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MÓDULOMATEMÁTICA
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Fundamentación
La Matemática es una ciencia dinámica, siempre inserta en la historia de la humanidad como ciencia autónoma y como instrumento para otras ciencias, unida al desarrollo tecnológico e íntimamente ligada a la filosofía por su reflexión teórica.
La Matemática se ha incluido en toda propuesta curricular, no sólo por el valor y finalidad de sus contenidos específicos, sino también por sus aportes para el desarrollo del razonamiento lógico. En este sentido, cabe señalar que la educación matemática tiene fundamental incidencia en el desarrollo intelectual de los estudiantes tanto en forma individual como en grupos.
"Es necesario que los alumnos adquieran habilidades sociales, que les permitan trabajar y resolver dificultades en grupos heterogéneos, con personas de diferentes capacidades que ellos. Debemos formar ciudadanos sanamente escépticos, inquietos, con gran curiosidad y ganas de aprender, y con recursos propios para poder hacerlo. El reto está ahí (…) es necesario saber afrontarlo..."1
En el intento de lograr alfabetizarlos académicamente, los estudiantes deberán fortalecer procesos típicos del pensamiento matemático ya adquiridos o incorporar otros nuevos, comunicarlos y compartirlos para lo cual se enfatizará el conocimiento y el empleo de estrategias de resolución de problemas, es decir se promoverá que los estudiantes aborden estrategias propias, utilicen las representaciones que consideren adecuadas, discutan con sus pares, expliquen sus ideas, den razones de sus procedimientos y resultados, confronten sus producciones con las de otros, acepten críticas así como otros puntos de vista.
El Proceso de Aprendizaje de la Matemática, en el contexto de la Universidad, debe constituir una instancia en la que el futuro profesional interactúe con el conocimiento matemático de un modo constructivo que le permita apropiárselo y, simultáneamente, le proporcione la vivencia de que él también es un productor - generador de dicho conocimiento; es esta vivencia la que le permitirá revalorizarse como sujeto activo de su propio proceso de formación.
Las competencias de resolución de problemas son el eje de la actividad matemática. Estas competencias se desarrollan mediante el tratamiento de ciertos contenidos por su valor instrumental ante las demandas científicas, tecnológicas, sociales y éticas, de este tiempo.
En consecuencia, la formación del futuro profesional, la búsqueda de ejes de articulación e integración entre contenidos y métodos, conocimientos y procedimientos, saberes científicos y saberes de construcción posibilitan la evolución de la estructura del pensamiento.
1 Claudi Alsina en “El curriculum de matemática en los inicios del siglo XXI”, 2000
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Presentación del módulo
Bienvenidos/as a esta joven casa de estudios que, a partir de hoy, esperamos que sientan suya.
Entre otros preparativos que ya habrán advertido, pensamos en este módulo acorde con la fundamentación del área, para que juntos comencemos a repasar algunos contenidos que trabajaron en la escuela secundaria, pero además estas páginas tienen otro objetivo: comenzar a prepararlos para el estilo de trabajo que se espera que desarrollen en el ámbito académico superior.
Por supuesto que la asimilación del estilo de trabajo habitual en una Universidad no se adquiere de la mañana a la noche y por eso este módulo y todo el trabajo que vamos a desarrollar juntos durante el curso introductorio es una pequeña muestra del mismo (como para “empezar”) y esperamos continuar con esta tarea durante todo el primer año en forma explícita y durante toda la carrera en la habitualidad de la vida académica.
En este marco es conveniente contarles algunas características del material que tienen en sus manos de manera que no se sorprendan al encontrarse con la propuesta y puedan aprovecharla de la mejor manera.
Antes de empezar queremos que sepan que estamos concientes de que la Matemática suele considerarse una de las materias más difíciles y por ahí es cierto: es una materia que necesita que le presten mucha atención. Pero históricamente es fruto del trabajo sostenido de muchas personas. Personas como ustedes y como nosotros.
Es cierto que entre las personas algunas son capaces de lograr genialidades con lo que todos manejamos cotidianamente pero también es verdad que no es necesario ser un genio capaz de inventar un teléfono celular, para usarlo en forma competente.
Es decir: la Matemática es una creación humana y como tal es accesible a todos. Está a su disposición para que la aprendan, la dominen y la apliquen cuando la necesiten.
Continuando con el módulo, en primer lugar se han pensado seis bloques que serán los ejes de trabajo en cada encuentro:
• Bloque 1: Números y operaciones
• Bloque 2: Polinomios
• Bloque 3: Funciones - Función lineal
• Bloque 4: Función lineal II
• Bloque 5: Función cuadrática
• Bloque 6: Trigonometría
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Los bloques tienen una estructura que progresivamente irán incentivando una forma de trabajo autónomo.
En cada uno de ellos encontrarán multitud de actividades que les permitirán
- Recordar los contenidos involucrados
En este caso, se trató de secuenciar las actividades para que repases.
- Aplicar esos contenidos en la resolución de problemas
Existen tres tipos de estas actividades: ejercicios, desafíos y problemas. En cada tipo de actividades tendrán la oportunidad de poner en juego sus conocimientos. Los desafíos suelen ser problemas al interior de los contenidos trabajados, no son tan difíciles, en todos se han incluidos algunas ayudas, pero lo importante es que se “animen” con ellos y traten de lograr algo aunque tengan que realizar consultas entre ustedes o con el profesor para lograr continuar. En el caso de los problemas es posible que, además de conocer los contenidos necesarios para resolverlos, tengan que usar una cuota de ingenio para poder interrelacionarlos y lograr una solución aunque sea provisoria.
- Distinguir cuestiones que es importante que consulten y estudien
Permanentemente aparecen recuadros o señalamientos que es importante que tengan en cuenta a la hora de estudiar.
Recuerden que este módulo es de ustedes y que resultará conveniente que se adueñen de él para realizar anotaciones de cuestiones que les parezcan importantes y que amplíen de forma personal lo que sugerimos que estudien.
Esta es una propuesta que esperamos mejorar después de ponerla en acción con su ayuda, por lo que esperamos que lo utilicen lo mejor que puedan y realicen consultas para que podamos hacer cambios para beneficio de quienes mañana serán tus compañeros.
Les agradecemos su trabajo, el empeño que, estamos seguros, van a poner en esta empresa y que nos hayan elegido para continuar sus estudios.
Los profesores de Matemática
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BLOQUE 1: Números y Operaciones Introducción En este bloque recordaremos los distintos conjuntos numéricos, su representación en la recta numérica y la resolución de ecuaciones e inecuaciones. Ésta es una de las etapas en la que haremos un recorrido por conocimientos ya adquiridos, por lo tanto no se preocupen , todo esto ya lo vieron, tenemos ahora la oportunidad de revisar juntos todo lo que ya saben. La idea es que logren Interpretar enunciados coloquiales y pasarlos al “lenguaje matemático” para resolver situaciones problemáticas, es decir que repasen el trabajo de resolución de ecuaciones e inecuaciones logrando reconocer los tipos de números que estén involucrados en ese trabajo.
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Guía de trabajo nº 1 Conjuntos numéricos
• Introducción Desde que el hombre tiene memoria siempre se ha manejado con cantidades,
siempre ha contado. Contando es como aparece el primer concepto de número, es así como surgen los números naturales (N) .
En el conjunto de los números naturales pueden realizarse sin problemas operaciones como la adición y la multiplicación. Esto quiere decir que la suma de dos números naturales es siempre natural lo mismo sucede con los productos.
Pero no todas las operaciones son así. Por ejemplo la resta de dos números naturales da un número natural siempre que el minuendo sea mayor que el sustraendo, de lo contrario la sustracción no sería posible.
Es decir: 187 – 35 = 152
En este caso la sustracción es posible en el conjunto de los naturales ya que 182 > 35, pero si intercambiamos minuendo y sustraendo:
35 – 182 = ¿? No existe ningún número natural que sea resultado de esta sustracción. Para que la sustracción no quede “incompleta” (ya que son infinitos los casos
en los que puede suceder esto) se creó un nuevo conjunto numérico: el conjunto de los números enteros (Z) en el que se agrega a los naturales el cero y los números negativos. Cada número negativo es opuesto de uno positivo, es decir, la suma entre ambos es cero.
Ahora si: 35 – 182 = -152
Esto tiene su aplicación en otras ciencias: Por ejemplo, en Física que asigna el “cero” para el punto de congelación del
agua. Las temperaturas superiores a este valor son las temperaturas positivas y las inferiores son las temperaturas negativas.
Del mismo modo se procede para “completar” la división: el cociente es entero siempre y cuando el dividendo sea múltiplo del divisor. Por esos infinitos casos en los que la división no es posible en el conjunto de los números enteros se creó un nuevo conjunto numérico que amplía el de los enteros agregando las fracciones: El conjunto de los números racionales (Q) .
Ahora: -196 : 36 = -4 porque -196 es múltiplo de 36 y…
3 : -4 = - ¾ ya que 3 no es múltiplo de -4 Cuando en Física surge la necesidad de medir magnitudes, que no son
exactas, se usan números racionales . Un número racional es todo aquel número que se puede expresar como un
cociente de dos números enteros. Pero allí estamos en presencia de otro problema: hay algunos números que no pueden escribirse como fracciones (es verdad… aunque usted no lo crea)
Por ejemplo 2 :
Sabemos que 2 no es un número entero ya que no hay ningún entero que elevado al cuadrado de 2.
Supongamos entonces que 2 es racional, es decir:
2 = b
a
Donde:
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1. a y b son números enteros 2. b no es cero ¿por qué? 3. a no es múltiplo de b ¿por qué?
Entonces:
2
2
b
a2 =
y… 22 ab.2 =
Con lo cual a2 debería ser múltiplo de b2 y para que eso suceda a debería ser múltiplo de b lo que contradice lo que dijimos en 3.
