A Miskolci Egyetem Habilitációs Füzetei Műszaki-természettudományi Habilitációs Bizottság

MOZGÓ HENGER KÖRÜLI LAMINÁRIS ÁRAMLÁS VIZSGÁLATA

Írta

Baranyi László

aki a Műszaki Tudományág Gépészmérnöki Tudományok Tanszakán a habilitáció elnyerésére pályázik

Miskolc 2007

i

TARTALOMJEGYZÉK SUMMARY ii BEVEZETÉS iii KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS iv FONTOSABB JELÖLÉSEK v 1. SZÁMÍTÁSI ELJÁRÁS ÉS ÖSSZEHASONLÍTÓ SZÁMÍTÁSOK 1

1.1. Előzmények és célkitűzések 1 1.2. Alapegyenletek 4 1.3. Peremfeltételek 6 1.4. A hengermozgás jellemzői 6 1.5. Leképzés a fizikai síkról a számítási síkra, a numerikus eljárás 7 1.6. Álló hengerre vonatkozó számítások, összehasonlítások 11

1.6.1. Összehasonlítás mérési eredményekkel 13 1.6.2. Összehasonlítás számítási eredményekkel 16

1.7. A henger egyirányú rezgése, összehasonlítások 17 1.7.1. A henger keresztirányú rezgése, összehasonlítás 17 1.7.2. A henger hosszirányú rezgése, összehasonlítás 19

1.8. Kör-és ellipszis pályán mozgó henger, összehasonlítások 20 1.9. Tudományos eredmények 23

2. ELLIPSZIS PÁLYÁN MOZGÓ KÖRHENGER KÖRÜLI ÁRAMLÁS 24 2.1. Előzmények és célkitűzések 24 2.2. Meredek változások az időátlag és az rms görbékben 24 2.3. Paraméterek hatása az időátlag és az rms görbékre 28

2.3.1. A Reynolds szám hatása 28 2.3.2. Az ellipszis méretének hatása 31 2.3.3. A hengerrezgés frekvenciájának hatása 32

2.4. A bolygómozgás irányának hatása az erőtényezőkre 33 2.5. Tudományos eredmények 34

3. ENERGIACSERE. AZ UGRÁS KÖRNYEZETÉNEK ELEMZÉSE 35 3.1. Előzmények és célkitűzések 35 3.2. Mechanikai energiacsere a henger és folyadék között 35 3.3. Energiaátadásra vonatkozó eredmények 36 3.4. Az ugrás környezetének vizsgálata 38

3.4.1. Határciklusok 38 3.4.2. Fázisszög-különbség 40 3.4.3. Áramképek 42

3.5. Kezdeti feltétel hatása 44 36. Tudományos eredmények 46

4. KAPCSOLAT A FELHAJTÓERŐ- ÉS AZ ELLENÁLLÁS-TÉNYEZŐ KÖZÖTT INERCIA- ÉS GYORSULÓ RENDSZERBEN 48

4.1. Előzmények és célkitűzések 48 4.2. Az erőtényezők származtatása inerciarendszerben 49 4.3. Az erőtényezők származtatása gyorsuló vonatkoztatási rendszerben 52 4.4. Inercia- és gyorsuló rendszerben értelmezett erőtényezők kapcsolata 54 4.5. Erőtényezők kör és téglalap keresztmetszetű prizmatikus rúd esetén 55

4.5.1. Erőtényezők kör keresztmetszet esetén 55 4.5.2. Erőtényezők téglalap keresztmetszet esetén 56

4.6. Tudományos eredmények 58 5. A LEGFONTOSABB 20 PUBLIKÁCIÓ A HABILITÁCIÓS FÜZET TÁRGYKÖRÉBEN 59 IRODALOMJEGYZÉK 60

ii

INVESTIGATION OF LOW REYNOLDS NUMBER FLOW AROUND A MOVING CYLINDER

SUMMARY

This habilitation booklet summarises some of the results obtained over the past decade in

the numerical and theoretical investigation of low Reynolds number flow past a moving cylinder in an otherwise uniform stream. I began investigating this topic during my stay as a visiting professor at Nagaoka University of Technology in Japan, 1995-1997. It should be stated that this topic is rather far removed from that of my dissertation for the degree of Candidate of Technical Science, which was awarded in 1990.

The first three chapters describe the numerical approach applied to the study of flow around a circular cylinder at Reynolds numbers from 10 to 300 and gives results for various investigations of a cylinder in orbital motion, while the fourth chapter is more theoretical in nature. The area of flow around a cylinder is widely studied, but continues to be of interest because there are still topics that are poorly understood as the wake flow is rich in physical phenomena. Orbital cylinder motion is just beginning to be studied in detail. The data presented here reveal a hitherto unreported phenomenon, that of sudden jumps or switches in vortex structure with changes in the ellipticity of the orbital path of the cylinder.

The first chapter presents a thorough literature survey and introduces the governing equations and numerical methods. The transformed set of equations is solved by the Finite Difference Method. Also shown in this chapter is evidence for the validation of the code through comparison with experimental and computational results in the literature. Numerous comparisons are made for a stationary cylinder, as the most widely studied case, and also shown for a cylinder oscillating in transverse or in-line directions. Comparisons are also made for a cylinder in orbital motion (one is for a fully circular orbit only). All of these comparisons are considered to yield good agreement and thus show that the code is reliable.

The second chapter looks at a cylinder in forced orbital motion, introducing the phenomenon mentioned above. The frequency and in-line amplitude of oscillation and Reynolds number are fixed and the transverse amplitude of oscillation varied, at certain locations within a 0.001 difference in ellipticity values the solution abruptly switched from one curve to another (I call these ‘state curves’) when the time-mean or rms value of the force coefficients is plotted against the ellipticity of the cylinder path. There are always two state curves and there are two types. The effect of Reynolds number, amplitude of in-line oscillation, and frequency of oscillation on these ‘jumps’ was studied. An increase in any of these parameters led to an upward shift in the rms state curves. The possible influence of the direction of orbit was also investigated.

In the third chapter, first the energy transfer between the fluid and the moving cylinder was investigated by introducing a new energy transfer coefficient. Although the energy transfer in the transverse direction can be either positive or negative, overall the energy transfer is negative, meaning that energy is transferred from the cylinder to the fluid. Next a systematic investigation at pre- and post-jump ellipticity values was carried out for limit cycle curves of transverse cylinder motion and lift coefficient, the time-history of lift and drag, phase angle between lift and transverse cylinder motion, and flow patterns, among others. All studies showed that changes in parameters, including the initial condition for cylinder, can trigger a switch to the other state curve.

In the fourth chapter I derive relationships between lift and drag defined in an inertial or non-inertial system under identical kinematical conditions, for an arbitrary cross-section and low Reynolds number flow. The general formulas for lift and drag are applied to a circular and to a rectangular cylinder.

iii

BEVEZETÉS

A jelen habilitációs füzet, a kandidátusi értekezésem megvédése, azaz 1990 után végzett kutatómunka egy részét összegzi. A kandidátusi értekezésem témája a változtatható állásszögű és osztású síkbeli lapátrácson kialakuló potenciáláramlás számítása volt. Amikor 1995-1997 között a japán Nagaokai Műszaki Egyetemen dolgoztam vendég docensként az áramlástan széles területének oktatása mellett kutatási feladatom volt a körhenger körüli kis Reynolds számú áramlás numerikus vizsgálata. A nem áramvonalas testekről leváló örvények több szerkezet meghibásodásához vezettek, így például a Tacoma Narrows függőhíd összeomlásához, vagy a japán Monju atomerőmű 1995 évi bezárásához, amikor japán újságban gyakran lehetett a Kármán-féle örvénysorok fényképét látni. A szélnek kitett magas karcsú épületek, gyárkémények, silók, stb. a róluk leváló örvények miatt nagy amplitúdójú rezgésbe jöhetnek, különösen akkor, ha az örvényleválás frekvenciája közel esik a rendszer sajátfrekvenciájához, és a csillapítás kicsi. Ilyen probléma megoldására alkalmas kereskedelmi szoftver akkor még az ottani tanszéken sem állt rendelkezésre, így elkezdtem kidolgozni azt a számítási eljárást, amelynek továbbfejlesztett változatát ma is használom. Ezt a kutatási területet nagyon érdekesnek találtam, és bár gyakorlati fontossága miatt igen nagyszámú kutató foglalkozott/foglalkozik a körhenger körüli áramlás elméleti, kísérleti és numerikus vizsgálatával, a henger mögötti áramlás annyira összetett, hogy még mindig vannak ismeretlen területek. Ezért Japánból hazatérve ezt a kutatási témát folytattam tovább, amely tehát teljesen különbözik a kandidátusi értekezésem témájától, és ez alkotja a jelen tézisfüzet témáját is.

Az 1. fejezetben bemutatom a kétdimenziós számítási eljáráshoz tartozó alapegyenleteket, peremfeltételeket, majd azt a leképzést, amely segítségével a fizikai tartományt egyenközű számítási síkra transzformálom. Az alkalmazott numerikus módszer rövid bemutatása után rátérek számítási eljárásom „validálására”. Először a szakirodalomban leginkább megtalálható, álló hengerre vonatkozó mérési és számítási eredményekkel hasonlítottam össze számítási eredményeimet. Eljárásomat fűtött henger körüli áramlásra is kiterjesztettem, hogy tesztelhessem a szakirodalomban rendelkezésre álló fajlagos hőátadási tényező reprodukálásával. Az álló hengerre vonatkozó jó egyezés után kezdtem el az áramlás irányában ill. arra merőleges irányban rezgő henger körüli áramlást vizsgálni. Sikerült a szakirodalomban a rezgő hengerekre vonatkozó, megbízhatóan jó számítási eredményeket találnom, és az összehasonlítás ismét pozitív eredményeket hozott ugyanúgy, mint a két rezgés eredőjeként kapott körpályán mozgó henger körüli áramlás széles rezgési frekvencia tartományban történő szimulációja. Miután meggyőződtem arról, hogy számítógépes eljárásom minden megvizsgált esetre megbízható és jó eredményt adott, rátértem a párhuzamos áramlásba helyezett, ellipszis pályán mozgó körhenger körüli áramlás vizsgálatára.

Az áramlásba helyezett szerkezetek gyakran kétirányú rezgőmozgást végeznek. Amennyiben a függőleges és vízszintes irányú rezgés frekvenciája azonos, akkor a két rezgés eredőjeként ellipszis pályát nyerünk. Bár a hőcserélők rezgéstani méretezése jelenleg még nem teljesen kidolgozott mérnöki szakterület, az már ismert, hogy a hőcserélő csövei gyakran ellipszis pályán mozognak, ahol a pálya alakja általában a közel egyenes és a körpálya között változhat. Párhuzamos áramlásba helyezett, a főáramlással azonos tengelyű ellipszis pályán mozgó henger körüli áramlást vizsgáltam abban a speciális esetben, amikor a vizsgált paraméterek tartományában fennállt a „lock-in” állapot, azaz az örvényleválás frekvenciája szinkronizálódott a henger rezgetési frekvenciájához. A tézisfüzet 2. fejezete egy meglepő jelenség vizsgálatára koncentrál, amelyet akkor tapasztaltam, amikor a pálya ellipticitása (kistengely-nagytengely aránya) függvényében felrajzoltam az erőtényezők időátlagának és effektív középértékének (rms) görbéit. Azt találtam, hogy a megoldás két ún. „állapotgörbe”

iv

között ugrásszerűen változik. Itt különböző vizsgálatok eredményeit mutatom be, például a Reynolds szám, a rezgés frekvenciája és az ellipszis méretének hatását az áramlásra. Arra is kíváncsi voltam, hogy a hengermozgás iránya vajon befolyásolja-e az áramlás jellemzőit. (A válasz: két tényező tekintetében igen, a többiben nem).

A 3. fejezetben az áramlás és henger kölcsönhatására jellemző mennyiségeket tanulmányoztam közvetlen az ugrás előtti és utáni ellipticitás értékek esetére. Már a nagyon kis ellipticitás változás (0,001!) is jelentős mértékben megváltoztathatja az erőtényezőket; a felhajtóerő-tényező különösen érzékeny az ellipticitás változására. Határciklus görbék, az egyes jellemző mennyiségek között mérhető fázisszögbeli különbségek, valamint az adott hengerhelyzethez tartozó áramképek mind arra utalnak, hogy az ellipticitás értékének kis megváltoztatásával az örvényszerkezet ugrásszerűen változik meg. Úgy tűnik, hogy két periodikus megoldás létezik és az, hogy ezek közül melyik valósul meg, az a paraméterek értékeitől függ. Ezt támasztja alá a henger induló helyzetének, mint kezdeti feltételnek, a megoldásra gyakorolt hatására vonatkozó tanulmányom is: adott ellipticitás esetén a kezdeti feltétel megváltoztatásával mindkét megoldás elérhetővé vált.

A 4. fejezet az előző fejezetektől eltérően nem tartalmaz numerikus eredményeket. Ez a fejezet annak a kérdésnek a megválaszolásával foglalkozik, hogy mi a kapcsolat egy tetszőleges keresztmetszetű, általános mozgást végző henger körüli, két olyan kinematikailag egymással azonos, kis Reynolds számú áramlásra vonatkozó felhajtóerő-tényező és ellenállás-tényező között, amikor az egyik esetben a henger áll (azaz az áramlás leírása inerciarendszerben történik), a másikban pedig gyorsuló mozgást végez (ezért a hengerhez kötött vonatkoztatási rendszer nem inerciarendszer). Ez lehetőséget teremt arra, hogy szétválaszthassuk a gyorsuló vonatkoztatási rendszer miatt fellépő tehetetlenségi erőket és az áramlási eredetű erőket. Az általános összefüggések származtatása után alkalmazom azokat kör és téglalap keresztmetszetű esetekre.

Kutatási eredményeimet főleg angol nyelven publikáltam folyóiratokban és konferencia kiadványokban. Elnézést kérek a kedves olvasótól, amiért a tézisfüzetben ezek angol feliratú ábráit használtam. Azt is szeretném megjegyezni, hogy a témában főleg csak angol nyelvű dolgozatokra tudtam támaszkodni, és sok kifejezésnek nincs általánosan használt magyar megfelelője. Ezért zárójelben megadom a szakirodalomban általánosan használt angol szakkifejezést is.

KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS

Az Áramlás- és Hőtechnikai Gépek Tanszékének volt vezetői, Czibere Tibor és Nyíri András professzorok nagy hatással voltak tudományos érdeklődésem kialakulására, akiknek ezúton is köszönetemet és hálámat szeretném kifejezni. Hálával tartozom a Tanszék jelenlegi vezetőjének, Szabó Szilárd professzornak támogatásáért és alkotói szabadságom engedélyezéséért. Döbröczöni Ádám dékán és Jakab Endre dékánhelyettes urak folyamatos érdeklődésükkel buzdítottak a habilitációs anyag elkészítése során.

Köszönettel tartozom kollégáimnak, barátaimnak, Kalmár László, Lakatos Károly és Tolvaj Béla docenseknek, akik alkotói szabadságom ideje alatt mentesítettek oktatási tevékenységem alól, és akik kitartó munkára bátorítottak. A Tanszék teljes kollektívájának szeretném megköszönni azt a támogatást, amit a kutató munkámhoz kaptam. A tézisfüzet és több tudományos dolgozat ábráinak elkészítésében nagyon sok segítséget kaptam Ujvárosi Sándor okleveles gépészmérnöktől, amelyért itt is szeretnék köszönetet mondani. Nagyon hálás vagyok barátomnak, Szunyogh Gábor professzornak valamint kollégámnak, Schifter Ferenc docensnek a tézisfüzet gondos átnézéséért és értékes tanácsaikért. Nagyon sokat köszönhetek feleségemnek, Nagano Robin Lee-nek, akinek megértő segítsége nélkül ez a

v

tézisfüzet aligha születhetett volna meg. Hálás vagyok Shirakashi professzornak, akitől ezt a kutatási témát kaptam, amikor Japánban dolgoztam, és akivel azóta is kutatási kapcsolatban állok. Az elnyert T 030024 és T 04296 számú OTKA pályázataim tették lehetővé egyrészt e feladatok megoldásához nélkülözhetetlen nagy teljesítményű számítógépek beszerzését, másrészt eredményeim magas szakmai szintű konferenciákon történő előadását.

FONTOSABB JELÖLÉSEK JEGYZÉKE

0a a henger gyorsulásvektora, dU 2 -vel dimenziótlanítva

y,xA a rezgés amplitúdója x vagy y irányokban, d-vel dimenziótlanítva

DC ellenállás-tényező, ( )dU~/F~D22 ρ

DfC falsúrlódásból származó ellenállás-tényező

LC felhajtóerő-tényező, ( )dU~/F~L22 ρ

LfC falsúrlódásból származó felhajtóerő-tényező

pbC hátsó nyomástényező (base pressure coefficient), ( )[ ] ( )02 2 02 === ϕρ ϕ pU~/p~*

d hengerátmérő, hosszlépték, [m] e ellipticitás, xy A/A ; (kistengely-nagytengely aránya)

E mechanikai energiaátadási tényező, 222 /dU~ρ -vel dimenziótlanítva f a henger rezgési frekvenciája, dU -vel dimenziótlanítva

vf örvényleválás frekvenciája, [1/s]

F~ egységnyi hosszú hengerre ható erő, ji LFF ~~D + [N/m]

D~F egységnyi hosszú hengerre ható ellenállás, [N/m]

LF~ egységnyi hosszú hengerre ható felhajtóerő, [N/m] i, j x, y irányú egységvektorok n görbére merőleges, normális irányú ívkoordináta, d-vel dimenziótlanítva p folyadéknyomás, 2U~ρ -el dimenziótlanítva r két pont távolsága, d-vel dimenziótlanítva R sugár, d-vel dimenziótlanítva Re Reynolds szám, ν~Ud rms effektív középérték (root-mean-square) s görbe menti ívkoordináta, d-vel dimenziótlanítva St Strouhal szám, örvényleválási frekvencia, U/d -vel dimenziótlanítva;

T/U/dfv 1St == t idő, d/U-val dimenziótlanítva T örvényleválási periódus, d/U -val dimenziótlanítva, dimenziótlan hőmérséklet

qt nyomatéki (torque) tényező, 22dU~ρ -el dimenziótlanítva U párhuzamos áramlás sebessége, sebességlépték, [m/s] u,v x,y irányú sebességkomponensek, U-val dimenziótlanítva

0v henger középpontjának sebessége, U-val dimenziótlanítva x,y Descartes-féle derékszögű koordináták, d-vel dimenziótlanítva

vi

ϕ polárszög Φ fázisszög ν~ kinematikai viszkozitási tényező, [ s/m2 ] ρ~ a folyadék sűrűsége, [ 3m/kg ] ς örvényeloszlás, U/d-vel dimenziótlanítva Θ a sebesség divergenciája, U/d -vel dimenziótlanítva; a henger kezdeti helyzetére

jellemző polárszög ηξ , számítási síkon értelmezett koordináták

Indexek

f falsúrlódás L felhajtóerő D ellenállás mean az adott mennyiség időátlaga r a hengerrel együttmozgó (relativ) rendszerben rms az adott mennyiség rms értéke x, y x vagy y irányú komponens w az adott mennyiség fal menti értékre 1,2 energiaátadás y és x irányokban; a henger felületén ill. a tartomány külső peremén 0 a hengermozgásra vonatkozó mennyiség ηξ , ξ vagy η irányú komponens

1

1. SZÁMÍTÁSI ELJÁRÁS ÉS ÖSSZEHASONLÍTÓ SZÁMÍTÁSOK

1.1. Előzmények és célkitűzések A levegő- vagy folyadékáramlásba helyezett nem áramvonalas, vagy más néven tompa testekről leváló örvények gyakran a szerkezet meghibásodását okozzák. Jó példa erre a Tacoma Narrows függőhíd (USA), amely örvényleválás által keltett csavarólengés miatt omlott össze 1940-ben. Egy másik eset a Japán-beli Monju atomerőműben történt, ahol az áramló folyadékba helyezett műanyag hőmérőtok a róla leváló örvények miatt kifáradt és megrepedt, a repedésen keresztül pedig primer hűtőfolyadék jutott ki a rendszerből. Az erőművet 1995-ös leállítása óta nem indították újra. A szélnek kitett magas karcsú épületekről, silókról, gyárkéményekről leváló örvények az építmény nagy amplitúdójú rezgéséhez vezethetnek, ha annak sajátfrekvenciája közel esik az örvényleválási frekvenciához és ugyanakkor a szerkezet csillapítása kicsi. A hőcserélőkben lévő csőkötegekről leváló örvények a hőcserélő rezgéséhez és zajos üzeméhez vezethetnek.

Gyakorlati fontossága miatt nagyon sok kutató foglalkozik az álló és mozgó körhenger körüli különböző áramlások elméleti, kísérleti és numerikus vizsgálatával. Különösen kiterjedt irodalma van a párhuzamos áramlásba helyezett álló körhenger körüli áramlásnak; ezt példázza többek között Sumer és Fredsoe (1997) valamint Zdravkovich (1997) e kutatási téma eredményeit bemutató könyvei is. A teljesség igénye nélkül szeretném a következő négy, álló hengerre vonatkozó kísérleti tanulmányt megemlíteni: Roshko (1954), Williamson (1996), Bearman (1997a) és Norberg (2001). A körhengerre vonatkozó kísérleti eredmények jól felhasználhatók a számítási eredmények ellenőrzésére. A számítási kapacitás jelentős mértékű növekedésének eredményeként nagyon nagyszámú, az áramlás számításával foglalkozó tanulmány született. Ezek közül, a teljesség igénye nélkül, most csak néhányat említek meg. Braza és szerzőtársai (1986) (a későbbiekben ’és szerzőtársai’ helyett rövidítési célból az ”et al.” latin kifejezést fogjuk használni) a véges térfogatok módszerén alapuló kétdimenziós (2D) eljárásukkal vizsgálták az áramlást különböző Reynolds számok esetén (Re=100, 200, 1000). Karniadakis et al. (1991) a 2D spektrális elem módszerükben az egyenletek idő szerinti diszkretizációját több lépésre felbontva magas rendű eljárást fejlesztettek ki. Mittal és Balachandar (1997) Re=300 esetén összehasonlító számításokat végeztek a spektrális kollokációs módszeren alapuló két-és háromdimenziós (2D, 3D) eljárásaik alkalmazásával, amely lehetővé tette az adott Reynolds számnál fellépő 3D instabilitások vizsgálatát is. Thompson et al. (1995) a spektrális elem módszeren alapuló 3D eljárásukkal a kis Re számú kétdimenziós áramlásban megjelenő 3D instabilitásokat vizsgálták. Barkley és Henderson (1996) álló körhenger körüli áramlásra a Floquet analízis felhasználásával két 3D instabilitást azonosított: mode A: Re≅ 190 és 4≅λ d; mode B: Re≅ 259 és ≅λ 0.8d, ahol λ a henger hossza mentén értendő hullámhosszakat jelenti, d pedig a henger átmérője. Eredményeik alapján kijelenthető, hogy álló henger körüli áramlás esetén Re >190 esetén az áramlás pontos leírásához 3D eljárás szükséges. Kravchenko et al. (1999) 2D numerikus eljárásában sikeresen alkalmazta a B-szplájnt a tartományonként változó sűrűségű számítási háló esetén, és jó egyezést nyert kísérleti eredményekkel kis és közepes (Re=3900) Reynolds számok esetén. Guschin et al. (2002) a véges differenciák módszerén alapuló 2D és 3D eljárásaik felhasználásával körhenger körüli átmeneti áramlást vizsgáltak (amikor 3D jelenségek is fellépnek), és eredményeik megerősítik a Barkley és Henderson (1996) által kimutatott A és B típusú instabilitások létezését.

Fontossága miatt sok kutató foglalkozik a párhuzamos áramlásba helyezett hossz- vagy keresztirányban rezgő körhenger körüli különböző áramlások vizsgálatával. A párhuzamos áramlásba helyezett körhengerről leváló örvények egy periodikus gerjesztést jelentenek a hengerre nézve. Ilyenkor egy nemlineáris kölcsönhatás lép fel a folyadék és a henger között, amelynek eredményeként egy bizonyos sebességtartományban az örvényleválás

2

szinkronizálódik a henger rezgésével. Ezt a jelenséget a szakirodalomban általában lock-in-nek (szinkronizálódásnak) nevezik. Amennyiben a csillapítás kicsi és a rugalmasan felfüggesztett henger sajátfrekvenciája közel esik az örvényleválás frekvenciájához, akkor a henger nagy amplitúdójú keresztirányú rezgést végezhet. A numerikus vizsgálatok során gyakran a hengert mechanikusan rezgetik, így a henger pályája időben ismertnek tekinthető.

Egy másik különbség a párhuzamos áramlásba helyezett álló és rezgő henger körüli áramlások között az, hogy a rezgő henger szinkronizálódott állapotában az áramlás nagyobb Reynolds számig 2D marad. Többek között Bearman és Obasaju (1982) kísérleti eredményei azt mutatták, hogy a rezgőmozgást végző henger esetén a lock-in növeli az áramlási mennyiségek henger hossza menti korrelációját és ezzel erősíti az áramlás kétdimenziós voltát. Sumer és Fredsoe (1997) kimutatta, hogy egy körhengert keresztirányban rezgetve már kis amplitúdónál (0,1d) is jelentősen megnő a felületi nyomás-ingadozásokból definiálható korrelációs tényező henger hossza menti eloszlása. Poncet (2002, 2004) dolgozataiban hibrid örvény módszeren alapuló 3D numerikus eljárásának alkalmazása során párhuzamos áramlásba helyezett álló henger esetén Re=400 és 500 mellett a 3D áramkép kialakulása után forgásirányú rezgésnek tette ki a hengert, és rövidesen a 3D áramlás 2D-sá vált. Koide et al. (2002) a lock-in jelenség azonosítására használták a hosszirányú korrelációs tényező hirtelen megnövekedését a henger keresztirányú rezgésénél. Koopman (1967) és Griffin (1971) kísérleti vizsgálataik során azt kapták, hogy az áramlásra merőlegesen rezgő henger esetén az áramlás körülbelül Re=350-ig maradhat 2D. Lu és Dalton (1996) a 2D számítási eljárását keresztirányban rezgő henger esetén Re=500 sőt 1000-es Reynolds számra is használta. Kaiktsis et al. (2007) ugyancsak a főáramlás irányára merőlegesen rezgetett henger esetén Re=400 esetet vizsgált 2D módszerrel.

Ezek a vizsgálatok azt mutatják, hogy a henger lock-in állapotában a 3D jelenségek nagyobb Re értékeknél jelentkeznek, mint álló körhenger esetén, így az általam kifejlesztett 2D eljárás az álló hengerhez képest nagyobb, Re >190 esetén is használható. Mivel nem ismeretes egyértelmű felső korlát a Reynolds számra ameddig 2D marad a szinkronizálódott áramlás, a biztonság érdekében e tanulmányban nem vizsgáltam Re >300 eseteket.

