Embed Size (px)
Citation preview
Momento angular orbital
Gustavo Matheus Gauy
FI-001 - Mecanica quantica 1
1 de Junho, 2020
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 1 / 6
Queremos mostrar que
⟨r ′ |Lx |α
⟩= i~
(sinφ
∂
∂θ+ cotgθcosφ
∂
∂φ
)⟨r ′|α
⟩e ⟨
r ′ |Ly |α⟩
= i~(−cosφ
∂
∂θ+ cotgθsinφ
∂
∂φ
)⟨r ′|α
⟩onde |α〉 e um ket qualquer e (r , θ, φ) sao as coordenadas esfericas.
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 2 / 6
Definicao do operador de momento angular orbital:
L = r × p
⇒ Lk =∑ij
εijkxipj
entao ⟨r ′∣∣ Lk =
Portanto ⟨r ′ |Lx |α
⟩= −i~
∑ij
εij1x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(y ′
∂
∂z ′− z ′
∂
∂y ′
)⟨r ′|α
⟩e ⟨
r ′ |Ly |α⟩
= −i~∑ij
εij2x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(z ′∂
∂x ′− x ′
∂
∂z ′
)⟨r ′|α
⟩
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 3 / 6
Definicao do operador de momento angular orbital:
L = r × p ⇒ Lk =∑ij
εijkxipj
entao ⟨r ′∣∣ Lk =
Portanto ⟨r ′ |Lx |α
⟩= −i~
∑ij
εij1x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(y ′
∂
∂z ′− z ′
∂
∂y ′
)⟨r ′|α
⟩e ⟨
r ′ |Ly |α⟩
= −i~∑ij
εij2x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(z ′∂
∂x ′− x ′
∂
∂z ′
)⟨r ′|α
⟩
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 3 / 6
Definicao do operador de momento angular orbital:
L = r × p ⇒ Lk =∑ij
εijkxipj
entao ⟨r ′∣∣ Lk =
⟨r ′∣∣∑
ij
εijkxipj
Portanto ⟨r ′ |Lx |α
⟩= −i~
∑ij
εij1x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(y ′
∂
∂z ′− z ′
∂
∂y ′
)⟨r ′|α
⟩e ⟨
r ′ |Ly |α⟩
= −i~∑ij
εij2x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(z ′∂
∂x ′− x ′
∂
∂z ′
)⟨r ′|α
⟩
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 3 / 6
Definicao do operador de momento angular orbital:
L = r × p ⇒ Lk =∑ij
εijkxipj
entao ⟨r ′∣∣ Lk =
∑ij
εijk⟨r ′∣∣ xipj
Portanto ⟨r ′ |Lx |α
⟩= −i~
∑ij
εij1x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(y ′
∂
∂z ′− z ′
∂
∂y ′
)⟨r ′|α
⟩e ⟨
r ′ |Ly |α⟩
= −i~∑ij
εij2x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(z ′∂
∂x ′− x ′
∂
∂z ′
)⟨r ′|α
⟩
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 3 / 6
Definicao do operador de momento angular orbital:
L = r × p ⇒ Lk =∑ij
εijkxipj
entao ⟨r ′∣∣ Lk =
∑ij
εijk⟨r ′∣∣ x ′i pj
Portanto ⟨r ′ |Lx |α
⟩= −i~
∑ij
εij1x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(y ′
∂
∂z ′− z ′
∂
∂y ′
)⟨r ′|α
⟩e ⟨
r ′ |Ly |α⟩
= −i~∑ij
εij2x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(z ′∂
∂x ′− x ′
∂
∂z ′
)⟨r ′|α
⟩
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 3 / 6
Definicao do operador de momento angular orbital:
L = r × p ⇒ Lk =∑ij
εijkxipj
entao ⟨r ′∣∣ Lk =
∑ij
εijkx′i
⟨r ′∣∣ pj
Portanto ⟨r ′ |Lx |α
⟩= −i~
∑ij
