Módulo Algebra_1

UNIVERSIDADE

DO ESTADO DA BAHIA

EAD 2011

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASILUNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Álgebra I

Salvador2011


EAD 2011 EAD 2011M

ATEM

ÁTIC

A

ELABORAÇÃO

Érica Nogueira Macêdo

DIAGRAMAÇÃO

Teodomiro Araújo de Souza

REVISÃO

Sheila Rangel

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP). Catalogação na Fonte

BIBLIOTECA DO GRUPO DE GESTÃO DE PROJETOS E ATIVIDADES NA MODALIDADE A DISTÂNCIA – UNEB

Macêdo, ÉricaNogueira. M141 Álgebra I - Licenciatura em Matemática / Érica Nogueira Macêdo. Salvador: UNEB / GEAD, 2010. 82p.

1.Matemática 2. Álgebra I. Título. II. Universidade Aberta do Brasil. III. UNEB / GEAD

CDD: 512.94

2a Edição1

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PRESIDENTE DA REPÚBLICADilma Roussef

MINISTRO DA EDUCAÇÃOFernando Haddad

SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL

PRESIDENTE DA CAPESJorge Guimarães

DIRETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DA CAPESJoão Teatini

GOVERNO DO ESTADO DA BAHIA

GOVERNADORJaques Wagner

VICE-GOVERNADOROtto Roberto Mendonça de Alencar

SECRETÁRIO DA EDUCAÇÃOOsvaldo Barreto Filho

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB

REITORLourisvaldo Valentim da Silva

VICE-REITORAAdriana do Santos Marmori Lima

PRÓ-REITOR DE ENSINO DE GRADUAÇÃOJosé Bites de Carvalho

COORDENADOR UAB/UNEBSilvar Ferreira Ribeiro

COORDENADOR UAB/UNEB ADJUNTODaniel de Cerqueira Góes

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Caro Cursista,

Estamos começando uma nova etapa de trabalho e para auxiliá-lo no desenvolvimento da sua aprendizagem estru-turamos este material didático que atenderá ao Curso de Licenciatura em Matemática na modalidade à distância.

O componente curricular que agora lhe apresentamos foi preparado por profissionais habilitados, especialistas da área, pesquisadores, docentes que tiveram a preocupação em alinhar conhecimento teórico-prático de maneira contextualizada, fazendo uso de uma linguagem motivacional, capaz de aprofundar o conhecimento prévio dos envolvidos com a disciplina em questão. Cabe Salientar porém, que esse não deve ser o único material a ser uti-lizado na disciplina, além dele, o Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) , as Atividades propostas pelo Professor Formador e pelo Tutor, as Atividades Complementares, os horários destinados aos estudos individuais, tudo isso somado compõe os estudos relacionados a EAD.

É importante também que vocês estejam sempre atentos a caixas de diálogos e ícones específicos. Eles aparecem durante todo o texto e têm como objetivo principal, dialogar com o leitor afim de que o mesmo se torne interlocutor ativo desse material. São objetivos dos ícones em destaque:

Você sabia? – convida-o a conhecer outros aspectos daquele tema/conteúdo. São curiosidades ou infor-mações relevantes que podem ser associadas à discussão proposta;

Saiba mais – apresenta notas ou aprofundamento da argumentação em desenvolvimento no texto, tra-zendo conceitos, fatos, biografias, enfim, elementos que o auxiliem a compreender melhor o conteúdo abordado;

Indicação de leituras – neste campo, você encontrará sugestão de livros, sites, vídeos. A partir deles, você poderá aprofundar seu estudo, conhecer melhor determinadas perspectivas teóricas ou outros olhares e interpretações sobre aquele tema;

Sugestões de atividades – consistem em indicações de atividades para você realizar autonomamente em seu processo de auto-estudo. Estas atividades podem (ou não) vir a ser aproveitadas pelo professor-formador como instrumentos de avaliação, mas o objetivo primeiro delas é provocá-lo, desafiá-lo em seu processo de auto-aprendizagem.

