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André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

ModélisationexponentielleModélisationexponentielle

Introduction

Les phénomènes de croissance et de décroissance (culture cellulaire, phénomène d’absorbance, ...) dans les domaines aussi bien scientifiques que techniques sont presque toujours décrits et analysés à l’aide de modèles exponentiels. Croissance d’une population, augmentation de la pollution, accroissement de la demande énergétique, croissance de capital, augmentations salariales, dépréciation de la machinerie et des automobiles sont des phénomènes décrits et étudiés à l’aide de ces modèles.

On reconnaît un modèle exponentiel au fait que la variable indépendante est à l’exposant. Cette présentation porte sur la modélisation de situations par des modèles exponentiels, ce qui nous permettra de reconnaître les caractéristiques de situations nécessitant l’utilisation de ce type de modèles.

Nous procéderons à partir de mises en situation.

Croissance d’un capitalUn capital de 10 000 $, que nous représentons par C0 est placé à un taux d’intérêt de 6 % capitalisé annuellement.

On peut calculer quelques valeurs pour représenter graphiquement le lien entre les variables.

C(1) = C0 (1 + 0,06) = 1,06C0

C(2) = C(1) (1 + 0,06) = (1,06)2C0

C(3) = C(2) (1 + 0,06) = (1,06)3C0 …………………………………

C(n) = (1,06)nC0

0

4

8

12

16

20

24

C0

1,26C0

1,59C0

2,01C0

2,54C0

3,21C0

4,05C0

n C

Notons C(1), le capital accumulé dans un an. Ce capital est constitué du placement C0 auquel s’ajoute 6 % du capital, soit :

Après deux ans, le capital sera :

Au bout de n années, on a :

n8 16 24

C4C0

3C0

2C0

C0

Décroissance exponentielle

Dans les spécifications d’un appareil, on précise que, lorsqu’on coupe l’alimentation du moteur, la roue d’inertie perd 15 % de sa vitesse à chaque minute.

On peut calculer quelques valeurs pour représenter graphiquement le lien entre les variables.

V(1) = V0 (1 – 0,15) = 0,85V0

V(2) = V(1) (1 – 0,15) = (0,85)2V0

V(3) = V(2) (1 – 0,15) = (1,06)3V0 …………………………………

V(n) = (1,06)nV0

0

2

4

6

8

10

12

V0

0,73V0

0,52V0

0,38V0

0,27V0

0,20V0

0,14V0

n V

Notons V(1), la vitesse une minute après la coupure de l’alimentation et exprimons-la en fonction de la vitesse initiale V0. On a alors :

Après deux minutes :

Au bout de n minutes, on a :

n4 8 12

V

V0

0,6V0

0,4V0

0,2V0

0,8V0

Fonction exponentielleDÉFINITION

Fonction exponentielle

Soit b, un nombre réel tel que b > 0 et b ≠ 1. On appelle fonction exponentielle toute fonction définie par une expression de la forme :

y = abx

où b est la base de la fonction exponentielle.

Une fonction exponentielle est donc une fonction dont la variable indépendante est à l’exposant. Le domaine d’une fonction exponentielle est l’ensemble des nombres réels et son codomaine est l’intervalle ]0; ∞[.

b > 1 0 < b < 1

Fonction décroissante, concave vers le haut.

Fonction croissante, concave vers le haut. x

y

x

y

Exemple 4.1.2On place 20 000 insectes dans un espace clos ne contenant aucune substance nutritive. On observe que les insectes meurent au taux de 1,8% par jour.

Déterminer un modèle mathématique décrivant le nombre d’insectes après n jours.

S

Posons n, le nombre de jours écoulés depuis le début de l’expérience et V, le nombre d’insectes vivants.

V(n) = V0 (1 – r)n

S

Le phénomène est caractérisé par une décroissance exprimée en pourcentage par unité de temps, soit 1,8% par jour. On a donc un modèle de la forme :

où le nombre initial d’insectes est V0 = 20 000 et r = 0,018. Le modèle est donc :

0

12

24

36

48

60

72

V0

0,80V0

0,65V0

0,52V0

0,42V0

0,34V0

0,27V0

n V

V(n) = 20 000 (0,982)n

V(n) = 20 000 (0,982)n Combien restera-t-il d’insectes vivants 24 jours après le début de l’expérience?

On doit déterminer l’image par la fonction. Cela donne :

S

V(24) = 20 000 (0,982)24 = 12 933,19

Après 24 jours, il devrait y avoir environ 12 900 insectes vivants.

S

Esquisser le graphique de la fonction décrivant le nombre d’insectes vivants durant les 72 jours de l’expérience.

Même si l’allure générale de la courbe est connue, il faut calculer quelques correspondances.

VV0

0,6V0

0,4V0

0,2V0

0,8V0

n24 48 72

Caractéristique du modèle exponentiel

Les modèles obtenus dans les situations présentées en introduction sont de la forme y = abx.

