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Moto di particelle cariche in un campo elettrico uniforme
Quando una particella di carica q e massa m è posta all’interno di campo elettrico , la forza
elettrica che agisce sulla carica è:
E se questa è l’unica forza agente sulla carica, essa è la forza risultante, e per il secondo
principio della dinamica la carica subirà un’accelerazione legata alla forza elettrica dalla
relazione:
L’accelerazione che subisce la carica è quindi
Se il campo è uniforme (cioè costante in modulo direzione e verso), l’accelerazione è costante,
diretta lungo il campo elettrico se q>0 o in verso opposto se q<0.
E
EqFe
EqamR
Em
qa
costante uniforme aE
a
Moto di particelle cariche in un campo elettrico uniforme
1) Particella di carica q e massa m inizialmente in quiete:
Inserita all’interno di un campo elettrico uniforme si muoverà con accelerazione costante lungo
una retta parallela ad .
Facciamo coincidere l’origine degli assi con la posizione iniziale della particella ed x con la
direzione del campo elettrico. Si avrà (eq. del moto di un moto rettilineo uniformemente
accelerato:
EqamR
Em
qa
E
22
22
1 Et
m
qtaxEt
m
qtavE
m
qa xxxx
Eliminando t dalle espressioni si trova la relazione che lega vx alla
posizione x:
qE
mv
qE
mvE
m
qx
qE
mvEt
m
qv
xx
xx
2
2
t
2
2
m
qExvx
2 2
m
qExvx
2
Moto di particelle cariche in un campo elettrico uniforme
1) Particella di carica negativa -q e massa m che entra in un campo elettrico E
uniforme con velocità iniziale v0 perpendicolare al campo elettrico.
Il moto è analogo a moto di un proiettile sotto l’azione del campo gravitazionale.
Facciamo coincidere l’origine degli assi con la posizione iniziale della particella e l’asse x con la
direzione della velocità iniziale. Il campo sarà rivolto verso le y positive.
L’accelerazione che la particella carica subisce quando
attraversa il campo è:
Se la velocità iniziale della carica è le
equazioni del moto della carica nella regione di spazio dove
è presente il campo elettrico saranno:
jm
qEa ˆ
ivv ˆ0
0
0
0
x
x
a
vv
tvx
m
qEaa
tm
qEatv
tm
qEaty
x
y
22
22
1
0
0
0
z
z
a
v
z
Moto che avviene sul piano xy, sostituendo t=x/v0 in y si ottiene: 22
2
02xyx
mv
qEy
parabola
Dopo che la particella esce dal campo elettrico prosegue di moto rettilineo uniforme
Flusso di un campo vettoriale
Un campo elettrico prodotto da corpi carichi può essere determinato in due modi differenti:
1) Attraverso la legge di Coulomb
2) Attraverso l’applicazione della legge di Gauss (quando la distribuzione di cariche presenta
qualche particolare simmetria come ad esempio la simmetria cilindrica o sferica)
La legge di Gauss è espressa in termini di Flusso del campo elettrico
Il Flusso è un concetto legato ai campi vettoriali
Definizione di flusso(analogia con il concetto di flusso in fluidodinamica, cioè la quantità di
liquido che attraversa una certa superficie nell’unità di tempo):
Il flusso di un campo vettoriale è una grandezza scalare che dipende dal campo
e dalla superficie rispetto alla quale viene calcolato.
Sia A una superficie e il vettore superficie avente come modulo l’area della superficie e
direzione perpendicolare alla superficie stessa:
Ci sono due possibili vettori superfici ( uno per ogni faccia della superficie)
Il flusso del campo vettoriale è definito come il prodotto scalare tra il campo
vettoriale ed il vettore superficie
A
nAA ˆ
AnAE ˆE
E
flusso del campo
vettoriale E
E
Se la superficie piana non è perpendicolare al campo elettrico il flusso sarà dato da:
dove è l’angolo tra la direzione del campo e la normale
alla superficie.
NB: il numero di linee di flusso che attraversano la superficie A
è uguale al numero di linee che attraversano la superficie
A=Acos
Flusso Elettrico
AnAE ˆE
flusso del campo
vettoriale E
Se consideriamo il caso particolare di un campo elettrico uniforme e di una
superficie piana perpendicolare alle linee di flusso si ha
EAAEE
Del resto il numero di linee per unità di superficie è proporzionale ad E
e quindi il numero di linee di flusso che attraversano la superficie A
dovrà essere proporzionale al prodotto EA
L’unità di misura del flusso del campo elettrico è N·m2 /C
cos EAAEE
Flusso Elettrico
Nel caso più generale il campo elettrico può variare sia in intensità che direzione e verso.
La definizione di flusso data in precedenza vale solo se l’elemento di superficie A è
sufficientemente piccolo da poter considerare che il campo in essa possa essere considerato
costante.
Consideriamo una generica superficie suddivisa in un gran numero
di piccoli elementi ciascuno di area A.
Per ogni elemento di superficie i si avrà un vettore superficie di
modulo A e direzione perpendicolare all’elemento di superficie i-simo.
Il flusso del campo elettrico attraverso l’elemento i-simo di superficie sarà:
Sommando tutti i flussi del campo attraverso i vari elementi di superficie otteniamo il flusso
totale e facendo tendere ad infinito il numero di elementi di superficie otteniamo:
iA
iiiiiE AEAE cos
iEE
SS
iiA
E dAnEAdEAE ˆlim0
S
E dAnE ˆ
Integrale di superficie,
dipende quindi dalla forma
della superficie considerata
NB: E dipende sia dalla configurazione del campo che dalla superficie in cui viene calcolato
Di solito quello che si chiede di calcolare è il flusso del campo attraverso una superficie chiusa
(cioè una superficie che divide lo spazio in due regioni una interna ed una esterna alla
superficie)
Consideriamo la superficie in figura:
I vettori sono rivolti in direzioni diverse per elementi di superficie diversi.
In ogni punto i vettori sono perpendicolari alla superficie
Per convenzione hanno verso uscente dalla superficie.
Nel caso 1 il campo elettrico è uscente dalla superficie
( 1<90°) => il flusso è positivo
Nel caso 2 le linee di campo sono parallele a A2
(2=90°) => flusso è nullo
Nel caso 3 le linee di campo sono entranti in A3
( 180°>1>90°) => il flusso è negativo
Flusso attraverso una superficie chiusa
iA
iA
Il flusso totale attraverso la superficie chiusa è proporzionale
al numero di linee di forza che escono dalla superficie meno
il numero di linee di forza che entrano nella superficie.
E>0 se Nlinee uscenti > Nlinee entranti
E<0 se Nlinee uscenti < Nlinee entranti
E=0 se Nlinee uscenti = Nlinee entranti
dAEdAnE nEˆ
En = componente del campo elettrico normale alla superficie dA
Il teorema di Gauss mette in relazione il flusso di un campo elettrico attraverso una
superficie chiusa e la carica in essa contenuta.
Il teorema di Gauss si ricava a partire da una superficie sferica, ma il risultato è del tutto
generale e vale per ogni superficie chiusa.
Consideriamo una sfera di raggio r ed una carica positiva q posta al centro della sfera stessa.
Le linee di campo sono radiali ed hanno verso uscente
=> sono perpendicolari alla superficie della sfera in ogni punto
Definito un qualsiasi elemento Ai della superficie
le linee di campo sono parallele alla normale di Ai
Il flusso attraverso l’elemento di superficie i-simo sarà
Il flusso totale attraverso la sfera sarà:
Ricordando che si ottiene:
Teorema di Gauss (1)
iiiiiE AEAE
EdAdAEnE
rr
qE ˆ
4
12
0
ErdAE 24 Il campo sulla superficie della sfera è costante
Campo elettrico su un
qualsiasi punto della
superficie della sfera
2
04
1
r
qE
2
0
2
4
14
r
qrE
0
qE
Il flusso totale del campo
elettrico attraverso una sfera
è proporzionale alla carica
contenuta nella sfera
Teorema di Gauss (2)
Abbiamo trovato che nel caso di una superficie sferica ed una carica q puntiforme contenuta in
essa il flusso del campo generato dalla carica attraverso la superficie della sfera è indipendente
dal raggio della sfera e pari a :
Quanto vale il flusso in caso di una superficie chiusa generica?