Esta contradicción provino de suponer que 2 era racional, y por lo tanto no lo es.
2 es un número irracional Al querer medir ciertas longitudes (por ejemplo, la hipotenusa de un triángulo
rectángulo isósceles en el que los catetos miden una unidad) hallamos raíces como
2 que no son exactas, tienen infinitas cifras decimales no periódicas y, por lo tanto no pueden expresarse como fracciones. Para esos casos se usan los números llamados irracionales . Los números irracionales se agregan a los racionales para formar el conjunto de los números reales (R)
Existen números irracionales muy conocidos en el mundo de la matemática como el número Pi, el número e y el número de Oro .
Hasta aquí ya hemos completado el conjunto de los números Reales , que está formado por los números Racionales y los números Irracionales .
Es así que a cada momento, cuando leemos algún artículo, cuando debemos realizar alguna compra o alguna medición siempre encontramos representantes de los diferentes conjuntos numéricos.
El cuadro que sigue resume el texto y agrega alguna información más:
Será conveniente que, después de leer, consulten las dudas que tengan sobre la información que brindan el texto y el cuadro. Ahora les proponemos algunas actividades:
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Actividad 1 Teniendo en cuenta los conjuntos numéricos, escriban V (verdadero) o F (falso) según corresponda en cada caso. Justifiquen sus respuestas.
(a) 1950 es un Número Real. (b) El número 11,68 es un número entero. (c) El número 3,5 se puede expresar como cociente de dos números enteros,
por eso se trata de un número racional. (d) -3 es un número natural. (e) Todo número natural es entero. (f) Todo número entero es natural. (g) Los múltiplos de 11 son números enteros. (h) La raíz cuadrada de de cinco es racional.
Actividad 2 Clasifiquen las siguientes expresiones en racionales o irracionales.
Ayuda: a veces resultará útil aplicar propiedades de la radicación
(a) 2 + 3
(b) 72 +
(c) 75 +
(d) 10
(e) 8.2
(f) 6 . 6
Siempre se aprende algo nuevo Recordemos que
Todos estos tipos de números se pueden representar en la llamada recta numérica. Vamos a ver con un ejemplo como representar algunos irracionales ya que los racionales son de representación “más sencilla”
Por ejemplo: Representar en la recta numérica 5
Procedimiento:
1- trazamos una circunferencia con centro en 2,5 que pase por cero. Es decir, el diámetro es 5 que es el número del que buscamos la raíz
2- trazamos una perpendicular a la recta numérica que pase por 1, esta perpendicular corta a la circunferencia en a.
3- La distancia desde 0 hasta a es 5 . Compruébenlo
4- Usando el compás trasladamos 5 sobre la recta numérica
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Intervalos numéricos En el conjunto de los números reales se pueden definir intervalos como por ejemplo [-2; 5) que incluye todos los números que están entre el -2 y el 5 , incluyendo al 2 pero sin incluir al 5. Actividad 3 Coloquen para cada raíz cuadrada los números enteros consecutivos entre los cuales se encuentra el resultado de la misma.
(a) _____< 17 <_____
(b) _____< 130<_____
(c) _____<- 19 <_____
(d) _____<- 7 <_____
(e) _____< 35<_____
(f) _____<- 28 <_____
(g) _____<- 76 <_____
(h) _____< 51<_____
Actividad 4 Unan con flechas cada número real con el intervalo al que pertenece, (ojo!!!! Puede que “sobre algo”).
(a) 3
7−
(0;1)
(b) 5 (-3;1)
9
(c) π (-3;-2]
(d) 7
1
(0;1)
(e) 3 100
[3;5]
(f) (0,1)2 (-2;0]
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Guía de trabajo nº2
Ecuaciones e inecuaciones En ocasiones necesitamos representar una situación problemática a través de una “expresión algebraica”. En una expresión algebraica relacionamos números reales y letras, llamadas indeterminadas, a través de operaciones algebraicas como la suma, resta, multiplicación y división.
Una expresión algebraica en la indeterminada x puede ser: 2 3. 4x x+ −
Otra expresión algebraica en la indeterminada x puede ser: 2. 1
2
x
x
−+
Podemos tener más de una indeterminada, por ejemplo, sea la expresión: 3. 2. 5.x y z+ −
En las actividades siguientes trabajaremos con expresiones algebraicas en una indeterminada. Cuando igualamos una expresión algebraica a un número (o a otra expresión algebraica) tenemos una ecuación.
Una ecuación es un modo simbólico de plantear un problema a resolver. En ella suele haber una incógnita que se puede representar con la letra x. Resolver una ecuación es encontrar el valor de x.
Actividad 1
Veamos como plantear de manera simbólica las siguientes situaciones problemáticas.
Ejemplo: ¿Cuál es el número cuya mitad es 5
2?
Veamos:
Hay un número incógnita .......................... x
Su mitad es ............................................. 2
1X
Esa mitad es 5
2..............................
2
1X =
5
2
Luego X = 5
4 ¿por qué?
......................................................................................................................................................
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(a) ¿Cuál es el número cuya tercera parte es 5
2?
(b) ¿Cuál es el número cuyo duplo más su cuarta parte es 5
9?
(c) La mitad de un número más la tercera parte de su consecutivo es siete. ¿De qué número se trata?
(d) La cuarta parte de la diferencia entre un número y su mitad es dos. ¿Cuál es el número?
(e) La tercera parte de la suma de dos números consecutivos es igual a la mitad del mayor de ellos. ¿Cuáles son esos números?
(f) La quinta parte de un número es igual a la séptima parte de su consecutivo aumentado en 1. ¿Cuál es el número?
Actividad 2 Resuelvan las siguientes ecuaciones.
(a) xx4
155,2
2
3 +=− (b) ( ) ( )5,025
146
10
3 +=+− xx
(c) 3,72,52,33,4 +=+ xx (d) 1
3
1
10
46 +−=+− xx
(e) 4
21
5
2 −=− xx (f) ( )43
10
1
2
21
10
243 −−=−−−x
xx
(g) ( ) 64102 2 +=−+ xx (h) ( )( ) ( )132413 −=+− xxx
(i) ( )( ) xxx −=+− 511
(j) Representen en la recta numérica las soluciones de estas ecuaciones
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Guía de trabajo nº3
Actividad 1
Algunas preguntas para consultar:
- ¿Qué es una inecuación?
- ¿Qué diferencia existe entre una ecuación y una inecuación?
- ¿Cómo se representa en la recta numérica el conjunto solución?
Actividad 2
Resuelvan las siguientes inecuaciones y representen en la recta numérica las soluciones que obtengan.
(a) xx 27)4(2 +>+−
(b) ( ) )12(34232 +−≤−− xx
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BLOQUE 2 – Polinomios
Guía de trabajo nº 1
Introducción
En este bloque vamos a trabajar con un tema que será de utilidad para futuros emprendimientos matemáticos.
El tema es el de los polinomios, y en particular los polinomios de una sola variable. Seguramente al nombrarlo aparecen muchas anécdotas todas ellas con un punto en común: “los polinomios son difíciles de entender porque tienen letras”
En parte es cierto: en cada término de un polinomio es posible que encontremos una parte literal, pero no se nos debe escapar que esa parte literal representa números y como tal deben ser tratados. ¿Qué significa esto?:
Seguramente recuerdes que en la escuela te enseñaron a descomponer los números.
En nuestro sistema de numeración se usan 10 dígitos para escribir los números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0. Cada uno tiene un valor particular (absoluto) pero, además de este valor “absoluto” puede adquirir otro según la posición que ocupen dentro de determinado número (relativo):
En 1567 el 5 vale 500
En 1756 el 5 va le 50
En 5761 el 5 vale 5000 etcétera
Esto se debe a que el sistema numérico que usamos se llama decimal (porque usa diez dígitos) y posicional (pues cada dígito tiene valor relativo dependiendo del lugar que ocupa dentro de un número)
Es decir:
Luego 6571 = 6000 + 500 + 70 + 1
= 6 . 1000 + 5 . 100 + 7 . 10 + 1
= 6 . 103 + 5 . 102 + 7 . 101 + 1 . 100 (recordemos que todo número elevado a la cero da uno.
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De a poquito fue apareciendo la base del sistema de numeración que usamos es decir 10.
Pero existen otros sistemas de numeración donde la base no es diez: las computadoras usan un sistema en base 2, mi máquina filmadora usa un sistema en base 16 (después de usar del 0 al 9 empieza a poner letras por ejemplo “1A” es 26)
Es decir que la base del sistema de numeración podría (si quisiéramos) ser un número “x” cualquiera y lo anterior podría escribirse:
P(x)= 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x1 + 1 . x0
O de forma resumida:
P(x) = 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x + 1
¡Apareció un polinomio!
Esto quiere decir que un número es un polinomio, y esto a su vez quiere decir que venimos trabajando con polinomios hace bastante sin darnos cuenta.
Ya sabemos que los números son polinomios pero nos convendría saber más precisamente qué es un polinomio. Para eso vamos resolver algunas actividades con polinomios de una sola variable: x, y , z o la que sea.
Vas a encontrar algo especial en las actividades de este bloque: inmediatamente después de la actividad están las respuestas.
Para nada vayas a pensar que no es necesario resolver lo que pide el enunciado de cada actividad, la idea no es que solamente tengas la respuesta correcta sino que además la entiendas: ¿De qué valdría saber que esto o aquello es polinomio si después, cuando los ejemplos fueran otros no lográramos distinguir si se trata de un polinomio o de cualquier otra cosa?
Por eso preparamos unas indicaciones para la primera actividad y para las demás será importante que trabajes del mismo modo. Y trabajar significa ponerse a tratar de resolver las cosas con empeño y verdadera dedicación sin darse por vencido a la primera dificultad. Para lograrlo es importante contar con alguien para trabajar juntos, por eso te sugerimos que aproveches esta etapa para formar un grupo de trabajo para Matemática y para otras materias.
