb értelmez-hetőséget közvetlenül szolgálják (legtöbbjükhöz közvetlenül kapcsolódik kérdés, feladat), miköz-ben kellemesebbé teszik az olvasást.

adatok megoldási készségét szeretnénk fejleszteni. A Válaszolj! Kutass! adatok megoldási készségét szeretnénk fejleszteni. A Válaszolj! Kutass! adatok megoldási készségét szeretnénk fejleszteni. A Válaszolj! Kutass! adatok megoldási készségét szeretnénk fejleszteni. A Válaszolj! Kutass! Mérj! Alkoss! feladatokban, kérdésekben, saját mérésre, kísérletek el-Mérj! Alkoss! feladatokban, kérdésekben, saját mérésre, kísérletek el-Mérj! Alkoss! feladatokban, kérdésekben, saját mérésre, kísérletek el-Mérj! Alkoss! feladatokban, kérdésekben, saját mérésre, kísérletek el-

az interneten való értelmes tájékozódást is segítené! Az Oldd meg! típu-az interneten való értelmes tájékozódást is segítené! Az Oldd meg! típu-az interneten való értelmes tájékozódást is segítené! Az Oldd meg! típu-az interneten való értelmes tájékozódást is segítené! Az Oldd meg! típu-

TartalomjegyzékTartalomjegyzék

8

1. Nagy a nyüzsgés… 12 Mozgástani alapfogalmak

1.1. Hol járunk? 13 A mozgás hely szerinti jellemzése

1.2. Milyen gyorsan haladunk? 17 A mozgás időbeli jellemzése,

a sebesség fogalma

1.3. Gyorsuljunk fel! 20 A gyorsulás fogalma

2. Ez a legegyszerûbb! 24 Az egyenes vonalú egyenletes mozgás

3. Csak a változás állandó 32 Az egyenes vonalú egyenletesen

változó mozgás

4. Jól esik… 42 A szabadesés

5. Körbe-körbe, karikába… 48 Az egyenletes körmozgás

1. Egyedül nem megy… 58 A tehetetlenség törvénye A tehetetlenség törvénye

2. Kölcsönkenyér visszajár… 64 Párkölcsönhatások

2.1. Visszanyeri az alakját… Vagy talán mégsem?! 64

A testek rugalmassága

2.2. Visszapattan? Vagy talán mégsem?! 65 Ütközések

3. Tehetetlenek vagyunk?! 69 A tömeg

4. Lendüljünk bele! 72 Lendület, lendületmegmaradás Lendület, lendületmegmaradás

4.1. Hogyan mozog? Miért úgy? 72 A lendület

4.2. A lényeg megmarad 73 A lendületmegmaradás törvénye

5. Légy erõs! 81 Az erő

6. Gyorsítsunk! 83 Newton II. törvénye

II. ERÔTAN II. ERÔTAN I. MOZGÁSTANI. MOZGÁSTAN 1111 5757

9

7. 6ás-ellen6ás 88 Newton III. törvénye

8. Alap LET

E 91

A dinamika alapegyenlete

9. Törvényes ez? 95 Erőtörvények

9.1. Legyünk túl a nehezén! 95 A nehézségi erő

9.2. Rúg, pedig lába sincs… 101 A rugóerő

9.3. Nyújtom, nyújtom, nem szakad… 105

Rugalmas nyújtás, Hooke-féle törvény

9.4. Az örök hátráltatók… 109 A súrlódási és a közegellenállási erő

9.5. Általános vonzódás 121 Newton gravitációs erőtörvénye (Kiegészítő anyag)

10. Középre nézz! 124 Az egyenletes körmozgás

dinamikai leírása

11. És mégis mozog a Föld… 129 Az égitestek mozgása

12. Borul vagy nem borul? 138 A pontszerű és a merev test egyensúlya

12.1. Mitôl forog? 139 A forgatónyomaték

12.2. Ezt add össze! 140 Az eredő erő meghatározása

12.3. Stabil vagy nem stabil? 142 Egyensúlyi helyzetek

12.4. Már ezek is gépek?! Egyszerű! 143 Emelők, csigák, lejtő

1. Dolgozzunk! 150 A munka

2. Töltôdjünk fel! 159 Az energia

III. MUNKA, ENERGIA, TELJESÍTMÉNYIII. MUNKA, ENERGIA, TELJESÍTMÉNY 149149

10

1. Nyomás utánam! 186 A nyomás fogalma, a hidrosztatikai

nyomás, a légnyomás és mérése

2. „Heuréka! Heuréka!” 193 Nyomásviszonyok folyadékokban,

felhajtóerő, úszás

3. „Feszültség a felületen” 200 Folyadékok modellje, a folyadékré-

szecskék között fellépő erők (adhézi-ós- és kohéziós erők), felületi feszült-ség, hajszálcsövesség

4. A folyadék lehet „ideális”, meg nem is, és még áramolhat is 206

Áramló folyadékok és gázok

3. Mi lesz belôle? 162 A munkák fajtái, a mozgási energia

4. Mibôl lesz a cserebogár? 170 Kölcsönhatási energiák 4.1. (H)egyre megy? 171 A magassági energia

4.2. A kölcsönös vonzás egymáshoz köt 171 Két pontszerű test közötti gravitációs kölcsönhatás energiája

(Kiegészítő anyag)

4.3. Pattanásig feszülve… 173 Rugalmas energia* (rugóenergia)

4.4. Raktározzuk el! 173 A mechanikai energiamegmaradás

törvénye*

5. Siessünk – az idô pénz! 178 A teljesítmény 5.1. Hatékonyság =

energiatakarékosság 180 A hatásfok

V. FÜGGELÉKV. FÜGGELÉK 212212

216216

TartalomjegyzékTartalomjegyzék

IV. FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK MECHANIKÁJAIV. FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK MECHANIKÁJA 185185

Jó, ha tudod! 212

Szakkifejezések listája 214

IV. fejezetFolyadékok

és gázokmechanikája

IV. fejezetFolyadékok

és gázokmechanikája

Vízre? Szállunk!

186

Folyadékok és gázok mechanikájaFolyadékok és gázok mechanikája

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

1.1. A sítalpak révén kisebb nyo-más hat a hóra

Ne csak nézd!Mely tudományterületeken gazdagította ismereteinket Pascal?

1.2. Blaise Pascal (1623–1662)

1.Nyomásutánam!Anyomásfogalma,ahidrosztatikainyomás,alégnyomásésmérése

Nagyapa! Az egyik osztálytársam mesélte, hogy a téli szünetben, amikor a Balaton jegén korcsolyázott, baleset érte. Figyelmetlen volt és beszakadt alatta a jég. Szeren-csére édesapja egy széles deszkalapot használva odakú-

szott hozzá és kihúzta őt a jéghideg vízből. Miért nem ment egysze-rűen az apa a fiúhoz és húzta ki? Miért használta a deszkalapot?

Az apa bizonyára jól tudta a fizikát. Azzal, hogy széles deszkalapot használt a mentéskor, nagymértékben csök-kentette a jégre kifejtett nyomást, a jég így nem szakadt be alatta.

Igen, most már emlékszem arra, amit általános iskolában tanultam a nyomásról. Így az is érthetővé válik számomra, miért használnak a síelők sílécet, hódeszkát (snowboard) vagy hótaposót. (1.1. ábra)

A nyomás az a fizikai mennyiség, amely megmutatja, hogy egységnyi felületre mekkora merőleges nyomóerő hat. A nyomás skaláris fizi-kai mennyiség, jele: p. Tehát

pFA

= =a felületre mer leges nyomóer nagysága

felületnyõ õ .

A nyomás mértékegysége: p[ ] = Nm2 , ezt a mértékegységet a francia

fizikus, Blaise Pascal tiszteletére pascal-nak nevezték el, jele Pa. 1 Pa nagyságú a nyomás akkor, ha 1 m2-es felületre 1 N nagyságú, a felületre merőleges nyomóerő hat. A Pa ezerszerese a kilopascal (kPa), millió-szorosa a megapascal (MPa). Ugyanakkora nyomóerő esetén a felület csökkentésével jelentősen növelhető a nyomás nagysága, míg a felület növelésével csökkenthető annak értéke.

Tudtad, hogy Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, 1623 – Párizs, 1662) a híres matematikus, fizikus és filozófus készítette el az első mechanikus számológépet, és hogy róla neveztek el egy programozási nyelvet is (1.2. ábra)?

187

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

h

A�

1.3. A hidrosztatikai nyomás kiszámításához

h1 h2

A

�

1.4. Közlekedőedények

1.5. Az egyik szegedi víztorony, az „Öreg hölgy”, fizikatörténeti eszközkiállításnak ad otthont

A folyadékok felveszik a tartóedény alakját. A nyugvó folyadékra csak a gravitációs erő hat, a felszín merőleges erre az erőre, tehát a szabad felszín vízszintes. A folyadékok minden egyes rétegére hat a nehézségi erő. Az ebből fakadó erő a mélyebben fekvő rétegekre hatva, nyomó-erőt és így nyomást fejt ki az edény vízszintesnek tekintett aljára. Ezt a folyadékok súlyából származó nyomást hidrosztatikai nyomásnak nevezzük.

Tekintsünk az egyszerűség okán egy folyadékkal teli, h magassá-gú edényt, amelyben válasszunk ki egy A alapterületű, egyenes hasáb alakú térrészt, amelyik merőleges az edény aljára. Legyen az edény-ben levő homogén folyadék sűrűsége ρ (1.3. ábra). A hasábban lévő folyadék tömege: m V A h= ⋅ = ⋅ ⋅ρ ρ . Az A felületre kifejtett nyomó-erő nagysága F F m g A h gny n= = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ρ . A nyomás meghatározása alapján a folyadékoszlop súlyából származó nyomás, a hidrosztatikai

nyomás nagysága: pFA

A h gA

h g= =⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ny ρρ .

