-
1
Clase 1:
Introduccin
Clase 2:
Repaso de probabilidad de error en presencia de ruido AWGN
a. =
2+
2
ln(
0
1)
Repaso de espectro de un tren pulsado
Clase 3:
1. EL FILTRO ACOPLADO
Con el objeto de minimizar la probabilidad de error, se pasa en
algunos casos la seal
recibida por un filtro que maximice la relacin seal pico a ruido
antes de la toma de
decisin acerca del smbolo que se envi; Este dispositivo se
denomina filtro acoplado
y se analiza a continuacin.
Suponiendo que la entrada al filtro es tntf y que la salida es
tntf oo , se puede minimizar la probabilidad de error maximizando,
en el instante de tiempo mt , la relacin de potencia normalizada de
seal pico |()|
2a potencia normalizada de ruido
promedio tno2
tn
tf
o
mo
2
2
Si F es la transformada de tf y H la respuesta del filtro
entonces
HFFtfo1
Tal que
dtj
eHFtf mmo
2
1
Suponiendo que el ruido es blanco, su densidad espectral de
potencia est dada por
2
nS
Con = , = 1.3806 1023 / y la temperatura equivalente de ruido
del
sistema.
El valor cuadrtico medio del ruido a la salida estar dado
por
-
2
dHtno
22 22
1
Por lo tanto lo que se intenta maximizar es
dH
dtj
eHF
tn
tf
m
o
mo
2
2
2
2
Para hacer esto se hace uso de la desigualdad de Schwartz
dxxfdxxfdxxfxf2
2
2
1
2
21
En donde la igualdad se da cuando xkfxf 21
De la desigualdad mencionada se concluye que
dFdHdtj
eHF m22
2
Sustituyendo se tiene
dF
tn
tf
o
mo
2
2
2
De tal manera que
2
2
max
2
2
E
dF
tn
tf
o
mo
En donde E es la energa normalizada de la seal (para una carga
de 1 ) y la igualdad se cumple si
mtjekFH
-
3
De este resultado se concluye que deben atenuarse fuertemente
los intervalos en donde la
densidad espectral de la seal es pequea y poco donde ocurre lo
contrario, que las
componentes en frecuencia deben sumarse exactamente en fase en
mtt y que, adems
ttkf
HFth
m
1
El comportamiento del filtro acoplado se muestra en la
ilustracin 1:
Ilustracin 1: comportamiento del filtro acoplado
En el instante mt la seal de salida estar dada por
EdFtf mo 2
2
1
Y, por tanto, el ruido por
-
4
2
2 Etno
El filtro acoplado se puede construir de manera aproximada con
un filtro transversal de
retrasos cuya salida est dada por
N
k
khktftg0
En donde en este caso se tiene que las ganancias del filtro
transversal estarn dadas por
ktfkh m
El filtro acoplado puede obtenerse de manera alterna con el
siguiente razonamiento:
Sea tntfty la entrada del filtro. La salida estar dada por
mfy
m
m
ttr
dtytf
ttftytg
Lo que conduce a una implementacin como la que se muestra en la
ilustracin 2.
Suponiendo que la seal y el ruido no estn correlacionados se
tiene
mff ttrtg
Y en este caso el pico de salida estar dado por 0ffr en mtt
Ilustracin 2: Implementacion del filtro acoplado como un
correlador.
INTRODUCCIN
Para transmitir informacin a travs del aire se siguen tres pasos
principales
Se genera una portadora pura en el transmisor
Se modula la portadora con la informacin a ser transmitida
generando un cambio detectable de manera confiable en alguna
caracterstica de la portadora
En el receptor los cambios son detectados y desmodulados.
-
5
Las caractersticas a ser cambiadas pueden ser la amplitud, la
frecuencia o la fase. Estas
variaciones se pueden representar en un grfico de la funcin
contra el tiempo (diagrama
temporal) o por medio de un diagrama polar (ver ilustracin 3)
que permite visualizar
simultneamente las variaciones de amplitud y de fase con
respecto a una seal de
referencia que en este caso es la seal portadora. En este grfico
la portadora se convierte
en una referencia de frecuencia y fase y la seal es interpretada
con relacin a la portadora.
