MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK

Moment: Bir değişkenin gözlemleri X1, X2, X3, X4….Xn olsun. Bu serinin r’inci momenti:

İşletme no 1 2 3 4 5

Arazi genişliği (da) 5 10 4 3 8

Aritmetik ortalamaya göre

Burada mr, aritmetik ortalamaya göre r’inci momenttir.

r=1 için, aritmetik ortalamaya göre 1. moment; r=2 için ise, aritmetik

ortalamaya göre 2. dereceden momenttir.

Aritmetik ortalamaya göre 2. moment, 2. moment, varyansavaryansa eşittir.

Aritmetik ortalamaya göre 3. momentini hesaplarsak;

İşletme no 1 2 3 4 5

Arazi genişliği (da) 5 10 4 3 8

Çarpıklığı belirlemenin en basit yolu, aritmetik ortalama,

medyan ve mod arasındaki büyüklük ilişkisine bakmaktır.

Veri seti:

= Medyan = Mod ise simetrik,

> Medyan >Mod ise sağa çarpık,

< Medyan < Mod ise, sola çarpık

0

0 m

f (X )

X

0

0 m

f (X )

X

0

0 X

f(X)

X

0

0 X

f(X)

X

0

0 X

f(X)

X

0

0 X

f(X)

X

SimetrikSimetrik Sağa ÇarpıkSağa Çarpık Sola ÇarpıkSola Çarpık

Mod, XmedyanMod, Xmedyanmod

Xmed Xmed mod

Çarpıklığı ölçmek için, çarpıklık moment katsayısından

yararlanabiliriz.

Formülde, a3 çarpıklık moment katsayısı,

m3 aritmetik ortalamaya göre 3. dereceden moment,

s standart sapma,

m2 aritmetik ortalamaya göre 2. dereceden momenttir.

Bir köyde hayvansal üretimde bulunan işletmelerincelendiğinde, büyükbaş hayvan sayısının varyansı6.219, işletmelerin aritmetik ortalamaya göre hayvansayısı 3. dereceden momenti ise -3.6932 olarakhesaplanmıştır. Çarpıklık moment katsayısıyla, büyükbaşhayvan sayısının çarpıklığını yorumlayalım.

, sıfırdan küçük olduğuna göre, büyükbaş hayvan sayısı sola çarpıktır.

Dolayısıyla, hayvan sayısı yüksek olan işletmeler çoğunluktadır.

Basıklık, bir dağılımın, normal dağılış eğrisine göre, zirveli olma durumudur.

SivriOrta basık

Düz

4. dereceden moment: 150.3371 ise dağılımın basıklığı kaç olur?

>3 olarak hesaplandığından, normal dağılışa göre daha sivridir.

Önemli not:

OLASILIK

Olasılık; bir olayın gelecekte ortaya çıkma ihtimalidir.

0 ile 1 arasında bir değer alır.

İstatistikçiler olasılığı genellikle, ondalıklı olarak ifade ederler.

Yöneticiler ise yüzde kullanırlar.

Olasılıkla ilgili konuların kolay kavranabilmesi

için, öncelikle bazı temel terimlerin bilinmesi

gerekir.

Deney: Belli bir sonuç ya da sonuçlar üreten işlem veya süreçtir. Bir deneyin sonuçları, açıkça ayırt edilebilir. Ancak, deneyin sonuçlarından emin olunamaz.

Örnek Uzayı: Bir deneyin, mümkün olan tüm sonuçlarını kapsar. S ile gösterilir.

Olay: Bir deneye ait örnek uzayının alt kümesidir. Belli bir tanıma uygun sonuçları içerir.

Deneyin Adı Örnek Uzayı (mümkün

sonuçlar)

Bir kez para atma Yazı, tura

Bir kez zar atma 1, 2, 3, 4, 5, 6

Yeni tohumluk seçme Yüksek verim, öncekiyle aynı,

düşük verim

Yatırım kararı Kar eder, zarar eder

Pazardan elma satın alma Çürük, Çürüksüz

Doğum Oğlan, kız

İki para aynı anda (veya bir para ard arda) atılıyor. Bu

deneyin tüm mümkün sonuçları aşağıda verilmiştir.