Consideriamo ora delle superfici chiuse che circondano una carica q
(S1 sferica, S2 ed S3 non sferiche).
Il flusso che attraversa la superficie S1 è pari a q/0 .
Il flusso però è proporzionale al numero di linee di campo che
attraversano la superficie, ma questo numero è uguale per le tre
superfici => Il flusso totale attraverso una qualsiasi superficie
non dipende dalla forma della superficie
0
qE
Il flusso totale attraverso una qualsiasi superficie chiusa che circonda una
carica puntiforme q è dato da 0q
Il flusso totale di un campo elettrico che attraversa una superficie chiusa è
indipendente dalla posizione della carica all’interno della superficie
Potremmo scegliere una sfera che non ha la carica q al centro
Teorema di Gauss (3)
Consideriamo ora una carica puntiforme q posta al di fuori di una superficie chiusa di forma
arbitraria
Alcune linee di forza entrano nella superficie altre escono ma sempre:
Il numero di linee di forza che entrano è uguale al numero di linee di
forza che escono.
Il flusso totale di un campo elettrico attraverso una superficie
che non contiene cariche è nullo
Estendiamo ora questi concetti al caso generale di più cariche puntiformi e di una
distribuzione di carica, Il flusso attraverso una qualsiasi superficie è dato da:
dAnEEdAnEEˆ.....ˆ
21
Il flusso elettrico attraverso una qualsiasi superficie è la somma dei flussi dovuta ai
campi elettrici generati dalle singole cariche
0
1ˆ
qdAnE
S
0
3232
ˆˆ
qqdAnEEdAnE
SS
0ˆ S
dAnE
Teorema di Gauss:
Il flusso elettrico totale attraverso una qualunque supe rficie chiusa è
uguale alla carica totale contenuta all’interno della superficie divisa per 0
0
ˆ
inE
qdAnE
Teorema di Gauss
Ricapitolando il teorema di Gauss afferma che:
Il flusso di un campo elettrico attraverso una superficie chiusa arbitraria S è pari alla somma
algebrica delle cariche contenute all’interno del volume delimitato dalla superficie divisa per la
costante dielettrica del vuoto
int00
1ˆ
VS
Ein
E dVdAnEq
Dove la superficie chiusa S attraverso la quale il flusso viene calcolato può essere di qualsiasi
forma e dimensione ed il simbolo qint rappresenta la somma algebrica delle cariche contenute
nel volume Vint racchiuso nella superficie S.
qint nel caso di una distribuzione di carica nel volume si scrive:
int
int
V
dVq
Applicazioni del teorema di Gauss a distribuzioni di carica simmetriche
Il teorema di Gauss è utile per determinare il campo elettrico generato da
distribuzioni di carica che presentano una qualche simmetria spaziale.
La scelta delle superfici gaussiane su cui calcolare il flusso devono essere scelte in
maniera appropriata in modo da avvantaggiarsi della simmetria della distribuzione
di carica in modo da poter estrarre E dall’integrale.
Per determinare il tipo di superficie da scegliere questa dovrebbe verificare una ( o
più) delle seguenti condizioni:
1) Il valore costate del campo sulla superficie deve essere dedotto dalla simmetria
della distribuzione di carica
2) Il prodotto scalare tra il campo ed il vettore superficie si deve poter esprimere
come un semplice prodotto algebrico (E dA) facendo in modo che E sia
perpendicolare alla superficie
3) Il prodotto scalare poiché sono perpendicolari tra loro
4) Si può dedurre che il campo è nullo su tutti i punti della superficie
NB: differenti porzioni della superficie gaussiana posso soddisfare differenti
condizioni, purché ogni porzione rispetti almeno una delle 4 condizioni
Ad
0ˆ dAnE
nE ˆ e
Esempio: Campo elettrico generato da una carica puntiforme
Supponiamo di non conoscere il campo elettrico generato da una carica puntiforme positiva q e
proviamo a ricavarlo a partire dal teorema di Gauss e da considerazioni di simmetria.
Poiché il teorema di gauss vale per ogni superficie, scegliamo quella
che ci conviene di più: una sfera di raggio r centrata in q.
Il campo elettrico generato da una carica puntiforme positiva è radiale
ed uscente dalla carica ( la forza F che la carica esercita su una carica
di prova q0 posta in un punto dello spazio attorno a q è sempre diretta
lungo la congiungente q con q0).
è quindi parallelo a in ogni punto della superficie sferica.
Il teorema di Gauss ci dice che:
Poiché il campo è radiale ed ha quindi una simmetria sferica, il campo sarà uguale su tutta la
superficie => posso tirare fuori E dall’integrale
dove l’integrale
Si ha quindi che:
E
Ad
0
ˆ
in
SS
E
qdAEdAnE
dAEdAnE ˆ
0
in
S
E
qdAE
24sfera della superficie della area rdAS
0
24
inE
qrE
2
04
1
r
qE in
Poiché la carica totale
presente nella sfera è q qin=q
2
04
1
r
qE
Campo generato da una distribuzione di una carica a simmetria sferica
Studiatela, la rifarò come esercitazione venerdì.
Campo elettrico in prossimità di una lamina piana carica
Consideriamo una lamina ( di grandi dimensioni) piana con densità superficiale di carica
uniforme.
Determinare il campo elettrico in un punto vicino alla lamina e lontano dai bordi della lamina
stessa
Determiniamo anzitutto la simmetria del campo in modo da poter scegliere la superficie gaussiana più
opportuna per applicare il teorema di gauss.
Il campo elettrico, lontano dai bordi deve essere perpendicolare alla lamina ed uniforme.
Poiché la lamina è carica positivamente il campo sarà uscente dalla lamina.
Sulle due facce della lamina i campi elettrici avranno quindi segni opposti.
La superficie gaussiana che conviene scegliere che rifletta la simmetria
del campo ( parallelo alla normale alla lamina ed uscente da essa
in entrambi i lati) è una superficie cilindrica il cui asse sia
perpendicolare al piano e le due basi abbiano un’area A e siano
equidistanti dalla lamina.
Con questa scelta della superficie abbiamo che:
Quindi la superficie laterale del cilindro soddisfa la condizione 3 delle condizioni da avere per scegliere la
superficie Gaussiana.
Le due basi del cilindro sono perpendicolari ad E e quindi è soddisfatta la condizione 2.
superficie alla normale alla cilindro del laterale superficie alla // EE
Il flusso attraverso la superficie laterale è nullo
superfici due alle normale alla // cilindro del basi due alle EE
A ˆ EAnE
Il flusso totale attraverso l’intera superficie cilindrica sarà : EAE 2
Campo elettrico in prossimità di una lamina piana carica (2)
EAE 2
0
2
inE
qEA
qin è la carica racchiusa nella superficie cilindrica
Sappiamo che la carica sulla lamina ha densità superficiale ( carica per unità di superficie).
La superficie della lamina racchiusa nel cilindro di gauss è un disco di area A.
La carica totale racchiusa nel cilindro sarà quindi:
Aqin
In conclusione si trova che il campo elettrico generato da una lamina con densità superficiale di
carica è:
00
2
AqEA in
E 0
2
AEA
02
E
il campo elettrico generato
da una lamina con densità
superficiale di carica
NB: nel campo elettrico non compare la distanza dalla lamina. Si può quindi dedurre che E=/20
sia il campo elettrico a qualunque distanza dal piano => il campo è uniforme ovunque
Conduttori in equilibrio elettrostatico
In un conduttore le cariche (elettroni) sotto l’azione di un campo elettrico sono libere di
muoversi all’interno del materiale.
