Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon La droite dans R 3 Intersections, angles et distances La droite dans

Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

La droite dans R3

Intersections,angles et distances

La droite dans R3

Intersections,angles et distances

IntroductionDans cette présentation, nous verrons comment utiliser les vecteurs et le produit scalaire pour calculer :

• l’angle entre deux droites, gauches ou concourantes,

• la distance d’un point à une droite,

• le point d’une droite le plus rapproché d’un point hors de celle-ci.

• l’angle entre une droite et un plan,

• la distance entre deux droites gauches,

• les points les plus rapprochés sur deux droites gauches.

Angle entre une droite et un plan dans R3

Pour calculer l’angle entre une droite ∆ et un plan ∏ dans R3, on doit déterminer un vecteur normal au plan et un vecteur directeur de la droite à partir des équations et calculer l’angle entre ceux-ci.

Si l’angle entre les vecteurs est aigu, l’angle entre la droite et le plan est l’angle complémentaire de , soit :

90° –

Si l’angle entre les vecteurs est obtus, l’angle entre la droite et le plan est donné par:

–90°

Exemple 12.3.1Trouver l’angle entre le plan ∏: 2x – 3y + 4z – 5 = 0

et la droite

Le vecteur normal au plan est :

SS

= (2; –3; 4) N

∆ : x = 2 – 3t

y = –5 + 7tz = –3 – 2t

et le vecteur directeur de la droite est : = (–3; 7; –2). D

On a alors :

Puisque 90° < < 180°, on a = – 90° = 145,63° – 90° = 55,63° et l’angle entre la droite et le plan est de 55,63°.

cos =N D •

N D

=–35

29 62

et : = arccos = 145,63°29 62

–35

Angle entre une droite et un plan dans R3

pour trouver l’angle entre une droite et un plan dans R3

1. Déterminer un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal au plan.

2. Utiliser le produit scalaire pour calculer l’angle entre ces vecteurs.

3. Déterminer l’angle entre la droite et le plan à partir de l’angle entre les vecteurs.

Procédure

• = 90° – , si 0° ≤ ≤ 90°

• = – 90°, si 90° ≤ ≤ 180°

Remarque

On peut ramener ces deux cas à un seul en prenant la valeur absolue du produit scalaire avant de calculer l’arccosinus.

ExerciceTrouver l’angle entre le plan ∏: 3x – 5y + 2z – 12 = 0

et la droite

Le vecteur normal au plan est :

SS

= (3; –5; 2) N

∆ : x = 4 + 5t

y = –2 – 3tz = 7 + 4t

et le vecteur directeur de la droite est : = (5; –3; 4). D

On a alors :

Puisque 0° < < 90°, on a = 90° – = 90° – 29,33°= 60,66° et l’angle entre la droite et le plan est de 60,66°.

cos =N D •

N D

=38

38 50

et : = arccos = 29,33°38 50

38

Angle entre deux droites dans R3

Pour calculer l’angle entre deux droites ∆1 et ∆2 dans R3, on doit déterminer des vecteurs directeurs à partir des équations et calculer l’angle entre ceux-ci. Dans R3, deux droites coplanaires, peuvent être concourantes ou parallèles.

L’angle entre deux droites, concourantes ou gauches, est toujours compris entre 0° et 90°.

Des droites non-coplanaires, sont appelées droites gauches. L’angle entre deux droites est défini même si les droites sont gauches, et c’est l’angle aigu formé par les vecteurs directeurs de ces droites.

Remarque

Exemple 12.3.2Trouver l’angle entre les droites suivantes :

Le vecteur directeur de ∆1 est :

SS

= (–3; 7; –2) D1

∆1 : x = 2 – 3t

y = –5 + 7tz = –3 – 2t

et le vecteur directeur de ∆2 est : = (6; –2; –3). D2

On a alors :

Puisque 90° < < 180°, on a = 180° – = 180° – 118,15° = 61,85° et l’angle entre les droites est de 61,85°.

cos =D1 D2 •

D1 D2

=–26

62 49

et : = arccos = 118,15°62 49

–26

∆2 : x = 8 + 6sy = 2 – 2sz = –3 – 3s

Angle entre deux droites dans R3

pour trouver l’angle entre deux droites dans R3

Procédure

La procédure pour calculer l’angle entre deux droites de R3 est analogue à celle pour calculer l’angle entre deux droites de R2.

