Mouvements force centrale

Mouvements à force centrale I26. (d’après CCP 1999 MP)

Dans cet énoncé les vecteurs sont notés en caractères gras ; sur votre copie, vous mettrez une flèche au dessus.

On désire étudier les mouvements possibles d'un point matériel M, de masse m, sous l'action du champ de pesanteur g , à l'intérieur d'une cavité fixe que l'on suppose solidaire d'un référentiel terrestre R (O, ex, ey, ez ) supposé galiléen. La surface extérieure de cette cavité est un paraboloïde de révolution P, d'axe vertical ascendant Oz , dont l'équation en coordonnées cylindriques (ρ, ϕ, z) est ρ2 – az = 0 avec a > 0 (Figure A-l).

On suppose que le point matériel M glisse sans frottement sur P.

Compte tenu de la symétrie du problème, on utilisera les coordonnées cylindriques de M , la base de projection étant celle de Rc(O, eρ, eϕ, ez) (Figure A-l).

On suppose la liaison unilatérale, c'est-à-dire que les coordonnées ρ et z de M satisfont à l'inégalité z ≥ ρ2 / a.

1. Moment cinétique a) Exprimer, dans la base de RC , la vitesse de M par rapport

à R . b) Exprimer en fonction des coordonnées cylindriques de M fonctions du temps t la composante sur Oz du

moment cinétique en O de M. zσ

c) Montrer que la réaction R qu'exerce P sur M est contenue dans le plan OHP. En appliquant le théorème du moment cinétique en O, sous forme vectorielle, montrer que se conserve au cours du temps. Expliciter cette relation de conservation en fonction de ρ et ϕ. Dans la suite, pour simplifier l'écriture, on désignera par L cette constante.

zσ

2. Energie a) Quelle est, en fonction des coordonnées et de leurs dérivées, l'expression de l'énergie cinétique Ek de la particule

M par rapport à R ? b) Justifier l'existence d'une énergie potentielle Ep associée à la force subie par M. Exprimer Ep en fonction de ρ en

supposant que Ep (O) = 0. c) Que peut-on dire de E E ? m k pE= +

3. Discussion générale du mouvement a) Déduire de ce qui précède une équation différentielle du premier ordre, à une seule fonction inconnue , de la

forme

( )tρ2

,1 ( ) ( )2 p ef mm G E E

•ρ ρ + ρ = où G(ρ) est positif et sans dimension et où Ep,ef (ρ) est appelé énergie potentielle

effective. Expliciter G(ρ) et Ep,ef (ρ) . b) Représenter le graphe Ep,ef (ρ). Montrer que Ep,ef (ρ) passe par un minimum pour une valeur ρm de ρ que l'on

exprimera en fonction de L, m, a et g, intensité du champ de pesanteur. c) Discuter, à l'aide du graphe Ep,ef (ρ), la nature du mouvement de M. En déduire que la trajectoire de M sur P est

nécessairement tracée sur une région de P limitée par deux cercles définis à l'aide des constantes du mouvement et des données du problème. On se contentera d'indiquer quelle équation il conviendrait de résoudre pour déterminer ces deux cercles.

4. Etude de quelques mouvements particuliers a) A quelle condition sur L la trajectoire de M sur P est-elle une portion de parabole méridienne ? b) Déterminer la vitesse initiale v0 pour que la trajectoire de M sur P soit un cercle horizontal. c) Une petite perturbation écarte légèrement la coordonnée ρ de la valeur ρm pour laquelle Ep,ef(ρ) est minimal.

Montrer que varie sinusoïdalement avec une période que l'on calculera dans le cas général. mε = ρ − ρd) Application numérique : ρm = 1 m, a = 2 m, g = 9,81 m.s–2. e) Pour quelles valeurs de et a une trajectoire de ce type se referme-t-elle après un tour ? mρ

5. L’expérience montre qu’en réalité le mobile se stabilise finalement au fond de la cuvette, quelles que soient les

conditions initiales du mouvement. Commenter à l'aide de l’énergie.

II25. Stabilité d’une orbite circulaire dans un champ de force centrale. Soit O un point fixe et k et n deux constantes positives. Un mobile P de masse m n’est soumis qu’à la force

rnkF ur

= − , où r et OP= rOPuOP

= .

1) Montrer que le mouvement est plan et qu’en coordonnées polaires est une constante du mouvement qu’on notera C .

2r θ

2) Montrer que la loi fondamentale de la dynamique projetée sur la direction radiale peut être écrite sous la forme 2

2 ( )d r f rdt= et exprimer la fonction ( )f r en fonction de k , m , r , n et C .

3) Discuter le signe de ( )f r et tracer son graphe en distinguant plusieurs cas, en particulier selon que : a) ; 3n <b) ; 3n =c) . 3n >

4) Dans quel cas l’orbite est-elle un cercle de centre O et de rayon a ? 5) Décrire l’allure radiale d’un mouvement initialement proche d’un mouvement circulaire, en distinguant plusieurs

cas. A quelle condition l’orbite circulaire est-elle stable ? 6) On suppose l’orbite circulaire stable. Soit un mouvement voisin d’une orbite circulaire de rayon a et de période

: où reste petit devant a . Montrer qu’il obéit à T ( )r a t= + ε ( )tε2 2

2 24 (3 ) 0d n

dt Tε π+ − ε =

7) Ce résultat est-il en accord avec la conclusion sur la stabilité des orbites circulaires ? Quel est alors l’allure du mouvement ?

8) Interpréter le cas particulier . 2n =

III49 (d’après petites mines 2002). Le mouvement est étudié dans le référentiel du

laboratoire assimilé à un référentiel galiléen et associé à un repère ( , , , )O i j k . Un palet M de masse m peut se mouvoir sans frottement dans le plan ( , h(table à coussin d'air par exemple). Le champ de pesanteur est suivant la verticale Oz : g =

, )O x y orizontal

k−g . Le palet est accroché à l'extrémité d'un ressort (point ) de longueur à vide l , de raideur , dont l'autre

extrémité est fixée en O. La position de est repérée dans la base ( ,

M 0 kM

)i j par OM xi yj= + ou dans la base

( , )re eθ par OM rre= . 1. Faire un bilan des forces. Montrer qu'il y a

conservation du moment cinétique LO par rapport à O. 2. On lance le palet d'un point

0 ( 0)OM OM t l i= = = 0 v j=

Mouvements à force centrale, page 2

, avec une vitesse initiale v0 0 orthogonale à OM0 . Dans la suite, on travaillera en coordonnées polaires dans le plan ( , . , )O x y

Préciser OL en fonction de r et d , puis, en fonction des conditions initiales et des vecteurs de base. On notera L

le module de dtθ

OL . 3. Rappeler l'expression de l'énergie potentielle élastique. Doit-on tenir compte de l'énergie potentielle de pesanteur pour étudier le mouvement ? Montrer qu'il y a conservation de l'énergie mécanique E . m

Préciser l'expression de E : m

• en fonction des conditions initiales,

• en fonction de , , ,dr dr m et l . kdt dt

θ0

4. Montrer que l'énergie mécanique peut s'écrire : ( )21 ( )2m e

drffE r

dt= +

r

E m .

Préciser l'expression de E . Tracer l'allure de . ( )eff ( )effE r5. Le palet peut-il s'éloigner indéfiniment du pôle d'attraction ? 6. Le palet peut-il passer par le centre d'attraction au cours de son mouvement ?

7. Décrire qualitativement le mouvement. 8. Quelles sont les valeurs extrêmes de au cours du mouvement ? On précisera l’une de ces valeurs et on

donnera l’équation déterminant l’autre. r

9. Calculer l’écart entre ces deux valeurs s’il est petit. A quelle condition cela est-il valable ?

IV21. Pendule sphérique (d’après ENSI Sud 1985). A.