A keresztirányú hengermozgás valóságban gyakran előfordul: ilyen keresztirányú rezgést okoznak a rugalmasan felfüggesztett testről periodikusan leváló örvények. A nagyszámú tanulmány közül itt most csupán néhányat kívánunk megemlíteni. Bishop és Hassan (1964) megfigyelte, hogy ugrás léphet fel a párhuzamos áramlásba helyezett, keresztirányban rezgő henger esetében a felhajtóerő és a henger-elmozdulás közötti fázisszögben. Williamson és Roshko (1988) sokat idézett dolgozatában kísérleti vizsgálatok alapján meghatározta azt a térképet, amely a henger dimenziótlan rezgési amplitúdója és mozgásának hullámhossza síkján szétválasztja az örvényleválás különböző módjait. Karniadakis és Triantafyllou (1989) megkísérelte az előbbi térkép egy részletét számítással rekonstruálni a spektrális elem módszer alkalmazásával. Az akkor még erősen korlátozott számítási lehetőségek mellett meghatározták a lock-in kialakulásához szükséges amplitúdóküszöb közelítő értékeit a henger rezgési frekvenciája függvényében. Bearman (1997b) tompa testekre – köztük rezgő körhengerre – vonatkozó kísérleti és számítási eredményeket mutatott be. A dolgozat Re=200 Reynolds szám értékhez tartozóan tartalmazza a keresztirányban rezgetett hengerre vonatkozó amplitúdóköszöb számított görbéjét is. Több numerikus vizsgálaton alapuló tanulmány, így például Lu és Dalton (1996), Blackburn és Henderson (1999) és Blackburn (2003) numerikus vizsgálattal kimutatta, hogy a párhuzamos áramlásba helyezett keresztirányban rezgetett körhenger lock-in állapotában a felhajtóerő-tényező és a keresztirányú henger-elmozdulás között mérhető fázisszögben hirtelen ugrás léphet föl, amikor a henger rezgési frekvenciája közel esik az adott Reynolds számhoz tartozó álló hengerre vonatkozó dimenziótlan St0 örvényleválási frekvenciához. Blackburn és Henderson (1999) bevezette a keresztirányban rezgő henger és a folyadék közti fajlagos energiaátadási tényezőt és azt tapasztalta, hogy

3

annak értéke előjelet vált, amikor az előbb említett fázisszög-ugrás fellép. Blackburn (2003) azt is megmutatta, hogy ilyenkor az ugrás előtti ill. utáni rezgési frekvenciánál a henger azonos helyzetéhez tartozó áramképek egymás közel tükörképei. Stewart et al. (2005) valamint Leontini et al. (2006) tovább vizsgálták az energia átadást, és Re=200 esetén számítással meghatározták a dimenziótlan rezgési amplitúdó– redukált sebesség A – U/(St0 d) ill. dimenziótlan rezgési amplitúdó-frekvencia A(f) síkokon az állandó energiaátadást jellemző görbéket. Kaiktsis és Triantafyllou (2004) valamint Kaiktsis et al. (2007) különböző, de rögzített henger rezgési frekvenciák esetén számítással meghatározták az erőtényezők időátlagának és effektív középértékének (root-mean-square, rms) a dimenziótlan rezgési amplitúdótól való függését. A görbéken bizonyos amplitúdó értékeknél a vizsgált függvények ugrásszerű változást szenvednek. Williamson és Govardhan (2004) összefoglaló tanulmányukban áttekintették az örvényleválások okozta rezgésekkel kapcsolatos számítási és kísérleti eredményeket. Oszcilláló áramlással (amikor a henger áll és a folyadékrészecskék végeznek periodikus keresztirányú mozgást) többek között Sarpkaya (1986, 2001), Meneghini és Bearman (1995) és Chaplin és Subbiah (1996) foglalkoztak.

A főáramlással párhuzamos irányú (angolul in-line) rezgő henger körül kialakuló áramlás vizsgálatával kevesebben foglalkoznak. Mivel ez a terület kisebb hatással volt kutatási irányvonalam kialakítására, mint a keresztirányban rezgő hengeré, így a vonatkozó szakirodalmat még vázlatosabban kívánom áttekinteni. Kamemoto et al. (1997) sikeresen alkalmazták az örvényelem módszer és a határréteg elmélet kombinációját numerikus tanulmányukban. Mittal és Kumar (1999) a végeselem módszeren alapuló számítási eljárásuk alkalmazásával vizsgálták a párhuzamos áramlásba helyezett rugalmasan felfüggesztett körhenger körüli áramlást (amely hossz- és keresztirányban is végezhet rezgést) Re=325 esetén. Vizsgálatukban kitértek az áramlás szinkronizálódott állapotára is. Cetiner és Rockwell (2001) a Particle Image Velocimetry (PIV) módszerrel vizsgálták a lock-in esetén fellépő örvényszerkezeteket. Mureithi et al. (2004), Mureithi és Rodriguez (2005, 2006) az áramlás irányában mechanikusan rezgetett henger körüli áramlást vizsgálták numerikus és kísérleti eszközökkel. Dolgozataikban az ortogonális felbontás (Proper Orthogonal Decomposition, POD) módszerét használták az örvénystruktúrák azonosítására.

A henger kétirányú rezgése ellipszis pályát eredményezhet. Belátható, hogy amennyiben a két egymásra merőleges rezgőmozgás frekvenciája azonos, akkor a kezdeti feltételek alkalmas megválasztásával a henger minden pontja azonos alakú ellipszis pályát fut be. A párhuzamos áramlásba helyezett elliptikus mozgást végző hengerek körüli esettel kevesebben foglalkoznak annak ellenére, hogy ez a hullámokban mozgó henger körüli áramlás modelljének tekinthető. A hőcserélőkben lévő csövek is gyakran ellipszis pályán mozognak, ahol a pálya alakja a közel egyenestől akár a körpályáig is változhat (Blevins, 1990). Bár az elliptikus pályát többféle aspektusból is vizsgálták, mindössze két dolgozatot találtam, amely megegyezik az én tanulmányomban található áramlási feltételekkel és hengermozgással: a párhuzamos áramlásba helyezett ellipszis pályán mozgatott körhenger körüli kis Reynolds számú áramlások numerikus szimulációjával.

Itt szeretnék megemlíteni néhány dolgozatot, amely némiképp kapcsolódik a jelen tanulmányom témájához. Kissé hasonló probléma a bolygó áramlás (orbital flow; amikor a folyadékrészecskék pályája egy zárt görbe), amely vizsgálatával többek között Chen et al. (1995) foglalkoztak. A szerzők az áramfüggvény-örvény módszeren (stream function vorticity method) alapuló 2D számítási eljárásuk alkalmazásával vizsgálták a bolygó áramlásba helyezett álló vízszintes henger körüli áramlást. A keverés modellezése céljából az álló folyadékban körpályán mozgatott henger körüli áramlást Teschauer et al. (2002) vizsgálták a véges térfogatok módszerén alapuló eljárásuk felhasználásával. Williamson et al. (1998) kísérleti tanulmányukban álló folyadékban ellipszis pályán mozgatták a hengert, és azt találták, hogy a pálya ellipticitásának (ellipszis tengelyaránya) növelésével mintegy 50%-kal

4

csökkent az ellenállás-tényező. Egy igen összetett esetet vizsgált Borthwick (1986), aki egy párhuzamos áramlásba helyezett forgó és egyben körpályán mozgó henger körüli áramlás számításával foglalkozott. Didier és Borges (2007) többek között egy párhuzamos áramlásba helyezett mechanikusan körpályán mozgatott körhenger körüli áramlást vizsgált. Széles határok között változtatták a rezgés frekvenciáját, és sikerült a hengermozgás és az örvényleválás közötti szinkronizálódást (lock-in) elérni. Az alapvető különbség az, hogy ők csak egyetlen ellipticitás esetet — a körpályáét — tekintettek, szemben a jelen tanulmánnyal, amely az ellipticitásnak az áramlás jellemzőire gyakorolt hatását vizsgálja. Lewis (2007) az örvényfelhő módszerével megkísérelte rekonstruálni azokat az időátlag és rms értékeket az ellipszis pályán mozgó henger keresztirányú rezgési amplitúdója függvényében, amelyeket Baranyi (2004a) határozott meg. Lewis azt találta, hogy +/- és -/+ előjelű örvénypárok alakulnak ki, és ezek határozzák meg, hogy az állapotgörbék melyik ágán van a rendszer.

Az előzőekben megfogalmazott problémák ismeretében célul tűztem ki:

egy olyan számítógépes eljárás kidolgozását, amely alkalmas összenyomhatatlan newtoni folyadék lamináris áramlásának homogén párhuzamos áramlásba helyezett, az áramlás irányára merőleges tengelyű, a főáramlás irányában vagy arra merőleges irányban harmonikus rezgőmozgást végző, vagy tetszőleges alakú ellipszis pályán mozgó körhenger körüli leírására (miközben a henger szimmetria tengelye mindig a vizsgált síkra merőleges marad). A tervezett eljárás legyen alkalmas az áramlás kinematikai jellemzőin (pl. sebességtér, örvénytér, stb.) túl a test és a folyadék közti dinamikus kölcsönhatás (felhajtóerő, ellenállás, nyomaték, energiacsere) meghatározására is. a tetszőleges síkbeli hengermozgásra kidolgozott számítási eljárás tesztelése,

validálása a szakirodalomban található — álló, rezgő és körpályán mozgó hengerre vonatkozó — kísérleti és számítási eredmények alapján.

1.2. Alapegyenletek Az áramlás alapegyenletei az 0

~a gyorsulással mozgó hengerhez kötött nem-inercia rendszerben vagy relatív rendszerben felírt Navier-Stokes mozgásegyenletek és a kontinuitási egyenlet, amelyek összenyomhatatlan newtoni közeg esetén a következő alakban írhatók fel:

