MOVIMIENTO CIRCULAR

Cuando un cuerpo se mueve y describe una trayectoria circular, se dice que presenta un movimiento circular uniforme, como es el caso de un objeto que se ata a una cuerda, la que hace girar una persona, ya sea que la haga girar horizontalmente o verticalmente tiene un movimiento circular como se puede ver:

Características del movimiento circular

Período:

es el tiempo que tarda un cuerpo con movimiento circular en dar una vuelta, como por ejemplo, el período de la Tierra sobre su eje es de 24 horas y alrededor del Sol es de 265,25 días, o el de un minutero es de 60 minutos.El período se representa por medio de la letra T mayúscula.

  

Frecuencia:

corresponde al número de vueltas por unidad de tiempo o números de revoluciones por unidad de tiempo, como se utilizaba en los tocadiscos o en el motor de un auto.

La frecuencia se representa por medio de la letra f minúscula, y se da en unidades de vueltas sobre unidad de tiempo (vueltas/minuto, vueltas/segundos), revoluciones por minuto o segundo, 1/s o Hertz (Hz) en honor al Henry Hertz, físico que trabajó en este campo:

Relación entre f y T, de la definición de frecuencia aplicada al período se tiene que:

Velocidad tangencial:

esta velocidad correspondiente al arco recorrido (s) en unidad de tiempo, se le llama tangencial, porque siempre forma un ángulo recto (90°) con el radio, luego siempre será tangente a la trayectoria, esta velocidad será con la que sale la piedra en el caso en que se soltara siguiendo la dirección de la velocidad tangencial.

 Para el caso de la vuelta completa se tiene que S = 2 r y t = T, luego:

Velocidad angular:

para definir la velocidad angular se realiza una analogía con la velocidad del movimiento rectilíneo, la que se define como desplazamiento sobre tiempo; en el caso del movimiento circular el desplazamiento es el ángulo barrido en el giro y el tiempo se conserva.

De acuerdo con esto, la velocidad angular que da definida como el ángulo de giro sobre el tiempo en que se demoró tal giro.

La velocidad angular se representa con la letra griega (omega minúscula) y tiene unidades de radianes sobre unidad de tiempo (rd / h, rd / seg.).

Analizar la velocidad angular cuando se ha dado una vuelta completa, el ángulo recorrido es 0, es igual a 360°, y su equivalente en radianes 2, el tiempo en dar una vuelta es igual a un período T, entonces la expresión es:

Calcular la velocidad angular de la Tierra sobre su eje.

Aplicando la expresión anterior:

 El período es igual a un día, luego:

 T = 1 día = 24 horas = 1 440 minutos = 86 400 s

 Posición angular.

Cuando una partícula describe un movimiento circular, obviamente cambia de posición, pues recorre un arco correspondiente a un ángulo barrido como se observa en la gráfica, relacionándolo con el radio se obtiene:

 

Aceleración centrípeta

La magnitud de la velocidad no cambia, lo que cambia es el sentido, por tanto, se puede justificar algún tipo de aceleración que recibe el nombre de aceleración centrípeta.Para encontrar una expresión de aceleración se analiza la siguiente gráfica:

 

Un cuerpo se mueve del punto A, en donde tiene una velocidad Va, hasta el punto B, en donde tiene una velocidad Vb. De acuerdo con esto, existe un cambio en la velocidad igual a Vb -Va, lo que se puede representar gráficamente:

Los triángulos azul y verde son semejantes, por tal razón se pude plantear:  

Dividiendo t a cada lado de la anterior igualdad:

Entonces: 

De igual manera se puede mover en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Relación entre tangencialyangular.

 Como se vio, la velocidad tangencial es igual al arco recorrido sobre el tiempo empleado, y para el caso especial analizado, para una vuelta se tiene:

Donde 2 r corresponde al perímetro de una vuelta y T al período.

Se sabe que 2/T es la velocidad angular, entonces:

r

Ahora se divide cada miembro de la expresión anterior entre t:

En donde v/t es la aceleración y /t es la aceleración angular se obtiene

a = r

Movimiento circular uniforme

Un movimiento circular uniforme es aquél cuya velocidad angular es constante, por tanto, la aceleración angular es cero. La posición angular del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando

-0=(t-t0)

o gráficamente, en la representación de en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme

Ecuaciones utilizadas en el movimiento circular uniforme Este tema es sobre fisica:-La magnitud de desplazamiento en metros, es desplazamiento angular (Θ) y se mide en radianes (rad)

-La aceleracion (a) en m/s2, se sustituye por aceleracion angular (α) en rad/seg2

-La magnitud de la velocidad en m/s se sustituye por la magnitud de la velocidad angular (ω) rad/seg

Para calcular la magnitud de las velocidades angulares finales se usan las sig. formulas:

Wf= wi + α (t)Wf= Wi2 + 2α (Θ)

