Módulo II Trimestre 2014

5/21/2018 Mdulo II Trimestre 2014

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En fsica es de gran importancia laaplicacin de los vectores para describir unavariedad de fenmenos.

Para ello es imprescindible saberdescomponer rectangularmente a los vectores,

lo que a su vez exige un conocimientoadecuado de las razones trigonomtricas quetienen por caracterstica vincular los lados deun tringulo rectngulo.

Ejemplo: eltringulo mostrado

se puede

establecer elsiguiente con!unto

de razones

EL HOMBRE ES UNAMIRADA; EL RESTO ES SLOCARNE. PERO LA VERDADERAMIRADA ES LA QUE VE ALAMIGO. FUNDE TU CUERPO

ENTERO EN TU MIRADA, VETEHACIA LA VISIN, VETE HACIALA VISIN....

DYALAYALDINRUMI

EL HOMBRE ES UNAMIRADA; EL RESTO ES SLOCARNE. PERO LA VERDADERAMIRADA ES LA QUE VE ALAMIGO. FUNDE TU CUERPOENTERO EN TU MIRADA, VETEHACIA LA VISIN, VETE HACIALA VISIN....

DYALAYALDINRUMI

". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado

Se llama razn trigonomtrica a la

comparacin por cociente de las longitudes de

dos lados de un tringulo rectngulo.

TRINGULO RECTNGULO.:

* A y B : ngulos agudos complementarios:

+ = 90 .

* Teorema de Pitgoras :a2

+ b2

= c2

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la

suma de los cuadrados de los catetos

Prof. sar -ugusto /)"0 /1% Prof. 2illiam-le!andro +utirrez 3ira

a

bA

B

c

C

Hipotenusa":"ngulo

Cateto opuesto

al

":"ngulo

Catetoadyacente

al

-s, si un cuerpo est en equilibrio debido a la accin de tres fuerzas no paralelas,se debe cumplir que al descomponerlas rectangularmente, como muestra la 4gura, lasuma de las componentes, en cada e!e, debe ser cero.

A

37

B

AT

P

y

37

37SenTBBT

x37cosBT

O

1

5=a

12=bA

B

13=h

12

13;

5

13;

5

12;

12

5;

13

12;

13

5

A

ac

C

B

b

:.1 Catetos ba y

:.2Hipotenusa c

:donde ac> bc>

56


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Naci en Sa!". A#n$#e n! "e %!"een &a'!" cie('!" &e "# )i&a, %a(ece $#ee"'#)! en c!n'ac'! c!n "ace(&!'e" e*i%ci!" $#e a*#&i+a(!n "# in'e(" %!( -ae"%ec#-acin a'e'ica. S# a#'n'ic! in'e(" (a&ica en "e( e- /#n&a&!( &e #na

"ec'a 0"'ic!1(e-i*i!"a ca(ac'e(i+a&a %!( "# &e&icacin a- e"'#&i! &e -a"a'e'ica" 2 %!( %(ac'ica( #n 'i%! &e )i&a c!#ni'a(ia &e /#e('e" (e"!nancia"(/ica".

La a%!('acin /i-!"/ica &e Pi'*!(a" e" in"e%a(a3-e &e- c!n4#n'! &!c'(ina-$#e --aa!" %i'a*!(i"!. Se -e a'(i3#2e -a in)encin &e -a 'a3-a &e #-'i%-ica(,&e- "i"'ea &ecia-, &e -a" %(!%!(ci!ne" a(i''ica" 2 &e- 'e!(ea $#e --e)a "#n!3(e.

C!n"i&e(a&! e- %(ie( a'e'ic!. Pi'*!(a" /#n& #n !)iien'! en e- "#(&e -a ac'#a- I'a-ia, en e- "i*-! VI a.C. $#e en/a'i+ e- e"'#&i! &e -a"a'e'ica" c!n e- /in &e in'en'a( c!%(en&e( '!&a" -a" (e-aci!ne" &e- #n&!na'#(a-. S#" "e*#i&!(e", --aa&!" %i'a*(ic!", /#e(!n -!" %(ie(!" en /!(#-a(-a 'e!(0a $#e &ec0a $#e -a Tie((a e" #na e"/e(a $#e *i(a en '!(n! &e- "!-.


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El valor de las razones trigonomtricas

de ngulos agudos, se determinan en un

tringulo rectngulo, estableciendo la divisin

entre las longitudes de sus lados tomados de

dos en dos y con respecto a uno de sus ngulosagudos.