Un point matériel M, de masse m , est relié à un point fixe O par une tige rigide sans masse de longueur a . Le mouvement de M sera rapporté au repère orthonormé ( , , , )O i j k fixe dans un espace galiléen. La trajectoire du point M dans l'espace est sur une sphère de rayon a et de centre O. L'articulation en O est sans frottement. La position de M sera donnée par :

( cos sin )OM r i j zk+= ϕ + ϕ


2a+ =

k

avec r z . 2 2

L'accélération de la pesanteur est donnée par : g g= − , (g ). 0>

Cϕ = ans la suite que e peut s’annuler, que M tourne toujours dans le même sens et que

B. ° Exprimer l'énergie cinétique du point M en fonction des dérivées par rapport au temps des coordonnées

cyrgie potentielle de M (on considérera que l'énergie potentielle est nulle pour z = 0).

tion obtenue en II.4° et de la relation 2 , exprimer à l'aide de et des co

u égal à un polynôme de degré 3 en qui s'écrit :

1° Exprimer la projection sur Oz du moment cinétique de M par rapport au point O.

2° Démontrer que r reste constant au cours du temps. On suppose d3° Montrer n

2 0C ≠ . r a z a− < < .

1 cElindriques de M. 2° Exprimer l'éne3° Que peut-on dire de l'énergie mécanique totale mE du point M ? 4° Donner son expression. 5° Tenant compte de la rela 2 2r z a+ = mE z , znstantes m , a , g , et C . 6° En déd ire que 2a z2 est z

( )2 2 2 2 2( ) 2 2 ( )z a z E m gz C P z= − − − = . /ma7° Faire un inventaire complet des propriétés qu’on connaît sur le signe du polynôme . En déduire que

s'a

n se propose dans cette partie d'étudier le mouvement et de montrer qu'il se situe entre deux plans horizontaux.

gémme instant initial , l'un de ceux où cette tangence se produit, avec = ϕ

( )P z z nnule pour au moins une valeur de z comprise entre a− et a , qu'on appellera 0z .

C. O1° Justifier qu'en tout point de la trajectoire où 0z = , celle-ci est tangente à un cercle z cte= (parallèle ographique). 2° On prendra co 0t = 0 0 0v r j ( 0 0r ≠ et

ϕ se k r z a+ =0 0> ) et avec la position initiale M0 pri dans le plan xOz et définie par OM r i z= + 2 2 20 0 0 0 0( )

mer les constantes C et mE à l'aide des condition tiales. Expri s inifini ( ) ( )z z Q z− et exprimer en fonction des

co racine de et une seule est comprise entre et

3° Décomposer alors ( )P z , dé en II.6°, sous la forme : ( )P z = 0 ( )Q z nditions initiales. 4° Montrer qu'une 1z ( )Q z a− a . 5° Exprimer 2

0ϕ e + et montrer que la trajectoire reste co =

6° Montrer que : avec

à l'aide d a , g et 1z . En déduire le signe de ( )z z , 0z 0 1

mprise entre les plans z z= et 1z z . 0

1 2( ) 2 ( )( )Q z g z z z z= − − 2

0 12

0 1

a z zzz z+= −+

7° Quelle est la v ecto ?aleur de pour que la traj ire soit circulaire in e point atteigne le plan de l'équateur

z

9° Pour

0Cv 0v8° Quelle est la valeur m imal 0Ev de 0v pour que, 0z étant négatif, le

( 0= ) ?

03

2z a= − , donner à l'aide d'un dessin qualitatif la projection sur de la trajectoire dans les trois cas

suv< ;

0 ; > .

xOy

ivants : a) si 0v 0C

b) si 0 0C Ev v v< <c) si v v0 0E

V40. Mouvement à force centrale et énergie potentielle effective. Un point matériel P, de masse m , est attaché à un point fixe O par un ressort de raideur k et de longueur naturelle

; il glisse sans frottement sur un plan horizontal passant par O. On le lance du point P0 avec une vitesse horizontale perpendiculaire à OP0v 0 = . 0r1) Montrer que son énergie potentielle est 21

2 (pE k r= − ) , où r . OP=

2) Montrer que son énergie peut être mise sous la forme 212 ( )peffE mr E r= + et exprimer , fonction de r

et des paramètres constants du mouvement. ( )peffE r

3) Calculer ( )peffdE r

dr et

2

2

( )peffd E rdr

.

4) En déduire la valeur de pour que P décrive un cercle de centre O. Cv 0v5) On suppose voisin de . Montrer que la pulsationΩ des petites oscillations du ressort dans le référentiel

tournant s’exprime en fonction de la pulsation du ressort quand P se meut sur une droite passant par O et de la vitesse angulaire moyenne ω de P autour de O par la relation approximative .

0v Cv0Ω

2 20 3Ω = Ω + ω2

VI. Énergie potentielle effective d’un système de deux points. Deux points matériels pesants M1 et M2 de masses et sont liés par un fil de longueur L . M1m 2m 1 glisse sans

frottement sur une table horizontale très mince. Le fil traverse la table par un trou très fin O ; il coulisse dans ce trou sans frottement. M2 se meut sur la droite verticale passant par O. On repère M1 par ses coordonnées polaires de centre O, soit ( et M),r θ 2 par sa distance x à O.

A l’instant 0, les deux portions de fil sont tendues ; M1 est en ; il a une vitesse et0 0r r= θ = 0v horizontale et

perpendiculaire au brin de fil OM1 ; OM2 est vertical ; la composante horizontale de la vitesse de M2 est nulle. On suppose que par la suite, sauf avis contraire, le fil reste tendu et que M2 ne vient pas heurter le dessous de la table.

1) Quelle est la force agissant sur M1 ? 2) Une liaison est parfaite si le travail des forces de liaison exercées sur les corps liés est nul. On suppose que la

liaison par le fil et le trou entre M1 et M2 est telle. Montrer que les tensions et des deux brins du fil sont égales à tout instant.

1T 2T

3) Quelle est la vitesse de M2 à l’instant 0 ? 4) Pour quelle valeur de le point Mcv 0v 2 reste-t-il immobile ? Quel est alors le mouvement de M1 ? 5) Montrer que le moment cinétique en O de MOL 1 est constant au cours du temps. Que peut-on déduire sur le signe

de θ ? 6) L’énergie E du système formé par M1 et M2 est la somme des énergies cinétiques de ces deux points et de leur

énergie potentielle. Trouver l’expression de l’énergie en fonction de r , des vitesses et des paramètres du problème et montrer que est constant au cours du temps. E

7) Mettre E sous la forme 2,

1 ( )2 p effE mr E r= + , exprimer m et montrer que ( )

2 21 0 0

, 2 22p effm r vE r m grr

= + .

8)

a) Qu’obtient-on en dérivant 2,

1 ( )2 p effE mr E r= + par rapport au temps ?

b) Exprimer la tension T du fil en fonction de r et des constantes du problème. c) Le fil peut-il se détendre au cours du mouvement ? Dans les autres questions, on le supposera toujours tendu. d) La trajectoire peut-elle tourner sa concavité, tantôt vers O, tantôt dans la direction opposée ? 9) Si , quel est le mouvement ? 0 0v =

10) Si , quel est le mouvement ? 21 0 2 0m v m gr=

11) On suppose dorénavant que 2

1 0

2 0

m vm gr

α = est différent de 0 et de 1. Tracer sommairement le graphe de ,

en supposant la position de son extremum compris dans l’intervalle physique de variation de r .