Ahí vamos:
Actividad 1
Digan si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señalen cuál es su grado y término independiente.
1) 4 5 23. 2. 5x x x− + +
2) 27. 2x x+ +
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3) 1 − x4
4)
5) x3 + x5 + x2
6) x − 2x−3 + 8
7)
Reflexionemos:
Así como están parece que todos son polinomios. Por ahí podríamos desconfiar de ese que tiene raíz cuadrada…
Veamos si las respuestas pueden brindarnos algo de ayuda:
Respuestas
1) x4 − 3x5 + 2x2 + 5 es un polinomio
Grado: 5, término independiente: 5.
Como se ve, conocer la respuesta no alcanza para entender todo lo que pide la actividad.
Resulta que el grado coincide con el valor del término independiente, así que lo podemos deducir que uno de los números 5 que aparecen en el polinomio es el grado. Como el otro es un “término” independiente debe ser el que está último y el grado debe ser la potencia mayor de x.
Si bien averiguamos algo del grado de un polinomio y del término independiente, todavía podemos no saber qué es un polinomio
2) + 7X2 + 2
No es un polinomio, porque la parte literal del primer término está dentro de una raíz.
En este caso aparece una razón por la que una expresión no es un polinomio. Teníamos razón en desconfiar: este no es polinomio
3) 1 − x4
Es un polinomio
Grado: 4, término independiente: 1.
Otro polinomio.
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Parece que el término independiente es el que no tiene x y aunque acá está primero sigue siendo el independiente.
El grado parece que es la potencia de la x, ¿pero cuál? Mirando el 1) parece ser la mayor
4)
No es un polinomio porque el exponente del primer término no es un número natural.
Otra razón para que una expresión algebraica no sea un polinomio. Pero ¿Cómo que el exponente del primer término no es un número natural? ¿El 2 no es un número natural?
Recordemos
Propiedades de las potencias:
a0= 1 (todo número a la cero da 1)
a1= a (todo número a la uno da el mismo número)
a-1= ( cuando el exponente es negativo se invierte la base y pasa a ser positivo)
a1/n= ( para pasar una raíz a exponente fraccionario se coloca en el numerador
an/m= el exponente de la potencia y en el denominador el índice de la raíz)
an. am= ( multiplicación de potencias de igual base se suman los exponentes)
an: am= (división de potencias de igual base se restan los exponentes)
(an)m = ( potencia de potencia se multiplica los exponentes)
a-2 = ……….
a1/2 =………..
Estas dos expresiones son potencias de exponente no natural porque -2 es un número ……………….. y 1/2 es un número …………………………. Como vimos en el bloque 1.
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5) x3 + x5 + x2
Es un polinomio
Grado: 5, término independiente: 0.
Ahora ya sabemos
6) x − 2 x−3 + 8
No es un polinomio, porque el exponente de x en el 2º término no es un número natural.
Exacto, ya sabíamos: -3 es un número entero.
7)
Es un polinomio
Grado: 3, término independiente: −7/2.
Actividad 2
En esta actividad traten de trabajar primero sin espiar las respuestas que figuran aquí, para después poder comparar su trabajo con esas respuestas.
Conclusión:
Para que una expresión algebraica de las que estamos estudiando sea un polinomio, la x debe tener un exponente…………………………………..en cada término.
El grado de un polinomio es ……………………………………………………………………………………………………..
El término independiente es …………………………………………………………………………………………………….
Además:
Los números que acompañan a la x en cada término se llaman coeficientes . El coeficiente del término que indica el grado del polinomio se llama “coeficiente principal”
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Antes de empezar, recuerden que:
En todos los términos de un polinomio de variable x está la variable elevada a diferentes exponentes. El mayor es el que marca el grado del polinomio y el menor que puede existir es “0” que está en el “término independiente” porque x0 = 1.
A veces un polinomio puede no tener algunas de las potencias desde el grado hasta 0, es decir el polinomio puede estar incompleto (como en 7) de la actividad 1)
Otras veces un polinomio puede estar desordenado ( como el 1) de la actividad 1 que además está incompleto)
¿Trabajamos?
Escribir:
1. Un polinomio ordenado sin término independiente.
2. Un polinomio no ordenado y completo.
3. Un polinomio completo sin término independiente.
4. Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.
A continuación, algunas respuestas para comparar con lo que hayas escrito o para consultar si fuera necesario:
Posibles respuestas:
1. Un polinomio ordenado sin término independiente.
3x4 − 2x
(No dice que deba estar completo)
2. Un polinomio no ordenado y completo.
3x − x2 + 5 − 2x3
3. Un polinomio completo sin término independiente.
Imposible
(Para averiguar por qué revisen lo que significan las expresiones que están subrayadas)
4. Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.
x4 − x3 − x2 + 3x + 5 ¿Cuáles son los coeficientes de los tres primeros términos? ¿Son números impares?
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Guía de trabajo n° 2
En esta guía vamos a continuar trabajando con polinomios de una variable.
Como siempre vamos a trabajar en la resolución de actividades.
En los casos que sea conveniente se incluirán las respuestas para que puedan consultar
En la Guía de trabajo nº 1 recordamos qué es un polinomio, cómo determinar su grado y reconocimos sus coeficientes
Vimos que un número es un polinomio donde la “variable” (la parte literal) toma el valor de la base del sistema de numeración con el que estamos trabajando (si no se acuerdan de qué se trata esto les sugerimos que relean la primera parte de la Guía de trabajo nº 1).
Es decir: un polinomio P(x) (la x entre paréntesis es la variable) tiene un determinado “valor numérico” según el valor que se le asigne a su variable.
Recordemos que P(x) = 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x + 1
Tiene como “valor numérico” 6571 si x =10
Esto se expresa:
P(10) = 6571
Fíjense que ahora, entre paréntesis, en el lugar de la variable colocamos el valor de la misma.
Pero si x toma otros valores el polinomio podría tener otros valores numéricos:
P(2) = 83
P(7) = 2353
P(15) = 21481
Comprueben todos estos valores numéricos usando calculadora
Actividad 1
Dados los polinomios:
P(x) = 4x2 − 1
Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2
R(x) = 6x2 + x + 1
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S(x) = x2 + 4
T(x) = x2 + 5
U(x) = x2 + 2
Calcular:
1) P(6) + Q (3) =
2) P(7) − U (7) =
3) [P(3) + R (2)]2 =
4) [S(4)]3 +2 T(8) + ½ U(6) =
5) [2 S(6)]2 – T(4) + ¼ [ U(2)]2 =
Respuestas
1) 159
2) 144
3) 3844
4) 1949
5) 1916
Como se ve hasta ahora trabajamos con números naturales pero la variable podría tomar cualquier valor real.
Actividad 2
Dados los polinomios:
P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1
Q(x) = x3 − 6x2 + 4
R(x) = 2x4 − 2x − 2
Calcular:
1) P(1) + Q(1/2) − R(1) = 2) P(1) - 2 Q(1/2) − R(2) =
21
3) Q(2) + R(1) – [P(-1)]-2 =
Respuestas
1) - 27/8 2) -157/4 3) -225/16
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Guía de trabajo nº 3
En esta guía de trabajo continuamos con el trabajo con valores numéricos y trabajamos con sumas y restas de polinomios
Actividad 1
Investigamos
Vamos a hacer una investigación:
Supongamos los polinomios P(x) y Q(x) de la actividad 1
P(x) = 4x2 − 1
Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2
Y calculemos P(2) y Q(2)
P(2)= 15
Q(2)= 6
De aquí se desprende que P(2)+Q(2)= 21
Si sumáramos los polinomios en x y luego buscáramos el valor numérico del polinomio resultante para x=2 ¿ese valor sería 21?
Seguro que ya están intuyendo la respuesta pero vamos a ver si la podemos confirmar:
Para contestar esta pregunta vamos a tener que sumar P(x)+Q(x)
Es posible que ya sepan sumar polinomios, pero no vendría mal que repasáramos el método.
Cada término de un polinomio es un monomio, la idea para sumar dos polinomios es agrupar monomios homogéneos, es decir, con la variable a la misma potencia. Esto se puede hacer juntándolos en un cálculo o haciendo “la cuenta”:
P(x) + Q(x) = (4x2 – 1) + (x3 – 3x2 + 6x – 2)
Pusimos paréntesis nada más que para que se note donde empieza y termina cada polinomio, pero en realidad no hacen falta:
P(x) + Q(x) =4x2 – 1 + x3 – 3x2 + 6x – 2
Podemos agrupar términos (monomios) homogéneos:
P(x) + Q(x) =4x2− 3x2 + x3 + 6x – 2– 1 (debemos ser cuidadosos con los signos)
Operando:
P(x) + Q(x) =x2 + x3 + 6x – 3 (debemos ser cuidadosos con los signos)
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Cuando hacemos “la cuenta” lo que realizamos es lo mismo, solamente que encolumnamos los monomios homogéneos:
Colocaremos arriba el P(X) …………..4x2 – 1 + 0x3+ 0x aquí completamos P(x) pero no hace falta
Colocaremos abajo el Q(x)………… − 3x2 – 2 + x3 + 6x encolumnando adecuadamente
Sumamos las columnas……………. x2 – 3 + x3 + 6x teniendo cuidado con los signos
Como podemos ver en ambos casos se obtiene el mismo resultado aunque ordenado de manera diferente.
Si queremos podemos ordenar el resultado aunque no es necesario:
P(x) + Q(x) = x3+ x2 + 6x – 3
Y ahora lo que queríamos averiguar:
El valor numérico de este polinomio para x=2 es...: 21
¿Sospechabas que era así? ¿Por qué?
