Moderne Porteføljeteori - PUREpure.au.dk/portal/files/36145940/F_rdig_opgave.pdf · Moderne porteføljeteori går i al sin enkelthed ud på at måle en porteføljes mulige afkast

HA, Almen 6. Semester Gruppe nr. S11-13,64

Bachelor afhandling

Tværfagligt institut Opgaveskriver:

Lasse Maigaard Randløv

Vejleder:

Henning Rud Jørgensen

Moderne Porteføljeteori

Handelshøjskolen, Aarhus Universitet

Forår 2011

Abstract

Harry Markowitz developed the modern portfolio theory in 1952. He’s theory is accepted as one of

the most important pieces of theory in portfolio theory. This thesis will consider how well Harry

Markowitz’ theory performs in the market of 2010.

The thesis is divided into two parts. One of which is a theoretical review of the theory, and the

second is an empirical analysis of the performance of 2010. The aim with the theoretical review

show how the parts of modern portfolio theory works and how to make an efficient portfolio. The

theory consist of three parts, expected yield, risk for an asset and the correlation between the assets.

The risk calculation is based around the mean-variance method, where each little piece of

information is wheigted equally. It is also important to show how to use diversification to reduce

risk. The theoretical part also contained a number of performance measures. These measures is used

to analyse the portfolio’s that is to be constructed.

Before the empirical analysis can take place it is important to conduct a test of the data material.

Since modern portfolio theory is based on the condition that the data should follow a normal

distribution, the data is tested for skewness, kurtosis and this leads to the jarque-bera test. The test

showed that the data material to choose was that of weekly return, hence it was the data closest to

the normal distribution.

During the construction of portfolio’s according to the mean variance it appered that the rise in the

stock market did only have little effect on the portfolio’s. This is because of the size of the data

material. Even though the portfolio’s still pointed towards an increased portion of stocks in the late

2010. It was concluded with statistic certainty that the minimum variance portfolios was not able to

perform better than a simple benchmark.

A new approach was taken to calculate the risk of assets. The GARCH(1,1) is considered to be

better at capturing the developments in the market, hence it has a built in decay factor. This means

that the data will be wheighted accourding to its relevance, with the newest data being the most

relevant. This approach led to a better interpretation of what the market was ought to do. The

calculated risk came a lot closer to the real risk for the assets due to the weighting of the data. The

portfolio’s constructed according to the new risk showed that they we’re more likely to increase the

portion of stocks in the portfolio.

The Sharpe ratio showed that the mvp constructed accourding to the mean variance method was

superior to the mvp constructed by the GARC(1,1) model. When the tangency portfolios was

measured it showed that the GARCH was far superior to the mean variance method. It was

therefore concluded that the GARCH(1,1) model was better at capturing the movements of the

market.

Indhold

1. Indledning ..................................................................................................................................... 1

1.1 Problemformulering .............................................................................................................. 1

1.2 Afgrænsning .......................................................................................................................... 2

1.3 Metodevalg ............................................................................................................................ 3

2. Markowitz’ mean-variance porteføljeteori ................................................................................... 4

2.1 Forventet afkast og standardafvigelse for et aktiv ................................................................. 4

2.2 Kovarians og korrelation ....................................................................................................... 5

2.3 Forventet afkast og standardafvigelse for en portefølje ........................................................ 8

2.4 Diversifikation ....................................................................................................................... 9

2.4.1 Systematisk risiko ........................................................................................................ 10

2.4.2 Usystematisk risiko ...................................................................................................... 10

2.5 Den efficiente rand .............................................................................................................. 11

2.5.1 Den efficiente rand uden mulighed for kortsalg .......................................................... 11

2.5.2 Den efficiente rand med mulighed for kortsalg ........................................................... 11

2.5.3 Den efficiente rand kombineret med et risikofrit aktiv ................................................ 12

2.6 Performanceevaluering ........................................................................................................ 13

2.7 Delkonklusion ..................................................................................................................... 15

3. Databehandling ........................................................................................................................... 16

3.1 Datagrundlaget .................................................................................................................... 16

3.1.1 Porteføljedata ............................................................................................................... 16

3.1.2 Den risikofrie rente ...................................................................................................... 17

3.2 Test af normalfordeling ....................................................................................................... 18

3.2.1 Skewness ...................................................................................................................... 18

3.2.2 Kurtosis ........................................................................................................................ 18

3.2.3 Jarque-bera ................................................................................................................... 18

3.3 Test af datamateriale ........................................................................................................... 19

4. Porteføljekonstruktion ved Mean-variance ................................................................................. 20

4.1 Datamateriale....................................................................................................................... 20

4.1.1 Afkastserie for de enkelte aktiver ................................................................................ 21

4.1.2 Standardafvigelse for de enkelte aktiver ...................................................................... 22

4.1.3 Korrelation og kovarians .............................................................................................. 24

4.2 Porteføljekonstruktion uden kortsalg .................................................................................. 27

4.2.1 Udledning af MVP ....................................................................................................... 27

4.2.2 Udledning af tangentporteføljen .................................................................................. 29

4.3 Porteføljekonstruktion med kortsalg ................................................................................... 32

4.3.1 Udledning af MVP ....................................................................................................... 32


4.4 Performancevaluering ......................................................................................................... 35

4.4.1 Performance for MVP .................................................................................................. 35

4.4.2 Performance for tangentporteføljen ............................................................................. 37

4.5 Delkonklusion ..................................................................................................................... 39

5. Porteføljekonstruktion ved GARCH(1,1) ................................................................................... 40

5.1 Teoretisk gennemgang af GARCH(1,1) .............................................................................. 40

5.2 Datamateriale....................................................................................................................... 41

5.2.1 Standardafvigelse for de enkelte aktiver ...................................................................... 41

5.2.2 Korrelation og kovarians .............................................................................................. 42

5.3 Porteføljekonstruktion uden kortsalg .................................................................................. 45

5.3.1 Udledning af MVP ....................................................................................................... 45


5.4 Porteføljekonstruktion med kortsalg ................................................................................... 49


5.5 Performancemål................................................................................................................... 51

5.5.1 Performance for MVP .................................................................................................. 51

5.5.2 Performance for tangentporteføljen ............................................................................. 52

5.6 Delkonklusion ..................................................................................................................... 54

5.7 Performanceforskelle imellem GARCH(1,1) og Mean-variance ........................................ 54

6. Konklusion .................................................................................................................................. 56

7. Litteraturliste ............................................................................................................................... 58

8. Bilag ............................................................................................................................................ 59

Side | 1

1. Indledning

Moderne porteføljeteori går i al sin enkelthed ud på at måle en porteføljes mulige afkast i forhold til

dennes risiko. Dette koncept blev introduceret at Harry Markowitz i 1952, hvor han lancerede netop

dette begreb, moderne porteføljeteori. Stik imod datidens normer introducerede Markowitz, at man

ikke blot så på, hvor højt et afkast en portefølje kunne generere, men også hvor stor en risiko, der

var forbundet med denne portefølje. Når der foretages en investering i en aktie eller en obligation,

er der forbundet en risiko med dette køb. Denne risiko bliver beregnet ved at se på historiske data,

hvilket har ført til nogle massive tab for investorer, senest under finanskrisen i 2008. Her blev

mange forblændet af, at alle investeringer, der blev foretaget i en lang periode inden finanskrisen,

gik overordentligt godt. Dette fik selvsagt lokket flere mennesker til at investere på egen hånd.

En investor har muligheden for at sprede sine aktiver, således at disse danner en portefølje af

aktiver. Det kan således lade sig gøre for investor at minimere dennes risiko ved at sprede sin

investering ved diversificering. Det var i denne forbindelse, at Markowitz introducerede sin teori.

Teorien indregner aktivernes indbyrdes korrelation, således at mange risikofyldte aktiver kan

sammensættes på en sådan måde, at de tilsammen danner en mindre porteføljerisiko, end de ville

have gjort enkeltvis. Risikoen bliver, som tidligere nævnt, baseret på historiske data, der skal

forsøge at fortælle noget om fremtiden. Dette er dog problematisk, da historien sjældent gentager

sig selv. Dette skaber nogle problemer for Markowitz’s teori.

1.1 Problemformulering

Hovedformålet med denne opgave er at analysere, hvordan moderne porteføljeteori klarede sig i

2010. Dette vil blive gjort med udgangspunkt i C20 indekset samt tre danske statsobligationer. Den

moderne porteføljeteori gør det muligt at forudsige hvilke risikofyldte aktiver, der skal skæres ned

på i den samlede portefølje ved konstant at søge minimering af risikoen for den samlede portefølje.

Den første del af opgaven bruges til gennemgang af moderne porteføljeteori ved at redegøre for

beregningerne af afkast, risiko samt indbyrdes korrelation aktiverne imellem. Disse værdier kan

således bruges til at sammensætte den efficiente rand, minimumvariansporteføljen samt en

udledning af kapitalmarkedslinien, eller tangentporteføljen. Det vil ydermere blive udledt, hvordan

det med teorien er muligt at bortdiversificere den usystematiske risiko, hvilket så betyder, at en

investor kan påregne at modtage afkast for den systematiske risiko.

Side | 2

Inden den empiriske del at analysen af moderne porteføljeteori undersøges, hvorvidt

forudsætningerne for teorien er opfyldt. Dette gøres ved at undersøge, om det udregnede afkast

følger en normalfordeling.

Den empiriske del af opgaven vil være en demonstration af moderne porteføljeteori, der viser,

hvordan porteføljernes afkast og risiko ændres i løbet af 2010. Det er i denne sammenhæng også

vigtigt at se på den indbydes korrelation, da denne har stor indvirkning på risikoreduktionen, alt

efter om korrelationen er høj eller lav. Det er ydermere interessant at se på udviklingen i

minimumvariansporteføljen i forhold til den risikofrie rente.

I den oprindelige teori blev der brugt gennemsnitlig varians. Problemet med at benytte

gennemsnitlig varians er, at varianserne i finansielle tidsserier ikke er stationære. Derfor inddrages

en model, der tager højde for dette. GARCH(1,1) bliver brugt til at udregne den nye risiko. Dette

bruges til at sammensætte nye korrelationsmatricer og derigennem også sammensætning af nye

porteføljer. Det vil til slut blive undersøgt, om de sammensatte porteføljer er i stand til at performe

bedre end et simpelt benchmark, og ikke mindst om GARCH(1,1) eller den gennemsnitlige

varianser klarer sig bedst.

Med inddragelse af kortsalg bliver det analyseret, hvorvidt det er muligt at tjene på aktier, der går

nedad i et ellers opadgående marked. Det vil i givet fald være muligt at udnytte, at en aktie generer

et negativt afkast. Dette bruges også til at minimere den samlede porteføljes risiko. Dette vil blive

anvendt ved konstruktion ved mean-variance og GARCH(1,1).

Det store spørgsmål er, om moderne porteføljeteori er brugbar i den moderne verden, altså om den

virkelig er så moderne. Det vil derfor være nødvendigt undervejs at forholde sig til, hvordan teorien

performer i forhold til benchmarket.

1.2 Afgrænsning

Datamaterialet strækker sig fra 2000 til 2010, da dette giver et billede af, hvordan markedet har

svinget de seneste 10 år. I forbindelse med beregning af de enkelte investeringsmuligheders afkast

vil der ikke blive taget højde for eventuelle handelsomkostninger samt skattemæssige forhold.

Teorien vil ikke komme med noget bud på, hvor meget der skal investeres i aktiver, men blot

vægtningen imellem aktiverne.

Side | 3

1.3 Metodevalg

Til sammensætning af porteføljerne vil der blive taget udgangspunkt i moderne porteføljeteori, som

blev introduceret af Harry Markowitz i 1952.

Til at teste, om datamaterialet følger en nomalfordeling, vil det blive foretaget test for skewness,

kurtosis og Jarque-bera i EViews. Dette gøres for at undersøge, om analysen skal bygge på uge-

eller dagsdata.

Selve udregningen af de enkelte porteføljer vil blive udført i Excel ved brug af en solver-funktion.

For at undersøge, hvordan den moderne porteføljeteori klarede sig igennem 2010, vil der blive

sammensat en ny portefølje primo i hver måned året igennem. Der bliver i denne sammenhæng

både fundet minimumvariansporteføljer og tangentporteføljer, med og uden kortsalg for alle

månederne. Disse porteføljer vil derefter blive bedømt på baggrund at tre perfomancemål. De tre

mål er Sharpe ratio, Treynor ratio og Jensens alpha. Ud fra disse tre er det muligt at konkludere, om

porteføljerne har klaret sig bedre end benchmarket.

Vægtene for GARCH(1,1) modellen vil blive estimeret ved brug af EViews. Dette er blevet gjort

ved at følge eksemplet fra Eviews 6 users guide II på siden 194. Vægtene er estimeret ud fra en t-

fordeling. Herudover vil afsnittet for GARCH(1,1) varianserne følge samme fremgangsmåde som

mean-variance afsnittet for enkelthedens skyld.

Side | 4

2. Markowitz’ mean-variance porteføljeteori

Dette afsnit har til formål at præsentere den bagvedliggende teori som den senere analyse skal

bygge på. Afsnittet fremhæver elementerne i Markowitz’ mean-variance porteføljeteori samt

performancemåling af porteføljerne.

2.1 Forventet afkast og standardafvigelse for et aktiv

For at kunne udlede den efficiente rand er det nødvendigt først at kunne bestemme det forventede

afkast for et enkelt aktiv. Dette afkast vil senere blive brugt igen, når det forventede afkast for en

portefølje skal udregnes. Det forventede afkast skal give en eventuel investor en idé om, hvad denne

kan forvente sig af den investering, vedkommende skal til at foretage. Når det forventede afkast

skal udregnes, kan man vælge to forskellige tilgange til dette - den aritmetiske og den geometriske.

I denne sammenhæng giver det mest mening at anvende det geometriske gennemsnit, da dette

bygger på historiske data. Da porteføljeteorien er opbygget til at betragte ting over flere

tidsperioder, er det givetvis det geometriske gennemsnit, der skal anvendes. Dette udregnes på

følgende måde:

1

Hvis der i samme ombæring skal tages højde for udbetaling af dividende, så ser ligningen imidlertid

lidt anderledes ud:

2

Hvor E(R) er det gennemsnitlige forventede afkast for aktiv i i perioden t.

Ovenstående formel kan regne det gennemsnitlige forventede afkast ud, men den giver ikke

investoren nogen idé om, hvor meget det egentlige afkast kan afvige fra gennemsnittet. Hertil

bruges variansen til at beskrive, hvor stor risiko, der er forbundet med aktivet. Variansen udregnes

ved følgende formel:

1 Simon Benninga: Financial Modelling, second edition s. 131

2 Simon Benninga: Financial Modelling, second edition s. 132

2.1

2.2

Side | 5

3

Senere i forløbet skal standardafvigelsen bruges. Standardafvigelsen udregnes ved at tage

kvadratroden af variansen.

2.2 Kovarians og korrelation

Markowitz’ porteføljeteori tager ikke kun højde for risikoen for det enkelte aktiv. Den inkorporerer

også de enkelte aktivers korrelation. Dette betyder, at man ved at samle en portefølje kan få en

lavere samlet risiko for porteføljen, end hvad der er på det enkelte aktiv.

For at udregne den samlede porteføljes risiko må man først beregne kovariansen imellem de enkelte

aktiver. Kovariansen er et mål for, hvordan afkastene svinger med hinanden. Kovariansen imellem

to aktiver udregnes på følgende måde:

4

Hvor σij er kovariansen imellem aktiv 1 og aktiv 2. er den sum, som afkastet for aktiv 1

afviger fra aktiv 1’s forventede gennemsnitlige afkast, og er den sum, som afkastet for

aktiv 2 afviger fra det forventede gennemsnitlige afkast for aktiv 2.

Da kovariansen potentielt kan gå fra -∞ til ∞, kan den være umådelig svær at arbejde med. Derfor

kan det være en god idé at omregne kovariansen til en korrelationsfaktor. Dette gøres på følgende

måde:

5

3 Elton, Gruber, Brown, Goetzmann; Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, Eighth edition, s. 47


5 Christensen Michael, Pedersen Frank: Aktieinvestering – Teori og praktisk anvendelse, 2 udgave, s. 51

2.3

2.4

2.5

Side | 6

Hvor ρij er korrelationsfaktoren. Denne formel indregner proportionerne fra kovariansen, men lader

kun tallene gå fra -1 til 1. Dette er en stor fordel, når der tolkes på tallene, da det således bliver mere

håndgribeligt.

Da korrelationsfaktoren kan svinge i intervallet [-1;1], kan det tilskrives forskellige betydninger, alt

efter om korrelationsfaktoren er -1, 0 eller 1. Dette er vist nedenfor:

Hvis 0 < ρij < 1 så korrelerer aktiverne positivt med hinanden.

Hvis ρij = 0 så korrelerer aktiverne ikke med hinanden.

Hvis -1 < ρij < 0 så korrelerer aktiverne negativt med hinanden.

Da der tidligere er udledt korrelationsfaktorer for to aktiver, kan der matematisk udledes, hvordan

korrelationen vil påvirke en portefølje med to aktivers standardafvigelse. Formlen herfor ses

nedenunder:

6

Hvor variansen således kan udledes som

Dette danner grundlaget for betragtning af korrelationsfaktorer lig -1, 0 og 1.

Hvis korrelationsfaktoren er lig med -1 siges det, at aktiverne korrelerer negativt med hinanden. Det

vil sige, at når aktiv 1 falder i værdi, så stiger aktiv 2 med en tilsvarende værdi. Dette kaldes perfekt

negativ korrelation. Risikoen kan i tilfælde af perfekt negativ korrelation elimineres på følgende

måde:

1.

2.

3.

4.

Det er nu muligt at divercificere risikoen bort, såfremt at σP = 0. Dette kan gøres på følgende

måde:

6 Moffet, Stonehill, Eitman; Fundamentals of multinational finance, Third edition, s. 462

Side | 7

5.

6.

7.

8.

Dette kan nu sættes ind i sætning 5, hvorefter følgende opnås:

9.

og

Det ses herved, at ved perfekt negativ korrelation, vil det være muligt at bortdivercificere risikoen

fuldstændigt.

Hvis korrelationsfaktoren er lig 0, betyder det, at der ingen sammenhæng er imellem aktiverne. Det

første led er som vist tidligere:

1.

Da korrelationsfaktoren er lig 0, kan det sidste led udelukkes. Derfor kan formlen forlænges til at

gælde M aktiver.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Det kan herved ses, at risikoen for porteføljen kan reduceres, når korrelationsfaktoren er lig 0.

Effekten er dog aftagende jo flere aktiver, man åbner op for.

Hvis korrelationsfaktoren er lig 1, betyder det, at der er positiv korrelation imellem de to aktiver.

Dette er ensbetydende med, at når aktiv 1 stiger i værdi, så stiger aktiv 2 med samme værdi. Derfor

kan risikoen beregnes på følgende måde:

Side | 8

1.

2.

3.

4.

Det kan herved ses, at når aktiverne er perfekt korrelerede, så er det ikke muligt at nedbringe

risikoen. Det betyder, at porteføljens risiko blot vil være summen af aktivernes totale risiko. Dette

betyder selvsagt også, at der ved inddragelse af yderligere aktiver ikke kan opnås nogen reduktion

af risikoen.

Nedenfor ses forholdet imellem forventet afkast og standardafvigelse for de tre korrelationsfaktorer.

Figur 2.2 1: Viser hvordan risikoen kan minimeres i forhold til forskellige korrelationer imellem 2 aktiver

Kilde: Egen tilvirkning

Det ses her tydeligt, at jo højere korrelation, jo lavere mulighed er der for at reducere risikoen.

2.3 Forventet afkast og standardafvigelse for en portefølje

Det samlede forventede afkast for en portefølje indeholdende flere aktiver kan udregnes ved

følgende formel:

Korrelation = 1 Korrelation = 0 Korrelation = -1 standardafvigelse

Afkast

Side | 9

2.7

7

Hvor angiver det samlede afkast for porteføljen, og M angiver antallet af aktiver i porteføljen. wi

angiver vægten af det enkelte aktiv i porteføljen. Såfremt samtlige aktiver i porteføljen er vægtet

ens, så kan wi erstattes med M-1

.

Porteføljens varians kan udregnes på følgende måde:

8

2.4 Diversifikation

Diversifikation er en måde, hvorpå en investor kan nedbringe risikoen i dennes portefølje ved at

sprede aktiverne i porteføljen. Det er i denne sammenhæng da nødvendigt at skelne imellem

systematisk og usystematisk risiko. Systematisk risiko er risiko, der forekommer som følge af

usikkerhed i økonomien. Usystematisk risiko er den risiko, der er forbundet med det enkelte aktiv.

Det er ikke muligt at bortdiversificere den systematiske risiko, da denne type risiko har ens

indflydelse på samtlige aktiver i porteføljen. Den usystematiske risiko kan derimod godt

diversificeres bort, i og med at risikoen for porteføljen er faldende, alt efter hvor mange aktiver, der

inkorporeres i denne. Jo flere aktiver, jo mindre risiko. Sammenhængen er illustreret nedenfor.

7 Moffet, Stonehill, Eitman; Fundamentals of multinational finance, Third edition, s. 464


2.6

Side | 10

Figur 2.4 1: Illustration af systematisk og usystematisk risiko


Sammenhængen imellem risiko og antallet af aktiver ses tydeligt. Når antallet af aktiver stiger, så

falder den usystematiske risiko også. Det ses også, at diversificering ingen effekt har på systematisk

risiko.

2.4.1 Systematisk risiko

Systematisk risiko kaldes også for markedsrisikoen. Det er ikke muligt at diversificere

markedsrisikoen bort ved at øge mængden af aktiver, da det er hele markedet, der bliver påvirket af

denne risiko. Man kan dog, vha. af international diversificering reducere markedsrisikoen. Dette

kan lade sig gøre, da de forskellige markeder har forskellig markedsrisiko. Så ved at sprede sin

portefølje ud på forskellige markeder med lav markedsrisiko kan man nedbringe den samlede

porteføljerisiko.

2.4.2 Usystematisk risiko

Den usystematiske risiko er den risiko, der forekommer ved investering i et enkelt aktiv. Denne

risiko kan nedbringes ved at investere i flere forskellige aktiver. Sammenhængen er som tidligere

vist:

systematisk risiko usystematisk risiko

Porteføljerisiko

Antal aktiver

Side | 11

2.8

Dog under den forudsætning af, at korrelationen imellem de aktiver, der er i porteføljen, er lig 0.

