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7/31/2019 Movimiento Armonico Simple Selectividad
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1. Escribe la ecuacin senoidal del movimiento del muelle de la figura
cuya grfica posicin-tiempo es la que se indica:
x(cm)
0,3
1,3
2,3
3,3
4,3 t(s)
5
-10
Laecuacindelmovimientodelmuellesecorresponde
conlaexpresin:
x=Asen(wt+f0)
Elongacin Amplitud
Frecuenciaangular Faseinicial
Fase
Identificamostrminosapartirdelagrfica:
Amplitud:A= 10cm.
Frecuenciaangular:w
n= =2
2T
.Elperiodoeseltiempoentre
dosmximossucesivos:
T= - =2 3 0 3, ,s s 2 s
w
= =2
2rad/s
Faseinicial: x A t0 0 0= +sen( )w f ;parat0= 0,x0= 5cm:
5 10 0= sen( )f
f
0 0 5 6= =arc sen rad( , )
Portanto:
x t= +
0 16
, sen m
2. Se estira un muelle hasta que su longitud aumenta 5 cm. A continuacin
se suelta y se le deja oscilar libremente, de forma que da 30 oscilaciones
completas en 5 segundos.
7/31/2019 Movimiento Armonico Simple Selectividad
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Determina:
a) La ecuacin de su movimiento suponiendo que empezamos a estudiarlo
cuando se encuentra en la posicin ms estirada.
b) La posicin en la que se encuentra el muelle a los 10 s de iniciado
el movimiento.
c) El tiempo que tarda el muelle en alcanzar la posicin de equilibrio
desde que est en la posicin de mximo estiramiento.
a) Dadoqueenelenunciadosemencionaquelaposicininicial
deestudio(t= 0)coincideconunmximo,utilizaremos
laecuacincosenoidalparadescribirelmovimiento.
Deestamanerasudesfaseinicialsernulo:x A t= cos( )w ;para
t= 0,x= A.
Laamplituddelmuellecoincideconsuelongacinmxima:
A= 5cm= 0,05m.
w
n = = = =
22 2 12
T
30 ciclos
5 srad/s
Sustituyendo:x t= 0 05 12, cos( ) m
b) x t( ) , cos( )= = = =10 s 0,05 m 5 cm0 05 12 10 .Elmuelleseencuentraensuposicindeelongacinmxima
positiva(estiradoalmximo).
c) Enlaposicindeequilibrox= 0:
0 0 05 12= , cos( ) t
arc cos( )0 122
1
2 12= = = =
t t
0,042 s
3. Representa la grfica posicin-tiempo de un muelle cuyo movimiento
se describe en la actividad anterior.
x(m)0,05
-0,05
0
0,0 1,0 5,04,03,02,0 t(s)
4. Cul ser la velocidad del mvil del ejemplo 2 cuando se encuentra
a 2 cm del punto ms bajo?
Enestecasoseencuentraenlaposicinx= 4cm.
7/31/2019 Movimiento Armonico Simple Selectividad
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Sustituyendoigualqueenelejemplo:
v A x= - = - -2 2 0 25 6 4 72 2 2 2n , ( (Hz cm) cm) cm/s
Esdecir,elmdulodelavelocidadeselmismoqueenlaposicin
calculadaenelejemplo.(Noconfundirlavelocidad,v,conla
frecuencia,n.)
5. En el extremo de un muelle colocamos un cuerpo, lo estiramos
una longitud de 4 cm y lo dejamos oscilar libremente. Escribe la funcin
que permite conocer su elongacin, velocidad y aceleracin en funcin
del tiempo si vibra con una frecuencia de 2 Hz. Representa grficamente
dichas funciones tomando valores del tiempo que permitan conocer
lo que sucede en dos oscilaciones completas.
Comolaposicininicialconsideradasecorrespondeconsuelongacin
mxima,utilizaremoslaecuacincosenoidaldelMAS.
Elongacin:
Laelongacinmxima
esprecisamenteA = 0,04m.
Calculamosw:
w n = = =2 2 2 4
Hz rad/sLaecuacindelaelongacinser:
x t= 0 04 4, cos( ) m
Velocidad:
Lavelocidadseobtienederivando
laexpresindelaelongacin
conrespectoaltiempo:
vdx
dtA t
t
= = - + =
= -
w w f
sen
sen
( )
, ( )
0
4 0 04 4
v t= - 0 16 4, ( ) sen m/s
Aceleracin:
Laaceleracinseobtienederivandolaexpresindelavelocidad
conrespectoaltiempo:
adv
dtA t= = - + =
= -
w w f
20
24 0 04 4
cos( )
( ) , cos(
= -
t
a t
)
, cos( )
0 64 42 m/s2
x(m)0,04
0,02
0
-0,02
-0,04
0 0,5 1,0t
v(m/s2)
0,6
0
-0,6
0
0,5 1,0
a(m/s2
)
-8
-4
0
4
8
0 0,5 1,0
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6. Haz la representacin grfica de las funciones x(t), v(t) y a(t) para
un muelle que oscila apoyado en una superficie horizontal sin rozamiento.
De forma similar a la figura 6.23, indica en qu posicin las magnitudes x,
vy aalcanzan sus valores mximos y mnimos.
Respuestagrfica:
x= A sen(w t)
v= A wcos(w t)
a=-w2 A sen(w t)=-w2 x
-w2 A
-w A
-A
w2 A
w A
A
a
v
x Mximo:T/4
Mnimo:3T/4
Mximo:0
Mnimo:T/2
Mximo:3T/4
Mnimo:T/4
T/4 T/2 3T/4 T
7. Calcula la aceleracin y la velocidad en el instante inicial, t= 0 s,para un muelle cuyo movimiento viene descrito por la ecuacin:
x t t( ) , cos= +
0 3 2
6
(xen cm)
Laecuacindelaposicines:
x t t( ) , cos= +
0 3 26
Enelinstantet= 0:
x( , cost= = +
=0) 0,26 m0 3 2 0
6
Lavelocidadseobtienederivandolaposicinconrespectoaltiempo:
vdx
dtA t t= = - + = - +
w w f
sen sen( ) ,0 2 0 3 2
6
Enelinstantet= 0:
v( , ,t= = - +
= - 0) sen s2 0 3 2 0
6
2 0 3
een 0,3 m/s
6
= -
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Laaceleracinseobtienederivandolavelocidadconrespectoaltiempo:
adv
dtA t x= = - + = -w w f w2 0
2cos( )
Enelinstantet= 0:
a
x t
( ,
( )
t= = - = -
=
0) 1,04 m/s22 0 2620
8. Un objeto de 2,5 kg est unido a un muelle horizontal y realiza
un movimiento armnico simple sobre una superficie horizontal
sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz.