Un conduttore si dice in equilibrio elettrostatico se le cariche sono tutte a riposo, cioè la forza
elettrica risultante agente su ciascuna di esse è nulla.
Per un conduttore isolato da terra, in equilibrio elettrostatico valgono le seguenti proprietà:
1) Il campo elettrico all’interno del conduttore è nullo
2) Un qualsiasi eccesso di carica deve essere localizzato necessariamente sulla superficie
esterna del conduttore
3) Il campo elettrico appena al di fuori del conduttore è perpendicolare alla superficie in ogni
punto ed ha intensità pari a /0 (dove è la densità di carica superficiale)
4) Su un conduttore di forma irregolare la carica si accumula sulle regioni di superficie con
raggio di curvatura minore
Conduttori in equilibrio elettrostatico
Se così non fosse le cariche all’interno del conduttore verrebbe accelerate sotto l’azione della
forza elettrica ed il conduttore non sarebbe quindi in equilibrio elettrostatico.
Ma perché il campo all’interno di un conduttore in equilibrio elettrostatico è nullo?
Consideriamo una lastra conduttrice neutra inserita in un campo esterno ( come in figura).
Sotto l’azione del campo elettrico gli elettroni del conduttore,
liberi di muoversi, si spostano verso sinistra creando un eccesso di
cariche negative a sinistra ed un eccesso di cariche positive a destra.
Questa nuova configurazione di carica genera un campo elettrico
interno al conduttore che si oppone al campo esterno.
Gli elettroni continueranno a spostarsi verso sinistra fin quando il
campo interno non uguaglierà il campo esterno ed il campo totale
all’interno del conduttore risulterà nullo
1)Il campo elettrico all’interno del conduttore è nullo
Consideriamo di prendere una superficie gaussiana all’interno del conduttore
Il flusso attraverso tale superficie deve essere nullo in quanto il campo elettrico è nullo quindi
in essa la carica totale è nulla.
Scegliamo la superficie interna al conduttore arbitrariamente vicina alla superficie anche in
essa non ci saranno cariche in eccesso => tutta la carica in eccesso deve essere posizionata
sulla superficie esterna del conduttore
2) Un qualsiasi eccesso di carica deve essere localizzato necessariamente sulla
superficie esterna del conduttore
Conduttori in equilibrio elettrostatico
3)Il campo elettrico appena al di fuori del conduttore è perpendicolare alla
superficie in ogni punto ed ha intensità pari a /0 (dove è la densità di carica
superficiale)
Utilizziamo ancora il teorema di Gauss.
Consideriamo un conduttore di forma generica e scegliamo come superficie gaussiana un
cilindro che abbia le basi parallele alla superficie del conduttore con una delle basi interna al
conduttore e l’altra appena al di sopra della superficie esterna.
Il campo elettrico è perpendicolare alla superficie ( se ciò non fosse la componente del campo
lungo la superficie sarebbe diversa da zero.=> sotto l’azione di questa componente le cariche si
muoverebbero sulla superficie ed il conduttore non sarebbe in equilibrio elettrostatico)
Il flusso attraverso la superficie laterale è nullo
Il flusso attraverso la superficie di base ( quella interna al conduttore) è nullo perché E=0
Il flusso totale attraverso il cilindro è pari al flusso attraverso la superficie della base
superiore ( che è perpendicolare al campo ed in essa il campo è costante):
ma qin=A =>
superficie alla normale alla cilindro del laterale superficie alla // EE
0
ˆ
in
AAs
E
qEAdAEEdAdAnE
0
AEA
0
E
Energia potenziale elettrica
La forza elettrostatica è una forza conservativa. Possiamo quindi assegnare una energia
potenziale elettrica al sistema di particelle cariche nel quale agisce la forza elettrostatica.
Se il sistema varia la sua configurazione da uno stato iniziale ad uno finale, la variazione di
energia elettrostatica è pari al lavoro, cambiato di segno, della forza elettrostatica.
Poiché l’energia potenziale elettrica è sempre definita a meno di una costante, si attribuisce
energia potenziale nulla allo stato in cui le particelle sono a distanza infinita l’una dall’ altra.
LUUU if
Consideriamo una carica puntiforme q0 immersa in un campo elettrostatico .
La forza elettrica agente sulla carica sarà:
è una forza conservativa poiché è data dalla somma di forze conservative.
Quando la carica q0 si muove soggetta al campo elettrico, il campo elettrico fa un lavoro sulla
carica stessa.
Se consideriamo uno spostamento infinitesimo della caric q0 il lavoro infinitesimo
compiuto dal campo sarà:
EqFe
0
E
eF
sd
sdEqsdFdL e
0
f
i
if sdEqLUUU
0
Integrale di linea.
Poiché il campo elettrico è conservativo,
Questo integrale non dipende dal
percorso effettuato dalla carica elettrica
per andare dalla posizione iniziale alla
posizione finale, ma dipende solo dallo
stato i e dallo stato f
Potenziale elettrico
f
i
if sdEqUUΔU
0
L’energia potenziale dipende dall’ intensità della carica di prova.
Si definisce quindi la grandezza potenziale elettrico che è data dall’ energia potenziale per
unità di carica in una dato punto del campo elettrico.
Il potenziale è una proprietà del campo, che esiste indipendentemente dalla presenza o meno
di una carica prova nel punto dello spazio in cui viene determinato.
Il potenziale elettrico in un punto arbitrario P dello spazio è uguale al lavoro per
unità di carica necessario per portare una carica positiva dall’ infinito al punto P.
Il potenziale è una grandezza scalare ha dimensioni di un’ energia su una carica (J/C), nel SI
la sua unità di misura è il volt. (V) 1V = J/C ( Bisogna svolgere un lavoro di 1J dall’esterno
per spostare una carica elettrica di 1C immersa in un campo elettrico tra due punti nel campo
che hanno una differenza di potenziale V=1V)
Elettronvolt: eV =1e·1V=1.6·10-19 J
Un elettronvolt è l’energia cinetica guadagnata da un elettrone accelerato attraverso una
differenza di potenziale di 1 V
(oppure è il lavoro necessario a spostare un elettrone tra due punti nel campo che differiscono
di 1 Volt)
P
sdEqUV
0Potenziale elettrico
Differenza di potenziale elettrico
B
A
sdEq
UV
0
Differenza di Potenziale
Si definisce differenza di potenziale fra due punti A e B, la variazione di energia
potenziale quando una carica di prova si muove tra i due punti, divisa per la carica di prova.
Differenza di potenziale in un campo elettrico uniforme: Consideriamo un campo elettrico uniforme diretto lungo l’asse y negativo
La differenza di potenziale tra i due punti A e B separati da una distanza d
(lungo la direzione delle linee di campo) è data da:
Il segno – è dovuto al fatto che VB < VA (V=0 all’infinito)
NB Le linee di forza in generale puntano verso una direzione a potenziale
elettrico minore
Se una particella di carica q0 si muove dal punto A al punto B la variazione di energia
potenziale sarà:
Quando una carica positiva si muove nel verso del campo elettrico, lenergia
potenziale elettrica del sistema carica-campo diminuisce (analogia con il campo
gravitazionale)
EdyydsEdsEsdEV AB
y
y
y
y
B
A
B
A
B
A
0cos
EdqVqU 00
x
y
NB: (dove d è la distanza tra A ed il piano contenente B perpendicolare
al campo) in quanto la componente y dello spostamento non porta contributo alla variazione
di potenziale. Si ha infatti che .