1. Déterminer un vecteur directeur de chacune des droites.

2. Utiliser le produit scalaire pour calculer l’angle entre ces vecteurs.

3. Déterminer l’angle entre les droites à partir de l’angle entre les vecteurs.

• = , si 0° ≤ ≤ 90°

• = 180° – , si 90° ≤ ≤ 180°

Remarque

On peut ramener ces deux cas à un seul en prenant la valeur absolue du produit scalaire avant de calculer l’arccosinus.

ExerciceTrouver l’angle entre les droites suivantes :

Le vecteur directeur de ∆1 est :

SS

= (–8; 2; 3) D1

∆1 : x = 6 – 8t

y = –4 + 2tz = 7 + 3t

et le vecteur directeur de ∆2 est : = (–4; 5; –2). D2

On a alors :

Puisque 0° < < 90°, on a = = 38,60° et l’angle entre les droites est de 38,60°

cos =D1 D2 •

D1 D2

=46

77 45

et : = arccos = 38,60°77 45

46

∆2 : x = 3 – 4sy = 2 + 5sz = –5 – 2s

Distances dans R3

Distance d’un point Q à une droite dont on connaît un vecteur directeur.

Distance d’un point Q à une droite dont on connaît deux points R et P.

On détermine un point R de la droite ainsi que le vecteur RQ.

Le module du produit vectoriel donne l’aire de ce parallélogramme et on divise par la longueur de la base, soit le module du vecteur directeur.

La distance cherchée est alors la hauteur du parallélogramme construit sur les vecteurs RQ et D.

On procède de la même façon en considérant D = RP.

+ (–12 + 16)

Exemple 12.3.3Trouver la distance du point Q(7; –2; 5) à la droite ∆ :

Le vecteur directeur de ∆ est :

SS

= (2; –3; 4) D

x = 3 + 2t

y = 6 – 3t

z = –5 + 4t

En posant t = 0 dans l’équation de ∆, on obtient le point R(3; 6; –5).

= (7;–2; 5) – (3; 6; –5 ) = (4; –8; 10). RQ

La distance du point au plan est donc d’environ 1,11 unités.

d(Q, ∆)=

= 6

29

La distance est alors donnée par :

On a alors le vecteur

Le produit vectoriel donne :

i j k4 –8 102 –3 4

= (–32 + 30) i – (16 – 20) j kRQ D =

= –2 i + 4 j k+ 4

RQ D

D

≈ 1,11

Distance d’un point à une droite de R3

pour trouver la distance d’un point Q à une droite dans R3

1. Déterminer le vecteur directeur de la droite.

2. Construire le vecteur allant d’un point R quelconque de la droite au point Q.

3. Calculer l’aire du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs (module du produit vectoriel).

Procédure

Remarque :

Lorsque deux points de la droite sont connus, on peut déterminer un vecteur directeur en considérant le vecteur dont l’origine est un de ces points et dont l’extrémité est l’autre point.

4. Diviser l’aire du parallélogramme par la longueur de sa base (module du vecteur directeur) pour en obtenir la hauteur qui est la distance cherchée.

+ (18 + 10)

ExerciceTrouver la distance du point Q(5; 4; –7) à la droite ∆ :

Le vecteur directeur de ∆ est :

SS

= (–5; –6; 7) D

x = 8 – 5t

y = 2 – 6t

z = 3 + 7t

En posant t = 0 dans l’équation de ∆, on obtient le point R(8; 2; 3).

= (5; 4; –7) – (8; 2; 3).= (–3; 2; –10). RQ


d(Q, ∆)=

= 7 941

110


On a alors le vecteur

Le produit vectoriel donne :

i j k–3 2 –10–5 –6 7

= (14 – 60) i – (–21 – 50) j kRQ D =

= –46 i + 71 j k+ 28

RQ D

D

≈ 757,14

Le point le plus près dans R3

Méthode vectorielle

Nous savons trouver la distance d’un point Q à une droite, mais comment déterminer le point de la droite qui est le plus proche de Q?

On peut développer diverses stratégies pour trouver les coordonnées de ce point. Nous verrons d’abord comment utiliser les opérations d’addition vectorielle et de produit scalaire pour déterminer le point le plus près, puis nous verrons comment procéder en déterminant l’intersection de lieux géométriques.