εij1x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(y ′
∂
∂z ′− z ′
∂
∂y ′
)⟨r ′|α
⟩e ⟨
r ′ |Ly |α⟩
= −i~∑ij
εij2x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(z ′∂
∂x ′− x ′
∂
∂z ′
)⟨r ′|α
⟩
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 3 / 6
Definicao do operador de momento angular orbital:
L = r × p ⇒ Lk =∑ij
εijkxipj
entao ⟨r ′∣∣ Lk =
∑ij
εijkx′i
⟨r ′∣∣(−i~ ∂
∂x ′j
)
Portanto ⟨r ′ |Lx |α
⟩= −i~
∑ij
εij1x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(y ′
∂
∂z ′− z ′
∂
∂y ′
)⟨r ′|α
⟩e ⟨
r ′ |Ly |α⟩
= −i~∑ij
εij2x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(z ′∂
∂x ′− x ′
∂
∂z ′
)⟨r ′|α
⟩
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 3 / 6
Definicao do operador de momento angular orbital:
L = r × p ⇒ Lk =∑ij
εijkxipj
entao ⟨r ′∣∣ Lk = − i~
∑ij
εijkx′i
∂
∂x ′j
⟨r ′∣∣
Portanto ⟨r ′ |Lx |α
⟩= −i~
∑ij
εij1x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(y ′
∂
∂z ′− z ′
∂
∂y ′
)⟨r ′|α
⟩e ⟨
r ′ |Ly |α⟩
= −i~∑ij
εij2x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(z ′∂
∂x ′− x ′
∂
∂z ′
)⟨r ′|α
⟩
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 3 / 6
Definicao do operador de momento angular orbital:
L = r × p ⇒ Lk =∑ij
εijkxipj
entao ⟨r ′∣∣ Lk = − i~
∑ij
εijkx′i
∂
∂x ′j
⟨r ′∣∣
Portanto ⟨r ′ |Lx |α
⟩= −i~
∑ij
εij1x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩
= −i~(y ′
∂
∂z ′− z ′
∂
∂y ′
)⟨r ′|α
⟩e ⟨
r ′ |Ly |α⟩
= −i~∑ij
εij2x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(z ′∂
∂x ′− x ′
∂
∂z ′
)⟨r ′|α
⟩
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 3 / 6
Definicao do operador de momento angular orbital:
L = r × p ⇒ Lk =∑ij
εijkxipj
entao ⟨r ′∣∣ Lk = − i~
∑ij
εijkx′i
∂
∂x ′j
⟨r ′∣∣
Portanto ⟨r ′ |Lx |α
⟩= −i~
∑ij
εij1x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(y ′
∂
∂z ′− z ′
∂
∂y ′
)⟨r ′|α
⟩
e ⟨r ′ |Ly |α
⟩= −i~
∑ij
εij2x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(z ′∂
∂x ′− x ′
∂
∂z ′
)⟨r ′|α
⟩
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 3 / 6
Definicao do operador de momento angular orbital:
L = r × p ⇒ Lk =∑ij
εijkxipj
entao ⟨r ′∣∣ Lk = − i~
∑ij
εijkx′i
∂
∂x ′j
⟨r ′∣∣
Portanto ⟨r ′ |Lx |α
⟩= −i~
∑ij
εij1x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(y ′
∂
∂z ′− z ′
∂
∂y ′
)⟨r ′|α
⟩e ⟨
r ′ |Ly |α⟩
= −i~∑ij
εij2x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩
= −i~(z ′∂
∂x ′− x ′
∂
∂z ′
)⟨r ′|α
⟩
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 3 / 6
Definicao do operador de momento angular orbital:
L = r × p ⇒ Lk =∑ij
εijkxipj
entao ⟨r ′∣∣ Lk = − i~
∑ij
εijkx′i
∂
∂x ′j
⟨r ′∣∣
Portanto ⟨r ′ |Lx |α
⟩= −i~
∑ij
εij1x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(y ′
∂
∂z ′− z ′
∂
∂y ′
)⟨r ′|α