( ) 021

avfvvv ~~~~p~~

~~~~~

t~~

−∇+∇−=∇⋅+∂∂ ν

ρ, (1.1)

0~~

~

~ ~~~ =∂∂

+∂∂

=⋅∇=y v

xuvΘ , (1.2)

ahol a ~ jel a mennyiségek dimenzionális voltára utal: v~ a sebességvektor, Θ~ a sebességvektor divergenciája, p~ a nyomás, ∇~ a dimenzionális nabla operátor, 2~∇ a Laplace operátor, f~ a tömegegységre vonatkoztatott nehézségi erőtér intenzitása, t~ az idő, ρ~ és ν~ a folyadék sűrűsége ill. kinematikai viszkozitása, x~ , y~ az adott rendszerben mért Descartes-féle koordináták, u~ , v~ pedig az x~ , y~ irányokban vett sebességkomponenseket jelöli. Egyenleteinkben eltekintettünk az áramló közeg viszkozitásának és sűrűségének a hőmérséklettől való függésétől. Az (1.1) és (1.2) egyenletekben az egyes vektorok közötti szorzásjel skaláris szorzást jelöl. Az (1.1) egyenletben a nyomásgradiens és a nehézségi erőtér vektora összevonható:

( ) *p~~~h~g~~

p~~p~~~h~g~p~~

~~ ∇−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∇−=∇−∇−=∇−

ρρρρ111f , (1.3)

5

ahol g~ a nehézségi gyorsulás, h~ a nehézségi erővel ellentétes irányítású helykoordináta, *~p a p~ tényleges nyomás és a folyadék h~g~ fajlagos helyzeti energiájához társítható nyomás

összege. Mint ismeretes a h~g~~p~p~* ρ+= (1.4)

értéke nyugvó, állandó sűrűségű folyadékban állandó. *~p állandósága éppen a hidrosztatika egyenletének egyik alakját adja. A h~g~ fajlagos helyzeti energiából származó nyomástag nyugvó folyadékba helyezett test esetén éppen a testre ható archimédeszi felhajtóerőt kompenzálja. Így a *~p használatának előnye, hogy szétválasztja a testre ható archimédeszi felhajtóerőt és az áramlásból származó más erőket (Baranyi és Shirakashi, 1999).

Térjünk most át dimenziótlan mennyiségekre. Válasszuk a henger előtti zavartalan áramlás U sebességét sebességléptéknek, hosszléptékül pedig használjuk a d hengerátmérőt! Ezek felhasználásával definiálhatjuk a ~ jel nélküli dimenziótlan mennyiségeket:

22

*

Uρ~τ~τ,

Uρ~p~ p

Ud~

;U

~,

dy~y,

dx~x,

dt~U t =======

2

00

aavv , (1.5)

ahol τ~ és τ a dimenzionális és dimenziótlan nyírófeszültség, p a dimenziótlan nyomás. Az (1.3) kifejezés utolsó tagját beírva az (1.1) jobb oldalán lévő első két tag helyére, majd az így nyert egyenlet mindkét oldalát 2/Ud -el megszorozva és figyelembe véve az (1.5) definíciókat, a következő, csak dimenziótlan mennyiségeket tartalmazó, egyenletet kapjuk:

( ) 02

Re1

avvvv

−∇+−∇=∇⋅+∂∂ p

t, (1.6)

ahol ν~/Ud=Re a Reynolds szám, 2∇ pedig a dimenziótlan 2D Laplace operátort jelöli. Az (1.6) egyenlet két komponens-egyenlete a következő alakú:

xayu

xu

xp

y uv

x uu

t u

02

2

2

2

Re1

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂ , (1.7)

yayv

xv

yp

y vv

x vu

t v

02

2

2

2

Re1

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂ , (1.8)

ahol u, v ill. xa0 , ya0 a folyadék sebességének ill. a henger gyorsulásának x ill. y irányú komponense. Az (1.2) dimenzionális kontinuitási egyenletet d/U tényezővel megszorozva a

0

=∂∂

+∂∂

=⋅∇=yv

xuvΘ (1.9)

dimenziótlan kontinuitási egyenlet adódik, ahol Θ a dimenziótlan v sebességvektor divergenciája. Bár egyenleteinket a gyorsuló mozgást végző hengerhez kötött rendszerben írjuk fel, az 0a =0 helyettesítéssel azok érvényesek maradnak álló henger esetére is.

Bár az (1.7)-(1.9) egyenletek elvileg alkalmasak az u, v sebességek és a p nyomás meghatározására, de azok időbeli változásának pontos megoldási lehetőségét jelentősen megnehezíti az a tény, hogy az (1.9) kontinuitási egyenlet nem tartalmazza explicite az idő szerinti deriváltat. A probléma áthidalható, ha egy külön egyenletet származtatunk a nyomásra. Az (1.6) Navier-Stokes egyenlet divergenciáját véve, a Θ sebességdivergenciát tartalmazó tagok közül csak annak idő szerinti parciális deriváltját meghagyva, némi átrendezés után adódik a nyomásra vonatkozó Poisson egyenlet (Harlow és Welch, 1965):

txv

yu

yv

xu

yp

xp

2

2

2

2

2

∂Θ∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=+ . (1.10)

6

Mivel a henger 0a gyorsulása csak az időtől függ, így annak divergenciája nem jelenik meg az (1.10) egyenletben. A fenti egyenletben a Θ az (1.9) egyenlet alapján ugyan zérus, de a fenti leírásmódot véges differenciák módszerével együtt alkalmazva nem elégíti ki egzakt módon a kontinuitást. Ezért a numerikus hibahalmozódás és az instabilitás elkerülése érdekében célszerű az (1.10) egyenletben a Θ idő szerinti parciális deriváltját meghagyni (Harlow és Welch, 1965). Baranyi és Shirakashi (1999) a véges differenciák módszerén alapuló numerikus vizsgálata megerősítette, hogy az (1.10) utolsó tagjának elhagyása drasztikus hatással van a megoldásra, ugyanakkor az egyenletből elhagyott egyéb, Θ -t tartalmazó tagok csak elhanyagolható mértékben befolyásolják a megoldást. 1.3. Peremfeltételek A v sebességre és a p nyomásra vonatkozó peremfeltételek az 1R sugarú körhenger felületén valamint a számítási tartomány külső peremét jellemző, a körhengerrel azonos középpontú

2R sugarú kör mentén az alábbi módon adhatók meg (l. az 1.1 ábrát): ( )1R hengerfelület: u = v = 0 , (1.11)

nn avnp

02

Re1

−∇=∂∂ . (1.12)

( )2R külső perem: 0uuu pot −= , 0vvv pot −= , (1.13)

pot n p

n p

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=∂∂ . (1.14)

Az (1.11) egyenletből látható, hogy a henger felületén az u és v sebességkomponensek eltűnnek, míg a p nyomásra az (1.6) mozgásegyenlet felhasználásával az (1.12) Neumann típusú peremfeltételt származtatjuk, ahol az n index a görbe külső normálisa irányában vett komponensre utal. A hengertől távoli, zavartalan áramlást jellemző 2R sugár mentén potenciáláramlást tételezünk fel. Erre utal az (1.13) és (1.14) egyenletekben szereplő “pot” index. Megjegyezzük, hogy a potenciáláramlás feltételezése a tartomány külső peremén jó közelítést jelent a henger mögötti vékony holttértől eltekintve. A külső perem igen messze van a hengertől, így nem meglepő az a számítási tapasztalat (Baranyi és Shirakashi, 1999), hogy e feltevés mindössze a holttér külső tartományhatára környezetében torzítja el kis mértékben a sebességteret. Az (1.13) egyenletben 0u és 0v a henger középpontjának x ill. y irányú sebessége. Természetesen a peremfeltételek álló hengerre is érvényesek maradnak az

0a =0 és 0v =0 helyettesítésekkel.

1.4. A hengermozgás jellemzői Nézzük most meg, hogy a hengermozgásra jellemző, az alapegyenletekben ill. a peremfeltételekben szereplő a0 és v0 kinematikai jellemzők milyen fajtáit fogjuk tekinteni e tanulmányban. Az 1.1. ábrán az ellipszis pályán mozgó körhengerre vonatkozó elrendezés látható. Az ellipszispályát két azonos frekvenciájú ( yx fff == ) harmonikus rezgőmozgás eredőjeként kapjuk. Az egységnyi átmérőjű henger 0x , 0y középpontjának mozgása a következő módon írható le (minden hosszúságot a d hengerátmérővel dimenziótlanítunk):

( ) ( ) ( ) ( )tfAtytfAtx yx 2sin , 2cos 00 ππ == , (1.15) ahol f az U/d - vel dimenziótlanított frekvencia, az xA és yA az ellipszis dimenziótlan nagy- és kistengelyének hossza. Természetesen ebben az esetben a henger minden pontjának azonos a sebessége, mivel forgómozgást nem végez. Ha xA és yA is nullától különböző, akkor az (1.15) egyenletből ellipszist kapunk (szaggatott vonal jelzi az 1.1. ábrán), amelynek az

7

xy AAe = ellipticitása az yA növelésével (rögzített xA mellett) nő. e=0 esetén a henger középpontja csak longitudinális rezgést végez, míg e=1 esetén körpályán mozog. A henger

0u , 0v sebesség-, ill. xa0 , ya0 gyorsuláskomponensei az óramutató járásával ellentétes irányban keringő körhenger esetén az (1.15) egyenletből idő szerinti deriválással adódnak:

( ) ( )tfsinAftu x 2 20 ππ−= , ( ) ( )tfcosAftv y 2 20 ππ= , (1.16)

( ) ( )tfcosAfta xx 24 220 ππ−= , ( ) ( )tfsinAfta yy 24 22

0 ππ−= . (1.17)

Ay

d=1

y

xOU

Ax

1.1. ábra: Henger ellipszis pályán történő keringése

Az (1.15)-(1.17) egyenletek óramutató járásával ellentétes irányú hengermozgásra vonatkoznak; az 0y , 0v és ya0 előjeleinek megváltoztatásával óramutató járásával egyező bolygómozgást kapunk. Az (1.7), (1.8) és (1.12) alapegyenletekben szereplő xa0 , ya0 ill. na0 gyorsuláskomponensek értékeit a később részletezendő numerikus eljárás minden időlépcsőjében az (1.17) egyenlet felhasználásával, míg az (1.13) peremfeltételben szereplő

0u , 0v sebességeket az (1.16) egyenletből számítjuk. Természetesen az (1.15)-(1.17) egyenletek az xA , yA amplitúdók alkalmas megválasztásával használhatók mind a henger kereszt- ( xA =0) mind hosszirányú ( yA =0) rezgése, valamint álló henger esetén is ( 0== yx AA ). 1.5. Leképzés a fizikai síkról a számítási síkra, a numerikus eljárás Azért, hogy a peremfeltételeket pontosan ki tudjuk elégíteni, és elkerülhessük a számítási pontosságot rontó interpolációt, peremre illesztett koordinátákat használunk. A fizikai sík számítási síkra való leképzését az 1.2. ábra mutatja. A fizikai sík (x, y) és a számítási sík ( ηξ , ) koordinátái közti kapcsolatot az

1.2. ábra: A fizikai és számítási síkok

8

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]ξηηξ

ξηηξgRy

gRxsin ,

, cos ,−=

= (1.18)

alakban vesszük fel, ahol ( ) ( )[ ]ηη fexpRR 1= . (1.19)

A két síkon azonos t dimenziótlan időkoordinátát használunk. Az 1R és 2R sugarú hengerfelületeknek – ahol az (1.11)-(1.14) peremfeltételeket ki kell

elégíteni – a számítási síkon az 0=η ill. az maxηη= egyenesek felelnek meg, ahol a ‘max’ index a maximális értékre utal. Az (1.18) és (1.19) egyenletek alapján könnyen belátható, hogy a számítási síkon ortogonális egyenközű hálót nyerünk, amely azért is előnyös, mert a differenciasémák többsége erre az esetre van kidolgozva, és azok általában ilyenkor magasabb rendű közelítést jelentenek, mint nem egyenközű háló esetén.

Bár többféle ( )ηf és ( )ξg függvényt kipróbáltunk, itt ezzel most terjedelmi okok miatt nem kívánunk foglalkozni. Az egyszerű

( )max

2ξξπξ =g , ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1

2

RRlnf

maxηηη , (1.20)

lineáris leképzőfüggvény alkalmazásával nyert eredmények jónak bizonyultak (Baranyi, 2003). Az ( )ηf és ( )ξg függvények ilyen megválasztása biztosítja, hogy a henger közelében – ahol a sebesség erősen változik – a háló sűrű, attól távolodva pedig egyre ritkább legyen. Ezáltal az eljárás igen jól leírja a számunkra fontos test és a folyadék közötti kölcsönhatást (ellenállás, felhajtóerő, nyomaték), de a számunkra kevésbé fontos, a hengertől távoli számított áramkép már nem eléggé részletes. Az (1.18)-(1.20) leképzés kölcsönösen egyértelmű, mert a J Jacobi-féle determináns

( ) ( )ηηξ

πηξξη

2122 RRRlnxyxyJmaxmax

=−= (1.21)

a vizsgált tartományban lévő tetszőleges ξ és η értékekre pozitív értéket ad. Az (1.21) egyenletben a ξ és η index a ξ ill. η változók szerinti differenciálást jelöli.

A fizikai síkon (l. az 1.2. ábrát) a görbe vonalú háló egy elemi négyszöge két oldalának a hányadosa – az ún. rácsviszony (aspect ratio, AR) – Fletcher (1997) alapján:

( ) ,RRlngf

gg

max

max

πηξ

ξ

η

2AR 12

11

22 === (1.22)

ahol 11g és 22g a metrikus tenzor főátlójának elemei, és az egyenletben a ξ és η indexek most is differenciálást jelölnek. Az (1.22) egyenletből látható, hogy a rácsviszony az (1.20) lineáris leképzőfüggvények esetén az egész fizikai tartományon állandó. A két egymásra merőleges irányban vett rácspontok számának ( maxmax ,ηξ ) megfelelő választásával elérhető, hogy az AR értéke közel 1 legyen. Így közelítőleg megvalósítható az előnyös számítási tulajdonságokkal rendelkező konformis leképzés.

Az (1.18)-(1.20) leképzés felhasználásával az (1.7)-(1.10) alapegyenleteket leképezzük a számítási síkra (Baranyi, 2003). A transzformált Navier-Stokes egyenletek x és y komponenseire a következő összefüggések adódnak:

=∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+∂∂

ηξξξηηuyuxv

Juxvyu

Jtu 11

xaugugJ

pypyJ 02

2

112

2

222Re11

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−ηξηξξη

, (1.23)

9

=∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+∂∂

ηξξξηηvyuxv

Jvxvyu

Jtv 11

.

yavgvgJ

pxpxJ 02

2

112

2

222Re11

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−ηξξηηξ

. (1.24)

A Θ sebességdivergencia transzformációjára a következőt kapjuk:

01=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=ξηηξηξξη

Θ vxvxuyuyJ

. (1.25)

A nyomásra vonatkozó Poisson egyenlet transzformáltja pedig az alábbi alakot ölti:

tJvuvuJpgpg

2 2

2

2

112

2

22 ∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂ Θ

ξηηξηξ. (1.26)

Az egyenletekhez hasonlóan az (1.11)-(1.14) peremfeltételeket is leképezzük a számítási síkra. Az (1.18)-(1.20) leképzés alkalmazása után a nyomásra vonatkozó (1.12) és (1.14) peremfeltételek a következő alakokba mennek át:

ha yx ayaxvyuxJ

gpRR 002

2

2

2

211

1

Re :

ηηηηηηη ∂∂

−∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

= , (1.27)

ha . n p

RRnlRp:RR

potmax⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≅=

1

222 ηη∂

∂ (1.28)

Az (1.23), (1.24), (1.26) és (1.27) egyenletekben szereplő metrikus tenzor főátlójában lévő 11g ill. 22g elemei a következő alakúak:

22

11 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

=ξ y

ξ xg , .

22

22 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=η y

η xg

A transzformáció (1.18), (1.19) alakú megválasztása tetszőleges ( )ηf és ( )ξg függvények esetén biztosítja, hogy a metrikus tenzor főátlón kívüli elemei zérusak legyenek, azaz

02112 == gg . Ezért hiányoznak a vegyes másodrendű deriváltak a (1.23), (1.24) és (1.26) egyenletekben szereplő Laplace deriváltakból. Az (1.20) leképzőfüggvények lineáris megválasztása egyben azt is biztosítja, hogy az előbb említett Laplace deriváltak transzformált alakjaiból az elsőrendű deriváltak is kiesnek, (Baranyi és Shirakashi, 1999, Baranyi, 2003). Mivel az ( )ηf és ( )ξg leképzőfüggvények elemi függvényekkel adottak, a számításhoz szükséges metrikus paraméterek és a koordináta-deriváltak zárt alakban származtathatók, így nincs szükség a számítási hibához vezető numerikus differenciálásra. Mint már említettük, mind a számítási síkon nyert egyenközű háló, mind a fizikai síkon az AR rácsviszony egységnyire választásával nyerhető közel konformis leképzés előnyös számítástechnikai szempontból. További előny, hogy mivel a számítási hálót a mozgó hengerhez rögzítjük, ezért nincs szükség minden egyes időlépcsőben új hálót létrehozni, elég a hálógenerálást egyszer, a számítások előtt elvégezni. Látható tehát, hogy ez a számítási eljárás több szempontból is optimalizált.

A FORTRAN nyelven általam írt számítógépes programban a transzformált egyenleteket a véges differenciák módszerével oldottam meg. A térbeli deriváltakat a konvektív tagok kivételével a tartomány belsejében negyedrendű centrális differenciákkal, a tartomány peremén pedig harmadrendű “féloldalas” differenciákkal közelítettem. Az (1.23) és (1.24) transzformált Navier-Stokes mozgásegyenletekben szereplő konvektív tagokat a Kawamura és Kuwahara (1984) által javasolt jól bevált harmadrendű módosított upwind sémával számítottam. Az upwind séma jellemzője, hogy egy adott pontbeli deriváltat az áramlás irányából vett függvényértékek alapján közelíti. A mozgásegyenleteket explicit módon

10

integráltam, amely minden időlépcsőben megadta a sebességeloszlást. Így az időbeli diszkretizáció elsőrendű. A nyomásra vonatkozó (1.26) egyenletben t / ∂∂Θ tagot úgy vettem figyelembe, hogy kielégítve az (1.25) kontinuitási egyenletet a Θ sebességdivergencia új értékét minden időlépcsőben 0-ra választottam. A nyomásra nyert Poisson egyenletet a szuszcesszív felülrelaxálás (successive over-relaxation, SOR) módszerével oldottam meg. A számításokat akkor tekintettem konvergáltnak, ha a maradéktag 510− értéknél kisebb volt, mivel a maradéktag 610− -ra történő csökkentése esetén a megoldás gyakorlatilag nem változott. Az alternáló jelek spektrumát a gyors Fourier transzformációval (Fast Fourier Transform, FFT) kapjuk, amelyből a spektrumcsúcsok helyeként meghatározható az örvényleválás frekvenciája. A módszer részletesebb leírása az Baranyi és Shirakashi (1999) és a Baranyi (2003) dolgozatokban található.

Számításaim többsége esetében 4012 =R/R ; időlépcső: =t∆ 0,0005; rácspontok száma: 301×177 (a minimális és maximális rácsméret 01059,0/min =∆ dR ; 4148,0/max =∆ dR ; két egymást követő rácsméret hányadosa az (1.20) alakú leképző függvények esetén állandó:

02118,1/1 =∆∆ + ii rr ). Végeztem számításokat =t∆ 0,00025 és 481×283 rácspont számmal is

( 00658,0/min =∆ dR ; 2599,0/max =∆ dR ; 01317,1/1 =∆∆ + ii rr =const). Az időlépcsőt azért választottam ilyen kicsire, hogy az időbeli elsőrendű diszkretizáció ellenére is pontos eredményt kaphassak. A rácspontoknál az első szám a kerületi-, a második pedig a sugárirányban vett pontok számát jelöli. Baranyi (2008a) szerint ilyen háló esetén a megoldások gyakorlatilag már “hálófüggetlen”-nek tekinthetők. Megjegyzendő, hogy a rácspontok számát úgy választottam meg, hogy a (1.22) egyenlettel definiált AR rácsviszony jó közelítéssel egységnyi legyen. A nyert sebesség- és nyomáseloszlás ismeretében számos más jellemző is kiszámítható: például az áramfüggvény- és örvényeloszlás, a fejhajtóerő- és ellenállás-tényező, a nyomástényező, a nyomatéki tényező, a torlópont és a leválási pontok időbeli vándorlása, valamint egyéb jellemzők.

Egy tetszőleges oszcilláló f függvény f időátlagát és rmsf rms értékét az

( )dttfnT

fnTt

t∫+

=1

1

1 ; dtftfnT

fnTt

trms ∫

+

−=1

1

2])([1

összefüggésekből numerikus integrálás felhasználásával számítottam, ahol 1t az integrálás alsó határa, T egy örvényleválási ciklus (amely során a henger felső és alsó felületén is leválik egy-egy örvény) és n a számításhoz alapul vett ciklusok száma. Mind az rms értékeket, mind az időátlagokat több n érték esetére meghatároztam a pontosság fokozása céljából.

A továbbiakban a felhajtóerő- és ellenállás-tényező valamint a hátsó nyomástényező mellett a tq nyomatéki tényezőt (torque coefficient) is vizsgálni kívánjuk. Ez a mennyiség az egységnyi hosszúságú henger falán fellépő wτ~ nyírófeszültség integráljaként adódó nyomaték

( 22dU~ρ )-el történő dimenziótlanítással nyerhető

( ) ( ) ϕϕωϕϕτρ

τ ππ

d 4

1d 411

21 2

0

2

022 ∫∫∫ =−== ww

wq RedU~

s~dd)s~(~t , (1.29)

ahol wτ~ és wτ a dimenzionális és dimenziótlan nyírófeszültség a falon, wω a fal menti örvényeloszlás. A numerikus integrálással számított nyomatéki tényezőt óramutató járásával egyező nyomaték esetén tekintjük pozitívnak (Chen et al., 1995, Baranyi, 2007) 1.6. Álló hengerre vonatkozó számítások, összehasonlítások A henger körüli áramlások vizsgálatára kidolgozott számítógépes eljárás hibakorlátjának meghatározása igen bonyolult lenne még álló henger esetén is. E helyett a számítási háló és az

11

időlépcső változtatása hatásának vizsgálatán túl fontos eszköz lehet a szakirodalomban rendelkezésre álló kísérleti és számítási eredményekkel történő összehasonlítás. Mielőtt az összehasonlításokra rátérnék, bemutatom néhány, álló hengerre vonatkozó számítási eredményemet. A számításokhoz leggyakrabban használt háló (301×177) az 1.3. ábrán látható. A sok szempontból optimális leképzés egy hátránya az, hogy kissé pazarlóan bánik a henger előtti számítási pontok számával, amely a számítási idő növekedéséhez vezet.

1.3. ábra: Számítási háló (301x177), Baranyi (2008b)

Az egységnyi hosszúságú hengerre vonatkozó DC ellenállás-tényezőt és LC felhajtóerő-tényezőt és a következő módon definiáljuk:

dU~F~C D

D 22ρ

= ; dU~

F~C LL 2

2ρ

= , (1.30)

ahol DF~ és LF~ a d átmérőjű körhenger egységnyi hosszúságú felületére ható dimenzionális erő U irányú, ill. arra merőleges komponense, amelyek a fal menti nyomás és nyírófeszültég felületi integráljaiból számíthatók (l. még a 4. fejezet (4.4) - (4.6) egyenleteit is). Ennek megfelelően az (1.30) erőtényezők két részre bonthatók:

DfDpD CCC += ; LfLpL CCC += , (1.31) ahol az f index az angol friction (azaz súrlódás) szó kezdőbetűjére utal, a p pedig a nyomásra.

Az 1.4. és 1.5. ábrák az általam számított erőtényezők időbeli változását mutatják (Re=180 esetére), amelyek mindegyike egy adott idő eltelte után periodikussá válik. Az 1.4. ábra bal oldalán a LC felhajtóerő-tényező és a falsúrlódásból származó LfC felhajtóerő-tényező változása látható a dimenziótlan t idő függvényében. Mint említettük, az áramló súrlódásos folyadékba helyezett testre ható erő egyrészt a folyadék nyomásából, másrészt a falon fellépő nyírófeszültségből származik. Az ábrára tekintve az is látható, hogy – szemben az áramvonalas testek körüli leválásmentes áramlással – a felhajtóerőnek a döntő része a nyomásból származik, csak kis része ered a falsúrlódásból. Az 1.4. ábra jobb oldalán az (1.29) egyenlettel definiált tq nyomatéki tényező látható. Ismeretes, hogy az 1.4. ábrán lévő jelek periódusa megegyezik egy örvényleválási ciklus T periódusidejével, azaz azzal az idővel, amely alatt egy örvény a henger felső, egy másik pedig az alsó oldaláról leválik. Az ábrákon

12

látható jelek az origóra nézve szimmetrikusak, időátlaguk zérus. Később, a gyorsuló mozgást végző henger esetén azt fogjuk tapasztalni, hogy e mennyiségek időátlaga nem fog eltűnni. Az 1.5. ábra bal oldalán a DC és DfC ellenállás-tényezők, a jobb oldalon pedig a Cpb időbeli változása látható. Mivel sem az ellenállás, sem a Cpb értékét nem befolyásolja az, hogy a henger alsó vagy felső oldalán vált-e le az örvény, ezért e jelek periódusideje T/2, tehát kétszer akkora frekvenciával oszcillálnak, mint az 1.4. ábrán bemutatott jelek. A bal oldali ábráról látható, hogy az ellenállás-tényező döntő része is a nyomásból származik.

80 100 120 140 160 180 200

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

dimensionless time

CL, CLf

stationary cylinder; Re=180; CL (-), CLf (.)

80 100 120 140 160 180 200-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

-3

dimensionless time

tq

stationary cylinder; Re=180;

1.4. ábra: A T periódusidejű görbék időbeli változása (balra: CL és CLf; jobbra: tq)

80 100 120 140 160 180 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

dimensionless time

CD, CDf

stationary cylinder; Re=180; CD (-), CDf (.)

80 100 120 140 160 180 200-1.1

-1.05

-1

-0.95

-0.9

-0.85

-0.8

-0.75

-0.7

dimensionless time

Cpb

stationary cylinder; Re=180;

1.5. ábra: A T/2 periódusidejű görbék időbeli változása (balra: CD és CDf; jobbra: Cpb)

Az 1.6. ábra a henger felületén lévő alsó (folytonos vonal) és felső (pontvonal) leválási

pontok időbeli vándorlására jellemző 0=wτ pontok (eltűnő nyírófeszültség a falon) időbeli vándorlását mutatja (Baranyi és Shirakashi, 1999) Re=180 esetén. A leválási pontot jellemző szöget a körhenger első torlópontjától (áramlás irányából tekintve) mérjük. A 0=wτ pontokat jellemző szögek az örvényleválás frekvenciájával oszcillálnak mintegy 5°-os amplitúdóval, és mint várható, a két jel között egy fél hullámhossz eltolódás van, tehát az alsó és felső örvény ellenfázisban válik le a felületről. A torlópont vándorlására és az oszcillálás amplitúdójára vonatkozó eredmény jól egyezik Braza et al. (1986) eredményeivel.

Egyfajta torlópont definiálható súrlódásos áramlásnál annak ellenére is, hogy ilyenkor a falon a sebesség nulla. A torlópontot az ( )ww xvyu ∂∂−∂∂= //ω fal menti örvényeloszlás zérushelye definiálja (Braza et al., 1986). A torlópontot jellemző polárszög időbeli változását az 1.7. ábra mutatja Re=180 esetén. Az itt bemutatott eredmények a torlóponthoz tartozó szögek (amplitúdó és frekvencia) vonatkozásában is jól egyeznek Braza et al. (1986) eredményeivel.

13

1.6. ábra: Leválási pontok időbeli vándorlása 1.7. ábra: Torlópont időbeli vándorlása 1.6.1 Összehasonlítás mérési eredményekkel. Térjünk most rá a számítási eredmények szakirodalomban található mérési eredményekkel történő összehasonlítására! Helyhiány miatt nem kívánok itt minden elvégzett összehasonlítást bemutatni. Az egyik első összehasonlítás az ellenállás-tényező időátlagára vonatkozik, amikoris számítási eredményeimet a Reynolds szám függvényében megadott kísérleti eredményekkel vetettem össze (Schlichting, 1979) és 10 < Re < 200 tartományban jó egyezést találtam (Baranyi és Shirakashi, 1999). Re > 200 esetén a 2D számítási eljárás felülbecsüli a tényleges ellenállás-tényezőt. Ez összhangban van Barkley és Henderson (1996) eredményeivel, akik Floquet analízissel igazolták, hogy körülbelül Re=190-nél 3D instabilitások jelennek meg a körhenger körüli áramlásban, így Re=190 fölött már 3D numerikus szimulációs eljárást kell használni.

Az 1.8. ábrán a dimenziótlan örvényleválási frekvencia vagy Strouhal szám látható a Reynolds szám függvényében: Roshko (1954) kísérleti eredményei, Baranyi és Shirakashi (1999) számítási eredmények (+ jelek). Az ábrán összességében jó egyezés található a mérési és számítási eredmények között. Érdemes megfigyelni a mérési eredmények szórását Re=200 esetén, amely a jelenlévő 3D instabilitás miatt lép fel.

1.8. ábra: St az Re függvényében, Baranyi és Shirakashi (1999)

14

A test és az áramló közeg kölcsönhatásának jellemzésére kiterjedten használják a szakirodalomban az ún. hátsó nyomástényezőt (base pressure coefficient), amely az első torlóponttól legtávolabbi hengerpontban értelmezhető egyfajta dimenziótlan nyomás,

( ) ( )202 U~/p~C *pb ρϕ == , (1.32)

ahol ϕ a polárszög, *~p az (1.4) egyenlettel definiált nyomás, amely a tényleges nyomás és a ρ~ sűrűségű folyadék fajlagos helyzeti energiájának összege. E paraméter időátlagának Reynolds számtól való függését mutatja az 1.9. ábra, ahol a számítási eredményeimet (Baranyi, 2003) Roshko (1993) mérési eredményeivel hasonlítom össze. Az ábrán jó egyezés látható, eltekintve az Re=180 értékhez tartozó pbC értékétől. (A mérésnél jelenlevő zavarások keltette 3D hatások okozhatják e pontban a nagyobb eltérést.) Az ábra tartalmazza még a pbC jel oszcillálásának amplitúdójára jellemző számított rms érték Reynolds számtól való függését is. Látható, hogy a jel oszcillálásának amplitúdója a Reynolds számmal nő.

1.9. ábra: pbC az Re függvényében, Baranyi (2003)

A henger körüli áramlás számítására kidolgozott eljárások jóságát gyakran azzal tesztelik,

hogy pontosan meg tudja-e határozni a LC felhajtóerő-tényező rms értékét. Norberg (2003) a dolgozatában számos szerző kísérletileg meghatározott LrmsC eloszlását hasonlítja össze az Re függvényében. Az 1.10. ábrán bemutatott ( )ReLrmsC görbékre üres körökkel berajzoltam az általam az Re=50-180 tartományban számított értékeket (Baranyi és Lakatos, 2004). Megjegyzem, hogy a Norberg által használt 'LC jelölés megfelel az általam használt LrmsC -nek. Az ábráról látható, hogy a mért és számítási eredmények közötti megegyezés nagyon jó.

További ellenőrzési lehetőséget jelentett a számítógépes eljárás kiterjesztése fűtött, állandó felületi hőmérsékletű körhenger felületén kialakuló fajlagos hőátadás, azaz a Nu Nusselt szám meghatározására (Baranyi, 2003). A fűtetlen hengerre vonatkozó (1.7)-(1.10) egyenleteket kiegészítjük a kis Re számra vonatkozó dimenziótlan energiaegyenlettel

,PrRe

12

2

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

yT

xT

yTv

xTu

tT (1.33)

ahol Pr a Prandtl szám és ( ) ( )∞∞ −−= TTTTT w~~/~~ a dimenziótlan hőmérséklet-különbség, ahol

T~ a dimenzionális változó hőmérséklet, wT~ és ∞T~ az állandónak feltételezett falhőmérséklet, ill. a hengertől távoli zavartalanul áramló közeg hőmérséklete. Vizsgálataink során kényszerkonvekciót tételezünk fel, így az (1.7) és (1.8) Navier-Stokes mozgásegyenletekben nem szerepel a hőmérsékletváltozás okozta felhajtóerő. Így a T dimenziótlan hőmérséklet-

15

különbség sem az (1.7), (1.8) mozgásegyenletekben, sem a nyomásra felírt (1.10) Poisson egyenletben nem jelenik meg explicite. A kis Re szám miatt az áramló közeg sebessége kicsi, így az (1.33) energiaegyenletben a mechanikai energia viszkózus disszipációjára jellemző tag elhanyagolható. Eltekintettem továbbá az áramló közeg viszkozitásának, sűrűségének és Prandtl számának a hőmérséklettől való függésétől is. Peremfeltételként a T=1 és T=0 feltételeket használtam a henger felületén ill. a tartomány külső peremén. A T dimenziótlan hőmérséklet-különbséget ugyanazzal az eljárással integráltam minden időlépcsőben mint az u,v sebességeket. A hőmérsékletmező ismeretében számítható a henger és az áramló közeg közti lokális fajlagos hőátadási tényező vagy a lokális Nusselt szám

( ) ( )wRTkdht ∂∂−== // ,Nu ϕ , (1.34) amely a henger kerületén mérhető ϕ polárszög és a t idő függvénye. Az (1.34) egyenletben h a felületi hőátadási tényező, k az áramló közeg hővezetési tényezője, a w (wall) index pedig a henger felületére utal. A már csak az időtől függő átlagos Nu(t) számot úgy kapjuk, hogy vesszük a lokális Nusselt szám körhenger felülete menti átlagát. Ezt a jelet időben átlagolva megkapjuk a fűtött henger és a közeg közti hőcserére jellemző átlagos Nusselt szám értékét, amelyet a mérési eredményekkel (McAdams, 1954) az 1.11. ábrán hasonlítottam össze különböző Reynolds számok esetén. Az ábráról látható, hogy az egyezés igen jó.

1.10. ábra: LrmsC az Re függvényében, Baranyi és Lakatos (2004)

1

10

10 100 1000

Re

Nu

McAdams [8]

Baranyi

1.11. ábra: Nu az Re függvényében, Baranyi (2003)

Mint az például Norberg (1994), Le Gal et al. (2001) és Thompson és Le Gal (2004)

dolgozataiból ismeretes, a párhuzamos áramlásba helyezett álló körhenger esetén 47 alatti Reynolds számoknál az áramlás stacionárius, és a körhenger mögött két álló ikerörvény helyezkedik el. A Reynolds szám növelésével Re=47 környezetében a Hopf bifurkáció miatt megindul a henger két oldalán a periodikus örvényleválás, és ennél nagyobb Re értékek esetén az áramlás instacionáriussá válik. Sok szerző végzett mind a stacionárius, mind az instacionárius áramlási tartományban áramlás-megjelenítéses kísérleteket; az eredmények

16

gazdag tárháza Van Dyke (1982) könyve. Számos körhenger körüli stacionárius áramlásra kiszámítva ill. felrajzolva az áramképeket, és összehasonlítva azokat áramlás-megjelenítéses fotókkal, igen jó egyezés tapasztalható (Ujvárosi és Baranyi, 2006). Itt helyhiány miatt csak egy ilyen esetet mutatok be, amely az 1.12. ábrán látható. A vizsgált esetben Re=26. A bal oldali ábra alumínium porral történő kísérleti áramlás-megjelenítést mutat, amelyet Taneda készített 1956-ban és a Van Dyke (1982) könyvében található, a jobb oldalon pedig a számított áramkép található. Látható, hogy az egyezés igen jó.

1.12. ábra: Körhenger körüli áramlás Re=26 esetén: kísérleti és számított

1.6.2. Összehasonlítás számítási eredményekkel. Egy másik összehasonlítást az örvényfelhő módszerrel (vortex cloud method) nyert eredményekkel tettem, és jó egyezést kaptam, amelyről a Baranyi és Lewis (2006)-ban számoltunk be. A módszer szerint a teljes áramlást a test felületén folyamatosan keletkező, a konvekció által elszállított és a viszkozitás miatt diffundáló örvények határozzák meg (Lewis, 1991). A Lagrange-féle leírásmódon alapuló numerikus módszert az jellemzi, hogy a felületi örvényeket véges erősségű szabad örvényelemekkel helyettesítjük, amelyeknek megengedjük, hogy egymás utáni kis véges időlépcsőkkel jellemezhető időpontokban elhagyják a test felületét, s amelyek utána a konvekció és a súrlódás miatti diffúzió révén elmozdulnak. A diffúziót az ún. véletlenszerű elmozdulás (random walk) módszerével modellezik, (Chorin, 1973; Porthouse és Lewis, 1981). Az örvényfelhő módszer, szemben a 2D véges differenciák módszerén (VDM) alapuló eljárásommal, igen széles Re tartományban leírja a körhenger körüli áramlást. Hátránya ugyanakkor, hogy a diffúzió modellje miatt a jelek nagyobb numerikus hibákkal terheltek, mint a VDM esetében, ezért az örvényfelhő módszerrel nyert rms értékek általában nagyobbak, mint a VDM-el nyertek. Összehasonlítottam a felhajtóerő- és ellenállás-tényező időbeli változását, megnéztem, hogy a Reynolds szám függvényében hogyan változik számos jellemző, így az St Strouhal szám, az erőtényezők amplitúdójára jellemző DrmsC és LrmsC mennyiségek, valamint a DC ellenállás-tényező és a falsúrlódásból származó DfC ellenállás-tényező időátlagai. A két módszer teljesen különböző volta ellenére a számítási eredmények viszonylag jól egyeznek egymással. Helyszűke miatt itt csak a két eljárással nyert St(Re) függvénykapcsolatot mutatom be. Az 1.13. ábrán üres ill. töltött négyzetek mutatják a VDM-mel ill. az örvényfelhő módszerrel nyert eredményeket. Az ábráról látható, hogy a szakirodalomban (pl. Norberg, 1994), található kritikus Re=47 Reynolds szám felett mindkét módszer a Kármán-féle örvénysorral jellemezhető periodikus örvényleválást ír le egymással jól egyező módon, bár az örvényfelhő módszer már Re=40 esetén is örvényleválást jósol.

17

Stationary cylinder; friction drag

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 50 100 150

Re

CD

f mea

n

Baranyi 301x177

Chakraborty et al. (2004)

Kravchenko et al. (1999)

Strouhal number for stationary cylinder

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0 50 100 150 200

Re

St

grid based vortex cloud

1.13. ábra: St az Re függvényében Lewis (■), Baranyi (□)

alapján nyert zérushelyének értékére az 8,46Re ≅krit adódott, amely jól egyezik az említett közleményekben megtalálható értékekkel. 1.14. ábra: DfC az Re függvényében 1.7. A henger egyirányú rezgése, összehasonlítások Hasonlítsuk most össze számítási eredményeimet más szerzőknek az áramlásba helyezett kereszt-, vagy hosszirányban rezgetett hengerre vonatkozó számítási eredményeivel! 1.7.1. A henger keresztirányú rezgése, összehasonlítás. Lu és Dalton (1996) a véges differenciák módszerén alapuló 2D számítási eljárásuk felhasználásával szisztematikus

A Baranyi és Lewis (2006) dolgozatkapcsán numerikusan vizsgáltam aperiodikus örvényleválás kezdetét jelző

kritRe kritikus Reynolds számot. Azttapasztaltam, hogy a kritikus Reynoldsszámot felülről, azaz Re > kritRe irányból,közelítve egyre hosszabb idő (és számításiidő) szükséges a periodikus örvényleváláskialakulásához az áramlás mesterségesmegzavarása nélkül. Ezért a vizsgálatomsorán Re=47,2 volt a kritRe -hozlegközelebbi, örvényleválásos állapothoztartozó Reynolds szám. Ehhez közel esőszámos további Re értékre elvégezve aszámításokat és meghatározva a hozzájuktartozó Strouhal számokat az St(Re)függvény felrajzolása, majd extrapolációja

Az álló hengerre vonatkozó számítottjellemzőket más számítási eljárások publikálteredményeivel is összehasonlítottam.Chakraborty et al. (2004) egy véges térfogatokmódszerén alapuló kereskedelmi szoftverrelvégezte el az álló hengerre vonatkozószámításait Re=10, 20, 30, 40, 50 Reynoldsszámok esetén, míg 1.1. alfejezetben említettKravchenko et al. (1999) Re=20, 40, 80, 100értékekre vonatkozóan adott meg számításieredményeket. A tanulmányokat, amelyek afent említett Re számok esetén megadják azellenállás-tényező falsúrlódásból származórészét ( DfC ), gyakran idézik a pontos értékekmiatt. Az 1.14. ábra a DfC változását mutatja aRe szám függvényében összehasonlítva a kétemlített szerző eredményeit saját számításieredményeimmel. Látható, hogy az egyezés jó.

18

vizsgálatot végeztek több Reynolds szám (185, 500, 1000) esetén mind álló, mind keresztirányban rezgő hengerre. Számításaikat két háló és két t ∆ időlépcső esetén végezték el (256×128 és t ∆ =0,002; 512×256 és t ∆ =0,001) a megoldás konvergenciájának ellenőrzése céljából. Mivel elhanyagolható különbséget találtak, így a további számításokat a kisebb számítási időt igénylő durvább rácson végezték. Itt most egy keresztirányban rezgő hengerre vonatkozó számításukkal kívánom számításaimat összehasonlítani. A vizsgált eset jellemzői: Re=185, Ay=0,2 (hengerátmérővel dimenziótlanított rezgési amplitúdó), =0/Stf 0,8, St0=0,195, a henger mozgástörvénye ( ).2cos0 ftAy y π−= Érdemes megemlíteni, hogy nemcsak a hosszúságokat, hanem a t időt is a henger sugarának felhasználásával dimenziótlanították, ezáltal az általam használt, d hengerátmérő felhasználásával dimenziótlanított t idő (l. a fontosabb jelölések jegyzékét) az általuk használt dimenziótlan időnek éppen a fele. Ez természetesen az előbb említett t ∆ időlépcsőre is igaz. Az összehasonlítás alapja a tehetetlenségi erőtől mentesített felhajtóerő-és ellenállás-tényező időbeli változása (l. Baranyi, 2005a dolgozatot és a tézisfüzet 4. fejezetét, ahol bemutatom az inercia- és a nem-inercia rendszerekben értelmezhető erőtényezők kapcsolatát; ott ezek a mennyiségek *

DC -al, ill. *LC -

al vannak jelölve). Az 1.15 (a) ábra a saját számítási eredményeimet mutatja 301×177 háló és t ∆ =0,0005 időlépcső esetén, az 1.15 (b) ábrán pedig Lu és Dalton két előbb említett hálóra

vonatkozó megoldása látható, amelyek gyakorlatilag egybeesnek; ők mindkét háló esetén DC =1,25 és LrmsC =0,18 értékeket kaptak. Ugyanerre a két jellemzőre én a DC =1,243 ill.

LrmsC =0,185 értékeket kaptam az előbb említett 301×177 háló és t ∆ =0,0005 időlépcső esetén. Az ábrákra tekintve (vegyük észre az (a) és (b) ábra vízszintes tengelyein a különböző időket), valamint összehasonlítva ezeket az értékeket, kijelenthetjük, hogy a két eljárással kapott számítási eredmények egyezése igen jó. A számításokat megismételtem finomabb háló (481×283) és kisebb időlépcső esetére ( t ∆ =0,00025) és DC =1,244 ill. LrmsC =0,185 értékeket kaptam. A tehetetlenségi erőtől mentes LC időtől való függését a két számítási háló esetén a 1.16. ábra mutatja: a finomabb ill. durvább hálóval kapott megoldásokat folytonos ill. pontvonal jellemzi. Látható, hogy az egyezés igen jó, ezért a továbbiakban a durvább hálón végeztem a számításokat.

(a) Baranyi (b) Lu and Dalton (1999)

1.15. ábra: Összehasonlítás: Lu és Dalton (1996), Baranyi (2008a)

19

1.16. ábra: Számítási háló hatásának vizsgálata, (Baranyi, 2008a) 1.7.2. A henger hosszirányú rezgése, összehasonlítás. Al-Mdallal et al. (2007) Re=200 esetén A=0,1 ill. 0,3 dimenziótlan amplitúdóval rezgetett henger eseteit számították a véges térfogatok módszerén alapuló 2D eljárásuk segítségével az 0St/f =0,55; 1,0; 1,45; 1,5; 1,75; 1,95; 2,2 és 2,8 frekvencia hányadosokra. Az 1.17. és 1.18. ábrák az Al-Mdallal et al. (2007) ill. a saját számítási eredményeim mutatják A=0,1 mellett a következő frekvencia hányadosok esetén: (a) 1,5; (b) 1,75; (c) 1,95; (d) 2,2. A bal oldali ábrák a felhajtóerő-tényező és a henger elmozdulás (ötszörösére nagyítva; minden ábrán azonos görbe) időbeli változását, míg a jobb