Sua postura será essencial para o aproveitamento completo desta disciplina. Contamos com seu empenho e entu-siasmo para, juntos, desenvolvermos uma prática pedagógica significativa.

Setor de Material DidáticoCoordenação UAB / UNEB

?? VOCÊ SABIA?

??? ??? SAIBA MAIS

INDICAÇÃO DE LEITURA

SUGESTÃO DE ATIVIDADE

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ApRESENTAÇÃO

Sejam bem vindos ao estudo de mais um componente curricular: Álgebra I. As origens da Álgebra se encontram na antiga Babilônia, onde os matemáticos da época desenvolveram um sistema avançado que lhes permitiam fazer cálculos algébricos tais como a solução de equações lineares e quadráticas. A notação algébrica utilizada hoje teve início nos estudos de François Viète (1540 -1603) e foi configurada na forma atual por René Descartes(1596 – 1650). A Álgebra possui diversas ramificações, das quais estudaremos apenas a ramificação da Álgebra Abstrata. Esta é a parte da álgebra que estuda as estruturas algébricas como grupos, anéis e corpos. O termo abstrata é utilizada para diferenciar da álgebra elementar, estudada no ensino fundamental e médio, que tem a ver com operações de adição, multiplicação, etc., e regras para manipular variáveis e expressões algébricas (aritmética). Sendo assim, este módulo apresenta a você, em cinco capítulos, o mundo inicial da Álgebra Abstrata. Inicialmente estudaremos as relações binárias, com uma breve revisão sobre produto cartesiano. Estudaremos também relações binárias especiais: a relação de equivalência e a relação de ordem. Dando continuidade, estudaremos as operações internas definidas em um conjunto, com suas respectivas propriedades. Então, serão definidas as estruturas algébricas: monóide, grupóide, semigrupo, grupo, anel. Estudaremos então, para uma melhor compreensão, algumas destas estruturas, a saber, o grupo e o anel. Finalizando nosso estudo, conheceremos também as noções de domínio de integridade e corpo. Vale salientar que as imagens, tabelas, quadros ou figuras que não possuírem indicação foram construídos pelo próprio autor. Tenho certeza que está curioso(a) para conhecer este mundo fantástico da Álgebra. Tenha bons estudos e conte com a colaboração dos professores e tutores disponíveis para dirimir suas possíveis dúvidas. Um grande abraço.

Érica N. Macêdo

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SUMÁRIO

1 – Relações 13

1.1 – Produto cartesiano 13

1.2 – Relação binária 15

1.2.1 – Propriedades das relações binárias 20

1.3 – Relação de equivalência 23

1.3.1 – Classe de equivalência 24

1.4 – Relação de ordem 28

2 – Operação Interna 31

2.1 – Aplicações 31

2.2 – Operação sobre um conjunto 34

2.3 – Propriedades das operações em um conjunto 35

2.4 - Estruturas Algébricas 40

2.5 – Tábua de uma operação 42

3 - O conjunto Zm 51

3.1 – Relação de Congruência Módulo m 51

3.2 – Classe de Equivalência da Relação de Congruência 53

3.3 – Operações em Zm 55

3.3.1 - Adição em Zm 55

3.3.2 – Multiplicação em Zm 57

4 - Grupos 61

4.1 – Grupos Notáveis 65

4.1.1 - Grupo de Klein 65

4.1.2 – Grupo das Permutações 66

4.1.3 – Grupos Diedrais 68

5 – Anel e Corpo 76

5.1 – Anel 76

5.2 – Corpo 79

MATEMÁTICA

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?? VOCÊ SABIA?

O conjunto dos números irracionais também pode ser representado através da notação Q’.


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•Monóide

⟨𝐴𝐴,∗⟩ é um monóide sempre que a operação ∗ admitir a propriedade associativa e admitir também

elemento neutro. Todo monóide é um semigrupo com elemento neutro.

