Modul 3 EE2323 Elektromagnetika Telekomunikasi …Amplitude medan pada bidang muka gelombang untuk medium propagasi yang serbasama adalah bernilai sama pula, karena itu disebut sebagai

Modul 3 EE2323 Elektromagnetika Telekomunikasi

Gelombang Datar Serbasama

Oleh : Nachwan Mufti Adriansyah, ST

Revisi Februari 2002

Nachwan Mufti A Gelombang Datar Serbasama 2

Organisasi

Modul 3 Gelombang Datar Serbasama

• A. Pendahuluan page 3

• B. Penurunan Persamaan Gelombang page 5

• C. Persamaan Gelombang page 13

• D. Vektor Poynting dan Peninjauan Daya page 16

• E. Gelombang Datar Pada Ruang Hampa page 21

• F. Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna page 24

• G. Propagasi Pada Konduktor Yang Baik page 27

• H. Polarisasi Gelombang page 31


A. Pendahuluan

Gelombang adalah suatu fenomena alamiah

yang terjadi dalam dimensi ruang dan waktu.

Gelombang dapat diperhatikan sebagai

‘gangguan’ yang merambat dengan kecepatan

tertentu.

Jika gangguan tersebut merambat ke satu arah,

maka disebut sebagai gelombang 1-D.

Contohnya adalah gelombang datar ( plane

wave ).


Pendahuluan

Gelombang EM yang dipancarkan suatu sumber , akan merambat ke segala arah.

Jika jarak antara pengirim dan penerima sangat jauh ( d >> ), maka sumber akan dapat dianggap sebagai sumber titik dan muka gelombang akan berbentuk suatu bidang datar.

Muka gelombang adalah titik-titik yang memiliki fasa yang sama.

Amplitude medan pada bidang muka gelombang untuk medium propagasi yang serbasama adalah bernilai sama pula, karena itu disebut sebagai gelombang uniform / serbasama

Hampir berbentuk bidang datar

Uniform Plane Wave


B. Penurunan Persamaan Gelombang

Persamaan gelombang dapat diturunkan dari persamaan Maxwell, dengan parameter yang berpengaruh terhadap persamaan gelombang adalah karakteristik medium perambatan.

Pada penurunan persamaan gelombang, terlebih dahulu kita menurunkan persamaan gelombang untuk kasus yang paling umum, yaitu untuk medium perambatan berupa dielektrik merugi. Selanjutnya pada medium perambatan yang lain , yaitu : udara vakum, dieletrik tak merugi dan konduktor dipandang sebagai kasus khusus dengan memasukkan nilai-nilai karakteristik medium yang bersangkutan

Pada Dielektrik Merugi…

1

1

0

0

r

r

V

Sehingga persamaan Maxwell (bentuk fasor) yang berlaku untuk dielektrik merugi :

ss HjE

ss EjH

0Es

0Hs

Perubahan E dan H sinusoidal , dengan pertimbangan bahwa perubahan periodik lain spt segitiga, persegi dsb dapat didekati dengan pendekatan Fourier


Penurunan Persamaan Gelombang

ss HjE

ss EjH

0Es

0Hs

Keempat persamaan di atas kemudian menjadi dasar bagi penurunan fungsi waktu real yang menjelaskan perambatan gelombang datar dalam medium dielektrik merugi.

s

2

ss EEE

0 sE

Dari identitas vektor

s

2

s EE

Ss HjE

ss EjH

ss EjjE

Dari pers. Maxwell I

Didapatkan Persamaan Diferensial Vektor Gelombang Helmholtz, sbb :

ss

2 EjjE



ss

2 EjjE

s

2

s

2 EE

Dimana ,

Atau dapat dituliskan sbb :

2 = j ( + j)

disebut sebagai Konstanta propagasi

Kemudian, dengan uraian bahwa :

z2

zs

2

2

zs

2

2

zs

2

y2

ys

2

2

ys

2

2

ys

2

x2

xs

2

2

xs

2

2

xs

2

s

2 az

E

y

E

x

Ea

z

E

y

E

x

Ea

z

E

y

E

x

EE

Komponen x Komponen y Komponen z

Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial yang rumit, sehingga akan diambil sub kasus pemisalan :

00 zsyszy EEEE



ss

2 EjjE

00 zsyszy EEEE

s2

xs

2

2

xs

2

2

xs

2

s

2 Ejjz

E

y

E

x

EE

Masih cukup rumit. Kemudian dengan menganggap bahwa E tidak berubah terhadap x dan y , didapatkan persamaan diferensial biasa sbb :

xs2

xs

2

Ejjz

E

xs

2

2

xs

2

Ez

E

atau



xsxs E

z

E 2

2

2

Solusi persamaan diferensial dapat dituliskan :

z

0xxs eEE dimana, 2 = j ( + j)