1.17. ábra: Al-Mdallal és et al. (2007): felhajtóerő és hengerelmozdulás

20

1.18. ábra: Baranyi (2008a): felhajtóerő és hengerelmozdulás

oldali ábrák a ( ) ( )[ ]AtXtCL /, fázisgörbéket mutatják. Vegyük észre, hogy az 1.17. ábrán 600 ≤≤ t , míg az 1.18. ábrán ,300240 ≤≤ t amely időintervallumot azért választottam,

hogy elérjem a lock-in állapotot, és így a fázisgörbék határciklusba menjenek át. (Igaz, az 1.18(d) esetben ehhez még ennél is hosszabb idő kellett volna.) Látható, hogy az ábrák egyezése igen jó. Az itt nem bemutatott, fentebb felsorolt frekvenciák esetén is hasonló egyezést kaptam.

1.8. Kör- és ellipszis pályán mozgó henger, összehasonlítások Didier és Borges (2007) egyebek közt az Re=300 esetén a párhuzamos áramlásba helyezett körpályán mozgó henger körüli áramlást igen széles frekvencia tartományban számították ( ≤≤ 0St/1,0 f 2,9) az általuk kifejlesztett 2D véges térfogatok módszerén alapuló eljárás segítségével. Számításaik során a henger x és y irányú sebességkomponenseinek maximális értékeit az U megfúvási sebesség 10%-ában rögzítették, azaz Uvu 1,0max0max0 == . Ezt a feltételt a (1.16) egyenlettel összehasonlítva azt kapjuk, hogy

yx fAfAvu ππ 22max0max0 === , amelyekből az adott f frekvenciához tartozó rezgési amplitúdók meghatározhatók:

ffuAA yx ππ 2

1,02

max0 === .

Felismerhető, hogy max0u állandó értéken tartása esetén az f frekvencia növelésével fordítottan arányosan változik a két (azonos nagyságú) amplitúdó értéke.

Összehasonlítási célból a saját számítógépes programom felhasználásával meghatároztam az St Strouhal számot, az ellenállás-tényező DC időátlagát és rms értékét, valamint a felhajtóerő-tényező rms értékét az ≤≤ 0St/5,0 f 2,8 frekvenciahányados tartományban. Alább csak a Strouhal számra, ill. a DC tényezőre vonatkozó összehasonlítást kívánom bemutatni. A 1.19(a) és (b) ábra Didier és Borges (2007) ill. az általam számított St változását mutatja az 00 St// fffe = frekvenciahányados függvényében. Az (a) ábra ”Circular” jelzésű görbéje felel meg a (b) ábrán szereplő görbének; az (a) ábrán ezen túl még

21

a henger keresztirányú (cross-flow) ill. hosszirányú (in-line) rezgéséhez tartozó St görbék is vannak. Látható, hogy a két teljesen különböző módszer mindegyike jól leírja a szinkronizálódást (lock-in) az 0St/f =1 és 2 érték környezetében, pontosabban az

0,1St/92,0 0 ≤≤ f és az 13,2St/65,1 0 ≤≤ f frekvenciahányados tartományban. Ugyanakkor nemcsak a görbék jellege azonos, hanem az értékek is jól megegyeznek egymással.

(a) Didier and Borges (2007) (b) Baranyi (2008a)

1.19. ábra: St a frekvencia hányados függvényében körpályán mozgó hengerre

Hasonlítsuk most össze a felhajtóerő tényező DC időátlagait a 1.20. ábrán, amely az 1.19. ábrához teljesen hasonló elrendezésben készült. A körhenger pályán mozgó hengerekre vonatkozó DC görbék jellege most is nagyon jól egyezik. A módszerem kissé nagyobb DC értékeket eredményez, mint Didier és Borges módszere. Ennek ellenére az egyezést igen jónak, meglepően jónak ítélem meg, figyelembe véve, hogy a lock-in tartományokon kívül a mennyiségek időbeli változása egyáltalán nem periodikus, így azok időátlagainak és rms értékeinek meghatározása igen bonyolult feladat. Az itt nem mutatott DrmsC és LrmsC mennyiségek tekintetében is az itt ismertetett mennyiségekhez hasonló egyezést kaptam. (a) Didier and Borges (2007) (b) Baranyi (2008a)

1.20. ábra: DC a frekvencia hányados függvényében körpályán mozgó hengerre E számítás kapcsán felmerülhet az olvasóban a kétely, hogy mivel a körmozgás nem

rezgőmozgás, vajon ilyenkor is kialakul-e a lock-in. A válasz határozottan igen. Ezt mutatja az 1.19. ábrán a Strouhal szám görbéjének két egyenes szakasza. A lock-in mind a körpályán,

circular orbit

St

fe / f0

fe / f0

C D

circular orbit

22

mind az ellipszis pályán (különböző amplitúdójú, azonos frekvenciájú rezgések összege) mozgó henger esetén kialakul, ha a rezgések frekvenciája közel van az adott Re számú álló hengerről leváló örvények frekvenciájához, és a hengermozgás amplitúdója elég nagy. Baranyi és Lakatos (2004) a párhuzamos áramlásba helyezett ellipszis pályán mozgó henger esetén többek között azt vizsgálták, hogy rögzített Re, xA és f mellett mekkora yA amplitúdó értéknél következik be a lock-in. Az említett dolgozatból vett 1.21(a) és (b) ábrákon a LC időbeli változása látható. A 1.21(a) ábrán yA =0,08, a (b) ábrán pedig yA =0,1. Az (a) ábrán még nincs lock-in, de yA -t 0,08-ról 0,1-re növelve kialakul (1.21(b) ábra). Itt egy tranziens állapot után kialakul a periodikus megoldás (mint az álló hengernél). Ekkor a LC -nek egyetlen frekvenciája van, és az amplitúdója is állandóvá válik, szemben a 1.21(a) ábrán látható jellel.

0 50 100 150 200 250

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

dimensionless time

orbital; Re=130; Ax=0.2; Ay=0.08; fx=fy=0.1521; 241x131

0 50 100 150 200 250-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

dimensionless time

orbital; Re=130; CL; Ax=0.2; Ay=0.1; fx=fy=0.1521; 241x131

(a) nincs lock-in ( yA =0,08) (b) lock-in ( yA =0,1)

1.21. ábra: Szinkronizálódás vizsgálata (Re=130; xA =0.2; f=0,85St0=0,1521)

Lewis (2007) eredményeivel összehasonlítottam az ellipszis pályán mozgó hengerre Re=130, 160 és 180 Reynolds számokra vonatkozó számításokat. Lewis a Lagrange-féle leírási módon alapuló örvényfelhő módszer alkalmazásával megpróbálta rekonstruálni a Baranyi (2004a) dolgozatban bemutatott eredményeket. Az összehasonlításra egy példát mutat az 1.22. ábra Re=130 esetére, ahol Ax=0,3; f=0,85St0=0,1521, és Ay 0 ill. 0,3 értékek között változik. Mint ahogy az 1.22(b) ábrán látható, Lewis a CLmean-re vonatkozóan Ay < 0,07 esetén mindkét állapotgörbén kapott eredményeket. Bár elfogadható egyezést tapasztaltam mind a három vizsgált esetben (a legjobbat Re=130 esetén), az örvényfelhő módszerrel számított CDrms értékek jóval nagyobbak, mint a véges differenciák módszeremmel nyert értékek. Az örvényfelhő módszer esetén az örvénydiffúzió modellezésére minden időlépcsőben alkalmazott véletlenszerű elmozdulások (random walk) numerikus zajjal terhelhetik a megoldást. Lewis kijelentette, hogy nagy valószínűséggel instabilitás van két lehetséges stabil örvénytartomány között. Azt találta, hogy +- és -+ előjelű örvénypárok (vortex pairing) alakulnak ki, és szerinte ezek az örvénypárok határozzák meg, hogy az erőtényező állapotgörbéjének melyik ágán van a rendszer.

Ezek után kijelenthetjük, hogy az általam kifejlesztett számítógépes módszerrel kapott számítási eredmények jól egyeznek a szakirodalomban található álló hengerre vonatkozó kísérleti és számítási eredményekkel, a kereszt-és hosszirányú rezgést végző, valamint azok összegzéseként nyerhető körpályán mozgó hengerre vonatkozó számítási eredményekkel. A Lewis (2007) elliptikus pályán mozgó hengerre vonatkozó eredményeivel történő

23

összehasonlítás szintén jónak mondható egyezést hozott, és ő is két állapotot és ugrásokat azonosított a két ugrás között.

(a) Baranyi (2004a) (b) Lewis (2007): örvényfelhő módszer

1.22. ábra: A CL és CD erőtényezőkre vonatkozó összehasonlítás az Re=130; Ax=0,3 és f=0,85St0=0,1521 esetén (▲CLmean; ∆ CLrms; ■ CDmean; □ CDrms)

1.9. Tudományos eredmények Ez a fejezet az általam kidolgozott numerikus eljárást és annak tesztelését mutatta be. Az álló henger körüli kis Reynolds számú áramlásra vonatkozó számítási eredményeimet kísérleti és más számítási eredményekkel hasonlítottam össze. Az összehasonlítás meggyőzően jó eredményeket hozott. Bár magam vezettem le az egyenleteket, és én dolgoztam ki a számítógépes eljárást, illetve az arra épülő programot, úgy ítélem meg, hogy az eljárás nem tartalmaz jelentős tudományos eredményt. Az eljárást és a számítógépes programot csupán egy hasznos eszköznek tekintem az áramlásba helyezett ellipszis pályán mozgó henger körüli áramlás vizsgálatához, és emiatt ebben a fejezetben nem kívánok téziseket megjelölni.

Az álló henger körüli áramlásokra vonatkozó eredményeimet a Baranyi és Shirakashi

(1999), Baranyi (2000, 2003, 2007, 2008a, 2008b), Baranyi és Lakatos (2004), Baranyi és Lewis (2006) Ujvárosi és Baranyi (2006) publikációk ismertetik.

24

2. ELLIPSZIS PÁLYÁN MOZGÓ KÖRHENGER KÖRÜLI ÁRAMLÁS 2.1. Előzmények és célkitűzések A párhuzamos áramlásba helyezett, bolygómozgást végző henger körüli áramlás kutatásával igen kevesen foglalkoztak. Mint ahogy azt az 1. fejezetben említettük, ehhez hasonló speciális problémákat többen vizsgáltak, mint például az álló henger körüli bolygó áramlást (Chen et al., 1995), álló folyadékban körpályán (Teschauer et al., 2002) vagy ellipszis pályán (Williamson et al. 1998) mozgatott henger körüli áramlást, és egy párhuzamos áramlásba helyezett forgó és egyben körpályán mozgó henger körüli áramlást (Borthwick, 1986). Didier és Borges (2007) a párhuzamos áramlásba helyezett mechanikusan körpályán mozgatott henger körüli áramlást tanulmányozta kis Reynolds szám esetén (l. az 1.8. fejezetet). Az alapvető különbség az, hogy ők csak egyetlen ellipticitás esetet — a körpályáét — vették szemügyre. Korábban senki nem vizsgálta azt, hogy milyen hatása van az egyes paramétereknek, például az ellipszis pálya alakjának (ellipticitásnak vagy excentricitásnak, (angolul ellipticity); továbbiakban ellipticitás), a rezgések amplitúdójának vagy frekvenciájának, és az ellipszis pályán mozgó henger körüli áramlás Reynolds számának. Nemrégiben Lewis (2007) az örvényfelhő módszerével megkísérelte néhány, ellipszis pályán mozgó henger körüli áramlásra vonatkozó számítási eredményemet ellenőrizni.

Ezek alapján célul tűzöm ki:

az ellipticitás által a test és az áramlás kölcsönhatására gyakorolt befolyás felderítését. A vizsgálandó paraméterek a következők: felhajtóerő-tényező, ellenállás-tényező, hátsó nyomástényező (base pressure coefficient) és nyomatéki tényező. annak vizsgálatát, hogy milyen hatást gyakorol a Reynolds szám, az ellipszispálya Ax

nagytengelye, a hengerrezgés frekvenciája és a keringés iránya az erőtényezők időátlagának és az rms értékének ellipticitás függvényében adott görbéire.

2.2. Meredek változások az időátlag és az rms görbékben Érdekes jelenséget tapasztaltam, amikor (rögzített Re, xA és fff yx == mellett) ábrázoltam a párhuzamos áramlásba helyezett ellipszis pályán mozgó henger LC felhajtóerő-tényezőjének, DC ellenállás-tényezőjének, pbC hátsó nyomástényezőjének és qt nyomatéki tényezőjének időátlagát és rms értékét (azaz az oszcilláló jel amplitúdójára jellemző effektív középértéket) az xy AAe /= ellipticitás függvényében (0≤ e ≤1,2). Valamennyi görbén ugyanazon az e értékeknél meredek, ugrásszerű változás mutatkozott, a henger bolygómozgásának irányától függetlenül. A 2.1. ábrán álljon itt példaként a CLrms az e függvényében az Re=160; Ax=0,4; f=0,85St0=0,15997 paraméterek rögzített értékei mellett, amelyet a henger óramutató járásával ellentétes irányú (anticlockwise, aclw) bolygómozgása esetén kaptam. Ugyanúgy, mint e tanulmány további részében is, az adatrendszert úgy választottam meg, hogy a teljes vizsgált [0; 1,2] ellipticitás intervallumban fennálljon a lock-in jelenség (szinkronizálódás a hengermozgás és az áramlás (örvényleválás) között). Látható, hogy az ábrán 6 különböző e értéknél változik meg ugrásszerűen a CLrms érték. Úgy tűnik, hogy két állapotgörbe van (nevezzük a továbbiakban így), és a megoldás bizonyos e értéknél egyikről „átugrik” a másik görbére, majd e változtatásával egy további e értéknél „visszaugrik” arra az állapotgörbére, amelyen a korábbi e értéknél volt. E két állapotgörbének az e=0 értéknél közös pontja van, és e növelésével a két görbe egyre távolodik egymástól. Mivel az rms érték a jel ingadozásának amplitúdójára jellemző, e növelésével egyik állapotgörbéről a másikra kerülve az amplitúdó-változás abszolút értéke nő. Ez a megfigyelés az általam eddig vizsgált mintegy 100 eset alapján alakult ki, és az említett 0 és 1,2 közötti

25

ellipticitás tartományra vonatkozik. Minden esethez 40-80 számítást kellett elvégezni az ugrások helyének meghatározásához (az ábrán egy számításhoz egy jel tartozik).

Re=160; Ax=0.4; f=0.85St0=0.15997

0.45

0.55

0.65

0.75

0.85

0.95

1.05

1.15

1.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

CLrm

s

aclw

2.1. ábra: CLrms az e függvényében (Re=160; xA =0,4; f=0.85 0St ; 0St =0.1882)

Másik példaként tekintsük a 2.2. ábrán bemutatott, Re=160; Ax=0,4; f=0,8St0=0,15056

paraméterekhez tartozó erőtényezők (CL, CD, Cpb, tq) időátlagait és rms értékeit! Itt a henger az óramutató járásával egyező irányban mozog (clockwise, clw) és a vizsgált e tartomány minden pontjában lock-in állapot van. Az első ill. második ábra-oszlopban az erőtényezők időátlagai (amelyet felülvonással vagy mean indexszel jelölünk) ill. rms értékei szerepelnek, az egyes ábra-sorokban pedig egy adott erőtényező időátlaga és rms értéke található e függvényében. Az ábrákra tekintve több észrevétel tehető:

a) Minden ábrán azonos számú (ebben az esetben 2) „ugrás” van. b) Az ugrások helye minden ábrán azonos. c) Az ábrákon két állapotgörbe van, amely között a megoldás „ugrik”. d) Az állapotgörbék két típusúak. A LC és a qt esetén a két állapotgörbe közel

párhuzamos. A többi 6 eset közös jellemzője az, hogy az állapotgörbéknek az e=0 helyen közös pontja van és e növelésével azok eltávolodnak egymástól.

e) A LC és a qt esetén az állapotgörbék iránytangense ellenkező előjelű. A számításokat nagy számú esetre megismételve alapvetően ugyanilyen típusú megoldásokat kaptam, bár az ugrások száma, helye és a görbék alakja némiképp változott.

Térjünk most vissza kicsit az a) – e) megállapításokhoz! A 2.2. ábra bal felső sarkában lévő LC (e) függvénykapcsolat esetében az alsó és a felső állapotgörbe közel párhuzamos egymással és közel lineárisan nő az e növelésével. Természetesen adott e esetén a felső állapotgörbén a felhajtóerő időátlaga nagyobb, mint az alsó görbén. Tekintsük most a 2.2. ábra bal alsó sarkában lévő qt nyomatéki tényező időátlag görbéjét! Látható, hogy itt is két közel párhuzamos állapotgörbe van, amelyek most közelítőleg lineárisan csökkennek (szemben a LC -lel!) e növelésével. Álló henger esetén (Ax=0 és e=0) természetesen szimmetria okok miatt mind a két jel időátlaga eltűnik, azaz 0== qL tC .

26

időátlag rms érték

CL

Re=160; Ax=0.4; f=0.8St0=0.15056

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

CL

mea

n

Re=160; Ax=0.4; f=0.8St0=0.15056

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

CLr

ms

CD

Re=160; Ax=0.4; f=0.8St0=0.15056

1.61

1.63

1.65

1.67

1.69

1.71

1.73

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

CD

mea

n

Re=160; Ax=0.4; f=0.8St0=0.15056

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

CD

rms

-Cpb

Re=160; Ax=0.4; f=0.8St0=0.15056

1.11.15

1.21.25

1.31.35

1.41.45

1.51.55

1.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

-Cpb

mea

n

Re=160; Ax=0.4; f=0.8St0=0.15056

0.15

0.25

0.35

0.45

0.55

0.65

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

Cpb

rms

tq

Re=160; Ax=0.4; f=0.8St0=0.15056

-0.006

-0.005-0.004

-0.003

-0.002-0.001

0

0.001

0.0020.003

0.004

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

tq m

ean

Re=160; Ax=0.4; f=0.8St0=0.15056

0.004

0.0045

0.005

0.0055

0.006

0.0065

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

tq r

ms

2.2. ábra: Ellipszis pályán mozgó henger erőtényezőinek időátlagai és rms értékei

(Re=160; Ax=0,4; f=0,8St0=0,15056)

27

Nézzük meg most a 2.2. ábra további 6 görbéjét, ahol az állapotgörbék az e=0 értéknél találkoznak! Látható, hogy e értékének növekedésével a két állapotgörbe egyre jobban eltávolodik egymástól. Ez a 4 rms érték esetén azt jelenti, hogy a két állapothoz tartozó oszcilláló jel amplitúdója közötti különbség e növelésével egyre nő. Érdemes az ábrán megfigyelni, hogy bár a CD ellenállás-tényező időátlagának változása CD értékéhez képest kicsi, tehát a DC nem nagyon érzékeny arra a jelenségre, amely az ugrásokat előidézi. Ugyanakkor a CD rms értékében jelentős különbség lehet egy-egy ugrás során a két állapotgörbén lévő értékek között (e=0 értéktől távolodva), így a jel amplitúdójának nagy megváltozása magát a jelet is jelentősen átalakítja.

Alább kísérletet teszek annak magyarázatára, hogy miért létezik két különböző típusú állapotgörbe! Ennek érdekében keressük meg, hogy mi a közös a négy rms és két időátlag széttartó állapotgörbéiben! Az rms érték a jelingadozás amplitúdójára jellemző (a jelnek átlagától való eltérése), amely érzéketlen arra, hogy a henger alsó vagy felső oldalán válik-e le az örvény. A jelnagyság periódusa tehát egyetlen örvény leválásának periódusával egyezik meg. Az 1.5. ábrán láttuk, hogy a CD (és CDf) és Cpb tényezők periódusideje ugyancsak egy örvény leválási idejével azonos. A hat görbe közös jellemzője, hogy a “ mögöttük lévő” mennyiségek periódusideje T/2, ahol T a henger alsó és felső oldalán leváló egy-egy örvény leválásának együttes ideje. Az 1.4. ábra szerint viszont a CL (ill. a CLf) és tq periódusideje két örvény (alsó és felső) leválásának idejét, azaz T-t jelenti. Ezek a tényezők érzékenyek arra, hogy éppen alul vagy felül válik-e le az örvény. E két mennyiség időátlagai “mögött” a T periódusidő áll, szemben az előbb említett hat mennyiséggel, amelyek közös jellemzője a T/2 periódusidő. Úgy érzem, hogy ez a különbség vezet a két fajta állapotgörbéhez.

Természetesen a négy paraméter időátlagában ill. rms értékében adott ellipticitású helyeken fellépő ugrások csak egy jelenség tünetei. Az előbb bemutatott ugrások okának kiderítése céljából felrajzoltuk az egyes mennyiségek időbeli változásait közvetlenül az ugrások előtti és utáni ellipticitás-értékek esetén. A 2.3. ábra a CL időbeli változását mutatja az előbbi rögzített paraméterek mellett a 2.2. ábrákon lévő első ugrás előtti (e=0,121; Ay=0,0484) és utáni (e=0,122; Ay=0,0488) ellipticitás, ill. Ay értékekre. Látható, hogy az e-ben lévő rendkívül kis különbség (0,001) milyen jelentős változást okoz a CL-ben: a két jel ellenfázisban van (közel 180º fázisszög mutatkozik a két jel között) és egymásnak közel tükörképei. A nagyobb és a kisebb ellipticitáshoz tartozó LC értékek között mintegy 0,86 különbség van. Valószínű, hogy a CL időbeli jelentős megváltozását az adott e érték környezetében fellépő örvényszerkezetbeli jelentős változás okozza. A tq jel időbeli változása (itt nem mutatjuk) az ugrás környezetében lévő két e érték esetére szintén azt mutatja, hogy a görbék ellenfázisban vannak. A 2.4. ábra a CD időbeli változását mutatja be ugyanazon e értékekre, mint a 2.3. ábra. Látható, hogy az ugrás előtti és utáni jelek ugyanolyan fázisban vannak és amplitúdójuk is alig különbözik egymástól. Ez természetesen összhangban van a 2.2. ábra 2. sorában lévő CD időátlag és rms görbékkel. A DC 1,617 értékről 1,624-re nő, a CDrms pedig 0,764-ről 0,705-re csökken. Cpb esetén, amely a CD-hez hasonlóan T/2 periódusidejű, az ugrás előtti és utáni jelek ugyanolyan fázisban vannak.

A 2.2. ábrára tekintve érdemes még megemlíteni, hogy ellipszis pályán mozgó henger esetén jelentősen megnő CDrms és Cpbrms az álló hengerre vonatkozó értékekhez képest, ahol az Re=120-180 tartományban CDrms =0,01-0,026 és Cpbrms =0,029-0,07 (Baranyi és Lewis, 2006) értékek között változott. A 2.2. ábra görbéire tekintve látható, hogy ezek az értékek igen jelentősen megnőttek. Álló henger esetén az adott Re tartományban a CLrms =0,285-0,436 értékek között változott, amelyhez képest a 2.2. ábrán látható CLrms értékek relatív növekedése kisebb, mint az előbb említett két rms értéké.

28

360 365 370 375 380 385 390 395 400-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

dimensionless time

Lift; Re=160; Ax=0.8St0=0.15056; Ay=0.0484 (-); Ay=0.0488 (.)

2.3. ábra: Felhajtóerő-tényező időbeli változása egy ugrás előtt (—) és után (---)

360 365 370 375 380 385 390 395 4000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

dimensionless time

Drag; Re=160; Ax=0.8St0=0.15056; Ay=0.0484 (-); Ay=0.0488 (.)

2.4. ábra: Ellenállás-tényező időbeli változása egy ugrás előtt (—) és után (---) 2.3. Paraméterek hatása az időátlag és az rms görbékre Az erőtényezők előbbiekben említett időátlag- és rms görbéit több paraméter befolyásolja, például az Re Reynolds szám, az ellipszispálya Ax nagytengelyének nagysága és a henger f rezgési frekvenciája. 2.3.1. A Reynolds szám hatása. A Reynolds szám hatását az erőtényezők időátlagára és rms értékeire az Re=120 és 180 között a 2.5. ábra mutatja óramutató járásával ellentétes irányú bolygómozgás esetén (Ax=0,4; f=0,85St0). Ax=0,5 esetre megismételve a számításokat a

29

fentiekhez hasonló eredményeket kaptam. Az ábrákra tekintve látható, hogy az állapotgörbék jellegét a Reynolds szám nem változtatja meg. Az rms illetve a két széttartó időátlag görbékre

orbital motion; Ax=0.4; f=0.85St0

-0.66

-0.46

-0.26

-0.06

0.14

0.34

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

CL

mea

n

Re=120 Re=140 Re=160 Re=180

orbital motion; Ax=0.4; f=0.85St0

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

CL

rms

Re=120 Re=140 Re=160 Re=180

orbital motion; Ax=0.4; f=0.85St0

1.58

1.6

1.62

1.64

1.66

1.68

1.7

1.72

1.74

1.76

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

CD

mea

n

Re=120 Re=140 Re=160 Re=180

orbital motion; Ax=0.4; f=0.85St0

0.48

0.53

0.58

0.63

0.68

0.73

0.78

0.83

0.88

0.93

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

CD

rms

Re=120 Re=140 Re=160 Re=180

orbital motion; Ax=0.4; f=0.85St0

0.96

1.06

1.16

1.26

1.36

1.46

1.56

1.66

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

-Cpb

mea

n

Re=120 Re=140 Re=160 Re=180

orbital motion; Ax=0.4; f=0.85St0

0.15

0.25

0.35

0.45

0.55

0.65

0.75

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

Cpb

rms

Re=120 Re=140 Re=160 Re=180

2.5. ábra: A Reynolds szám hatása az időátlag és az rms görbékre (Ax=0,4; f=0,85St0)

30

tekintve látható, hogy mind az öt görbe Re növelésével felfelé tolódik el. Ez az eltolódás mind az öt görbénél jól megfigyelhető egyrészt kis e értékeknél, másrészt az egész ellipticitás tartományban: CDrms, Cpbrms és Cpbmean esetén az alsó határgörbén, CLrms -nél pedig a felső állapotgörbén. A CDmean görbéjére is jellemző a felfelé tolódás, kivéve az Re=160 esetet, amelynek állapotgörbéi az Re=180-hoz tartozó görbék fölött vannak. A CLmean időátlag határgörbepár Re növelésével közeledik egymáshoz (nagyobb változás a felső határgörbénél figyelhető meg), ugyanakkor a felső határgörbék iránytangensének abszolút értéke Re növelésével nő (Baranyi, 2005b).

Láttuk, hogy a rezgő henger lock-in állapotában jóval magasabb Re számig maradhat az áramlás 2D, mint álló hengernél. A 2.6. ábra Re=200, 250 és 300 esetén mutatja a CL, CD és Cpb tényezők időátlagát és rms értékét e függvényében (óramutató járásával egyező irányú hengermozgás esetén). CLrms, CDrms, Cpbrms és Cpbmean görbéken most is jól látszik, hogy az Re növelésével felfelé tolódnak el. CDmean állapotgörbéi Re növelésével egyre jobban szétnyílnak, míg a CLmean állapotgörbék most is közelednek egymáshoz (Baranyi, 2007).

Ax=0.2; f=0.9St0; clockwise orbit

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

CL

mea

n

Re=200 Re=250 Re=300

Ax=0.2; f=0.9St0; clockwise orbit

0.45

0.55

0.65

0.75

0.85

0.95

1.05

1.15

1.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2e=Ay/Ax

CL

rms

Re=200 Re=250 Re=300

Ax=0.2; f=0.9St0; clockwise orbit

1.4

1.45

1.5

1.55

1.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2e=Ay/Ax

CD

mea

n

Re=200 Re=250 Re=300

Ax=0.2; f=0.9St0; clockwise orbit

0.38

0.4

0.42

0.44

0.46

0.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2e=Ay/Ax

CD

rms

Re=200 Re=250 Re=300

Ax=0.2; f=0.9St0; clockwise orbit

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2e=Ay/Ax

|Cpb

| mea

n

Re=200 Re=250 Re=300

Ax=0.2; f=0.9St0; clockwise orbit

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2e=Ay/Ax

Cpb

rms

Re=200 Re=250 Re=300

2.6. ábra: A Reynolds szám hatása az időátlag és rms görbékre (Ax=0,2; f=0,9St0); (Re=200, 250, 300)

31

2.3.2. Az ellipszis méretének hatása. Nézzük meg most milyen hatása van annak, ha az ellipszispálya méretét változtatjuk, amely a számítási eljárásom esetén Ax változtatásával valósítható meg. Ax hatását az erőtényezők időátlagára és az rms értékeire az Ax=0,3; 0,4 és 0,5 esetén a 2.7. ábra mutatja Re=160, f=0,85St0=0,15997 értékei mellett, és az óramutató

Orbital motion; Re=160; f=0.85St0=0.15997

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

CLm

ean

Ax=0.3 Ax=0.4 Ax=0.5

Orbital motion; Re=160; f=0.85St0=0.15997

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

CLr

ms

Ax=0.3 Ax=0.4 Ax=0.5

Orbital motion; Re=160; f=0.85St0=0.15997

1.5

1.55

1.6

1.65

1.7

1.75

1.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

CD

mea

n

Ax=0.3 Ax=0.4 Ax=0.5

Orbital motion; Re=160; f=0.85St0=0.15997

0.35

0.45

0.55

0.65

0.75

0.85

0.95

1.05

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2e=Ay/Ax

CD

rms

Ax=0.3 Ax=0.4 Ax=0.5

Orbital motion; Re=160; f=0.85St0=0.15997

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2e=Ay/Ax

|Cpb

mea

n|

Ax=0.3 Ax=0.4 Ax=0.5

Orbital motion; Re=160; f=0.85St0=0.15997

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

Cpb

rms

Ax=0.3 Ax=0.4 Ax=0.5

2.7. ábra: Az Ax hatása az időátlag és rms görbékre (Re=160; f=0,85St0=0.15997) járásával ellentétes irányú bolygómozgás esetén. Az ábrára tekintve látható, hogy az öt széttartó állapotgörbét (CLrms, CDrms, Cpbrms, CDmean, Cpbmean) Ax növelése felfelé tolja el; ezek

32

az eltolódások egyes esetekben az alsó, más esetekben a felső állapotgörbéknél látszódnak jobban. A CLmean esetén Ax növelésével az állapotgörbepár közötti távolság csökken, és a felső határgörbék iránytangensének abszolút értéke nő. A számításokat Re=140-re (többi paraméter változatlan) megismételve, a 2.7. ábrán látható görbékhez hasonló eredményeket kaptam.

2.3.3. A hengerrezgés frekvenciájának hatása. A hengerrezgetés f frekvenciájának hatását az erőtényezők időátlagára és rms értékeire az f/St0=0,75; 0,8 és 0,9 esetén, Re=160 és Ax=0,4 mellett a 2.8. ábra mutatja, amikor a bolygómozgás az óramutató járásával egyező irányú.

Orbital motion; Re=160; Ax=0.4; St0=0.1882

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

CL

mea

n

0.75St0 0.8St0 0.85St0

Orbital motion; Re=160; Ax=0.4; St0=0.1882

0.45

0.55

0.65

0.75

0.85

0.95

1.05

1.15

1.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

CL

rms

0.75St0 0.8St0 0.85St0

Orbital motion; Re=160; Ax=0.4; St0=0.1882

1.53

1.55

1.57

1.59

1.61

1.63

1.65

1.67

1.69

1.71

1.73

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

CD

mea

n

0.75St0 0.8St0 0.85St0

Orbital motion; Re=160; Ax=0.4; St0=0.1882

0.44

0.49

0.54

0.59

0.64

0.69

0.74

0.79

0.84

0.89

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

CD

rms

0.75St0 0.8St0 0.85St0

Orbital motion; Re=160; Ax=0.4; St0=0.1882

0.95

1.05

1.15

1.25

1.35

1.45

1.55

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

-Cpb

mea

n

0.75St0 0.8St0 0.85St0

Orbital motion; Re=160; Ax=0.4; St0=0.1882

0.12

0.22

0.32

0.42

0.52

0.62

0.72

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

Cpb

rms

0.75St0 0.8St0 0.85St0

Orbital motion; Re=160; Ax=0.4; St0=0.1882

-0.007

-0.005

-0.003

-0.001

0.001

0.003

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

tq m

ean

0.75St0 0.8St0 0.85St0

Orbital motion; Re=160; Ax=0.4; St0=0.1882

0.0028

0.0033

0.0038

0.0043

0.0048

0.0053

0.0058

0.0063

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

tq rm

s

0.75St0 0.8St0 0.85St0

2.8. ábra: Az f/St0 hatása az időátlag és rms görbékre (Re=160; Ax=0,4; St0=0,1882)

33

A hat széttartó állapotgörbe (a négy rms görbe valamint a CD és Cpb időátlag görbéi) esetén az f frekvencia növelése az állapotgörbéket kisebb-nagyobb mértékben felfelé tolja el. A másik típusú (CLmean és tqmean) görbéknél f növelése csökkenti a két állapotgörbe közötti távolságot. Ax=0,5 értékre megismételve a számításokat, ezekhez hasonló eredményeket kaptam. 2.4. A bolygómozgás irányának hatása az erőtényezőkre A bolygómozgás mindkét irányára vonatkozóan nagyszámú vizsgálatot végeztem. Itt most csak egy esetre vonatkozó eredményeket kívánok bemutatni, melynek paraméterei: Re=160; xA =0.3, és f=0,9St0=0,16938, ahol St0 az álló hengerre vonatkozó Strouhal szám (Re=160 mellett). A 2.9. ábra a felhajtóerő-tényező LC (vagy CLmean) időátlagát mutatja az ellipticitás függvényében. A ▲ jelek az óramutató járásával ellentétes (aclw), a □ jelek pedig azzal megegyező irányítású (clw) bolygómozgás esetére vonatkoznak. Az aclw esethez tartozó állapotgörbék iránytangense most is negatív, az óramutató járásához (clw) tartozóan viszont pozitív iránytangenst kapunk. Vegyük észre, hogy mindkét mozgáshoz egy-egy pár állapotgörbe tartozik, amelyek most is páronként közel párhuzamosak egymással. Az ábrát közelebbről megvizsgálva feltűnik, hogy a két görbe a vízszintes tengelyre vett tükörképe egymásnak. Az, hogy a két keringési irányhoz tartozó felhajtóerőnek különböznie kell egymástól, könnyen belátható. clw esetben, amikor a henger a pályája legmagasabb (0, Ay) ill. legalacsonyabb (0, -Ay) pontjában van, akkor a henger x irányú maximális sebessége ( xfAu π2max0 = , lásd. a (1.16) egyenletet) hozzáadódik az U megfúvási sebességhez ill. kivonódik abból. Az ellenkező keringési irány (aclw) esetén ez éppen fordítva van. A különböző sebességek miatt más a test mentén kialakuló nyomás és a nyírófeszültség, amely a mozgás szimmetriáját is tekintve testre ható függőleges erők különbözőségéhez vezet. Ugyanilyen eredményt kaptam a tq nyomatéki tényezőre is (amelyet itt most nem kívánok bemutatni), azzal a különbséggel, hogy a két egymással közel párhuzamos állapotgörbe iránytangense a CLmean görbékével mindig ellenkező előjelű.

Re=160; Ax=0.3; fx=fy=0.9St0=0.16938

-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1

00.10.20.30.40.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

CLm

ean

clw aclw

2.9. ábra: A keringés irányának hatása a felhajtóerő-tényező időátlagára, Baranyi (2008a)

A többi hat esetben, amikor az állapotgörbéknek az e=0 helyen közös pontjuk van, azt

tapasztaltam, hogy az eredmények a keringés irányától függetlenek: a határgörbéknek és az ugrásoknak a száma ill. helye is azonos. Ezek közül csak két esetet mutatok be a 2.10. ábrán: a CL és a Cpb tényezők rms értékeinek változását az e ellipticitás függvényében. Az ábrán a □

34

jel a clw, a ▲ jel pedig az aclw keringési irányhoz tartozik. Látható, hogy a jelek mindkét keringési irány esetén azonos határgörbére esnek. A többi négy esetben is hasonlóan jó egyezést találtam. Ennek a hat görbének a keringés irányától független egybeesése két szempontból is jelentős: a) egyrészt a két esetre egymástól függetlenül azonos értékeket kaptam, ami alátámasztja a számítási eljárás megbízhatóságát, b) másrészt az egyes esetekhez tartozó két állapotgörbe létezését két független számítással igazoltam (Baranyi, 2006).

Re=160; Ax=0.3; fx=fy=0.9St0=0.16938

0.44

0.54

0.64

0.74

0.84

0.94

1.04

1.14

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

CLr

ms

clw aclw

Re=160; Ax=0.3; fx=fy=0.9St0=0.16938

0.23

0.28

0.33

0.38

0.43

0.48

0.53

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

Cpb

rms

clw aclw

2.10. ábra: A keringés irányának hatása CL és Cpb tényezők rms értékeire, (Baranyi, 2006) 2.5. Tudományos eredmények

1. A CL felhajtóerő-tényező, a CD ellenállás-tényező, a Cpb hátsó nyomástényező,

valamint a tq nyomatéki tényező időátlagát és rms értékét (effektív középértékét) a pálya e ellipticitása (a kistengely és nagytengely hányadosa) függvényében felrajzolva azt találtam, hogy két állapotgörbe létezik, és a megoldás bizonyos e esetén egyikről „átugrik” a másikra, majd e egy másik értéknél „visszaugrik”. Az ugrások száma és helye mind a nyolc görbén azonos.

2. Két állapotgörbe-típus létezik: CL és tq időátlaga esetén az állapotgörbepárok közel párhuzamosak egymással; a többi hat (valamennyi tényező rms görbéje, valamint a CD és Cpb időátlag görbéje) esetében az állapotgörbe-pároknak e=0-nál közös pontja van és e növelésével a két görbe egyre jobban eltávolodik egymástól.

3. A Reynolds számnak, az ellipszis pályaméretének (Ax) és a henger rezgési frekvenciájának (f) az állapotgörbékre (CL, CD és Cpb e függvényében megadott időátlagára és rms értékére) gyakorolt hatása az alábbiakban foglalható össze:

a) mindhárom paraméter növelése a három rms értékhez és a Cpb időátlagához tartozó állapotgörbét felfelé tolja el,

b) mindhárom paraméter növelésével a CL időátlagához tartozó állapotgörbék közötti távolság csökken.

4. Az ellipszis pályán mozgó henger forgásirány-változásának hatása a CL, CD, Cpb és tq időátlag és rms értékhez tartozó nyolc állapotgörbepárra a következő:

a) A CL és tq görbék időátlagaihoz tartozó állapotgörbék iránytangense ellenkező előjelűre változik, és az állapotgörbék a másik irányításhoz tartozó görbék vízszintes tengelyre vett tükörképeivé válnak.

b) A többi hat esetben (CLrms, CDrms, Cpbrms, tqrms, CDmean, Cpbmean) a két különböző irányításhoz tartozó állapotgörbék egybeesnek, tehát függetlenek a hengermozgás irányától.

A 2. fejezettel kapcsolatos eredményeimet a Baranyi (2005b, 2006, 2008a) publikációk ismertetik.

35

3. ENERGIACSERE. AZ UGRÁS KÖRNYEZETÉNEK ELEMZÉSE 3.1. Előzmények és célkitűzések Az áramló folyadékba helyezett test és a folyadék közötti erőhatások mellett gyakorlati szempontból az energiacsere is fontos kérdés, amely — egyebek mellett — meghatározza a mozgatáshoz szükséges teljesítményt. Az energiacserét akkor tekintjük pozitívnak, ha a hengeren történik a munkavégzés, azaz ha a folyadék energiát ad át a hengernek, és negatívnak, ha a henger ad át energiát a folyadéknak. Lu és Dalton (1996) kimutatta, hogy a párhuzamos áramlásba helyezett keresztirányban rezgő körhenger lock-in állapotában a felhajtóerő-tényező és a keresztirányú henger-elmozdulás között mérhető fázisszögben hirtelen ugrás léphet fel, amikor a henger rezgési frekvenciája közel esik a korábban említett

0St frekvenciájához. Blackburn és Henderson (1999) és Blackburn (2003) a keresztirányban A=0,25d amplitúdóval rezgetett d átmérőjű henger körüli áramlást Re=500 Reynolds szám esetén vizsgálták numerikusan, több rezgési frekvencia esetén. Bevezették a henger és a folyadék közti energiaátadási tényezőt, és azt tapasztalták, hogy annak értéke előjelet vált, amikor az előbb említett fázisszög-ugrás fellép. Blackburn (2003) megmutatta, hogy az f/St0=0,875 és 0,975 frekvencia hányados értékek esetén egymástól teljesen különböző (y0, CL) határgörbék és fázisszögek adódnak, és hogy ilyenkor az ugrás előtti ill. utáni henger-rezgési frekvenciánál a henger azonos helyzetéhez tartozó áramképek egymás közel tükörképei. Ezekben a dolgozatokban a szerzők azt is bemutatták, hogy a rezgési frekvencia két különböző értékéhez tartozó (a henger elmozdulásból és a felhajtóerő-tényezőből képzett) határciklusok alapvetően különböztek egymástól.

Tudomásom szerint ezeket a jelenségeket senki sem vizsgálta ellipszis pályán keringő henger esetére. Ezek alapján célul tűztem ki:

a keresztirányú hengermozgásra bevezetett energiatényező kiterjesztését ellipszis pályán mozgó henger esetére; bizonyítékot gyűjteni az ellipszis pályán mozgó henger körüli áramlás kettős

megoldására vonatkozóan. Ennek érdekében meg kívántam vizsgálni (mind az ugrás előtti mind az ugrás utáni ellipticitási értékekhez) a következőket:

az energiaátadási tényezőt; a CL felhajtóerő-tényező és a henger y0 keresztirányú elmozdulása, valamint

a CD ellenállás-tényező és a henger x0 hosszirányú elmozdulása alapján képzett határciklusokat; a CL, y0, CD, x0 időbeli változását, valamint a CL és y0, ill. a CD és x0 jelek

közötti fázisszöget; a henger különböző helyzeteihez tartozó áramképeket;

további bizonyítékok gyűjtését a kettős megoldásra vonatkozóan: a CL és y0 közötti fázisszöget az ellipticitás függvényében, és a henger kezdeti helyzetének hatásait.

3.2. Mechanikai energiacsere a henger és a folyadék között A párhuzamos áramlás irányára merőlegesen rezgő henger és a folyadék közti mechanikai energiaátadást Blackburn és Henderson (1999) tanulmányozta először. Alább az ő elméletüket terjesztem ki a henger 2D mozgására. A folyadék és a henger között ellipszis pályán keringő henger esetén longitudinális és transzverzális irányban is van mechanikai energiaátadás. A fajlagos mechanikai energiaátadási tényező (E) értékét arra az esetre vizsgáljuk, amikor az áramlás már periodikus.

36

Terjesszük ki Blackburn és Henderson (1999) E mechanikai energiaátadási tényező egy T~ örvényleválási periódusra vonatkoztatott definícióját ellipszis pályán mozgó hengerre! Legyen

( ) ( ) 120

000

00220

22 d d 2d2 EEtyCxCt~v~F~v~F~dU~t~~~

dU~ET

LD

T~

yLxD

T~

+=+=+=⋅= ∫∫∫ ρρ 0vF . (3.1)

Megjegyezzük, hogy a (3.1) egyenletben az 1. és 2. egyenlőségjel utáni mennyiségek mind dimenziós fizikai mennyiségek, míg a 3. és 4. egyenlőségjel után már csak dimenziótlan mennyiségek szerepelnek. Az egyenletben — amint azt az 1. fejezetben már ismertettük — ρ~ a folyadék sűrűsége, U a párhuzamos áramlás sebessége, d a henger átmérője,

jiF LD FF ~~~ += az egységnyi hosszúságú hengerre ható erővektor, amelynek komponensei a párhuzamos áramlás irányában ható DF~ ellenállás és az arra merőleges LF~ felhajtóerő, i, j az x, y irányba mutató egységvektorok, jiv yx vv 000

