Módulo II Trimestre 2014

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  • 5/21/2018 Mdulo II Trimestre 2014

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    En fsica es de gran importancia laaplicacin de los vectores para describir unavariedad de fenmenos.

    Para ello es imprescindible saberdescomponer rectangularmente a los vectores,

    lo que a su vez exige un conocimientoadecuado de las razones trigonomtricas quetienen por caracterstica vincular los lados deun tringulo rectngulo.

    Ejemplo: eltringulo mostrado

    se puede

    establecer elsiguiente con!unto

    de razones

    EL HOMBRE ES UNAMIRADA; EL RESTO ES SLOCARNE. PERO LA VERDADERAMIRADA ES LA QUE VE ALAMIGO. FUNDE TU CUERPO

    ENTERO EN TU MIRADA, VETEHACIA LA VISIN, VETE HACIALA VISIN....

    DYALAYALDINRUMI

    EL HOMBRE ES UNAMIRADA; EL RESTO ES SLOCARNE. PERO LA VERDADERAMIRADA ES LA QUE VE ALAMIGO. FUNDE TU CUERPOENTERO EN TU MIRADA, VETEHACIA LA VISIN, VETE HACIALA VISIN....

    DYALAYALDINRUMI

    ". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado

    Se llama razn trigonomtrica a la

    comparacin por cociente de las longitudes de

    dos lados de un tringulo rectngulo.

    TRINGULO RECTNGULO.:

    * A y B : ngulos agudos complementarios:

    + = 90 .

    * Teorema de Pitgoras :a2

    + b2

    = c2

    El cuadrado de la hipotenusa es igual a la

    suma de los cuadrados de los catetos

    Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira

    a

    bA

    B

    c

    C

    Hipotenusa":"ngulo

    Cateto opuesto

    al

    ":"ngulo

    Catetoadyacente

    al

    -s, si un cuerpo est en equilibrio debido a la accin de tres fuerzas no paralelas,se debe cumplir que al descomponerlas rectangularmente, como muestra la 4gura, lasuma de las componentes, en cada e!e, debe ser cero.

    A

    37

    B

    AT

    P

    y

    37

    37SenTBBT

    x37cosBT

    O

    1

    5=a

    12=bA

    B

    13=h

    12

    13;

    5

    13;

    5

    12;

    12

    5;

    13

    12;

    13

    5

    A

    ac

    C

    B

    b

    :.1 Catetos ba y

    :.2Hipotenusa c

    :donde ac> bc>

    56

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    ". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado

    Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira

    Naci en Sa!". A#n$#e n! "e %!"een &a'!" cie('!" &e "# )i&a, %a(ece $#ee"'#)! en c!n'ac'! c!n "ace(&!'e" e*i%ci!" $#e a*#&i+a(!n "# in'e(" %!( -ae"%ec#-acin a'e'ica. S# a#'n'ic! in'e(" (a&ica en "e( e- /#n&a&!( &e #na

    "ec'a 0"'ic!1(e-i*i!"a ca(ac'e(i+a&a %!( "# &e&icacin a- e"'#&i! &e -a"a'e'ica" 2 %!( %(ac'ica( #n 'i%! &e )i&a c!#ni'a(ia &e /#e('e" (e"!nancia"(/ica".

    La a%!('acin /i-!"/ica &e Pi'*!(a" e" in"e%a(a3-e &e- c!n4#n'! &!c'(ina-$#e --aa!" %i'a*!(i"!. Se -e a'(i3#2e -a in)encin &e -a 'a3-a &e #-'i%-ica(,&e- "i"'ea &ecia-, &e -a" %(!%!(ci!ne" a(i''ica" 2 &e- 'e!(ea $#e --e)a "#n!3(e.

    C!n"i&e(a&! e- %(ie( a'e'ic!. Pi'*!(a" /#n& #n !)iien'! en e- "#(&e -a ac'#a- I'a-ia, en e- "i*-! VI a.C. $#e en/a'i+ e- e"'#&i! &e -a"a'e'ica" c!n e- /in &e in'en'a( c!%(en&e( '!&a" -a" (e-aci!ne" &e- #n&!na'#(a-. S#" "e*#i&!(e", --aa&!" %i'a*(ic!", /#e(!n -!" %(ie(!" en /!(#-a(-a 'e!(0a $#e &ec0a $#e -a Tie((a e" #na e"/e(a $#e *i(a en '!(n! &e- "!-.