La seal puede ser representada como una magnitud y una fase. La
fase es relativa a una
seal de referencia que normalmente es la seal portadora. La
amplitud es un valor
absoluto o relativo. Los diagramas polares son la base de muchos
despliegues usados en
comunicaciones digitales, aunque es comn describir el vector de
seal por sus
coordenadas rectangulares I y Q.
Ilustracin 3: diagrama polar usado para representar una
modulacin
En AM la amplitud de la portadora varia en proporcin a la
amplitud instantnea de la seal moduladora
Ilustracin 4: Diagrama temporal de una modulacin de amplitud
Ilustracin 5: Diagrama polar de una modulacin de amplitud
En FM y PM la amplitud de la portadora se mantiene constante
mientras que la frecuencia o la fase de la portadora son variadas
en funcin de la seal moduladora.
FM es la tcnica ms popular de modulacin anloga usada en sistemas
de
comunicaciones mviles.
-
6
Ilustracin 6: diagrama temporal de las modulaciones
angulares
Ilustracin 7: Diagrama polar de las modulaciones angulares
anlogas
La amplitud y la fase de la portadora se pueden modular
simultnea y separadamente pero esto es difcil de lograr y
especialmente difcil de detectar.
Ilustracin 8: representacin temporal de la modulacin de amplitud
y fase
Ilustracin 9: Diagrama polar de la modulacin de amplitud y
fase
Por esta razn en sistemas prcticos, la seal es separada en un
conjunto de componentes
independientes: I (en fase) y Q (en cuadratura). Estas
componentes son ortogonales y no
se interfieren entre s.
La modulacin digital consiste fundamentalmente en la modificacin
de la amplitud, la frecuencia (o la fase) o una combinacin de estas
a una portadora de
tipo sinusoidal en funcin de un tren de datos digitales.
La modulacin digital es expresada generalmente en trminos de I y
Q. Esta es una
representacin rectangular del diagrama polar. Sobre un diagrama
polar, el eje I yace
sobre la referencia de cero grados y el eje Q est rotado 90
grados. La proyeccin del
vector de seal en el eje I es la componente I y la proyeccin en
el eje Q es la componente
Q.
-
7
Ilustracin 10: representacin rectangular de una modulacin
digital
La mayora de las modulaciones digitales mapean los datos a un
nmero de puntos
discretos en el plano I/Q. Estos se conocen como los puntos de
la constelacin. A medida
que la seal se mueve de un punto a otro resulta usualmente una
modulacin de amplitud
y fase. Realizar esto con un modulador de amplitud y un
modulador de fase es difcil y
complejo. Es tambin imposible con un modulador de fase. La
modulacin digital es fcil
de construir con moduladores I/Q como se ilustra en la
ilustracin 11.
Ilustracin 11: Modulador en cuadratura (I/Q)
Ilustracin 12: demodulador en cuadratura
La mayora de los sistemas de modulacin digital caen en una de
tres categoras:
Eficientes en el ancho de banda, eficientes en potencia o
eficientes en costo.
-
8
La eficiencia en ancho de banda describe la habilidad de un
esquema de modulacin
para acomodar los datos dentro de un ancho de banda
limitado.
La eficiencia en potencia describe la habilidad de un sistema
para enviar confiablemente
informacin al ms bajo nivel de potencia prctico.
El parmetro a ser optimizado depende de las demandas del sistema
particular, como
puede verse en los siguientes dos ejemplos:
Para los diseadores de radios de microondas terrestres digitales
sus ms altas
prioridades son una buena eficiencia de ancho de banda con una
rata de error baja, ya que
se dispone plenamente de potencia y por tanto la eficiencia en
sta no les interesa, adems
de que no les preocupa ni el costo ni la complejidad ya que no
tienen que construir grandes
cantidades de estos equipos.
Por otro lado los diseadores de telfonos celulares porttiles
ponen alta prioridad en la
eficiencia en potencia ya que estos dispositivos trabajan con
bateras, adems los celulares
deben ser de bajo costo para lograr que ms usuarios los compren,
por lo tanto estos
sistemas sacrifican la eficiencia en ancho de banda para obtener
eficiencia en costo y en
potencia. Cada vez que uno de los parmetros de eficiencia se
incrementa (ancho de
banda, potencia o costo) otro se reduce o viceversa.