~~~ += a henger középpontjának

sebességvektora, t~ az idő, T~ az örvényleválás periódusideje, míg t és T a nekik megfelelő d/U-val dimenziótlanított mennyiségek. A (3.1) egyenletben szereplő LC és DC a fontosabb jelölések jegyzékében definiált felhajtóerő-tényező ill. ellenállás-tényező, 0x és 0y pedig a henger középpontjának U-val dimenziótlanított x ill. y irányú sebességkomponense. Az egyenletből látható, hogy az energiaátadás az (x, y) irányokban vett energiacserék összegeként állítható elő: E= 21 EE + . Az E mechanikai energiaátadási tényező (3.1) definíciója abban a határesetben, amikor a henger csak keresztirányú vagy transzverzális (y) rezgést végez, éppen a Blackburn és Henderson által bevezetett energiaátadási tényező összefüggését szolgáltatja: 1EE = . Csak longitudinális (x) rezgést végző henger esetén

2EE = adódik. A Green tétel (Korn és Korn, 1975) felhasználásával az y irányban vett 1E energiaátadási

tényező a következő módon alakítható át:

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫∫∫ −=−=== LLLL

T

L CyyCCyyCttytCE d d 21 d d d 00000

01 , (3.2)

ahol a vonalintegrálokat az óramutató járásával egyező irányban kell kiszámítani. Ehhez hasonlóan az x irányú energiaátadási tényező összefüggése is átalakítható:

( ) ( ) ( ) . d d 21 d d d 00000

02 ∫ ∫∫∫∫ −=−=== DDDD

T

D CxxCCxxCttxtCE (3.3)

A (3.2)-ben ill. a (3.3)-ban szereplő integrálok matematikailag a Poincaré által bevezetett ( ) ( )( )tC,ty L0 ill. ( ) ( )( )tC,tx D0 határciklusokként értelmezhetők (Pontrjagin, 1972). Az 1E és

2E mennyiségek geometriai jelentése e határciklusok által határolt előjelhelyes terület. Bármely mennyiség akkor pozitív, ha a hozzá tartozó határciklus önmagát nem metsző görbéje az óramutató járásával megegyező irányítású. Önmagát metsző határciklus görbe esetén természetesen az előjelhelyes területeket kell összegezni E1 és E2 meghatározásánál. A (3.1) egyenlet alapján a körhenger és a folyadék közti teljes energiaátadási tényező:

12 EEE += . (3.4)

3.3. Energiaátadásra vonatkozó eredmények A bemutatott számítási esetet az Re=160, xA =0,3 és 16938,0St9,0 0 === yx ff paraméterek jellemzik. A számításokat mind óramutató járásával egyező, mind azzal ellentétes irányban

37

keringő henger esetére elvégeztük. Az e ellipticitás értéke egy számításon belül rögzített. e-t 0-tól (tisztán keresztirányú rezgés) e=1,2-ig (körpályán túl) úgy választottuk, hogy viszonylag egyenletesen és sűrűn lefedje a vizsgált tartományt, és így minden ugrást ki tudjunk mutatni. Amikor találtunk egy ugrást, akkor annak mindkét oldalán számos újabb számítást végeztünk az ugrás helyének lokalizálása céljából. A kezdeti feltételt mindkét irányú hengermozgás esetén azonosra választottuk: ( ) xAtx == 00 , ( ) 000 ==ty . A sok számítási eredményből itt csak egy jellemző példát mutatunk be.

A 3.1.-3.3. ábrák a mechanikai energiaátadási tényezők ( 1E , 2E , E) változását mutatják az e ellipticitás függvényében a fent említett paraméterek mellett mind az óramutató járásával azonos (clw), mind azzal ellentétes irányban (aclw) mozgó henger esetén. A 3.1. ábra a henger transzverzális mozgásösszetevőjéből származó 1E energiaátadási tényezőt mutatja. Az üres négyzet jelek az óramutató járásával egyező (az ábrán „0,9St0 clw”), a teli háromszögek pedig az azzal ellentétes (az ábrán „0,9St0 aclw”) irányú hengermozgáshoz tartozó számítási eredményeket mutatják. Mindkét irányhoz egy-egy állapotgörbepár tartozik, amelyekhez tartozó két állapotgörbének az e=0 értéknél közös pontja van, és e növelésével a két görbe eltávolodik egymástól. Látható, hogy E1 független a hengermozgás irányától: a két irányhoz tartozó állapotgörbepár egybeesik. Az ábráról az is látható, hogy az ugrások helye is azonos mindkét mozgásirány esetén. Vegyük észre, hogy a felső állapotgörbén 01 >E , ami azt jelenti, hogy a folyadék energiát ad át a hengernek. Ugyanakkor az alsó állapotgörbén 01 <E ; ilyenkor az energiaátadás fordított irányú és ez a henger mozgását fékezni igyekszik.

Re=160; Ax=0.3

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

E1

0.9 St0 clw 0.9 St0 aclw

3.1. ábra: Az 1E energiaátadási tényező értéke az ellipticitás függvényében

A 3.2. ábrán a folyadék és test között a henger hosszirányú mozgásösszetevőjéből származó, 2E energiaátadási tényező látható e függvényében. A görbék részben hasonlóak a 3.1. ábrán bemutatottakhoz (két pár egybeeső állapotgörbe, azonos helyen lévő ugrások), ugyanakkor megfigyelhető, hogy az 2E értékek mindkét állapotgörbén negatívak. Ez azt jelenti, hogy a henger hosszirányú mozgáskomponense révén a folyadék energiát nyer a hengertől, és fékezni igyekszik annak mozgását.

Az 1E és 2E energiaátadási tényezők E összegét a 3.3. ábra mutatja. A két állapotgörbe alakja az 1E alakjához hasonló, de az E értékek — az 2E értékekhez hasonlóan — mindkét állapotgörbén negatívak. Így egy keringő mozgást végző henger és az áramló folyadék között a mechanikai energiacsere mindig negatív, azaz mindig a henger ad át energiát a folyadéknak a teljes vizsgált e tartományban (a keringés irányától függetlenül). Egy örvényleválási ciklus

38

esetén tehát a mozgó henger végez munkát a folyadékon, és a folyadék egyfajta ellenállást gyakorol a henger mozgásával szemben. Az E1(e), E2 (e) és E(e) görbék minden szempontból hasonlóak a 2. fejezetben vizsgált erőtényezők rms állapotgörbéihez.

Re=160; Ax=0.3

-0.74-0.72-0.7

-0.68-0.66-0.64-0.62-0.6

-0.58-0.56

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

E2

0.9 St0 clw 0.9 St0 aclw

3.2. ábra: Az 2E energiaátadási tényező értéke az ellipticitás függvényében

Re=160; Ax=0.3

-1.15

-1.05

-0.95

-0.85

-0.75

-0.65

-0.550 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

E1+E

2

0.9 St0 clw 0.9 St0 aclw

3.3. ábra: Az 21 EEE += energiaátadási tényező értéke az ellipticitás függvényében

3.4. Az ugrás környezetének vizsgálata Az ugrás környezetét több aspektusból is megvizsgáltam. Több esetben végeztem számításokat közvetlenül az ugrás előtti és utáni e ellipticitás értékekre. Miután a jelek periodikussá váltak, megnéztem, hogyan alakulnak az erőtényezők és henger kereszt- és hosszirányú elmozdulásaiból képzett határciklusok. Megvizsgáltam a felhajtóerő és a henger keresztirányú elmozdulása között mérhető fázisszöget, valamint a henger azonos helyzetében az ugrást közrefogó e értékekhez tartozó áramképeket. 3.4.1. Határciklusok. A következőkben az ugrásokat kívánom vizsgálatom tárgyává tenni. Kimutattam, (Baranyi, 2004a), hogy közvetlenül az ugrás előtti és utáni e értékekhez tartozó

( )tCL felhajtóerő-tényező időbeli változása jelentősen különbözik egymástól (l. továbbá a tézisfüzet 2.2. alfejezetében található a 2.3 ábrát is), amely a jelek különböző időátlagát és eltérő rms értékét eredményezték. Ez a nagy különbség a henger mögötti örvényszerkezet

39

ugrásszerű megváltozására utal. Alább a henger óramutató járásával egyező irányban történő keringésének esetére vizsgáljuk az ugrás előtti és utáni határciklusokat (Pontrjagin, 1972; Korn és Korn, 1975), éspedig arra az időintervallumra vonatkozólag, amikor a jelek már periodikusak. A vizsgált ugrás helye 14350,e ≈ (l. a 3.1. ábrát). A 3.4. ábra két ( )LC,y0 határciklust mutat, ahol y0(t) egy ellipszis pályán mozgó henger dimenziótlan keresztirányú elmozdulása. A vékony vonal az ugrás előtti e értékhez (e1=0,143; 1yA =0,0429), a vastag vonal pedig az ugrás utáni e értékhez (e2=0,144; 2yA =0,0432) tartozó határciklust mutatja. Bár a két e érték majdnem azonos, a két határciklus-görbe jelentősen különbözik egymástól. A görbék közel egymás tükörképei, és irányításuk is ellentétes. Ez azt jelenti, hogy az E1 energiacserét jelentő határgörbék által határolt előjelhelyes (óramutató járásával egyező irányú körüljárás esetén pozitív) terület az ugrás előtti ill. után ellenkező előjelű: e1=0,143 esetén negatív ( 1E = -0,0521) és az e2=0,144 esetén pozitív ( 1E =0,0491). Ez a különbség a 3.1.ábrán is látható. Ez az eredmény ahhoz hasonló, amit Blackburn és Henderson (1999) és Blackburn (2003) a párhuzamos áramlásba helyezett transzverzális irányban változó frekvenciával rezgő henger esetében tapasztalt. Ezekben a tanulmányokban azt találták, hogy egy kritikus frekvencia értéken áthaladva a határciklus görbék irányítása ellentétessé válik, amely különböző előjelű energiacserét jelent.

