Modo de Vida e Identidad Nacional

8/17/2019 Modo de Vida e Identidad Nacional

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD DEL ZULIA

NÚCLEO COSTA ORIENTAL DEL LAGO

PROGRAMA DE INGENIERÍA

INTENSIVO 2015CÁLCULO II

SERIES NUMÉRICAS

REALIZADO POR:

Br. Páez Albin.

C.I : 25.563.068.

Ing.Civil

Br. Carlos rondón.

C.I : 26.201.572.

Ing. e!áni!a.

Br. "#árez ar!ial.

C.I.:21.6$%.06$.

Ing.Civil Br. &es's edina.

C.I .2$.370.211.

1


2/23

Ing. e!áni!a.

Secció : 003.

P!"# : (s!ar )ar!*a$

C%&i'%() *e&!e!" +e, 2015$

SERIES NUM-RICAS

+n el !aso de series n#,-ri!as o a valores en #n es/a!io de Bana! es s#i!iene !on

/robar la !onvergen!ia absol#a de la serie /ara /robar #e es !onvergene lo !#al

/er,ie resringir el es#dio a las series de -r,inos /osiivos4 /ara ello eisen

n#,erosos ,-odos basados en el /rin!i/io de !o,/ara!ión.

1$ SUCESIONES

na s#!esión n#,-ri!a es #n !on#no de ele,enos lla,ados -r,inos #e se or,an

,ediane #na le deer,inada. +so signii!a #e !ada -r,ino 9!on e!e/!ión del

/ri,ero se deriva del anerior de a!#erdo de #na o/era!ión la !#al es sie,/re la ,is,a

9!onsane /ara la or,a!ión # oben!ión de odos !ada #no de los -r,inos de la

s#!esión.

na s#!esión es #na #n!ión !#o do,inio es el !on#no de los n',eros eneros

/osiivos 9n',eros na#rales.

+n l#gar de #sar la noa!ión a!os#,brada /ara #na #n!ión( )n f

#na s#!esión se

re/resena /or el s*,bolo

{ } nn A y/o A

al !#al se le deno,ina ;-r,ino n ? { 0 1 2 3 $ 5 6 .....n}

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

n3210 a.........,..........,a,a,a,a

2

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Banachhttp://es.wikipedia.org/wiki/Convergencia_absolutahttp://es.wikipedia.org/wiki/Convergencia_absolutahttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Banach


3/23

0a

? 0 es el /ri,er -r,ino de la s#!esión.

1a

? 1 es el er!er -r,ino de la s#!esión.

2a

? 2 es seg#ndo -r,ino de la s#!esión.

na

? 2. n es el -r,ino n


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eore,as de #na s#!esión ,onóona a!oada de #na s#!esión ,onóona

!onvergene.

% De#iició +e % (ce(ió '"ó"%:

na s#!esión es '"ó"% si s#s -r,inos son no de!re!ienes o si s#s -r,inos son

no !re!ienes:

a1 ≤ a2 ≤ a3 . . . ≤ an ≤ . . .

O si sus términos son no crecientes

a1 ≥ a2 ≥ a3 . . . ≥ an ≥ . . .

E.e'/,": @eer,inar si la s#!esión #e iene el er,ino n


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a /reg#na #e nos /lanea,os es la sig#iene: "i a!e,os enon!es la s#,a

iene #n l*,ieD +isen alg#nas or,as de averig#arlo a /esar de #e sólo

/odre,os !al!#lar la s#,a de alg#nas series. +n la ,aor*a de los !asos nos será

i,/osible nos endre,os #e !onor,ar !on saber si !onvergen o no o /eor a'n si#na s#,a /ar!ial !onverge sin /oder !al!#lar el valor de esa s#,a. os -r,inos de

#na serie /#eden ser /osiivos negaivos o n',eros !o,/leos las series /#eden

!onverger 9de!re!er o !re!er a!ia #n valor inio divergir 9in!re,enar o de!re!er

indeinida,ene # os!ilar +isen #na serie de !rierios eore,as de a/li!a!ión

general #e e/ondre,os a !onin#a!ión:

% C!ie!i" +e c"'/%!%ció:

+n seg#ndo l#gar de si,/li!idad esá el !rierio de !o,/ara!ión enre #n /ar de series

de -r,inos /osiivos. "i !ono!e,os el !o,/ora,ieno de #na de ellas !o,/ara,os el

de la ora. +so es s#/onga #e !onsidera,os dos series: #na de /r#eba

#na serie !ono!ida !onvergene 9o divergene enon!es

E.e'/,": Para il#srar esa esraegia !onsidere,os las sig#ienes series:

+n ese !aso !o,/ararnos !on #na serie !ono!ida

5


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& C"4e!eci% A&(",% " C"+ici"%,

Para es#diar la !onvergen!ia de #na serie ininia dada i.e. E a i vere,os #e sie,/re

/odre,os aso!iarle ora de la or,a E FaiF es de!ir la serie de valores absol#os !on lo

!#al garaniza,os la /osiividad 9 #e sean n',eros reales de los -r,inos de la

serie. "i la "erie de los valores absol#os E FaiF !onverge enon!es a,bi-n

!onvergerá la serie original a i dire,os #e esa serie es absol#a,ene !onvergene.

"in e,bargo si la serie de valores absol#os diverge no /odre,os de!ir #e E ai!onvera. @e e!o si !onverge dire,os #e es Condi!ional,ene !onvergene !on

#n rearreglo de s#s -r,inos /odrá !onverger divergir # os!ilar.

Te"!e'%: si E FanF !onverge enon!es a,bi-n !onverge E an se iene #e:

Para #na serie de -r,inos /osiivos el !rierio de !onvergen!ia ,ás in#iivo 9ne!esario

/ero no s#i!iene es #e en l*,ie !#ando n


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c C!ie!i" De L% R%67

+l !rierio de la ra*z o !rierio de Ca#! es #n ,-odo /ara deer,inar la !onvergen!ia

+n ,ae,ái!a el de #na serie #sando la !anidad

@onde son los -r,inos de la serie. +l !rierio di!e #e la serie !onverge

absol#a,ene si esa !anidad es ,enor #e la #nidad #e diverge si es ,aor #e

la #nidad. +s /ari!#lar,ene 'il en rela!ión !on las series de /oen!ias.

"ea C el l*,ie de arriba enon!es el !rierio de la ra*z esable!e #e:

• "i C 1 enon!es la serie !onverge absol#a,ene

• "i C J 1 enon!es la serie diverge• "i C ? 1 de !iero en adelane enon!es la serie diverge.

• +n oros !asos el !rierio no lleva a ning#na !on!l#sión.

Ka alg#nas series en #e C ? 1 la serie !onverge /or ee,/lo a oros

/ara los #e C ? 1 la serie diverge /or ee,/lo

+e,/lo: @ada la sig#iene serie:

Por lo ano:

7

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Series_de_potenciashttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_convergentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_convergentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Convergencia_absolutahttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_divergentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Series_de_potenciashttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_convergentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Convergencia_absolutahttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_divergente


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d C!ie!i" De D8A,e'&e! " +e, c"ciee$

+l Crierio de dLAle,ber se #iliza /ara deer,inar la !onvergen!ia o divergen!ia de #na

serie de -r,inos /osiivos !#al#iera /or ano a!er #na !lasii!a!ión de la ,is,a.

@einiendo !on a la variable inde/endiene de la s#!esión di!o !rierio esable!e #e

si lla,a,os al l*,ie /ara endiendo a ininio de se obiene #n n',ero !on

los sig#ienes !asos:

• "i !onverge.

• "i diverge.

• "i el !rierio no de!ide es ne!esario !al!#lar el l*,ie de oro ,odo.

+e,/lo: n ee,/lo in,ediao lo !onsi#e la serie

e C!ie!i" +e ,% Ie!%, +e M%c,%!i$

+l !rierio de la Inegral de a!la#rin es oro !rierio de !o,/ara!ión /ero esa vez se

!o,/ara la serie !on #na inegral. As* s#/ondre,os #e eise #na #n!ión f(x) !onin#a

,onóona,ene de!re!iene /ara #n valor de ≥ 0 #e adi!ional,ene se !#,/le

#e /ara alg'n valor enero ? n el valor de la #n!ión es ig#al a #n -r,ino de la serie.

