Modulo de Volumen Cambios

VOLUMEN

2011

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA

11

VOLUMEN CAPITULO 2 CALCULO INTEGRAL

-------------------CAPITULO 2--------------------

Wilson Velásquez B. Especialista en matemáticas

2

2

VOLUMEN

La definición del área de una región plana condujo a la definición de la integral definida. En este proceso se empleo la formula de la geometría plana para el área de un rectángulo. Ahora se utilizara un proceso semejante con el propósito de obtener volúmenes de algunos tipos particulares de sólidos que aparecen de diversas formas en la vida cotidiana. Iniciamos entonces su estudio en este capítulo. 2.1 SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Si una región de un plano gira alrededor de una recta l del plano, genera un cuerpo geométrico sólido llamado sólido de revolución (Objeto Tridimensional) . La recta l se denomina eje de revolución, el cual puede intersectar o no la región.

Un sólido de revolución es macizo, es decir, que no está hueco, si el eje de rotación

hace parte de la región.

-------------------CAPITULO 2--------------------


3

3

2.2 VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN POR EL MÉTODO

DE DISCOS

Sea una función continua en . Si es el solido de revolución obtenido al girar

alrededor del la región limitada por la curva , el eje y las rectas

, y si unidades cúbicas es el volumen de , entonces

El volumen de la rebanada (Disco) es:

, donde

Radio del disco

Altura(grosor) del disco

El volumen del sólido de revolución es:

o bien

-------------------CAPITULO 2--------------------


4

4

Hallar el volumen de un cono que tiene un diámetro de 12cm y una altura de 20cm.

Por la fórmula del volumen de un cono

tenemos que

, comprobémoslo aplicando la integral definida:

El cono se genera cuando la región sombreada gira alrededor del eje y

El volumen de la rebanada (disco) es:

Hallemos la ecuación de la recta que limita la región sombreada

La ecuación de la recta viene dada por

donde

Ahora, tomemos el punto , entonces

Ejemplo 2.1:

Solución:

-------------------CAPITULO 2--------------------


5

5

Otra forma de hallar la ecuación

Por semejanza de triángulos

El volumen del solido (cono) es:

Calcule el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas

a) Alrededor de

b) Alrededor de

Ejemplo 2.2:

-------------------CAPITULO 2--------------------


6

6

El volumen de la rebanada (disco) es:

, donde

Radio del disco


, o bien

2.3 VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN POR MÉTODO DE

ARANDELAS

El método de los discos puede extenderse fácilmente para incluir sólidos de

revolución con un agujero, reemplazando el disco representativo por una arandela

representativa. La arandela se obtiene girando un rectángulo alrededor de un eje.

Siendo R y r los radios externos e internos de esta.

Sean f y g dos funciones en y > bax ,

Solución:

-------------------CAPITULO 2--------------------


7

7

El volumen de la rebanada (arandela) es:

, donde

radio exterior de la arandela =

radio interior de la arandela =


o bien

Realizando el inciso (b) del ejemplo (2.2) por el método de arandelas tenemos:


, donde

radio exterior de la arandela

radio interior de la arandela

El volumen del sólido de resolución es:

Ejemplo 2.3:

Solución:

-------------------CAPITULO 2--------------------


8

8

Halle el volumen del sólido de revolución formado al hacer girar la región acotada por

la grafica de las funciones alrededor de la recta

Hallamos los interceptos, cuando

Si entonces,


, donde

, luego

,

Ejemplo 2.4:

Solución:

-------------------CAPITULO 2--------------------


9

9

El volumen del sólido es:

Considere la región que esta encerrada por las graficas de

. Si esta región se hace girar en torno a la recta

. Calcule el volumen del

solido de revolución resultante.