Determine:
a) El periodo del movimiento.b) La velocidad mxima y la aceleracin mxima del objeto.
a) Eldatodelafrecuencianospermiteconocerelperiodo,T:
T= = =1 1
3 3n , Hz0,303 s
b) Calculamoswapartirdeldatodelperiodo,segn:
w
= = =2 2
0 30320 73
T ,,
srad/s
LavelocidadmximaenunMASes:
v Amx. rad/s m 1,037 m/s= = =w 20 73 0 05, ,
LaaceleracinmximaenunMASes:
a Amx.2
rad/s m 21,49 m/s= = =w2 2 2
20 73 0 05, ( ) ,
9. Una partcula puntual realiza un movimiento armnico simple de amplitud
8 m que responde a la ecuacin a=16x, donde xindica la posicin
de la partcula en metros y aes la aceleracin del movimiento expresada
en m/s2.
a) Calcula la frecuencia y el valor mximo de la velocidad.
b) Calcula el tiempo invertido por la partcula para desplazarse
desde la posicin x1= 2 m hasta la posicin x2= 4 m.
a) Apartirdelaexpresinquedeterminalaaceleracindeuncuerpo
enunMAS:
adv
dt
d A t
dt
A t
= = +
=
= - +
[ cos( )]
(
w w f
w w
0
2
sen ff w02
) = - x
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Identificando:
- = - = =w w w2 216 16 4x x rad/s
Calculamoslafrecuenciaapartirdelafrecuenciaangular:
w
n nw
= = = = =
22
2
4
2T
rad/s0,64 Hz
Ahorayasepuedecalcularlavelocidad:
v A t v A= + = = =w w f wcos( )0 4 8 mx. rad/s m 32 m/s
b) Paracalculareltiempoquetardaentrasladarsedeunpuntoalotro
obtendremoselvalordeltiempocuandoseencuentraencada
unadeesasposiciones.Paraestonecesitamosconocerlaecuacin
querigesumovimientoyque,suponiendoquenoexistedesfase
inicial,puedeobtenersecomo:
x A t t = + = +sen sen( ) ( )w f f0 08 4
Enx= 4m:
4 8 41
242 0 2 0= + = + sen sen( ) ( )t tf f
41
2 62 0t + =
=f
arc sen [1]
Enx= 2m:
2 8 41
441 0 1 0= + = +sen sen( ) ( )t tf f
41
40 2531 0t + =
=f arc sen , [2]
Restandolasexpresiones[1]y[2]:
( ) ( ) ,4 46
0 2532 0 1 0t t+ - + = -f f
4 0 270 27
42 1 2 1 - = - = =( ) ,
,t t t t 0,0675 s
10. Un punto material pende del extremo de un muelle. Se tira de l
y se le hace oscilar de manera que entre el punto ms alto y el ms bajo
este recorre una distancia de 20 cm y tarda 20 s en completarcinco oscilaciones. Determina la velocidad y la aceleracin del mvil
cuando se encuentra a 6 cm del punto ms bajo.
Siladiferenciaentreelpuntomsaltoymsbajodelrecorrido
es20cm,laelongacinmximadelMASesA = 10cm= 0,1m.
Obtenemoslafrecuenciadelmovimiento:
n w n
= = = = =5 ciclos
20 s
0,25 Hz Hz rad/s 2 2 0 25
2
,
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A6cmdelpuntomsbajoelpuntoseencuentra4cmpordebajo
desuposicindeequilibrio,esdecir,en x= 4cm.
Sepuedenobtenerlavelocidadylaaceleracininstantnea
deunMASconlasrelaciones:
v A x= - = - =w 2 2 2 22
0 1 0 04 0 144, , , m/s
a x= - = -
- =w
2
2
20 04 0 098( , ) , m/s2
11. Disea una experiencia para comprobar que el periodo de un oscilador
armnico no depende de la amplitud de la oscilacin.
Material:
Soportedelaboratorio.
Muelle.
Portapesas.
Unapesa.
Cronmetro.
Procedimiento:
1. Colocarelmuelleenelsoportecomo
semuestraenlafigura.Poner
unportapesasensuextremoinferior.
2. Colocarenelportapesaslapesa
elegida.Estirarlademaneraque
sedesplaceunpocodesuposicin
deequilibrioydejarlaoscilar.
3. Cuandoosciledemanerauniforme(despusdelas3o5primeras
oscilaciones),ponerelcronmetro
enmarchaymedireltiempo
quetardaendar20oscilaciones.
Anotarelresultado.
4. Repetirlospasos2y3utilizando
siemprelamismamasayvariando
laamplitudinicialdelaoscilacin.
5. Deacuerdoconlaexpresin:
Tm
k= 2
alusarsiemprelamismamasam
yelmismomuelle(mismak),
elperiodoobservado
deberadeserconstante.
Muelle
Portapesas
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12. Se dispone de un muelle elstico sujeto por un extremo
al techo de una habitacin. Si colgamos por el otro extremo
un cuerpo de 6 kg de masa, el muelle se alarga 20 cm. Calcule:
a) La constante elstica del muelle.
b) El periodo de las oscilaciones que realizar si se le apartade su posicin de equilibrio y se le deja libremente para que ejecute
un movimiento armnico simple.
a) Determinaremoslaconstantedeelasticidadestticapormedio
delaleydeHooke:
P m g F k x k
m g
x= - = = - =
=
=
6 9 8
0 2294
,
,
N
m
b) Aunquelaconstantedeelasticidadestticaydinmicanoson
exactamenteiguales,utilizaremoseldatocalculadoenelapartado
anteriorparaobtenerelperiododelaoscilacin:
T
m
k= = =2 2
6
294 0,9 s
13. Se tienen dos muelles de constantes elsticas
k1 y k2 en cuyos extremos se disponen dos
masas m1 y m2, respectivamente, tal que
m1k2.
b) Elperiododeoscilacindeunmuellevienedadoporlaexpresin:
T
m
k= 2
Elperiododeoscilacindeunmuelleesmayorcuantomayor
seasumasaycuantomenorseasuconstanteelstica.
Ambascircunstanciasindicanqueelperiododelsegundo
oscilador(m2)esmayorqueeldelprimero.
1
1
2x
F
2
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14. Disea una experiencia de laboratorio que te permita comprobar
que el periodo de un pndulo armnico no depende de la amplitud
de la oscilacin.
Material:
Soportedelaboratorio.
Hilodenailon.
Bolaconganchodepesoconocido.
Metro(paramedirlongitudes).
Cronmetro.
Procedimiento:
1. Atarunhilodeaproximadamente1,5mdelongitudalextremo
deunabolapequeademasa
conocida.
2. Colocarloluegoenelsoporte
demaneraquepuedaoscilar,
comoseindicaenlafigura.
3. Medirexactamente
lalongituddelhilodesdeelextremodelsoportehastalabola.Debe
sersiempreexactamentelamisma
longitud.Separarlabolaenelplanoverticaldemanera
quesedesplaceunpocodesuposicindeequilibrioydejarla
oscilar.
4. Cuandoosciledemanerauniforme(despusdelas3o5
primerasoscilaciones),ponerelcronmetroenmarcha
ymedireltiempoquetardaendar20oscilaciones.Anotarelresultado.
5. Repetirlospasos2y3,separandolaboladiferentesngulosq
(conelloseconsiguendistintasamplitudes).Deacuerdocon:
TL
g= 2
silalongituddelhiloessiemprelamisma,elperiodoobtenido
debesersiempreelmismo.
6. Paracalcularelperiodoencadacasohayquetenerencuentaque:
T =Tiempo
N. de ciclos
Sisiempresemideeltiempoqueseempleaencompletar
20ciclos,eltiempoquehemosmedidodebesersiempre
equivalente.
Hilo
Bola
q
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15. Disea una experiencia de laboratorio que te permita
comprobar que el periodo de un pndulo armnico
no depende de su masa.
