Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Le point le plus près

Le point le plus près

Introduction

Nous verrons comment déterminer le point d’une droite ou

d’un plan le plus rapproché d’un point hors de cette droite ou

de ce plan.

Le point le plus près dans R2

On peut développer diverses stratégies pour trouver les coordonnées de ce point. Nous verrons comment procéder en déterminant l’intersection de lieux géométriques.

Le point R d’une droite ∆ le plus proche d’un point Q hors de celle-ci est le pied de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆.

Le point le plus près dans R2

Intersection de lieux

pour déterminer le point R d’une droite le plus rapproché d’un point Q hors de cette droite par l’intersection de lieux.

1. Déterminer une équation de la droite passant par le point Q et perpendiculaire à la droite ∆.

2. Substituer les équations paramétriques dans l’équation carté-sienne.

3. Calculer la valeur du paramètre au point de rencontre des droites.

4. Substituer la valeur du paramètre dans les équations paramétriques pour déterminer les coordonnées du point de rencontre qui est le point le plus rapproché.

Procédure

Exemple 11.3.13

En substituant ces équations paramétriques dans l’équation de la droite ∆, on obtient :

SS

La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∆ est :

x = 4 + ty = 9 – 2t

(4 + t) – 2(9 – 2t) + 4 = 0

D’où : 4 + t – 18 + 4t + 4 = 0

Cela donne : 5 t – 10 = 0 et t = 2

En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient :

x = 4 + 2 = 6y = 9 – 2 2 = 5

Le point le plus rapproché est donc R(6; 5).

(6; 5)

Utiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∆ : x – 2y + 4 = 0 le plus proche du point Q(4; 9).

On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. Or, cette droite est parallèle au vecteur normal à ∆.

Exemple 10.3.5Utiliser la méthode de l’intersection de lieux

pour trouver le point de ∆ :

(x – 7; y – 2) • (4; 2) = 0

le plus proche du point Q(7; 2).

x = –1 + 4ty = 3 + 2t

L’équation cartésienne de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∆ est donnée par :

D’où : 4x – 28 + 2y – 4 = 0

Et : 4x + 2y – 32 = 0

En substituant les équations paramétriques de ∆ dans l’équation de la perpendiculaire passant par Q, on obtient :

SS

4(–1 + 4t) + 2(3 + 2t) – 32 = 0

D’où : –4 + 16t + 6 + 4t – 32 = 0

Cela donne : 20 t – 30 = 0 et t = 3/2

En substituant cette valeur dans les équations paramétriques de ∆, on obtient :

x = –1 + 4(3/2) = 5y = 3 + 2(3/2) = 6

Le point le plus rapproché est donc R(5; 6).

(5; 6)

ExerciceUtiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∆ : 3x – 2y – 15 = 0 le plus proche du point Q(–2; 9).

En substituant ces équations paramétriques dans l’équation de la droite ∆, on obtient :

SS

La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∆ est :

x = –2 + 3ty = 9 – 2t

3(–2 + 3t) – 2(9 – 2t) – 15 = 0

D’où : –6 + 9t – 18 + 4t – 15 = 0

Cela donne : 13t – 39 = 0 et t = 3

En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient :

x = –2 + 3 3 = 7y = 9 – 2 3 = 3

Le point le plus rapproché est donc R(7; 3).

(7; 3)

ExerciceUtiliser la méthode de l’intersection de lieux

pour trouver le point de ∆ :

(x – 3; y – 2) • (3; –2) = 0

le plus proche du point Q(3; 2).

x = –1 + 3ty = 9 – 2t

L’équation cartésienne de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∆ est donnée par :

D’où : 3x – 9 – 2y + 4 = 0

Et : 3x – 2y – 5 = 0

En substituant les équations paramétriques de ∆ dans l’équation de la perpendiculaire passant par Q, on obtient :

SS

3(–1 + 3t) – 2(9 – 2t) – 5 = 0

D’où : –3 + 9t – 18 + 4t – 5 = 0

Cela donne : 13t – 26 = 0 et t = 2

En substituant cette valeur dans les équations paramétriques de ∆, on obtient :

x = –1 + 3 2 = 5y = 9 – 2 2 = 5

Le point le plus rapproché est donc R(5; 5).

(5; 5)

Le point le plus près dans R3

Le point d’une droite le plus près d’un point Q hors de cette droite dont on connaît un vecteur directeur (description paramétrique).

Le point cherché est le pied de la

perpendiculaire abaissée du point Q

sur la droite ∆.

Cette droite est dans un plan ∏

perpendiculaire à ∆ et passant par le

point Q.

On peut donc déterminer une équation cartésienne du plan ∏ et

trouver son intersection avec la droite ∆.

Méthode de l’intersection de lieux

Le vecteur directeur de la droite ∆ est

donc un vecteur normal au plan ∏.