+so es 9n ? an. +non!es se endrá #e si el l*,ie eise es inio

enon!es !onverge. Por el !onrario si el l*,ie no eise o es ininio enon!es

diverge

E.e'/,": n ee,/lo in,ediao /odr*a ser deer,inar si la sig#iene serie !onverge

8


9/23

.

Con lo !#al !lara,ene !onverge.

+se !rierio es ,# 'il /ara a!oar 9enre #n *ni,o #n s#/re,o el resid#o de #na

deer,inada serie. Male de!ir

9$ SERIES DE T-RMINOS POSITIVOS NEGATIVOS

na serie !#os -r,inos /#eden ser ano positivos !o,o negativos se lla,a serie de

-r,inos Posiivos negaivos.

"i En?1Gan es #na s#!esión !on -r,inos /osiivos negaivos se /#ede !onsiderar

en s# l#gar la s#!esión En?1GFanF !#os -r,inos son odos no negaivos.

a serie En?1Gan es absol#a,ene !onvergene si la serie En?1GFanF. ás

or,al,ene la s#!esión NanO es absol#a,ene s#,able si la s#!esión NFanFO.

Por ee,/lo sea En?1G91n n2 la serie no negaiva #e se obiene al a/li!ar

!o,/oner !on el valor absol#o es En?1G1n2 #e se raa de #na serie ar,óni!a

generalizada !on /?2 ⇒ !onverge.

"in e,bargo sea esa ora serie En?1G91nn si a/li!a,os el valor absol#o

obene,os En?1G1n #e se raa de #na serie ar,óni!a esa vez !on /?1 #e

sabe,os #e diverge. "in e,bargo la i,/li!a!ión de ese eore,a es solo en #n

senido es de!ir si la serie de FanF no !onverge no se /#ede !on!l#ir #e la serie

divera. @e e!o esa serie ee!iva,ene !onverge aendiendo al !rierio de eibniz

9


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% C!ie!i" +e Lei&i7$

+n análisis ,ae,ái!o el !rierio de eibniz es #n ,-odo debido a )oried eibniz

#ilizado /ara de,osrar la !onvergen!ia de series alernadas.

na serie alernada es a#ella de la or,a:

Con an Q 0.

+non!es la serie !onvergerá si la s#!esión an es ,onóona de!re!iene !onvergene

a !ero 9an de !#,/lirse a,bas !ondi!iones. Ade,ás si

a s#,a /ar!ial "R a/roi,a la s#,a de la serie !on error

a inversa en general no es !iera

5. SERIES DE POTENCIAS$

% De#iició$

10

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Convergencia_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_alternadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Convergencia_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_alternadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1tica


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;na serie de /oen!ias en orno al /#no z 0 es #na serie #n!ional de la or,a:

C”

"e raa de dis!#ir s# !onvergen!ia es#diar /ro/iedades de la s#,a !o,o #n!ión de

z. Co,o de se /asa a la /or #n si,/le !a,bio de origen se

es#diará e!l#siva,ene esa seg#nda serie.

E.e'/,": "eries @e Poen!ia.

& Te"!e'% +e A&e,$

;"i !onverge /ara enon!es !onverge absol#a,ene !on =

9"e o,ie la de,osra!ión #e se basa en el !rierio de la ,aorane de Seiersrass.

Co,o !onse!#en!ia: "i no !onverge /ara a,/o!o /ara z al #e

.

11

∑

=

0n

n0n010

n0n ... ) z z ( a ... ) z z ( aa ) z z ( a

i a

∑∞

=

−

0n

n0n )zz(a ∑

∞

=0n

nnza

∑

=

0n

nn z a

1 z z z 1 z z

∑

=

0n

nn z a

2 z z

2 z z >


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c R%+i" +e c"4e!eci%$

+s in,ediao seg'n se a di!o #e la serie de /oen!ias !onverge sie,/re

/ara z ? 0. P#ede o!#rrir #e !onvera C . "i no !onverge /ara #n a,/o!o

/ara los ales #e . #ego el !on#no de los radios de los !*r!#los en los #e

!onverge la serie es #n !on#no a!oado. Por ano iene ere,o s#/erior T inio.