( ),p effE r

12) Décrire qualitativement le mouvement de M1 et donner les expressions des valeurs extrêmes de r en fonction de et . Quelle vérification peut-on faire sur ces expressions ? 0r α


13) Pour quelles valeurs des paramètres le programme maple suivant trace la trajectoire ? > v0:=2:> sol:=dsolve(diff(r(t),t,t)=(v0^2/r(t)^3-1)/2, diff(theta(t),t)=v0/r(t)^2,r(0)=1,D(r)(0)=0, theta(0)=0,r(t),theta(t),numeric):> plots[odeplot](sol,[r(t)*cos(theta(t)), r(t)*sin(theta(t))],t=0..20,numpoints=200, color=black,labels=["",""],scaling=constrained);

14) Dessiner la trajectoire de M1 si M2 heurte le dessous de la table quand et rebondit élastiquement. On suppose que le choc, parfaitement

élastique, change la vitesse de M/2θ π=

2 en l’opposé et que le fil résiste au choc. Qu’a de particulier cette trajectoire ?

15) Déterminer la période temporelle et la période angulaire des petites oscillations radiales pour voisin de . 0v cv

VII41. Soit O un point fixe et U et a deux constantes positives. Une particule P

de masse m est soumise à la force : 3 2

3 22

( ) r rU a a

F F r u ua r r

⎛ ⎞⎟⎜= = − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠ où r

rr OP ur

= = .

Ce modèle permet de représenter grossièrement les mouvements de rotation et de vibration des molécules diatomiques.

1) Déterminer l’énergie potentielle associée à cette force, en la supposant nulle à l’infini. ( )pE r

2) Tracer schématiquement les graphes de et de . Quel rôle joue pour ces graphes ? ( )F r ( )pE r r a=

3) Montrer que le vecteur moment cinétique L au point O est conservé au cours du mouvement. En déduire que le mouvement a lieu dans un plan à préciser. Exprimer L en coordonnées polaires.

4) Exprimer l’énergie E du mobile. 5) A l’instant 0 , la position et la vitesse de P sont caractérisées par : où 0 0 0 0; 0 ; /r a r v aθ= = = 0v U= /m .

Montrer que la conservation de l’énergie s’écrit : 21,2 ( )p effE mr E r= + et exprimer et E r . E , ( )p eff

6) Si le mobile parvient à l’infini, quelle est alors sa vitesse, ou bien s’il ne parvient pas à l’infini, quelles sont les valeurs minimale r et maximale r prises par r au cours du mouvement ? m M

VIII28. Atome d’hydrogène dans un champ magnétique. Soit a et B deux constantes positives. Un atome d’hydrogène est modélisé par un proton de charge e fixe à

l’origine O et par un électron mobile de charge et de masse m . On lui applique un champ magnétique Be− zBu= . On suppose l’électron immobile à l’instant 0 au point r xau=

=

et on traite le problème de son mouvement en mécanique classique.

1) Montrer que z est solution des équations du mouvement. On admettra que, la solution du problème étant unique, c’est bien la solution.

0

2) En utilisant la conservation de l’énergie, montrer que la distance au proton ne peut dépasser a . 3) Montrer que le moment cinétique est 2 21

2 ( )L e r a B= − . 4) Montrer que l’électron tourne toujours dans le même sens, qu’on précisera. 5) Montrer qu’une quantité de la forme 21

,2 ( )p effmr E r+ est constante au cours du temps et exprimer . , ( )p effE r

6) Déterminer le signe de ,p effeff

dEF pour r et .

dr= − a= 0r →

7) En déduire que la distance entre l’électron et le proton oscille de façon périodique entre deux valeurs dont on déterminera l’une et écrira l’équation déterminant l’autre. Dessiner une trajectoire possible de l’électron.


Réponses

I. 1.a) 2. zv e e e

a

•• → →

ρ ϕρ ρ= ρ + ρϕ +

→= ρ ϕ = = ρ ϕ ; 1.b) σ ; 1.c) σ ; 2.a) 2

z m L• 2

Oz m•

2 22

2 241 1

2 2kLE m

a m• ⎛ ⎞ρ ⎟⎜= ρ + +⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠ ρ

; 2.b) 2

= pE mgaρ 2.c) E est constant au cours du temps ; 3.a) m

2

24

( ) 1Gaρρ = + ;

22

, 2( )2p ef

mgLE ; 3.b) amρρ = +

ρ

12 4

22maLm g

⎛ ⎞⎟⎜ρ = ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠ ; 3.c) ρ et sont les racines de

; 4.a) L ; 4.b)

1 2ρ

, ( )p ef mE Eρ = 0= 0 02 2gv e gz ea ϕ ϕ= ρ = ; 4.c)

2 3,

2 24 4

(1 ) 0p efdEmm

da aρ ρ ρρ + + + =

ρ ;

2,

2

2

2

( )

4(1 )

p efm

m

d Ed

ma

ρρω =

ρ+ ; 8mgT ; 4.d) T ; 4.e)

a= = 1, 42 s 3

2m aρ ou = 30 4z a . =

II.


1) voir cours ; 2) 2

3( ) nk Cf rmr r

= − + ; 3) ( )f r est positif si 32

n kr , soit si n et

mC− > < 3

13

2nk

r amC

−⎛ ⎞⎟⎜< = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ou si et 3n >1

32nk

r a ou si n et mC ;

4) n et

mC−⎛ ⎞⎟⎜> = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ = k=

≠

3 2

3 ( )1

32nk

r a ou n et ; 5) n . mC

−= = = <

r u= − −

3 2mC k= 3

III. 1) F k ( )0 r ; voir cours sur forces centrales ; 2) 2

0 0 0dL mr k m v kdtθ= = ; 3) ( )21

02p r= −E k ; non ;

( ) ( ) ( )2 2

22 21 1 1002 2 2m

dr dE mv m r k rdt dt

⎡ ⎤θ⎢ ⎥= = + + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ; 4)

( ) (2 20 0 21

0222effm v

E r k rr

= + − ) ; 5) non ; 6) non ; 8) l’une est , l’autre la

racine positive et distincte de de l’équation

0

0

( )2 2 20 0 0

2 1 02 2mv k r

r

⎛ ⎞ −⎟⎜ ⎟− + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ; 9) si mv , 2 2

0 0k<<20

max 00

2mvr .

k− ≈

r= ϕ

effE

rmE 0

0 maxr

( )2102m r −

n < 3n > 3

f(r)

r

0

f(r)

r

0

f(r)

r

n = 3, mC2 > k

f(r)

r

0

n = 3, mC2 < kn = 3, mC2 = k

r

0

f(r)

0

IV. A. 1° L m 2z ; B. 1° 2 2 2 21

2 ( )cE m ; 2° E ; 3° constante au cours du temps ; 4° r r z= + ϕ + mgz=p

2 2 2 212 ( )mE m r r z m= + ϕ + + gz ; 5°

2 2 2

2 21 22ma z CE m ga z

z⎡ ⎤+⎢ ⎥= +⎢ ⎥−⎣ ⎦

; C. 2°

( )2 2 20 00 0 0

1 22mC r E m r gz= ϕ = ϕ + ; 5°

2 212

1 00 2 21 0 0

2 ( )0 0

( )( )g a z

z zz z a z− −

ϕ ; 7° = > ⇒ + <+ −

2 20

00

( )C

g z av

z−

= ; 8° 2

0

2OE

gav ; 9°

z= −

V. 1) ( 212pE k r= − ) ; 2) ( ) (

2 20 0 2

, 2122p eff

mr vE r k r

r= + − ) ; 3) ( )

2 2, 0 0

3p effdE mr v

k rdr r

= − + − ;

2 2 2, 0 02 4

3p effd E mr vk

dr r= +

2 2 2, 0 02 4

3p effd E mr vk

dr r= + ; 4) ( )0 0

Ckr rv

m−= .