2. VENTAJAS Y DESVENTAJAS: 2.1. POR QU LA MODULACIN DIGITAL?
Adems de las ventajas de la modulacin anloga (posibilidad de
radiar, mayor eficiencia
en el uso del espectro, etc.), moverse de modulacin anloga a
modulacin digital provee:
Mayor capacidad de informacin (por disponer de mayor ancho
de
banda)
Compatibilidad con servicios de datos digitales
Mayor seguridad en los datos
Mejor calidad en las comunicaciones
Los diseadores de sistemas de comunicaciones enfrentan estas
restricciones:
Ancho de banda disponible
Potencia permisible
Nivel inherente de ruido del sistema
El espectro de radiofrecuencia debe ser compartido; cada da hay
ms usuarios para aquel
espectro a medida que la demanda por servicios de comunicaciones
se incrementa. Los
esquemas de modulacin digital tienen una capacidad ms grande de
portar grandes
cantidades de informacin que los esquemas anlogos de
modulacin.
-
9
2.2. COMPROMISO ENTRE LA SIMPLICIDAD Y EL ANCHO DE BANDA
Hay un compromiso fundamental en los sistemas de comunicacin. El
hardware simple
puede usarse en transmisores y receptores para enviar
informacin, sin embargo este usa
una gran cantidad de espectro que limita el nmero de usuarios.
Alternativamente
transmisores y receptores ms complejos pueden usarse para
transmitir la misma
informacin sobre un ancho de banda menor. La transicin a tcnicas
ms y ms eficientes
espectralmente requiere hardware ms y ms complejo., el cual es
ms difcil de disear,
probar y construir. Este compromiso existe tanto si las
comunicaciones son sobre el aire
o por cable, anlogos o digitales
Ilustracin 13: relacin inversa ancho de banda-complejidad
3. MODULACIONES DIGITALES
En el caso de seales binarias se tienen tres versiones bsicas:
ASK, PSK y FSK, con
mltiples variantes entre las cuales algunas de ellas pueden usar
seales moduladoras de
ms de dos niveles. A continuacin se analizan algunos de estos
tipos de modulacin
desde el punto de vista de la probabilidad de error y de la
eficiencia espectral.
3.1. Conmutacin por desplazamiento de amplitud (ASK):
Se cambia la amplitud de una portadora de alta frecuencia en
funcin de un cdigo PCM,
como se muestra en la ilustracin 14.
Ilustracin 14: Diagrama temporal de ASK
La seal para un pulso (un uno binario) puede expresarse por
caso. otrocualquier En 0
0 TttAsent
c
-
10
La densidad espectral de potencia de ASK es idntica a la de la
sealizacin NRZ
centrada alrededor de la frecuencia de la portadora y por lo
tanto el ancho de banda se
duplica con respecto al del tren PCM. La mxima eficiencia
espectral ser de 1 bps/Hz,
aunque los sistemas reales utilizan un ancho de banda superior a
este en dos o tres veces
y por lo tanto la eficiencia espectral es menor.
La respuesta al impulso del filtro acoplado para la deteccin
ptima de esta forma de onda
est dado por
tTth
La salida de este filtro para la seal de entrada sin ruido estar
dada por
tTr
thtty
Ilustracin 15: Demodulacin de ASK usando un filtro acoplado
Y por tanto en Tt la salida est dada por
ruidoETy Para un uno y
ruidoTy Para un cero
La probabilidad de error en presencia de ruido Gaussiano estar
dada en este caso por
N
SErfc
EErfcPe
2
2
Dado que BN y que en este caso T
B1
-
11
Esta probabilidad de error es igual que en el caso binario con
sealizacin no retorno a
cero.
Si se utiliza deteccin de envolvente, ms simple, se logra una
probabilidad de error dada
por
22
14
exp21 EErfcE
eP
En este caso solo debe sacrificarse del orden de un 1 dB en la
relacin S/N para
probabilidades de error inferiores a 410
3.2. Conmutacin por desplazamiento de frecuencia (FSK)
En este tipo de modulacin el 1 lgico se representa por una
frecuencia y el 0 lgico se representa por otra frecuencia diferente
como se muestra en la ilustracin 16.
Ilustracin 16: Diagrama temporal de la modulacin FSK
La FSK binaria puede considerarse como la superposicin de dos
ASK de diferentes
frecuencias, como se observa en la ilustracin 17.