Material:
Soportedelaboratorio.
Hilodenailon.
Variasbolascongancho
depesosconocidos.
Metro(paramedirlongitudes).
Cronmetro.
Procedimiento:
1. Atarunhilodeaproximadamente
1,5mdelongitudalextremo
deunabolapequeademasa
conocida.
2. Colocarloluegoenelsoporte
demaneraquepuedaoscilar,
comoseindicaenlafigura.
3. Medirexactamentelalongituddelhilodesdeelextremodelsoporte
hastalabola.Debesersiempre
exactamentelamismalongitud.Separarlaenelplanovertical
demaneraquesedesplaceunpocodesuposicindeequilibrio
ydejarlaoscilar.
4. Cuandoosciledemanerauniforme(despusdelas3o5
primerasoscilaciones),ponerelcronmetroenmarchaymedir
eltiempoquetardaendar20oscilaciones.
Anotarelresultado.
5. Cambiarlabolaporotrademasadiferenteyrepetirlospasos2y3.
Deacuerdocon:
TL
g= 2
silalongituddelhiloessiemprelamisma,elperiodoobtenido
debesersiempreelmismo.
6. Paracalcularelperiodoencadacasohayquetenerencuentaque:
T =Tiempo
N. de ciclos
Sisiempresemideeltiempoqueseempleaencompletar
20ciclos,eltiempoquehemosmedidodebesersiempre
equivalente.
Hilo
Bola
q
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EW gW
b
-
16. En una catedral hay una lmpara que cuelga desdeel techo de una nave y que se encuentra a 2 m del suelo.
Se observa que oscila levemente con una frecuencia
de 0,1 Hz. Cul es la altura hde la nave?
Dato:g=9,8 m/s2.
Calculamoselperiodo:
T= = =1 1
0 1n , Hz10 s
Necesitamosobtenerlalongituddelhilodelquependelalmpara.
Paraellopodemosutilizarlaexpresin:
TL
gL g
TL= = = =2
49 8
10
4
2
2
2
2
, m/s
s24,82 m2
2
Silalmparaseencuentraa2mdelsuelo,laalturatotalser:
h= L+ 2m= 26,82m
17. Sea un pndulo electrosttico situado en un laboratorio
en la superficie de la Tierra, formado por una pequeaesfera atada al extremo de un hilo aislante
muy delgado de 20 cm de longitud,
estando el otro extremo atado
a un punto fijo.
La esfera tiene 1 g de masa
y es portadora de 2 nC
de carga elctrica de signo
negativo y se encuentrasometida a la accin del campo
gravitatorio terrestre y tambin
a un campo elctrico uniforme
de mdulo 3,3 106 N/C,
direccin vertical y sentido
hacia abajo. Calcular el periodo
de oscilacin del pndulo
en esas condiciones.
Dadoquelacargadelaesferaesnegativa,tendremosunafuerza
electrostticadesentidocontrarioalcampoelctrico
descritoenelenunciado.
Estafuerzaelectrostticaqueactasobrelaesfera
tendrdireccinverticalysentidohaciaarribay,
portanto,opuestoaldelafuerzagravitatoria
quetambinactasobrelamisma.
h
2m
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mg
Fcos q
Fsen q
q
q
TW
EW
Fuerza
restauradora
q
WFE
Elsistemadefuerzasresultanteser:
FW=FWE+PW=-qEW+PW
Comoelsentidodelasfuerzas
esopuesto,elmdulode
laresultanteserigualaladiferenciadelosmdulos
decadaunadeellas(P>|FE |):
F P F
F
= - =
= -
=
- -
E
10 9 8 2 10 3 3 10
3 2 10
3 9 6, ,
, --3 N
ElpndulotieneunMAS.Enconsecuencia:
F m a m x
F mT
L
= =
=
sen
sen sen
q w
q
q
2
2
2
2
( )
Nota:suponemosqueqesmuy
pequeoyhacemosquelacuerda
coincidaconelarco(x.q,qenradianes).
DespejamosT:
Tm L
F=
=
=
-
-2 2
10 0 2
3 2 10
3
3
kg m
N1,57 s
,
,
18. Se quiere medirga partir del periodo de oscilacin de un pnduloformado por una esfera de cierta masa suspendida de un hilo. La esfera
tiene una carga qpositiva y el pndulo se encuentra en una regin
con un campo elctrico dirigido hacia abajo; sin embargo,
el experimentador no conoce estos hechos y no los tiene en cuenta.
Responda, justificando su respuesta, si el valor de la gravedad
que obtiene es mayor o menor que el real.
Elvalordelagravedadqueobtieneesmayorqueelreal.Alser
unacargapositivabajouncampoelctricodirigidoverticalmente
haciaabajo,seveafectadaporunafuerzaelectrostticaenlamisma
direccinysentidoquelafuerzagravitatoria.
Estosignificaquelafuerzaelectrostticasesumaalafuerza
gravitatoriaqueproduceelMASy,portanto,lafuerzaresultante
ejercerunaaceleracinresultantemayorquelaejercidanicamente
porlafuerzagravitatoria,yaqueF=ma.
W
7/31/2019 Movimiento Armonico Simple Selectividad
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19. Un oscilador armnico se encuentra en un instante determinado
en una posicin que es igual a un tercio de su amplitud A. Determina
para dicho instante la relacin existente entre la energa cintica
y la energa potencial (EC/EP).
Utilizamoslasexpresiones:
E k xP =1
2
2
E E E k A k x k A x C M P= - = - = -1
2
1
2
1
2
2 2 2 2( )
Obtenemoslarelacinentreambas:
E
E
k A x
k x
A x
x
A A
A
C
P
/3
/3=
-
=
-
=
-
1
2
1
2
2 2
2
2 2
2
2 2
( )( )
( ))
( )2
2
2
18=
-
=
A
A
1/9
1/9
20. Una partcula describe un movimiento vibratorio armnico de amplitud A
y pulsacin . Si duplicamos a la vez la amplitud y el periodo
del movimiento, cambiar la energa cintica de la partcula cuando
pase por el punto central de la oscilacin? Cambiar su energa
potencial en ese punto? Justifique la respuesta.
Enesteproblema:
E E E k A k x k A x C M P= - = - = -1
2
1
2
1
2
2 2 2 2( )
E k xP =1
2
2
Enelpuntocentraldelaoscilacin,x= 0,porloquelaenerga
potencialsersiemprenula.
Enesepunto:
E k AC =1
2
2
Paraelosciladorarmnico:
k m mT
E mT
A
k
= = = w
2
2
2
2
2
24 1
2
4C
Siseduplicanalavezlaamplitudyelperiodo:
E mT
A EC C' = =1
2
4
22
2
2
2
( )( )
Esdecir,laenergacinticanovara.