SSS

Exemple 11.3.16 (Intersection de lieux)

Trouver sur la droite ∆ :x = 8 + 3t

y = –1 – 2t

z = –2 + t

le point le plus rapproché

du point Q(3; 8; 3).

En substituant les équations paramétriques de la droite dans l’équation du plan ∏, on obtient :

L’équation cartésienne du plan passant par Q et perpendiculaire à ∆ est :

3(8 + 3t) – 2(–1 – 2t) + (–2 + t) + 4 = 0

D’où : 24 + 9t + 2 + 4t – 2 + t + 4 = 0

Cela donne : 14t + 28 = 0 et t = –2

On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. Or, cette droite est dans un plan perpendiculaire à ∆.

(3; –2; 1) • (x – 3; y – 8; z – 3) = 0, d’où :3x – 2y + z + 4 = 0

x = 8 + 3 –2) = 2y = –1 – 2 –2) = 3z = –2 + 1 –2) = –4

Le point le plus rapproché est donc R(2; 3; –4).

En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient :

SSS

Exercice (Intersection de lieux)

Trouver sur la droite ∆ :x = 7 – 4t

y = –4 + 2t

z = –2 + 3t

le point le plus rapproché

du point Q(–2; 8; 7).

En substituant les équations paramétriques de la droite dans l’équation du plan ∏, on obtient :

L’équation cartésienne du plan passant par Q et perpendiculaire à ∆ est :

–4(7 – 4t) + 2(–4 + 2t) + 3(–2 + 3t) – 45 = 0

D’où : –28 + 16t – 8 + 4t – 6 + 9t – 45 = 0

Cela donne : 29t – 87 = 0 et t = 3

On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. Or, cette droite est dans un plan perpendiculaire à ∆.

(–4; 2; 3) • (x + 2; y – 8; z – 7) = 0, d’où :–4x + 2y + 3z – 45 = 0

x = 7 – 4 = –5y = –4 + 2 = 2z = –2 + 3 = 7

Le point le plus rapproché est donc R(–5; 2; 7).

En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient :

∏

Le point d’un plan le plus prèsd’un point hors du plan(méthode de l’intersection de lieux)

Le point d’un plan le plus près d’un point Q hors de ce plan dont on connaît un vecteur normal (équation cartésienne).

Le point cherché est le pied de la

perpendiculaire abaissée du point Q

sur le plan ∏.

Cette perpendiculaire est une droite

∆ passant par le point Q et ayant

comme vecteur directeur le vecteur

normal au plan ∏.

On peut donc déterminer une description paramétrique de la droite ∆

et trouver son intersection avec le plan ∏.

Exemple 11.3.17

En substituant ces équations paramétriques dans l’équation du plan ∏, on obtient :

SS

La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∏ est :

x = 7 + ty = 9 + 2tz = 15 + 3t

(7 + t) + 2(9 + 2t) + 3(15 + 3t) – 28 = 0

D’où : 7 + t + 18 + 4t + 45 + 9t – 28 = 0

Cela donne : 14t + 42 = 0 et t = –3

En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient :

x = 7 + 1 –3) = 4y = 9 + 2 –3) = 3z = 15 + 3 –3) = 6

Le point le plus rapproché est donc R(4; 3; 6).

Utiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∏ : x + 2y + 3z –28 = 0 le plus proche du point Q(7; 9; 15).On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur le plan ∏. Or, cette droite est parallèle au vecteur normal à ∏.

Exercice

En substituant ces équations paramétriques dans l’équation du plan ∏, on obtient :

SS

La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∏ est :

x = 23 + 5ty = 14 + 3tz = –1 + t

5(23 + 5t) + 3(14 + 3t) + (–1 + t) – 16 = 0

D’où : 115 + 25t + 42 + 9t – 1 + t – 16 = 0

Cela donne : 35t + 140 = 0 et t = –4.

En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient :

x = 23 + 5 –4) = 3y = 14 + 3 –4) = 2z = –1 + 1 –4) = –5

Le point le plus rapproché est donc R(3; 2; –5).

Utiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∏ : 5x + 3y + z – 16 = 0 le plus proche du point Q(23; 14; –1).On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur le plan ∏. Or, cette droite est parallèle au vecteur normal à ∏.

Les points les plus rapprochésde deux droites gauches

Lorsqu’on a deux droites gauches , il y a toujours des plans parallèles contenant les droites.

Méthode du vecteur normal

En notant A et B, les points les plus rapprochés, on a alors :

AB

Les coordonnées des points A et B doivent satisfaire aux équations para-métriques de leur droite respective.

= k

On peut donc établir un système de contraintes dont les variables sont les paramètres des équations des droites et le scalaire k. En résolvant ce système, on connaîtra la valeur des paramètres aux points les plus rapprochés.