VI. 1) 1T ; 3) nulle ; 4) 2

1c

m grv

m= ; mouvement circulaire uniforme ; 5) θ garde un

signe constant ; 6) 2 21 1 2 2 2

1 12 2

E m v m v m g= + + r ; 7) 2 2

1 0 0, 2 22p eff

m v rE m gr

r= + ; 8.a)

2 21 0 0

2 3m r vmr m gr

= − + ; 8.b) 2 2

1 2 0 03

1 2

m m r vT ; 8.c) non ; 8.d) non ; 9) M

se dirige vers O et M

gm m r

⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜+ ⎝ ⎠ 1

2 descend, tous deux avec la même accélération, soit 2

1 2

m gx rm m

= − =+

; 10) M1 a un mouvement circulaire uniforme et M2 est

immobile ; 11) voir ci-contre ; 12) M1 tourne autour de O, toujours dans le même sens, sa distance oscillant périodiquement entre un maximum et un minimum ; les valeurs extrêmes de r sont r et 0

01

81 1

4r

r⎛ ⎞α ⎟⎜ ⎟= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α⎝ ⎠

; 13)

; 14) voir ci contre ; 15)

période temporelle

1 2 0 0 11 ; 2 ; 4 ; 2,732m m g r v rα= = = = = = =

0 1 2

0 1

23

r m mv mπ + et angulaire 1 2

12

3m mm+π .

r

,p effE

0 maxrminr

E


VII. 1) 2

2 2pa aE U

rr⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠

; 2) r est le zéro de et l’abscisse du minimum de E ;

3) P se meut dans le plan fixe passant par O et perpendiculaire à L

a= ( )F r ( )p r

; L m ; 4) 2rv mr= =θ θ2

212 2 2a aE mv U

rr⎛ ⎞⎟⎜= + − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠

; 5) 2

, 23 22p effa aE U ;

rr⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠ 2

UE ; 6) positions extrêmes r a . = − r a= =3M m

x0

y

VIII. 4) L’électron tourne dans le sens des aiguilles d’une montre ; 5) ( ) ( )22 2 2 2

,08 4p eff

e B a eE r ; 6)

négatif et positif ; 7) ; r racine de E r .

rm r r

= − −πε

E a=maxr a= min ( ) ( ), ,p eff p eff

Corrigé I. 1. Moment cinétique.

a – zOM e z e→ →ρ= ρ + ;

2. .z z

deddOMv e z e v e e

dt dt d a

•

e• → → • → → →ρ

ρ ρ ϕρ ρϕ= = ρ + ρ + ⇒ = ρ + ρϕ +

ϕ→

.

b –

3

2

2 2

0

2

O

a

OM m v m ma

a a

•

•

•→ •

• •

ρ ϕ−ρρ

ρ ρσ . = ∧ = ∧ ρϕ = −

ρ ρ ρ ρ ϕ

2z m L

•σ = ρ ϕ = .

c – Comme M glisse sans frottement sur le paraboloïde, la réaction du paraboloïde est normale à celui-ci. Il faut donc démontrer que la normale au paraboloïde est dans le plan méridien OHMP.

Comme le paraboloïde est engendré par la rotation d’une courbe (la parabole) autour de l’axe Oz, le plan tangent en M au paraboloïde contient la tangente en M au cercle d’axe Oz passant par M ; eϕ est donc dans le plan tangent au paraboloïde ; la normale au paraboloïde a une composante nulle sur eϕ et est dans le plan méridien OHMP.

Un autre raisonnement acceptable consiste à dire que le plan méridien, contenant Oz et le point M considéré, est un plan de symétrie du paraboloïde et contient donc la normale en M au paraboloïde.

Le moment (O OM mgΓ = ∧ + )Ρ de la force totale est un produit vectoriel de deux vecteurs du plan méridien ; il est donc perpendiculaire à ce plan méridien ; sa projection Γ sur une direction du plan méridien est nulle. Or Oz

OzOz

ddtσ = Γ (l’axe Oz est cartésien) ; donc 0Ozd

dtσ = et 2

Oz m•

σ = ρ ϕ = L est une constante du mouvement.

2. Energie.

a – 222 22 2

241 1

.2 2kE mv m

a

•• •⎛ ⎞⎟⎜ ρ ρ ⎟⎜ ⎟= = ρ + ρ ϕ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Comme 2Lm

ϕ =ρ

, 2 22

2 241

12 2k

LE m

a m• ⎛ ⎞ρ ⎟⎜= ρ + +⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠ ρ

b – La réaction ne travaille pas. La seule contribution à l’énergie potentielle est celle du poids : 2

= pE mgz mgaρ= (puisque E O ) ( ) 0p =

c - E est constant au cours du temps, la force totale étant conservative. m

3. Discussion générale du mouvement.

a – Des expressions ci-dessus, on déduit que l’énergie totale est de la forme 2

,1 ( ) ( )2m pE mG E

•= ρ ρ + ρef où

2

24

( ) 1Gaρρ = + et

22

, 2( )2p ef

mgLE

amρρ = +

ρ. On remarque que si dans la suite du raisonnement E joue un rôle

qualitatif semblable à celui de l’énergie potentielle, ce n’en est pas une, même dans le référentiel radial, puisque

,p ef

2 2, ,

1 1( ) ( ) ( )2 2m p efE mG E m E

• •= ρ ρ + ρ ≠ ρ + ρp ef

b –

12 2 4,3

20

2p ef

mdE mgLd am m

⎛ ⎞ρ ⎟⎜= − + > ⇔ ρ > ρ = ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ρ ⎝ ⎠ρ 2aLg

, d’où le tableau de variation :

ρ 0 mρ +∞,p efdEdρ

− 0 +

,p efE +∞ +∞

c – Comme 2

212 2

4(1 ) 0m

aρρ + >

Eρ =E

ρ

,p efE

mE

2ρ1ρ 0

, le mouvement n’a lieu que dans la région où

. Quel que soit E , le mobile est dans un état lié. Si ρ et sont les racines de E , le mouvement radial est une oscillation périodique entre les deux valeurs ρ et ρ de racines de . Le mobile décrit sur le

,p ef mE E≤ m 1 2ρ

, ( )p ef m

1 2 ρ , ( )p ef mE ρ =


paraboloïde des festons entre deux cercles de rayons et et d’altitudes 1ρ 2ρ21

1z aρ

= et 22

2z aρ

= .

4. Etude de quelques mouvements particuliers. a – La trajectoire est un arc de parabole méridienne si ϕ = cste, soit = 0 ou ϕ 0L = .

b – La trajectoire de M est un cercle horizontal si et sont constants, soit z ρ

12 4

22m

L a

m g

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ρ = ρ = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠. Alors

L = m ρ2 impose ϕ2

2 2

2 2m g gL Lm am L a

ϕ= = =ρ

.

Donc, on doit lancer la particule avec la vitesse 02

2g

v e gza ϕ= ρ = 0eϕ d’un point quelconque du paraboloïde.