Dans la première situation, le capital croît de 6% par année. La base de l’exponentielle est alors :

Dans la deuxième situation, la vitesse décroît de 15% par minute. Dans ce cas, la base de la fonction exponentielle est :

b = 1 + r = 1 + 0,06 = 1,06et a = 10 000$, c’est le capital initial.

b = 1 – r = 1 – 0,15 = 0,85et la vitesse initiale est a = 250 t/min.

Ces situations sont caractérisées par le fait que :

la variation de la variable dépendante peut s’exprimer en pourcentage (sans unité) par unité de la variable indépendante.

C’est ainsi que l’on reconnaît une situation descriptible par un modèle exponentiel.

Critère algébrique du modèle exponentiel

Dans les situations présentées en introduction, notre démarche de modélisation a permis d’établir les relations suivantes :

C(1) = 1,06 C(0)C(2) = 1,06 C(1)C(3) = 1,06 C(2)

. . .C(n + 1) = 1,06 C(n)

On constate qu’on peut décrire cette caractéristique des modèles exponentiels par l’expression :

V(1) = 0,85 V(0)V(2) = 0,85 V(1)V(3) = 0,85 V(2)

. . .V(n + 1) = 0,85 V(n)

Modélisation du capital Modélisation de la vitesse

f(x + 1) = (1 + r )f(x)

Si r > 0, le modèle décrit un phénomène de croissance et si r < 0, le modèle décrit un phénomène de décroissance.De façon plus générale, lorsque le pas est p, la relation est exponentielle lorsque :

f(x + p) = (1 + r)f(x) S

L’existence d’un lien exponentiel pour des données à pas constant est confirmée si le rapport :

f(x + p) f(x)

= bp est constant

Exemple 4.1.3Un matériau a été soumis à des tests pour déterminer sa capacité d’absorption des rayons X. On a utilisé des plaques de différentes épaisseurs que l’on a soumises au bombardement d’un faisceau de rayons X dont l’intensité est de 2,400 unités et on a mesuré l’intensité du faisceau de l’autre côté de la plaque. Les résultats de ces mesures ont été compilés dans le tableau ci-contre. Déterminer un modèle mathématique décrivant ce phénomène.

SSS

012345678

2,4001,8721,4601,1400,8880,6930,5400,4220,329

x I

–0,7800,7790,7810,7790,7800,7790,8000,775

La représentation graphique donne une courbe décroissante et concave vers le haut. La correspondance est définie lorsque la variable indépendante est nulle et la valeur correspondante est non nulle. On peut faire l’hypothèse d’un lien exponentiel entre les variables.

I(x+p)I(x)

Vérifions cette hypothèseOn constate que les rapports sont relativement constants et la valeur moyenne de ces rapports est 0,7815. En utilisant cette valeur comme base de l’exponentielle et la valeur initiale est 2,400, le modèle est donc :

I(x) = 2,400 (0,7815)x

I(x) = 2,400 (0,7815)x

I2,4

2,0

1,6

1,2

0,8

0,4

x2 4 6 8

À l’aide du modèle, trouver l’intensité du faisceau qui a traversé une plaque de 2,6 cm de ce matériau.

S

On doit déterminer l’image de 2,6 par le modèle.

I(2,6) = 2,400 0,78152,6 = 1,26423...

En tenant compte de la précision des données, on acceptera que l’intensité du faisceau ayant traversé une plaque de 2,6 cm d’épaisseur est de 1,264 unités.

Exemple 4.1.4Sachant qu’une population croît de façon exponentielle, trouver le modèle décrivant la population d’une petite ville à l’aide des relevés du tableau ci-contre où la population P est en milliers d’habitants.

SSS

19601965197019761980

15,016,017,518,820,3

n P

–1,071,091,071,08

Les relevés ayant été faits aux cinq ans, on considérera comme variable indépendante le nombre n de périodes de cinq années écoulées depuis 1960. La variable dépendante est la population P en milliers d’habitants.

P(n+p)P(n)

S

05

101520

La valeur moyenne des rapports est 1,0775. En utilisant cette valeur comme base du modèle exponentiel, la description algébrique est :

P(n) = P0 (1,0775)n = 15,0 (1,0775)n

Calculons les rapports.

P(n) = P0 (1,0775)n = 15,0 (1,0775)n

À l’aide du modèle, estimer la population en l’an 2030.

En l’an 2030, il y aura 14 périodes de cinq ans d’écoulées depuis 1960. On cherche donc la valeur de P pour n = 14. Cela donne :

P(8) = 15,0 (1,0775)14 = 42,651...

On peut donc estimer la population de l’an 2030 à environ 43 000 habitants.

P(t) = 15,0 (1 + 0,0775)t/5 = 15,0 (1,01504)t

On peut exprimer le modèle exponentiel de telle sorte que la variable indépendante soit le nombre d’années. Pour ce faire, on doit déterminer une base a telle que :

REMARQUE

a5 = 1,0775

En résolvant cette équation, on trouve :

a = (1,0775)1/5 = 1,01504

Le modèle est alors :

où t est le temps en années.

Dans ce problème, on n’a pas à faire d’hypothèse sur le lien entre les variables car on indique dans la question que ce lien est exponentiel.