Ilustracin 17: FSK como superposicin de dos seales ASK
En este caso para enviar los smbolos binarios se utilizan una de
dos seales sinusoidales
caso. otrocualquier En 0
0 Para 01
TttmAsentf
caso. otrocualquier En 0
0 Para 02
TttnAsentf
-
12
El receptor utiliza dos filtros acoplados.
Ilustracin 18: Demodulacin de FSK usando dos filtros
acoplados
Ilustracin 19: Demodulacin de FSK usando dos correladores
La energa media por dgito binario est dada por
2
2
0
0
22
TA
dttmsenAE
T
En = uno de los dos filtros acoplados producir salida ( ruidoE )
y el otro producir solo ruido de tal manera que el detector de
umbral recibir una seal con una
funcin densidad de probabilidad Gaussiana con media E con la
nica diferencia que los voltajes de ruido se restan a la salida
(sumando realmente sus potencias por ser
independientes) de tal manera que la potencia de ruido
(varianza) resultar
multiplicada por 2, o sea
En 2
En este caso la probabilidad de error est dada por
EErfc
dyE
Ey
EP ee
0
2
2
1
2
-
13
Esto implica que con base en la energa promedio de bit el
comportamiento de la seal
FSK es idntico al de la ASK. Sin embargo se requiere una
potencia pico inferior en
3 dB a la ASK.
El oscilador del receptor en el filtro acoplado debe estar
sincronizado con el del
transmisor, lo cual se puede lograr usando un PLL como se
observa en la ilustracin 20.
Ilustracin 20: Demodulacin de FSK usando dos PLL
Sin embargo se puede utilizar solo la magnitud de la respuesta
del filtro acoplado y
deteccin de envolvente como se observa en la ilustracin 21.
Ilustracin 21: Demodulacin de FSK usando deteccin de
envolvente
En este caso la probabilidad de error est dada por
2exp
21
EPe
Se origina en este caso un costo del orden de 1 dB en la S/N
para lograr la misma
probabilidad de error, esta caracterstica lo hace muy usado.
Con ste mtodo el espaciado en frecuencia debe ser del orden de
12 fT , para evitar
un traslape significativo entre los dos filtros, siendo f2 la
diferencia entre las dos
frecuencias utilizadas.
La separacin ptima de frecuencias est dada por el siguiente
razonamiento:
La salida pasa bajos del detector sincrnico est dada por cuando
se recibe un 1 est dada
por
-
14
T
mnmnTmn
TmnsenTAdttnAsentmAsentnAsen
0 0
0
2
000 , para 12
Lo que implica que para que las frecuencias sean ortogonales (o
sea que el segundo
trmino sea cero) se requiere que
Tmn 0
ciclos 2
10 Tfmn
O sea
ciclos 2
12
Tf
La separacin de frecuencia mnima para lograr que las dos
frecuencias usadas sean
ortogonales debe ser tal que al menos haya una diferencia de
medio ciclo en el intervalo
de un bit.
En sistemas pasa banda en los que c y 1Tc (FSK _ mx.) se puede
rescribir la probabilidad de error as:
ETSErfcP ae 21
El trmino que modifica la relacin seal a ruido tiene un valor
mximo cuando
2
32
T
ciclos 4
32 fT
Lo que implica que para lograr la mnima probabilidad de error se
requiere de unos tres
cuartos de ciclo de diferencia en un intervalo de sealizacin T.
En este caso
EErfcPe 21.1
El ancho de banda de FSK depende de la separacin de frecuencias
utilizadas. Para hacer
el anlisis espectral se expresa la seal FSK de la siguiente
manera alternativa:
-
15
t
c dttpAsentf0
En donde
2/)( 0 mnc , 02 nm
Y tp es una funcin binaria aleatoria con valores 1 . En el caso
que estos dos valores
de tp ocurran de manera alternada, ocurre un cambio peridico de
frecuencia y se puede hacer un anlisis como el del ejemplo 6.3.3
Pg. 296 de Stremler,
Ejemplo 6.3.3 Pg. 296
La modulacin FSK puede analizarse por los mtodos de anlisis de
FM si el
desplazamiento en frecuencia es peridico. Por conveniencia se
elige como seal
moduladora una onda peridica cuadrada de amplitud unitaria. Se
desea hallar el espectro
resultante.