⟩e ⟨
r ′ |Ly |α⟩
= −i~∑ij
εij2x′i
∂
∂x ′j
⟨r ′|α
⟩= −i~
(z ′∂
∂x ′− x ′
∂
∂z ′
)⟨r ′|α
⟩Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 3 / 6
Queremos o resultado anterior em coordenadas esfericas
x = rsinθcosφ
y = rsinθsinφ
z = rcosθ
Sabemos que dada uma transformacao de coordenadas
xi = xi (y)
temos∂
∂xi=∑j
∂yj∂xi
∂
∂yj
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 4 / 6
Queremos o resultado anterior em coordenadas esfericas
x = rsinθcosφ
y = rsinθsinφ
z = rcosθ
Sabemos que dada uma transformacao de coordenadas
xi = xi (y)
temos∂
∂xi=∑j
∂yj∂xi
∂
∂yj
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 4 / 6
Queremos o resultado anterior em coordenadas esfericas
x = rsinθcosφ
y = rsinθsinφ
z = rcosθ
Sabemos que dada uma transformacao de coordenadas
xi = xi (y)
temos∂
∂xi=∑j
∂yj∂xi
∂
∂yj
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 4 / 6
Queremos o resultado anterior em coordenadas esfericas
x = rsinθcosφ
y = rsinθsinφ
z = rcosθ
Sabemos que dada uma transformacao de coordenadas
xi = xi (y)
temos∂
∂xi=∑j
∂yj∂xi
∂
∂yj
para o x∂
∂x=∂r
∂x
∂
∂r+∂θ
∂x
∂
∂θ+∂φ
∂x
∂
∂φ
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 4 / 6
Queremos o resultado anterior em coordenadas esfericas
x = rsinθcosφ
y = rsinθsinφ
z = rcosθ
Sabemos que dada uma transformacao de coordenadas
xi = xi (y)
temos∂
∂xi=∑j
∂yj∂xi
∂
∂yj
para o y∂
∂y=∂r
∂y
∂
∂r+∂θ
∂y
∂
∂θ+∂φ
∂y
∂
∂φ
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 4 / 6
Queremos o resultado anterior em coordenadas esfericas
x = rsinθcosφ
y = rsinθsinφ
z = rcosθ
Sabemos que dada uma transformacao de coordenadas
xi = xi (y)
temos∂
∂xi=∑j
∂yj∂xi
∂
∂yj
para o z∂
∂z=∂r
∂z
∂
∂r+∂θ
∂z
∂
∂θ+∂φ
∂z
∂
∂φ
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 4 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= ,
∂r
∂y= ,
∂r
∂z= ;
= , = , = ;
= , = , =
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x=
x
r
,∂r
∂y= ,
∂r
∂z= ;
= , = , = ;
= , = , =
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= sinθcosφ
,∂r
∂y= ,
∂r
∂z= ;
= , = , = ;
= , = , =
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= sinθcosφ,
∂r
∂y=
y
r
,∂r
∂z= ;
= , = , = ;
= , = , =
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= sinθcosφ,
∂r
∂y= sinθsinφ
,∂r
∂z= ;
= , = , = ;
= , = , =
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= sinθcosφ,
∂r
∂y= sinθsinφ,
∂r
∂z=
z
r
;
= , = , = ;
= , = , =
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= sinθcosφ,
∂r
∂y= sinθsinφ,
∂r
∂z= cosθ
;
= , = , = ;
= , = , =
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= sinθcosφ,
∂r
∂y= sinθsinφ,
∂r
∂z= cosθ;
∂cosθ
∂x=
∂
∂x
(zr
)
, = , = ;
= , = , =
