Modul 5 Konsep Paket Gelombang

Catatan Kuliah Fisika Modern

Oleh: Annisa Aprilia | Konsep Paket Gelombang

1

MODUL 5. KONSEP PAKET GELOMBANG

“Gelombang dan Presentasi Matematikanya”

PRINSIP HUYGENS

Menghipotesakan bahwa cahaya memerlukan zat perantara sebagai wadah perambatannya.

Huygens menerangkan bahwa cahaya merambat menurut garis lurus. Selain itu menerangkan

pula mengenai pembiasan berkas cahaya pada permukaan batas dua zat perantara dengan

indeks bias yang berbeda.

PRINSIP SUPERPOSISI UNTUK GELOMBANG:

Bilamana dua buah gelombang atau lebih, bekerja secara serentak pada suatu titik tertentu

dalam ruang, maka perubahan yang timbul dari hasil kerja sama gelombang-gelombang itu

sama dengan jumlah vektor perubahan yang dihasilkan oleh masing-masing gelombang itu

sendiri di titik tersebut.

Beberapa istilah mengenai zat perantara gelombang disertakan di bawah ini:

Isotropis: Apabila disetiap satu titik kecepatan rapat gelombang sama untuk semua

frekuensi.

Homogen dan Isotropis: Kecepatan rambat gelombang sama untuk semua frekuensi.

Non-dispersif: Bila kecepatan gelombang sama untuk semua frekuensi.

Dispersif: Bila kecepatan rambat gelombang bergantung dari frekuensi. Salah satu

contoh dispersif adalah terurainya cahaya matahari setelah menembus prisma.

MATEMATIKA GELOMBANG

Ungkapan matematika gelombang berjalan dalam satu dimensi dapat diperoleh, dengan

contoh sebagai berikut:

Suatu fungsi dari x dapat diungkapkan dengan notasi (x).

Jika posisi berubah terhadap waktu, dimana x = x0 –vt, maka dapat fungsi gelombang tersebut

ditulis menjadi : (x) = (x-vt)

x = koordinat kedudukan,



2

t = waktu,

dan v = merupakan kecepatan rambat gelombang dalam arah sumbu-x.

Ilustrasi:

Gambar 5.1 Ilustrasi gelombang dengan fungsi (x) = (x-vt) merambat searah sumbu x

positif.

Gelombang harmonik adalah bentuk yang khusus, direpresentasikan sebagai:

(x, t) = A e ) (5.1)

k = vektor gelombang

= frekuensi gelombang

A= Amplitudo gelombang

= cepat rambat gelombang.

Gelombang yang direpresentasikan dengan persamaan tersebut memiliki keberkalaan ruang

x dan waktu t. Sehingga akan terlihat:

(x, t) = A e )e pada t = 0

(x, t) = A e ) (5.2)

Bila pada t = 0 tersebut nilai (x, t) = (x + ) , maka

(x, 0) = (x + , 0)

A e ) = A e ) (5.3)

Memberikan ungkapan bagi panjang gelombang: =



3

Terlihat bahwa di suatu kedudukan x0 dan harga ( , 0) pada saat t, dan T +t, adalah:

e = e ) (5.4)

Memberikan ungkapan bagi perioda gelombang,

= (5.5)

Gelombang harmonik merupakan gelombang yang sangat bermanfaat dalam analisis

gelombang. Selain itu ada pula suatu metode, yaitu metode Fourier. Metode ini adalah suatu

cara superposisi harmonik menjadi fungsi analitik ke dalam deret fungsi harmonik.

Presentasi Fungsi (x, t) = A e )secara grafis:

(x, t) = A e ) = (x, t) = A e )e

Gambar 5.2 Presentasi fungsi gelombang secara grafis.

Fungsi ini merupakan gelombang harmonik murni, artinya

hanya ada satu vektor gelombang k dan satu frekuensi . Maka

dapat diketahui keadaan gelombang tersebut dalam ruang

pada saat t = t0 dengan catatan nilai k0 dan amplitudonya A0

telah diketahui. Keadaan di atas terdiri dari satu komponen

harmonik, bervektor gelombang k0 dengan amplitude A0.

Gambar 5.3



4

Pada superposisi gelombang dengan amplitude yang sama (A0), dengan nilai k0 dan (k0 + k).