Ilustracin 22: Seal moduladora para el ejemplo
tftfkt cfci
tt
dftdt
c
t
c
t
i
00
Ilustracin 23: Fase resultante en FSK con una seal moduladora
tren de pulsos peridica
Dnde:
-
16
() = {()
4< < /4
() (
2 )
4< < 3/4
La seal modulada puede expresarse como
() = {()} = {()}
La funcin de fase t es peridica con periodo T y puede expresarse
en series de Fourier as:
() = 00 = 2/
=
=1
()0
3/4
/4
De la expresin de t , se obtiene
=1
2 { [
2 (1 )] + (1)
[
2 (1 + )]}
Dnde:
1
0
Y puede escribirse
() = {
0
=
}
() = ( + 0)
=
Lo que conduce a un espectro como el mostrado en la ilustracin
24 para 12 fT .
-
17
Ilustracin 24: Magnitud del espectro de una onda peridica
FSK
El espectro de FSK es complicado de hallar pero se pueden
mostrar algunas tendencias:
Si fT2 es bajo la DEP tiene un solo pico centrado en la
frecuencia de la
portadora y decrece suavemente a su alrededor.
Si fT2 aumenta, disminuye el pico central y aparecen picos
alrededor de la
frecuencias de desviacin ffc
La DEP es continua para ondas binarias aleatorias, excepto para
el caso de
mfT 2 con m entero en donde aparecen impulsos en las dos
frecuencias
transmitidas lo cual se evita.
Los sistemas no coherentes utilizan un 12 fT y los coherentes
122
1 fT
para minimizar el ancho de banda necesario y obtener ventajas en
la relacin S/N.
-
18
El ancho de banda no deber calcularse con la regla de Carlson y
para 12 fT el
ancho de banda requerido ser mayor que f2 pero puede ser menor
que el
ancho de banda bilateral de la seal moduladora.
La FSK se utiliza universalmente en los mdems de baja velocidad
por su eficiencia en la potencia pico y simplicidad.
o Para 300 bps las frecuencia utilizadas son de 1070, 1270 y
2025 y 2225 Hz para transmisin dplex
o En canales telefnicos para ratas de 1200 bps se usan
frecuencias de 1200 y 2200 en modo semidplex
o Para ratas mayores (1800 bps) se requieren lneas telefnicas
acondicionadas.
Estndar bps Fecha Descripcin
V.17 14.400 Para transmisiones Fax a travs de la lnea
telefnica
V.21 300 Transmisin de datos por lneas telefnicas
V.22 1.200 Transmisin de datos por lneas telefnicas y lneas
dedicadas
V.22bis 2.400 1984 Transmisin de datos por lneas telefnicas
dedicadas
V.23 600/1.200 Transmisin de datos por lneas telefnicas y
dedicadas.
V.25 Estndar para llamada y contestacin automtica.
V.26 2.400 Transmisin de datos por lneas dedicadas.
V.26bis 1.200/2.400 Transmisin de datos por lneas telefnicas
V.26ter 2.400 Transmisin de datos por lnea telefnica y
dedicada
V.27 4.800 Transmisin de datos por lnea dedicada.
V.27bis 2.400/4.800 Transmisin de datos por lnea dedicada.
V.27ter 2.400/4.800 Transmisin de datos por lnea telefnica.
V.29 9.600 Transmisin de datos por lnea dedicada.
V.32 9.600 1984 Transmisin de datos por lnea telefnica.
V.32bis 14.400 1991 Transmisin de datos por lnea telefnica
utilizando
comunicacin sncrona
V.32ter 19.200 1993 Se comunicar slo con otro V.32 ter.
V.33 14.400 1993 Transmisin de datos por lnea dedicada.
V.34 28.800 1994 Transmisin de datos por lnea telefnica con
la
posibilidad de bajar la velocidad cuando haya
problemas con la lnea
V.35 48.000 Transmisin de datos por lnea dedicada
V.42 57.600 1995 Compatible con versiones de V. mdems
anteriores.
Estndar con correccin de errores en lneas ruidosas
V.42bis 56.600 Comprensin de datos 4:1 para transferencias de
alta
velocidad
V.90 56.600 1998 Estndar de mdem a 56K; resolvi la
competencia
para los estndares entre los estndares U.S. Robotics
X2 y Rockwell K56 Flex.