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= sinθcosφ,
∂r
∂y= sinθsinφ,
∂r
∂z= cosθ;
− sinθ∂θ
∂x=
∂
∂x
(zr
)
, = , = ;
= , = , =
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= sinθcosφ,
∂r
∂y= sinθsinφ,
∂r
∂z= cosθ;
− sinθ∂θ
∂x= − z
r2∂r
∂x
, = , = ;
= , = , =
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= sinθcosφ,
∂r
∂y= sinθsinφ,
∂r
∂z= cosθ;
∂θ
∂x=
cosφcosθ
r
, = , = ;
= , = , =
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= sinθcosφ,
∂r
∂y= sinθsinφ,
∂r
∂z= cosθ;
∂θ
∂x=
cosφcosθ
r,
∂cosθ
∂y=
∂
∂y
(zr
)
, = ;
= , = , =
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= sinθcosφ,
∂r
∂y= sinθsinφ,
∂r
∂z= cosθ;
∂θ
∂x=
cosφcosθ
r,
∂θ
∂y=
sinφcosθ
r
, = ;
= , = , =
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= sinθcosφ,
∂r
∂y= sinθsinφ,
∂r
∂z= cosθ;
∂θ
∂x=
cosφcosθ
r,
∂θ
∂y=
sinφcosθ
r,
∂cosθ
∂z=
∂
∂z
(zr
)
;
= , = , =
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= sinθcosφ,
∂r
∂y= sinθsinφ,
∂r
∂z= cosθ;
∂θ
∂x=
cosφcosθ
r,
∂θ
∂y=
sinφcosθ
r,
∂θ
∂z= − sinθ
r
;
= , = , =
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= sinθcosφ,
∂r
∂y= sinθsinφ,
∂r
∂z= cosθ;
∂θ
∂x=
cosφcosθ
r,
∂θ
∂y=
sinφcosθ
r,
∂θ
∂z= − sinθ
r;
∂tgφ
∂x=
∂
∂x
(yx
)
, = , =
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= sinθcosφ,
∂r
∂y= sinθsinφ,
∂r
∂z= cosθ;
∂θ
∂x=
cosφcosθ
r,
∂θ
∂y=
sinφcosθ
r,
∂θ
∂z= − sinθ
r;
sec2φ∂φ
∂x=
∂
∂x
(yx
)
, = , =
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= sinθcosφ,
∂r
∂y= sinθsinφ,
∂r
∂z= cosθ;
∂θ
∂x=
cosφcosθ
r,
∂θ
∂y=
sinφcosθ
r,
∂θ
∂z= − sinθ
r;
sec2φ∂φ
∂x= − y
x2
, = , =
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= sinθcosφ,
∂r
∂y= sinθsinφ,
∂r
∂z= cosθ;
∂θ
∂x=
cosφcosθ
r,
∂θ
∂y=
sinφcosθ
r,
∂θ
∂z= − sinθ
r;
∂φ
∂x= − sinφ
rsinθ
, = , =
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= sinθcosφ,
∂r
∂y= sinθsinφ,
∂r
∂z= cosθ;
∂θ
∂x=
cosφcosθ
r,
∂θ
∂y=
sinφcosθ
r,
∂θ
∂z= − sinθ
r;
∂φ
∂x= − sinφ
rsinθ,
∂tgφ
∂y=
∂
∂y
(yx
)
, =
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= sinθcosφ,
∂r
∂y= sinθsinφ,
∂r
∂z= cosθ;
∂θ
∂x=
cosφcosθ
r,
∂θ
∂y=
sinφcosθ
r,
∂θ
∂z= − sinθ
r;
∂φ
∂x= − sinφ
rsinθ,
∂φ
∂y=
cosφ
rsinθ
, =
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= sinθcosφ,
∂r
∂y= sinθsinφ,
∂r
∂z= cosθ;
∂θ
∂x=
cosφcosθ
r,
∂θ
∂y=
sinφcosθ
r,
∂θ
∂z= − sinθ
r;
∂φ
∂x= − sinφ
rsinθ,
∂φ
∂y=
cosφ
rsinθ,
∂tgφ
∂z=
∂
∂z
(yx
)
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Usando a definicao de coordenadas esfericas temos
r =√
x2 + y2 + z2, cosθ =z
r, tgφ =
y
x
Com isso, as componentes do Jacobiano sao
∂r
∂x= sinθcosφ,
∂r
∂y= sinθsinφ,
∂r
∂z= cosθ;
∂θ
∂x=
cosφcosθ
r,
∂θ
∂y=
sinφcosθ
r,
∂θ
∂z= − sinθ
r;
∂φ
∂x= − sinφ
rsinθ,
∂φ
∂y=
cosφ
rsinθ,
∂φ
∂z= 0.