= + j = Konstanta propagasi

Persamaan bentuk waktu untuk medan listrik, dapat dituliskan :

x

tjzj

0x aeeERe)t(E

x

z

0x aztcoseE)t(E

Ingat kembali perubahan dari bentuk fasor ke bentuk waktu !!

j1jjj

jpropagasi konstanta

10


ss HjE

ys0yxs

xs

zyx

Hjaz

E

00E

zyx

aaa

y

xs

0

ys az

E

j

1H

y

z0x aztcoseE

H

j1

1

j

j

H

E

intrinsik impedansi

y

x

Jika medan listrik diketahui, maka medan magnet dapat dicari dengan hubungan :



Loss Tangent Didefinisikan suatu besaran yang menyatakan besar kecilnya kerugian dan akan dipakai untuk mengambil nilai-nilai pendekatan engineering , yaitu Loss tangent

tan Loss tangent adalah perbandingan antara rapat arus konduksi

terhadap rapat arus pergeseran

Nilai-Nilai Pendekatan

Untuk 1,0

j1

2

12


E

H

P

Arah perambatan gelombang

Perhatikan kembali persamaan-persamaan yang sudah kita dapatkan,

x

z

0x aztcoseE)t(E

y

z0x aztcoseE

tH

Tampak bahwa E dan H saling tegak lurus dan keduanya tegak lurus pula terhadap arah perambatan gelombang. Gelombang seperti ini disebut sebagai gelombang Transverse Electro Magnetic (TEM).

Tampak pula bahwa pada dielektrik merugi, antara E dan H tidak sefasa


C. Persamaan Gelombang

x

z

xo aztcoseEE

Persamaan umum gelombang berjalan

Amplituda medan

= konstanta redaman (neper/meter)

= konstanta fasa (radian/meter)

Tanda ( - ) berarti gelombang merambat ke arah sumbu-z positif.

Jika ( + ) berarti gelombang merambat ke arah sumbu-z negatif

Gelombang bergetar searah sumbu-x

meter

Volt

= + j = Konstanta Propagasi


Persamaan Gelombang

Soal : Tuliskan persamaan gelombang intensitas medan magnet yang berjalan ke arah sumbu-x negatif , dan bergetar searah sumbu-z. Diketahui amplitudo gelombang adalah 100 (A/m), konstanta propagasi = 2 + j0,5, dan frekuensi 1 MHz

m

Aax5,0t102cose100H z

6x2

Amplitudo = 100 (A/m)

Konstanta redaman = 2 (Np/m), merambat ke sumbu-x negatif

Konstanta fasa = 2 (radian/m), merambat ke sumbu-x negatif

Frekuensi = 1 MHz = 106 Hertz

Bergetar searah sumbu-z

Jawab :

Persamaan gelombang berjalan merupakan fungsi waktu dan posisi. Hal ini terlihat pada gambar di samping.

Sebab kenapa disebut sebagai gelombang berjalan dapat dilihat pada gambar di bawah. Untuk nilai t yang berubah, maka suatu titik dengan amplitudo tertentu akan berubah posisi

Persamaan Gelombang


D. Vektor Poynting dan Peninjauan Daya

Teorema daya untuk gelombang elektromagnetik mula-mula dikembangkan dari postulat (hipotesa terhadap persamaan Maxwell) oleh John H Poynting tahun 1884.

t

DJH

Kedua ruas dikalikan dengan E

t

DEEJHE

Dengan Identitas vektor

t

DEEJEHHE

Dengan substitusi,

t

BE

HB

ED

t

HH

t

EEEJHE

2

H

2

E

tEJHE

22

2

E

tt

EE

2

2

H

tt

HH

2

17

Vektor Poynting dan Peninjauan Daya

2

H

2

E

tEJHE

22

Kedua ruas diintegrasikan terhadap seluruh volume

dV2

H

2

E

tdVEJdVHE

V

22

VV

Dengan Teorema Divergensi , didapatkan :

dV2

H

2

E

tdVEJdSHE

V

22

VS

Ruas kiri : Tanda (-) menunjukkan penyerapan/disipasi daya total pada volume tersebut. Jika ada sumber yang mengeluarkan daya pada volume tersebut, digunakan tanda (+)

Ruas kanan :

Integrasi suku pertama menunjukkan disipasi ohmik

Integrasi suku kedua adalah energi total yang disebabkan/ tersimpan dalam medan listrik dan medan magnetik pada volume tersebut, kemudian turunan parsial terhadap waktu menyatakan daya sesaatnya


Didefinisikan Vektor Poynting =

E

H

P

Arah perambatan gelombang HEP

P

yyxxzz aHaEaP E

H


19


Peninjauan Daya ...