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21. Una partcula de masa m= 0,1 kg oscila armnicamente en la forma
x=A sen t, con amplitud A= 0,2 m y frecuencia angular
= 2 rad/s.
a) Calcula la energa mecnica de la partcula.
b) Determina y representa grficamente las energas potencial y cinticade men funcin de la elongacin x.
a) Sepuedeobtenerlaenergamecnicadelapartculaapartir
delaexpresin:
E E E k A x k x k AM C P= + = - + =1
2
1
2
1
2
2 2 2 2( )
Paraunosciladorarmnico:
k m
E k A
= = =
= =
w 2 2
2
0 1 2 3 95
1
2
1
23 95 0
, ( ) ,
,
N
m
M
,, ,2 7 9 102 2= - J
b) Enestecaso:
E k x k A t
E
P
P
[sen
[se
= = +
=
1
2
1
20 079
2 20
2( )]
,
w f
nn( )]2 2 t
Energapotencial: Energacintica:
E tP sen= 0 079 2, E tC = 0 079 2, cos
0,08
0,04
050 1 2 3 4
EP(J)
t(s)
0,04
00 1 2 3 4 5
0,08
EC(J)
t(s)
E m A t
k A t
C = + =
=
1
2
1
2
2 20
2
2
w w f
w
[cos( )]
[cos( ++
=
f
02
20 079 2
)]
, [cos( )]
E tC
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22. Las lneas siguientes representan la posicin frente al tiempo
para dos mviles con MAS. Obsrvalas y responde:
x
x
t
-x
x'
-x'
0
A
B
a) Cul de los dos mviles tarda ms en completar una oscilacin?
b) Cul de los dos mviles tiene mayor energa mecnica?
c) Suponiendo que los dos mviles tienen la misma masa, cul de ellos
se ve sometido a una mayor fuerza de recuperacin?
a) Losdosmvilestardanelmismotiempoencompletarunaoscilacin.ElperiododelMASsecalculaapartir
delaseparacinentredosmximossucesivosdelagrfica.
Estaseparacinesidnticaenamboscasos.
b) Como:
E E E k A x k x k AM C P= + = - + =
1
2
1
2
1
2
2 2 2 2( )
resultaquelaenergamecnicaesdirectamenteproporcionalalcuadradodelaamplituddelMAS.Dadoquelaamplitudesmayor
enelcasodelagrficaA,tambinsermayorsuenergamecnica.
Laenergamecnicatambindependedek.Suponemosque
secumpleloqueseindicaenelapartadoc),dedondesededuce
quektieneelmismovalorparaambosmviles.
c) ParaunmvilconMAS,lafuerzaderecuperacinesF k x= - .Enestecaso:
k mT
=
22
Silasmasassoniguales,ambosmvilestienenlamisma
constantedeelasticidad,yaque,comohemosrazonado,
tienenelmismoperiododeoscilacin.
Enlagrficasemuestraque,enunmismoinstante,elvalor
dexdelmvilBesmenorqueeldelmvilA,porloquelafuerza
recuperadoradelmvilAesmayorqueladelBencadainstante.
7/31/2019 Movimiento Armonico Simple Selectividad
16/36
23. Las lneas siguientes representan la posicin frente al tiempo
para dos mviles con MAS. Obsrvalas y responde:
A
B
x
x
t
-x
0
a) Cul de los dos mviles tarda ms en completar una oscilacin?
b) Cul de los dos mviles tiene mayor energa mecnica?
c) Suponiendo que los dos mviles tienen la misma masa, cul de ellos
se ve sometido a una mayor fuerza de recuperacin?
a) ElmvilAtardamsencompletarunaoscilacin,yaquelaseparacinentremximosconsecutivosesmayorenestecaso
queenlagrficaB.Estosignificaquesuperiododeoscilacin
esmayory,portanto,tardamsencompletarunaoscilacin.
b) ParaunmvilconMAS,laenergamecnicaes:
E E E k A x k x k AM C P= + = - + =
1
2
1
2
1
2
2 2 2 2( ) [1]
Laconstantekvale:
k mT
=
22
[2]
Relacionandolasexpresiones[1]y[2]:
E mT
AM = 1
2
22
2
2( )
Suponiendoqueambosmvilestienenlamismamasa(como
seindicaenelapartadoc),ydadoqueambostienenlamismaamplitud(A),laenergamecnicaresultaserinversamente
proporcionalalcuadradodelperiodo.LamasaAtieneunperiodo
deoscilacinmayor,loqueindicaquetieneunaenergamecnica
menorquelamasaB.
c) ParaunmvilconMAS,lafuerzaderecuperacinesF k x= - :
k m
T
=
22
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Sisuponemosquelasmasassoniguales,laconstantedeelasticidad
serinversamenteproporcionalalcuadradodelperiodode
oscilacin.EstosignificaquelaconstanterecuperadoradelamasaA
esmenorqueladelamasaB,yaquetieneunperiodomayor.
Paraunmismox,lafuerzarecuperadoradelamasaAesmenor
queladelamasaB.Observandolagrficavemosque,dependiendodelinstanteconsiderado,laxdelamasaBpuedesermayor,menor
oigualqueladelamasaA.Portanto,nosepuedepredecir,con
carctergeneral,qumasatendrmayorfuerzaderecuperacin.
24. Dos partculas tienen un MAS con la misma frecuencia y amplitud
y se mueven en la misma trayectoria. Si se cruzan en el centro
de la trayectoria, la diferencia de fase entre ellas ser:
a) /2 radianes. d) /4 radianes.
b) radianes. e) /3 radianes.
c) 3/2 radianes.
Larespuestacorrectaeslab),yaqueenunmovimientogobernado
porunafuncinsenoidalestoequivaleaundesfasede180
(invertirelsigno)y,portanto,secruzarnenlosmismospuntos
consentidodeavanceopuesto.
25. Una partcula de masa m, que solo puede moverse a lo largo del eje OX,
se sita inicialmente (t= 0) en la posicin x=x0 y se libera con velocidad
nula. Sobre ella acta una fuerza, dirigida segn el eje OX, F=kx,
donde kes una constante positiva.
a) Qu tipo de movimiento realiza la partcula? Describe analtica
y grficamente cmo dependen del tiempo su posicin, x(t), y su
velocidad, v(t).b) Para m= 0,1 kg, k= 30 N/m y x0= 0,5 cm, calcula las energas
cintica y potencial de la partcula cuando pasa por x= 0.
a) DescribirunMAS,unmovimientooscilatorioaamboslados
delaposicindeequilibrio(x= 0).Lafuerzarecuperadoraser
laqueproduzcalaoscilacin,oponindosealavance
delapartcula.ElmovimientoessiempreenladireccindelejeX,yaquetantoelmovimientodelapartculacomo
lafuerzarecuperadoraactanenesteeje.
Lasecuacionesquedeterminanlaposicinylavelocidad
deunmvilconMASson:
x A t= +cos( )w f0
vdx
dtA t= = - +w w fsen( )0
7/31/2019 Movimiento Armonico Simple Selectividad
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Elenunciadoespecificaqueparat= 0,v= 0.
Portanto:
0 0 0 00 0 0= - + = =w f f fA sen sen( )
Elongacin:
-A
A
Tiempo
Velocidad:
Tiempo
0
4
vmx.
-vmx.
-0,4
Ambasgrficassonfuncionessinusoidalesconelmismoperiodo.
Lasdosgrficasestndesfasadas/2.
b) Laenergapotenciales:
E k xP = = =1
2
1
230 0 0
2
Parat= 0,x= 0,5cm:
0,5 cm cm= =A Acos( ) ,w 0 0 5
1
Portanto:
E k A x C J= - = - = -1
2
1
2
30 0 005 0 3 75 102 2 2 4( ) ( , ) ,
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26. Estiramos un resorte 5 cm y lo dejamos oscilar libremente, resultando
que completa una oscilacin cada 0,2 s.