Derfor forekommer det, at når man øger mængden af aktiver (M), så falder den samlede

porteføljerisiko. Effekten er dog aftagende, når mængden af aktiver øges kraftigt, som vist ovenfor.

2.5 Den efficiente rand

Den efficiente rand udgøres af mange forskellige porteføljer. Selve randen er sammensat af de

porteføljer, som har det mest gunstige forhold imellem risiko og afkast. Den findes ved at plotte alle

de forskellige kombinationer af porteføljer i forhold til risiko og afkast. Gøres dette, vil alle

porteføljerne komme til at fremstå som en sky i et koordinatsystem. Den efficiente rand har

begyndelsespunkt i et punkt, der hedder minimum varians porteføljen (MVP). Minimum varians

porteføljen er den porteføljekombination, der indeholder den lavest mulige risiko.

2.5.1 Den efficiente rand uden mulighed for kortsalg

Når den efficiente rand skal udregnes uden mulighed for kortsalg, kan man benytte Lagrange-

optimering. Optimeringen sker ved, at porteføljens varians minimeres under en række betingelser.

9

Under betingelse af:

1.

2.

3.

Betingelse nr. 1 sørger for, at de samlede vægte for porteføljen bliver 1. Sammen med betingelse 3,

der sørger for, at vægtene ikke bliver negativ, gør dette, at der ikke er mulighed for kortsalg.

Betingelse 2 skal forsøge at minimere variansen.

2.5.2 Den efficiente rand med mulighed for kortsalg

Mulighed for kortsalg er en situation, hvor en investor kan ’låne’ et aktiv hos en anden investor.

Man kan sige, at første investor sælger et aktiv, som denne reelt set ikke ejer. Bevæggrunden for

denne aktivitet er, at investor har en forventning om et kursfald. Aktivet lånes og videresælges,

hvorefter det, efter forventningerne, falder i kurs. Investor køber så reelt aktivet tilbage fra

9 Christensen Michael, Pedersen Frank: Aktieinvestering – Teori og praktisk anvendelse, 2 udgave, s. 55

Side | 12

vedkommende, han har videresolgt det til for så at give det tilbage til den person, aktivet er lånt hos.

10

Rent praktisk betyder dette blot, at betingelsen om, at porteføljens vægte skal være positive, glider

bort.

2.5.3 Den efficiente rand kombineret med et risikofrit aktiv

I de foregående afsnit er der kun blevet beskrevet, hvordan man arbejder med risikofyldte aktiver. I

det følgende vil også risikofrie aktiver blive taget med i overvejelserne. Den lineære sammenhæng

imellem et risikofrit aktiv og de risikofyldte porteføljer, afbilledet som den efficiente rand, kaldes

for kapitalmarkedslinien . Denne linie tangerer den efficiente rand i det punkt hvor porteføljens

forhold imellem risikopræmie og risiko er mest gunstig, men mere om det senere.

Figur 2.5.3 1: Illustration af kapitalmarkedlinien


Det forventede afkast for kombinationen imellem det risikofrie aktiv og den risikofyldte portefølje-

sammensætning er givet ved:

11

10

Christensen Michael, Pedersen Frank: Aktieinvestering – Teori og praktisk anvendelse, 2 udgave, s. 55 11

Elton, Gruber, Brown, Goetzmann; Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, Eighth edition, s. 85

Den efficinte rand Kapitalmarkedslinien Tangentporteføljen MVP

Afkast

std. afv.

2.9

Side | 13

Hvor wp angiver andelen, der investeres i den risikofyldte portefølje, angiver det afkast, den

risikofyldte portefølje skaber. RF er det sikre afkast for det risikofrie aktiv. Risikoen for

kombinationen udregnes således:

12

Da risikoen for det risikofrie aktiv selvsagt er 0, kan udtrykket reduceres til følgende:

Formlen for udregning af risiko kan forkortes til kun at gælde risikoen for porteføljen og den andel,

der investeres i den risikofyldte portefølje.

2.5.3.1 Kapitalmarkedslinien

Kapitalmarkedslinien er den lineære sammenhæng imellem det risikofrie aktiv og den risikofyldte

portefølje. Denne sammenhæng kan beskrives ved følgende udtryk:

13

Kapitalmarkedslinien er således bestemt af to dele. Den ene er en konstant i form af den risikofrie

rente, og den anden er hældningskoefficienten, som er bestemt ud fra risikoen for den kombinerede

portefølje ganget med risikopræmien, som er det forventede afkast for porteføljesammensætningen

minus den risikofrie rente, pr. risikoenhed. Det sidste udtryk i ligningen kaldes for Reward-to-

Variability ratio (RTVR). Hældningen på kapitalmarkedslinien vil således blive der, hvor RTVR er

størst.

2.6 Performanceevaluering

Til evaluering af, hvorledes de forskellige porteføljer klarer sig, er der tre nøgletal, der er essentielle

at betragte. Disse er Sharpe’s ratio, Treynor’s ratio og Jensens alpha. Sharpe’s ratio er udtrykt vha.

kapitalmarkedslinien, imens Treynor’s-ration og Jensens alpha er udtrykt vha.

sikkerhedsmarkedslinien. Performanceevaluering er vigtigt, fordi disse nøgletal ikke bare

12

Elton, Gruber, Brown, Goetzmann; Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, Eighth edition, s. 85 13

Christensen Michael, Pedersen Frank: Aktieinvestering – Teori og praktisk anvendelse, 2 udgave, s. 62

2.10

2.11

Side | 14

analyserer, hvor stort afkastet for en portefølje er. De sammenholder afkastet med den risiko, det

indebærer.

Sharpe’s ratio udregner porteføljens merafkast udover den risikofrie rente, pr. risikoenhed. Dette er

det samme som hældningen på kapitalmarkedslinien, og er udtrykt på følgende måde:

14

Sharpe’s ratio angiver altså risikopræmien pr. ekstra risikoenhed, man er villig til at påtage sig.

Treynor-indekset er et mål for porteføljens merafkast udover den risikofrie rente, ligesom Sharpe. I

stedet for at bruge risikoenheden bruger Treynor porteføljens Betaværdi, som er et udtryk for den

systematiske risiko.

15

Hvor for porteføljen er udtrykt ved:

16

Treynor indekset er også hældningen på sikkerhedsmarkedslinien i en CAPM model, og kaldes for

Reward-to-Volatility.

Jensens alpha er porteføljens risikopræmie minus det forventede afkast bestemt ud fra CAPM

modellen. Det beregnes på følgende måde:

17

Jensens alpha måler således afstanden imellem det reelle afkast og det forventede afkast. Jensen

alpha kan, ved brug af en lineær regression, estimeres. Formlen for dette er ud på følgende måde:

18

14

Moffet, Stonehill, Eitman; Fundamentals of multinational finance, Third edition, s. 467 15

Moffet, Stonehill, Eitman; Fundamentals of multinational finance, Third edition, s. 468 16



Farrell, Reinhart & Farrell; Porfolio management: Theory and application, second edition s. 522

2.12

2.13

2.14

2.15

2.16

Side | 15

2.7 Delkonklusion

I ovenstående afsnit er det blevet gennemgået, hvordan den mest efficiente portefølje kan

sammensættes ved Markowitz’ porteføljeteori. Det blev udledt, hvordan det forventede afkast og

standardafvigelse for et aktiv blev fundet. Disse to tal danner grundlaget for resten af analysen.

Denne analyse byggede på udregningen af det forventede afkast for en portefølje og risikoen for

denne portefølje, samt udledningen af, hvordan den efficiente rand bestemmes med og uden

kortsalg. Til sidst blev de tre performanceevalueringstal, Sharpe’s ratio, Treynor’s ratio og Jensen

alpha, gennemgået.

Side | 16

3. Databehandling

I indestående afsnit vil de elementer, der indgår i datamaterialet blive fremlagt. Datamaterialet skal

selvsagt danne grundlag for anvendelse af teorien, som er beskrevet ovenfor. Ydermere vil der også

være en beskrivelse af hvilke statistiske tests og krav, der skal efterprøves.

3.1 Datagrundlaget

I dette afsnit vil det bagvedliggende datamateriale blive fremlagt, således at det fremkommer hvilke

data, der bruges til at skabe de enkelte porteføljer. Der vil ydermere være en beskrivelse af det

benchmark, der skal bruges til performanceevaluering.

3.1.1 Porteføljedata

Datamaterialet vil indeholde både aktier og obligationer. Da fokus er på det danske marked, vil der

indgå aktier fra C20 indekset og danske statsobligationer. Data vil strække sig fra primo 2000 til

ultimo 2010. Der vil blive set bort fra aktier, der ikke har været i indekset i hele perioden. Dette

betyder, at følgende aktier og obligationer er blevet valgt:

Tabel 3.1.1 1: Oversigt over valgte aktiver

Aktier Obligationer

Maersk A GN Store Nord Danske statsobligationer - 2 årige

Maersk B NKT Danske statsobligationer - 5 årige

Carlsberg B Novo Nordisk Danske statsobligationer - 10 årige

Danisco Sydbank Danske Bank Topdanmark

DSV Vestas

FL Smidth William Demant


Dataserien er optaget over så lang en periode på grund af, at jo længere en periode data er indsamlet

over, jo mere præcis bliver estimaterne. Dette gælder, hvis der er tale om statiske tal19

.

19


Side | 17

Figur 3.1.1 1: Illustration af udviklingen i C20 indekset


Man kan af figuren se, at markedet her gennemgår både høj- og lavkonjunktur, samt konjunktur-

svingninger.

3.1.1.1 Afkast for aktiverne

Afkastet for aktiverne bliver fundet vha. Datastream. Selve afkastene bliver udregnet ved brug af

den funktion, der kaldes ’total return index’. Denne funktion sørger for, at der bliver taget højde for

dividendeudbetalinger i perioden. Dette gøres ved følgende funktion:

20

Hvor RIt er return indekset i tidspunktet t, PIt er pris indekset i tidspunktet t, DYt er dividenden i

tidspunktet t og N er det samlede antal observationer. Det er herefter muligt at udregne forventede

afkast ved brug af RIt.

3.1.2 Den risikofrie rente

Den risikofrie rente er bestemt ud fra det afkast som den 10-årige sstatsobligation giver. Grunden til

at det 10-årige statsobligation er valgt til netop dette, er at man for dette aktiv kan sige at der

genereres en sikkert og forudsigeligt afkast ved obligationen.

20

Datastream 4

0

100

200

300

400

500

600

1999 2001 2002 2004 2005 2006 2008 2009 2010

OMX COPENHAGEN (OMXC20)- PRICE INDEX

3.1

Side | 18

3.2 Test af normalfordeling

Som tidligere skrevet er Markowitz’ porteføljeteori afhængig af normalfordeling. I dette afsnit skal

afkastet testes for normalfordeling. Da dette er en forudsætning, vil materialet blive testet for

skævhed og kurtosis. Til slut vil der blive udført en Jarque-bera test, som bygger på kurtosis og

skævhed. Denne test bruger de to foregående tests til at vurdere, om der er tale om en

normalfordeling.

3.2.1 Skewness

Skewness er et mål for, hvor assymetrisk fordelingen er omkring sit gennemsnit. Skewness

udregnes på følgende måde:

21

Hvor yi er, i dette tilfælde, afkastet, og N er antallet af observationer. Ved en skævhed på 0 vil det

betyde, at fordelingen er normalfordelt. Hvis værdien er positiv, betyder det, at fordelingen er

højreskæv, og negativ betyder, at den er venstreskæv.

3.2.2 Kurtosis

Dette er et mål for fladheden af fordelingen. Det er udregnet ved følgende formel:

22

Hvis fordelingen er normalfordelt, vil den have en kurtosisfaktor på 3. Er den over 3, vil det betyde,

at fordelingen vil have en større sandsynlighed for fede haler.

3.2.3 Jarque-bera

Denne test måler, om fordelingen følger en normalfordeling. Dette gør den ved at bruge både

skewness og kurtosis. Jarque-bera testen udregnes ved følgende formel:

23

Hvor S er skewness og K er kurtosis. Tallet skal vurderes ud fra en χ2

fordeling med 2

frihedsgrader. Det betyder, at hypotesetesten vil se således ud:

21

Eviews 6 users guide 1 s. 307 22

Eviews 6 users guide 1 s. 308 23

Eviews 6 users guide 1 s. 308

3.2

3.3

3.4

Side | 19

H0: Testen viser en normalfordeling

H1: Testen viser ikke en normalfordeling

Nul-hypotesen kan forkastes, hvis Jarque-beraværdien er højere end 5,99 med et konfidensinterval

på 5%24

.

3.3 Test af datamateriale

Da der igennem datastream er mulighed for at trække både data ud på ugentlig basis og på

dagsbasis, er det nødvendigt at teste hvilken af disse to, der er bedst egnet til videre analyse.

Nedenstående er udført de tre ovenstående former for tests i EViews. Det er ikke de reelle afkast,

der er blevet testet på, men derimod de afkast, der er udregnet i henhold til formlen for geometrisk

afkast.

Tabel 3.3 1: Tabel over normalfordelingsstesten

Ugedata Dagsdata

Skewness Kurtosis Jarque-Bera Skewness Kurtosis Jarque-Bera

MAERSK 'A' 0,04 5,34 131,38 0,00 8,88 4125,35

MAERSK 'B' 0,08 4,69 69,22 0,34 10,39 6576,35

CARLSBERG 'B' -0,56 9,59 1068,84 -0,28 11,58 8831,21

DANISCO -0,92 12,68 2320,61 -0,25 14,98 17185,54

DANSKE BANK -1,04 16,38 4386,03 -0,03 9,49 5035,78

DSV 'B' -0,18 5,94 210,31 0,14 8,25 3298,25

FLSMIDTH -0,40 5,58 174,44 0,06 8,05 3043,44

GN STORE NORD 0,01 6,68 324,45 -0,45 13,03 12128,74

NKT 0,60 9,93 1183,32 0,40 10,22 6306,91

NOVO NORDISK 'B' -0,89 8,29 745,68 -0,57 16,47 21833,94

SYDBANK -2,23 23,85 10871,34 -0,51 18,68 29496,56

TOPDANMARK -0,06 7,60 505,77 -0,04 8,14 3157,18

VESTAS -0,68 8,65 808,20 -0,14 16,86 22954,78

WILLIAM DEMANT 0,23 7,68 528,36 -0,14 12,53 10854,81

OBL. 10 YEARS -0,11 4,34 44,21 -0,07 6,36 1352,57

OBL. 2 YEARS -0,09 6,11 231,76 -0,33 12,50 10829,88

OBL. 5 YEARS -0,12 4,68 68,99 0,00 1433,64 244585793,21


Det er af ovenstående tabel tydeligt at se, at der er problemer med både uge- og dagsdata. Ingen af

afkastserierne lever op til kravet om en Jarque-Bera værdi på under 5,99. Det betyder, at den

føromtalte H0 hypotese om normalfordeling kan forkastes. Det kan dog konkluderes, at ugedata er

bedre egnet til videre brug på grund af de betragteligt lavere Jarque-Bera værdier. Grunden til, at

24

Madsen: Statistical Tables s.29

Side | 20

værdierne alligevel bliver så høje, er, at afkastserierne har høje kurtosisværdier. Det er dog ikke kun

kurtosisværdierne, der er problemet, da der heller ikke er nogen af afkastserierne, der har en

tilfredsstillende skewness værdi.

Tager man udgangspunkt i ugedata for GN Store nord, observeres det, at denne har en skewness-

værdi tæt på 0, hvilket ville være tilfredsstillende. Ser man på histogrammet for GN Store Nord, er

det tydeligt, at afkastserien er både højreskæv og ’spidsere’, end hvis den havde været

normalfordelt, hvilket kurtosisværdien fortæller, da denne er over 3.25

Da det er et krav til Markowitz’ porteføljeteori, at afkastserierne skal være normalfordelte, kan der

stilles spørgsmålstegn ved validiteten af de følgende porteføljekonstruktioner. Ud fra de værdier,

som er vist ovenfor, vil ugedata blive brugt i de følgende afsnit, da denne form for data er den mest

pålidelige.

4. Porteføljekonstruktion ved Mean-variance

Efter at have gennemgået den teoretiske del, der er nødvendig for at udarbejde porteføljer vha.

Markowitz’ Mean-variance porteføljeteori, vil teorien blive anvendt til at konstruere den optimale

portefølje. I foregående afsnit blev de rå data behandlet og analyseret. Der blev ud fra en

normalfordelingstest besluttet, at ugedata var den mest pålidelige form for data, selvom ingen af de

to dataformer var specielt tilfredsstillende.

I indeværende afsnit vil først udviklingen i afkastserierne for de enkelte aktiver blive gennemgået.

Derefter vil det blive undersøgt, hvordan udviklingen for standardafvigelserne har været igennem

2010. Dette vil blive kombineret med en undersøgelse af, hvordan korrelationskoefficienterne og

kovarianserne har udviklet sig. Efter dette vil der blive udarbejdet porteføljekonstruktioner med og

uden kortsalg. Disse konstruktioner vil indeholde en udarbejdelse af minimum-varians porteføljen

samt udarbejdelse af tangentporteføljen. Til slut vil tangentporteføljerne og MVP blive analyseret i

forhold til de tidligere gennemgåede performancemålinger.

4.1 Datamateriale

Ud fra nedenstående figur kan det udledes, at 2010 var et godt aktieår, da OMXC20 indekset

generelt er stigende igennem hele perioden. Dette kan dog siges at skyldes det markante dyk, som

indekset i 2008 foretog som følge af finanskrisen.

25

Se bilag 1

Side | 21

Figur 4.1 1: Udviklingen i C20 indekset igenne 2010


Det vil blive undersøgt, hvordan Markowitz’ porteføljeteori agerer, efter finanskrisen er overstået,

og opsvinget er i gang.

4.1.1 Afkastserie for de enkelte aktiver

Det er interessant at analysere, hvordan udsvingene i aktiekurserne for 2010 kommer til at påvirke

porteføljekonstruktionerne. Her kan man både se, når markedet stiger, og når det svinger. Dette

gøres ved at sammenholde de værdier, som er udregnet til brug i porteføljekonstruktionen, med de

reelle værdier.26

Ud fra bilaget kan det ses, at de fleste udregnede afkast stiger i takt med stigningen

i C20-indekset. Det gælder dog ikke NKT, Sydbank, Topdanmark, Vestas, William Demant og den

2-årige statsobligation. De reelle afkast giver et godt billede af, hvordan C20-indekset udvikler sig.

I måneder, hvor C20-indekset svinger, kommer det også til udtryk i de reelle afkast. Afkastene

stiger også, når C20-indekset stiger. Dette viser, at de udregnede afkast er nogenlunde retvisende,

da både de udregnede og de reelle afkast følger udviklingen i C20-indekset. Dette betyder, at

porteføljen vil være nogenlunde efficient, da afkastene er baseret på historiske data, der går langt

26

Se bilag 2

300

320

340

360

380

400

420

440

460

480

500

janu

ar

febru

ar

marts

april

maj

jun

i

juli

augu

st

septem

ber

okto

ber

no

vemb

er

decem

ber

Price index

Side | 22

tilbage.27

Det har netop været vigtigt at bruge data, der går så langt tilbage for at sikre sig, at de

anvendte data er stationære og derved i nogen grad beskyttet imod ekstreme udsving, såsom

finanskrisen.

De reelle afkast ligger noget højere end de udregnede afkast, men dette skyldes, at de reelle afkast

kun bygger på månedsdata, imens de udregnede afkast bygger på hele dataserien.

Det udregnede afkast er positivt for alle aktiverne igennem hele perioden med undtagelse af GN

Store Nord aktien, som er negativ igennem hele 2010. Maersk B aktien starter ud med et negativt

afkast i januar. Det er ydermere værd at bemærke, at både Maersk A og Maersk B’s gennemsnitlige

afkast ligger under de tre obligationers. Yderligere bemærkes det, at Danisco ligger på samme

niveau som obligationerne, hvilket betyder, at Danisco-aktien ikke generer noget merafkast i

forhold til de tre obligationer. Det samme gør sig gældende for Maersk A og Maersk B. Dvs. at der

ingen risikopræmie er for at investere i de mere risikofyldte aktier.

De aktier, der performer bedst, er DSV B og NKT aktierne.

4.1.2 Standardafvigelse for de enkelte aktiver

I forbindelse med porteføljesammensætningen er det ikke kun vigtig at behandle afkastet for de

enkelte aktiver. Det er mindst lige så vigtigt at medregne risikoen, eller standardafvigelsen, for det

enkelte aktiv. Man kan af bilaget se, at de udregnede standardafvigelser forbliver nogenlunde

konstante igennem hele 2010.

Ud fra tallene er det tydeligt at se, at der er langt større risiko ved at investere i aktier i forhold til at

investere i obligationer. Dette skal også ses i lyset af, at aktier generelt giver et højere afkast end

obligationer, og aktierne derfor vil have en højere risikopræmie.

Det ses, at Vestas og GN Store Nord har de to største standardafvigelser igennem hele 2010. Hvis

man ser på afkastværdierne igennem hele dataperioden, kan man godt se hvorfor.

27


Side | 23

Figur4.1.2 1: Afkastserie for Vestas


Det ses tydeligt, at der i ovenstående figur er store udsving, dvs. hvor den beregnede afkastværdi er

forskellig fra nul. Det ses her, at Vestas-aktien er meget svingende og med store fald i slutningen af

2008, hvor finanskrisen fladede ud. Det er grundet alle disse udsving, at standardafvigelsen for

Vestas ligger så højt. Ser man derimod på obligationen i nedenstående figur, ses det, at spredningen

omkring 0 er meget lille, derfor også den tilsvarende mindre standardafvigelse.

Figur4.1.2 2: Afkastserie for 2-årige statsobligation


Betragtes afkastserien for Vestas er de store udsving tydelige. Disse udsving kan tyde på heteroske-

dasticitet, som er meget almindeligt for aktier. I tilfælde at heteroskedasticitet vil de udregnede

standardafvigelser blive beregnet forkert, og med forkerte standardafvigelser vil alle konstruktioner,

som standardafvigelserne er brugt til at udarbejde, blive forkert. Dette gælder den efficiente rand,

MVP og tangentporteføljen.