İki para aynı anda (veya bir para ard arda) atılıyor. Bu

deneyin tüm mümkün sonuçları aşağıda verilmiştir.

İki para örneğiİki para örneği

Para 2

Para 1 Y T

Y YY YT

T TY TT

Bu deneyin örnek uzayı: S = {YY, YT, TY, TT}

Burada, iki paranın da yazı gelmesi (YY) bir sonuçtur. 1. zarın yazı, ikinci

zarın tura (YT) gelmesi de bir sonuçtur.

Bu deneyin örnek uzayı: S = {YY, YT, TY, TT}

Burada, iki paranın da yazı gelmesi (YY) bir sonuçtur. 1. zarın yazı, ikinci

zarın tura (YT) gelmesi de bir sonuçtur.

Para 2

Para 1 Y T

Y YY YT

T TY TT

Her ikisinin birden aynı olması, bir olayı tanımlar. Bu olay, örnek uzayının

bir alt kümesidir: A = {YY, TT}

İki zar aynı atılıyor. Bu deneyin 36 mümkün sonucu vardır (62 = 36).

Buna göre, örnek uzayının 36 elemanı bulunmaktadır.

Her ikisinin birden aynı olması, bir olayı tanımlar. Bu olay, örnek uzayının

bir alt kümesidir: A = {YY, TT}

İki zar aynı atılıyor. Bu deneyin 36 mümkün sonucu vardır (62 = 36).

Buna göre, örnek uzayının 36 elemanı bulunmaktadır.

Üç para aynı anda (veya bir para ard arda üç kez) atılıyor. Bu deneyin tüm

mümkün sonuçları, dallı çizelge kullanılarak aşağıda gösterilmiştir.

Üç para aynı anda (veya bir para ard arda üç kez) atılıyor. Bu deneyin tüm

mümkün sonuçları, dallı çizelge kullanılarak aşağıda gösterilmiştir.

Buna göre örnek uzayı:

S= { YYY, YYT, YTY, YTT, TYY,

TYT,TTY, TTT }

Buna göre örnek uzayı:

S= { YYY, YYT, YTY, YTT, TYY,

TYT,TTY, TTT }

Üç paranın da aynı olması:

A= { YYY, TTT }

Üç paranın da aynı olması:

A= { YYY, TTT }

Üç paranın ikisinin de aynı

olması olayı:

B= { YYT, YTY, YTT, TYY, TYT,

TTY}

Üç paranın ikisinin de aynı

olması olayı:

B= { YYT, YTY, YTT, TYY, TYT,

TTY}

• A) Örnek uzayının genişliği: Mümkün sonuçlar ve aynı anda tekrarlanma sayısı ise; 5 bozuk para aynı anda (yada bir para 5 kez ard arda) atılırsa örnek uzayı kaç sonuçtan oluşur?

• B) Yada 3 zar aynı anda atılırsa kaç farklı sonuç ortaya çıkar?

X= Mümkün olan sonuçlarn= tekrarlanma sayısı

Bozuk para

Olasılığın Hesaplanması

Olasılık 3 yaklaşımla hesaplanabilir:

1. Öznel olasılık yaklaşımı

2. Klasik olasılık yaklaşımı

3. Oransal olasılık yaklaşımı

Hangi yaklaşımla olursa olsun, bir A olayının olasılığını P(A) ile göstereceğiz.

Öznel Olasılık Yaklaşımı

Belli bir olayın (veya sonucun) gelecekte meydana gelme ihtimali, geçmiş

deneyim ve bilgilere dayanarak belirleniyorsa subjektif olasılıktan söz edilir.

Örneğin, bir çiftçi geçmiş yıllardaki gözlemlerine göre, Nisan ayının ilk

haftasında yağmur yağma olasılığının %80 olduğunu söyleyebilir.

Bir başka çiftçi ise %75 diyebilir.

Her ikisi de bir olasılıktır. Ancak kişiye göre değişmektedir.

İki çiftçi de, bu dönemde yağmur yağma olasılığını subjektif olarak

belirlemiştir.