Le point R d’une droite ∆ le plus proche d’un point Q hors de celle-ci est le pied de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆.

Exemple 12.3.4 (Méthode vectorielle)

Trouver sur la droite ∆ :x = 8 + 3ty = –1 – 2tz = –2 + t

le point le plus rapproché

du point Q(3; 8; 3).

En déterminant la valeur de a, il nous sera possible de connaître le vecteur position du point R. On connaît déjà le point P(8; –1; –2) sur la droite.

PR + RQ = PQ

Par l’addition vectorielle, on a :S

aD + RQ = PQ

S

On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆.

La direction de PR est alors la même que celle du vecteur directeur de la droite.

D = (3; –2; 1) et PR = aD = a(3; –2; 1).

= (3; 8; 3) – (8; –1; –2) = (–5; 9; 5)PQ

La multiplication scalaire des deux membres de cette équation vectorielle par le vecteur directeur donne :

D • (aD + RQ ) = D • PQ

a ( D • D) + D • RQ = D • PQ Puisque les vecteurs sont orthogonaux, on a D • RQ = 0, et :

Ce qui donne : 14a = (3; –2; 1) • (–5; 9; 5) = –15 – 18 – 5 = –28 et b = – 2.

Sa D 2 D • PQ =

Sachant que b = –2, on peut déterminer le vecteur position du point R, puisque :

OR = OP + PR

Cela donne : OR = (8; –1; –2) – 2(3; –2; 1) = (2; 3; –4)

Le point le plus rapproché est donc R(2; 3; –4).

S

Remarque

Notre démarche a consisté à déterminer que, pour parvenir au point R à partir du point P, il fallait se déplacer dans la même direction et dans le sens contraire du vecteur directeur et parcourir une distance qui est le double de la longueur du vecteur directeur.Dans l’illustration, les vecteurs ont même sens, mais l’illustration est faite avant d’effectuer les calculs pour aider à conceptualiser la procédure.



pour déterminer le point R d’une droite le plus rapproché d’un point Q hors de cette droite par une approche vectorielle

1. Déterminer un point P quelconque de la droite.

2. Écrire l’équation vectorielle du triangle PQR :

3. Déterminer le produit scalaire des deux membres de l’équation par le vecteur directeur.

4. Calculer la valeur du scalaire, a, dans l’équation scalaire obtenue par ce produit.

5. Utiliser ce scalaire pour déterminer le vecteur position du point R cherché.

PR + RQ = PQ

aD + RQ = PQ

Procédure

OP + PR = OR

Exercice

Trouver sur la droite ∆ :

x = 7 – 4ty = –4 + 2tz = –2 + 3t


du point Q(–2; 8; 7).

En déterminant la valeur de a, il nous sera possible de connaître le vecteur position du point R. On connaît déjà le point P(7; –4; –2) sur la droite.

PR + RQ = PQ

Par l’addition vectorielle, on a :

S

aD + RQ = PQ

S

La multiplication scalaire des deux membres de cette équation vectorielle par le vecteur directeur donne :

D • (aD + RQ ) = D • PQ

a ( D • D) + D • RQ = D • PQ Puisque les vecteurs sont orthogonaux, on a D • RQ = 0, et :

a D 2 D • PQ = Ce qui donne : 29a = (–4; 2; 3)• (–9; 12; 9) = 36 + 24 + 27 = 87 et b = 3.

S

Sachant que b = 3, on peut déterminer le vecteur position du point R, puisque :

OR = OP + PR

Cela donne : OR

= (–2; 8; 7)– (7; –4; –2) = (–9; 12; 9)

Le point le plus rapproché est donc R (–5; 2; 7).

On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. La direction de PR est alors la même que celle du vecteur directeur de la droite.

D = (–4; 2; 3) et PR = aD = a(–4; 2; 3) PQ

= (7; –4; –2) + 3(–4; 2; 3) = (–5; 2; 7).


Le point d’une droite le plus près d’un point Q hors de cette droite dont on connaît un vecteur directeur (description paramétrique).

Le point cherché est le pied de la

perpendiculaire abaissée du point Q

sur la droite ∆.