7 -3ora considerando al ngulo #8( , setendr que:

DEFINICIN NOMBRE

%eno de9anda

oseno de9anda

)angentede 9anda

otangentede 9anda

%ecante de9anda

osecantede 9anda


a

bA

B

c

C

Hipotenusa":"ngulo

Catetoopuesto

al

":"nguloCateto adyacente

al

Nota:

Los valores de las seis razones

trigonomtricas dependen nicamentede la medida del ngulo y no de las

longitudes de los lados del tringulo

rectngulo.

hipotenusaladeLongitud

aopuestocatetodelLongitudSen

...

..... =

hipotenusaladeLongitud

aadyacentecatetodelLongitudCos

...

..... =

..,..

.....

aadyacentecatetodelLongitud

aopuestocatetodelLongitudTg =

.....

.....

aopuestocatetodelLongitud

aadyacentecatetodelLongitudCtg =

.....

...

aadyacentecatetodelLongitud

hipotenusaladeLongitudSec =

.....

...

aopuestocatetodelLongitud

hipotenusaladeLongitudCsc =

a

bA

B

c

C

Hipotenusa

":"ngulo

Catetoopuesto

al

":"ngulo

Catetoadyacente

al

5;


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Existe la necesidad de recordar losvalores que tienen las tres razonestrigonomtricas ms empleadas entrigonometra como son: el seno, el coseno < latangente.

=n modo bastante sencillo de recordarlos valores de las razones trigonomtricas deun grupo de ngulos llamados notables, es

mediante una regla mnemotcnica conocidacomo la regla de la raz, que consiste en listarlos ngulos de 55, a >55< los n?meros naturalesde 5 a @ seg?n como se indica en la imagen.-s el seno de A55es:

TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLES.: Son aquellos tringulos rectngulos, donde

conociendo las medidas de sus ngulos agudos, se puede saber la proporcin existente entre sus

lados. Van a destacar los siguientes tringulos.

8 ; 15 ; 16 ; 30 ; 37 ; 45 ; 53 ; 60 ; 74 ; 75 ; 82 ; etc.


OBSERVACIN!!!

Para todo ngulo agudo #( se cumplirque:

Entre los tringulos rectngulos notables

ms comunes, tenemos:

El 1ro es un tringulo rectngulo

issceles, el 2do es el que se obtiene de dividir

un tringulo equiltero y el 3ro. Es el famoso

Tringulo Rectngulo Pitagrico caracterizado

por que sus lados son proporcionales a tres

nmeros naturales consecutivos.


c

aSen =

c

bCos =

baTg =

abCtg =

b

cSec =

a

cCsc =

10 Cos0>Tg 1>Sec

3

45

45

60 37

53

30

2k

k

k k2

k

3k k5

k4

k3

5@


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De los tringulos rectngulos anteriores se

obtiene:

30 60 37 53 45

Sen

Cos

Tg

Ctg

Sec

Csc

OBSERVACIN!!!

Una forma prctica para calcular las razones

trigonomtricas de la mitad de un ngulo agudo

es la siguiente: Partimos de un tringulo ABC

(recto en C). Si queremos las razones

trigonomtricas de (A/2) entonces prolongamos

el cateto hasta un punto D tal que:

ABAD= Luego el tringulo BAD es issceles,

7 Por lo tanto:a

bcACot

+=2 .

7 e donde:

7 -nlogamente:

Sobre la base de los tringulos anteriores se

pueden construir otros, de relativa importancia,


2

1

2

3

2

3

32

3

3

3

2

3

2

1

33

3

2

3

32

3

5

4

5

34

4

35

4

5

3

5

4

5

3

43

3

4

4

5

3

5

2

2

2

2

2

2

1

1

TR.

CA

2/ABDA=

a

bA

B

c

C

a

b

a

cACot

+=2CotAA

ACot

+=csc

2

abc

bcaA

Tg =+

=2

CotAAA

Tg = csc2

k10

30182/37 =

k3

kk25 74

16

k24

k7


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TENEMOS LA VIRTUD, QUE AVECES ES DEFECTO, DE LAGENEROSIDAD EN EL MOMENTO DELTRIUNFO, SIN DARNOS CUENTA DEQUE AQUEL QUE HA SIDOPROVISIONALMENTE, INTERPRETALA GENEROSIDAD COMO DEBILIDAD,5 APROVECHAR6 LA SITUACINPARA INVERTIRLA.