Hallando los interceptos

10

01

0

11

11

1

2

2

2

xx

xx

xx

xx

xgxf

xxgxxf

El volumen de la rebanada es:

, donde

, luego

Ejemplo 2.5:

Solución:

-------------------CAPITULO 2--------------------


10

10

Los límites de integración son

El volumen del sólido es

2.4 DETERMINACIÓN DE VOLUMEN MEDIANTE CAPAS

CILINDRICAS

En esta sección estudiamos un método alternativo para el cálculo de un volumen de un sólido de revolución, un método que emplea capas cilíndricas. Para introducir el método de capas, consideramos un rectángulo representativo paralelo al eje de rotación

-------------------CAPITULO 2--------------------


11

11

El volumen de la rebanada (capa cilíndrica) es:

, donde

Radio de la capa cilíndrica

Altura de la capa cilíndrica

Espesor de la capa cilíndrica


La región acotada por las gráficas gira alrededor de la recta espesor el volumen del sólido resultante como una integral definida.

Hallamos los interceptos

12

0)1)(2(

02

2

2

2

xx

xx

xx

xx

Ejemplo 2.6:

Solución:

-------------------CAPITULO 2--------------------


12

12

Tabla de valores para:

Volumen de la rebanada( capa cilíndrica)

, donde

El volumen del sólido es:

0 2 -1

0 4 1

0 -2 2 -1

2 0 4 1

-------------------CAPITULO 2--------------------


13

13

Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva

134 23 xxxy y la vertical .

Dividimos el sólido de revolución en una serie de capas cilíndricas.

El volumen de la capa cilíndrica es:

, donde

La altura de la capa cilíndrica

Ejemplo 2.7:

Solución:

-------------------CAPITULO 2--------------------


14

14

El volumen del sólido con es:

Un sólido de revolución se forma cuando se gira la región entre , el eje y la

recta , alrededor del eje . Halle el valor de para que el volumen del

sólido sea 12 unidades cúbicas.

El volumen de la rebanada es:

, donde

Solución:

Ejemplo 2.8:

-------------------CAPITULO 2--------------------


15

15

Limites de integración

, pero

entonces

Halle el sólido de revolución generado al girar la región limitada por el eje , la recta

y la grafica de la función alrededor de la recta .

Hallando los interceptos de las gráficas , se tiene

Ejemplo 2.9:

Solución:

-------------------CAPITULO 2--------------------


16

16

El volumen de la rebanada, es

, donde

Luego

Los limites de integración

2.5 VOLUMEN DE SÓLIDOS CON SECCIONES CONOCIDAS

El volumen de un sólido de revolución generado al girar en torno al eje el área

plana acotada por la curva xfy , el eje y las rectas ax y bx viene dado

por:

. El integrado 22)( xfxr puede ser interpretado como el

área de la sección del sólido por un plano perpendicular al eje y a una distancia de unidades del origen. Recíprocamente, supongamos que el área de una sección ABC de un sólido, por un plano perpendicular al eje a una distancia del origen, puede expresarse como

una función xA de . Entonces el volumen del sólido viene dado por:

-------------------CAPITULO 2--------------------


17

17

Las coordenadas de los puntos del sólido están en el intervalo . .

2.6 PROBLEMAS RESUELTOS DE VOLUMEN

Un sólido tiene una base elíptica con ejes de longitudes 10 y 8. Hallar su volumen si

toda sección perpendicular al eje mayor es un triangulo isósceles de altura 6.

El volumen del sólido viene dado por

Tomamos la elipse como en la figura, con ecuación

La sección ABC es un

triangulo isósceles de base y2 , altura 6 y área , pero

entonces

. Por tanto,

unidades.

Ejemplo 2.10:

Solución:

-------------------CAPITULO 2--------------------


18

18

Se hacen dos cortes en un leño (cilíndrico) circular de 8 pulgadas de radio, el primero perpendicular a su eje y el segundo inclinado 60º con el primero. Si los dos cortes interceptan en una recta que pasa por el centro, hallar el volumen de la pieza cortada.