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 5 / 6
Portanto ⟨r ′ |Lx |α
⟩= −i~
(y∂
∂z− z
∂
∂y
)⟨r ′|α
⟩
= −i~[rsinθsinφ
(∂r
∂z
∂
∂r+∂θ
∂z
∂
∂θ+∂φ
∂z
∂
∂φ
)− rcosθ
(∂r
∂y
∂
∂r+∂θ
∂y
∂
∂θ+∂φ
∂y
∂
∂φ
)] ⟨r ′|α
⟩⇔⟨r ′ |Lx |α
⟩= i~
(sinφ
∂
∂θ+ cosφcotgθ
∂
∂φ
)⟨r ′|α
⟩De forma analoga para o y:
⟨r ′ |Ly |α
⟩= i~
(−cosφ
∂
∂θ+ sinφcotgθ
∂
∂φ
)⟨r ′|α
⟩
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 6 / 6
Portanto ⟨r ′ |Lx |α
⟩= −i~
(y∂
∂z− z
∂
∂y
)⟨r ′|α
⟩= −i~
[rsinθsinφ
(∂r
∂z
∂
∂r+∂θ
∂z
∂
∂θ+∂φ
∂z
∂
∂φ
)− rcosθ
(∂r
∂y
∂
∂r+∂θ
∂y
∂
∂θ+∂φ
∂y
∂
∂φ
)] ⟨r ′|α
⟩
⇔⟨r ′ |Lx |α
⟩= i~
(sinφ
∂
∂θ+ cosφcotgθ
∂
∂φ
)⟨r ′|α
⟩De forma analoga para o y:
⟨r ′ |Ly |α
⟩= i~
(−cosφ
∂
∂θ+ sinφcotgθ
∂
∂φ
)⟨r ′|α
⟩
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 6 / 6
Portanto ⟨r ′ |Lx |α
⟩= −i~
(y∂
∂z− z
∂
∂y
)⟨r ′|α
⟩= −i~
[rsinθsinφ
(∂r
∂z
∂
∂r+∂θ
∂z
∂
∂θ+∂φ
∂z
∂
∂φ
)− rcosθ
(∂r
∂y
∂
∂r+∂θ
∂y
∂
∂θ+∂φ
∂y
∂
∂φ
)] ⟨r ′|α
⟩⇔⟨r ′ |Lx |α
⟩= i~
(sinφ
∂
∂θ+ cosφcotgθ
∂
∂φ
)⟨r ′|α
⟩
De forma analoga para o y:
⟨r ′ |Ly |α
⟩= i~
(−cosφ
∂
∂θ+ sinφcotgθ
∂
∂φ
)⟨r ′|α
⟩
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 6 / 6
Portanto ⟨r ′ |Lx |α
⟩= −i~
(y∂
∂z− z
∂
∂y
)⟨r ′|α
⟩= −i~
[rsinθsinφ
(∂r
∂z
∂
∂r+∂θ
∂z
∂
∂θ+∂φ
∂z
∂
∂φ
)− rcosθ
(∂r
∂y
∂
∂r+∂θ
∂y
∂
∂θ+∂φ
∂y
∂
∂φ
)] ⟨r ′|α
⟩⇔⟨r ′ |Lx |α
⟩= i~
(sinφ
∂
∂θ+ cosφcotgθ
∂
∂φ
)⟨r ′|α
⟩De forma analoga para o y:
⟨r ′ |Ly |α
⟩= i~
(−cosφ
∂
∂θ+ sinφcotgθ
∂
∂φ
)⟨r ′|α
⟩
Gustavo Matheus Gauy Momento angular orbital 1 de Junho, 2020 6 / 6