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Obviamente lo mismo sucede con la resta
Vamos a hacer “la cuenta “ de Q(x) – P(x)
En este caso en vez de ser cuidadosos con los signos ¡hay que ser cuidadosísimos!:
− 3x2– 2+ x3+ 6x
-
4x2 – 1+0x3+0x
-7x2 – 1 +x3 + 6x
Hicimos “la cuenta” aunque también se podría hacer el cálculo horizontal como veremos en las respuestas de la actividad 1 de la siguiente guía
24
Guía de trabajo nº 4
En esta guía de trabajo aplicamos lo que trabajamos en la guía de trabajo nº 2
Actividad nº 1
Dados los polinomios:
P(x) = 4x2 − 1
Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2
R(x) = 6x2 + x + 1
S(x) = x2 + 4
T(x) = x2 + 5
U(x) = x2 + 2
Calcular:
1) P(x) + Q (x) =
2) P(x) − U (x) =
3) P(x) + R (x) =
4) 2P(x) − R (x) =
5) S(x) + T(x) + U(x) =
6) S(x) − T(x) + U(x) =
¡El primero ya está hecho!
Respuestas (con reflexiones incluidas):
1) P(x) + Q (x) =
= (4x2 − 1) + (x3 − 3x2 + 6x − 2) =
= x3 − 3x2 + 4x2 + 6x − 2 − 1 =
= x3 + x2 + 6x − 3
¿Se fijaron en que en cada renglón colocamos un “=” al principio y al final salvo en el último porque contiene el resultado?
25
Esta es una manera convencional de escribir los cálculos que mostramos aquí para se acostumbren a hacerlo así. Como ven no solamente debemos preocuparnos por llegar al resultado final correcto sino también de la forma de expresar el modo en el que arribamos a ese resultado.
2) P(x) − U (x) =
Esta es una resta que vamos a resolver haciendo “el cálculo” en vez de “la cuenta”
= (4x2 − 1) − (x2 + 2) =
= 4x2 − 1 − x2 − 2 = (observen que al quitar el paréntesis se han producido cambios en los términos de U(x), esto se debe a que debe restarse)
= 3x2 − 3
3) P(x) + R (x) =
= (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) =
= 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 =
= 10x2 + x
4) 2P(x) − R (x) =
= 2 · (4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) =
En este caso aparece una constante (el número 2) que multiplica a P(x). Igual que con los números, al operar con polinomios, se debe tener cuidado de separar en términos antes de empezar.
Esto quiere decir que primero se debe multiplicar P(x) por 2 y eso (como recordarán) se realiza haciendo uso de la propiedad distributiva:
= 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 =
Aquí hicimos dos pasos en uno:
- Multiplicamos P(x) por 2 y - Quitamos los paréntesis con lo cual cambian los signos en el segundo
polinomio debido a que estamos restando
= 2x2 − x − 3
5) S(x) + T(x) + U(x) =
= (1/2 x2 + 4 ) + (3/2 x2 + 5 ) + (x2 + 2) =
= 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5 + 2 =
= 3x2 + 11
26
6) S(x) − T(x) + U(x) =
= (1/2 x2 + 4) − (3/2 x2 + 5) + (x2 + 2) =
= 1/2 x2 + 4 − 3/2 x2 − 5 + x2 + 2 =
= 1
27
Guía de trabajo n° 5
En la Guía de trabajo nº 2 calculamos el valor numérico de polinomios de una variable para determinados valores de la variable x.
Además trabajamos con la adición y sustracción de polinomios en la Guía de trabajo nº 3.
En esta guía cinco vamos a retomar algunas de esas cuestiones que venimos trabajando para, a partir de ellas, avanzar algo más en temas que resultarán útiles en la cursada de Matemática I
Consideremos el polinomio P(x) = 5x-2
Como ya sabemos el grado de P(x) es ............., su coeficiente principal es ........ y su término independiente es ..........
Como es fácil calcular P( ) = (compruébenlo)
En este momento están preparados para resolver un pequeño problema:
Actividad 1
Considerando P(x)= 5x-2
¿Para qué valor de x, P(x) tiene valor numérico 1?
Respuesta
El problema planteado supone averiguar un número que satisfaga:
1= 5x-2
Donde 1 es el valor numérico del polinomio P(x)
¡Es una ecuación!
Luego:
Sumando 2 en ambos miembros:
1 + 2 = 5x
Ahora dividimos ambos miembros por 5:
5
3= x
Respuesta:
El valor de x para el cual el valor numérico de P(x) es 1 es 5
3
28
Actividad 2
Calcula el valor de x para que el valor numérico de P(x) sea el indicado en cada caso:
a) P(x) = 52
3 2 +x valor numérico de P: 29
b) P(x)= 23
1 3 −x valor numérico de P: 7
c) P(x) = 7
1
7
5 2 −− x valor numérico de P: 28
9−
d) P(x) = 2
4
1
4
3x−− valor numérico de P:
4
7−
Respuestas
Recuerden que las raíces de índice par tienen más de un resultado, esta es la razón por la que vamos a detallar la resolución de a), luego podrán trabajar en forma autónoma
a) La ecuación que se debe resolver es:
2952
3 2 =+x
Restando 5 a ambos miembros:
242
3 2 =x
Dividiendo ambos miembros por 2
3:
3
2.24
2
3:242 ==x
(Porque dividir por 2
3 es lo mismo que multiplicar por
3
2)
Operando queda:
162 =x
Luego, aplicando a ambos miembros raíz cuadrada:
16=x
De donde:
29
x = 4 ó x = -4
Ya que cualquiera de estos dos números elevados al cuadrado dan 16
b) x = 3
c) x =2
1 ó x=
2
1−
d) x = 2 ó x= -2
30
Guía de trabajo nº 6
Hasta ahora seguramente no tuviste problemas para resolver las ecuaciones que plantea cada ejercicio de la guía de trabajo nº 4 del Bloque 1, pero a veces las cosas pueden ser más complejas:
Actividad 1
Encuentren el valor de la variable x para que el valor numérico de R(x) = 6.x2 + x sea 1
Respuesta
Al principio procedemos de la manera habitual:
6.x2 + x = 1
Pero en seguida nos damos cuenta de que esta ecuación no puede resolverse fácilmente mediante la radicación.
Recordemos:
La fórmula
Permite encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática en la que el segundo miembro es cero:
Una ecuación cuadrática puede llevarse a esta forma operando en ambos miembros convenientemente
Recordemos que las “raíces” o “ceros” son los valores de x para los que y se hace cero, en otras palabras las raíces son los valores de x para los que el valor numérico de un polinomio Y(x) de grado 2 es cero. Se trata de una fórmula para resolver “ecuaciones cuadráticas igualadas a cero”
¡Nosotros tenemos un polinomio de grado 2!
6.x2 + x = 1
Lo único que pasa es que el valor numérico es 1 en vez de cero, pero eso se puede arreglar restando 1 a cada miembro:
6.x2 + x - 1= 0
31
Ahora podemos usar la fórmula para averiguar los valores de x, solamente hay que recordar quiénes son a, b y c. Para ello les damos algunas pistas:
- a es el coeficiente del término cuadrático (con su correspondiente signo), en este caso: …………….
- b es el coeficiente del término lineal (con su correspondiente signo), en este caso: …………….
- c es el término independiente, en este caso: …………….
Una vez que hayan realizado los cálculos correspondientes van a obtener dos soluciones para esta ecuación:
x= 2
1− y x= 3
1
Esto quiere decir que el polinomio R(x) tiene como valor numérico 1 cuando x =2
1− ó
x = 3
1.
Compruébenlo reemplazando ambos valores en la expresión original de R(x)
32
Guía de trabajo nº 7
Problemas Resueltos
Al resolver los siguientes problemas planteando ecuaciones, además de repasar la resolución de las mismas, están preparándose para la guía siguiente, así que a trabajar mucho y con confianza
La idea es que lean las soluciones propuestas y que conversen grupalmente tratando de interpretar lo que se hace, proponiendo otras formas de resolver y anotando las dudas para consultar
En términos generales se tomaron problemas que se resuelven con números enteros y racionales que ya conocen
Posteriormente les presentamos algunos ejercicios en el Trabajo Práctico nº 4 para evaluar si pueden resolverlos de forma autónoma
Vamos a trabajar:
1) Javier y Felipe tenían deudas de $ 750 cada uno. Ambos cobraron sus respectivos sueldos y pagaron sus deudas. A Javier le quedaron $967 y a Felipe $ 1409. ¿Cuánto cobró de sueldo cada uno?
Solución
El problema pide calcular los sueldos que no conocemos.
Vamos a llamar j al sueldo de Javier y f al de Felipe
Es obvio que a cada uno de esos sueldos hay que restarle las deudas y el resultado será lo que le queda a cada uno:
Para Javier:
(*) J – 750 = 967
Para Felipe
(∆) F – 750 = 1409
Se trata de dos ecuaciones muy fáciles de resolver, pero antes fijémonos que así como están planteadas las cosas se puede saber quién tiene el mejor sueldo ¿Quién es? ¿Por qué?
Ahora si: para calcular el sueldo de Javier resolvemos (*)
J – 750 = 967
J = 967 + 750
J = 1717
Y para calcular el de Felipe resolvemos (∆)
33
F – 750 = 1409
F = 1409 +750
F= 2159
Respuesta (en todos los problemas siempre es conveniente escribir la respuesta a la pregunta)
Javier cobró $1717 de sueldo y Felipe $2159
2) Si un buzo estaba a –60 metros y ahora está a – 28 metros. ¿Ascendió o descendió? ¿Cuántos metros?
Solución
Este es un problema en el que el planteo de una ecuación resulta un poco engorroso para lo que es el problema.
En casos como este podemos usar un razonamiento matemático que no tenga que ver con ecuaciones sino con cuestiones geométricas que nos lleven a la solución.
Supongamos que de un bote se deja caer una soga de 60 m hacia abajo.