Tabla 1: Mdems telefnicos
3.3. Conmutacin por desplazamiento de fase (PSK)
-
19
La modulacin FSK binaria aunque genera en el receptor seales
simtricas con respecto
a cero no logra obtener la eficiencia en cuanto al
comportamiento al ruido del PCM polar
de banda base.
Para obtener las formas de onda modulada que producen esta
mejora se analiza el
comportamiento del receptor con filtro acoplado que trabaja con
la diferencia entre dos
seales. Sea
Tttftftg 0 21
En donde 1 tf y tf2 se usan para transportar la informacin
binaria. La razn seal pico a ruido a la salida del filtro acoplado
est dada por
2
2
max
2
2
E
dG
tn
tf
o
mo
Y del teorema de Parseval
dttgdG22
2
1
As
Las dos primeras componentes representan la energa de cada uno
de los smbolos y se
hace igual, es decir
EdttfdttfTT
0
2
2
0
2
1
Se concluye que la relacin seal pico a ruido es mxima cuando
tftf 12
Estas seales se llaman antipdicas, tienen la misma forma pero
son de polaridad opuesta
y requieren la mnima relacin para una probabilidad de error
determinada. FSK
T TT
T
o
mo
dttftfdttfdttf
dttftf
tn
tf
0 0
21
0
2
2
2
1
0
2
21
max
2
2
22
2
-
20
cumple con la primera de las dos ecuaciones previas pero no la
segunda y por tanto no es
ptima.
En la modulacin PSK la fase se alterna entre dos o ms valores en
respuesta al cdigo
PCM, acostumbrndose un desfase de 180 en el caso binario debido
a que simplifica el
diseo del modulador, envindose una de dos seales:
tAsent c 1 tAsent c 2
Ilustracin 25: Diagrama temporal de una seal PSK
Esto satisface los criterios vistos para lograr la mnima
probabilidad de error.
La seal se desmodula utilizando un detector de correlacin
Ilustracin 26: Demodulacin de PSK usando un correlador
En este caso la varianza del ruido est dada por 2
2 Etno
y la probabilidad de error por
EErfcPe
2
Concluyndose que el desempeo es igual que el polar de banda base
y que para la misma
probabilidad de error se requiere la mitad de la potencia que en
FSK y ASK.
Se puede hacer una representacin ms general de PSK binaria
tptAsent c
Con un valor cualquiera de (0 2 ) y tp una secuencia binaria
aleatoria (() = 1).
En esta representacin se define un ndice de modulacin m as:
-
21
cosm
Con
10 m
Como
mm 1coscos
Y
21- 1cossen mm
Se tiene que
tAmtptmAsent cc cos1 2
Esto implica que se le asigna una porcin 2m de la potencia total
a la portadora. La salida
del correlador estar dada por
senTAdtttsenA cT
c cos2
21
0
2
Por tanto las funciones densidad de probabilidad estarn
centradas alrededor de
senTA 221 y la probabilidad de error estar dada por
= 1
22
0
(+())
2
/12
2
2
2
mEErfc
EsenErfcPe
Esto implica que asignar una fraccin de potencia a la portadora
deteriora la relacin seal
a ruido y por lo tanto aumenta la probabilidad de error.
La desventaja de la PSK es que se necesita deteccin sincrnica,
pero la porcin de la
potencia que se enva en la portadora es til en este caso para
recuperar el sincronismo
(PLL).
Si el desfase es de 180 (PRK) se tiene una densidad espectral
bilateral sin una lnea en
la frecuencia de la portadora, de tal manera que si se modula
con un tren NRZ bipolar se
tiene
-
22
2
22
21
2
22
21 Tca
Tca STASTAS
La eficiencia espectral es de 1 bps/Hz. Para recuperar la
portadora necesaria en el
detector de correlacin se usa un dispositivo de ley cuadrtica
seguido de divisor de
frecuencias.
Ilustracin 27: Demodulacin de PRK
Otro mtodo para recuperar la portadora es el lazo de costas.
El problema de la sincronizacin de portadora se soslaya usando
PSK diferencial
enviando las diferencias consecutivas de fases. Se asigna un
valor inicial de fase al tren y
si ocurre un uno a la entrada no hay cambio, y por el contrario
ocurre un cambio de fase
si llega un cero.