Öznel Olasılık Yaklaşımı

Belli bir olayın (veya sonucun) gelecekte meydana gelme ihtimali, geçmiş

deneyim ve bilgilere dayanarak belirleniyorsa subjektif olasılıktan söz edilir.

Örneğin, bir çiftçi geçmiş yıllardaki gözlemlerine göre, Nisan ayının ilk

haftasında yağmur yağma olasılığının %80 olduğunu söyleyebilir.

Bir başka çiftçi ise %75 diyebilir.

Her ikisi de bir olasılıktır. Ancak kişiye göre değişmektedir.

İki çiftçi de, bu dönemde yağmur yağma olasılığını subjektif olarak

belirlemiştir.

Klasik Olasılık Yaklaşımı

Bu yaklaşımda, bir deneyin tüm sonuçlarının olasılıkları

birbirine eşittir.

Örneğin, bir para atıldığında örnek uzayı S = {Y, T}’dir.

Gerek yazı gelme, gerekse tura gelme sonuçlarının

olasılıkları 1/2’dir.

Aynı şekilde zar atma deneyinde, herbir yüzün olasılığı

1/6’dır.

Klasik Olasılık Yaklaşımı

Bu yaklaşımda, bir deneyin tüm sonuçlarının olasılıkları

birbirine eşittir.

Örneğin, bir para atıldığında örnek uzayı S = {Y, T}’dir.

Gerek yazı gelme, gerekse tura gelme sonuçlarının

olasılıkları 1/2’dir.

Aynı şekilde zar atma deneyinde, herbir yüzün olasılığı

1/6’dır.

Oransal Frekans Yaklaşımı

Herhangi bir deneyin n kez tekrarlanması durumunda, bir olayın

gözlenme durumunun oransal olarak ifade edilmesi, oransal frekansı

verir.

Yani, bir olayın olasılığı, deneyin tekrarlanma sayısı sonsuza

yaklaşırken, o olayın oransal frekansının alacağı limit değeridir.

P(A) = lim n(A)

n ∞

Pearson, bir parayı 24000 kez atmış ve 12024’inin tura olduğunu

görmüştür. Buna göre oransal tura gelme olasılığı:

12024 / 24000 = 0.501 olarak hesaplanır.

Oransal Frekans Yaklaşımı

Herhangi bir deneyin n kez tekrarlanması durumunda, bir olayın

gözlenme durumunun oransal olarak ifade edilmesi, oransal frekansı

verir.

Yani, bir olayın olasılığı, deneyin tekrarlanma sayısı sonsuza

yaklaşırken, o olayın oransal frekansının alacağı limit değeridir.

P(A) = lim n(A)

n ∞

Pearson, bir parayı 24000 kez atmış ve 12024’inin tura olduğunu

görmüştür. Buna göre oransal tura gelme olasılığı:

12024 / 24000 = 0.501 olarak hesaplanır.

• Olayların Olasılıkları Belirlenirken Uygulanan Kurallar

1. Bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasındadır. Örneğin bir para atıldığında yazı gelme olasılığı 0.5’tir. 0’dan küçük veya 1’den büyük olamaz.

2. Bir örnek uzayındaki, tüm sonuçların olasılıkları toplamı, 1’e eşittir. Örneğin, bir para bir kez atıldığında yazı veya tura gelebilir. Her iki sonucun olasılıkları da 0.5’tir. Bu iki olasılığın toplamı 1’dir.

3. p(S) = 1 (Örnek uzayın olasılığı 1’dir) (P= probability).

4. P(Φ) = 0 (Boş kümenin olasılığı sıfırdır).

Olayların Olasılıkları Belirlenirken Uygulanan Kurallar

(devam)

5. p(A’) = 1- p(A)

Burada S, örnek uzayı; A, bir olay; A’ ise A’nın tümleyicisi

(veya değili)’dir.

Örnek uzayının olasılığı 1’den, A olayının olasılığı

çıkarıldığında, A dışındaki olayların olasılığına ulaşılır.