PABLO MACERA

TENEMOS LA VIRTUD, QUE AVECES ES DEFECTO, DE LAGENEROSIDAD EN EL MOMENTO DELTRIUNFO, SIN DARNOS CUENTA DEQUE AQUEL QUE HA SIDOPROVISIONALMENTE, INTERPRETALA GENEROSIDAD COMO DEBILIDAD,5 APROVECHAR6 LA SITUACINPARA INVERTIRLA.

PABLO MACERA


para obtener de ellas sus Razones

Trigonomtricas.


k2

30222/45 =

k22+

k223063

k5

30262/53 =k2

k

k4 54

36

( )k15+

( )k5210

( )k26+

k4( )k26

15

75

82

8

k25

k7

k

#$o te regoci!es cuando caetu enemigo < no de!es que tucorazn se alegre cuando tambalea.%i tu enemigo tiene 3ambre, dale

de tu pan, < si tiene sed compartetu agua con l(

Notas Importantes!

9os valores de las razonestrigonomtricas son cantidades adimensionalesB es decir, sonn?meros reales.

%i se conoce el valor de una razntrigonomtrica de un ngulo agudoentonces se puede calcular el valorde las otras cinco razonestrigonomtricas.

9os valores de las razonestrigonomtricas no dependen deltama&o de los lados de un tringulorectngulo las /.) dependen slodel ngulo.

( ) realroL

LTR ...

2

1 ==

h

ocSenSi

.

5

3: ==

5

4=Cos

4

3=Tg

3

4=Ctg

3

5=Csc

4

5=Sec4=x

53

5*

k

k4k17

76

14


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CMO DEMOSTRAR CUALQUIERCOSA

Be('(an& R#""e-- e"'a3a '(a'an&! "!3(e

-!" en#ncia&!" c!n&ici!na-e" 2 "!"'enien&!$#e #n en#ncia&! /a-"! i%-ica c#a-$#ie(c!"a, '!&!. Un /i-"!/! e"c%'ic! -e%(e*#n'7

8Q#ie(e #"'e& &eci( $#e "i 9 : 9


8/137

bC aD

c

bC aD

c


* En la figura que se muestra:

< : Son ngulos complementarios

( + = 90), hemos nombrado al ngulo

opuesto al cateto b como y el ngulo

opuesto al cateto a como en consecuencia:

Debido a estas relaciones las razones:

* Seno y Coseno ; Tangente y Cotangente ;

Secante y Cosecante. Se llamanco-razones

t

rigonomtricas una de la otra respectivamente.

Cumplindose: (Teorema de Pitgoras)

e4nimos con respecto a :

3

ac!""en == sen C cos F>5G H

I

c

ac!''an == tan C cot F>5G H

I

c

3c"c"ec == sec C csc F>5G H

I

TEOREMA:

La razn trigonomtrica de un ngulo arco,equivale a su co-funcin o co-razn del

complemento del ngulo o arco dado.

Por ejemplo:

6.sen 5G C cosJ5G 5G D

J5G C >5G


c

aSenA =

c

aCosB= de"s 90=+BAy

!alores iguales

Cosc

bSen == Sen

c

aCos ==

Ctga

bTg == Tg

b

aCtg ==

Csca

cSec == Sec

b

cCsc ==

K-

ba

c

%uman

5J


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". E. #$uestra %e&ora de 'tima()rigonometra *to. +rado . tg65G C ctg L5G 65G D

L5G C >5G

;.csc 6LG@*M C sec J6G6*M

6LG@*MD J6G6*MC >5G

1.En un ABC, recto en A y de rea S,

hallar el valor de la expresin P en funcindel rea:

Resolucin:

Reduciendo:

2.Si Tg = 0,75 y es un ngulo agudo.

Calcular:

Solucin:

Reemplazando en la expresin R, tenemos:

3.Se tiene un ABC recto en C. Si se

cumple que: Sec A.Sec B = 2.Tg A . Tg.B.

Calcular: Tg.A.

Igualando (1) y (2)

Nos Piden:

4.De la siguiente figura, calcular x.


( )BSenBCos

CSenTgBbcP

22

222..

=

b

cB

C

a

A

( ) ( )

( )2

22

2

22

2

2

2

2

2

222 ....

a

bc

a

cbbc

a

b

a

c

a

c

c

bbc

P

=

=

==

2

..2.

cbcbP

SP .2=

CtgCsc

CosSenR

+

=

4

3

100

75: ==TgCo"o

ac

oc

.