La constante L est alors définie par la valeur initiale de . ρ

c – L’équation de conservation de l’énergie est 2

21,2 2

4(1 ) ( )m pE m E

aρ= ρ + + ρef

Dérivons par rapport au temps : 2 3 2 2

, ,2 2 2 2

4 4 4 40 (1 ) (1 )p ef p efdE dEm mm m

d da a a a⎡ ⎤ρ ρ ρ ρ ρ ρ⎢ ⎥= ρρ + + + ρ = ρ ρ + + +⎢ ⎥ρ ρ⎣ ⎦

Eliminons la solution parasite ; il vient 0ρ =2 3

,2 2

4 4(1 ) 0p efdEm

mda a

ρ ρ ρρ + + + =ρ

Posons et ne retenons dans l’équation précédente que les termes linéaires en ε et

ses dérivées successives :

et mρ = ρ + ε ⇒ ρ = ε ρ = ε22

,2 2

4(1 ) ( ) 0p efm

md E

ma dρε + + ε ρ =

ρ. En effet , ( )p efdE

dρ

ρ est nul pour et est donc

approximativement égal au produit de par sa dérivée par r apport à ρ , dérivée calculée en . On

reconnaît l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation

mρ = ρ

mρ − ρ mρ = ρ2

,

4

p ef

a+

2

2

2

( )

(1 )

m

m

d Ed

m

ρρω =

ρ.

2 222 2 2, ,

, 2 2 4 2 2

2

2

22 02

3 2 3 2 8( ) ( )

22

4(1 ) 42 4

2 (1 )8 2 2

p ef p efp ef m

m

m

d E d EmgL L mg LE

a am d m d L amm g

m a a zaT Tmg g gaa

ρρ = + ⇒ = + ρ = + =ρ ρ ρ ρ

ρ+ ρπ += = π ⇒ = π + = πω

mg mga a

Autre manière de faire le calcul Posons ε = ρ – ρm et développons Ep,ef(ρ) autour de ρm au deuxième ordre en ε. Il vient :

Ep,ef(ρ) = Ep,ef(ρm) + ε ,dd

m

p efE

ρ=ρ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ρ⎝ ⎠+

2,2

2

d12 d

m

p efE

ρ=ρ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ε ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ρ⎝ ⎠.

Or ,d0

dm

p efE

ρ=ρ

⎛ ⎞⎟⎜ =⎟⎜ ⎟⎟⎜ ρ⎝ ⎠ et

22,

2 4

2 3ddp ef m g LE

a m

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ρ ρ⎝ ⎠, donc

2,

2

8dd

m

p ef m gEa

ρ=ρ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ρ⎝ ⎠.

Puisque G(ρ) = 1 + 4 2

2aρ = 1 + 4

2

2m

aρ (à l’ordre zéro qui nous intéresse ici), on en déduit l’expression de l’énergie

mécanique Em = 2

2,2

411 4 ( )

2m

p ef m

m gm E

aa⎡ ⎤ρ⎢ ⎥ε + + ρ + ε⎢ ⎥⎣ ⎦

2 . Sa dérivée par rapport au temps est nulle. Eliminant la


solution parasite , on obtient : 0ε = 2

2

8 10

41

m

g

a

a

ε + ε =ρ

+

qui est l’équation d’un oscillateur harmonique de

pulsation propre ω telle que: ω2 = 2

2

8 14

1m

g

a

a

ρ+

, et donc de période 2

2

2 42 1

8ma

Tg a

⎛ ⎞π ρ ⎟⎜ ⎟⎜= = π + ⎟⎜ ⎟⎜ω ⎟⎟⎜⎝ ⎠

d) 1, 42 sT = .

e) D’après la question b), la durée d’un tour est 0

22

2a

Tv gπρ′ = = π .

La trajectoire se referme après un tour si T où n est un entier, soit nT′ =2 2

2 2 2a

4 442 2 1 1

2 8m ma a

ng g a n

⎛ ⎞ρ ρ⎟⎜ ⎟⎜π = π + ⇒ = +⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠.

La seule solution est et 1n =2

2

43

m

a

ρ= ; d’où 3

2m aρ = ou 30 4z a=

5. Dans la pratique, il y a des frottements qui font diminuer l’énergie 212E mv mg= + z , jusqu’à obtenir sa valeur

minimale qui correspond au repos en O.

II. Stabilité d'une orbite circulaire dans un champ de force centrale non newtonien. 1) Soit O OP mvσ = ∧ le moment cinétique en O. Sa dérivée par rapport au temps est nulle parce que

Od OP Fdtσ = ∧ et parce que F est parallèle à OP . Donc Oσ est constant au cours du mouvement.

Comme OP est perpendiculaire à Oσ , P se meut dans le plan perpendiculaire à Oσ passant par O.

Repérons P en coordonnées polaires par rapport à O. Alors , donc 2O mrσ = θ 02r C

mσθ = = reste constant au

cours du mouvement.

2) La loi fondamentale de la dynamique projetée sur la direction radiale s'écrit 2( ) nkm r rr

− θ = − . Or 2Cr

θ = .

D'où 2

3 nCm r

rr⎛ ⎞⎟⎜ − = −⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠

k qui est de la forme 2 2

2 3( ) nd r k Cf r

mrdt r= = − + .

f(r)

r

0

f(r)

r

0

f(r)

r

n = 3, mC2 > k

f(r)

r

0

n = 3, mC2 < kn = 3, mC2 = k

r

0

f(r)

0

n > 3 n < 3

3) ( )f r est positif si 32

n kr

mC− > , soit si et 3n <

13

2nk

r amC

−⎛ ⎞⎟⎜< = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ou si et 3n >1

32nk

r amC

−⎛ ⎞⎟⎜> = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

ou si et . 3n = 2mC k=

4) L'orbite est circulaire si ( ) 0f r = , soit si et 3n ≠ ( )1

32nk

r amC

−= = ou et . 3n = 2mC k=

5) Si , 3n < ( )f r est du signe contraire de r , donc c'est une force de rappel et l'orbite circulaire r est stable : si le mobile s'écarte de O, il est soumis à une force de rappel qui le fait osciller autour de r a .

a− a==

Si au contraire , 3n > ( )f r est du signe de r , donc c'est une force qui écarte de l'équilibre relatif r et l'orbite circulaire r est instable. Si on s'écarte de cette orbite, on va à l'infini ou à l'origine.

a− a=a=


Si , la discussion est plus compliquée à comprendre ; si, par exemple, le mobile est sur orbite circulaire et qu'on augmente un peu sa vitesse, on augmente C , donc

3n =( )f r devient positif et le mobile part à l'infini ; si au contraire

le mobile est sur orbite circulaire et qu'on diminue un peu sa vitesse, on diminue C , donc ( )f r devient négatif et le mobile part vers l'origine.

6) Supposons . Alors . ( )r a t= + ε ( ) ( )r f r f a′= ε = ε2 2

1 4 1 43 3( ) ( )n n

nk c nk cf r f amr r ma a+ +

′ ′= − ⇒ = − , ou

d'après la question 4) ( )1

32nk

amC

−= , soit 2 nk C am

−= 3 . D'où 2

4( ) ( 3)Cf a na

′ = − . Or 2 2 2C r aTπ= θ = , donc

2 2

44C

a Tπ= 2 . D'où

2

24 ( 3)nTπε = − ε .

7) Si , posons 3n <2

22

4 (3 )nTπΩ = − ; l'équation devient dont

la solution est ; on voit que l'écart à l'orbite circulaire reste petit.

2 0ε + Ω ε =

cos sinA t Bε = Ω + Ωt

Si , on voit que l'équilibre est instable, puisque la force tend à écarter radialement le mobile ; toutefois cette argumentation n'est valable qu'au voisinage de l'orbite.

3n >

8) Si , la période de l'écart à l'orbite circulaire est aussi la période orbitale. En effet, l'orbite exacte est alors une ellipse voisine d'un cercle. Dans ce cas, la trajectoire est fermée, alors qu’elle ne l’est pas pour n quelconque.

2n =

n = 2 n < 3

III. 1) Le palet est soumis à son poids, à la réaction de la table et à la tension du ressort. Les deux premières forces se

neutralisent, donc la force totale est la tension du ressort : ( )0 rF k r u= − − .