El buzo se encuentra primero a -60 metros, es decir a 60m por debajo de la superficie.
Luego está a -28 metros es decir a 28 m del nivel del agua, esto quiere decir que debe haber subido, por lo tanto ya estamos en condiciones de escribir la respuesta.
Pero antes pensemos: -28 ¿es un número mayor o menor que -60? Al contestar esta pregunta
estamos dando la razón por la que la respuesta es:
Respuesta
El buzo ascendió 32m
3) Entre Ana y Ariel compran una enciclopedia. Ana aporta las dos terceras partes del precio mientras que Ariel pone $ 149,45 y llegan así a cubrir el precio total ¿cuánto cuesta la enciclopedia?
Solución
Llamaremos X al precio de la enciclopedia
34
Ana aporta las dos terceras partes de X
x3
2
Ariel agrega $149,45 y se cubre el total X
xx =+ 45,1493
2
Resolvemos restando x3
2 en ambos miembros:
xx3
245,149 −=
x3
145,149 =
Ahora dividimos ambos miembros por 3
1(o, lo que es lo mismo multiplicamos por 3):
x=45,149.3
35,448=x
Respuesta
La enciclopedia costó $448,35
4) Alejo, Bruno, Carlos y Diego se reparten cierta cantidad de dinero. Alejo toma un tercio de dinero y se va. Bruno toma un tercio de lo que queda; Carlos toma $500 y sólo quedan $100 para Diego. ¿Cuánto dinero había en total?
Solución
Llamemos x al total de dinero disponible
Alejo toma x3
1
Lo que queda es:
xxxxx3
2
3
1
3
3
3
1 =−=−
35
De estos x3
2 (dos tercios del total) Bruno toma
3
1:
xx9
2)
3
2(
3
1 =
Carlos toma $500
Diego toma $100
Es decir el total x está compuesto por lo que tomó cada uno:
Alejo + Bruno + Carlos + Diego = total
x
3
1 + x
9
2 + 500 + 100 = x
Resolvemos:
Primero restamos x3
1 en ambos miembros:
x9
2 + 500 + 100 = x - x
3
1
Operamos y restamos x9
2 en ambos miembros:
500 + 100 = x3
2 - x
9
2
Operamos :
600 = x9
4
Dividimos ambos miembros por 9
4 o lo que es lo mismo multiplicamos por
4
9:
600 . 4
9 = x
X= 1350
Respuesta
La cantidad de dinero que se repartieron fue de $1350
36
Guía de trabajo nº 8
Multiplicación de polinomios
Para multiplicar polinomios aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición y sustracción, además de la propiedad del producto de potencias de la misma base.
Por ejemplo:
Dados P(x)= 2.x2 +x – 3 y Q(x)= x – 2
El producto P(x).Q(x)= (2.x2 +x- 3) . (x-2) lo hallamos aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación. Para ello multiplicamos cada término del polinomio P(x) por cada uno de os términos de Q(x).
P(x).Q(x)= 2.x2.x + 2.x2.(-2)+x.x+x.(-2)-3.x-3.(-2)
P(x).Q(x)= 2.x3-4.x2+x2-2.x-3.x+6 (2.x2.x=2.x3 pues por producto de potencias de la misma base los exponentes de la indeterminada x se suman y 2+1=3)
P(x).Q(x)= 2.x3-3.x2-5x+6 (los términos del mismo grado se suman entre sí)
Podemos observar que el grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los polinomios factores.
Es decir: gr[P(x).Q(x)]= gr(P(x))+gr(Q(x))
gr(P(x))= 2
gr(Q(x))= 1
gr[P(x).Q(x)]= 2+1 = 3
Otra forma de realizar la multiplicación es disponiendo los polinomios, ordenados y completos, tal como lo hicimos para la suma y la resta:
2.x2 +x – 3
. x-2
Según esta disposición comenzaremos a multiplicar por el término de grado cero del polinomio escrito en el segundo renglón, es decir, multiplicamos por -2:
2.x2 +x – 3
. x-2
-4.x2 -2.x+6
Ahora multiplicamos por el término de grado uno del segundo polinomio y vamos ubicando los productos obtenidos encolumnándolos según su grado:
37
2.x2 +x – 3
. x-2
-4.x2 -2.x+6
2.x3+1.x2 -3.x
A continuación sumamos los términos que se encuentran en una misma columna:
2.x2 +x – 3
. x-2
-4.x2 -2.x+6
+ 2.x3+1.x2 -3.x
2.x3-3.x2-5.x+6
Cualquiera de las dos formas dadas nos permite llegar al mismo resultado.
Actividad 1
Dados los siguientes polinomios:
4 3 2
3
5 3 2
3 2
( ) 4 2 1
1 1( ) 3
2 3
( ) 4 2 3
2( )
3
A x x x x x
B x x x
C x x x x
D x x x x
= − + − + −
= + −
= − − +
= + − +
Se pide:
) ( ). ( )
) ( ). ( )
) ( ). ( )
a A x B x
b A x C x
c C x D x
===
Actividad 2
Teniendo en cuenta los polinomios de la actividad anterior, se pide:
[ ][ ][ ] [ ]
) ( ) ( ) . ( )
) ( ) ( ) . ( )
) ( ) ( ) . ( ) ( )
a A x B x C x
b C x B x D x
c A x D x B x C x
+ =
− =
+ + =
38
Guía de trabajo nº 9
División de polinomios
Antes de comenzar a dividir polinomios debemos considerar algunas cuestiones: Para llevar a cabo esta operación se deben ordenar y completar los polinomios
dividendo y divisor. Recordemos que para ordenar un polinomio se tiene en cuenta el grado de cada monomio que lo compone y se hace de mayor a menor grado.
Recordemos también que para completar se agregan términos de coeficiente cero. Por último: El grado del dividendo, debe ser mayor o igual que el grado del divisor. Si esto no
se cumple la división no se puede realizar. Ahora sí estamos en condiciones de comenzar a dividir.
Ejemplo 1:
Te proponemos la siguiente división:
(2x4 + 3x3- x2 –1) : (x – 2)
También la podemos escribir de esta otra forma
2
1- x-3x + 2x 234
−x
Comencemos:
El polinomio dividendo ya está ordenado pero incompleto, lo completamos con 0x,
entonces:
2x4 + 3x3- x2 + 0x –1 x – 2
Ahora si estamos en condiciones de dividir.
2x4 + 3x3- x2 + 0x –1 x – 2
Recuerden que cuando dividimos potencias de igual base se restan los exponentes, y
esto es lo que estamos haciendo al dividir x4 con x por lo tanto 2x4 : x es igual a 2x3
2x4 + 3x3- x2 + 0x –1 x – 2 2x3
1º) Tomamos el primer término del
dividendo y lo dividimos con el primer
término del divisor. Esto nos va a dar el
primer término del cociente.
2º) Tomamos el primer término del cociente y
lo multiplicamos con el primer término del
divisor. El resultado de esta multiplicación lo
colocamos debajo del término que tiene igual
grado en el dividendo, para luego restarlo. Lo
mismo hacemos con el segundo término del
divisor (-2) y si hubiera más términos
repetiríamos el procedimiento.
Dividendo Divisor
39
2x4 + 3x3- x2 + 0x –1 x – 2 –2x4 + 4x3 2x3 7x3
Ahora “bajamos” el término siguiente, y repetimos el procedimiento anterior.
2x4 + 3x3 – x2 + 0x –1 x – 2 –2x4 + 4x3 2x3 x3 – x2
2x4 + 3x3 – x2 + 0x –1 x – 2 –2x4 + 7x3 2x3 + 7x2 7x3 – x2 –7x3 + 14x2
13x2 Repetimos el procedimiento luego de bajar 0x. 2x4 + 3x3 – x2 + 0x – 1 x – 2 –2x4 + 4x3 2x3 + 7x2 + 13x 7x3 – x2 –7x3 + 14x2
13x2 + 0x –13x2 + 26x
26x Por último, bajando el –1… 2x4 + 3x3 – x2 + 0x – 1 x – 2 –2x4 + 4x3 2x3 + 7x2 + 13x +26 7x3 – x2 –7x3 + 14x2
13x2 + 0x –13x2 + 26x
26x – 1 –26x + 52 51
Observen que ponemos los signos
contrarios al resultado de la multiplicación
porque queremos restar.
(Recuerden que restar una expresión es
equivalente a sumar la opuesta de esa
expresión)
3º) Dividimos 7x3 por x y repetimos el
procedimiento.
4º) Multiplicamos 7x2 por x y por
–2 y colocamos debajo de cada
monomio que corresponde para
luego restar y hallar el próximo
resto parcial.
40
No podemos seguir dividiendo ya que el grado del re sto es menor que el grado del divisor. A propósito ¿cuál es el grado del resto? ........................................................................................... Por último el resultado de dividir
2
1- x-3x + 2x 234
−x
es 2x3 + 7x2 + 13x+26 con un resto de 51. Ahora sabemos que x– 2 no es divisor de 2x4 + 3x3 – x2 – 1 ¿por qué? ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ Otra forma de hacer esta misma división Las divisiones en las cuales el divisor es un BINOMIO DE PRIMER GRADO con el coeficiente principal igual a uno, se pueden resolver por la regla de RUFFINI. Construimos un cuadro como el siguiente y en el cuadrante superior derecho vamos a colocar los coeficientes del dividendo, ORDENADO Y COMPLETO 2 3 –1 0 –1 2 3 –1 0 –1 2 Bien, ahora que sabemos cómo armar el tablero comenzamos a aplicar la regla.
Luego en el cuadrante superior
izquierdo colocamos la raíz del divisor.
(Valor de x que hace que el polinomio
se haga cero, en este caso 2)
En el siguiente paso bajamos el
coeficiente principal y lo colocamos
en el cuadrante inferior derecho.