A hidrosztatikai nyomás fentről lefelé hat. A hidrosztatikai nyo-más nagysága adott ρ sűrűségű folyadék esetén független a felü-let nagyságától, csak a folyadékoszlop h magasságától függ. Ha az edény alaplapja területének nagysága Aedény, akkor a h magasságú fo-lyadék az alaplapra F p A h g A Fny edény edény n folyadék= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =ρ nagyságú nyomóerőt fejt ki.

Ha jól gondolom, az úgynevezett közlekedőedényeknél, azaz két olyan edénynél, amelyek összeköttetésben van-nak egymással, a hidrosztatikai nyomás játszik szerepet.

Jól tudod. Ha egy U alakú közlekedőedényt veszünk, és azt egynemű, ρ sűrűségű folyadékkal töltjük meg, akkor a két szárban a folyadékszint ugyanabban a magasságban található (1.4. ábra).

A közlekedőedény összekötő csatornájának valamely A keresztmetsze-tű rétege csak akkor lesz egyensúlyban, ha a rá kifejtett nyomás nagy-sága mindkét oldalról ugyanakkora. Mint később megmutatjuk, az A felületre oldalról ható nyomás akkora, mint ugyanabban a mélységben a hidrosztatikai nyomás. Így fennáll, hogy h g h g1 2⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ρ ρ , amiből h h1 2= .

A magas víztornyok (1.5. ábra) megépítésének szükséges-sége is ezzel függ össze, így ugyanis a magas lakóépületek legfelső szintjein is elegendően nagy lesz a víz nyomása.

188

Folyadékok és gázok mechanikájaFolyadékok és gázok mechanikája

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

h1

h2

Ne csak nézd!Gondold meg, hogy miért elég a nyomások egyenlősé-gét az ábrán jelölt szaggatott vonal fölött vizsgálni!

1.6. Kétfolyadékos közlekedő-edény

1.7. Folyadékos manométer

1.8. Evangelista Torricelli (1608–1647)

Ha a közlekedőedényben két különböző, ρ1 illetve ρ2 sűrűségű, egymás-sal nem keveredő folyadék van, akkor hasonló meggondolások alapján adódik, hogy h g h g1 1 2 2⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ρ ρ , azaz h h1 1 2 2⋅ = ⋅ρ ρ . Másképpen: hh

1

2

2

1

=ρρ

. Abban a szárban áll magasabban a folyadék, amelyik folya-

déknak kisebb a sűrűsége (1.6. ábra).Egyszerű nyomásmérőt, úgynevezett folyadékos manométert ké-

szíthetünk a következő módon: kis tölcsért gumihártyával zárunk le, és U alakú, vizet tartalmazó üvegcsővel kötjük össze (1.7. ábra). A tölcsért adott sűrűségű folyadékba mártjuk, úgy hogy a tölcsér „szája” felfelé mutasson és a hártya síkja vízszintes legyen. Minél nagyobb mélység-ben van a gumihártyás tölcsér, annál nagyobb lesz az U alakú csőben a vízszintkülönbség, annál nagyobb a hidrosztatikai nyomás nagysága.

A rádió reggeli időjárás-jelentését hallgattam. A meteo-rológus azt mondta: a légnyomás értéke 995 hektopascal. Nagyapa! Megmagyaráznád, mit is jelent ez?

A körülöttünk levő levegő, a légkör a benne levő testekre nyomást fejt ki, hasonlóan a folyadékokhoz. Ez a nyomás a légnyomás, amelynek az időjárás-jelentésben elhangzott értéke 995 ·100 Pa, azaz 9 95 1 Pa.4, ⋅ 0

A légnyomás értékét Galilei kísérleteit folytatva, 1643-ban Evangelista Torricelli (1.8. ábra) útmutatásai alapján Vinczenzo Viviani határozta meg. Ez a kísérlet a Torricelli-féle kísérlet.

Egy kb. 1 m hosszúságú, egyik végén zárt üvegcsövet higannyal töltünk meg, majd a cső nyitott végét befogjuk, és lefelé fordítva, higannyal megtöltött edénybe mártjuk (1.9. ábra). Azt tapasztaljuk, hogy a cső-ből a higanynak csak egy része folyik ki miután szabaddá tesszük az eredetileg befogott végét. A higany felszíne az edényben lévő higany felszínénél kb. 76 cm-rel magasabban áll. A higany fölött légüres tér (Torricelli-féle űr), vákuum keletkezik. Az edényben lévő higany fel-színére ható légnyomás egyensúlyt tart a csőben levő higanyoszlop hidrosztatikai nyomásával. Így a légnyomás értéke ebben az esetben:

p g h= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ≈ρHg kgm

ms

m Nm

Pa13 595 9 81 0 76 101358 103 2 25, , .

A légnyomás egy szokásos mértékegysége a bar, 1bar 1 Pa5= 0 .A légnyomás a hellyel és az idővel is változik. A légnyomás a

magassággal csökken.

189

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••75-76 cm

vákuum

Hg

1.9. Torricelli kísérlete

1.10. Perier kísérlete

1.11. A barométer szép időt jelez

Pascal útmutatásai alapján sógora, Florin Perier 1647-ben az 1300 m magas Puy-de-Dôme hegyen kísérletet hajtott végre (1.10. ábra). Azt tapasztalta, hogy Torricelli-féle elrendezésben a higanyoszlop hossza a hegytetőn kisebb

volt, mint a hegy lábánál.

A légnyomás változása tájékoztatást ad az időjárás változásáról is. A déli és a délnyugati szelek meleg levegőt és nedvességet hoznak, a levegő lehűl, és eső keletkezik, a légnyomás értéke csökken. Az északi és északkeleti hideg és száraz szelek a légnyomás értékét növelik, hideg és tiszta időt várhatunk (1.11. ábra).

A légnyomás mérésére szolgáló eszközöket barométereknek ne-vezik. A higanyos barométer lényegében a Torricelli-féle berendezés-nek felel meg. A fém- vagy aneroid barométerek fő része egy zárt, légritkított fémdoboz, amely a légnyomás nagyságától függően defor-málódik. A deformációt emelő szerkezet viszi át egy skála előtt mozgó mutatóra. A leginkább használatos típusok: a Vidie-féle szelence és a Bourdon-féle cső (1.12. ábra).

a) b)

1.12. a) A Vidie-féle szelence és b) a Bourdon-féle cső is aneroid barométer

A levegő (vagy más gázok) nyomásának csökkentésére a légszivattyúk szolgálnak. Az iskolai célokra használatos légszivattyú a dugattyús- vagy köpűs légszivattyú, illetve a vízlégszivattyú.

A levegő nyomásának növelésére a légsűrítőket, kompresszoro-kat alkalmazunk.

A nyomás a felületre merőlegesen ható nyomóerő és a felület hányadosaként értelme-

zett skaláris fizikai mennyiség: pFA

== ny , mértékegysége: p[ ] = =pascal Nm2 . A folya-

dékoszlop nyomást, hidrosztatikai nyomást fejt ki az oszlop alapterületére, ennek nagysága: p h g== ⋅⋅ ⋅⋅ρρ . A légkör nyomását légnyomásnak nevezzük, amelynek egyszerű kimutatása a

Torricelli-féle kísérlettel történhet. A légnyomás értéke a magassággal csökken, változása jelen-tősen befolyásolja időjárásunkat. A légnyomás mérésére a barométerek szolgálnak. A nyomás csökkentésére légszivattyúkat, növelésére légsűrítőket alkalmazunk.

190

Folyadékok és gázok mechanikájaFolyadékok és gázok mechanikája

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Ne csak nézd!Nézz utána, Otto von Guericke tudományos mun-kás sá gá nak! Milyen kísérletet mutatott be Regens burg ban a légnyomás kimutatására?

1.13. Otto von Guericke (1602–1686)

Ne csak nézd!Hogyan működik és mire használják?

1.14. Barográf

1. 4 m2 nagyságú felületre merőlegesen 8000 N nagyságú erő hat. a) Mekkora a nyomás nagysága kilopascal egységekben? b) Változatlan nyomás eléréséhez 2,5 kN nyomóerő esetén mekko-

rára kell választani a felület nagyságát?

Megoldás:Adatok:A = 4 m2, Fny = 8000 N, (Fny)2 = 2,5 kN = 2500 N, p2 = p.

a) p = ?b) A2 = ?

a) A nyomás meghatározása alapján

pFA

= = = = = =ny2

N m

Nm

Pa 2 kPa 2 kilopascal.80004

2000 20002

b) Az előzőek alapján AFp

Fp2

2

2

2 1 25= = = =( ) ( )

, .ny ny 22500 N

2000 Nm

m

2

2. Egy edényt 1000 kgm3 sűrűségű vízzel töltjük meg. A víz magassága

az edényben 18 cm. a) Mekkora az edény aljára kifejtett hidrosztatikai nyomás?

b) Hogyan változik a nyomás, ha a víz helyett 13,6 g

cm3 sűrűségű

higanyt öntünk az edénybe az előző magasságig? g =

10 m

s2

Megoldás:Adatok:

ρvíz = 1000 kgm3 , h = 18 cm = 0,18 m, ρHg = 13,6 g

cm3 = 13600 kgm3 .

a) p = ? b) p1 = ?

a) A hidrosztatikai nyomás nagysága:

p g h= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =ρvíz

kgm

ms

m Nm

kPa.3 2 21000 10 0 18 1800 1 8, ,

b) p g h1 13 600 10 0 18 24 480 24 48= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =ρHg 3 2 2

kgm

ms

m Nm

kPa., ,

191

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

1.15. Magdeburgi féltekék

Ne csak nézd! Nézz utána, miként működik a higanyos vérnyomásmérő!