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

2000 2001 2002 2004 2005 2006 2008 2009

-5-4-3-2-1012345

2000 2001 2002 2004 2005 2006 2008 2009

Side | 24

4.1.3 Korrelation og kovarians

Ved porteføljekonstruktion er korrelationen imellem de enkelte aktiver og disse aktivers

standardafvigelser med til at fortælle en eventuel investor om risikoen ved en given portefølje.

Kovariansen og standardafvigelsen hænger sammen i form af korrelationen, der forklarer, hvordan

aktiverne stiger eller falder afhængigt af hinanden. Hvis korrelationen ligger omkring 0, vil det være

muligt at reducere risikoen ved hjælp af diversificering af aktiverne. Som tidligere beskrevet er

kovariansen svær at tolke på, så der vil kun blive fokuseret på korrelationskoefficienterne i følgende

afsnit.

Tabel 4.1.3 1: Korrelationsmatrice for januar

MA

ERSK

'B'

MA

ERSK

'A'

CA

RLS

BER

G 'B

'

DA

NIS

CO

DA

NSK

E B

AN

K

DSV

'B'

FLSM

IDTH

'B'

NK

T

GN

STO

RE

NO

RD

NO

VO

NO

RD

ISK

'B'

SYD

BA

NK

TOP

DA

NM

AR

K

VES

TAS

WIL

LIA

M D

EMA

NT

OB

L. 1

0 YE

AR

S

OB

L. 2

YEA

RS

OB

L. 5

YEA

RS

MAERSK 'B' 1,00

MAERSK 'A' 0,93 1,00

CARLSBERG 'B' 0,32 0,32 1,00

DANISCO 0,36 0,34 0,28 1,00

DANSKE BANK 0,41 0,42 0,40 0,42 1,00

DSV 'B' 0,53 0,51 0,36 0,37 0,43 1,00

FLSMIDTH 'B' 0,45 0,46 0,38 0,34 0,43 0,53 1,00

NKT 0,41 0,42 0,31 0,34 0,34 0,40 0,49 1,00

GN STORE NORD 0,26 0,26 0,28 0,16 0,33 0,29 0,29 0,41 1,00

NOVO NORDISK 'B' 0,25 0,24 0,22 0,20 0,28 0,34 0,23 0,22 0,18 1,00

SYDBANK 0,41 0,41 0,36 0,39 0,69 0,43 0,36 0,32 0,30 0,23 1,00

TOPDANMARK 0,35 0,36 0,25 0,31 0,38 0,42 0,38 0,28 0,26 0,25 0,35 1,00

VESTAS 0,30 0,31 0,28 0,25 0,37 0,38 0,39 0,32 0,35 0,27 0,35 0,26 1,00

WILLIAM DEMANT 0,23 0,27 0,20 0,22 0,24 0,38 0,27 0,30 0,40 0,26 0,21 0,25 0,29 1,00

OBL. 10 YEARS -0,16 -0,15 -0,14 -0,10 -0,17 -0,20 -0,17 -0,20 -0,09 -0,09 -0,11 -0,06 -0,10 -0,16 1,00

OBL. 2 YEARS -0,16 -0,17 -0,06 -0,16 -0,17 -0,19 -0,24 -0,22 -0,13 -0,09 -0,08 -0,08 -0,09 -0,17 0,65 1,00

OBL. 5 YEARS -0,17 -0,16 -0,07 -0,16 -0,22 -0,21 -0,20 -0,18 -0,11 -0,12 -0,16 -0,12 -0,12 -0,17 0,83 0,77 1,00


Ved at betragte ovenstående tabel for korrelationskoefficienterne fra januar 2010 ses det tydeligt, at

der er et skel imellem obligationer og aktiver. Korrelationen imellem obligationer og aktier er i alle

tilfælde negative. Det betyder, som det fremgår af teoriafsnittet, at når aktierne stiger i værdi, så

falder obligationerne i værdi. Obligationerne korrelerer derimod positivt med hinanden, hvilket

betyder, at når en obligation stiger i værdi, så stiger de andre obligationer også. Det samme gør sig

gældende for aktierne, da de også korrelerer positivt med hinanden. Ser man udelukkende på

Side | 25

obligationerne, ser man, at 10- og 2-års obligationerne korrelerer næsten perfekt med 5-års

obligationen.

Tabel 4.1.3 2: Korrelationsmatrice for obligationer i januar

MA

ERSK

'B'

MA

ERSK

'A'

CA

RLS

BER

G 'B

'

DA

NIS

CO

DA

NSK

E B

AN

K

DSV

'B'

FLSM

IDTH

'B'

NK

T

GN

STO

RE

NO

RD

NO

VO

NO

RD

ISK

'B'

SYD

BA

NK

TOP

DA

NM

AR

K

VES

TAS

WIL

LIA

M D

EMA

NT

OB

L. 1

0 YE

AR

S

OB

L. 2

YEA

RS

OB

L. 5

YEA

RS

OBL. 10 YEARS -0,16 -0,15 -0,14 -0,10 -0,17 -0,20 -0,17 -0,20 -0,09 -0,09 -0,11 -0,06 -0,10 -0,16 1,00

OBL. 2 YEARS -0,16 -0,17 -0,06 -0,16 -0,17 -0,19 -0,24 -0,22 -0,13 -0,09 -0,08 -0,08 -0,09 -0,17 0,65 1,00

OBL. 5 YEARS -0,17 -0,16 -0,07 -0,16 -0,22 -0,21 -0,20 -0,18 -0,11 -0,12 -0,16 -0,12 -0,12 -0,17 0,83 0,77 1,00


Dette betyder, at det ikke er muligt at fjerne risikoen ved at investere i yderligere obligationer,

medmindre der er tale om porteføljekonstruktioner med kortsalg. Det vil da være muligt at sælge en

obligation kort og købe en anden.

Da korrelationen imellem obligationer og aktier er negativ, tyder det på, at man her ved at sprede

sin investering til en kombination af både aktier og obligationer kan reducere porteføljerisikoen. Ser

man på ændringen i korrelationskoefficienterne igennem 2010, er disse hovedsagligt faldet i værdi,

dog kun med en ganske lille smule. Dette betyder stadigvæk, at det bliver marginalt lettere at

reducere risikoen for porteføljen ved at investere både i obligationer og aktier. Da

standardafvigelserne er forblevet rimeligt konstante igennem 2010, vil dette være muligt.

Tabel 4.1.3 3: Ændring i korrelationsmatricen for obligationerne fra januar til december

MA

ERSK

'B'

MA

ERSK

'A'

CA

RLS

BER

G 'B

'

DA

NIS

CO

DA

NSK

E B

AN

K

DSV

'B'

FLSM

IDTH

'B'

NK

T

GN

STO

RE

NO

RD

NO

VO

NO

RD

ISK

'B'

SYD

BA

NK

TOP

DA

NM

AR

K

VES

TAS

WIL

LIA

M D

EMA

NT

OB

L. 1

0 YE

AR

S

OB

L. 2

YEA

RS

OB

L. 5

YEA

RS

OBL. 10 YEARS -0,02 -0,02 -0,01 -0,03 -0,03 -0,04 -0,04 -0,02 -0,02 -0,02 -0,03 -0,02 -0,02 0,00 0,00

OBL. 2 YEARS 0,00 -0,00 -0,00 -0,01 -0,01 -0,02 -0,00 0,00 -0,01 -0,01 -0,01 0,00 0,00 0,00 -0,01 0,00

OBL. 5 YEARS -0,01 -0,01 -0,01 -0,02 -0,02 -0,03 -0,03 -0,01 -0,01 -0,01 -0,02 -0,01 -0,01 0,00 0,01 -0,01 0,00


Ovenstående tabel viser, at korrelationskoefficienterne kun er faldet med en ganske, ganske lille

smule. Det kan af tabellen ses, at det hovedsageligt er hos 10-års obligationen, at de største fald i

korrelationen er sket. For aktierne noteres det, at DSV B er faldet mest, over alle obligationerne, i

korrelation i forhold til de andre aktier. Korrelationerne iblandt obligationerne er mere eller mindre

uændrede. Når ændringen i korrelationskoefficienterne er af så uvæsentlig en karakter, vil dette ikke

Side | 26

få nogen effekt på måden, man kan behandle investeringen på. Obligationerne er stadig indbyrdes

positivt korrelerede, imens de i forhold til aktierne stadig er negativt korrelerede.

I nedenstående tabel er der kun fokuseret på aktierne. Det bemærkes, at de alle har positive

korrelationskoefficienter i begyndelsen af 2010. Der er næsten perfekt korrelation imellem Maersk

B og Maersk A, hvilket er logisk, da det er samme virksomhed. Derudover bemærkes det, at

korrelationen imellem Danske Bank og Sydbank ligeledes er høj, hvilket skyldes, at de opererer i

samme branche. Det samme gør sig gældende, dog i mindre grad, for DSV B og Maersk B, Maersk

A og FLSmidth B.

Tabel 4.1.3 4: Korrelationsmatrice for aktier i december

MA

ERSK

'B'

MA

ERSK

'A'

CA

RLS

BER

G 'B

'

DA

NIS

CO

DA

NSK

E B

AN

K

DSV

'B'

FLSM

IDTH

'B'

NK

T

GN

STO

RE

NO

RD

NO

VO

NO

RD

ISK

'B'

SYD

BA

NK

TOP

DA

NM

AR

K

VES

TAS

WIL

LIA

M D

EMA

NT

MAERSK 'B' 1,00

MAERSK 'A' 0,93 1,00

CARLSBERG 'B' 0,32 0,32 1,00

DANISCO 0,36 0,34 0,28 1,00

DANSKE BANK 0,41 0,42 0,40 0,42 1,00

DSV 'B' 0,53 0,51 0,36 0,37 0,43 1,00

FLSMIDTH 'B' 0,45 0,46 0,38 0,34 0,43 0,53 1,00

NKT 0,41 0,42 0,31 0,34 0,34 0,40 0,49 1,00

GN STORE NORD 0,26 0,26 0,28 0,16 0,33 0,29 0,29 0,41 1,00

NOVO NORDISK 'B' 0,25 0,24 0,22 0,20 0,28 0,34 0,23 0,22 0,18 1,00

SYDBANK 0,41 0,41 0,36 0,39 0,69 0,43 0,36 0,32 0,30 0,23 1,00

TOPDANMARK 0,35 0,36 0,25 0,31 0,38 0,42 0,38 0,28 0,26 0,25 0,35 1,00

VESTAS 0,30 0,31 0,28 0,25 0,37 0,38 0,39 0,32 0,35 0,27 0,35 0,26 1,00

WILLIAM DEMANT 0,23 0,27 0,20 0,22 0,24 0,38 0,27 0,30 0,40 0,26 0,21 0,25 0,29 1,00


Da korrelationen aktierne imellem alle er positive, vil dette betyde, at risikoreduktionen ved en

portefølje udelukkende bestående af aktier vil være begrænset. Derfor vil det, for at reducere

risikoen, være nødvendigt også at investere i obligationer og derved opnå risikoreduktion ved

diversifikation.

Nedenstående tabel viser ændringerne i korrelationskoefficienterne over 2010. Det kan, ligesom ved

obligationerne, bemærkes, at der ikke er sket nogen væsentlige forskydninger i værdierne. I de

fleste tilfælde er korrelationen dog staget en ganske lille smule, men ikke nogen af så væsentlig

karakter, at det ændrer på situationen angående diversifikation.

Side | 27

Tabel 4.1.3 5: Forskellen imellem akternes korrelationsmatrice fra januar til december

MA

ERSK

'B'

MA

ERSK

'A'

CA

RLS

BER

G 'B

'

DA

NIS

CO

DA

NSK

E B

AN

K

DSV

'B'

FLSM

IDTH

'B'

NK

T

GN

STO

RE

NO

RD

NO

VO

NO

RD

ISK

'B'

SYD

BA

NK

TOP

DA

NM

AR

K

VES

TAS

WIL

LIA

M D

EMA

NT

MAERSK 'B' 0,00

MAERSK 'A' 0,00 0,00

CARLSBERG 'B' 0,01 0,01 0,00

DANISCO 0,02 0,02 0,01 0,00

DANSKE BANK 0,03 0,02 0,01 0,00 0,00

DSV 'B' 0,01 0,01 0,01 0,02 0,02 0,00

FLSMIDTH 'B' 0,01 0,02 0,00 0,02 0,02 0,02 0,00

NKT 0,02 0,02 0,00 0,02 0,02 0,02 0,01 0,00

GN STORE NORD 0,03 0,03 0,00 0,02 0,02 0,02 0,02 0,00 0,00

NOVO NORDISK 'B' 0,01 0,01 0,00 0,01 0,01 0,00 0,01 0,01 0,01 0,00

SYDBANK 0,02 0,02 0,00 0,00 0,01 0,02 0,02 0,03 0,02 0,01 0,00

TOPDANMARK 0,00 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

VESTAS 0,01 0,01 0,01 0,00 0,00 0,01 0,01 0,00 0,00 0,01 0,01 0,01 0,00

WILLIAM DEMANT 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,01 0,00


4.2 Porteføljekonstruktion uden kortsalg

Der vil i det følgende afsnit blive konstrueret porteføljer uden kortsalg for 2010. Porteføljerne vil

blive konstrueret for hver måned, startende i januar og med slut i december. Disse konstruktioner

kommer til at danne baggrund for yderligere undersøgelse af udviklingen igennem 2010.

4.2.1 Udledning af MVP

Hvis man ser på fordelingen af aktier og obligationer over hele tidsperioden for minimum-varians

porteføljen, er det tydeligt, at fordelingen ikke forskyder ret meget. Fordelingen favoriserer klart

obligationer over aktier. Grunden til dette er, at obligationerne er de mindst risikofyldte aktiver, der

kan inkluderes i porteføljen. Årsagen til, at MVP ikke udelukkende består af obligationer, er at man

ved diversifikation kan reducere risikoen yderligere. Dette er muligt pga. den negative korrelation

aktier og obligationer imellem. Da porteføljen hovedsageligt består af 2-årige obligationer, kan

porteføljerisikoen sammenlignes med risikoen for den 2-årige obligation. Porteføljen har reduceret

risikoen i forhold til, hvis der kun investeres i 2-årige obligationer.

Side | 28

Tabel 4.2.1 1: Fordeling af aktier og obligationer for MVP

MVP Aktier Obligationer Afkast Risiko RTVR

januar 1,620% 98,380% 0,08574 0,68194 0,01944

februar 1,621% 98,379% 0,08575 0,68171 0,01827

marts 1,615% 98,385% 0,08643 0,68070 0,02024

april 1,623% 98,377% 0,08625 0,67871 0,02102

maj 1,625% 98,375% 0,08576 0,68166 0,02045

juni 1,612% 98,388% 0,08758 0,67596 0,02488

juli 1,612% 98,388% 0,08705 0,67492 0,02801

august 1,615% 98,385% 0,08565 0,67493 0,02588

september 1,619% 98,381% 0,08673 0,67494 0,02676

oktober 1,625% 98,375% 0,08573 0,67471 0,02965

november 1,639% 98,361% 0,08407 0,67665 0,02546

december 1,642% 98,358% 0,08403 0,67673 0,02341

gennemsnit 1,622% 98,378% 0,08590 0,67780 0,02362


Ovenstående tabel viser, hvordan andelen af aktier og obligationer udvikler sig året igennem.

Modellen forslår, at investor i årets første måneder forholder sig i ro og ikke afviger fra de ca.

1,620% aktier. I marts og juni bør investor derimod sælge aktier fra og investere i flere obligationer,

da der i disse måneder er stor usikkerhed i markedet. I april og maj foreslår modellen, at investor

allokerer sin investering over på en større portion aktier. I de resterende måneder, hvor C20-

indekset svinger lidt op og ned, falder andelen af aktier i porteføljen for at investere i de mindre

risikofyldte obligationer. Fra juni og fremefter er der dog en tendens til, at aktieandelen øges som

følge af, at markedet ’falder lidt til ro’. I november og december stiger andelen af aktier igen, da

markedet også bevæger sig opad. Den store andel af obligationer i alle porteføljerne skyldes, at det

er MVP, der findes. Når MVP skal udledes, fokuseres der på at finde den absolut laveste risiko på

den efficiente rand og det dertilhørende afkast. RTVR kolonnen viser den risikopræmie, en investor

modtager for hvert risikopoint i forhold til den risikofrie rente. Da ratioen er positiv igennem hele

perioden, viser dette, at det på intet tidspunkt har kunnet betale sig udelukkende at investere i 10 års

obligationer, som den risikofrie rente er udregnet fra. RTVR er det samme som Sharpe’s ratio, men

mere om det senere.

I den samlede portefølje er der en klar overvægt af de 2-årige obligationer igennem hele 2010. Der

er dog investeret mindre andele i de to andre obligationer. Grunden til dette skal findes i

obligationernes korrelationer, der giver mulighed for at reducere risikoen yderligere ved at sprede

Side | 29

investeringen ud på flere aktiver, da obligationerne kun næsten er perfekt korrelerede. Porteføljen er

udover de tre obligationer sammensat af samtlige aktier i markedet.

Tabel 4.2.1 2: Specifikke fordeling aktier og obligationer for MVP

MVP MA

ERSK

'B'

MA

ERSK

'A'

CA

RLS

BER

G 'B

'

DA

NIS

CO

DA

NSK

E B

AN

K

DSV

'B'

FLSM

IDTH

'B'

NK

T

GN

STO

RE

NO

RD

NO

VO

NO

RD

ISK

'B'

SYD

BA

NK

TOP

DA

NM

AR

K

VES

TAS

WIL

LIA

M D

EMA

NT

OB

L. 1

0 YE

AR

S

OB

L. 2

YEA

RS

OB

L. 5

YEA

RS

januar 0,12% 0,12% 0,11% 0,18% 0,12% 0,12% 0,10% 0,08% 0,06% 0,16% 0,14% 0,15% 0,04% 0,11% 4,58% 81,37% 12,43%

februar 0,12% 0,12% 0,11% 0,19% 0,12% 0,12% 0,10% 0,08% 0,06% 0,16% 0,14% 0,15% 0,04% 0,11% 4,61% 81,30% 12,47%

marts 0,13% 0,12% 0,11% 0,18% 0,12% 0,12% 0,09% 0,08% 0,06% 0,16% 0,14% 0,14% 0,04% 0,11% 4,53% 80,47% 13,39%

april 0,12% 0,12% 0,11% 0,18% 0,12% 0,12% 0,10% 0,08% 0,06% 0,16% 0,14% 0,15% 0,04% 0,11% 4,58% 81,40% 12,39%

maj 0,12% 0,12% 0,11% 0,19% 0,12% 0,13% 0,10% 0,08% 0,06% 0,16% 0,14% 0,15% 0,04% 0,11% 4,61% 81,30% 12,47%

juni 0,12% 0,12% 0,11% 0,19% 0,12% 0,12% 0,10% 0,08% 0,06% 0,16% 0,14% 0,15% 0,04% 0,11% 4,40% 81,88% 12,11%

juli 0,12% 0,12% 0,11% 0,18% 0,12% 0,12% 0,10% 0,08% 0,06% 0,16% 0,14% 0,15% 0,04% 0,11% 4,38% 81,94% 12,07%

august 0,12% 0,12% 0,11% 0,18% 0,12% 0,12% 0,10% 0,08% 0,06% 0,16% 0,14% 0,15% 0,04% 0,11% 4,42% 81,81% 12,15%

september 0,12% 0,12% 0,11% 0,18% 0,12% 0,13% 0,10% 0,08% 0,06% 0,16% 0,14% 0,15% 0,04% 0,11% 4,40% 81,85% 12,13%

oktober 0,12% 0,12% 0,11% 0,18% 0,12% 0,13% 0,10% 0,08% 0,06% 0,16% 0,14% 0,16% 0,04% 0,11% 4,38% 81,83% 12,16%

november 0,12% 0,12% 0,11% 0,18% 0,12% 0,13% 0,10% 0,09% 0,06% 0,16% 0,14% 0,16% 0,04% 0,11% 4,41% 81,74% 12,21%

december 0,12% 0,12% 0,11% 0,19% 0,12% 0,13% 0,10% 0,09% 0,06% 0,16% 0,14% 0,16% 0,04% 0,11% 4,39% 81,84% 12,13%


Det er værd at bemærke, at porteføljerne konstrueret i juli og oktober har større RTVR end de

resterende konstruktioner. Det modsatte gør sig gældende for porteføljerne for de første tre

måneder. Disse er lavere end de resterende måneder og ligger markant under gennemsnittet.

4.2.2 Udledning af tangentporteføljen

Tangentporteføljen er den porteføljesammensætning, der maksimerer RTVR. Det betyder, at den vil

have en markant anderledes sammensætning end MVP. Ud fra tabellen observeres det, at

aktieandelen er steget med 10-14% i forhold til MVP.

Side | 30

Tabel 4.2.2 1: Fordeling aktier og obligationer for tangentporteføljen

MAX Aktier Obligationer Afkast Risiko RTVR

januar 12,476% 87,524% 0,12084 1,28152 0,03774

februar 13,682% 86,318% 0,12512 1,37264 0,03775

marts 12,874% 87,126% 0,12292 1,29203 0,03891

april 12,830% 87,170% 0,12267 1,26472 0,04008

maj 12,398% 87,602% 0,12109 1,26708 0,03889

juni 10,426% 89,574% 0,12033 1,15206 0,04303

juli 9,676% 90,324% 0,11648 1,07380 0,04502

august 10,671% 89,329% 0,11832 1,13633 0,04413

september 9,671% 90,329% 0,11788 1,10634 0,04449

oktober 9,655% 90,345% 0,11546 1,05826 0,04699

november 11,062% 88,938% 0,11844 1,16301 0,04437

december 12,018% 87,982% 0,12000 1,21451 0,04266

gennemsnit 11,453% 88,547% 0,11996 1,19853 0,04200


Ud fra ovenstående tabel er det værd at bemærke, at aktieandelen fra februar til juli falder, for så at

stige i august. Fra august til oktober falder aktieandelen igen for så at stige i november og

december. Nedenstående figur viser, hvordan obligationsandelen ser ud, lagt op imod udviklingen i

C20-indekset.

Figur 4.2.2 1: Udviklingen i C20 indekset sammenholdt med udviklingen i obligationsandelen for MVP


86,00%

86,50%

87,00%

87,50%

88,00%

88,50%

89,00%

89,50%

90,00%

90,50%

91,00%

300

320

340

360

380

400

420

440

460

480

500

januar februar april maj juli september oktober december

OMX COPENHAGEN (OMXC20)- PRICE INDEX Obligationer

Side | 31

Figuren indikerer, at teorien kan bruges til at forudsige, hvornår en investors aktieandel skal

reduceres i forhold til obligationer. Linjen forslår, at obligationsandelen øges, når markedet

begynder at svinge. Det sker dog med en måneds forsinkelse, hvilket betyder, at

anvendelsesmulighederne er begrænsede.