Selain itu terdapat kondisi dimana: k<< k0 dan << 0 .

Gambar 5.4

Ungkapan matematis kedua gelombang itu adalah,

(x, t) = A e ) (5.6)

(x, t) = A e [( ] (5.7)

Superposisi keduanya menghasilkan:

(x, t) = 2 A cos e , , ) (5.8)

dengan,

, + mengingat nilai maka suku itu diabaikan, sehingga

,

Begitu pula untuk frekuensi,

, + , sehingga, , .

Maka dari itu persamaan matematis superposisi dari kedua gelombang itu adalah:

(x, t) = 2 A cos e ) (5.9)



5

Gambar 5.5

Jika diperhatikan suatu gelombang pada persamaan 5.5, dimana gelombang besar berasal

dari gelombang kecil pembangunnya dengan nilai amplitude yang berubah terhadap waktu,

yaitu merupakan konsekuensi dari superposisi dua gelombang. Seandainya jarak antara titik

simpul satu ke berikutnya diungkapkan oleh x, dimana nilai-nya adalah setengah dari

panjang gelombang hasil superposisi, maka

12 = 1

2 = (5.10)

Penjelasan lebih lanjut mengenai persamaan gelombang, dapat dilihat berikut ini. Misal

Gelombang dengan frekuensi tunggal k0 dan 0, direpresentasikan oleh persamaan berikut

ini,

(x, t) = A e ) imaginer

(x, t) = A cos( ) riil

Pada salah satu titik dimana fasanya tetap, misal P maka hal itu memiliki kondisi sebagai

berikut:

= konstan



6

( ) = 0

=

= ;

= (5.11)

adalah kecepatan fasa, yaitu kecepatan rambat dari titik berfasa tetap di dalam ruang.

Gelombang merepresentasikan perilaku gelombang suatu partikel melalui besaran panjang

gelombang = .

Namun bagaimanakan kedudukan partikel dipresentasikan dalam gambaran gelombang

tentang partikel itu? Jawabannya adalah pada gelombang yang memiliki lebih dari satu

vektor gelombang k dan/atau lebih dari satu frekuensi yaitu gelombang superposisi.

Tinjau kasus sebelumnya:

+ ; , = +

(x, t) = 2 A cos2 2

e )

Amplitudo gelombang

Representasi secara grafis berada pada gambar 5.6:

= kecepatan fasa grup dari hasil superposisi gelombang (kecepatan kelompok).

Pada kondisi di bawah ini, maka berlaku hubungan seperti pada persamaan 5.10:

12 = 1

2 =

Jika pada titik d (gambar 5.6), maka keadaannya memenuhi:



7

2 2= konstan

2=

2

= = (5.12)

Ungkapan adalah perbedaan ataupun perubahan frekuensi dari 2 gelombang dibagi

dengan perubahan vektor gelombang .

Gambar 5.6 Gambar di atas menerangkan letak dari kecepatan vasa dan kecepatan grup dari

hasil superposisi gelombang.

Telah diketahui bahwa kecepatan fasa untuk gelombang gabungan yang berbeda kecil dalam

vektor gelombang k dan frekuensi radial , diungkapkan oleh persamaan 5.11 ( = ).

Sedangkan di titik tertentu dengan nilai tetap pada selubung amplitude gelombang gabungan

itu bergerak dengan apa yang diistilahkan sebagai kecepatan kelompok (persamaan 5.12):

= atau =



8

Kecepatan kelompok bukanlah sifat gelombang komponennya melainkan merupakan sifat zat

perantara dalam, yang mana paket gelombang tersebut bergerak.

=

Kecepatan sebuah partikel materi sama dengan kecepatan grup paket gelombang yang

bersangkutan. Sehingga sebuah partikel yang geraknya terbatas dalam suatu bagian ruang

dilukiskan oleh sebuah paket gelombang yang adalah superposisi dari gelombang-gelombang

de Broglie.

Panjang daerah antara dua titik bersebelahan yang dimiliki harga nol untuk besar selubung

amplitude sama dengan nol adalah:

= 12

=2

12

=

= 4 (5.13)

Berdasarkan persamaan 5.13 dapat diketahui bahwa jika nilai besar, maka nilai

akan menjadi kecil, begitu pula sebaliknya.