0 0dL r Fdt= ∧ = car r F , donc 0L est constant.

2) 20 0

d0r k m v k

dtθ= =L m .

3) ( )2102pE k . r= −

On peut oublier l’énergie potentielle du poids, car elle est constante. ( )2 21 1

2 2p md mv F dr dE E mv E= ⋅ = − ⇒ = + p est constant au cours du temps.


( ) ( ) ( )2 2

22 21 1 1002 2 2m

dr dE mv m r k rdt dt

⎡ ⎤θ⎢ ⎥= = + + −⎢ ⎥⎣ ⎦.

4) D’après la conservation du moment cinétique, 0 0d vr ,

d’où

dt rθ =

( ) ( )

212m edr

ffE rdt

= +E m , où

( ) ( )2 20 0 21

0222effm v

E r k rr

= + − .

5) Le palet ne peut aller à l’infini, car E et E . m effE≥ ∞ = +∞

ffE≥ = +∞

( )eff

6) le palet ne peut passer par l’origine, car E et E . m e ( )0eff

7) Le palet tourne autour de l’origine, sa distance à l’origine oscillant périodiquement entre un minimum et un maximum r . En effet, 0 max

( )20

00

0effdE mvdr

= − < , qui montre que la disposition du graphe de E est

bien celle dessinée ci-dessus.

( )eff r

= =)

8) A l’instant 0, r , donc E E . Les valeurs extrêmes de r correspondent à , donc à . L’une est , l’autre est la

racine positive et distincte de de l’équation

0 ( )0m eff

0r = ( ) ( 0eff effE r E= 0

0( )2 2 2

0+ =0 02 1 0

2 2mv k r

r

⎛ ⎞ −⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠) E− =

effE

0mE r

0 maxr

( )2102m r −

O 0

0v

maxr

x

9) Posons et développons l’équation E r au voisinage de . (0 1r = + ε ( ) ( )0 0eff eff 0ε =Solution 1 : utilisons l’équation telle quelle :

( )

( )[ ]( )[ ]

20 221 1

002 22

22 2 20 0

2 2 2 2 20 0

1 0

1 1 0

2 3

mv k rr

mv k

mv o k

−

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠+ ε − + ε =

− ε + ε + ε + ε = 0

Eliminons la solution qui correspond à ; il reste 0ε = 0r = 2020

2

3kmv

ε =+

, soit 0max 0 2

020

2

3r

kmv

− ≈+

.

Solution 2 : mettons préalablement en facteur : 0r −

( )

( ) ( ) ( )[ ]

20 221 1

002 22

2 20 0 00

2 2 20 0

2020

1 0

0

(2 ) (1 ) 0

2

1

mv k rr

r mv r kr r

mv k

kmv

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠− + + − =

+ ε − ε + ε =

ε ≈−

Ces deux expressions sont des infiniment petits équivalents si . 2 20 0mv k<<

Conclusion : si 202 2

max 00 00

2,

mvmv k r

k<< − ≈

Un développement plus précis (maple) donne 2 32 2 2

0 0 0max 0 0 2 2 2

0 0 0

26 34 ...

mv mv mvr

k k k

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜⎟ ⎟− ≈ − +⎜ ⎜⎟ ⎟ +⎢ ⎥⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦, conforme

pour les deux premiers termes au résultat de la solution 1 et pour le premier terme au résultat de la solution 2.

IV. Pendule sphérique. A.

1° Le moment cinétique en O du mobile est . 20 z

rr

L OM mv m r L mrz z

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜= ∧ = ∧ ϕ ⇒ = ϕ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ ⎜⎟ ⎝ ⎠⎟

2° D’après le théorème du moment cinétique, ( ) zdL dLOM mg mR OM mgdt dt= ∧ + = ∧ ⇒ = 0 . Donc

reste constant au cours du temps. 2r ϕ = C3° Comme , r et ne peuvent s’annuler. Comme ne peut s’annuler, z ne peut atteindre les

valeurs extrêmes à priori possibles, et a . Comme ne peut s’annuler, il garde un signe constant et donc que le mobile tourne toujours dans le même sens autour de Oz.

2 0C r= ϕ ≠ ϕ ra− ϕ

B. 1° 2 2 2 21

2 ( )cE m r r z= + ϕ + . 2° . pE mg= z

p3° reste constant au cours du temps. m cE E E= +

4° 2 2 2 212 ( )mE m r r z m= + ϕ + + gz .

5°

2 22 2 2 2

2

2 2 2 2 2 22

2 2 2 2

2 2 0

1 12 22 2m

z zr z a rr zz rr

z z C a z CE m z gz m gr r a z

+ = ⇒ + = ⇒ =

⎡ ⎤ ⎡ +⎢ ⎥ ⎢= + + + = +⎢ ⎥ ⎢ −⎣ ⎦ ⎣z⎤⎥⎥⎦

( )

6° En isolant , on obtient 2 2a z 2 2 2 2 2( )(2 / 2 )ma z a z E m gz C P z= − − − =7° Pour déterminer les racines de , cherchons les informations dont nous disposons sur le signe de : ( ) 0P z = ( )P z

• lim ( )z P z→∞ = +∞• 2( ) 0P a C= − <


• au cours du mouvement , donc il existe un domaine de z situé dans pour lequel

2 2 0a z ≥ a z a− < <( ) 0P z ≥

• . 2( ) 0P a C− = − <


Il n’y a que deux formes possibles du graphe de compatibles avec ces faits :

( )P z

Le graphe de droite est le cas général : possède trois zéros, deux compris entre et a , qu’on appellera et , et un supérieur à a , qu’on appellera . Le graphe de gauche correspond au cas particulier où il y a une racine double ; le mouvement est alors circulaire horizontal.

( )P za− 0z 1z 2z

Remarque : une réponse plus sommaire est qu’un polynôme de degré impair, comme , a toujours au moins une racine. Mais cela ne montre pas que cette racine est intéressante, c’est-à-dire comprise dans l’intervalle ( , .

( )P z)a a−

C.

1° Si , 0z = 0zzrr

= − = , tandis que : la vitesse, qui est orthoradiale, et la trajectoire sont tangentes à

un cercle z c .

0rϕ ≠

ste=

2° ( )2 2 20 00 0 0

1 22mC r E m r gz= ϕ = ϕ + .

3°

2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 20 00 0 0 0 0 0 0

2 2 2 2 2 20 00 0 0

2 2 2 20 0 0

( ) ( )( 2 2 ) ( ) ( )(2 2

( ) 2 ( )( ) ( ) ( )

( ) 2 ( ) ( )

P z a z r gz gz r a z r r a z gz gz

z z r g a z z z z z Q z

Q z g a z z z r

= − ϕ + − − ϕ = − − ϕ + − −

= − ϕ + − − = −

= − + + ϕ

)

4° Comme , et . Comme est un polynôme du second degré, il a une racine et une seule dans l’intervalle .

