Monografia Camila Teoria Dos Jogos

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁCENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃOCURSO DE BACHARELADO EM CIÊNCIAS DACOMPUTAÇÃO

CAMILA CAMPOS COLARES DAS DORES

TEORIA DOS JOGOS EM PROBLEMAS DE DECISÕES CORPORATIVAS : ESTUDO DE CASO DO TRIBUNAL DE JUSTIÇA DO ESTADO DO CEARÁ

FORTALEZA - CEARÁ2010


TEORIA DOS JOGOS EM PROBLEMAS DE DECISÕES CORPORATIVAS : ESTUDO DE CASO DO TRIBUNAL DE JUSTIÇA DO ESTADO DO CEARÁ

Monografia apresentada na defesa do projeto final para obtenção do título de Bacharelado em Ciência da Computação.

Orientador: Prof. A. Clecio F. Thomaz, DSc.

FORTALEZA, CEARÁ2010


TEORIA DOS JOGOS EM PROBLEMAS DE DECISÕES CORPORATIVAS: ESTUDO DE CASO DO TRIBUNAL DE JUSTIÇA DO ESTADO DO CEARÁ

Monografia apresentada na cadeira de Projeto Final como exigência para a obtenção do diploma do curso de Bacharelado em Ciências da Computação.

Aprovada em _____ de ______ de 2010

BANCA EXAMINADORA

________________________________________________Prof. Dr. A. Clécio F. Thomaz (Orientador)

Universidade Estadual do Ceará

_________________________________________________Prof. Dr. Gerardo Valdísio R. Viana


_________________________________________________Prof. Dr. Renato Craveiro


Ao meu orientador, Prof. Dr. A. Clécio F. Thomaz, que após esses anos de convívio, passou a representar para mim bem mais que a figura de um professor. Tornou-se meu Orientador, meu Mestre e, em diversas situações, meu pai, sem medir esforços ou conseqüências para auxiliar-me nesta dura, longa e árdua caminhada que tem sido a minha graduação. Sem sua ajuda, carinho, incentivo, empenho e dedicação, dificilmente teria concluído este capítulo de minha vida.

DEDICO

AGRADECIMENTOS

A Deus por me ter permitido viver o suficiente para ver esse sonho tornar-se realidade.A meu esposo e minha filha por compreenderem minha ausência do convívio familiar durante todo o período em que desenvolvi este trabalho.Ao meu orientador, Prof. Dr. A. Clécio F. Thomaz, pela paciência, dedicação e disponibilidade.

RESUMO

Analisa um estudo de caso do Tribunal de Justiça do Estado do Ceará tendo como suporte a Teoria dos Jogos. Propõe um modelo matemático baseado na Teoria Minimax que otimiza a distribuição de documentos e as diligências entre os Juizados Especiais Cíveis e Criminais (JECC) da Comarca de Fortaleza. Analisa a distribuição geográfica das 22 unidades de JECC.

Palavras – chave: Teoria dos Jogos; otimização.

ABSTRACT

Examines a case study of the Court of the State of Ceara with the support of Game Theory.Proposes a mathematical model based on Theory Minimax that optimizes the distribution of documents and the steps between the Special Civil and Criminal Courts (JECC) of the District of Fortaleza. Examines the geographic distribution of 22 units JECC.

Key - words: game theory, optimization.

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Matriz de Resultados para o Jogador I..............................................................5Tabela 2- Matriz de Resultados para o Jogador II..............................................................5Tabela 3 – Matriz de pagamentos.........................................................................................5Tabela 4 - Exemplo de estratégia dominada.......................................................................5Tabela 5 - Matriz de Resultados eliminando-se a Estratégia Dominada........................5Tabela 6 - Matriz de Resultados............................................................................................5Tabela 7 - Nível de Segurança para o Jogador I................................................................5Tabela 8 - Nível de Segurança para ambos os jogadores................................................5Tabela 9 - Exemplo de um jogo sem ponto de equilíbrio..................................................5Tabela 10 - Matriz de resultados para o Dilema do Prisioneiro........................................5Tabela 11 - Matriz de Resultados para o Problema das Chuvas.....................................5Tabela 12 - Resultados obtidos através do LINDO............................................................5

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

PPL – Problema de Programação LinearDMU - Decision Make Unit GE- General Electric IBM - International Business Machines TJCE – Tribunal de Justiça do Estado do CearáJECC – Juizados Especiais Cíveis e CriminaisJVDFCM – Juizado da Violência Doméstica e Familiar contra a MulherLINDO - Linear, Interactive and Discrete Optmizer

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO

A programação matemática, um dos ramos da pesquisa operacional,

consiste em estabelecer a teoria, algoritmos e métodos de resolução de problemas

de pontos extremos de funções analíticas sobre conjuntos definidos por restrições

(desigualdades, igualdades) lineares e/ou não lineares.

Os problemas tratados no contexto da programação matemática podem

ser aplicados dentro dos mais diversos domínios do conhecimento humano onde se

desejam encontrar cenários de decisões sobre determinadas regras impostas à um

conjunto de variáveis, onde podemos citar como exemplos, problemas de

transportes, problemas ligados à engenharia de produção industrial, prospecção de

petróleo, engenharia aeroespacial, análise financeira, alocação dinâmica de equipes

em serviços, etc.

A Teoria dos Jogos se constitui num complexo problema de programação

matemática intitulado Minimax onde sua solução está ligada à solução de um

problema de programação linear.

Neste trabalho, descreveremos os métodos e procedimentos de

programação matemática que permitem transformar um problema de Jogos num

problema de programação linear e solucioná-lo através do algoritmo Simplex.

Exploramos ainda a análise de sensibilidade com relação à matriz de estado inicial

das estratégias do Jogo.

1.1 Motivação

Nas décadas de 1920 e 1930 diversos esforços foram feitos no sentido de

resolver problemas de conflito. O trabalho pioneiro de Von Neumann e Morgenstern

(VON NEUMANN, J.; MORGENSTERN, O., 1944) foi decisivo no sentido de divulgar

e popularizar a chamada Teoria dos Jogos. A investigação à época dedicava-se

muito fortemente ao estudo de jogos puramente competitivos.

