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Momento Statico
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Geometra delle masse 1 di 19
GEOMETRIA DELLE MASSE
Momento statico S di una area A (delimitata dal contorno C) rispetto ad un asse (ad esempio uno degli assi del sistema di riferimento)
Geometra delle masse 2 di 19
Momento statico S1 dellarea A rispetto allasse X1 (definizione)
Momento statico S2 dellarea A rispetto allasse X2 (definizione)
Ai fini del calcolo dei momenti statici larea si pu concentrare nel baricentro G
avente coordinate X1G e X2G
Geometra delle masse 3 di 19
Geometra delle masse 4 di 19
Si ha pertanto
Confrontando con le definizioni di momento statico di unarea rispetto ad un asse, si ottengono le coordinate del baricentro G
Geometra delle masse 5 di 19
Commento: la posizione del baricentro rispetta le simmetrie della figura.
Geometra delle masse 6 di 19
Commento: il momento statico di unarea rispetto ad un asse baricentrico NULLO
Geometra delle masse 7 di 19
Commento: per la struttura degli integrali i momenti statici sono additivi
ESEMPIO 1
Ai fini del calcolo della posizione del baricentro della figura (rettangolo con foro circolare) larea del rettangolo si pu concentrare nel suo baricentro B e larea del cerchio nel suo centro A. Larea del rettangolo si considera positiva; quella del cerchio si considera negativa. Il baricentro G star sulla congiungente dei due baricentri A e B.
Geometra delle masse 8 di 19
Si assume lorigine del riferimento in B; asse X1 congiungente A B; asse X2 perpendicolare. I momenti statici rispetto allasse X1 sono NULLI (pertanto il baricentro G sta sullasse X1).
Geometra delle masse 9 di 19
Distanza d del centro del cerchio A dal centro del rettangolo B, coordinata di A nel sistema di riferimento scelto d = - [(a/8)2 + (a/2)2]0.5 = - a [1/64 + ]0.5 = - (a 17) / 8 = - 0.5154 a Momento statico S2 rispetto all asse X2 S2 = (area del cerchio 0) x (distanza A-B = d 0) + + (area del rettangolo 0) x (distanza B-B = 0) = = - / 4 [a/2]2 x (- 0.5154 a) + 2 a2 x 0 = 0.1012 a3 (Nota Bene S2 0) Area A della figura A = 2 a2 - / 4 [a/2]2 = 1.8037 a2 Coordinata X1G del baricentro G X1G = S2 / A = 0.1012 a3 / 1.8037 a2 = 0.0561 a 0
Geometra delle masse 10 di 19
Momento statico S di una linea (avente spessore costante) rispetto ad un asse
(ad esempio uno degli assi del sistema di riferimento)
Geometra delle masse 11 di 19
Momento statico S1 della linea rispetto allasse X1 (definizione)
Momento statico S2 della linea rispetto allasse X2 (definizione)
Geometra delle masse 12 di 19
Ai fini del calcolo dei momenti statici lo sviluppo l della linea si pu concentrare nel baricentro G, avente coordinate X1G e X2G
Sviluppo (lunghezza) della linea
Geometra delle masse 13 di 19
ESEMPIO 2
Arco di circonferenza avente angolo al centro 2
Geometra delle masse 14 di 19
Coordinata X2G del baricentro G
Geometra delle masse 15 di 19
ESEMPIO 3
Determinazione del baricentro per la figura, composta da un semicerchio e da due rettangoli. Si concentrano le aree delle singole parti nei rispettivi baricentri.
Bisogna trattare preliminarmente il caso del semicerchio, mentre ovvia la posizione dei baricentri dei due rettangoli.
Geometra delle masse 16 di 19
Il baricentro del semicerchio sta sullasse di simmetria X2 ; per determinarne la posizione si calcola il momento statico S1 rispetto allasse X1 e larea A del semicerchio. Si opera in coordinate polari. Momento statico S1
Geometra delle masse 17 di 19
Area del semicerchio
Coordinata del baricentro sullasse X2 (distanza del baricentro dal centro O)
Geometra delle masse 18 di 19
In figura sono evidenziate le tre parti componenti con i rispettivi baricentri nei quali si possono concentrare le aree.
Coordinate baricentri parziali
Momenti statici
parziali
Aree X1i X2i S2i S1i
Semicerchio 1 /2 a2 -4a/(3) a -2 a3 /3 /2 a3 Rettangolo 2 2 a2 a/2 a a3 2 a3 Rettangolo 3 2 a2 3a/2 5a/2 3 a3 5 a3
Totali (4+/2) a2 10 / 3 a3 (7 + /2) a3
Geometra delle masse 19 di 19
Coordinate del baricentro X1G = S2 / A = 10 / 3 a3 / (4+/2) a2 = 0,5984 a X2G = S1 / A = (7+/2) a3 / (4+/2) a2 = 1,5385 a