Exemple 4.1.5Calcul de la valeur initiale

Certaines bactéries triplent tous les cinq jours. Avec combien de bactéries devrait-on ensemencer une culture si on désire compter 12 106 bactéries dans 20 jours?

S

La variable indépendante est t, le nombre de jours écoulés depuis le début de l’expérience et la variable dépendante est N, le nombre de bactéries.

Le phénomène est caractérisé par une croissance exprimée par un taux dont le numérateur n’a pas d’unités. On peut décrire le lien entre les variables par un modèle de la forme :

N(t) = N0 bt On sait que b = 31/5, donc que N(t) = N0(31/5)t.

On peut également écrire cette relation sous la forme :

N(t) = N0 3t/5

où t est le temps exprimé en jours.

N(t) = N0 3t/5

On doit calculer N0 pour que N = N0 3t/5 = 12 106 lorsque t = 20.

On doit calculer N0 pour que N = N0 3t/5 = 12 106 lorsque t = 20. En posant t = 20 dans le modèle, on a :

N0 320/5 = 12 106, d’où N0 34 = 12 106

En isolant N0 dans cette équation, on obtient :

N0 = 12 106

34 = 148148

Il faudrait ensemencer environ 1,5105 bactéries pour en obtenir 12 millions en 20 jours.

C(n) = 4 500(1 + i)8

Exemple 4.1.6Calcul du taux

À quel taux capitalisé annuellement faut-il placer un montant de 4 500  $ pour accumuler un montant de 9 000 $ en 8 ans?

S

La variable indépendante est i, le taux d’intérêt et la variable dépendante est C, le capital accumulé.

Le phénomène est caractérisé par une croissance exprimée par un pourcentage par unité de temps. On peut donc décrire le lien entre les variables par un modèle de la forme :

C(i) = C0(1 + i)8 Puisque C0 = 4 500, on a :

où n est le temps exprimé en année.

C(n) = 4 500(1 + i)8

On cherche le taux i pour lequel C = 9 000. On cherche donc i tel que :

4 500(1 + i)8 = 9 000

En extrayant la racine huitième, 1 + i = ± 1,0905

Puisque i est un taux d’intérêt, la valeur négative est à rejeter et on a 1 + i = 1,0905, d’où i = 0,0905.

D’où : (1 + i)8 = 2

Pour doubler le capital en 8 ans, il faut le placer à un taux de 9,05 % capitalisé annuellement.

S

Équation d’ArrheniusOn connaît souvent la forme générale du modèle décrivant la relation entre deux variables. Pour adapter cette forme générale à un cas particulier, il faut utiliser les données du problème et déterminer la valeur de certains paramètres. On peut alors utiliser le modèle pour traduire la question, effectuer les calculs et répondre à la question posée.

où k est la constante de vitesse (L/mol·s), A, est une constante, Ea,

l’énergie d’activation (J/mol), R, la constante molaire des gaz (R = 8,315 J/K·mol) et T, la température en degré kelvins (K).

L’équation d’Arrhenius décrit la relation entre la constante de vitesse k d’une réaction chimique et la température. Cette équation s’écrit :

k = Ae–Ea/RT

Exemple 4.1.7L’énergie d’activation de la réaction

S

Déterminer l’équation d’Arrhenius pour cette réaction chimique.

On doit déterminer la valeur de A dans l’équation d’Arrhenius, sachant que :k = 1,0 10–10 L/mol·s, Ea = 111 kJ/mol et T = 300 K.

S

2NO2(g) 2NO2 (g) + O2(g)

est de 111 kJ/mol. À une température de 300 K, sa constante de vitesse est de 1,0 10–10 L/mol·s

En isolant A dans la forme générale de l’équation d’Arrhenius, on a :

A =k

e–Ea/RT, d’où A =

1,0 10–10

e–111000/8, = 2 114 415 897 = 2,1 109

La relation entre la constante de vitesse de cette réaction et la température en kelvin est :

k = 2,1 109 e–111000/8,T

k = 2,1 109 e–111000/8,T

On cherche la constante de vitesse k à une température T = 273 K.

En substituant la valeur de T, on trouve :

k = 2,1 109 e–111000/8,273 10–12

À 273 K, la constante de vitesse est de 1,2 10–12 L/mol·s.

Quelle est la constante de vitesse à 273 K?

Conclusion

Lorsque l’on sait que le lien entre les variables est exponentiel, on peut substituer des données pour déterminer la valeur des paramètres dans un cas particulier.

Lorsque la variation de la variable dépendante peut s’exprimer en pourcentage (sans unité) par unité de la variable indépendante, on peut établir un modèle exponentiel pour décrire le lien entre les variables

L’existence d’un lien exponentiel pour des données à pas constant est confirmée si le rapport :

Lorsqu’on veut modéliser des données expérimentales à pas constant :

f(x + p) f(x)

= bp est constant

Exercices

Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 4.2, p. 101 et 102.

Lecture

Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 4.1, p. 91 à 100.