Differenza di potenziale in un campo elettrico uniforme (continua):
Abbiamo visto che una particella che si muove attraverso un campo uniforme, da un punto A
ad un punto B che distano d tra di loro (lungo una linea di forza del campo) subisce una
variazione di energia potenziale –Ed
Consideriamo ora una particella che si muove fra due punti qualsiasi del campo.
Sia l’angolo tra la direzione dello spostamento e le linee di forza del campo.
La variazione di potenziale sarà data da:
cosrErEsdEsdEV
B
A
B
A
rjyixjdyidxsdB
A
B
A
x
x
x
x
B
A jdyidx
ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ
dxrE cos
0ˆ ˆ jyEjE
Tutti i punti che giacciono su una superficie perpendicolare al campo sono
equipotenziali. Queste superficie sono chiamate superfici equipotenziali.
Poiché U=q0 V per andare da un punto ad un altro su una superficie equipotenziale non si
compie lavoro => 0
0
0 VqUL Lavoro per spostare una carica lungo
una superficie equipotenziale
Potenziale elettrico per una carica puntiforme isolata
Consideriamo una carica puntiforme q positiva.
Il campo elettrico generato da questa carica è: rr
qkE c
ˆ2
Differenza di potenziale elettrico tra il punto A ed il punto B:
B
A
y
y
c
B
A
sdrr
qksdEV
ˆ
2
Consideriamo l’argomento dell’integrale:
drr
qkds
r
qksdr
r
qksdE ccc 222
cosˆ
Sostituiamo nell’integrale:
AB
c
r
r
c
r
r
c
r
r
cABrr
qkr
qkr
drqkdr
r
qkVVV
B
A
B
A
B
A
11122
L’integrale è indipendente dal percorso effettuato per andare da A e B e dipende
solo dalle coordinate radiali di A e B (cioè dalle loro distanze dalla carica q che
genera il campo)
Ponendo il potenziale a zero quando A si ottiene che il potenziale elettrico dovuto ad una
carica elettrica in punto a distanza r da essa vale:
r
qkV c
rqk
rqk
r
drqkVVVV c
r
c
r
cA
112
potenziale elettrico dovuto ad
una carica elettrica
puntiforme in punto a
distanza r da essa
Potenziale elettrico per cariche puntiformi
r
qkV c
Tutte le cariche poste su una superficie
sferica centrata nella carica q hanno lo
stesso potenziale pari a rqkV c
Le superfici equipotenziali per un campo generato da una carica
puntiforme isolata sono rappresentate da una famiglia di sfere
concentriche alla carica
NB: le linee di forza del campo sono sempre perpendicolari alle superficie
equipotenziali
Se invece di avere una sola carica isolata abbiamo un sistema di cariche puntiformi il
potenziale elettrico di questo sistema di cariche si ottiene mediante il principio di
sovrapposizione:
Il potenziale elettrico calcolato in un punto P, dovuto ad un sistema di cariche
puntiformi è uguale alla somma dei potenziali elettrici in quel punto dovuti alle
singole cariche
i i
ic
r
qkV potenziale elettrico calcolato in un
punto P, dovuto ad un sistema di
cariche puntiformi (il potenziale è
nullo all’infinito)
NB: calcolare il potenziale nel punto P è più facile che calcolare il vettore campo poiché V totale
è dato da una somma algebrica, mentre il valore totale del campo è dato da una somma
vettoriale
Potenziale elettrico per una distribuzione di carica uniforme
Può essere calcolato in due modi:
1) Partendo dal potenziale in un punto P dovuto al contributo di un elemento infinitesimo di
carica dq :
Dove r è la distanza tra il punto P e l’elemento di carica dq
Per ottenere il potenziale in p dovuto a tutta la distribuzione di carica si integra l’elemento dV
per sommare tutti i contenuti. Si avrà quindi un integrale su tutta la carica dq che potrà
essere un integrale di volume ( se dq=dV), di superficie (se dq=dS) o di linea (se dq=dℓ)
2) Facendo uso della relazione tra potenziale e campo elettrico, se si conosce il campo elettrico
(per esempio grazie all’applicazione del teorema di gauss):
Dove si calcola la differenza di potenziale tra due punti qualsiasi e si pone a zero uno dei due
r
dqkdV c
B
A
sdEV
Esempio 1 e 2 ( alla lavagna)
Energia potenziale per una coppia di cariche puntiformi
Consideriamo una coppia di cariche q1 e q2 e determiniamone l’energia potenziale.
Il lavoro necessario a spostare la carica q1 da P all’infinito ( senza accelerazione) è pari alla
variazione di potenziale cambiata di segno moltiplicata per la carica q1
12
21212
0
21 V V)(Vr
qqkqqUL c
12
22
r
qkV c
potenziale elettrico dovuto alla
carica q2 in un punto P distante
r12 da q2
Energia immagazzinata dal sistema
q1-q2 quando le due cariche sono
separate da una distanza r12
L’energia potenziale elettrica della coppia di cariche q1-q2 si può
esprimere come:
Se q1 e q2 hanno stesso segno U>0 ( L=U>0 => è il sistema che compie lavoro, le cariche si
allontanano spontaneamente)
Se q1 e q2 hanno segno opposto U<0 (L=U<0 => bisogna compiere lavoro sul sistema per
portare q1 all’ poiché q1 e q2 si attraggono)
12
2121 V U
r
qqkq c
lavoro necessario a spostare la
carica q1 da P all’infinito
Ricavare E dal potenziale elettrico V
Abbiamo visto che campo elettrico e potenziale sono legati dalla relazione:
Questa relazione permette di ricavare il potenziale elettrico a partire dal campo elettrico.
Troviamo ora come determinare il campo elettrico a partire dal potenziale.
P
P sdEV
P
P sdEV
sdEdV
Se:
dxEdV xdx
dVEx
dx
dVEx
Se il campo ha un’unica direzione, il campo elettrico è pari
alla derivata cambiata di segno del potenziale rispetto ad
una certa coordinata lungo la direzione del campo
In questo caso la variazione del potenziale è nulla rispetto a qualsiasi
spostamento perpendicolare al campo ( che quindi non abbia componente
lungo x).
Questi spostamenti corrispondono infatti a spostamenti lungo le
superfici equipotenziali
iEE xˆ
Campo elettrico con linee di forza parallele:
Ricavare E dal potenziale elettrico V (2)
Distribuzione di carica a simmetria sferica: In questo caso il campo elettrico dipende solo dalla distanza radiale dal centro della
distribuzione, si ha quindi che:
drEsdEdV r
dr
dVEr
Es: il potenziale di una carica puntiforme è:
r
q
r 0
2 4
11
2
00
1
4
11
4
1
rq
dr
rdq
dr
dVEr
2
04
1
r
qE
Ricavare E dal potenziale elettrico V (2)
Caso generale:
Consideriamo un potenziale elettrico che dipende da tutte e tre le coordinate spaziali x,y,z. In questo caso il
campo elettrico ( vettore) si otterrà componente per componente dalle derivate parziali del potenziale
rispetto alle tre coordinate:
sdEdV
z
VE
y
VE
x
VE
z
y
x
Esempio: Trovare il campo elettrico associato al potenziale: yzyyxV 223
z
yzyyx
z
VE
y
yzyyx
y
VE
x
yzyyx
x
VE
z
y
x
22
22
22
3
3
3 xyxy
x
yx62300
3 2
zyx
y
yz
y
y
y
yx
23
3 222
y
z
yz
00
kyjzyxixyE ˆˆ23ˆ6 2
Potenziale elettrico di un conduttore carico
Per un conduttore carico in equilibrio elettrostatico abbiamo visto che:
La carica è distribuita tutta sulla superficie
All’interno del conduttore il campo elettrico è nullo
Nelle vicinanze della superficie il campo elettrico è perpendicolare
alla superficie stessa
Possiamo dire allora che:
Tutti i punti sulla superficie del conduttore in equilibrio
elettrostatico si trovano allo stesso potenziale.