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    ". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado

    El valor de las razones trigonomtricas

    de ngulos agudos, se determinan en un

    tringulo rectngulo, estableciendo la divisin

    entre las longitudes de sus lados tomados de

    dos en dos y con respecto a uno de sus ngulosagudos.

    7 -3ora considerando al ngulo #8( , setendr que:

    DEFINICIN NOMBRE

    %eno de9anda

    oseno de9anda

    )angentede 9anda

    otangentede 9anda

    %ecante de9anda

    osecantede 9anda

    Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira

    a

    bA

    B

    c

    C

    Hipotenusa":"ngulo

    Catetoopuesto

    al

    ":"nguloCateto adyacente

    al

    Nota:

    Los valores de las seis razones

    trigonomtricas dependen nicamentede la medida del ngulo y no de las

    longitudes de los lados del tringulo

    rectngulo.

    hipotenusaladeLongitud

    aopuestocatetodelLongitudSen

    ...

    ..... =

    hipotenusaladeLongitud

    aadyacentecatetodelLongitudCos

    ...

    ..... =

    ..,..

    .....

    aadyacentecatetodelLongitud

    aopuestocatetodelLongitudTg =

    .....

    .....

    aopuestocatetodelLongitud

    aadyacentecatetodelLongitudCtg =

    .....

    ...

    aadyacentecatetodelLongitud

    hipotenusaladeLongitudSec =

    .....

    ...

    aopuestocatetodelLongitud

    hipotenusaladeLongitudCsc =

    a

    bA

    B

    c

    C

    Hipotenusa

    ":"ngulo

    Catetoopuesto

    al

    ":"ngulo

    Catetoadyacente

    al

    5;

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    Existe la necesidad de recordar losvalores que tienen las tres razonestrigonomtricas ms empleadas entrigonometra como son: el seno, el coseno < latangente.

    =n modo bastante sencillo de recordarlos valores de las razones trigonomtricas deun grupo de ngulos llamados notables, es

    mediante una regla mnemotcnica conocidacomo la regla de la raz, que consiste en listarlos ngulos de 55, a >55< los n?meros naturalesde 5 a @ seg?n como se indica en la imagen.-s el seno de A55es:

    TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLES.: Son aquellos tringulos rectngulos, donde

    conociendo las medidas de sus ngulos agudos, se puede saber la proporcin existente entre sus

    lados. Van a destacar los siguientes tringulos.

    8 ; 15 ; 16 ; 30 ; 37 ; 45 ; 53 ; 60 ; 74 ; 75 ; 82 ; etc.

    ". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado

    OBSERVACIN!!!

    Para todo ngulo agudo #( se cumplirque:

    Entre los tringulos rectngulos notables

    ms comunes, tenemos:

    El 1ro es un tringulo rectngulo

    issceles, el 2do es el que se obtiene de dividir

    un tringulo equiltero y el 3ro. Es el famoso

    Tringulo Rectngulo Pitagrico caracterizado

    por que sus lados son proporcionales a tres

    nmeros naturales consecutivos.

    Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira

    c

    aSen =

    c

    bCos =

    baTg =

    abCtg =

    b

    cSec =

    a

    cCsc =

    10 Cos0>Tg 1>Sec

    3

    45

    45

    60 37

    53

    30

    2k

    k

    k k2

    k

    3k k5

    k4

    k3

    5@

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    ". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado

    De los tringulos rectngulos anteriores se

    obtiene:

    30 60 37 53 45

    Sen

    Cos

    Tg

    Ctg

    Sec

    Csc

    OBSERVACIN!!!

    Una forma prctica para calcular las razones

    trigonomtricas de la mitad de un ngulo agudo

    es la siguiente: Partimos de un tringulo ABC

    (recto en C). Si queremos las razones

    trigonomtricas de (A/2) entonces prolongamos

    el cateto hasta un punto D tal que:

    ABAD= Luego el tringulo BAD es issceles,

    7 Por lo tanto:a

    bcACot

    +=2 .

    7 e donde:

    7 -nlogamente:

    Sobre la base de los tringulos anteriores se

    pueden construir otros, de relativa importancia,

    Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira

    2

    1

    2

    3

    2

    3

    32

    3

    3

    3

    2

    3

    2

    1

    33

    3

    2

    3

    32

    3

    5

    4

    5

    34

    4

    35

    4

    5

    3

    5

    4

    5

    3

    43

    3

    4

    4

    5

    3

    5

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    1

    1

    TR.