1.16. Vérnyomásmérő

h1 h2

1.17. Sűrűségek összehasonlítása

3. Mekkora erőt gyakorol 1 bar külső légnyomás a 42 cm átmérőjű magdeburgi féltekékre (1.15. ábra), miután a levegőt teljesen (!) kiszivattyúzzuk a féltekékből összeállított gömbből?

Megoldás:Adatok:p = 1 bar = 105 Pa, d = 42 cm = 0,42 m.

F = ?

F p A p d= ⋅ = ⋅

⋅ = ⋅

⋅ =2

10 0 422

138542

52

π πPa m N.,

(Gondold meg, mi a magyarázat arra, hogy nem a gömb felületével, hanem a gömbi főkör területével számoltuk A-t!)

4. Legalább milyen hosszúságú üvegcsőre lenne szükségünk, ha a Torricelli-féle kísérletet (1.9. ábra) higany helyett vízzel szeretnénk elvégezni. A normál légnyomás értéke 1013 mbar. (A víz sűrűsége

103 kgm3 , g = 9 81, .m

s2 )

Megoldás:Adatok:

p = 1013 mbar = 1,013·105 Pa, ρvíz = 103 kgm3 , g = 9 81, .m

s2

h = ?

A légnyomás a vízoszlop hidrosztatikai nyomásával tart egyensúlyt:p g h= ⋅ ⋅ρvíz . A vízoszlop magassága:

h pgvíz

=⋅

= ⋅

⋅=

ρ1,013 10 Pa

10 kgm

9,81 ms

m,5

33 2

10 33,

tehát legalább 10,33 m hosszúságú csőre lenne szükségünk.

1. Nézz utána, miként használható folyadékok sűrűségének összeha-sonlítására, illetve folyadék sűrűségének mérésére az 1.17. ábrán vázolt eszköz!

2. Keress forrást, amiből megismerheted Torricelli és Viviani életét és munkásságát! Mi kötötte őket Galileo Galileihez?

192

Folyadékok és gázok mechanikájaFolyadékok és gázok mechanikája

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

1.18. Vízállásmutató

1.19. Hidroglóbusz

1.20. Szifon

3. Milyen és mekkora egység a torr? Fejezd ki a normál légnyomás értékét torrban!

4. Készíts összeállítást arról, miben áll az a nézet, hogy a „természet irtózik az űrtől” (horror vacui)! Nézz utána, milyen problémával fordultak a firenzei kútfúrók Galileo Galileihez! Hogyan mérte meg Galilei az „űrtől való irtózás” határát?

5. Keress forrást, amiből megtudhatod, mi a fizikai-, illetve a techni-kai atmoszféra! Fejezd ki ezeket az egységeket bar-ban!

6. A légnyomás magassággal (h) való csökkenését (állandó hőmérsék-let mellett) az úgynevezett barometrikus magasság-formula írja le:

p p eg

ph

= ⋅-

⋅⋅

0

0

0

ρ

, ahol e a természetes alapú logaritmus alapszáma (közelítő értéke: e ≈ 2 7183, ), p0, illetve ρ0 a h = 0 magasságnál mért nyomás, illetve sűrűség értéke. Értelmezd ezt az összefüggést! Alkalmas-e ez az összefüggés magasságmérésre?

7. Keress forrást, amiből megismerheted a vízlégszivattyú és a köpűs légszivattyú működésének elvét!

8. Magyarázd meg, hogyan működik az egyik hétköznapi légsűrítő, a kerékpárpumpa!

9. Magyarázd meg a kazánoknál alkalmazott vízállásmutató szerepét (1.18. ábra)!

10. Mi a hidroglóbusz (1.19. ábra)? 11. Magyarázd meg a mosdó-lefolyó (szifon) működését (1.20. ábra)!

1. Mekkora az oldalhosszúsága annak a négyzet alakú, vízszintes síkú felületnek, amelyre ható 100 N nagyságú nyomóerő 250000 Pa nagyságú nyomást eredményez?

2. Egy h = 45 cm magasságú folyadékoszlop hidrosztatikai nyomása

3531,6 Pa. Mekkora a folyadék sűrűsége? g =

9 81, m

s2

3. Mekkora erőt fejt ki az 1 bar nagyságú légnyomás a 25 cm2 nagysá-gú vízszintes felületre?

4. Az iskolai demonstrációs magdeburgi féltekék alkotta gömbből nem sikerült teljesen kiszivattyúzni a levegőt. A gömbben maradt levegő nyomása 6 1 Pa3⋅ 0 . A gömb sugara 4 cm. Mekkora erő szükséges a féltekék szétválasztásához, ha a külső légnyomás értéke 1018 hPa?

5. Mekkora nyomás uralkodik egy 20 m mély tó alján, ha a külső lég-

nyomás értéke 105 Pa? (A víz sűrűsége 103 kgm3 , g = 9 81, .m

s2 )

Saci

rajz

stoc

k

193

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

2.1. Raklapemelő

2.2. Vízi buzogány

A1

∆s1

∆s2

A2F1F2

2.3. A külső nyomás gyengítetle-nül tovaterjed

h1h2 h3

p1p1 p3

2.4. A Pascal-féle törvény szem-léltetése

2.„Heuréka!Heuréka!”Nyomásviszonyokfolyadékokban,felhajtóerő,úszás

Tegnap egy szupermarketben vásároltunk. Megfigyeltem, hogy az áruval megrakott raklapot milyen könnyen fel-emelte az áruházi dolgozó egy raklapemelővel (2.1. ábra). Jó lenne megtudni, miként működik ez a szerkezet, mi-

ként lehet az, hogy a nagy teher emeléséhez viszonylag kis erő is elegendő.

A magyarázat nem túl bonyolult, de néhány fogalmat és törvényt szükséges ismerni. Ezek a folyadékok tulajdonsá-gaival, nyomásviszonyaival kapcsolatosak.

A folyadékok könnyen változtatják alakjukat, de térfogatuk nehezen változtatható meg. A folyadék részecskéi, a folyadékmolekulák csak-nem szabadon elmozdulhatnak egymás mellett. Ideális folyadéknak nevezzük az olyan összenyomhatatlan folyadékokat, amelyeknél a szomszédos folyadékrétegek könnyen elcsúszhatnak egymáshoz ké-pest, (azaz az úgynevezett belső súrlódás nagyon kicsi).

Végezzünk kísérletet az úgynevezett vízi buzogánnyal (2.2. ábra)! A vízi buzogány lényegében egy üveglombik, amelynek nyakában lévő dugattyúval nyomóerőt fejthetünk ki a lombikban lévő vízre. Azt tapasztalhatjuk, hogy a lombikon lévő nyílásokon azonos mértékben áramlik ki a folyadék. Ez azt bizonyítja, hogy a folyadékra kifejtett kül-ső nyomás minden irányban, gyengítetlenül tovaterjed.

A 2.3. ábrának megfelelően nyomjuk be az A1 keresztmetszetű du-gattyút F1 erővel, Δs1 úton. Ha a folyadék nyugalomban van, akkor az A2 keresztmetszetű dugattyú olyan Δs2 úton mozdul el, amelyre a folya-dék összenyomhatatlansága miatt fennáll, hogy A s A s1 1 2 2⋅ = ⋅∆ ∆ . Az F1 erő munkájának nagysága megegyezik az F2 erő munkája nagyságá-

val: F s F s1 1 2 2⋅ = ⋅∆ ∆ , illetve, ebből következően F AA

s F s1 2 2⋅ = ⋅2

12∆ ∆ .

Egyszerűsítés és rendezés után adódik, hogy FA

FA

1

1

2

2

= , azaz p p1 2= .

Az edény falára kifejtett nyomás mindenütt ugyanakkora. Végezzünk méréseket a tölcséres, folyadékos manométerrel (lásd 1.7. ábra)! A töl-csért, a gumihártyát egy adott mélységben tartjuk, és középpontja körül elforgatjuk. Olvassuk le a közlekedőedényben levő folyadék magas-ságát minden helyzetben (2.4. ábra)! Azt tapasztaljuk, hogy az adott mélységben elhelyezett manométer a gumihártya felületének irányítá-

194

Folyadékok és gázok mechanikájaFolyadékok és gázok mechanikája

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

F1 F2

A1

A2

2.5. A hidraulikus sajtó elve

2.6. Miként működik az autó-emelő?

Ne csak nézd!Magyarázd meg, miként működik a gépkocsik fék-rendszere!

2.7. A gépkocsik fékberendezése

ρ

h

·h23

2.8. Az oldallapra ható nyomások

sától függetlenül azonos nagyságú nyomást jelez. Megállapítható te-hát, hogy adott mélységben a nyugvó folyadék belsejében a nyomás mindenütt ugyanakkora, és független a felület irányításától. Ez a törvény Pascal törvénye.

Pascal törvényén alapszik a hidraulikus sajtó, illetve más néven a hidraulikus emelő (2.5. ábra) működése. A fentebbiek alapján egyen-súly esetén az A2 felületű dugattyúra ugyanakkora nyomás hat, mint az

A1 felületűre: FA

FA

1

1

2

2

= . Így ahányszor kisebb az A1 felület az A2-nél,

annyiszor nagyobb az F2 erő az F1 erőnél.

Most már világos számomra a raklapemelő és az autó-emelő működése is, hiszen ezek az emelők is lényegében hidraulikus emelők.

Talán nem mondok butaságot, ha azt állítom, hogy a Pas-cal-törvényt bemutató kísérlet azt is jelzi, hogy a folyadék-ban többféle nyomás is fellép.