Para calcular la magnitud de los desplazamientos angulares se usan las sig. formulas:Θ= wi (f) + α t2/2Θ= wf2 - wi2/ 2αΘ= wf + wi / 2

Otros datos y formulas:

1 rad= 57.296°¶ = 180°2¶ rad= 360°

R= vr/wVt= w*r (Velocidad tangencial)ac= w2 * r (aceleracion centripeta)

Ejercicios resueltos de Movimiento Circular1.- Si un motor cumple 8000 R.P.M., determinar:a) ¿Cuál es su velocidad angular en radianes/s?.Datos: ω= 8000 RPM

Solución:

ω=8000 revmin 2 π radianes1 rev 1 min60 s = 837.76 radianes/s

2.- Un móvil dotado de Movimiento Circular Uniforme ( M.C.U.) da 280 vueltas en 20 minutos, si la circunferencia que describe es de 80 cm de radio, hallar:a) ¿Cuál es su velocidad angular en radianes/s?.b) ¿Cuál es la aceleración angular?.

Datos:Desplazamiento angular Ø= 280 vueltas tiempo t= 20 min 60 s1 min =1200 sradio R= 80 cm

Solución aFormulaω= Øt = 280 vueltas20 min = 14 vueltas/min

Transformando a rad/s14 vueltasmin 2 π rad1 vuelta 1 min60 s = 1.466 rad/s

Solución bFormulaaceleración angular ∞ =ωt = 1.466 rad/s1200s = 1.22 x 10-3 rad/s2

3) Una polea cumple 2000 R.P.M., calcular la velocidad angular en grados sobre segundo.Datosω= 2000 RPM= 2000 revmin =

Transformando2000 revmin 360°1 rev 1 min60 s =12000 grados/s

MCUA

ECUACIONES

MCUA:

. . . . . . . . .

MCUA:

Mov rotaciónCaracterísticas

Se demuestra que todo movimientose puede descomponer en traslaciones y rotaciones.

El mov. de rotacion uniformees un ejemplode movimiento uniformemente aceleradocon magnitud de velocidad constante.y cambio permanente de direccion.

En este movimientoes en que más se muestrael caracter vectorialde las ecuaciones de movimiento

Factores del movimiento

Es un movimiento que efectúa la Tierra girando sobre sí misma a lo largo de un eje ideal denominado Eje terrestre que pasa por sus polos. Una vuelta completa, tomando como referencia a las estrellas, dura 23 horas con 56 minutos y 4 segundos y se denomina día sidéreo. Si tomamos como referencia al Sol, el mismo meridiano pasa frente a nuestra estrella cada 24 horas, llamado día solar, los 3 minutos y 56 segundos de diferencia se deben a que en ese plazo de tiempo la Tierra ha avanzado en su órbita y la Tierra debe de girar algo más que un día sideral para quedar frente al Sol.

La primera referencia tomada por el hombre fue el Sol, cuyo movimiento aparente, originado en la rotación de la Tierra, determina el día y la noche, dando la impresión que el cielo gira alrededor del planeta. En el uso coloquial del lenguaje se utiliza la palabra día para designar este fenómeno, que en astronomía se refiere como día solar y se corresponde con el tiempo solar.

Como se observa en el gráfico, el eje terrestre forma un ángulo de 23,5 grados respecto a la normal de la eclíptica, fenómeno denominado oblicuidad de la eclíptica. Esta inclinación produce largos meses de luz y oscuridad en los polos geográficos, además de ser la causa de las estaciones del año, causadas por el cambio del ángulo de incidencia de la radiación solar.

Movimiento relativo de rotación uniforme

Cuando dos sistemas de referencia se encuentran en movimiento relativo de rotación uniforme, cada uno de ellos mide un vector aceleración distinto cuando observan el movimiento de un mismo cuerpo.

En la siguiente animación se muestra la trayectoria que describe una pelota lanzada desde el centro de un tiovivo, que rota con velocidad angular constante, desde el punto de vista de un sistema de referencia inercial en reposo en el suelo (en azul) y desde el punto de vista de un observador que se encuentra en la periferia del tiovivo (en rojo). Para el segundo, que es no inercial, la pelota describe una trayectoria curva, por lo que para él la pelota tiene aceleración.

Ecuaciones

Teniendo en cuenta este hecho,

Por lo que:

Vector velocidad

Derivando de nuevo repitiendo el mismo procedimiento,

Vector aceleración

Elementos

Rotación infinitesimal

En una rotación en un ángulo infinitesimal δθ, se puede toma cos δθ ≈ 1 y sen δθ ≈ δθ, de modo que la expresión de la rotación plana pasa a ser:

Si se componen dos rotaciones infinitesimales y, por ello, se descartan los términos de orden superior al primero, se comprueba que poseen la propiedad conmutativa, que no tienen las rotaciones tridimensionales finitas.