3.4. ábra: Az ( )LC,y0 határciklus görbék az ugrás előtti és utáni ellipticitás érték esetén

A 3.5. ábra két ( )DC,x0 határciklust mutat, amely az ellipszis pályán mozgó henger hosszirányú mozgására vonatkozik. Itt is ugyanahhoz a két e értékhez tartozó határciklust ábrázoltam, mint a 3.4. ábrán. Az ábráról látható, hogy — szemben a 3.4. ábrán bemutatott görbékkel — a két különböző e értékhez tartozó határciklus görbéi közel azonosak, és mindkettő az óramutató járásával ellentétes irányítású. Ez az irányítás mindkét e érték esetén negatív energiacserét jelent: e1=0,143 esetén 2E = -0,6947 és e2=0,144 esetén 2E = -0,7663. Látható, hogy az 2E abszolút értéke sokkal nagyobb, mint az ugyanahhoz az e értékhez tartozó 1E abszolút értéke, így a teljes E mechanikai energiaátadási tényező negatív mindkét vizsgált e ellipticitás érték esetében.

Azt találtam, hogy az ellipszis pályán mozgó henger esetén, az e ellipticitás egy kis mértékű megváltoztatása a keresztirányú elmozdulás-komponenshez tartozó határciklus görbe jelentős mértékű megváltozását okozhatja, míg a hosszirányú elmozdulás-komponenshez

40

tartozó határciklust alig befolyásolja. Ez azt jelenti, hogy a transzverzális irányú elmozdulás – erő ( )LC,y0 határciklusa sokkal érzékenyebb arra a jelenségre (valószínűleg az örvényszerkezet ugrásszerű megváltozására), amely a korábban említett ugrást okozza, mint a hosszirányú elmozdulás-erő ( )DC,x0 határciklusa. Ez azt sugallja, hogy a felhajtóerő és az ellenállás más jellemzőkre, így például a fázisszögre is különböző hatást gyakorol.

3.5. ábra: Az ( )DCx ,0 határciklus görbék az ugrás előtti és utáni ellipticitás értékek esetén

3.4.2. Fázisszög-különbség. Több tanulmány, így például Lu és Dalton (1996), Blackburn és Henderson (1999) és Blackburn (2003) kimutatta, hogy a párhuzamos áramlásba helyezett keresztirányban rezgő körhenger mozgásának lock-in állapotában a ( )tCL felhajtóerő-tényező és az ( )ty0 keresztirányú hengerelmozdulás között mérhető LΦ fázisszögben hirtelen ugrás léphet föl, amikor a henger rezgési frekvenciája közel esik a korábban említett 0St frekvenciájához. Ezek alapján célszerűnek látszik, hogy az ellipszis pályán keringő körhenger esetében is megvizsgáljuk a CL felhajtóerő-tényező és a henger keresztirányú y0 elmozdulása között mérhető LΦ fázisszöget. A vizsgálat során a LΦ fázisszöget az óramutató járásával egyező és ellentétes irányú hengermozgás esetén alábbi módon értelmeztem:

egyező: )2sin(0 ftAy y π−= ; )2sin( LLL ΦftAC +−≅ π , (3.5) ellentétes: )2sin(0 ftAy y π= ; )2sin( LLL ΦftAC +≅ π , (3.6)

ahol AL a CL amplitúdója. Nézzük meg ugyanannak az ugrásnak ( 1440 1430 21 ,e,,e == ) a környezetét, amelyet a

3.2. alfejezetben is vizsgáltam (l. még a 3.1.-3.3. ábrákat). A 3.6. ábra a dimenziótlan t idő függvényében mutatja a LC változását az e1=0,143 ( ;0429,01 =yA pontvonal) és az e2=0,144 ( ;0432,02 =yA + jelekből alkotott vonal) értékeknél. Az ábrán folytonos vonallal feltüntettem még a henger keresztirányú elmozdulását reprezentáló 1,5 amplitúdójú szinusz függvényt is. Ez az amplitúdó a valóságban jóval kisebb; azért nagyítottam fel, hogy így jobban használható legyen a LΦ fázisszög vizsgálatakor. Az ábrán látható, hogy míg az ugrás előtti ellipticitás értékhez (e1=0,143) tartozó LC gyakorlatilag fázisban van a hengerelmozdulással, addig az ugrás utáni (e2=0,144) értékhez tartozó LC azzal gyakorlatilag ellenfázisban van. Így

41

tehát a hengerelmozdulás és felhajtóerő-tényező közötti LΦ fázisszög mintegy 180º-os változást szenvedett, miközben az ugráson áthaladva az e érték minimálisan változott.

Ugyanakkor a 3.7. ábra tanúsága szerint a henger hosszirányú ( )tx0 elmozdulása és ( )tCD ellenállás-tényezője között mérhető fázisszög elhanyagolható mértékben változik az e

változtatás hatására. Most is folytonos vonal jelzi a henger ( )tx0 longitudinális elmozdulását. A két másik – alig megkülönböztethető – görbe az ugrás előtti (e1=0,143; pontvonal) és utáni (e2=0,144; + jelekből alkotott vastag vonal) e értékekhez tartozik. Természetesen a 3.5. ábra eredményeit tekintve a két görbe közötti kis eltérés nem meglepő eredmény.

3.6. ábra: A LC időbeli változása az ugrás előtti és utáni ellipticitás értékekre

3.7. ábra: A DC időbeli változása az ugrás előtti és utáni ellipticitás értékekre Ezek az eredmények azt sugallják, hogy a továbbiakban a henger keresztirányú

elmozdulása és a felhajtóerő-tényező között mérhető LΦ fázisszögre érdemes koncentrálni. Ezért a 3.2. és a jelen alfejezetekben részletesen bemutatott esetre vonatkozóan meghatároztam LΦ változását az e ellipticitás függvényében mindkét hengermozgási irány esetére; ezt mutatja a 3.8. ábra. Az ábrán üres négyzet jelöli az óramutató járásával egyező (clw), ill. teli háromszög az azzal ellentétes irányú (aclw) hengermozgásra vonatkozó eredményeket. A két görbe gyakorlatilag egybeesik, amely azt mutatja, hogy a CL és y0 között

42

mérhető fázisszög független a hengermozgás irányától. Ezen az ábrán ugyanazoknál az e ellipticitás értékeknél vannak az ugrások, mint a 3.1. - 3.3. ábrákon. Az ugrásokon keresztül haladva gyakorlatilag 180º-os fázisszög változás látható a 3.8. ábrán. A 3.1. és 3.8. ábrákra tekintve látható, hogy az 1E tényező előjele meghatározza a LΦ fázisszög nagyságát: 01 >E esetén o180≈LΦ , míg 01 <E esetén o0≈LΦ . Ne feledjük E1 geometriai jelentését: az ( )LC,y0 határciklus által bezárt előjelhelyes terület (pozitív, ha a hozzá tartozó, önmagát nem metsző határciklus görbéje az óramutató járásával megegyező irányítású). Tehát, ha az ( )LC,y0 határciklus az óramutató járásával megegyező körüljárású, akkor o180≈LΦ , ellenkező esetben o0≈Φ L . A fázisszög ugrásszerű megváltozására vonatkozó eredmények összhangban vannak Blackburn és Henderson (1999), Blackburn (2003) és Lu és Dalton (1996) keresztirányban rezgetett henger fázisszögére vonatkozó eredményeivel.

Re=160; Ax=0.3; f=0.9St0=0.16938

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

phas

e an

gle

(deg

)

clw aclw

3.8. ábra: A LΦ fázisszög az ellipticitás függvényében mindkét keringési irány esetén

3.4.3. Áramképek. Blackburn és Henderson (1999) valamint Blackburn (2003) azt a hipotézist fogalmazta meg, hogy a párhuzamos áramlásba helyezett, keresztirányban rezgő henger körüli áramlás struktúrájának ugrásokhoz vezető megváltozását két különböző örvénytermelő mechanizmus közötti egyensúly megváltozása okozza. Feltételezésük a párhuzamos áramlásba helyezett, ellipszis pályán mozgó henger esetében nyert eredményeknek sem mond ellent, így elképzelhető, hogy a fenti feltevés az általam vizsgált esetre is helytálló. A probléma egy matematikai megközelítése az, hogy az általam vizsgált nemlineáris problémához valószínűleg két periodikus attraktor (attractor) tartozik egy-egy vonzási tartománnyal (basin of attraction). Az e paraméter értékének megváltoztatásával az attraktorokat elválasztó határ (basin boundary) másik oldalára kerülhet a rendszer, a megoldás a másik attraktorhoz vonzódik és ezáltal ugrásszerűen megváltozhat az örvényszerkezet (Moon, 1992; Nayfeh és Balachandran, 1995; Bronstejn et al., 2002). A 3.9. ábrák a numerikus eredményekből származtatott (Baranyi, 2008a), a hengerhez kötött rendszerben értelmezett áramvonalakat mutatják az ugrás előtti (e=0,143) és ugrás utáni (e=0,144) ellipticitás esetére (a henger helyzetét jellemző Θ polárszög 30°-os lépcsőzése mellett). Az oszlopokban e két e értékhez tartozó áramképek egy-egy örvényleválási periódusának különböző fázisait mutatják. Az egymás melletti áramképek a henger azonos helyzetéhez tartoznak. Látható, hogy ezek az áramképek közel egymás tükörképei. Az ábrák

43

Ay=0,0429 (e=0,143) Ay=0,0432 (e=0,144)

Θ=0º (3 o’clock)

Θ=30º

(4 o’clock)

Θ=60º

(5 o’clock) Θ=90º

(6 o’clock) Θ=120º

(7 o’clock) Θ=150º

(8 o’clock) Θ=180º

(9 o’clock) Θ=210º

(10 o’clock) Θ=240º

(11 o’clock) Θ=270º

(12 o’clock) Θ=300º

(1 o’clock) Θ=330º

(2 o’clock)

3.9. ábra: Az ellipszis pályán mozgó henger különböző helyzeteihez tartozó áramképek

Ay=0,0429 és Ay=0,0432 esetén (Re=160; Ax=0,3; f=0,9St0=0,16938)

44

jól mutatják, hogy az e ellipticitás kis mértékű megváltozása az örvényleválás mechanizmusának igen markáns megváltozását okozhatja. Mint említettem, a henger adott helyzetéhez tartozó ábrákon a két (különböző e értékű) áramkép közel egymás tükörképe, s ez összhangban van a korábban vizsgált LΦ fázisszög 180º-os ugrásszerű megváltozásával. A párhuzamos áramlásba helyezett, keresztirányban rezgetett henger esetében az áramképre vonatkozóan hasonló eredményre jutott Blackburn (2003) is, aki két különböző rezgési frekvencia esetén a henger azonos helyzetéhez tartozó számított örvénykontúrokat rajzolta fel. 3.5. A kezdeti feltétel hatása A nemlineáris rendszerek közös jellemzője, hogy megoldásuk erősen függhet a kezdeti feltételtől. Nézzük most meg, hogy mi történik, ha megváltoztatjuk a párhuzamos áramlásba helyezett ellipszis pályán mozgó hengerre vonatkozó kezdeti feltételt! Indítsuk a t=0 időpontban a henger mozgását az ellipszis pálya különböző pontjaiból. Ehhez írjuk fel most a henger középpontjának x0, y0 koordinátáit az idő függvényében a következő alakokban:

( ) )2cos(0 Θπ += ftAtx x ; ( ) )2sin(0 Θπ +−= ftAty y , (3.7) ahol Θ az x tengelytől az óramutató járásának irányában mért polárszög. Látható, hogy ezek az összefüggések – szemben az (1.15) egyenletekkel – a henger óramutató járásával azonos irányú mozgását írják le. A tézisfüzetben is szereplő korábbi számításaim során az Re=160; Ax=0,3; f=0,9St0=0,16938 adatrendszerhez tartozóan az ( ) xAtx == 00 , ( ) 000 ==ty (azaz Θ =0º) kezdeti feltételt használtam. A számításokat a fenti adatrendszerre az ( ) xAtx −== 00 ,

( ) ,000 ==ty (azaz Θ =180º) kezdeti feltétel esetén is megismételtem. A 3.10. és 3.11. ábra két tipikus eredményt mutat be az óramutató járásával azonos irányban mozgó henger esetére (Baranyi, 2008). A 3.10. ábra a CLmean(e) függvénykapcsolatot mutatja, amelyre az a jellemző, hogy két állapotgörbéje közel párhuzamos egymással, a 3.11. ábrán pedig az E1(e) függvény látható, amelynek jellemzője, hogy állapotgörbéinek közös pontja van az e=0 értéknél. Mindkét ábrán a □ jel a Θ =0º, a ♦ jel pedig a Θ =180º kezdeti feltételhez tartozó

Re=160; Ax=0.3; f=0.9St0=0.16938; clockwise orbit

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

CLm

ean

theta 0 theta 180

3.10. ábra: A kezdeti feltétel hatása a CL időátlag görbéjére (Re=160; Ax=0,3; f=0,9St0)

megoldásokat mutatja. A 3.10. ábrán lévő két állapotgörbepár azonos, szemben a 2.9. ábra állapotgörbéivel, ahol is a mozgásirány megfordítása ugrásszerűen megváltoztatta az állapotgörbék iránytangensét. A 3.11. ábrán látható, E1-re vonatkozó állapotgörbéket sem változtatják meg a változó kezdeti feltételek, de hatással vannak az állapotgörbepárok közötti

45

ugrások számára és helyére (v.ö. a 3.1. és 3.11. ábrákat). Az adott adatrendszerhez tartozó összes görbére (CL, CD, Cpb, tq időátlagára és rms értékére, valamint E1, E2 és E-re, tehát 11 görbére) is jellemző, hogy a kezdeti feltétel megváltoztatásának hatására az állapotgörbék nem változnak meg, de az ugrások száma és helye igen, miközben egy adott kezdeti feltételhez társítható 11 görbe mindegyikénél azonos e értékeknél vannak az ugrások. A más adatrendszerre elvégzett számítások is hasonló típusú eredményeket hoztak.

Re=160; Ax=0.3; f=0.9St0=0.16938; clockwise orbit

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

E1

theta 0 theta 180

3.11. ábra: A kezdeti feltétel hatása a E1 görbére (Re=160; Ax=0,3; f=0,9St0)

Szemben a hengermozgás irányításának megváltoztatásával, a kezdeti feltétel-beli változtatás megváltoztatja azokat az e ellipticitás értékeket, amelyeknél az örvénystruktúra ugrásszerűen változik meg. Tehát azt kaptuk, hogy az 5 elemű (Re, xA , e, f és Θ ) paraméter-rendszer egy vagy több elemének megváltoztatása megváltoztathatja a nemlineáris rendszer attraktorát, amelyhez a megoldás vonzódik.

Ugyanerre az adatrendszerre a számításokat számos más Θ szöggel jellemzett, kezdeti hengerhelyzetre is elvégeztem. Azt találtam, hogy már három (60º, 90º és 180º-os) Θ értékkel a két állapotgörbe majdnem teljesen előállítható a fentebb említett 11 görbe esetén. A 3.12. ábra a CL időátlag görbéjét mutatja az e függvényében. Az ábrát alaposan megvizsgálva és részeit kinagyítva (3.13. ábra), észrevehetjük, hogy van egy kis e intervallum: 0,258 ≤≤ e 0,275, ahol a felső állapotgörbét nem sikerült rekonstruálni. A felső állapotgörbén lévő hiányzó rész csak a teljes e=0-1,2 tartomány mintegy 1,4%-a. A számításokat még több más Θ érték esetére megismételve sem sikerült eljutni a felső állapotgörbére a 0,258 ≤≤ e 0,275 tartományban. További vizsgálattal esetleg megtalálható az a Θ érték, amely esetén a kritikus ellipticitás tartományban a felső állapotgörbe is előállítható, vagy magyarázat található erre az érdekes résre. Az a tény, hogy egyáltalán ez a rés létezik, azt sugallja, hogy az attraktorok vonzási tartományát elválasztó határ igen összetett – akár fraktális szerkezetű – is lehet (Moon, 1992). A fenti esetben előfordulhat, hogy az 5 elemű (Re, xA , e, f és Θ ) paraméter-rendszer elemeinek kombinációja esetén csak az alsó állapotgörbe érhető el.

46

Re=160; Ax=0.3; St0=0.9; clockwise orbit

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

e=Ay/Ax

CLm

ean

theta60 theta90 theta180

3.12. ábra: Kezdeti feltételek hatása a CLmean görbére (Re=160; Ax=0,3; f=0,9St0)

Re=160; Ax=0.3; f=0.9St0=0.16938; clockwise orbit

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

e=Ay/Ax

CLm

ean

theta 60 theta 90 theta 180

3.13. ábra: Kezdeti feltételek hatása a CLmean görbére (részlet); (Re=160; Ax=0,3; f=0,9St0)

3.6. Tudományos eredmények

1. A mechanikai energiaátadási tényezőt kiterjesztettem ellipszis pályán mozgó hengerre

az E1 keresztirányú energiaátadási tényező mellé bevezetve az E2 hosszirányú energiaátadási tényezőt (3.3). Bemutattam, hogy az E1 és E2 összege adja az E teljes energiaátadási tényezőt.

2. Az E1, E2 és E mennyiségeket rögzített Re, Ax és f esetén az e függvényében megadva a következőket tapasztaltam:

a. ugyanolyan típusú állapotgörbéket kaptam, mint az erőtényezők rms görbéi esetén: e=0 esetén közös pontjuk van, és e növelésével a görbék eltávolodnak

47

egymástól. Az ugrások helye és száma ugyanaz, mint a rögzített adatrendszerhez tartozó erőtényezők időátlag és rms görbéinél.

b. E1 lehet pozitív is (3.1. ábra; felső állapotgörbe) ill. negatív is, tehát egy örvényleválási periódus alatt a henger ebben az irányban energiát nyerhet a folyadéktól, ill. energiát adhat át annak. E2 minden e érték esetén negatív (3.2. ábra), így mindig a hengerről adódik át energia a folyadéknak a henger hosszirányú mozgása során. Mivel 12 EE ≥ , így a teljes energiacserére jellemző E=E1+E2 sosem lehet pozitív, tehát az ellipszis pályán mozgó henger nem nyerhet mechanikai energiát az állandó sebességgel mozgó folyadéktól.

3. Az e függvényében megadott erőtényezők időátlagában és rms görbéiben, ill. az E1, E2 és E energiaátadási tényezőkben fellépő ugrások előtti (e1) és utáni (e2) értékekre elvégzett vizsgálatok során a következőket tapasztaltam:

a. A két e értékhez tartozó (y0,CL) határciklus görbék jelentős mértékben különböznek egymástól (3.4. ábra): ellenkező a körüljárásuk és a két görbe közel tükörképe egymásnak, emiatt E1 az ugrás két oldalán ellenkező előjelű: E1(e1)<0; E1(e2)>0. A két e értékhez tartozó (x0,CD) határciklus görbék (3.5. ábra) és az E2 értékek jelentéktelen mértékben különböznek egymástól.

b. Az ugrás két oldalát jellemző két e értékhez tartozó y0(t) és CL(t) között mérhető LΦ fázisszög mintegy 180º-al különbözik egymástól, az x0(t) és CD(t) között mérhető fázisszög elhanyagolható mértékben különbözik egymástól.

c. A két e érték esetén az azonos hengerhelyzethez tartozó áramképek különbözőek: közel tükörképei egymásnak (3.9. ábra).

4. e függvényében mindét hengermozgási irányra meghatározva az y0(t) és CL(t) között mérhető LΦ fázisszöget a következőket tapasztaltam:

a. LΦ független a hengermozgás irányától (3.8. ábra). b. LΦ (e) függvényben lévő ugrások helye és száma megegyezik az erőtényezők

időátlag és rms görbében lévő ugrásokéval. c. Ha E1 pozitív, akkor ΦL ≈ 180º, ha E1 negatív, akkor ΦL ≈ 0º. Más

megfogalmazásban: attól függően, hogy az (y0,CL) önmagát nem metsző határciklus óramutató járásával egyező vagy ellenkező körüljárású, ΦL ≈ 180º vagy ΦL ≈ 0º értékű.

5. A hengermozgás indításához tartozó henger helyzetének (mint kezdeti feltételnek) az erőtényezők időátlagaira és rms értékeire, valamint a három energiaátadási tényezőre gyakorolt hatását vizsgálva a következőket tapasztaltam: a kezdeti feltétel

a. nem befolyásolja a korábban említett állapotgörbéket, b. de befolyásolhatja a megoldás állapotgörbék közötti ugrásainak helyét és

számát, tehát megváltoztathatja azokat a kritikus e értékeket, ahol a nemlineáris rendszer megoldása másik attraktorhoz vonzódik.

A 3. fejezethez kapcsolódó főbb eredményeket a Baranyi (2006, 2008a, 2008b) dolgozatokban publikáltam.

48

4. KAPCSOLAT A FELHAJTÓERŐ- ÉS AZ ELLENÁLLÁS-TÉNYEZŐ KÖZÖTT INERCIA- ÉS GYORSULÓ RENDSZERBEN

4.1. Előzmények és célkitűzések Fontossága miatt sok kutató foglalkozik a mozgó körhenger körüli különböző áramlások elméleti, kísérleti és numerikus vizsgálatával. Így például a homogén párhuzamos áramlásba helyezett, forgómozgást végző körhenger körüli áramlás numerikus szimulációját többek között Chew (1987), Chew et al. (1995) valamint Mittal és Kumar (2003) végezte. Mahfouz és Badr (2000) és Poncet (2004) a henger oszcilláló forgó mozgásának hatását vizsgálták az áramlásra. Lu és Dalton (1996), Blackburn és Henderson (1999) valamint Carberry és Sheridan (2001) a párhuzamos áramlásra merőleges irányban, Mureithi et al. (2004) pedig a főáramlás irányában rezgő henger körüli áramlás numerikus szimulációját végezték. A hossz-és keresztirányú harmonikus rezgések kombinációjával vizsgálható az ellipszis pályán mozgó henger körüli áramlás, amely a hullámokban mozgó test áramlástani modelljének tekinthető. A nyugalomban lévő folyadékban ellipszis pályán mozgó henger körüli áramlás kísérleti vizsgálatával foglalkozott Williamson et al. (1998), a párhuzamos áramlásba helyezett ellipszis pályán mozgó henger körüli áramlás numerikus szimulációjával pedig Baranyi (2004a, 2004b), Didier és Borges (2007) és Lewis (2007) foglalkozott. Ezek mellett egyes kutatók, például Meneghini és Bearman (1995) valamint Sarpkaya (1986) foglalkoztak oszcilláló áramlásba helyezett álló testek körüli áramlás vizsgálatával, de található olyan vizsgálat is, ahol a henger egyszerre forog és keresztirányú rezgést is végez, pl. Guilmineau és Queutey (2002).

E sok variáció közül kívánjuk kiemelni Meneghini és Bearman (1995) munkáját, akik a LC felhajtóerő-tényezőt két különböző áramlási feltétel mellett vizsgálták. Az első esetben

( *LC felhajtóerő-tényező) álló hengert helyeztek abba az áramlásba, amely egy homogén

párhuzamos áramlás és egy keresztirányban időben szinuszosan oszcilláló áramlás összegeként adódott. A második esetben ( LC felhajtóerő-tényező) egy keresztirányban harmonikus rezgőmozgást végző hengert helyeztek a homogén párhuzamos folyadékáramlásba. Bár a két eset kinematikailag azonos, dinamikai szempontból különbözik egymástól. Meneghini és Bearman az első esetre végezte számításait, jóllehet fizikailag a második eset érdekelte őket. Így ugyanis el tudták kerülni a számítási háló hengerelmozdulás miatti torzulását. A számításaikból nyert felhajtóerő-tényezőhöz ezután hozzáadták a henger keresztirányú gyorsulásából származó tehetetlenségi erő dimenziótlan alakját

2

2

22

2

2

2

2 21 2

1 4

1 2

t~dy~d

UdC

t~dy~d

dU~

d~C

dU~

y~mCC *L

*L

*LL

πρ

πρ

ρ +=+=+= . (4.1)

A (4.1) egyenletben m a d átmérőjű, egységnyi hosszúságú henger által felgyorsított ρ~ sűrűségű folyadék tömegét jelenti (Blevins, 1990), 22 ~~~ tdydy = a henger y~ elmozdulásának a t~ idő szerinti második deriváltja, azaz a henger y~ irányú gyorsulása; az első egyenlőségjel utáni kifejezés nevezője pedig az egységnyi hosszúságú szelvényre ható erő dimenziótlanítására szolgál. A (4.1) egyenletben szereplő mennyiségek – a LC és *

LC tényezők kivételével – dimenzionálisak. Mivel az U sebességű főáramlás irányában nem végez gyorsuló mozgást a henger, így az ebben az irányban ható dimenziótlan erők – az ellenállás-tényezők – a két rendszerben azonosak voltak:

*DD CC = . (4.2)

49

A Meneghini és Bearman (1995) munkáinak tanulmányozásakor felmerült bennem az ötlet, hogy érdemes lenne feltárni egy általános kapcsolatot a felhajtóerő- ill. az ellenállás-tényezők inerciarendszerből ill. a rezgőmozgást végző hengerhez kötött gyorsuló (nem inercia-) rendszerből vizsgált összefüggései között. Egy ilyen függvénykapcsolat ismeretében a korábbiakban említett áramlási esetek egységesebben kezelhetők lennének. Az előzőekben megfogalmazott problémák ismeretében célul tűztem ki:

egy olyan általános összefüggés származtatását, amely kapcsolatot teremt egy

tetszőleges keresztmetszetű, általános mozgást végző prizmatikus test körüli két olyan kinematikailag egymással azonos, kis Reynolds számú síkbeli áramlásra vonatkozó felhajtóerő-tényezői és ellenállás-tényezői (továbbiakban erőtényezők) között, ahol az egyik esetben az áramlást a nyugalomban lévő hengerhez kötött vonatkoztatási rendszerből, (inerciarendszerből), a másik esetben pedig a tetszőleges mozgást végző hengerhez kötött gyorsuló vonatkoztatási rendszerből szemlélve tanulmányozzuk; az így nyert általános összefüggés felhasználásával meghatározni a gyakorlati

szempontból két legfontosabb keresztmetszet – a kör és a téglalap – esetére az egymással kinematikailag azonos áramlásokhoz tartozó felhajtóerő- és ellenállás-tényezők közötti kapcsolatot, mind a gyorsuló hengerhez, mind a nyugalomban lévő hengerhez kötött vonatkoztatási rendszerekből.