41
2 3 –1 0 –1 2 2 2 3 –1 0 –1 2 4 2 2 3 –1 0 –1 2 4 2 7 2 3 –1 0 –1 2 4 14 2 7 13 2 3 –1 0 –1 2 4 14 26 2 7 13 26 Por último: 2 3 –1 0 –1 2 4 14 26 52 2 7 13 26 51 ES CIERTO!!!!! No se equivocaron son los coeficientes del polinomio cociente y el último valor es el resto
Multiplicamos el número que bajamos (2)
por el que habíamos colocado en el
cuadrante izquierdo y encolumnamos el
resultado con el (3)
Luego sumamos los dos valores que
quedaron encolumnados (3+4)
Volvemos a multiplicar, ahora el 7 con
el 2 y colocamos el resultado debajo
del –1 y sumamos
Este procedimiento lo vamos a repetir
hasta llegar al último de los
coeficientes (–1)
Comparen los números que obtuvimos
en el cuadrante inferior con los
coeficientes del cociente de la división
que hicimos anteriormente
42
Dividimos el primer término del dividendo
con el primero del divisor y colocamos el
primer término del cociente. (3 : 2 es 2
3)
2 3 –1 0 –1 2 4 14 26 52 2 7 13 26 51 La regla de Ruffini baja en una unidad el grado del polinomio dividendo (estamos dividiendo un polinomio de grado 4 con otro de grado 1), por lo tanto el resultado quedaría:
c(x) = 2x3 + 7x2 + 13x+26 con resto 51 ¿Es más fácil no?, claro que si !!!!! Pero recuerden que la regla de Ruffini solo puede aplicarse cuando el divisor es de la forma x + a ó x – a en donde “a” es un número real. Ahora vamos a resolver algunos ejercicios en donde van a utilizar el algoritmo de la división y luego las van a verificar usando el método de Ruffini Actividad 1
1) (3x3 + 4x2 + 15) : (x – 3) =
2) (–2x4 – 3x3 + 2x) : (x + 4) =
3) (x3 − 5x2 + 12) : (x −2) =
Ejemplo 2: Sean los polinomios: P(x) = 3x2 + 3x3 – 2 y Q(x) = 2x + 1 Realizar la siguiente división: P(x) : Q(x) 3x3 + 3x2 + 0x – 2 2x + 1 3x3 + 3x2 + 0x – 2 2x + 1
2
2x
3
Debemos recordar que el resultado es un
polinomio, por lo tanto tenemos que
escribirlo como tal.
Respuestas:
1) 3x2 + 13x + 39 R(x)= 132
2) –2 x3 + 5x
2 –20x + 82 R(x)= –328
3) x2 –3x - 6 R(x)=0
Ordenamos y completamos el polinomio
dividendo y divisor
43
3x3 + 3x2 + 0x – 2 2x + 1
–3x3 – 2x23
2x23
2x23
En este van varios pasos… 3x3 + 3x2 + 0x – 2 2x + 1
–3x3 – 2
2
3x 2
2
3x + x
43
22
3x + 0 x
2x23− x
43−
x43−
Último paso, bajando el –2 3x3 + 3x2 + 0x – 2 2x + 1
–3x3 – 2
2
3x
83−+ xx
4
3
2
3 2
22
3x + 0 x
xx4
3
2
3 2 −−
24
3 −− x
83
x43 +
813−
Listo!!!! C(x) = 8
3
4
3
2
3 2 −+ xx con R(x)= 8
13−
¿Van entendiendo el procedimiento?... DE A POCO Y CON MUCHA PRÁCTICA!!!!! No desesperéis. Vamos a hacer otro ejemplo, pero antes verifiquemos la división anterior… ¿Cómo lo harían?... No se apuren!!!! ¿Están tentados a hacerlo por la regla de Ruffini?
Multiplicamos 2
2
3x con ambos términos de
divisor y los ubicamos para poder restar
(recuerden que ponemos el opuesto).
Bajamos 0x y dividimos 2
2x
3 con 2x
para luego multiplicar con el divisor y
encontrar el próximo resto parcial.
Dividimos x4
3− con 2x para luego
multiplicar con el divisor y encontrar el
próximo resto final.
44
NO SE PUEDE… Recuerden que para usar la regla de Ruffini el polinomio divisor debe ser de la forma x ± a ¿Cómo se hace entonces? Simple…
Dividendo = cociente × divisor + resto
P(x) = C(x) . Q(x) + R(x) Entonces reemplacemos los polinomios y operemos
P(x) = (8
3
4
3
2
3 2 −+ xx ) . (2x + 1) + (8
13− )
Multiplicamos (debemos utilizar propiedad distributiva) y luego sumamos
P(x) = )8
13(1
8
32
8
31
4
32
4
31
2
32
2
3 22 −+•−•−•+•+•+• xxxxxxx
P(x) = )8
13(
8
3
4
3
4
3
2
3
2
33 223 −+−−+++ xxxxx
Sumamos los términos del igual grado
P(x) = )8
13(
8
3
4
3
4
3
2
3
2
33 223 −+−−+++ xxxxx
P(x) = 233 23 −+ xx Llegamos al resultado correcto!!! Entonces... Dividimos bien!!! Por último, ¿P(x) es múltiplo de Q(x)? ¿Por qué? …................................................................................. Ahora si… Ejemplo 3 Vamos a dividir M(x) con T(x) M(x) = 1224 34 −+− xxx T(x) = 12 3 +x
12
12243
34
+−+−
x
xxx
Antes de poder comenzar a dividir debemos …..………………. y …..…………………
45
Continuemos… En los cuadros del costado, anoten lo que hacemos en cada paso
1224 34 −++− xxx 20x 12 3 +++ 0x0x2x
12024 234 −++− xxxx 1002 23 +++ xxx
2x0x0x4x- 234 −++ 2x
0x0x2x 23 −+−
12024 234 −++− xxxx 1002 23 +++ xxx
xxxx- 2004 234 −++ 1−x2
1−−+− xxx 002 23
1+−+ xxx 002 23 0 El resto es cero!!!! ¿Qué significa?................................................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Verifiquemos: M(x) = C(x) . T(x) + R(x) pero como R(x) = 0:
M(x) = C(x) . T(x) Reemplacemos M(x) = ( 12 3 +x ) . ( 12 −x ) "Deja Vù"!!!!! ¿Dónde vimos esto antes? Convertimos una suma algebraica en un producto... Clarooo….. es la forma factorizada del polinomio. Multipliquemos para saber si lo división está hecha en forma correcta.
M(x) = )1(121)1(222 33 −•+•+−•+• xxxx resolvemos
46
M(x) = 1224 34 −+− xxx Ahora les dejamos unos ejercicios para que resuelvan ustedes solos (o en grupo). Actividad 2 Dividir:
a) (-2x4 + 3x3 − 4x2 + 3x − 8) : (4x + 1) =
b) (3x5 – 2x4 − 2x2 + x − 6) : (3x – 2) =
c) )1322
3( 43 +−+ xxx : (2x–5) =
d) (7x6 – 4x4 + 6x3 + 3x5 − 8) : (x2 + 2) =
e) (− 3 + 2x2 + 5x4 − 3x) : (x2 – 3) =
f) )432
12
2
3( 325 −+++ xxxx : (3x+2) =
No se olviden de verificar!!!!
47
Guía de trabajo nº 10
Algunos Casos de Factoreo
Nota preliminar
En este momento tendríamos que ver cómo hacemos para que un polinomio quede escrito como multiplicación con el objeto de intentar simplificar.
Esto es a lo que se llama “factorear” polinomios.
Una manera de factorear es mediante los llamados “casos de factoreo” que a veces se presentan como seis y en un orden determinado.
Probablemente ya los han visto en la escuela secundaria y nuestra intención es ayudarlos a reverlos e incluir alguna otra alternativa.
Brevísima introducción al tema
Hay números y expresiones algebraicas que no aparecen escritas como una multiplicación y sin embargo es posible escribirlas como tales.
Por ejemplo:
29 + 7 = 36 = 9 . 4
O sea partimos de una suma y obtuvimos una multiplicación (como 9 y 4 son los factores decimos que este es un posible factoreo de 36)
Del mismo modo, sabemos que
x.( 3x + 6)
es, aplicando propiedad “distributiva”
3x2 + 6x
pero si “pensamos al revés”
3x2 + x = x.( 3x + 6)
A este polinomio de grado 2 lo hemos escrito como una multiplicación y diremos por ello que lo hemos factoreado (pasamos de la forma aditiva a la forma multiplicativa)
48
a) Factor común
Así como en los números
30 + 21 = 3 . 10 + 3 . 7 = 3 . ( 10 + 7 )
(Observen que el factor 3 está presente en los dos términos, por eso se le dice factor común)
Podemos escribir
2.x + 3.x4 =
Como
2.x + 3.x .x.x.x = x.( 2 + 3.x.x.x ) = x.(2 + 3x3 )
Ya factoreamos, nos quedó:
2.x + 3.x4 = x• ( 2 + 3x3 )
(Si quisiéramos, podríamos verificar el resultado aplicando “distributiva”)
Otro ejemplo:
x3 + 2 x2 = x . x . x + 2 . x . x = x.x .( x + 2 ) = x2.(x +2) Si usamos además propiedad conmutativa y asociativa de la multiplicación
Luego:
x3 + 2 x2 = x2 • (x +2)
Puede darse el caso de 2 ó más factores comunes, por ejemplo:
6 x2 – 10 x3 = 3.2x2 – 5 . 2x2. x = 2x2.(3 – 5x)
6 x2 – 10 x3 = 2x2.(3 – 5x)
Ejemplo de un caso frecuente
-2x3 – 4x2 = -2x2.(x + 2)
También podríamos factorear de otra forma:
49
-2x3 – 4x2 = 2x2.(-x - 2) (¿Dudan?: distribuyan....)
