Modulo de Fisica

NIVELACIÓN DE CARRERA MARCO LARA 0987017505 [email protected]

LIC. MARCO LARA

RIOBAMBA-ECUADOR

DERECHOS RESERVADOS

1


INTRODUCCION

La Física es una de las ciencias más importantes para la interpretación de la naturaleza. Toda técnica, aplicación o disciplina del conocimiento humano que tenga que ver con la interpretación cuantitativa de la naturaleza o la aplicación de tales conocimientos, tiene como base a la Física. Además toda revolución en los campos conceptuales de la Física ha traído consigo cambios profundos en la vida del ser humano en nuestro planeta.

Este modulo trata del estudio racional y experimental de la teoría del movimiento y el estudio del calor y la temperatura de sistemas físicos, los cuales poseen un número infinito de grados de libertad. Así podemos mencionar entre éstos a los fluidos como gases y líquidos, a sólidos deformables con propiedades termodinámicas definidas.

Uno de los objetivos básicos de este documento es ayudar a que los estudiantes del bachillerato desarrollen los hábitos de razonamiento lógico que necesitarán para comprender la Física, conocimientos que también son útiles en otras disciplinas. Con frecuencia, los alumnos sienten que la Física es la más difícil de las ciencias porque, aún en los cursos elementales, pide mucho más que la simple memorización de hechos. Para estudiar bien la Física el alumno necesita aprender a pensar como los físicos. Debe dejar la etapa de cazador y recolector de fórmulas y pasar a resolver problemas; debe llegar a ser, como los físicos, un solucionador creativo de problemas. En este texto se destacan dos temas principales: la comprensión del concepto y la resolución de problemas, tratando de ayudar a que el alumno desarrolle el razonamiento lógico y de la destreza analítica que permiten al físico practicar y progresar en su profesión.

Después de terminado de estudiar cada uno de los contenidos conceptuales y su respectivo análisis y resumen, se presenta una estrategia básica y sistemática para resolver problemas, en cuatro partes. Esas partes – MODELO, PLANTEAMIENTO, SOLUCIÓN y ANÁLISIS. Si el estudiante ve cómo se aplica el método en cada ejemplo, podrá aplicar mejor un método semejante en sus propios trabajos.

2


Unidad

3

TEMA 1: EL MUNDO DE LA FÍSICA

Introducción General

¿Qué es Física?

Definición de Física

La materia

Estructura de la materia

La física y otras ciencias

Clasificación de la física

Método científico

Actividad 01

Ejercicios

Ejercicios

CONTENIDOS

OBJETIVOS:

Apreciar los objetivos, métodos y alcances de la física.

Hacer descripciones y narraciones dentro del concepto de un problema científico utilizando elementos teóricos y prácticos y modelos matemáticos.

1


EL MUNDO DE LA FÍSICA

INTRODUCCIÓN GENERAL.- Hay ciertas leyes y conceptos físicos básicos que son fundamentales para muchas de las disciplinas científicas y de ingeniería que han desempeñado un papel importante en el desarrollo de esas y otras tecnologías. El papel desempeñado por esas leyes, o leyes de Física, como se conocen, es el de sistematizar y correlacionar el amplio caudal de conocimientos empíricos que han adquirido los humanos en los siglos anteriores. Sin el conocimiento de esas leyes sería inconcebible llevar a cabo la planeación detallada y la distribución de recursos en gran escala, que se requiere para generar y desarrollar tecnologías nuevas y complejas.

La ciencia que se ocupa de los descubrimientos y desarrollo de esas leyes, se conoce como Física. Por su naturaleza la Física es una ciencia muy fundamental y se relaciona con una gran variedad de otras disciplinas, para muchas de éstas últimas, son indispensables ciertos conocimientos de Física.

Ciencia: Es el conocimiento del mundo natural, obtenido mediante la experiencia y la razón, y que tal conocimiento no permanece estático sino que se halla en continuo progreso.

CLASIFICACIÓN DE LA CIENCIA

A la ciencia se le ha clasificado en tres grandes divisiones, que no son evidentemente rígidas, sino más bien por una finalidad didáctica en: Ciencias Biológicas, Ciencias Físicas y Ciencias Humanas. A las dos primeras ciencias también se les conoce como: ciencias naturales.

Ciencias Biológicas.- Son aquellas que estudian los hechos y fenómenos relacionados con la vida. Esta a su vez se clasifica en: Biología, Zoología, Botánica, Bioquímica, Fisiología, Genética, Citología y Ecología.

Ciencias Físicas.- Son las que estudian los conceptos de las cosas relacionadas con los objetos inanimados. Estas se clasifican en: Física, Química, Geología, Astronomía.

Ciencias Humanas: Son aquellos que estudian los hechos relacionados específicamente con el ser humano y sus actividades. Estas ciencias se dividen en: Sociología, la Historia, la Lingüística, la Antropología, Demografía, Economía.

¿Qué es Física?

La Física tiene cierta reputación, ésta emplea la matemática como su lenguaje fuerte, pero también incluye, conceptos, ideas y principios que se expresan con palabras comunes.

Objetivo de la Física.- El objetivo de estudiar Física no es hacer de Usted un Físico, sino es proporcionarle una idea de cómo los físicos ven el mundo. Darle la satisfacción de entender y hasta predecir los resultados de muchos fenómenos que ocurren a su alrededor, tener suficiente conocimiento de la Física para que sea un profesional de éxito en un mundo permeado por la tecnología, ser capaz de tomar decisiones acertadas como ciudadano de una época de creciente complejidad y aprender a formular preguntas.

4


Definición de Física.- “Física es la ciencia que estudia las propiedades de la materia y las leyes que tienden a modificar su estado o su movimiento sin cambiar su naturaleza.

La palabra Física viene del término griego “Physis”, que significa naturaleza, por ello la Física es la ciencia encargada de estudiar los fenómenos de la naturaleza.

Todas las modificaciones en las propiedades de los cuerpos reciben el nombre de fenómenos.

Fenómeno Físico.- son aquellos que experimentan transformaciones sin alterar la naturaleza del cuerpo y que luego de un tiempo recuperaran su estado normal, se caracterizan por no dar lugar a nuevos cuerpos. Ejemplo: el alargamiento de un resorte.

Fenómeno Químico.- Son aquellos en los cuales hay cambios en la composición de las sustancias, se caracterizan por dar lugar a nuevos cuerpos. Ejemplo: La combustión del papel.

Fenómenos Fisiológicos.- Son aquellos que se presentan en los seres organizados y se consideran como resultado de la concurrencia de los fenómenos físicos y químicos. Ejemplo: La lengua, ésta desempeña como órgano de la palabra, ayuda a la digestión, sentido del gusto. Este fenómeno se presenta en los seres vivos.

La Materia.- Si podemos advertir los fenómenos físicos es porque existe la materia, la cual se caracteriza por el hecho de que ocupa un lugar en el espacio e impresiona nuestros sentidos.

La materia constituye todos los objetos, vivos o animados, llamados cuerpos, son cuerpos las piedras, plantas, animales, el aire, etc.

La sustancia es la materia particular de la cual está hecho cada cuerpo. Son el hierro, cloruro de sodio, clorofila, etc.

Los cuerpos se dividen en dos grupos simples y compuestos.

Cuerpos Simples: Son aquellos constituidos por una sola sustancia o clase de materia. Ejemplo: El sodio, el cloro, el hidrógeno.

Cuerpos Compuestos.- Son aquellos formados por varias sustancias o clases de materia diferentes. Ejemplo: El ácido sulfúrico, cloruro de sodio.

Estados físicos de la materia.- Los estados de la materia son: líquido, sólido, gaseoso y el plasma (ionización de un gas).

5


ESTRUCTURA DE LA MATERIA

Generalmente todo cuerpo está formado de moléculas y partículas, estas últimas forman el llamado átomo, los neutrones y protones forman el núcleo del átomo y los electrones se encuentran describiendo órbitas elípticas alrededor del núcleo.

LA FÍSICA Y OTRAS CIENCIAS

Como la naturaleza es única, la ciencia también lo es. Sin embargo con el objeto de facilitar su estudio a la Física se relaciona con las siguientes ramas.

Química.- Es la ciencia que estudia la naturaleza y las propiedades de los cuerpos simples, la acción molecular de los mismos y las combinaciones debidas a dichas acciones.

Biología.- Es la ciencia que estudia las leyes de la vida o de los seres vivos.

Geología.- Es la ciencia que tiene por objeto el estudio de la materia que compone el Globo Terrestre, su naturaleza, su situación y las causas que la hayan determinado.

Astronomía.- Ciencia que trata de la posición, movimiento y constitución de los cuerpos celestes.

Ingeniería.- Es la aplicación de las ciencias Físico-Matemáticas, a la invención, perfeccionamiento y utilización de la Técnica Industrial.

CLASIFICACIÓN DE LA FÍSICA

La Física es una ciencia muy amplia, y para facilitar su estudio se acostumbra dividirlo en las siguientes partes.

Mecánica.- Es la parte de la Física que estudia el movimiento y el equilibrio de los cuerpos, así como las fuerzas que pueden producirlos. Esta a su vez se divide en Dinámica y Estática, ramas que estudian respectivamente el movimiento y el equilibrio de los cuerpos sólidos y en Hidrodinámica e Hidrostática, cuando dicho estudio se refiere a movimiento y equilibrio de los fluidos.

6

QUÍMICA

BIOLOGÍA

GEOLOGÍA

ASTRONOMÍA

INGENIERÍA

LA FÍSICA Y OTRAS CIENCIAS


Acústica.- Es la parte de la Física que estudia la formación, la prolongación, y en general todas las propiedades del sonido, el cual proviene de las vibraciones que se transmiten por medio de ondas.

Óptica.- Es la que estudia las leyes y los fenómenos de la luz y sus interacciones con la materia.

Electromagnetismo.- Es la que estudia las acciones y reacciones de la corriente eléctrica sobre los imanes.

Termodinámica.- Estudia los fenómenos relacionados con forma de energía, debido a la agitación de las moléculas de los cuerpos.

La Física moderna cubre los desarrollos de la Física del siglo veinte, con una tendencia en el pensamiento que mira a los fenómenos físicos desde un punto de vista unificado y más lógico, y ésta se divide en:

Física Atómica.- Estudia las interacciones en el interior del átomo.

Física Nuclear.- Estudia las interacciones en el interior del núcleo del átomo.

MÉTODO CIENTÍFICO

En el mundo que nos rodea, la materia y la energía se manifiestan de distintas formas, sobre nuestros sentidos, como instrumentos de detección, es así, como observamos cambios y transformaciones, denominados fenómenos.

La luz y el calor disipados por el Sol: la lluvia que cae, la transmisión televisiva, de los vuelos espaciales, caminatas lunares, involucran diversos y complejos fenómenos, que estudian ciencias como la Física, Química, Biología, etc.

En el caso especial de la Física, cuando se analiza un determinado fenómeno se procede sistemáticamente, siguiendo una serie de etapas, establecidas en sus pasos fundamentales. Esta secuencia constituye el denominado “Método Científico” o “Experimental”.

El Método Científico, es entonces el conjunto de pasos y recursos experimentales, teóricos, utilizados por el investigador para lograra una descripción ordenada, coherente y sistemática; el mismo que consta de:

Observación.- Consiste en observar un fenómeno en forma activa, crítica y cuidadosa, notando y analizando los diferentes factores y circunstancias que parecen influenciarlos. Generalmente al observar siempre debemos hacernos ciertas interrogantes: ¿cómo?, ¿por qué?, ¿cuándo? Y ¿para qué?.

Hipótesis.- Son posibles explicaciones que se da al fenómeno observado, las mismas que estarán sujetas a comprobación ya sea para: aprobar, mejorar o descartar, mediante la experimentación.

7


Experimentación.- En este proceso del método científico se vuelve a repetir el fenómeno observado en condiciones distintas, con el objeto de tomar medidas, con los cuales se realizan cálculos matemáticos para comprobar una de las hipótesis.

Ley o Teoría.- Luego de haber comprobado, modificado o creado nuevas explicaciones al fenómeno de las hipótesis planteadas, este resumen teórico pasa a ser una ley aislada, a la cual hay que generalizarla para todos los fenómenos que tienen tales características.

Fórmula Matemática.- La teoría se condensa siempre en una ecuación matemática, la cual resume toda la ley.

En conclusión: Método científico, es el conjunto de pasos y recursos experimentales, teóricos, utilizados por el investigador para lograra una descripción ordenada, coherente y sistemática.

Construir un tubo de inmersión, en una pila grande asegurar un hilo para dejar caer en el tubo de inmersión y aplique los pasos del método científico.

ACTIVIDAD Nº 01

Nunca trate de elaborar las actividades solicitadas sin antes haber estudiado los temas indicados, pues existen algunas preguntas que no podrá realizarlas sin un adecuado conocimiento.

En los ejercicios prácticos y de investigación que se solicitan, sea lo más ordenado y detallista posible, ya que éstas características permitirán establecer el nivel de conocimientos adquiridos por usted.

CONTESTE:

1. ¿Defina que es Física?2. ¿Qué es el método científico?3. ¿Qué es una hipótesis y que es una teoría?4. ¿Qué diferencia existe entre la Física y las matemáticas?5. Utilizan todas las ciencias la experimentación6. Indique dos de las partes en que se divide la Física y lo que se estudia en cada una

de ellas.7. ¿Qué relación hay entre Física y Química?8. ¿Cómo se aprovechan en la práctica los conocimientos de Física?

COMPLETE:

9. Cuando una hipótesis predice fenómenos que se verifican, se convierte en ley o en ………………………………………………………………..

8


10. La teoría se sintetiza con una ………………………………………………………………………………11. La observación consiste en hacer…………………………………….…… sobre lo observado

INTERPRETE:

12. Justifique por qué se considera a la Física como una ciencia.13. Indique la fase de la metodología científica a la que pertenece cada uno de los

siguientes enunciados.a. Observar un microorganismo en el microscopiob. Medir las temperaturas de varios líquidosc. Obtener un valor para la aceleración gravitacional, igual a g = 9,9 m/s2.