A partir do desenvolvimento de Programação Linear e do Algoritmo

Simplex na década de 1950, vários paralelos entre as duas teorias foram

desenvolvidos. O trabalho de John F. Nash, Jr (NASH Jr, J. F., 1949) foi essencial

para a divulgação dos jogos cooperativos e o seu breve faiscar rendeu estudos nas

décadas seguintes culminando com seu prêmio Nobel.

1.2 Objetivo

Espera-se solucionar Problemas de Jogos Corporativos presentes no

Tribunal de Justiça do Estado do Ceará a fim de que este órgão possa funcionar de

modo mais eficaz e eficiente.

1.2.1 Objetivos gerais

Estudar modelos de Teoria dos Jogos para aplicação em Problemas de

Apoio à Decisão.

1.2.2 Objetivos específicos

Pretende-se aplicar esta metodologia em um Problema de Jogos

Corporativos do Tribunal de Justiça do Estado do Ceará. Os fatores para o processo

decisório serão identificados junto à Secretaria de Planejamento do Tribunal de

Justiça do Estado do Ceará.

1.3 Estrutura do Trabalho

No Capitulo 2 tem-se uma introdução a fundamentação teórica

pesquisada, iniciando com um estudo sobre a Teoria dos Jogos. Após isso é feita

uma introdução sobre tipos de jogos, estratégias e o Equilíbrio de Nash. O Capitulo

3 apresenta a metodologia utilizada para modelar jogos via programação linear. No

Capítulo 4 é analisado o estudo de caso do Tribunal de Justiça do Estado do Ceará.

Finalmente, no Capítulo 5, há uma conclusão dos resultados obtidos bem como

listam-se as limitações e extensão do trabalho.

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Teoria dos Jogos é uma ferramenta matemática modelada para melhor

entendimento e interpretação das formas de como os agentes que tomam decisões

interagem entre si. (LINS, M. P. E.; CALOBA, G. M, 2006)

Definição: Um jogo é uma situação entre N pessoas ou grupos chamados

jogadores, que é conduzido por um conjunto prévio de regras com

pagamentos conhecidos. As regras definem atividades elementares ou

lances do jogo. (GOLDBARG, M.C.; LUNA, H.P.L, 2000)

Cada jogador possui um conjunto de opções que poderá exercer. Estas

opções são conhecidas como Estratégias Puras.

Cada jogador possui também informações sobre as estratégias dos

outros, bem como a conseqüência do cruzamento de estratégias. Como mostrado

mais adiante, em suma, existe uma matriz de resultados na qual o jogador verifica o

resultado do jogo dada uma combinação de estratégias.

2.1 Tipos de Jogos

2.1.1 Jogos de soma zero

Se um jogador ganha o que o outro perde, o jogo é chamado jogo de

soma zero.

Tabela 1 - Matriz de Resultados para o Jogador I

Estratégias do jogador II

Cara Coroa

Estratégias do Cara +10 -10

jogador I

Coroa -10 +10

Ou seja, o jogador I ganhará R$10,00 sempre que o lado que o jogador II

colocar for aquele que o jogador I sugerir. Caso contrário, o jogador I deve pagar

R$10,00 ao jogador II, ou seja, o jogador II ganha sempre que os lados da moeda

sugerido e colocado forem diferentes.

Tabela 2- Matriz de Resultados para o Jogador II


Cara Coroa

Estratégias do

jogador I

Cara -10 +10

Coroa +10 -10

Perceba que a soma dos valores nos quadrantes iguais das Tabelas 1 e 2

é exatamente zero; como cada resultado positivo para um jogador representa um

resultado negativo de mesma intensidade para o seu opositor, a soma dos dois

resultados sempre será zero. Esta é a propriedade de soma zero dos jogos, e daí

vem o nome concedido a essa classe de jogos.

Uma conseqüência interessante de os resultados para um jogador serem

exatamente o valor simétrico ao primeiro é que só se necessita de uma matriz de

resultados. Escolher uma estratégia que maximiza o resultado da matriz do jogador I

é otimizar a estratégia desse jogador. Escolher uma estratégia que minimiza o

resultado da matriz do jogador I é o mesmo que maximizar o resultado para o

jogador II, ou seja, otimizar o jogo para o jogador II. Desta forma, o resultado de um

jogo poderá ser encontrado a partir de uma única matriz de resultados.

2.1.2 Jogos simétricos e assimétricos

Um jogo simétrico é aquele no qual os pagamentos para os jogadores em

uma estratégia particular dependem somente da estratégia escolhida, e não de

quem está jogando. Se as identidades dos jogadores puderem ser trocadas sem

alterar os pagamentos obtidos pela aplicação das suas estratégias, então este é um

jogo simétrico. Muitos dos jogos 2×2 comumente estudados são simétricos. As

representações padrões do Jogo da Galinha, do Dilema do prisioneiro, e da caça ao

veado são todos jogos simétricos. Certos acadêmicos estudam variações

assimétricas destes jogos, contudo, a maioria dos pagamentos deste jogos são

simétricos.

Os jogos assimétricos mais comuns são jogos onde existem grupos de

estratégias diferentes para cada jogador. Por exemplo, o jogo do ultimato e seu

similar, o jogo do ditador tem estratégias diferentes para ambos os jogadores. É

possível, contudo, para jogos que tenham estratégicas idênticas para ambos os

jogadores, que ainda assim sejam assimétricos. Por exemplo, o jogo representado

na figura à direita é assimétrico, a despeito de possuir estratégias idênticas para

ambos os jogadores.