I tangentporteføljen er den 2-årige obligation stadig den dominerende. Den indgår i

obligationsandelen med mellem 37% og 47% af porteføljen. Tangentporteføljen er i større grad

sammensat af 10- og 5-årige obligationer samt små andele af aktier. Igennem året er der en klar

fordeling af obligationerne. Den 2-årige dominerer den 5-årige, som så igen dominerer den 10-

årige. Grunden til, at den 2-årige obligation er dominerende, er, at dette aktiv har den højeste RTVR

i forhold til de andre aktiver. Dernæst kommer den 5-årige obligation og den 10-årige obligation.

Tabel 4.2.2 2: Specifikke fordeling aktier og obligationer for tangentportfeføljen

MAX MA

ERSK

'B'

MA

ERSK

'A'

CA

RLS

BER

G 'B

'

DA

NIS

CO

DA

NSK

E B

AN

K

DSV

'B'

FLSM

IDTH

'B'

NK

T

GN

STO

RE

NO

RD

NO

VO

NO

RD

ISK

'B'

SYD

BA

NK

TOP

DA

NM

AR

K

VES

TAS

WIL

LIA

M D

EMA

NT

OB

L.

10 Y

EA

RS

OB

L.

2 Y

EA

RS

OB

L.

5 Y

EA

RS

januar 0,00% 0,00% 0,34% 0,00% 0,32% 2,09% 0,39% 1,40% 0,00% 2,13% 2,49% 2,38% 0,21% 0,71% 19,59% 41,26% 26,67%

februar 0,00% 0,00% 0,45% 0,00% 0,47% 2,30% 0,32% 1,57% 0,00% 2,42% 2,77% 2,35% 0,18% 0,84% 20,90% 37,00% 28,42%

marts 0,00% 0,00% 0,51% 0,07% 0,47% 2,01% 0,34% 1,42% 0,00% 2,41% 2,56% 2,19% 0,15% 0,75% 19,59% 39,85% 27,68%

april 0,00% 0,00% 0,58% 0,20% 0,45% 1,99% 0,38% 1,33% 0,00% 2,45% 2,47% 2,17% 0,17% 0,62% 18,85% 41,44% 26,88%

maj 0,00% 0,00% 0,41% 0,00% 0,43% 2,08% 0,30% 1,42% 0,00% 2,19% 2,50% 2,12% 0,17% 0,77% 19,20% 41,63% 26,77%

juni 0,00% 0,00% 0,49% 0,00% 0,27% 1,58% 0,33% 1,06% 0,00% 2,19% 1,95% 1,79% 0,14% 0,62% 18,66% 42,80% 28,11%

juli 0,00% 0,00% 0,49% 0,23% 0,24% 1,44% 0,35% 0,97% 0,00% 2,05% 1,66% 1,56% 0,10% 0,60% 17,08% 46,61% 26,64%

august 0,00% 0,00% 0,58% 0,25% 0,35% 1,63% 0,36% 1,02% 0,00% 2,16% 1,85% 1,77% 0,12% 0,58% 18,23% 43,49% 27,61%

september 0,00% 0,00% 0,66% 0,25% 0,32% 1,50% 0,24% 0,83% 0,00% 2,10% 1,57% 1,64% 0,05% 0,52% 19,25% 42,68% 28,39%

oktober 0,00% 0,00% 0,64% 0,50% 0,31% 1,49% 0,31% 0,86% 0,00% 2,01% 1,46% 1,56% 0,01% 0,51% 17,17% 46,72% 26,45%

november 0,00% 0,00% 0,75% 0,40% 0,42% 1,72% 0,34% 1,03% 0,00% 2,40% 1,83% 1,62% 0,00% 0,55% 18,82% 41,80% 28,31%

december 0,00% 0,00% 0,72% 0,36% 0,45% 1,87% 0,53% 1,03% 0,00% 2,62% 1,95% 1,90% 0,00% 0,60% 18,79% 40,31% 28,88%


For aktieandelen er alle aktier, undtagen Maersk B, Maersk A, GN Store Nord og Vestas, i

november og december med i tangentporteføljen. Andelen af Vestas aktier er dalende året igennem

og ender med at udgøre 0%. Andelen af Carlsberg B aktier er igennem året stigende.

Det er tvivlsomt, om tangentporteføljen reelt set er diversificeret effektivt nok, da den hovedsageligt

består af kun tre dele. Da de tre dele alle er obligationer, er tangentporteføljens performance stærkt

afhængig af, hvordan obligationerne klarer sig. Modellen kunne have indbygget en max værdi for,

hvor stor en andel et aktiv må have i porteføljen, for at søge en større spredning akter og

obligationer imellem.

Side | 32

4.3 Porteføljekonstruktion med kortsalg

Der vil i det følgende afsnit blive konstrueret porteføljer med kortsalg for 2010. Når porteføljerne

bliver konstrueret med kortsalg, betyder det, at investor har mulighed for at låne et aktiv og sælge

det videre, og derved opnå en negativ vægt for aktivet i porteføljen. Det vil derved, for investor,

være muligt at tjene penge på kursfald. Porteføljerne vil blive konstrueret for hver måned, startende

i januar og med slut i december. Disse konstruktioner kommer til at danne baggrund for yderligere

undersøgelse af udviklingen igennem 2010.

Når porteføljekonstruktionen sker med kortsalg, er der to måder, hvorpå aktie og

obligationsandelene kan udregnes på. Den første metode er den, som er anvendt i ovenstående

afsnit. Her bliver alle vægtene blot summeret. Problemet med denne metode er, at den ikke

medregner hvor stor en andel, der bliver kortsolgt. Derfor er metode nr. 2 med. Denne metode tager

den numeriske værdi af vægtene, således at de alle bliver positive. Herefter summeres alle vægtene,

både for aktierne og obligationerne. Andelen af obligationer og aktier bliver udregnet på baggrund

af denne værdi ved at dividere den numeriske værdi for aktieandelen med den samlede numeriske

værdi for porteføljen. Ligeledes gøres med obligationsandelen.


Nedenstående tabel viser, at der igennem 2010 ikke har været nogen store udsving i andelene.

Ligesom ved porteføljekonstruktion uden kortsalg består MVP primært af obligationer. Det

bemærkes, at der for MVP med kortsalg ikke er kortsolgt nogen aktiver. Derfor bliver brutto- og

nettoandelen ens. Andelen af aktier stiger i årets første fem måneder, med et lille dyk i april. I juni

falder andelen til det laveste niveau, for så at stige igennem den resterende tid. Aktieandelen er

generelt stigende igennem hele perioden da aktieandelen i december er større end den i januar. Med

hensyn til RTVR tegner der sig et billede af, at porteføljerne konstrueret fra juni til november

udkonkurrerer de resterende porteføljer, da RTVR hos disse er højere.

Side | 33

Tabel 4.3.1 1: Fordelingen af aktier og obligationer for MVP

Brutto Netto

Aktier obligationer Aktier obligationer afkast risiko RTVR

Januar 1,620% 98,380% 1,620% 98,380% 0,086 0,682 0,019

Februar 1,621% 98,379% 1,621% 98,379% 0,086 0,682 0,018

Marts 1,625% 98,375% 1,625% 98,375% 0,086 0,680 0,020

April 1,623% 98,377% 1,623% 98,377% 0,086 0,679 0,015

Maj 1,625% 98,375% 1,625% 98,375% 0,086 0,682 0,020

Juni 1,612% 98,388% 1,612% 98,388% 0,088 0,676 0,025

Juli 1,612% 98,388% 1,612% 98,388% 0,087 0,675 0,028

August 1,615% 98,385% 1,615% 98,385% 0,086 0,675 0,026

september 1,619% 98,381% 1,619% 98,381% 0,087 0,675 0,027

Oktober 1,625% 98,375% 1,625% 98,375% 0,086 0,675 0,030

november 1,639% 98,361% 1,639% 98,361% 0,084 0,677 0,025

december 1,642% 98,358% 1,642% 98,358% 0,084 0,677 0,023

Gennemsnit 1,623% 98,377% 1,623% 98,377% 0,086 0,678 0,023


Ifølge teorien er det muligt at konstruere porteføljer med lavere risiko, når kortsalg er tilladt. Dette

vil betyde, at den efficiente rand forskydes imod venstre. Da der i MVP med kortsalg ikke er

kortsolgt nogen aktiver, så betyder MVP med og uden kortsalg er identiske. Hvis kortsalget havde

fundet sted, ville dette have betydet, at afkastværdierne for porteføljerne med kortsalg ville dale og

derved føre til, at risikoen, i forhold til porteføljerne uden kortsalg, ville falde i værdi.


I tangentporteføljen udgør aktieandelen en langt større portion end ved MVP. Aktie- og

obligationsandelen gøres op efter de to principper beskrevet ovenfor. Der er her forskel på andelene,

alt efter hvilken metode der anvendes. Sammenligner man bruttoandelen med fordelingen fra

konstruktionen uden kortsalg, er det tydeligt, at aktieandelen er formindsket i tangentporteføljen

med kortsalg. Fra juni og frem til oktober er aktieandelen lavere end i de resterende måneder. For

den numeriske metode viser det, at den faktiske aktieandel med kortsalg er højere end som så. Det

ses ligesom tidligere, at aktieandelen øges, når markedet er på vej op, og obligationsandelen øges,

når markedet stiger og falder ofte.

Side | 34

Tabel 4.3.2 1: Brutto og Netto fordelingen af aktier og obligationer for tangentporteføljen

Brutto Netto

Aktier obligationer Aktier obligationer afkast risiko RTVR

januar 10,53% 89,47% 15,39% 84,61% 0,1272 1,3852 0,0395

februar 12,19% 87,81% 16,04% 83,96% 0,1300 1,4549 0,0390

marts 11,51% 88,49% 15,06% 84,94% 0,1275 1,3656 0,0402

april 15,52% 84,48% 20,30% 79,70% 0,1436 1,7511 0,0385

maj 11,07% 88,93% 14,51% 85,49% 0,1253 1,3354 0,0401

juni 9,55% 90,45% 11,79% 88,21% 0,1224 1,1844 0,0436

juli 9,11% 90,89% 10,67% 89,33% 0,1181 1,0986 0,0455

august 9,93% 90,07% 11,88% 88,12% 0,1205 1,1676 0,0448

september 8,84% 91,16% 11,02% 88,98% 0,1202 1,1398 0,0452

oktober 9,04% 90,96% 10,67% 89,33% 0,1170 1,0806 0,0475

november 10,26% 89,74% 12,37% 87,63% 0,1205 1,1936 0,0449

december 11,14% 88,86% 13,45% 86,55% 0,1221 1,2486 0,0432

gennemsnit 10,72% 89,28% 13,60% 86,40% 0,1245 1,2838 0,0427


Afkastværdierne for tangentporteføljen med kort salg ligger en smule over afkastværdierne for

tangentporteføljen uden kortsalg. Det gennemsnitlige afkast ligger omkring 4% højere med

kortsalg. Dette betyder selvsagt, at risikoen også er højere. Ved RTVR er det muligt at udlede

nøjagtig, hvilken slags portefølje der giver den største risikopræmie i forhold til risikoen, man løber

ved porteføljen. Her er tangentporteføljen med kortsalg også en anelse bedre end tangentporteføljen

med kortsalg.

Tabel 4.3.2 2: Specefikke fordeling af aktier og obligationer for tangentporteføljen

MAX MA

ERSK

'B'

MA

ERSK

'A'

CA

RLS

BER

G 'B

'

DA

NIS

CO

DA

NSK

E B

AN

K

DSV

'B'

FLSM

IDTH

'B'

NK

T

GN

STO

RE

NO

RD

NO

VO

NO

RD

ISK

'B'

SYD

BA

NK

TOP

DA

NM

AR

K

VES

TAS

WIL

LIA

M D

EMA

NT

OB

L. 1

0 YE

AR

S

OB

L. 2

YEA

RS

OB

L. 5

YEA

RS

januar -0,84% -0,72% 0,40% -0,18% 0,39% 2,22% 0,46% 1,50% -1,13% 2,24% 2,64% 2,52% 0,25% 0,79% 20,12% 42,02% 27,33%

februar -0,66% -0,56% 0,50% 0,02% 0,53% 2,42% 0,37% 1,65% -1,07% 2,52% 2,90% 2,46% 0,21% 0,91% 21,35% 37,47% 29,00%

marts -0,57% -0,49% 0,56% 0,11% 0,52% 2,10% 0,39% 1,49% -1,02% 2,50% 2,67% 2,28% 0,17% 0,80% 19,97% 40,34% 28,18%

april -0,90% -0,77% 0,84% 0,26% 0,66% 2,89% 0,55% 1,94% -1,33% 3,51% 3,57% 3,13% 0,27% 0,90% 25,14% 25,90% 33,44%

maj -0,58% -0,49% 0,46% 0,04% 0,48% 2,17% 0,34% 1,49% -0,95% 2,27% 2,60% 2,21% 0,20% 0,82% 19,56% 42,14% 27,23%

juni -0,37% -0,29% 0,52% -0,07% 0,31% 1,63% 0,35% 1,10% -0,54% 2,24% 2,01% 1,85% 0,16% 0,65% 18,88% 43,15% 28,42%

juli -0,21% -0,14% 0,51% 0,25% 0,26% 1,48% 0,37% 1,00% -0,52% 2,09% 1,70% 1,60% 0,11% 0,63% 17,25% 46,77% 26,87%

august -0,29% -0,20% 0,61% 0,27% 0,38% 1,68% 0,39% 1,06% -0,62% 2,20% 1,90% 1,81% 0,13% 0,61% 18,41% 43,79% 27,87%

september -0,35% -0,27% 0,69% 0,28% 0,35% 1,55% 0,27% 0,87% -0,61% 2,14% 1,62% 1,69% 0,06% 0,55% 19,46% 43,01% 28,69%

oktober -0,25% -0,18% 0,67% 0,52% 0,33% 1,53% 0,32% 0,89% -0,48% 2,04% 1,50% 1,60% 0,02% 0,53% 17,31% 47,01% 26,65%

november -0,33% -0,26% 0,78% 0,43% 0,45% 1,77% 0,37% 1,07% -0,55% 2,46% 1,89% 1,67% -0,07% 0,58% 19,02% 42,12% 28,60%

december -0,39% -0,29% 0,75% 0,39% 0,48% 1,93% 0,56% 1,07% -0,56% 2,68% 2,02% 1,96% -0,10% 0,64% 19,01% 40,64% 29,21%


I tangentporteføljen er der kortsolgt af Maersk B, Maersk A og GN Store Nord igennem hele

perioden. Derudover er der kortsolgt af Danisco i januar og juni, samt Vestas i november og

Side | 35

december. Det er værd at bemærke, at den 2-årige obligation ikke er den dominerende igennem hele

perioden. I april bliver denne overgået af den 5-årige obligation og næsten af den 10-årige.

Tangentporteføljen kunne igen have været bedre diversificeret, hvis der var lagt begrænsninger for,

hvor stor en andel af den samlede portefølje et aktiv må udgøre. Tangentporteføljen består

hovedsageligt af obligationer. I april er aktieandelen dog oppe på omkring 20%, hvilket er den

højeste andel i løbet af hele året.

4.4 Performancevaluering

Indeværende afsnit har til formål at undersøge, hvordan de forskellige porteføljekonstruktioner har

performet. Dette gøres ved at matche konstruktionerne op imod et simpelt benchmark. Benchmarket

sættes til 20% aktier og 80% obligationer. Aktiedelen for benchmarket bliver udregnet på baggrund

af det generelle afkast for C20-indekset. Afkastet for obligationsdelen bliver udregnet ud fra 10-års

obligationen, da det også er denne, som den risikofrie rente er baseret på.

Porteføljekonstruktionerne vil blive bedømt ud fra Sharpe’s- og Treynor’s ratio, samt Jensen’s

alpha. Disse tre performancemål er blevet gennemgået i det teoretiske afsnit.

Performancemålingen sker både for MVP og RTVR. Disse er blevet delt op i fire forskellige

investeringsstrategier. Derudover skelnes der mellem med og uden kortsalg. De fire strategier er

som følger:

Strategi 1: Porteføljen konstrueres primo januar

Strategi 2: Porteføljen er tilpasset primo januar og juli

Strategi 3: Porteføljen er tilpasset primo januar, april, juli og oktober

Strategi 4: Porteføljen er tilpasset primo hver måned

Det er som tidligere nævnt ikke kun vigtigt at bedømme porteføljerne på det afkast, de giver, men

også på hvor stor en risiko, der løbes i sammenhæng med afkastet.

4.4.1 Performance for MVP

I indeværende afsnit vil performancemålene for MVP blive gennemgået. Der vil dog blive set bort

fra Treynor’s ratio, da denne forudsætter, at porteføljerne skal være fuldt ud diversificerede. Dette

er ikke tilfældet, da der er tale om MVP, og denne hovedsageligt består af 2-årige obligationer.

Nedenstående tabel viser tallene i forbindelse med performancemålingen for MVP. Benchmarket

leverer positivt ugeafkast med en standardafvigelse på 0,5892. Denne standardafvigelse viser, at der

Side | 36

igennem 2010 ikke har været store udsving i markedet. Da markedet generelt har været i fremgang,

betyder dette, at benchmarket selvfølgelig får et positivt afkast. Det bemærkes, at MVP genererer et

positivt afkast igennem hele perioden. Dog ikke lige så meget som benchmarket, men dette har

samtidig en højere risiko forbundet med sig i forhold til MVP. Hvis der ikke tages højde for

risikoen, ser det ud til, at benchmarket er bedre end MVP igennem 2010.

Med udgangspunkt i Jensens alpha ses det, at benchmarket har klaret sig bedre end MVP igennem

hele perioden. Dette ses ved, at Jensens værdierne er negative. Den værdi, der kommer tættest på

benchmarket, er MVP tilpasset primo hver måned med kortsalg. Da MVP med og uden kortsalg er

ens, giver det ingen mening at skelne mellem disse. Det var generelt forventningen, at benchmarket

ville klare sig bedre end MVP, da der ikke har været nogen store negative udsving i markedet. Det

var dog forventet, at investeringsstrategien, der blev tilpasset månedligt, ville have den Jensens

værdi tættest på benchmarket. Dette er også tilfældet, men det er ikke, fordi den skiller sig markant

ud.

Tabel 4.4.1 1: Performancemåling for MVP

MVP Benchmark

MVP1 MVP2 MVP3 MVP4

Afkast 0,0656 0,0656 0,0656 0,0657 0,1831

Std. afv 0,1904 0,1897 0,1898 0,1899 0,5892

Beta 2,3164 2,3156 2,3150 2,3145

Sharpe 0,0227 0,0225 0,0226 0,0222 0,1922

Jensen 0,2666 0,2664 0,2664 0,2663


Porteføljernes performance kan betragtes ud fra bredde og dybde, hvor dybde relaterer til det ekstra

afkast, der bliver genereret, og bredde er antallet af forskellige aktiver, porteføljen kan bruge til at

skabe ekstra afkast. Dette betyder, at Jensens ikke tager højde for antallet af forskellige aktier, dette

ekstra afkast er genereret ud fra, men kun måler ud fra, om der er opnået ekstra afkast i forhold til

benchmarket.28

Dette betyder, at hvis der tages højde for bredden af porteføljen ved brug af Sharpes’, ses det, at de

to performancemålinger ikke altid giver et entydigt svar på, hvilken portefølje der performer bedst.

Ifølge Sharpe’s ratio er det ligeledes investeringsstrategi nr. 4, der performer bedst. Dernæst

kommer MVP for investeringsstrategi nr. 2. Alle Sharpe’s ratioerne for MVP’erne er negative,

28

Haugen, Robert A.; Modern Investment Theory, fourth edition s.313

Side | 37

hvilket indikerer, at benchmarket performer bedre end MVP. I tråd med hvad Jensens værdierne

fortalte, er det MVP justeret primo hver måned, der giver den bedste Sharpe’s ratio. Dette betyder,

at det sagtens kan betale sig at omstrukturere porteføljen i løbet af året. Grunden til, at Sharpe’s

ratio er negativ for MVP’erne, er, at afkastene ligger under den gennemsnitlige ugentlige risikofrie

rente, som Sharpe’s ratio bliver udregnet ud fra.

Ifølge teorien skulle det være muligt at konstruere MVP’er med kortsalg, der har en mindre risiko

end MVP’er uden kortsalg. Dette er dog ikke tilfældet her, da der ikke er kortsolgt nogen aktiver i

forbindelse med konstruktionen af MVP.

I nedenstående tabel er Jensens alpha blevet estimeret ud fra lineær regression. Dette gøres for at

teste, hvorvidt det med statistisk sikkerhed kan siges, at benchmarket performer bedre end MVP for

alle fire strategier.

Tabel 4.4.1 2: Alphaværdier for MVP

MVP1 MVP2 MVP3 MVP4

alpha -0,0317 -0,0315 -0,0315 -0,0314

0,0180 0,0180 0,0180 0,0180

Kilde: Egen tilvirkning, Eviews output vedlagt i bilag 3

I ovenstående tabel er de estimerede alphaværdier i EViews. De estimerede alphaværdier er,

ligesom de udregnede, negative. Det kan ud fra ovenstående tabel siges med statistisk sikkerhed, at

benchmarket performer bedre end MVP.

4.4.2 Performance for tangentporteføljen

I dette afsnit vil performancemålene for tangentporteføljerne blive gennemgået. Da det er tangent-

porteføljerne, der arbejdes med vil Treynor’s ratio her blive inkluderet, da porteføljerne er perfekt

diversificerede. Dette kan der stilles spørgsmålstegn ved, da tangentporteføljerne generelt består af

de tre obligationer.

Nedenstående tabel viser performancemålene for tangentporteføljerne. Alle otte

investeringsstrategier genererer et positivt afkast. Det bemærkes, at alle afkastene for

tangentporteføljerne uden kortsalg er højere end de tilsvarende værdier for tangentporteføljerne med

kortsalg. Standardafvigelserne for investeringsstrategierne viser, at tangentporteføljerne uden

Side | 38

kortsalg har været udsat for mere risiko end dem med kortsalg. Dette er i god tråd med teorien, der

dikterer, at risikoen burde være lavere, når muligheden for at kortsælge er til stede.