Valóban, az úgynevezett lefelé ható nyomás mellett fellép felfelé ható nyomás és oldalirányú nyomás is.

A Pascal-törvény értelmében nyugvó folyadékban, egy adott mélység-ben a lefelé ható nyomás, a felfelé ható nyomás és az oldalnyomás nagy-sága egyenlő. Ez megegyezik az adott h mélységben mérhető hidroszta-tikai nyomással, azaz p p p p g hlefelé felfelé oldal hidrosztatikai= = = = ⋅ ⋅ρ .ρ sűrűségű folyadék és h magasságú folyadékoszlop esetén az A felületű,

függőleges oldallapra ható nyomóerő nagysága: F g h Aoldal = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅12

ρ .

Ennek az erőnek a támadáspontja a folyadék felszínétől 23

⋅ h távolság-

ban található (2.8. ábra).

Nagy örömünkre, a nyáron apuval kettesben, Jordániá-ban nyaralhattunk. Volt lehetőségünk a Holt tengerben is fürödni. Biztos tudjátok, nem vagyok valami jó úszó. Képzeljétek, minden erőlködés nélkül a víz tetején tudtam

maradni, még könyvet is tudtam olvasni, anélkül, hogy lesüllyedtem volna. Ennek magyarázatát könnyen megadhatjuk.

195

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Ne csak nézd!Nézz utána, hogyan műkö-dik a hidrosztatikai mérleg! Miben áll a hidrosztatikai paradoxon?

2.9. Hidrosztatikai mérleg

2.10. Arkhimédész (Kr. e. 287 – Kr. e. 212)

�1 A

F1

h1

h2h

F2

2.11. A hasábra ható függőleges irányú erők

2.12. Fürdés a Holt tengerben

Talán ismeritek azt az anekdotát, ami Archimédesz (2.10. ábra), ókori görög gondolkodóval kapcsolatos (Kr. e. 250 körül). Éppen fürdőben volt, amikor azon gondolkodott, miként tudja megoldani a Hieron király koronájával kap-

csolatos feladatot. Észrevette, hogy a vízzel teli kádba lépve nagy mennyiségű víz csordult ki a kádból, ami számára a megoldás kul-csát jelentette. A felfedezés hatalmas örömmel töltötte el, kiugrott a kádból, és Szirakuza utcáin végigszaladva örömmel kiáltotta: „Heu-réka! Heuréka!” („Megtaláltam! Megtaláltam!”)

Folyadékba (és gázba) merülő testre felhajtóerő hat. A felhajtóerő nagyságának meghatározásához merítsünk a ρf sűrűségű folyadékba egy A alapterületű, h magasságú (V A h A h h= ⋅ = ⋅ -( )2 1 térfogatú) egyenes hasábot! A hasáb oldalfalára ható, az oldalnyomásból szárma-zó nyomások és erők kiegyenlítik egymást. A 2.11. ábra jelöléseivel a hasáb fedőlapja h1, az alaplapja h2 mélységben van.

A hasábra ható függőleges irányú erők: F g h A1 1= ⋅ ⋅ ⋅ρf és F g h A2 2= ⋅ ⋅ ⋅ρf , az eredő erő felfelé mutat, nagysága a felhajtóerő:

F F F g h A g h A g h h Afel f f f .= - = ⋅ ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ - ⋅2 1 2 1 2 1ρ ρ ρ ( )Azaz F g h A g Vfel f f= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ρ ρ . A testre ható hidrosztatikai

felhajtóerő egyenesen arányos a test bemerülő térfogatával és a fo-lyadék sűrűségével. Ez a törvény Arkhimédész törvénye. Másként megfogalmazva, a felhajtóerő nagysága egyenlő a test folyadékba me-rülő része által kiszorított, folyadékra ható gravitációs erővel (súlyá-val). A felhajtóerő a test bemerülő részének tömegközéppontjában hat.

A test úszik, ha a testre ható nehézségi erő egyenlő a test folyadék-ba merülő részére (Vbe) ható felhajtóerővel, azaz m g g Vtest f be⋅ = ⋅ ⋅ρ . A test elmerül, ha a testre ható nehézségi erő nagyobb a (teljes) testre ható felhajtóerőnél. A test lebeg, ha teljesen a folyadékba merül, és a rá ható felhajtóerő megegyezik testre ható nehézségi erővel.

Az úszás feltétele a sűrűségekkel is megfogalmazható. A test úszik, ha a test (átlag) sűrűsége kisebb, mint a folyadék sűrűsége ρρ ρρtest f<<(( )) , elmerül, ha a test (átlag) sűrűsége nagyobb, mint a folyadék sűrűsége ρρ ρρtest f>>(( )) . A test lebeg, ha teljesen a folyadékba merül, és a test

(átlag) sűrűsége a folyadék sűrűségével megegyezik ρρ ρρtest f==(( )) .

Most már meg tudom magyarázni, miért is tudtál a vízre fe-küdni a Holt tengerben (2.12. ábra). Tanultuk, hogy a Holt

tenger vize nagyon sós, sűrűsége 1240 kgm3 (jóval nagyobb,

mint az édesvíz sűrűsége). Az emberi test átlagos sűrűsége 1060 kgm3 ,

így az emberi test úszik („lebeg”) a tengervízben.

196

Folyadékok és gázok mechanikájaFolyadékok és gázok mechanikája

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••2.13. Hőlégballonok

Ne csak nézd! Mi a szerepe a halak úszóhó-lyagjának?

2.14. Hogyan segíti az úszóhó-lyag a halak mozgását?

Megjegyzés: Nyugvó levegőben, gázokban levő testekre is hat felhajtóerő, amely-nek nagysága megegyezik a test által kiszorított levegőre, gázra ható nehézségi erővel: F m g g Vfel gáz gáz .= ⋅ = ⋅ ⋅ρ Ennek a törvénynek alap-ján magyarázhatjuk léghajók, a hőlégballonok emelkedését vagy süly-lyedését (2.13. ábra).

Ideális folyadéknak nevezzük azokat a folyadékokat, amelyek összenyomhatatlanok, és amelyeknél a szomszédos folyadékrétegek könnyen elcsúszhatnak egymáshoz ké-

pest. Pascal törvénye kimondja, hogy adott mélységben a nyugvó folyadék belsejében a nyo-más mindenütt ugyanakkora, és független a felület irányításától. Nyugvó folyadékban egy adott mélységben a lefelé ható nyomás, a felfelé ható nyomás és az oldalnyomás nagysága megegyezik az adott h mélységben mérhető hidrosztatikai nyomással. Folyadékba és gázba merülő testre felhajtóerő hat. A testre ható hidrosztatikai felhajtóerő egyenesen arányos a test bemerülő térfogatával és a folyadék, illetve gáz sűrűségével. Ez a törvény Arkhimédész törvénye. A test úszik, ha a test (átlag) sűrűsége kisebb, mint a folyadék sűrűsége ρρ ρρtest f<<(( )) , elmerül, ha a test (átlag) sűrűsége nagyobb, mint a folyadék sűrűsége ρρ ρρtest f>>(( )) . A test lebeg, ha teljesen a folyadékba merül és a test (átlag) sűrűsége a folyadék sűrűségével megegyezik ρρ ρρtest f==(( )) .

1. Mekkora egy 10 m mély tó alján a lefelé és a felfelé ható nyomás,

ha a levegő nyomása 105 Pa? g = =

1 m

s 1 kg

m2 víz3

30 0, ρ

Megoldás:

Adatok: h = 10 m, plevegő = 105 Pa, g =10 ms2 , ρvíz = 103

kgm3 .

p = ?

A Pascal-törvény értelmében a felfelé és a lefelé ható nyomás megegye-zik a levegő nyomásának és az adott mélységhez tartozó hidrosztatikai nyomás összegével:p p p pp p

lefelé felfelé leveg hidrosztatikai

lefelé leveg

= = +

= +õ

õ

,

ρvvíz

lefelé3

3 2

lefelé

Pa 0 kgm

10 ms

10 m,

2

⋅ ⋅

= + ⋅ ⋅

= ⋅

g h

p

p

,

10 1

10

5

5 Pa.

197

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Ne csak nézd!Mi a zsilipelés? Magyarázd meg a kép alapján a hajó zsilipelését!

2.15. Hajó zsilipelése

2. Egy edényt teljesen feltöltünk 13,6 g

cm3 sűrűségű higannyal. Az

edényben a folyadék magassága 15 cm. Mekkora erő hat ennek az

edénynek a 12 cm2 felületű, függőleges oldallapjára? g =

1 m

s20

Megoldás:

Adatok: h = 15 cm, g = 10 ms2 , ρHg = 13,6

gcm3 = 13,6·103

kgm3 ,

A = 12 cm2.

Foldal = ?

F g h Aoldal Hg 3 2

kgm

10 ms

0,15 m 10 m= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −12

12

13 6 10 123 4ρ , 22

N.

=

=12 24,

3. A hidraulikus emelő úgynevezett nyomóhengerének a területe 10 cm2, munkahengerének pedig 0,5 m2. Mekkora erőt kell a nyo-móhengeren alkalmazni, hogy egy 1,5 tonna tömegű testet meg-

emelhessünk? g =

1 m

s20

Megoldás:Adatok: A1 = 10 cm2, A2 = 0,5 m2 = 5·103 cm2,

m = 1,5 tonna = 1500 kg, g = 10 ms2 .

F = ?

Egyensúly esetén fennáll, hogy FA

m gA1 2

=⋅ , amiből

F m g AA

=⋅ ⋅

⋅=

⋅ ⋅

⋅=1

2

301500 kg 10 m

s10 cm

5 10 cm N.