Cette droite est dans un plan ∏

perpendiculaire à ∆ et passant par le

point Q.

On peut donc déterminer une équation cartésienne du plan ∏ et

trouver son intersection avec la droite ∆.

Méthode de l’intersection de lieux

Le vecteur directeur de la droite ∆ est

donc un vecteur normal au plan ∏.

SSS

Exemple 12.3.4 (Intersection de lieux)

Trouver sur la droite ∆ :x = 8 + 3t

y = –1 – 2t

z = –2 + t


du point Q(3; 8; 3).

En substituant les équations paramétriques de la droite dans l’équation du plan ∏, on obtient :

L’équation cartésienne du plan passant par Q et perpendiculaire à ∆ est :

3(8 + 3t) – 2(–1 – 2t) + (–2 + t) + 4 = 0

D’où : 24 + 9t + 2 + 4t – 2 + t + 4 = 0

Cela donne : 14t + 28 = 0 et t = –2

On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. Or, cette droite est dans un plan perpendiculaire à ∆.

(3; –2; 1) • (x – 3; y – 8; z – 3) = 0, d’où :3x – 2y + z + 4 = 0

x = 8 + 3 –2) = 2y = –1 – 2 –2) = 3z = –2 + 1 –2) = –4

Le point le plus rapproché est donc R(2; 3; –4).

En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient :


Intersection de lieux

pour déterminer le point R d’une droite le plus rapproché d’un point Q hors de cette droite par une intersection de lieux

1. Déterminer le vecteur directeur de la droite.

2. Déterminer l’équation cartésienne du plan passant par le point Q et perpendiculaire au vecteur directeur de ∆.

3. Substituer les équations paramétriques de la droite dans l’équation cartésienne du plan et calculer la valeur du paramètre au point d’intersection.

4. Substituer la valeur du scalaire dans les équations paramétriques de la droite pour trouver les coordonnées du point de rencontre.

Procédure

SSS

Exercice (Intersection de lieux)

Trouver sur la droite ∆ :x = 7 – 4t

y = –4 + 2t

z = –2 + 3t


du point Q(–2; 8; 7).

En substituant les équations paramétriques de la droite dans l’équation du plan ∏, on obtient :

L’équation cartésienne du plan passant par Q et perpendiculaire à ∆ est :

–4(7 – 4t) + 2(–4 + 2t) + 3(–2 + 3t) – 45 = 0

D’où : –28 + 16t – 8 + 4t – 6 + 9t – 45 = 0

Cela donne : 29t – 87 = 0 et t = 3

On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. Or, cette droite est dans un plan perpendiculaire à ∆.

(–4; 2; 3) • (x + 2; y – 8; z – 7) = 0, d’où :–4x + 2y + 3z – 45 = 0

x = 7 – 4 = –5y = –4 + 2 = 2z = –2 + 3 = 7

Le point le plus rapproché est donc R(–5; 2; 7).

En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient :

∏

Distances dans R3

Distance entre deux droites gauches(Longueur de la projection).

Deux droites gauches sont toujours contenues dans des plans parallèles.

La distance cherchée est alors la longueur de la projection du vecteur PR sur le vecteur normal N.

On détermine un vecteur normal aux deux plans en effectuant le produit vectoriel des vecteurs directeurs des droites gauches.

On considère un point P de l’une

des droites et un point R de l’autre

droite pour construire le vecteur

PR.

Exemple 12.3.5 (Longueur de la projection) Trouver la distance entre les droites suivantes :

Les vecteurs directeurs sont :

SS

= (–3; 7; –2) et D1

∆1 :

x = 2 – 3t

y = –5 + 7tz = –3 – 2t

= (6; –2; –3). D2

∆2 :

x = 8 + 6sy = 2 – 2sz = –3 – 3s

On a P(2; –5; –3) sur ∆1 et R(8; 2; –3) sur ∆2, d’où : = (6; 7; 0).PRLe produit vectoriel des vecteurs directeurs donne :

+ (6 – 42)

La distance entre les droites est donc d’environ 6,11 unités.

d(∆1, ∆2)=


i j k–3 7 –2

6 –2 –3

= (–21 – 4) i – (9 + 12) j kD1 D2 =

= –25 i – 21 j k–36

PR N •

N

N=

=–297

2 362≈ 6,11=

(6; 7; 0) • (–25; –21; 4)

(–25)2 + (–21)2 + (–36)2

Distance entre deux droites gauchesLongueur de la projection

pour déterminer la distance entre deux droites gauches

1. Déterminer les vecteurs directeurs des droites.

3. Effectuer le produit vectoriel des vecteurs directeurs pour déterminer le vecteur normal aux plans parallèles contenant ces droites.