Tabel 4.4.2 1: Performancemål for tangentporteføljerne

Tangent porteføljer uden kortsalg Tangent porteføljer med kortsalg Benchmark

RTVR1U RTVR2U RTVR3U RTVR4U RTVR1M RTVR2M RTVR3M RTVR4M

Afkast 0,1321 0,1269 0,1266 0,1272 0,1135 0,1096 0,1140 0,1206 0,1831

Std. afv 0,3158 0,3034 0,3076 0,3081 0,2821 0,2783 0,2983 0,2756 0,5892

Beta 1,0683 1,1978 1,1497 1,2052 1,4317 1,5160 1,1186 1,3984

Sharpe 0,1971 0,1879 0,1844 0,1861 0,1546 0,1426 0,1478 0,1841 0,1922

Treynor 0,0583 0,0476 0,0493 0,0476 0,0305 0,0262 0,0394 0,0363

Jensen 0,0587 0,0786 0,0734 0,0791 0,1185 0,1320 0,0825 0,1076


Den portefølje, der har klaret sig bedst i forhold til Jensens alpha, er strategi 1 uden kortsalg. Af

tangentporteføljerne uden kortsalg er det denne, der genererer det højeste afkast med en lidt højere

risiko end de andre strategier. Treynor’s ratio viser, at det er investeringsstrategi 3 uden kortsalg,

der er den bedste portefølje. Det er vigtigt at bemærke, at både Jensen og Treynor har samme

svagheder, da ingen af dem tager højde for bredden i porteføljen, og betaværdierne, som Jensen og

Treynor er baseret på, ikke nødvendigvis ændres ved inddragelse af flere aktiver29

.

Ved at inddrage bredden i porteføljerne i form af Sharpe’s ratio, bemærkes det, at

tangentporteføljerne uden kortsalg klart dominerer tangentporteføljerne med kortsalg. Benchmarket

har ifølge Sharpe’s ratio klaret sig bedre end alle porteføljerne med undtagelse af

investeringsstrategi 1 uden kortsalg. Ellers bemærkes det, at strategierne med kortsalg har lavere

Sharpe ratioer end tilsvarende uden kortsalg.

Ved at estimere Jensen alpha kan det ses, at investeringsstrategierne egentlig performer bedre end

benchmarket, da de generede alphaværdier er positive.

Tabel 4.4.2 2: Alphaværdier for tangenporteføljen


alpha 0,0275 0,0210 0,0212 0,0200 0,0065 0,0014 0,0089 0,0066

0,0369 0,0341 0,0351 0,0341 0,0293 0,0277 0,0346 0,0294


Det kan ikke med statistisk sikkerhed siges, om tangentporteføljerne performer bedre eller dårligere

end benchmarket grundet insignifikante alphaværdier. Det ser dog ud til, at tangentporteføljerne

29

Haugen s. 315

Side | 39

uden kortsalg klarer sig bedre end tangentporteføljerne med kortsalg, men der er intet statistisk

grundlag for at fastslå dette.

4.5 Delkonklusion

I afsnittet blev der konstrueret MVP’er for hele 2010 både med og uden kortsalg. Der blev

ydermere bestemt tangentporteføljer til alle månederne, med og uden kortsalg. Disse porteføljer

blev således brugt til at konstruere fire forskellige investeringsstrategier. Strategierne blev tilpasset

en gang årligt, halvårligt, kvartalsvist eller månedligt. Tallene, som investeringsstrategierne

genererede, blev derefter evalueret ved hjælp af Sharpe’s- og Treynor’s ratio samt Jensens alpha.

Dette blev gjort for at teste, om investeringsstrategierne ville klare sig bedre end, hvis der blev

investeret efter et simpelt benchmark lydende på 10% aktier og 90% obligationer.

Efter at have foretaget performancemålingerne af investeringsstrategierne kunne der for MVP’ernes

vedkommende ikke påvises statistisk sikkerhed for, hvorvidt de havde et afkast, der var signifikant

forskelligt fra benchmarket. Det kunne dog påvises med statistisk sikkerhed, at tangentporteføljerne

generer bedre afkast end benchmarket.

Grunden til, at porteføljerne ikke alle performede bedre end benchmarket, skal findes i det

bagvedliggende datamateriale. De værdier, der blev estimeret på baggrund af datamaterialet,

svarede ikke til de reelle værdier. Dette resulterede i, at modellen ikke følger markedet, og der

derved går potentiale til spilde, eller der løbes unødvendige risici. Dette er resultatet af, at de

bagvedliggende værdier bliver beregnet ud fra gennemsnit, hvilket er årsagen til, at modellen ikke

tilpasser sig hurtigt nok.

På baggrund af performanceanalyse kan der stilles spørgsmålstegn ved, om Markowitz’ model kan

bruges til at sammensætte efficiente porteføljer, der kan klare sig bedre end benchmarket. Da

analysen kun bygger på et enkelt år og ikke inkluderer alle år op til 2010, vil det være forkert at

konkludere endegyldigt, om modellen kan bruges eller ej.

Side | 40

5. Porteføljekonstruktion ved GARCH(1,1)

I dette afsnit vil der blive konstrueret porteføljer efter samme opskrift som ovenfor. Ovenstående

porteføljekonstruktion var lavet med Mean-variance, hvilket ikke gav gode resultater. I dette afsnit

vil variansen blive udregnet på baggrund af en GARCH(1,1) model. Forhåbningen er, at GARCH

kan hjælpe med til, at teorien kan reagere hurtigere på udsving i markedet.

GARCH blev udviklet af Tim Bollerslev i 1986. Bollerslev byggede sin teori op omkring Robert F.

Engle’s ARCH model. ARCH modellen er begrænset af, at de estimerede varianser skal være

positive, og jo flere parametre, der puttes ind i modellen, jo større er chancen for, at estimaterne

bliver negative. Dette problem tager GARCH hånd om. 30

5.1 Teoretisk gennemgang af GARCH(1,1)

GARCH(1,1) er den simpleste udgave af GARCH(p,q) modellerne. Det er som oftest GARCH(1,1),

der anvendes i den finansielle sektor. Modellen er bygget op omkring tre led og ser således ud:

31

Hvor og . Alpha, beta og gamma er vægte, der gør, at de mest relevante

data bliver fremhævet. Leddet udgør den langvarige varians, udgør det geometriske afkast i

tidspunktet n-1, og er variansen i tidspunktet n-1. Alt dette bliver til variansen i tidspunktet n.

Denne formel kan strækkes til at inkludere store mængder af data. Dette gøres på følgende måde:

Udtrykket for sættes da blot ind i formlen. Dette kan gøres for alle tidspunkter i dataserien

hvilket fører til at beta antager karater af en decay faktor. Denne sikre at det er det mest relevante

data der blive vægtet højest. Det er yderligere vigtigt at udregne kovarianser i forbindelse med

udarbejdelsen af porteføljer. Dette gøres ved følgende formel:

30

Horasanh, Fidan: ‘Portfolio Selection by Using Time Varying Covariance Matrices’. Journal of Economic and Social

Research 9(2) s. 1-22 31

Hull: ’Options, Futures and Other Derivatives’. Sixth edition. Side 465

5.1

5.2

5.3

Side | 41

Hvor er det forventede afkast i perioden n-1 for variablen y minus det gennemsnitlige

afkast, ganget med det forventede afkast i perioden n-1 for variablen x minus det gennemsnitlige

afkast.

5.2 Datamateriale

I dette afsnit vil datamaterialet for GARCH modellen blive gennemgået. Selve afkastserierne er de

samme som ved Mean-variance. Der er derfor ingen grund til at kommentere yderligere på disse.

Standardafvigelserne for de enkelte aktiver bliver udregnet og gennemgået. Derefter udregnes

kovarianserne og korrelationsfaktorer til udarbejdelse af porteføljerne.

5.2.1 Standardafvigelse for de enkelte aktiver

Standardafvigelserne for de enkelte aktiver udregnes ved hjælp af de vægte, der estimeres ved brug

af EViews. GARCH standardafvigelserne skal give et mere retvisende billede af risikoen for de

enkelte aktiver. Det kan derfor forventes, at standardafvigelserne er bedre til at følge udviklingen i

C20-indekset. De bør derfor starte med at være lave, for derfor omkring juni at stige indtil

september og derefter falde igen frem imod december. I nedenstående tabel er standardafvigelserne

for alle aktiverne listet.

Tabel 5.2.1 1: Standardafvigelser ifølge GARCH(1,1)

MA

ERSK

'B'

MA

ERSK

'A'

CA

RLS

BER

G 'B

'

DA

NIS

CO

DA

NSK

E B

AN

K

DSV

'B'

FLSM

IDTH

'B'

NK

T

GN

STO

RE

NO

RD

NO

VO

NO

RD

ISK

'B'

SYD

BA

NK

TOP

DA

NM

AR

K

VES

TAS

WIL

LIA

M D

EMA

NT

OB

L. 1

0 YE

AR

S

OB

L. 2

YEA

RS

OB

L. 5

YEA

RS

Januar 3.53 3.49 3.71 3.92 5.07 4.22 5.43 4.90 5.09 1.60 2.89 3.11 3.76 3.40 0.50 0.11 0.25

Februar 3.95 3.88 2.90 3.29 5.47 4.22 4.70 4.93 5.44 2.20 3.88 2.72 4.03 3.56 0.44 0.14 0.25

Marts 3.38 3.32 3.64 3.62 4.43 4.46 5.03 4.41 5.57 2.13 3.22 2.44 4.15 3.38 0.50 0.13 0.32

April 3.05 3.00 3.43 3.66 4.23 4.40 4.56 4.00 5.29 2.46 3.37 2.38 3.99 4.37 0.46 0.11 0.30

Maj 2.92 2.87 3.25 3.50 4.01 4.18 4.36 3.81 5.16 2.33 3.15 2.27 3.82 4.21 0.44 0.11 0.28

Juni 5.47 5.00 4.82 3.73 7.77 5.21 5.40 5.72 8.22 3.00 7.03 2.81 4.90 4.27 0.83 0.09 0.43

Juli 4.75 4.43 4.09 3.97 6.97 4.89 5.05 4.83 7.47 2.88 5.99 2.57 4.44 3.95 0.75 0.10 0.41

August 4.44 4.20 3.69 3.86 5.95 4.52 4.37 4.20 6.80 2.46 5.92 2.16 4.01 4.36 0.59 0.14 0.33

September 4.08 3.97 3.57 3.50 5.24 4.04 4.64 5.88 6.57 2.08 5.71 2.18 6.87 4.02 0.63 0.14 0.34

Oktober 3.71 3.58 3.16 3.98 4.59 4.06 4.45 5.60 6.51 2.19 4.98 1.95 5.88 3.77 0.63 0.15 0.31

November 3.28 3.16 2.89 3.49 3.86 3.85 4.12 4.61 5.96 2.07 4.14 2.17 5.97 3.33 0.58 0.19 0.35

December 3.47 3.32 2.88 2.98 3.57 3.41 4.28 4.34 5.55 1.90 3.39 2.19 5.32 3.02 0.63 0.18 0.40


Side | 42

Ovenstående tabel viser en klar tendens til, at standardafvigelserne stiger midt på året. Dog med

undtagelse af de 2-årige obligationer. Der falder standardafvigelsen midt på året og går derved imod

tendensen. Ved at sammenligne GARCH standardafvigelserne med de reelle standardafvigelser ses

det, at det spring i standardafvigelser, som modellen forudsiger i juni, skyldes, at de reelle

standardafvigelser i måneden forinden stiger kraftigt.

Sammenholdes standardafvigelserne fra Mean-variance og GARCH ses det, at den største forskel er

ved Vestas-aktien. Her er standardafvigelsen klart højere ved Mean-variance i forhold til GARCH.

Der er en generel tendens til, at standardafvigelserne ved Mean-variance er højere end ved GARCH.

Det gælder dog ikke for Danske Bank og Sydbank-aktien, der i juni har markant højere afvigelser

ved GARCH end ved Mean-variance. Alt dette tilsammen giver et billede af en mere dynamisk

model i forhold til Mean-variance.

5.2.2 Korrelation og kovarians

Ligesom ved standardafvigelserne er korrelationerne blevet mere dynamiske, således at de tilpasser

sig bedre end ved Mean-variance. Dette gør ydermere, at de bliver sværere at tolke på. Der vil

derfor blive sammenlignet i januar, juni og december for at få inkluderet de svingninger, der var i

markedet omkring juni.

Nedenstående tabel viser korrelationerne for januar måned. Ud fra denne tabel bemærkes det, at

Maersk A og Maersk B er næsten perfekt korrelerede. Derudover ses det, at Vestas-aktien er meget

svagt negativ korreleret med Danisco, DSV B, FLSmidth B, Sydbank og William Demant.

Side | 43

Tabel 5.2.2 1: Korrelationsmatricen for januar

MA

ERSK

'B'

MA

ERSK

'A'

CA

RLS

BER

G 'B

'

DA

NIS

CO

DA

NSK

E B

AN

K

DSV

'B'

FLSM

IDTH

'B'

NK

T

GN

STO

RE

NO

RD

NO

VO

NO

RD

ISK

'B'

SYD

BA

NK

TOP

DA

NM

AR

K

VES

TAS

WIL

LIA

M D

EMA

NT

OB

L. 1

0 YE

AR

S

OB

L. 2

YEA

RS

OB

L. 5

YEA

RS

MAERSK 'B' 1,00

MAERSK 'A' 0,94 1,00

CARLSBERG 'B' 0,34 0,39 1,00

DANISCO 0,34 0,28 0,27 1,00

DANSKE BANK 0,58 0,60 0,45 0,19 1,00

DSV 'B' 0,54 0,48 0,43 0,42 0,31 1,00

FLSMIDTH 'B' 0,58 0,51 0,39 0,25 0,41 0,58 1,00

NKT 0,64 0,66 0,31 0,30 0,28 0,53 0,72 1,00

GN STORE NORD 0,29 0,33 0,37 0,17 0,25 0,19 0,35 0,35 1,00

NOVO NORDISK 'B' 0,33 0,32 0,28 0,05 0,37 0,43 0,31 0,39 0,18 1,00

SYDBANK 0,59 0,48 0,45 0,18 0,62 0,33 0,39 0,27 0,19 0,35 1,00

TOPDANMARK 0,28 0,23 0,21 0,26 0,37 0,42 0,12 0,26 0,19 0,37 0,27 1,00

VESTAS 0,10 0,06 0,19 -0,14 0,24 -0,02 -0,02 0,08 0,10 0,18 -0,01 0,18 1,00

WILLIAM DEMANT 0,26 0,25 0,20 0,42 0,31 0,46 0,36 0,37 0,20 0,42 0,38 0,35 -0,21 1,00

OBL. 10 YEARS -0,19 -0,19 -0,32 -0,00 -0,45 0,04 -0,19 -0,34 -0,08 0,08 -0,34 0,07 -0,15 0,04 1,00

OBL. 2 YEARS -0,14 -0,13 -0,54 -0,01 -0,39 0,13 -0,06 0,03 -0,12 0,19 -0,25 -0,01 -0,15 -0,01 0,61 1,00

OBL. 5 YEARS -0,19 -0,19 -0,43 -0,13 -0,40 -0,02 -0,16 -0,28 -0,20 0,02 -0,28 -0,07 -0,26 -0,02 0,78 0,71 1,00


Betragtes korrelationen for obligationerne bemærkes det, at de ligesom tidligere er kraftigt positivt

korreleret. Derudover bemærkes, at der ikke er et klart skel imellem korrelationerne for aktier og

obligationer. Nogle af obligationerne korrelerer positivt med tre af aktierne. Her er tale om Novo

Nordisk B. Derudover korrelere DSV B positivt med den 10- og 2-årige obligation. Den 2-årige

obligation korrelerer yderligere positivt med NKT. Ovenstående tyder på, at der kan opnås en vis

form for risikoreduktion ved f.eks. udelukkende at investere i aktier.

Af nedenstående tabel, der er en sammenligning imellem korrelationerne for januar og juni, ses det,

at korrelationerne er steget kraftigt fra januar til juni. Dette skyldes, at de forskellige aktivers

standardafvigelse i samme periode er steget kraftigt. Dette har selvsagt også haft indflydelse på

aktivernes kovarianser, der så har fået korrelationerne til at stige.

Side | 44

Tabel 5.2.2 2: Forkellen i korrelationsmatricen for januar til juni

MA

ERSK

'B'

MA

ERSK

'A'

CA

RLS

BER

G 'B

'

DA

NIS

CO

DA

NSK

E B

AN

K

DSV

'B'

FLSM

IDTH

'B'

NK

T

GN

STO

RE

NO

RD

NO

VO

NO

RD

ISK

'B'

SYD

BA

NK

TOP

DA

NM

AR

K

VES

TAS

WIL

LIA

M D

EMA

NT

OB

L. 1

0 YE

AR

S

OB

L. 2

YEA

RS

OB

L. 5

YEA

RS

MAERSK 'B' 0,00

MAERSK 'A' 0,04 0,00

CARLSBERG 'B' 0,54 0,43 0,00

DANISCO 0,35 0,44 0,38 0,00

DANSKE BANK 0,36 0,31 0,45 0,58 0,00

DSV 'B' 0,28 0,35 0,20 0,51 0,51 0,00

FLSMIDTH 'B' 0,29 0,41 0,33 0,53 0,49 0,21 0,00

NKT 0,29 0,29 0,36 0,55 0,69 0,44 0,17 0,00

GN STORE NORD 0,56 0,46 0,27 0,25 0,46 0,46 0,32 0,15 0,00

NOVO NORDISK 'B' 0,52 0,46 0,20 0,54 0,19 0,26 0,30 0,29 0,50 0,00

SYDBANK 0,10 0,28 0,21 0,45 0,27 0,34 0,38 0,54 0,41 0,18 0,00

TOPDANMARK 0,64 0,68 0,71 0,33 0,47 0,36 0,62 0,50 0,29 0,17 0,33 0,00

VESTAS 0,85 0,81 0,53 0,74 0,76 0,86 0,75 0,70 0,52 0,39 0,71 0,50 0,00

WILLIAM DEMANT 0,29 0,29 0,25 -0,15 0,16 -0,05 0,04 -0,07 0,34 -0,06 -0,05 0,01 0,61 0,00

OBL. 10 YEARS -0,58 -0,59 -0,29 -0,76 -0,37 -0,84 -0,44 -0,45 -0,24 -0,50 -0,39 -0,56 -0,47 -0,13 0,00

OBL. 2 YEARS -0,43 -0,47 -0,01 -0,62 -0,22 -0,79 -0,48 -0,65 -0,31 -0,56 -0,20 -0,43 -0,44 -0,13 0,19 0,00

OBL. 5 YEARS -0,40 -0,42 -0,12 -0,56 -0,38 -0,73 -0,45 -0,47 -0,19 -0,37 -0,37 -0,48 -0,45 -0,21 0,01 0,09 0,00


Det bemærkes også, at obligationerne er blevet kraftigt negativt korrelerede med aktierne. Enkelte

er blevet næsten perfekt negativt korrelerede med obligationerne. Derudover er korrelationen

imellem William Demant og Danisco, DSV B, GN Store Nord, Novo Nordisk B og Sydbank faldet

en smule igennem perioden.

Sammenligner man junis korrelationer med den tilsvarende måned for Mean-variance, ses det, at

korrelationerne for GARCH generelt ligger et stykke over korrelationerne for Mean-variance. Dette

skyldes ene og alene, at GARCH modellen er bedre til at følge udviklingen i markedet og aktiverne

imellem.

Endnu et bevis på dette kan fremhæves, hvis januar og december sammenlignes. I begge tilfælde er

markedet uden de store svingninger. Nedenstående tabel er ændringen i korrelationerne igennem

hele året, altså fra januar til december.

Side | 45

Tabel 5.2.2 3: Forskellen i korrelaitonsmatricen imellem januar til december

MA

ERSK

'B'

MA

ERSK

'A'

CA

RLS

BER

G 'B

'

DA

NIS

CO

DA

NSK

E B

AN

K

DSV

'B'

FLSM

IDTH

'B'

NK

T

GN

STO

RE

NO

RD

NO

VO

NO

RD

ISK

'B'

SYD

BA

NK

TOP

DA

NM

AR

K

VES

TAS

WIL

LIA

M D

EMA

NT

OB

L. 1

0 YE

AR

S

OB

L. 2

YEA

RS

OB

L. 5

YEA

RS

MAERSK 'B' 0,00

MAERSK 'A' -0,02 0,00

CARLSBERG 'B' 0,00 0,04 0,00

DANISCO -0,18 -0,22 -0,01 0,00

DANSKE BANK -0,02 -0,05 -0,01 -0,00 0,00

DSV 'B' -0,09 -0,12 0,21 -0,12 -0,18 0,00

FLSMIDTH 'B' 0,25 0,21 0,43 -0,11 0,00 -0,09 0,00

NKT 0,06 0,09 0,13 -0,13 -0,05 0,12 0,45 0,00

GN STORE NORD -0,14 -0,15 0,23 -0,11 -0,13 -0,12 -0,07 0,05 0,00

NOVO NORDISK 'B' 0,43 0,38 0,43 -0,10 0,40 0,49 0,20 0,10 0,06 0,00

SYDBANK 0,03 -0,01 0,39 0,01 0,07 -0,17 0,05 -0,25 -0,15 0,33 0,00

TOPDANMARK 0,14 0,08 0,06 0,10 -0,00 0,18 -0,40 0,31 -0,07 0,38 0,21 0,00

VESTAS -0,28 -0,31 0,15 -0,36 0,00 -0,52 -0,36 -0,09 -0,01 0,37 -0,29 -0,18 0,00

WILLIAM DEMANT 0,18 0,12 0,24 0,31 0,23 0,36 0,20 0,03 -0,09 0,04 0,22 0,16 -0,33 0,00

OBL. 10 YEARS -0,41 -0,21 -0,55 0,14 -0,35 0,18 0,34 -0,14 0,16 0,41 -0,20 0,21 -0,19 0,15 0,00

OBL. 2 YEARS -0,11 -0,09 -0,70 0,11 -0,22 0,41 0,14 0,26 -0,14 0,39 0,06 -0,29 -0,11 -0,10 0,09 0,00

OBL. 5 YEARS -0,37 -0,34 -0,70 0,05 -0,24 0,25 0,31 -0,16 -0,09 0,33 -0,04 -0,06 -0,23 -0,05 -0,02 -0,05 0,00


Der hvor de største ændringer forekommer, er ved Novo Nordisk B og Vestas. Disse aktier er

forbundet med stor risiko i løbet af året, og derfor er deres korrelation steget.