Determina:
a) La ecuacin que nos permite conocer su posicin en funcin del tiempo.
b) La velocidad y la aceleracin a la que estar sometido su extremo librea los 15 s de iniciado el movimiento. Interpreta el resultado.
a) Elmovimientoempiezaenelpuntodemximaelongacin:A = 0,05m.
Apartirdelperiodocalculamoslafrecuenciaangular:
w
= = =2 2
0 210
T , srad/s
Contodosestosdatospodemosexpresarlaposicinenfuncindeltiempocomo:
x A t= +sen( )w f0
Parat= 0,x= A:
A A= + =sen( )w f f
02
0 0
Portanto:
x t= +
0 05 102
, sen m
b) Lavelocidadseobtienederivandolaexpresindelaelongacin
conrespectoaltiempo:
vdx
dt
d A t
dtA t= =
+= +
[ ( )]cos( )
sen w fw w f0 0
v t= +
10 0 05 10 2
, cos m/s
Parat= 15s:
v t( ) , cos= = +
=15 1 571 10 15
2s 0 m/s
Laaceleracinsecalculaderivandolaexpresindelavelocidad
conrespectoaltiempo:
adv
dt
d A t
dtA t= =
+= - +
[ cos( )](
w w fw w f0 2 sen 00 )
a t= - +
( ) ,10 0 05 102
2
sen m/s2
Parat= 15s:
a t( ) ( ) ,= = - +
15 10 0 05 10 152
2s sen
= -49,35 m/s2
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Elvalordelavelocidadescero,porloqueelcuerpoestar
enalgunodelosextremos(elongacinmxima).Elvalor
delaaceleracincorrespondienteeselmximo.Como
laaceleracinesdevalornegativo,resultaqueelresorte
estarprximoasucompresinmxima.
27. Una masa de 20 g realiza un movimiento vibratorio armnico simple
en el extremo de un muelle que realiza dos oscilaciones por segundo,
siendo la amplitud del movimiento 5 cm.
Calcula:
a) La velocidad mxima que llega a alcanzar la masa que oscila.
b) La aceleracin de la masa en el extremo del movimiento vibratorio
armnico.c) La constante del muelle.
a) Calculamoslafrecuenciaangularapartirdelafrecuencia
deoscilacindeterminadaenelenunciado.
n w n
w
= = = =
=
2 ciclos
1 s
2 Hz Hz
rad/s
2 2 2
4
Lavelocidadmximaalaquesemuevelamasapuedeobtenerse
apartirde:
v Amx. = = =w 4 0 05 0 63rad/s m m/s, ,
b) LaaceleracinalaquesemueveelMASsecalculaas:
a x A= - = - = - = -w w 2 2 24 0 05 ( ) ( ,rad/s) m 7,9 m/s2 2
c) Obtenemoslaconstantedelmuelle:
k m= = =w 2 20 02 4 3 16, ( ) ,N
m
28. Un objeto realiza un MAS. Cules de las siguientes magnitudes
son proporcionales entre s?:
a) La elongacin y la velocidad.b) La fuerza recuperadora y la velocidad.
c) La aceleracin y la elongacin.
a) LaexpresindelavelocidadenunMASes:
v A x= -w2 2
Portanto,vyxnosondirectamenteproporcionales.
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b) LaexpresindelafuerzarecuperadoradelMASes:
F m a m x = = - ( )w2
Portanto,lafuerzarecuperadoraylavelocidad
nosonproporcionalesentres.
c) LaexpresindelaaceleracindeunMASes:
adv
dt
d A t
dt
A t
= = +
=
= - +
[ cos( )]
(
w w f
w w
0
2 sen ff w02) = - x
Portanto,laaceleracinylaelongacinsonmagnitudes
directamenteproporcionales.
29. Una partcula que describe un movimiento armnico simple recorreuna distancia de 16 cm en cada ciclo de su movimiento, y su aceleracin
mxima es de 48 m/s2. Calcule:
a) La frecuencia y el periodo del movimiento.
b) La velocidad mxima de la partcula.
a) LaaceleracinmximadeunMASsepuedeobtenerapartirde:
a A= w2 .
Siencadaciclorecorre16cm,suelongacinmximaes A= 8cm.
ConestopodemosobtenerlafrecuenciaangulardelMAS:
a Aa
A= = = =w w2
48
0 0824 5
m/s
mrad/s
,,
Como:
w n nw
= = = =2
2
24 5
2
, rad/s3,9Hz
Elperiodoes:
T= = =1 1
3 9n , Hz0,26 s
b) Lavelocidadmximadeunapartculaes:
v A= = =w 24 5 0 08, ,rad/s m 1,96 m/s
30. Una partcula oscila segn un movimiento armnico simple de 8 cm
de amplitud y 4 s de periodo. Calcula su velocidad y aceleracin
en los siguientes casos:
a) Cuando la partcula pase por el centro de oscilacin.
b) Medio segundo despus de que la partcula haya pasado
por uno de los extremos de la trayectoria.
7/31/2019 Movimiento Armonico Simple Selectividad
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PodemosobtenerlafrecuenciaangulardelMASconeldato
delperiodo:
w
= = =2 2
4 2T srad/s
a) Cuandolapartculapasaporelcentrodeoscilacin,laelongacinesnula(x= 0):
v A x= - = - = =w
2 2 2 2
20 08 0
20 08, , 0,126 m/s
a x= - = - =w w2 2 0 0
b) Necesitamosconocerlasexpresionesdex,vyaenfuncin
deltiempo:
x A t= +( )cos w f0Obtengamoslafaseinicial.Suponiendoquecomienza
sumovimientoenlaposicindeequilibrio:t= 0,x= 0:
0 0 02
0 0 0= +( ) = =A cos cosw f f f
rad
Entonces:
x t= +
0 082 2
, cos
m
Derivandolaposicin:
vdx
dt
d A t
dtA t= =
+= - + =
= -
[ cos( )]( )
w fw w f0 0sen
00 08
2 2 2
, +
sen m/st
Ylaaceleracines:
a x t= - = -
+
w
2
2
20 08
2 2, cos
m/s2
Teniendoencuentaelvalordelperiodo,lapartculatarda1s
enllegardesdelaposicindeequilibrioaunextremo.Tenemos
quecalcularx,vyaenelinstantet= 1,5s:
x t( , ) , cos ,= = +
= -1 5 0 08
21 5
2s 0,0
557 m
v t( , ) , ,= = - +
=1 5 0 08
2 21 5
2s sen
00 089, m/s
a t x t ( , ) ( , ) ( ,= = - = -
-1 5 1 5
2
02
2
s sw
0057) = 0,141m/s2
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31. Un cuerpo de masa M= 0,1 kg oscila armnicamente en torno
al origen O de un eje OX. En la figura se representa la aceleracin
de Men funcin del tiempo.