14. Dibuje la estructura atómica15. Anote las palabras nuevas del tema tratado16. Elabore una sopa de letras con las palabras nuevas17. Explique por qué tenemos la responsabilidad de entender, aunque sea un nivel

básico las reglas de la naturaleza.18. Se hicieron dos experiencias para medir la temperatura de un litro de agua y un

litro de aceite. Los resultados se encuentran en las siguientes tablas:

Agua Aceite Temperatura

(C°)15 18 21 24 27 30 Temperatura

(C°)15 20 25 30 35 40

Tiempo (min) 0 1 2 3 4 5 Tiempo (min)

0 1 2 3 4 5

a) Construya las gráficas de temperatura (T) en función del tiempo (t).b) Determine las ecuaciones de las gráficas.c) Compare la rapidez con la que se calientan las dos sustancias.

19. Cuatro vacas negras y tres vacas marrones dan tanta leche en cinco días como tres vacas negras y cinco vacas marrones en cuatro días. ¿Qué clase de vaca es la más lechera, la negra o la marrón?

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Realice un esquema del Método Científico.2. ¿Por qué conceptos como la belleza, la bondad y la caridad no pueden investigarse

desde la Física?3. ¿Cuáles son las fases del método científico?4. ¿Cómo determinaría al área de una figura de forma irregular?

SELECCIONE LA RESPUESTA CORRECTA:

5. Señale la disciplina que no es ciencia.a) Físicab) Químicac) Matemáticas

9


d) Astrología

6. La parte de la Física que estudia el movimiento se conoce con el nombre de:a) Mecánicab) Acústicac) Óptica d) Tecnología

7. ¿Cuál de los siguientes enunciados en una hipótesis científica?a) Los átomos son las partículas de materia más pequeñas que existen b) Nuestro universo está contenido en otro universo cuya existencia no se ha

podido detectarc) Albert Einstein es el físico más grande que ha existido

UBICAR DENTRO DEL PARENTESIS EL NUMERO DE LA EXPRESION EXISTENTE EN LA COLUMNA DE LA IZQUIERDA QUE CORRESPONDA A LA DEFINICION CORRECTA DE LA COLUMNA DE LA DERECHA.

8. Fenómeno Físico ( ) Estudia los fenómenos relacionados con el movimiento de los cuerpos.

9. Cuerpo compuesto ( ) Naturaleza 10. Fenómeno químico ( ) Lanzar un cuerpo por la ventana de

un automóvil11. Mecánica ( ) Estudia el movimiento y las

propiedades de las ondas.12. Electrón ( ) Quemar una hoja de papel.13. Physis ( ) Conocimiento del mundo natural14. Ciencia ( ) Que describe órbitas elípticas15. Acústica ( ) Formado de dos sustancias.

16. Imagine que dispone de los siguientes elementos:a) Un recipiente cilíndrico lleno hasta el borde con un líquido.b) Otro recipiente, que tiene una forma y una dimensión diferente.

¿Cómo dividiría el contenido del primer recipiente en dos partes exactamente iguales?

17. Al medir la temperatura de una determinada masa de agua que está calentando, se obtiene la siguiente tabla:

Instante (min) 0 1 2 3 4 5 8Temperatura (°C) 20 25 30 35 40 45 60

a) Construya una gráfica con los datos de la tabla.b) ¿Cuál es la ecuación matemática que relaciona las dos variables?

10


c) ¿Cuál es la unidad de la constante de proporcionalidad?

18. A una persona se le proporcionan los siguientes elementos: una vela, una caja de cerillos y una caja de chinches, como se observa en l figura. ¿Cómo podría ésta persona, con éstos elementos, sujetar la vela encendida a una puerta de madera?

11


Unidad

12

TEMA 1: MEDICIONES EN FISICA

Origen del sistema métrico

Magnitudes físicas

Sistema métrico

Conversión de unidades

Análisis dimensional

Cifras significativas

Notación científica

Actividad 02

Ejercicios

TEMA 2: TEORÍA DE ERRORES

Errores: Clases de errores

Mediciones

Cálculo de Errores en las mediciones

Actividad 03

Ejercicios

TEMA 3: FUNCIONES Y GRAFICAS

Funciones

Proporcionalidad

Distancia entre dos puntos

Pendiente de la recta

Actividad 04

Ejercicios

CONTENIDOS

OBJETIVOS:

Establecer las unidades fundamentales, derivadas y suplementarias del S.I

Expresar las magnitudes en unidades adecuadas

Identificar y usar prefijos métricos comunes

Reconocer que todas las cantidades medidas tienen cierto grado de incertidumbre

Emplear correctamente las cifras significativas para registrar los resultados de las mediciones

Realizar operaciones aritméticas en notación científica

Calcular e interpretar el error absoluto y el error relativo en un conjunto de datos de medidas directas e indirectas

Analizar el papel de la Física en el desarrollo de la tecnología

2


Todo se mueve: las galaxias, los aviones, los átomos y las personas. La descripción cuidadosa de su movimiento es la base para controlar el tráfico aéreo y para lograr que las personas lleguen a donde quieren ir, o para comprender los átomos y su modo de formar las galaxias. El primer paso en el largo camino de comprender como se comporta el Universo y lo que hay en él, fue como aprender a describir el movimiento. En los aporte dados por los científicos anteriores podemos ver los proceso seguido en los trabajos de Galileo Kepler. Después de ellos tuvo que transcurrir medio siglo de avances matemáticos y controversia sobre los principios de la mecánica, para poder contar con una teoría completa. Fue Isaac Newton, profesor de Matemáticas en la Cambridge University, quien creó esa teoría y la publicó en su libro, los Principia, en 1687. La teoría de Newton tuvo tanto éxito que no se observó discrepancia entre ellas y la realidad durante más de 200 años. Durante el siglo XX se han desarrollado más teorías de grandes consecuencias, pero la de Newton permanece como el punto de partida para estudiar la Física, y como la aproximación correcta que se aplica a una cantidad gigantesca de aplicaciones prácticas. En los capítulos posteriores estudiaremos la teoría de Newton y varias de esas aplicaciones.

Galileo, Kepler y Newton establecieron firmemente a las matemáticas como el lenguaje de la Física, idioma que comenzaremos a aplicar en este capítulo. Los procesos físicos suceden en el espacio y se llevan a cabo a través del tiempo. Para modelarlos se establecen convenciones para medir posiciones, longitudes, intervalos de tiempo y ángulos. Para comprender el movimiento necesitamos herramientas matemáticas que nos permitan describir cantidades con dirección y tamaño. ¡Comencemos!.

1.0. MEDICIONES EN FISICA

1.1. ORIGEN DEL SISTEMA METRICO DE UNIDADES.- Para descubrir las leyes que gobiernan los fenómenos naturales, los científicos deben llevar a cabo mediciones de las magnitudes relacionadas con dichos fenómenos. La Física, en particular, suele ser denominada “ciencia de la medición”. Loor Kelvin, destacado físico inglés del siglo pasado, destacó la importancia de las mediciones en el estudio de las ciencias, por medio de las siguientes palabras.

“Siempre digo que si es posible medir aquello de lo que se habla y se consigue expresarlo en números, entonces puede saberse algo al respecto, pero cuando no puede expresarse así, el conocimiento es deficiente e insatisfecho…”

Como sabemos, para efectuar una medición es necesario escoger una unidad para cada magnitud. El establecimiento de unidades, reconocidas internacionalmente, también es imprescindible en el comercio y en el intercambio entre los países.

13


1.2. MAGNITUDES FISICAS.- Son todas aquellas susceptibles de ser medidas.

MEDIR.- Es comparar una magnitud con otra de su misma especie que arbitrariamente se toma como patrón o unidad.

MAGNITUD.- Es todo aquello que podemos medir.Las magnitudes se clasifican en fundamentales, derivadas y suplementarias.

MAGNITUDES FUNDAMENTALES.- Son aquellas en las que pueden realizarse mediciones directas por medio de un instrumento de medición.

TABLA 1:

MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO DIMENSIÓNLongitudMasaTiempoTemperaturaIntensidad de CorrienteIntensidad luminosaCantidad de sustancia

metroskilogramosegundoKelvinAmperioCandelamol

mkgsKA

Cdmol

LMT----

MAGNITUDES DERIVADAS.- Son aquellas que se expresan en función de las fundamentales por medio de expresiones matemáticas llamadas ecuaciones dimensionales. Así por ejemplo: Área, velocidad, aceleración, trabajo, etc.

TABLA 2:

MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO DIMENSIÓN

ÁreaVolumen

VelocidadAceleraciónFuerzaEnergíaPresión

Metro cuadradoMetro cúbicoMetro/segundoMetro/segundo cuadradoNewtonJouleNewton/metro cuadrado

M2

M3

m/sm/s2

n(kg m/s2)J (N.m)N/m2

L2

L3

L/T = LT-1

L/T2= LT-2

ML/T2= MLT-2

ML2/T2= ML2T-2

ML/L2T2= ML-1T-2

MAGNITUDES SUPLEMENTARIAS (Recientemente añadidas a las derivadas).- Son aquellas utilizadas en la medición de ángulos.

TABLA 3:

14


MAGNITUD UNIDAD SIMBOLOAngulo plano Angulo sólido

RadiánEstereorradián

radsr

1.3. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I)

La base para el S.I fue el sistema Métrico Decimal. El Sistema Métrico Decimal fue discutido durante un siglo, especialmente por hombres de ciencia quienes deploraban la caótica situación de las medidas en todo el mundo. Pues la investigación científica se haría difícil por falta de coherencia entre las unidades, puesto que la misma unidad con un mismo nombre tenía diferentes equivalentes.

Se llama Sistema Métrico Decimal porque: Métrico, por tener como base el metro, y Decimal porque para formar los múltiplos y submúltiplos se utiliza la base diez.

Después de la primera y segunda Guerras Mundiales, el mundo de un viraje hacia un avance científico y técnico. Fue cuando se hizo necesario el uso de nuevas unidades que tenía el Sistema Métrico Decimal, y es así como se promulgó y estableció el llamado Sistema Internacional de Unidades S. I, que debería ser adoptado en todos los países del mundo.

SISTEMA DE UNIDADES.- Es un conjunto sistémico organizado de unidades, adoptado convencionalmente. Entre los principales tenemos:

SISTEMA C.G.S.- Este sistema se basa en las tres primeras magnitudes fundamentales: C (centímetro) G (gramo) S (segundo), y es utilizado en el campo de la investigación.

SISTEMA M.K.S.- Este sistema es utilizado en el campo de la ingeniería y también está basado en las tres primeras magnitudes fundamentales, M(metro), K(kilogramo), S(segundo).

SISTEMA INGLES.- Este sistema es utilizado por los países de habla inglesa, la longitud se mide en pies, la masa en libras y el tiempo en segundos.

1. SISTEMA ABSOLUTO 2. SISTEMA TECNICO

TABLA 4:L M T

C.G.S cm g sM.K.S m kg sINGLES pie lb s

L M TC.G.S cm gf sM.K.S m kgf sINGLES pie lbf s

15


L: LongitudM: MasaT: Tiempo

L: LongitudM: MasaT: Tiempo

MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOS

Los múltiplos y submúltiplos de las unidades del S.I se denomina agregando los prefijos al nombre de la unidad correspondiente.

TABLA 5:

Prefijo Símbolo Factor Numérico Factor ExponencialExaPetaTeraGigaMegaKiloHectoDecaUnidaddecicentimilimicronanopicofentoalto

EPTGMKH

Da

dcmµnpfa

10000000000000000001000000000000000

10000000000001000000000

10000001000

10010

10.1

0.010.001

0.0000010.000000001

0.0000000000010.000000000000001

0.000000000000000001

1018

1015

1012

109

106

103

102

101

100

10-1

10-2

10-3

10-6

10-9

10-12

10-15

10-18

1.4. CONVERSION DE UNIDADES

Debido a que unidades diferentes en el mismo sistema o en sistemas diferentes pueden expresar la misma magnitud, algunas veces es necesario convertir las unidades de una magnitud a otra unidad, por ejemplo, de pies y yardas o de pulgadas a centímetros. En la conversión de unidades tenemos:

CONVERSION DIRECTA.- Cuando se utiliza tablas de conversión en las cuales se leen directamente la equivalencia de la unidad a ser convertida.

CONVERSION INDIRECTA.- Cuando se utiliza un factor de conversión que es un número racional que relaciona unidades de una misma magnitud, de tal forma que la primera multiplicada por el factor, nos dé el equivalente a la segunda unidad.

1.5. ANALISIS DIMENSIONAL

Estudia las relaciones entre las magnitudes fundamentales y derivadas.

16

5.6 cm 5.84 cm


ECUACION DIMENSIONAL.- Es una igualdad que se expresan en términos de magnitud y no de unidades. Dichas magnitudes se expresan con letras mayúsculas. En el sistema internacional las fundamentales son: Longitud [L]; Masa [M] y Tiempo [T]. Condición esencial de cualquier fórmula Física es la homogeneidad. Los dos miembros que integran una igualdad deben presentar siempre a la misma ecuación dimensional.FINES DEL ANALISIS DIMENSIONAL:

Sirve para encontrar la ecuación dimensional de una magnitud derivada cualquiera.

Sirve para determinar fórmulas empíricas en base a datos experimentales. Sirve para verificar una fórmula Física mediante el principio de homogeneidad.

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD

Cada uno de los términos debe tener una misma dimensión.Sea: A = B + C, entonces por el principio: [A] = [B] = [C]

PROPIEDADES:

1) Se cumplen todas las operaciones menos la suma y la resta.2) Todos los valores numéricos: números, ángulos, funciones trigonométricas,

logaritmos y constantes sin unidades que están de coeficientes se representan por la unidad (1).