22

3 2

4. Egy 960 cm3 térfogatú, homogén test kétharmad részéig víz-be merül. Mekkora a test sűrűsége és a kiszorított víz tömege?

ρvíz3

30 kgm

=

1

Megoldás:

Adatok: V = 960 cm3, V Vbe cm= ⋅ =23

640 3, ρvíz3

30 kgm

=1 .

ρtest = ? mvíz = ?

198

Folyadékok és gázok mechanikájaFolyadékok és gázok mechanikája

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

2.16. Fagolyó sűrűségmérésének lépései

Az úszás feltétele: mtest · g = Ffelhajtó, azaz mtest · g = ρvíz · g · Vbe,

m Vtest vízg g⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ρ23

. Innen

ρ ρtesttest

víz 3 3

kgm

kgm

= = ⋅ = ⋅ =mV

23

23

10 6663 .

A kiszorított víz tömege:

m Vvíz be víz3 3

33

3 cm 0 kgm

cm gcm

g.= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =ρ23

960 1 23

960 1 640

5. Egy állandó keresztmetszetű, egyenes henger alakú főzőpohárba (vagy levágott nyakú, műanyag üdítős palackba) 9,7 cm magassá-gig vizet töltünk. Tegyünk a vízbe egy keményfából készült golyót! Ekkor a vízszint az edényben 11,6 cm magasan áll. Ezután egy na-gyon vékony fémtű segítségével a golyót teljesen a víz felszíne alá nyomjuk. Most az edényben a vízszint 12,2 cm magasságban áll be (2.16. ábra).

Mekkora a golyó sűrűsége? (A víz sűrűsége 1000 kgm3 .)

Megoldás:

Adatok: h = 9,7 cm, h1 = 11,6 cm, h2 = 12,2 cm, ρvíz = 1000 kgm3 .

ρ = ?

Legyen az edény (állandó nagyságú) keresztmetszete A! Ha a golyó a vízbe merül, akkor a golyó által kiszorított víz térfogata, azaz a test vízbe merülő részének térfogata V A h hbe = ⋅ -( ).1 Fennáll, hogy a ki-szorított vízre ható nehézségi erő megegyezik a golyóra ható nehézségi erővel: V g V gbe víz⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ρ ρ .Ha a golyó teljesen a vízbe merül, akkor a kiszorított víz térfogata a golyó térfogatát adja: V A h h= ⋅ -( ).2 A két összefüggésből a golyó sűrűsége:

ρρ

ρ=⋅

=⋅ −⋅ −

⋅ =−−

⋅V

VA h hA h h

be vízvíz

kgm

( )( )

, ,, ,

1

2

11 6 9 712 2 9 7

1000 33 3

kgm

= 760 .

1. A hidrosztatikai paradoxont először Simon Stevin ismerte fel. Ke-ress forrást, amiből megismerheted Stevin életét és munkásságát (2.17. ábra)!

2. Van-e szerepe az oldalnyomás nagyságának a gátak méretezésénél? 3. Nézz utána, mi Hieron király koronájának története! Hogyan oldot-

ta meg a feladatot Archimédesz?

199

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

2.17. Simon Stevin (1548–1620)

2.18. Archimedeszi hengerpár

2.19. Areométer

4. Mi az archimédeszi hengerpár (2.18. ábra), mire használható? 5. Keress forrást, amiből megtudhatod, mi a búvárharang, mi a ke-

szonbetegség! 6. Készíts üdítős műanyagpalackból és orvosságos fiolából úgyneve-

zett Cartesius-féle búvárt! 7. Nézz utána, min alapszik az areométer (2.19. ábra) működése! Mi-

nek a mérésére szolgál? 8. Magyarázd meg a jéghegyek úszását! 9. Keress forrást arról, miként manőverezik a tengeralattjáró! 10. Határozd meg hurkapálca, edényben lévő víz, két, nem túl nagy

kavics felhasználásával, az úgynevezett Bakusinszkij-féle módszer segítségével a kavicsok sűrűségét!

11. Joseph-Louis Gay-Lussac és Jean-Baptiste Biot 1804. augusz-tus 24-én hidrogéntöltésű léggömbjükkel kb. 4000 m magasság-ba emelkedtek. Nézz utána, mit vizsgáltak útjuk során! Később, 1804. szeptember 16-án milyen magasra jutott léggömbjével Gay-Lussac?

1. Milyen hosszú higanyoszlop alján lesz a lefelé mutató nyomás nagy-sága 2720 hPa, ha a légnyomástól eltekintünk, illetve, ha a légnyo-

mást (1 bar) is figyelembe vesszük? (rHg = 13600 kgm3 , g =1 m

s20 .)

2. Hány gramm ólmot kell 1 g parafával összeerősíteni, hogy az ösz-

szeerősített test ússzék a vízben? Az ólom sűrűsége 11,4 g

cm3 , a

parafáé 0,24 kgm3 , a vízé 103

kgm3 .

3. Vízben levő, 600 kgm3 sűrűségű, 200 cm2 alapterületű, 8 cm ma-

gasságú fahasábra mekkora tömegű teher helyezhető, hogy a víz a

deszkahasábot éppen ellepje? ρvíz3

3 1 kgm

=

0

4. Egy 60 literes hőlégballont 80 °C hőmérsékletű, 0,995 kgm3 sűrűségű

levegővel töltöttünk fel. Mennyi lehet a teljes ballonszerkezet töme-ge, ha a környező 30 °C hőmérsékletű levegő sűrűsége 101000 Pa

nyomáson 1,16 kgm3 ?

200

Folyadékok és gázok mechanikájaFolyadékok és gázok mechanikája

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

3.1. Folyadék modellje

3.2. Pénzérme a víz felszínén

3.3. Molnárka „jár” a vízen

a) b)

c)

3.4. A vonzóerők hatásgömbje

3.„Feszültségafelületen”Folyadékokmodellje,folyadékrészecskékközöttfellépőerők(adhéziós-éskohézióserők),felületifeszültség,hajszálcsövesség

A folyadékok részecskéi egymás mellett szabadon elmozdulhatnak. Eb-ből következik, hogy alakjukat könnyen, térfogatukat viszont nagyon nehezen változtatják meg. Folyadékmodellként edénybe helyezett kicsi golyók sokasága szolgálhat (3.1. ábra).

A minap játszogattam, és képzeljétek el, sikerült egy pénzérmét a pohárban lévő víz felszínére helyezni, anél-kül, hogy az elsüllyedt volna (3.2. ábra). Valójában nem is értem, hiszen a fém érmének le kellett volna süllyednie a

víz aljára, ugyanis sűrűsége jóval nagyobb, mint a víz sűrűsége.

Valami hasonló furcsaságot láttam én is: a kerti tó vizén sétálgatott a vízi molnárka, és nem süllyedt el (3.3. ábra). Mi lehet a magyarázat?

A jelenségek magyarázatát csak azok után tudjuk megad-ni, ha megismerjük a folyadékok szerkezetét, a folyadék-részecskék között fellépő erőket.

A folyadékok szabad felszíne másként viselkedik, mint azt a korábban megismert hidrosztatikai törvények alapján várnánk.

A folyadékrészek, a folyadék molekulái között vonzóerők, úgyne-vezett kohéziós erők működnek. Ha egy tiszta üveglapot a víz felszí-nével hozunk érintkezésbe, akkor a lapnak a víztől való elszakításához erőre van szükség. Az elszakított üveglap nedves lesz, tehát a vízrészecs-kék között fellépő kohéziós erőket kellett legyőznünk. Ha az előbbieket higannyal végezzük el, akkor az üveglap higanytól való elszakításához szintén erőre van szükség. Ám az üveglap nem lett „nedves”, tehát a sza-kításhoz szükséges erő az üveglap és a higany molekulái között fellépő erők legyőzéséhez kellett. Két különböző test (pl. higany, üveg) moleku-lái között fellépő vonzóerőket adhéziós erőknek nevezzük. A moleku-lák között fellépő vonzóerők hatótávolsága nagyon kicsi, kb. 10-6 cm, anyagonként általában más és más érték. A folyadék belsejében egy adott molekula hatásgömbjében szimmetrikusan helyezkednek el a molekulák (3.4. ábra), ezért a molekulára ható erők eredője zérus (3.4. c) ábra). A folyadék és a felette lévő gőz határoló rétegében az erők nem szim-metrikusak, az úgynevezett felületi rétegben levő molekulákra a kohézi-ós erők eredője a folyadék belseje felé mutat (3.4. a) és b) ábra).

201

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

3.5. A hurkot a folyadék kör alakúvá feszíti ki

l

d

F

A

3.6. Kísérlet mosószeres hártyá-val

Javasolnám, hogy végezzünk el egy-két egyszerű kísér-letet! Merítsünk egy drótból készített keretet mosószeres oldatba! A keretben helyezzünk el egy laza cérnahurkot. Szúrjuk át a cérnahurkot! A hurkot a folyadék kör alakúvá

feszíti szét (3.5. ábra).

A folyadékfelszín a lehető legkisebbre igyekszik összehúzódni.A húzóerő megmérhető. Merítsünk mosószeres oldatba egy olyan drót-keretet, amelynek l hosszágú oldala a keret két szára mentén könnyen elmozdulhat. Ha erre a drótdarabra nem hatunk erővel, akkor az össze-húzódó hártya magával viszi a keret ezen oldalát. Ennek megakadályo-zására, az oldal egyensúlyban való tartására Fh erőt kell kifejtenünk (3.6. ábra). Az egyensúly fenntartásához szükséges Fh erő (ami az F erővel megegyező nagyságú és ellentétes irányú) nem függ a hártya d széles-ségétől, adott hártyánál (folyadéknál) csak l-től függ: F lh = ⋅ ⋅2 α . A 2 tényező arra utal, hogy a hártyának elülső és hátulsó felülete is van. Az α arányossági tényezőt, ami az adott folyadékra jellemző adat, felületi feszültségnek nevezzük.