2. Déterminer un point sur chacune des droites et le vecteur joignant ces deux points.

4. Utiliser le produit scalaire pour calculer la longueur de la projection sur le vecteur normal du vecteur joignant les deux points des droites gauches. Cette longueur est la distance cherchée.

Procédure

Exercice (Longueur de la projection) Trouver la distance entre les droites suivantes :


SS

= (4; –2; 5) et D1

∆1 : x = 5 + 4t

y = 4 – 2tz = –2 + 5t

= (–5; 6; –2). D2

∆2 : x = 11 – 5sy = 9 + 6sz = 5 – 2s

On a P(5; 4; –2) sur ∆1 et R(11; 9; 5) sur ∆2, d’où : = (6; 5; 7).PRLe produit vectoriel des vecteurs directeurs donne :

+ (24 – 10)


d(∆1, ∆2)=


i j k4 –2 5

–5 6 –2

= (4 – 30) i – (–8 + 25) j k D1 D2 =

= –26 i – 17 j k+ 14

PR N •

N

N=

1 161=

–143≈ 4,20

(6; 5; 7) • (–26; –17; 14)=

(–26)2 + (–17)2 + 142

Distances dans R3

Distance entre deux droites gauches(Méthode du produit mixte).

La distance cherchée est la hauteur du parallélépipède que l’on obtient en divisant le volume par le module du produit vectoriel des vecteurs directeurs, puisque celui-ci donne l’aire de la base du parallélépipède.

Par le produit mixte, on détermine le volume du parallé-lépipède construit sur les vec-teurs D1, D2 et PR.

On considère un point P de l’une des droites et un point R de l’autre droite pour construire le vecteur PR.

Exemple 12.3.5 (Produit mixte) Trouver la distance entre les droites suivantes :


SS

= (–3; 7; –2) et D1

∆1 :

x = 2 – 3t

y = –5 + 7tz = –3 – 2t

= (6; –2; –3). D2

∆2 :

x = 8 + 6sy = 2 – 2sz = –3 – 3s

On a P(2; –5; –3) sur ∆1 et R(8; 2; –3) sur ∆2, d’où : = (6; 7; 0).PRLe produit mixte des vecteurs donne :


d(∆1, ∆2)=


67 –2

6 –2 –3

= 6(–21 – 4) – 7(9 + 12) + 0(6 – 42)

= 6(–25) – 7(21) + 0(–36) = –297

2 362=

–297≈ 6,11

–37 0

D1 D2 ) = PR • (

D1 D2 )PR • (

D1 D2

De plus, D1 D2 = –25 i – 21 j k– 36 D1 D2 et 2 362=

Distance entre deux droites gauchesProduit mixte

pour déterminer la distance entre deux droites gauches

1. Déterminer les vecteurs directeurs des droites.

3. Effectuer le produit mixte des trois vecteurs directeurs et prendre la valeur absolue du produit pour obtenir le volume du parallélépipède.

2. Déterminer un point sur chacune des droites et le vecteur joignant ces deux points.

4. Effectuer le produit vectoriel des vecteurs directeurs et prendre le module de celui-ci pour déterminer l’aire de la surface de la base.

Procédure

5. Diviser le volume du parallélépipède par l’aire de sa base pour en obtenir la hauteur qui est la distance cherchée.

Exercice (Produit mixte) Trouver la distance entre les droites suivantes :

SSLe produit mixte des vecteurs donne :

d(∆1, ∆2)=


6–2 5

–5 6 –2

= 6(4 – 30) – 5(–8 + 25) + 7(24 – 10)

= 6(–26) – 5(17) + 7(14) = –1434

5 7

D1 D2 ) = PR • (

D1 D2 )PR • (

D1 D2

Les vecteurs directeurs sont : = (4; –2; 5) et D1

∆1 : x = 5 + 4t

y = 4 – 2tz = –2 + 5t

= (–5; 6; –2). D2

∆2 : x = 11 – 5sy = 9 + 6sz = 5 – 2s

On a P(5; 4; –2) sur ∆1 et R(11; 9; 5) sur ∆2, d’où : = (6; 5; 7).PR

1 161=

–143≈ 4,20


De plus, D1 D2 = –26 i – 17 j k+ 14 D1 D2 et 1 161=

Les points les plus rapprochésde deux droites gauches

Lorsqu’on a deux droites gauches , il y a toujours des plans parallèles contenant les droites.