Bila = 0 maka nilai = , hal ini menyatakan bahwa partikel bisa dalam

kedudukan antara < 0 < yang berarti bahwa kedudukan tersebut tidaklah

bernilai pasti. Jika = 0 berarti gelombang memiliki karakteristik dengan nilai k dan

tunggal.

Jadi dengan superposisi dua gelombang bervektor gelomabng k dan frekuensi radial

yang berbeda kecil, diperoleh selubung amplitude yang berbeda dan bernilai konstan di

seluruh interval x, namun terkelompok secara periodik dengan lebar x, di seluruh

interval. Hasilnyapun tidak memadai, kedudukan x partikel tidaklah tentu.



9

Sehingga langkah selanjutnya adalah melakukan superposisi dari n-gelombang

beramplitudo sama A0, namun masing-masing memiliki vektor gelombang yang besarnya

bervariasi antara k0 dan + ) dengan nilai n = 1, 2, 3, ……N-1.

Sketsa:

Anggap nilai frekuensi angularnya bernilai sama yaitu 0. Maka gelombang superposisi

tersebut dapat dituliskan dengan persamaan:

(x, t) = A e )[1 + e + e + e + … … … ]

1 + e + e + e + … … … =e 1e 1

Sehingga,

(x, t) = A e ( ) e 1e 1

(5.14)

dengan nilai frekuensi angular dan vektor gelombang antara dan , maka

persamaan 5.14 menjadi,

(x, t) = A esin 2

sin(1N 2 )

Apabila N besar, maka : sin( )

Sehingga persamaan 5.14, menjadi

(x, t) N A2

e ( ) sin2

(5.15)



10

Perhatikan kondisi berikut ini:

Nilai dari | (x, t)| akan berharga maksimum bila = 0, = 0

(x, t) akan bernilai nol, bila , dengan nilai n= 1, 2, 3……..

besar x, yakni harga bersebelahan dikiri kanan x = 0 dengan (x, t) = 0 adalah

= 2 =

. = 4

ternyata ungkapan ini didapatkan kembali seperti dengan persamaan 5.13.

Sketsa dari hasil superposisi N gelombang, dapat dilihat pada gambar 5.8 berikut.

Gambar 5.8 Sketsa dari hasil superposisi N gelombang.



11

Gambar5.9

Dapat dilihat dari grafik | (x, t)| pada gambar 5.9 bahwa amplitude gabungan | (x, t)|

diangkat untuk merepresentasikan kedudukan partikel, maka kedudukan itu lebih tentu

dibandingkan dengan kasus satu bilangan gelombang k =k0. Atau dengan kasus dua

gelombang dengan vektor gelombang k0 dan (k0 + k).

Seandainya nilai x sebagai ukuran ketidakpastian kedudukan partikel. Untuk nilai x yang

kecil, maka nilai k harus besar, karena ada hubungan antar keduanya, yaitu . = 4 .

Berdasarkan analisa Fourier tentang penjabaran kedalam deret fungsi harmonik, diperoleh

bahwa harga terkecil dikalikan dengan adalah :

. =12

(5.16)

Spektrum k itu sendiri bentuk sebarannya adalah berupa fungsi Gauss:



12

Gambar 5.10 Sebaran spektrum k, dengan bentuk distribusi Gauss.

Untuk sebaran lain berlaku bahwa : . >

Sehingga secara umum berlaku : . (5.17)

Bila dikalikan dengan tetapan :

.12

Mengingat = , maka

=

= =

= (perubahan momentum).

Sehingga,

.2

(5.18)

Ungkapan bagi adalah ketidakpastian dalam harga kedudukan partikel dan adalah

ketidakpastian dalam harga momentum linier.

Hubungan di atas dinamakan dengan ketidakpastian Heisenberg. Pandanannya untuk

pergerakan sumbu y dan z:



13

.2

(5.19)

.2

(5.20)

Hubungan ini didapat dari penggabungan gelombang dari berbagai nilai k. Bila dilakukan

untuk gelombang dari berbagai nilai frekuensi angular ( ) akan diperoleh hubungan:

.12

(5.21)

.2

(5.22)

Documents

Modul 5 Konsep Paket Gelombang