0a z a− < < 2 200 0( ) ( ) 0Q a r z a− = ϕ − < 2 2

00 0( ) ( ) 0Q a r z a= ϕ + > ( )Q z,a a−

5° Le raisonnement de II 7° a montré, puisque , que z reste entre et . En , 2 2 0a z ≥ 0z 1z 1z z=2 2

12 2 2 2 21 1 0 10 0 01 2 2

1 0 0

2 ( )( ) 2 ( ) ( ) 0 0 0

( )( )g a z

Q z g a z z z r z zz z a z 0= − + + ϕ = ⇒ ϕ = > ⇒ + <+ −

z−

− −

6° Factorisons z dans Q z 1 ( )2 2 2 2 2 2

0 1 01 12 20

0 1 0 12 2 2 2 2 2 2

1 1 0 0 1 1 1 01 1 1

0 1 0 12 2

1 1 0 11

0 1

2 ( ) 2 [( )( ) ( )( )]( ) 2 ( ) ( )

( )

2 [ ( ) ] 2 [ ( ) ( ) ( )]

2 ( )[ ( )]2 ( )

g a z g a z z z z z a zQ z g a z z z

z z z z

g a z z z z z z z z z z g a z z zz z z z z zz z z z

g z z a zz z z z ag z z zz z

− − − + − + −= − + + =

+ +− − − + + − + − + −

= =+ +

− + + += = − +

+

2

0 11 2

0 12

0 12

0 1

2 ( )( )z z g z z z zz z

a z zzz z

⎛ ⎞+ ⎟⎜ = − −⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ +⎝ ⎠+= −+

7° Pour que la trajectoire soit circulaire, il faut que z , soit d’après III 5° 1 0z=2 2 2 2

1 0200 2 2

0 01 0 0

2 ( ) ( )( )( ) C

g a z g z ag vz zz z a z

− − −ϕ = = − ⇒ =

+ −

8° Pour que le point atteigne le plan de l'équateur, il faut que z ; or est racine de Q z , Q a et ; donc la condition est :

1 0> = − <1z ( ) 0 ( ) 0( ) 0Q a >

2 2 20 0 0

22 2 20 0 0

0

2

00

(0) 0

2 0

2

2OE

Q

ga z r

gav r

z

gav vz

<

+ ϕ <

= ϕ > −

> = −

Remarque : la condition pour que le plan de l’équateur soit atteint n’est pas que l’énergie soit positive, car si l’énergie potentielle est nulle sur l’équateur, l’énergie cinétique ne peut ne peut y être nulle à cause de la conservation du moment cinétique.

9° La projection de la trajectoire est formée d’arcs de courbes ressemblant à des ellipses et tangents aux cercles dont les rayons sont les valeurs extrêmes de r , soit et dans les cas a et b et , et a dans le cas c. 0r 1r 0r 1r


Une résolution numérique donne les courbes suivantes, où les distances sont graduées en unités de : /r a

V. 1) ( ) ( ) ( )2

12p pdE F dr k r d r E k r= − ⋅ = − − ⇒ = − .

2) La force étant centrale, le moment cinétique est constant au cours du mouvement : 0 0

0 0r vL mr v mrv vrθ θ= = ⇒ = .

L’énergie se conservant,

( ) ( ) ( )

( ) ( )

22 2 2,

2 20 0 2

, 2

1 1 12 2 2

122

p eff

p eff

E m r v k r mr E r

mr vE r k rr

θ= + + − = +

= + −

3) ( )22 2 2 2

, ,0 0 0 03 2

3p eff p effdE d Emr v mr vk r kdr r dr

= − + − = +4rr=

.

4) Pour une trajectoire circulaire, les valeurs extrêmes de r doivent être confondues, donc r correspond au

minimum de l’énergie potentielle effective, soit à

0

( ), 0 00p effC

dE kr rvdr m

−= ⇒ = .

On peut aussi utiliser la loi fondamentale de la dynamique : ( )20

00

vF ma k r mr

= ⇒ − = .

5) Dérivons par rapport au temps la conservation de l’énergie : ,0 . En éliminant la solution

parasite r et en développant

p effdEdrmrrdt dr

= +

= 0 ( ),p effdEr

dr au voisinage de r par la formule de Taylor, on en déduit 0

0r

1r

a

0r 1r

0r1r

Cvv 00 < EC vvv 000 << OEvv >0

( )

( ) ( )2

, ,0 02

1 1p eff p effdE r d Er r r

m dr m dr= − − − r . On obtient l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation Ω

telle que ( )2 2 2

, 0 02 2 20 02 2 2

0 0

1 1 3 3 3p effd E mv k vr km m mdr r r

⎛ ⎞⎟⎜Ω = = + = + = Ω + ω⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠.

VI. Énergie potentielle effective d’un système de deux points. 1) M1 est soumis au poids, à la réaction de la table et à la tension 1T du fil ; les deux premières forces sont verticales,

tandis que la troisième est horizontale, comme l’accélération. En projetant la loi fondamentale de la dynamique sur le plan horizontal, on obtient 1 1 1m a T= , qui montre que la force subie par M1 est 1T .

2) Comme r x , dr . Le travail fourni par la liaison aux deux points est ; la condition pour qu’il soit nul quel que soit dx est .

L+ = dx= −( )1 2 1 2T dr T dx T T dx− − = − 1 2T T=

3) A l’instant 0, la vitesse de M1 est perpendiculaire à OM1, donc . Comme r x , : la vitesse de M

0r = L+ = 0x =2 est nulle. 4) Si M2 est immobile, x est constant, donc est constant : Mr 1 décrit un cercle de centre O. Comme la tension du fil

1T est perpendiculaire à la vitesse de M1, elle a une puissance nulle : le mouvement de M1 est donc uniforme. La loi fondamentale de la dynamique appliquée aux deux points donne :

et , d’où 2 2 0m g T− = 21 1 /cT m v r= 2

1c

m grv

m= .

5) D’après le théorème du moment cinétique, ( )1

1 1 0dL O

OM Tdt

= ∧ = , puisque 1OM et 1T sont parallèles.

Comme , garde un signe constant. 21L mr= θ θ

6) Appliquons le théorème de l’énergie cinétique à chacun des deux points :

( )2 21 1 1 1 2 2 2

1 12 2

d m v T dr Tdr d m v m g T dx⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= ⋅ = − = −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

soit en ajoutant membre à membre et en tenant compte que dx : dr= −2 2

1 1 2 2 21 12 2

d m v m v m gdr⎛ ⎞⎟⎜ + = −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ qui montre que 2 2

1 1 2 2 21 12 2

E m v m v m g= + + r reste constant au cours du temps. Le

terme est une énergie potentielle, puisqu’il ne dépend que de la position. 2m gr

7) Comme en coordonnées polaires L m , rvθ=2 2 2

2 2 211 2

L 0 0r vr

mr r⎛ ⎞⎟⎜= + = +⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

2r= =

m= +

v r , tandis que v x . D’où la

relation demandée, avec m m et

2 22

1 2

2 21 0 0

, 2 22p effm v r

E m . grr

= +

8.a) ,0 , d’où, en éliminant la solution parasite r , p effdEmrr r

dr= + = 0

2 2, 1 0 0

2 3p effdE m r vmr . m gdr r

= − = − +

8.b)


2 2 2 22 1 0 0 1 2 0 0

2 2 2 2 2 2 3 31 2

m m r v m m r vm g T m x T m g m r m g m g gm m mr r

⎛ ⎞ ⎛⎟ ⎟⎜ ⎜− = ⇒ = + = + − + = +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜+⎝ ⎠ ⎝⎞⎠

r

,p effE.

On peut aussi faire le calcul en passant par ( )2 20 02

1 1 3r vT m . r r m rr

θ⎛ ⎞⎟⎜= − − = − + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠

E 8.c) Le fil ne peut se détendre, car T est toujours positif. 8.d) Comme T reste positif, la trajectoire tourne toujours sa concavité vers O. 9) M1 se dirige vers O et M2 descend, tous deux avec la même accélération, soit

2

1 2

m gx rm m

= − =+

. 0

minr maxr

10) M1 a un mouvement circulaire uniforme et M2 est immobile. 11) Voir ci-contre. 12) M1 tourne autour de O, toujours dans le même sens, sa distance oscillant périodiquement entre un maximum et un

minimum.