    CA

    2/ABDA=

    a

    bA

    B

    c

    C

    a

    b

    a

    cACot

    +=2CotAA

    ACot

    +=csc

    2

    abc

    bcaA

    Tg =+

    =2

    CotAAA

    Tg = csc2

    k10

    30182/37 =

    k3

    kk25 74

    16

    k24

    k7

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    TENEMOS LA VIRTUD, QUE AVECES ES DEFECTO, DE LAGENEROSIDAD EN EL MOMENTO DELTRIUNFO, SIN DARNOS CUENTA DEQUE AQUEL QUE HA SIDOPROVISIONALMENTE, INTERPRETALA GENEROSIDAD COMO DEBILIDAD,5 APROVECHAR6 LA SITUACINPARA INVERTIRLA.

    PABLO MACERA

    TENEMOS LA VIRTUD, QUE AVECES ES DEFECTO, DE LAGENEROSIDAD EN EL MOMENTO DELTRIUNFO, SIN DARNOS CUENTA DEQUE AQUEL QUE HA SIDOPROVISIONALMENTE, INTERPRETALA GENEROSIDAD COMO DEBILIDAD,5 APROVECHAR6 LA SITUACINPARA INVERTIRLA.

    PABLO MACERA

    ". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado

    para obtener de ellas sus Razones

    Trigonomtricas.

    Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira

    k2

    30222/45 =

    k22+

    k223063

    k5

    30262/53 =k2

    k

    k4 54

    36

    ( )k15+

    ( )k5210

    ( )k26+

    k4( )k26

    15

    75

    82

    8

    k25

    k7

    k

    #$o te regoci!es cuando caetu enemigo < no de!es que tucorazn se alegre cuando tambalea.%i tu enemigo tiene 3ambre, dale

    de tu pan, < si tiene sed compartetu agua con l(

    Notas Importantes!

    9os valores de las razonestrigonomtricas son cantidades adimensionalesB es decir, sonn?meros reales.

    %i se conoce el valor de una razntrigonomtrica de un ngulo agudoentonces se puede calcular el valorde las otras cinco razonestrigonomtricas.

    9os valores de las razonestrigonomtricas no dependen deltama&o de los lados de un tringulorectngulo las /.) dependen slodel ngulo.

    ( ) realroL

    LTR ...

    2

    1 ==

    h

    ocSenSi

    .

    5

    3: ==

    5

    4=Cos

    4

    3=Tg

    3

    4=Ctg

    3

    5=Csc

    4

    5=Sec4=x

    53

    5*

    k

    k4k17

    76

    14

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    CMO DEMOSTRAR CUALQUIERCOSA

    Be('(an& R#""e-- e"'a3a '(a'an&! "!3(e

    -!" en#ncia&!" c!n&ici!na-e" 2 "!"'enien&!$#e #n en#ncia&! /a-"! i%-ica c#a-$#ie(c!"a, '!&!. Un /i-"!/! e"c%'ic! -e%(e*#n'7

    8Q#ie(e #"'e& &eci( $#e "i 9 : 9

  • 5/21/2018 Mdulo II Trimestre 2014

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    bC aD

    c

    bC aD

    c

    ". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado

    * En la figura que se muestra:

    < : Son ngulos complementarios

    ( + = 90), hemos nombrado al ngulo

    opuesto al cateto b como y el ngulo

    opuesto al cateto a como en consecuencia:

    Debido a estas relaciones las razones:

    * Seno y Coseno ; Tangente y Cotangente ;

    Secante y Cosecante. Se llamanco-razones

    t

    rigonomtricas una de la otra respectivamente.

    Cumplindose: (Teorema de Pitgoras)

    e4nimos con respecto a :

    3

    ac!""en == sen C cos F>5G H

    I

    c

    ac!''an == tan C cot F>5G H

    I

    c

    3c"c"ec == sec C csc F>5G H

    I

    TEOREMA:

    La razn trigonomtrica de un ngulo arco,equivale a su co-funcin o co-razn del

    complemento del ngulo o arco dado.