4.2. Az erőtényezők származtatása inerciarendszerben Ebben a fejezetben az áramlásba helyezett prizmatikus (hengeres) testekre vonatkozó erőtényező két esetre vonatkozó értékei közötti kapcsolatokat származtatjuk. Feltételezzük, hogy a hengeres test hossztengelyének iránya a henger elmozdulása során változatlan marad. A test és a folyadék közötti ún. relatív mozgásról feltételezzük, hogy a henger hossztengelyére merőleges síkokban az áramképek egymással egybevágóak, azaz az áramlás kétdimenziós (2D). A háromdimenziós (3D) hatásokat elhanyagoljuk, így a származtatandó összefüggések csak viszonylag kis Reynolds számú áramlásokra érvényesek. Mint ahogy azt az első fejezetben kifejtettem, álló körhenger esetén Re≅ 190 fölött 3D instabilitások jelennek meg az áramlásban (Barkley és Henderson, 1996). Ugyanakkor azt is tudjuk, hogy a rezgő henger esetén, amikor az áramlás a henger rezgésével szinkronizálódik (lock-in) akkor az áramlás akár Re=500-ig is 2D maradhat (Poncet, 2002). Az említett kis Reynolds számot ebben az értelemben kell érteni. A folyadékról feltételezzük, hogy összenyomhatatlan és állandó anyagjellemzőjű newtoni folyadék. Az említett két eset közül az első esetben az inerciarendszert az álló (nyugalomban lévő) hengerhez kötjük. Az áramlás, amelybe a testet helyeztük, az idő tetszőleges függvényeként változhat; lehet tetszőleges gyorsulása és szöggyorsulása, tehát jellemezhet transzlációt, forgást és rezgőmozgást is. Egy adott időpillanatban a folyadék sebességéről feltételezzük, hogy a térben vagy állandó, vagy forgómozgás esetén a forgástengelytől mért távolsággal lineárisan nő. A második esetben a vonatkoztatási rendszerünk nem inerciarendszer, mert azt a tetszőleges gyorsuló mozgást végző hengerhez kötjük. Vizsgálatunk során azokat az eseteket tekintjük, amikor a két esetre vonatkozó relatív áramlás kinematikailag azonos. Könnyen belátható azonban, hogy a nem inerciarendszerben fellépő tehetetlenségi erők miatt a testre ható erők a két esetben különbözők lesznek.

Mielőtt az egyenletek származtatására rátérnénk, definiáljunk előbb két egységvektort. Az es és en egységvektor érintőleges ill. merőleges az egységnyi hosszúságú hengeres test tetszőleges keresztmetszetét határoló C~ görbéhez ill. görbére (4.1. ábra):

50

,

jijire

jijire

n

s

χχ

χχ

cossinn~y~

n~x~

n~~

,sincoss~y~

s~x~

s~~

+−=∂∂

+∂∂

=∂∂

=

+=∂∂

+∂∂

=∂∂

= (4.3)

ahol jir ~ ~~ yx += az origóból a C~ kontúrgörbe tetszőleges pontjához mutató helyvektor, x~ és y~ koordináták, i és j az x~ ill. y~ irányokba mutató egységvektor, s~ a C~ menti ívhossz, n~ a C~ görbére merőleges koordináta, χ pedig az es és i egységvektorok által bezárt szög (4.1. ábra). A nyomásból és a nyírófeszültségből származó, a folyadékról a henger felületére ható erő a következő alakban írható fel:

( ) ( ) jieeF sn ~ ~~ ~~~ ~ ~~~~

LDCC

FFsdssdsp +=+−= ∫∫ τ , (4.4)

ahol p~ a nyomás, τ~ a C~ görbe érintője irányába mutató nyírófeszültség vektor, DF~ és LF~ pedig az egységnyi hosszúságú hengerfelületre ható ellenállás és felhajtóerő. Itt feltételeztük, hogy a főáramlás a pozitív x tengely irányába mutat. Figyelembe véve az es és en egységvektorok (4.3) definícióját, alkalmazva a (4.4) egyenletben a nyomást tartalmazó integrálokra a szorzat integrálási szabályát, az DF~ ellenállásra és az LF~ felhajtóerőre a következő összefüggéseket kapjuk:

( ) ( ) ,~~

~ ~~~ ~ ~~~~

~~sd

sxssdsy

s p F

CCD ∂

∂+

∂∂

−= ∫∫ τ (4.5)

( ) ( ) .~~

~ ~~~ ~~~~~

~~sd

syssdsx

s p F

CCL ∂

∂+

∂∂

= ∫∫ τ (4.6)

A (4.4)-(4.6) egyenletekben szereplő, felső hullámvonallal ellátott kifejezések mind tényleges fizikai mennyiségeket jelölnek. Az l hossz-, U sebesség- és ρ~ sűrűséglépték bevezetésével az egyenletekben szereplő mennyiségek — a korábbi fejezetekben leírtak értelmében — egyszerűen dimenziótlaníthatók. A felső hullám nélküli dimenziótlan t idő, az x, y és s koordináták, a p nyomás és a τ nyírófeszültség az (1.5) egyenletek alapján származtatható.

en

es

O

χy~ s~

x~

C~

r~

4.1. ábra: Tetszőleges keresztmetszetű hengerre vonatkozó főbb jelölések

51

A (4.5) és (4.6) egyenleteket 22lU~ρ kifejezéssel elosztva és figyelembe véve az (1.5) definíciókat, az álló hengerhez kötött inerciarendszerben a *

DC ellenállás-tényezőre és a *LC

felhajtóerő-tényezőre a következő összefüggések adódnak:

( ) ( ) ,dssxsdssy

sp

lU~F~C

CC

D*D

2 22

2 ∂∂

+∂∂

−== ∫∫ τρ

(4.7)

( ) ( ) dssysdssx

sp

lU~F~C

CC

L*L

2 222 ∂

∂+

∂∂

== ∫∫ τρ

, (4.8)

ahol a C módosított kontúrgörbét az eredeti C~ görbéből úgy nyerjük, hogy az utóbbi minden méretét az l hosszléptékkel elosztjuk.

Vizsgáljuk most meg kissé részletesebben a (4.7) és (4.8) egyenletekben szereplő dimenziótlan p nyomás hatását az inerciarendszerben értelmezett *

DC és *LC erőtényezőkre.

Írjuk fel a Navier-Stokes mozgásegyenlet dimenziótlan alakját az összenyomhatatlan, állandó anyagjellemzőjű newtoni folyadék esetére

( ) vvvv 2

Re1

∇+−∇=∇⋅+∂∂ p

t, (4.9)

ahol v az U sebességléptékkel dimenziótlanított sebességvektor, t az (1.5) egyenlettel definiált dimenziótlan idő, ∇ a dimenziótlan nabla operátor, 2∇ a Laplace operátor, Re az Re=Ul/ν~ kifejezéssel definiált Reynolds szám, ahol ν~ a folyadék kinematikai viszkozitása. A (4.9) egyenletben a térerőt beleértjük az egyenlet jobb oldalán szereplő nyomástagba. Figyelembe véve, hogy a valóságos folyadék esetében a falon a folyadék sebessége megegyezik a fal sebességével, azaz esetünkben 0, a (4.9) egyenletet az es vektorral skalárisan megszorozva azt kapjuk, hogy:

sev ⋅∇=∂∂ 2

Re1

sp . (4.10)

Mielőtt a p nyomás erőtényezőkre gyakorolt hatását megvizsgálnánk, nézzük meg a (4.10) egyenlet jobb oldalát kissé részletesebben:

.2

2

2

2

2

2

2

22

s y

yv

xv

s x

yv

xv yyxx

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=⋅∇ sev (4.11)

A (4.11) egyenletet kissé átrendezve – a xv és yv sebességkomponensek vegyes másodrendű deriváltjait hozzáadva a kifejezéshez és ki is vonva azokat – kapjuk:

. s y

yv

y x v

s y

y v

x v

x

s x

xv

y x v

s x

x v

y v

y

yxxy

xyyx

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂

∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

∂∂

=⋅∇

2

22

2

222

sev

(4.12)

Figyelembe véve a dimenziótlan ς örvényeloszlás 2D áramlásra vonatkozó

yv

xv xy

∂∂

−∂

∂=ς (4.13)

definícióját, a (4.3) egyenletet, továbbá azt, hogy a (4.12) egyenlet jobb oldalának 2. és 4. tagjában szereplő zárójeles kifejezés az (1.9) egyenlettel definiált Θ sebességdivergencia x ill. y szerint deriváltja, amely összenyomhatatlan közeg esetén eltűnik, végül a (4.12) egyenlet jobb oldalán álló kifejezésre a

52

ns 2

∂∂

−=⋅∇ςev (4.14)

összefüggés adódik. Így a (4.10) és (4.14) egyenletek összehasonlításából a hengermetszetet határoló C görbén (tehát a henger felületén) a nyomásderiváltra a

ns p

Re1

∂∂

−=∂∂ ς (4.15)

összefüggést kapjuk. Ezt a (4.7) és (4.8) egyenletekbe behelyettesítve az inerciarendszerben érvényes *

DC és *LC erőtényezők a következő formába önthetők:

( ) ( ) , 2

Re2* ds

sxsdssy

nC

CCD ∂

∂+

∂∂

= ∫∫ τς (4.16)

( ) ( ) . 2

Re2* ds

sysdssx

nC

CCL ∂

∂+

∂∂

−= ∫∫ τς (4.17)

Mint ahogy az a (4.16) és (4.17) egyenletekből látható, a testre ható erő meghatározásához nem kell ismernünk a test felülete menti nyomáseloszlást. Ez különösen akkor előnyös, ha az áramfüggvény-örvény (stream function-vorticity method) leírásmódot használjuk, ahol a nyomás nem szerepel explicite az egyenletekben. Természetesen a (4.16) és (4.17) egyenletek nem újak, és különösen körhenger esetére több különböző alakjuk is megtalálható a szakirodalomban (Badr és Dennis, 1985; Cheng et al., 2001). A (4.7), (4.8), ill. (4.15)-(4.17) egyenletekből kiolvasható, hogy a p nyomásnak a *

DC ellenállás-tényezőre és a *LC

felhajtóerő-tényezőre gyakorolt hatása a henger környezetében lévő örvényeloszlás ismeretében meghatározható. 4.3. Az erőtényezők származtatása gyorsuló vonatkoztatási rendszerben Vizsgáljuk most azt az esetet, amikor a test mozgása tetszőleges síkbeli mozgás (gyorsulás, szöggyorsulás) lehet. Mint korábban említettük, feltételezzük, hogy a henger tengelye a mozgás során nem változtatja irányát. A test forgásának tengelye párhuzamos a test tengelyével (vagy azzal egybeeső), merőleges az x, y (inerciarendszerbeli) ill. ξ , η (gyorsuló rendszerbeli) síkokra, és átmegy azok — egybeeső — origóján. Rögzítsük vonatkoztatási rendszerünket a gyorsuló mozgást végző hengeres testhez. Felhasználva egy inerciarendszerben és egy gyorsuló rendszerben lévő folyadékrészecske mozgása közötti ismert összefüggést (pl. Shames, 1982), a Navier-Stokes egyenlet gyorsuló rendszerben érvényes dimenziótlan alakja a következő formában írható fel:

( ) ( ) rr0 rωrωωwωawwww×−×××−−∇+−∇=∇⋅+

∂∂

tddp

t - 2

Re1

2 , (4.18)

ahol w az 0a gyorsulással mozgó hengerhez kötött rendszerben mért ún. relatív sebesség, kω ω= a test dimenziótlan szögsebesség-vektora, k a ξ , η síkra merőleges egységvektor,

és rr a gyorsuló rendszerben érvényes helyvektor. Az egyenletben a vektorok közti skaláris ill. vektoriális szorzás jelölésére a szokásos „ · ” ill. „ × ” jeleket használjuk. Ebben az egyenletben w és rr az U és l sebesség- ill. hosszléptékkel van dimenziótlanítva. A (4.18) egyenletben a tömegerőt beleértjük a nyomástagba, és a dimenziótlan ω szögsebességet ill. az 0a gyorsulást az alábbi módon definiáljuk:

2

~ , ~

Ul

Ul 0

0aa ==

ωω ,

ahol ω~ és 0a~ a henger szögsebessége ill. gyorsulása. A (4.18) egyenletben szereplő egyéb dimenziótlan mennyiségek megegyeznek a (4.9) egyenletben szereplő mennyiségekkel.

53

A henger felületén 0 relatív sebességet feltételezve és a (4.18) egyenletet az es érintővektorral skalárisan megszorozva azt kapjuk, hogy:

( ) srr0s erωrωωaew ⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×+××+−⋅∇=

∂∂

tddp

Re1

s 2 . (4.19)

Vezessük most be a mozgó hengerhez kötött, gyorsuló rendszerbeli dimenziótlan rς relatív örvényeloszlást:

ηξς ξη

∂∂

−∂∂

=w w

r ,

ahol ξw és ηw a w relatív sebesség ξ és η komponensei. Megismételve a 4.2. alfejezetben elvégzett levezetéseket (l. a (4.12) - (4.15) egyenleteket) a (4.19) egyenlet jobb oldalán lévő első tag – a (4.15) egyenlethez hasonlóan - a következő alakot ölti:

nr

Re1

Re1 2

∂∂

−=⋅∇ς

sew . (4.20)

Figyelembe véve (4.20) egyenletet, valamint az se és ne egységvektorok (4.3) definícióját, a (4.19) egyenlet a következő alakba írható át:

( ) ( )222

0 21

2Re1

rrsr r

nd td ωr

sa

n ς

s p

∂∂

+∂∂

+−∂∂

−=∂∂ ω , (4.21)

ahol 22 ηξ +=rr a C kontúron lévő változó pontnak az origótól mért dimenziótlan távolsága. Az 2

rr tag s és n szerinti deriváltját a C görbén kell venni. Ne feledjük, hogy később, a vonal- (valójában felületi-) integrálok kiértékelésénél a nyugalomban lévő, inerciarendszerbeli testre vonatkozóan, az x, y koordináták azonosak a megfelelő nem-inerciarendszerbeli testre vonatkozó ξ , η koordinátákkal. A (4.21) egyenletben sa0 a henger

0a dimenziótlan gyorsulásának tangenciális komponense a C görbe mentén, amely a következő alakban írható fel:

( ) ( ) s η ta

s ξ taa yxs ∂

∂+

∂∂

=⋅= 000 s0 ea , (4.22)

ahol xa0 és ya0 a henger gyorsulásának dimenziótlan x és y irányú komponensei. Az ellenállás-tényező és a felhajtóerő-tényező a gyorsuló- (vagy relatív) rendszerben a

testre ható erők alapján is definiálható:

( ) ( ) ,dss

sdsssp

lU~F~C

Cr

C

DrD

2 22

2 ∂∂

+∂∂

−== ∫∫ξτη

ρ (4.23)

( ) ( ) dss

sdsssp

lU~F~C

Cr

C

LrL

2 22

2 ∂∂

+∂∂

== ∫∫ητξ

ρ, (4.24)

ahol rτ a gyorsuló rendszerbeli dimenziótlan nyírófeszültség, DrF~ és LrF~ pedig az ebben a rendszerben mérhető tényleges ellenállás és felhajtóerő. A (4.7), (4.8) ill. (4.23), (4.24) egyenleteket egymással összehasonlítva látható, hogy az inerciarendszerben ill. a gyorsuló rendszerben definiált erőtényezők egymáshoz hasonló alakúak.

A (4.21) felhasználásával a (4.23) és (4.24) egyenletek átalakíthatók:

( ) ( ) ,2

2

Re2 222

0r ds

sdsr

nd tdr

sads

nC

Crrrs

CCD ∂

∂+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

+−−∂∂

= ∫∫∫ξτηωωης (4.25)

( ) ( ) dss

dsrnd t

d ωrs

adsn

CC

rrrsCC

rL ∂

∂+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

+−+∂∂

−= ∫∫∫ητξωξς 2

2

Re2 222

0 . (4.26)

54

A (4.25) és (4.26) egyenletek megadják az összenyomhatatlan newtoni folyadék tetszőleges áramlásába helyezett, tetszőleges 0a gyorsulású és ω szögsebességű forgómozgást végző testre vonatkozó DC ellenállás-tényezőt és LC felhajtóerő-tényezőt. A koordináta-rendszert a mozgó testhez rögzítettük, és a (4.25), (4.26) egyenletekben szereplő összes mennyiség dimenziótlan. A (4.16) és (4.25) valamint (4.17) és (4.26) egyenletek összehasonlításából látható, hogy a gyorsuló rendszerbeli erőtényezőkben extra tagok jelennek meg az inerciarendszerben definiáltakhoz képest, amelyek természetesen a tehetetlenségi erőkből származnak.

Nézzük most meg, hogy milyen kapcsolat van kinematikailag azonos áramlások esetén az inerciarendszerben ill. a gyorsuló mozgást végző testhez kötött vonatkoztatási rendszerben értelmezett erőtényezők között. 4.4. Inercia- és gyorsuló rendszerben értelmezett erőtényezők kapcsolata Tekintsük a következő két esetet. (a) Álló hengerhez kötött inerciarendszer. Ebben az esetben a τ és ς erőtényezők a (4.16)

és (4.17) egyenletek alapján a τ nyírófeszültség és a ς örvényeloszlás C peremgörbére merőleges irányú deriváltjának C menti vonalintegráljaként adódnak. Mindkét tényező meghatározható a test környezetében lévő sebességtér és a Reynolds szám ismeretében. Természetesen a testet körülvevő folyadék úgy mozog, hogy az áramlás kinematikailag megegyezik azzal az áramlással, amikor a henger mozog (l. a b esetet).

(b) Gyorsuló mozgást végző vonatkoztatási rendszer. Ebben az esetben a (4.25) és (4.26) egyenletek adják meg a CD és CL erőtényezőket. Ezek az egyenletek is tartalmazzák a rτ nyírófeszültség és a rς örvényeloszlás C peremgörbére merőleges irányú deriváltjának C menti vonalintegrálját, de a nyírófeszültség és az örvényeloszlás most a gyorsuló rendszerben van definiálva. Az egyenletekben előforduló vonalintegrálok a test környezetében lévő w relatív sebességtér és a Reynolds szám ismeretében kiszámíthatók. A (4.25) és (4.26) egyenletekben viszont a gyorsuló rendszerben fellépő tehetetlenségi erők miatt a (4.16) és (4.17) egyenletekhez képest újabb tagok is megjelennek.

Legyenek az (a) és (b) esethez tartozó áramlások kinematikailag azonosak. Ez az jelenti,

hogy az (a) rendszerben értelmezett v abszolút sebességvektor azonos a (b) esetben értelmezett, a gyorsuló mozgást végző hengerhez kötött gyorsuló rendszerben mérhető w relatív sebességvektorral. Tehát

BA wv = . (4.27) A (4.27) egyenletből az is következik, hogy a Aς és Bς örvényeloszlások valamint a Aτ és

rBτ nyírófeszültségek szintén azonosak a hengeres test felületén mindkét esetben, azaz . , A rBrBA ττςς == (4.28)

Tekintetbe véve a (4.27) és (4.28) egyenleteket, valamint összehasonlítva a (4.16), (4.17) és (4.25), (4.26) egyenlet párokat, a következő összefüggéseket nyerjük az inerciarendszerben és a gyorsuló rendszerben definiált erőtényezőkre:

( ) ( ) , s

2 2220

* dsr nd t

d ωraCC rrsC

DD ηω ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

+−−= ∫ (4.29)

( ) ( ) . s

2 2220

* dsr nd t

d ωraCC rrsC

LL ξω ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

+−+= ∫ (4.30)

Ismét szeretném hangsúlyozni, hogy ez a két egyenlet az álló vagy mozgó hengerhez kötött vonatkoztatási rendszerben definiált erőtényezők között csak akkor adja meg helyesen a

55

kapcsolatot, ha a két esetre vonatkozó áramlás egymással kinematikailag azonos. A gyorsuló rendszerben definiált DC és LC erőtényezőkre vonatkozó (4.25) és (4.26) összefüggések a tehetetlenségi erőkből származó járulékos tagokat is tartalmazzák az inerciarendszerben definiált *

DC és *LC tényezőkre vonatkozó (4.7) és (4.8) egyenletekhez képest. A gyorsulás

vonalintegrálját gyakran egy hozzáadott tömeg-tagként (added mass term) tekintik (pl. Blevins, 1990).

Eddig semmit sem mondtunk a hengeres test C kontúrgörbével jellemzett keresztmetszetének alakjáról. Ez tetszőleges lehet, attól eltekintve, hogy a vonalintegrál kiszámíthatósága megköveteli, hogy a C görbe véges ívhosszúságú legyen, mint ahogy az a (4.29) és (4.30) egyenletekből látható. Határozzuk meg most a (4.29) és (4.30) egyenletekben vonalintegrálokkal definiált dimenziótlan inerciaerőket a gyakorlati szempontból két legfontosabb keresztmetszet – a kör és a téglalap – esetére. 4.5. Erőtényezők kör és téglalap keresztmetszetű prizmatikus rúd esetén 4.5.1. Erőtényezők kör keresztmetszet esetén. Az inercia- és a gyorsuló rendszerben értelmezett erőtényezők között érvényes (4.29) és (4.30) egyenletekben szereplő integrálokat származtassuk a gyakorlati szempontból fontos körhenger esetére (4.2. ábra). Ne feledjük, hogy a (4.29) és (4.30) egyenletekben ill. a 4.2. ábrán szereplő minden mennyiség dimenziótlan. A hosszmennyiségeket a d hengerátmérővel dimenziótlanítottuk. Az általánosság megszorítása nélkül a d átmérőt egységnyinek választhatjuk. A 4.2. ábrán látható körhenger pontjaiban a dimenziótlan ξ és η koordináták és az elemi ds ívhossz a következő módon írható fel:

,cos5,0 ϕξ = ,sin5,0 ϕη −= ϕdds 5,0= , (4.31)

ahol ϕ az ábrán látható polárszög. Nézzük most meg a (4.29) és (4.30) egyenletekben szereplő 2

rr tagok s ívhossz és n normális irányú koordináta szerinti deriváltját a kör mentén:

( ) ( ) ( ) 01

0 50

2

50

2

50

2 ,rr

rn

,rs ,r

r,r

r,r

rrrr

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

===

. (4.32)

A henger gyorsulásának s ívhossz irányú sa0 összetevője a (4.22) és a (4.31) egyenletek alapján

( ) ( ) ϕϕ costasintaa yxs 000 −−= (4.33) alakú. A (4.31) és (4.33) összefüggéseket figyelembe véve a (4.29) és (4.30) egyenletek elemi átalakítások után a következő egyszerű alakba írhatók át:

y*LLx

*DD aCC,aCC 00 2

2

ππ+=+= . (4.34)

Ezekből az egyenletekből látszik, hogy noha tetszőleges gyorsulást és szöggyorsulást tételeztünk fel, a két rendszerben értelmezett erőtényezők közötti összefüggésben a henger szimmetria tulajdonságai miatt sem a szögsebesség, sem a szöggyorsulás nem játszik szerepet, és a (4.34) egyenletekben csak a henger gyorsulásának két komponense szerepel. Az egyenletekből kitűnik, hogy ha a henger gyorsulása kereszt- (y) irányú, akkor a két ellenállás-tényező azonos, csak a felhajtóerő-tényezők különböznek egymástól, ill. ha a gyorsulás hossz- (x) irányú akkor ez pontosan fordítva igaz.

Figyelembe véve, hogy a (4.1) egyenlet jobb oldalán szereplő tag éppen az általunk használt ya0 keresztirányú dimenziótlan gyorsulással azonos, azaz

yadt

ydUd

02

2

2 = ,

56

akkor látható, hogy a (4.1) egyenlet a (4.34) egyenlet második összefüggésébe megy át (ne feledjük, hogy Meneghini és Bearman (1995) dolgozatában dimenzionális mennyiségek szerepelnek). Tanulmányukban a henger csak keresztirányban rezgett, ezért xa0 =0 volt. Ezt behelyettesítve a (4.34) egyenlet első összefüggésébe, Meneghini és Bearman eredményével egyezően a (4.2) összefüggésre jutunk.