10
5
0
-5
-100 0,1 0,2 0,3 0,4
t(s)
a(m/s2)
a) Determina la frecuencia y la amplitud de oscilacin de M.
b) Determina y representa grficamente la energa cintica de M
en funcin del tiempo.
a) Lafrecuenciadeoscilacindelamasaserlamisma
quelafrecuenciadeoscilacindesuaceleracin.Susperiodosyfrecuenciasangularestambinsoncoincidentes:
T= 0,2s.Portanto:
w
w n
n
w
= = = =
= =
2 2
0 210 2
2
10
T , srad/s
rad/s
22= 5 Hz
Calculamoslaamplitudconeldatodelaaceleracinmxima
delMAS:
a A Amx.2m/s= = = w 2 210 10 10 ( )
A = = =-10
101 013 10 1
2
2
( ),
m ,013 cm
b) LaenergacinticainstantneaenunMASsecorresponde
conlasiguienteexpresin:
E mv m A t C = = 1
2
1
2
2 2 2 2w w[cos( )]
Identificandolostrminosconlosdatosquetenemosseobtiene
laexpresin:
E tC = -
1
20 1 10 1 013 10 10
2 2 2, ( ) ( , ) [cos( )] 22
3 25 06 10 10
E tC J= -
, [cos( )]
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Representacingrfica:
t(s)
EC(J)
0,006
0,004
0,002
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00
32. a) En un movimiento armnico simple, cul es la relacin
entre la energa total y la amplitud?b) Un oscilador armnico se encuentra en un momento dado
en una posicin igual a la mitad de su amplitud (x=A/2).
Cul es la relacin entre la energa cintica y potencial
en ese momento?
a) EnunMASlaenergamecnicatotalencadapuntosepuede
obtenerapartirde:
E E E k A x k x k AM C P= + = - + =1
2
1
2
1
2
2 2 2 2( )
Portanto,laenergamecnicatotalesfuncindelcuadrado
delaamplitud.
b) LasenergascinticaypotencialenunMASsepuedencalcular
apartirde:
E k xP =1
2
2
E mv m A x k A x C = = - = -1
2
1
2
1
2
2 2 2 2 2 2w ( ) ( )
Calculamoslarelacinentreambas:
EE
k A x
kx
A xx
E
E
AA
C
P
C
P
=
-
= -
=
-
1
2
1
2
2
2 2
2
2 2
2
2
( )
=
-
2
2
2
2
11
4
A
A
=
A21
4
3
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33. Supn un mvil que describe un MAS con una amplitud igual a 10 cm
y con una frecuencia de 0,2 Hz. En qu punto de su trayectoria
las energas cintica y potencial coinciden?
Veamoslasexpresionesdelaenergacinticaypotencialenfuncin
delaposicindelMAS:
E k xP =1
2
2
E mv m A x k A x C = = - = -1
2
1
2
1
2
2 2 2 2 2 2w ( ) ( )
Queremosdeterminarenqupuntoseigualan:
E E k x k A x x A x x AP C= = - = - = 1
2
1
222 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )
xA
= = = =-
2
0 1
2
7 07 102
,,
mm 7,07 cm
34. De dos resortes con la misma constante elstica kse cuelgan sendos
cuerpos con la misma masa. Uno de los resortes tiene el doble de longitud
que el otro. El cuerpo vibrar con la misma frecuencia? Razone
su respuesta.
Tenemos:
k m mk
m= = =
w n n
2 2
22
4( )
Sededucequelafrecuenciadependedelaconstanteelstica
ylamasa,peronodelalongituddelmuelle.Comolaconstantek
ylamasadeloscuerposeslamisma,lavibracintendrlamisma
frecuenciaaunquevarelalongituddelresorte.
35. A un muelle de constante elstica kle colocamos una masa m0. Al estirarlo
un valor A, comienza a oscilar con una frecuencia angular o pulsacin 0,
teniendo una energa cintica mxima E0 y una velocidad mxima v0.
Si al mismo muelle en lugar de m0 le colocamos una masa 4m0y lo estiramos el mismo valor A, en funcin de 0, E0 y v0, determinar:
a) La nueva frecuencia angular.
b) La nueva energa cintica mxima.
c) La nueva velocidad mxima.
Laexpresinquepermitedeterminarelvalordelaconstanteelsticak
enfuncindelosparmetrosdadosenelenunciadoes:k=mw2.
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Lavelocidadmximaesv= wA,ylaenergacinticadeunMASse
obtienecomoE mvC =1
2
2 ,porloquelaenergacinticamximaser:
E mv m AC = = 1
2
1
2
2 2( )w
a) Definimoslafrecuenciaangularenfuncindelaconstantek:
w w= =k
m
k
m 0
0
Llamamosw'alanuevafrecuenciaangular:
w w''
= = = = k
m
k
m
k
m4
1
2
1
20 00
b) LlamamosE'Calanuevaenergacintica:
E m A m AC' ' '= =
1
2
1
24
1
2
20 0
2
( )w w == =1
20 0
20m A E( )w C
As,laenergacinticamximanohavariado.
c) Llamamosv'alanuevavelocidadmxima,queser:
v A A v ' '= = =w w
1
2
1
20 0
36. Un bloque de 0,5 kg cuelga del extremo inferior de un resorte
de constante elstica k= 72 N m1. Al desplazar el bloque
verticalmente hacia abajo de su posicin de equilibrio comienza a oscilar,
pasando por el punto de equilibrio con una velocidad de 6 m s1.
a) Razone los cambios energticos que se producen en el proceso.
b) Determine la amplitud y la frecuencia de oscilacin.
a) Observamosloscambiosenergticosproducidosenlaoscilacindeun
MASproducidaporunresorte,talycomoseplanteaenelenunciado:
0Mxima
compresin Equilibrio
Mximo
estiramiento
T
4
T
2
-A
A
T
4
EC=0
EP=1
2kA2 EC=
1
2kA2
EP=0
EC=0
EP=
1
2 kA2
3
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Aspues,laenergamecnicatotalesconstante,deacuerdo
conelteoremadeconservacindelaenergamecnica.
EC(x)+EP(x)
EP(x)
EC(x)
+A-A 0x
E
Enelpuntodeequilibriodelosciladorlaenergapotencial
sernula,ylaenergacinticasermximaeigualalaenerga
mecnicatotal.Enlosextremosdelaoscilacinlaenerga
cinticasernulaylaenergapotencialserigualalaenerga
mecnicatotal.
b) Comosepuedeobservarenelgrficodelapartadoanterior,alpasarporelpuntodeequilibriosetienelavelocidad
mximadelMAS,v= wA.Porotraparte,conocemos
elvalordelaconstantedeelasticidaddelresorte,queenfuncin
delafrecuenciaangularpuedeexpresarsecomok=mw2.
Apartirdeesteltimodatoobtendremoselvalordelafrecuencia
angular:
w = = =
k
m
72
0 5
N/m
kg 12 rad/s,
Portanto:
Av
= = =
w
6
12
m/s
rad/s0,5m
37. Un muelle se deforma 12 cm cuando se cuelga de l una partcula
de 2 kg de masa.a) Determina la constante elstica kdel muelle.
b) A continuacin se separa otros 10 cm de la posicin de equilibrio
y se deja oscilar en libertad. Cules son la frecuencia
angular y el periodo de oscilacin en estas condiciones?
c) Escribe la ecuacin de la posicin de la partcula en funcin del tiempo.
(g= 9,81 m/s2.)