.

3

4

3

55

4

5

3

+=R

5

21=R

a

bA

B

c

C

a

b

b

a

a

c

b

cDato ..2. ==

)2......(: 222

cbaco"o =+

baba .222 =+

0.2 22 =+ bbaa

( ) 02 = ba ba=

b

aATg =.

a

aATg =. 1. = ATg

)1......(..22 bac =

x

4530

B C

D

A "12

5L


10/137


Resolucin:

De la figura: BC = x

En el ACD:

Resolviendo la ecuacin, obtenemos:

5.Determinar los lados de un tringulo ABC,

recto en A, sabiendo que : 43=SenB y

a + b = 28

Solucin:

Por Pitgoras:

Reemplazando valores de a y b, tenemos:

6.Si: Tg = 0,666 Hallar el valor de:

Resolucin:

Por Pitgoras:

Reemplazando en la expresin:

7.Resolver: Sen(6x 36) Cos(2x + 46) = 0

Solucin:

8.Resolver:


x

xTg

+=

1230

x

x

+=

123

3

( )136 +=x

C

ab

A

B

c

2843* =+ kk 4=k

16=a12=b:Luego

222 cba +=

222 1216 c+= 74=c

6

1= R

3

2

9

6: ==TgDato ac

oc

.

.

222 32 +=x

13=x

2

2

132

3

2

+=# 8=#

4

3=

a

b

ka

kb

4

3

==

N3

x2

( ) ( )462366 += xCosxSenCon el :dato

:Co"o ( ) ( ) .... TRCOTR =

90=+

( ) ( ) 90462366: =++ xxLuego

808 =x

10=x

45.45.3030.45.60 TgxCosCosCtgxSenCos +=+

5>


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Resolucin:

Recuerde las R.T de los ngulos notables!

9.Si: es un ngulo agudo y:

Solucin:

Luego:

10.

Resolucin:

Cumple que:

Reemplazando el valor de x en M:


1.2

2.

2

33.

2

2.

2

1xx +=+

1.4

63.

4

2xx +=+

)13(4

2)13.( =x

4

2=x

4545

4545.2

CtgCsc

TgCosTg

+

=

CosSenRCalcular .: =

12

12

22

+=Tg

12

12

+

=Tgac

oc

.

.

12

6=$12+

( ) ( )222 1212* ++=x

332 +=x

6=x

+=

6

12.

6

12R

6

1=R

( ) ( )xTgTgxxCosSi =+ 90..252.2:

2

33: x

CosxTg%Calcular =

:.datoPor ( ) CtgxTgxxCos .252.2 =+

( ) 22

52 =+xCos

( ) 4552 =+x

20=x

2

33

xCosxTg% =

3060 CosTg% =

2

33=%

2

3=%


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11.Resolver:

Solucin:

Igualando los ngulos dados, tenemos:

12.Calcular:

Resolucin:

13.En un tringulo ABC recto en B, la

hipotenusa mide 20 m; adems se tiene que

Tg A = 4.Tg C. Hallar el rea del tringulo.

Solucin:

Por teorema de Pitgoras:

14.En un tringulo rectngulo ABC, recto en B

se cumple: 3.Sen A = 2.Sen C. Calcular el

valor de la tangente del menor de sus

ngulos agudos.

Resolucin:

Dibujamos un tringulo, recto en B.


( ) ( ) 110.803 =+ xCscxSen

( ) ( ) 1..... = TRCoTR

=

( ) ( )10803 += xx

902 =x 45=x

80.10.2

75.15

CscCos

SenSen%=

8010: SenCosCo"o =

32

2622

=% 32

4

=%

8

1=%

80.80.2

4

26.

4

26

CscSen%

+

=

1

A

C

B

ca 2= 20

c

a

c

c

aDato .4: =

22 .4ca =

ca .2=

( ) 222 202 =+ cc 5.4=c

5.8: =aLuego

( ) ( )2 54.58=&rea 280"&rea=

ab

A Bc

C

65


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Se sabe que:

Reemplazando:

Luego se cumple que:

A menor lado, se opone menor ngulo,

luego: el menor ngulo ser A.

15.En un tringulo rectngulo, el rea de su

regin triangular es 270m2

. Calcula su

permetro si la cosecante de uno de sus

ngulos agudos es 2,6.

Sea el ngulo agudo, tal que:

16.Del grfico mostrado, calcular Sen .