5.3 Porteføljekonstruktion uden kortsalg

Der vil i det følgende afsnit blive konstrueret porteføljer uden kortsalg for 2010. Porteføljerne vil

blive konstrueret for hver måned, startende i januar og med slut i december. Disse konstruktioner

kommer til at danne baggrund for yderligere undersøgelse af udviklingen igennem 2010.


Fordelingen aktier og obligationer imellem er mere dynamisk for GARCH end for Mean-variance,

hvilket tydeligt ses ved et kig på nedenstående tabel. Hvor fordelingen mere eller mindre var det

samme året igennem ved Mean-variance metoden, er det her meget varieret. Fordelingen imellem

aktier og obligationer er stadig næsten udelukkende obligationer. Andelen af aktier i

minimumvariansporteføljen er i årets tre første måneder stigende. I de følgende måneder falder

Side | 46

andelen af aktier til lidt over 1,1%. Dog med undtagelse af juni. Her svinger vægten op på 1,7%.

Fra Juli og fremefter stiger aktieandelen for til slut at ende på 3,3%.

Tabel 5.3.1 1: Fordelingen af aktier og obligation for MVP

MVP Aktier Obligationer Afkast Risiko RTVR

Januar 1,245% 98,755% 0,08497 0,39856 0,03133

Februar 1,622% 98,378% 0,08818 0,49673 0,02995

Marts 1,854% 98,146% 0,08064 0,49120 0,02845

April 1,452% 98,548% 0,08544 0,40685 0,03308

Maj 1,195% 98,805% 0,08399 0,35620 0,03418

Juni 1,701% 98,299% 0,08549 0,35207 0,04183

Juli 1,135% 98,865% 0,08324 0,40834 0,03696

August 1,793% 98,207% 0,08630 0,50930 0,03558

september 1,941% 98,059% 0,08745 0,52998 0,03545

Oktober 2,320% 97,680% 0,08796 0,53408 0,04163

november 3,367% 96,633% 0,09019 0,66316 0,03521

december 3,351% 96,649% 0,08843 0,64310 0,03148

gennemsnit 1,915% 98,085% 0,08602 0,48246 0,03459


De stigende aktieandele medfører naturligt nok en større risiko. Ud fra RTVR ses det, at juni og

september skiller sig ud som de måneder, der performer bedst i sammenligning med de andre

porteføljer.

Nedenstående tabel viser vægtningen af aktiver i minimumvariansporteføljen. Det er tydeligt, at

denne er mere omskiftelig end ved Mean-variance. Dette forekommer klarest ved betragtning af

andelen af 2-årige obligationer. Denne svinger markant mere ved GARCH end ved Mean-variance

metoden. Den 2-årige obligation svinger derfor imellem 70-90%, hvilket får betydning for andelen,

der investeres i 5-årige obligationer.

Side | 47

Tabel 5.3.1 2: Specifikke fordeling aktier obligationer for MVP

MVP MA

ERSK

'B'

MA

ERSK

'A'

CA

RLS

BER

G 'B

'

DA

NIS

CO

DA

NSK

E B

AN

K

DSV

'B'

FLSM

IDTH

'B'

NK

T

GN

STO

RE

NO

RD

NO

VO

NO

RD

ISK

'B'

SYD

BA

NK

TOP

DA

NM

AR

K

VES

TAS

WIL

LIA

M D

EMA

NT

OB

L. 1

0 YE

AR

S

OB

L. 2

YEA

RS

OB

L. 5

YEA

RS

Januar 0,08% 0,08% 0,15% 0,06% 0,08% 0,02% 0,03% 0,04% 0,05% 0,26% 0,16% 0,08% 0,10% 0,06% 2,89% 82,19% 13,68%

Februar 0,05% 0,06% 0,28% 0,14% 0,05% 0,10% 0,06% 0,02% 0,06% 0,32% 0,07% 0,17% 0,07% 0,16% 6,25% 71,70% 20,44%

Marts 0,12% 0,13% 0,10% 0,15% 0,07% 0,13% 0,05% 0,05% 0,10% 0,37% 0,11% 0,15% 0,14% 0,19% 4,55% 81,38% 12,21%

April 0,07% 0,14% 0,08% 0,12% 0,07% 0,11% 0,06% 0,07% 0,08% 0,22% 0,10% 0,15% 0,10% 0,07% 3,94% 83,95% 10,66%

Maj 0,08% 0,08% 0,11% 0,13% 0,07% 0,11% 0,04% 0,06% 0,04% 0,11% 0,04% 0,19% 0,06% 0,08% 2,61% 90,17% 6,02%

Juni 0,13% 0,13% 0,14% 0,17% 0,13% 0,11% 0,08% 0,11% 0,03% 0,18% 0,13% 0,22% 0,10% 0,04% 2,86% 89,16% 6,28%

Juli 0,08% 0,10% 0,09% 0,13% 0,04% 0,08% 0,06% 0,07% 0,01% 0,18% 0,02% 0,17% 0,06% 0,05% 1,35% 92,21% 5,31%

August 0,09% 0,11% 0,15% 0,12% 0,09% 0,13% 0,09% 0,10% 0,02% 0,24% 0,06% 0,41% 0,09% 0,09% 3,93% 81,42% 12,86%

september 0,11% 0,13% 0,17% 0,10% 0,12% 0,17% 0,11% 0,06% 0,02% 0,32% 0,09% 0,43% 0,02% 0,09% 3,58% 81,69% 12,79%

Oktober 0,11% 0,13% 0,19% 0,12% 0,12% 0,16% 0,11% 0,09% 0,05% 0,42% 0,10% 0,56% 0,02% 0,14% 3,60% 78,47% 15,61%

november 0,21% 0,24% 0,29% 0,21% 0,23% 0,24% 0,21% 0,17% 0,11% 0,68% 0,26% 0,36% 0,01% 0,16% 6,75% 70,78% 19,10%

december 0,12% 0,15% 0,18% 0,28% 0,20% 0,25% 0,19% 0,15% 0,06% 0,83% 0,27% 0,37% 0,07% 0,21% 5,30% 77,60% 13,75%


Aktieandelen er spredt godt ud på samtlige aktier, hvilket hjælper til at diversificere porteføljen og

derved minimere risikoen.


Det ses af nedenstående tabel, at tangentporteføljen følge nogenlunde sammen mønster som

minimumvariansporteføljen. Dog med undtagelse af sammensætningen i juni. Hvor den for MVP

var højere end de omkringliggende måneder, er juni for tangentporteføljerne nedsat i forhold til den

foregående måned. Aktieandelen er her også mere dynamisk end ved Mean-variance modellen.

GARCH tillader, at tangentporteføljen allokerer en større del til aktier, særligt udtrykt ved

november og december, hvor markedet er på vej op.

Side | 48

Tabel 5.3.2 1: Fordelingen af aktier og obligationer for tagentporteføljen

MAX Aktier Obligationer Afkast Risiko RTVR

Januar 12,854% 87,146% 0,11844 0,75548 0,06083

Februar 13,259% 86,741% 0,12495 0,91768 0,05629

Marts 15,492% 84,508% 0,12694 0,95296 0,05697

April 12,258% 87,742% 0,12048 0,76259 0,06359

Maj 12,469% 87,531% 0,11908 0,69731 0,06778

Juni 9,258% 90,742% 0,11309 0,59200 0,07151

Juli 7,293% 92,707% 0,10355 0,62353 0,05679

August 12,362% 87,638% 0,12103 0,86623 0,06101

september 13,439% 86,561% 0,12472 0,91052 0,06156

Oktober 13,329% 86,671% 0,12316 0,85401 0,06725

november 20,615% 79,385% 0,14247 1,18277 0,06394

december 26,066% 73,934% 0,15168 1,29658 0,06440

gennemsnit 14,058% 85,942% 0,12413 0,86764 0,06266


RTVR for tangentporteføljerne ligger i juni på sit højeste niveau. Dette er måneden med den laveste

risiko og det næstmindste afkast. Når aktieandelen øges, stiger den samlede porteføljerisiko i takt

hermed.

Fordelingen af tangentporteføljens aktiver indbefatter alle aktier undtagen Maersk A, Maersk B og

GN Store Nord. Aktieandelen består hovedsageligt af Novo Nordisk B, Sydbank og Topdanmark

aktier i de første måneder. I takt med at den generelle aktieandel stiger, øges vægten hos Carlserg B,

NKT og DSV B aktierne.

Derudover består porteføljerne hovedsageligt af obligationer. Obligationsdelen er fordelt med stor

vægt-ning på 2- og 5-årige obligationer. Dog med undtagelse af tangentporteføljen i februar, hvor

den 5-årige obligation dominerer de to andre obligationer, der udgør hhv. 22,83% og 26,62%. Det

samme gør sig gældende for november, hvor den 5-årige obligation ligeledes er dominerende.

Side | 49

Tabel 5.3.2 2: Specifikke fordeling aktier og obligationer for tangentporteføljen

MAX MA

ERSK

'B'

MA

ERSK

'A'

CA

RLS

BER

G 'B

'

DA

NIS

CO

DA

NSK

E B

AN

K

DSV

'B'

FLSM

IDTH

'B'

NK

T

GN

STO

RE

NO

RD

NO

VO

NO

RD

ISK

'B'

SYD

BA

NK

TOP

DA

NM

AR

K

VES

TAS

WIL

LIA

M D

EMA

NT

OB

L. 1

0 YE

AR

S

OB

L. 2

YEA

RS

OB

L. 5

YEA

RS

Januar 0,00% 0,00% 0,29% 0,00% 0,13% 1,02% 0,14% 0,91% 0,00% 5,51% 2,12% 1,56% 0,60% 0,59% 13,50% 42,71% 30,94%

Februar 0,00% 0,00% 0,72% 0,00% 0,10% 1,48% 0,20% 1,18% 0,00% 4,09% 1,49% 2,61% 0,51% 0,89% 22,83% 26,62% 37,30%

Marts 0,00% 0,00% 0,47% 0,02% 0,17% 1,31% 0,20% 1,51% 0,00% 4,90% 2,22% 3,29% 0,50% 0,92% 18,90% 39,31% 26,30%

April 0,00% 0,00% 0,48% 0,08% 0,21% 1,12% 0,25% 1,51% 0,00% 3,15% 1,74% 2,86% 0,45% 0,39% 17,49% 45,80% 24,45%

Maj 0,00% 0,00% 0,59% 0,10% 0,34% 1,10% 0,29% 1,47% 0,00% 3,05% 1,67% 2,98% 0,44% 0,42% 14,30% 56,02% 17,21%

Juni 0,00% 0,00% 0,42% 0,00% 0,19% 0,79% 0,19% 1,08% 0,00% 2,48% 1,29% 2,24% 0,25% 0,34% 14,70% 57,97% 18,07%

Juli 0,00% 0,00% 0,31% 0,13% 0,02% 0,73% 0,21% 0,81% 0,00% 2,07% 0,36% 1,96% 0,20% 0,48% 7,50% 69,41% 15,80%

August 0,00% 0,00% 0,62% 0,14% 0,11% 1,17% 0,36% 1,33% 0,00% 3,47% 0,51% 3,84% 0,33% 0,46% 15,36% 43,47% 28,81%

september 0,00% 0,00% 0,92% 0,16% 0,18% 1,46% 0,23% 0,59% 0,00% 5,07% 0,55% 3,74% 0,02% 0,52% 15,00% 42,14% 29,42%

Oktober 0,00% 0,00% 0,99% 0,24% 0,21% 1,33% 0,28% 0,64% 0,00% 4,21% 0,66% 4,18% 0,03% 0,57% 13,00% 42,35% 31,32%

november 0,00% 0,00% 1,62% 0,34% 0,55% 2,19% 0,54% 1,43% 0,00% 7,25% 1,58% 4,21% 0,00% 0,91% 20,69% 26,04% 32,65%

december 0,00% 0,00% 1,54% 0,43% 0,63% 2,98% 0,78% 1,58% 0,00% 9,49% 2,36% 4,96% 0,00% 1,31% 17,45% 30,42% 26,06%


Grunden til, at skiftene i obligationsandelen opstår, er, at den dominerende obligation i netop det

tidspunkt, hvor den er dominerende, har det mest gunstige forhold imellem risiko og afkast.

5.4 Porteføljekonstruktion med kortsalg

I indeværende afsnit vil der forekomme porteføljekonstruktion med kortsalg ved brug af GARCH

standardafvigelser. MVP er ens med og uden kortsalg, så afsnittet om minimumvariansporteføljen

med kortsalg udelades, da det allerede er gennemgået. Der vil ligesom tidligere blive skelnet

imellem brutto- og nettoaktie og obligationsandele, da dette, som tidligere vist, giver et mere

retvisende billede af porteføljesammensætningen.


Betragtes bruttoandelen for tangentporteføljen, er det tydeligt, at denne følger samme mønster som

minimumvariansporteføljen. I de tre første måneder stiger aktieandelen for så at falde fra april til

juli, hvorfra andelen så igen stiger indtil december. Sammenlignes brutto- og nettoandelen, ses det,

at de reelle aktieandele, som er udtrykt ved nettoandelene er højere end ved brutto. Grunden til dette

er, at der ved tangentporteføljen forekommer kortsalg, der bevirker, at de reelle aktieandele er større

end som så.

Side | 50

Tabel 5.4.1 1: Fordeling af akter og obligationer for tangentporteføljen

Brutto Netto

Aktier obligationer Aktier obligationer afkast Risiko RTVR

januar 11,54% 88,46% 14,92% 85,08% 0,1228 0,8004 0,0629

februar 12,07% 87,93% 15,26% 84,74% 0,1290 0,9608 0,0579

marts 14,37% 85,63% 17,77% 82,23% 0,1317 1,0100 0,0585

April 11,14% 88,86% 14,19% 85,81% 0,1240 0,8001 0,0651

Maj 11,93% 88,07% 13,44% 86,56% 0,1204 0,7119 0,0683

Juni 8,89% 91,11% 10,44% 89,56% 0,1147 0,6079 0,0722

Juli 7,05% 92,95% 7,91% 92,09% 0,1044 0,6330 0,0573

august 11,91% 88,09% 13,31% 86,69% 0,1226 0,8824 0,0616

september 12,82% 87,18% 14,67% 85,33% 0,1268 0,9323 0,0624

oktober 12,83% 87,17% 14,39% 85,61% 0,1248 0,8705 0,0679

november 19,73% 80,27% 22,28% 77,72% 0,1454 1,2161 0,0646

december 24,90% 75,10% 27,72% 72,28% 0,1548 1,3303 0,0651

gennemsnit 13,26% 86,74% 15,53% 84,47% 0,1268 0,8963 0,0636


Betragtes RTVR for tangentporteføljerne, er der en klar tendens til, at de stiger igennem det sidste

halve år. RTVR har dog sin højeste værdi i juni hvor aktieandelen er på 10,44%. Dette resulterer i

en lav risiko sammenlignet med de andre tangentporteføljer.

Nedenstående tabel viser fordelingen for de individuelle aktier og obligationer. Det er værd at

bemærke, at lige netop de aktier, der ikke er med i tangentporteføljen uden kortsalg, er kortsolgt i

tangentporteføljen med kortsalg.

Side | 51

Tabel 5.4.1 2: Specefikke fodeling af aktier og obligationer for tangentporteføljen

MAX MA

ERSK

'B'

MA

ERSK

'A'

CA

RLS

BER

G 'B

'

DA

NIS

CO

DA

NSK

E B

AN

K

DSV

'B'

FLSM

IDTH

'B'

NK

T

GN

STO

RE

NO

RD

NO

VO

NO

RD

ISK

'B'

SYD

BA

NK

TOP

DA

NM

AR

K

VES

TAS

WIL

LIA

M D

EMA

NT

OB

L. 1

0 YE

AR

S

OB

L. 2

YEA

RS

OB

L. 5

YEA

RS

Januar -0,62% -0,53% 0,33% -0,07% 0,17% 1,08% 0,18% 0,97% -0,77% 5,70% 2,22% 1,62% 0,63% 0,63% 13,74% 43,32% 31,40%

Februar -0,55% -0,49% 0,80% 0,04% 0,15% 1,54% 0,24% 1,25% -0,84% 4,26% 1,56% 2,66% 0,53% 0,94% 23,22% 26,66% 38,05%

Marts -0,66% -0,59% 0,50% 0,06% 0,23% 1,40% 0,23% 1,62% -0,82% 5,16% 2,34% 3,37% 0,55% 0,99% 19,31% 39,51% 26,81%

April -0,64% -0,51% 0,50% 0,12% 0,26% 1,19% 0,29% 1,59% -0,63% 3,30% 1,82% 2,94% 0,49% 0,42% 17,78% 46,30% 24,78%

Maj -0,37% -0,29% 0,60% 0,12% 0,38% 1,13% 0,31% 1,52% -0,21% 3,12% 1,72% 3,01% 0,46% 0,44% 14,51% 56,12% 17,45%

Juni -0,36% -0,28% 0,46% -0,04% 0,23% 0,83% 0,22% 1,12% -0,20% 2,58% 1,34% 2,33% 0,29% 0,36% 14,78% 58,16% 18,18%

Juli -0,13% -0,09% 0,33% 0,15% 0,04% 0,75% 0,23% 0,83% -0,25% 2,10% 0,38% 2,00% 0,21% 0,50% 7,49% 69,66% 15,80%

August -0,22% -0,18% 0,65% 0,16% 0,13% 1,20% 0,39% 1,37% -0,41% 3,54% 0,53% 3,90% 0,35% 0,48% 15,40% 43,81% 28,89%

September -0,34% -0,29% 0,93% 0,19% 0,21% 1,51% 0,27% 0,62% -0,46% 5,19% 0,58% 3,84% 0,04% 0,55% 15,06% 42,52% 29,59%

Oktober -0,31% -0,25% 1,01% 0,26% 0,24% 1,37% 0,31% 0,66% -0,36% 4,30% 0,68% 4,26% 0,04% 0,59% 13,06% 42,61% 31,50%

November -0,55% -0,45% 1,68% 0,39% 0,60% 2,27% 0,60% 1,50% -0,54% 7,41% 1,64% 4,33% -0,09% 0,96% 20,91% 26,31% 33,04%

December -0,67% -0,51% 1,59% 0,50% 0,70% 3,09% 0,83% 1,64% -0,65% 9,63% 2,45% 5,07% -0,13% 1,36% 17,70% 30,89% 26,52%


Tangentporteføljen består hovedsageligt af de 2-og 5-årige obligationer. Disse to obligationer er på

alle tidspunkter dominerende. Dog er der et skift fra 2-årig til 5-årig dominans i februar og

november. I disse måneder er andelen af 10-årige obligationer også høj i forhold til resten af året.

5.5 Performancemål

Performancemålingen af porteføljesammensætningerne ved GARCH følger samme fremgangsmåde

som ved Mean-variance. Her blev der sammensat fire forskellige investeringsstrategier, som hver

især blev tilpasset forskelligt. Investeringsstrategierne blev tilpasset henholdsvis årligt, halvårligt,

kvartalsvist og månedligt.

5.5.1 Performance for MVP

Af nedenstående tabel ses det, at alle fire investeringsstrategier genererer et positivt afkast. Med

baggrund udelukkende i afkastet for de enkelte strategier ses det, at den mest hensigtsmæssige er

strategi nr. 2, hvor der kun bliver tilpasset efter hver sjette måned. Inddrager man også risikoen for

de fire strategier ses det, at det ligeledes er strategi nr. 2, der genererer den laveste

standardafvigelse.

Sammenlignes nedenstående værdier med Mean-variance værdierne ses det, at afkastene er lavere

for alle fire strategier. Derudover er risikoen for strategi nr. 1 og nr. 4 højere ved GARCH end ved

Mean-variance. Dette medfører en bedre Sharpe’s ratio for Mean-variance metoden for alle fire

strategier.

Side | 52

Tabel 5.5.1 1: Performancemål for MVP

MVP Benchmark

MVP1 MVP2 MVP3 MVP4

Afkast 0,0630 0,0641 0,0613 0,0638 0,1831

Std. Afl 0,1915 0,1811 0,1885 0,1953 0,5892

Beta 2,2579 2,2225 2,2204 2,1995 Sharpe 0,0360 0,0321 0,0458 0,0314 0,1922

Jensen 0,2625 0,2574 0,2600 0,2552


Ud fra Jensens alpha ses det, at det er strategi nr. 4, der har performet bedst, hvilket er logisk, da

denne bliver tilpasset hver måned. Det er ligeledes denne strategi, der performer bedst i henhold til

Sharpe’s ratio. Det er dog uden, at den overgår benchmarkets Sharpe’s ratio.

I nedenstående tabel er Jensens alpha blevet estimeret ved hjælp af EViews. De estimerede

alphaværdier foreslår ligesom de udregnede alphaværdier, at benchmarket performer bedre end

MVP. Det kan fastslås med nogen statistisk sikkerhed, at de estimerede alphaværdier er korrekte.

Tabel 5.5.1 2: Alphaværdier for MVP

MVP1 MVP2 MVP3 MVP4

alpha -0,0339 -0,0296 -0,0344 -0,0335

0,0185 0,0189 0,0189 0,0191


Ifølge de estimerede alphaværdier er det MVP for investeringsstrategi nr. 2, der performer bedst.

Dette er i strid med de ovenstående udregnede Jensen alpha’er, da disse pegede på, at det var MPV

for investeringsstrategi nr. 4, der performede bedst i forhold til benchmarket.

5.5.2 Performance for tangentporteføljen

Det kan generelt for tangentporteføljerne siges, at de burde generere et bedre afkast i forhold til

MVP, men med en noget større risiko. Da tangentporteføljerne forsøger at maximere RTVR, der er

risikopræmie pr. risikoenhed, er det selve risikopræmien, der er vigtig i denne sammenhæng.

Af nedenstående tabel ses det, at alle tangentporteføljerne genererer positive afkast. Dog rammer

tangentporteføljerne uden kortsalg et højere afkast end tangentporteføljerne med kortsalg. Dette

giver ganske god mening i sammenhæng med standardafvigelserne for de enkelte strategier.