El volumen de la pieza (sólido) viene dado por

Haciendo referencia a la figura, tomamos el origen en el centro del leño, el eje a lo

largo de la intersección de ambos cortes y el lado positivos del eje en la cara de

primer corte. Una sección del corte por un plano perpendicular al eje es un

triangulo rectángulo con un Angulo de 60º y longitud del lado adyacente . El otro

lado tiene longitud y el área de la sección es

Entonces:

2.1 EJERCICIOS PROPUESTOS DE VOLUMEN

1. Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar, alrededor

del eje la región que está delimitada por la parábola por la

cúbica y por las verticales

R//

Ejemplo 2.11:

Solución:

-------------------CAPITULO 2--------------------


19

19

2. Hallar el volumen del sólido de revolución que se produce al hacer girar alrededor

de la recta vertical , la región que está comprendida entre el eje , la curva

y las rectas verticales , donde

R//

3. Demostrar, empleando el método de capas cilíndricas, que el volumen de un cono

de altura y con radio en su abertura está dado por:

3. LONGITUD DE ARCO

Sean funciones continuas en el intervalo , A y B los extremos de la gráfica de , y

la longitud de arco de A hasta B

Sea la longitud del segmento Longitud de la rebanada

=

pero y =

=

-------------------CAPITULO 2--------------------


20

20

, por tanto

, diferencial de longitud de arco de la gráfica

La longitud de arco de la gráfica de A hasta B es:

Si la curva está definida en forma paramétrica por las ecuaciones

, entonces

Halle el perímetro de la región sombreada.

Ejemplo 3.1

-------------------CAPITULO 2--------------------


21

21

El perímetro de la región sombreada es la suma de las longitudes de los lados que

limitan dicha región, por tanto

3.1 EJERCICIOS PROPUESTOS DE LONGITUD DE ARCO

1. Hallar la longitud del arco de la curva cuya ecuación es 2xy , comprendido

entre los puntos (0,0) y (8,4).

R/

2. Hallar la longitud del arco de la parábola semicúbica 22 xay desde el

origen hasta la ordenada

R/

3. Hallar la longitud del arco cuya ecuación es: ,2

1

6

3

x

xy desde el punto de

abscisa x = 1 al punto de abscisa x = 3.

R/

4. Hallar la longitud del arco de la parábola pxy 22 desde el vértice a un

extremo del lado recto.

R/

5. Hallar la longitud del arco de la parábola 26 xy desde el origen al punto

(4, 8/3)

R/

6. Hallar la longitud de una arcada de la curva senxy

Solución:

-------------------CAPITULO 2--------------------


22

22

4. AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCION

En la sección 2 obtuvimos formulas generales para determinar el volumen de sólidos

de revolución en diferentes situaciones. Ahora nuestro objetivo es determinar el área

superficial de tales sólidos de revolución.

Sea una función con derivada continua en , y sea el área del sólido

de revolución, que se obtiene al girar la curva alrededor del eje desde

.

El diferencial de área superficial que se genera luego de la rotación de ds alrededor

del eje y es la siguiente:

Vamos a deducir la fórmula para esta diferencial de área superficial

, donde

, por tanto

El área superficial de la rebanada es:

-------------------CAPITULO 2--------------------


23

23

, ecuación diferencial de superficie

Radio médio

Diferencial de longitud de arco

El área superficial del sólido de revolución es:

o bien

De forma similar, el área superficial del sólido de revolución, que se obtiene al girar la

curva alrededor del eje desde , esta dada por

o bien

Hallar el área de la superficie de revolución generado al girar en torno al eje x el arco

de la parábola entre

Ejemplo 4.1:

Solución:

-------------------CAPITULO 2--------------------


24

24

El área superficial de la rebanada es:

, donde

El área superficial del sólido revolución es:

, donde

5. INTEGRALES IMPROPIAS

Definición 5.1: Integrales impropias tipo I (Integrales con

extremos (o limites) de integración infinitos)

(i) Si f es continua en ,,a entonces

a

t

at

dxxfdxxf )(lim)( , si el límite existe.

(ii) Si f es continua en ,,a entonces

a a

tt

dxxfdxxf ,)(lim)( si el límite existe.

iii) Si es una función continua en el intervalo entonces

t

at

a

tt

a

a

dxxflímdxxflímdxxfdxxfdxxf )()()()()( , si ambos límites

existen, donde es cualquier constante en .