Misalkan :

x

z

0x aztcoseE)t(E

y

z0x aztcoseE

tH

Maka,

z

z2

2

0x

z

z2

2

0x

az2t2coscose2

E

aztcosztcoseE

HEP

2m

Watt

2m

Watt



Daya Rata-Rata ...

cose2

EdtP

T

1P z2

2

0x

T

0

zav,z

• Terjadi redaman kerapatan daya seharga

• Impedansi intrinsik menimbulkan faktor cos yang juga

menentukan kerapatan daya

z2e


E. Gelombang Datar Dalam Ruang Hampa

Untuk ruang hampa :

)m/F(10.854,8

m/H10.4

12

0

7

0

0

0

• Bentuk umum pada dielektrik merugi,

Pada ruang hampa,

ss HjE

ss EjH

0Es

0Hs

s0s HjE

s0s EjH

0Es

0Hs

• Persamaan gelombang Helmholtz

ss

2 EjjE

s00

2

s

2 EE

Gelombang Datar Dalam Ruang Hampa

• Persamaan medan listrik

Pada ruang hampa,

x

z

0x aztcoseE)t(E

y0x aztcos

377

EtH

x0x aztcosE)t(E

y

z0x aztcoseE

tH

• Persamaan medan magnet

• Konstanta propagasi

j1j

jj

00j0

• Impedansi intrinsik

j1

1

j

jo

0

0 0377

23

Gelombang Datar Dalam Ruang Hampa

• Bentuk Gelombang Pada ruang hampa,

• Kecepatan gelombang

dt

m10.3v 8

• Vektor Poynting

z

z2

2

0x az2t2coscose2

EP

z

2

2

0x aztcos377

EP

• Daya rata-rata

cose2

EdtP

T

1P z2

2

0x

T

0

zav,z

377

E

2

1P

2

0xav,z

rr

810.31v

E

H

P


F. Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna

Untuk dielektrik sempurna :

0

0

Dielektrik sempurnan memiliki sifat dan karakteristik yang hampir sama dengan udara vakum

1

1

r

r

• Bentuk umum pada dielektrik merugi,

Pada dielektrik sempurna

ss HjE

ss EjH

0Es

0Hs

ss HjE

ss EjH

0Es

0Hs

• Persamaan gelombang Helmholtz

ss

2 EjjE

s

2

s

2 EE

Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna


Pada dielektrik sempurna

x

z

0x aztcoseE)t(E

y

r

r0x aztcos377

EtH

x0x aztcosE)t(E

y

z0x aztcoseE

tH


• Konstanta propagasi

j1j

jj

j0


j1

1

j

j

r

r377

26

• Bentuk Gelombang Pada dielektrik sempurna

E

H

P

• Kecepatan gelombang

rr

810.31v

• Vektor Poynting

z

z2

2

0x az2t2coscose2

EP

z

2

r

r

2

0x aztcos377

EP

• Daya rata-rata

cose2

EdtP

T

1P z2

2

0x

T

0

zav,z

r

r

2

0xav,z

377

E

2

1P

Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna

rr

810.3v

27

G. Propagasi Pada Konduktor Yang Baik

Pada konduktor yang baik :

1

1

r

r

0

1

Pada konduktor yang baik • Konstanta propagasi

j1j

jj fjf


j1

1

j

j o4521

j1

Cobalah menurunkan sendiri !

Didefinisikan “Skin Depth”

11

f

1

28

Propagasi Pada Konduktor Yang Baik


x

z

0x aztcoseE)t(E

y

z0x aztcoseE

tH


Pada konduktor yang baik

x

z

0x aztcoseE)t(E

y

z

0x a4

ztcose.E2

tH

Pada konduktor yang baik, intensitas medan magnet tertinggal (lagging) sebesar 45o (1/8 siklus) terhadap intensitas medan listrik

Pada umumnya, propagasi gelombang pada konduktor yang baik digunakan untuk analisis karakteristik suatu saluran transmisi / kabel. Pada konduktor yang baik, kerapatan arus perpindahan dapat diabaikan terhadap kerapatan arus konduksi, sehingga kerapatan arus total dapat dikaitkan dengan medan listrik sbb :

ztcoseE)t(E)t(J

z

0xxx



• Vektor Poynting

z

z2

2

0x az2t2coscose2

EP

• Daya rata-rata

cose2

EdtP

T

1P z2

2

0x

T

0

zav,z

Pada konduktor yang baik

z

z22

0x a4

z2t2cos

4coseE

2P

z2

2

0xav,z eE4

1P

2

0xE

Rumusan diatas menunjukkan bahwa rapat daya pada bidang z = adalah sebesar e-2 , atau sebesar 0,135 kali dari rapat daya pada permukaan konduktor ( z = 0 ).