    Por ejemplo:

    6.sen 5G C cosJ5G 5G D

    J5G C >5G

    Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira

    c

    aSenA =

    c

    aCosB= de"s 90=+BAy

    !alores iguales

    Cosc

    bSen == Sen

    c

    aCos ==

    Ctga

    bTg == Tg

    b

    aCtg ==

    Csca

    cSec == Sec

    b

    cCsc ==

    K-

    ba

    c

    %uman

    5J

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    ". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado . tg65G C ctg L5G 65G D

    L5G C >5G

    ;.csc 6LG@*M C sec J6G6*M

    6LG@*MD J6G6*MC >5G

    1.En un ABC, recto en A y de rea S,

    hallar el valor de la expresin P en funcindel rea:

    Resolucin:

    Reduciendo:

    2.Si Tg = 0,75 y es un ngulo agudo.

    Calcular:

    Solucin:

    Reemplazando en la expresin R, tenemos:

    3.Se tiene un ABC recto en C. Si se

    cumple que: Sec A.Sec B = 2.Tg A . Tg.B.

    Calcular: Tg.A.

    Igualando (1) y (2)

    Nos Piden:

    4.De la siguiente figura, calcular x.

    Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira

    ( )BSenBCos

    CSenTgBbcP

    22

    222..

    =

    b

    cB

    C

    a

    A

    ( ) ( )

    ( )2

    22

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    222 ....

    a

    bc

    a

    cbbc

    a

    b

    a

    c

    a

    c

    c

    bbc

    P

    =

    =

    ==

    2

    ..2.

    cbcbP

    SP .2=

    CtgCsc

    CosSenR

    +

    =

    4

    3

    100

    75: ==TgCo"o

    ac

    oc

    .

    .

    3

    4

    3

    55

    4

    5

    3

    +=R

    5

    21=R

    a

    bA

    B

    c

    C

    a

    b

    b

    a

    a

    c

    b

    cDato ..2. ==

    )2......(: 222

    cbaco"o =+

    baba .222 =+

    0.2 22 =+ bbaa

    ( ) 02 = ba ba=

    b

    aATg =.

    a

    aATg =. 1. = ATg

    )1......(..22 bac =

    x

    4530

    B C

    D

    A "12

    5L

  • 5/21/2018 Mdulo II Trimestre 2014

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    ". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado

    Resolucin:

    De la figura: BC = x

    En el ACD:

    Resolviendo la ecuacin, obtenemos:

    5.Determinar los lados de un tringulo ABC,

    recto en A, sabiendo que : 43=SenB y

    a + b = 28

    Solucin:

    Por Pitgoras:

    Reemplazando valores de a y b, tenemos:

    6.Si: Tg = 0,666 Hallar el valor de:

    Resolucin:

    Por Pitgoras:

    Reemplazando en la expresin:

    7.Resolver: Sen(6x 36) Cos(2x + 46) = 0

    Solucin:

    8.Resolver:

    Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira

    x

    xTg

    +=

    1230

    x

    x

    +=

    123

    3

    ( )136 +=x

    C

    ab

    A

    B

    c

    2843* =+ kk 4=k

    16=a12=b:Luego

    222 cba +=

    222 1216 c+= 74=c

    6

    1= R

    3

    2

    9

    6: ==TgDato ac

    oc

    .

    .

    222 32 +=x

    13=x

    2

    2

    132

    3

    2

    +=# 8=#

    4

    3=

    a

    b

    ka

    kb

    4

    3

    ==

    N3

    x2

    ( ) ( )462366 += xCosxSenCon el :dato

    :Co"o ( ) ( ) .... TRCOTR =

    90=+

    ( ) ( ) 90462366: =++ xxLuego

    808 =x

    10=x

    45.45.3030.45.60 TgxCosCosCtgxSenCos +=+

    5>

  • 5/21/2018 Mdulo II Trimestre 2014

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    ". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado

    Resolucin:

    Recuerde las R.T de los ngulos notables!

    9.Si: es un ngulo agudo y:

    Solucin:

    Luego:

    10.

    Resolucin:

    Cumple que:

    Reemplazando el valor de x en M:

    Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira

    1.2

    2.

    2

    33.

    2

    2.

    2

    1xx +=+

    1.4

    63.

    4

    2xx +=+

    )13(4

    2)13.( =x

    4

    2=x

    4545

    4545.2

    CtgCsc

    TgCosTg

    +

    =

    CosSenRCalcular .: =

    12

    12

    22

    +=Tg

    12

    12

    +

    =Tgac

    oc

    .