2.1.3 Jogos simultâneos e sequenciais

Jogos simultâneos são jogos onde ambos os jogadores movem-se

simultaneamente, ou se eles não se movem simultaneamente, ao menos os

jogadores desconhecem previamente as ações de seus adversários (tornando-

os efetivamente simultâneos). Jogos sequenciais (ou dinâmicos) são jogos onde o

próximo jogador tem conhecimento da jogada de seu antecessor. Isto não necessita

ser conhecimento perfeito a cerca de cada ação do jogador antecessor; ele

necessita de muito pouca informação. Por exemplo, um jogador deve saber que o

jogador anterior não pode realizar uma ação em particular, enquanto ele não sabe

quais das outras ações disponíveis o primeiro jogador ira realmente realizar.

A diferença entre jogos simultâneos e sequenciais é capturada nas

diferentes representações discutidas acima. Forma normal é usada para representar

jogos simultâneos, e a forma extensiva é usada para representar jogos sequenciais.

2.1.4 Jogos de informação perfeita e informação imperfeita

Um importante subconjunto dos jogos seqüenciais consiste dos jogos de

informação perfeita. Um jogo é de informação perfeita se todos os jogadores

conhecem os movimentos prévios feitos por todos os outros jogadores. Portanto,

somente jogos seqüenciais podem ser jogos de informação perfeita, uma vez que

nos jogos simultâneos nenhum jogador conhece a ação do outro. A maioria dos

jogos estudados na teoria dos jogos são de informação imperfeita.

Informação perfeita é freqüentemente confundida com informação

completa, que é um conceito similar. Informação completa requer que cada jogador

conheça as estratégias e pagamentos dos outros jogadores, mas não

necessariamente suas ações.

2.1.5 Jogos infinitamente longos

Por razões óbvias, jogos como estudados por economista e jogadores no

mundo real geralmente terminam em um número finito de movimentos. Matemáticos

puros não estão restritos a isto, e na teoria de conjunto em particular estudam jogos

que se prolongam por um número infinito de movimentos, com os vencedores (ou

prêmios) não são conhecidos até após todos estes movimentos tenham sido

completados.

O foco da atenção é usualmente não tanto qual o melhor caminho para o

jogador em tal jogo, mas simplesmente se um ou outro jogador tem uma estratégia

vencedora. (Isto pode ser provado, usando o axioma da escolha, que há jogos -

mesmo com informação perfeita, e onde as únicas saídas são vencedor ou perdedor

- para o qual nenhum jogador tem uma estratégia vencedora.) A existências de tais

estratégias, para jogos projetados especificamente para este fim, tem

conseqüências importantes na teoria descritiva dos conjuntos.

2.2 Estratégias

Uma estratégia simples é um plano predeterminado que adota um jogador

para uma sequência de lances e contra-lances no decorrer de um jogo completo.

Cada jogador possui um conjunto finito de estratégias simples, embora este número

possa ser elevado.

Uma caracterização completa do jogo é geralmente fornecida pela matriz

de pagamentos que mostra os ganhos g ij de um jogador I sobre o jogador II,

quando o jogador I utiliza sua i-ésima estratégia A i, e o jogador II utiliza sua j-ésima

estratégia simples Bj, conforme tabela abaixo ou recíprocamente gji:

Tabela 3 – Matriz de pagamentos

Estratégia

s

JOGADOR II

B1 B2 … Bn

JOG

AD

OR

I

A1 g11 g12 … g1n

A2 g21 g22 … g2n

… … … … …

Am gm1 gm2 … gmn

O objetivo da Teoria dos Jogos é determinar a melhor estratégia para um

jogador supondo que o oponente é racional e fará um lance inteligente.

Consequentemente, se um jogador sempre escolhe a mesma estratégia simples ou

a escolhe numa ordem fixa, seu oponente reconhecerá o modelo e anulará o lance,

se possível. Entretanto, geralmente, uma estratégia mais eficiente é a estratégia

mista, definida por uma distribuição de probabilidades sobre o conjunto de

estratégias simples. Uma estratégia mista para o jogador I é especificada pelo vetor

de probabilidade:

X = [x1, x2, ..., xm]T

Onde xi(i = 1, ..., m) é a proporção de vezes em que a estratégia αi é

escolhida.

2.2.1 Estratégias dominadas

Ao se resolver um jogo, deve-se tomar cuidado em eliminar as estratégias

que possam porventura ser dominadas por outras. Uma estratégia dominada será

aquela que, qualquer que seja a escolha do adversário, possui resultado inferior ao

de uma outra estratégia. A matriz representada na Tabela 4 exemplifica.

Tabela 4 - Exemplo de estratégia dominada


β1 β2 β3 β4

Estratégias

do jogador I

α1 1 5 2 1

α2 2 1 8 5

α3 6 8 7 9

α4 4 12 3 2

Verifica-se que a estratégia α1 concede resultados inferiores que a

estratégia α4, não importando que estratégia o jogador II escolhe. Assim, pode-se

dizer que α1 é dominada por α4. A matriz de resultados após a exclusão desta

estratégia ficará como a Tabela 5

Tabela 5 - Matriz de Resultados eliminando-se a Estratégia Dominada


β1 β2 β3 β4

Estratégias

do jogador I

α2 2 1 8 5

α3 6 8 7 9

α4 4 12 3 2

Verifica-se, então, a ausência de estratégias dominadas para ambos os

jogadores.

2.3 Jogos estáveis

Uma forma de o jogador I tentar maximizar seu resultado é escolher as

estratégias que lhe concedem o melhor resultado possível. Se um jogador souber, a

priori, a estratégia do outro, fica fácil saber que estratégia utilizar. No entanto, na

essência do jogo está a propriedade de simultaneidade. Uma opção interessante é,

então, escolher uma estratégia baseando-se no nível de segurança dela. A idéia por

trás do conceito é simples: dado que o jogador I escolhe uma estratégia α i, existe

uma estratégia βj do jogador II tal que o resultado é o melhor possível para II. (LINS,

M. P. E.; CALOBA, G. M, 2006) Ou seja, considerando-se que há um risco do

jogador II saber qual estratégia o jogador I irá escolher, qual o resultado garantido

pela estratégia do jogador I? O objetivo do jogador I é maximizar este nível de

segurança. Notadamente a seleção de estratégias se dá de forma pessimista e

dispensando a oportunidade de ganhos maiores e incertos em função de um retorno

seguro.