7/31/2019 Movimiento Armonico Simple Selectividad
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a) Apartirdelpeso:
P m g F k x
km g
x
= - = = -
=
=
=
2 9 8
0 12163
kg m/s
m
2,
,,333
N
m
b) Calculamoslafrecuencia:
k mk
m= = = =w w
2163 33
2
, N/m
kg9,04 rad/s
Yelperiodo:
Tm
k= = =2 2
2
163 33
kg
N/m0,695 s
,
TantolafrecuenciaangularcomoelperiododelaoscilacinsonindependientesdelaamplituddelMAS.
c) Consideramosqueelmovimientoseiniciaensuposicin
deelongacinmxima.UtilizamoslaecuacincosenoidaldelMAS,
yaquelafuncincosenoesmximaent= 0.
x A t t = = cos( ) , cos( , )w 0 1 9 04 m
38. Un cuerpo de 200 g de masa est en reposo y colgado de un muellecuya constante elstica es de 5 N/m. Se tira de dicho cuerpo con
una fuerza de 0,3 N y se le abandona libremente. Suponiendo ausencia
de rozamiento:
a) Calcular la amplitud y la pulsacin del movimiento vibratorio.
Proporcionar la expresin matemtica de la ecuacin del movimiento
vibratorio armnico simple (suponer que en t= 0 la constante de fase
es 3/2).
b) Determinar los valores mximos de la velocidad y de la aceleracin
de dicho movimiento vibratorio.
a)Laexpresindelafuerzaenfuncindelaelongacines:
F= kx.Cuandosetiradelcuerpoparaluegoliberarlo,selellevaasuelongacinmxima.Conociendolaconstantedelresorte
ylafuerzaquesehaaplicado(lafuerzaderecuperacinserequivalente,perodesentidocontrario),sepuedeobtenerla
amplitudresultante:
F k A AF
k= = = = =
0 3
50
, N
N/m,06 m 6 cm
Teniendoencuentaque:
k mk
m
= = = =w w2
5
0 2
N/m
kg
5 rad/s
,
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Conlosresultadosobtenidos:
x t= +
0 06 53
2, sen m
b) Secalculanlosvaloressolicitados:
v Amx. rad/s m 0,3 m/s= = =w 5 0 06,
a Amx.2rad/s m 1,5 m/s= = =w2 25 0 06,
39. De un resorte de 40 cm de longitud se cuelga un peso de 50 g de masa
y, alcanzado el equilibrio, la longitud del resorte es de 45 cm. Se estira
con la mano el conjunto masa-resorte 6 cm y se suelta.
Obtener:
a) La constante del resorte.
b) La ecuacin del MAS que describe el movimiento.
c) Deduce la ecuacin de la energa potencial elstica.
(g= 9,8 m/s2.)
a) Comoalcolgarlamasaelconjuntosehaestirado
de40a45cm,resultaquelamasahaproducidounaelongacinde5cm.Conocidaesta,obtendremos
laconstantekapartirdelpeso:
P m g F k x
km g
x
= - = = -
=
=
=
0 05 9 8
0 059
, ,
,
kg N/kg
m,,8 N/m
b) Consideramosqueelmovimientoseiniciaensuposicin
demximaelongacin.Describiremoselmovimientomedianteunafuncincosenoidal,yaquelafuncincosenoesmxima
ent= 0:
x A t= cos( )w
Deacuerdoconelenunciado,laelongacinmximaser
A= 6cm.Calculamoslafrecuenciaangular:
k m
k
m= = = =w w
29 8
0 05
,
,
N/m
kg14
rad/s
Portanto:
x t= 0 06 14, ( )cos m
c) Laenergapotenciales:
E k x k A t P = = = 1
2
1
2
1
29 8 0 06
2 2 2 2[cos( )] , , [cw oos( )]
, [cos( )]
14
1 76 10 14
2
2 2
= -
t
E t
P J
7/31/2019 Movimiento Armonico Simple Selectividad
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40. Para el resorte del ejercicio anterior, determina el valor de la velocidad
y la aceleracin cuando se encuentra a 2 cm de la posicin de equilibrio.
Haz un estudio del signo que tendrn estas magnitudes.
Suponemosx>0pordebajodelaposicindeequilibrio(inicio:muelle
estirado).A2cmdelaposicindeequilibrio(pordebajo),x>0.Velocidad:
v A x= - = - =w 2 2 2 214 0 06 0 02 0 79rad/s m m m/s2 2, , ,
Aceleracin:
a x= - = - = -w2 214 0 02 3 92( , ,rad/s) m m/s2
Mxima
compresin
EC=1
2
kA2
EP=0
Elsignodelavelocidadserpositivomientraselmuelle
seestestirando,ynegativomientrasseestcomprimiendo.
Elsignodelaaceleracinserelcontrario:negativocuando
seestestirandoypositivocuandoseestcomprimiendo.
41. Para medir el tiempo construimos un reloj de pndulo formadopor una bola metlica unida a una cuerda. Lo hacemos oscilar de manera
que en los extremos toque unas lminas metlicas.
a) Cul debe ser la longitud de la cuerda si queremos que de un toque
al siguiente haya un intervalo de tiempo de 1 s?
b) Con el tiempo, es muy probable que la cuerda se estire. Significa
esto que nuestro reloj va ms rpido o ms lento?
Dato: suponemos que el pndulo es ideal y que estamos en un lugar
en queg= 9,8 m s2.
Siqueremosqueduntoquecadasegundoylaslminassecolocan
aamboslados,elperiodototaldeoscilacindelpnduloserT= 2s.
Enellibrodelalumnosehadeducidoqueparaunpndulo:
g
LL
g g
T
= = =
=
ww
2
2 2
2
9 8
2
2
, m/s
s
2
= =2 2
9 80
,
m ,993 m
Mximo
estiramiento(inicio)
EC=0EP=
1
2kA2
EC=0
EP=1
2
kA2
A2cmdela
posicin
deequilibrio
(x>0)
-A
0
AEquilibrio
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Larelacinentrelalongituddelhiloyelperiododeoscilacin
delpndulovienedadaporlaexpresin:
TL
g= 2
SiLaumenta,aumentartambinTy,conesto,sermayorlaseparacinentretoquessucesivos.Estosignificaquelavelocidad
disminuyeyelrelojvamslento.
42. Un cuerpo de 5 kg se desplaza sobre una superficie sin rozamiento
a una velocidad de 3 m/s. En un momento dado impacta con un resorte
y queda unido a l vibrando como un oscilador armnico. Si el muelle
tiene una constante k=
750 N/m, determina:a) La mxima compresin que puede alcanzar el muelle.
b) La velocidad del oscilador cuando se encuentre a la mitad
de la compresin mxima.
a) Laenergacinticadelcuerpoquesedeslizasetransformaenenerga
potencialelsticadelresorte.Laenergacinticainicialcoincide
conlaenergapotencialdelresorteenestadodecompresinmxima.
O
1
2
k
Deacuerdoconelprincipiodeconservacindelaenerga:
E E E E E E E E M M C P C P C P1 2 1 1 2 2 1 2= + = + =
Calculamoslaenergacinticaquetenaelcuerpo
ensumovimiento:
E mvC = = =
1
2
1
25 3 22 5
2 2 kg (m/s) J2 ,
Estaenergacoincideconlaenergapotencialmximadelresorte:
E k A AE
kPmx.
P mx. J
N/m0,2= =
=
=
1
2
2 2 22 5
750
2
,445 m
Lamximacompresinquepuedealcanzarelmuelle
esA= 0,245m.