3) Para que una expresión sea dimensionalmente correcta u homogénea, c/u de los términos deben poseer una misma dimensión.

x = V0t + 1/2at2

x = mv0= m/sa = m/s2

t = s

m = m/s * s + m/s2 * s2

m = m + mm = m

[L] = [L] Lo que se denomina ecuación dimensionalmente homogénea.

1.6. CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Cuando realizamos una medición con cualquier instrumento de medida, y si este tiene cierta precisión limitada, el número de dígitos válidos en la medición también es limitado. De ahí que decimos, el número de cifras significativas de una magnitud medida es el número de dígitos

17


conocidos confiablemente que contiene. Para una magnitud medida, esto se define usualmente como los dígitos que se pueden leer directamente en el instrumento utilizado para hacer la medición, más un dígito incierto que se obtiene por estimación de la fracción de la división más pequeña de la división de la escala del instrumento. Así por ejemplo:En la figura, la lámina metálica mide un poco más de 5.6cm o 56 mm. Si se mira cuidadosamente, observamos que el extremo de la lámina metálica se encuentra a 4/10 de milímetro a partir de 56 mm, por consiguiente la medida queda mejor expresada con 5.64 cm, siendo éste último, un número aproximado, en donde tenemos dos dígitos leídos con certeza y uno aproximado razonablemente. En este caso tenemos una cantidad de tres cifras significativas.

Para determinar el número de cifras significativas se emplea las siguientes reglas:

1. Los dígitos diferentes de cero son siempre significativos 5.64 cm tiene tres cifras significativas.

2. Todos los ceros finales después del punto decimal son significativos 5.00 x 102kg tiene tres cifras significativas.

3. Los ceros entre los dígitos significativos son siempre significativos 104.6 m tiene cuatro cifras significativas.

4. Los ceros empleados únicamente para ubicar el punto decimal no son significativos 0.0254 m tiene tres cifras significativas.

Reglas para redondear un número con cifras significativas:

1. Si el dígito siguiente a la última cifra significativa es 5 o mayor, la última cifra aumenta en 1.

2. Si e dígito siguiente a la última cifra significativa es menor que 5, la última cifra significativa se queda igual.

Ejemplo:

23.1 queda igual 0.546 redondeando 0.55 1.45 redondeando 1.5 5.5 redondeando 6

1.7. NOTACION CIENTIFICA

Los científicos trabajan con frecuencia con cantidades muy grandes o muy pequeñas. Por ejemplo, la masa de la Tierra es aproximadamente 6000000000000000000000000 kilogramos y la masa de un electrón es 0.000000000000000000000000000000911 kilogramos escritas en esta forma, las cantidades necesitan mucho espacio y son difíciles de usar en los cálculos. Para trabajar más fácilmente con tales números, se escriben abreviadamente, expresando los decimales como potencias de diez. Este

18


método de escribir números se denomina notación exponencial. La notación científica se basa en la notación exponencial. En la notación exponencial. En la notación científica, la parte numérica de una medición se expresa como un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10.

En esta expresión, 1 ≤ M < 10, y n es un entero. Por ejemplo, 2000 m puede escribirse 2 x 103 m. la masa de una pelota de tenis es aproximadamente 180g o 1.8 x 102kg.

Para usar la notación científica al escribir los resultados de una medición, mueva el punto decimal hasta que a la izquierda de él sólo quede un dígito diferente de cero. Luego cuente el número de lugares que corriño el punto decimal, y emplee ese número como el exponente de diez. Por ejemplo, l masa aproximada de la Tierra:6000000000000000000000000 kilogramos = 6 x 1024kg.

Observe que el exponente es mayor a medida que el punto decimal se mueve a la izquierda.

Para escribir la masa del electrón en notación científica, hay que mover el punto decimal 31 lugares a la derecha. Así, la masa del electrón: 0.000000000000000000000000000000911 kilogramos = 9.11 x 10-31kg.

Observe que el exponente es menor a medida que e punto decimal se mueve a la derecha.

1.7.1. OPERACIONES CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y NOTACION CIENTIFICA

1. Suma y resta.- Para sumar o restar cantidades expresadas en notación científica, todas las potencias de base 10 deben tener igual exponente. Ejemplo:4.0 x 106m + 3 x 105m = 4.0 x 106m + 0.3 x 106m = 4.3 x 106m

2. Multiplicación.- Para multiplicar cantidades expresadas en notación científica, se multiplican las cantidades de M, se conserva la misma base de 10 y se suman algebraicamente los exponentes. Ejemplo: (3x10-4kg)(8x10-9kg)=[(3).(8)]x10-4-9kg=24x10-13kg=2.4x10-12kg.

3. División.- Para dividir cantidades expresadas en notación científica con diferentes exponentes, el denominador del numerador. Ejemplo:

19


Experimento:

Realizar mediciones de diferentes cuerpos, utilizando instrumentos de medición como el calibrador y el tornillo micrométrico.

ACTIVIDAD Nº 02

Nunca trate de elaborar las actividades solicitadas sin antes haber estudiado los temas indicados, pues existen algunas preguntas que no podrá realizarlas sin un adecuado conocimiento.

En los ejercicios prácticos y de investigación que se solicitan, sea lo más ordenado y detallista posible, ya que éstas características permitirán establecer el nivel de conocimientos adquiridos por usted.

CONTESTE:

1. Con sus propias palabras escriba qué entiende usted por medir.2. Investigue las definiciones de las unidades fundamentales.3. Escriba tres prefijos de los múltiplos y submúltiplos, aplíquelos al metro e indique

los nombres de las unidades obtenidas y sus equivalencias con el metro.4. Escriba los sistemas que existen comúnmente.5. ¿Qué se debe cumplir en cualquier ecuación donde intervengan variables Físicas?6. Describe el método para convertir las unidades de una cantidad Física.7. ¿Cuál es la importancia de las cifras significativas en la medición?8. ¿Cuál es la importancia de utilizar la notación científica?

COMPLETE:

9. La unidad de masa del Sistema Internacional de Unidades es ………………………………10. El Kelvin es una unidad que se estableció para medir ………………………………………….11. Son magnitudes derivadas las que resultan de la …………………………………………………12. La unidad para medir la superficie es en el S.I es …………………………………………………..13. Tiene dimensión la masa en el S.I………. ¿Cuál es esa dimensión? …………………………..14. En el sistema inglés, este sistema se basa en el pie como unidad de ……………………..

la libra como unidad de ……………………. y el segundo como unidad de ………………....

ANALICE:

20


15. Describa y explique el funcionamiento de los instrumentos de medida que se observa en las figuras.

16. En general. ¿Se puede expresar con exactitud el valor de una cantidad Física?. ¿Por qué se o por qué no?

17. Indique, que son ecuaciones dimensionales, y para qué sirven. Ponga 3 ejemplos.18. Explique las tres reglas para determinar las cifras significativas.19. Indique cuáles de los siguientes conceptos pueden ser considerados como

magnitudes Físicas: edad, tamaño, volumen, color, inteligencia, simpatía, grosor, olor, dureza y belleza. Explique su respuesta.

20. Complete el siguiente cuadro de unidades que no pertenecen al S.I, pero que han sido aceptados por la comunidad científica.

TABLA 6:

Magnitud Nombre Símbolo S.I.Tiempo Hora H ………….

.…………………. Tonelada T ………….

.Distancia Milla ……….. ………….

.Temperatura ……….. K ………….

.…………………. Pulgada ………… ………….

.Masa Onza …………. ………….

.Potencia …………. HP ………….

.


EJEMPLO MODELO 1: El cohete Saturno V tiene 0.111km de longitud cuando es lanzado. ¿Cuál es su longitud en micrómetros y en pies?

DATOS:

L= 0.111 km

L= ………..µm

L= ………… pies

21


MODELO: Primero establecemos los Sistemas que intervienen. Luego sus equivalencias y por último aplicamos a la cantidad dada.

PLANEAMIENTO: 1km = 1000 m, 1 µm =10-6 y 1 pie = 0.3048m

SOLUCION:

ANALISIS: Esta es una convención indirecta en el primer caso y en el segundo caso una conversión directa exacta.

1. Expresar 320000 pulgadas/día a: pies/h, cm/min, m/s

DATOS:

MODELO:

PLANTEAMIENTO:

SOLUCION:

ANALISIS:

2. Escriba las siguientes cantidades en notación científica.a) 382= d) 0.75=b) 21200= e) 0.0042=c) 62000000= f) 0.000069=

3. Las siguientes cantidades expresadas en notación expresar en forma normal.a) 2 x 103= d) 7.5 x 10-2=b) 1.2 x 106= e) 8 x 10-5=c) 3.4 x 105=

22


4. Realice las siguientes operaciones y utilice cifras significativas.a) 1.28 x 105 + 4 x 10-4=b) 6.4 x 104 – 0.43 x 10-3=c) (2 x 10-2) (4 x 10-2)=d) (4.8 x 10-3)(1.2 x 104)=e) (102)3=

f) =


1. Realice las siguientes conversiones:a) 0.3m a cmb) Tres días a minc) 121 millas a md) 3 x 10-2 km a cme) 42 toneladas a kgf) 0.068 pulgadas a cmg) 42 litros a cm3

h) 65 km.g/h a m.kg/s

2. Escriba en notación científica las siguientes cantidades:a) Masa de un barco: 10000000000 kgb) Vida media de un hombre: 1000000000 hc) Masa del átomo: 0.0000000000000000000001 kgd) Período de un electrón en su órbita: 0.000000000000001 se) Masa de la Tierra: 5970000000000000000000000 kg

3. Realice las siguientes operaciones:a) 5.49 x 106 + 3.65 x 105

b) 4.21 x 10-3 + 4.82 x 10-3 – 5.07 x 10-4

c) (53.8 x 10-6)(4.567 x 10-3)d) (3.48 x 10-5)(7 x 10-5)e) 32.45 x 10-4 ÷ 2.96 x 105

f) 4.649 x 109 ÷ 6.87 x 10-6

g) (8.4 x 103 + 7.05 x 103) + 3.8 x 105 – 1.1 x 102

h) 0.66 x 102 x (7.8 x 10-5- 5.4 x 10-5) + 3.12 x 10-3

i) 1.02 x 107 – (0.7 x 1010 ÷ 0.08 x 103) + (9.7 x 10) x (2.5 x 106)

4. La distancia entre Nueva York y Londres es de 3480 millas. Exprese esta distancia en kilómetros, metros y pies. Utilice la notación científica cuando sea apropiado.

23


5. Un jugador de básquetbol mide 6 pies y 9.4 pulgadas de alto. ¿Cuánto mide en centímetros?

6. La vida media de un núcleo radiactivo es de 1.5 x 10-8s. ¿Cuál es su vida media en milisegundos (ms), microsegundos (µs), nanosegundos (ns), picosegundos (ps) y en minutos (min)?

7. El límite de velocidad en una carretera del país es de 45 mph. ¿cuál es el límite en kilómetros por hora?

8. En muchas carreteras europeas el límite de velocidad es de 100 km/h. ¿Cuál es este límite en millas por horas?

9. La masa de un átomo de uranio es de 4.0 x 10-6 kg. ¿Cuántos átomos de uranio hay en 12.0g de uranio puro?

10. A continuación aparecen las dimensiones de varios parámetros físicos que se describen posteriormente en este libro. [M], [L], y [T] indican masa, longitud y tiempo, respectivamente.Velocidad (v) …………………………………. [L]/[T]Aceleración (a) …………………………………. [L]/[T2]Fuerza (F) …………………………………. [M][L]/[T2]Energía (E) …………………………………. [M][L2]/[T2]Potencial …………………………………. [E]/[T]Presión (p) …………………………………. [F]/[L2]Densidad ( ) ρ …………………………………. [M]/[L3]

11. Encuentre las respuestas de los siguientes problemas numéricos:

a) (9.0 x 107)(3.0 x 10-6)

b)

c)

24


APENDICE Factores de conversión de unidades

Longitud1m = 100 cm = 1000 mm = 106 µm = 109 nm1km = 1000 m = 0.6214 mi1m = 3.281 pies = 39.37 pulg1cm = 0.3937 pulg1 pie = 30.48 cm1 pulg = 2.540 cm1 mi = 5280 pies = 1.609 km1A = 10-10 m = 10-8 cm = 10-1 nm

Área 1 cm2 = 0.155 pulg2

1 m2 = 104 cm2 = 10.76 pies2

1 pulg2 = 6.452 cm2

1 pie2 = 144 pulg2 = 0.0929 m2

Volumen1l = 1000 cm3 = 10-3 m3 = 0.0351 pie3 = 61.02 pulg3

1 pie3 = 0.02832 m3 = 28.321 = 7.477 galones

Tiempo1 min = 60s1 h = 3600s1 d = 86400s1 año = 3.156 x 107 s

Velocidad 1 cm.s-1 = 0.03281 pie.s-1

1 pie. s-1 = 30.48 cm.s-1

1 mi.min-1 = 60 mi.h-1 = 88 pies.s-1

1 km.h-1 = 0.2778m.s-1

1 mi.h-1= 0.4470m.s-1

Aceleración 1m.s-2 = 100 cm.s-2 = 3.281 pies . s-2

1 cm . s-2 = 0.01 m . s-2 = 0.03281 pie . s-2

1 pie . s-2 = 0.3048 m . s-2 = 30.48 cm . s-2

1 mi . h-1 . s-1 = 1.467 pies . s-2

Masa1 kg = 103 g = 0.0685 slug1 g = 6.85 x 10-5 slug1 slug = 14.59 kg1 u = 1.661 x 10-27 kg

25


Fuerza1 N = 105 dinas = 0.2247 lb1 lb = 4.45 N = 4.45 x 105 dinas

Presión1 Pa = 1 N . m-2 = 1.451 x 10-4 lb . pulg -2 = 0.209 lb . pie-2

1 lb . pulg -2 = 6891 Pa1 lb . pie -2 = 47.85 Pa1 atm = 1.013 x 105 Pa = 14.7 lb . pulg-2 = 2117 lb . pie-2

Energía1 J = 107 ergs = 0.239 cal1 cal = 4.186 J (basado en la caloría a 15)1 pie . lb = 1.356 J1 Btu = 1055 J = 252 cal1 eV = 1.602 x 10-19 J1 kWh = 3.600 x 106 J

Equivalencia masa-energía1 kg 8.988 x 1016 J1 u 931.5 MeV1 eV 1.073 x 10-9u

Potencia1 W = 1 J . s-1

1 hp = 746 W 0 550 pies . lb . s-1

1 Btu . h-1 = 0.293 W

26


2.0 TEORIA DE ERRORES

2.1 INTRODUCCION

El proceso de medida de una magnitud Física nos lleva a la obtención de un número. Desde un punto de vista puramente matemático, el verdadero valor de una magnitud es un número real en general con infinitas cifras.