Por el eore,a de Abel !on la serie no !onverge. 9P#es de lo !onrario no

ser*a T el ere,o s#/erior. Para la serie /#ede !onverger o no. Al nU T se le

deno,ina radio de !onvergen!ia de la serie. Al !*r!#lo abiero : !*r!#lo de

!onvergen!ia de la serie. "i la serie !onverge C se dirá #e

E.e'/,": Kallar el radio de !onvergen!ia de:

Para ?0 se obiene:

Para !#al#ier valor io de al #e . +non!es

# C"4e!eci% i#"!'e$

12

∑∞

=0n

nnza

∈∀z2 z

z

2 z z >

z∀ R z >

R z =

R z <

∈∀z +∞=R


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P#ede de,osrarse #e la serie !onverge #nior,e,ene en odo !*r!#lo

!errado inerior al de !onvergen!ia.

Se!ie( #"!'%+%( /"! +e!i4%ció ;!'i" % ;!'i": c"4e!eci%$

"ea T s# radio de !onvergen!ia. +l radio de !onvergen!ia de

es:

#ego: la serie or,ada /or las derivadas de los -r,inos iene el ,is,o !*r!#lo de

!onvergen!ia #e la original.

Te/iiendo el /ro!eso: T es a,bi-n el radio de !onvergen!ia de la serie or,ada /or

las derivadas de !#al#ier orden R de los -r,inos de la serie original.

A/li!ando los eore,as sobre !onin#idad deriva!ión e inegra!ión !iados en

general /ara las series #n!ionales se obendr*an los res#lados !orres/ondienes /ara

las series de /oen!ias en el inerior del !*r!#lo de !onvergen!ia /or ser los -r,inos

#n!iones eneras ser la !onvergen!ia #nior,e en di!o !*r!#lo.

"erá:

• a s#,a " 9z de #na serie de /oen!ias es !onin#a en el inerior del !*r!#lo de

!onvergen!ia.

• a s#,a "9z de la serie es inegrable en el inerior del !*r!#lo de

!onvergen!ia /ara odo !onorno C inerior a di!o !*r!#lo es:

13

∑∞

=0n

nnza

∑∞

=0n

nnza

∑∞

=

−

1n

1nnzna R a

alim

a)1n(

nalim'R

1n

n

n1n

n

n==

+=

+∞→+∞→

∑

=0n

nn z a


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In!l#so si ade,ás g9z es !onin#a sobre C

• a s#,a "9z de la serie es anal*i!a en el inerior @ del !*r!#lo de

!onvergen!ia. Ade,ás 9 +s de!ir la derivada de la s#,a es

la s#,a de la serie or,ada /or las derivadas de los -r,inos .

• Análoga,ene /ara las derivadas s#!esivas.

!enrada en el /#no a #na #n!ión

real deinida sobre la !la#s#ra !#as derivadas /ar!iales de orden nV1 son odas

!onin#as en !ada /#no de la bola. +l eore,a de alor esable!e #e /ara !#al#ier

:14

∑

∫

∞

=

=

0nC

nnC

dz z adz ) z ( S

∑ ∫

∞

=

=

0nC nnC dz ) z ( g z adz ) z ( g ) z ( S

∑

=0n

nn z a

∑

=

−

=

1n

1nn z na ) z ( ' S

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Reino_Unidohttp://es.wikipedia.org/wiki/Brook_Taylorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Brook_Taylorhttp://es.wikipedia.org/wiki/1712http://es.wikipedia.org/wiki/James_Gregoryhttp://es.wikipedia.org/wiki/James_Gregoryhttp://es.wikipedia.org/wiki/1671http://es.wikipedia.org/wiki/Acotaci%C3%B3n_de_erroreshttp://es.wikipedia.org/wiki/Acotaci%C3%B3n_de_erroreshttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taylor#Equation_1http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Bola_(topolog%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Clausura_topol%C3%B3gicahttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Reino_Unidohttp://es.wikipedia.org/wiki/Brook_Taylorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Brook_Taylorhttp://es.wikipedia.org/wiki/1712http://es.wikipedia.org/wiki/James_Gregoryhttp://es.wikipedia.org/wiki/James_Gregoryhttp://es.wikipedia.org/wiki/1671http://es.wikipedia.org/wiki/Acotaci%C3%B3n_de_erroreshttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taylor#Equation_1http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Bola_(topolog%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Clausura_topol%C3%B3gica