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b) Lavelocidadsepuedeexpresaras:v A x= -w 2 2 .Apartirdek:
k mk
m= = = =w w2
750
512 25
N/m
kgrad/s,
Entonces:
v A x= - =
= ( ) -
w 2 2
2
12 25 0 2450 245
2, ,
,rad/s m
m
=
2
2,6 m/s
43. Un cuerpo de 5 kg se desplaza sobre una superficie cuyo coeficiente
de rozamiento es 0,2 a una velocidad de 3 m/s. En un momento dado
impacta con un resorte y queda unido a l vibrando como un oscilador
armnico. Si el muelle tiene una constante k= 750 N/m, determina:
a) La mxima compresin que puede alcanzar el muelle.
b) La distancia que recorre el oscilador hasta pararse.
a) Enestecaso,laenergacinticadelcuerpoquesedesliza
seinvierteenenergapotencialelsticayenvencereltrabajo
derozamientomientrassealcanzalacompresinmxima.
O
1
2
k
Elbalanceeselsiguiente:
E E F AC P elstica R= + 1
2
1
2
2 2m v k A mg A = +
1
25 3
1
2750 0 2 5 9 8
2 2 = + A A, ,
22 5 375 9 82
, ,= + =A A A 0,232 mComovemos,debidoalrozamientolaamplitudesmenor
queenlaactividadanterior.
b) Elresorteestaroscilandohastaquetodalaenergacintica
inicialsehayatransformadoentrabajoderozamiento.
Calculamoselespacioqueharecorridoelcuerpo:
1
2
1
2
5 3 0 2 5 9 82 2m v mg s s s = = = , , 2,3 m
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44. La grfica representa la fuerza
que debe hacerse para estirar
un muelle en funcin de su
alargamiento. Cunto vale
la constante recuperadora
del muelle? Cunto trabajo
hay que hacer para estirar el muelle
30 cm a partir de su longitud
natural?
200
00 40
F(N)
L(cm)
DadoqueF= kx,siidentificamosx= Lenlagrfica,resulta
quelaconstanterecuperadoraserlapendientedelamisma:
k= =200
0 4500
N
mN/m
,
Podemoscalculareltrabajocomoladiferenciadeenergapotencial
entreambospuntos.Ensulongitudnatural,laenergapotencial
esnula.A30cmdelaposicindeequilibrio:
E k x WP N/m m 22,5 J= = ( ) = =1
2
1
2500 0 3
22
,
45. Un estudiante dispone de un muelle y de cuatro masas (M), las cuales
suspende sucesivamente del primero y realiza experimentos de pequeas
oscilaciones, midiendo en cada caso el periodo de oscilacin (T).
El estudiante representa los resultados experimentales segn se muestra
en la figura.
0,4
0,3
0,2
0,1
0,00 25 50 75 100 125 150 175 200
T2(s2)
M(g)
Se pide:
a) Determinar la constante elstica del muelle.
b) Justificar fsicamente el comportamiento observado.
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a) Necesitamosdeterminarlapendientedelarectaresultante
delasobservaciones.
Paraello,tomamosdospuntosdelamisma,expresando
lascantidadesenunidadesdelSI:
A(0,05,0,13). B(0,2,0,42).
Lapendienteser:
ay
x= =
-
-=
0 42 0 13
0 2 0 051 933
, ,
, ,,
0,4
0,3
0,2
0,1
0,00 25 50 75 100 125 150 175 200
T2(s2)
M(g)
Tenemosencuentaque:
T
M
k= 2
y= ax + b
T2=42
k M+ 0
Queda:
1 9334 4
1 93320 42
2 2
,,
,= = =
kk N/m
b) Cuandoseestiraelmuelleapareceunafuerzarecuperadora
queleobligaarealizarunmovimientoarmnicosimple.
Comosehadeducidoenellibrodelalumno,elcuadrado
delperiododeoscilacinesdirectamenteproporcional
alamasadelresorte.
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46. Un astronauta realiza un viaje espacial a un planeta del Sistema Solar.
Durante su aproximacin determina, con sus aparatos de telemetra,
el radio de dicho planeta, que resulta ser R= 3,37 106 m. Una vez
en la superficie del planeta utiliza un pndulo simple, formado
por una pequea esfera de plomo y un hilo de 25 cm de longitud,
y realiza el anlisis de sus oscilaciones, variando la amplitud angular
de la oscilacin () y midiendo, en cada caso, el tiempo (t) correspondiente
a 5 oscilaciones completas del pndulo. El astronauta representa
los valores experimentales segn la grfica:
q()
10,0
9,5
9,0
8,5
8,0
7,5
7,00 10 20 30 40 50 60 70 80 90
t(s)
a) Comentar fsicamente los resultados mostrados en la figura.
b) Determinar la masa del planeta.
Dato: G= 6,67 1011 N m2/kg2.
a) Elperiododelpnduloserelacionaconsulongitudyelvalordegenelpuntodondeoscila:
TL
g= 2
Deacuerdoconladeduccinqueserecogeenellibrodelalumno,
elperiodoesindependientedelaamplitudangularsiempre
queestanoexcedade15,yaque,paravaloresmsaltos,
nosecumplelasimplificacinq.senq.
Enlagrficaseobservaqueeltiempoquetardaelpndulo
endarcincooscilaciones(y,portanto,superiodo)aumenta
amedidaqueaumentalaamplitudangular.Paraamplitudes
mayoresde15elmovimientodelpndulodejadeserarmnico.
b) Enlagrficaleemosqueelperiododelpnduloes:
T= =Tiempo
N. de oscilaciones
8,4 s
5 oscilaciones
== 1,68 s
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Conestedatocalculamosgenlasuperficiedelplaneta:
gT
L= = =4 4
1 680 25 3 5
2
2
2
2
( ,, ,
s)m m/s2
Comoseestudieneltema2,elvalordegenlasuperficie
delplanetaes:
g GM
RM
g R
G= =
=
=
-2
2 6 2
11
3 5 3 37 10
6 67 106
, ( , )
,,,55 1020 kg
47. Se construye un pndulo colgando un cuerpo de 1 kg de una cuerda
de 1 m. Se le hace oscilar de manera que el cuerpo llega a subir hasta
una altura de medio metro en la posicin ms elevada. Calcula
la velocidad en el punto ms bajo de las dos formas siguientes:
a) Utilizando el principio de conservacin de la energa.
b) Considerando que describe un MAS.
c) Explica las diferencias que se obtienen entre ambos resultados.
a) Segnelprincipiodeconservacindelaenerga:
E E E E E E E E M A MB C A P A C B P B C A P B= + = + =
TomandocomocerodeenergapotenciallaquetienelabolaenA:
1
2
2 2 9 8 0 5
2mv mgh
v g h
A
A 3,13 m/s
=
= = =
, ,
b) SidescribeunMAS,enelpuntomsbajo
delatrayectoriatendrunavelocidad:
v A
T
Amx. = = w2
Elperiododelpnduloes:
TL
g= = =2 2
1
9 8
m
m/s2 s
2,
CalculamosApormedio
delarelacintrigonomtrica:
A = - =( ( ,1 0 52 2m) m) 0,87 m
Entonces:
vT
Amx.s
m 2,73 m/s= = =2 2
20 87
,
L=1m
1m
A
0,5cm
0,5cm