Se o jogador I joga na linha que dá o máximo de ganho (estratégia

chamada maxmin), ele assegura o ganho da quantia αi no máximo. Entretanto,

jogando em outra linha, ele poderia ganhar um valor menor. Analogamente, se o

jogador II joga na coluna que dá um mínimo de perda (estratégia chamada minimax),

ele assegura que sua perda máxima será βj. Dizemos que estas duas estratégias

satisfazem o critério minimax.

Suponha um jogo de soma zero em que a matriz de resultados seja como

a da Tabela 6.

Tabela 6 - Matriz de Resultados


β1 β2 β3 β4

Estratégias

do jogador I

α1 5 9 4 3

α2 2 1 8 5

α3 6 8 7 9

α4 4 12 3 2

Incluindo uma coluna que exibe o pior resultado da linha, ou seja, o nível

de segurança para o jogador I dada a estratégia αi. Este resultado é disposto na

Tabela 7.

Tabela 7 - Nível de Segurança para o Jogador I

Estratégias do jogador II Nível de

Segurança

(1)

Β1 β2 β3 β4 Mínimo da

linha

Estratégias

do jogador I

α1 5 9 4 3 3

α2 2 1 8 5 1

α3 6 8 7 9 6

α4 4 12 3 2 2

Dado que o jogador I suspeita que 2 descubra sua estratégia, será melhor

escolher a estratégia α3, garantindo um resultado de 6. Fazendo isso, o jogador I

estará escolhendo a linha que maximiza o valor mínimo que ele poderá receber.

O jogador II poderá enxergar a questão pela mesma ótica. O pior

resultado para ele dada sua escolha será o máximo entre os elementos da coluna

desta estratégia. Repetimos a matriz, acrescentando o nível de segurança do

jogador II.

Tabela 8 - Nível de Segurança para ambos os jogadores

Estratégias do jogador

II

Nível de

Segurança (1)

β1 β2 β3 β4 Mínimo da linha

Estratégias do

jogador I

α1 5 9 4 3 3

α2 2 1 8 5 1

α3 6 8 7 9 6

α4 4 12 3 2 2

Nível de

Segurança (2)

Máximo

da coluna

6 12 8 9

Verifica-se que a escolha de β1 minimiza o valor máximo das quatro

colunas. Assim, é a estratégia que maximiza o nível de segurança do jogador II.

Por definição

αi <= βj

Para qualquer matriz de jogo. Se α i = βj então o jogador I somente pioraria

sua posição pelo abandono da estratégia maxmin. Este jogo é dito estável e as

estratégias prescritas pelo critério minimax são ótimas para os dois jogadores.

Assim, o jogo estará equivalente.

G* = αi = βj

O número G* é chamado valor do jogo (ou ponto de sela), sendo a quantia

paga pelo jogador II ao jogador I quando ambos utilizam estratégias ótimas. Em

resumo, qualquer jogo estável tem um único valor e uma estratégia simples ótima

para cada jogador, sendo esta estratégia ótima não necessariamente única.

2.4 Jogos instáveis

Existem jogos onde a estratégia que maximiza o nível de segurança dos

dois jogadores não constitui um ponto único, ou seja, não há um resultado do jogo

resultante da estratégia minimax e maxmin.

Tabela 9 - Exemplo de um jogo sem ponto de equilíbrio

Estratégias do jogador II Nível de

Segurança (1)

β1 β2 Mínimo da linha

Estratégias do

jogador I

α1 3 5 3

α2 4 1 1

Nível de

Segurança (2)

Máximo

da coluna

4 5

Suponha que o jogador I escolha a estratégia α1. Caso o jogador II

escolha β1, o resultado será 3, e no caso escolha β2, obterá 5. Supondo que o jogo

possa ser repetido diversas vezes, o jogador I poderá ter como opção variar a

estratégia entre α1 e α2. A probabilidade do jogador I escolher a estratégia α1 será

denominada x1, e a de escolher α2, x2.

Se o jogador II escolhe a estratégia β1, o resultado do jogo será o produto

dos elementos da coluna 1 pelas probabilidade de escolha das estratégias: 3x1 +

4x2. Caso a escolha do jogador II for β2, o resultado do jogo será 5x1 + x2.

O jogador I deverá, naturalmente, buscar elevar seu nível de segurança

no jogo. Para tal, pode-se fazer um gráfico dos resultados alcançados pela

estratégia mista dada a estratégia do jogador II.

O nível de segurança do jogador I pode ser obtido pela envoltória inferior

das retas. O valor de x1 que maximiza o nível de segurança é dado pelo encontro

das duas retas:

3 x1 + 4x2 = 5x1 + x2

Sabe-se ainda que x1 + x2 = 100%, uma vez que são as probabilidades de

adotar uma ou outra estratégia pura, exaustivas à unidade.

Uma vez que os resultados do jogador II são simétricos, o nível de

segurança deste jogador é representado pelo envoltório superior das retas.

2.5 Equilíbrio de Nash

O princípio do Equilíbrio de Nash consiste em analisar as soluções de

jogos. Esta noção tenta encontrar um estado estacionário para o jogo estratégico,

onde cada jogador tem a expectativa correta sobre o comportamento dos outros

jogadores e age de forma racional.

Dado um jogo estratégico , o equilíbrio de Nash é a escolha

com a seguinte propriedade:

Logo, para que uma estratégia satisfaça o equilíbrio de Nash, não

pode haver nenhum jogador que faça uma escolha diferente de e obtenha um

resultado melhor que , considerando que os demais jogadores escolheram .