ξ

η

s es

en

ϕ

R = 0.5

O

4.2. ábra: Körhengerre vonatkozó főbb jelölések

4.5.2. Erőtényezők téglalap keresztmetszet esetén. A gyakorlati szempontból a másik legfontosabb keresztmetszet a téglalap. Vezessük le kinematikailag azonos áramlásokra az erőtényezők inercia- és gyorsuló rendszerben érvényes kifejezései között fennálló összefüggéseket egy téglalap keresztmetszetű hengerre! Mint ahogy az a 4.3. ábrán látható, a koordináta rendszerünk O origóját, amely körül a henger forgómozgást is végezhet, általános helyzetűre választottuk. A henger H magasságát válasszuk hosszléptéknek (és egyben egységnyi hosszúságúnak), és minden más méretet ezzel dimenziótlanítsunk. A 4.3. ábra A sarokpontjának dimenziótlan koordinátái Aξ , Aη . A (4.29) és (4.30) egyenletekben lévő vonalintegrálokat az óramutató járásával egyező irányítással számítottuk, mint ahogy az a 4.3. ábrán is látható. Az s és n ívkoordináták, valamint a ξ , η koordináták egyszerűen azonosíthatók a téglalap egyes oldalai mentén. Például a téglalap felső (f) oldalán a következő összefüggések érvényesek:

[ ] ( ) ( ) ( )Af

rf

rf rn

,rs

,ddn,ddsA

ηξηηηξ +=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

+=== 12 2 1 , 22 ,

ahol az f index a téglalap felső vízszintes oldalára utal (4.3. ábra). Ezeket a kifejezéseket a (4.29) és (4.30) egyenletekbe behelyettesítve, az adott szakaszra vonatkozó vonalintegrál zárt alakban kiszámíthatók. A többi oldalra is lokalizálva az s, n, ξ és η változókat, kiértékelve a kijelölt integrálokat és összegezve azokat a téglalap négy oldalára, akkor végül a (4.29) és (4.30) egyenletekből a következőket kapjuk:

( )HD

dtd

HD

HD

HDaCC AAxDD ηωξω 21322 2

0* +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+= , (4.35)

( )HD

HD

dtd

HD

HDaCC AAyLL ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−+= ξωηω 23212 2

0* . (4.36)

57

Ezzel a két egyenlettel a 4.3. ábrán vázolt téglalap keresztmetszetű hengerre megkaptuk kinematikailag azonos áramlások inercia- és gyorsuló rendszerbeli erőtényezőik közötti összefüggést. Ezekben az egyenletekben a téglalap és a forgástengely relatív helyzetét a Aξ és

Aη koordináták jellemzik (4.3. ábra). Így természetesen a kapott formulák függnek a forgáspont helyzetétől. Az egyenletekből látható, hogy a két rendszerben értelmezett erőtényezők közötti különbségek a henger gyorsulásán túl a henger szögsebességétől (centripetális erő) és szöggyorsulásától is függnek. A forgáspont más megválasztásával a (4.35) és (4.36) egyenletek egyszerűbb alakjait is nyerhetjük.

Egy fontos speciális eset az, amikor a forgáspontot a téglalap súlypontjába helyezzük, azaz az A sarokpont koordinátáit ( ) 2 ,HDA −=ξ Aη =0,5 értékűre választjuk. Ezeket a koordinátákat a (4.35) és (4.36) egyenletekbe helyettesítve a következő összefüggésekre jutunk:

,HDaCC x

*DD 02+= (4.37)

.HDaCC y

*LL 02+= (4.38)

en

es

H = 1

η

1+ηA

ηA

O

A

ξA ξA+D/H

ξ

s

4.3. ábra: Téglalap keresztmetszetű hengerre vonatkozó főbb jelölések

Azt kaptuk tehát, hogy amikor a téglalap keresztmetszetű hengert a téglalap súlypontján átmenő, ξ ,η síkra merőleges tengely körül forgatjuk meg, akkor a kapott (4.37) és (4.38) egyenletek alakja nagyon hasonlít a szimmetria tengelye körül megforgatott körhenger esetén nyert (4.34) egyenletek alakjához. Valószínűleg a geometria szimmetria tulajdonságai miatt az erőtényezők inercia- és gyorsuló rendszerben értelmezett alakjai között most is csak a henger gyorsulásából származóan adódnak különbségek, tehát függetlenek a test szöggyorsulásától és szögsebességétől. Ezek az összefüggések a téglalap keresztmetszet tetszőleges D/H értékére fennállnak. Négyzet keresztmetszet esetén (D=H) tovább egyszerűsödnek a (4.37) és (4.38) egyenletek.

Egy másik, gyakorlati szempontból fontos eset lehet az, amikor az O forgáspont egybeesik az A sarokponttal, azaz 0== AA ηξ . Ezeket az értékeket a (4.35) és (4.36) egyenletekbe helyettesítve a következő összefüggéseket nyerjük:

58

,HD

dtd

HD

HDaCC x

*DD

ωω 322

20 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+= (4.39)

.HD

dtd

HD

HDaCC y

*LL

22

0 32 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−+=

ωω (4.40)

Amennyiben a henger nem végez forgómozgást, akkor a (4.39) és (4.40) egyenletek 0=ω helyettesítéssel a (4.37) és (4.38) egyenletekre redukálódnak. Négyzet keresztmetszet esetén a (4.39) és (4.40) egyenletek is tovább egyszerűsödnek. 4.6. Tudományos eredmények

5. Származtattam két olyan általános összefüggést, amely kapcsolatot teremt egy tetszőleges keresztmetszetű, általános mozgást végző prizmatikus test körüli, kinematikailag egymással azonos, kis Reynolds számú síkbeli áramlásokra vonatkozó felhajtóerő-tényezők és ellenállás-tényezők között, ahol az egyik esetben a henger áll (inerciarendszer), a másik esetben pedig a vonatkoztatási rendszer a tetszőleges gyorsuló mozgást végző hengerhez van kötve. E kapcsolatokat a (4.29) és (4.30) összefüggések tükrözik.

6. Az 1. pontban említett tetszőleges keresztmetszetre vonatkozó összefüggések felhasználásával meghatároztam a kör keresztmetszetű hengerekre vonatkozó felhajtóerő-tényezők és ellenállás-tényezők közötti (4.34) összefüggéseket (a kör középpontján átmenő forgástengely esetére).

7. Az 1. pontban említett tetszőleges keresztmetszetre vonatkozó összefüggések felhasználásával meghatároztam a téglalap (és négyzet) keresztmetszetű hengerekre vonatkozó felhajtóerő-tényezők és ellenállás-tényezők közötti összefüggéseket

a) a (4.35) és (4.36) szerint általános helyzetű forgástengely esetére, b) a (4.37) és (4.38) szerint súlyponton átmenő tengelyű téglalap kereszmetszetre, c) a (4.39) és (4.40) szerint a téglalap sarokpontján átmenő forgástengely esetére.

A henger körüli áramlásokra vonatkozó, inercia- és gyorsuló rendszerben értelmezett felhajtóerő- és ellenállás-tényezők közötti összefüggésekkel kapcsolatos eredményeimet a Baranyi (2005a) publikáció ismerteti.

59

5. A LEGFONTOSABB 20 PUBLIKÁCIÓ A HABILITÁCIÓS FÜZET TÁRGYKÖRÉBEN

Szakcikk idegen nyelven [1] Baranyi, L., Numerical simulation of flow around an orbiting cylinder at different ellipticity

values. Journal of Fluids and Structures (2008), doi: 1016/j.jfluidstructs.2007.12.006 (Impact factor: 0.674)

[2] Baranyi, L., Lewis, R.I., Comparison of a grid-based CFD method and vortex dynamics predictions of low Reynolds number cylinder flows. The Aeronautical Journal 110(1103) (2006), 63-71, (Impact factor: 0.267)

[3] Baranyi, L., Lift and drag evaluation in translating and rotating non-inertial systems. Journal of Fluids and Structures 20(1) (2005), 25-34, (Impact factor: 0.832)

[4] Koide, M., Kubo, Y., Takahashi, T., Baranyi, L., Shirakashi, M., The vibration response of a cantilevered rectangular cylinder in cross-flow oscillation. Journal of Fluids Engineering 126, Trans. ASME (2004), 884-887, (Impact factor: 0.729)

[5] Baranyi, L., Numerical simulation of flow past a cylinder in orbital motion. Journal of Computational and Applied Mechanics 5(2) (2004), 209-222.

[6] Baranyi, L., Computation of unsteady momentum and heat transfer from a fixed circular cylinder in laminar flow. Journal of Computational and Applied Mechanics 4(1) (2003), 13-25.

[7] Baranyi, L., Numerical analysis of unsteady viscous flow around heat exchanger elements. Acta Mechanica Slovaca, 2/2002 (2002), 485-490.

[8] Koide, M., Tomida, S., Takahashi, T., Baranyi, L., Shirakashi, M., Influence of cross-sectional configuration on the synchronization of Kármán vortex shedding with the cylinder oscillation. JSME International Journal, Series B, 45(2) (2002), 249-258, (Impact factor: 0.199)

[9] Baranyi, L., Modelling and computation of laminar unsteady flow past oscillating and rotating circular cylinders. Journal of Theoretical and Applied Mechanics 4(38) (2000), 947-955.

[10] Takahashi, T., Baranyi, L., Shirakashi, M., Configuration and frequency of longitudinal vortices shedding from two circular cylinders in cruciform arrangement. Journal of the Visualization Society of Japan 19(75) (1999), 328-336.

[11] Baranyi, L., Shirakashi, M., Numerical solution for laminar unsteady flow about fixed and oscillating cylinders. Journal of Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences 6 (1999), 263-277.

Szakcikk magyar nyelven: [12] Baranyi L.: Ellipszis pályán mozgó henger körüli kis Reynolds számú áramlás numerikus

vizsgálata. Alkalmazott Matematikai Lapok (közlésre elfogadva). Konferencia előadás idegen nyelven: [13] Baranyi, L., State curves and flipping for an orbiting cylinder at low Reynolds numbers. IUTAM

Symposium on Unsteady Separated Flows and Their Control. Corfu, Greece (2007), on CD ROM, pp. 1-10.

[14] Baranyi, L., Energy transfer between an orbiting cylinder and moving fluid. PVP2006-ICPVT-11 ASME Pressure Vessels and Piping Division Conference, Vancouver, Canada (2006), on CD ROM, pp. 1-10, ISBN 0-7918-3782-3.

[15] Baranyi, L., Abrupt changes in the root-mean-square values of force coefficients for an orbiting cylinder in uniform stream. 4th Symposium on Bluff Body Wakes and Vortex-Induced Vibrations, Santorini, Greece (2005), pp. 55-58.

60

[16] Baranyi, L., Sudden jumps in time-mean values of lift coefficients for a circular cylinder in orbital motion in a uniform flow. 8th Conference on Flow-Induced Vibration, Paris (2004), Vol. 2, pp. 93-98.

[17] Baranyi, L., Lakatos, K., Computational fluid dynamics analysis of low Reynolds number flow around stationary and oscillating cylinders. 4th International Engineering Conference, Mansoura-Sharm El-Shiekh, Egypt (2004), Vol. 1, pp. 459-465.

[18] Baranyi, L., Forced convection from from a stationary circular cylinder placed in a uniform stream. 4th ASME/JSME Joint Fluids Engineering Conference, Honolulu, Hawaii (2003), on CD ROM, F-316, 45620, pp. 1-6.

[19] Baranyi, L., A finite difference method for flow past mechanically vibrated circular cylinders. Fourth International Colloquium on Bluff Body Aerodynamics & Applications, Bochum, Germany (2000), pp. 197-200.

[20] Baranyi, L., Shirakashi, M., Kósa, Gy., Computation of two-dimensional laminar unsteady flow past fixed and oscillating circular cylinders. 11th Conference on Fluid and Heat Machinery and Equipment, Budapest (1999), on CD ROM, 16/1-10.

IRODALOMJEGYZÉK Al-Mdallal, Q.M., Lawrence, K.P., Kocabiyik, S., Forced streamwise oscillations of a circular

cylinder: Locked-on modes and resulting fluid forces. Journal of Fluids and Structures 23(5) (2007), 681-701.

Badr, H.M., Dennis, S.C.R., Time-dependent viscous flow past an impulsively started rotating and translating circular cylinder. Journal of Fluid Mechanics 158 (1985), 447-488.

Baranyi, L., A finite difference method for flow past mechanically vibrated circular cylinders. Fourth International Colloquium on Bluff Body Aerodynamics & Applications, Bochum, Germany (2000), pp. 197-200.

Baranyi, L., Computation of unsteady momentum and heat transfer from a fixed circular cylinder in laminar flow. Journal of Computational and Applied Mechanics 4(1) (2003), 13-25.

Baranyi, L., Numerical simulation of flow past a cylinder in orbital motion. Journal of Computational and Applied Mechanics 5(2) (2004a), 209-222.

Baranyi, L., Sudden jumps in time-mean values of lift coefficient for a circular cylinder in orbital motion in a uniform flow. 8th International Conference on Flow-Induced Vibration, Paris (2004b), Vol. II, pp. 93-98.

Baranyi, L., Lift and drag evaluation in translating and rotating non-inertial systems. Journal of Fluids and Structures 20 (2005a), 25-34.

Baranyi, L., Abrupt changes in the root-mean-square values of force coefficients for an orbiting cylinder in uniform stream. 4th Symposium on Bluff Body Wakes and Vortex-Induced Vibrations, Santorini, Greece (2005b), pp. 55-58.

Baranyi, L., Energy transfer between an orbiting cylinder and moving fluid. PVP2006-ICPVT-11 ASME Pressure Vessels and Piping Division Conference, Vancouver, Canada (2006), on CD ROM, pp. 1-10, ISBN 0-7918-3782-3.

Baranyi, L., Orbiting cylinder at low Reynolds numbers. IUTAM Symposium on Unsteady Separated Flows and Their Control, Corfu, Greece (2007), on CD ROM, pp. 1-5.

Baranyi, L., Numerical simulation of flow around an orbiting cylinder at different ellipticity values. Journal of Fluids and Structures (2008a), doi: 1016/j.jfluidstructs.2007.12.006

Baranyi L.: Ellipszis pályán mozgó henger körüli kis Reynolds számú áramlás numerikus vizsgálata. Alkalmazott Matematikai Lapok (2008b), (közlésre elfogadva).

Baranyi, L., Lakatos, K., Computational fluid dynamics analysis of low Reynolds number flow around stationary and oscillating cylinders. 4th International Engineering Conference, Mansoura-Sharm El-Shiekh, Egypt (2004), Vol. 1, pp. 459-465.

Baranyi, L., Lewis, R.I., Comparison of a grid-based CFD method and vortex dynamics predictions of low Reynolds number cylinder flows. The Aeronautical Journal 110(1103) (2006), 63-71.

61

Baranyi, L., Shirakashi, M., Numerical solution for laminar unsteady flow about fixed and oscillating cylinders. Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences 6 (1999), 263-277.

Barkley, D., Henderson, R.D., Three-dimensional Floquet stability analysis of the wake of a circular cylinder. Journal of Fluid Mechanics 322 (1996), 215-241.

Bearman, P.W., Near wake flows behind two- and three dimensional bluff bodies. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics 69-71 (1997a), 33-54.

Bearman, P.W., Developments in the understanding of bluff body flows. JSME Centennial Grand Congress, International Conference on Fluid Engineering, Tokyo (1997b), Vol. 1, pp. 53-61.

Bearman, P.W., Obasaju, E.D., An experimental study of pressure fluctuations on fixed and oscillating square-section cylinders. Journal of Fluid Mechanics 119 (1982), 297-321.

Bishop, R.E.D., Hassan, A.Y., The lift and drag forces on a circular cylinder oscillating in a fluid. Proc. Royal Society London A 277 (1964), 51-75.

Blackburn, H.M., “Computational bluff body fluid dynamics and aeroelasticity”, in Coupling of Fluids, Structures and Waves Problems in Aeronautics, Notes on Numerical Fluid Mechanics and Multidisciplinary Design (NNFM), Vol. 85, Eds. Barton, N.G. and Periaux, J. (Springer, Berlin, 2003), 10-23.

Blackburn, H.M., Henderson, R.D., A study of two-dimensional flow past an oscillating cylinder. Journal of Fluid Mechanics 385 (1999), 255-286.

Blevins, R.D., Flow-Induced Vibration. Van Nostrand Reinhold, New York, 1990. Borthwick, A.G.L., Orbital flow past a cylinder: a numerical approach. International Journal for

Numerical Methods in Fluids 6 (1986), 677-713. Braza, M., Chassaing, P., Minh, H.H., Numerical study and physical analysis of the pressure and

velocity fields in the near wake of a circular cylinder. Journal of Fluid Mechanics 165 (1986), 79-130.

Bronstejn, I.N., Szemengyajev, K.A., Musiol, G., Mühlig, H., Matematikai Kézikönyv. 8. kiadás, TypoTEX Kiadó, Budapest, 2002.

Carberry, J., Sheridan, J., Forces and wake modes of an oscillating cylinder. Journal of Fluids and Structures 15 (2001), 523-532.

Cetiner, O., Rockwell, D., Streamwise oscillation of a cylinder in a steady current. Part 1. Locked-on states of vortex formation and loading. Journal of Fluid Mechanics 427 (2001), 1-28.

Chakraborty, J., Verma, N., Chhabra, R.P., Wall effects in flow past a circular cylinder in a plane channel: a numerical study. Chemical Engineering and Processing 43 (2004), 1529-1537.

Chaplin, J.R., Subbiah, K., Wave and current loads on large scale horizontal cylinders. Proceedings of an International Conference in Ocean Engineering COE ’96, Madras, India (1996), pp. 199-209.

Chen, M.M., Dalton, C., Zhuang, L.X., Force on a circular cylinder in an elliptical orbital flow at low Keulegan-Carpenter numbers. Journal of Fluids and Structures 9 (1995), 617-638.

Cheng, M., Chew, Y.T., Luo, S.C., Numerical investigation of a rotationally oscillating cylinder in mean flow. Journal of Fluids and Structures 15 (2001), 981-1007.

Chew, Y.T., Flow past a rotating cylinder. International Conference on Fluid Mechanics, Beijing (1987), pp. 556-560.

Chew, Y. T., Cheng, M., Luo, S.C., A numerical study of flow past a rotating circular cylinder using a hybrid vortex scheme. Journal of Fluid Mechanics 299 (1995), 35-71.

Chorin, A.J., Numerical study of slightly viscous flow. Journal of Fluid Mechanics 57 (1973), 785-796.

Didier, E., Borges, A.R.J., Numerical predictions of low Reynolds number flow over an oscillating circular cylinder. Journal of Computational and Applied Mechanics 8(1) (2007), 39-55.

Fletcher, C.A.J., Computational Techniques for Fluid Dynamics. Vol. 2, Springer, Berlin, 1997. Griffin, O.M., The unsteady wake of an oscillating cylinder at low Reynolds number. Journal of

Applied Mechanics 38 (1971), 729-738. Guilmineau, E., Queutey, P., Numerical simulation of turbulent unsteady separated flow around a

square cross-section cylinder in the proximity of a solid wall. IUTAM Symposium on Unsteady Separated Flows, Toulouse, France (2002), on a CD ROM, pp. 1-12.

Guschin, V.A., Kostomarov, A.V., Matyushin, P.V, Pavlyukova, E.R., Direct numerical simulation of the transitional separated flows around a sphere and a circular cylinder. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics 90 (2002), 341-358.

62

Harlow, F.H., Welch, J.E., Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface. Physics of Fluids 8 (1965), 2182-2189.

Kaiktsis, L., Triantafyllou, G.S., Excitation and inertia forces on a cylinder vibrating transversely to a steady flow. 8th International Conference on Flow-Induced Vibration, Paris (2004), Vol. II, pp. 463-467.

Kaiktsis, L., Triantafyllou, G.S., Özbas, M., Excitation, inertia, and drag forces on a cylinder vibrating transversely to a steady flow. Journal of Fluids and Structures 23 (2007), 1-21.

Kamemoto, K., Matsumoto, H., Yokoi, Y., Numerical simulation of flow around an in-line forced oscillating circular cylinder by a vortex method combined with boundary layer calculation. JSME ICFE-97, Tokyo, Japan, (1997), Vol. I, pp. 303-308.

Karniadakis, G.E., Triantafyllou, G.S., Frequency selection and asymptotic states in laminar wakes. Journal of Fluid Mechanics 199 (1989), 441-469.

Karniadakis, G.E., Israeli, M., Orszag, S.A., High-order splitting methods for the incompressible Navier-Stokes equations. Journal of Computational Physics 97 (1991), 414-443.

Kawamura, T., Kuwahara, K., Computation of high Reynolds number flow around a circular cylinder with surface roughness. AIAA 22nd Aerospace Sciences Meeting, Reno, Nevada (1984), pp. AIAA-84-0340.

Koide, M., Tomida, S., Takahashi, T., Baranyi, L., Shirakashi, M., Influence of cross-sectional configuration on the synchronization of Kármán vortex shedding with the cylinder oscillation. JSME International Journal, Series B 45(2) (2002), 249-258.

Koopmann, G.H., The vortex wakes of vibrating cylinders at low Reynolds numbers. Journal of Fluid Mechanics 28 (1967), 501-512.

Korn, G.A., Korn, T.M., Matematikai kézikönyv műszakiaknak. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1975. Kravchenko, A. G., Moin, P., Shariff, K., B-Spline method and zonal grids for simulations of complex

turbulent flows. Journal of Computational Physics 151 (1999), 757-789. Le Gal, P., Nadim, A., Thompson, M.C., Hysteresis in the forced Stuart-Landau equation: Application

to vortex shedding from an oscillating cylinder. Journal of Fluids and Structures 15 (2001), 445-457.

Leontini, J.S., Stewart, B.E., Thompson, M.C., Hourigan, K., Wake state and energy transitions of an oscillating cylinder at low Reynolds number. Physics of Fluids 18 (2006), 067101, 1-9.

Lewis, R.I., Vortex Element Methods for Fluid Dynamic Analysis of Engineering Systems. Cambridge University Press, Cambridge, 1991.

Lewis, R.I., Vortex cloud flow modelling of cylinders in orbital motion at low Reynolds numbers and comparisons with some published grid-based CFD predictions. Journal of Computational and Applied Mechanics 8(2) (2007), 149-161.

Lu, X.Y., Dalton, C., Calculation of the timing of vortex formation from an oscillating cylinder. Journal of Fluids and Structures 10 (1996), 527-541.

Mahfouz, F.M., Badr, H.M., Flow structure in the wake of a rotationally oscillating cylinder. Journal of Fluids Engineering 122 (2000), 290-301.

McAdams, W.H., Heat Transmission. 3rd Edition, McGraw-Hill, New York, 1954. Meneghini, J. R., Bearman, P.W., Numerical simulation of high amplitude oscillatory flow about a

circular cylinder. Journal of Fluids and Structures 9 (1995), 435-455. Mittal, R., Balachandar, S., On the inclusion of three-dimensional effects on simulations of two-

dimensional bluff-body wake flows. The 1997 ASME Fluids Engineering Divison Summer Meeting, FEDSM'97 (1997), pp. 1-9.

Mittal, S., Kumar, V., Finite element study of vortex-induced cross-flow and in-line oscillations of a circular cylinder at low Reynolds numbers. International Journal for Numerical Methods in Fluids 31 (1999), 1087-1120.

Mittal, S., Kumar, B., Flow past a rotating cylinder. Journal of Fluid Mechanics 476 (2003), 303-334. Moon, F.C., Chaotic and Fractal Dynamics. Wiley, New York, 1992. Mureithi, N.W., Cotoi, I., Rodriguez, M., Response of the Karman wake to external periodic forcing

and implications for vortex shedding control. 8th International Conference on Flow-Induced Vibration, Paris (2004), Vol. I, pp. 87-92.

63

Mureithi, N.W., Rodriguez, M., Stability and bifurcation analysis of a forced cylinder wake. Paper IMECE2005-79778, ASME International Mechanical Engineering Congress and Exhibition, Orlando, Florida, USA (2005), pp. 1-8.

Mureithi, N.W., Rodriguez, M., Cylinder wake dynamics in the presence of stream-wise harmonic forcing. Paper PVP2006-11-93847, ASME Pressure Vessels and Piping Division Conference, Vancouver, Canada (2006), on CD ROM, pp. 1-9, ISBN 0-7918-3782-3.

Nayfeh, A.H., Balachandran, B., Applied Nonlinear Dynamics. Wiley, New York, 1995. Norberg, C., An experimental investigation of the flow around a circular cylinder: influence of aspect

ratio. Journal of Fluid Mechanics 258 (1994), 287-326. Norberg, C., Flow around a circular cylinder: aspect of fluctuating lift. Journal of Fluids and

Structures 15 (2001), 459-469. Norberg, C., Fluctuating lift on a circular cylinder: review and new measurements. Journal of Fluids

and Structures 17 (2003), 57-96. Poncet, P., Vanishing of B mode in the wake behind a rotationally oscillating cylinder. Physics of

Fluids 14(6) (2002), 2021-2023. Poncet, P., Topological aspects of three-dimensional wakes behind rotary oscillating cylinders.

Journal of Fluid Mechanics 517 (2004), 27-53. Pontrjagin, L. Sz., Közönséges differenciálegyenletek. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1972. Porthouse, D.T.C., Lewis, R.I., Simulation of viscous diffusion for extension of the surface vorticity

method to boundary layer and separated flows. Journal of Mechanical Engineering Science, I. Mech. E. 23(3) (1981), 157-167.

Roshko, A., On the development of turbulent wakes from vortex streets, NACA Report 1191, 1954. Roshko, A., Perspectives on bluff body aerodynamics. Journal of Wind Engineering and Industrial

Aerodynamics 49 (1993), 79-100. Sarpkaya, T., Force on a circular cylinder in viscous oscillatory flow at low Keulegan-Carpenter

numbers. Journal of Fluid Mechanics 165 (1986), 61-71. Sarpkaya, T., On the force decompositions of Lighthill and Morrison. Journal of Fluids and Structures

15 (2001), 227-233. Schlichting, H., Boundary-Layer Theory. McGraw-Hill, New York, 1979. Shames, I.H., Mechanics of Fluids. Second Edition. McGraw-Hill, Auckland, 1982. Stewart, B., Leontini, J., Hourigan, K., Thompson, M.C., Vortex wake and energy transitions of an

oscillating cylinder at low Reynolds number. ANZIAM J. 46 (2005), 181-195. Sumer, B.M., Fredsoe, J., Hydrodynamics around cylindrical structures. World Scientific, Singapore,

1997. Teschauer, I., Schäfer, M., Kemp, A., Numerical simulation of flow induced by a cylinder orbiting in a

large vessel. Journal of Fluids and Structures 16 (2002), 435-451. Thompson, M.C., Hourigan, K., Sheridan, J., Three-dimensional mode development in low Reynolds

number flow over a cylinder. Fluid Mechanics Conference, Sydney (1995), pp. 1-7. Thompson, M.C., Le Gal, P., The Stuart-Landau model applied to wake transition revisited. European

Journal of Mechanics B/Fluids 23 (2004), 219-228. Ujvárosi, S., Baranyi, L., Numerical visualisation of cylinder flows. MicroCAD 2006, International

Computer Science Conference, Section E, Miskolc, Hungary (2006), pp. 67-72. Van Dyke, M., An Album of Fluid Motion. The Parabolic Press, Stanford, 1982. Williamson, C.H.K., Vortex dynamics in the cylinder wake. Annual Review of Fluid Mechanics 28

(1996), 477-539. Williamson, C.H.K., Govardhan, R., Vortex-Induced-Vibrations. Annual Review of Fluid Mechanics

36 (2004), 413-455. Williamson, C.H.K., Hess, P., Peter, M., Govardhan, R., Fluid loading and vortex dynamics for a body

in elliptic orbits. Conference on Bluff Body Wakes and Vortex-Induced Vibration, Washington, DC, USA (1998), Paper # 18, pp. 1-8.

Williamson, C.H.K., Roshko, A., Vortex formation in the wake of an oscillating cylinder. Journal of Fluids and Structures 2 (1988), 355-381.

Zdravkovich, M.M., Flow around a circular cylinder. Vol. 1: Fundamentals. Oxford University Press, Oxford, 1997.