Solucin:

Trazamos AD y se forma el tringulo

issceles ADC (AD = DC = 8 ), en el

tringulo rectngulo ABD, calculamos AB

por el teorema de Pitgoras, anlogamente


SenCSenA .2.3 =

bc

ba .2.3 =

ca .2.3 =

ka 2= kc 3=

k2

A Bk3

C

( ) ( ) kkk 1323 22 =+

k

kTgA

3

2=

3

2=TgA

Pordato sabe"os elrea( ) 2270. "esS

( ) ( )270

2

512==

kkS 540.60 2 =k

3=k

92 =k

ospiden elper'"etro ( ):2p

kkkp 131252 ++= kp .302 =

( )3.302 =p

902 = p

A

B

C

8

1

D

#

A

B

C

8

1

D

#

8

12

73

k13k5

)(12 Pitgorask

5

136,2 ==Csc

oc

h

k

k

.5

13=

66


14/137


en el tringulo ABC calculamos AC,

resultando:

Finalmente en el ABC:

17.Del grfico mostrado, calcular tan x.

Resolucin:

Si trazamos el radio OD observamos que el

ngulo AOD tambin midex(por teorema

ngulo exterior de un cuadriltero). En el

tringulo rectngulo ADO calculamos AD

aplicando el Teorema de Pitgoras,

resultando:

En el ADO:

18.De la figura mostrada Calcular:

Solucin:

Damos valores a los lados AD, DB y BC.

As mismo reconocemos que el ngulo BDC

es exterior al ADC.


12

9=Sen

4

3= Sen

( )

( )

++

Ctg

Tg

D

C

A

B

+"

"

+

( )"

nTg =+

3

10.2. =xTg

D

C

A

B

6


15/137


DBC:

ABC:

Reemplazando en la expresin pedida:

19.Si:

Calcular:

Reemplazando los correspondientes valores

de x y y en la expresin dada, se obtiene:

20.Del grfico mostrado, calcular sabiendoque: 3.BD = AD.

Solucin:

Trabajando en el tringulo notable ABC y

reemplazando los datos correspondientes,

tendremos:

Trabajando el lado AB, tenemos:

En el tringulo DBC, tenemos:


( )"

nCtg

2=+

( )

( ) n"n"

"n"n

CtgTg

.

..2

2

==+

+

( )( )

2=+

+

Ctg

Tg

( ) CtgySenxTgyCosxyx( ..32.3.4; ++=

( )45;60: (Calcular

( ) 45.60.3245.360.445;60 CtgSenTgCos( ++=

( ) ( ) 1.2

3.321.3

2

1.445;60 ++

=(

( ) 33245;60 ++=(

( ) 845;60 = (

A B

C

D

10

37

84 == xAB 2=x

6

2

6==

xTg

3

1= Tg

A B

C

D

10

37xx3

6

8


16/137


21.Si ABCD es un cuadrado, calcular Tg .

En el ADF es notable, trazamos la altura

EH, determinndose el BHE.

22.Determinar segn el grfico mostrado.

Los tringulos ADB, ADE y EDC son

notables y les asignamos valores adecuados

a sus lados.

Calculamos Tg en el BDC, As:

Racionalizando, tenemos:

23.Determinar los ngulos agudos y ,

si se verifica que:

Resolucin:

A continuacin resolvemos el sistema:


A

CB

D

)

#

37

a

aTg

4

5=

:BH#el#n

4

5= Tg

Tg

A

B C

D

#

)

Ha637

a4

a5

a5

a8

a3

a5

37

#

D C

B

A

30

3745

3.3a

Ca4a3

a6

a3

#

D C

B

A

30

3745

3..3

.4

a

aTg =

3.3

4=Tg

9

3.4= Tg

( ) ( ) = 90353 CtgTg 152 =

( ) ( ) = 90353: CtgTgSi

353: = ndoSi"pli(ica

9090353 =+

6;


17/137


24.Si se cumple que:

Calcular el valor de:

Solucin:

Transformamos a su respectiva co-razn:

Reemplazando en la condicin, tenemos:

Reemplazamos en la expresin que nos

piden calcular:

Identificamos las co-razones:

Reemplazando, tenemos:


152

353

==

:.dondeDe 17= 16=

( ) ( ) ( )xTgyTgxCtg =++ 6020.30

( ) ( )

( )10

20.50

+++=

xyCosyCosyxSen

#

( ) ( )3060 += xCtgxTg

( ) ( ) ( )xTgyTgxCtg =++ 6020.30

( ) ( ) ( )3020.30 +=++ xCtgyTgxCtg

( ) 120 =+yTg

( ) 4520 CtgyTg =+

( ) 4520 =+y

25= y

( ) ( )