En las situaciones reales, los aparatos son imperfectos, el observador cuenta con sentidos de sensibilidad limitada, las condiciones experimentales sufren alteraciones que pueden pasar inadvertidas, etc. Y aún en el supuesto de que todos los factores fuesen controlables, las observaciones alteran el sistema que se está observando.

Por lo tanto, cuando hacemos la medida de una magnitud no podemos asegurar que le número o valor que resulta es igual al valor verdadero de la magnitud medida, de modo que entre ellos existe, en general, una diferencia que se denomina error.

2.2 TIPOS DE ERROR

Las causas de error pueden ser diversas, de tal manera que el error total cometido es el resultado de la acumulación de varios errores parciales debidos a circunstancias diversas. Esto ha dado lugar a que los errores se los clasifique en: errores sistemáticos y accidentales. 2.2.1 ERRORES SISTEMATICOS.- Son causados por deficiencia de los instrumentos

de medición y por la impericia del observador. Son aquellos que se producen siempre en una misma dirección, ya sea por exceso o defecto del instrumento.

Los errores causados por la deficiencia de los instrumentos se denominan también errores instrumentales y se cometen cuando se utiliza instrumentos de mala calidad o mal calibrados (la aguja del instrumento no está en el cero de la escala antes de iniciar la medición).

Los errores por impericia del observador se llaman también errores personales y el más común es el posicionamiento del observador para medir o paralaje (la visual del observador no se dirige perpendicularmente a la escala).

2.2.2 ERRORES ACCIDENTALES.- Son los producidos por fluctuaciones desconocidas e imprevisibles de las condiciones experimentales, es decir están fuera del control del observador.

27


2.3 TRATAMIENTO DE LOS ERRORES:

Cuando realizamos una sola medición nunca estaremos seguros de que aquella es la correcta, para ello hay que realizar varias veces la misma medición con el objetivo de disminuir los errores y realizar ciertos cálculos matemáticos y estadísticos. En una medición distinguimos dos clases de mediciones: Mediciones Directas y Mediciones Indirectas. 2.3.1 MEDICION DIRECTA.- Son aquellas que se obtienen por lectura directa de un

instrumento de medición. Así, por ejemplo: Para la longitud se utiliza el flexómetro, para la masa se utiliza una balanza, para la temperatura se utiliza un termómetro, etc. En una medición directa se determinan los errores absoluto y relativo.

Error Absoluto.- El error absoluto (Δx) de una medición directa se obtiene de

la diferencia entre el valor obtenido (xi) y el valor aceptado como verdadero (

).

Valor aceptado como verdadero ( ).- Se obtiene dividiendo la sumatoria de

todas las mediciones para el número de las mismas, a este valor se lo conoce como promedio.

Entonces el valor probable de la lectura es:

Error Relativo porcentual (er%).- Se obtiene dividiendo el error absoluto para el valor aceptado como verdadero y multiplicado por 100%.

Valor probable de la lectura:

2.3.2 MEDICION INDIRECTA.- Son aquellas que obtienen por medio de operaciones matemáticas (fórmulas o ecuaciones). Así, por ejemplo: Para determinar el Área se multiplica longitud por longitud (L x L = L2), para determinar la velocidad se divide la longitud para el tiempo (L/T). en las

28


mediciones indirectas existe propagación de errores debido a las operaciones que se realizan y el resultado final se ve afectado, como es la suma o resta, la multiplicación, la división, la potenciación y radicación.

Error absoluto para la suma y la diferencia (ΔS).- Es igual a la suma de los errores absolutos de las variables intervinientes. Así, por ejemplo: el semiperímetro de un rectángulo de lados a y b.

Primero debemos medir las longitudes de los lados del rectángulo y sumarlos. Como son mediciones directas, consecuentemente tienen errores absolutos experimentales.

Medición directa

Medición directa

Operación:

Error absoluto de la suma o resta

Error relativo de la suma o resta

Error absoluto del Producto (ΔA).- Es igual a la sumatoria de los productos de la una variable por el error absoluto de la otra. Así mismo tomemos como ejemplo el rectángulo para demostrar el área.

Medición directa

29

b

a

b

a


Medición directa

Operación: A

A

A

Error absoluto del doble producto

El producto se desprecia ya que comparado con es

sumamente pequeño siempre y cuando los errores en las mediciones no sean mayores del 9% caso contrario no sirve ésta consideración:

Para determinar el error relativo del producto se tiene:

Error relativo del doble producto

Error absoluto para el cociente (ΔC).- Es igual a la sumatoria de los productos de la una variable por el error absoluto de la otra y ese resultado dividido para el denominador al cuadrado.

Medición directa

Medición directa

Operación: C

30


; como es muy pequeño, entonces:

; como se toma en cuenta los signos y ser

valores absolutos se tiene: Error absoluto del cociente.

Para determinar el error relativo del cociente se tiene:

Error relativo del cociente.

Error de la Potenciación y radicación.- Si se tiene la ecuación ;

entonces la propagación de errores, primero se determina el error relativo, y se tiene:

Ecuación General

Experimento:

31


Realizar las mediciones directas e indirectas de diferentes cuerpos, utilizando instrumentos de medición como la balanza, calibrador y el tornillo micrométrico.

ACTIVIDAD Nº 3

CONTESTE:

1. ¿En qué consiste medir un objeto directa e indirectamente? 2. ¿Qué características tiene una unidad patrón?3. Realice un cuadro sinóptico u organizador gráfico sobre las ideas fundamentales

relacionadas al tema.4. Describa los posibles errores que se cometen en una medición5. ¿De quien depende los errores cometidos en una medición?

COMPLETE:

6. Los errores sistemáticos se cometen siempre en una misma………………………………….7. El error absoluto es la diferencia entre el valor….…….……..………y el valor..….….………...…. 8. El error relativo es el cociente entre el error…………..………….……y el valor…..…...…………...9. Existe propagación de errores en las mediciones…………………………………porque se

realizan combinaciones entre varias variables.10. Un error relativo porcentual es aceptable es una medida directa hasta un……………………

ANALICE

11. En el lenguaje cotidiano se acostumbra a nombrar el peso de un cuerpo e kilogramos o en gramos. ¿Es correcto eso? Explique.

12. ¿Cuándo realiza mediciones necesita de alguien que le ayude? Explique.13. ¿de quien depende la exactitud de una medición? ¿Por qué?14. ¿Cómo haría la medida directa del volumen de una habitación?


EJEMPLO MODELO 1: En el laboratorio se realizo la medición de la masa, largo, ancho y altura del paralelepípedo de la figura.

Masa (m): 15,2g; 15,7g, 15,6 g, 15,6g y 15,5g.

32


Largo (l): 8,7 cm, 8,8 cm, 8,5 cm, 9,0 cm, 9,4 cm

Ancho (a) 5,3 cm, 5,1 cm, 5,6 cm, 5,3 cm, 5,0 cm

Altura (h) 2,9 cm, 2,7 cm, 2,8 cm, 3,0 cm, 2,4 cm

Determinar:

a) Los errores absolutos y relativos de cada medida directab) Las lecturas con sus respectivos erroresc) El volumen del paralelepípedo con sus respectivos errores y lecturas.d) La densidad del paralelepípedo con sus respectivos errores

MODELO: Se utilizaran las definiciones de los errores absoluto y relativo para las medidas directas como son la masa, el largo, y el ancho y la altura. Para el volumen y la densidad se hará uso de las definiciones de los errores para la potenciación y el cociente.

PLANTEAMIENTO: De acuerdo con los datos, primero se determinará el valor aceptado como verdadero para cada una de las mediciones directas.

Luego los errores absolutos y relativos

A continuación se determinará el volumen del paralelepípedo:

Y por último la densidad y sus errores

SOLUCIÓN: Para facilidad del tratamiento de los datos se realizará un cuadro:

Tabla 7

33


Nº m(g) ∆m (g) l (cm) ∆l (cm) a(cm) ∆a (cm) h(cm) ∆m (g)

1 15,2 -0,32 8,7 -0,18 5,3 0,04 2,9 0,14

2 15,7 0,18 8,8 -0,08 5,1 -0,16 2,7 -0,06

3 15,6 0,08 8,5 -0,38 5,6 0,34 2,8 0,04

4 15,6 0,08 9,0 0,12 5,8 0,04 3,0 0,245 15,5 -0,02 9,4 0,52 5,0 -0,26 2,4 -0,36

∑ 77,6 0,68 44,4 1,28 26,3 0,84 13,8 0,84

x 15,52 0,14 8,88 0,26 5,26 0,17 2,76 0,17

a) ∆m = 0,14 g ∆l = 0,26 cm ∆a = 0,17cm ∆h = 0,17 cm

b)

c)

V = (8,88 cm)x(5,26cm)x (2,76cm)

V = 128,92 cm3

34


d)

Lectura

35


ANALISIS: Es necesario realizar paso a paso para una mejor comprensión y al final poner las unidades.

2. Una persona midió varias veces su masa y obtuvo los siguientes datos.

56,80 kg; 56,78 kg; 56,74 kg; 56,82 kg: Determinar

a) El valor aceptado como verdaderob) El error absolutoc) El error relativo porcentuald) Expresar su lectura

DATOS:

MODELO:

PLANTEAMIENTO:

SOLUCIÓN

ANÁLISIS

36


3. El área de un rectángulo se reporta como (452 ± 9)cm2 y una de sus dimensiones se reporta como (10,0 ± 0,25)cm. ¿Cuál será el valor y su error absoluto de la otra dimensión?

EJERCICICIOS PROPUESTOS

1. Experimentalmente se hallaron los siguientes valores de la velocidad del sonido: 340,5 m/s, 338,9 m/s, 340,8 m/s, 340,5 m/s, 339,3 m/s. Hallar el valor aceptado como verdadero. R = 340 m/s

2. Los siguientes son los errores absolutos: 0,4oC; -0,3oC, 0,8oC y -0,2oC, se encontraron al realizar la medición de la temperatura en la ciudad de Baños. Se la temperatura promedio del lugar es de 18,6oC. Hallar los errores relativos de estas mediciones. R = 21,5%; 1,6 %, 4,3%, 1,0%

3. Calcular el error relativo del volumen del cilindro, si la ecuación es V = (Πф2h)/4

4. La medición de la magnitud de un segmento es L = (15,4 ± 0,3)mm; y la medición de una longitud de onda es = (5500 ± 300)Aλ O. Determinar cuál de las mediciones es más precisa. R = La del segmento, porque el porcentaje es menor

5. Calcular el error relativo de la resistividad, cuya ecuación es:

6. Se obtienen los resultados de las mediciones de un paralelepípedo con sus respectivos errores absolutos: l = (12,1 ± 0,2)cm, a = (8,7 ± 0,12 )cm, h = (4,3 ± 0,10)cm, respectivamente. La masa del mismo esta expresada como m = (11,3 g ± 4,3%).

Determinar:

a) El área formada por el largo y ancho de sus respectivos errores y lecturasb) El volumen formado por el paralelepípedo con sus respectivos errores y lecturasc) La densidad con sus respectivos errores y lecturas

R = a) 105,25 cm2; 3,192 cm2; 3,03%; b) 452,661cm3; 24,25cm3; 5,35% c) 0,0249 g/ cm3; 9,68%.

7. En un laboratorio se obtuvieron los siguientes resultados de ciertas mediciones.Masa (m): 60,38 kg, 60,41 kg, 60,44 kg, 60,41 kg, 60,35 kgTiempo (t): 6,84 s, 6,88 s, 6,80 s, 6,86 s.Distancia (x): 21,89 m, 21,85 m, 21,90 m, 21,80 m y 21,86 m

37


Determinar:a) Los errores absolutos y relativos de cada variable y sus respectivas lecturasb) La velocidad con sus respectivos errores y lecturas, si se sabe que v = x/t

8. En el laboratorio, se obtuvieron los siguientes valores de las mediciones realizadas a un cilindro macizo.Altura: 16 mm, 16,5mm, 17mm, 16,5mmDiámetro: 18,0mm, 18,5 mm, 19,0 mm, 18,0mmMasa: 42,7 g, 42,0 g, 42,6 g y 43 g. Determinar:a) El volumen con sus respectivos errores y su escriturab) La densidad del cilindro con sus errores y su escritura.

3. FUNCIONES Y GRÁFICAS

3.1 INTRODUCCIÓN

Al estudiar los fenómenos naturales, generalmente se presenta la necesidad de relacionar dos o más magnitudes, estas relaciones en muchos casos pueden ser expresadas a través de ecuaciones matemáticas, una de ellas se llama función y que depende de otra magnitud que se le denomina variable.Estas relaciones entre funciones se pueden representar por medio de gráficas, las mismas que nos permiten apreciar y visualizar las variaciones de las funciones. Una gráfica bien elaborada hace más que afirmar que “una imagen vale más que mil palabras”.

3.2 SISTEMA DE REFERENCIA

Los sistemas de referencias, son ejes de coordenadas que permiten representar va en cada uno de los ejes a escalas preestablecidas. Entre los sistemas de referencia más usados tenemos Unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales.

De una dimensión: Este sistema está formado por un solo eje horizontal, llamado eje de las X. Se toma como punto fijo 0, como origen de una escala adecuada de graduación, las magnitudes a la derecha del origen 0 son positivas y a la izquierda del origen 0 son negativas. Para ubicar un punto de este sistema de referencia estará formado por una sola componente, llamada abscisa, la misma que puede ser positiva o negativa.