A felületi feszültség mértékegysége: α[ ] = Nm

.

Növeljük meg a hártya felületét ΔA-val, azaz növeljük meg a ke-ret d oldalát Δd-vel. Az F erő ellenében ΔW munkát kell végeznünk, amelynek értéke:

∆ ∆ ∆ ∆ ∆W F d F d l d A= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅h 2 α α .

A felületnek két oldala van. Így a felületi feszültség másik értelmezésé-hez jutunk: a felületi feszültség megmutatja, hogy a folyadék felszí-nének egységnyi megnöveléséhez mennyi munkavégzés szükséges.

Ezen értelmezés alapján a felületi feszültség mértékegysége: α[ ] = Jm2 .

(Természetesen α[ ] = =1 1Nm

Jm2 . ) A víz felületi feszültségének értéke

0,073 J

m2 , a higanyé 0,407 J

m2 , az alkoholé 0,022 Jm2 .

Láttuk, hogy a folyadékok felületi rétegében lévő molekulákra a folyadék belseje felé mutató eredő erő hat. Ha tehát a folyadék bel-sejéből a felszínre akarunk vinni molekulákat, azaz a felszínt növelni akarjuk, akkor a molekulák közötti kohéziós erők ellenében kell munkát végeznünk.

Úgy gondolom, a fentiek magyarázatot adnak arra, amit a pénzérmével kapcsolatosan tapasztaltam, illetve amit hugi vett észre a molnárkát megfigyelve.

202

Folyadékok és gázok mechanikájaFolyadékok és gázok mechanikája

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

h

h

3.7. Kapilláris emelkedés és süllyedés, a felület görbültsége jellemző a folyadék és a kapilláris anyagi minőségére

a)

b)

3.8. Folyadékok ék alakú edény-ben (a) víz, b) higany)

2r

3.9. Sztalagmométer

Észrevettétek-e azt, hogy a folyadékkal telt edény falánál, az edénybe állított kis sugarú, vékony csövek, a hajszál-csövek (úgynevezett kapillárisok) külső és belső oldalánál görbült felület alakul ki?

Igen, ez jól látható, miként az is, hogy a kapillárisokban nem abban a magasságban áll a folyadék felszíne, mint az edényben (3.7. ábra).

A folyadékfelület görbültsége, valamint a kapilláris-emelkedés, illetve süllyedés a folyadékok felületi feszültségének tudható be. Az úgyneve-zett nedvesítő edény-folyadék-pár esetén (pl. tiszta üveg-víz) a felszín az edény oldalfalánál felülről nézve homorú, a folyadékba tett kapillá-risban a folyadék magasabban áll, mint az edényben. Az úgynevezett nem-nedvesítő edény-folyadék-pár esetén (pl. tiszta üveg-higany) a felszín az edény oldalfalánál felülről nézve domború, a folyadékba tett kapillárisban a folyadék alacsonyabban áll, mint az edényben.

Öntsünk ék alakú edénybe vizet, illetve higanyt, és figyel-jük meg a folyadékfelszín alakját (3.8. ábra)! Az ék alakú edény lényegében egymás mellett sűrűn elhelyezett kapil-lárisoknak tekinthető. Minél nagyobb a „kapilláris” suga-

ra, annál kevésbé észlelhető benne a folyadékszint emelkedése vagy süllyedése. Fennáll a Jurin-féle törvény: a folyadék h magassága fordítottan arányos a kapilláris r sugarával, azaz h r⋅ = állandó.A folyadékcseppek kialakulása is a felületi feszültség következménye.

Figyeljétek meg a cseppek kialakulását, azt, hogy ugyanarról a kapillárisról mindig ugyanakkora cseppek cseppennek le!Folyadékok felületi feszültsége mérhető az úgynevezett szta lag mo mé ter rel (3.9. ábra). Ez az eszköz lényegében

egy kapilláris, amelyből folyadék csepegtethető ki. A V térfogatú, ρ sűrűségű csepp akkor szakad le az r sugarú kapillárisról, ha a cseppre ható gravitációs erő nagysága eléri a kapilláris külső kerülete mentén fellépő kapilláris vonzóerőt: F m gh = ⋅ , azaz 2 ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅r V gπ α ρ ,

amiből α ρπ

= ⋅ ⋅⋅ ⋅V gr2

.

Megfigyeltem, ha a víz felszínére helyezett pénzérme mellé egy mosószerbe mártott gyufaszálat nyomtak, ak-kor a pénzérme hirtelen az edény aljára süllyedt.

203

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

3.10. Mosogatószerrel könnyebb eltávolítani a zsíros szennyező-déseket

3.11. A hajszálgyökerek mint ka-pillárisok szívják fel a talajoldatot

Ne csak nézd!Végezd el a képen látható kí-sérletet! Mi lehet a jelenség magyarázata?

3.12. Mi történik?

És azt tudjátok-e miért használok mosogatáskor (3.10. ábra) és mosáskor is mosogatószert, illetve mosószert?

A mosószerek legfontosabb tulajdonsága a mosóhatásuk szempontjá-ból, hogy csökkentik a felületi feszültséget. Ugyanis a víz a nagy felüle-ti feszültsége miatt a textilszövet finom pórusaiba nem képes behatolni, ezért onnan például a zsíros szennyeződést sem tudná eltávolítani. Szap-pan – és más, ma használatos nagy hatású mosószerek – segítségével azonban képes erre. A felületaktív anyagok – tenzidek vagy detergensek – úgy csökkentik egy folyadék (például a víz) felületi feszültségét, hogy a folyadékhoz adva molekuláik a folyadék felületén irányítottan helyez-kednek el. A detergens részecskék a zsír és a víz közötti közös határ-rétegbe úgy épülnek be, hogy a hidrofób (víztaszító) részük benyúlik a zsírcsepp belsejébe, a hidrofil (vízkedvelő) pedig a vízbe. Mozgatással a zsírcseppek elszakadnak a textil felületétől és emulziót képeznek.

A növények tápanyag felvételében is jelentős szerepet játszanak a kapillárisok (3.11. ábra). Az emberi szervezetben a vér és a szöve-tek között a víz és az ásványi anyagok tényleges cseréjét a kapillárisok (hajszálerek) teszik lehetővé.

A folyadék molekuláira kohéziós, illetve adhéziós erők hatnak. Ezek az erők rövid ha-tótávolságúak. A folyadékfelszín a lehető legkisebbre igyekszik összehúzódni. A folya-

dékfelszín növeléséhez munkát kell végezni. A felületi feszültség megmutatja, hogy folyadék felszínének egységnyi megnöveléséhez mennyi munkavégzés szükséges. A kis sugarú csöveket hajszálcsöveknek, kapillárisoknak nevezzük. A folyadékba merülő kapillárisokban maga-sabban vagy alacsonyabban áll a folyadék felszíne, mint a folyadékot tartalmazó edényben. A cseppek képződése is a felületi feszültség megnyilvánulása. A felületi feszültséget az úgyne-vezett detergensek csökkentik.

1. Mekkora erővel lehet egy 15 cm hosszú vékony drótszálat a higany felszínéről elszakítani?

Megoldás:

Adatok: l = =15 cm 4 7 JmHg 2, , .α 0 0

F = ?

F l= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅2 2 0 407 0 15αHg 2

Jm

m = 0,1221 N., ,

204

Folyadékok és gázok mechanikájaFolyadékok és gázok mechanikája

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Ne csak nézd!Keress forrást, amiből meg-ismerheted az úgynevezett kétbuborékos kísérletet! Vé-gezd el a kísérletet! Melyik buborék fújja fel a másikat? Mi lehet a magyarázat?

3.13. Melyik buborék az „erő-sebb”?

Ne csak nézd!A folyadékok felületi feszült-sége függ a hőmérséklettől. A függésmódot leíró össze-függést Eötvös Loránd, neves magyar fizikus írta fel. Nézz utána, hogyan szól ez az ösz-szefüggés! Milyen eredmé-nyeket ért el Eötvös a kapilla-ritás tanulmányozása során?

3.14. Eötvös Loránd (1848–1919)

2. Vastag falú kapilláris külső átmérője 4 mm. Mekkora tömegű víz-csepp jö het létre a függőleges helyzetű cső végén?

αvíz 2729 Jm

=

0 0,

Megoldás:

Adatok: 2 4 4 10 0 0729 1032 2⋅ = = ⋅ = =−r g mm m J

mmsvíz, , , .α

m = ?

A cseppre ható nehézségi erő megegyezik a kapilláris kerülete mentén fellépő erővel: m g r⋅ = ⋅ ⋅ ⋅2 π α , amiből

mr

g=

⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅

−

−2 4 10 0 07299 16 10 9 16 10

3

5π α πvíz

2

2

m Jm

10 ms

kg,

, , −−2 g.

3. Egy 1 mm belső átmérőjű csőben a folyadék 1,8 cm magasra emel-kedik. Milyen magasan áll ugyanez a folyadék a 0,6 mm belső át-mérőjű kapillárisban?

Megoldás:Adatok: d h d1 1 21 mm 1 8 cm 6 mm.= = =, , , ,0

h2 = ?

A Jurin-féle törvény alapján: h r h r1 1 2 2⋅ = ⋅ ,

azaz h h rr

h dd2

1 1

2

1 1

2

3=⋅

=⋅

=⋅

=1,8 cm 1 mm

0,6 mm cm.