•Grupo

⟨𝐴𝐴,∗⟩ é um grupo sempre que a operação ∗ admitir a propriedade associativa, admitir elemento neutro e,

além disso, todo elemento do conjunto 𝐴𝐴 for simetrizável.

Em outras palavras, podemos dizer que todo grupo é um monóide, onde todo elemento admite simétrico

em relação à operação definida. Lembre-se que provamos, na proposição 2.11, que em um conjunto que admite

propriedade associativa em relação a uma operação ∗, todo elemento simetrizável é regular. Assim, podemos

afirmar que em um grupo, todo elemento é regular. Se, em um grupo, ∗ também admitir a propriedade

comutativa, dizemos que o par ⟨𝐴𝐴,∗⟩ é um grupo abeliano.

Neste curso, daremos maior ênfase ao estudo dos grupos. Verificaremos exemplos, propriedades dos

elementos, e em seguida, estenderemos o seu conceito, definindo mais de uma operação no mesmo conjunto.

Exemplos: (a) ⟨ℤ, +⟩ é um grupo, pois a adição em ℤ é associativa, possui elemento neutro, e todo

elemento é simetrizável. Além disso, como a adição de números inteiros é comutativa, este grupo é abeliano.

VOCE SABIA??

Niels Henrik Abel (Nedstrand, 25 de Agosto de 1802 — Froland, 6 de Abril de 1829) foi um matemático

norueguês. Seu pai, Søren Georg Abel, tinha licenciatura em teologia e filosofia e seu avô foi um ativo ministro

protestante em Gjerstad, próximo a Risør. Abel entrou na universidade em 1821, e formou-se em 1822. O

primeiro trabalho relevante de Abel consistiu em demonstrar a impossibilidade de resolver equações

algébricas de quinto grau usando raízes (ver Teorema de Abel-Ruffini). Foi esta, em 1824 sua primeira

investigação publicada, ainda que a demonstração era difícil e obtusa. Posteriormente se publicou de modo

mais elaborado no primeiro volume do Journal für die reine und angewandte Mathematik. Em 2002 foi

instituído em sua honra o prêmio Abel, outorgado todo ano aos matemáticos mais marcantes. Em sua

homenagem o grupo que satisfaz a propriedade comutativa passou a se chamar grupo abeliano.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel

•Monóide



•Grupo












VOCE SABIA??











•Monóide



•Grupo












VOCE SABIA??











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01. Construa as tábuas da adição e da multiplicação em ℤ𝑚𝑚, para cada 𝑚𝑚 dado abaixo. 𝑚𝑚 = 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11, 12 , 13 02. Nas tábuas acima, determine os pares de elementos simétricos e os elementos regulares para cada uma das operações. 03. Mostre que a operação multiplicação é distributiva (à direita e à esquerda) em relação à adição em qualquer conjunto ℤ𝑚𝑚 ; 𝑚𝑚 > 1. 04. Determine quais são os elementos simetrizáveis com respeito á multiplicação nos seguintes conjuntos: a) ℤ16 b) ℤ17 c) ℤ20 d) ℤ21 05. Em cada um dos conjuntos acima identifique os pares de elementos simétricos.


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O baricentro de um polígono é o ponto de intersecção das medianas que partem de cada um dos vértices. No caso do triângulo, temos três medianas e, portanto, o seu baricentro é o ponto de encontro destas três medianas.


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?? VOCÊ SABIA?

No quadrado o baricentro coincide com o circuncentro e o incentro!


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uma rotação com uma simetria, o resultado é sempre uma simetria, e ao compor duas simetrias, obtemos

uma rotação. Note também que este grupo é não abeliano. Você pode comprovar isto observando os cálculos

feitos anteriormente, visualizando que 𝑆𝑆2 ∘ 𝑆𝑆3 ≠ 𝑆𝑆3 ∘ 𝑆𝑆2.