De dos dimensiones: Está formado por dos ejes perpendiculares entre si, llamados ejes de coordenadas que se cruzan en un punto común llamado origen 0, dividiendo al plano en cuatro cuadrantes I, II, III y IV. El eje horizontal se llama eje de las abscisas y el eje vertical se llama eje de las ordenadas, por lo tanto, para ubicar un punto en este sistema de referencia, se tendrá dos componentes. P(x; y). Las magnitudes a la derecha del eje y son positivas y a la izquierda son negativas, las magnitudes sobre el eje x son positivas y bajo el mismo son negativas.

De tres dimensiones: Este sistema de referencia esta formado por tres ejes de coordenadas perpendiculares entre si, dando lugar a la formación de tres planos xy, xz, yz. Para determinar un punto en los ejes tridimensionales, está formado por tres componentes P(x, y, z).

38


3.3 FUNCION: Se dice que una magnitud y (variable dependiente) es una función de otra magnitud x (variable independiente), cuando su valor es determinado por el valor de la variable. Una función se escribe simbólicamente y = f(x), que se lee “y en función de x”.

De esta manera, muy frecuentemente los resultados de los experimentos e Física se presentan en tablas o cuadros de datos, en una columna van los valores de x y en otra los valores de y, luego a partir de la tabla se construyen las gráficas.

3.4 GRAFICAS: Una gráfica se elabora a partir de los datos de una función, en el caso del plano, la variable se ubica en la abscisa y la función en la ordenada. Se unen los puntos con una línea de curvatura.

Así una grafica nos da informaciones no solo sobre los puntos experimentales, sino también sobre todos los puntos de la gráfica, nos indica cómo se comportan un fenómeno.

Existen diferentes gráficas. Funciones Lineales cuya gráfica es una línea recta, que tienen la forma: y = ax, que pasa por el origen, y = b + ax, que no pasa por el origen.

Funciones cuadráticas cuya gráfica es una parabólica que tiene la forma y = ax2, la misma que pasa por el origen.

Existen otras graficas de funciones, como por ejemplo: y = a/x, donde la gráfica es una hipérbola.

39


3.5 PROPORCIONALIDAD: Se dice que es una proporción o proporcionalidad de dos magnitudes cuando están relacionadas de modo que al variar la una también varía la otra, ya sea en aumento y disminución, dando lugar a dos clases de proporcionalidad directa e inversa.

3.5.1 PROPORCIONALIDAD DIRECTA: una proporción es directa cuando la variable independiente aumenta en la misma proporción la función.

Si la función es de la forma y = kx, la gráfica es una línea recta que pasa por el origen, y es indirectamente proporcional a x, (y x), α donde K es la constante de proporcionalidad: K = y/x.

También existe otra proporción directa de la forma y = Kx + b, su gráfica es una línea recta, pero que no pasa por el origen, como se observa en la figura.

Cuando se tiene una proporcionalidad cuadrática, si la variable se duplica, la función se cuadriplica, y es de la forma y = Kx2, donde y es proporcionalidad al cuadrado de x, (y x), α y la gráfica es una parábola.

40

∆y

∆x

'

∆y∆x

'

y

x

y

x

b

y

x


3.5.2 PROPORCIONALIDAD INVERSA: Si consideramos dos magnitudes x & y, tales que al aumentar la una variable, la función disminuye en la misma proporción. Así por ejemplo: al duplicar el valor x, el valor de y queda dividido entre 2. Si triplicamos el valor de x, el valor de y queda dividido por 3. Cuando esto ocurre diremos que es inversamente

proporcional a x, (y α ), la gráfica es una hipérbola.

3.6 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE UNA RECTA.- Cuando se conocen dos puntos de una recta, en cualquiera de los sistemas de referencia citados, es fácil determinar la distancia entre dichos puntos. Para demostrar el cálculo de la distancia, tomaremos dos puntos, P1(x1, y1) y P2(x2, y2) de una recta l en un sistema de coordenada en el plano, para lo cual utilizaremos el Teorema de Pitágoras, de acuerdo a la figura.

Si consideramos el triángulo rectángulo formado por los puntos P1QP2, entonces:

(P1P2)2 = (P1Q)2 + (QP2)2

Pero de acuerdo al gráfico se tiene que:

P1P2 = d

P1Q = ∆x = x2 – x1

QP2 = ∆y = y2 – y1

Entonces se tiene d2 = ∆x2 + ∆y2 = d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

Generalizando esta ecuación para puntos en el espacio ejes tridimensionales se tiene:

41

y

x

d

y

x

∆y

∆x

P1

P2

Q

x1 x2

y1

y2


3.7 PENDIENTE DE LA RECTA: La pendiente (m) de una recta, es el grado de inclinación de la recta, la misma que es igual a tangente del ángulo .θ

Entonces m = tan θ

Experimento

Determinar la proporcionalidad directa utilizando el alargamiento de un resorte con relación a la masa.

Nunca trate de elaborar las actividades sin antes haber estudiante los temas indicados, pues existen algunas preguntas que no se podrán realizarlas sin un adecuado conocimiento.

En los ejercicios prácticos y de investigación que se solicitan, sea lo más ordenado y detallista posible, ya que estas características permitirán establecer el nivel de conocimiento adquiridos por usted.

1. En una función, que elementos se identifican2. Indique que es una gráfica y explique cómo se dibuja3. ¿Qué características tiene la proporcionalidad directa e inversa?4. ¿Qué es pendiente de una gráfica y que utilidad puede tener su conocimiento?5. ¿Qué podemos deducir del hecho de que la gráfica de una magnitud A contra otra

magnitud B sea una línea recta y cómo se indica algebraicamente?

COMPLETE:

6. Los sistemas de referencia sirven para graficar o ubicar……………………………………………….7. Si una variable se duplica en la misma………………………….que la función, entonces se dice

que una proporcionalidad……………………………………………………8. La distancia entre dos puntos es igual a……………………………de los incrementos de las

variables al cuadrado.9. La tangente del ángulo de inclinación de una recta es igual a……………………………….de la

recta.

42

∆y

Q

y

x

∆x

P1

P2

x1 x2

y1

y2 d


10. El eje horizontal se conoce cómo…………………………………….y al vertical como …………………………………….

ANALICE:

11. Usted sabe que la longitud C de una circunferencia de radio R está dada por C: 2 RΠa) ¿Qué tipo de relación existe entre C y R?b) ¿Cómo sería el gráfico C = f(R)?c) ¿Cuál es el valor de la pendiente de la gráfica?

12. Un medicamento debe administrarse a un enfermo en dosis de 8 gotas a la vez, empleando un cuentagotas. Como no se dispone de él, se usa otro que deja salir gotas con un diámetro dos veces mayor. En este caso, ¿Cuántas gotas deberán administrarse al paciente?

13. Si Y es función de X, determine la ecuación respectiva, en las siguientes cuestiones.a) Si Y es proporcional a X, la constante de proporcionalidad es cuatrob) Si Y es proporcional al inverso de X, la constante de proporcionalidad es ochoc) Si Y es proporcional al inverso del cuadrado de X, la constante de proporcionalidad

es “a”14. En los gráficos siguientes, determinar cuál es una proporcionalidad directa con los

cuadrados.

15. A es directamente proporcional a B, B es inversamente proporcional a C y A es inversamente proporcional a D2. Escriba la ecuación que se ajuste a estas condiciones.

43

y

x

y

x

y

x

(a) (b) (c)



EJEMPLO MODELO 1: De acuerdo a la siguiente gráfica

Determinar

a) La forma de la función y escribirb) ¿Pasa la recta por el origen o no, porque?c) Escoja los puntos P1 (5; 40)cm y P2 (5; 40)cm. Encuentre ∆x y ∆yd) La distancia entre P1 y P2

e) El valor de la pendiente (m)f) Si escribió la función en el literal a). ¿Cuál es el valor de la constante a? ¿y el de b?

DATOS:

MODELO:

PLANTEAMIENTO:

SOLUCIÓN:

ANÁLISIS

44


2. Dados los siguientes puntos graficar en sus respectivos sistemas de referencia.

a) P1 (-3) y P2 (4)

b) P1 (3 ; 4) y P2 (-5 ; -3)

c) P1 (1, 3, 0), P2 (0, 3, 4) P3 (-2, 0, 4) y P4 (3, 4, 6)

3. Dadas las siguientes funciones, dar valor a la variable independiente y graficar.

a) y = 2xb) y = 2 + 3xc) y = x2

d) y = x2

e) y = x2 + 2x + 8f) y = 10/x2

g) y = -2x2 + 4x

h) y =

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Dados los siguientes puntos graficar en sus respectivos sistemas de referenciaa) P1 (-7) y P2 (-2)b) P1 (-5 ; 7) y P2 (4 ; -2)c) P1 (-3, -4, -5), P2 (5, -4, -3) P3 (-2, 8, -4)

2. Dar valores a la variable independiente y graficar las siguientes funcionesa) y = 4x - 2b) y = 2x2 + 3c) v = 6/td) y = 8/x

3. Dados los puntos de una recta b) P1 ( 2; -3) y P2 (-5 ; 7). Determinar:a) Su gráficab) La distancia entre P1 y P2

45


c) La pendiente de la rectad) El ángulo de inclinación

4. Dados los puntos A (2, -3, -7) y B (4, 5, -4). Determinar:a) Graficar los puntosb) La distancia

5. Considere el gráfico Y – X mostrado en la figura de este problema.

a) Empleando los puntos B y C, calcule la pendiente de la rectab) Repita el cálculo de la inclinación utilizando ahora los puntos A y D

6. Durante el experimento, un estudiante midió la masa de 10 cm3 de agua. Luego midió la masa de 20cm3 de agua. Siguió con ese proceso y obtuvo los siguientes datos, que se presentan en la tabla # 8. Determinar:

Tabla # 8.

Volumen (cm3) Masa (g)1020304050

7,915,823,731,639,6

a) Represente gráficamente los valores y dibuje la curva que mejor se ajusta a los puntos

b) Descripción de la curva resultantec) De la gráfica, utilice una ecuación que relacione el volumen con la masa.d) Escoja dos puntos y determine la pendiente.e) ¿Qué unidades tiene la pendiente y como se llama esa unidad?

7. Al dejar caer un cuerpo desde cierta altura, durante un tiempo t, corre una altura h. Los datos obtenidos se presentan en la tabla # 9. Determinar:

46

y

x

A

B

C

D

5 10 15 20

15

30

45

60


Tabla # 9

Tiempo (s) Altura (m)1234

5204580

a) Con los datos de la tabla dibuje la gráficab) Analice la gráfica y exprese la ecuación correspondiente

8. En un laboratorio, al medir l masa y su aceleración para una fuerza constante, se obtuvieron los siguientes datos que se tienen en la tabla # 10. Determinar:

Tabla # 10

Masa (kg) Aceleración (m/s2)123456

12,05,94,13,02,52,0

a) Represente gráficamente los valores dadosb) Describa la curva resultantec) De acuerdo a la gráfica. ¿Cuál es la relación entre la masa y la aceleración?d) Escriba la ecuación que relaciona la masa y la aceleracióne) ¿Qué unidades tiene la constante?

9. Dada la siguiente tabla #11. Determinar Tabla # 11

X Y12345

3015102025

a) Cuando se duplica el valor de X (de X = 1 a X = 2), ¿Entre cuánto queda dividido el valor de Y?

b) Y cuando se triplica el valor de X, ¿Qué sucede con el valor de Y?c) ¿Qué tipo de relación existe entre Y y X?d) En base al literal anterior, complete la tablae) Trace la gráfica.

47


10. Mediante la ecuación , halle las respuestas a estos problemas usando

unidades convenientes.a) ¿Qué distancia recorre una bicicleta durante 1,5 minutos, si viaja con una rapidez

constante de 30 km/h?b) ¿Cuánto tiempo emplea un auto para recorrer 6000m con una rapidez constante de

30 km/h?

Unidad

48

TEMA. ALGEBRA VECTORIAL

Introducción

Magnitudes escalares y vectoriales

Elementos de un vector

Clases de vectores

Componentes de un vector

En el plano

En el espacio

Formas de expresar un vector

Coordenadas rectangulares

Coordenadas polares

Coordenadas geográficas

En función de sus vectores base

En función de su módulo y unitario

Operaciones con vectores

Suma y resta

Productos: Escalar y vectorial

Actividad 05

Ejercicios

CONTENIDOS

OBJETIVOS:

Establecer diferencias entre magnitudes escalares y vectoriales.

Identificar los elementos de un vector Descomponer vectores en el plano y en el

espacio. Mostrar capacidad para expresar vectores en

diferentes formas. Emplear correctamente los vectores

gráficamente y analíticamente. Comprender la importancia de los vectores

en el desarrollo y aplicación de los temas de Física.

Reconocer en las operaciones con vectores, las aplicaciones de la geometría elemental y de la trigonometría, y resolver problemas mediante la utilización de estos métodos.

3


3.1 INTRODUCCIÓN

Consideramos que las Ciencia Físicas son cada vez más importantes por su valor formativo, cultural y práctico, para una mejor ubicación en la sociedad técnico – científica - contemporánea, por esta razón, el objeto de la Física, es el conocimiento y estudio de los fenómenos producidos en el medio que nos rodea. Para ello, se utiliza la observación crítica y objetiva, seguida de la búsqueda de las leyes que rigen el fenómeno, así como el proceso matemático que permite delimitar y definir dicho fenómeno estudiado. Esto implica un conocimiento profundo de la Matemática, de la cual la Física se sirve como instrumento teórico fundamental.

La presente unidad, es puramente matemático y se ha incorporado en los últimos años a la Física por ser esencial e el desarrollo y estudio de los fenómenos físicos, siendo muy importantes para llegar a un conocimiento suficiente de esta ciencia, la descripción de ciertos fenómenos se lleva a cabo de una manera conveniente, mediante la utilización de los vectores, lo que facilitará la comprensión del universo y la civilización en la que vivimos, dando lugar a que el estudiante aprenda a observar, estudiar y pensar críticamente.