En notant A et B, les points les plus rapprochés, on a alors :

De plus, on peut déterminer un point P sur l’une des droites et un point R sur l’autre droite et former le vecteur PR.

comme une combinaison linéaire des vecteurs directeurs des droites et du vecteur normal aux plans. On peut alors exprimer PR

Le produit scalaire avec les vecteurs directeurs donne deux équations dont les inconnues sont les scalaires de la combinaison linéaire.

PR = PA + AB + BR


Exemple 12.3.6 (méthode vectorielle)Trouver les points les plus proches sur les droites gauches suivantes :

SS

= (–2; 4; –1) et D1

∆1 : x = 7 – 2ty = –6 + 4tz = 6 – t

= (1; –3; 2). D2

∆2 :

x = 1 + sy = –10 – 3sz = 8 + 2s

= (1; –10; 8) – (7; –6; 6) = (–6; –4; 2).PR

Notons A, le point cherché sur la droite ∆1, et B, le point cherché sur la droite ∆2. On peut alors exprimer de la façon suivante : PR

PA AB BR PR+ + =Puisque P et A sont sur la droite ∆1, on a = aPA D1.

Puisque B et R sont sur la droite ∆2, on a = cBR D2.

est perpendiculaire aux deux droites, puisque A et B sont les points les plus proches sur les droites. On a donc De plus, AB

AB = b N.

Cela donne :

a D1 PR+ b + c = N D2

S

donne : D1La multiplication scalaire par

donne : D2La multiplication scalaire par

a + c PR D2 D1 D1 = D1 D1• • •

a(–2; 4; –1)•(–2; 4; –1) + c(–2; 4; –1)•(1; –3; 2) = (–2; 4; –1)•(–6; –4; 2)

a • D2 PR+ c = D2 D1 • D2 D2•

a (1; –3; 2)•(–2; 4; –1) + c (1; –3; 2)•(1; –3; 2) = (1; –3; 2)•(–6; –4; 2)

S

On doit résoudre le système d’équations :

Par la méthode de Cramer, on a :

21 –16–16 14

= 21 14 – (–16)(–16) = 38

a =

–6 –1610 14

38c =

21 –6–16 10

38= 2 et

= 76

38

= 3 = 114

38

S

21a – 16c = –6–16a + 14c = 10

On a alors :OA = OP + PA = OP + a D1

= (7; –6; 6) + 2(–2; 4; –1) = (3; 2; 4)

OB = OR+ RB = OR – BR

= (1; –10; 8) – 3(1; –3; 2) = (–2; –1; 2)

= OR – c D2

Les points les plus rapprochés sont donc A(3; 2; 4) sur ∆1 et B (–2; –1; 2) sur ∆2.

Les points les plus rapprochés Méthode vectorielle

pour déterminer les points les plus proches sur deux droites gauches

3. Effectuer la multiplication scalaire des deux membres de l’équation par les vecteurs directeurs pour obtenir un système de deux équations à deux inconnues.

4. Résoudre le système d’équations pour trouver les scalaires a et c.

Procédure

5. Utiliser les scalaires obtenus pour déterminer le vecteur position des point A et B.

, où P est le point connu de ∆1 et R celui de ∆2.