Ilustracin 28: DPSK y su demodulacin
Cdigo
PCM de
entrada
1 0 1 1 0 1 0 0 1
Cdigo
diferencial 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1
Fase 0 0 0 0 0 0 Tabla 2: Modulacin DPSK
En este caso los errores tienden a ocurrir por pares ya que un
error en un smbolo
puede hacer que ocurra un error en el siguiente.
La probabilidad de error en DPSK est dada por:
E
eP exp
21
Para recuperar la sincrona de smbolo en el caso de usar NRZ se
puede usar un circuito
como el de la figura
-
23
Ilustracin 29: Recuperacin del sincronismo de smbolo para
modulacin NRZ
Comparacin entre los tres sistemas de modulacin digital
previos
Los transmisores ASK son fciles de construir y tienen la ventaja
de que no se
consume potencia cuando no se envan datos. Aplicacin en sistemas
miniatura
telemtricos. Se necesita AGC (control automtico de ganancia) en
el receptor cuando
hay desvanecimiento selectivo (FADING).
Los transmisores de FSK, ASK y PSK son similares en cuanto a la
complejidad.
A pesar de que PSK es mejor en cuanto que requiere menor
potencia para una
probabilidad de error dada, el receptor es ms complejo porque
requiere sincronismo
y mecanismos de recuperacin de la portadora, sin embargo el PSK
diferencial permite
un receptor ms econmico.
Ninguno de los mtodos de modulacin binaria es eficiente en
cuanto al ancho de
banda
Los tres mtodos ms empleados para la comunicacin digital son
PSK, DPSK y
FSK no coherente.
Ilustracin 30: Probabilidad de error para las modulaciones
digitales bsicas
3.4. Modulaciones multinivel
El objetivo de las modulaciones multinivel es aumentar la
eficiencia espectral con
respecto a la de los sistemas binarios.
3.4.1. AM en cuadratura y PSK cuaternaria
-
24
En esta modulacin se genera una seal con cuatro fases diferentes
para
representar dos bits simultneamente. La constelacin resultante
se muestra en la
figura
Ilustracin 31: a) portadora sin modular, b) portadora modulada
en fase, C) portadora modulada
en cuadratura, d) QAM/QPSK
El modulador se basa en un modulador en cuadratura como se
muestra en la figura
Ilustracin 32: Modulador QAM/QPSK
La densidad espectral de potencia de QAM con una entrada
aleatoria NRZ est dada por
2
2/
2/
sc
scx
T
TsenCS
La eficiencia espectral en este caso es de 2 bps/Hz.
Como se envan 4 seales diferentes, en la recepcin se requieren
dos filtros de
correlacin.
-
25
Ilustracin 33: Demodulador QAM/QPSK
La salida del correlador est dada por
22
2
1
ss
TATy
Con unas probabilidades de error en cada salida dadas por
s
e
EErfcP 1
La probabilidad de recibir correctamente ambos datos est dada
por el producto de las
probabilidades de que ambos correladores den resultados
correctos.
21 11 eec PPP
121 ec pP
Y por tanto la probabilidad de error ser 12 eP que resulta ser
igual al caso de PSK binario
porque se estn recibiendo dos bits al mismo tiempo
Para evitar la variacin de amplitud en las transiciones de fase
se usa el filtro pasa banda
a la salida del modulador, el cual no es til si el transmisor
tiene una etapa de salida no
lineal; con el mismo objetivo tambin se puede usar un modulador
que introduzca un
retardo de un tiempo de bit en uno de los brazos del modulador
(OFFSET QPSK)
haciendo que la transicin mxima de fase sea de 90 grados lo que
produce menor
fluctuacin en la envolvente.
En la demodulacin es necesario tener disponible la portadora y
por lo tanto debe
recuperarse esta de la seal modulada utilizando por ejemplo el
lazo de costas
-
26
Ilustracin 34: Lazo de Costas
3.4.2. PSK
Se utiliza un conjunto de seales sinusoidales desplazadas un
ngulo
M
M
Mi
12,..,
2,0
Ilustracin 35: Constelacin para MPSK
La densidad espectral de potencia en este caso est dada por
2/22 scas TSTAS
El ancho de banda mnimo sFB min y por lo tanto se tiene una
eficiencia espectral dada por
MB
fb2
min
log Bps/Hz.