0E r=Les valeurs extrêmes de r sont les racines de E r ; l’une d’elle est . L’autre s’obtient par : ( ) ( ), ,p eff p eff 0r

( ) ( )(

2 2 21 0 0 1 0

2 2 02

)2

1 0 1 02 0 0 02 2

22

12 2

m v r vm gr m gr

rm v m v

m g r r r r r rr r

+ = +

⎜− = − = + −⎜⎜⎜−

2 20

m

r⎛ ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎝ ⎠

soit en simplifiant par r r 0

( )2

21 0 02 0 02

0

2 80 1 1

42m v r

m g r r r r r rrr

⎛ ⎞α ⎟⎜ ⎟= + − − = = ± +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α α⎝ ⎠

Comme cette valeur extrême est positive, c’est 01

81 1

4r

r . ⎛ ⎞α ⎟⎜ ⎟= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α⎝ ⎠

< 0r<

g r v rα= = = = = = =

θ

ε= +

On vérifie que si , cette expression donne r . On peut aussi vérifier que si α , r et que si , .

1α = 0 1 1 1α >1 0r r>

13) m m . 1 2 0 0 11 ; 2 ; 4 ; 2,732

x0

y14) Le choc change v en l’opposé et laisse inchangé v . Les arcs décrits par M1r 1 1 avant et

après le choc sont symétriques par rapport à Oy. Comme la vitesse au départ est perpendiculaire à l’axe Ox, celui-ci est aussi un axe de symétrie de la trajectoire, d’où le dessin ci-contre de la trajectoire, qui est une courbe fermée qui a pour axes de symétrie les axes Ox et Oy.

15) Pour les petites oscillations au voisinage du mouvement circulaire, posons r r , où est petit. D’après l’équation trouvée à la question 8,

0ε

( )

( )

2 21 0 0

2 30

3

3 3 3 30 00 0 00

2 21 0 1 0

2200

0

1 1 1 11 1 3

3

m r vm m g

r

r rr r rrm v m vm m g

rr

εεε ε

ε

ε ε

−

+ − =+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= + − = −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠+

+ −

40

3rε

de la forme 2 csteε + ω ε =

Les petites oscillations ont pour pulsation 0 1

0 1

3v mr m m2

=+

ω et pour période 0 1 2

0 1

23

r m mv mπ + . Comme la vitesse

angulaire de M1 est voisine de 0

0

vr

, pendant une période de , M)(tr 1 a tourné d’environ 1

12

3m mm+π 2 qui est la

période angulaire. Autre présentation possible

,2,

,

( )1 ( ) 02

( )1 0

p effp eff

p eff

dE rE mr E r mrr r

drdE r

rm dr

= + ⇒ = +

+ =

Au voisinage du mouvement circulaire, ( )2

, ,0 02

( )( )p eff p effdE r d E

r r rdr dr

− ,

d’où un oscillateur harmonique approché de pulsation donnée par ω2

,202

1 ( )p effd Er

m drω = .

VII.

F dr Fdr= − ⋅ = − ; 2

2 2p pa a

E Fdr E Urr

⎛ ⎟⎜= − = − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠∫⎞

en tenant compte de . ( ) 0pE ∞ =1) dEp

2) Déterminons le signe de la pente : 0pdE Fdr= − > si

3 2

3 2 0a a , soit ;

r r− > r a>

3 2

4 32

3 2dF U a adr a r r

⎛ ⎞⎟⎜= − + >⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠0 si 3

2r a . >

→ → +∞−→ −→

Déterminons les asymptotes : si r , F , E ; si r → ∞ , F , E .

0 → +∞ p

0 0p

Déterminons les intersections avec l’axe des r : si r a ; si . 0F = = 0pE = /2r a=

Ep


r a= est le zéro de et l’abscisse du minimum de . ( )F r ( )pE r

3) 0dL OP Fdt= ∧ = puisque F est parallèle à OP . Donc L est constant au cours du temps. Comme OP est

perpendiculaire à L , P se meut dans le plan fixe passant par O et perpendiculaire à L . En coordonnées polaires, 2L mrv mr= =θ θ .

4) 2

212 2 2

a aE mv U

rr⎛ ⎞⎟⎜= + − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠

.

5) 2 2 2 2

02 2 2 2 2 22 2 2 2

2 2 22 2

,2 2 21 1 32 22 2 2 2p p eff

L a v a Uv r v r r r

m r r mra U a a a a UE mv E mr U E U E

r rr r r

θ= + = + = + = +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= + = + + − ⇒ = − = −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

=

6) Comme l’énergie est négative, le mobile ne peut parvenir à l’infini, car la conservation de l’énergie lui donnerait à l’infini une énergie cinétique négative.

Les positions extrêmes correspondent à r , soit :

02

2

2

2

3 222

3 12 022

4 3 1

2 13

3M m

a aUrr

a arr

arr a r a

⎛ ⎞⎟⎜ − = −⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠

− + =

U

= − =

±=

= =

∆

VIII. 1) Si , la force totale, due à l’action du proton et à celle du champ magnétique, est dans le plan Oxy, tout

comme les conditions initiales sur la position et la vitesse ; donc le mouvement reste dans le plan Oxy (raisonnement

par récurrence : si la position de l’électron et sa vitesse sont dans le plan Oxy à l’instant t , son déplacement et sa

variation de vitesse pendant dt sont dans ce plan).

0z =

2) La force magnétique ne travaillant pas, l’énergie potentielle est celle associée à l’action du proton :

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

0

2

2

412

10

2

p

p p

p p

eE r eVr

E m v E r E a

mv E r E a r a

= − = −πε

= + =

≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤

)3) Ce calcul peut être fait avec la formule du double produit vectoriel ( ) ( ) (A B C B A C C A B∧ ∧ = ⋅ − ⋅ :

( ) ( )212

dL der v B eB r v errB er Bdt dt= − ∧ ∧ = ⋅ = = ;

ou en coordonnées cartésiennes :

0

0

0 0

r eBr

F e ; v B e r eBr

B

− θ

= − ∧ = − θ ∧ =

F

r a 0

r a0

( )

2

20

2

0410 02

0 0

eeBrr r

dL dr F eBr r eBdt dt

eBrr

− + − θπε

= ∧ = ∧ = = ;

Comme le moment cinétique est nul à l’instant initial, alors que r a : = ( )2 22eBL r a= −

4) ( )2 2 22zeBr u r a= θ = −L m a< et r impliquent : l’électron tourne dans le sens des aiguilles d’une

montre.

0θ <

5) ( )2 222

eB r amr

θ = −

L’énergie E est conservée, puisqu’il existe une énergie potentielle associée à la force totale.

( ) ( )( )22 22 2 2 2 2 2 2

20 0

1 1 12 4 2 2 2

e eBE m r r mr mr r ar rmr 4

eθ − = + − −πε πε

= + de la forme 2,

1 ( )2 p effE mr E r= +

où

( ) ( )22 2 2 2

,08 4p eff

e B a eE r r

m r= − −

πε r.

6) Si , r a=2

,2

00

4p eff

effdE eFdr a

= − = − <πε

.

Si , 0r →2 2 4

,3 0

4p eff

effdE e B aFdr mr

= − ≈ > (le terme en l’emporte) 21/r

7) Ceci montre que la forme du graphique de est du type représenté sur la figure 1. Comme ( ),p effE r 21 02mr > ,

et évolue entre a et la racine immédiatement inférieure à a de . On a représenté sur la figure 2 une trajectoire si très grand et sur la figure 3 une trajectoire si B est modérément petit, l’origine étant sur le proton.

( ) ( ), ,p eff p effE r E a≤ r ( ) ( ), ,p eff p effE r E a=B

figure 1 figure 2 figure 3

r

,p effE

0 E

a


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Mouvements force centrale