Olayların Olasılıkları Belirlenirken Uygulanan Kurallar

(devam)

5. p(A’) = 1- p(A)

Burada S, örnek uzayı; A, bir olay; A’ ise A’nın tümleyicisi

(veya değili)’dir.

Örnek uzayının olasılığı 1’den, A olayının olasılığı

çıkarıldığında, A dışındaki olayların olasılığına ulaşılır.

S

AA’

• Bir para 4 kez atıldığında 2’sinin tura gelme olasılığı

nedir?

• S = 2*2*2*2=16

• A = {YYTT,YTTY,TTYY,TYTY,TYYT,YTYT}, n(A) = 6

• P (A) = 1/16 + 1/16 + 1/16+1/16+1/16+1/16 = 6/16

veya

• P(A) = n(A) / n(S) = 3/8

Olasılık Kuralları

Olasılık hesapları, iki kural çerçevesinde yapılır.

1. Toplama Kuralı

2. Çarpma Kuralı

Toplama Kuralı

Birbirini engelleyen olaylar (ayrı olaylar)

Birbirini engellemeyen olaylar için farklı şekillerde uygulanır.

Bir para bir kez atıldığında, ya yazı ya da tura gelir. İkisinin aynı anda gelme olasılığı yoktur. Bu nedenle yazı ve tura gelme olayları, ayrı olaylardır.

Bir zar atıldığında, 6 yüzden sadece biri üste gelir. Bu nedenle, zarın yüzleri ayrı olaylardır.

Bir işe 4 adaydan biri alınacaksa, bu adaylar ayrı olayları temsil eder. Zira, adaylardan birinin tercih edilmesi , diğer üçünün işe alınmasını engelleyecektir.

Bir peynir işletmesinde, 500 gram’lık beyaz peynir paketlemesi

yapılmaktadır. Paketleme makinesi, paketleri bazen 500

gramdan az, bazen 500 gramdan çok, çoğu zaman da 500

gram olarak paketleme yapmaktadır. İşletme bandından 1000

paket tesadüfi bir örnek çekilip tartıldığında;

Bir peynir işletmesinde, 500 gram’lık beyaz peynir paketlemesi

yapılmaktadır. Paketleme makinesi, paketleri bazen 500

gramdan az, bazen 500 gramdan çok, çoğu zaman da 500

gram olarak paketleme yapmaktadır. İşletme bandından 1000

paket tesadüfi bir örnek çekilip tartıldığında;

Olay Ağırlık Şişe sayısı Olasılık

A < 500 gr. 25 0.025

B = 500 gr. 930 0.930

C > 500 gr. 45 0.045

Toplam 1000 1.00

a) Rastgele çekilen bir paketin 500 gram üstünde veya

500 gram altında olma olasılığı nedir?

• P (A veya C) = P(A) + P(C) = 0.025 + 0.045 = 0.07

b) Rastgele çekilen bir paketin 500 gramdan fazla veya tam

500 gram peynir olma olasılığı nedir?

• P (A veya B) = P(A) + P(B) = 0.045 + 0.930 = 0.975

Olay Olasılık

A 0.025

B 0.930

C 0.045

Toplam 1.00

Birbirini Engellemeyen Olaylar

Eğer A ve B olayları, aynı anda meydana gelebiliyorsa, bu

olaylara birbirini engellemeyen olaylar denir

Birbirini Engellemeyen Olaylar

Eğer A ve B olayları, aynı anda meydana gelebiliyorsa, bu

olaylara birbirini engellemeyen olaylar denir

AB

S

52’lik iskambil destesinden çekilen kartın maça veya as olması,

Karışık karpuz yığınından rastgele çekilen karpuzun kırmızı veya Adana karpuzu olması

A, B, C köylerinde tarım yapan çiftçilerden rastgele çekilen bir çiftçinin A köyünden veya

pamuk yetiştiriyor olması,

Ziraat fakültesi öğrencilerinden rastgele seçilecek bir öğrencinin tarım ekonomisi öğrencisi veya kız olması birbirini engellemeyen A ve B olayları için toplama kuralı:

• P (A veya B) = P(A) + P (B) – P(A ve B)

• formülüyle uygulanır.