Si ha infatti che:
Presi due punti qualsiasi A e B sulla superficie del conduttore consideriamo un percorso sulla
superficie che mette in contatto i due punti, la differenza di potenziale tra i due punti è data
da:
poiché lungo tutto il percorso il campo elettrico è
perpendicolare al percorso => 0
B
A
AB sdEVVV
0 sdE
Il potenziale elettrico è uguale in tutti i punti sulla superficie (la superficie è una superficie
equipotenziale)
Inoltre il potenziale all’interno del conduttore è costante ( poiché il campo è nullo) e pari al
potenziale presente sulla superficie del conduttore
Poiché durante uno spostamento di una carica q0 attraverso il conduttore la variazione di
potenziale è nulla, è nullo anche il lavoro per effettuare tale spostamento
00
0 VqUL
Potenziale elettrico di un conduttore sferico
Rrper
Rrper 0
2r
Qk
Ee
rper 0
Rrper
Rrper Q
r
Qk
Rk
Ve
c
0
in
S
E
qdAE
0
24
Q
rEE 22
04
1
r
Qk
r
QE e
Superficie di gauss : sfera di raggio r>R
Consideriamo una sfera metallica di raggio R e carica totale Q:
Il campo elettrico dentro la sfera è nullo
Il campo elettrico fuori dal conduttore lo calcoliamo attraverso il
teorema di gauss
Qqin
24 rdAS
Potenziale elettrico di un conduttore generico In un conduttore non sferico la densità di carica non è uniforme
Come si determina la densità di carica in questo caso?
Consideriamo un conduttore come in figura:
Due sfere conduttrici di raggio r1 ed r2 (r1 > r2) connesse mediate un cavo conduttore
I campi dovuti alle due sfere non si influenzano tra loro (sfere sufficientemente distanti)=>
12
1
1
1 rper
rrper 0
rr
qk
Ee
22
2
2
2 rper
rrper 0
rr
qk
Ee
Poiché le due sfere sono collegate mediante il filo conduttore,
l’interno sistema è un singolo conduttore =>
Sulla superficie delle due sfere devo avere lo stesso potenziale:
1
1
11 rrper
q
rkV c
2
2
22 rrper
q
rkV c
2
2
1
121
rk
rkVV cc
2
1
2
1
Q
Q
r
r
21 QQ
In termini di densità superficiali:
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
22
2
11
2
22
2
11
2
1
4
4
r
r
r
r
r
r
r
r
q
q
rq
rq
rq
rq
12
Potenziali
sulle due
superfici
Abbiamo visto che se in un conduttore consideriamo due regioni con raggi di
curvatura r1 ed r2 tali che r1 > r2 si avrà che:
ma
Potenziale elettrico di un conduttore generico
Cioè è maggiore la densità di carica dove il raggio di curvatura è minore.
Poiché il campo elettrico in prossimità della superficie di un conduttore in
equilibrio elettrostatico è proporzionale alla densità di carica:
Si può affermare che:
Il campo elettrico dovuto ad un conduttore carico è maggiore in prossimità delle
superfici convesse del conduttore che hanno un piccolo raggio di curvatura ed è
minore in prossimità delle superfici convesse di un conduttore che hanno un grande
raggio di curvatura
21 QQ 12
0
E
I parafulmini sono a punta, campo elettrico molto più intenso intorno ad esso
Maggiore probabilità che il fulmine avvenga in prossimità della
punta del parafulmine che altrove
Cavità in un conduttore elettrico
Il campo elettrico all’interno di una cavità (dove non ci siano cariche)è nullo,
qualunque sia la distribuzione di carica sulla superficie esterna del conduttore.
Infatti: presi due punti qualsiasi sulla superficie della cavità si ha:
Poiché sulla superficie di un conduttore tutti i punti sono allo stesso potenziale.
Per andare da A a B si può effettuare qualsiasi percorso attraverso la cavità, quindi
se l’integrale è nullo lungo tutti i possibili percorsi ( cioè se per ogni ds,
allora in tutta la cavità
0 B
A
AB sdEVVV
0 sdE
0E
Gabbia di Farady => Recipiente cavo costituito da material conduttore => miglior
modo per schermare circuiti elettrici dai campi elettrostatici circostanti
Durante una tempesta elettrica chiudetevi in macchina
Capacità e Condensatori
I condensatori sono dei componenti elettrici costituiti da due conduttori (armature) di forma
qualsiasi posti molto vicini tra loro che vengono caricati con cariche uguali ed opposte.
Un condensatore si dice carico se tra le due armature è presente una differenza di potenziale.
Per caricare un condensatore scarico ( V=0) si possono mettere in contatto le due armature
con i poli di una batteria , queste si caricheranno di carica uguale ed opposta, scollegata la
batteria le due armature rimarranno cariche
La differenza di potenziale ai capi delle armature risulta proporzionale alla carica del
condensatore ( cioè la carica accumulata su una delle due armature):
VCQ V
QC
Capacità elettrica
Si definisce Capacità elettrica il rapporto tra la carica del condensatore e la
differenza di potenziale ai capi delle due armature.
La capacità è la misura della quantità di carica che un condensatore può immagazzinare se
su di esso viene applicata una certa differenza di potenziale
La capacità è costante per ogni condensatore e dipende dal tipo di condensatore, dalla forma
e dal materiale che separa le due armature
L’unità di misura della capacità è il farad (F) 1F=1C/V
Il farad è un’unità di misura molto grande e solitamente si usano i suo sottomultipli ( F, nF e
pF)
NB: V è inteso in valore assoluto poiché C è per definizione sempre positiva
Condensatori piani
Un condensatore piano è costituito da due piastre metalliche della
stessa area A separate da una distanza d.
Condensatore carico : una piastra con carica Q e l’altra con carica
–Q
Carica per unità di superficie: =Q/A
Se d molto piccola rispetto alle dimensioni della piastra:
piastre dalle fuori 0
piastre le tra00
A
Q
E
00A
QdEdsdEsdEV
dB
A
d
A
Qd
QA
V
QC 00
d
AC 0
La capacità di un condensatore piano è
direttamente proporzionale alla superficie
delle armature piane ed inversamente
proporzionale alla loro distanza
capacità di un
condensatore piano
Condensatore piano collegato ad una batteria
elettroni elettroni
Collegamento di condensatori
Nei circuiti elettrici due o più condensatori possono essere collegati in diversi modi.
L’elemento di circuito totale avrà una capacità equivalente che può essere calcolata e
che dipenderà dalla configurazione del sistema di condensatori.
Le due combinazioni di base dei condensatori sono in serie ed in parallelo
I condensatori in uno schema di circuito si rappresentano con il simbolo:
Condensatori in parallelo Condensatori in serie
Condensatori in parallelo
Le armature di sinistra dei due condensatori sono
allo stesso potenziale (sono collegati tramite il filo
conduttore al polo positivo della batteria)
Le armature di destra dei due condensatori sono
allo stesso potenziale
La tensione ( la differenza di potenziale) ai capi
della coppia di condensatori è quella data dalla
batteria ed è la stessa ai capi di ciascun
condensatore
Quando si effettua il collegamento gli elettrone si muovono attraverso il circuito ( dalle
armature di sinistra verso il polo + della batteria e dal polo – alle armature di destra).
Il movimento cessa quando tra i capi dei condensatori e tra i poli della batteria c’è la stessa
tensione => a questo punto i due condensatori risulteranno caricati con carica Q1 e Q2.