Agora é com você! Que tal montar a tábua do grupo diedral do quadrado? Use as informações já vistas até

agora! Neste caso, o grupo diedral do quadrado tem ordem 8, e é dado por 𝐷𝐷4 = {𝑅𝑅0, 𝑅𝑅1, 𝑅𝑅2, 𝑅𝑅3, 𝑆𝑆1, 𝑆𝑆2, 𝑆𝑆3,

𝑆𝑆4}. Lembre-se que já calculamos as rotações e simetrias do quadrado que compões este grupo. Bom trabalho!

01. Sejam 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑥𝑥,𝑦𝑦 elementos de um grupo 𝐺𝐺. Mostre que as equações 𝑎𝑎𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 e 𝑥𝑥𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 admitem solução única, respectivamente igual a 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎′𝑏𝑏 e 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏𝑎𝑎′. Se 𝐺𝐺 é abeliano, mostre que estas soluções são iguais. 02. Sejam 𝑥𝑥,𝑦𝑦 elementos de um grupo abeliano 𝐺𝐺. Mostre que (𝑥𝑥𝑦𝑦)𝑛𝑛 = 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑦𝑦𝑛𝑛. 03. Sejam 𝐺𝐺, ⇔ um grupo e ⇐ uma outra operação em 𝐺𝐺 definida da seguinte forma: % 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ∠ 𝐺𝐺 tem-se 𝑎𝑎 ⇐ 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 ⇔ 𝑎𝑎 . Mostre que 𝐺𝐺, ⇐ também é um grupo. 04. Seja 𝐺𝐺 = { 𝐴𝐴 ,𝐵𝐵 ,𝐶𝐶 ,𝐷𝐷} e considere × , a multiplicação usual de matrizes.

𝐴𝐴 = �1 00 1� 𝐵𝐵 = �−1 0

0 1� 𝐶𝐶 = �1 00 −1� 𝐷𝐷 = �−1 0

0 −1�

a) Construa a tábua dessa operação e verifique que é uma operação interna em 𝐺𝐺. b) Determine elemento neutro, elementos regulares e pares de simétricos. c) Determine a ordem de cada um dos elementos. d) Verifique que 𝐺𝐺, × é um grupo abeliano. 05. Considere 𝑏𝑏, 𝑦𝑦 elementos de um grupo com elemento neutro 𝑤𝑤 para os quais vale as seguintes relações: 𝑦𝑦2 = 𝑏𝑏 e 𝑦𝑦13 = 1. Mostre, então, que 𝑦𝑦 = ( 𝑏𝑏6 )−1. 06. Considere o grupo 𝐸𝐸 = { 𝑓𝑓1 ; 𝑓𝑓2 ; 𝑓𝑓3 ; 𝑓𝑓4 }, onde:

𝑓𝑓1 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑� 𝑓𝑓2 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐

𝑑𝑑 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑐𝑐� 𝑓𝑓3 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑎𝑎� 𝑓𝑓4 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐

𝑐𝑐 𝑑𝑑 𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑏𝑏�

a) Construa a tábua da operação composição de funções em 𝐸𝐸. b) Determine o simétrico de cada um dos elementos de 𝐸𝐸. c) Determine a ordem de cada um dos elementos de 𝐸𝐸. d) Este é um grupo de Klein? 07. a) No conjunto 𝑆𝑆6 , determine as permutações 𝑓𝑓, 𝑔𝑔, ℎ:

𝑓𝑓 = �1 2 32 5 1 4 5 6

6 4 3�−1

ℎ = �1 2 34 1 2 4 5 6

3 6 5�2∘ �1 2 3

5 6 2 4 5 61 4 3�

−1

𝑔𝑔 = �1 2 35 6 2 4 5 6

3 4 1�−2

b) Determinar 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐,𝑑𝑑, 𝑒𝑒 em 𝑚𝑚 = �1 𝑎𝑎 6𝑎𝑎 6 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑒𝑒 3

𝑑𝑑 𝑐𝑐 𝑒𝑒� de modo que 𝑚𝑚 = 𝑓𝑓−2.