Ou seja, nenhum outro jogador pode obter um ganho maior que este, dadas as

ações dos outros jogadores. (NASH Jr, J. F., 1949)

A solução de um jogo satisfazendo o equilíbrio de Nash é um caso de

otimização onde se procura estabelecer o ponto de Máximo do problema Primal e o

ponto de Mínimo do problema Dual. Ou seja, encontrar o equilíbrio de Nash é

encontrar o ponto ótimo de um problema de otimização denominado MiniMax que

veremos mais adiante. Este tipo de problema de jogos competitivos é caracterizado

como um modelo predador-presa, onde um dos jogadores ganha o que o outro

jogador perde, Nesta competiçao, interpretamos este jogo como uma sequência de

ações onde o jogador A tenta maximizar a perda mínima do jogador B, enquanto que

o jogador B tenta minimizar o ganho máximo do jogador A. Isto caracteriza que a

solução do jogador A é a solução Primal (Max) enquanto que a solução do jogador B

é a solução do Dual (Min), conforme descreveremos a seguir.

2.6 Jogos de duas pessoas, não competitivos e de soma diferente de zero

Uma boa forma de entender o jogo não competitivo e de soma não zero é

colocar algumas hipóteses centrais dos jogos de soma zero que não são

empregadas nos jogos cooperativos de soma distinta de zero. Em um jogo de soma

zero:

Nunca é vantajoso informar ao oponente de sua estratégia;

Nunca é vantajoso ao jogador se comunicar previamente com seu oponente e

propor um plano conjunto de ação;

Se (x, y’) e (x’, y) estão em equilíbrio, então (x, y) e (x’, y’) também estarão;

Se x é uma estratégia Maximin e y é uma estratégia Minimax, então (x, y) é

um par em equilíbrio.

Um jogo não competitivo obviamente necessita a descrição do resultado

para os dois jogadores na matriz de resultados. A matriz para o Dilema do

Prisioneiro segue na Tabela 10.

Tabela 10 - Matriz de resultados para o Dilema do Prisioneiro

Estratégias do suspeito II

Não confessar Confessar

Estratégias do

suspeito I

Não confessar (1,1) (10, 0.25)

Confessar (0.25, 10) (8, 8)

Este é um exemplo clássico da Teoria dos Jogos e vem sendo o usado

desde o princípio. Dois suspeitos são tomados em custódia e separados. O promotor

tem certeza que eles são culpados mas não possui provas suficientes para levá-los

a julgamento.

Ele diz para cada um dos prisioneiros que eles possuem duas

alternativas: confessar o crime que a polícia tem certeza que eles cometeram, ou

não confessar. Se ambos confessarem, ficarão um tempo estimado de 8 anos na

cadeia. Se nenhum dos dois confessarem, eles terão uma pena leve, posse ilegal de

armas, ficando presos durante 1 ano. Entretanto, se um confessar e o outro não, o

que confessar receberá uma pena leve, de 3 meses, e o segundo receberá uma

pena severa, ficando detido por 10 anos.

Examinando o jogo do ponto de vista do Suspeito I, se o Suspeito II

escolher confessar ou não confessar, o resultado da primeira estratégia, confessar,

é melhor para ele. Os valores para não confessar (1, 10) são maiores que os de

confessar (0.25, 8). Logo, não confessar é estratégia dominada por confessar para o

Suspeito I. O mesmo ocorre analogamente para o Suspeito II.

Desejando maximizar o seu nível de segurança, os jogadores tomam as

escolhas racionais de ambos confessarem e cumprem a pena de 8 anos cada,

quando poderiam alcançar a pena de 1 ano apenas.

Não há solução para este problema. Se houver possibilidade de

cooperação, os suspeitos podem escolher por não confessarem. O motivo de não

ser esta a estratégia escolhida é que se um deles “trair” o outro e confessar, ele

melhora o seu resultado no jogo.

3. METODOLOGIAS UTILIZADAS

3.1 Teorema Minimax: solução para o Equilíbrio de Nash

O Teorema Minimax prova que existirá sempre uma estratégia de

equilíbrio baseada nas estratégias puras ou mistas em jogos de duas pessoas de

soma zero.

Em jogos que possuem um par de estratégias puras em equilíbrio, a

solução do jogo é óbvia e o resultado é um valor v.

Considerando-se jogos com números de estratégias puras finito, com ou

sem pares de equilíbrio, se o Jogador 1 possui m estratégias puras a seu dispor,

uma estratégia mista será dada por x1, x2, ..., xm tais que xi ≥ 0, i, e x1 + x2 + ... +

xm = 1.

O teorema chave dos jogos de duas pessoas e soma zero declara que

existe um valor v de equilíbrio para qualquer jogo desde que os jogadores possam

fazer uso de estratégias mistas.

Teorema Minimax: Para qualquer matriz de jogos, existem estratégias

ótimas X* e Y* tais que:

E(X*, Y*) = MI = MII = G* = valor do jogo; onde:

MI = Valor máximo do ganho mínimo esperado do jogador I

MII = Valor mínimo da perda máxima esperada pelo jogador II

As estratégias ótimas garantidas pelo teorema Minimax, assim como o

valor do jogo G* = yn+1* podem ser obtidas através do seguinte modelo de

programação linear:

Considerando a estratégia do jogador II:

Maximizar - yn+1

Sujeito a:

g11y1 + g12y2 +.......+ g1nyn – yn+1 0

g21y1 + g22y2 +.......+ g2nyn - y n+1 0

.......................................................

gm1y1 + gm2y2 +......+ gmnyn – yn+1 0

y1 + y2 + .......+ yn = 1

com todas as variáveis de decisão não negativas.

3.2 Modelando jogos via programação linear

Devido aos desabamentos e às chuvas implacáveis que assolam o estado

do Rio de Janeiro todos os anos, as autoridades decidiram contratar uma

determinada empresa de construção para reformar cerca de 1000 casas que se

encontram em risco. Visando garantir a segurança dos moradores, a empresa em

questão formulou um problema de teoria dos jogos para decidir como utilizar os três

tipos de tijolos existentes no mercado em função dos três tipos de chuva existentes,

caracterizados por sua ação e duração.