Carica totale
immagazzinata 21 QQQ
Condensatore equivalente: Un condensatore che ha carica Q e tensione V ai capi:
Due condensatori di capacità C1 e C2 sono collegati in parallelo ( vedi figura)
VVV 21
V
Q
V
Q
V
V
QCeq
1121
21 CCCeq Capacità del condensatore equivalente
per un collegamento in parallelo
La capacità equivalente di un sistema di condensatori in parallelo è la somma
algebrica delle singole capacità ed è quindi maggiore di quella di ciascun
condensatore
Condensatori in serie Due condensatori di capacità C1 e C2 sono collegati in serie ( vedi figura)
In questo tipo di collegamento il
valore assoluto della carica sulle
armature dei due condensatori è
la stessa QQQ 21
Se consideriamo il circuito equivalente
V
QCeq
21
21C
Q
C
QVV
C
QV
eq
L’armatura di destra di C1 e quella di
sinistra di C2 sono allo stesso potenziale
Vi ( formano un conduttore isolato)
Mentre la differenza di potenziale tra l’armatura di sinistra di C1 e quella di destra di C2 è
uguale alla tensione ai capi della batteria V
destrasinistra VVV 21destrasinistra VVVVVVV ii
21 C
Q
C
Q
C
Q
eq
21
111
CCCeq
Il reciproco della capacità equivalente di un sistema di
condensatori in serie è pari alla somma algebrica dei
reciproci delle singole capacità e la capacità equivalente è
quindi sempre minore di quella di ciascun condensatore
Capacità del condensatore equivalente
per un collegamento in serie
Condensatori con dielettrici
L’inserimento tra le armature di un condensatore di un materiale isolante ( detto dielettrico)
aumenta la capacità del condensatore
Misurando con un voltmetro un condensatore carico con e senza dielettrico tra le armature, se
V0 è la differenza di potenziale in assenza di dielettrico e V la d.d.p in presenza di
dielettrico, si trova che:
Più precisamente dove k>1
0VV
Poiché il circuito è aperto ed il voltmetro ( per come è
concepito ) non lo chiude
La carica Q0 ai capi delle due armature nei due casi
rimane la stessa
Se 0VV 0
00
0
C
QV
C
QV
k
VV 0
0
11
CC
0CC
La capacità di un condensatore in presenza di un dielettrico tra le
armature è maggiore di quella nel caso tra le due armature ci sia il vuoto
0kCC
Effetto del dielettrico
Molecole del dielettrico
in assenza di campo
Polarizzazione delle
molecole del dielettrico
in presenza di campo
La polarizzazione genera un
campo elettrico di polarità
opposta a quello esterno
Diminuzione del campo elettrico
netto e della tensione ai capi
dell’armatura
La carica viene immagazzinata
ad una ddp minore e quindi
aumenta la capacità
Corrente elettrica
Ogni qual volta c’è movimento di cariche si ha una corrente elettrica.
Data una certa quantità di cariche che attraversa una superficie S, si definisce corrente
elettrica la rapidità con cui la carica elettrica attraversa quella superficie.
Se Q è la quantità di carica che attraversa la superficie S nell’intervallo di tempo t la
corrente media è:
Passando al limite per t 0 si ottiene la corrente istantanea:
t
QI
dt
dQ
t
QI
t
0lim
L’unità di misura della corrente nel sistema SI è l’ampere (A) che è una delle unità di misura
fondamentali. Si ha che:
1A di corrente equivale al passaggio di 1C di carica attraverso una superficie in 1s
s
CA 11
Il verso della corrente positiva per convenzione è quello in cui fluisce la carica
positiva (indipendentemente dalla carica effettiva che si muove) quindi va in verso
opposto rispetto a quello del flusso degli elettroni dentro un conduttore
Le particelle cariche che si muovono vengono chiamati portatori di carica.
I portatori di carica in un conduttore sono gli elettroni, in un gas o in un liquido possono essere
sia ioni positivi che negativi
Ma come si trasporta la corrente?
Consideriamo delle particelle cariche che si muovono attraverso un conduttore cilindrico di
sezione A.
Il volume di un elemento del conduttore sarà dato da:
Se n= numero di portatori di carica per unità di volume (densità di portatori)
Il numero totale di portatori di carica nell’elemento di volume è:
xnAVnN
xAV Elemento di volume
del conduttore
N di portatori di
carica nell’elemento
di volume
Se q è la carica del singolo portatore di carica, la carica mobile trasportata sarà:
qxnANqQ Carica trasportata dagli N di
portatori di carica nell’elemento di
volume
Se i portatori si muovo lungo il conduttore con una velocità media vd detta velocità di deriva
essi percorreranno la lunghezza dell’elemento di volume in un certo tempo t tale che
In questo intervallo di tempo la carica trasportata sarà:
Ricordando che I=Q/ t possiamo ottenere la relazione che lega la corrente I ( grandezza
macroscopica) alle caratteristiche dei portatori di carica (grandezze microscopiche): densità n,
carica q e velocità di deriva
tvx d
qtnAvqxnAQ d
Anqvt
QI d
Considerazione sulla velocità di deriva
La velocità di deriva è una velocità media dei portatori di carica
I portatori di carica si muovo in realtà con un andamento a zig-zag urtando contro
gli atomi del conduttore.
Questi urti portano ad un aumento dell’energia vibrazionale degli atomi che si
manifesta con un aumento della temperatura del conduttore.
Quando ai capi del conduttore è applicata una differenza di potenziale all’interno del
conduttore si genera un campo elettrico che fa muovere i portatori di carica a causa
della forza elettrostatica applicata.
Il moto dovuto al campo si sovrappone al moto “casuale a zig e zag” che fornisce una
velocità media il cui modulo è la velocità di deriva
Le velocità di deriva dei portatori di carica sono molto piccole dell’ordine dei 10-4 m/s.
Ma il segnale elettrico ( per esempio quando si preme l’interruttore della luce) non è
trasportato con la velocità di deriva, ma attraverso l’azione del campo elettrico che si
viene a creare all’interno del conduttore che produce la forza elettrica che agisce
istantaneamente a distanza (anche sugli elettroni che sono nel filamento di
tungsteno della lampadina) .
Resistenza e legge di ohm
Aumentando il campo elettrico attraverso il conduttore aumenta anche la velocità di deriva.
Si può dimostrare che la velocità di deriva è proporzionale al campo elettrico.
Per un campo elettrico uniforme in un conduttore con sezione uniforme ( filo) la differenza di
potenziale ai capi del conduttore è proporzionale al campo elettrico:
Quindi la velocità di deriva è proporzionale anche alla differenza di potenziale applicata ai
capi del conduttore e di conseguenza anche alla corrente nel conduttore:
La costante di proporzionalità tra V e d I è detta Resistenza del conduttore:
EdV
VvI d
RIV I
VR
L’unità di misura della resistenza è l’ohm () : 1 = 1V/1A
Se una ddp di 1V ai capi di un conduttore produce una corrente di 1A la resistenza di quel
conduttore è pari a 1
La resistenza ( chiamata così perché misura la “resistenza“ che oppongono i portatori di carica
durante il loro movimento dovuto alla presenza della ddp (differenza di potenziale V) ai capi
del conduttore) è una proprietà del conduttore che dipende dal materiale di cui esso è
costituito, dalla sua forma e dalla temperatura a cui si trova
Resistenza
Evd
Legge di Ohm
Per molti materiali , inclusa la maggior parte dei metalli gli esperimenti dimostrano che la
resistenza è costante su un grande intervallo di tensioni applicate.
Questo fatto fa si che la relazione venga spesso indicata con il nome di legge di
Ohm,
La legge di Ohm determina la proporzionalità tra la tensione applicata ai capi di un conduttore
e la corrente che vi circola dentro.
In realtà questa proporzionalità diretta tra corrente e tensione non vale per tutti i materiali.