• S =962 Toplam öğrenci sayısı

• P(A) =69 Tarım ekonomisi öğrencisi

• P (B) =493 Ziraat fakültesi öğrencilerinin sayısı

• P(A ve B) =41 Tarım ekonomisi bölümündeki kız öğrenci sayısı

• P (A veya B) = P(69/962) + P (493/962) – P(41/962)=0.5415

Çarpma Kuralı

1) Ardışık Bağımsız Olaylar: Bir olayın meydana gelmesi, diğerine (veya kendisinden sonra gelene) bağlı değilse, bu olaylar birbirinden bağımsızdır.

İki zar aynı anda atıldığında, ikisinin de 1 gelmesi

Bir zar ard arda atıldığında, ikisinin de 6 gelmesi

Bir para, iki kez atıldığında ikisinin de tura gelmesi

Bir sınıftan rastgele çekilen iki öğrencinin, ikisinin de erkek olması.

Birbirinden bağımsız ardışık olayların olasılığı:

p(A ve B) = p(A). p(B) formülüyle hesaplanır.

İki hilesiz zar birlikte atılıyor:

a) İki zarın da 4 gelmesi olasılığı nedir?

p(A ve B) = P(4) . P(4)

P(4 ve 4) = (1/6) . (1/6) = 1/36

b) Birinin 2, diğerinin 5 gelmesi olasılığı nedir?

p(2 ve 5) = (1/6) . (1/6) = 1/36

Hilesiz bir zar 4 kez atılıyor.

a) İlk 2 atışta 3 gelmesi olasılığı nedir?

• 3 gelme olasılığı = 1/6

• 3 gelmeme olasılığı = 1 – (1/6) = 5/6

• p(3 ve 3 ve 3 değil ve 3 değil) =

• =(1/6).(1/6).(5/6).(5/6) = 25/1296

Hilesiz bir zar 4 kez atılıyor.

a) İlk 2 atışta 3 gelmesi olasılığı nedir?

• 3 gelme olasılığı = 1/6

• 3 gelmeme olasılığı = 1 – (1/6) = 5/6

• p(3 ve 3 ve 3 değil ve 3 değil) =

• =(1/6).(1/6).(5/6).(5/6) = 25/1296

• Bir bölgede çiftçilerin %35’i pamuk, %40’ı tütün ve

%25’i buğday üretiminde ihtisaslaşmıştır. Buna göre

ard arda rastgele 3 çiftçi popülasyon içinden

çekilmiştir:

a) Pamuk, tütün ve buğday yetiştiren işletmeciyle

karşılaşma olasılığı nedir?

p(P ve T ve B) = (0.35).(0.40).(0.25) = 0.035

b) İlk ikisinde buğday, sonuncusunda tütün yetiştiren

işletmeci çıkma olasılığı nedir?

p(B ve B ve T) = (0.25).(0.25).(0.40) = 0.025

2) Ardışık Bağımlı Olaylar: İki olaydan biri

gerçekleşmeden, diğeri gerçekleşmiyorsa,

ardışık bağımlı olaylardan söz edilir.

52’lik bir iskambil destesinden, ilk çekilen kartın as

olduğu bilinirken, ikincisinin vale olması

Bir sınıftan rastgele çekilen ilk öğrencinin kız

olduğu bilinirken, bu öğrencinin ailesinin İzmir’de

oturuyor olması

• Ardışık bağımlı olayların olasılığı:

p(A ve B) = p(A) . p(B/A)

formülüyle hesaplanır.

Burada p(B/A), A gerçekleştikten sonra, B’nin gerçekleşme olasılığıdır.

Bir başka ifade ile p(B/A), B’nin A’ya göre şartlı olasılığıdır.