4. Gömb alakúnak tekinthető, 0,5 cm sugarú vízcseppet két, azonos nagyságú cseppre választunk szét. Mennyi munka árán tehetjük ezt

meg, ha a víz felületi feszültsége αvíz 2729 Jm

= 0 0, ?

Megoldás:

Adatok: r r r1 2 víz 2 5 cm 729 Jm

= = =, , , , .0 0 0α

W = ?

A két részre bontott vízcsepp m tömege változatlan marad, tehát

m m m1 2 2

= = , azaz ρπ

ρπ

víz víz⋅⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅43

12

43

13 3r r .

Innen r r13

12

= ⋅ . A munkavégzés nagysága:

205

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••3.15. Sodronyalakok

3.16. Cseppentő

A

3.17. Szappan-motoros hajó

3.18. Grüll-féle eszköz

W A r r r r= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅( ) = ⋅ ⋅ ⋅ -( ) =

=

α α π π α π

α

víz víz víz

víz

∆ 2 4 4 4 212 2

12 2

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ -

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅

4 2 12

4 0 587

0 0729 4

3 2 2 2π α π

π

r r rvíz

2

Jm

,

, ⋅⋅ ⋅ ⋅ = ⋅- -0 587 0 5 10 1 34 102 5, ( , , .m) J2

1. Nézz utána, mi az illeszkedési szög, és mitől függ a nagysága (3.8. ábra)?

2. A régi „öregek” azt mondták: „Egy kapálás felér egy jó esővel!” Mire utal ez a mondás?

3. Mik az úgynevezett Plateau-féle sodronyalakok (3.15. ábra)? Ké-szíts ilyen drótkereteket és merítsd azokat mosószeres oldatba! Mi-lyen felületek jönnek létre? Ki volt Plateau?

4. Mire szolgál a cseppentő (3.16. ábra), és mi a normálcsepp? 5. Készíts szappan-motoros kishajót! Ehhez kartonból vágj ki egy, a

3.17. ábrán vázolt hajót! Tedd vízre, majd cseppents szappanoldatot vagy mosószer oldatot az A helyre. Mit tapasztalsz?

6. Készíts plexi lapokból és kis távtartóból úgynevezett Grüll-féle esz-közt (3.18. ábra)! Fúrj az egyik lapon kis lyukakat, majd helyezz néhány lyukba gombostűt. Ezután az eszközt merítsd mosószeres oldatba. Mit tapasztalsz?

1. Egy vastag kapillárisról 0,115 g tömegű vízcseppek szakadnak le.

A víz felületi feszültsége 7 29 Nm

1 ms

22, , .⋅ =−10 0g Mekkora a ka-

pilláris külső átmérője? 2. Egy r1 sugarú kapillárisban 2 cm magasan áll a folyadék.

A d2 2 4 mm= , átmérőjű kapillárisban ugyanezen folyadék 15 mm magasan áll. Mekkora r1 értéke?

3. Egy folyadékhártya felületét 20 cm2-rel megnöveljük. Az ehhez szükséges munkavégzés nagysága 0,146 mJ. Mekkora a folyadék felületi feszültsége?

206

Folyadékok és gázok mechanikájaFolyadékok és gázok mechanikája

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Ne csak nézd!Milyen irányba tartsuk a lo-csolócsövet, hogy a leg mesz-szebb menjen a víz?

4.1. Öntözés locsolócsővel

4.2. Áramvonal és áramlási cső

A1v1 = A2v2A1

v1v2

A2

4.3. A kontinuitási egyenlet

p1 > <p2 p3

Ne csak nézd!Miért „emeli meg” az esetleg gyengébben rögzített háztető-ket a szélvihar?

4.4. A nyomás és a keresztmetszet kapcsolata

4.Afolyadéklehet„ideális”,megnemis,ésmégáramolhatisÁramlófolyadékokésgázok

Irodalomórán megismertük József Attila: A Dunánál című versét. Az első két sor ideillik:

„A rakodópart alsó kövén ültem,néztem, hogy úszik el a dinnyehéj.”

Reggel öntözőcsővel a kertet locsoltam. Az egyik távolab-bi bokrot nehezen tudtam meglocsolni. Nagyapa tanácsára jól összeszorítottam a cső végét. A víz most nagyobb se-

bességgel áramlott ki a csőből és eljutott a bokorig (4.1. ábra).

Idáig a nyugvó folyadékokkal és a rájuk vonatkozó törvényekkel fog-lalkoztunk. A hétköznapi tapasztalatok mutatják, hogy a folyadékok és gázok mozognak, áramolnak (pl. folyóvizek mozgása, szél, stb.).

Az áramlási tér az a térrész, ahol a folyadékok (gázok) áramla-nak. A folyadékok mozgását kísérletileg is tanulmányozhatjuk. A fo-lyadékra, a folyadékban lebegő, kisméretű testeket (pl. likopódiumpor, parafareszelék), szórunk. Ezek a testek úgy mozognak, mint az a fo-lyadékelem, amit a test elfoglalt. Adott időpillanatban az áramlási tér különböző pontjain áthaladó részecskék sebességvektorai folytonos görbéket határoznak meg. Ezek a vonalak az áramlási vonalak.

Stacionáris az áramlás, ha az áramlási tér adott pontjában áthaladó folyadékrészecske sebessége, minden időpontban ugyanaz. A részecs-ke mozgása során ugyanazon áramlási vonalon halad. Időben állandó áramlási vonalakkal körülhatárolható egy csőszerű térrész, az áramlási cső (4.2. ábra). Az áramlási csőből az áramlás során folyadékrész nem léphet sem ki, sem pedig be. Ebből következik, hogy az áram-lási cső bármely keresztmetszetén időegységenként áthaladó folyadék-

mennyiség állandó: mt

mt

1 2

∆ ∆= .

Ha a folyadék ideális, akkor ρ sűrűsége állandó, így ρ ρ⋅=

⋅Vt

Vt

1 2

∆ ∆,

illetve A st

A st

1 1 2 2⋅=

⋅∆∆

∆∆

, amiből A v A v1 1 2 2⋅ = ⋅ . Az áramcső kereszt-

metszete területének és a folyadék áramlási sebességének a szorza-ta állandó (4.3. ábra). Ezt a törvényt folytonossági törvénynek vagy kontinuitási egyenletnek nevezzük.

A gázok nem túl nagy sebességgel történő áramlásánál csak kis nyomáskülönbségek lépnek fel, a sűrűség lényegében állandónak te-kinthető (ha a hőmérséklet állandó), így a kontinuitási egyenlet jó kö-zelítéssel gázokra is érvényes.

207

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

h1

∆s1

∆s2

A1

A2

h2

4.5. Alkalmazd a munkatételt!

4.6. Daniel Bernoulli (1700–1782) egy többgenerációs tudóscsalád egyik tagja

4.7. Értelmezd a jelenséget!

méz tej

4.8. A tej folyékonyabb, mint a méz

A kontinuitási egyenletet vettem figyelembe, amikor a na-gyobb folyadéksebesség elérése érdekében a cső összeszo-rítását javasoltam.

A 4.4. ábrán vázolt kísérlet eredménye alapján vízszintes csőben áram-ló folyadék esetén a nyomás ott kisebb, ahol a keresztmetszet kisebb, illetve ahol a sebesség nagyobb.

Jusson az m tömegű, A s A s V1 1 2 2⋅ = ⋅ =∆ ∆ folyadéktérfogat az adott 0-szinttől mért h1 magasságból a h2 magasságba (4.5. ábra)! Le-gyen a folyadék ideális, és alkalmazzuk a munkatételt: ∆E Wmozgási =∑ !

Másképpen 12 2

212

1 2 2 2 2 1 1 1⋅ ⋅ -( ) = ⋅ ⋅ - - ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅m v v m g h h p A s p A s( ) .∆ ∆

Az összefüggés V-vel való osztása után adódik, hogy 12 2

212

1 2 1 2⋅ ⋅ -( ) = ⋅ ⋅ -( ) + -ρ ρv v g h h p p ,

12 2

212

1 2 1 2⋅ ⋅ -( ) = ⋅ ⋅ -( ) + -ρ ρv v g h h p p , illetve általánosan p v g h+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =12

2ρ ρ állandó.

p v g h+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =12

2ρ ρ állandó. A statikai nyomás (p), a torlónyomás 12

2⋅⋅ ⋅⋅

ρρ v és a hid-

rosztatikai nyomás ρρ ⋅⋅ ⋅⋅(( ))g h összege állandó. Ez Bernoulli törvé-nye, amely jó közelítéssel áramló gázokra is érvényes (4.6. ábra).

Sok meglepő jelenség tartozik az úgynevezett aerodinami-kai paradoxon témakörébe. Mi a magyarázata a 4.7. ábrán látható Bernoulli-féle törvény alapján vázolt jelenségnek?

Reggelizés közben megfigyeltem, hogy a tej sokkal folyé-konyabb, mint a méz (4.8. ábra). Miért térhet el egymástól a folyadékok folyékonysága?

Üvegkádba töltsünk kevésbé folyós folyadékot, például mézet. Állít-sunk a folyadékba függőleges helyzetű lemezt! Lassan emeljük ki a lemezt a folyadékból! Azt tapasztaljuk, hogy a lemezzel érintkező vé-kony réteg hozzátapad a lemezhez, a folyadék lemezzel érintkező része együtt emelkedik vele (4.9. ábra).

A lemez csak a hozzátapadó folyadékrétegre fejt ki erőt, a távo-labbi folyadékrétegek csak úgy jöhetnek mozgásba, ha az egymáson elcsúszó rétegek között fellép egy súrlódásszerű jelenség.