Os três tipos de chuva são apresentados abaixo e seus efeitos no que se

refere à resistência estão apresentados na matriz de resultados, indicando a

probabilidade de não desabamento de uma casa reformada com determinado tipo

de tijolo no caso de determinado tipo de chuva.

Chuva Convectiva (C1): Típica chuva de verão, com grande intensidade e

curta duração. Pode produzir ventos locais e muitos raios. Ocorre pela

formação de “corredores” verticais de ar, provocados pela elevação de

massas de ar quente. Apresentam grande atividade elétrica interna, podendo

produzir grandes diferenças de potencial elétrico com a terra, possibilitando

intensa ocorrência de raios;

Chuva Frontal (C2): É uma chuva de menor intensidade, com pingos menores,

e de longa duração. Pode ocorrer por vários dias, apresentando pausas e

chuviscos entre fases mais intensas. Pode produzir ventos fortes e grandes

quantidades de raios. Ocorre em uma área extensa simultaneamente. A

intensidade dos fenômenos (chuvas, ventos, raios) depende da intensidade

dos elementos envolvidos (velocidade dos deslocamentos, umidade e

temperatura das massas de ar);

Chuva Orográfica (C3): Ocorre quando uma nuvem encontra um alto

obstáculo em seu caminho, como uma grande elevação do terreno. Estas

nuvens podem provocar tempestades elétricas perigosas por causa da

proximidade da terra com as nuvens, sobretudo quando ocorre juntamente

com outro tipo de chuva (frontal ou convectiva).

Esta é a matriz de resultados para o problema:

Tabela 11 - Matriz de Resultados para o Problema das Chuvas

Tipos de chuva

C1 C2 C3

Tipos de tijolos T1 80 30 75

T2 60 90 70

T3 80 80 50

Considera-se xi a freqüência de escolha do tijolo i. A formulação do

problema é a seguinte:

Máx(Min{80x1 + 60 x2 + 80 x3 , 30 x1 + 90 x2 + 80 x3 , 75 x1 + 70 x2 + 50 x3})

s.a x1 + x2 + x3 =1

Linearizando o problema, inserindo a variável Z como sendo a

probabilidade para que não ocorra desabamentos das casas, temos:

Max Z

s.a -80 x1 - 60 x2 - 80 x3 + Z ≤ 0

-30 x1 - 90 x2 - 80 x3 + Z ≤ 0

-75 x1 - 70 x2 - 50 x3 + Z ≤ 0

x1 + x2 + x3 = 1

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0

Resolvendo o PPL (APÊNDICE A), temos que a probabilidade esperada

para o não desabamento das casas é de 69,1%. Os valores encontrados para as

freqüências dos tijolos x1, x2, e x3 são respectivamente 32,7%, 54,6% e 12,7%. Das

1000 casas, sugere-se construir 327 com o tijolo 1, 546 com o tijolo 2 e 127 com o

tijolo 3.

Este tipo de jogo pode ser classificado como um jogo “contra a natureza”,

no sentido de que há apenas um jogador, e o estado da natureza pode causar a

ruína ou a fortuna do jogador, no caso o estado do Rio de Janeiro.

4. ESTUDO DE CASO: O PROBLEMA DE JOGOS CORPORATIVOS NO

TRIBUNAL DE JUSTIÇA DO ESTADO DO CEARÁ

4.1 Introdução a Teoria dos Jogos Corporativos

Antes de caracterizarmos o problema de jogos corporativos, vamos

entender melhor as diferenças entre jogos competitivos ou não cooperativos e jogos

cooperativos. Esta diferença está no enfoque sobre o jogador. Nos jogos não

cooperativos o conjunto de ações possíveis está associado á jogadores individuais.

Nos jogos cooperativos, o conjunto de ações possíveis está associado a grupo de

jogadores (ou coalizões)

Um jogo Corporativo ou Programa de Simulação de Competição entre

empresas pode ser definido como um exercício seqüencial de tomada de decisões

estruturado sobre um modelo de uma operação empresarial ou institucional, onde os

participantes assumem o papel de gerentes de operações de decisões

Apesar de a palavra “jogo” dar a idéia de competição, neste caso os jogos

de empresas te por finalidade o treinamento sistemático de equipes. A competição

surge apenas como um estímulo ou criação de uma situação onde esse treinamento

seja feito com interesse.

4.1.1 Classificação dos Jogos Corporativos

Os Jogos Corporativos podem ser classificados da seguinte forma:

a) Quanto à orientação:

Jogo baseado na operação de uma empresa genérica;

Jogo baseado na operação de Unidades de Tomadas de Decisões

(DMU - Decision Make Unit) específicas (construção, têxtil, laticínios,

judiciário, etc);

b) Quanto à natureza:

Jogo englobando todas as atividades de uma Unidade de Tomadas de

Decisões ;

Jogo simulando a operação de uma dada área funcional da empresa

(setor de vendas, marketing, produção industrial, produção processual,

etc);

c) Quanto à estrutura do participante:

A decisão é tomada por uma pessoa ou por um grupo sem hierarquia

ou atribuição;

A decisão é tomada em vários níveis e por pessoas de áreas

específicas, como presidente, juiz, desembargador, vice-presidente de

vendas, tesoureiro, encarregado de compras etc., e a decisão final

pode ser juntada e tomada por uma diretoria ou conselho de

administração ou magistrado, etc.

4.1.2 Finalidades e objetivos dos Jogos Corporativos

Podemos salientar a utilização dos Jogos Corporativos nos seguintes

setores:

a) Treinamento Empresarial

As principais empresas no mundo inteiro (como GE, IBM, Boeing etc.)

usam jogos corporativos como parte dos programas internos de treinamento de

executivos.

Várias dificuldades encontradas no treinamento de um executivo ou

administrador de empresas tais como a possibilidade de se criar uma situação real

para a tomada de decisões ou a dificuldade de oferecer a visão total do conjunto de

operações de uma empresa são superadas através do treinamento com jogos

corporativos.