-
27
La probabilidad de error de smbolo est dada por
Msen
EErfcP se
222
De aqu se concluye que la probabilidad de error de bit est dada
por
M
PP eeb
2log
2
M = 104 = 10
5
2 6.92 9.10
4 7.57 9.75
8 17.2 22.2
16 49.7 64.1
32 158.0 203.0
64 523.0 673.0
Tabla 3: Requerimientos de la SNR de la MPSK para razones de
error fijas
Ilustracin 36: Probabilidad de error para MPSK
3.4.3. Modulacin de amplitud-fase (APK)
Ventaja: Menor potencia que en PSK para una determinada
probabilidad de error.
Desventaja: Mayor complejidad del equipo.
-
28
Ilustracin 37: Constelacin para APK
Se genera con un conversor de binario a M niveles que luego
modula un sistema
QPSK. Otro sistema de generacin puede ser el de la ilustracin
10
Ilustracin 38: Modulador APK y constelacin resultante
Se desmodula con un sistema como el mostrado en la ilustracin
39
Ilustracin 39: Diagrama de bloques de un demodulador APK.
-
29
Ilustracin 40: Probabilidad de error para distintos tipos de
modulacin digital de fase.
3.4.4. FSK ortogonal M_aria
Se transmite un smbolo cada intervalo sT,0 utilizando una seal
de un conjunto de seales ortogonales de diferentes frecuencias con
una separacin mnima de
s
nmT
2
2
1
s
s
nm
R
Tff
Esto implica un requerimiento de ancho de banda mnimo sT
MB
2min , en donde
MTT bs 2log y por lo tanto la eficiencia espectral ser
=
=22
/
El receptor ptimo
-
30
Ilustracin 40: Demodulacin de MFSK
En este caso la probabilidad de error est dada por
dzeeP
ME
z
dyyz
Me
s
1
2
2211
2
M = 104 = 10
5
2 13.8 18.2
4 7.94 10.1
8 5.82 7.29
16 4.72 5.83
32 4.04 4.94
64 3.58 4.34
128 3.25 3.91
256 3.00 3.58
512 2.81 3.33
1024 2.65 3.12
0.69 0.69
Tabla 4: valores de relacin seal a ruido necesaria para lograr
una determinada probabilidad de
error en MFSK
-
31
Ilustracin 41: Probabilidad de error para MFSK
Se observa un intercambio de potencia por ancho de banda.
Comparacin de los distintos mtodos de modulacin digital
En la ilustracin 45 se comparan algunos tipos de modulacin
digital en cuanto a la
complejidad y en la tabla 5 se muestra el comportamiento real de
algunos tipos de
modulacin digital en cuanto a los requerimientos de SNR tericos
y prcticos y en cuanto
a la eficiente espectral real.
Ilustracin 43: Comparacin de algunos sistemas de modulacin
digital desde el punto de vista de
la complejidad
Tipo de modulacin Sistema ideal Sistema de banda limitada
-
32
()
()
(/)
BPSK 8.4 9.4 0.8
DE_PSK 8.9 9.9 0.8
DPSK 9.3 10.6 0.8
OOK-Coherente 11.4 12.5 0.8
MSK 8.4 9.4 1.9
QAM 8.4 9.5 1.7
QPSK 8.4 9.9 1.9
MSK-codificacin diferencial 9.4 10.4 1.9
DQPSK 10.7 11.8 1.8
8PSK 11.8 12.8 2.6
QPR 10.7 11.7 2.25
16APK 12.4 13.4 3.1
16PSK 16.2 17.2 2.9
Tabla 5: comparacin de varios sistemas de modulacin en cuanto a
los requerimientos ideales y
reales de SNR y la eficiencia.
1. Bibliografa: 1.1. Stremler, Ferrel G. Sistemas de comunicacin
1.2. Schwartz, Mischa. Transmisin de informacin, modulacin y ruido.
1.3. Sklar, Bernard. Digital communications, fundamentals and
applications. Ed. Prentice Hall.
1.4. Cowch, Len W. Sistemas de comunicacin digitales y
analgicos. Ed prentice Hall.
1.5. Bellamy, John. Digital telephony. Ed. John Willey. 1.6.
Abramson, Norman. Teora de la informacin y codificacin. Ed.
Paraninfo.
1.7. Herrera, Enrique. Fundamentos de ingeniera telefnica.