-------------------CAPITULO 2--------------------


25

25

Si en cada caso los límites involucrados existen, diremos que la integral impropia

converge y el valor de la integral es el valor del límite respectivo o la suma de estos,

en caso contrario, diremos que es divergente.

a

dxxf )(

a

dxxf )(

Las integrales impropias tipo I difieren de las integrales definidas en que uno o

ambos de sus límites de integración no es un número real.

DEFINICIÓN 5.2: Integrales impropias tipo II (Integrandos

Discontinuos)

(i) Si es continua en ba, y discontinua en b(tiene asíntota vertical en x = b),

entonces

b

a

t

abt

dxxfdxxf )(lim)( si el límite existe.

(ii) Si es continua en ba, y discontinua en (tiene asíntota vertical en x= a)

entonces

b

tat

b

a

dxxfdxxf )(lim)( si el límite existe.

iii) si la función es continua en el intervalo con excepción de

, y si en la gráfica de tiene una asíntota vertical, entonces

t

a

b

cctct

b

a

b

c

c

a

dxxflímdxxflímdxxfdxxfdxxf )()()()()(

-------------------CAPITULO 2--------------------


26

26

Una vez más, si en cada caso los límites involucrados existen, diremos que la

integral impropia converge y el valor de la integral es el valor del límite respectivo

o la suma de estos, en caso contrario, diremos que es divergente.

Investigar si la integral converge o diverge. Calcular su valor si converge.

a)

2

2)1(

1dx

x b)

2

)1(

1dx

x

a) La integral es de tipo I (i)

tt

tt xxdx

x 22

2

2

2 1

1lim

)1(

1lim

)1(

1

= 110121

1lim

tt

Por lo tanto, la integral converge y su valor es 1.

b) La integral es de tipo I (i)

t

tdx

xdx

x22

1

1lim

)1(

1

Ejemplo 5.1:

Solución:

-------------------CAPITULO 2--------------------


27

27

)1(ln(lim

)12ln()1ln(lim

)1ln(lim 2

t

t

x

t

t

t

t

Por lo tanto, la integral impropia diverge.

Asignar un valor al área de la región que se encuentra bajo la gráfica de ,

arriba del eje y a la izquierda de 1.

En la figura aparece un croquis de la región acotada por las gráficas de ,

, y , para 1. El área de la región infinita a la izquierda de

es:

11 1

limlimt

x

tt

x

t

x edxedxe

= eeee t

t

0)(lim

Ejercicio 5.2:

Solución:

Ejercicio 5.3:

-------------------CAPITULO 2--------------------


28

28

Calcular

.1

12

dxx

Trazar una gráfica de 21

1)(

xxf

e interpretar la integral

como un área.

Usando la definición 5.1 ( iii) con

.

1

1

1

1

1

10

0

222dx

xdx

xdx

x

Usando la definición 5.2.1 ( i)

t

t

t

txdx

xdx

x00 0

22arctanlim

1

1lim

1

1

= 2/02/arctanarctanlim

ott

Usando la definición 5.1 ( ii)

0

2 21

1 dx

x

Por lo tanto, la integral impropia converge y su valor es:

221

12

dxx

La región infinita que se encuentra bajo la gráfica de 21

1)(

xxf

y arriba del eje

tiene un área finita de unidades cuadradas.

Evaluar dxx

3

0 3

1

Solución:

Ejercicio 5.4:

Solución:

-------------------CAPITULO 2--------------------


29

29

Como el integrando tiene una discontinuidad infinita en , aplicamos la

definición 5.2 (i) como sigue:

dxx

dxx

t

t

03

3

0 3

1

3

1lim

= tt

x 03

32lim

= 3232lim3

tt

= 0 + 2 3 = 2 3

Determinar si la integral impropia 1

0

1dx

x converge o diverge.

La función no es continua en . Aplicando la definición 5.2 (ii)

10

1

0

1

0

lnlim1

lim1

tt

tt

xdxx

dxx

=

tt

ln0lim0

Como el límite no existe, la integral impropia diverge.

Determinar si la integral impropia

4

0

2)3(

1dx

x converge o diverge.