Végezzük el a következő kísérletet! Függőleges manométerekkel ellátott állandó keresztmetszetű, vízszintes csőben áramoltassunk fo-lyadékot (4.10. ábra)! A csőben a folyadék állandó sebességgel halad. A manométerek mutatta értékekből arra következtethetünk, hogy a cső mentén a nyomás egyenletesen csökken. Kimutatható, hogy a cső két pontja közötti p p2 1-( ) nyomáskülönbség arányos a két pont l távol-

208

Folyadékok és gázok mechanikájaFolyadékok és gázok mechanikája

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

4.9. Lemez kiemelése a mézből

4.10. A manométerek csökkenő nyomást jeleznek

vrelatív

FFs

4.11. Áramló folyadékban a golyóra súrlódási erő hat

4.12. Vízierőmű

4.13. Szélkerekek

ságával. Mérve a Δt idő alatt a merevfalú, r sugarú, kör keresztmet-szetű csövön átfolyó folyadék V térfogatát, az adódik, hogy az áram-

lás I Vt

= ∆∆

( ms

3

mértékegységű) áramerőssége egyenesen arányos a

p pl

2 1- nyomáseséssel, egyenesen arányos a sugár negyedik hatvá-

nyával, azaz I Vt

p pl

r=-

⋅∆∆

2 1 4 , és függ a folyadék η anyagi minő-

ségétől, azaz I Vt

p pl

r= ⋅-

⋅∆∆

1 2 1 4

η. Az arányossági tényező értéke:

π8

. Az η anyagi minőségre jellemző állandót belső súrlódási együtt-

hatónak, viszkozitásnak nevezzük. Összefoglalva kapjuk a Hagen-

Poiseuille-féle törvényt: I Vt

p pl

r= = ⋅ ⋅-

⋅∆∆

πη81 2 1 4.

A viszkozitás mértékegysége: η[ ] = ⋅ ⋅⋅

= ⋅Pa m sm m

Pa s.3

4

A víz visz-

kozitásának értéke 1,001 mPa · s, a mézé pedig kb. 10 Pa · s.A viszkozitás értéke függ a hőmérséklettől.

Helyezzünk áramló folyadékba R sugarú golyót! A belső súrlódás miatt a golyóra a folyadék erőt fejt ki. Az úgyneve-zett Stokes-féle súrlódási törvény (közegellenállási erő) szerint a folyadékhoz képest v relatív sebességgel mozgó

golyóra F R vs relatív= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅6 π η nagyságú súrlódási erő hat (4.11. ábra), ahol η a folyadék belső súrlódása, viszkozitása. Ha vrelatív ≠ 0, akkor a golyóra egy F F= s erővel kell hatnunk. Kis sebességű áramlások (lamináris áramlás) esetén a lineáris közegellenállási erőtörvény ér-vényes más alakú testekre is. A sebesség növekedésével az áramlás örvényessé (turbulenssé) válik, és akkor a korábban tanult négyzetes közegellenállási erőtörvény használható.

A nyáron Tiszalökre kirándultunk, és megnéztük az erő-művet (4.12. ábra). Tudjátok-e mit használnak fel elektro-mos energia előállítására ebben az erőműben?

Az áramló folyadékok lendületváltozásából származó erők turbinák meghajtására is felhasználhatók.

Az áramló levegő, a szél is egy megújuló energiaforrás, az energiát a szélerőművekben, szélkerekek alkalmazásával nyerhetünk (4.13. ábra).

Engem roppantul érdekel a repülés, ami gondolom az áramlások témakörével is összekapcsolható.

209

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

közegellenállási erő

felhajtóerő eredő erő

4.15. A vízsugár keresztmetszete fentről lefelé csökken

A repülőgép levegőbe emeléséhez erő szükséges. Az áramlási közegbe tett szárnyprofil fölött az áramlás sebessége nagyobb, alul pedig kisebb. A felül nagyobb sebességhez kisebb, a kisebb sebességhez nagyobb nyo-más tartozik. A nyomáskülönbségből a szárnyra felfelé irányuló, úgyneve-zett aerodinamikai felhajtóerő jön létre (4.14. ábra). Ez az erő biztosítja a repülőgép levegőben való maradását is.

4.14. A szárnyra aerodinamikai felhajtóerő hat

A kontinuitási egyenlet kimondja, hogy az áramcső keresztmetszete területének és a folyadék áramlási sebességének a szorzata állandó: A v A v1 1 2 2⋅⋅ == ⋅⋅ . Ideális folya-

dékok esetén a statikai nyomás (p), a torlónyomás 12

2⋅⋅ ⋅⋅

ρρ v és a hidrosztatikai nyomás

ρρ ⋅⋅ ⋅⋅(( ))g h összege állandó, azaz p v g h++ ⋅⋅ ⋅⋅ ++ ⋅⋅ ⋅⋅ ==12

2ρρ ρρ állandó. Ez Bernoulli törvénye. Az

egymáson elcsúszó folyadékrétegek között fellép egy súrlódásszerű jelenség. Merev falú, r sugarú csőben áramló folyadék esetén az áramerősség értékét a Hagen-Poiseuille-féle törvény

adja meg: I Vt

p pl

r== == ⋅⋅ ⋅⋅−−

⋅⋅∆∆∆∆

ππηη81 2 1 4, ahol η a belső súrlódási együttható, a viszkozitás. A

Stokes-féle súrlódási törvény szerint a folyadékhoz képest v relatív sebességgel mozgó R su-garú golyóra F R vs relatív== ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅6 ππ ηη nagyságú súrlódási erő hat. Az áramló levegő (szél) és az áramló folyadék (víz) mozgási energiája energiaforrást jelent.

1. Az áramlási cső keresztmetszete egy adott helyen 25 cm2, ott az

áramlás sebessége 1,2 ms

. Mekkora az áramlás sebessége azon a

helyen, ahol a keresztmetszet területe csak 6,25 cm2?

Megoldás:

Adatok: A v A12

1 2225 1 2 6 25= = =cm m

s cm, , , , .

v2 = ?A kontinuitási egyenlet szerint:

A v A v1 1 2 2⋅ = ⋅ , ahonnan v A vA21 1

2

4 8=⋅

=⋅

=25 cm 1,2 m

s6,25 cm

ms

2

2 , .

2. Elegendően nagy méretű, függőleges helyzetű edényben, 0,5 mm

sugarú, 2600 kgm3 sűrűségű golyó süllyed 950

kgm3 sűrűségű olaj-

ban (4.16. ábra). Mekkora a golyó maximális sebessége? Az olaj

viszkozitása 0,21 Pa · s, g =10 2

ms

.

210

Folyadékok és gázok mechanikájaFolyadékok és gázok mechanikája

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

4.16. Mi befolyásolja a golyó mozgását?

4.17. Jean Louis Marie Poiseuille (1797–1869)

4.18. Popeye pipája

Megoldás:Adatok:

R g= = = = ⋅ =0 5 950 2600 0 21 103 3, , , , , ,mm kgm

kgm

Pa s msolaj olajρ ρ η 22 .

vmax = ?

A golyóra a nehézségi erő, a felhajtóerő és a Stokes-féle súrlódási erő hat. A golyó addig gyorsul, amíg gyorsulása 0 nem lesz, azaz amikor a golyóra ható erők eredője 0-vá válik.mg F F- - =fel s 0.4

34

36 0

3 3⋅ ⋅⋅ ⋅ −

⋅ ⋅⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

R g R g R vπρ

πρ π ηolaj max . Innen

v R gmax ( ) ,= ⋅⋅

⋅ - ⋅29

2

ηρ ρolaj azaz

vmax( , )

,=

⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ −

⋅

−2 0 5 109 0 21

2600 950 103 2 m

Pa skgm

kgm

m3 3 ss

ms2 = ⋅ −4 37 10 3, .

3. Mennyi víz áramlik át egy perc alatt azon az 1,6 cm átmérőjű csö-

vön, amelynél a nyomásesés értéke 2·102 Pam

? A víz viszkozitásá-nak értéke 1,001 mPa · s.

Megoldás:

Adatok: r p pl

t=−

= ⋅ = = ⋅0 8 2 10 60 1 0012 1 2, , , , , . cm Pam

s mPa s∆ η

ΔV = ?

A Hagen-Poiseuille-féle törvény alapján: ∆∆Vt

p pl

r= ⋅ ⋅-

⋅πη81 2 1 4 ,

amiből az átáramlott folyadékmennyiség: ∆ ∆V p pl

r t= ⋅ ⋅−

⋅ ⋅ =π

η81 2 1 4

= ⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= =

−−π

81

1 001 102 10 8 10 60

0 0192

32 3 4

3,

( )

, Pa s

Pam

m s

m 119 2 3, . dm

1. Nézzetek utána a Bernoulli család, tudós-dinasztia egyes tagjai tu-dományos tevékenységének!

2. Keress forrást, amiből megismerheted Torricelli törvényét! Melyik törvény következményeként értelmezhető ez a törvény?

Tankönyvkiadónk 9. évfolyamos köteteit, amelyek a NAT 2012 és a hozzá kapcsolódó kerettantervek alapján készültek a 2013/14-es tanévben

több ezer tanuló és pedagógus ismerhette meg. E kötetek szerepelnek a 2014-es tankönyvjegyzéken, és folytatásaik, a 10. évfolyamos kötetek is teljes terjedelmükben elkészültek.A 9. évfolyamos köteteket megtalálhatja és kipróbálhatja az iskolákba küldött mintacsomagjainkban. Köszönjük, hogy megtekintette tankönyvünk mintaoldalait. Szakmai kérdésekben szerkesztőink állnak a rendelkezésükre.

Szabóné Mihály Hajnalkatermészettudományi főszerkesztő és fizika, kémia szakos szerkesztőmihaly.hajnalka@maxim.co.hu62/551-101

2014. február 7.

tÁJÉKOZtAtÓ