( )10

20.50

+++=

xyCosyCosyxSen

#

( ) ( )xCosxSen =+ 1575

( ) ( )

( )xCosCosxSen

#

+=15

45.75

45Cos#=

2

2=#

( ) ( )

( )

( )

( )xCos

CosxCos

xCos

CosxSen#

=

+= 15

45.15

15

45.75

RenDescartes(1596-1650)

Naci de una familia francesa noble en

la Turena Francia. Los aportes que

realiz a la matemtica fueron en el rea

de estadstica y probabilidades.

Se recuerda sobre todo a este francs

etraordinario por su in!encin de la

"atemtica. #ero su lo$ro ms notable

fue la reduccin de la Naturaleza a leyes

matemticas.

%&onsiderada que no s nada de Fsica si

tan slo fuese capaz de epresar cmo

deben ser las cosas' pero fuese incapaz

de demostrar que no pueden ser de otra

manera.

No obstante' (abiendo lo$rado reducir laFsica a las "atemticas' la

demostracin es entonces posible' y

6@


18/137

37

B

5x-2

6x-1A

C

9x -3 8x+12

14


1.En el triangulo mostrado calcular la longitud

de BC.

A) 10u

B) 13u

C) 15u

D) 16u

E) 17u

2.Calcular la longitud del lado CD ; si BC=CE

A) 3u

B) 4/3 u

C) 4/25 u

D) 25/4 u

E) 25/2 u

3.Determinar el rea de la regin triangular

PQR

A) 90 u

B) 94.5 u

C) 92.5 u

D) 95 u

E) 95.5 u

4.De la figura mostrada calcular el lado AB : si

=31

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

5.Del grafico ,determinar el valor de x

A) 4

B) 7/6

C) 6/7

D) 6

E) 57


6*


19/137


6.En un triangulo ABC (recto en C) los catetos

miden 10u y 24u respectivamente, calcular

el permetro de dicho triangulo.

A) 30 u B) 50 u C) 40 u

D) 70u E) 60 u

7.Una escalera recta rgida esta apoyada en

una pared y forma con la horizontal un

ngulo de 60 , el pintor mueve la escalera

bajando un metro su punto de apoyo en la

pared . ahora el ngulo entre al escalera y el

piso se 45 aproximadamente. Calcular la

longitud de la escalera.

A)3 +2 B)3 2 C)3

D)2(2 +3) E)2(3 +2)

8.Del grfico calcular LN, si: BC=16m y

AN=NC

A) 122 B) 82 C) 62

D) 10 E) 102

1. Indicar lo incorrecto:

a) sen20 = cos70

b) tg10 ctg10 = 1

c) sec(x + 40) = csc(50 - x)

d) tg(x + y) ctg(x + y) = 1

e) tg20 = ctg20

2. Seale el valor de x

Si: sen2x csc40 = 1

a) 10 b) 5 c) 15

d) 20 e) 40

3. Sabiendo que tg5x ctg(x + 40) = 1Calcular: cos3x

a) 1 b)9@

c)2

2

d) 3 e)?9

4. Hallar x

Si: cos(3x 12) sec(x + 36) = 1

a) 12 b) 24 c) 36

d) 48 e) 8

5. Determine x en:


Ejercicios deEjercicios deAplicacinAplicacin

Ejercicios deEjercicios deAplicacinAplicacin


20/137


Sen(3x + 25) csc(x + 35) = 1

a) 5 b) 8 c) 10

d) 15 e) 20

6. Calcular:

E = (7tg10 - 2ctg80) (ctg10 + tg80)

a) 5 b) 14 c) 10 d) 12 e) 8

7.

50csc

40sc3

70

202

80cos

10: +=

ctg

tgsen#Calcular

a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 e) -2

8. Si: sec7x = csc4x. Calcular:

ABc'*

A?'*

A@Cc!"

"enA9E

a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2

9. Si: x e y son complementarios

adems:

??D'*A 29c'* =

Calcular:

29"ec9

A"en9E

=

a) 1 b) 3 c) 3/2 d) 5/2 e) 4

10.Calcular: cos(x + y)

Si:sen(x 5) .csc(25 - x) = 1

Sen(y + 10) = cos(y + 20)

a) 9 b) 99

c)

9

@

d)

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Módulo II Trimestre 2014