Matemáticamente el conjunto de las rotaciones infinitesimales en el espacio euclídeo

forman el álgebra de Lie , asociada al grupo de Lie SO(3)

Velocidad angularArtículo principal: Cinemática del sólido rígido.

Dado un sólido rígido que rota alrededor de un eje, la velocidad lineal v de una partícula se puede expresar a partir de la velocidad angular ω:

Principios

Definicion movimiento de rotacion uniformeEs el movimiento de un cuerpo que recorre una circunferencia con una velocidad lineal de modulo

constante

Aceleracion Centripeta

Ocurre cuando la direccion del vector aceleracion es perpendicular a la direccion de la velocidad y su sentido es hacia el centro de la circunferencia (de no ocurrir asi existiria una componente de

aceleracion de la velocidad y el modulo de la velocidad no se mantendria constante).

EcuacionesA = Vf- vo/ t

D = Vot + at^2/2Vf^2 = vo^2 + 2ad

Vf = Vo + at

Al ser el movimiento retardado las 3 ultimas cambian de signoT max = vo/a

D Max = Vo^2/2a

circular

V = 2¶R F Recuerda que F = 1 / t y T = 1/F W= 2¶F

a = w^2Ra = v^2/R

EJErcicios

EJEMPLOUna bola de 0,5 kg. De masa esta unida al extremo de una cuerda cuya longitud es 1,5 metros. La figura 6.2 muestra como gira la bola en un círculo horizontal. Si la cuerda puede soportar una tensión máxima de 50 Newton, Cual es la velocidad máxima que la bola puede alcanzar antes de que la cuerda se rompa?Solución Como en este caso la fuerza central es la fuerza T ejercida por la cuerda sobre la bola, de la ecuación 6.1 se obtiene

Despejando v

v = 12,24 m/seg.Ejercicio Calcule la tensión en la cuerda si la rapidez de la bola es 5 m/seg.

T = 8,33 Newton

CINEMÁTICA DE ROTACIÓNLos movimientos de rotación están presentes en numerosos fenómenos de la naturaleza. Algunos ejemplos comunes son los péndulos, las balanzas, las peonzas o, a escala cósmica, el giro de todos los cuerpos celestes conocidos (la Tierra, los planetas y los satélites, el Sol y las estrellas y, también, las galaxias) en torno a un eje, que termina por definir simetrías en los sistemas.EJEMPLO Un motor eléctrico que hace girar una rueda de molienda q 100rev/min se apaga suponiendo aceleración angular constante negativa de 200rad/s2 de magnitud a) ¿cuánto tarda la rueda en detenerse?b) ¿cuántos radianes gira durante el tiempo encontrado en a)?

Datos ω=100revmin→100revmin*2πradrev*1min*60s=10.466rad/s

α=200rad/s2 a) T=? π=3.14 ω=ω0-αt→ω0=0→ω=-αt→t=ω/αT=10.466rad/s/200rad/s2T=5.233s.b) θ-θ0=12ω0+ωt→ω=0θ=1210.46rads*5.23s=27.3529radθ=27.3529

M rot UA

EjerciciosEjemplo 1.

La rápidez angular se puede dar como vueltas por minuto o como ciclos por segundo o aún como palpitaciones del corazón por minuto. Esa es la idea.

w (omega) = Ciclos / segundo.Pero se define en Radianes/segundo

Como la circunferencia tiene 2 Pi Radianes. Media circunferencia = 1 Radián = 180º, se tiene que                                                   Vel angular = w = 2 Pi /T = una circunferencia/ Periodo.Si: T = 1/f = 1 / frecuencia

Entonces:w = 2 (Pi) f Si una rueda gira a 1200 RPM =1200 revoluciones por minutoEso da 1200rev/60s = 20 Rev/s

f = 20 rev/sw = 2 (pi) (20) = 2 x 3,14159 x 20 = 40 Pi = Radianes/s =w = 125,66 Rad/s

Ejemplo 2.

Datos:

f = 33 rev/min

w= ?

Pi = 3.1416

Entonces:

w=33rev/min (1 min/60 s)(2 pi rad/1 rev) =207 rad/ 60 s=3.4 rad/s

w=3.4 rad/s

elementos

Velocidad angularLa velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación. Se define como el ángulo girado por unidad de tiempo y se designa mediante la letra griega w (omega). Su unidad en el Sistema Internacional es el radián por segundo (rad/s).

Aceleración angularSe define la aceleración angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo. Se denota por la letra griega alfa (α). Al igual que la velocidad angular, la aceleración angular tiene carácter vectorial.

Ecuaciones

O = W o t + 1 a t ’ 2

w ’ = W o ’ + 2 ª O

M O V I M I E N T O C I R C U L A R

O = w t

w = W o + a t

w = (W o + w) /2

O = W o t + 1/2 a t

w = W o ’ + 2 a O

principios