I materiali che seguono la legge di ohm, per i quali quindi la resistenza risulta costante in un
ampio range di tensioni sono detti materiali ohmici
I materiali che invece non presentano questa linearità diretta tra tensione e corrente sono
chiamati non ohmici
I
VR
Materiale ohmico Materiale non ohmico
Resistenza e resistività
La resistenza dipende dalla forma del conduttore:
Esempio:
La resistenza di un filo conduttore è:
proporzionale alla lunghezza del conduttore
inversamente proporzionale alla sezione A del conduttore A
lR
La costante di proporzionalità , detta resistività, è caratteristica del materiale di
cui è composto il conduttore ed ha come unità di misura l’· m.
La resistenza dipende sia dal materiale di cui è composto il conduttore che dalla forma del
conduttore stesso.
La resistività è caratteristica di ogni materiale
L’inverso della resistività è la
conducibilità =1/
Variazione della resistività con la temperatura
NB: la resistività di un conduttore varia con la temperatura,
es: i materiali superconduttori hanno resistenze bassisime , ma solo per temperature molto
basse, prossime allo zero assoluto
= la resistività ad una certa temperatura T
= coefficiente termico della resistività
0 = la resistività alla temperatura di riferimento To
00 1 TT
Per la maggior parte dei metalli, la resistività varia in maniera circa lineare con la variazione
di temperatura
Una relazione analoga si può ottenere per la resistenza ( che è proporzionale alla resistività)
00 1 TTRR
In un circuito elettrico viene trasferita energia da una sorgente ( batteria , generatore di
tensione) ad un dispositivo ( lampadina, radio,..) per mezzo della trasmissione elettrica.
Ricaviamo un’espressione che ci permetta di determinare la potenza trasferita ( lavoro per
unità di tempo)
Consideriamo il circuito base, costituito da un generatore di tensione, una resistenza collegati
mediante un circuito che può essere aperto ( scollegamento) o chiuso mediante un interruttore
In questo circuito l’energia viene fornita al resistore ( anche se in parte
anche ai fili perché anche essi hanno una resistenza ma questa
resistenza in genere può essere trascurata)
Assumiamo che il potenziale in a sia zero ( lo possiamo fare sarà il nostro
punto di riferimento)
Seguiamo la carica Q che si muove attraverso il conduttore partendo da a,
attraversando la batteria e proseguendo nel circuito per tornare in a
ab la differenza di potenziale ai capi della batteria è V, quindi
l’energia potenziale elettrica aumenta di una quantità QV mentre l’energia chimica della
batteria diminuisce della stessa quantità
bc nessuna trasformazione di energia ( stiamo trascurando la resistenza del conduttore
quindi Vc =Vb)
cd passaggio attraverso la resistenza R( anche detto resistore) il sistema ha una “caduta di
potenziale” dovuta ad una perdita di energia potenziale elettrica a causa degli urti dei portatori
di carica con gli atomi del resistore. Questa energia si trasforma in energia interna degli
atomi/molecole (energia vibrazionale)
da come nel caso bc
In a: risultato netto = parte dell’energia chimica della batteria si è trasformata in energia
interna nel resistore
Energia e Potenza elettrica
Energia e potenza elettrica(2)
Determiniamo la rapidità con cui il sistema perde energia potenziale elettrica quando la carica
Q passa attraverso il resistore
dove I è la corrente nel circuito
Nello stesso tempo in cui questa perdita avviene nel resistore, la batteria fornisce nuova
energia potenziale elettrica a discapito della sua energia chimica.
La potenza è il lavoro svolto nell’unità di tempo dalla batteria, cioè la quantità di energia
fornita al circuito nell’unità di tempo, quindi è uguale a dU/dt :
Rapidità derivata rispetto al tempo ! VIVdt
dQVQ
dt
d
dt
dU
dt
dU
Ricordando che possiamo esprimere la potenza trasferita su un resistore R: IRV
R
VRI
2
2
Questa formula ha validità generale e descrive la potenza trasferita da una sorgente ad
un qualsiasi dispositivo che trasporti una corrente I quando ai suoi capi c’è una
tensione V
Potenza trasferita
su un resistore R
potenza
L’unità di misura della potenza è il watt ( come avevamo già visto) e la quantità di energia
trasferita in un’ora ( kW/h) è l’unità di misura utilizzata dalle compagnie elettriche per
misurare i nostri consumi
VI
Esempio
Le due lampadine in figura sono collegate alla stessa batteria.
La potenza delle batterie è indicata.
Quale lampadina ha una resistenza maggiore?
Quale trasporta una corrente maggiore?
R
VRI
2
2
WR
V
WR
V
B
B
A
A
60
30
2
2
VVV BA
AB 2
AB R
V
R
V22
2
AB RR
12
1 2
B
A
R
RBA RR 2
A parità di V la lampadina a resistenza minore assorbirà
potenza maggiore.
La corrente che attraversa B è però maggiore
B
B
A
AI
VR
I
VR
22
BA II
12
1
BA II2
1
Forza elettromotrice ( f.e.m) Ogni dispositivo ( batteria generatore di tensione)che aumenta l’energia potenziale di un
circuito mantenendo costante la ddp tra due punti del circuito stesso viene chiamata sorgente
di forza elettromotrice (f.e.m)
NB: questa grandezza non è una forza ( nonostante il nome) ma rappresenta il lavoro
svolto dalla sorgente di f.e.m. per unità di carica ed ha quindi le dimensioni di un
potenziale e come unità di misura il volt
La relazione che lega la f.e.m. alla tensione ai capi di una batteria è la seguente:
Dove I è la corrente del circuito ed r è la resistenza interna della batteria.
Perché la tensione ai capi della batteria non è uguale alla f.e.m?
Perché dobbiamo tenere conto del fatto che la batteria presenta una resistenza intrinseca (
anche se piccola).
Quando una carica passa dal polo negativo al polo positivo all’interno della batteria il
potenziale aumenta di ma a causa del passaggio della carica attraverso la resistenza r il
potenziale diminuisce di una quantità rI.
è quindi la tensione a circuito aperto, quando cioè la corrente è pari a zero ( e non si ha la
caduta di potenziale dovuta a Ir)
Quando ai capi della batteria viene attaccata una resistenza la V ai capi della batteria deve
essere la stessa di quella ai capi della resistenza ( resistenza di carico), quindi:
rIV
RIIrV rIRI
F.e.m.
IrV rIRI Si ottiene che la corrente è legata non solo alla resistenza di carico R
ma anche alla resistenza interna della batteria:
Solo nel caso in cui R>>r si può trascurare r e considerare =V
Se moltiplichiamo per I otteniamo l’espressione per la potenza totale erogata dalla sorgente
di f.e.m I :
La potenza totale fornita dalla sorgente di f.e.m. è pari alla potenza fornita alla sorgente di
carico RI2 più la potenza fornita alla resistenza interna rI2.
NB: Normalmente R>>r e quindi la potenza viene fornita per la maggior parte alla resistenza
di carico.
rRI
22 rIRII Potenza totale erogata dalla
sorgente di f.e.m.
Resistenze in serie
Quando due o più resistenze sono collegate insieme, una dopo l’altra in modo che solo uno degli
estremi sia in comune tra due resistenze, queste sono collegare in serie
La corrente che circola in R1 e quella che circola in R2 sono uguali poiché se così non fosse ci
sarebbe un accumulo di carica in uno dei resistori
21 III
2121 RRIIRIRV
bcabac
bc
ab
VVVV
IRV
IRV
2
1
La resistenza equivalente Req deve essere tale che: IRV eq 21 RRReq
La resistenza equivalente di un insieme di resistori collegati in serie è uguale alla
somma algebrica delle singole resistenze ed è sempre maggiore di ciascuna
resistenza
Resistenze in parallelo
Quando due o più resistenze sono collegate
insieme in modo da avere entrambi gli estremi
in comune, queste sono collegare in parallelo.