    .

    12

    6=$12+

    ( ) ( )222 1212* ++=x

    332 +=x

    6=x

    +=

    6

    12.

    6

    12R

    6

    1=R

    ( ) ( )xTgTgxxCosSi =+ 90..252.2:

    2

    33: x

    CosxTg%Calcular =

    :.datoPor ( ) CtgxTgxxCos .252.2 =+

    ( ) 22

    52 =+xCos

    ( ) 4552 =+x

    20=x

    2

    33

    xCosxTg% =

    3060 CosTg% =

    2

    33=%

    2

    3=%

  • 5/21/2018 Mdulo II Trimestre 2014

    12/137

    ". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado

    11.Resolver:

    Solucin:

    Igualando los ngulos dados, tenemos:

    12.Calcular:

    Resolucin:

    13.En un tringulo ABC recto en B, la

    hipotenusa mide 20 m; adems se tiene que

    Tg A = 4.Tg C. Hallar el rea del tringulo.

    Solucin:

    Por teorema de Pitgoras:

    14.En un tringulo rectngulo ABC, recto en B

    se cumple: 3.Sen A = 2.Sen C. Calcular el

    valor de la tangente del menor de sus

    ngulos agudos.

    Resolucin:

    Dibujamos un tringulo, recto en B.

    Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira

    ( ) ( ) 110.803 =+ xCscxSen

    ( ) ( ) 1..... = TRCoTR

    =

    ( ) ( )10803 += xx

    902 =x 45=x

    80.10.2

    75.15

    CscCos

    SenSen%=

    8010: SenCosCo"o =

    32

    2622

    =% 32

    4

    =%

    8

    1=%

    80.80.2

    4

    26.

    4

    26

    CscSen%

    +

    =

    1

    A

    C

    B

    ca 2= 20

    c

    a

    c

    c

    aDato .4: =

    22 .4ca =

    ca .2=

    ( ) 222 202 =+ cc 5.4=c

    5.8: =aLuego

    ( ) ( )2 54.58=&rea 280"&rea=

    ab

    A Bc

    C

    65

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    13/137

    ". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado

    Se sabe que:

    Reemplazando:

    Luego se cumple que:

    A menor lado, se opone menor ngulo,

    luego: el menor ngulo ser A.

    15.En un tringulo rectngulo, el rea de su

    regin triangular es 270m2

    . Calcula su

    permetro si la cosecante de uno de sus

    ngulos agudos es 2,6.

    Sea el ngulo agudo, tal que:

    16.Del grfico mostrado, calcular Sen .

    Solucin:

    Trazamos AD y se forma el tringulo

    issceles ADC (AD = DC = 8 ), en el

    tringulo rectngulo ABD, calculamos AB

    por el teorema de Pitgoras, anlogamente

    Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira

    SenCSenA .2.3 =

    bc

    ba .2.3 =

    ca .2.3 =

    ka 2= kc 3=

    k2

    A Bk3

    C

    ( ) ( ) kkk 1323 22 =+

    k

    kTgA

    3

    2=

    3

    2=TgA

    Pordato sabe"os elrea( ) 2270. "esS

    ( ) ( )270

    2

    512==

    kkS 540.60 2 =k

    3=k

    92 =k

    ospiden elper'"etro ( ):2p

    kkkp 131252 ++= kp .302 =

    ( )3.302 =p

    902 = p

    A

    B

    C

    8

    1

    D

    #

    A

    B

    C

    8

    1

    D

    #

    8

    12

    73

    k13k5

    )(12 Pitgorask

    5

    136,2 ==Csc

    oc

    h

    k

    k

    .5

    13=

    66

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    ". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado

    en el tringulo ABC calculamos AC,

    resultando:

    Finalmente en el ABC:

    17.Del grfico mostrado, calcular tan x.

    Resolucin:

    Si trazamos el radio OD observamos que el

    ngulo AOD tambin midex(por teorema

    ngulo exterior de un cuadriltero). En el

    tringulo rectngulo ADO calculamos AD

    aplicando el Teorema de Pitgoras,

    resultando:

    En el ADO:

    18.De la figura mostrada Calcular:

    Solucin:

    Damos valores a los lados AD, DB y BC.

    As mismo reconocemos que el ngulo BDC

    es exterior al ADC.

    Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira

    12

    9=Sen

    4

    3= Sen

    ( )

    ( )

    ++

    Ctg

    Tg

    D

    C

    A

    B

    +"

    "

    +

    ( )"

    nTg =+

    3

    10.2. =xTg

    D

    C

    A

    B

    6

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    ". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado

    DBC:

    ABC:

    Reemplazando en la expresin pedida:

    19.Si:

    Calcular:

    Reemplazando los correspondientes valores

    de x y y en la expresin dada, se obtiene:

    20.Del grfico mostrado, calcular sabiendoque: 3.BD = AD.

    Solucin:

    Trabajando en el tringulo notable ABC y

    reemplazando los datos correspondientes,

    tendremos:

    Trabajando el lado AB, tenemos:

    En el tringulo DBC, tenemos:

    Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira

    ( )"

    nCtg

    2=+

    ( )

    ( ) n"n"

    "n"n

    CtgTg

    .

    ..2

    2

    ==+

    +

    ( )( )

    2=+

    +

    Ctg

    Tg

    ( ) CtgySenxTgyCosxyx( ..32.3.4; ++=

    ( )45;60: (Calcular

    ( ) 45.60.3245.360.445;60 CtgSenTgCos( ++=

    ( ) ( ) 1.2

    3.321.3

    2

    1.445;60 ++

    =(

    ( ) 33245;60 ++=(

    ( ) 845;60 = (

    A B

    C

    D

    10

    37

    84 == xAB 2=x

    6

    2

    6==

    xTg

    3

    1= Tg

    A B

    C

    D

    10

    37xx3

    6

    8

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    ". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado

    21.Si ABCD es un cuadrado, calcular Tg .

    En el ADF es notable, trazamos la altura

    EH, determinndose el BHE.

    22.Determinar segn el grfico mostrado.

    Los tringulos ADB, ADE y EDC son

    notables y les asignamos valores adecuados

    a sus lados.

    Calculamos Tg en el BDC, As:

    Racionalizando, tenemos:

    23.Determinar los ngulos agudos y ,

    si se verifica que:

    Resolucin:

    A continuacin resolvemos el sistema:

    Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira

    A

    CB

    D

    )

    #

    37

    a

    aTg

    4

    5=

    :BH#el#n

    4

    5= Tg

    Tg

    A

    B C

    D

    #

    )

    Ha637

    a4

    a5

    a5

    a8

    a3

    a5

    37

    #

    D C

    B

    A

    30

    3745

    3.3a

    Ca4a3

    a6

    a3

    #

    D C

    B

    A

    30

    3745

    3..3

    .4

    a

    aTg =

    3.3

    4=Tg

    9

    3.4= Tg

    ( ) ( ) = 90353 CtgTg 152 =

    ( ) ( ) = 90353: CtgTgSi

    353: = ndoSi"pli(ica

    9090353 =+

    6;

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    17/137

    ". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado

    24.Si se cumple que:

    Calcular el valor de:

    Solucin:

    Transformamos a su respectiva co-razn:

    Reemplazando en la condicin, tenemos:

    Reemplazamos en la expresin que nos

    piden calcular:

    Identificamos las co-razones:

    Reemplazando, tenemos:

    Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira

    152

    353

    ==

    :.dondeDe 17= 16=

    ( ) ( ) ( )xTgyTgxCtg =++ 6020.30

    ( ) ( )

    ( )10

    20.50

    +++=

    xyCosyCosyxSen

    #

    ( ) ( )3060 += xCtgxTg

    ( ) ( ) ( )xTgyTgxCtg =++ 6020.30

    ( ) ( ) ( )3020.30 +=++ xCtgyTgxCtg

    ( ) 120 =+yTg

    ( ) 4520 CtgyTg =+

    ( ) 4520 =+y

    25= y

    ( ) ( )

    ( )10

    20.50

    +++=

    xyCosyCosyxSen

    #

    ( ) ( )xCosxSen =+ 1575

    ( ) ( )

    ( )xCosCosxSen

    #

    +=15

    45.75

    45Cos#=

    2

    2=#

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( )xCos

    CosxCos

    xCos

    CosxSen#

    =

    += 15

    45.15

    15

    45.75

    RenDescartes(1596-1650)

    Naci de una familia francesa noble en

    la Turena Francia. Los aportes que

    realiz a la matemtica fueron en el rea

    de estadstica y probabilidades.