08. Determinar as rotações de cada um dos polígonos abaixo; a) pentágono; b) hexágono; c) heptágono; d) octógono; e) decágono. Construa a tábua do respectivo grupo das rotações de cada um dos polígonos acima.



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uma rotação com uma simetria, o resultado é sempre uma simetria, e ao compor duas simetrias, obtemos

uma rotação. Note também que este grupo é não abeliano. Você pode comprovar isto observando os cálculos

feitos anteriormente, visualizando que 𝑆𝑆2 ∘ 𝑆𝑆3 ≠ 𝑆𝑆3 ∘ 𝑆𝑆2.

Agora é com você! Que tal montar a tábua do grupo diedral do quadrado? Use as informações já vistas até

agora! Neste caso, o grupo diedral do quadrado tem ordem 8, e é dado por 𝐷𝐷4 = {𝑅𝑅0, 𝑅𝑅1, 𝑅𝑅2, 𝑅𝑅3, 𝑆𝑆1, 𝑆𝑆2, 𝑆𝑆3,

𝑆𝑆4}. Lembre-se que já calculamos as rotações e simetrias do quadrado que compões este grupo. Bom trabalho!

01. Sejam 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑥𝑥,𝑦𝑦 elementos de um grupo 𝐺𝐺. Mostre que as equações 𝑎𝑎𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 e 𝑥𝑥𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 admitem solução única, respectivamente igual a 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎′𝑏𝑏 e 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏𝑎𝑎′. Se 𝐺𝐺 é abeliano, mostre que estas soluções são iguais. 02. Sejam 𝑥𝑥,𝑦𝑦 elementos de um grupo abeliano 𝐺𝐺. Mostre que (𝑥𝑥𝑦𝑦)𝑛𝑛 = 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑦𝑦𝑛𝑛. 03. Sejam 𝐺𝐺, ⇔ um grupo e ⇐ uma outra operação em 𝐺𝐺 definida da seguinte forma: % 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ∠ 𝐺𝐺 tem-se 𝑎𝑎 ⇐ 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 ⇔ 𝑎𝑎 . Mostre que 𝐺𝐺, ⇐ também é um grupo. 04. Seja 𝐺𝐺 = { 𝐴𝐴 ,𝐵𝐵 ,𝐶𝐶 ,𝐷𝐷} e considere × , a multiplicação usual de matrizes.

𝐴𝐴 = �1 00 1� 𝐵𝐵 = �−1 0

0 1� 𝐶𝐶 = �1 00 −1� 𝐷𝐷 = �−1 0

0 −1�

a) Construa a tábua dessa operação e verifique que é uma operação interna em 𝐺𝐺. b) Determine elemento neutro, elementos regulares e pares de simétricos. c) Determine a ordem de cada um dos elementos. d) Verifique que 𝐺𝐺, × é um grupo abeliano. 05. Considere 𝑏𝑏, 𝑦𝑦 elementos de um grupo com elemento neutro 𝑤𝑤 para os quais vale as seguintes relações: 𝑦𝑦2 = 𝑏𝑏 e 𝑦𝑦13 = 1. Mostre, então, que 𝑦𝑦 = ( 𝑏𝑏6 )−1. 06. Considere o grupo 𝐸𝐸 = { 𝑓𝑓1 ; 𝑓𝑓2 ; 𝑓𝑓3 ; 𝑓𝑓4 }, onde:

𝑓𝑓1 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑� 𝑓𝑓2 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐

𝑑𝑑 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑐𝑐� 𝑓𝑓3 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑎𝑎� 𝑓𝑓4 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐

𝑐𝑐 𝑑𝑑 𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑏𝑏�

a) Construa a tábua da operação composição de funções em 𝐸𝐸. b) Determine o simétrico de cada um dos elementos de 𝐸𝐸. c) Determine a ordem de cada um dos elementos de 𝐸𝐸. d) Este é um grupo de Klein? 07. a) No conjunto 𝑆𝑆6 , determine as permutações 𝑓𝑓, 𝑔𝑔, ℎ:

𝑓𝑓 = �1 2 32 5 1 4 5 6

6 4 3�−1

ℎ = �1 2 34 1 2 4 5 6

3 6 5�2∘ �1 2 3

5 6 2 4 5 61 4 3�

−1

𝑔𝑔 = �1 2 35 6 2 4 5 6

3 4 1�−2

b) Determinar 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐,𝑑𝑑, 𝑒𝑒 em 𝑚𝑚 = �1 𝑎𝑎 6𝑎𝑎 6 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑒𝑒 3

𝑑𝑑 𝑐𝑐 𝑒𝑒� de modo que 𝑚𝑚 = 𝑓𝑓−2.

08. Determinar as rotações de cada um dos polígonos abaixo; a) pentágono; b) hexágono; c) heptágono; d) octógono; e) decágono. Construa a tábua do respectivo grupo das rotações de cada um dos polígonos acima.


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?? VOCÊ SABIA?

No anel ⟨ℤ𝑚𝑚, +, ⋅⟩ os divisores de zero são os elementos do tipo 𝑎𝑎 ≠ 0, tais que 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑎𝑎,𝑚𝑚) ≠ 1? Consequentemente, se p é primo, então o anel ℤ𝑝𝑝 não tem divisores de zero. Você pode provar esta afirmação. Tente! Tenho certeza que conseguirá.


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01. Resolva a equação 𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 + 6 = 0, considerando o conjunto universo 𝑈𝑈 = ℝ. Em seguida, resolva esta mesma equação (𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 + 6 = 0) considerando o conjunto universo 𝑈𝑈 = ℤ12 . 02. Mostre que todo domínio de integridade finito é corpo. 03. Seja 𝐴𝐴 = {𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑} um conjunto tal que:

•⟨𝐴𝐴, +, ⋅⟩ é um anel comutativo; •Os elementos neutros das operações + e ⋅ são, respectivamente, 𝑏𝑏 e 𝑐𝑐. •𝑐𝑐 + 𝑐𝑐 = 𝑏𝑏; 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 = 𝑏𝑏 e 𝑑𝑑 ⋅ 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏.

(a) Construa as tábuas das duas operações definidas em 𝐴𝐴. (b) Lembrando que num anel ⟨𝐴𝐴, +, ⋅⟩ se tem ⟨𝐴𝐴, +⟩ grupo, observe com atenção a tábua construída e identifique de que tipo especial é este grupo. (c) O quê se pode dizer sobre os elementos 𝑎𝑎, 𝑑𝑑 pertencentes a 𝐴𝐴? Justifique.



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REFERêNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. AYRES, Frank Jr. Álgebra Moderna. Coleção Schaum. São Paulo: MCGraw Hill do Brasil, 1995.

2. DOMINGUES, H. Fundamentos da Aritmética. 4ª Ed. São Paulo: Atual, 2003.

3. DOMINGUES, Hygino e IEZZI,Gelson. Álgebra Moderna. 2ª Ed. São Paulo: Atual,1982.

4. LANG, Serge. Estruturas Algébricas. Rio de Janeiro: Ao livro Técnico S.A., 1972.

5. SAMPAIO, João C.V. Estruturas Algébricas. Disponível: http://www.dm.ufscar.br/~sampaio/algebra.html , acesso em 30mai2010.

6. SODRE, Ulysses. Aplicação Binária. Disponível: http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/algebra/grupos.htm , acesso em 30mai2010.

7. Wikipédia, a enciclopédia livre. Disponível: http://pt.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel , acesso em 30mai2010.

8.Wikipédia, a enciclopédia livre. Disponível: http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra , acesso em 30mai2010.

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