In questo caso la ddp ai capi di ogni resistenza
è la stessa.
La corrente che circola attraverso i resistori è
invece generalmente diversa
La corrente I infatti arrivando al nodo a
si divide in due o più parti ( a seconda del
numero di resistenze in parallelo) e la frazione
di corrente che attraverserà il resistore
dipenderà dal valore stesso della resistenza:
Se R1 > R2 => I1 < I2 (poiché ).
Per la conservazione della carica comunque si avrà che:
Per trovare la Req ricordiamo che: 21 III
21 VVV
21
21R
V
R
VII
R
VI
eq
21
111
RRReq
Il reciproco della resistenza equivalente di un insieme di resistori collegati in
parallelo è uguale alla somma algebrica dei reciproci delle singole resistenze.
La resistenza equivalente è quindi sempre minore della più piccola resistenza.
2211 IRIRV
Circuiti Nel progettare un circuito destinato a svolgere una certa funzione normalmente si
hanno a disposizione i seguenti elementi:
1)Uno o più sorgenti di f.e.m. nota (batteria, generatore di tensione)
2)Filo metallico (conduttore)
3) interruttori
4)Resistenze
5)Capacità
6)….
Il problema è spesso quello di stabilire come
si possa produrre una data corrente in un
particolare elemento di circuito
La maggior parte degli elementi circuitali ( resistori,
capacitori…) sono collegati al circuito in due punti.
Ciascun elemento è caratterizzato dalla legge che lega
la corrente che lo attraversa alla ddp ai suoi estremi
( es: per la resistenza la legge è V=RI)
Si definisce NODO: un punto in cui convergono almeno
tre conduttori
Si definisce RAMO: la parte di circuito contenuta tra 2 nodi
Si definisce MAGLIA: il percorso chiuso che parte da un nodo e giunge al medesimo nodo
dopo aver attraversato diversi elementi circuitali senza percorrere due volte lo stesso ramo
In un circuito è possibile in genere identificare più maglie, ma è opportuno considerare delle
maglie “indipendenti”, cioè scelte in modo da avere che ciascuna contenga almeno un ramo che
non sia contenuto nelle altre
Maglia 1
(abdgfa)
Maglia 2
(bced)
Maglia 3
(dehg)
a
b c
d e
f g h
1
2 3
4
NODO
RAMO
Componente
(resistore, sorgente f.e.m,…)
Leggi di Kirchhoff
Due leggi, dette Leggi di Kirchhoff, indicano come determinare le correnti che attraversano i
singoli componenti circuitali: la legge delle maglie e la legge dei nodi.
LEGGE DELLE MAGLIE:
La somma delle differenze di potenziale che si incontrano compiendo un giro
completo lungo una qualsiasi maglia di un circuito è nulla:
Il potenziale aumenta attraversando alcuni elementi circuitali e diminuisce attraversandone
altri, ma la somma delle differenze di potenziale lungo un giro completo deve essere nulla.
NB: Il verso della corrente attraverso i vari rami del circuito, inizialmente non è nota si sceglie
quindi arbitrariamente per ogni ramo. L’importante è mantenere questa direzione in tutte le
fasi in cui si applicano le leggi di Kirchhoff. Conseguenza di ciò la corrente può essere positiva
o negativa ( a seconda del suo verso).
Per convenzione si prende positiva la corrente che circola nel verso di moto dei portatori
positivi. Se alla fine dello studio del circuito il valore di una corrente risulterà negativo,
significa che la corrente avrà in realtà il verso opposto a quello scelto arbitrariamente all’inizio.
0maglia
V
Vi sono due regole a cui ci si può attenere mentre si utilizza la legge delle maglie:
1) Se si percorre una resistenza R nel verso della corrente il potenziale diminuisce (-RI)
Se R si percorre in senso opposto alla corrente il potenziale aumenta (RI)
2) Se si percorre una sorgente di f.e.m. nel senso della f.e.m. (- +) la ddp viene considerata +
Se si percorre una sorgente di f.e.m. in senso opposto alla f.e.m. (+ -) la ddp è considerata -
Esempio
Consideriamo il circuito in figura
Abbiamo 2 sorgenti di f.e.m. che generano correnti
aventi versi opposti.
Il verso della corrente non è certo a priori.
Scegliamo arbitrariamente che il verso della corrente sia
antiorario
Partiamo dal punto a ed attraversiamo tutti i
componenti circuitali procedendo in senso antiorario nella maglia
Facciamo la somma delle ddp tenendo conto delle regole dei versi rispetto alla corrente
La resistenza interna delle sorgenti di f.e.m. viene trattata come una resistenza indipendente
11r
51R 32R
12r
V12
V51
I I
ab
c d
0222111 IrIRIrIRVmaglia
0221121 IrRrR
2211
21
rRrRI
AI 4.0
Il segno della corrente ottenuta è + quindi il verso della corrente è effettivamente quello
antiorario ( perché )
Se fosse stata la corrente sarebbe risultata con segno negativo, quindi il verso
sarebbe stato orario, cioè opposto al verso scelto arbitrariamente all’inizio.
L’equazione ci fornisce automaticamente il verso della corrente
21
21
Legge dei Nodi
Nell’analisi dei circuiti che contengono 2 o più maglie , insieme alla legge delle magie si utilizza
la legge dei nodi
LEGGE DEI NODI:
La somma delle intensità delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma
delle correnti uscenti dal nodo ( i versi delle correnti sono quelli arbitrariamente scelti
all’inizio)
Se si considerano positive le correnti entranti nel nodo e negative le correnti uscenti dal nodo
la legge dei nodi può essere riformulata come:
La somma algebrica delle correnti in un nodo deve essere nulla
nodo daluscenti
nodo nelentranti
II
0nodo
I
3I
La legge dei nodi applicata al nodo a del circuito in figura
dice che:
0321 III
I I
a
bc
de
f
1I
1I
3I
2I
321 III
Esempio
Determinare le correnti I1 , I2 , I3 del circuito in figura
Abbiamo 3 incognite da determinare
Abbiamo 2 nodi (a e b), ma in realtà i nodi indipendenti sono
sempre uno in meno rispetto al numero di nodi presenti.
Quindi abbiamo un solo nodo indipendente da cui
estrarre un’equazione.
Abbiamo bisogno quindi di due maglie indipendenti per
ottenere le altre due equazioni necessarie.
( 3 incognite -> 3 equazioni)
Scegliamo le maglie abcda ( senso antiorario) e aefba (senso antiorario)
1) Equazione dalla legge dei nodi: ( applicata al nodo a)
2) Legge delle maglie applicata alla maglia 1 (partendo da a):
3) La legge delle maglie applicata alla maglia 2 (partendo da a):
321 III
4 1R
2 2R
I I
a
bc
d
3 3R
V3 3
e
f
V1 2V2 1
1I
1I 3I
3I
2I
0111222 IRIRVmaglia
221121 IRIR
0222333 IRIRVmaglia
223323 IRIR
Sistema di 3 equazioni in 3 incognite ( )
4 1R
2 2R
I I
a
bc
d
3 3R
V3 3
e
fV1 2
V2 1
1I
1I 3I
3I
2I
223323
221121
321
IRIR
IRIR
III
Sistema di 2 equazioni in 2 incognite ( )
321 ,, III
223323
3122121
IRIR
IRIRR
32 , II
Sostituendo i valori numerici si ottiene:
23
32
234
461
IIV
IIV
23
32
6912
461
IIV
IIV
33 41912 IVIV
31313 IV AI 13 AI 5.02 AI 5.02
I sensi di I1 ed I3 sono uguali a quelli ipotizzati, ma il verso di I2 è opposto a quello ipotizzato
Moltiplico la seconda equazione per 3