    Se recuerda sobre todo a este francs

    etraordinario por su in!encin de la

    "atemtica. #ero su lo$ro ms notable

    fue la reduccin de la Naturaleza a leyes

    matemticas.

    %&onsiderada que no s nada de Fsica si

    tan slo fuese capaz de epresar cmo

    deben ser las cosas' pero fuese incapaz

    de demostrar que no pueden ser de otra

    manera.

    No obstante' (abiendo lo$rado reducir laFsica a las "atemticas' la

    demostracin es entonces posible' y

    6@

  • 5/21/2018 Mdulo II Trimestre 2014

    18/137

    37

    B

    5x-2

    6x-1A

    C

    9x -3 8x+12

    14

    ". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado

    1.En el triangulo mostrado calcular la longitud

    de BC.

    A) 10u

    B) 13u

    C) 15u

    D) 16u

    E) 17u

    2.Calcular la longitud del lado CD ; si BC=CE

    A) 3u

    B) 4/3 u

    C) 4/25 u

    D) 25/4 u

    E) 25/2 u

    3.Determinar el rea de la regin triangular

    PQR

    A) 90 u

    B) 94.5 u

    C) 92.5 u

    D) 95 u

    E) 95.5 u

    4.De la figura mostrada calcular el lado AB : si

    =31

    A) 1

    B) 2

    C) 3

    D) 4

    E) 5

    5.Del grafico ,determinar el valor de x

    A) 4

    B) 7/6

    C) 6/7

    D) 6

    E) 57

    Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira

    6*

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    19/137

    ". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado

    6.En un triangulo ABC (recto en C) los catetos

    miden 10u y 24u respectivamente, calcular

    el permetro de dicho triangulo.

    A) 30 u B) 50 u C) 40 u

    D) 70u E) 60 u

    7.Una escalera recta rgida esta apoyada en

    una pared y forma con la horizontal un

    ngulo de 60 , el pintor mueve la escalera

    bajando un metro su punto de apoyo en la

    pared . ahora el ngulo entre al escalera y el

    piso se 45 aproximadamente. Calcular la

    longitud de la escalera.

    A)3 +2 B)3 2 C)3

    D)2(2 +3) E)2(3 +2)

    8.Del grfico calcular LN, si: BC=16m y

    AN=NC

    A) 122 B) 82 C) 62

    D) 10 E) 102

    1. Indicar lo incorrecto:

    a) sen20 = cos70

    b) tg10 ctg10 = 1

    c) sec(x + 40) = csc(50 - x)

    d) tg(x + y) ctg(x + y) = 1

    e) tg20 = ctg20

    2. Seale el valor de x

    Si: sen2x csc40 = 1

    a) 10 b) 5 c) 15

    d) 20 e) 40

    3. Sabiendo que tg5x ctg(x + 40) = 1Calcular: cos3x

    a) 1 b)9@

    c)2

    2

    d) 3 e)?9

    4. Hallar x

    Si: cos(3x 12) sec(x + 36) = 1

    a) 12 b) 24 c) 36

    d) 48 e) 8

    5. Determine x en:

    Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira

    Ejercicios deEjercicios deAplicacinAplicacin

    Ejercicios deEjercicios deAplicacinAplicacin

  • 5/21/2018 Mdulo II Trimestre 2014

    20/137

    ". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado

    Sen(3x + 25) csc(x + 35) = 1

    a) 5 b) 8 c) 10

    d) 15 e) 20

    6. Calcular:

    E = (7tg10 - 2ctg80) (ctg10 + tg80)

    a) 5 b) 14 c) 10 d) 12 e) 8

    7.

    50csc

    40sc3

    70

    202

    80cos

    10: +=

    ctg

    tgsen#Calcular

    a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 e) -2

    8. Si: sec7x = csc4x. Calcular:

    ABc'*

    A?'*

    A@Cc!"

    "enA9E

    a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2

    9. Si: x e y son complementarios

    adems:

    ??D'*A 29c'* =

    Calcular:

    29"ec9

    A"en9E

    =

    a) 1 b) 3 c) 3/2 d) 5/2 e) 4

    10.Calcular: cos(x + y)

    Si:sen(x 5) .csc(25 - x) = 1

    Sen(y + 10) = cos(y + 20)

    a) 9 b) 99

    c)

    9

    @

    d)