Las cantidades Físicas que tienen propiedades tanto numéricas como de dirección se representan por medio de vectores. En esta unidad está dedicada principalmente al Algebra Vectorial y a algunas propiedades generales de los vectores. Se analizarán la adición y substracción de los vectores, junto con algunas aplicaciones simples a situaciones Físicas. El análisis del producto de vectores, las propiedades graficas y algebraicas.

3.2 MAGNITUDES ESCALARES

Ciertos efectos o fenómenos de la naturaleza pueden ser cuantificados o medidos con el simple conocimiento del valor numérico de la intensidad de loa mismos, pero para muchos de ellos no es suficiente describir con su valor, de ahí que para una gran variedad de fines, es conveniente clasificar las cantidades Físicas en dos clases.

MAGNITUD ESCALAR: Es aquella que está definida por su magnitud o cantidad y acompañada de una cantidad de medida.

Ejemplos:

49


Longitud 20 [m]Tiempo 5 [s]Masa 8,5 [kg]Temperatura 22˚C Superficie 30 [m2]

MAGNITUD VECTORIAL: Es aquella que queda definida por su módulo, dirección y sentido y está acompañada de su unidad respectiva.

Ejemplos: Peso W = 35 kg-fAceleración (5 m/s2; S 30o E)Velocidad (5 i - 4 j)m/s

3.3.2 DEFINICION DE VECTOR: Al vector se le pueden dar algunas definiciones:

De acuerdo al algebra vectorial, Vector es la representación gráfica de una magnitud vectorial, que tiene módulo, dirección y sentido.

Geométricamente, Vector es un segmento de recta orientado, dirigido, que determina magnitud o módulo, dirección y sentido, al que se le coloca una flecha.

El vector es un segmento de recta de longitud proporcional a su módulo, con su flecha que indica el sentido. Para denotarlo se utiliza letras mayúsculas y una flecha encima, pueden ser las letras de origen y extremo o simplemente una sola letra y una flecha, de acuerdo a la figura se tiene: OM = A

3.3.2 ELEMENTOS DE UN VECTOR: Un vector está determinado por cutro elementos o características que siempre están presentes: Origen, módulo o magnitud, dirección sentido.

Origen: Es el punto de aplicación del vector, se designa por la letra “O”, como se observa en la figura.

Módulo o Magnitud: El módulo de un vector es un número real, que consiste en el valor que se le ha asignado al vector o la distancia entre el origen y el extremo. Para designar el

50


módulo de un vector, que utilizan dos barras verticales a las letras o letra del vector o simplemente a las letras no se le pone la flecha, de acuerdo a la figura que tenemos.

OM = 6 unidades

A = 6 unidades

Dirección: La dirección que tiene un vector se expresa mediante la utilización de un ángulo ( ), medido en sentido antihorario a partir del eje x positivo hasta el vector,θ también se utilizan los puntos cardinales (Norte, sur, este y oeste).

Sentido.- El sentido de un vector viene dado por la flecha en el extremo del mismo. El sentido está implícito en la dirección a y nos indica hacia donde se dirige la recta.θ

3.2.3 CLASES DE VECTORES: Para el estudio de la Física se consideran los siguientes tipos de entes matemáticos que se conocen con el nombre de vectores.

3.2.3.1 Vectores fijos o Ligados.- Es aquel cuyo punto de aplicación es fijo. Además determina la posición es fijo. Además determina la posición de un punto en el espacio, con respecto a un determinado sistema de referencia, como se observa en la gráfica, el vector

3.2.3.2 Vector libre: Es aquel que su punto de aplicación se traslada a cualquier punto del espacio sin cambiar su módulo, dirección y sentido.

51


3.2.3.3 Vector Deslizante.- Es aquel cuando s punto de aplicación puede trasladarse a lo largo de su línea de acción, sin cambiar sus características originales.

3.2.3.4 Vectores Equipolentes.- Cuando dos vectores tienen la misma dirección o direcciones paralelas, el mismo sentido y el mismo módulo, aunque sus puntos de aplicación sean distintos, se denominan vectores equipolentes.

3.2.4 PROPIEDADES DE LOS VECTORES: Entre las propiedades de los vectores consideramos las siguientes:

3.2.4.1 Igualdad de Vectores.- Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud, dirección y sentido, aún cuando tienen puntos de partida diferentes, permitiendo trasladar un vector paralelo a si mismo en un diagrama, sin afectarlo.

3.2.4.2 Vectores negtivos u opuestos.- Son aquellos que tienen el mismo módulo, la misma dirección pero de sentido opuesto. Es decir que si a un vector sumamos su negativo y su resultado es cero: A + (-A) = 0

52

A


3.2.4.3 Vector Nulo.- Es un vector que tiene módulo cero, con consecuentemente carece de dirección y sentido. Es decir el punto de origen y extremo coinciden en un mismo punto.

3.2.4.4 Vector Unitario.- Es aquel vector cuyo modulo es igual a la unidad, se obtiene dividiendo el vector para su módulo y determina la dirección y sentido de un vector en el plano o el espacio, para lo cual se utilizan los vectores base o unitarios normalizados i, j, k, para los componentes positivas de un vector A, Ax, Ay, Az respectivamente.

Su ecuación:

3.3 COMPONENTES DE UN VECTOR

Las componentes de un vector se definen como las proyecciones sobre los ejes tomados como referencia. Su utilidad es de gran importancia en muchos estudios de la Física, al simplificar muchos de ellos que se realizan cuando intervienen magnitudes vectoriales o efectos vectoriales supuestos.

De acuerdo a su descomposición del vector ya sea en los ejes de dos o tres dimensiones, se obtendrán de igual modo dos o tres componentes respectivamente.

3.3.1 COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL PLANO: Si se tiene un vector A, a partir del origen de un sistema de coordenadas rectangulares, en el PLANO XY, se expresa como la suma de los vectores llamados componentes vectoriales, que son proyecciones del vector A sobre los ejes x e y. La proyección del vector sobre el eje x, es la componente Ax, y la proyección del vector sobre el eje y, es la proyección Ay. Entonces el vector queda expresado de la siguiente forma.

53

- A


Si de un vector A se conoce su módulo y su dirección es decir el ángulo que forma con el eje x positivo, se puede fácilmente determinar sus componentes rectangulares sobre x, y sobre y, como son Ax y Ay, respectivamente, aplicando las relaciones trigonométricas.

Entonces el vector en función de sus componentes rectangulares se tiene:

La magnitud del vector A, es un número positivo con unidades. Su dirección, el ángulo θ que forma el vector con el eje x positivo (medido en sentido anti horario) varía entre 0˚ y 360˚. Las funciones trigonométricas seno y coseno de varían entre -1 y 1.θ

Si el vector A viene expresado en sus componentes rectangulares, se tienen los siguientes casos:

a) El módulo de un vector, cuando se tienen sus componentes rectangulares, se obtiene utilizando el Teorema de Pitágoras y se tiene.

b) La dirección de un vector en función de sus componentes, con respecto al eje “x” positivo, se determina utilizando la función trigonométrica tangente (tan).

De lo anterior concluimos, que el vector que determinado de dos formas:

i) En función de sus coordenadas rectangulares. A = (Ax ; Ay)j) En función de su módulo y dirección respecto al eje “x” positivo llamada

coordenadas polares, A = (A ; ).θ

54


3.3.2 COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO.- Considérese un vector A que actúa en el origen O de un sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales x, y, z, hasta el punto P. Sin embargo, cuando A esta dirigido dentro de un octante del cuadrante x, y, z, si proyectamos el extremo del vector sobre el plano xz, obtenemos un vector proyección de A sobre dicho plano, cuyas componentes son Ax y Ay, como se observa en la figura

Axz = Ax + Az

Además de la componente Ay, y la proyección del vector en el plano xz, forman un paralelogramo como se muestra la figura, entonces el vector A es la suma de estas dos componentes rectangulares.

A = Axz + Ay

A = Ax + Ay + Az

Las componentes, desde el punto de vista algebraico, so números reales, siendo positivas, negativas o valor cero. De la figura se tienen que:

Ax = Axz Cos y Aθ z = Axz Sen θ

De igual forma, podemos deducir de la figura que:

Axz = A Cos y AΦ y = A Sen Φ

De esta manera, obtenemos las expresiones siguientes para las componentes escalares correspondientes.

Ax = Axz Cos = Acos cosθ Φ θ

Ay = A SenΦ

Az = Axz Sen = Acos Senθ Φ θ

Así mismo demostraremos el módulo del vector en función de sus componentes rectangulares.

55


Entonces:

De aquí que la magnitud de A = A, sea igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.

Ángulos Directores.- La orientación de un vector en el espacio, se define por los ángulos directores coordenados θx ( ), α θy ( ), β θz ( ), medidos entre el vector y los ejes positivos x,γ y, z respectivamente. Los ángulos directivos están comprendidos entre 0o y 180o, no tienen convención de medida, es decir no es necesario indicar el sentido de su medición, como se observa en las figuras.

De acuerdo a los triángulos rectángulos sombreados en las figuras. Tenemos

A estos se conocen como los cosenos directores del vector A

Vectores bases o unitarios normalizados.- Los vectores i, j, k, se llaman vector unitario normalizados o vectores base, que utilizan para designar las direcciones de los ejes x, y y z respectivamente como se muestra en la figura. El sentido (o punta de flecha) de estos vectores se describirá analíticamente por un signo más o por un signo menos, dependiendo de si éstos apuntan a lo largo del eje positivo o negativo de los ejes x, y y z.

56


Las características de estos vectores son:

VECTOR BASE MODULO DIRECCION SENTIDO

i i = 1 la del eje x positivo del eje x

i j = 1 la del eje y positivo del eje y

z z = 1 la del eje z positivo del eje z

Utilizando los vectores base o unitarios normalizados para expresar un vector se tiene:

A = Ax i + Ay j Para el plano.

A = Ax i + Ay j + Az k Para el espacio.

Una manera fácil de obtener los cosenos directoras de A, es formando un vector unitario en la dirección de A, siempre y cuando A se exprese en forma vectorial en función de sus vectores base, A = Ax i + Ay j + Az k y tendremos:

Si compararnos las componentes Ax , Ay ,Az, representan los cosenos directores de A.

Puesto que la magnitud de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las magnitudes de sus componentes, y uA tiene una magnitud igual a la unidad (1), entonces se puede deducir que;

57


Esta ecuación puede ser de gran utilidad para determinar uno de los ángulos directores si se conoce los oíros dos.

3.4 FORMAS DE EXPRESAR UN VECTOR:

Las formas de expresar o escribir un vector es importante en el momento de realizar operaciones con vectores, ya que, para tal o cual operación todos los vectores tienen que estar expresados en la misma forma, de ahí que tenemos las siguientes formas;

a) En función de sus coordenadas rectangulares.- Si consideramos que todo vector parte del origen de coordenadas, si damos las coordenadas del extremo del vector tenemos:

A = (Ax ; Ay) Para el plano

A = Ax ; Ay ; Az Para el espacio

Ejemplos

A = (-5 ; 7)m Para el plano

A = (6 ; 5 , -4)m Para el espacio

b) En función de coordenadas Polares.- Si se conoce el módulo del vector y el ángulo con respecto a sus eje, se mide en sentido antihorario y además se especifica el plano en el que está contenido, entonces se tiene.

A = (A ; )θ Para el plano

A = (A ; θx ; θy ; θz) Para el espacio

c) En función de coordenados geográficas.- El vector viene dado por su módulo y el rumbo (puntos cardinales, norte, sur, este y oeste), en el caso de vectores en el espacio, también se tiene el ángulo de elevación o depresión con respecto al plano horizontal xz.

d) En función de sus vectores bases.- Todo vector que tiene sus coordenadas o componentes rectangulares, se puede escribir en función de sus vectores base, multiplicando cada componente por su respectivo unitario.

A = Ax i + Ay j Para el plano.

A = Ax i + Ay j + Az k Para el espacio.

Ejemplo

58


A = (18 i – 14 j) Para el plano

A = (4 i – 5 j + 7 k)m/s2 Para el espacio

e) En función de su módulo y unitario.- El vector viene expresado en módulo y acompasado de su unitario, que bien puede estar expresado directamente o mediante un gráfico.

A = AuA = A(Ux i + Uy j ) Para el plano

A = AuA = A(Ux i + Uy j +Uz k) Para el espacio

3.5. OPERACIONES CON VECTORES:

La importancia misma de conocer el álgebra vectorial y manejarla, es su aplicación en el campo de la Mecánica Newtoniana, ya que muchas de las magnitudes como desplazamientos, velocidades, aceleraciones, fuerzas, momentos son otros ejemplos de de cantidades Físicas que poseen magnitud y dirección y que se pueden operar siguiendo ciertas reglas.

Las operaciones con vectores son: Suma y resta de vectores, forma analítica y gráfica. Multiplicación de vector, como: Producto de un escalar por un vector, Producto Escalar y Producto vectorial. División de un vector por un escalar.

3.5.1. SUMA Y RESTA DE VECTORES.

A la suma y resta de vectores se le considera como una sola operación llamada "Suma Algebraica", ya que se puede escribir la diferencia como una suma. Así por ejemplo: A - B = A + (-B ). La suma y resta puede realizar, gráficamente y analíticamente.

3.5.1.1. Suma y resta de vectores gráficamente.- Si un vector tiene módulo, dirección y sentido, la suma o resta de vectores no obedece las reglas del álgebra ordinaria, para lo cual se den definir ciertos procedimientos o métodos para sumar o restar, este proceso se expresa convenientemente en términos gráficos. Para sumar y restar existen tres métodos: método del paralelogramo, método del triángulo y método del polígono.

a) Método del Paralelogramo.- Para sumar o restar dos vectores, se escoge un punto de común o eje de coordenadas y a partir de este punto se colocan los orígenes de los vectores con su mismo módulo, dirección y sentido, luego se trazan paralelas a los vectores formando un paralelogramo, la diagonal que parte del punto común, es el vector resultante.