1. Noter A, le point sur ∆1 et B, le point sur ∆2 et déterminer le vecteur PR

2. Exprimer PR comme combinaison linéaire des vecteurs directeurs et du vecteur normal.

a D1 PR+ b + c = N D2


Exercice (méthode vectorielle)Trouver les points les plus proches sur les droites gauches suivantes :

SS

= (3; 7; 4) et D1

∆1 : x = –4 + 3ty = –10 + 7tz = –11 + 4t

= (1; –1; –1). D2

∆2 :

x = 1 + sy = 1 – sz = 11 – s

= (1; 1; 11) – (–4; –10; –11) = (5; 11; 22).PR

Notons A, le point cherché sur la droite ∆1, et B, le point cherché sur la droite ∆2. On peut alors exprimer de la façon suivante : PR

PA AB BR PR+ + =Puisque P et A sont sur la droite ∆1, on a

Puisque B et R sont sur la droite ∆2, on a

= aPA D1.

= cBR D2.De plus, est perpendiculaire aux deux droites, puisque A et B sont les points les plus proches sur les droites. On a donc

AB

AB = b N.

Cela donne :

a D1 PR+ b + c = N D2

Sdonne : D2La multiplication scalaire par

a D1 PR+ c = D1 D1• • D2 D1•

a(3; 7; 4)• (3; 7; 4) + c (3; 7; 4)•(1; –1; –1) = (3; 7; 4)•(5; 11; 22)

a D2 PR+ c = D2 D1• • D2 D2•

a(1; –1; –1)•(3; 7; 4) + c(1; –1; –1)•(1; –1; –1) = (1; –1; –1)•(5; 11; 22)

S

donne : D1La multiplication scalaire parOn doit résoudre le système d’équations :

Par la méthode de Cramer, on a :

74 –8–8 3

= 74 3 – (–8)(–8) = 158

a =

180 –8–28 3

158c =

74 180–8 –28

158= 2 et

= 316

158= –4 =

–632

158

S

74a – 8c = 180–8a + 3c = –28

On a alors :OA = OP + PA = OP + a D1 = (–4; –10; –11) + 2(3; 7; 4) = (2; 4; –3)

OB = OR + RB = OR – BR

= (1; 1; 11) + 4(1; –1; –1) = (5; –3; 7)

= OR – c D2

Les points les plus rapprochés sont donc A(2; 4; –3) sur ∆1 et B (5; –3; 7) sur ∆2.

Les points les plus rapprochésde deux droites gauches

Lorsqu’on a deux droites gauches, il y a toujours des plans parallèles contenant les droites.

Méthode du vecteur normal

En notant A et B, les points les plus rapprochés, on a alors :

Les coordonnées des points A et B doivent satisfaire aux équations para-métriques de leur droite respective.

On peut donc établir un système de contraintes dont les variables sont les paramètres des équations des droites et le scalaire k. En résolvant ce système, on connaîtra la valeur des paramètres aux points les plus rapprochés.

AB = k N


Exemple 12.3.6 (vecteur normal)Trouver les points les plus proches sur les droites gauches suivantes :

SS

= (–2; 4; –1) et D1

∆1 : x = 7 – 2ty = –6 + 4tz = 6 – t

= (1; –3; 2) D2

∆2 :

x = 1 + sy = –10 – 3sz = 8 + 2s

N

+ (6 – 4)i j k

–2 4 –11 –3 2

= (8 – 3) i – (–4 + 1) j kD1 D2 =

= 5 i + 3 j k+ 2

N =

Trouvons le vecteur normal :

= (5; 3; 2)

S

Notons A(a; b; c), le point cherché sur la droite ∆1, et B(d; e; f), le point cherché sur la droite ∆2. Il existe donc des valeurs de t et s telles que :

a = 7 – 2tb = –6 + 4tc = 6 – t

d = 1 + se = –10 – 3sf = 8 + 2s

AB = (d – a; e – b: f – c) = (s + 2t – 6; –3s – 4t – 4; 2s + t + 2)D’où :

ABPuisque : = k N, on a :

(s + 2t – 6; –3s – 4t – 4; 2s + t + 2) = k(5; 3; 2) = (5k; 3k; 2k)

D’où l’on tire le système d’équations : s + 2t – 5k = 6

–3s – 4t – 3k = 4

2s + t – 2k = –2

En résolvant, on a :

L1

≈L2 + 3L1

L3 – 2L1

1 2 –5

0 –18

6

220 –3 8 –14

2

L1 – L2

≈ L2

2L3 + 3L2

1 0 13

0 –18

–16

220 0 –38 38

2

L1

≈ L2 /2

L3 /(–38)