O Jogo Corporativo pode ser utilizado para testar e pesquisar o

comportamento de uma empresa simulada diante de condições preestabelecidas ou

imprevistas. Desta forma, é possível verificar o comportamento da firma com relação

ao preço do produto, à elasticidade do mercado, à política salarial, etc.

b) Organização de Empresas

Através dos Jogos Corporativos é possível efetuar o teste de diversos

tipos de organização de uma empresa, escolhendo-se aquele que melhor se adapta

a ela.

É possível também, por exemplo, estudar os efeitos da variação do

tamanho do quadro de pessoal sobre o desempenho da empresa, o efeito da

variação hierárquica dos níveis funcionais, as divisões dos departamentos, dentre

outros.

4.2 A Teoria dos Jogos aplicada às rotas realizadas entre os Juizados

Especiais Cíveis e Criminais de Fortaleza

No Ceará, o Tribunal de Justiça do Estado do Ceará (TJCE) está em

parceria com a UECE através de projetos em C&T para viabilizar a Teoria dos Jogos

como ferramentas de apoio ao processo decisório, conforme descrevemos no

estudo de caso a seguir.

A estrutura judiciária do estado do Ceará está formatada em duas

grandes classes: Primeiro Grau e Segundo Grau. O Primeiro Grau compreende

todas as Comarcas (sedes e vinculadas), Varas e Juizados Especiais Cíveis e

Criminais (JECC). Já o Segundo Grau compreende o Tribunal de Justiça. Neste

trabalho, nos concentramos nos JECC da comarca de Fortaleza, que totalizam 21

unidades.O judiciário estadual conta com 421 unidades de atendimento distribuídas

geograficamente na capital e no interior com mais de 1 milhão de processos em

julgamento.

Os serviços judiciais prestados à população formam uma rede de

atendimento em todo o Estado, com características específicas e bastante

diversificadas, envolvendo uma logística inteligente para sua gestão. Assim, decidiu-

se estudar a rede de diligências realizadas entre os 21 JECC da comarca de

Fortaleza.

Com base em dados fornecidos pelo TJCE (ANEXO A), foi construída

uma matriz contendo todas as rotas entre os JECC e um valor aproximado das

distâncias dos trajetos atualmente praticados. Essas distâncias foram calculadas

através da ferramenta Google Maps (APÊNDICE B).

Em seguida, com base nos mesmos dados e utilizando-se novamente a

ferramenta Google Maps, foram calculadas as rotas ótimas entre todos os pontos

(APÊNDICE C).

Verificou-se assim uma diferença de distância (em metros) entre a rota

praticada pelos encarregados das diligências e a rota ótima calculada (APÊNDICE

D). Para fins de simulação, esta foi considerada a Matriz de Resultados do

problema.

A partir dessa matriz de pagamentos, desenvolveu-se um modelo

matemático (APÊNDICE E) utilizando-se o Teorema Minimax e considerando-se a

“estratégia” do “jogador” I, ou seja, utilizando-se as colunas da matriz como

referencial.

Após execução deste modelo no LINDO (Linear, Interactive and Discrete

Optmizer), obteve-se como resultado a porcentagem de diligências originadas em

cada JECC, visitando todos os outros JECC´s, de modo que a economia seja

máxima. Entende-se por economia máxima a utilização das menores rotas possíveis

levando-se em consideração que há a probabilidade de saírem diligências de

qualquer JECC para qualquer outro durante um determinado período de tempo.

A Tabela 12 representa os resultados obtidos no LINDO. Os dados de

saída exatos do programa podem ser vistos no APÊNDICE F.

Tabela 12 - Resultados obtidos através do LINDO

JECC % de saídas

1º JECC 4

2º JECC 4

3º JECC (anexo) 4

3º JECC 3,1

4º JECC 6

5º JECC 3,4

6º JECC 2,7

7º JECC 5,7

8º JECC 6

9º JECC 4

10º JECC 5,7

11º JECC 4,3

12º JECC 4,6

13º JECC 4,5

14º JECC 4,3

15º JECC 3,1

16º JECC 5,8

17º JECC 4,9

18º JECC 3,6

19º JECC 4,7

20º JECC 5,7

Juizado da Violência Doméstica e Familiar contra a mulher 5,9

TOTAL 100

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

5.1 Introdução

Muito pouco difundida no Brasil, especialmente entre o meio jurídico, a

Teoria dos Jogos constitui um relevante instrumento estratégico, objetivando a

tomada das melhores decisões e os melhores resultados em negociações.

Entretanto, em quaisquer casos, as tomadas de decisões estratégicas

não podem ser completamente reduzidas a uma ciência; sempre haverá espaço

para “truques”.

A Teoria dos Jogos não pode oferecer respostas definitivas para questões

de como as pessoas devem se comportar em qualquer situação. Também não

almeja dizer a gerentes como tocar os negócios, a juízes como julgar seus

processos ou a engenheiros onde realizar suas construções. Uma tomada de

decisão não pode ser reduzida simplesmente a um programa de computador, da

mesma forma que há mais elementos em negociações que cabem em modelos

matemáticos.

Percebe-se, então, que a Teoria dos Jogos não elimina a necessidade de

conhecimento e intuição adquirida através de longa experiência mas oferece um

atalho para entender os princípios do processo de decisão.

5.2 Limitações

Os resultados encontrados neste trabalho estão limitados a uma

suposição do que deveria ser feito na realidade. Sabe-se que não é possível impor e

fixar a quantidade de diligências e transportes de documentos realizados entre um

JECC e outro, pois isto depende de vários fatores como quantidade de processos

em andamento e disponibilidade de recursos físicos e financeiros.

5.3 Conclusão

Analisando-se os resultados obtidos, observa-se que há uma certa

homogeneidade nas sugestões realizadas pelo LINDO. Calculando-se o desvio

padrão das porcentagens sugeridas, obtém-se 1,02, valor considerado baixo.

Conclui-se, então, que os JECC´s encontram-se geograficamente bem distribuídos,

atendendo toda a área da Comarca de Fortaleza (ANEXO B).