Ambos resultados son correctos
Ejercicios Expresar, si es posible, como multiplicación:
a) 4x3 + 6x2 – 10x b) 2x4 – 2x3 + x2 c) 8m3 – 12m2 + 4m – 1 d) 18p4 + 12p3 – 12p2 + 6p
b) Diferencia de cuadrados
Este caso es muy sencillo y solamente veremos la forma en la que se realiza el factoreo
a2 – b2 = (a – b). (a + b)
También pueden comprobar la validez de este caso mediante la propiedad distributiva.
(¡qué creatividad para darle nombre! “Diferencia de cuadrados”)
a2 – b2
“a – b” y “a + b” son binomios “conjugados”(como habrán advertido “a” y “b” son las bases de los cuadrados)
Así, por ejemplo:
x2 – 9 = (x – 3 ). (x + 3)
Otro ejemplo:
x2 - 1
4= ( x -
1
2) . ( x +
1
2)
Otro más:
25 – x2 = .......................
50
Actividad 1
Expresar, si es posible, como multiplicación:
a) x2 – t2 b) x4 – 81 c) 1 – x2 d) t2 + 4 e) x2 – 2
c) Trinomio cuadrado perfecto (tcp) / cuadrado de un binomio
Al elevar al cuadrado un binomio se obtiene una expresión llamada TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP):
(a + b)2 = a2 + 2ab + b 2 y (a - b)2= a2 – 2ab + b2
Observen las características de cada término de los trinomios obtenidos.
Intentando pasar de la forma aditiva a la multiplicativa podríamos escribir el polinomio
x2 + 6 x + 9
Como:
x2 + 6 x + 9 = x2 + 2.3.x + 32
En la última expresión se advierte que el polinomio es un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO, es decir que proviene de elevar un binomio al cuadrado.
Luego:
x2 + 6 x + 9 = (x + 3)2
Como es muy sencillo pasemos a resolver algunos
Actividad 2
Expresar, si es posible, como multiplicación:
a) x2 + 10x + 25 b) x2 – 2x +1
c) x2 + x + 1
4
d) x2 – 6x + 18 e) 9 + x2 – 6x
d) Cuatrinomio cubo perfecto (ccp) / cubo de un binomio
Al elevar al cubo un binomio se obtiene un polinomio que se denomina CUATRINOMIO CUBO PERFECTO (CCP):
51
(a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3 y (a - b) 3 = a3 - 3 a2 b + 3 a b2 - b3
Observen las características de cada término de los trinomios obtenidos.
Intentando pasar de la forma aditiva a la multiplicativa podríamos escribir el polinomio
x3 – 3x2 + 3x – 1
Como:
x3 – 3x2 + 3x – 1 = x3 + 3.x2.(-1) + 3. x.(-1)2 + (-1)3
Que, como se ve, es un ccp
Luego:
x3 – 3x2 + 3x – 1 = (x –1)3
Actividad 3
Expresar, si es posible, como multiplicación:
a) x3 + 6x2 + 12x + 8 b) y3 – 3xy2 + 3x2y – x3
c) x3 – x2 + 1
3x -
1
27
d) x3 + 3x2 + 3x – 1
52
Guía de trabajo nº 11
Factoreo por raíces.
Todos los polinomios tienen – al menos – una raíz y pueden escribirse como el siguiente producto:
P (x) = (x – raíz) . Q (x)
Como se darán cuenta, Q(x) es el cociente de dividir
Q(x) = P(x) : (x – raíz) 2
Este cociente que se puede obtener mediante la regla de Ruffini (¿Por qué?) .............................
a) Ejemplo 1
Supongamos que queremos factorear x3 – 1.
x= 1 es una raíz de ese polinomio (¿por qué?)
Entonces, según lo anterior
x3 – 1 = ( x – 1 ) . Q(x)
Siendo Q(x), como se dijo, el cociente de (x3 – 1) : (x – 1) (que, como también se dijo, podría hacerse mediante la regla de Ruffini)
Realicen la división:
Obtendremos:
x3 – 1 = ( x – 1 ) . (x2 + x + 1)
Como se ve, hemos podido factorear x3 – 1
Nota: En rigor, todo polinomio puede escribirse como
P(x) = a .(x – r1) (x – r2) (x – r3) … (x –rn)
siendo “a” su coeficiente principal y r1, r2, r3,... rn las n raíces que admite un polinomio de grado n. Nosotros trabajamos sólo con raíces reales.
b) Otro ejemplo
2 Por ejemplo en los números, si 28 = 4 . k tenemos que k = 7 = 28 : 4 comparen esto con lo
escrito para polinomios.
53
Ya sabemos como obtener las raíces de
x2 – 5x + 6
¿Cómo?
Si procedemos según lo anterior nos quedará...
¿ y si también lo hacen ustedes? (no sean tan confiados, pudimos equivocarnos)
x2 – 5x + 6 = (x-3).(x-2)
Fíjense que 2 y 3 son las dos raíces del polinomio.
Actividad 1
Expresar, si es posible, como multiplicación:
a) x2 + 3x – 4 b) –3x2 + 12 c) x3 + 8 d) x4 – 1
e) x5 + 1
32
Reflexiones interesantes Si miramos bien, los casos de factoreo los podríamos haber omitido y habernos quedado sólo con esto de las raíces porque, por ejemplo:
4 – x2 tiene a x=2 como raíz
Entonces
4 – x2 = (x – 2 ) . ......
O también:
x4 – 1 se puede pensar como una diferencia de cuadrados, ¿no?
En conclusión tienen la posibilidad de aplicar los casos de factoreo ó esta propiedad de las raíces de un polinomio para pasar de la forma aditiva a la multiplicativa. Manéjense como mejor les parezca. Quizá lo mejor sea hacer un “mix” según el polinomio a factorear.
54
Actividad 2 Ejercicios para ponerse a prueba
a) 2x3 – 18x b) x3 - 6x2 + 12x - 8 c) x4 - 16 d) –x2 – 8x – 16 e) 3x2 + 3ax + ax2 + a2x
f) 1
2x2 + 2x -
21
2
g) 4x – 16x3
55
Guía de trabajo n° 12
Actividad 1
Una lectura con poco para hacer
Como estuvimos viendo hasta ahora, un polinomio adquiere diferentes valores numéricos de acuerdo al valor que adquieren sus variables (hasta ahora no lo dijimos pero ustedes saben que un polinomio podría tener más de una variable, pero no se asusten que no es de eso de lo que queremos hablarles).
Se puede establecer una relación entre los valores de las variables y el valor numérico que adquiere el polinomio por ejemplo (ya lo hicimos en la propuesta de trabajo 2):
Si P(x) = 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x + 1
P(10)= 6571
P(2) = 83
P(7) = 2353
P(15) = 21481
Podemos construir una tabla en la que a cada valor de x le corresponde un único valor numérico de P(x):
x P(x) 10 6571 2 83 7 2553 15 21481 3 4 5
Completen la tabla.
Esto significa que existe una función que relaciona cada x con un único valor numérico
Si llamamos “y” a los valores numéricos del polinomio para cada x la tabla queda como habitualmente, solamente hay que considerar entre qué valores puede encontrarse el valor de x y el tipo de número que puede ser es decir el “dominio” de la función. Por ejemplo si x solamente puede tomar los valores que pusimos en la tabla, el dominio de la función sería el conjunto de números Naturales:
D = {2, 3, 4, 5, 7, 10,15}
Además el conjunto imagen está formado por los valores que puede adquirir la y, en este caso (complétenlo, sin olvidar las comas, y cierren la llave):
56
I = {83, .......................................................
En este Módulo curso de ingreso trabajaremos con funciones lineales y cuadráticas.
57
BLOQUE 3: Funciones - Función Lineal
Introducción: En este bloque, trabajaremos en el estudio de las funciones en general y comenzaremos a recordar, en particular, a la función lineal. Se volverán a familiarizar con conceptos como dominio, imagen, conjuntos de ceros, de positividad y negatividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, ordenada al origen, pendiente así como también con el análisis e interpretación de gráficos, pero no se preocupen si les parece que no se acuerdan de nada, solamente ocúpense y recuerden que no están solo en este desafío. I - Funciones Las funciones son relaciones que nos permiten describir situaciones de la vida diaria y de diversas ciencias, incluyendo a la matemática, para luego poder analizarlas e interpretarlas. En la primera parte de este bloque trabajaremos con la noción de función y estudiaremos algunas de sus propiedades a partir de sus gráficas y tablas. En la segunda parte nos ocuparemos particularmente de la función lineal. Guía de trabajo nº1
Pongamos en práctica nuestra capacidad para interpretar gráficos Actividad 1
El gráfico muestra la evolución del peso medio de un varón y una mujer en los primeros 15 años de su vida. Analizando el gráfico respondan:
(a) ¿Cuáles son las variables se relacionan?
(b) ¿Cuál fue el peso del varón a los 5 años?
(c) ¿Cuál fue el peso de la mujer a los 10 años?
(d) ¿A qué edad el varón peso 35 kg? (e) ¿A qué edad la mujer peso 45 kg? (f) ¿Entre qué edades la mujer pesó
más que el varón? (g) ¿Aproximadamente a qué edades
ambos pesaron lo mismo?
Actividad 2
Este gráfico muestra las variaciones en el nivel normal de un lago argentino durante un año. El eje de abscisas (¿cuál será?) representa el nivel considerado normal del lago
58
Observen el gráfico para responder: (a) ¿En qué meses estuvo por encima de su nivel normal? (b) ¿En qué meses estuvo por debajo de su nivel normal? (c) ¿En qué mes/es mantuvo su nivel normal? (d) ¿Cuál fue la variación de nivel que tuvo en todo el año? Para calcularlo,
tengan en cuenta el pico máximo y el mínimo de altura alcanzada por el lago.
(e) Si el aumento del nivel fue producido por grandes lluvias, ¿en qué estación del año ocurrió?