1 0 13

0 –9

–16

11

0 0 –11

L1 – 13L3

≈ L2 + 9L3

L3

1

1 0 0

0 0

–3

2

0 0 –11

1 S

On a donc s = –3 et t = 2, d’où :

A : B :

2 –5

–3 –4 –3

6

42 –2 –2

1

1

Les points les plus rapprochés sont donc A(3; 2; 4) sur ∆1 et B (–2; –1; 2) sur ∆2.

x = 7 – 2 2 = 3

y = –6 + 4 2 = 2z = 6 – 2 = 4

x = 1 – 3 = –2y = –10 – 3 (–3) = 1z = 8 + 2 (–3) = 2

, en utilisant les des-criptions paramétriques des droites.

Les points les plus rapprochés Méthode du vecteur normal

pour déterminer les points les plus proches sur deux droites gauches

1. Noter A, le point sur ∆1 et B, le point sur ∆2 et déterminer le vecteur

3. Construire un système d’équations en utilisant le fait que

2. Déterminer le vecteur normal aux plans parallèles contenant ces droites.

4. Résoudre le système d’équations.

Procédure

5. Utiliser les valeurs obtenus pour déterminer les coordonnées des point A et B.

AB

AB = k N


Exercice (vecteur normal)Trouver les points les plus proches sur les droites gauches suivantes :

SS

= (3; 7; 4) et D1

∆1 : x = –4 + 3ty = –10 + 7tz = –11 + 4t

= (1; –1; –1) D2

∆2 :

x = 1 + sy = 1 – sz = 11 – s

N

+ (–3 – 7)i j k3 7 41 –1 –1

= (–7 + 4) i – (–3 – 4) j kD1 D2 =

= –3 i + 7 j k– 10

N =

Trouvons le vecteur normal :

= (–3; 7; –10)

S

Notons A(a; b; c), le point cherché sur la droite ∆1, et B(d; e; f), le point cherché sur la droite ∆2. Il existe donc des valeurs de t et s telles que :

a = –4 + 3tb = –10 + 7tc = –11 + 4t

d = 1 + se = 1 – sf = 11 – s

AB = (d – a; e – b: f – c) = (s – 3t + 5; –s – 7t + 11; –s – 4t + 22)D’où :

ABPuisque : = k N, on a :

(s – 3t + 5; –s – 7t + 11; –s – 4t + 22) = k (–3; 7; –10) = (–3k; 7k; –10k)

D’où l’on tire le système d’équations :

s – 3t + 3k = –5

–s – 7t – 7k = –11

–s – 4t + 10k = –22

En résolvant, on trouve :

L1

≈L2 + L1

L3 + L1

1 –3 3

0 –4

–5

–160 –7 13 –27

–10

10L1 – 3L2

≈ L2

10L3 – 7L2

10 0 42

0 –4

–2

–160 0 158 –158

–10

L1

≈ L2

L3 /(–158)

10 0 42

0 –4

–2

–160 0 –1

–10

L1 – 42L3

≈ L2 + 4L3

L3

1

10 0 0

0 0

40

–20

0 0 –1–10

1S

On a donc s = 4 et t = 2, d’où :

A : B :

–3 3

–1 –7 –7

–5

–11–1 10 –22

1

–4

Les points les plus rapprochés sont donc A(2; 4; –3) sur ∆1 et B (–2; –1; 2) sur ∆2.

x = –4 + 3 2 = 2

y = –10 + 7 2 = 4z = –11 + 4 2 = –3

x = 1 + 4 = 5

y = 1 – 4 = –3

z = 11 – 4 = 7

ConclusionLes procédures pour étudier la droite dans l’espace sont analogues à

celles utilisées pour l’étude de la droite dans le plan et du plan dans

l’espace.

On peut, en utilisant les produits de vecteurs et leur interprétation

géométrique :

• calculer des angles et des distances,

• déterminer les positions relatives de deux lieux géométriques

(droites ou plans),

• déterminer le point d’un lieu géométrique, droite ou plan, le plus

près d’un point hors de ce lieu,

• déterminer les points de deux lieux les plus rapprochés l’un de

l’autre.

LectureAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Section 12.3, p.345-353.

Exercices

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature. Section 12.4, p. 357-358, no. 1 à 8.

Documents

Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon La droite dans R 3 Intersections, angles et distances La droite dans