15/23

@onde la s#,a se eiende sobre los ,#li


16/23

donde el e/onene sobre el gradiene es enendido !o,o las s#!esivas ve!es #e

a!e,os el gradiene4 es de!ir a!e,os el /rod#!o es!alar #e esá denro del

/ar-nesis l#ego volve,os a derivar ora vez la #n!ión obeniendo oro /rod#!o

es!alar as* XnX ve!es. Aora e,/leando el eore,a de alor /ara #na variable real

e/andi,os en s# serie de a!la#rin:

a!iendo ?1 s#si#endo las derivadas /or las e/resiones anes allada se

eviden!ia #e:

=$ *>RMULAS DE DI*ERENCIAS *INITAS$

% $Di#e!eci%( #ii%( ce!%+%( ? ,%e!%,e($

"ólo se !onsideran nor,al,ene res or,as: la anerior la /oserior la !enral.

na +i#e!eci% /!"!e(i4% %+e,%%+% o /"(e!i"! es #na e/resión de la or,a

@e/endiendo de la a/li!a!ión el es/a!iado h se ,aniene !onsane o se o,a el l*,ie

h Y 0.

• na dieren!ia regresiva arasada o anerior es de la or,a:

16


17/23

• Zinal,ene la +i#e!eci% ce!%, es la ,edia de las dieren!ias aneriores

/oseriores. Miene dada /or

& Re,%ció c" ,%( +e!i4%+%(

a derivada de la #n!ión en #n /#no esá deinida /or el l*,ie

"i iene #n valor iado no n#lo en l#gar de a/roi,arse a !ero el -r,ino de la

dere!a se !onviere en

Por lo ano la dieren!ia /oserior dividida /or a/roi,a a la derivada !#ando es

/e#e[o. +l error de esa a/roi,a!ión /#ede derivarse del eore,a de alor .

As#,iendo #e es !onin#a,ene dieren!iable el error es:

a ,is,a ór,#la es válida en la dieren!ia anerior:

"in e,bargo la dieren!ia !enral lleva a #na a/roi,a!ión ,ás a#sada. "# error es

/ro/or!ional al !#adrado del es/a!iado 9si es dos ve!es !onin#a,ene dieren!iable.

17

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taylorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taylor


18/23

c C@,c," +e +i#e!eci%( #ii%(.

a dieren!ia anerior /#ede !onsiderarse #n o/erador dieren!ial #e a!e

!orres/onder la #n!ión !on \. +l eore,a de alor /#ede e/resarse /or la ór,#la

@onde @ denoa el o/erador derivada #e a!e !orres/onder !on s# derivada es

de!ir

Zor,al,ene inviriendo la e/onen!ial

+sa ór,#la sig#e siendo válida en el senido de #e a,bos o/eradores dan el ,is,o

res#lado !#ando se a/li!an a #n /olino,io. In!l#so /ara #n!iones anal*i!as las series

de la dere!a no !onvergen !on seg#ridad sino #e /#ede raarse de #na serie

asinói!a. "in e,bargo /#eden e,/learse /ara obener a/roi,a!iones ,ás /re!isas

de la derivada. Por ee,/lo os dos /ri,eros -r,inos de la serie llevan a:

+l error de la a/roi,a!ión es del orden de 2.

as ór,#las análogas /ara los o/eradores /oserior !enral son

18

http://es.wikipedia.org/wiki/Operador_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Polinomiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_asint%C3%B3ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_asint%C3%B3ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Operador_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Polinomiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_asint%C3%B3ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_asint%C3%B3tica


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@erivadas de órdenes ,aores

@e or,a análoga se /#eden obener a/roi,a!iones en dieren!ias inias /ara

derivadas de orden ,aor o/eradores dieren!iales. Por ee,/lo #sando la ór,#la de

la dieren!ia !enral ,osrada anerior,ene !on #n es/a!iado de /ara a/li!ando la ór,#la de dieren!ia !enral a la derivada

de en obene,os la a/roi,a!ión de la dieren!ia !enral de la seg#nda derivada

de :

A/!"i'%ció +e #ci"e(: /",i"'i"( +e T%?,"! ? e"!e'% +e T%?,"!$

Alg#nas ve!es /ode,os a/roi,ar #n!iones !o,/li!adas ,ediane oras #n!iones

,ás si,/les

9!on las #e es ,ás si,/le rabaar #e dan la ea!i#d ade!#ada en !ieras

a/li!a!iones. Co,enzare,os

es#diando el /ro!eso de linealizacin #e ore!e la derivada !onin#are,os

es#diando

polinomios !e "a#lor .