30


z

x

y

L

b

Jika misalkan ditanyakan daya yang menembus

permukaan z = 0 , yang memiliki lebar 0 < y < b , dan

panjang 0 < x < L ( kearah arus ), maka dapat dihitung :

0z

b

0

L

0

z22

0x

s

av,bL dy.dx.eE4

1SdPP

2

0xav,bL ELb4

1P

Rapat arus pada permukaan konduktor akan menurun dengan cepat dengan faktor e-z/ jika masuk kedalam konduktor. Energi elektromagnet tidak diteruskan ke dalam konduktor, akan tetapi merambat di sekeliling konduktor, sehingga konduktor hanya membimbing gelombang. Arus yang mengalir dalam konduktor akan mengalami redaman tahanan konduktor dan merupakan kerugian bagi konduktor sebagai pembimbing gelombang.

Adanya efek kulit (skin depth) menyebabkan konduktor sangat buruk dipakai sebagai medium penjalaran daya. Konduktor cukup baik untuk pembimbing / penghantar arus dan cukup dalam bentuk pipa berhubung adanya efek kulit tadi.


H. Polarisasi Gelombang

Polarisasi adalah sifat GEM yang menjelaskan arah dan amplitudo vektor intensitas medan listrik (E) sebagai fungsi waktu pada bidang yang tegak lurus terhadap arah perambatannya.

Macam-macam polarisasi : Linear, Sirkular (lingkaran), dan Ellips


Polarisasi Gelombang

Polarisasi eliptik dapat dipandang sebagai bentuk polarisasi yang paling umum

: • Dapat merupakan jumlah 2 polarisasi linear yang saling tegak lurus (orthogonal)

• Dapat merupakan jumlah 2 polarisasi sirkular dengan arah berlawanan dan magnitudo berbeda

Jika polarisasi eliptik dipandang sebagai penjumlahan polarisasi linear yang saling tegak lurus, maka :

x11 aztsinEE

y22 aztsinEE

21t EEE

y2x11 aztsinEaztsinEE

y2x11 atsinEatsinEE

Polarisasi selalu ditinjau untuk jarak tertentu. Misal pada z = 0, akan didapatkan

33


y2x11 atsinEatsinEE

Ex Ey

tsinEE 1x

1

x

E

Etsin

2

1

x

2

E

E1

tsin1tcos

tsinEE 2y

sinE

E1cos

E

EE

sintcoscostsinE

2

1

x

1

x2

2

Didapatkan persamaan polarisasi ….



Persamaan polarisasi :

2

2

2

2

y

21

yx

2

1

2

x sinE

E

EE

cosEE2

E

E

Jika Ex disetarakan dengan x, dan Ey disetarakan dengan y

222 sincybxyax

2

1E

1a

2

2E

1c

21EE

cos2b

35


Kasus paling umum : Polarisasi Eliptik

Terjadi untuk a, b, c, sembarang. Parameter-parameter pada polarisasi eliptik adalah :

a. Major Axis ( 2 x OA )

2cosEE2EEEE

2

1OA

2

y

2

x

4

y

4

x

2

y

2

x

b. Minor Axis ( 2 x OB )

2cosEE2EEEE

2

1OB

2

y

2

x

4

y

4

x

2

y

2

x

c. Tilt angle ( )

cos

EE

EE2arctan

2

12

y

2

x

yx

d. Axial Ratio (AR )

OB

OA

axis Minor

axis MajorAR

21 EEdann2

n = 0, + 1, + 2, …dst

36

Polarisasi Gelombang Polarisasi Linear

Polarisasi linear terjadi untuk :

dst...,2,1,0nn

x

y

E

Earctan



Polarisasi Sirkular Polarisasi sirkular terjadi untuk :

21 EEdann2

n = 0, + 1, + 2, …dst



Arah Polarisasi

Perputaran

kz,tfE Definisi

klasikDefinisi

IREDefinisiUmum(IEEE)

Searah jam (CW)GEM mendekatatauBerlawanan jam (CCW)GEM menjauh

Putar Kanan(Right Hand)

RH

Putar Kiri(Left Hand)

LH


LH

Searah jam (CW)GEM menjauhatauBerlawanan jam (CCW)GEM mendekat


LH


RH


RH

Polarisasi dapat ditinjau terhadap referensi tertentu, misalnya terhadap bumi, lantai pesawat, dsb. Bahkan terhadap polarisasi lain.

• Polarisasi vertikal , E tegaklurus leferensi • Polarisasi horisontal, E sejajar bidang referensi • Polarisasi Silang ( cross polarization ), E tegaklurus terhadap E referensi • Polarisasi Sejajar ( co-polarization ), E sejajar terhadap E referensi

Documents

Modul 3 EE2323 Elektromagnetika Telekomunikasi …Amplitude medan pada bidang muka gelombang untuk medium propagasi yang serbasama adalah bernilai sama pula, karena itu disebut sebagai