59


b) Método del triángulo.- A partir de la ley del paralelogramo tenemos el método del triángulo para sumar o restar dos vectores. Se colocan los vectores uno a continuación del otro con su mismo módulo dirección y sentido y el vector resultante es la unión de origen del primero con el extremo del segundo.

c) Método del polígono.- Este método sirve para sumar más vectores, para lo cual se colocan los vectores uno a continuación del otro y el resultante es la unión del origen del primer vector con el extremo del último vector.

3.5.1.2 Suma y resta de vectores analíticamente.- Para sumar o restar dos o más vectores analíticamente, se pueden realizar de dos formas, geométricamente y vectorialmente.

a) Suma y resta de vectores geométricamente.- Este método sirve para determinar la suma o resta de dos vectores que forman un triángulo o paralelogramo y se puede encontrar su módulo y dirección del vector resultante, utilizando la Ley del Coseno y la Ley del Seno.

LEY DEL COSENO:

60


Cálculo del módulo de la suma o resta de vectores por el método del triángulo.- Sean los vectores A y B y si B forma un ángulo con la horizontal se tiene:θ

Aplicando la ley del Coseno se dice: “En todo triángulo, cualquier lado del cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto del los lados adyacentes por el coseno del ángulo opuesto al lado”. De acuerdo al triángulo de la figura, cuyos lados son R, A y B, tenemos:

Donde , es el ángulo opuesto al lado R y es igual = 180˚ - 0β β

Calculo del Modulo de la suma o resta de vectores por el método del paralelogramo.- Si aplicamos la misma ley al paralelogramo formado por los vectores A y B, que forman el ángulo.

Si consideramos el triángulo OQP y el triángulo rectángulo DQP, de las figuras, tenemos: Aplicando el teorema de Pitágoras primer triángulo tenemos:

(QP)2 = (OQ)2 + (QP)2, pero sabemos que:

QP = R ; OQ = OD + DQ; pero así mismo: OD = A y DQ = Bcos (componente en x del vectorθ B), y QP = Bsen (componente en y del vector B).θ

R2 = A2 + 2ABCos + Bθ 2(Cos2 + Senθ 2 ), pero Cosθ 2 + Senθ 2 , sacando factor común a los dosθ últimos términos tenemos:

Calculo de la dirección del vector resultante.- La dirección del vector está dada por el ángulo que forma la resultante con uno de los vectores, en este caso con el vector A y deα acuerdo al triángulo rectángulo OQP, tenemos:

61


De igual forma en el mismo triangulo rectángulo y aplicando la función tangente tenemos:

LEY DEL SENO:

Calculo del módulo y dirección de la suma o resta de vectores.- Si se tiene una gráfica de la suma o resta de dos vectores por el método del triángulo o paralelogramo, se puede también aplicar la Ley del Seno, para determinar analíticamente su resultante y dirección, la misma que dice: “En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”. De acuerdo a la figura, y si se tienen los lados R, A y B y además los ángulos , y , se obtiene:α β γ

b) Suma y resta de vectores vectorialmente.- Para sumar o restar dos o más vectores vectorialmente, se pueden realizar de dos formas: en función de sus componentes rectangulares y en función de sus vectores base

En función de sus componentes rectangulares.- Si se tienen dos o más vectores, ya sea en el plano o espacio, es conveniente seguir los siguientes pasos.

1. Se trasladan todos los vectores a sumarse o restarse al origen de coordenadas.2. Se descomponen los vectores en sus componentes rectangulares, las proyecciones

de los vectores en cada uno de los ejes x, y para el plano, en los ejes x, y, z, en el caso del espacio.

3. Se suman sus componentes algebraicamente.

Sean los vectores de la figura A, B y C

A = (Ax ; Ay) B = (Bx ; By) C = (Cx ; Cy)

Entonces,

R = A + B +C donde;

62


Para el plano:

A = (Ax ; Ay) B = (Bx ; By) C = (Cx ; Cy) entonces,

R = [(Ax + Bx + Cx) + [(Ay + By + Cy)]

R = (Rx ; Ry)

Para determinar el módulo del vector, se tiene:

Para determinar la dirección del vector resultante de acuerdo a la figura, tenemos:

Para el espacio.

Sean los vectores de la figura;

A = (Ax ; Ay ; Az) B = (Bx ; By ; Bz) C = (Cx ; Cy ; Cz)

Entonces su resultante es:

R = [(Ax + Bx + Cx) ; (Ay + By + Cy) ; (Az + Bz + Cz)]

R = (Rx ; Ry ; Rz)

Para determinar el módulo del vector, tenemos:

Para determinar la dirección del vector, hay que determinar los ángulos directores del vector con respecto a cada uno de sus ejes de coordenadas como muestra la figura.

63


En función de sus vectores base.- Si se tienen dos o más vectores, ya sea en el plano o espacio es conveniente seguir los siguientes pasos.

1. Se traslada todos los vectores a sumarse o restarse al origen de coordenadas.2. Se descomponen los vectores en sus componentes rectangulares, las proyecciones

de los vectores en cada uno de los ejes x, y y en el caso del plano, y en los ejes x, y, y z , en el caso de los vectores en cada uno de los ejes x, y en el caso del plano, y en los ejes x, y y z, en el caso del espacio.

3. Se suman sus componentes algebraicamente.

Si se tienen los vectores A, B y C

Para el plano:

A = Ax i + Ay j

B = Bx i + By j

C = Cx i + Cy j


R = A + B + C, donde;

R = [(Ax+ Bx + Cx) ; (Ay + By + Cy)]

R = (Rx i ; Ry j ; Rz k)

Su módulo y dirección es:

Para el espacio:

Sean los vectores:

A = Ax i + Ay j + Az k

B = Bx i + By j + Bz k

C = Cx i + Cy j + Bz k


64


R = A + B + C

R = [(Ax i + Bx j+ Cx k) ; (Ay i + By j+ Cy k) ; (Az i+ Bz j + Cz k)]

R = (Rx i ; Ry j ; Rz k)

Su módulo y ángulos directores.

Propiedad de la suma vectorial:

1. Propiedad Conmutativa: El orden de los vectores no altera su resultante.

A + B = B +A

2. Propiedad Asociativa.- Si se suman primero dos vectores y luego se suma un tercero, su resultante no cambia.

(A + B) + C = A + (B + C)

3. Propiedad distributiva vectorial.- Si se multiplica un escalar por la suma de vectores es igual al producto del escalar por cada vector.

m(A + B) = mA + mB

4. Propiedad Distributiva Escalar.- Si se multiplica un vector por la suma de dos escalares es igual al producto del vector por cada escalar.

A(m + n) = mA + nA

5. Propiedad del Idéntico Aditivo.- Si se suma un vector con su vector negativo, su resultado es nulo (cero).

A + (-A) = 0

3.5.2 MULTIPLICACIÓN DE VECTORES:

65


La multiplicación de vectores de diferente naturaleza permite generar cantidades Físicas diferentes a las que se generaron. Por supuesto que no puede generalizar las reglas de multiplicación de escalares, pues los vectores tienen a más magnitud una dirección y un sentido; a continuación definiremos tres tipos de productos que se pueden efectuar entre vectores. Multiplicación de un escalar por un vector, producto escalar y Producto vectorial.

3.5.2.1 MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

Cuando multiplicamos un escalar por un vector A, obtenemos u nuevo vector cuyo módulo es k veces la longitud del vector A. Este nuevo vector tiene la misma dirección del vector y su sentido será; el mismo que el de A cuando k > 0, opuesto al de A si k < 0, y el vector será nulo cuando k = 0, como se observa en la figura.

Si k es escalar y,

A = Ax i + Ay j + Az k entonces tenemos:

kA = k(Ax i + Ay j + Az k)

kA = kAx i + kAy j + kAz k)

Propiedades de la multiplicación de un escalar por un vector

1. Propiedad Conmutativa.- El orden del producto del escalar por el vector no altera su resultado.

a * A = A * a

2. Propiedad Asociativa.- Si se multiplica un escalar por un vector y luego se multiplica por un segundo escalar, su resultado no cambia

a(b * A) = (a * b) * A

3. Propiedad Distributiva vectorial.- Si se multiplica primero un escalar por la suma de vectores es igual al producto del escalar por cada vector.

a * (A + B) = a*A + a*B

4. Propiedad distributiva escalar.- Si se multiplica un vector por la suma de dos escalares es igual al producto del vector por cada escalar.

66


(a + b)*A = a*A + b*A

EXPERIMENTO

Determinar la suma y resta de vectores gráficas y analíticamente utilizando las leyes del seno y coseno.

Construir y demostrar las propiedades y características de los vectores en el espacio

Nunca trate de elaborar las actividades sin antes haber estudiante los temas indicados, pues existen algunas preguntas que no se podrán realizarlas sin un adecuado conocimiento.

En los ejercicios prácticos y de investigación que se solicitan, sea lo más ordenado y detallista posible, ya que estas características permitirán establecer el nivel de conocimiento adquiridos por usted.

CONTESTE

1. Realice un esquema de todos los contenidos de la unidad2. Haga un resumen de las formulas utilizadas en esta unidad3. ¿En que se diferencias las magnitudes vectoriales de las magnitudes escalares?4. ¿Qué es un vector? De tres ejemplos5. Como se puede determinar la magnitud de un vector6. ¿Qué puede decir de los vectores que tienen el mismo unitario?7. ¿Qué condición deben cumplir las cantidades Físicas, para que se traten como

vectores?8. Para determinar el unitario del vector, no debemos necesariamente conocer el

módulo de dicho vector. Explique.9. ¿Qué métodos se utiliza para sumar vectores gráficamente?10. ¿Se aplican las leyes asociativa y conmutativa a la sustracción de vectores?11. ¿Puede ser cero la magnitud de un vector si alguna de sus componentes es diferente

de cero?12. ¿Puede un producto escalar ser una cantidad negativa?

COMPLETE:

13. Al par ordenado (A ; ) se le denomina coordenadas………………………………………………….θ14. Cuando el punto de aplicación de un vector se traslada a lo largo de su línea de acción,

el vector se llama…………………………………………………………..

67


15. El vector………………………………………..carece de dirección y sentido16. El ángulo que forma un vector con el eje positivo de las x en sentido antihorario,

representa…………………………………………….. del vector.

INTERPRETE:

17. Un estudiante de Física afirma que “la lluvia es un magnitud Física de carácter vectorial porque tiene dirección”. Refute esta afirmación.

18. Un auto recorre 35 Km. hacia el norte y luego 60 Km. hacia el este y finaliza su recorrido con 25km al noroeste.a) Represente gráficamente las distanciasb) Represente gráficamente el vector desplazamiento

19. A continuación enunciamos algunas situaciones para que analice y aprenda la forma como operan los vectores.a) Si decimos que la distancia entre la ciudad A y la ciudad B es de 322 Km., y que

entre la ciudad B y la ciudad B hay 358 km. ¿Se puede suponer que la distancia se separa la ciudad A de la ciudad C es de 322 Km. + 358 Km. o 680 Km.? ¿Por qué?

b) Supongamos que un bote navega a altamar con una velocidad de 20km/h y el viento sopla con una velocidad de 5 Km./h ¿Puede afirmar cuál es la velocidad resultante del bote? ¿Por qué?


1. Representar gráficamente los siguientes puntos:

A (2;5;0); B (-1, -5, 0) C (0; 5, 3) D (6, 0 , -4) E(5, 7 8) F(-4, -6, -5)

2. Representar gráficamente los siguientes vectores.

A = (40N; 35˚)

B = (10 m/s ; N30˚O)

68


C = (20 kg –f; 235˚)

3. A continuación se dan las proyecciones de los vectores sobre los ejes x, y y z

a) M = (4 ; 0 ; 5)

b) N = (6; 8)

c) Q = (7; -5 ; 6)

Exprese cada uno de los vectores en términos de:

i) Unitarios normalizadosii) Calcular su móduloiii) Calcular su unitario

4. Dados los siguientes vectores:

A = (7 ; 5; -8)N

B = (30 kg-f; E37˚N; 25 ángulo)

C = (15 m/s: 215˚)

Expréselo en las otras formas de determinar un vector, en cada uno de los casos

DATOS

MODELO

PLANTEAMIENTO

SOLUCIÓN

69


ANÁLISIS

Unidad

70

4TEMA. CINEMATICA DE LA PARTICULA

Definición

Movimiento en una dimensión

Partícula

Vector posición

Desplazamiento

Reposo

Movimiento

Trayectoria

Distancia

Velocidad

Rapidez

Aceleración

Clasificación de los movimientos

Movimiento Rectilíneo Uniforme

(M.R.U.)

Movimiento Rectilíneo Uniformemente

Variado (M.R.U.V.)

Actividad 06

Ejercicios

CONTENIDOSOBJETIVOS:

Conocer las definiciones de movimiento, trayectoria, velocidad y aceleración.

Identificar los elementos de un vector Describir el movimiento de los objetos por

medio de tablas y gráficas Explicar los cambios en la descripción del

movimiento de objetos desde diferentes puntos de vista.

Construir gráficas de la posición – tiempo, velocidad – tiempo, aceleración – tiempo.

Aplicar correctamente las ecuaciones del movimiento uniforme y uniformemente variado.

Presentar un informe de los laboratorios sobre M.R.U. y M.R.U.V.

Valorar la importancia de la ciencia en el estudio

Reconocer en las operaciones con vectores, las aplicaciones de la geometría elemental y de la trigonometría, y resolver problemas mediante la utilización de estos métodos.