La función no es continua en . Como este número se encuentra en el intervalo

(0,4), usamos la definición 5.2 (iii) con

Ejercicio 5.5:

Solución:

Ejemplo 5.6:

Solución:

-------------------CAPITULO 2--------------------


30

30

3

0

4

3

22

4

0

2 )3(

1

)3(

1

)3(

1dx

xdx

xdx

x

Para que converja la integral al lado izquierdo, se necesita que las dos integrales del

lado derecho sean convergentes. Para la primera integral, se tiene

3

0 003

23

2 3

1lim

)3(

1lim

)3(

1tt

tt xdx

xdx

x

3

1

3

1lim

3 tt

Por lo tanto, la integral impropia diverge.

Evaluar

7

2

3/2)1(

1dx

x

El integrando no está definido en , que es un número del intervalo (-2,7).

Entonces aplicamos la definición 5. 2 (iii) con y obtenemos:

dxx

dxx

dxx

1

2

7

1

3/23/2

7

2

3/2 )1(

1

)1(

1

)1(

1

Ahora se estudia cada una de las integrales del lado derecho de la ecuación. Usando

la definición 5.2 (i) con se tiene :

dxx

dxx

t

t

2

3/21

1

2

3/2 )1(

1lim

)1(

1

= tt

x 2

3/1

1)1(3lim

Ejemplo 5.7:

Solución:

-------------------CAPITULO 2--------------------


31

31

3/13/1

1)1(3)1(3lim

t

t = 0 + 3 = 3 Análogamente, usando la definición 5.2.2 (ii) con

7

1

7

3/21

3/2 )1(

1lim

)1(

1

tt

dxx

dxx

= 73/1

1)1(3lim t

tx

= 3/13/1

1)1(3)8(3lim

t

t

= 6 – 0 = 6

En razón de que ambas integrales convergen, la integral dada converge y su valor es

3 + 6 = 9.

5.1 EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES IMPROPIAS CON

LÍMITES DE INTEGRACIÓN INFINITOS

Calcule si la integral converge o diverge y, si converge, calcule su valor:

1. dxx

1

3/4

1 2. dx

x

0

3)1(

1

3. dxx

x

0

21 4. dx

x

2

25

1

5. dxx

x

94

6.

0

2 dxe x

7. dxe x

0

8. dxx

03 1

1

-------------------CAPITULO 2--------------------


32

32

9. dxx

0

3/2)8(

1 10. dx

x

x

1

22 )1(

11. dxxsen

x

0

21

cos 12. dx

x

2

2 4

1

13. dxxe x

2

14 xdx

2cos

15. dxx

x

1

ln 16. dx

x

3

2 1

1

17.

0

cos xdx 18.

2/

2

xdxsen

19.

hxdxsec 20. dxxe x

0

21. dxxx

0

2 23

1 22. dx

xx

x

4

2 12

18

5.2 EJERCCIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES IMPROPIAS CON

INTEGRANDOS DISCONTINUOS

Determine si la integral converge o diverge y si converge, halle su valor.

1. dxx

8

03

1 2. dx

x9

0

1

3. dxx

1

3

2

1 4. dx

x

1

2

4/5)2(

1

-------------------CAPITULO 2--------------------


33

33

5. 2/

0

2sec

xdx 6. dxx

e x

1

0

7. dxx

4

0

2/3)4(

1 8. dx

x

1

0.3 1

1

9. dxx

4

0

3/2)4(

1 10. dx

x

x

2

1

2 1

11. dxx

2

2

3)1(

1 12. dxx

1

1

3/4

13. dxx

0

224

1 14. dx

x

x

0

224

15. dxx

2

1

1 16. dx

xx

4

0

2 2

1

17. dxxx

e

e

/1

2)(ln

1 18.