(f) ¿En qué mes se produce el mayor aumento de nivel? (g) ¿En qué mes se produce la mayor disminución de nivel? (h) ¿Cuánto metros disminuyó el nivel entre abril y junio? (i) ¿Cuántos metros aumentó el nivel en febrero? (j) ¿Durante cuántos meses disminuyó el nivel? (k) ¿Durante cuántos meses aumentó el nivel? (l) ¿Durante cuántos meses se mantuvo igual el nivel?
Ahora empecemos a trabajar con funciones y sus características:
En este tema se han incluido algunas “claves” teóricas en recuadros como el siguiente, es importante que las tengan en cuenta a la hora de estudiar
Por si no se acuerdan, una función es una relación entre dos variables, en la cual, a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda. Para cada valor de x debe corresponderse un único valor de y.
59
Actividad 3 a) Indiquen cuáles de los siguientes gráficos representan funciones.
b) Indiquen si las siguientes tablas corresponden o no a una función. Justifiquen sus
respuestas en cada caso.
a) Indiquen el dominio y la imagen de las siguientes funciones teniendo en cuenta que el lado de la cuadrícula representa una unidad.
Dominio: es el conjunto formado por los valores que puede tomar la variable
independiente, es decir x.
Imagen: es el conjunto formado por los valores que puede tomar la variable
dependiente, es decir la y.
60
b) Observen el gráfico de la siguiente función y respondan (a) ¿Cuál es el dominio de la función? (b) ¿Cuál es la imagen? (c) ¿Cuál es la imagen de 8? (d) ¿El punto (-4;0) pertenece a la
función? (e) ¿Y el (3;2)? (f) Completen:
c) Escriban el dominio y la imagen de las siguientes funciones.
f(-1)=_____ f(____)=-4
f(3)=_____ f(____)=2
f(0)=_____ f(____)=8
f(-7)=____ f(____)=0
Recuerden que: Un intervalo numérico es un conjunto de números que puede escribirse: [a,b] que indica todos los valores entre a y b incluyendo los valores de a y de b [a,b) que indica todos los valores entre a y b incluyendo el valor de a pero no el de b (a,b] que indica todos los valores entre a y b incluyendo el valor de b pero no el de a
61
Actividad 4
Escriban los conjuntos de ceros, positividad y negatividad de las siguientes funciones:
Actividad 5 Observen el gráfico y escriban.
(a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
(b) El o los intervalos donde es constante la función.
(c) El o los puntos máximos y/o mínimos relativos.
Recuerden: Conjunto de ceros o raíces: son los valores de x para los cuales y vale 0 . En el gráfico son los puntos de corte de la función con el eje x. Observen para qué valores de x la función está por debajo o por arriba del eje x. Conjunto de positividad : son los valores de x para los cuales la función es positiva . Conjunto de negatividad : son los valores de x para los cuales la función es
Ayuda: Intervalo de crecimiento : son los valores de x para los cuales la función crece . Intervalo de decrecimiento : son los valores de x para los cuales la función decrece . Tienen que observar, al tomar valores cada vez más grandes de x que pasa con y , es decir si aumenta o disminuye.
62
II - Función Lineal
Las funciones lineales aparecen en muchas situaciones de la vida cotidiana, la economía, la física, etc.; y suelen ser el punto de partida para el estudio de otras funciones.
En esta segunda parte del bloque analizaremos juntos los conocimientos adquiridos, específicamente sobre las características principales de dichas funciones y las propiedades que tienen sus representaciones, mediante gráficos, tablas de valores y fórmulas. También aquí se han colocado algunos recuadros con datos útiles para estudiar y guiar las consultas que necesiten realizar
A trabajar entonces…
Guía de trabajo nº 2 Actividad 1
Un técnico aeronáutico, en el año 1995, cobraba por cada reparación que realizaba un valor fijo de $15 y un adicional proporcional al tiempo que le insumía su trabajo, que calculaba tomando como parámetro $10 la hora.
(a) Completen la tabla y encuentren la fórmula de la función que relaciona el
costo C de un trabajo y el tiempo t (en horas) que le demanda hacerlo (c(t) ).
Tiempo (h) 0,5 1 1,5 2 3 4
Costo ($)
(b) Representen gráficamente la función c(t) . (c) ¿Cuál será el costo de una reparación que le requirió 5 horas de trabajo? (d) ¿Cuántas horas trabajó en un arreglo que cobró $75?
Recordemos que: Una función f es lineal si tiene una expresión de la forma: f (x) = m x + b Donde m y b son dos números fijos y si m = 0 nuestra función sería constante e igual a b
La gráfica de una función lineal es, por supuesto, un conjunto de puntos que están sobre una recta.
Sabemos que la gráfica de una función f son los puntos (x; y) del plano cartesiano que verifican y = f(x) .
Por lo tanto los puntos de la gráfica de una función lineal verifican f (x) = m x + b
63
Actividad 2 Decidan si cada una de las siguientes fórmulas puede corresponder o no a una función lineal:
Actividad 3 a) Completen la siguiente tabla:
Fórmula de la Función
Lineal Pendiente Ordenada al Origen
150 −= xxf ,)(
xxg 33.)( =
..................)( =xh 1 0
..................)( =xh 0 1
( )532 −= xxf )(
2
3 ........)(
+= xxg
Función ¿Es función Lineal? Función ¿Es función
Lineal? 23 += xy xy += 312
)(: xy 54= xy 827 =+
23 =x 23xy =
xy3
1= 23 3 += xy
350 += xy , 23 −=x
Información útil:
Para obtener la pendiente `m´, es necesario utilizar la siguiente fòrmula:
Donde (x1;y1) y (x2;y2) son las coordenadas de dos puntos que pertenecen a la recta
Si m = 0, f es una función constante: f(x) =b Si m ≠ 0, f es una función lineal: f(x) = mx + b
El término independiente `b´ es la ordenada al origen, siendo (0;b) el punto de intersección con el eje de ordenadas.
64
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
b) Completen la tabla de valores y representa en el plano cartesiano cada una de las siguientes funciones lineal
(a) y = x + 2 (b) y = -x +1 (c) y = 2/3x – 1
X Y -2 0 1
X Y -4 0 2
X Y -3 0 3
c) Marquen con una cruz los puntos que pertenecen a cada recta. Justifiquen sus
respuestas mediante cálculos.
(a) ( ) xxf2
1−= P = (0;3) Q= (0;0) R= (-4;2)
(b) ( )2
14 −= xxg P =
0
8
1; Q=
9
11; R=
2
10;
Actividad 4 1) Observen la gráfica de la función f.
(a) Escriban las coordenadas de tres puntos que pertenezcan a la gráfica de f. (b) ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones representa la relación entre la
x y la y ?
65
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
(c) ¿Cómo se podría obtener la pendiente de la recta graficada a partir de las
coordenadas de dos de sus puntos? 2) Calculen la pendiente de cada una de las siguientes rectas graficadas.
(a)
(b)
(c)
(d)
I. 1832 =+ xy II. 92
3 +−= xy
III. 096 =− xy IV. 169
=+ xy
66
Guía de trabajo nº 3 Otro tema “pendiente”
Actividad 1 a) En cada fila de la siguiente tabla se indican dos puntos A y B de una recta, y su pendiente m. Completen la tabla y luego representen cada recta en el plano cartesiano.
A = (x 1; y1) B= (x 2; y2) m
N (2;5) (-1;0)
R (-3;2) (0;-4)
T (2;4) (-3;…..) 1
Q (…..;1/2) (8;1) 3/2
S (-2;3) (2;5)
V (-8;…..) (1/2;5) 0
Recordemos que…
Si los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.
Para ello tomemos un tercer punto R(x,y), también perteneciente a la recta.
Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea
y
Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:
67
b) Completen teniendo en cuenta los ejercicios anteriores. (a) Si la pendiente es un número………………….., la función es decreciente. (b) Si la pendiente es un número…………………., la función es creciente . (c) Si la pendiente es igual a………………………, la función es constante.
c) Usando la información que aparece en el último recuadro, encuentren la ecuación de las rectas del punto 2) de la actividad 4 de la guía de trabajo nº2 de este bloque
68
BLOQUE 4: Función Lineal II
Introducción
En este bloque les proponemos continuar con el análisis de la función lineal, estudiando su fórmula y gráfico, las posiciones relativas de dos rectas en el plano
Al principio aparece ejercitación para revisar lo trabajado anteriormente, para luego continuar con actividades que les permitirán repasar algunos otros conocimientos.
Algunos de los ejercicios que pensamos, serán un desafío para esta etapa de revisión y de volver a acercarse a la matemática. ¡Cuentan con nosotros para esto! Haremos ciertas paradas en este recorrido para recordar expresiones matemáticas que les servirán para más adelante.
Nuestra idea es que logren estudiar estas funciones relacionando su fórmula con el gráfico que le corresponde y además, que reconozcan las modificaciones que pueden tener estas funciones en su gráfico y cómo repercuten en la expresión de su fórmula.
69
Guía de trabajo nº 1
Actividad 1
a) Una recta contiene a los puntos e=(-2;-4) y f=(1;5) . ¿Cuál es su pendiente? Pueden representar los puntos e y f en un sistema de ejes cartesianos para pensar tu respuesta desde el gráfico.
b) La recta H tiene pendiente 0,5. 1)¿Puede contener a los puntos (7;3) y (-5;-3)? ¿Por qué? Ayuda: Recuerden la fórmula que trabajamos en el bloque anterior para calcular la pendiente de una recta dados dos puntos que pertenezcan a ella. 2)Si su ordenada al origen es 2, ¿contiene al punto (4;5)? ¿Por qué?
2) La recta P tiene pendiente 2 y contiene al punto (1;1). ¿Cuál es su ordenada al
origen?
3) Escriban la ecuación