5.4 Trabalhos futuros

Pensa-se numa continuação deste trabalho estendendo-o de modo que

sejam englobadas as demais 400 unidades de atendimento do Judiciário Estadual,

realizando-se assim um estudo global das rotas realizadas e da distribuição

geográfica dessas 421 unidades.

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

ARENALES, M., et al. Pesquisa Operacional. Elsevier, 2007.

BAZARAA, M. S. ; SHETTY, C. M. Nonlinear Programming. John Wiley & Sons, 2001.

BRICE, C., et al. Applied Numerical Methods. John Wiley, 1970.

GOLDBARG, M.C.; LUNA, H.P.L. Otimização Combinatória e Programação Linear. Editora Campus, 2000.

JUSTIÇA EM NÚMEROS. Brasília, Distrito Federal: CNJ, 2008 e 2009. Anual.

KARMANOV, V. Programation Mathématique. Editions de Moscou, 1977.

LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões. Editora Campus, 2004.

LINS, M. P. E.; CALOBA, G. M. Programação Linear com aplicações em Teoria dos Jogos e Avaliação de Desempenho. Edição 1ª Editora Interciência, Ano 2006

NASH Jr, J. F. Non-cooperative games. 1949.

RARDIN, R.L. Optimization in Operations Research. Prentice Hall, 1998.

ROSS, S. Introduction to Probability Models. Academic Press, 1993.

VON NEUMANN, J.; MORGENSTERN, O. Theory of games and Economic Behavior. Princeton University Press, 1944.

APÊNDICE A - Resultado do PPL das Chuvas do Rio de Janeiro

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 69.09091

VARIABLE VALUE REDUCED COST Z 69.090912 0.000000 X1 0.327273 0.000000 X2 0.545455 0.000000 X3 0.127273 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1) 0.000000 0.454545 2) 0.000000 0.181818 3) 0.000000 0.363636 4) 0.000000 69.090912 5) 0.327273 0.000000 6) 0.545455 0.000000 7) 0.127273 0.000000

NO. ITERATIONS= 4

APÊNDICE B – Distância dos trajetos percorridos entre as unidades dos JECC

APÊNDICE C – Distâncias dos trajetos ótimos entre as unidades dos JECC

APÊNDICE D – Diferença entre as distâncias percorrida e ótima dos trajetos entre os JECC

APÊNDICE E – Modelo matemático para otimização da escolha das rotas

Max Y23ST

0Y1 - 647Y1 - 965Y1 - 1371Y1 - 685Y1 - 393Y1 - 1344Y1 - 623Y1 - 589Y1 - 1502Y1 - 403Y1 - 1276Y1 - 807Y1 - 347Y1 - 542Y1 - 214Y1 - 564Y1 - 538Y1 - 1149Y1 - 884Y1 - 420Y1 - 561Y1 + Y23 <= 0

-616Y2 - 0Y2 - 1124Y2 - 1623Y2 - 804Y2 - 470Y2 - 914Y2 - 495Y2 - 691Y2 - 1425Y2 - 502Y2 - 974Y2 - 975Y2 - 1086Y2 - 469Y2 - 694Y2 - 596Y2 - 315Y2 - 342Y2 - 317Y2 - 523Y2 - 587Y2 + Y23 <= 0

- 754Y3 - 1092Y3 - 0Y3 - 303Y3 - 824Y3 - 1063Y3 - 880Y3 - 806Y3 - 666Y3 - 472Y3 - 340Y3 - 494Y3 - 189Y3 - 877Y3 - 1397Y3 - 791Y3 - 410Y3 - 1023Y3 - 1219Y3 - 1163Y3 - 354Y3 - 435Y3 + Y23 <= 0









- 771Y12 - 788Y12 - 551Y12 - 782Y12 - 735Y12 - 945Y12 - 644Y12 - 671Y12 - 632Y12 - 433Y12 - 377Y12 – 0Y12 - 444Y12 - 973Y12 - 1204Y12 - 857Y12 - 404Y12 - 838Y12 - 851Y12 - 759Y12 - 392Y12 - 429Y12 + Y23 <= 0











Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y5 + Y6 + Y7 + Y8 + Y9 + Y10 + Y11 + Y12 + Y13 + Y14 + Y15 + Y16 + Y17 + Y18 + Y19 + Y20 + Y21 + Y22 = 1

END

ANEXO A – Endereços e Jurisdições dos JECC da Comarca de Fortaleza

Unidade Endereço1ª Rua Dr.João Guilherme,257 - Antônio Bezerra2ª Av. Godofredo Maciel, 3100 – Maraponga3ª(Anexo) Rua Osório Palmella, 260 – Varjota3ª Rua Hermínia Bonavides, 1576 — Vicente Pinzon4ª Av. da Universidade, 3288 – Benfica5ª Rua Setecentos e Vinte e Nove,443,3a Etapa - Conjunto Ceará6ª Rua Santa Efigênia, 305 – Messejana7ª Rua Des. João Firmino, 360 – Montese8ª Av. da Universidade, 3288 – Benfica9ª Av. Almirante Maximiniano da Fonseca, 1395 - Edson Queiroz10ª Rua Senador Pompeu, 1127 – Centro11ª Rua do Lago, 340 - Tancredo Neves12ª Rua Visconde de Mauá, 1940 – Meireles13ª Rua Dr. Almeida Filho, 636 - Monte Castelo14ª Rua Carlos Chagas, 800 - Bom Sucesso15ª Av. C, 421 – Vila Velha16ª Rua Mário Mamede, 130117ª Av. General Osório de Paiva, 1200 – Parangaba18ª Av. K, 130 – 1ª Etapa- José Walter19ª Rua Betel, 1330 – Serrinha20ª Rua Senador Pompeu, 1127 – CentroJVDFCM Rua Barão do Rio Branco, 2922 - Fátima

ANEXO B – Mapa representando a jurisdição dos JECC de Fortaleza

Documents

Monografia Camila Teoria Dos Jogos