Bir işletme ürettiği ürünlerin %4 hatalı olduğunu bilmektedir. 50 örnek bulunan bir kutudan rastgele yapılan ilk çekilişte sağlam bir ürün çıkmıştır. Bu ürün iade edilmediğine göre, ikincisinin hatalı çıkma olasılığı nedir?

p(S ve H) = p(S) . p(H/S) =

p(S) = (4/100) . (50) = 2 adet hatalı

p(S) = [(50-2)/50] = 48/50

p(H/S) = 2/49 (49= kalan ürün sayısı)

p(S).p(H/S) = (48/50) . (2/49) = 96/2450

Bir uçağın birbirinden bağımsız 3 motoru var. Motorun bozulma oranı 0.01’dir. Bir uçuşun tamamlanabilmesi için tek bir motorun bozulmaması yeterli olduğuna göre, başarılı uçuş şansı nedir?

Uçağın düşmesi için 3 motorun da bozulması gerektiğine göre:

p(Uçak düşer) = p(A1 ve A2 ve A3)

• = (0.01).(0.01).(0.01) = 0.000001

p(Uçak düşmez) = 1 – p(Uçak düşer) = 1 – 0.000001

• = 0.999999

Sayma Kuralları

Olasılıkla ilgili problemlerin çözümünde, bazı sayma kurallarına ihtiyaç duyulmaktadır.

Bu kurallar, belli bir olayın, örnek uzayda kaç kez yer aldığını, tüm olayları listelemeden hesaplamamıza yardımcı olacaktır.

Eşleşme

Eğer bir A işlemi n şekilde, B işlemi m şekilde meydana gelebiliyorsa, iki işlem birlikte mxnşekilde gerçekleşebilir.

3 pantolonu ve 5 ayakkabısı olan bir kişi kaç

değişik şekilde giyebileceğini öğrenmek

istiyorsa, ortaya çıkabilecek

kombinasyonlar:

• m.n. = 3.5. = 15 olarak hesaplanır.

• Çünkü her bir pantolonun altına, 5 ayrı

ayakkabı giyilecektir.

• (uyumlu olsa da olmasa da)

Permütasyon

• n adet nesne arasından seçilebilecek r elemanlı küme sayısıdır.

Nesnelerin sırası veya yeri dikkate alınır.

Örneğin 3 çeşit tarım ürünü yan yana 2 ayrı parsele kaç değişik şekilde ekimi yapılabilir, permütasyonla belirleriz.

Buğday, Mısır ve Pamuk 2 parsele:

(Buğday, Mısır), (Mısır, Buğday), (Mısır, Pamuk), (Pamuk, Mısır), (Buğday, Pamuk), (Pamuk , Buğday)

6 farklı şekilde oturabilir.

• Formülü:

• n: Nesne sayısı

• r: Nesnelerle kaçarlı gruplar oluşturulacağı

Bir önceki slayttaki örnek için, permütasyon formülünü kullanırsak:

Otobüse yeni binen iki yolcu, 6 boş yer

olduğunu görüyor. Kaç değişik şekilde

oturabilirler?

• n= 6, r= 2

Sayısal lotoyu kazanmak için kaç kolon oynamak lazım?

49 sayı 6 farklı şekilde……………..

Yada şans topu

49 sayı 5 farklı şekilde 12 sayı bir farklı şekilde….

Kombinasyon

Belli sayıda nesnenin, sıralama önemli olmaksızın kaç değişik şekilde sıralanabileceği, kombinasyonla hesaplanabilir.

Permütasyondan farkı, diziliş sırasının veya yerinin önemli olmamasıdır.

Örneğin; Ahmet, Mustafa ve Emre’den oluşturulacak ikişerli gruplar:

(Ahmet, Mustafa), (Ahmet, Emre), (Mustafa, Emre)

şeklindedir.

• Formülü :

• n: Olay sayısı

• r: Olaylarla kaçarlı gruplar oluşturulacağı

• Yukarıdaki örnek için kombinasyon formülü kullanılırsa

Yem üreticisi bir firma 10 farklı rasyon yem

üretmektedir. Firma üreticiler için, her

birinde 2 farklı yem rasyonu bulunan

paketleri hazırlamak istemektedir. Bu

paketler, kaç farklı şekilde hazırlanabilir?

Mini Sınav

Bir bahçıvan dikeceği 5 çeşit ağacı, 20 çeşit

ağaç arasından seçecektir. Bu seçim, kaç

farklı şekilde yapılabilir?