4.0. INTRODUCCIÓN

El objetivo de la Física es, fundamentalmente, el de comprender los fenómenos naturales llamados físicos, para lograrlo tuvo que transcurrir muchos años, a lo largo de los cuales la tarea se dividió en varias partes, como un método para lograr descubrir las leyes del mundo real Al conjunto de teorías y fenómenos que se han interpretado con la Física y que se desarrollaron hasta finales del siglo XIX se denomina Física Clásica. Durante el siglo XX, la Física a sufrido grandes transformaciones, tanto en su filosofía como en los métodos empleados para su desarrollo, a partir de ello surgen las nuevas teorías que comprenden lo que se denomina la Física Moderna, las mismas que son generalizaciones de la Física Clásica.

El comportamiento físico de los sistemas difiere si se considera cuerpos que se mueven a velocidades muy altas, así como también para sistemas cuyas dimensiones son del orden de las magnitudes atómicas o menores. Las teorías que permiten explicar estos fenómenos son la Mecánica Cuántica y la Relatividad. La Física Clásica se limita a un estudio en el cual las velocidades son muy pequeñas comparadas con la velocidad de la luz y las dimensiones de los cuerpos son grandes comparadas con las dimensiones microscópicas.

Este documento se dedicará a abordar temas correspondientes a la Mecánica Clásica como parle de la Física Clásica. La Mecánica se encarga del estudio de todo lo relacionado al movimiento de los cuerpos, sus causas y su consecuencia, es decir, las leyes fundamentales que describe el movimiento de un sistema físico. Este estudio puede hacerse a dos niveles, el primero a un nivel descriptivo, en el cual interesa simplemente determinar el estado del movimiento de los cuerpos, mientras se deja de lado la cuestión de las causas que provocan el movimiento de los cuerpos, esto último implica algo más profundo y por tanto más complejo Por ello se ha dividido a la Mecánica en dos grandes sub - ramas: la Cinemática encargada de describir el movimiento en si de los cuerpos sin considerar las causas que lo produjeron ni las consecuencias que se derivan de este movimiento y la Dinámica que se preocupa de las cuestiones más profundas, es decir, la relación causa - movimiento - consecuencia.

4.1. CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

71


Cinemática.- La Cinemática estudia todo lo relacionado con el movimiento de los cuerpos, sus ecuaciones y leyes, sus relaciones y aplicaciones, pero sin preocuparse por cuál o cuáles son las causas que producen dichos movimientos.

A la Cinemática lo estudiaremos desde el punto de vista de sus ejes de coordenadas, es decir en una y dos dimensiones.

4.2. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN

Antes de estudiar los movimientos en una dimensión, es necesario definir los siguientes conceptos.

Partícula.- En nuestro estudio se considerará como partícula a cualquier cuerpo, sin importar sus dimensiones, ya que este con relación a su entorno es demasiado pequeña

Sistema de referencia.- Un sistema de referencia, son los ejes de coordenadas rectangulares, los mismos que se intersecan en un punto llamado origen, éste siempre se considera en reposo

Vector Posición(r).- Determina la posición de una partícula respecto a un sistema de

referencia.

r= rox i + roy j + roz k

r= rx i + ry j + rz k

Unidad.- Las unidades de la posición viene dada en unidades de longitud

[r]=[m] SI.

[r] = [cm] C.G.S.

[ r ] = [ pies ] Inglés.

Dimensión.- La dimensión del vector posición es de la magnitud.

[r]= [L]

Vector Desplazamiento (∆r).- Es la variación que experimenta el vector posición ( r ) de una partícula en un cierto intervalo de tiempo (∆t).

Unidad.- Las unidades de la posición vienen dadas en unidades de longitud.

72


[ ∆r ] = [ m ] S.I.

[ ∆r] = [cm] C.G.S.

[∆r ] = [ pies ] inglés. '

Dimensión.- La dimensión del vector posición es de la magnitud.

[∆r] = [L]

Reposo.- Una partícula está en reposo durante cierto intervalo de tiempo ( At ) cuando su posición ( r ) permanece constante dentro de un mismo sistema de referencia, es decir que (∆r =0)

Movimiento.- Es el cambio de posición que experimentan los cuerpos con respecto a un sistema de referencia (∆r = 0).

Trayectoria.- Es la longitud medida sobre la trayectoria recorrida por el cuerpo o partícula al moverse de una posición a otra.

Velocidad ( v ).- Es la relación que se establece entre el desplazamiento realizado por la partícula y el intervalo de tiempo en que se efectúo.

Velocidad Instantánea.- Se define como el límite de su velocidad promedio en cualquier instante en el límite conforme el intervalo At y su desplazamiento asociado Ar tiende a cero.

Sin embargo, el límite del cociente, en este caso, por definición, es la derivada con respecto a! tiempo, dx/dt, de la función de posición x(l). De aquí se desprende la forma alternativa

La velocidad expresada vectorialmente en función de su derivada tenemos:

Rapidez ( v ).- Es la relación que se establece entre la distancia recorrida por la partícula, al moverse de una posición a otra, y el intervalo de tiempo en que se realizó.

Unidades.- La unidades de la velocidad están relacionadas por las magnitudes de longitud y tiempo.

Dimensión.- La dimensión de la velocidad es de la magnitud sobre tiempo.

Aceleración ( a ).- La aceleración es la magnitud vectorial que mide la variación de velocidad en la unidad de tiempo

Aceleración instantánea.- La aceleración instantánea de una partícula es el límite de la aceleración media cuando At tiende a cero.

Por definición el valor limitador del cociente es la derivada v(t), y tenemos la forma equivalente

Así mismo la aceleración en forma vectorial y en función de su derivada se tiene:

Unidades.- Las unidades de la aceleración están relacionadas por las magnitudes de la velocidad y el tiempo.

73


Dimensión.- La dimensión de la aceleración es de la magnitud por el tiempo al cuadrado,

4.1. CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS

El movimiento pone en juego tres magnitudes: espacio, tiempo y velocidad. Conociendo dos de ellas podemos siempre hallar la tercera desconocida.

Los parámetros en función de los cuales se realiza la clasificación de los movimientos son: La forma de la Trayectoria y las características del vector velocidad en función del tiempo.

De acuerdo a la trayectoria, los movimientos se clasifican en:

1.- Rectilíneo:

a) Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.).

b) Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.).

2.- Curvilíneo:

a) Parabólico

b) Circular:

Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.) Movimiento Circular Uniformemente Variado (M.C.U.V.)

c) Elíptico.

De acuerdo a las características del vector velocidad, los movimientos se clasifican en:

1.- Velocidad Constante:

a) Igual a cero. Reposo.

b) Diferente de cero:

Dirección constante. M.R.U. Dirección variable. M.C.U.

2.- Velocidad Variable:

a) Módulo variable y dirección constante. M.R.U. V.

b) Módulo y dirección Variable. M.C.U.V.

4.4. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

74


Se llama movimiento rectilíneo uniforme (MRU), aquel en el cual la partícula recorre una trayectoria rectilínea con velocidad constante en módulo dirección y sentido, en un cierto intervalo de tiempo, la aceleración lineal es cero. Entonces, en el MRU, sólo entran en juego los parámetros velocidad y desplazamiento lineal en función del tiempo.

Para obtener una visión rápida de la forma que varían las componentes de la posición ( r )? de la velocidad { v ) y de la aceleración ( a ), de un cuerpo durante su movimiento, conviene representar gráficamente éstas magnitudes.

Gráfica de la posición r vs. el tiempo t .- En un MRU, la posición de un cuerpo en función del tiempo viene dada por la relación r = r0 + v.t, lo que significa que la posición es proporcional al tiempo, y en consecuencia, su representación gráfica es una línea recta, dependiendo del módulo de su velocidad.

Análisis de la gráfica.

En el intervalo de t0 hasta t1, la recta indica que el cuerpo cambia de posición proporcionalmente en el sentido positivo del eje x.

En el intervalo de t1 hasta t2, la recta es paralela al eje x, indica que el cuerpo no ha cambiado de posición, es decir que ∆r = 0.

En el intervalo de t2 hasta t3, la recta indica que el cuerpo cambia de posición proporcionalmente en el sentido negativo, contrario al eje x (regresa).

El Área sombreada bajo la recta corresponde al módulo del desplazamiento de la partícula. De acuerdo a la gráfica, la distancia total recorrida por la partícula es la suma geométrica de las áreas en intervalo desde t0 hasta t1.

EXPERIMENTO

CONTESTE:

1. ¿El colegio donde estudia puede considerarse como un cuerpo puntual?

2. En el movimiento consideramos como variable independiente:

a) El espacio.

b) La velocidad y aceleración.

c) El tiempo.

d) La partícula.

3. ¿La trayectoria es un vector o un escalar?

4 ¿De qué depende la forma de una trayectoria?

5 Explique por qué la velocidad instantánea de un objeto es tangente a la trayectoria de éste.

75


6. Defina la aceleración media.

7 Las palabras positivo, negativo o cero ¿tienen algún significado independiente de la elección del sistema coordenado7. ¿Por qué sí o por qué no?

8. ¿Cómo se representa el desplazamiento en una gráfica de posición en función del tiempo? ¿Y una gráfica de velocidad en función del tiempo?

COMPLETE:

9 -La variación del vector posición que una partícula experimenta en un intervalo de tiempo se denomina...........................................................

10 - La distancia recorrida por una partícula es igual al módulo del desplazamiento, siempre que la trayectoria sea………………………………y no exista cambios en el sentido del movimiento.

11.- La rapidez instantánea es igual al……………………………………..del vector velocidad.

12.- Si una partícula se mueve con velocidad ( v ) constante, su aceleración es igual a

…………………………………………

INTERPRETE:

13 - Un estudiante de Física afirma que "la lluvia es una magnitud Física de carácter vectorial porque tiene dirección". Refute esta afirmación.

14.- Explique en cuáles casos podemos considerar la Luna como una partícula y en cuáles casos no.


1. Una partícula se desplaza ( -45i +6lj) km, con velocidad constante, durante 48 min

Determinar:

a) La velocidad en Km/h

b) La rapidez en m/s.

c) El vector unitario de la velocidad.

d) El vector unitario del desplazamiento

76


2. Una particular se mueve con una velocidad constante de (65i + 52 j) km/h, llega al punto (35; 17) km en 3 horas. Determinar:

a) La posición que tenía la partícula en t = 1 hora.

b) El desplazamiento realizado desde t = 1 hora hasta t = 3 horas.

c) La distancia recorrida en el intervalo anterior.

4. Desde un mismo punto parten dos móviles con una rapidez constante de 72 km/h y 14 m/s respectivamente. Si el segundo sale 15 minutos antes que el primero, determinar analíticamente y gráficamente la distancia que los separa a las 4 horas de haber salido el primero.

a) Si llevan la misma dirección y sentido.

b) Si llevan la misma dirección, pero sentido contrario.

77


5. Dos corredores A y B sobre una pista recta, tienen rapideces constantes de 2 m/s y 5 m/s respectivamente, Si A parte 5 s, antes que B.

a) ¿Dónde y cuándo A es alcanzada por B?

b) ¿Cuáles son las gráficas v - t para cada uno de los corredores?

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Una partícula se mueve con una velocidad constante de (15i + 18j) m/s durante 2 min Determinar:

a) El desplazamiento realizado.

b) La distancia recorrida.


d) El vector unitario del desplazamiento.

R. a) (1800i + 2160j) m; b) 2811,68 m; c) (0,64i + 0,77j ); d) (0,647i + 0,77j )

2 - Un viajero sorprendido por una tormenta, ve el relámpago de una descarga eléctrica a (4,1 km; N25°E) y oye el trueno a los 12 s. Determinar.

a) La velocidad del sonido en el aire (constante).

b) La rapidez del sonido.



78


3 - Una partícula recorre 75 m con una velocidad constante de (- 16 i - 8j )km/h. Determinar

a) El tiempo empleado.

b) El desplazamiento realizado.



R. a) 1,21 s; b) (-49,78 i - 56,05 j )m; c) (-0,667 - 0,75/ ); d) (-0,667 -0,75j ).

4 - Un partícula parte del punto (-5; 3) m y se mueve con una velocidad constante de (4 i + 7j) m/s durante 7 s.

Determinar

a) La posición alcanzada por la partícula.

b) El desplazamiento realizado

c) La distancia recorrida.

5.- Una partícula situada en el punto (4; -5) m se mueve con velocidad constante hasta el punto (-2;7) en 12s.

Determinar:

a) La velocidad empleada.



R. a) (- 0,5 i + j )m/s; b) (- 6i + 12j )m; c) 13,42 m.

6. Un móvil con una rapidez constante de 32,4 km/h parte del punto (45; 18)m y moviéndose rectilíneamente llega al punto (-12; -3l)m.

Determinar

a) El tiempo empleado



79


7. Desde un mismo punto parten dos móviles con una rapidez constante de 15 km/h y 21 km/h, respectivamente. Si llevan la misma dirección y sentido, y el primero sale 30 min antes, hallar analítica y gráficamente dónde y cuándo se encuentran R. a) A 26,25 km del lugar de partida y a 1,76 h de haber partido el primero.

8. Dos puntos, A y B, están en la misma horizontal. Desde A parte hacia B un móvil con una rapidez constante de 60 km/h. Simultáneamente y desde B parte hacia A otrb móvil con una rapidez constante de 12,5 m/s. Si se encuentran a las tres horas de haber partido, ¿cuál es la distancia entre A y B?

a) Solución analítica,

b) Solución gráfica.

Dos puntos, A y B, están separados 10 km. Desde A parte hacia B un móvil con una rapidez constante de 4km/h. Simultáneamente, y desde B, parte hacia A otro móvil can una rapidez constante de 3 km/h, determinar analítica y gráficamente dónde y cuándo se encuentran.

R. a) A 5,71 km de dónde partió el móvil A y n 1,43 h de haber partido.

9. Dos puntos A y B están separados 100 km. Desde A parte hacia B un móvil con una rapidez constante de 50 km/h. Simultáneamente y desde B parte otro móvil con el mismo sentido que A y con una rapidez constante de 20 km/h. Hallar analítica y gráficamente dónde y cuándo se encuentran

80

Documents

Modulo de Fisica