N

Les vecteurs directeurs sont :

Exemple 11.3.18 (vecteur normal)Trouver les points les plus proches sur les droites gauches suivantes :

SS

= (–2; 4; –1) et D1

∆1 : x = 7 – 2ty = –6 + 4tz = 6 – t

= (1; –3; 2) D2

∆2 :

x = 1 + sy = –10 – 3sz = 8 + 2s

N

+ (6 – 4)i j k

–2 4 –11 –3 2

= (8 – 3) i – (–4 + 1) j kD1 D2 =

= 5 i + 3 j k+ 2

N =

Trouvons le vecteur normal :

= (5; 3; 2)

S

Notons A(a; b; c), le point cherché sur la droite ∆1, et B(d; e; f), le point cherché sur la droite ∆2. Il existe donc des valeurs de t et s telles que :

a = 7 – 2tb = –6 + 4tc = 6 – t

d = 1 + se = –10 – 3sf = 8 + 2s

AB = (d – a; e – b: f – c) = (s + 2t – 6; –3s – 4t – 4; 2s + t + 2)D’où :

ABPuisque : = k N, on a :

(s + 2t – 6; –3s – 4t – 4; 2s + t + 2) = k(5; 3; 2) = (5k; 3k; 2k)

D’où l’on tire le système d’équations : s + 2t – 5k = 6

–3s – 4t – 3k = 4

2s + t – 2k = –2

En résolvant, on a :

L1

≈L2 + 3L1

L3 – 2L1

1 2 –5

0 –18

6

220 –3 8 –14

2

L1 – L2

≈ L2

2L3 + 3L2

1 0 13

0 –18

–16

220 0 –38 38

2

L1

≈ L2 /2

L3 /(–38)

1 0 13

0 –9

–16

11

0 0 –11

L1 – 13L3

≈ L2 + 9L3

L3

1

1 0 0

0 0

–3

2

0 0 –11

1 S

On a donc s = –3 et t = 2, d’où :

A : B :

2 –5

–3 –4 –3

6

42 –2 –2

1

1

Les points les plus rapprochés sont donc A(3; 2; 4) sur ∆1 et B (–2; –1; 2) sur ∆2.

x = 7 – 2 2 = 3

y = –6 + 4 2 = 2z = 6 – 2 = 4

x = 1 – 3 = –2y = –10 – 3 (–3) = 1z = 8 + 2 (–3) = 2

Les vecteurs directeurs sont :

Exercice (vecteur normal)Trouver les points les plus proches sur les droites gauches suivantes :

SS

= (3; 7; 4) et D1

∆1 : x = –4 + 3ty = –10 + 7tz = –11 + 4t

= (1; –1; –1) D2

∆2 :

x = 1 + sy = 1 – sz = 11 – s

N

+ (–3 – 7)i j k3 7 41 –1 –1

= (–7 + 4) i – (–3 – 4) j kD1 D2 =

= –3 i + 7 j k– 10

N =

Trouvons le vecteur normal :

= (–3; 7; –10)

S

Notons A(a; b; c), le point cherché sur la droite ∆1, et B(d; e; f), le point cherché sur la droite ∆2. Il existe donc des valeurs de t et s telles que :

a = –4 + 3tb = –10 + 7tc = –11 + 4t

d = 1 + se = 1 – sf = 11 – s

AB = (d – a; e – b: f – c) = (s – 3t + 5; –s – 7t + 11; –s – 4t + 22)D’où :

ABPuisque : = k N, on a :

(s – 3t + 5; –s – 7t + 11; –s – 4t + 22) = k (–3; 7; –10) = (–3k; 7k; –10k)

D’où l’on tire le système d’équations :

s – 3t + 3k = –5

–s – 7t – 7k = –11

–s – 4t + 10k = –22

En résolvant, on trouve :

L1

≈L2 + L1

L3 + L1

1 –3 3

0 –4

–5

–160 –7 13 –27

–10

10L1 – 3L2

≈ L2

10L3 – 7L2

10 0 42

0 –4

–2

–160 0 158 –158

–10

L1

≈ L2

L3 /(–158)

10 0 42

0 –4

–2

–160 0 –1

–10

L1 – 42L3

≈ L2 + 4L3

L3

1

10 0 0

0 0

40

–20

0 0 –1–10

1S

On a donc s = 4 et t = 2, d’où :

A : B :

–3 3

–1 –7 –7

–5

–11–1 10 –22

1

–4

Les points les plus rapprochés sont donc A(2; 4; –3) sur ∆1 et B (–2; –1; 2) sur ∆2.

x = –4 + 3 2 = 2

y = –10 + 7 2 = 4z = –11 + 4 2 = –3

x = 1 + 4 = 5

y = 1 – 4 = –3

z = 11 – 4 = 7

ConclusionEn utilisant les vecteurs directeurs et les vecteurs normaux, on peut

déterminer l’équation d’une droite ou d’un plan perpendiculaire à un

plan ou à une droite donnée passant par un point extérieur à cette

droite.

L’intersection de ces lieux géométriques donne le point le plus

rapproché.

Exercices

Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.4, p. 364 et 367.

Lecture

Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.3, p. 340 à 354.