Co,o sabe,os la angene a # ? f 9 x en #n /#no x ? a donde la #n!ión f es

derivable /asa

/or el /#no 9a f 9a !on /endiene f ]9a iene /or e!#a!ión # ? f 9a V f ]9a9 x a.

+non!es la re!a angene es la grái!a de la #n!ión lineal $9 x :? f 9a V f ]9a9 x a.

(bserva

#e donde esa re!a /er,anez!a cerca de la grái!a de f $9 x ore!erá #na %uenaa/roi,a!ión

de f 9 x . A la #n!ión $9 x se le lla,a linealizacin de la #n!ión f en el /#no a. a

a/roi,a!ión

f 9 x ^ $9 x se lla,a aproximacin lineal de f en el /#no a. (bserva #e $9a ? f 9a

#e $]9a ? f ]9a.

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+n ,ae,ai!as #na %/!"i'%ció ,ie%, es #na a/roi,a!ión de #na #n!ión

!#al#iera #sando #na ransor,a!ión lineal Por ee,/lo dada #na #n!ión

dieren!iable f de #na variable real se /#ede e/resar 9generalizada en el eore,a dealor de la sig#iene ,anera:

ee,/lo.

1.Para en!onrar la a/roi,a!ión lineal de se a!e lo sig#iene:

1. Consid-rese la #n!ión

2. "e iene la derivada

3. "eg'n lo a viso

$. +l res#lado 2.%26 esá razonable,ene !er!a del valor #e /#ede dar #na

!al!#lad

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T+Z+T+>CIA" BIBI()T_ZICA"

• arson T. Cál!#lo 1 de #na variable. >ovena edi!ión. +diorial !)ra`'[ez 92010. e,a 1 "eries. niversidad de os Andes

-rida. Mersión /d.

• /s:es.`iRi/edia.org.

• eiold . +l Cál!#lo !on )eo,er*a Anal*i!a. "eg#nda +di!ión .+diorial

Kar/er To` ainoa,eri!ana.

• )#iarro 92011. "eries de n',eros reales 9Cál!#lo I. )rado en ae,ái!as

doble grado

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inrod#!!ion

e, "&.ei4" +e e(e e'% e( %/!e+e! c"'" #ci"% ,%( %/!"i'%ci"e(/",i"'i%,e() (ce(i"e( ? (e!ie( ';!ic%( ) V%!i"( ';"+"( /e+e e'/,e%!(e/%!% %/!"i'%! % #ció +%+% 'e+i%e /",i"'i"($ U" +e ,"( '%(%'/,i%'ee i,i7%+"( %ce (" +e ,% #"!',% +e T%?,"! ) ,,%'%+% %(6 e ""! +e,'%e'@ic" i,e( &!"" T%?,"! 1


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Con!l#!ion

en ese rabao se llega a la !on!l#sión de #e las a/roi,a!iones /oligonaless#!esiones series ininias son /are i,/orane del !al!#lo a #e !on ellas se

/#eden llegar a res#lados /re!isos en !#ano !on o/era!iones ari,-i!as no se/#eden llegar ablando de a/roi,a!iones /oligonales ve,os #e son #na or,a desaber !o,o deer,inar las #n!iones logar*,i!as e/onen!iales rigono,-ri!as a#e alg#nas ve!es no /#eden eval#arse á!il,ene denro del !oneo de la ari,-i!aano as* #e es ne!esario ener la ,ene abiera re!e/iva a n#evos !on!e/os de/oder !al!#lar deer,inado res#lado #e b#s!a,os. +n las s#!esiones ve,os #e son!on!e/os visos anerior,ene en el álgebra a #e !on las s#!esiones /ode,osenlisar #n deer,inado !on#no de n',eros en orden lógi!o as* /oder en!onrar elres#lado #e b#s!a,os en las series ininias ve,os #e son las s#,as /ar!iales de

las s#!esiones a #e !on la !#al a,bi-n son /are esen!ial en la b's#eda de di!ores#lado /ara,erio esable!ido !on anerioridad en #n orden lógi!o.

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Documents

Modo de Vida e Identidad Nacional