0

sec xdx

19. dxsenx

x

0 1

cos 20. dx

xx

1cos

12

1

2

PARA RECORDAR:

5. FORMAS INDETERMINADAS

5.1 FORMAS INDETERMINADAS

Con frecuencia aparecen límites con la forma )(

)(lim

xg

xf

cx, donde ambas funciones, f y

-------------------CAPITULO 2--------------------


34

34

g, tienen límite 0 cuando x tiende a c. Se dice que )(

)(

xg

xf tienen la forma

indeterminada 0/0 en . Si los límites de de y son o bien

cuando tiende a , se dice que )(

)(

xg

xf tiene la forma indeterminada / en

Calcular x

xx

x 3

12coslim

0

Regla de L’HOPITAL: Sea un intervalo abierto que contiene a . Sean y

funciones definidas y derivables en , excepto posiblemente en . Si 0)( xg

para 0 y tienen la forma indeterminada 0/0 o bien / en

entonces:

)(

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

cxcx

Siempre que )(

)(lim

xg

xf

cx

exista o en su caso que

)(

)(lim

xg

xf

cx

=

Ejercicio 5.1:

Solución:

-------------------CAPITULO 2--------------------


35

35

El cociente tiene la forma indeterminada 0/0 en x = 0. Por lo que la regla de L’Hopital:

3

2

3

2lim

3

12coslim

00

senx

x

xx

xx

En ocasiones es necesario aplicar la regla de L´Hopital varias veces en un mismo

problema, como se ilustra a continuación:

Calcular x

ee xx

x 2cos21

2lim

0

El cociente tiene la forma indeterminada 0/0. Por lo que la regla de L’Hopital:

xsen

ee

x

ee xx

x

xx

x 22lim

2cos21

2lim

00

Suponiendo que el segundo límite existe. Como este último cociente tiene la forma

indeterminada 0/0, aplicando la regla de L’Hopital por segunda vez se obtiene:

2

1

2cos4lim

22lim

00

x

ee

xsen

ee xx

x

xx

x

De esto se deduce que el límite existe y que es igual a 2

1

La regla de L’Hopital también puede aplicarse a los límites unilaterales, como se

ilustra en el siguiente ejemplo:

Calcular: x

x

x sec1

tan4lim

2/

Ejercicio 5.2:

Solución:

Ejercicio 5.3:

-------------------CAPITULO 2--------------------


36

36

La forma indeterminada es / . Por la regla de L’Hopital:

x

x

xx

x

x

x

xxx tan

sec4lim

tansec

sec4lim

sec1

tan4lim

2/

2

2/2/

Este último cociente tiene la forma / en ; sin embargo, al volver a

aplicar la regla de L’Hopital se obtiene otra vez la forma / . En este caso el límite

debe calcularse usando identidades trigonométricas para modificar el cociente como

sigue:

senxxsenx

x

x

x 4

)/(cos)(

)/(cos4

tan

sec4

Por lo tanto,

44

limsec1

tan4lim

2/2/

senxx

x

xx

Puede aplicarse la regla de L’Hopital para los casos x y x

Determinar x

x

x

lnlim

La forma indeterminada es / . Por la regla de L’Hopital:

x

x

x

x

xx 2/1

/1lim

lnlim

Esta última expresión tiene la forma indeterminada 0/0. Al aplicar la regla de

L’Hopital se obtiene otra vez 0/0. En cambio se puede obtener el límite simplificando

algebraicamente la expresión como sigue:

0

2lim

2lim

2/1

/1lim

xx

x

x

x

xxx

Solución:

Ejercicio 5.4:

Solución:

-------------------CAPITULO 2--------------------


37

37

Calcular ,lim2

3

x

e x

x si existe

La forma indeterminada es / . En este caso se debe aplicar la regla de L’Hopital

dos veces:

2

9lim

2

3limlim

33

2

3 x

x

x

x

x

x

e

x

e

x

e

Por lo tanto, la expresión dada no tiene límite sino que tiende a infinito cuando

tiende a .

Ejercicio 5.5:

Solución:

Nota: Antes de aplicar la regla de L’Hopital es muy importante comprobar que el

cociente tiene una de las formas indeterminadas 0/0 o bien / . Si se aplica la regla

a una forma que no es indeterminada se puede obtener un resultado incorrecto.

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Modulo de Volumen Cambios