Tangentporteføljerne med kortsalg har generelt lavere standardafvigelser i forhold til

tangentporteføljerne uden kortsalg.

Side | 53

Tangentporteføljen med det højeste afkast er strategi nr. 4 uden kortsalg. Ellers kommer det

næsthøjeste afkast fra strategi nr.1 uden kortsalg. Generelt genererer strategi nr. 3 et lavere afkast

både med og uden kortsalg end de tilsvarende strategier. Dette er dog ikke nødvendigvis forbundet

med den laveste standardafvigelse. Den tilfalder nemlig strategi nr. 2 både med og uden kortsalg.

Tabel 5.5.2 1: Performancemål for tangentporteføljen

Tangent porteføljer uden kortsalg Tangent porteføljer med kortsalg Benchmark


Afkast 0,1547 0,1414 0,1362 0,1552 0,1431 0,1304 0,1253 0,1436 0,1831

Std. Afl 0,3071 0,2847 0,2888 0,3205 0,2835 0,2658 0,2712 0,3061 0,5892

Beta 1,0651 1,1291 1,1813 0,9464 1,3097 1,3581 1,3903 1,0494

Sharpe 0,2761 0,2511 0,2296 0,2663 0,2581 0,2275 0,2044 0,2408 0,1922

Treynor 0,0796 0,0633 0,0561 0,0902 0,0559 0,0445 0,0399 0,0702 Jensen 0,0358 0,0564 0,0674 0,0218 0,0751 0,0933 0,1020 0,0451


Ser man på Sharpe’s ratio for tangentporteføljerne kan det konstateres, at de alle performer bedre en

benchmarket, Generelt har tangentporteføljerne uden kortsalg højere Sharpe’s ratio end deres

tilsvarende tangentporteføljer med kortsalg. Højest af alle er tangentporteføljen for strategi nr. 1.

Det er tilfældet både med og uden kortsalg, at denne udperformer de andre. Betragtes Treynor’s

ratio danner der sig dog et andet billede. Her performer strategi nr. 1 ganske pænt, men det er

strategi nr. 4, der er klart bedst i dette performancemål. Det gælder stadig, at tangentporteføljerne

uden kortsalg performer bedre end tangentporteføljerne med kortsalg.

Nedenstående tabel viser de estimerede alphaværdier for tangentporteføljerne. Det ses, at de

estimerede alphaværdier peger på, at tangentporteføljerne for alle strategierne klarer sig bedre end

benchmarket. Det ses, at strategi nr. 4 både med og uden kortsalg har højere estimerede alpha’er

end de resterende investeringsstragerier med og uden kortsalg.

Det er også klart, at de estimerede alphaværdier uden kortsalg gernerelt performer bedre end de

tilsvarende strategier med kortsalg.

Tabel 5.5.2 2: Alphaværdier for tangentporteføljen


Alpha 0,0520 0,0416 0,0342 0,0537 0,0388 0,0292 0,0221 0,0416

0,0364 0,0340 0,0336 0,0392 0,0314 0,0300 0,0297 0,0366


De ovenfor estimerede alphaværdier viser sig i alle tilfælde at være insignifikante. Der kan derfor

Side | 54

ikke konkluderes med nogen form for statistisk sikkerhed, at Jensens estimerede alphaværdier giver

et retvisende billede af den reelle situation.

5.6 Delkonklusion

I indestående afsnit er den teoretiske del af GARCH(1,1) modellen blevet gennemgået. Det er

blevet vist, hvordan det er muligt at udregne standardafvigelser og kovarianser ud fra det valgte

datamateriale. På baggrund af dette er udviklet minimumvariansporteføljer og tangentporteføljer for

alle måneder. Disse er i tråd med metoden ved Mean-variance blevet brugt i henhold til 4

forskellige investeringsstrategier, der dækker over årlig tilpasning, halvårlig tilpasning, kvartalsvis

og månedlig tilpasning. Resultaterne af disse investeringsstrategier er blevet vurderet i forhold til de

tidligere beskrevne performancemål.

I og med at GARCH(1,1) modellen består af to forskellige vægte og en konstant varians, gav dette

en forventning om, at modellen kunne generere højere afkast ved månedlig tilpasning af porteføljen.

Grunden til, at denne forventning blev skabt, er, at GARCH modellens betaværdi som tidligere vist

virker som en decayfaktor. Denne decayfaktor påvirker vægtningen af dataene på en sådan måde, at

det er de nyeste data, der tildelen den højeste vægtning.

Under performancemålingen forekom det, at det ifølge Sharpe’s ratio bedst kunne betale sig kun at

tilpasse investors portefølje årligt. Dette kan indikere, at GARCH(1,1) modellen drager forhastede

konklusioner. Problemet med GARCH(1,1) er, som tidligere nævnt, at der ikke er nogen bedste

måde at bestemme vægtene på. Da disse blot bygger på estimeringer i EViews, er der en mulighed

for, at det ikke er de optimale vægte, der er blevet anvendt.

5.7 Performanceforskelle imellem GARCH(1,1) og Mean-variance

Performancemålingerne giver ikke alene et billede på, hvordan porteføljerne har performet.

Målingerne giver også baggrund for sammenligning af de to tilgange til udregning af varianser.

Sammenholdes MVP for Mean-variance og MVP for GARCH modellen, er det tydeligt, at det

egentlig er Mean-variance, der genererer den mindst negative Sharpe’s ratio. Sammenlignes

tangentporteføljerne, er det tydeligt at se, at Sharpe’s ratio for GARCH er klart højere end ved

Mean-variance. Dette var helt som forventet og skyldes, at GARCH har en indbygget decayfaktor i

form af beta. Sammenlignes tangentporteføljerne i henhold til Treynor’s ratio, er det også her

tydeligt, at GARCH performer bedre end Mean-variance. Det er tilfældet for alle

Side | 55

tangentporteføljerne. Den tangentportefølje, der ved Mean-variance kommer tættest på GARCH, er

tangentporteføljen for strategi nr. 3 for Treynor’s ratio, som kun rammer 0,0011 under GARCH.

Det kan herudfra konkluderes, at GARCH, som forventet, er bedre til at indkapsle udviklingen i

markedet end Mean-variance metoden, og derved udvikle bedre porteføljesammensætninger.

Side | 56

6. Konklusion

Med baggrund i Markowitz’ moderne porteføljeteori’s skelet er det blevet undersøgt, hvordan

denne klarede sig igennem 2010 ved at sammensætte forskellige porteføljer på baggrund af Mean-

variance og GARCH.

Moderne porteføljeteori er opbygget omkring tre elementer, nemlig afkast, risiko og korrelation

imellem aktiver. Til beregning af afkastet for aktiverne blev det geometriske afkast udregnet.

Grunden til, at det netop var det geometriske afkast, der blev beregnet, og ikke det aritmetriske

afkast, skal findes i datamaterialet. Da datamaterialet består af finansielle tidsserier, er det

geometriske afkast mest hensigtsmæssigt. På baggrund af det geometriske afkast kan risikoen for de

individuelle aktiver findes. Dette giver også mulighed for igen at beregne korrelationerne imellem

aktiverne. Det er ud fra disse tre parametre, at det er muligt at udlede den efficiente rand. Den

efficiente rand er defineret ud fra den mindste risiko for en række forskellige afkast. På den

efficiente rand er to punkter, der findes interessante. Det første punkt er MVP. MVP er den

porteføljesammensætning, hvor den efficiente rand indtager den absolut mindst risiko. Det andet

punkt på den efficiente rand er tangentporteføljen. Denne dækker over det punkt på den efficiente

rand, hvor forholdet imellem afkastet - fratrukket den risikofrie rente, så at den viser risikopræmien

ved porteføljen - og risikoen er mest gunstigt. Den søger således at maksimere forholdet imellem

risikopræmien og risikoen for porteføljesammensætningen. Ved sammensætning af porteføljer blev

det vist, hvordan det var muligt at bortdiversificere den usystematiske risiko, der er forbundet med

at investere i et enkelt aktiv. Når den efficiente rand skal sammensættes, er der to forskellige måder,

hvorpå dette kan gøres. Forskellen på de to måder er, at den ene tillader kortsalg, hvor den anden

ikke tillader det.

Datamaterialet, som porteføljekonstruktionerne skal opbygges omkring, blev testet for, hvorvidt de

fulgte en normalfordeling. Datamaterialet blev testet for skewness, jarque bera og kurtosis.

Datamaterialet viste problemer med jarque bera testen. Der forelå data for ugeafkast og dagsafkast,

og da det var ugeafkastet, der klarede sig bedst i forhold til den statistiske test, faldt valget på denne

dataserie.

Den moderne porteføljeteori gør brug af Mean-variance. Problemet med Mean-variance er, at alle

værdierne tilskrives den samme vægt. Ved Mean-variance blev det konkluderet, at korrelationerne

aktiverne imellem ikke flyttede sig meget i løbet af året. Dette tyder på, at modellen er ufleksibel.

Side | 57

På grund af at markedet generelt bevægede sig opad igennem hele perioden, kunne det ikke betale

sig at kortsælge aktiver i forbindelse med konstruktionen af MVP.

Til udledning af performance af MVP og tangentporteføljerne blev forslået fire forskellige

investeringsstrategier. Den første var kun justeret i januar, den anden var kun justeret for januar og

juli, den tredje var justeret for januar, april, juli og oktober, og den sidste investeringsstrategi blev

tilpasset hver måned. Performancemålingen bestod af tre målinger i form af Sharpe’s ratio,

Treynor’s ratio og Jensens alpha. De fire investeringsstrategier blev matchet op imod et benchmark

fastsat til at bestå af 10% aktier og 90% obligationer. Det viste sig, at der for MVP ikke kunne

genereres nogle performancemål, der var bedre end benchmarket. For MVP var Sharpe’s ratio

negativ for alle investeringsstrategierne. Ved estimering af jensen alpha For tangentporteføljerne

derimod var billedet et noget andet. Tangentporteføljerne for de fire investeringsstrategier viste, at

det med kortsalg ikke var muligt at performe bedre end benchmarket. Det gjorde det derimod for en

af investeringsstrategierne uden kortsalg. Dette var tangentporteføljen der kun blev tilpasset i januar

måned, hvilket var imod forventningen.

Ved at anvende GARCH(1,1) metoden blev datamaterialet vægtet således, at de nyeste data fik

tilskrevet den højeste vægt. Dette bevirkede, at de reelle værdier og de beregnede værdier var langt

tættere på hinanden i forhold til, hvad de var ved Mean-variance. Dette bevirkede, at modellen blev

langt mere dynamisk. Der blev ved GARCH fulgt samme fremgangsmåde som ved Mean-variance,

og der blev dannet fire forskellige investeringsstrategier. MVP for de fire investeringsstrategier var

ligeledes under, hvad benchmarket performede. Sharpe’s ratioerne for MVP var dog mere negative

ved GARCH end ved Mean- variance. Det samme kunne ikke siges om tangentporteføljerne. Hvor

de ved Mean-variance havde svært ved at performe bedre end benchmarket, har de ved GARCH

performet klart bedre. Ifølge Sharpe’s ratio var det den tangentportefølje, der blev tilpasset i januar

uden kortsalg, der performede bedst igennem hele perioden. Sammenlignede man med Treynor’s

ratio, var det tydeligt, at det var investeringsstrategi nr. 4 uden kortsalg, der performede bedst. Det

blev på denne baggrund konkluderet, at GARCH metoden var bedre til at indfange bevægelserne i

markedet og derved kunne tilpasse porteføljesammensætningerne herefter.

Side | 58

7. Litteraturliste Benniga, Simon; Financial Modeling, second edition

Christensen Michael, Pedersen Frank: Aktieinvestering – Teori og praktisk anvendelse, 2 udgave

Elton, Gruber, Brown, Goetzmann; Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, Eighth

edition

Eviews 6 users guide

Farrell, Reinhart & Farrell, Portfolio management: Theory and application, second editon

Haugen, Robert A.; Modern investment theory, fourth edition

Horasahn, Mehmet & Neslihan, Fidan; Porfolio Selection by Using Time Varying Covariance

Matrices, Journal of Economic & Social Research, vol 9. No. 2, pp. 1-22

Hull, John C.; Options, Futures and Other Derivatives, sixth edition

Keller; Statistics for management and economics, Seventh edition

Madsen: Statistical Tables

Moffet, Stonehill, Eitman; Fundamentals of multinational finance, Third edition

Side | 59

8. Bilag

Bilag 1 – Normalitetstest fra Eviews ………………………………………………………………1

Bilag 2 – Sammenligning af de reelle værdier med de beregnede værdier………………….……19

Bilag 3 – Estemering af alpha – mean variance- Eviews output……………………………….…21

Bilag 4 – Estimering af alpha – GARCH – Ewiews output………………………………………27

Side | 1

Bilag 1

Ugedata

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-20 -10 0 10 20

Series: AP_MOELLER_MAERSK_A

Sample 1 574

Observations 574

Mean 0.064740

Median 0.219753

Maximum 25.19472

Minimum -19.17840

Std. Dev. 4.885232

Skewness 0.038354

Kurtosis 5.342555

Jarque-Bera 131.3850

Probability 0.000000

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-20 -10 0 10 20

Series: AP_MOELLER_MAERSK_B

Sample 1 574

Observations 574

Mean 0.052984

Median 0.177336

Maximum 22.10204

Minimum -19.17834

Std. Dev. 4.875402

Skewness 0.076105

Kurtosis 4.694405



Side | 2

0

40

80

120

160

200

-30 -20 -10 0 10 20

Series: CARLSBERG_B

Sample 1 574

Observations 574

Mean 0.190710

Median 0.278027

Maximum 24.51197

Minimum -28.87203

Std. Dev. 4.827785

Skewness -0.558427

Kurtosis 9.591115



0

40

80

120

160

200

-30 -20 -10 0 10 20

Series: DANISCO

Sample 1 574

Observations 574

Mean 0.142413

Median 0.175989

Maximum 17.62605

Minimum -30.22794

Std. Dev. 4.048267

Skewness -0.920765

Kurtosis 12.67666



Side | 3

0

40

80

120

160

200

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30

Series: DANSKE_BANK

Sample 1 574

Observations 574

Mean 0.160896

Median 0.345643

Maximum 27.90239

Minimum -41.58578

Std. Dev. 5.014904

Skewness -1.043759

Kurtosis 16.38022



0

40

80

120

160

200

-20 -10 0 10 20

Series: DSV_B

Sample 1 574

Observations 574

Mean 0.386205

Median 0.545086

Maximum 21.31950

Minimum -20.41569

Std. Dev. 5.032400

Skewness -0.183597

Kurtosis 5.942584



Side | 4

0

20

40

60

80

100

120

140

-20 -10 0 10 20

Series: FLSMIDT_B

Sample 1 574

Observations 574

Mean 0.222411

Median 0.231932

Maximum 20.94102

Minimum -26.51084

Std. Dev. 5.946566

Skewness -0.396073

Kurtosis 5.581876



0

20

40

60

80

100

120

140

-30 -20 -10 0 10 20 30

Series: GN_STORE_NORD

Sample 1 574

Observations 574

Mean -0.056028

Median 0.000000

Maximum 32.74049

Minimum -31.66693

Std. Dev. 7.045547

Skewness 0.006531

Kurtosis 6.683173



Side | 5

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-30 -20 -10 0 10 20 30 40

Series: NKT

Sample 1 574

Observations 574

Mean 0.366637

Median 0.431340

Maximum 39.22191

Minimum -30.49733

Std. Dev. 6.442065

Skewness 0.598713

Kurtosis 9.931301



0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

Series: NOVO_NORDISK_BSample 1 574Observations 574

Mean 0.364783Median 0.429510Maximum 13.99994Minimum -25.43129Std. Dev. 4.159844Skewness -0.889166Kurtosis 8.293015

Jarque-Bera 745.6850Probability 0.000000

Side | 6

0

50

100

150

200

250

-30 -20 -10 0 10 20

Series: SYDBANK

Sample 1 574

Observations 574

Mean 0.320155

Median 0.336704

Maximum 20.06730

Minimum -34.31980

Std. Dev. 4.354312

Skewness -2.228997

Kurtosis 23.84891



0

40

80

120

160

200

240

-20 -10 0 10 20

Series: TOPDANMARK

Sample 1 574

Observations 574

Mean 0.282171

Median 0.436709

Maximum 20.82427

Minimum -20.29427

Std. Dev. 4.086517

Skewness -0.062030

Kurtosis 7.596926



Side | 7

0

20

40

60

80

100

120

-37.5 -25.0 -12.5 0.0 12.5 25.0 37.5

Series: VESTAS

Sample 1 574

Observations 574

Mean 0.075089

Median 0.371898

Maximum 38.67194

Minimum -47.38530

Std. Dev. 8.279233

Skewness -0.678971

Kurtosis 8.652291



0

20

40

60

80

100

120

140

160

-20 -10 0 10 20 30

Series: WILLIAM_DEMANT

Sample 1 574

Observations 574

Mean 0.188463

Median 0.183742

Maximum 27.54129

Minimum -27.08778

Std. Dev. 5.368473

Skewness 0.234101

Kurtosis 7.676787



Side | 8

0

20

40

60

80

100

-3 -2 -1 0 1 2 3

Series: OBLIGATION_10YEARS

Sample 1 574

Observations 574

Mean 0.122494

Median 0.149818

Maximum 2.823682

Minimum -3.121234

Std. Dev. 0.702714

Skewness -0.113797

Kurtosis 4.340411



0

10

20

30

40

50

60

70

80

-0.75 -0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50 0.75


Sample 1 574

Observations 574

Mean 0.076389

Median 0.070532

Maximum 0.855625

Minimum -0.830448

Std. Dev. 0.180105

Skewness -0.091357

Kurtosis 6.107582



Side | 9

0

10

20

30

40

50

60

70

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Series: OBLIGATION_5_YEARS

Sample 1 574

Observations 574

Mean 0.101773

Median 0.101069

Maximum 1.854684

Minimum -1.969163

Std. Dev. 0.442342

Skewness -0.124002

Kurtosis 4.680194



Side | 10

Dagsdata

0

200

400

600

800

1,000

-10 -5 0 5 10 15 20

Series: AP_MOELLER_MAERSK_ASample 1 2870Observations 2870

Mean 0.012948Median 0.000000Maximum 21.75204Minimum -13.30375Std. Dev. 2.321031Skewness -0.002398Kurtosis 8.880808

Jarque-Bera 4135.661Probability 0.000000

0

100

200

300

400

500

600

700

800

-10 -5 0 5 10 15 20

Series: AP_MOELLER_MAERSK_B

Sample 1 2870

Observations 2870

Mean 0.010597

Median 0.000000

Maximum 23.36849

Minimum -13.91823

Std. Dev. 2.308697

Skewness 0.338886

Kurtosis 10.39426



Side | 11

0

200

400

600

800

1,000

-15 -10 -5 0 5 10 15

Series: CARLSBERG_B

Sample 1 2870

Observations 2870

Mean 0.038142

Median 0.000000

Maximum 14.54655

Minimum -16.70532

Std. Dev. 2.194259

Skewness -0.278795

Kurtosis 11.57886



0

200

400

600

800

1,000

1,200

-20 -15 -10 -5 0 5 10

Series: DANISCO

Sample 1 2870

Observations 2870

Mean 0.028482

Median 0.000000

Maximum 12.90196

Minimum -20.27257

Std. Dev. 1.740938

Skewness -0.251702

Kurtosis 14.97841



Side | 12

0

200

400

600

800

1,000

-15 -10 -5 0 5 10

Series: DANSKE_BANK

Sample 1 2870

Observations 2870

Mean 0.032179

Median 0.000000

Maximum 13.97631

Minimum -17.18509

Std. Dev. 2.073107

Skewness -0.034125

Kurtosis 9.473829



0

200

400

600

800

1,000

-10 -5 0 5 10 15

Series: DSV_B

Sample 1 2870

Observations 2870

Mean 0.077241

Median 0.000000

Maximum 17.48863

Minimum -13.35297

Std. Dev. 2.246486

Skewness 0.144238

Kurtosis 8.247383



Side | 13

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

-15 -10 -5 0 5 10 15

Series: FLSMIDT

Sample 1 2870

Observations 2870

Mean 0.044482

Median 0.000000

Maximum 17.22995

Minimum -18.10944

Std. Dev. 2.642596

Skewness 0.060838

Kurtosis 8.047226



0

200

400

600

800

1,000

1,200

1,400

-30 -20 -10 0 10 20

Series: GN_STORE_NORD

Sample 1 2870

Observations 2870

Mean -0.011206

Median 0.000000

Maximum 18.88992

Minimum -27.90254

Std. Dev. 3.008981

Skewness -0.444606

Kurtosis 13.00813



Side | 14

0

200

400

600

800

1,000

1,200

1,400

-20 -10 0 10 20

Series: NKT

Sample 1 2870

Observations 2870

Mean 0.073327

Median 0.000000

Maximum 23.87530

Minimum -18.02369

Std. Dev. 2.732996

Skewness 0.403581

Kurtosis 10.21959



0

200

400

600

800

1,000

1,200

1,400

-20 -10 0 10

Series: NOVO_NORDISK

Sample 1 2870

Observations 2870

Mean 0.072957

Median 0.000000

Maximum 16.68328

Minimum -24.02253

Std. Dev. 1.980164

Skewness -0.566137

Kurtosis 16.47305



Side | 15

0

200

400

600

800

1,000

1,200

1,400

-15 -10 -5 0 5 10 15

Series: SYDBANK

Sample 1 2870

Observations 2870

Mean 0.064031

Median 0.000000

Maximum 16.30409

Minimum -15.62889

Std. Dev. 1.745849

Skewness -0.512436

Kurtosis 18.66470



0

200

400

600

800

1,000

-10 -5 0 5 10 15

Series: TOPDANMARK

Sample 1 2870

Observations 2870

Mean 0.056434

Median 0.000000

Maximum 14.06997

Minimum -11.33017

Std. Dev. 1.941768

Skewness -0.034813

Kurtosis 8.141457



Side | 16

0

200

400

600

800

1,000

1,200

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30

Series: VESTAS

Sample 1 2870

Observations 2870

Mean 0.015017

Median 0.000000

Maximum 36.74876

Minimum -38.06437

Std. Dev. 3.649491

Skewness -0.143538

Kurtosis 16.83823



0

200

400

600

800

1,000

1,200

1,400

-20 -10 0 10

Series: WILLIAM_DEMANT

Sample 1 2870

Observations 2870

Mean 0.037693

Median 0.000000

Maximum 16.86947

Minimum -23.43983

Std. Dev. 2.319449

Skewness -0.140892

Kurtosis 12.53223



Side | 17

0

100

200

300

400

500

600

700

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5


Sample 1 2870

Observations 2870

Mean 0.024499

Median 0.015523

Maximum 1.838488

Minimum -1.604653

Std. Dev. 0.301639

Skewness -0.072400

Kurtosis 6.361676



0

200

400

600

800

1,000

1,200

-0.6 -0.4 -0.2 -0.0 0.2 0.4 0.6


Sample 1 2870

Observations 2870

Mean 0.015278

Median 0.013310

Maximum 0.699930

Minimum -0.698942

Std. Dev. 0.092291

Skewness -0.331512

Kurtosis 12.50527



Side | 18

0

400

800

1,200

1,600

2,000

-600 -400 -200 0 200 400 600


Sample 1 2870

Observations 2868

Mean 0.020231

Median 0.014883

Maximum 690.7857

Minimum -690.7651

Std. Dev. 18.24589

Skewness -0.001628

Kurtosis 1433.644

Jarque-Bera 2.45e+08


Side | 19

Bilag 2 udregnede afkastværdier januar februar marts april maj juni juli august september oktober november december

MAERSK 'B' -0,0048 0,0235 0,0271 0,0202 0,0235 0,0364 0,0550 0,0467 0,0309 0,0437 0,0392 0,0376

MAERSK 'A' 0,0070 0,0338 0,0354 0,0303 0,0338 0,0483 0,0660 0,0593 0,0431 0,0553 0,0503 0,0504

CARLSBERG 'B' 0,1351 0,1451 0,1572 0,1693 0,1451 0,1659 0,1718 0,1808 0,1943 0,2013 0,2023 0,1902

DANISCO 0,0725 0,0904 0,0972 0,1087 0,0904 0,0782 0,1114 0,1123 0,1119 0,1439 0,1272 0,1208

DANSKE BANK 0,1404 0,1567 0,1608 0,1622 0,1567 0,1422 0,1383 0,1565 0,1476 0,1524 0,1628 0,1641

DSV 'B' 0,3646 0,3740 0,3619 0,3726 0,3740 0,3507 0,3529 0,3672 0,3494 0,3743 0,3718 0,3741

FLSMIDTH 'B' 0,1731 0,1590 0,1668 0,1768 0,1590 0,1727 0,1838 0,1829 0,1518 0,1753 0,1737 0,2084

NKT 0,3950 0,4096 0,4036 0,3993 0,4096 0,3753 0,3778 0,3712 0,3248 0,3578 0,3672 0,3462

GN STORE NORD -0,1769 -0,1433 -0,1544 -0,1418 -0,1433 -0,0749 -0,0886 -0,1063 -0,1117 -0,0861 -0,0797 -0,0656

NOVO NORDISK 'B' 0,2795 0,2917 0,3078 0,3230 0,2917 0,3310 0,3408 0,3337 0,3320 0,3443 0,3513 0,3524

SYDBANK 0,3236 0,3345 0,3357 0,3391 0,3345 0,3240 0,3114 0,3221 0,2911 0,2969 0,3128 0,3095

TOPDANMARK 0,3020 0,2857 0,2875 0,2957 0,2857 0,2855 0,2775 0,2858 0,2758 0,2827 0,2621 0,2769

VESTAS 0,1856 0,1741 0,1651 0,1795 0,1741 0,1717 0,1567 0,1608 0,1255 0,1084 0,0711 0,0642

WILLIAM DEMANT 0,1973 0,2096 0,2047 0,1903 0,2096 0,2040 0,2102 0,1990 0,1865 0,1941 0,1870 0,1899 OBLIGATION 10 YEARS 0,1209 0,1210 0,1219 0,1217 0,1210 0,1310 0,1304 0,1289 0,1356 0,1320 0,1287 0,1252 OBLIGATION 2 YEARS 0,0798 0,0795 0,0799 0,0798 0,0795 0,0802 0,0796 0,0781 0,0789 0,0779 0,0763 0,0766 OBLIGATION 5 YEARS 0,0993 0,0997 0,1009 0,1008 0,0997 0,1070 0,1068 0,1049 0,1081 0,1061 0,1038 0,1029

Reelle afkastværdier januar februar marts april maj juni juli august september oktober november december

MAERSK 'B' 2,9750 -0,3916 -0,0060 2,6325 -1,0514 2,5871 -0,8645 -2,1480 1,8297 -0,4718 -0,1889 1,8055

MAERSK 'A' 2,8296 -0,6395 0,2316 2,7694 -0,9523 2,4683 -0,6694 -2,1883 1,7484 -0,5087 0,0610 1,6981

CARLSBERG 'B' 1,1855 1,0957 2,4199 -0,2617 0,2512 0,9699 1,1655 2,0579 1,1754 0,3095 -1,5170 0,2523

DANISCO 1,9607 -0,6663 3,2871 -0,5432 -3,2226 4,6209 0,2173 0,0487 4,5878 -1,7402 -0,7749 2,5968

DANSKE BANK 1,8599 -0,9844 2,0242 1,7439 -4,5275 -0,3895 2,1452 -1,0809 0,8198 1,3348 0,3484 -0,2087

DSV 'B' 1,3532 -3,1057 3,6704 0,4924 -2,7529 0,6565 1,9337 -2,1085 3,8366 0,0913 0,6960 1,7624

FLSMIDTH 'B' -1,3067 0,1008 2,5909 2,1959 -2,8983 1,6830 0,0886 -4,1356 3,4323 0,0000 5,1147 1,8128

NKT 1,9252 -1,1743 0,6143 1,4578 -4,1805 0,7267 -0,3596 -6,0703 4,9424 1,4151 -2,6206 2,6976

GN STORE NORD 3,3576 -2,7183 2,6425 6,4848 0,6508 -1,9476 -2,0456 -0,8476 3,4623 0,6364 1,9364 1,0290

NOVO NORDISK 'B' 1,5644 1,3643 3,4084 1,1176 0,4043 1,6802 -0,4408 0,0969 2,0519 1,1307 0,5046 1,7778

SYDBANK 1,4679 -0,9841 2,2727 2,2209 -4,0648 -1,3964 1,4854 -3,9857 1,1068 2,0914 -0,1601 1,5382

TOPDANMARK -1,4123 -0,0192 1,9261 -0,4139 -0,1989 -0,8126 1,1948 -1,1023 1,2434 -2,0417 2,3582 0,8870

VESTAS -1,0295 -1,4305 2,5089 2,7324 -4,0689 -1,8832 0,6063 -4,7385 -2,2743 -4,1090 -0,9081 1,3142

WILLIAM DEMANT 1,4899 -1,8943 -0,2707 -0,1091 2,4259 1,0536 -1,0235 -1,5379 1,2439 -0,6081 0,6026 0,0242 OBLIGATION 10 YEARS 0,1350 0,3136 0,0118 0,4630 0,9560 0,0498 -0,0308 1,0596 -0,3645 -0,2421 -0,3682 -0,1874 OBLIGATION 2 YEARS 0,0474 0,1629 0,0361 0,0831 0,1373 -0,0127 -0,0796 0,1852 -0,0659 -0,0943 0,1135 0,0533 OBLIGATION 5 YEARS 0,1460 0,3177 0,0221 0,3602 0,6185 0,0819 -0,1014 0,5429 -0,1652 -0,1540 -0,0194 -0,0316

Side | 20

udregnede standardafvigelser januar februar marts april maj juni juli august september oktober november december

MAERSK 'B' 4,8867 4,8933 4,8762 4,8635 4,8933 4,9271 4,9184 4,9177 4,9114 4,9021 4,8898 4,8897

MAERSK 'A' 4,9197 4,9252 4,9074 4,8946 4,9252 4,9423 4,9336 4,9321 4,9274 4,9164 4,9026 4,9009

CARLSBERG 'B' 4,9112 4,8906 4,8920 4,8830 4,8906 4,9094 4,8969 4,8869 4,8808 4,8681 4,8552 4,8470

DANISCO 4,0578 4,0467 4,0589 4,0506 4,0467 4,0521 4,0615 4,0621 4,0540 4,0650 4,0556 4,0429

DANSKE BANK 4,9933 5,0072 4,9940 4,9812 5,0072 5,0793 5,0809 5,0725 5,0651 5,0559 5,0408 5,0306

DSV 'B' 5,0959 5,0920 5,0999 5,0877 5,0920 5,1016 5,0966 5,0907 5,0793 5,0750 5,0645 5,0510

FLSMIDTH 'B' 6,0204 6,0035 6,0062 5,9921 6,0035 6,0120 6,0050 5,9875 5,9892 5,9815 5,9672 5,9648

NKT 6,5729 6,5625 6,5402 6,5241 6,5625 6,5324 6,5106 6,4892 6,5104 6,5051 6,4796 6,4653

GN STORE NORD 7,1203 7,1097 7,0970 7,0797 7,1097 7,1727 7,1524 7,1298 7,1203 7,1161 7,0927 7,0739

NOVO NORDISK 'B' 4,2653 4,2568 4,2462 4,2405 4,2568 4,2336 4,2292 4,2164 4,2027 4,1963 4,1821 4,1707

SYDBANK 4,3339 4,3345 4,3252 4,3146 4,3345 4,3759 4,3730 4,3873 4,3934 4,3907 4,3799 4,3678

TOPDANMARK 4,2227 4,2077 4,1921 4,1832 4,2077 4,1705 4,1596 4,1425 4,1329 4,1200 4,1106 4,1019

VESTAS 8,4436 8,4197 8,3933 8,3746 8,4197 8,3535 8,3297 8,3005 8,3545 8,3336 8,3271 8,3066

WILLIAM DEMANT 5,5061 5,4926 5,4791 5,4859 5,4926 5,4688 5,4554 5,4541 5,4402 5,4277 5,4075 5,3912

OBLIGATION 10 YEARS 0,6933 0,6912 0,6913 0,6898 0,6912 0,7009 0,7013 0,6988 0,7008 0,7020 0,7015 0,7033



Reelle standardafvigelser januar februar marts april maj juni juli august september oktober november december

MAERSK 'B' 5,2328 2,4438 2,4532 2,8742 12,6323 2,8499 5,3138 3,8067 3,2897 3,5707 5,6162 2,4581

MAERSK 'A' 5,2527 2,1879 2,4177 3,1310 11,3901 3,0392 5,2668 4,1311 2,8879 3,2762 5,3774 2,1693

CARLSBERG 'B' 1,4793 6,2277 1,9656 2,5443 10,4504 3,0027 3,9129 4,0192 2,7057 3,4525 3,5470 1,6387

DANISCO 2,0827 5,4174 2,3762 0,9460 5,9020 2,9244 4,6102 3,1328 3,4703 2,3373 1,1951 4,3626

DANSKE BANK 6,7691 1,1862 3,5762 1,2159 14,7474 6,0689 3,9542 4,2912 4,0231 2,9499 3,7930 2,9818

DSV 'B' 5,1028 4,7599 2,8500 3,6687 8,4971 5,0340 4,5965 2,2204 3,2002 4,1300 2,8706 1,6163

FLSMIDTH 'B' 3,9896 7,7119 2,1003 3,3928 10,7749 5,4678 4,0165 5,1819 4,0636 4,5336 3,1327 3,1813

NKT 5,7550 3,6759 2,9738 3,3044 10,1453 2,2439 3,7234 7,2272 3,9385 2,2011 3,0002 1,5708

GN STORE NORD 5,2990 6,0803 1,7665 10,5025 13,0237 3,2909 3,8457 6,4879 6,2744 3,9947 3,3552 1,9063

NOVO NORDISK 'B' 3,3389 2,5889 1,6481 2,1051 6,0431 3,8379 2,5880 1,5069 3,0885 2,1370 2,2615 2,5151

SYDBANK 4,7405 1,7680 3,0097 1,5095 10,8376 4,1079 6,2859 3,3250 4,5181 2,5971 2,2775 2,2679

TOPDANMARK 1,4106 2,1517 1,5532 1,5214 5,3993 2,2389 0,9853 2,4019 1,3022 1,9004 1,7487 1,6061

VESTAS 5,8660 5,9516 2,9058 3,5528 9,7407 3,8875 4,4392 15,0516 4,5211 7,0271 5,1723 4,3829

WILLIAM DEMANT 4,0427 2,6432 7,3544 2,7859 6,2844 3,5008 5,7726 2,7716 3,5442 2,2698 2,3594 1,1119




Side | 21

Bilag 3 -Ewievs output for mean variance

Dependent Variable: MVP1 Method: Least Squares Date: 04/30/11 Time: 11:46 Sample: 1/01/2010 12/31/2010 Included observations: 53

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -0,03172 0,018001 -1,761907 0,0841 BENCHMARK 0,241997 0,030003 8,06575 0

R-squared 0,560558 Mean dependent var -0,00432 Adjusted R-squared 0,551942 S.D. dependent var 0,192257 S.E. of regression 0,128692 Akaike info criterion -1,22579 Sum squared resid 0,844638 Schwarz criterion -1,15144 Log likelihood 34,48344 Hannan-Quinn criter. -1,1972 F-statistic 65,05632 Durbin-Watson stat 1,981213 Prob(F-statistic) 0



C -0,03145 0,018026 -1,74496 0,087 BENCHMARK 0,240122 0,030045 7,992172 0


Side | 22



C -0,03147 0,01803 -1,745438 0,0869

BENCHMARK 0,240168 0,030053 7,991542 0

R-squared 0,556 Mean dependent var -0,00428

Adjusted R-squared 0,547294 S.D. dependent var 0,191585 S.E. of regression 0,128905 Akaike info criterion -1,22248

Sum squared resid 0,847442 Schwarz criterion -1,14813

Log likelihood 34,39563 Hannan-Quinn criter. -1,19389

F-statistic 63,86474 Durbin-Watson stat 1,980799

Prob(F-statistic) 0



C -0,03144 0,018034 -1,743264 0,0873

BENCHMARK 0,240361 0,030058 7,996504 0


Adjusted R-squared 0,547606 S.D. dependent var 0,191686

S.E. of regression 0,128929 Akaike info criterion -1,22211




Prob(F-statistic) 0

Side | 23

Dependent Variable: RTVR1U Method: Least Squares Date: 04/30/11 Time: 11:47 Sample: 1/01/2010 12/31/2010 Included observations: 53


C 0,027505 0,036917 0,745066 0,4597 BENCHMARK 0,306904 0,061532 4,98769 0,00E+00

R-squared 0,32786 Mean dependent var 0,062252 Adjusted R-squared 0,314681 S.D. dependent var 0,318817 S.E. of regression 0,26393 Akaike info criterion 0,210738 Sum squared resid 3,552605 Schwarz criterion 0,285089 Log likelihood -3,58456 Hannan-Quinn criter. 0,23933 F-statistic 24,87705 Durbin-Watson stat 2,335078 Prob(F-statistic) 7,00E-06



C 0,021037 0,034053 0,617777 0,5395

BENCHMARK 0,317713 0,05676 5,597529 0,00E+00

R-squared 0,380559 Mean dependent var 0,057008 Adjusted R-squared 0,368413 S.D. dependent var 0,306343

S.E. of regression 0,243458 Akaike info criterion 0,049264 Sum squared resid 3,022871 Schwarz criterion 0,123615 Log likelihood 0,694505 Hannan-Quinn criter. 0,077856

F-statistic 31,33233 Durbin-Watson stat 2,387253 Prob(F-statistic) 1,00E-06

Side | 24



C 0,021244 0,03508 0,6056 0,5475

BENCHMARK 0,313376 0,05847 5,359592 0,00E+00

R-squared 0,360303 Mean dependent var 0,056724


S.E. of regression 0,250795 Akaike info criterion 0,108645

Sum squared resid 3,207808 Schwarz criterion 0,182995

Log likelihood -0,87909 Hannan-Quinn criter. 0,137236


Prob(F-statistic) 2,00E-06



C 0,020015 0,03411 0,586775 0,5599

BENCHMARK 0,329584 0,056854 5,797021 0,00E+00





Log likelihood 0,606356 Hannan-Quinn criter. 0,081182


Prob(F-statistic) 0,00E+00

Side | 25

Dependent Variable: RTVR1M Method: Least Squares Date: 04/30/11 Time: 14:27 Sample: 1/01/2010 12/31/2010 Included observations: 53


C 0,006454 0,029287 0,220359 0,8265 BENCHMARK 0,328305 0,048815 6,725429 0

R-squared 0,470027 Mean dependent var 0,043624 Adjusted R-squared 0,459636 S.D. dependent var 0,284839 S.E. of regression 0,209384 Akaike info criterion -0,25229 Sum squared resid 2,235918 Schwarz criterion -0,17794 Log likelihood 8,685716 Hannan-Quinn criter. -0,2237

F-statistic 45,2314 Durbin-Watson stat 1,98525 Prob(F-statistic) 0



C 0,001392 0,0277 0,050246 0,9601 BENCHMARK 0,338185 0,046169 7,324864 0

R-squared 0,512678 Mean dependent var 0,03968 Adjusted R-squared 0,503123 S.D. dependent var 0,280941 S.E. of regression 0,198034 Akaike info criterion -0,36375 Sum squared resid 2,000096 Schwarz criterion -0,2894 Log likelihood 11,63933 Hannan-Quinn criter. -0,33516 F-statistic 53,65363 Durbin-Watson stat 2,045512 Prob(F-statistic) 0

Side | 26



C 0,008906 0,034588 0,257476 0,7978 BENCHMARK 0,326588 0,057651 5,664946 0

R-squared 0,38622 Mean dependent var 0,045881 Adjusted R-squared 0,374185 S.D. dependent var 0,312584 S.E. of regression 0,24728 Akaike info criterion 0,080418 Sum squared resid 3,118529 Schwarz criterion 0,154769 Log likelihood -0,13108 Hannan-Quinn criter. 0,10901 F-statistic 32,09161 Durbin-Watson stat 2,404265 Prob(F-statistic) 0,000001



C 0,00659 0,02939 0,224218 0,8235

BENCHMARK 0,346437 0,048987 7,071981 0


S.E. of regression 0,210121 Akaike info criterion -0,24527 Sum squared resid 2,251683 Schwarz criterion -0,17091 Log likelihood 8,499524 Hannan-Quinn criter. -0,21667


Side | 27

Bilag 4 - Eviews output for GARCH(1,1)



C -0,03388 0,018549 -1,826568 0,0736

BENCHMARK 0,238421 0,030917 7,711578 0







Prob(F-statistic) 0



C -0,02957 0,018858 -1,56802 0,1231

BENCHMARK 0,209887 0,031432 6,677524 0







Prob(F-statistic) 0

Side | 28



C -0,03437 0,018918 -1,816762 0,0751 BENCHMARK 0,22727 0,031531 7,20772 0




C -0,03349 0,01906 -1,757188 0,0849 BENCHMARK 0,241655 0,031768 7,606826 0


Side | 29



C 0,052044 0,036424 1,428863 0,1591 BENCHMARK 0,289403 0,06071 4,766968 0,00E+00

R-squared 0,308231 Mean dependent var 0,08481 Adjusted R-squared 0,294666 S.D. dependent var 0,310063 S.E. of regression 0,260404 Akaike info criterion 0,183838 Sum squared resid 3,458312 Schwarz criterion 0,258188 Log likelihood -2,8717 Hannan-Quinn criter. 0,212429 F-statistic 22,72398 Durbin-Watson stat 2,391839 Prob(F-statistic) 1,60E-05



C 0,041625 0,034021 1,223507 0,2268

BENCHMARK 0,263667 0,056706 4,6497 0,00E+00





Log likelihood 0,744392 Hannan-Quinn criter. 0,075973



Side | 30



C 0,034173 0,033574 1,017838 0,3136 BENCHMARK 0,283819 0,055961 5,071736 0,00E+00

R-squared 0,335267 Mean dependent var 0,066307 Adjusted R-squared 0,322233 S.D. dependent var 0,291562 S.E. of regression 0,240033 Akaike info criterion 0,020924 Sum squared resid 2,938406 Schwarz criterion 0,095275 Log likelihood 1,445516 Hannan-Quinn criter. 0,049516

F-statistic 25,72251 Durbin-Watson stat 2,321519 Prob(F-statistic) 6,00E-06



C 0,053652 0,039177 1,36947 0,1769

BENCHMARK 0,279989 0,0653 4,287764 1,00E-04





Log likelihood -6,7341 Hannan-Quinn criter. 0,35818



Side | 31



C 0,038828 0,031386 1,237115 0,2217

BENCHMARK 0,303201 0,052314 5,795832 0


Adjusted R-squared 0,385282 S.D. dependent var 0,286195 S.E. of regression 0,224388 Akaike info criterion -0,11387




Prob(F-statistic) 0



C 0,029171 0,029956 0,973808 0,3347

BENCHMARK 0,276504 0,04993 5,537843 0


S.E. of regression 0,214164 Akaike info criterion -0,20715 Sum squared resid 2,339171 Schwarz criterion -0,1328

Log likelihood 7,489387 Hannan-Quinn criter. -0,17856 F-statistic 30,6677 Durbin-Watson stat 2,227633 Prob(F-statistic) 0,000001

Side | 32



C 0,022089 0,029715 0,743351 0,4607 BENCHMARK 0,294637 0,049529 5,948819 0

R-squared 0,409643 Mean dependent var 0,055447 Adjusted R-squared 0,398068 S.D. dependent var 0,273822 S.E. of regression 0,212443 Akaike info criterion -0,22328 Sum squared resid 2,301731 Schwarz criterion -0,14893 Log likelihood 7,916963 Hannan-Quinn criter. -0,19469




C 0,04163 0,03659 1,137746 0,2605 BENCHMARK 0,283229 0,060987 4,644099 0

R-squared 0,297208 Mean dependent var 0,073696 Adjusted R-squared 0,283427 S.D. dependent var 0,309023 S.E. of regression 0,26159 Akaike info criterion 0,19293 Sum squared resid 3,489901 Schwarz criterion 0,267281 Log likelihood -3,11265 Hannan-Quinn criter. 0,221522 F-statistic 21,56766 Durbin-Watson stat 2,111551 Prob(F-statistic) 0,000024

Documents

Moderne Porteføljeteori - PUREpure.au.dk/portal/files/36145940/F_rdig_opgave.pdf · Moderne porteføljeteori går i al sin enkelthed ud på at måle en porteføljes mulige afkast